Rimana integralo

Rimana integralo, aŭ integralo de Riemann estas eble la plej uzata integralo en matematiko. Ĝi sufiĉas por kontinuaj funkcioj, kaj funkcioj kun ne tro da punktoj de nekontinueco. Se oni bezonas pli fortan integralon, oni uzas Lebegan integralon. La integralo estis difinita de Bernhard Riemann.

 Difino 
En la plej simpla versio, rimana integralo estas difina integralo de funkcio  sur intervalo . Unue oni difinas sumon de Riemann. Poste oni dividas la intervalon, kreinte malgrandajn intervalojn, . La -a intervalo , havas longon . Poste oni ankaŭ elektas punkton  en ĉiu intervalo. La sumo de Riemann estasTiam la rimana integralo estas difinita kiel 
La limeso uzata ne estas la normala limeso, ĉar oni ne havas vicon de valoroj. Pli precize oni diras ke  estas integralebla (en la senco de Riemann) sur , kaj la integralo estas la nombro , se la sekvonto veras. Por ĉiu  ekzistas , kaj por tiu  ĉiu divido kun  for ĉiu  implicas

Tiu difino eble ne estas tiel simpla, sed por kontinuaj funkcioj, oni povas uzi pli simplan difinon. Dividi la intervalon egale. Tio signifas ke la longeco de ĉiu intervaleto estas la sama: . Ankaŭ . Oni ankaŭ povas elekti  la nombron , , aŭ eble . Eble se oni uzus la dekstran flankon de ĉiu intervaleto, tiam

 Neintegraleblaj funkcioj 
Ne ĉiu funkcio estas integralebla en la senco de Riemann. Ekzemple, prenu la funkcion  sur  kie  se  estas neracionala nombro, kaj  se  estas racionala nombro. Ĉi tiu funkcio oni ne povas integrali per la rimana integralo, sed se oni uzas lebegan integralon, la integralo estas 0.

 Rimana integralo en -dimensia spaco 
La integralo ankaŭ povas esti difinita por -dimensia spaco. La difino estas preskaŭ la sama, sed oni devas uzi -dimensiajn rektangulojn anstataŭ intervaletojn.

 Vidu ankaŭ 
 Integralo
 Lebega integralo

Kategorio:Integrala kalkulo
Kategorio:Bernhard Riemann