Ellips

pisi
pisi|Saturni rõngad paistavad ellipsikujulistena.
pisi|Ellipsograaf ehk ellipsisirkel.
Ellipsiks nimetatakse tasandile kuuluvate punktide hulka, mille puhul iga punkti kauguste summa kahest antud punktist, mida nimetatakse fookusteks, on jääv suurus, mis võrdub ellipsi läbimõõduga ehk pikema telje pikkusega.

Ellips on ovaalide hulka kuuluv kinnine kõverjoon. See on üks koonuselõikeid.

Ellipsi võrrand ristkoordinaadistikus on
.

Ellipsi mõiste ja sõna ἔλλειψις (élleipsis 'puudujääk') võttis kasutusele Apollonios Pergest. Nimetus on seotud ekstsentrilisusega .

Looduses esinevad ellipsid häiritusteta Kepleri orbiitidena (ümber Päikese tiirlevate planeetide orbiitidena. Ka aksonomeetrias läheb ellipseid sageli tarvis, sest ringjoon kujutub paralleelprojektsiooni korral üldjuhul ellipsiks. 

 Definitsioonid ja mõisted 
pisi|Joonisel on näidatud järgnevas tekstis kasutatavad tähistused.
Ellipsit saab defineerida mitut moodi. Peale definitsiooni punktide kauguse kaudu saab ellipsit defineerida ka ringjoone aksonomeetrilise kujutisena või lõikejoonena vastava kaldega tasandi ning kaksikkoonuse vahel. 

 Ellips kui punktihulk 
Ellipsi saab defineerida tasandi kõikide niisuguste punktide  hulgana, mille kauguste summa kahest etteantud punktist  ja  võrdub etteantud konstandiga. Punkte  ja  nimetatakse fookusteks.

See konstant peab olema suurem kui .

Kui fookused langevad kokku, siis  on ringjoon. See juhtum jäetakse sageli vaikimisi välja, sest enamik ütlusi ellipsite kohta on ringjoone juhtumil triviaalsed.

 Haripunktid ja teljed 
Mõlemat fookust läbivat telge nimetatakse peateljeks ning keskpunkt  jagab selle kaheks pikemaks poolteljeks  ja . Punkte  und  nimetatakse peaharipunktideks. Kummagi pikema pooltelje pikkust tähistatakse :

Analoogselt räägitakse kõrvalharipunktidest  ja  ning kõrvalteljest, mis koosneb lühematest pooltelgedest  ja . Lühemate pooltelgede pikkust tähistatakse :

Pea- ja kõrvaltelg on omavahel risti ja lõikuvad punktis .

 Spetsiaalsed kaugused 
pisi|Ellipsi definitsioon punktihulgana: lõik ühest fookusest ellipsi ääreni ja lõik edasi teise fookuseni annavad kokku alati sama pikkuse.

Definitioonivõrrandist koos sümmeetriakaalutlustega tuleneb, et kõrvalharipunktide  ja  kaugus fookustest  ja  võrdub suurusega  definitsioonist:

Sümmeetriakaalutluste tõttu kehtib 

See tähendab, et punktihulga saab esitada konkreetsel kujul:
.

Fookust läbiva ja peateljega risti oleva kõõlu poolpikkust  nimetatakse ellipsi poolparameetriks, mõnikord ka lihtsalt parameetriks p:

Ellipsi ekstsentrilisus

Ellipsi kuju saab kirjeldada arvuga, mida nimetatakse ekstsentrilisuseks. See näitab ellipsi fookuste vahelist suhtelist kaugust. See on ühest väiksem mittenegatiivne arv, mida tähistatakse tavaliselt tähega .

Ellipsil, mille pikema pooltelje pikkus on  ja lühema pooltelje pikkus on , on ekstsentrilisus 

.

Fookuste kaugust keskpunktist nimetatakse lineaarseks ekstsentrilisuseks ja tähistatakse . Lineaarse ekstsentrilisuse saab Pythagorase teoreemi järgi arvutada täisnurksest kolmnurgast :

Dimensioonita suurus ekstsentrilisus 

.

Sellest järeldub:

;
.

Kui , siis  ja ellips on ringjoon.

Kui , siis  ja ellipsit nimetatakse võrdkülgseks ellipsiks ehk ilusaima kujuga ellipsiks. 

Kui  on palju suurem kui , siis  on ligi 1 ning ellips on seega lähedane paraboolile.

 Ellips kui koonuselõige 
Ellipsit võib vaadelda tasandi lõikena koonusega (koonuselõige), kusjuures lõikenurk tasandi ja koonuse telje vahel peab olema suurem kui pool kaksikkoonuse avanurgast. 

Defineerivat omadust ("summa kaugustest kahe fikseeritud punktini...") saab Dandelini kerade abiga tõestada.

 Ellips kui üks silindri lõige
Ka silindri lõikamisel tasandiga tekib ellips, kui lõige pole silindri teljega risti ja lõige ei läbi silindri tasapinnalisi osi (silindri põhjasid).

 Peaasend ja analüütiline definitsioon 
Ellips, mille keskpunkt on koordinaatide alguspunkt ja mille peatelg langeb kokku x-teljega, nimetatakse ellipsit 1. peaasendis. Niisuguse ellipsi punktide koordinaatide kohta kehtib võrrand 

.

 Ellips kui ühikringjoone afiinne kujutis 
pisi|Ellips kui ühikringjoone afiinne kujutis
Teine ellipsi definitsioon kasutab afiinset kujutust. Ellipsit defineeritakse ühikringjoone afiinse kujutusena. Afiinsel kujutusel reaaltasandil on kuju , kus  on regulaarne maatriks (determinant ei ole 0) ja  suvaline vektor. Kui  on maatriksi  veeruvektorid, siis kujutatakse ühikringjoon  ellipsile. 
.  on keskpunkt ja  on ellipsi kaks konjugeeritud diameetrit.  ei asetse üldjuhul omavahel risti. See tähendab,  ja  ei ole üldjuhul ellipsi haripunktid. See ellipsi definitsioon annab suvalise ellipsi lihtsa parameetrilise esituse.

Et haripunktis on puutuja vastava diameetriga risti ja puutuja suund ellipsi punktis on 
, saadakse haripunkti parameeter  võrrandist 

ja seega võrrandist .
(Kasutati valemeid .)

Kui , siis  ja parameetriline esitus on juba haripunktikujul.

Ellipsi neli haripunkti on 

Ellipsi parameetrilise esituse haripunktikuju on 

Näited:
pisi|Ellips: teisendus haripunktikujule (näide 3)
 annab ellipsi tavalise parameetrilise esituse võrrandiga .

Erijuhud
Koonuselõigete kontekstis nimetatakse koonuse keskteljega risti oleva tasandi lõiget, ringjoont, ellipsi erijuhtumiks: kattuvate fookustega ellipsiks. Sellise ellipsi ekstsentrilisus on 0 ja fookuse mõiste kattub ringjoone keskpunkti mõistega. 

Kui ellipsi ekstsentrilisus läheneb ühele, venib ellips aina pikemaks, säilitades siiski kinnise lapiku joone kuju. Kui koonust lõikava tasapinna nurk saab paralleelseks koonuse moodustajaga, saab kõverjoone ekstsentrilisus väärtuseks 1 ja lapik kinnine joon katkeb, muutudes U-tähe kujuliseks parabooliks, mille haarad kokku ei puutu.

Vaata ka
 Ellipsograaf
 Ovaal
 Elliptilised koordinaadid

 Viited 

Välislingid

  (ingliskeelne lehekülg mathworld.wolfram)

Kategooria:Elementaargeomeetria