Schrödingeri võrrand

Schrödingeri võrrand on lineaarne osatuletisega diferentsiaalvõrrand, mis võimaldab arvutada kvantmehaanilise süsteemi osakese lainefunktsiooni. Enamasti kasutatakse seda elektronide lainefunktsiooni arvutamiseks aatomis või molekulis. Võrrandi autor on austria füüsik Erwin Schrödinger, kelle järgi on võrrand ka nimetatud. Seda peetakse kvantmehaanika üheks kõige kesksemaks ja olulisemaks avastuseks. Võrrand avalikustati 1926. aastal ning 1933. aastal sai Schrödinger selle eest Nobeli füüsikaauhinna. 

Schrödingeri võrrand leiab rohkem kasutust just mitterelativistlikus kvantmehaanikas. Asjaolu, st selles võrrandis on ajalised ja ruumilised vabadusastmed selgelt eristatud, muudab selle kasutamise relativistlikus kvantmehaanikas üldjuhul ebamugavaks.

pisi|Schrödingeri võrrand Varssavi ÜlikoolOchota linnakus uute  tehnoloogiate keskuse ees (ülal paremal)
Schrödingeri võrrand on üks kvantmehaanika põhivõrrandeid. See kirjeldab füüsikalise süsteemi kvantoleku muutumist mitterelativistlikus lähenduses osatuletistega diferentsiaalvõrrandi kujul. Võrrandi esitas 1926 Erwin Schrödinger mateerialainete leviku kohta. See seletas edukalt vesinikuaatomi spektrit, kvantmehaanilist harmoonilist ostsillaatorit ja molekuli pöörlemist.

Ainult ühe osakesega süsteemi esindab igal hetkel  lainefunktsioon  või üldisemal kujul olekuvektor  Hilberti ruumis. Ajast sõltuva Schrödingeri võrrandi puhul rakendatakse olekule  Hamiltoni operaatorit , ja tulemus näitab, kuidas olek ajaga muutub:
.
(Siin on  imaginaarühik,  taandatud Plancki konstant ja   osatuletis aja  järgi.)
Selle võrrandi järgi kujutab lainefunktsioon matemaatiliselt kompleksarvuliste väärtustega funktsiooni, mille väärtused kui niisugused ei vasta mingile mõõdetavale füüsikalisele suurusele, nii et tegu ei saa olla ka kolmemõõtmelises ruumis näitlikult kujutletava lainega. Ruumilise kujutlemise katse nurjub ka sellepärast, et mitmest osakesest koosneva süsteemi lainefunktsioon sõltub kõikide osakeste koordinaatidest, näiteks kahe osakese puhul kujul , mis on abstraktses 6-mõõtmelises ruumis defineeritud funktsioon. Siiski saab süsteemi kõigi mõõdetavate suuruste mõõteväärtusi lainefunktsiooni järgi arvutuslikult ennustada. 

Kui kvantsüsteemil on analoog klassikalises mehaanikas (näiteks osake jõuväljas), siis tuleneb Hamiltoni operaator vastavast klassikalisest  Hamiltoni funktsioonist esimese kvantiseerimise kindlate reeglite järgi.Oma Nobeli ettekandes (1933) kirjeldab Schrödinger näitlikult (ilma matemaatikata)Hamiltoni printsiibi toimimisviisi klassikalises mehaanikas ja kvantmehaanikas (lainemehaanikas). Paljudes rakendustes konstrueeritakse Hamiltoni operaatorid aga ka ilma klassikalise eeskujuta otse kvantmehaanikalistel kaalutlustel (näiteks Pauli võrrand).

Üldiselt muudab lainefunktsioon aja jooksul kuju.  Sellega saab kirjeldada füüsikalisi protsesse, nagu näiteks osakese levimist, hajumist ja interferentsi ning ebastabiilse süsteemi lagunemist, näiteks alfaradioaktivsuse korral. Mõnede lainefunktsioonide korral aga ei kutsu  Hamiltoni operaator esile kuju muutust, vaid ainult globaalse faasiteguri muutuse, nii et selle lainefunktsiooni puhul jääb igas kohas mooduli ruut aja vältel konstantseks. Vastavad olekud on statsionaarsed olekud, mida    nimetatakse ka Hamiltoni operaatori omaolekuteks või vaadeldava kvantsüsteemi energiatasemeteks. Ajast sõltumatu Schrödingeri võrrand võimaldab leida need statsionaarsed lainefunktsioonid ning seega  arvutada süsteemi paljud omadused mingil kindlal energiatasemel.

Schrödingeri võrrand on kvantmehaanika paljude teoreetiliste ja praktiliste rakenduste alus. Alates 1926. aastast on selle abil õnnestunud seletada aatomite ja molekulide arvukaid omadusi ja interaktsioone kuni keemiliste reaktsioonideni välja, samuti tahkiste omadusi kuni uute materjalide, näiteks pooljuhtide sihipärase valmistamiseni, ning kvantmehaaniliselt kirjeldada näiteks valguse kiirgamist ja spontaanset radioaktiivset lagunemist.   Siiski ei kirjelda Schrödingeri võrrand oma päristisel, klassikalisest füüsikast laenatud kujul vee nähtusi, mille seletamiseks on tarvis relatiivsusteooriat, nagu näiteks spinn, osakeste ja antiosakeste teket ja hävimist, samuti energiatasemete teatud peensusi isegi juba kõige lihtsama aatomi, nimelt vesinikuaatomi puhul.

 Üldkuju 

 Ajast sõltuv võrrand 
Kõige üldisemalt võib Schrödingeri võrrandi kirja panna kujul
,
kus  on imaginaarühik,  on taandatud Plancki konstant,  on süsteemi olekuvektor (ket-vektor),  on aeg ja  on süsteemi Hamiltoni operaator.

 Ajast sõltumatu võrrand 
Võrrandit on võimalik esitada ka ilma aja sõltuvuseta. See avaldub kujul

,

kus  on lainefunktsioon ja  on süsteemi energia.

 Osake kolmemõõtmelises ruumis 

Kolmemõõtmelises ruumis asuvat spinnita osakest kirjeldab võrrand

kus
 on imaginaarühik,
 on taandatud Plancki konstant,
  on osakese asukoht,
  on lainefunktsioon, mille moodul annab tõenäosustiheduse leidmaks osakest punktist r ajahetkel t.
  on osakese mass.
  on osakese potentsiaalne energia punktis r hetkel t.
  on Laplace'i operaator.

Antud süsteemi Hamiltoni operaator on seega kujul
.

 Vaata ka 

 Diraci võrrand
 Heisenbergi pilt
 Schrödingeri pilt
 Von Neumanni võrrand

 Viited 
Kategooria:Kvantmehaanika
Kategooria:Diferentsiaalvõrrandid
Kategooria:Füüsikaseadused