Moodul (algebra)

Mooduliks üle ringi nimetatakse üldalgebras  vektorruumi üldistust, mille puhul "skalaarideks" ei võeta mitte korpuse, vaid ringi elemendid.

Moodul on ka Abeli rühma üldistus, sest Abeli rühm on moodul üle täisarvude ringi .

Moodulitel on tihe seos rühmade esituste teooriaga. Neil on keskne koht kommutatiivses algebras ja homoloogilises algebras ning nad on laialt kasutusel algebralises geomeetrias ja algebralises topoloogias.

Definitsioon
Olgu  mis tahes (mitte tingimata kommutatiivne) ring. Tavaliselt eeldatakse, et ring on assotsiatiivne.

Üldjuhul eristatakse  vasakpoolseid ja parempoolseid R-mooduleid.

Vasakpoolne -moodul on Abeli rühm   koos kujutusega 
Siin – nagu matemaatilises kirjanduses tavaline – langeb see tähistus kokku korrutamistehte tähistusega ringis .
mille puhul mis tahes elementide  korral tingimused 
1) 
2) 
3) 

Parempoolne -moodul on Abeli rühm   koos kujutusega 

mille puhul mis tahes  korral tingimused 
1) 
2) 
3a) 

Mis tahes parempoolset -moodulit saab vaadelda vasakpoolse R0-moodulina üle ringi R0, mis on antiisomorfne ringiga  (ja ümberpöördult). Seetõttu võib üldisust kaotamata piirduda kas vasakpoolsete või parempoolsete -moodulitega (erinevust võib vaadelda tähistusviisi erinevusena).

Kui ring  on kommutatiivne, siis taandub erinevus vasakpoolse ja parempoolse R-mooduli vahel täielikult kirjutusviisile, mistõttu räägitakse lihtsalt  -moodulist.

Unitaarsed moodulid

Kui  on ühikelemendiga assotsiatiivne ring (mida enamasti eeldatakse), siis sageli lisatakse veel üks tingimus:

4)  (vasakpoolse mooduli korral)
või
4a)  (vasakpoolse mooduli korral), kus  on ringi  ühikelement.

Kui see tingimus on täidetud, siis on tegemist vastavalt vasakpoolse või parempoolse unitaarse -mooduliga.

Ajalugu
Moodulite teooria arenes välja ringiteooria üldistusena rühmade esituste teooriast, ringide esituste teooriast ja algebrate esituste teooriast.

Algselt uuriti ideaale, mis lõpuks üldistati mooduliteks.

Vaata ka
Bimoodul

Märkused

Välislingid
Sissejuhatus moodulite teooriasse (pdf; saksa keeles)

Kategooria:Üldalgebra