Graafi orbiit

Graafi orbiit on selle tippude ja/või tipupaaride ekvivalentsusklass, mis on seotud graafi sümmeetria probleemiga.

Graafi, millel on üks tipuorbiit nimetatakse tippudest transitiivseks või -sümmeetriliseks. Graafi, millel on üks servaorbiit nimetatakse servadest transitiivseks või -sümmeetriliseks. Täisgraafil, Peterseni graafil, Heawoodi graafil ja paljudel teistel on üks tipu- ja üks servaorbiit ning neid nimetatakse tugevalt sümmeetrilisteks. Need on erandid, reeglina on graafidel mitu orbiiti. Mida suuremad on orbiidid ja mida vähem neid on seda sümmeetrilisem on graaf. Tipuorbiitide maksimaalarv võrdub tippude arvuga, siis on tegemist nö 0-sümmeetriaga.

 Selgitus 
Orbiit on siin rühmateooria mõiste. Alamrühma  nimetatakse elemendi orbiidiks. Rühm  määrab hulgas  ekvivalentsusklassi  ehk orbiidi. Kui ekvivalentsusklasside arv on , siis , kus  on paariti mitteekvivalentsed.

 Graafi automorfismide rühm 
Graafi tippude ja tipupaaride jaotamine orbiitideks on oluline ülesanne. Graafide puhul on selle rühma AutG elementideks graafi automorfismid ja orbiitideks automorfismide transitiivsuspiirkonnad. Sisuliselt kujutab graafi automorfism endast graafi struktuuri säilitavat tippude (või tipupaaride) ümbernummerdamist.

 Orbiidi struktuurne käsitlus 
Tuleb rõhutada, et graaf on paljuaspektiline moodustis. Graafi struktuur ja selle orbiidid on esitatavad struktuurimudeli kujul. Graafi ühte orbiiti ehk ekvivalentsusklassi kuuluvad elemendid (st tipud ja/või tipupaarid) omavad ühesugust positsiooni graafi struktuuris. Täpsemalt: 1) tippude ühesugune positsioon avaldub tipu elimineerimisel saadud jääkgraafide (alamgraafide) isomorfismis; 2) naabertippude ühesugune positsioon avaldub nendevahelise serva elimineerimisel saadud jääkgraafide (alamgraafide) isomorfismis; 3) mittenaabertippude ühesugune positsioon avaldub nende vahele serva asetamisel saadud ülemgraafide isomorfismis. Graafi orbiitidel on oluline roll graafi struktuuri tuvastamisel ja graafide süsteemi moodustamisel.

Siin tuleb rõhutada asjaolu, et orbiidid on tuvastatavad erinevaid teid pidi: 1) rühmateoreetilisel teel; 2) tipupaaride süvaidentifitseerimise teel; 3) graafi esitava seosmaatriksi astendamise teel.

Orbiitide (positsioonide) põhiaktsioomid

1. Kui graafi  tipud   kuuluvad samasse positsiooni (orbiiti)  siis on alamgraafid      isomorfsed.

2. Kui graafi  servad   kuuluvad samasse positsiooni (orbiiti)  siis on alamgraafid      isomorfsed.

3. Kui graafi  mitteservad    kuuluvad samasse positsiooni (orbiiti)  siis on ülemgraafid      isomorfsed.

 Kirjandust 
 F. Harary. 1972. Graph Theory. Addison-Wesley,  ISBN 0201027879.
 J.-T. Tevet. 2010. Graafide varjatud külgi. S.E.R.R., ISBN 9789949213108.
 J.-T. Tevet. 2017. What is a graph and how to study it. S.E.R.R., ISBN 9879949817559.

 Vaata ka 
 Graafide identifitseerimine
 Graafi kanooniline esitus
 Graafi sümmeetria
 Graafi paljuaspektilisus
 Graafi struktuur
 Struktuurimudel
 Graafide süsteem
 Orbiitgraaf
 J. Teveti eestikeelne ülevaade (pdf)

Kategooria:Graafiteooria