Ruutvõrrand

Ruutvõrrand on algebraline võrrand üldkujuga
 ,
kus  on tundmatu ning ,  ja  on arvud, kusjuures .

Ruutvõrrandi lahendivalem on
 .

Reaalarvuliste kordajatega ruutvõrrandil on reaalarvude hulgas alati kas kaks erinevat, kaks kokkulangevat või mitte ühtegi lahendit. Geomeetrilises tõlgenduses asuvad ruutvõrrandi lahendid kohtadel, kus ruutfunktsiooni  graafik lõikab -telge.

 Definitsioon 
Ruutvõrrand on võrrand kujul
 ,
kus  on tundmatu ehk otsitav ning ,  ja  on antud arvud, kusjuures . Võrrandi vasaku poole avaldises on  ruutliige ehk pealiige,  lineaarliige ja  vabaliige. Arvud ,  ja  on ruutvõrrandi kordajad, sealhulgas  on ruutliikme kordaja ja  lineaarliikme kordaja.

Näiteks  on ruutvõrrand, kus ,  ja .

Taandatud ruutvõrrand on ruutvõrrand, mille ruutliikme kordaja on . Taandatud ruutvõrrandi kuju on
 .
Iga ruutvõrrandi saab teisendada samaväärseks taandatud ruutvõrrandiks, jagades võrrandi pooled läbi ruutliikme kordajaga. Et ruutliikme kordaja erineb nullist, siis on see alati võimalik. Ruutvõrrandit, mille ruutliikme kordaja ei ole , nimetatakse taandamata ruutvõrrandiks.

Näiteks  on taandatud ruutvõrrand, seevastu  on taandamata ruutvõrrand, sest selles on ruutliikme kordaja .

Täielik ruutvõrrand on ruutvõrrand, mille kõik kordajad on nullist erinevad. Mittetäielik ruutvõrrand on ruutvõrrand, mille mõni kordaja on null. Mittetäielikus ruutvõrrandis võib null olla kas lineaarliikme kordaja, vabaliikme kordaja või mõlemad. Vastavalt sellele on mittetäielikul ruutvõrrandil kolm võimalikku kuju: ,  või .

Ruutvõrrandi lahend on tundmatu  iga selline väärtus, millega tundmatut väärtustades võrrand kehtib. Näiteks ruutvõrrandi  lahend on , sest . Samuti on selle ruutvõrrandi lahend , sest .

Ruutvõrrand on teist järku algebraline võrrand, mis tähendab, et võrrandi vasak pool on polünoom, mille aste on . Seda polünoomi nimetatakse ka ruutpolünoomiks ehk ruutkolmliikmeks.

 Lahendivalem 

 Üldkujuline ruutvõrrand 
Üldkujulise ruutvõrrandi  lahendid saab leida valemist
 .
See valem annab kaks lahendit  ja , millest ühe arvutamisel valitakse valemi lugejas märk , teise arvutamisel aga .

Näiteks ruutvõrrandi  lahendid on
 ,
seega  ja .

Lahendivalemi tuletamiseks lähtume võrdusest
 .
Viime  paremale poole:
 .
Korrutame pooli suurusega :
 .
Liidame mõlemale poolele :
 .
Vasaku poole saame nüüd kirjutada täisruuduna:
 .
Järelikult
 ,
millest avaldame otsitava :
 .

 Taandatud ruutvõrrand 
Taandatud ruutvõrrandi  lahendid saab leida valemist
 .
Näiteks võrrandi  lahendid on
 ,
millest  ja .

Taandatud ruutvõrrandi lahendivalem järeldub vahetult üldkujulise ruutvõrrandi lahendivalemist, kui seal panna ,  ja  asemele vastavalt taandatud ruutvõrrandi kordajad ,  ja  ning viia nimetaja  juuremärgi alla.

 Diskriminant 

pisi|Ruutfunktsiooni graafiku lõikumine -teljega sõltuvalt diskriminandi märgist
Ruutvõrrandi  lahendivalemis ruutjuure märgi all olevat avaldist

nimetatakse selle ruutvõrrandi diskriminandiks.

