Injektiivne funktsioon

Injektiivne funktsioon ehk injektiivne kujutus ehk injektsioon ehk üksühene kujutus on funktsioon , mille korral sihthulga  iga elemendi  puhul on olemas ülimalt üks (võib-olla mitte ühtegi) lähtehulga  element , millele funktsioon teda vastavusse seab (), ehk teiste sõnadega, mille korral lähtehulga kahele eri elemendile ei seata kunagi vastavusse sihthulga üht ja sedasama elementi. Injektiivne funktsioon on injektiivse seose erijuht.

Injektiivse funktsiooni sihthulgal ei saa olla väiksem võimsus kui lähtehulgal, sest muidu ei jätkuks sihthulgas kõigi lähtehulga elementide jaoks elemente.

Injektiivse funktsiooni kujutis  võib olla sihthulga  pärisalamhulk. Teiste sõnadega, võib olla elemente , mis ei ole kujutised , (nii on ka joonisel). Selle poolest erineb injektiivne funktsioon bijektiivsest funktsioonist, mille puhul peale injektiivsuse nõutakse veel, et sihthulga iga element on kujutis .

Funktsiooni  injektiivsust tähistatakse mõnikord märgiga , mis on koostatud märkidest  ja . See meenutab hulga  sisestamist ülemhulka  funktsiooni  abil, mis kujutab hulga   iga elemendi temaks endaks:   .

Formaalsed definitsioonid
Olgu  ja  hulgad ning  funktsioon hulgast  hulka .
Järgmised definitsioonid on samaväärsed:

 Funktsiooni  nimetatakse injektiivseks, kui iga -i korral hulgast  eksisteerib ülimalt üks  hulgast , nii et . ("Ülimalt üks" tähendab 'mitte ühtegi või täpselt üks, kuid mitte rohkem.)Formaalselt:  

 Funktsiooni  nimetatakse injektiivseks, kui funktsiooni väärtuste (muutuja  väärtuste) võrdusest järeldub funktsiooni argumendi  väärtuste võrdus.Formaalselt: 

 Funktsiooni  nimetatakse injektiivseks, kui argumendi  erinevad väärtused kujutatakse alati erinevateks funktsiooni väärtusteks.Formaalselt: 
Kui injektiivsuse tõestamiseks kasutatakse kolmandat tõestust, viib see sageli vastuväitelise tõestuseni. Otsene tõestus teise definitsiooni abil võib olla elegantsem ja lühem. 

 Näiteid ja mittenäiteid 
pisi|Mitteinjektiivne funktsioon
 Iga funktsioon  kaheelemendilisest hulgast üheelemendilisse hulka on mitteinjektiivne. 
 Mittematemaatiline näide. Funktsioon, mis seab igale Eesti isikukoodiga inimesele vastavusse tema isikukoodi, on injektiivne, kusjuures sihthulgaks võetakse kõigi isikukoodiks kõlblike arvude hulk. (Eeldame, et ühtki isikukoodi ei rakendata mitu korda.)
 Olgu  naturaalarvude hulk ja  täisarvude hulk.
Funktsioon  on injektiivne.
Funktsioon  on injektiivne.
Funktsioon  on injektiivne.
Funktsioon  ei ole injektiivne, sest näiteks  .

 Omadused 
Injektiivsus sõltub ainult graafikust
Funktsiooni  injektiivsus sõltub ainult graafikust  (erinevalt sürjektiivsusest, mis sõltub ka sihthulgast , mille üle graafiku järgi ei saa otsustada).

Injektiivsuse tunnused
Funktsioon  on injektiivne parajasti siis, kui kõikide alamhulkade  korral .

Funktsioon  on injektiivne parajasti siis, kui kõikide  korral .

Kategooriateooriaga seotud omadused
Kui funktsioonid  ja  on injektiivsed, siis ka nende funktsioonide kompositsioon  on injektiivne.

Kui  on injektiivne, siis  on injektiivne.

Funktsioon , mille lähtehulk   on mittetühi, on injektiivne parajasti siis, kui funktsioonil  on vasakpoolne pöördelement, st funktsioon  mille korral , kus  on samasuskujutus hulgal . Hulkade kategoorias Set tähendab see tingimus, et injektsioonid on selle kategooria vasakult pööratavad morfismid ehk koretraktsioonid. 

Kategooria:Matemaatika
Kategooria:Hulgateooria