Konjekto de Collatz

La konjekto de Collatz (la konjekto de “” aŭ la sirakuza problemo) estas unu el ĝis nun ne solvitaj matematikaj problemoj. La simpleco de ĝia formulado faris ĝin vaste fama. La problemo estas nomata pro la nomo de la germana matematikisto Lothar Collatz, kiu formulis ĝin en 1937.

 Formulado 
Por iu ajn natura nombro  oni konsideru la sinsekvon, konstruitan laŭ du jenaj reguloj:

 se  estas para, do la sekvanta membro de la sinsekvo estas ;

 se  estas nepara, do la sekvanta membro de la sinsekvo estas .

Al la rezulto oni ree apliku la samajn regulojn k.t.p.

Uzante esprimojn de modula aritmetiko eblas difini tian funkcion:



Do la sinsekvon ni difinu tiel: por iu ajn antaŭe elektita natura  kaj ĉiu natura 



En la konjekto de Collatz oni asertas, ke por iu ajn  iu membro de la sinsekvo nepre estas 1 (unu). Do:
 .

Evidente, ke post 1 estas senfine ripetiĝanta ciklo el la nombroj 4, 2, 1.

Por certa komenca  la plej malgrandan , por kiu , ni nomu la tempo de plena halto de  ( of )Lagarias, Jeffrey C. (1985). “The 3x + 1 problem and its generalizations”. The American Mathematical Monthly. 92 (1): 3–23. JSTOR 2322189, kaj la plej grandan  dum la vojo al la nombro 1 ni nomu la maksimuma trajektoria punkto (angle the maximum trajectory point). Laŭ la konjekto de Collatz por ĉiu  ekzistas certa finia tempo de plena halto.

Se la konjekto de Collatz estus erara, tio eblus, se por iu  la sinsekvo formus alian ciklon, kiu ne enhavus la nombron 1; aŭ se por iu  la sinsekvo kreskus senfine, ne farante iun ciklon.

Sinsekvojn, konstruitajn laŭ reguloj de Collatz, oni ofte nomas hajlera sinsekvo aŭ hajleraj nombroj, ĉar valoro de sinsekvo konstante altiĝas kaj malaltiĝas kvazaŭ hajleroj en nubo.“Hailstone Number”. MathWorld. Wolfram Research.

 Ekzemploj 
Ekzemple, por  estas:
  estas nepara, do ;
  estas para, do ;
  estas nepara, do ;
  estas para, do ;
  estas para, do ;
  estas para, do ;
  estas para, do ;
  estas nepara, do .
Evidente, ke poste sekvas la menciita senfina ciklo (2, 1, 4 2, 1 …).

Por  estas:
 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, …

eta|dekstra|400px|La gafikaĵo de la sinsekvo por Por  estas:
 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, … (la sinsekvo .)

En la lasta okazo la tempo de plena halto estas 111 kaj la maksimuma trajektoria punkto estas 9232.

La nombroj, kiu havas tempon de plena halto pli grandan ol tiu de ĉiu ajn pli malgranda nombro formas la sinsekvon, kiu komencas tiel:
1, 2, 3, 6, 7, 9, 18, 25, 27, 54, 73, 97, 129, 171, 231, 313, 327, 649, 703, 871, 1161, 2223, 2463, 2919, 3711, 6171, … . Alivorte, estas sinsekvojn de nombroj , kiuj havas rekordajn tempojn de halto.

La nombroj, kiu havas maksimuman trajektorian punkton pli grandan ol tiu de ĉiu ajn pli malgranda nombro formas la sinsekvon, kiu komencas tiel:
1, 2, 3, 7, 15, 27, 255, 447, 639, 703, 1819, 4255, 4591, 9663, 20895, 26623, 31911, 60975, 77671, 113383, 138367, 159487, 270271, 665215, 704511, ...  Alivorte, estas sinsekvojn de nombroj , kiuj havas rekordajn maksimumajn trajektoriajn punktojn.

Tempoj de plena halto ankaŭ formas la sinsekvon, kiu komencas tiel:
0, 1, 7, 2, 5, 8, 16, 3, 19, 6, 14, 9, 9, 17, 17, 4, 12, 20, 20, 7, 7, 15, 15, 10, 23, 10, 111, 18, 18, 18, 106, 5, 26, 13, 13, 21, 21, 21, 34, 8, 109, 8, 29, 16, 16, 16, 104, 11, 24, 24, ... 

