Hilberti teoreem nullkohtadest

Hilberti teoreem nullkohtadest ehk Hilberti teoreem juurtest on teoreem, mis seob algebralise hulga mõiste ideaaliga polünoomide ringis üle algebraliselt kinnise korpuse. See teoreem on algebralise geomeetria alus. 

Teoreemi tõestas esimest korda David Hilbert (Mathematische Annalen, 1893, kd 42, lk 313—373) ja see on nimetatud tema auks. 

 Sõnastus 
Olgu  mis tahes korpus (näiteks ratsionaalarvude korpus) ja olgu  selle korpuse algebraliselt kinnine laiend (näiteks kompleksarvude korpus). Vaatleme ringi  – n muutuja polünoomide ringi kordajatega korpuses , olgu  ideaal selles ringis. Algebraline hulk , mille see ideaal määrab, koosneb kõigist niisugustest punktidest  et  mis tahes  korral.
Hilberti teoreem nullkohtadest väidab, et kui mingi  polünoom  nullistub hulgal , st kui  kõigi  korral, siis leidub niisugune naturaalarv , et .

Vahetult järeldub teoreemi "nõrk kuju": kui  on pärisideaal ringis , siis  ei saa olla tühi hulk, st on olemas nullkoht antud ideaali kõigi polünoomide jaoks (tõepoolest, vastasel juhtumil on polünoomil  juured kõikjal hulgas , järelikult tema aste kuulub ideaali ). See  asjaolu ongi teoreemile nime andnud. Üldise juhtumi võib nõrgast kujust tuletada nn Rabinowitschi triki abil.  

Eeldus, et korpus   on algebraliselt kinnine, on oluline: pärisideaali  elementidel üle korpuse  ei ole ühist nullkohta.

Kommutatiivse algebra standardses teoorias võib Hilberti teoreemi nullkohtadest sõnastada nii: iga ideaali  korral kehtib valem


kus  on ideaali  radikaal ja  on ideaal, mis koosneb kõigist polünoomidest, mis hulgal  võrduvad nulliga.

Sellest järeldub, et tehted  ja  annavad bijektiivse, järjestust pöörava vastavuse algebraliste hulkade hulgas  ja radikaalsete ideaalide vahel ringis .

Kategooria:Matemaatika