Logaritma spiralo

eta|Porcio de aro de Mandelbrot sekvanta logaritman spiralon
Logaritma spiralo estas kurbo, kies la ĝenerala ekvacio en polusa koordinatsistemo estas:

kie a kaj b estas reelaj nombroj strikte pozitivaj (b malsama ol 1) kaj  la eksponenta funkcio kun bazo b.

Aŭ alie skribite:

t.e ke la logaritmo de la radiuso  estas proporcia al la angulo  en ĉiu punkto de la kurbo

Tia kurbo studita en la 17-a jarcento vekis admiron de Jakob Bernoulli pro siaj senvariaj ecoj; tial li nomis ĝin ‘’Spira mirabilis’’ (“Mirinda”, “Mirakla” spiralo). Ĝi troviĝas en la naturo, ekzemple en la kresko de konkoj (e.g. Naŭtilo) por la aranĝo de sunfloraj semoj.

 Matematikaj ecoj 
 Ekvacioj 
eta|Logaritma spiralo intersekcas ĉiujn radiusojn laŭ sama angulo .
La formoj de la polusa ekvacio pri logaritma spiralo estas:

 kun a pozitiva reela nombro, e konstanto de Eŭlero kaj m reela kaj ne nula nombro,

aŭ alimaniere antaŭmetante :
 kun a , b du pozitivaj reelaj nombroj (‘’b’’ malsama ol 1).
Tio estas en kartezia koordinatsistemo:

En kompleksa ebeno  estas:

Tiele aperas, ke la distancoj inter ĉiuj turnoj kreskas laŭ geometria vico kun multiplika faktoro , dum pri la arkimeda spiralo la distancoj kreskas laŭ aritmetika vico.

 Egalangula spiralo 
eta|Logaritma spiralo rulas sur sia tanĝanto
La tanĝanto al la kurbo ĉe la punkto M difinas kun la rekto (OM) konstantan angulon  laŭ la sekvanta eco:

kie  estas la natura logaritmo de la konstanto b, kiu difinas la spiralon.

Tiu eco karakterizas la logaritmajn spiralojn, kiuj pro tio ofte nomatas “egalangulaj spiraloj”.

El tiu eco sekvas, ke, se oni rulas logaritman spiralon sur ĝia tanĝanto, la centro de la spiralo moviĝas sur rektoEco trovita ĉe ‘’mathcurve’’,  () (Vd la apudan bidon).

 Longo de arko 
La longo de la arko inter la origino O kaj la punkto M de la spiralo estas proporcia al OM. La proporcickoeficiento estas egala al la kvadrata radiko de ; se α estas la angulo je kiu la spiralo intersekcas la radiusojn, ĉi tiu proporcieckoeficiento estas do egala al , pro la valoro de :.

 Kurboradiuso 
La kurboradiuso R estas rekte proporcia al r laŭ la sekvanta formulo:
.

 Rotacio, memsimileco 
Rotaciante la spiralon per iu angulo  kondukas al la spiralon , kiu estas la antaŭa spiralo transformita per homotetio laŭ la origino kun koeficiento .

 Referencoj kaj ligiloj 

Kategorio:Logaritmoj
Kategorio:Spiraloj