Poolrühm

Poolrühm (inglise keeles semigroup) on rühmoid, mille tehe on assotsiatiivne. 

Poolrühmi uurib algebra haru, mida kutsutakse poolrühmateooriaks.

 Definitsioon 
Poolrühmaks nimetatakse hulka S koos kahekohalise algebralise tehtega  (igale hulga S elementide järjestatud paarile (x,y) seatakse vastavusse mingi element hulgast S, mida tähistatakse x*y), mis on assotsiatiivne, st kõikide hulga S elementide x, y, z korral kehtib võrdus 

Näiteks naturaalarvude hulk  on poolrühm nii hariliku korrutamistehte kui ka hariliku liitmistehte suhtes. Ka täisarvude hulk  on poolrühm liitmise ja korrutamise suhtes, kuid mitte lahutamistehte suhtes (sest näiteks ).

 Tehe 
Poolrühmal defineeritud tehe on kahekohaline algebraline tehe. Poolrühma elementide  ja  korral tähistatakse nendele elementidele tehte rakendamisel saadavat elementi tihti ka järgmiselt:

 (või lihtsalt ).

Seda võib mõista ka kui poolrühma operaatori rakendamist järjestatud paarile .

Kui poolrühma tähistamisel ei ole spetsiaalselt välja toodud tehet, siis võib tavaliselt eeldada, et tehteks on korrutamine. Muul juhul võib tehteks olla ka näiteks liitmine, maksimumi võtmine, suurima ühisteguri leidmine, vähima ühiskordse leidmine vms. Sellisel juhul võib kirjutada ka vastavalt , ,  vms.

 Assotsiatiivsus 

Assotsiatiivsuse samasuse abil saab tõestada, et tehte tulemus poolrühmas ei sõltu sulgude paigutusest. Näiteks elemendid  ja  on võrdsed. Selle omaduse tõttu jäetakse poolrühma elementidega arvutades sulud tihti üldse kirjutamata. 

Assotsiatiivsus kehtib ka iga poolrühma alampoolrühmade korral. Olgu nendeks alampoolrühmadeks  ja . Siis

.

 Korrutamine 
Olgu  poolrühm korrutamise suhtes. Siis defineeritakse mistahes elemendi  astmed järgmiselt:

.

 Liitmine 
Olgu  poolrühm liitmise suhtes. Siis defineeritakse mistahes elemendi  kordsed järgmiselt:

.

 Elemendid 
Poolrühma  elementi  nimetatakse idempotendiks, kui  (ehk ).

Poolrühma  elementi  nimetatakse nullelemendiks, kui  iga  korral. Poolrühmas saab olla ainult üks nullelement ja harilikult tähistatakse seda sümboliga .

 Eri tüüpi poolrühmi 

 Kommutatiivne poolrühm 
Kui poolrühma suvaliste elementide  ja  korral kehtib võrdus , siis nimetatakse seda poolrühma kommutatiivseks poolrühmaks.

 Vaba poolrühm 
Poolrühma  elementidest koosnevatest lõplikest jadadest koosnevat struktuuri nimetatakse vabaks poolrühmaks (tähistus ), kui jadadel tehet teostades ei muutu ükski jada(de)sse kuuluv element ega nende järjekord.

Näide 1.

Jadade  ning elementide  korral:

.

Näide 2.

Olgu . Siis .

Seega või liitmistehte korral: .

 Seos teiste struktuuridega 
Poolrühm on üks algebralistest struktuuridest. Poolrühmas on tehete arv sama kui näiteks rühmoidis, monoidis, rühmas ja Abeli rühmas.

Kõrvaldades poolrühmalt assotsiatiivsuse nõude, tekib rühmoid.

Lisades aga ühikelemendi nõude, tekib monoid. Selleks piisab ühe elemendi, täpsemini ühikelemendi, poolrühma elementidele juurde lisamisest.

 Näited 
Poolrühm on:
 naturaalarvude hulk korrutamise suhtes,
 naturaalarvude hulk liitmise suhtes,
 naturaalarvude hulk suurima ühisteguri võtmise suhtes,
 naturaalarvude hulk vähima ühiskordse leidmise suhtes,
 täisarvude hulk korrutamise suhtes,
 täisarvude hulk liitmise suhtes,
 ratsionaalarvude hulk korrutamise suhtes,
 ratsionaalarvude hulk liitmise suhtes,
 reaalarvude hulk korrutamise suhtes,
 reaalarvude hulk liitmise suhtes,
 vektorruum vektorite tavalise liitmise suhtes,
 hulga X kõigi teisenduste hulk T(X) teisenduste järjestrakendamise suhtes, 
 n-ndat järku reaalarvuliste elementidega ruutmaatriksite hulk maatriksite korrutamise suhtes,  
 vasakpoolse korrutamisega rühmoid (ehk vasakpoolne tegur on alati korrutiseks, st  iga x ja y korral).
Poolrühm ei ole:
 naturaalarvude hulk astendamise suhtes,
 täisarvude hulk lahutamise suhtes,
 kolmemõõtmelise ruumi vabavektorite vektorruum vektorkorrutamise suhtes.

 Viited 

Kategooria:Matemaatika
Kategooria:Algebra