Formulo de Bernoulli

Formulo de Bernoulli estas formulo en probablokalkulo, permesata retrovas probablo aperon eventon . Formulo de Bernoulli permesas eviti grandampleksajn kalkuladojn ĉe grandaj nombroj provojn.

Integro
Se probablo  aperon eventon  en ĉiun provon estas konstanta, do probablo  ties, ke evento  venas  fojoj en  nedependajn provojn egalas

 kie


Pruvo
Se estas  nedependajn provojn. Konate, ke en rezulto de ĉiuj provoj evento  aperas kun probablon  kaj, do, ne aperas kunprobablon  Se same probabloj  kaj   estas konstantaj. Kia estas la probablo ties, ke en rezulto  nedependajn provojn, evento  aperas  fojoj?

Ni eblas elkalkuli nombroj de «sukcesaj» kombinaĵo en eliroj, por kioma evento  aperas  fojoj en  nedependaj provoj kiel binoma koeficiento:

.

Ĉar ĉiuj provoj estas nedependaj, kaj ilin eliro estas nekuna (evento  aŭ aperas, aŭ ne aperas), de probablo ricevon «sukcesan» kombinaĵon egalas: .

Finofara, por radikkalkulon ties, ke en  nedependaj provoj evento  aperas  fojoj, necese aicias probabloj ĉiuj sukcesajn kombinaĵojn. Probabloj ĉiuj «sukcesaj» kombinaĵojn estas egala kaj egalas , nombroj de «sukcesaj» kombinaĵoj egalas ,
 do
 .

Tio estas formulo de Bernoulli.
 Q.E.D.

Vidu ankaŭ
 Provo de Bernoulli
 Faktorialo
 Binoma koeficiento

Eksteraj ligiloj
 Formulo de Bernoulli

Kategorio:Kombinatoriko
Kategorio:Diskretaj distribuoj