Üldisuskvantor

Üldisuskvantor (sümbol ∀) on predikaatloogikas sümbol, mille abil väljendatakse, et miski on tõsi kõige kohta (või kõige asjasse puutuva kohta). 

 Sissejuhatus 
Olgu meil tarvis öelda, et 
 2·0 = 0 + 0 ja 2·1 = 1 + 1 ja 2·2 = 2 + 2 jne.
See meenutab konjunktsiooni, sest kordub sõna "ja". Aga "ja nii edasi" ei ole väljendatav konjunktsiooni abil. Öeldut võib ümber sõnastada nii:  
 Mis tahes (või: iga) naturaalarvu n korral 2·n = n + n.
Fraas "mis tahes ... korral" on siin üldisuskvantori rollis. 

See ümbersõnastus on õigupoolest täpsem kui algne, sest väljend "ja nii edasi" ei ütle, et jutt on just kõigist naturaalarvudest. 

See lause väljendab tõest propositsiooni, sest  muutuja n võib valemis "2·n = n + n" asendada mis tahes naturaalarvuga, ning iga kord saame tõese võrduse. Seevastu lause "Mis tahes naturaalarvu n korral 2·n > 2 + n" väljendab väära propositsiooni, sest kui asendada n näiteks 1-ga, saame väära väite "2·1 > 2 + 1". See ei loe, et "2·n > 2 + n" on enamiku naturaalarvude n puhul tõene: ühestainsast vastunäitest piisab, et tõestada üldisuskvantori abil väljendatud propositsiooni väärust.  

Küll aga on tõene "Mis tahes kordarvust naturaalarvu n korral  2·n > 2 + n", sest ühtki vastunäidetest ei anna kordarv. See näitab, et tähtis on universum, millest muutuja n väärtused tuleb võtta. Etteantud universumi korral saab võimalike väärtuste piiramiseks kasutada materiaalset implikatsiooni: näiteks lause "Mis tahes kordarvust naturaalarvu n korral 2·n > 2 + n" on  loogiliselt ekvivalentne lausega "Mis tahes naturaalarvu n korral kui n on kordarv, siis 2·n > 2 + n". Väljend "kui ... siis" väljendab siin materiaalset implikatsiooni.

Predikaatloogikas on kasutusel sümbol . Kui   P(n) on predikaat "2·n > 2 + n" ja N on naturaalarvude hulk, siis
 Matemaatikas on niisugune universumi eksplitsiitne märkimine tavaline; loogikas seda tavaliselt ei tehta.

väljendab (väära) väidet
 Mis tahes naturaalarvu n korral 2·n > 2 + n.

Analoogselt, kui Q(n) on predikaat "n on kordarv", siis


väljendab (tõest) väidet:
 Mis tahes naturaalarvu n korral kui n on kordarv, siis 2 ·n > 2 + n.

Mõnikord kasutatakse tähistust, milles 



asemel kirjutatakse 

 , 

seega piirdutakse sulgudega.

Omadused
Eitus

Üldisuskvantori abil saadakse väide; seda saab ka eitada.  Eitust märgitakse sümboliga .

Olgu näiteks P(x) lausefunktsioon "x on abielus" ning olgu universumiks kõigi elavate inimeste hulk X. Vaatleme väidet "Mis tahes elava inimese x korral x on abielus": 

Et tegemist on väära väitega, siis tõene väide oleks "Ei pea paika, et mis tahes elava inimese x korral x on abielus": 
.

Kui väide ei ole tõene universumi iga elemendi korral, siis peab olema vähemalt üks element, mille korral see väide on väär. Seega on väite  eitus loogiliselt ekvivalentne väitega "Eksisteerib niisugune elav inimene x, et x ei ole abielus:  

Üldiselt saabki lausefunktsiooni ja üldisuskvantori abil väljendatud väidet väljendada selle lausefunktsiooni eituse ning olemasolukvantori abil:  

Vaata ka
Kvantor
Olemasolukvantor

Märkused

Kategooria:Loogika