Eralduvate muutujatega esimest järku diferentsiaalvõrrand

Eralduvate muutujatega esimest järku diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse diferentsiaalvõrrandit, millele saab anda kuju f1(y)dy=f2(x)dx. Niisuguse võrrandi kumbki pool on ühest muutujast sõltuva avaldise korrutis selle muutuja diferentsiaaliga. Võrrandi teisendamist sellisele kujule nimetatakse muutujate eraldamiseks.

Et lahendada eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrandit, on vaja eraldada muutujad ja pärast seda võtta võrrandi mõlemast poolest integraal.

Näited

Näide 1

Lahendada võrrand 

Lahendus:

Muutujate eraldamiseks korrutame võrrandi mõlemad pooled dx-iga

, kus märk  tähendab "Siit järeldub".

Järgnevalt integreerime vasakut poolt muutuja y, paremat poolt aga muutuja x järgi. Ehk teisisõnu võtame võrrandi mõlemast poolest integraali.

, ning saame

Vastus: Võrrandi üldlahend on .

Näide 2

Lahendada võrrand  tingimusel, et x=5 puhul y=10.

Lahendus: Muutujate eraldamiseks jagame võrrandi mõlemad pooled korrutisega xy.

, kus  tähendab "Siit järeldub".

Järgnevalt integreerime vasakut poolt muutuja y, paremat poolt muutuja x järgi ehk teisisõnu võtame võrrandi mõlemast poolest integraali.

, ning saame:

Konstandi lisamine paremale poolele kujul  kergendab potentseerimist. Pärast potentseerimist saame üldlahendi:

Erilahendi leidmiseks määrame konstandi C, milleks asetame saadud üldlahendisse algtingimused x=5 ja y=10 ning saame:

Vastus: Otsitav erilahend on y=2x

Näide 3

Lahendada võrrand y'=2(y-3), kui x=0 puhul y=4.

Lahendus: Kirjutame y' kujul  ning saame . Nüüd eraldame muutujad korrutades võrrandi mõlemad pooled läbi avaldisega  ning saame

 märk  tähendab "siit järeldub. Järgnevalt integreerime võrrandi vasakut poolt muutuja y, paremat poolt muutuja x järgi:

, saame

. 

Logaritmi definitsiooni põhjal , millest .

Leiame C väärtuse, arvestades algtingimusi: 

Vastus:otsitav erilahend on 

Näide 4

Leida punkti (3;-2) läbiva joone võrrand, kui joone puutuja tõus 

Lahendus: on teada, et puutuja tõus on joone võrrandi tuletis. Seda teadmist kasutades saame diferentsiaalvõrrandi  ehk . Eraldame muutujad korrutades võrrandi mõlemad pooled läbi dx- ga:

, kus  tähendab "siit järeldub". Järgnevalt integreerime võrrandi mõlemaid pooli:

 ning saame . Nüüd leiame C, pannes avaldisse joone punkti koordinaadid. 

Vastus: Joone võrrand on 

Näide 5

Riigi sisemajanduse kogutoodang on antud momendil 100 miljardit krooni. Statistiliste andmete analüüsimisel selgus, et iga kümne aastaga suureneb riigi sisemajanduse kogutoodang 1,5 korda. Eeldades, et riigi majanduse kogutoodangu kasv jätkub samas tempos leida:

 Riigi sisemajanduse kogutoodang 30 aasta pärast;
 Mitme aastaga kahekordistub riigi sisemajanduse kogutoodang.

Lahendus: Tähistame riigi sisemajanduse kogutoodangu käesoleval momendil tähega N ja tähega t aega, mis on möödunud momendist, mil riigi sisemajanduse kogutoodang oli 100 miljardit krooni. Sellisel juhul on riigi sisemajanduse kogutoodangu muutumise kiirus võrdne tuletisega . Kuna eeldasime, et see kiirus on võrdeline sisemajanduse kogutoodangu kasvuga riigis, saame diferentsiaalvõrrandi: , kus k on võrdetegur. Eraldame muutujad korrutades võrrandi mõlemad pooled läbi avaldisega  siis saame  integreerime võrrandi mõlemad pooled:

 ning saame pärast integreerimist:

, millest . Konstandi C leiame samast võrdusest, arvestades, et t=0 korral N= 100 (miljardit).

Konstandi k leidmisel arvestame aga asjaolu, et t=10 (aastat) Riigi sisemajanduse kogutoodang . Et C=100 saame:

. Seega väljendab riigi sisemajanduse kogutoodangut valem .

Selle valemi abil leiamegi vastused ülesande küsimustele:

 kui t=30 siis 
 Riigi sisemajanduse kogutoodangu kahekordistumisel . Sellisel juhul 

Vastus: Riigi sisemajanduse kogutoodang 30 aasta pärast on 337 miljardit krooni; Riigi sisemajanduse kogutoodang kahekordistub 17. aastaga.

Kategooria:Diferentsiaalvõrrandid