Algarv

Algarv (inglise keeles prime number) on naturaalarv, mis on suurem kui 1 ja jagub ainult arvuga 1 ja iseendaga.

Seega erinevad algarvud teistest naturaalarvudest selle poolest, et neil on täpselt kaks erinevat naturaalarvulist jagajat. 

Ühest suuremaid naturaalarve, mis jaguvad peale ühe ja iseenda veel mõne naturaalarvuga, nimetatakse kordarvudeks. Arv 1 ei ole algarv ega kordarv.

Algarvulisi muutujaid tähistatakse tavaliselt tähtedega  ja , vajaduse korral kasutatakse alaindekseid. 

Kõigi algarvude hulk on naturaalarvude hulga alamhulk. Seda tähistatakse tavaliselt sümboliga  .

Kasvavalt järjestatud algarvude jada 

 .

 Algarvude omadused 
Algarve iseloomustab naturaalarvude seas see, et neil on täpselt kaks naturaalarvulist jagajat.Armin Leutbecher: Zahlentheorie: Eine Einführung in die Algebra. Springer, 1996, ISBN 3-540-58791-8, lk 18.

Kõik algarvud peale arvu 2 on paaritud, sest kõik suuremad paarisarvud jaguvad peale iseenda ja 1 ka (vähemalt) arvuga 2. Seetõttu on igal algarvul peale arvu 2 kuju , kus  on naturaalarv.

Igal algarvul  on üks kujudest  ja , kus  on naturaalarv. Esimese  algarvu  seas on  -l kuju  ja -l kuju . Kui jada jätkata, siis läheneb kummagi kuju osatähtsus väärtusele .Martin Erickson: Mathematische Appetithäppchen – Faszinierende Bilder. Packende Formeln. Reizvolle Sätze. Tlk Roland Girgensohn. Springer Spektrum, Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2015, ISBN 978-3-662-45458-9, lk 8. Originaal: Martin Erickson: Beautiful Mathematics. Mathematical Association of America, 2011.

Igal algarvul  on üks kujudest  või  , kus  on naturaalarv.

Igal algarvul  on üks kujudest  või , kus  on naturaalarv. 

Iga algarv  lõpeb ühega numbritest 1, 3, 7 või 9. Dirichlet' teoreemist tuleneb, et iga numbriga neist lõpeb lõpmata palju algarve. 

Algarve on lõpmata palju

4. sajandil eKr tõestas Vana-Kreeka matemaatik Eukleides, et leidub lõpmata palju algarve. Ta kasutas vastuväitelist tõestust. Tänapäeva mõistestikku ülekantuna oletas ta, et algarve on lõplik hulk  ja konstrueerides seejärel naturaalarvu . Nii konstrueeritud naturaalarv ei saa olla algarv, sest ei leidu suuremaid algarve kui , seetõttu peab ta olema kordarv ja tal leidub algarvulisi jagajaid. Kui mingi algarv  jagab arvu  ja võrduse paremal poolel olevat algarvude korrutist, siis peab ta jagama ka arvu 1, mis ei ole aga võimalik, sest . Vastuolu tekkis oletusest, et algarve on lõplik hulk. Tänapäeval tuntakse seda väidet Eukleidese teoreemina, millel on terve rida tuntud tõestusi.

 Algarvude jaotumine 
Algarvude asukoht naturaalarvude jadas tundub olevat juhuslik. Kaks algarvu 2 ja 3 on järjestikused naturaalarvud. Leidub ka üksteisele väga lähedal asuvaid algarve. Algarve kujul  ja  nimetatakse algarvukaksikuteks. Näiteks 29 ja 31 ning 41 ja 43 .

On tõestatud, et iga naturaalarvu  korral leidub arvude  ja  vahel algarv.

Sümboliga  tähistatakse naturaalarvu  mitteületavate algarvude arvu. Funktsiooni  nimetatakse algarvude jaotusfunktsiooniks.

