Maxwelli võrrandid

Maxwelli võrranditeks nimetatakse lineaarsetest osatuletistega diferentsiaalvõrranditest koosnevat süsteemi, mis on koos Lorentzi seadusega klassikalise elektromagnetvälja teooria alus.

Maxwelli võrrandid kirjeldavad elektri- ja magnetvälja tekkimist ja nende omavahelist mõju. Võrrandid on nimetatud šoti füüsiku ja matemaatiku James Clerk Maxwelli järgi, kes kirjeldas neid nähtusi 1861. aastal ilmunud artiklis On Physical Lines of Force valemite kujul. 1884. aastal koondas inglise matemaatik ja füüsik Oliver Heaviside need praeguseks  tuntud nelja  võrrandi süsteemiks, kasutades tolleks ajaks juba väljaarendatud vektoranalüüsi tähistusviisi. Nende võrrandite põhjal ennustas Maxwell elektromagnetlainete olemasolu ja et need lained levivad niisama kiiresti kui valgus (paarikümne aasta pärast näitaski Heinrich Hertz niisuguste lainete olemasolu, mida me nüüd tunneme raadiolainetena).
Maxwelli võrrandid on see teoreetiline baas, millele tuginevad paljud elektrotehnika rakendused, nagu näiteks elektrimasinad, trafod, raadioside vahendid jm.

 Võrrandite füüsikaline  sisu 
Maxwell kirjeldab matemaatiliselt elektri- ja magnetisminähtuste nelja tähtsat omadust, mis tulenesid tolleks ajaks juba teada olevatest seadustest:
 Elektrilaeng loob elektrivälja (Gaussi seadus elektrivälja jaoks);
 Magnetlaenguid (magnetilisi monopooluseid) ei ole olemas (Gaussi seadus magnetvälja jaoks);
 Muutuv magnetväli kutsub esile pööriselektrivälja (Faraday seadus);
 Elektrivool ja muutuv elektriväli kutsuvad esile pöörismagnetvälja, millega kaasneb nihkevool (Ampère'i seadus koos Maxwelli yäiendusega ehk Ampère'i-Maxwelli seadus).

Olenevalt keskkonnast on kasutusel mikroskoopilised ja makroskoopilised võrrandid, mis esitatakse osatuletistega diferentsiaalvõrrandite süsteemina, makroskoopilised võrrandid ka integraalkujul.

Märkus. Vektoreid tähistatakse noolega kaldkirjas tähe peal (nagu käesolevas artiklis) või paksu püstkirja tähega .

 Mikroskoopilised ja makroskoopilised võrrandid 
Mikroskoopiliste võrranditega kirjeldatakse elektri- ja magnetväljade vahelisi seoseid vaakumis. Võrrandid seostavad elektrivälja tugevuse  ja magnetilise induktsiooni  laengu ruumtihedusega  ja voolutihedusega . Looduskonstantide ε0 ja μ0 korrutis on seotud valguse kiirusega c: .

pisi|Mikroskoopilised elektrilised dipoolid ja pöörisvoolud kutsuvad esile makroskoopilise polarisatsiooni  ja vastavalt magneetumuse 

Väljade kirjeldamiseks materiaalses keskkonnas kasutatakse makroskoopilisi võrrandeid, mis sisaldavad lisaks kaht vektorsuurust:
 elektrivoo tihedus ehk elektriline nihe , kus  on dielektriline polarisatsioon (dielektriku makroskoopiline dipoolmoment ruumalaühiku kohta, ühik C/m2);
 magnetvälja tugevus , kus  on magneetumus (magneetiku makroskoopiline magnetmoment ruumalaühiku kohta, ühik A/m).

+ Maxwelli mikroskoopilised ja makroskoopilised diferentsiaalvõrrandid Seadused Mikroskoopilised võrrandid Makroskoopilised võrrandid Gaussi seadus elektrivälja jaoks  Gaussi seadus magnetvälja jaoks   Faraday seadus (elektromagnetilise induktsiooni seadus)    Ampère'i-Maxwelli seadus    

+Maxwelli makroskoopilised võrrandid integraalkujulSeadusValemLigikaudne sõnaline väljendusGaussi seadus elektrivälja jaoksElektrivoog  läbi suletud pinna  on võrdne vaba laenguga ruumiosas, mis on piiratud pinnaga Gaussi seadus magnetvälja jaoksMagnetvoog läbi suletud pinna  on võrdne nulliga (magnetlaenguid pole olemas)Faraday seadus Elektrivälja tsirkulatsioon piki pinda  ümbritsevat kinnist joont (rajapikkusega ) on võrdne seda pinda läbiva magnetvoo negatiivse ajalise muutumisega Ampère'i seadus    Magnetvälja tsirkulatsioon piki pinda  ümbritsevat kinnist joont (rajapikkusega ) on võrdne vabade laengute koguvoolu I ja seda pinda läbiva elektrivoo tiheduse D ajalise muutumisega
Nendes valemites: 
 (nabla) on diferentsiaaloperaator, kusjuures
  − vektori  divergents;
  − vektori  rootor; 
 on elektrivälja tugevus;
 on laengu ruumtihedus;
 on vaba laengu ruumtihedus;
 on elektriline konstant;
 on voolutihedus;  
 on elektrivoo tihedus (elektriline nihe);
 on magnetiline induktsioon (magnetvoo tihedus);
  on magnetiline konstant.;
 on magnetvälja tugevus.

 Vaata ka 
 Lainevõrrand
 Magnetiline monopoolus
 Elektromagnetvälja tensor

Välislingid 
 Maxwelli elektrodünaamika formuleerimine
 Maxwell's Equations

Kategooria:Elektromagnetism