Hilberti ruum

Hilberti ruum on eukleidilise ruumi üldistus. See on vektorruum, milles on defineeritud skalaarkorrutis ja mis on skalaarkorrutise kaudu defineeritud normi

suhtes koondumise suhtes täielik.Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002) Nurksulud tähistavad skalaarkorrutist.

Hilberti ruume kasutatakse laialdaselt diferentsiaalvõrrandite teoorias, kvantfüüsikas ja signaalitöötluses.

 Seos meetriliste ruumidega 

 Meetrilised ruumid ⊃ Normeeritud ruumid ⊃ Banachi ruumid ⊃ Hilberti ruumid ⊃ Eukleidilised ruumid.

 Definitsioon 
Hilberti ruum on vektorruum üle reaalarvude korpuse või üle kompleksarvude korpuse,Шилов Г. Е.. Математический анализ. Специальный курс, М.: Физматлит 1961, lk 181.:
  milles on antud eeskiri, mis võimaldab määrata ruumi mis tahes kahe elemendi  ja  puhul nende skalaarkorrutise ;
 see eeskiri täidab järgmisi nõudmisi:
  (kommutatiivsus reaalarvude korpuse korral) või (kommutatiivsus kompleksarvude korpuse korral, kriips on kaaskompleksarvu märk)Шилов Г. Е.. Математический анализ. Специальный курс, М.: Физматлит 1961, lk 23.;
  (distributiivsus);
  iga reaalarvu  korral;
 , kui , ja , kui .
 mis on täielik selle skalaarkorrutisega genereeritud meetrika  suhtes. Kui ruumi täielikkuse tingimus ei ole täidetud, siis räägitakse eel-Hilberti ruumist. Ent enamik teadaolevaid (kasutatavaid) ruume on kas täielikud või täielikustatavad.

Hilberti ruum on seega Banachi ruum (täielik normeeritud ruum), mille norm on genereeritud positiivselt määratud skalaarkorrutisega ja defineeritakse kui .

 Viited 

Kategooria:Funktsionaalanalüüs
Kategooria:Lineaaralgebra
Kategooria:Kvantfüüsika