Ühisteguriteta arvud

Ühisteguriteta arvud on täisarvud  ja , mille ainus ühistegur on arv 1. Sellest järeldub, et ükskõik milline algarv, mis jagub esimene täisarvu, ei jaga teise täisarvu.

Täisarvud  ja  on ühisteguriteta arvud kui nende suurim ühistegur (GCD) on .

Lugeja ja nimetaja taandatud murruosas on ühisteguriteta arvud. Näiteks  on ühisteguriteta arvud, sest mõlemad arvud jaguvad -ga.  ei ole ühisteguriteta arvud, sest neid saab jagada -ga.  on ühisteguriteta arvud, sest ei leidu ühistegurit, mis ei ole 1 ja mis jagab kõik kolm numbrit.

Ühisteguriteta arvude  ja  standardne esitus on  ja  . GCD leidmiseks saab kasutada Eukleidese algoritmi.

Kui  ja  on ühisteguriteta arvud ja , siis nende notatisoon on .

 Ühisteguriteta arvud hulkadel 
Hulk , kus on täisarvud, saab olla ühisteguriteta hulk või kindlalt ühisteguriteta, kui hulga elementide suurim ühistegur on 1. Näiteks hulk, mille elemendid on  on ühisteguriteta arvud, sest ei leidu ühistegurit, mis ei ole  ja mis jagab kõik numbrid ja sellest järeldub, et hulk on kindlalt ühisteguriteta.

Kui täisarvude hulgas on kaks suvalist täisarvu ühisteguriteta arvud, siis need arvud on paarikaupa ühisteguriteta arvud ja hulk on paarikaupa ühisteguriteta hulk. Hulgas  leidub kaks arvu, kus iga arv on ühisteguriteta arv , aga kõik hulga elemendid pole paarikaupa ühisteguriteta arvud, sest  ei ole ühisteguriteta arv. Iga paarikaupa ühisteguriteta hulk, mis on lõplik, on kindlalt ühisteguriteta hulk, aga kindlalt ühisteguriteta hulk ei ole paarikaupa ühisteguriteta hulk.

Lõpmatu hulga elemendid on ühisteguriteta arvud, kui kõik hulga elemendid on .

Paarikaupa ühisteguriteta arvud saavad olla lõpmatu hulgas. Märkimisväärsed näited on hulk Sylvester'i jadas, kus kõik elemendid on Fermat' arvud ja hulk, kus kõik elemendid on Mersenne'i arvud.

 Omadused 
Kui  ja  on ühisteguriteta arvud, siis järgmised tingimused on samaväärsed:
 Ei leidu algarvu, mis jagub  ja .
 Leiduvad täisarvud  ja  nii, et  (Bézout'i identiteet).
 Arvude  ja  vähim ühiskordne on . 
 Kui  on  jagaja ning  ja  on ühisteguriteta arvud, siis  on  jagaja.
Esimesest punktist järeldub, et ja  on ühisteguriteta arvud.
pisi|Pilt 1. 4 ja 9 on ühisteguriteta arvud. Seetõttu diagonaal ei sisalda tippe täisarvu koordinaatidega
Täisarvud  ja  on ühisteguriteta arvud siis ja ainult siis, kui diagonaal punktist  punkti  Descarter’i koordinaatsüsteemis ei sisalda tippe täisarvu koordinaatidega (vt Pilt 1).

Kaks naturaalarvu  ja  on ühisteguriteta arvud siis ja ainult siis, kui numbrid  ja  on ühisteguriteta arvud.

 Ühisteguriteta arvu tõenäosus 
Oletame, et on täisarvud  ja , ja tahame leida tõenäosus, et mõlemad arvud on ühistegurite arvud.

Oletame, et  on tõenäosus sellest, et kaks juhuslikult valitud täisarvud on ühisteguriteta arvud. Oletame, et oli võetud juhuslikult valitud täisarv . Tõenäosus sellest, et  jagub  on  . Tõenäosus sellest, et  jagub  on sama. Sellest järeldub, et tõenäosus sellest, et  jagub  ja  on . Tõenäosus sellest, et  on , aga  ja  on samaväärsed. Kui oletada, et on sündmuste sõltumatus, siis tõenäosus, et  on . Sest sündmused  on üksteist välistavad ja tõenäosus sellest, et on  on  järeldub järgmisele:

, mis tähendab, et .

 Vastastikuste algarvude paaride genereerimine 
Kõik positiivsete vastastikuste algarvude paarid , kus , saab organiseerida kahe tähelised puudega, kus puul iga tipu lehtede arv on väiksem kui . Üks puu algus on punktis  (kõik paaris-paaritu ja paaritu-paaris paarid) ja teise puu alguspunkt on (kõik paaritu-paaritu paarid). Iga veeru  lehed genereeritakse nii:
 Serv 1: 
 Serv 2: 
 Serv 3: 

 Viited 

Kategooria:Matemaatika