Ühisosa

Matemaatikas on hulkade A ja B ühisosa ehk lõige ehk korrutis hulk, mis koosneb kõikidest hulkade A ja B ühistest elementidest.

Hulkade A ja B ühisosa tähistatakse A∩B.

Hulkade ühisosa leidmine moodustab mis tahes hulkade hulgal binaarse tehte, mingi hulga alamhulkade hulgal binaarse algebralise tehte.

 Definitsioon 

Hulkade A ja B ühisosa A  ∩ B on hulk, mille moodustavad parajasti kõik sellised elemendid, mis kuuluvad hulka A ja hulka B.

Sümbolite abil väljendudes,

,

kus  tähistab konjunktsiooni.

 Näited 

 Hulkade {1, 2, 3} ja {2, 3, 4} ühisosa on {2, 3}.
 Arv 9 ei ole algarvude hulga {2, 3, 5, 7, 11, ...} ja paaritute naturaalarvude hulga
{1, 3, 5, 7, 9, 11, ...} ühisosa element.

 Omadused 

Hulkade ühisosa leidmisel on järgmised omadused:
 assotsiatiivsus 

 kommutatiivsus

 idempotentsus

 Hulkade kogumi ühisosa 

Üldiselt saab rääkida mittetühja hulkade kogumi

ühisosast

,

kus I tähistab mõnd indeksihulka. Teisisõnu on hulga   elementideks on parajasti kõik sellised elemendid, mis kuuluvad ühtlasi ka igasse hulka .

Nullaarne lõige
Mõnikord räägitakse ühisosast ka juhul, kui  on tühi hulk.

pisi|Sulgudes olevate argumentide konjunktsioonid.Mitte ühegi argumendi konjunktsioon on tautoloogia (võrdle tühja korrutisega); vastavalt on mitte ühegi hulga lõige universum
Eelpool jäi vaatluse alt välja juhtum, kus M on tühi hulk ∅. Kogumi M lõige on defineeritud kui 

Kui M on tühi, siis ükski hulk ei ole hulga M element, nii et jääb küsimus, millised muutuja x väärtused rahuldavad seda tingimust. Paistab, et kõik võimalikud väärtused. Kui M on tühi, siis see tingimus on tühi tõde. Nii et tühja kogumi lõige peaks olema universaalhulk (lõike leidmise tehte universaalhulk), mida hulgateoorias ZFC ei eksisteeri.

Selle raskuse saab osaliselt lahendada, kui piirduda fikseeritud hulga U (universum) alamhulkadega. Sel juhul võib hulga U alamhulkade kogumi lõike defineerida nii:

Kui nüüd M on tühi, siis raskust ei teki. Lõige on lihtsalt kogu universum U, mis on lõike leidmise tehte ühikelement.

Ühisosata hulgad

Kui   on tühi hulk, siis öeldakse, et hulga M elemendid on ühisosata hulgad. Kui A∩B on tühi hulk, siis A ja B on ühisosata hulgad.

 Vaata ka 
 Lõikegraaf
 Konjunktsioon
 Naiivne hulgateooria
 Ühend
 Täiend
 Hulkade vahe
 Sümmeetriline vahe
 Võimsus
 Itereeritud binaarne tehe
 MinHash

Kategooria:Hulgateooria