Parta diferenciala ekvacio

En matematiko, parta diferenciala ekvacio (mallongigite: PDE) aŭ ekvacio en partaj derivaĵoj (mallongigite: EPD)  estas ekvacio enhavanta matematikan funkcion u de pluraj nedependaj variabloj x, y, z, t, ... kaj partaj derivaĵoj de u respektive al ĉi tiuj variabloj. La ekvacioj en partaj derivaĵoj estas uzataj en matematika formulado de fizikaj procezoj kaj en aliaj sciencoj, kutime, kiam la variabloj reprezentas la spacon kaj la tempon. Tipaj problemoj inkluzivas la propagado  de sono aŭ varmo, la elektrostatikon, la elektrodinamikon, la fluidodinamikon, la elastecon, la kvantuman meĥanikon kaj multaj aliaj.

Aparte gravan kontribuon al la teorio de tiaj ekvacioj faris d'Alembert kaj Joseph Fourier, matematikistoj de la napoleona epoko.

 Enkonduko 
Parta diferenciala ekvacio (PDE) estas funkcio  skribata laŭ sekvanta formo:

 estas lineara funkcio de  kaj siaj derivaĵoj, tio estas:

kaj

Se  estas lineara funkcio de  kaj ankaŭ ĝiaj derivaĵoj, tial la PDE estas lineara. Komunaj ekzemploj de PDE estas la varma ekvacio, la onda ekvacio kaj la laplaca ekvacio.

Parta diferenciala ekvacio povas esti tre simpla:

kie u estas funkcio de x kaj y. Ĉi tiu rialto implicas, ke la valoroj de u(x, y) estas tute nedependaj de x. Tial la ĝenerala solvaĵo de ĉi tiu diferenciala ekvacio estas:

kie f estas ajna funkcio de y.

La ordinara diferenciala ekvacio (simila al la PDE, sed kun funkcio de unu variablo) analogie estas:

kiu havas la sekvan solvon

kie c estas ajna valoro konstanto (nedependa de x).

Tiuj du ekzemploj ilustras, ke la ĝeneralaj solvaĵoj de ordinaraj diferencialaj ekvacioj (ODE) implicas ajnajn konstantojn, sed la solvoj de partaj diferencialaj ekvacioj (PDE) implicas ajnajn funkciojn. Solvaĵo de parta diferenciala ekvacio estas ĝenerale ne unika; alimaniere oni devos havigi pliajn limkondiĉojn, por difini la solvon unike. Ekzemple, en la simpla kazo supre, la funkcio  povas esti determinita, se  estas specifita laŭ la linio .

 Skribmaniero kaj ekzemploj 
En partaj diferencialaj ekvacioj estas tre komune simboligi partajn derivaĵojn uzante sub-indeksoj (skribmaniero de tensoroj). Tio estas:

 kaj

Aparte en fiziko, preferita la nabla operatoro (kiu, en kartezia koordinato, skribiĝas ) por la spaca derivaĵo en iu punkto, kaj  por la derivaĵoj kiuj koncernas la tempon, ekzemple por skribi la ondan ekvacion tiele:

 (fizika skribaĵo),
aŭ
 (matematika skribaĵo),
kie  estas la laplaca operatoro.

 Ĝenerala solvo kaj kompleta solvo 
Ajna parta diferenciala ekvacio de unua ordo havas solvo dependan de ajna funkcio, kutime nomitan ĝenerala solvo de la PDE. En multaj fizikaj aplikoj ĉi tiu solvo estas ĝenerale malpli grava ol kompleta solvo, kiu povas ofte esti akirita per la metodo de apartigo de variabloj.

Kompleta solvo estas aparta solvaĵo de la PDE, kiu enhavas multajn nedependajn laŭvolajn konstantojn kiel nedependajn variablojn implicitajn en la ekvacio. Ekzemple, la integrado de la ekvacioj de moviĝo de mekaniĥa sistemo uzanta la metodon bazitan sur la Hamilton-Jakobia ekvacio (PDE kun la tempa variablo) postulas kompletan integralon, dum la ĝenerala solvo estas malpli interesa laŭ vidpunkto de fiziko.

