Topoloogiline ruum

Topoloogiline ruum on  üks matemaatika põhimõisteid,   eukleidilise ruumi ja meetrilise ruumi üldistus.  Topoloogilistele ruumidele üldistuvad ka paljud matemaatilise analüüsi mõisteid, sealhulgas koonduvus, pidevus ja sidusus. 

Topoloogilisi ruume uurib matemaatika haru üldtopoloogia. Seda mõistet kasutatakse paljudes teistes matemaatika harudes. 

Kui kontekstist on selge, et jutt on topoloogilisest ruumist, kasutatakse tihti lihtsalt sõna "ruum".

Definitsioon
Topoloogilist ruumi defineeritakse mitmel ekvivalentsel moel. Levinuima definitsiooni puhul võetakse algmõisteks lahtise hulga mõiste.   

 Definitsioon lahtiste hulkade kaudu 

Topoloogiliseks ruumiks nimetatakse järjestatud paari , kus  on mingi mittetühi hulk ning  on hulga  alamhulkade hulk, mis rahuldab järgmisi tingimusi:
 tühi hulk ja hulk X kuuluvad hulka  ,
 iga kahe hulka  kuuluva alamhulga ühisosa kuulub hulka ,
 ükskõik kui paljude hulka  kuuluvate alamhulkade ühend kuulub hulka .

Hulka  nimetatakse topoloogilise ruumi  topoloogiaks ning kogumi  elemente lahtisteks hulkadeks topoloogilises ruumis . Lahtise hulga täiendit hulgani X nimetatakse kinniseks hulgaks topoloogilises ruumis . Kui on selge, missugust topoloogiat hulgal  vaadeldakse, siis võidakse topoloogilist ruumi  tähistada ka lihtsalt tähisega .

Olgu  ja  topoloogiad hulgal . Öeldakse, et topoloogia  on tugevam kui topoloogia  (ehk topoloogia  on nõrgem kui topoloogia ), kui  .

 Definitsioon kinniste hulkade kaudu 

Topoloogilise ruumi saab määratleda ka kinniste hulkade kaudu:

Topoloogiliseks ruumiks nimetatakse järjestatud paari , kus  on mingi mittetühi hulk ning  on hulga  alamhulkade hulk, mis rahuldab järgmisi tingimusi:
 tühi hulk ja hulk X kuuluvad hulka  ,
 iga kahe hulka  kuuluva alamhulga ühend kuulub hulka  ,
 ükskõik kui paljude hulka  kuuluvate alamhulkade ühisosa kuulub hulka .

Hulka  kuuluvaid alamhulki nimetatakse kinnisteks hulkadeks ning hulga  elementide täiendeid lahtisteks hulkadeks topoloogilises ruumis . 

Lihtne on veenduda, et topoloogilise ruumi määratlus kinniste hulkade kaudu on samaväärne topoloogilise ruumi määratlusega lahtiste hulkade kaudu — see tähendab, et iga ,  ja  korral  on topoloogiline ruum esimese määratluse järgi ning  on topoloogilise ruumi  kõigi kinniste hulkade hulk esimese määratluse järgi parajasti siis, kui  on topoloogiline ruum teise määratluse järgi ning  on topoloogilise ruumi  kõigi lahtiste hulkade hulk teise määratluse järgi.

Näiteid

 Triviaalne topoloogia ja diskreetne topoloogia 

Olgu  mistahes mittetühi hulk. Siis  on topoloogia hulgal . Seda topoloogiat nimetatakse triviaalseks topoloogiaks hulgal . Tegu on nõrgima topoloogiaga hulgal .

Samamoodi on mistahes mittetühja hulga  korral hulk  (hulga  kõigi alamhulkade hulk) topoloogia hulgal ; teda nimetatakse diskreetseks topoloogiaks hulgal . Ilmselt on tegu tugevaima topoloogiaga hulgal .

 Kolõplik topoloogia 

Olgu  mistahes mittetühi hulk ning  tema kõigi lõplike alamhulkade hulk. Siis 
\} 
on topoloogia hulgal ; seda nimetatakse kolõplikuks topoloogiaks hulgal .

 Meetriline ruum topoloogilise ruumina 

Olgu  meetriline ruum. Tähistame  abil lahtist kera keskpunktiga  ja raadiusega , s. o. 

iga  korral. Siis 

on topoloogia hulgal  — see on kauguse  poolt määratud topoloogia hulgal .

Kaks erinevat kaugust ühel hulgal võivad määrata ühe ja sama topoloogia.

Topoloogilist ruumi, mida saab vaadelda meetrilise ruumina, s. o. millel saab määratleda niisuguse kauguse, mis määrab selle topoloogilise ruumi topoloogia, nimetatakse metriseeruvaks topoloogiliseks ruumiks.

Kui  on meetriline ruum,  on kauguse  poolt määratud topoloogia hulgal X ning  on hulga  mittetühi alamhulk, siis kauguse  poolt hulgal  määratud topoloogia on hulga  alamruumi topoloogia topoloogilises ruumis .

 Loomulik topoloogia lõplikumõõtmelistes vektorruumides 

Arvuhulgad  ja  on normeeritud ruumid loomuliku normi  suhtes ja seega meetrilised ruumid sellele normile vastava loomuliku kauguse  suhtes, kus || tähistab reaalarvude puhul absoluutväärtust ja kompleksarvude puhul moodulit. Selle kauguse poolt määratud topoloogiat nimetatakse loomulikuks topoloogiaks''' vastaval arvuhulgal. Näiteks hulga  loomulik topoloogia on väljakirjutatuna 
 .

Olgu  ja . Osutub, et iga kahe normi  ja  korral vektorruumil  (üle korpuse ) kummalegi normile vastavate kauguste poolt määratud topoloogiad ühtivad. Nii võib määratleda loomuliku topoloogia hulkadel  kui mistahes normeeritud ruumi  normile vastava kauguse poolt määratud topoloogia.

Kui  on mingi hulga  mittetühi alamhulk ja  on loomulik topoloogia hulgal , siis hulga  loomulikuks topoloogiaks nimetame tema alamruumi topoloogiat topoloogilises ruumis . Kui mingi kaugus  määrab loomuliku topoloogia hulgal , siis määrab ta ka loomuliku topoloogia hulgal . Näiteks kaugus  määrab loomuliku topoloogia kõigi naturaalarvude hulgal  või lõigul . Seejuures osutub kõigi naturaalarvude hulga loomulik topoloogia diskreetseks topoloogiaks.

 Üks (mitteloomulik) naturaalarvude topoloogia 

Tähistame iga  korral . Siis 

on topoloogia hulgal .

Sierpiński ruum
Üks klassikaline näide on Sierpiński ruum – kahest punktist koosnev ruum, kus üks üheelemendiline hulk on lahtine ja mitte kinnine, teine kinnine ja mitte lahtine.

Vaata ka

lõplik topoloogiline ruum 
baas
eralduvusaksioomid
Hausdorffi ruum