Väikeste argumentide korral saab funktsiooni  väärtusi leida peast:  .

Suurte arvude jaoks on saadud ligikaudne hinnang:

.

 Algarvude genereerimine 
pisi|405x405px|Eratosthenese sõel leiab naturaalarvude hulgast kõigepealt paarisarvud (punane), seejärel arvu 3 kordsed (roheline), arvu 5 kordsed (sinine) ja arvu 7 kordsed (kollane). Hallidele ruutudele jäänud arvud on väiksemad kui 11²=121 ja on seega algarvud.Üks vanimaid algoritme algarvude tabeli koostamiseks on Vana-Kreeka matemaatiku Eratosthenese poolt III sajandil eKr loodud lihtne meetod, mida tuntakse Eratosthenese sõelana: kõik algarvud, välja arvatud arv 2, kuuluvad paaritute arvude hulka ja sisalduvad reas

Iga kordarv on mingi algarvu kordne, seega tuleb arvureas maha tõmmata kõik algarvu 3 kordsed alates arvust . Järgmine algarv on 5, nüüd saab maha tõmmata arvu 5 kordsed alates arvust . Analoogiliselt toimitakse edasi. Kui algarvust  väiksemate algarvude kordsed on maha tõmmatud, siis kõik allesjäänud arvud, mis on väiksemad kui , on algarvud. Nii saab leida kõik algarvud vahemikus , kus  on mingi etteantud naturaalarv.

Algarvude saamiseks on püütud leida ka valemeid. Näiteks Millsi valem

või Wrighti valem

,

kus  tähistab suurimat täisarvu, mis on väiksem kui . Seni leitud valemeid ei loeta lihtsateks ja efektiivseteks.

 Miks 1 ei ole algarv 
Algarvu definitsioon lähtub otstarbekusest. 

Algarvu mõiste on matemaatika ajaloos muutunud. Näiteks arvas Godfrey Harold Hardy veel 1908. aastal arvu 1 algarvude hulka, kuid hiljemalt 1929. aastal enam mitte.Caldwell, Reddick, Xiong 2012, Article 12.9.8.  Alates 20. sajandist arvu 1 tavaliselt algarvuks ei loeta. 

Argument selle kasuks, et 1 peaks olema algarv:
 Definitsiooni „Algarvud jaguvad ainult iseendaga ja arvuga 1" järgi on igal algarvul ülimalt kaks jagajat. Arvu 1 puhul on jagajaid üks, teiste algarvude puhul kaks.

Selle kasuks, et 1 ei peaks olema algarv, räägivad järgmised argumendid:
 Igal algarvul on täpselt kaks jagajat (arv 1 ja see arv ise), mis tähendab, et need jagajad on eri arvud. 
 Algteguriteks lahutamine on ühene. Kui 1 oleks algarv, siis saaks näiteks kordarvu 6 lahutada algteguriteks paljudel viisidel, näiteks .
 Sel juhul tuleks algteguriteks lahutamise ühesus sõnastada keerulisemalt.
 Kahe algarvu korrutis on alati kordarv. Arvu 1 le korrutis algarvuga on algarv. Kui 1 oleks algarv, peaks kordarvu definitsioon olema keerulisem. 
 Eratosthenese sõel tuleks teisiti sõnastada, sest muidu jääks sõelale ainult arv 1.
 Euleri φ-funktsiooni väärtus on kõikide algarvude  puhul . Ent . Kui 1 oleks algarv, tuleks see väide keerulisemalt sõnastada..

 Viited 

Kirjandus
Chris K. Caldwell, Angela Reddick, Yeng Xiong.  The History of the Primality of One: A Selection of Sources – Journal of Integer Sequences,  2012, lk 1–40. Veebis

Välislingid

Citizendiumi artikkel

Kategooria:Arvuteooria
Kategooria:Elementaarmatemaatika