Lõplik hulk

Matemaatikas nimetatakse lõplikuks hulgaks hulka, mille puhul mõnd naturaalarvu (kaasa arvatud null) saab nimetada tema elementide arvuks. 

Nii näiteks on hulk

lõplik hulk, mille elementide arv on 4. Tühihulgal  definitsiooni järgi elemendid puuduvad, st  on selle elementide arv, sellepärast loetakse seda lõplikuks hulgaks.

Lõpliku hulga  võimsust  samastatakse mõne naturaalarvuga. Näiteks kirjutatakse siis , et väljendada, et hulgal  on 4 elementi.

Hulka, mis ei ole lõplik, nimetatakse lõpmatuks hulgaks. 

Lõpliku hulga võib samaväärselt defineerida kui hulga, mis pole võrdvõimas ühegi oma pärisalamhulgaga Kaasik, Ü. (2002). Matemaatikaleksikon. Tartu.  (vt #Dedekindi definitsioon). 

 Definitsioon 
pisi|Punaste nooltega näidatud bijektsioon  näitab, et  ning hulk  on seega lõplik

Hulka  nimetatakse lõplikuks, kui leidub naturaalarv  (mis võib olla null,) nii, et leidub bijektsioon

hulgast  kõikide arvust  väiksemate naturaalarvude hulgale . 

Selle definitsiooni järgi on tühihulk  lõplik, sest triviaalsel moel leidub bijektsioon hulgast  tühihulgale  (kõikide arvust  väiksemate naturaalarvude hulgale).

Nii näiteks on hulk

lõplik, sest eksisteerib bijektsioon sellelt hulgalt hulgale 

(vaata joonist).

Seevastu ei leidu bijektsiooni kõikide naturaalarvude hulgast

lõplikule hulgale, nii et hulk  on lõpmatu.

Alternatiivse definitsiooni järgi nimetatakse hulka S  lõplikuks, kui ta on tühihulk või kui leidub bijektsioon

mõne naturaalarvu n korral.  Arvu n nimetatakse hulga S võimsuseks.

 Lõplike hulkade omadusi 
 Lõpliku hulga  iga alamhulk on lõplik.
 Kui  on lõplik hulk ja  on suvaline hulk, siis on nii ühisosa  kui ka vahe  lõplikud hulgad, sest mõlemad on hulga  alamhulgad.
 Kui  on lõplikud hulgad, siis on ka nende ühend Vereinigungsmenge  lõplik. Selle võimsus      .Kui  ja   on lõplikud ja ühisosata hulgad, (), siis     .
 Lõpliku arvu lõplike hulkade ühend on lõplik hulk. Selle võimsus on antud inklusiooni ja eksklusiooni printsiibiga. 
 Kui hulk  on lõpmatu ja hulk  on lõplik, siis nende vahe  on lõpmatu.
 Lõpliku hulga  astmehulk  on suurema võimsusega kui see hulk ise, kuid lõplik; kehtib .
 Lõplike hulkade otsekorrutis  on lõplik. Selle võimsus on suurem kui kummalgi teguril, kui kumbki tegur ei ole tühihulk ja mõlema teguri võimsus on suurem kui . Lõplike hulkade  otsekorrutise võimsus . Lõpliku arvu lõplike hulkade otsekorrutis on lõplik hulk.

Dedekindi definitsioon
Teine lõpliku hulga definitsioon pärineb Richard Dedekindilt. See on niisugune: 
Hulka  nimetatakse lõplikuks, kui see ei ole võrdvõimas ühegi oma pärisalamhulgaga, vastasel juhtumil lõpmatuks.  
Tänapäeval räägitakse Dedekindi lõplikkusest ja Dedekindi lõpmatusest. .

Et matemaatilise induktsiooni teel näidata, et iga lõplik hulk on ka Dedekindi-lõplik, piisab, kui näidata järgmist:  
 Tühi hulk ei ole võrdvõimas ühegi oma pärisalamhulgaga.
 Kui hulk  ei ole ühegi oma pärisalamhulgaga võrdvõimas, siis ei ole ka hulk  ühegi oma pärisalamhulgaga võrdvõimas.

(Punkt 1 on selge, sest tühihulgal ei ole pärisalamhulki. Punkti 2 juures tuleb näidata, et bijektsioonist  hulgast  hulga  pärisalamhulgale  võib konstrueerida bijektsiooni  hulgast  selle pärisalamhulgale .)

Ümberpöördult, iga Dedekindi-lõplik hulk  on ka lõplik, sest kui  oleks lõpmatu, siis peaks valikuaksioomi põhjal leiduma paarikaupa erinevate elementide  jada  Kujutus
{|
|-
|rowspan="2" style="vertical-align:middle"| 
|  ||     korral
|-
|  ||  korral
|}
on hästi defineeritud, sest kui , siis leidub üheselt määratud  nii, et . See näitab, et  on võrdvõimas oma pärisalamhulgaga  ja  seetõttu ei ole ta Dedekindi-lõplik – mis on eeldusega vastuolus.

 Viited 

Kirjandus
 Paul R. Halmos. Naive Mengenlehre (= Moderne Mathematik in elementarer Darstellung, kd 6),. 5. trükk, Vandenhoeck & Ruprecht: Göttingen 1994, ISBN 3-525-40527-8.
 Oliver Deiser. Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo, =3., parandatud trükk, Springer 2010, ISBN 978-3-642-01444-4.

Kategooria:Hulgateooria