Teoremo de Hammersley–Clifford

La Teoremo de Hammersley–Clifford temas priprobabloteorio, statistiko kaj statistika mekaniko. Ĝi difinas la necesan kaj sufiĉan kondiĉojn tial, kial probabla distribuo povas reprezentiĝi kiel Markova reto. Ĝi estas la fundamenta teoremo pri hazarda kampo.  La teoremo asertas, ke probablo distribuo, kiu havas strikte pozitivan mason aŭ denson, estas Markova al sendirekta grafeo G, se kaj nur se ĝi estas Gibsa. Tio estas, ĝia denso eblas faktoriĝi laŭ la klikoj de la grafeo.

La rilaton inter Markova kaj Gibsa reto unue studis Roland Dobrushin kaj Frank Spitzer sub kunteksto de statistika mekaniko. La teoremo nomiĝas memore al John Hammersley kaj Peter Clifford, kiuj pruvis la ekvivalenton en nepublikigita raporto en  1971.Hammersley, J. M.; Clifford, P. (1971),  Markov fields on finite graphs and lattices Pli simpla pruvo per inkluziveco-ekskluda principo donis sendepende Geoffrey Grimmett, Preston kaj Sherman en 1973, kun posta pruvo fare de Julian Besag en 1974.

 Ideo pri pruvo 
Estas triviala pruvi ke Gibsa reto havas ĉiujn Markovecojn. Ekzemple jen:

Dekstre montras Gibsan reton sur la grafeo kun formo . Se variablo  kaj  estas konstanta, do la malloka Markoveco bezonas ke  (vidu kondiĉan sendependecon), ĉar  iĝas muro inter  kaj .

Kun  kaj  konstantaj,  kie  kaj . Tio implicas, ke .

Por verigi ke ĉiu pozitiva probablodistribuo kun loka Markoveco estas Gibsa, oni unue pruvas jenan lemon, kiu ebligas kunigi malsamajn faktorigon:

Lemo 1

 signu la aro de hazardaj variabloj koncernaj kaj   kaj  signu iujn arojn da variabloj (Ĉikuntekste, por aro da variablo ,  ankaŭ signu iun valorigon al la variabloj en .)

Se

por funkcioj  kaj , do estas funkcioj  kaj tiaj, ke

Alivorte, fariĝas plano por plu faktorigi .

Lemo 1 ebligas kunigi du malsamajn faktorigojn de . La loka Markoveco implicas ke por ĉiu hazarda variablo , estas faktoroj  kaj  tiaj, ke

kie  estas la najbaroj de . Apliki lemon 1 refoje fine faktorigos   en produto de kliko-potencialoj (vidu la dekstran bildon).

Referencoj

Literaturo
 , noto el kurso de Universitato de Vaŝingtonio.



 Vidu ankaŭ 
 Markova reto

Kategorio:Matematikaj teoremoj
Kategorio:Probablo-teorio