Baas (topoloogia)

Baas ehk topoloogia baas ehk lahtine baas ehk topoloogilise ruumi baas on topoloogilise ruumi  lahtiste alamhulkade niisugune pere, et iga lahtine hulk topoloogilises ruumis  on baasi elementide ühend. 

Baasi mõiste on üks topoloogia põhimõisteid. Paljudes küsimustes, mis puutuvad mingi ruumi lahtistesse hulkadesse, on piisab piirduda selle ruumi baasi elementide vaatlemisega. 

Sageli esitatakse topoloogia baas selleks, et topoloogiat defineerida. Näiteks meetrilisel ruumil defineeritakse topoloogia baasi kaudu, mille moodustavad kõik lahtised kerad.

 Omadused 
Topoloogilisel ruumil võib olla palju baase. Suurim neist on kõigi lahtiste hulkade hulk. Teispidiselt ei vasta ühele baasile mitu topoloogiat ehk igale baasile vastab unikaalne topoloogia. Viimane omadus võimaldab topoloogiaid defineerida baasi määratlemise kaudu.

Baaside kaks olulist omadust on:

 Baas  katab hulga .
 Olgu ,  baasi elemendid ja  nende ühisosa, siis iga punkti   jaoks leidub baasi element , mis kuulub ühisossa  ja mis sisaldab punkti .

Ükski  alamhulkade kogum, mis ei rahulda üht ülaltoodud tingimiustest ei saa olla ühegi  topoloogia baas. Teistpidiselt, kui mõni  alamhulkade kogum  rahuldab ülaltoodud tingimusi, siis leidub üheselt määratud topoloogia hulgal , mille baasiks on . Sellise baasi määratlemine on väga tavapärane viis topoloogiate defineerimiseks. Märkigem veel, et piisav ((kuid mitte tarvilik) on nõuda, et  oleks suletud ühisosade võtmise suhtes. Sel juhul saab teine ülaltoodud tingimustest alati täidetud, sest võib vaida .

 Näited 
 Kui  ja  on topoloogilised ruumid topoloogiate baasidega  ja , siis topoloogia ruumide korrutisel   antakse baasi 
  abil.Seejuures ei sõltu topoloogia ruumil  sellest, milliseid ruumide X ja Y baase kasutatakse topoloogia defineerimiseks. Niisugust topoloogiat nimetatakse topoloogiliste ruumide korrutise (standardseks) topoloogiaks.

 Reaalarvude ruumi  topoloogia defineeritakse kõigi vahemike  süsteemi abil, mis moodustab selle topoloogia baasi. Analoogselt defineeritakse ruumi  topoloogia lahtiste ristkülikute  baasi abil, ja see topoloogia langeb ilmselt kokku ruumide otsekorrutise  standardse topoloogiaga.

 Vaata ka 
 Eelbaas

Kategooria:Topoloogia