Binaarne tehe

Binaarne tehe ehk kahekohaline tehe ehk binaarne operatsioon ehk binaarne operaator ehk düaadiline tehe ehk düaadiline operatsioon on laiemas mõttes kahe muutuja funktsioon, kitsamas mõttes kahe muutuja funktsioon, mille argumendid kuuluvad tema muutumispiirkonda.

Binaarne tehe kitsamas mõttes ehk binaarne algebraline tehe on binaarne algebraline tehe hulgal S on kahe muutuja funktsioon S-ilt ja S-ilt S-isse, teiste sõnadega funktsioon f otsekorrutiselt S × S hulka S.

Eriti informaatikas kasutatakse seda terminit mõnikord laiemas mõttes. Sel juhul esitatakse tingimus, et funktsiooni väärtused kuuluvad samasse hulka, kuhu argumendidki, kinnisuse omadusena.

 Definitsioon  
Kahekohaliseks tehteks hulgal A nimetatakse kujutust , kus B on mingi hulk (mis võib olla võrdne hulgaga A, aga ei pruugi). 

Kahekohaliseks algebraliseks tehteks hulgal A nimetatakse kujutust . Sõna algebraline rõhutab siin seda, et tehte rakendamise tulemus peab kuuluma samasse hulka, kust on võetud argumendid. Kahekohaline viitab sellele, et tehtel on kaks argumenti. Kahekohaline algebraline tehe on n-kohalise algebralise tehte kõige olulisem erijuht.

Näiteks naturaalarvude liitmine () on algebraline tehe, aga naturaalarvude lahutamine on tehe, mis ei ole algebraline (see on kujutus ). 

Kolmemõõtmelise ruumi vabavektorite vektorkorrutamine on algebraline tehe selle ruumi vabavektorite hulgal , aga skalaarkorrutamine on tehe, mis ei ole algebraline (see on kujutus ).

 Binaarsed tehted üldalgebras 
Binaarsetel algebralistel tehetel on väga tähtis koht üldalgebras: nad esinevad rühmades, monoidides, poolrühmades ja mujal. Ühe binaarse tehtega hulga üldnimetus on "rühmoid".

 Binaarsete tehete eriomadused ja näited 
Paljud huvipakkuvad binaarsed tehted on kommutatiivsed või assotsiatiivsed. Paljudel on ka ühikelemendid ja pöördelemendid.

Binaarset tehet nimetatakse assotsiatiivseks, kui mis tahes x, y ja z korral f(x, f(y, z)) = f(f(x, y), z).

Binaarset tehet nimetatakse kommutatiivseks, kui mis tahes x ja y korral f(x, y) = f(y, x).

Näiteks täisarvude liitmine ja korrutamine on assotsiatiivne ja kommutatiivne.

Binaarset tehet nimetatakse alternatiivseks, kui mis tahes x ja y korral f(x, f(x, y)) = f(f(x, x), y) ja f(f(x, y), y) = f(x, f(y, y)). See tingimus on nõrgem kui assotsiatiivsus.

Binaarset tehet nimetatakse assotsiatiivseks astmetel, kui mis tahes x korral f(x, f(x, x)) = f(f(x, x), x). See tingimus on nõrgem kui alternatiivsus.

Binaarsete tehete tüüpilisteks näideteks on liitmine naturaalarvude, täisarvude, ratsionaalarvude, reaalarvude, kompleksarvude  ja maatriksite liitmine (+) ja korrutamine (×) ning funktsioonide kompositsioon (liitfunktsioonide moodustamine) mingil hulgal. Olgu meil on hulk S ja kaks funktsiooni   r : S → S ja   s : S → S. Siis kompositsioon   r  o   s : S → S on funktsioon, mis on määratud nii: (  r  o   s ) (x) =   r (  s (x)) mis tahes x   S korral. Nõnda on defineeritud assotsiatiivne binaarne tehe o hulgal S.

Mittekommutatiivsed tehted on näiteks lahutamine (–), jagamine (/) ja  astendamine (^).

Jagamine ei ole binaarne tehe ei naturaalarvude, täisarvude, ratsionaalarvude, reaalarvude ega kompleksarvude hulgal, sest nulliga jagamine ei ole defineeritud. Naturaalarvude ja täisarvude hulgal on teisigi raskusi: näiteks 1 ja 3 jagatis ei ole defineeritud, sest 1/3 ei ole naturaal- ega täisarv.

 Tähistused 
Sageli kirjutatakse binaarseid tehteid funktsionaalse notatsiooni f(a,b) asemel infiksnotatsioonis a * b, a + b või a · b. Neid saab väljendada ka prefiksnotatsiooni või postfiksnotatsiooni abil. Poola notatsioon on üks prefiksnotatsioon, mis saab läbi ilma sulgudeta. Praegu on rohkem kasutusel Poola notatsiooni postfiksversioon ümberpööratud Poola notatsioon.

 Binaarsed välistehted 
Binaarne välistehe on kahe muutuja funktsioon K-lt ja S-ilt  S-isse. Binaarsest tehtest kitsamas mõttes erineb binaarne välistehe selle poolest, et K ja S ei pruugi kokku langeda. K elemendid tulevad väljastpoolt.

Binaarse välistehte näiteks on skalaarkorrutamine lineaaralgebras.  Selles näites on K korpus ja S on vektorruum üle selle korpuse.

Binaarset välistehet võib vaadelda ka mõjuna: K mõjub S-ile.

 Vaata ka 
Binaarne algebraline tehe

Kategooria:Üldalgebra
Kategooria:Elementaaralgebra