Lõplikult tekitatud Abeli rühm

Lõplikult tekitatud Abeli rühm on Abeli rühm  , mis on lõplikult tekitatud rühm. 

Lõplkult tekitatud Abeli rühmade fundamentaalteoreem annab nende rühmade täieliku klassifikatsiooni.

 Näiteid ja vastunäiteid
 Kõik lõplikud rühmad on lõplikult tekitatud. Sellepärast on ka lõplikud Abeli rühmad lõplikult tekitatud. 
 Täisarvude rühm  on lõplikult tekitatud lõpmatu Abeli rühm. Selle tekitaja on 1. 
 Lõpliku arvu lõplikult tekitatud rühmade otsesumma on lõplikult tekitatud Abeli rühm. 
 Ratsionaalarvude rühm  ei ole lõplikult tekitatud. Tõepoolest, oletame, et ratsionaalarvud  on rühma tekitajad. Sel juhul saab valida naturaalarvu , mis on kõigi arvude  nimetajatega ühistegurita. Siis ei saa arvu  esitada  arvude  täisarvulise lineaarkombinatsioonina.

Klassifikatsioon
Lõplikult tekitatud Abeli rühma iga alamrühm ja iga faktorrühm on lõplikult tekitatud Abeli rühm. Lõplikult moodustatud Abeli rühmad koos rühmade homomorfismidega moodustavad Abeli kategooria.

Lõpliku astakuga Abeli rühm ei pruugi olla lõplikult tekitatud. Näiteks ratsionaalarvude rühma 
 astak on 1, kuid see rühm ei ole lõplikult tekitatud. Teine näide on jäägiklassirühma  lõpmata paljude eksemplaride otsesumma, mille astak on 0, mis aga ei ole lõplikult tekitatud. 

Lõplikult tekitatud Abeli rühmade fundamentaalteoreem ütleb, et iga lõplikult tekitatud Abeli rühm  on isomorfne otsesummaga tsüklilistest rühmadest, mille järk on algarvu aste, ja lõpmatutest tsüklilistest rühmadest.

Kategooria:Üldalgebra