Lineaarvõrrand

Lineaarvõrrand ehk esimese astme võrrand on elementaaralgebras võrrand, mis saadakse kahe lineaarfunktsiooni võrrutamisel, näiteks

3x + y – 5 = –7x +4y + 32x – 3y + 1 = 3x + 2y + 1 = 2x–4x – 3 = x + 1
6x + y – z + 1 = 3x + zLineaarvõrrandis on kummalgi poolel polünoomid, milles kõik tundmatud on kas astmes 1 või astmes 0, kusjuures vähemalt üks tundmatu esineb astmes 1. Lineaarvõrrandis ei tohi muuhulgas sisaldada tundmatute astmeid (välja arvatud esimene aste) ja omavahelisi korrutisi, näiteks ei tohi seal sisalduda liiget kujuga x2.

Järgmised võrrandid ei ole lineaarvõrrandid: 
2x – x = 3x<sup>2</sup> – x – 1 = 2xsin x – 2x – 1 = 2
|x| – 1 = 0
2x – 3y2 + 1 = 3

Võib rääkida ka võrrandi lineaarsusest teatud tundmatute suhtes: see tähendab, et need tundmatut esinevad võrrandis astmes 1. Näiteks võrrand 2x – 3y2 + 1 = 3 on lineaarne tundmatu x suhtes, kuid ei ole lineaarne tundmatu y suhtes.

Lihtne lineaarvõrrand on näiteksy = 3x.

Selle võrrandi graafik on sirge. Sellest tulenebki lineaarvõrrandi nimetus.

Mis tahes lineaarvõrrandit tundmatutega (muutujatega)  x ja y saab viia kujuley = ax + bkonstantidega a ja b või siis kujulex = c või 0 = 0.

Viimased kaks kuju vastavad erandjuhtudele, kus funktsiooni graafik on vertikaalne y-teljega paralleelne sirge või hõlmab kogu tasandi.

Muutujaid võib olla ka üle kahe. Kui võrrandeid on korraga mitu (moodustavad võrrandisüsteemi), siis on tegemist lineaarvõrrandite süsteemiga.

Seos lineaarfunktsioonide ja lineaarsete operaatoritega

Ülaltoodud näites (kuid mitte mainitud erandjuhtudel) on muutuja y muutuja x funktsioon ning selle funktsiooni graafik on võrrandi graafik.

Rakendustes esinevad sageli võrrandid kujuly = f(x),

kus funktsioonil f on järgmised omadused:f(x+y) = f(x)+f(y);f(ax) = af(x),

kus a'' on skalaar.

Neid omadusi rahuldavat funktsiooni nimetatakse lineaarfunktsiooniks või lineaarseks operaatoriks.

Ülaltoodud omaduste (lineaarsuse) tõttu saab seda laadi lineaarvõrrandi lahendeid üldjuhul esitada sama võrrandi lahendite lineaarfunktsioonina. See teeb lineaarvõrrandite lahendamise ja käsitlemise eriti lihtsaks.

Lineaarvõrrandid esinevad rakendusmatemaatikas väga sageli. Nad võivad tekkida paljude nähtuste modelleerimisel, kuid eriline tähtsus on neil mittelineaarsete võrrandite lahendamisel: neid saab lähendada lineaarvõrranditega.

Vaata ka
 Lineaarvõrrandite süsteem
 Sirge
 Ruutvõrrand, Kuupvõrrand, Neljanda astme võrrand, Viienda astme võrrand
 Lineaarvõrratus
 Lineaarne diferentsiaalvõrrand

Kategooria:Võrrandid
Kategooria:Lineaaralgebra