Reaalarvuliste kordajatega ruutvõrrandi erinevate reaalarvuliste lahendite arv sõltub diskriminandi märgist.
 Kui , siis on võrrandil kaks erinevat reaalarvulist lahendit  ja .
 Kui , siis on võrrandil kaks kokkulangevat reaalarvulist lahendit .
 Kui , siis võrrandil reaalarvulisi lahendeid ei ole.
Diskriminandi märgi järgi saab kindlaks teha reaalarvuliste kordajatega ruutvõrrandi reaalarvuliste lahendite arvu ilma võrrandit lahendamata. Näiteks võrrandil  puuduvad reaalarvulised lahendid, sest . Ruutvõrrandil leidub reaalarvulisi lahendeid kindlasti siis, kui  ja  on erineva märgiga, sest sel juhul on diskriminant kindlasti positiivne.

Geomeetriliselt vastavad ruutvõrrandi lahenditele ruutfunktsiooni lõikepunktid -teljega. Kui ruutvõrrandi diskriminant on positiivne, siis lõikab ruutfunktsiooni  graafik -telge kahes erinevas punktis, nulliga võrduva diskriminandi puhul puutub graafik -telge ühes punktis ning negatiivse diskriminandi puhul graafikul lõikepunkte -teljega pole.

 Ruutkolmliikme tegurdatud kuju 
Arv  on ruutvõrrandi  lahend parajasti siis, kui avaldis  on avaldise  tegur. Siit järeldub, et kui  ja  on ruutvõrrandi  lahendid, siis esitub ruutkolmliige lineaartegurite korrutisena
 .
Kui ruutvõrrand on taandatud, siis on sellel võrdusel kuju
 .

Need võrdused kehtivad ka juhul .

Kui on teada ruutkolmliikme tegurdatud kuju, siis saab sellest otse välja lugeda ruutvõrrandi lahendid. Näiteks teades, et , võime järeldada, et ruutvõrrandi  lahendid on  ja .

 Viète'i valemid 
Üldkujulise ruutvõrrandi  lahendid  ja  rahuldavad võrdusi
 ,
 .
Taandatud ruutvõrrandi  lahendid  ja  rahuldavad võrdusi
 ,
 .
Need valemid avastas 16. sajandil prantsuse matemaatik François Viète, kelle järgi nad on ka nime saanud.

Kehtib ka vastupidine: kui  ja  rahuldavad nimetatud võrdusi, siis on need arvud vastava ruutvõrrandi lahendid.

Viète'i valemid järelduvad vahetult ruutpolünoomi esitusest lineaartegurite korrutisena, kui seal sulud lahti korrutada. Nimelt, kui  ja  on ruutvõrrandi lahendid, siis
 .
Et kaks polünoomi on võrdsed parajasti siis, kui vastavate liikmete kordajad on võrdsed, siis saame esimeses ja viimases avaldises lineaarliikmeid ja vabaliikmeid võrreldes seosed  ja . Nendest tulenevad Viète'i valemid üldkujulise ruutvõrrandi jaoks. Viète'i valemid taandatud ruutvõrrandi jaoks saame erijuhul , , .

Praktikas võimaldavad Viète'i valemid ruutvõrrandi lahendite õigsust kontrollida. Samuti aitavad nad mõnel juhul võrrandit peast lahendada. Näiteks ruutvõrrandi  lahendamisel on vaja leida arvud  ja , mille puhul  ja . Need arvud on  ja .

Viète'i valemite abil saab lihtsasti leida ruutfunktsiooni  graafiku haripunkti. Et graafik on sümmeetriline haripunkti läbiva vertikaalsirge suhtes, siis on haripunkti -koordinaat ruutvõrrandi lahendite aritmeetiline keskmine:
 .
Haripunkti -koordinaadi saame seejärel arvutada ruutfunktsiooni väärtusena leitud argumendil:
 .
Viimaste valemite lõppkujud kehtivad olenemata sellest, mitu reaalarvulist lahendit ruutvõrrandil on. Haripunkti koordinaatide teadmine on mõnikord kasulik ruutfunktsiooni graafiku joonestamisel.

Viète'i valemeid saab üldistada ükskõik millise astmega polünoomi juhule.

 Kompleksarvulised lahendid 
Kui reaalarvuliste kordajatega ruutvõrrandi diskriminant  on negatiivne, siis võrrandil puuduvad reaalarvulised lahendid, aga on olemas kompleksarvulised lahendid. Kui , siis ruutvõrrandi lahendivalemis on , kus  on imaginaarühik, ning üldkujulise ruutvõrrandi lahendid avalduvad valemiga
 .
Need lahendid on teineteise kaaskompleksid.

Näiteks võrrandi  puhul on . Võrrandi lahendid on seega
 .
Lahendite järgi saab vasaku poole esitada lineaartegurite korrutisena, ülaltoodud näites
 .