 Cikloj 
Ĉiu ebla kontraŭdira al la konjekto ekzemplo devas aŭ esti senfine kreskanta sinsekvo, aŭ enhavi ciklon malsaman al la triviala (4; 2; 1) ciklo. Do, se oni pruvus neeblecon de ekzistado de ambaŭ tiaj okazoj, do oni pruvus la konjekton de Collatz. Tion oni ne faris, sed kelkaj specoj de cikloj estis eliminitaj.

Tipon de ciklo eblas difini, uzante “simpligitan” difinon de sinsekvo de Collatz:  por nepara  kaj  por para . Ciklo estas sinsekvo , dum , , k.t.p., kaj finfine  por ringigi ciklon. Por tiu ĉi difino la triviala ciklo estas (1; 2). Kvankam 4 estas membro de la triviala ciklo laŭ la originala difino, ĝi ne estas la membro de la triviala ciklo laŭ la simpligita difino.

k-ciklo estas ciklo, kiu konsistas el  da kontinuaj subsinsekvoj:  da kreskantaj sinsekvoj de neparaj nombroj kaj  da malkreskantaj sinsekvoj de paraj nombroj. Ekzemple, la triviala ciklo estas 1-ciklo.Simons, J.; de Weger, B. (2005). “Theoretical and computational bounds for m-cycles of the 3n + 1 problem”  (PDF). Acta Arithmetica. 117 (1): 51–70. .

Steiner (1977) pruvis, ke ne ekzistas iu ajn 1-ciklo, krom la triviala (1; 2).Steiner, R. P. (1977). “A theorem on the syracuse problem”.Proceedings of the 7th Manitoba Conference on Numerical Mathematics. pp. 553–9. Simons (2004), uzis la metodo de Steiner por pruvi neekzistadon de iu ajn 2-ciklo.Simons, John L. (2004). “On the nonexistence of 2-cycles for the 3x+1 problem”. "Math. Comp." 74: 1565–72. ; Mathematical Reviews 2137019.

Simons kaj de Weger ĝeneraligis la metodon ĝis 68-cikloj: ne ekzistas iu k-ciklo, se . Por pli grandaj  tiu ĉi metodo donas supran limon por la elementoj de ciklo. Ekzemple, se ekzistas 75-ciklo do almenaŭ unu ĝia elemento estas malpli granda ol 2385×250.  Do per komputila serĉado oni povos elimini ciklojn kun pli granda .

 Certigantaj argumentoj 
Kvankam la konjekto ne estis pruvita, plimulto da matematikistoj, kiu esploris la problemon, rigardas la konjekton vera, ĉar eksperimentaj atestoj kaj nestrikta rezonado certigas ĝin.

 Eksperimentaj atestoj 
La konjekto estis kontrolita per komputiloj por ĉiuj  ĝis 268 (2020).Roosendaal, Eric. “On the 3x+1 Problem”. Ĉiuj kontrolitaj sinsekvoj finfine atingas la ciklon (4; 2; 1).

Tiu ĉi komputila atesto ne povas esti pruvo de vereco de konjekto. Iufoje kontraŭdiraj ekzemploj aperas nur ĉe tre grandaj nombroj, kiel tio estas por konjekto de Pólya, konjekto de Mertens kaj Nombro de Skewes. Oni ne povas kontroli ĉiujn naturajn nombrojn.

 Rezonado pri probableco 
Se oni konsideras nur neparajn nombrojn en sinsekvoj de Collatz do oni ekscias ke ĉiu nepara nombro estas meznombre 3/4 de la antaŭa.Lagarias (1985) (la referenco 1), section “A heuristic argument”. Tio povas sugesti, ke ĉiu sinsekvo de Colatz devas finfine malkreski. Tio ne estas pruvo, ĉar tio implicas aserton, ke la sinsekvoj estas konstruitaj el hazardaj, neinterligitaj nombroj.

 La projekto “Collatz Conjecture” 
En la aŭgusto de la 2009 aperis la projekto de la volontula disa komputado “Collatz Conjecture”, kies celo estas kontroli la konjekton de Collatz por grandaj nombroj, uzante komputilojn de volontuloj. La oficiala paĝaro de Collatz Conjecture La projekto uzas la platformon Boinc.

 Referencoj 

Collatz
Kategorio:Aritmetiko
Kategorio:Nombroteorio
Kategorio:Entjeraj vicoj