Integreca ringo

Integreca ringoNova Plena Ilustrita Vortaro de Esperanto: faktor/ec/a “pp integreca ringo” aŭ integreca domajno estas komuta ringo kun multiplika neŭtrala elemento, , kaj sen nuldivizoroj, do   aŭ .

 Difino 
Por komuta ringo , la jenaj kondiĉoj estas ekvivalentaj:
 , kaj ĝi ne enhavas nuldivizoron.
 La nulidealo (0) estas prima idealo.
 , kaj ĉiu nenula elemento  estas forigebla sub multipliko, t.e. se , do 
 La aro de nenulaj elementoj konsistigas monoidon laŭ multipliko (ĉar monoido postulas fermitecon: ).
 Ĉiu elemento  estas regula: la funkcio ,  estas disĵeta.
  estas izomorfa al subringo de kampo.
Integreca ringo estas ringo, kiu plenumas unu (kaj do ĉiujn) el la ĉi-supraj kondiĉoj.

 Ecoj 
Validas jenaj klas-inkluzivoj:

 komutaj ringoj ⊃  integrecaj ringoj ⊃ integrece fermitaj ringoj ⊃ faktorecaj ringoj ⊃ ĉefidealaj integrecaj ringoj ⊃ eŭklidaj ringoj ⊃ kampoj

Ĉiu integreca ringo povas esti enigita en kampon; la plej malgranda tia kampo estas la kampo de frakcioj de la integreca ringo.

 Ekzemploj 
Ekzemploj estas la entjeroj kaj la reelaj polinomoj. Ĉiu kampo estas integreca ringo. Aliaflanke, ĉiu finia aro kun integrecringa strukturo estas kampo. Pruvo: Por ĉiu  en integreca ringo ekzistas disĵeta funkcio , kiu sendas ĉiun  en la integreca ringo al . Ĉiu disĵeta funkcio kun finia fonta aro estas inversigebla. Do  estas inversigebla. Tiel  estas bildo de iu , kaj tiu elemento estas la inverso de .

La plej supra kondiĉo implicas ecojn, kiujn havas nur la integrecaj ringoj. Ekzemple, ĝi permesas aserti ke  aŭ , ĉar  aŭ . Do tiu koncepto montras, ke la eco, ke  aŭ , estas unu el tiuj, kiuj ĝeneraligas la entjerojn, reelajn polinomojn kaj aliajn ringojn.

La kongruecaj klasoj de entjeroj module je  estas integreca ringo se kaj nur se  estas primo. Rimarku, ke, se  estas primo,  aŭ . Ĉiu integreca ringo de kongruecaj klasoj module je  estas kampo.

 Referencoj 

 Eksteraj ligiloj 


Kategorio:Algebraj strukturoj
Kategorio:Komuta algebro
Kategorio:Ringo-teorio