Afiinne ruum

Afiinne ruum ehk lineaarne muutkond on ruum on matemaatiline ruum, mille punktide vahelised seosed on määratud igale punktide järjestatud paarile vastavusse seotud vektoriga (mingi vektorruumi elemendiga) nii, et tekivad samalaadsed seosed vektorite ja punktide vahel nagu tavalises geomeetrias. 

Tavaline ruum on vaadeldav afiinse ruumina, punktide järjestatud paarile seatakse vastavusse vektor (eukleidilise ruumi kui vektorruumi element), mis "viib" esimesest punktist teise.

Afiinses ruumis saab vektoreid liita ja lahutada, kuid ei saa liita ja lahutada punkte, sest ruumis ei ole ühtset koordinaatteljestikku ehk reeperit. 

Afiinsel ruumil on geomeetria süstemaatilises ülesehituses vahepealne seisund eukleidilise ruumi ja projektiivse ruumi vahel.

Kolmemõõtmeline afiinne ruum on, nagu eukleidiline ruumgi, meile tuttava kolmemõõtmelise ruumi matemaatiline mudel, kuid pikkuse, kauguse ja nurga mõiste jäetakse kõrvale.

Laiemas mõttes võib afiinsel ruumil olla mis tahes lõplik mõõde. Afiinne ruum võib olla ka punkt, afiinne sirge, afiinne tasand või siis nelja- või enamamõõtmeline ruum.  

Afiinne ruum lineaaralgebras 
Definitsioon
pisi|Kolmnurgareegel
Afiinne ruum üle korpuse  on hulk  (mille elemente nimetatakse punktideks ja käsitatakse geomeetriliselt punktidena) koos kujutusega hulgast  teatud kindlasse vektorruumi  üle korpuse  (see kujutus seab igale punktide järjestatud paarile (; ) vastavusse vektori (vektorruumi  elemendi)   ning nimetatakse vektoriks algusega punktis P ja lõpuga punktis Q või punktide P ja Q ühendusvektoriks), nii et 
  iga punkti  ja vektori  korral leidub parajasti üks punkt  nii, et 
  iga kolme punkti ,  ja  korral kehtib võrdus  (kolmnurgareegel, Chaslesi seos)
Rolf Brandl. Vorlesungen über Analytische Geometrie,  Verlag Rolf Brandl: Hof 1996, lk 10–12

Järjestatud kolmikut  nimetatakae afiinseks ruumiks. Kui on selge, milline vektorruum  ja milline noolekujutus on aluseks, räägitakse ka lihtsalt afiinsest ruumist .
Korpuseks  on sageli reaalarvude korpus .

 Lükked 
Afiinses ruumis on liitmine kui kujutus  defineeritud sellega, et  on just vektoriga  üheselt määratud punkt . Kindla  korral nimetatakse juurdekuuluvat kujutust  lükkeks ehk täpsemalt lükkeks vektori  võrra ja vektorit  nimetatakse siis juurdekuuluvaks lükkevektoriks.

Lükked on alati bijektsioonid. Need moodustavad koos  kompositsiooni kui rühmatehtega (vt permutatsioonide rühm) ruumi   automorfismide rühma  alamrühma , kusjuures  korral alati  ja Rolf Brandl. Vorlesungen über Analytische Geometrie, Verlag Rolf Brandl: Hof 1996, lk 14..

Et , siis kirjutatakse sageli ka  asemel . Siis  parajasti siis, kui .

 Afiinne alamruum 
Kui  on üks kindel punkt ruumis  ja  on vektorruumi   alamvektorruum, siis   afiinne alamruum ehk afiinne osaruum. Afiinse osaruumi  juurde kuuluv alamvektorruum  on osaruumiga  üheselt määratud.

Vektorruumiga  afiinse ruumi  üle korpuse  on defineeritud kui vektorruumi  üle   mõõde (Hameli mõõde). Sageli on mugav pidada ka tühihulka afiinseks (osa)ruumiks. Sellele osaruumile omistatakse mõõde –1.

 Afiinne punktiruum ja selle vastav vektorruum 

Kui valida afiinses ruumis   kindel alguspunkt , saadakse kujutuse abil, mis seab igale punktile  vastavusse lükke  punkti  kohavektori, eine üksühene kujutus afiinse ruumi ja tema lükete vektorruumi (rihiruumi ehk sihiruumi) vahel. Seejuures tuleb tähelepanna, et see punktide ja kohavektorite vaheline vastavus sõltub alguspunkti valikust. 

Ümberpöördult saab iga vektorruumi  vaadelda afiinse punktiruumina: , kus , on kujujutus, mis seab punktide järjestatud paarile vastavusse nende ühendusvektori. Sellega eraldatakse üks afiinse ruumi punkt ette välja, nimelt vektorruumi nullvektor.

Esimesel juhtumil saab pärast punkti samastamist tema kohavektoriga (sõltuvalt alguspunkti valikust, teisel juhtumil juba ette käsitada liitmist vektorruumis s nii, et rühm  toimib lükete rühmana iseendale kui punktihulgale. 

Sellepärast loobutakse mõnikord rangest eristusest afiinse punktiruumi ja lükkevektorite vektorruumi vahel.

Näiteid
 -mõõtmeline eukleidiline ruum  on afiinne ruum, mille rihiruum on -mõõtmeline skalaarkorrutisruum üle reaalarvude korpuse.
 Iga vektorruumi saab käsitada afiinse ruumiga. Nii on ka vektorruumi afiinne alamruum afiinne ruum.
 Mittehomogeense lineaarvõrrandisüsteemi lahend moodustavad afiinse ruumi, mille rihiruum on vastava homogeense lineaarvõrrandisüsteemi lahendite vektorruum. See kehtib analoogselt ka lineaarsete diferentsiaalvõrrandite lahendisüsteemide kohta.

Vaata ka
 afiinne geomeetria

Viited

Välislingid
Mõnda afiinsest geomeetriast
Mati Väljas. Analüütiline geomeetria: Afiinne ruum ja eukleidiline punktiruum, 2012

Kategooria:Lineaaralgebra