Kategorio (matematiko)

En matematiko, kategorio estas formaligo de ia simpla universo de matematikaj entoj. Kategorio konsistas el objektoj kaj morfioj inter la objektoj; en kategorio, la morfioj estas asocie komponeblaj, se la fonta aroj kaj cela aroj kongruas; kaj idento de komponado ekzistas.

 Difino 
Kategorio  konsistas el la ĉi-suba dateno:
 klaso , kies elementoj nomiĝas la objektoj de la kategorio.
 klaso , kies elementoj nomiĝas la morfioj de la kategorio.
 bildigo . Pri morfio , la objekto  nomiĝas la argumentaro de la morfio, kaj la objekto  nomiĝas la cela aro de la morfio. Pri objektoj , oni uzas la notacion , la morfiaro inter  kaj . Oni ankaŭ uzas la notacion  por montri ke  kaj .
 bildigo . Pri objekto , la morfio  nomiĝas la identa morfio de la objekto.
 Pri ajna triopo de objektoj , bildigo . Pri morfioj  kaj , la morfio  nomiĝas la komponaĵo de la du morfioj.
La ĉi-supra dateno devas plenumi la ĉi-subajn aksiomojn:
 (Asocieco) Morfioj komponiĝas asocie. Alivorte, pri ajnaj objektoj  kaj ajnaj morfioj , , kaj , .
 (Idento) La identa morfio estas la idento de komponado. Alivorte, pri ajnaj objektoj  kaj ajna morfio , do .

En la ordinara aroteoria formaligo (aksiomoj de Zermelo-Fraenkel) de matematiko, la ĉi-supra difino de la koncepto de kategorioj estas neformala, ĉar la koncepto de klasoj estas neformala. Se oni postulas, ke la klasoj de objektoj kaj morfioj de kategorio estas fakte aroj, la rezulta koncepto nomiĝas malgranda kategorio. Tamen en formaligoj, kiuj priskribas klasojn (ekz. la aksiomoj de von Neumann–Bernays–Gödel), la klasoj estas rekte formaligeblaj.

 Ekzemploj 
Ekzistas multegaj ekzemploj de kategorioj:
 La kategorio, kies objektoj estas aroj, kies morfioj estas bildigoj.
 La kategorio, kies objektoj estas topologiaj spacoj, kies morfioj estas kontinuaj bildigoj.
 La kategorio, kies objektoj estas glataj sternaĵoj, kies morfioj estas glataj bildigoj.
 La kategorio, kies objektoj estas grupoj, kies morfioj estas grupaj homomorfioj.
 La kategorio, kies objektoj estas komutaj grupoj, kies morfioj estas grupaj homomorfioj inter komutaj grupoj.
 La kategorio, kies objektoj estas ringoj, kies morfioj estas ringaj homomorfioj.

 Eksteraj ligiloj 


Kategorio:Teorio de kategorioj