Triangulo de Pascal

En matematiko, la triangulo de Pascal estas triangula tabelo de nombroj. En la supra vertico kaj laŭ la flankaj lateroj estas skribitaj unuoj. Ĉiu alia nombro estas la sumo de la du nombroj, skribitaj super ĝi. La triangulo estis nomita honore de Blaise Pascal. La nombroj, el kiuj konsistas la triangulo, sendepende aperas en algebro, kombinatoriko, probablo-teorio, infinitezima kalkulo, nombroteorio.

 Formulado 
maldekstre|eta
Laŭ konvencio, oni numeras linion de  (la plej supra). Elementojn en ĉiu linio oni numeras de la plej maldekstra dekstren, kaj komencas de . Kutime ĉiu sekva linio komenciĝas pli maldekstre ol la antaŭa je duono de la larĝo de elemento. La triangulon oni povas fari tiel: en la plej supra linio () ekzistas nur unu nenula elemento, kiu egalas 1. Ĉiu alia elemento estas la sumo de la supra maldekstra kaj supra dekstra elementoj, se iu el tiu du ne ekzistas, do ĝi egalas konvencie 0. Do la unua kaj la lasta elementoj en ĉiu linio ĉiam egalas 0.

La -a elementon de la -a linio oni skribas kiel . Ekzemple, la plej supra elemento estas . Do oni povas skribi:

 , .

(Oni povas konvencii, ke , se  aŭ , kaj tiel la rikura formulo ĝustas por ĉiu entjera ).

 Historio 
eta|dekstre|La triangulo de Yang Hui en verko de Zhu Shijie, 1303
La triangulon aperis multe pli antaŭe ol la tempo de Pascal.La tuta sekcio estas farita laŭ la angla Vikipedio.

Laŭ postaj komentarioj, la triangulon kaj la rikuran formulon por ĝia farado, , sciis la hinda matematikisto Pingala en aŭ antaŭ la 2-a jarcento a.K..A. W. F. Edwards. Pascal's arithmetical triangle: the story of a mathematical idea. JHU Press, 2002. Paĝoj 30–31. Edwards, A. W. F. (2013), The arithmetical triangle, en Wilson, Robin; Watkins, John J., Combinatorics: Ancient and Modern, Oxford University Press, paĝoj 166–180. Post verkoj de Pingala mem restis nur fragmentoj, sed priskribo de la formulo konserviĝis en komentoj de Varāhamihira (ĉirkaŭ 505), kaj pli detala en komentoj de Halayudha (ĉirkaŭ 975). Halayudha ankaŭ menciis malklare “la ŝtuparon de la monto Meru”, doninte la unuan konserviĝintan priskribon de la triangulo. Ĉirkaŭ 850, la ĝajna matematikisto Mahāvīra donis alian, nerikuran formulon de la binomaj koeficientoj, ekvivalenta al la nuntempa . En la 1068 Bhattotpala egaligas ambaŭ formulojn.

En Irano la triangulon esploris Al-Karaji (953–1029)O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji", MacTutor History of Mathematics archive, Universitato St. Andrews. kaj poste la fama poeto kaj matematikisto Omar Ĥajam (1048–1131), do en Irano oni ankaŭ nomas ĝin la triangulo de Ĥajam.Coolidge, J. L. (1949), "The story of the binomial theorem", The American Mathematical Monthly, 56: 147–157, JSTOR 10.2307/2305028, MR 0028222

La triangulo estis konata en Ĉinio en komenco de la 11-a jarcento el verko de la ĉina matematikisto Jia Xian (ĉine: 贾宪) (1010–1070). En la 13-a jarcento la triangulon prezentis Yang Hui (ĉine: 杨辉) (1238–1298), do en Ĉinio oni nomas ĝin la triangulo de Yang Hui. Weisstein, Eric W. (2003). CRC concise encyclopedia of mathematics, p.2169. ISBN 978-1-58488-347-0.
eta|maldekstre|La versio de la triangulo fare de Blaise Pascal

En la okcidento, komence de la 14-a jarcento la binomajn koeficientojn kalkulis Levi ben Gershon. La triangulon lokis sur la frontispicon de sia libro Petrus Apianus (1495–1552) en 1527, tio estis la unua apero de la triangulo en Eŭropo.Smith, Karl J. (2010), Nature of Mathematics, Cengage Learning, p. 10, ISBN 9780538737586. Michael Stifel publikigis parton de la triangulo (de la dua elemento ĝis la meza en ĉiu linio) en 1544, priskribinte ĝin kiel tabelo figurigaj nombroj. En Italio la triangulon de Pascal oni ankaŭ nomas la triangulo de Tartaglia honore de Niccolò Tartaglia, kiu publikigis ses liniojn de la triangulo en 1556. Ankaŭ Gerolamo Cardano en 1570 publikigis la triangulon kaj ambaŭ formulojn por ĝia farado.

