Ideaalarvud

Ideaalarvud on arvu üldistus, mille võttis algebralises arvuteoorias kasutusele Ernst Eduard Kummer. Sellest mõistest on alguse saanud tänapäevane ideaali mõiste. 

Näiteks ringis  ei kehti algteguriteks lahutamise ühesus: 



Kummer tegi kindlaks, et algteguriteks lahutamise ühesuse saab mõnikord taastada, kui võtta juurde uusi arve, mida ta nimetas ideaalarvudeks. Kui toodud näites võtta juurde arv , saadakse lahutused

(murdude normidest nähtub, et tegu on täiselementidega) ning 

nii et algteguriteks lahutamise ühesus on taastatud.Felix Klein. Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert. Teil 1. Springer, Berlin 1926 (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. 24, ptk VII, alajaotus "Theorie der algebraischen ganzen Zahlen …", lk 321–322. 

Tänapäevasest vaatenurgast vastab ideaalarvu  sissetoomine üleminekule Hilberti klassikorpuse täiselementide ringile. Algebralise arvukorpuse kõik ideaalid on peaideaalid.

Richard Dedekind selgitas välja, et ilma ideaalarvudeta saab läbi, kui vaadelda nende asemel kõigi nendega jaguvate arvude kogumit.  Ülaltoodud näites on arvudel  und  ühine ideaalne algtegur , ja selle arvu kordsed ringis  moodustavad  lihtsa ideaali

Kui on olemas "reaalne" ühistegur, siis koosneb ideaal parajasti selle kordsetest ning on seega peaideaal.Felix Klein. Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert. Teil 1. Springer, Berlin 1926 (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. 24, lk 323. Arvukorpuste täiselementide ringides (ja üldisemalt selle seiga põhjal tema järgi nimetatud  Dedekindi ringides) saadakse niimoodi iga (nullideaalist) erineva ideaali ühene lahutus lihtsateks ideaalideks.J. Neukirch. Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6; teoreem I.3.3.

Viited

Kategooria:Arvuteooria