Transponeeritud maatriks

Lineaaralgebras nimetatakse maatriksi A transponeeritud maatriksiks AT (või Atr, tA või A′) maatriksit, mis saadakse A ridade ja veergude vahetamisel. Maatriksi asendamist selle maatriksi transponeeritud maatriksiga nimetatakse transponeerimiseks.

 Näited 



 Definitsioon 
m×n-maatriksi A transponeeritud maatriks AT on n×m-maatriks

, kus  

 Omadused 
Olgu A ja B maatriksid ning c on skalaar, siis kehtib 
<li> 
 Transponeerimine on iseenda pöördteisendus.

<li> 


<li> 
 Koos punktiga (2) tähendab see, et transponeerimine on lineaarne operaator m×n-maatriksite ruumist n×m-maatriksite ruumi.

<li> 
Paneme tähele, et tegurite järjekord muutus vastupidiseks. Sellest võib järeldada, et ruutmaatriks A on pööratav parajasti siis, kui AT on pööratav, kusjuures sel juhul kehtib (5). Matemaatilise induktsiooni teel saab näidata, et (ABC...XYZ)T = ZTYTXT...CTBTAT.

<li> 
 pöördelemendi võtmise ja transponeerimise tehe kommuteeruvad

<li> 
 Transponeerimine maatriksi determinant ei muuda.

<li> Kui on A reaalarvuliste elementidega maatriks, siis ATA on positiivne osaliselt määratud maatriks.

<li> Kui maatriksi A elemendid on korpuse elemendid, siis A ja AT on sarnased maatriksid.

<li> Veeruvektorite a ja b skalaarkorrutis avaldub kui

 Tõestus 1.  2.  3.  4.  

 Transponeerimise kaudu defineeritavaid maatriksitüüpe 

 Sümmeetrilised maatriksid : AT = A
 Kaldsümmeetrilised maatriksid : AT = -A
 Ortogonaalsed maatriksid : AT = A−1

 Vaata ka 
 Ruutmaatriks
 Skalaar
 Determinant
 Ühikmaatriks
 XOR vahetus algoritm

 Välislingid 
 MIT Video: Loeng maatriksite transponeerimise kohta Google'i videotes

Kategooria:Lineaaralgebra
Kategooria:Maatriksid