Ekvacioj de Cauchy-Riemann

En kompleksa analitiko, la ekvacioj de Cauchy-Riemann (aŭ Koŝio-rimanaj ekvacioj), omaĝe al Augustin Louis Cauchy kaj Bernhard Riemann, estas du ekvacioj en partaj derivaĵoj, bazitaj sur analizo de kompleksa funkcio, kiu estas difinita kaj derivebla en ĉiu punkto de malfermita subaro de la kompleksa ebeno , kun valoroj en la kompleksa ebeno  (alidirite, kiu estas holomorfa funkcio).
Plie, la du ekvacioj estas necesaj kaj sufiĉaj kondiĉoj de diferencialeblo de kompleksa funkcio, se ambaŭ reela kaj imaginara partoj estas diferencialeblaj reelaj funkcioj de du variabloj. Diferencialebla reela funkcio estas ankaŭ derivebla, sed la samo ne veras por kompleksaj funkcioj. La ekvacioj de Cauchy-Riemann estas la aldonendaj kondiĉoj, por ke derivebla kompleksa funkcio estu diferencialebla (derivebla) kun la sama senso ol por reelaj funkcioj.
Se la ekvacioj de Cauchy-Riemann veras, oni povas montri, por holomorfa funkcio , ke ambaŭ ĝia reela parto kaj ĝia imaginara parto estas harmoniaj funkcioj.

Tia sistemo de ekvacioj unue aperis en la laboro de Jean le Rond d'Alembert en 1752
 () . Poste en 1814, Augustin Cauchy uzis tiajn ekvaciojn
<ref name="Cauchy1814">{{Cito
 | Aŭtoro =Augustin Cauchy
 | Titolo = Mémoire sur les intégrales définies ('' Memuaro pri difinitaj integraloj)

 | Loko = Parizo
 | Jaro = 1814
 | Gazeto = Oeuvres complètes Ser. 1
 |Volumo = Vol. No1
 |Paĝoj = (319-506)
 | URL = 
 | ISBN = 
}} () </ref> por bildigi sian teorion pri funkcioj; kaj ili aperis en disertaĵo de Bernhard Riemann
 ()  en 1851 .

Estu kompleksa funkcio  (kun ), kiu povas esti diserigita en sumon de du reelaj funkcioj  kaj  tiel, ke



plie tiu funkcio  estas derivebla en iu punkto , kaj sekvas la kondiĉojn de Cauchy-Riemann:

(1a): 

(1b): 
kie  estas la parta derivaĵo de la diferencialebla funkcio  rilate al la variablo , alie simbolita per . La sama difino validas por ,  kaj .

Se, por tia funkcio, ekzistas limo (finia)

oni nomas ĝin la derivaĵo de  en , tial sekvas ke:

 Demonstro 
Konsideru ni iun funkcion  de kompleksa variablo :

kiu estas derivebla en iu punkto , do konsekvence:

.

Pro tio, ke la funkcio estas derivebla, la valoro de la derivaĵo devas esti la samo laŭ iu ajn vojo kiu konverĝas al . Aparte, la rezultoj de la kalkuloj ĉu laŭ , ĉu laŭ  devas esti egalaj http://www.ima.umn.edu/~arnold/502.s97/ Complex analysis course web site (Kurso de kompleksa analitiko per TTT) de Douglas N. Arnold (), tio estas:1) 2) 

Komparante la rezultojn 1) kaj 2'''), oni tuj deduktas la antaŭan formuladon de la derivaĵo de  en  , kaj ankaŭ la ekvaciojn de Cauchy-Riemann, per egaligo de la du esprimoj de la reela parto kaj de la imaginara parto por .

 Ekzemploj 
 Konsideru ni la funkcion , kiu estas difinita sur , ĝi estas diferencialebla nur sur ; sed ĝi estas diferencialebla en neniu punkto pri la kompleksa ebeno , ĉar ĝi sekvas nenie la ekvaciojn de Cauchy-Riemann. Fakte, pro tio, ke  :
  kaj 
 do, por ĉiu , 

 Konsideru ni la funkcion  en karteziaj koordinatoj:

kies reela parto kaj imaginara parto estas  kaj  respektive. Derivaĵoj rilatante al  kaj  tuj donas:

kaj
.
La funkcio  estas do diferencialebla en la kompleksa ebeno .

Finfine verifu ni la kondiĉon pri la derivaĵoj. La derivaĵo de  skribiĝas tiel  (la reguloj por derivi kompleksajn funkciojn kaj reelajn funkciojn similas), kaj rezultas:

 Aliaj esprimoj de la ekvacioj 
Aliaj ekvivalentaj formoj por esprimi la kondiĉoj de Cauchy-Riemann estas sekvantaj:

 Vidu ankaŭ 
 Ekvacio en partaj derivaĵoj
 Harmonia funkcio
 Holomorfa funkcio
 Laplaca ekvacio

 Referencoj 

Kategorio:Kompleksa analitiko
Kategorio:Partaj diferencialaj ekvacioj