 Lahendamismeetodid 

Kuigi iga ruutvõrrandit saab lahendada lahendivalemi abil, on teinekord otstarbekam kasutada mõnda muud meetodit, mis nõuab vähem arvutustööd.

 Erikujulised võrrandid 

Mittetäieliku ruutvõrrandi lahendeid on võimalik leida võrrandi teisendamise teel.

 Võrrandi  viime kujule , millest . Järelikult võrrandi lahendid on  ja .
 Võrrandi  viime kujule . Järelikult võrrandi lahendid on  ja .
 Võrrandi  lahendid on .

Mõnikord kehtib võrrandi  kordajate vahel seos, mille alusel saab võrrandi lahendid otse välja kirjutada. Levinuimad nendest seostest on järgmised.

 Võrrandi kordajate summa on null. Sellise võrrandi lahendiks on , sest asetades selle võrrandisse, saame võrduse . Teine lahend on Viète'i valemite põhjal . Seega võrrandi  lahendid on  ja , võrrandi  lahendid aga  ja .
 Võrrandi lineaarliikme kordaja võrdub kahe ülejäänud kordaja summaga. Sellise võrrandi lahendiks on , sest asetades selle võrrandisse, saame  ehk . Teine lahend on Viète'i valemite põhjal . Näiteks võrrandi  lahendid on  ja .

Viimaseid seoseid saab üldistada ka kõrgemat järku võrranditele.

 Ruutkolmliikme tegurdamine 

Vaatleme kõigepealt taandatud ruutvõrrandit . Tegurdamismeetodi puhul püütakse lahutada võrrandi vasak pool lineaartegurite korrutiseks ja viia võrrand kujule . Et kahe arvu korrutis on null parajasti siis, kui vähemalt üks tegur on null, peab olema  või . Seega üks lahend on  ja teine lahend .

Näiteks ruutvõrrandi  lahendamiseks lahutame vasaku poole teguriteks: . Siit saame võrrandi lahendid  ja .

Sobivat teguriteks lahutust aitab otsida asjaolu, et arvude  ja  summa võrdub arvuga  ja korrutis arvuga . Seda näeme sulge avades: .

Tegurdamismeetodit kasutatakse valdavalt olukorras, kus võrrandi kordajad  ja  on täisarvud. Kui täisarvuliste kordajatega taandatud ruutvõrrandil leidub lahendeid ratsionaalarvude seas, siis on need lahendid samuti täisarvud. Seega võime sobivate  ja  leidmiseks lahutada võrrandi vabaliikme  kõikvõimalikel viisidel kahe täisarvu korrutiseks ja kontrollida, kas nende arvude summa on . Näiteks võrrandi  puhul vaatame läbi arvu  teguriteks lahutused ,  jne, kuni leiame lahutuse , mille tegurite summa on . Kui ükski variant vajalikku summat ei anna, siis võrrandil täisarvulisi ega üldse ratsionaalarvulisi lahendeid ei ole. Sel juhul on võrrandi lahendid irratsionaalarvud (või kompleksarvud).

Üldkujulise ruutvõrrandi  lahendamiseks püütakse võrrand esitada kujul . Siit  või . Ruutvõrrandi lahendid on  ja .

Üldkujulise ruutvõrrandi saab teisendada tegurdamiseks sobivamaks taandatud ruutvõrrandiks kordaja üleviimise võttega. Lähtume võrrandist

ja korrutame mõlemat poolt ruutliikme kordajaga :
 .
Toome sisse uue muutuja  ning kirjutame võrrandi taandatud ruutvõrrandina
 .
Saadud ruutvõrrand erineb esialgsest võrrandist ainult selle poolest, et ruutliikme kordaja  on üle läinud vabaliikmesse. Selle võrrandi lahendamisel saame lahendid  ja . Lähtevõrrandi lahendid on  ja .

pisi|Arvu  kõik lahutused täisarvude korrutiseks, kus tegurite järjekord pole oluline
Kui lähtevõrrandi kordajad ,  ja  on täisarvud, siis on ka saadud taandatud ruutvõrrandi kordajad täisarvud. Seetõttu piisab täisarvuliste lahendite leidmiseks vaadelda arvu  teguriteks lahutusi. Kui lähtevõrrandi kordajad on ratsionaalarvud, siis saame need teisendada täisarvudeks, korrutades võrrandi pooli kordajate nimetajate vähima ühiskordsega.

