Naturaalarv

Naturaalarv on sõltuvalt kontekstist kas üks arvudest 1, 2, 3, ... või üks arvudest 0, 1, 2, 3, ...; kõikide naturaalarvude hulka tähistatakse sümboliga . Segaduse vältimiseks kasutatakse mõnikord vastavalt tähistusi  ja . Matemaatikas on tänapäeval levinum nulli arvamine naturaalarvude hulka.

Naturaalarvude kaks põhilist otstarvet on loendamine ja järjestamine.

Kaks naturaalarvukontseptsiooni
Vanem traditsioon nulli naturaalarvude hulka ei arva (null tuli Euroopas kasutusele alles 13. sajandil). Seda definitsiooni kasutatakse rohkem sellistes matemaatika valdkondades nagu arvuteooria, kus esiplaanil on naturaalarvude korrutamine. 

Loogikas, hulgateoorias ja informaatikasNäiteks Edsger W. Dijkstra. Why numbering should start at zero, 11.8.1982. on rohkem kasutusel nulliga definitsioon, mis lihtsustab esitust. Üksnes sel juhul moodustavad naturaalarvud liitmise suhtes monoidi ja koos korrutamisega kommutatiivse poolringi.

Dijkstra põhjendus on järgmine. Selleks et tähistada mõnd järjestikuste naturaalarvude lõplikku jada, on kõige parem kasutada alguses mitteranget ja lõpus ranget võrratusmärki, näiteks jada 2, 3, ..., 12 kujul 2 ≤ i < 13. Üks eelis on see, et nõnda võrdub jada pikkus parempoolse ja vasakpoolse arvu vahega. Teiseks, kui arvude seas on esimene naturaalarv, ei ole tarvis kirjutada algusse mittenaturaalarvu. Peale selle, kui jada on tühi, ei ole tarvis kirjutada lõppu mittenaturaalarvu. Edasi, olgu meil mis tahes lõplik jada. Kui me tahame selle liikmeid tähistada, võttes alaindeksiteks esimesed naturaalarvud, siis 0 ≤ i < N (kus N on jada pikkus) on ilusam kui 1 ≤ i < N+1.

Aksiomaatika
Richard Dedekind defineeris 1888. aastal esimesena naturaalarvud implitsiitselt aksiomaatika abil.Dedekind 1888. 

Temast sõltumatult esitas Giuseppe Peano 1889. aastal lihtsama ja ühtlasi formaalselt täpsema aksiomaatika.Peano 1889.Dedekindist sõltumatuse kohta vt: Hubert Kennedy. The Origins of Modern Axiomatics. – American Mathematical monthly, 1972, 79, lk 133–136. Ka: Hubert Kennedy. Giuseppe Peano, San Francisco 2002, lk 35–36. See nn Peano aksiomaatika on käibele jäänud. 

Algne aksiomaatika on formaliseeritav teist järku predikaatloogikas. Tänapäeval kasutatakse sageli nõrgemat varianti esimest järku predikaatloogikas (Peano aritmeetika) Rautenberg 2007: ptk 11. 

Peano aksiomaatikaga on suguluses Robinsoni aritmeetika ja lihtrekursiivne aritmeetika.

Vaata ka
Täisarv
Ratsionaalarvud
Reaalarv
Irratsionaalarvud
Kompleksarvud

Viited

Kirjandus
Richard Dedekind. Was sind und was sollen die Zahlen?, Braunschweig 1888.
Giuseppe Peano. Arithmetices principia nova methodo exposita, Torino 1889.
Wolfgang Rautenberg.Messen und Zählen, Heldermann Verlag: Lemgo 2007, ISBN 978-3-88538-118-1.

Kategooria:Arvud