“Traktaĵo pri triangulo aritmetika” (Traité du triangle arithmétique) fare de Pascal estas eldonita en 1665, post lia morto. Poste honore Pascal la triangulon nomis en 1708 Pierre Raymond de Montmort (“Table de M. Pascal pour les combinaisons” — france: “Tabelo de s-ro Pascal por kombinaĵoj”), kaj en 1730 Abraham de Moivre (“Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM” — latine: “Triangulo aritmetika de Pascal”).<ref> Fowler, David (January 1996). "The Binomial Coefficient Function", The American Mathematical Monthly, 103 (1): 1–17, COI 10.2307/2975209, JSTOR 2975209. Rigardu speciale paĝon 11.</ref>

 Binomaj koeficientoj 
eta|250ra|Geometria bildigo de transformo el n-a potenco de binomo al polinomo (ĝis la kvara potenco)

La triangulo de Pascal determinas koeficientojn, kiuj aperas dum transformo el -a potenco de binomo al polinomo. Ekzemple:



La koeficientoj konsistigas la duan linion de la triangulo de Pascal.

Ĝenerale, por ajna entjera nenegativa potenco  estas:



kaj koeficientoj  konsistigas la -an linion de la triangulo de Pascal. Alivorte,



Estas formulo de Newton



 Pruvo 
Ni pruvu per indukto, ke nombroj, kiu aperas en la triangulo laŭ simpla regulo  estas tiuj koeficientoj.

La bazo de la indukto

Kiel bazo ni rigardu veran egalaĵon, ekzemple:

La paso de la indukto

Se estas vere ke:

Do

















Sed













Sekve,

Do, la nombroj de la triangulo de Pascal estas koeficientoj, kiuj aperas dum transformo el -a potenco de binomo al polinomo.

Ni ricevos interesan konsekvencon, se egaligos ambaŭ variablojn  kaj  al 1:

Do, la sumo de ĉiuj elementoj de la -a linio de la triangulo de Pascal estas .

 Kombinaĵoj 
La dua utila uzo de la triangulo de Pascal estas kalkulado de la kvanto de -kombinaĵoj (ĉiu de amplekso ) de aro kun  eroj (el  po ). Tiun kvavton eblas kalkuli laŭ la formulo:



Estas nerikura formulo de elemento de la triangulo de Pascal.

 Ecoj 
 Linioj 
eta|250 px|La sumoj de la elementoj de ĉiuj linioj
 La sumo de la elementoj de ĉiu linio estas duoble pli malgranda ol la sumo de la elementoj de la sekva linio. Ekzemple, la sumo de la linio 0 (la plej supra) estas 1, la linio 1 estas 2, la linio 2 — 4, kaj tiel plu. Tiel estas ĉar ĉiu elemento de linio estas adiciato por du elementoj de la sekva linio: dekstra kaj maldekstra. La sumo de ĉiuj elementoj de la -a linio de la triangulo de Pascal estas .

 La produtoj de la elementoj por ĉiuj linioj de la triangulo de Pascal konsistigas la sinsekvon , kiu estas ligita kun la bazo de natura logaritmo, e'''''.Brothers, H. J. (2012), "Finding e in Pascal's triangle", Mathematics Magazine, 85: 51, COI 10.4169/math.mag.85.1.51.Brothers, H. J. (2012), "Pascal's triangle: The hidden stor-e", The Mathematical Gazette, 96: 145–148. La elementon de la sinsekvo oni povas difini tiel:

Do la proporcio inter du najbaraj elementoj de la sinsekvo estas:

Kaj la proporcio inter tiuj proporcioj estas:

Sed dum malfinia kreskado de  limeso de la dekstra parto de la lasta formulo estas :

 La nombron pi oni povas trovi en la triangulo de Pascal danke al nefinia serio de Nilakantha.Foster, T. (2014), "Nilakantha's Footprints in Pascal's Triangle", Mathematics Teacher, 108: 247, COI 10.5951/mathteacher.108.4.0246.

