Pseudorühmoid

Pseudorühmoid ehk osaline rühmoid (ka pseudogrupoid, osaline grupoid, pseudomagma, osaline magma, poolrühmoid, poolgrupoid) on osaline algebra , mis koosneb hulgast  ja sellel defineeritud osalisest binaarsest algebralisest tehtest (osalisest kujutusest ).

See on rühmoidi mõiste üldistus; erinevus on ainult selles, et rühmoidi puhul ei tohi tehe olla osaline, pseudorühmoidi puhul aga tohib. 

Nagu ka rühmoidi puhul, peab osaline tehe olema kinnine, st kõik tulemid  (kujutised) peavad olema hulga  elemendid. Midagi muud ei nõuta. 

 Alampseudorühmoid 

Analoogselt rühmoidi alamrühmoidiga ja rühma alamrühmaga saab defineerida pseudorühmoidi alampseudorühmoidi, ent siin tuleb eraldi vaadelda tehte määramispiirkonda.

Olgu  pseudorühmoid. Pseudorühmoidi  nimetatakse pseudorühmoidi  alampseudorühmoidiks, kui  ja , st tehe  on tehte  ahend tehte  määramispiirkonnale .

Teiste sõnadega, pseudorühmoid  on pseudorühmoidi  alampseudorühmoid, kui  ja

ja
 kõikide  korral.

Rühmoidil  võib olla alampseudorühmoid, mis ei ole alamrühmoid, nimelt juhul, kui 

.

 Näide 

Olgu  ja  pseudorühmoidid, kus ,  ing tehete  ja   Cayley tabelid on

abca a  b  -b c  b  ac c  a  -aba a  bb -  b

Siis pseudorühmoid  on pseudorühmoidi  alampseudorühmoid.

Märkused:
 Tehte  tulem võiks olla suvaline (see võiks ka olla ,  või defineerimata), sest .
 Kui oleks nii, et , siis pseudorühmoid  ei oleks pseudorühmoidi  alampseudorühmoid, sest , nii et ei kehtiks  .

 Kinnised alampseudorühmoidid ning pseudorühmoidide laiendid, täielikud laiendid ja lahtised laiendid
Olgu  pseudorühmoid ja  selle alampseudorühmoid.

 Alampseudorühmoidi  nimetatakse kinniseks pseudorühmoidis Richard Hubert Bruck. A survey of binary systems. –  P. J. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, kd  20 3. trükk, Springer Verlag: Berlin / Heidelberg / New York 1971,  ISBN 978-3-662-42837-5.), kui juhul kui  ja  ja , siis  ja . Näide:

abca a  b  -b b  -  ac c  a  -aba a  bb b  -

 Pseudorühmoidi  nimetatakse oma alampseudorühmoidi  laiendiks), kui juhul kui  ja , siis , ja juhul kui , siis  . Näide:

abca a  -  -b b  c  -c -  -  -aba a  -b b  -

 Pseudorühmoidi  laiendit   nimetatakse selle täielikuks laiendiks), kui . Näide:
abca a  b  -b b  c  -c -  -  -aba a  -b b  -

 Pseudorühmoidi  laiendit  nimetatakse selle lahtiseks laiendiks), kui juhul kui ,  ja ,  siis  ja , ning kui  ja , siis . Näide:

abcda a  -  -  -b d  c  -  -c -  -  -  -d -  -  -  -aba a  -b -  -

Märkused:
 Iga pseudorühmoid on iseenda kinnine alampseudorühmoid.
 Iga pseudorühmoid on iseenda lahtine laiend. 
 Iga pseudorühmoid, mis on iseenda täielik laiend, on rühmoid.
 Pseudorühmoidil, mis ei ole rühmoid, saab olla lahtine laiend, saab olla täielik laiend ning saab olla lahtine ja täielik laiend. Lahtise ja täieliku laiendi näide:

abcdea a  e  -  -   -b d  c  -  -  -c -  -  -  -  -d -  -  -  -  -e -  -  -  -  -aba a  -b -  -

 Arvutamisseadused 

Analoogselt rühmoidiga võib pseudorühmoid olla assotsiatsiivne või kommutatiivne, kuid siin tuleb täpsustada määramispiirkonnasse puutuvat. Assotsiatiivsuse ja kommutatiivsuse definitsioonid on niisugused: 

 Pseudorühmoid  on assotsiatiivne (ja seda nimetatakse siis ka osaliseks poolrühmaksR. H. Shelp. A Partial Semigroup Approach to Partially Ordered Sets. – Proc. London Math. Soc.,  1972, kd s3-24, nr 1, lk 46–58., kui kõikide  korral juhul kui  ja , siis 
  parajasti siis, kui 
 ja , kui  (ning punkti 1. tõttu ka )
 Pseudorühmoid  on kommutatiivne', kui kõikide  korral
  parajasti siis, kui 
 ja , kui  (ning punkti  1. tõttu ka )

Näited
Kõik rühmoidid on pseudorühmoidid.
Kui võtta naturaalarvude hulgal tehteks lahutamine või jagamine ning defineerida see ainult nende naturaalarvude järjestatud paaride jaoks, mille korral vahe või vastavalt jagatis on naturaalarv, saame mitteassotsiatiivse mittekommutatiivse pseudorühmoidi. 
 Väikese kategooria morfismide klass on hulk, mis koos morfismide korrutamisega moodustab assotsiatiivse pseudorühmoidi. Enamasti saab pseudorühmoidi moodustada ka morfismide klassil.
 Mis tahes kujutuste hulk S koos kujutuste korrutamisega   moodustab assotsiatiivse pseudorühmoidi 

 Formaalne keel koos konkatenatsiooniga moodustab assotsiatiivse pseudorühmoidi. Tähestiku Kleene kate on poolrühm (isegi monoid), sest konkatenatsioon on sellel kinnine tehe. Formaalne keel on aga selle suvaline alamhulk, millel konkatenatsioon üldjuhul ei ole kinnine.

Kirjandus
Yoshifumi Inui, François Le Gall. Quantum Property Testing of Group Solvability'', lk 2.

Välislingid

Kategooria:Algebra