Lahendame näiteks võrrandi . Kirjutame võrrandi uue tundmatu  kaudu: . Vaatleme vabaliikme  teguriteks lahutusi ja proovime leida sellise lahutuse, kus tegurite summa on . Näeme, et  ei sobi,  ei sobi, aga  sobib. Järelikult . Seega uue võrrandi lahendid on  ja  ning esialgse võrrandi lahendid  ja .

Tegurdamismeetod ei nõua ruutjuure arvutamist, kuid võimaldab efektiivselt lahendada ainult piiratud hulka võrrandeid.

 Täisruuduks täiendamine 

Täisruuduks täiendamise meetodi idee on haarata ruutvõrrandi ruutliige ja lineaarliige täisruuduks teiseneva avaldise koosseisu, kasutades ära summa ruudu valemit . Sellega saadakse võrrand, mis sisaldab tundmatut ainult üks kord ning seda on võimalik otseste teisendustega avaldada.

pisi|Avaldise  täiendamiseks täisruuduks tuleb talle liita 
Taandatud ruutvõrrandi  lahendamiseks rakendame järgmisi samme.
 Viime vabaliikme paremale poole.
 Liidame võrrandi mõlemale poolele sellise arvu, et vasakule jääks avaldis kujul . Et peab kehtima , siis liidetav arv on .
 Kirjutame vasaku poole kujul .
 Leiame mõlemast poolest ruutjuure ja avaldame .

Illustreerime seda lahendamiskäiku võrrandi  puhul. Kirjutame võrrandi kujul
 .
Vasak pool on täisruudu avaldise algus. Et lineaarliikme kordaja  peab olema , siis . Järelikult . Liidame selle mõlemale poolele:
 .
Vasaku poole saame esitada täisruuduna:
 .
Järelikult
 .
Seega  ehk  ja .

pisi|272px|Avaldis  esitub ruutude vahena .Täisruuduks täiendamise meetodil on ka teine variant, mille puhul viime kõigepealt vabaliikme paremale poolele ja võtame vasakul ühise teguri  sulgude taha: . Nüüd avaldame vasakul teguri  avaldiste  ja  summana, teguri  aga nende vahena. Seejärel kasutame ruutude vahe valemit . Nii tekib jällegi võrrand, kust  on vahetult leitav.

Näiteks võrrandi  viime kujule
 .
Vasakul esitame  ja . Järelikult
 .
Ruutude vahe valemi põhjal saame
 .
Seega , millest  ning .

Üldkujulise ruutvõrrandi  saab ruutliikme kordajaga jagamise teel teisendada taandatud ruutvõrrandiks . Seejärel võime rakendada eelnevas esitatud võtteid. Teine võimalus on korrutada üldkujulise ruutvõrrandi pooli ruutliikme kordajaga  ning ülaltooduga analoogiliste sammude abil tekitada vasakule poolele avaldis .

Täisruuduks täiendamise meetod võimaldab lahendada ükskõik millist ruutvõrrandit. Selle abil saab tuletada ka ruutvõrrandi lahendivalemit.

 Lahendivalemi kasutamine 

Ruutvõrrandi lahendivalemi

kasutamine on universaalne meetod ruutvõrrandi lahendite leidmiseks ja seda saab rakendada seal, kus teised meetodid tulemust ei anna (näiteks ruutkolmliige pole täisarvudes tegurdatav) või nõuavad liiga palju tööd (näiteks võrrandi kordajad on murdarvud). Samuti kasutatakse lahendivalemit siis, kui ruutvõrrandi lahendamist on vaja programmeerida.

Peale tavapärase valemi on olemas veel ka teine lahendivalem
 ,
mis järeldub esimesest Viète'i valemite abil: ruutvõrrandi lahendid  ja  saab avaldada ka vastavalt kujul  ja . Teise lahendivalemi eelis on see, et juhul , , kui ruutvõrrand muutub lineaarvõrrandiks, saame üheks lahendiks selle lineaarvõrrandi lahendi, samas kui tavapärane valem annab sellisel juhul nulliga jagamise. Teise lahendivalemi puudus on see, et ta ei võimalda arvutada ühte lahendit ruutvõrrandite puhul, kus .

Teist lahendivalemit kasutatakse mõnede arvutusmeetodite koosseisus, mis peavad arvestama, et lahendatava ruutvõrrandi ruutliikme kordaja võib olla võrrandi ülejäänud kordajatega võrreldes absoluutväärtuselt väga väike või lausa null. Üks selline on näiteks Mulleri meetod.

