Geodezia linio

En diferenciala geometrio, geodezia linio estas linio, kiu estas laŭeble rekta sur glata sternaĵo. En la ĝenerala teorio de relativeco, punkta partiklo moviĝas laŭ geodezia kurbo, sub la efiko de gravito.

 Difino 
Supozu ke  estas glata sternaĵo, kune kun afina konekto
.
Konsideru glatan kurbon
.
La kurbo estas geodezia kurbo, se kaj nur se ĝi plenumas la ĉi-subajn kondiĉojn:
 Ĉe ajna tempo , ekzistas ĉirkaŭaĵo  de  kaj ankaŭ ĉirkaŭaĵo  de la bildaro de la limigaĵo , tiaj ke pri ajna vektora kampo  sur , se  ĉe ĉiu , do la jena ekvacio, la geodezia ekvacio estas vera:
 :.
Fakte, la geodezia ekvacio ne dependas de la plivastigo  de ; eksplicite, per lokaj koordinatoj , la geodezia ekvacio aspektas jene:
.
En tiu,  estas la komponantoj de la afina konekto  (la simboloj de Christoffel, se la konekton difinas rimana metriko).

 Propraĵoj 
La geodezia ekvacio estas duaorda ordinara diferenciala ekvacio. Tial, geodezia kurbo ĉiam ekzistas loke en ajna direkto. Eksplicite, sur glata sternaĵo , ĉe ajna punkto  kaj ajna tanĝa vektoro , ekzistas pozitiva reelo  kaj geodezia kurbo

tiaj ke

.
Krome, la ĉi-supra geodezia kurbo estas loke unika.

Tamen, ne estas ĉiam vera, ke la geodezia kurbo povas ekzisti senfindaŭre, t.e. difinite sur la argumentaro .

 Ekzemploj 
Sur eŭklida spaco, la geodeziaj kurboj estas rektoj. Sur sfero, la geodeziaj kurboj estas la ĉefcirkloj.

 Eksteraj ligiloj 



Kategorio:Diferenciala geometrio