Kahe muutuja funktsioon

Funktsioon ƒ on kahe muutuja funktsioon, kui eksisteerivad hulgad ,  ja  nii, et

kus  ×  on  ja  otsekorrutis.

Näiteks, kui  on täisarvude hulk ja  on naturaalarvude hulk (v.a. null), siis  on ratsionaalarvude hulk nii, et

ehk igale ratsionaalarvule vastab jagatis . Iga arvupaar m ja n on kahe muutuja funktsioon hulga  suhtes.

 Kahe reaalmuutuja funktsioon 
Hulgal  on määratud kahe reaalmuutuja funktsioon z = ƒ(x,y), kui igale arvupaarile (x; y) ehk punktile P(x; y) hulgast  on mingi eeskirja abil seatud vastavusse täpselt üks reaalarv ning seda märgitakse nii: 

kus 
 x, y on sõltumatud muutujad ehk argumendid;
 z on funktsiooni ƒ väärtus ehk sõltuv muutuja;
  on funktsiooni ƒ määramispiirkond.
Funktsiooni ƒ muutumispiirkond on 

 Kahe reaalmuutuja funktsiooni määramispiirkond 
Kahe muutuja funktsiooni määramispiirkonda kujutab teatud punktide hulk tasandil. Lihtsamatel juhtudel koosneb kahe muutuja funktsiooni määramispiirkond joontega piiratud tasapinna osadest; piirkonda piiravat joont nimetatakse piirkonna rajajooneks. Piirkonna punkte, mis ei asetse rajajoonel, nimetatakse piirkonna sisepunktideks.

Ainult seesmistest punktidest koosnevat piirkonda nimetatakse lahtiseks piirkonnaks. Kui aga piirkonda kuuluvad ka kõik rajapunktid, siis nimetatakse piirkonda kinniseks. Piirkonda nimetatakse tõkestatuks, kui leidub selline konstant C, et piirkonna mistahes punkti P kaugus koordinaatide alguspunktist on väiksem kui C.

 Näide 
Kahe muutuja funktsiooni 

määramispiirkond on  ≥ 0 ehk  ≤ 1 .

Funktsiooni määramispiirkonda kujutab seega ühikulise raadiusega ringi punktide hulk xy-tasandil, kusjuures ringi keskpunkt on (0;0) ehk koordinaattelgede alguspunktis, ehk iga punkt  nii, et  ≤ 1 .

Funktsiooni 

määramispiirkond on  > 0 ehk  > . Funktsiooni määramispiirkonda kujutab seega punktide hulk xy-tasandil, mis jäävad sirgest  üles.

 Kahe reaalmuutuja funktsioonide tuletised 
Kahe muutuja funktsiooni  osamuut  järgi: 

Kahe muutuja funktsiooni  osamuut  järgi: 

Kahe muutuja funktsiooni  täismuut: 

Üldjuhul 

Funktsiooni  osatuletiseks  järgi nimetatakse vastava osamuudu  ja muudu  suhte piirväärtust  lähenemisel nullile:

Funktsiooni  osatuletis  järgi on seega

II järku osatuletis  järgi: 

II järku osatuletis  järgi: 

II järku segatuletised  ja  järgi: 

 Näide 
Koonuse ruumala V sõltub selle kõrgusest h ja raadiusest r :

Funktsiooni V osatuletis r järgi on

mis näitab koonuse ruumala muutumise kiirust kui selle raadius muutub ja kõrgus jääb muutumatuks. Osatuletis h järgi on

mis näitab koonuse ruumala muutumise kiirust kui selle kõrgus muutub ja raadius jääb muutumatuks.

 Teoreem segatuletistest 
Kui funktsioon  ja tema osatuletised  on punktis P (x; y) ning selle mingis ümbruses määratud ja pidevad, siis selles punktis

 Kahe reaalmuutuja funktsiooni ekstreemumid 
Kahe muutuja funktsioonil  on punktis  lokaalne maksimum, kui  kõigi punktile  küllalt lähedaste ja temast erinevate punktide  korral.

Kahe muutuja funktsioonil  on punktis  lokaalne miinimum, kui  kõigi punktile  küllalt lähedaste ja temast erinevate punktide  korral.
 Näide 
Funktsioonil  on miinimum punktis  kuna
 ning , kui x≠1 ja , kui y≠2 ja seetõttu  ≠  , siis .

 Ekstreemumi piisavad tingimused 
 on funktsiooni  teist järku tuletised punktis .

Olgu mingis punktis  funktsiooni  osatuletised kuni kolmanda järguni (k. a.) pidevad ja olgu punkt  funktsiooni  statsionaarne punkt, s.t.

Siis punktis  :
 on funktsioonil  lokaalne maksimum, kui  ja ;
 on funktsioonil  lokaalne miinimum, kui  ja ;
 ei ole funktsioonil  ei maksimumi ega miinimumi, kui ;
 küsimus jääb lahtiseks kui .
 Näide 
Funktsiooni  lokaalsete ekstreemumite leidmine.

Esimest järku osatuletised on 

Võrrandisüsteemi  lahendid on  

Seega on funktsiooni  statsionaarseks punktiks  

Teist järku tuletised selles punktis on 

Kuna  ja  siis on punkt  funktsiooni  miinimumpunkt.

Funktsiooni  lokaalseks miinimumiks on 

 Vaata ka 
 Mitme muutuja funktsioon
 Osatuletise võtmise operaator
 Kompleksmuutuja funktsioon

Matemaatiline analüüs