Normaalne maatriks

Lineaaralgebras nimetatakse kompleksarvuliste elementidega ruutmaatriksit A normaalseks, kui see kommuteerub oma kaasmaatriksiga:



 Omadused 

Iga maatriks on unitaarse maatriksi abil diagonaliseeritav parajasti siis, kui see on normaalne. See tähendab, et maatriks A on normaalne parajasti siis, kui see on esitatav diagonaalse maatriksi Λ ja unitaarse maatriksi U kaudu nii, et

kus

Tuleb rõhutada, et kuigi iga normaalne maatriks on diagonaliseeritav, pole iga diagonaliseeritav maatriks normaalne.

Maatriksi normaalsusega samaväärsetest tingimustest saab koostada üsna pika nimekirja. Olgu A n×n maatriks. Järgmised väited on samaväärsed:
 A on normaalne.
 A on diagonaliseeritav unitaarse maatriksi abil.
 Iga vektor n-mõõtmelises vektorruumis (üle kompleksarvude) on esitatav maatriksi A ortogonaalsete omavektorite lineaarkombinatsioonina.
  iga vektori x korral.
  (See tähendab, et maatriksi A Frobeniuse norm on arvutatav A omaväärtuste abil.)
 Maatriksi A Hermiitiline osa  ja antihermiitiline osa  kommuteeruvad.
  on esitatav n-1 järku polünoomina maatriksist .Tõestus: Kui A on normaalne, siis kasuta Lagrange'i interpoleerimisvalemit et konstrueerida polünoom P nii, et , kus  on A omaväärtused.
 , kus U on unitaarne maatriks.Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press
 U ja P kommuteeruvad, kus A = UP on maatriksi A polaarne dekompositsioon (U on unitaarne ja P mittenegatiivne maatriks).
 A kommuteerub mõne normaalse maatriksiga N, millel pole korduvaid omaväärtuseid.

 Erijuhud 

Järgnevad kompleksarvulisete elementidega maatriksid on normaalsete maatriksite erijuhud: hermiitlised maatriksid, antihermiitilised maatriksid jaunitaarsed maatriksid.

Järgnevad reaalarvuliste elementidega maatriksid on normaalsete maatriksite erijuhud: sümmeetrilised maatriksid, kaldsümmeetrilised maatriksid ja ortogonaalsed maatriksid

 Vaata ka 
 Normaalne operaator

 Viited 

Kategooria:Lineaaralgebra
Kategooria:Maatriksid

he:העתקה נורמלית
ja:正規作用素
pt:Operador normal