 Ekzisto kaj unikeco 
Kvankam la temo de la ekzisto kaj unikeco de solvaĵoj de ordinaraj diferencialaj ekvacioj (ODE) estas tre kontentige resumita per la teoremo de Picard-Lindelöf, la sama kazo por partaj diferencialaj ekvacioj (PDE) estas for de esti kontentige solvita. Kvankam estas ĝenerala teoremo, la teoremo de Koŝio-Kovalevskaja, kiu asertas, ke, por PDE kiu estas analitika pri la nekonata funkcio kaj ties derivaĵoj havas unikan analitikan solvaĵon. Kvankam ĉi tiu rezulto ŝajnas establi ekziston kaj unikecon de solvaĵoj, estas ekzemploj de la unua ordo PDE, kies koeficientoj havas derivaĵojn de ajna ordo (kvankam sen esti analitikaj), kiuj tamen ne havas solvon. Eĉ se solvo ekzistas kaj PDE estas unika, ĝi povas havi nedezirindajn ecojn.

Ekzemplo estas la malnormala konduto de la vico de problemoj de Koŝio ( dependa de parametro n), kiu sekvas la laplacan ekvacion:



kun limkondiĉoj





kie n estas entjero. La derivaĵo de u rilatante al y konverĝas al 0 unuforme en x kiam n pliiĝas, sed la solvo estas:



Tiu solvo proksimiĝas al malfinio (pro propreco de hiperbola sinuso), se nx ne estas entjera oblo de π por iu ajn ne nula valoro de y. La problemo de Koŝio pri la laplaca ekvacio nomiĝas malsana aŭ malbone difinita, ĉar la solvo ne dependas kontinue de datumoj de la problemo. Ĉi tiuj "malsanaj" problemoj kutime ne kontentigas pri aplikoj en fiziko.

 Klasifiko de PDE-j de dua ordo 
eta|dekstra|Elipsa ekvacio solvas statikan problemon de varmo sur ringo kun limkondiĉoj de Dirichlet: u(r=2)=0 kaj u(r=4)=4.sin(5.θ).
eta|300px|dekstra|Prabola ekvacio solvas problemon de variado de varmo post varmigo de plato (ambaŭ kolora kaj alto indikas temperaturon).
eta|dekstra|Hiperbola ekvacio solvas problemon de sferaj ondoj el punkta fonto.

La PDE_j de dua ordo kutime klasifikiĝas laŭ kvar tipoj de PDE, kiuj estas de ĉefa intereso, jenaj estas ekzemploj de tiaj kvar tipoj:

 Formulo Ekvacio de Tipo Laplace Elipsa  Ondo Hiperbola  varmo Parabola  Helmholtz Elípsa

Pli ĝenerale, kiam oni havas iun ekvacion de dua ordo kun du variabloj de la sekvanta tipo:

 ĝi estas dirita elípsa se la matrico  havas sian determinanton > 0,
 ĝi estas dirita parabola se la matrico  havas sian determinanton = 0,
 ĝi estas dirita hiperbola se la matrico  havas sian determinanton < 0,

kie la koeficientoj A, B, C, D, E dependas nur de x kaj y. Se  en regiono de la X-Y ebeno, la PDE estas ia de dua ordo en tiu regiono. La kialo de la elektitaj terminoj originas pro tio, ke la formo de la ekvacio estas analoga je tia de la ekvacio de konikoj:



 PDE-j de pli alta ordo 
eta|dekstra|Oscilanta membrano kiel solvo de du-variabla ondekvacio de kvara ordo
Dum PDE-j de dua ordo aplikiĝas al grandega kvanto da fizikaj fenomenoj, alia pli malgranda kvanto da fizikaj procezoj havas solvojn en PDE-j de pli alta ordo, jenaj ekzemploj estas:

 Mekanika flekso de elasta plato aŭ folio:

 Fleksa vibrado de trabo:

 Ekvacio de Korteweg-de Vries, kiu havas solvojn de tipo solitono (sola ondo):

 Vidu ankaŭ 
 Diferenciala ekvacio
 Ekvacio de Helmholtz
 Ekvacio de Laplace
 Onda ekvacio
 Ekvacio de varmo
 Ekvacio de Schrödinger
 Parta derivaĵo
 Borela lemo

 Eksteraj ligilioj 

 Partial Differential Equations: Exact Solutions en EqWorld: The World of Mathematical Equations.
 Partial Differential Equations: Index en EqWorld: The World of Mathematical Equations.
 Partial Differential Equations: Methods en EqWorld: The World of Mathematical Equations.
 Example problems with solutions  en exampleproblems.com
 Partial Differential Equations en mathworld.wolfram.com

Kategorio:Diferencialaj ekvacioj
Kategorio:Diferenciala kalkulo
Kategorio:Partaj diferencialaj ekvacioj