Biot'-Savarti seadus

Biot'-Savarti seadus (ka kujul Biot’-Savart’i-Laplace’i seadus) on elektromagnetismi seadus, mis kirjeldab statsionaarse (püsiva) elektrivoolu tekitatud magnetvälja. Biot'-Savarti seadusel on magnetostaatikas niisama oluline koht, nagu seda on Coulombi seadusel elektrostaatikas. Seadus toetub Ampère'i seadusele, mis määrab magnetväljas asuvale vooluga juhtmele mõjuva jõu, ja Gaussi magnetväljaseadusele. 

Seadus on nimetatud Jean-Baptiste Biot' ja Félix Savarti järgi, kes avastasid selle elektri- ja magnetnähtuste vahelise seose 1820. aastal, kui nad uurisid magnetvälju, mida tekitab elektrivool erineva kujuga juhtmetes. 

Pierre-Simon Laplace analüüsis Biot' ja Savarti katseandmeid ning andis seadusele üldistatud kuju. Laplace näitas ka, et selle seaduse abil saab arvutada liikuva elektrilaengu magnetvälja.

Tänapäeval käsitletakse seda seadust enamasti järeldustena kahest Maxwelli magnetvälja võrrandist, et arvesse võtta ka välja ajalist muutumist. 

 Voolujuhi magnetväli 
Voolujuhi all mõeldakse elektrijuhti, mida läbib elektrivool. Voolujuhiks võib olla suvalise kujuga (sirge, kõver) juhe, ka juhtmekeerd või juhtmesilmus. 

pisi|200px|Näidatud on vektorite
 ja  suunad ning vektori pikkus 

Biot'-Savarti seadus määrab voolu  tekitatud magnetvälja (täpsemalt magnetiline induktsiooni ehk magnetvoo tiheduse)  kohas , mis on arvutatav kui voolu elementaarlõikude tekitatud magnetväljade vektorsumma. Matemaatiliselt on Biot'-Savarti seadus on väljendatav joonintegraalina üle vooluraja C: 

kus  märgib vektorkorrutamist (vektorid on paksus kirjas)
 on voolu diferentsiaalne pikkusvektor, mille suund ühtib positiivse elektrilaengu liikumise suunaga; 
 on vektor elemendist  kuni punktini , kus arvutatakse magnetvälja;
 on magnetiline konstant.

Selle võrrandi saab esitada ka kujul

kus  on vektori  suunaline ühikvektor ja  on vektori  pikkus.

pisi|200px|Pika sirge juhtme magnetväli

 Pika sirge voolujuhi magnetväli  
Lõpmatult pika sirge voolujuhi iga punkti ümber kujuneb juhtme risttasandis magnetväli 

kus
 on ristsuunaline kaugus -teljest;
 on ühikvektor silinderkoordinaatide (ruumiliste polaarkoordinaatide) nurga  suunas.

Seega paiknevad magnetinduktsiooni ühesugused väärtused voolujuhti kontsentriliselt ümbritsevatel silindrilistel pindadel ja magnetinduktsioon vektorkujul 

Järelikult muutub magnetinduktsioon pöördvõrdeliselt kaugusega  voolujuhist.

pisi|200px|Voolusilmuse magnetväli

 Voolusilmuse magnetväli 
Ringikujulise voolusilmuse (-kontuuri) ümber tekkiva välja magnetinduktsiooni vektori pikkuse saab määrata kontuuri sümmeetriatelje (z-telje) risttasandil võrrandiga

kus
  on xy-tasandil asetseva kontuuri raadius; 
 on välja määramise punkti P kaugus xy-tasandist.

Kui punkti P kaugus voolukontuurist on palju suurem selle raadiusest, nõrgeneb väli z-teljel ligikaudu võrdeliselt kauguse kolmanda astmega.

Mitmekeerulise voolujuhi magnetväli 
Kui on tegemist mitmekeerulise voolujuhiga (pooliga), siis saab magnetvälja arvutada superpositsiooni põhimõttel:

 Magnetväli jämedas voolujuhis 
Eeltoodud valemid sobivad, kui voolujuht on väga peenike .(ristlõige läheneb nullile). Kui elektrijuht on teatud jämedusega, siis pideva voolujaotuse korral kombineeritakse voolutiheduse joonintegraal piki juhti pindintegraaliga ja integreeritakse üle kogu juhtme ruumala V:

või väljendatuna ühikvektori  kaudu:

kus  on ruumiosa ja  on voolutiheduse vektor selles ruumiosas (SI-süsteemis on ühikuks A/m2).

 Konstantsel kiirusel liikuva punktlaengu elektri- ja magnetväli 
Kui punktlaenguga q osake liigub konstantse kiirusega v, väljendavad elektrivälja ja magnetvälja Maxwelli võrrandid:

 või 

kus  on ühikvektor, mis on osakese algsest asendist suunatud punkti, kus välja määratakse, ning θ on nurk  ja  vahel.

Kui v2 ≪ c2, siis saab elektrivälja ja magnetvälja avaldada lihtsustud kujul:

Neid võrrandeid nimetatakse Biot'-Savarti seaduseks punktlaengu jaoks, mis tuleneb nende sarnasusest eelnevalt esitatud Biot'-Savarti võrranditega. Need võrrandid tuletas esimesena Oliver Heaviside 1888. aastal.

Biot'-Savarti seadus, Ampère'i seadus ja Gaussi seadus magnetvälja kohta

Magnetostaatikas magnetinduktsioon , mis on leitud Biot'-Savarti seaduse abil, rahuldab alati Gaussi seadust magnetvälja kohta ja Ampère'i seadust..

{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"
!Tõestus 
|-
|Kui Biot'-Savarti seaduse võrrandis

teha asendus

ja kasutada rootorite vektorkorrutist ning teadmist, et J ei sõltu -ist, saab võrrandi kirjutada kujul

Kuna rootori divergents on alati null, siis see sätestab Gaussi seaduse magnetväljade kohta. Korrutades mõlemad pooled rootoriga, siis on tulemuseks

Viimaks, viies sisse seosed

(δ on Dirac'i deltafunktsioon), kasutades asjaolu, et  divergents on null (eeldusel, et tegemist on magnetostaatikaga) ja teostades ositi integreerimise, siis tulemuseks on

See on Ampère'i seadus. (Kuna eeldati, et tegemist on magnetostaatikaga, siis .)
|}

Mittemagnetostaatilises olukorras Biot'-Savarti seadus enam ei kehti, aga Gaussi seadus magnetvälja kohta ja Ampère'i seadus kehtivad.

Kui magnetostaatika tingimused ei kehti, siis tuleks Biot'-Savarti seadus asendada Jefimenko võrranditega. Koos pidevusvõrrandiga (ingl continuity equation) on Jefimenko võrrandid ekvivalentsed Maxwelli võrranditega.

Rakendused aerodünaamikas
Biot'-Savarti seadus leiab kasutust ka aerodünaamikas, et leida kiirust, mida põhjustavad õhupöörised.
Aerodünaamika rakendustes on pööriselise välja ja voolu rollid vahetatud, võrreldes elektromagnetilise rakendusega.

Maxwelli järgi on magnetvälja tugevus H otseselt võrdsustatud pööriselisusega.

Vaata ka
 Elektromagnetism
 Ampère'i seadus
 Coulombi seadus
 Maxwelli võrrandid

Viited

 Välislingid 
  Biot–Savart–Laplace law

Kategooria:Elektromagnetism