Laplace'i operaator

Laplace'i operaator on matemaatikas kaks korda diferentseeruvatele mitme muutuja funktsioonidele rakendatav diferentsiaaloperaator, mis on eukleidilises ruumis defineeritud kui funktsiooni gradiendi divergents.

Ristkoordinaatides avaldub Laplace'i operaator kujulÜ. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002)

kus  on nabla-operaator ja  tähistab osatuletise võtmise operaatorit muutuja  järgi.

Laplace'i operaator on saanud nimetuse prantsuse matemaatiku Pierre-Simon de Laplace'i (1749–1827) järgi. Laplace kasutas antud operaatorit esmakordselt taevamehaanikas, kus ta gravitatsioonivälja potentsiaalile rakendatuna annab konstandi kordse massi tiheduse. Selle võrrandi Δf  0 üldisemat kuju nimetatakse tänapäeval Laplace'i võrrandiks.

 Laplace'i operaator eri koordinaadistikes 
 Kahemõõtmelises ruumis 
Laplace'i operaatori rakendamine kahe muutuja funktsioonile f(x,y) annab ristkoordinaatides x ja y'

Polaarkoordinaatides kehtib

 Kolmemõõtmelises ruumis 
Kolmes dimensioonis on Laplace'i operaatori kuju olulisemates koordinaadisüsteemides järgmine:

Ristkoordinaatides:

Silindrilistes koordinaatides:

Sfäärilistes koordinaatides:

( tähistab sfäärilist laiust ja  sfäärilist pikkust).

Avaldise  võib asendada samaväärse avaldisega .

 N dimensioonis N-dimensionaalsetes sfäärilistes koordinaatides, mis on parametriseeritud kujul , kus , , on Laplace'i operaatoril kuju

kus  on Laplace'i-Beltrami operaator  dimensionaalsel sfääril ehk sfääriline Laplace'i operaator.

Avaldise  võib asendada samaväärse avaldisega 

 Laplace'i operaator diferentsiaalvõrrandites 
Laplace'i operaator esineb paljudes olulistes diferentsiaalvõrrandites. Neist mõned on:

Laplace'i võrrand:

kusjuures selle võrrandi lahendeid nimetatakse harmoonilisteks funktsioonideks.

Biharmooniline võrrand:

kusjuures selle võrrandi lahendeid nimetatakse biharmoonilisteks funktsioonideks.

Poissoni võrrand:

kus g on teadaolev funktsioon.

Lainevõrrand:

kus  on laine liikumise kiirus.

Difusioonivõrrand:

kus k'' on konstant.

Schrödingeri võrrand kvantmehaanikas:

kus  on lainefunktsioon,  on taandatud Plancki konstant, m on osakese mass ja  on potentsiaalne energia.

 Vaata ka 
 Nabla-operaator
 Pierre-Simon Laplace

 Viited 

 Välislingid 

Wolfram MathWorld, Laplacian (inglise keeles)

Kategooria:Matemaatiline analüüs
Kategooria:Diferentsiaalvõrrandid