 La sumo de la kvadratoj de ĉiuj elementoj en la linio  estas la meza elemento de la linio :

 Diagonaloj 
Ni nomu diagonalo vicon de nombroj, paralela al unu el la flankaj lateroj de la triangulo. En la diagonaloj troviĝas figurigaj nombroj de respektiva simplaĵo:

 En la randaj diagonaloj troviĝas unuoj.

 En la duaj diagonaloj troviĝas naturaj nombroj laŭ ordo.

 En la triaj diagonaloj troviĝas triangulaj nombroj laŭ ordo.

 En la kvaraj diagonaloj troviĝas kvaredraj nombroj laŭ ordo.

 En la -aj diagonaloj troviĝas figurigaj nombroj de -dimensia regula simplaĵo laŭ ordo.

 Kalkulado de linio aŭ diagonalo per si mem 
Ekzistas simplaj algoritmoj por kalkuli ĉiujn elementoj en linio aŭ diagonalo sen kalkulado aliaj elementoj aŭ faktorialoj:

 Por kalkuli la -an linion, kies elementoj estas , , ..., , ni komencu de . Ĉiujn aliajn elementojn ni sinsekve ricevu laŭ la formulo:

 Por kalkuli la -an diagonalon, paralelan al la dekstra latero, kies elementoj estas , , , ..., ni denove komencu de . La aliaj elementoj ni sinsekve ricevu laŭ la formulo:

La elementoj de la -a diagonalo, paralela al la maldekstra latero, egalas al la respektivaj elementoj de -a diagonalo, paralela al la dekstra latero.

 Ecoj de la tuta triangulo 
eta|La unuaj 32 linioj de la triangulo de Pascal, neparaj nombroj havas nigran fonon
 La triangulo estas simetria rilate al la vertikala akso.

 Desegno, kiun oni ricevas, se kolorigas nur neparajn nombrojn en la triangulo de Pascal, tre similas al fraktalo, nomata la triangulo de Sierpinski. Ĝi similas des pli, ju pli multe da linioj oni konsideras.Wolfram, S. (1984). "Computation Theory of Cellular Automata". Comm. Math. Phys. 96: 15–57. Bibliografia kodo: 1984CMaPh..96...15W. COI: 10.1007/BF01217347. Por ĝeneraligi, oni povas kolorigi nombrojn diverskolore laŭ resto ĉe divido per 3, 4, k.t.p., kaj ricevi similajn rezultojn.

 Se la triangulon oni konsideras kiel grafeo, en kiu ĉiu vertico estas ligita reciproke kun tiuj, kies sumo ĝi estas, do nombro en ĉiu vertico estas la kvanto da plej mallongaj vojoj el la supra vertico ĝis la konsiderita vertico.

 Se oni movas ĉiujn liniojn de la triangulo, metante ĉiujn maldekstrajn (aŭ ĉiujn dekstrajn) randojn sur unu vertikala rekto, do la sumo de ĉiuj elementoj de la diagonala bendo (tiuj bendoj malsupre estas indikitaj per diversaj koloroj), kiu komenciĝas de la randa elemento de la -a linio, estas -a fibonaĉi-nombro: 

{| style="align:center;"
|- align=center
|bgcolor=red|1
|- align=center
| style="background:orange;"|1
| style="background:yellow;"|1
|- align=center
| style="background:yellow;"|1
|bgcolor=lime|2
|bgcolor=aqua|1
|- align=center
|bgcolor=lime|1
|bgcolor=aqua|3
| style="background:violet;"|3
|bgcolor=red|1
|- align=center
|bgcolor=aqua|1
| style="background:violet;"|4
|bgcolor=red|6
| style="background:orange;"|4
| style="background:yellow;"|1
|- align=center
| style="background:violet;"|1
|bgcolor=red|5
| style="background:orange;"|10
| style="background:yellow;"|10
|bgcolor=lime|5
|bgcolor=aqua|1
|- align=center
|bgcolor=red|1
| style="background:orange;"|6
| style="background:yellow;"|15
|bgcolor=lime|20
|bgcolor=aqua|15
| style="background:violet;"|6
|bgcolor=red|1
|- align=center
| style="background:orange; width:40px;"|1
| style="background:yellow; width:40px;"|7
| style="background:lime; width:40px;"|21
| style="background:aqua; width:40px;"|35
| style="background:violet; width:40px;"|35
| style="background:red; width:40px;"|21
| style="background:orange; width:40px;"|7
| style="background:yellow; width:40px;"|1
|}

 Citaĵo 

 Referencoj 

Kategorio:Faktorialo kaj dutermaj temoj
Kategorio:Blaise Pascal
Pascal
Kategorio:Ĉinaj matematikaj malkovroj