Alamhulk

Matemaatikas nimetatakse hulka A hulga B alamhulgaks ehk osahulgaks ehk alamsüsteemiks. Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002)  kui kõik hulga A elemendid on ühtlasi hulga B elemendid. Seda asjaolu tähistatakse A ⊂ B või A ⊆ B. P. Oja, Hulgateooria (2006), lk 6  Alamhulgaks olemist nimetatakse sisalduvuseks ja asjaolu A ⊂ B kohta öeldakse ka, et hulk A sisaldub hulgas B. Hulkadevahelist binaarset seost ⊂ nimetatakse seetõttu sisalduvusseoseks. 

Võib ka öelda, et B on A ülemhulk, mis on samaväärne sellega, et A on B alamhulk. Hulk B on hulga A ülemhulk parajasti siis, kui hulk A on hulga B alamhulk. Viimase asjaolu tõttu kanduvad ülemhulgale üle kõik alamhulkade omadused, kuid seda ümberpööratud kujul.

 Omadused  
Definitsioonist järelduvad järgmised omadused:
<li> Refleksiivsus: iga hulk on iseenda alamhulk,

<li> Antisümmeetrilisus: kui A on hulga B alamhulk ja B on hulga A alamhulk, siis need hulgad on võrdsed,


<li> Transitiivsus: kui A on hulga B alamhulk ja B on hulga C alamhulk, siis on A ka hulga C alahulk.

<li> Tühi hulk ø on iga hulga alamhulk.

Omadused (1)–(3) ütlevad, et ⊂ on osaline järjestus kõikide hulkade klassil, ning omadus (4) ütleb, et ø on selle järjestuse vähim element.

 Tähistusest 
Kui hulk A on hulga B alamhulk, mis ei ühti hulgaga B, siis nimetatakse seda hulga B pärisalamhulgaks. Viimase asjaolu rõhutamiseks kasutatakse mõnikord tähistust
 .
Kui soovitakse rõhutada omaduse (1) kehtivust, kasutatakse tähistust
 ,
kusjuures mõned autorid võivad sel juhul kirjapildiga ⊂ tähistada just pärisalamhulgaks olemist. Viimane tähistusviis on siiski pigem erand kui reegel.

Kasutusel on ka "ümber pööratud" tähistus
.
Sel juhul öeldakse, et A on B ülemhulk.

 Näited 
 Hulk {1, 2} on hulga {1, 2, 3} pärisalamhulk.
 Hulk {1, 3, 4} on hulga {1, 2, 3, 4} pärisalamhulk. 
 Hulk {1, 2, 3, 4} on hulga {1, 2, 3, 4} alamhulk, kuid mitte pärisalamhulk.
 Hulk {1, 2, 4, 5} ei ole hulga {1, 2, 3, 4} alamhulk.
 Naturaalarvude hulk on täisarvude hulga pärisalamhulk. 
 Naturaalarvude hulk on ratsionaalarvude hulga pärisalamhulk. 
 Ratsionaalarvude hulk on reaalarvude hulga pärisalamhulk.
 Täisarvude hulk ei ole naturaalarvude hulga alamhulk.
 Hulk {x : x on 2000-st suurem algarv} on hulga {x : x on 1000-st suurem paaritu arv} pärisalamhulk.
 Ruutude hulk on rombide hulga pärisalamhulk ja ristkülikute hulga pärisalamhulk.
 Rombide hulk ei ole ristkülikute hulga alamhulk. 
 Mis tahes hulk on iseenda alamhulk, kuid mitte iseenda pärisalamhulk. 
 Tühi hulk  on mis tahes hulga alamhulk. (See on tühi tõde.) Tühi hulk on alati pärisalamhulk, välja arvatud iseenda puhul.

 Karakteristlik funktsioon 
Hulga B alamhulga  saab defineerida tema karakteristliku funktsiooni  kaudu:
.

χA(b) võrdub 1, kui b on hulga A element, vastasel korral võrdub 0.

Vaata ka

 Potentshulk ehk kõigi alamhulkade hulk

 Viited 

Kategooria:Hulgateooria

ro:Mulțime#Submulțimi