Geomeetriline lahendamine

Geomeetriline lahendamine tähendab ruutvõrrandi lahendite konstrueerimist sirkli ja joonlaua abil. Jagades vajadusel ruutvõrrandi läbi ruutliikme kordajaga, võime eeldada, et võrrandi ruutliikme kordaja on .

Geomeetriliste meetodite seas on keskne roll meetodil, millega saab leida antud arvu ruutjuurt, see tähendab, lahendada võrrandit , kus  on positiivne arv. Järgnev konstruktsioon on esitatud Eukleidese peateose Elemendid II raamatu 14. lauses.

vasakul|pisi|Ruutjuure geomeetriline leidmine
Tõmbame lõigu  pikkusega . Pikendame seda üle punkti  punktini  nii, et lõigu  pikkus oleks . Konstrueerime poolringjoone, mille diameetriks on . Tõmbame lõigule  punktist  ristsirge. Olgu  selle ristsirge lõikepunkt poolringjoonega. Siis lõigu  pikkus on .

See järeldub kolmnurkade  ja  sarnasusest: kehtib seos , millest .

Meetodites, mis ei kasuta koordinaatsüsteemi, eeldatakse tavaliselt, et võrrandi kordajad ja lahendid on teatavate lõikude pikkused. Seetõttu peab lahendatav võrrand olema esitatav kujul, kus kõik kordajad on positiivsed, samuti vähemalt üks lahend. Täielikke taandatud ruutvõrrandeid, mis neid tingimusi rahuldavad, on kolme tüüpi: ,  ja . Viète'i valemite põhjal on neist esimesel ruutvõrrandil kaks positiivset lahendit, teisel ja kolmandal aga üks positiivne ja üks negatiivne lahend. Seejuures on teise ruutvõrrandi lahendid kolmanda võrrandi lahendite vastandarvud.

Võrrandi  lahendamiseks tõmbame lõigu  pikkusega . Konstrueerime ringjoone, mille diameeter on . Tõmbame punktist  lõigule  ristlõigu  pikkusega  ja punktist  kiire risti lõiguga . Olgu  ja  selle kiire lõikepunktid ringjoonega. Võrrandi lahendid on lõigu  pikkus ja lõigu  pikkus.

Võrrandite  ja  lahendamiseks järgime sama protseduuri kuni punkti  konstrueerimiseni. Seejärel tõmbame punktist  kiire läbi ringjoone keskpunkti . Olgu  ja  vastavalt selle kiire esimene ja teine lõikepunkt ringjoonega. Võrrandi  positiivne lahend on lõigu  pikkus ja võrrandi  positiivne lahend lõigu  pikkus.
 pisi|alt=Geomeetriline konstruktsioon|Ruutvõrrandi  lahendite leidmine geomeetrilise konstruktsiooni abil pisi|alt=Geomeetriline konstruktsioon|Ruutvõrrandite  ja  lahendite leidmineEsimese konstruktsiooni puhul rahuldavad  ja  Viète'i valemeid  ja . Teise konstruktsiooni puhul järeldub võrdusest  kas  või , mis on samaväärsed vastavate ruutvõrranditega.

pisi|292px|Carlyle'i ringjoon võrrandi  lahendamiseks
Koordinaatsüsteemi kasutamisel on võimalik lahendada ka negatiivsete kordajatega või negatiivsete lahenditega ruutvõrrandeid. Üks selline meetod on Carlyle'i ringjoon. Eeldame, et lahendatav võrrand on kujul . Märgime koordinaattasandil kaks punkti koordinaatidega  ja . Tõmbame ringjoone, mille diameetri otspunktideks on need kaks punkti. Kui see ringjoon lõikab -telge, siis on ruutvõrrandi lahenditeks lõikepunktide abstsissid.

Selle ringjoone võrrand on . Et ringjoone lõikepunktides -teljega on , siis lõikepunktide -koordinaadid rahuldavad võrrandit .

Carlyle'i ringjoonel on ka omadus, et punktid , ,  ja  asuvad korraga nii ringjoonel kui ka funktsiooni  graafikul.

Geomeetrilised meetodid olid ruutvõrrandi lahendamisel tavalised kuni keskajani, mil võimsamad ja üldisemad algebralised meetodid nad asendasid.

Vaata ka
 Biruutvõrrand
 Ruutpolünoom
 Ruutvorm

Kategooria:Elementaaralgebra
Kategooria:Võrrandid