Lagranĝa mekaniko

Lagranĝa mekaniko estas reesprimo de klasika mekaniko fare de Joseph-Louis Lagrange. Ĝi esprimas la staton de klasika sistemo kiel iu aro de nombroj (ĝeneraligitaj koordinatoj), kiuj evoluas tra tempo laŭ iuj leĝoj. La leĝoj estas kondiĉoj minimumigi ian kvanton, la lagranĝianon , kiu estas funkcio de la koordinatoj kaj la rapidoj (temp-derivoj de la koordinatoj). Do, la lagranĝiano determinas la evoluon de la sistemo.

kie T estas la tuta kineta energio (kiu dependas de la movokvantoj), kaj V estas la tuta potenciala energio (kiu dependas de la koordinatoj) de la sistemo.

Lagranĝa mekaniko provizas metodon aŭtomate certigi konserviĝon de energio kaj movokvanto (tamen lagranĝa mekaniko povas priskribi ankaŭ sistemon sen konserviĝo de energio aŭ movokvanto). Lagranĝa mekaniko kongruas kun speciala relativeco en la senco, ke ĝi povas esprimi relativecajn teoriojn en tia maniero ke la relativeco estas evidenta (kontraste kun hamiltona mekaniko).

 Difino 
Laŭ lagranĝa mekaniko, klasika fizika sistemo konsistas el:
 Reela kontinue derivebla sternaĵo , la spacon de agordoj (france espace de configuration). La dimensio de  estas la nombro de gradoj de libereco de la sistemo. Punkto  estas (ĝeneraligita) koordinato; punkto  estas (ĝeneraligita) rapido.
 Komenca koordinato  kaj fina koordinato .
 Tempa intervalo ;
 Kontinue derivebla funkcio , la lagranĝiano. Ĝi estas funkcio (ne funkcionalo) de tempo, koordinatoj, kaj rapidoj. Sistemo estas aŭtonoma s.n.s. ĝia lagranĝiano ne (rekte) dependas de tempo, k.e.,  por ĉiu .

 Principo de senmova ago 
La spaco  estas la aro de kontinue deriveblaj kurboj  tia ke  kaj . Donu al ĝi la topologion generita de aroj
 s.n.s.  estas membro de la atlaso de , kaj  koincidas kun  ekster , kaj  kie  kaj  por ĉiu .

Unu-parametra familio de kurboj estas kontinue derivebla funkcio . Funkcionalo  sur  estas senmova ĉe  s.n.s. por ĉiu unu-parametra familio de kurboj  () tia ke , do .

La ago estas la funkcionalo  difinita kiel
.
La lagranĝiano determinas la evoluon de la sistemo laŭ la principo de senmova ago, kiu asertas ke:
La ago estas senmova ĉe la trajektorio de la sistemo.
Kelkaj aŭtoroj anstataŭe uzas la nomon principo de minimuma ago; tiu estas iom misnomita, ĉar senmoveco estas pli ĝenerala ol minimumeco. (Ekzemple, la trajektorio povas anstataŭe maksimumigi la agon aŭ simple esti sela punkto.)

 Ekvacio de Euler–Lagrange 
Oni povas pruvi ke la senmoveco de la ago estas ekvivalenta al la jena kondiĉo, la ekvacio de Euler–Lagrange:
Konsideru la partajn derivaĵojn  kaj , , kie  kaj . Do la trajektorio  (kontinue derivebla, , ) verigas:
 por ĉiu .
Tial la ekvacio de Euler–Lagrange estas ekvacio de movado de la sistemo. La ekvacio de Euler–Lagrange estas dua-orda diferenciala ekvacio. Do la komenca valoro de la problemo konsistas el la nula- kaj unua-ordaj derivaĵoj de la trajektorio, . Tial, ĝenerale, stato de la sistemo estas punkto , konsistanta el koordinato kaj rapido.

La (ĝeneraligita) movokvanto  (kovektora kampo) estas difinita kiel
.
La (ĝeneraligita) forto  (kovektora kampo) estas difinita kiel
.
Do la ekvacio de Euler–Lagrange simpliĝas al
,
kiu similas la duan leĝon de Newton.

 Ekzemplo: Partiklo sur sternaĵo 
Kiel ekzemplo, konsideru partiklon limigitan al la interno de iu (pseŭdo-) rimana sternaĵo  (la spactempo). La spaco de agordoj estas  per difino. (Se  distingeblaj partikloj ekzistas anstataŭe, la spaco de agordoj estus ; se la partikloj estas ne distingeblaj, do ni havas , kie  por iu ajn permutaĵo .)

Supozu ke la partiklo estas libera, k.e., ne sentas iajn eksterajn fortojn. Do unu ebla lagranĝiano estas simple la kineta energio:

kie  estas la maso de la partiklo. La movokvantoj estas
;
iliaj derivaĵoj laŭ tempo estas

kie  estas la simbolo de Christoffel. La ĝeneraligitaj fortoj estas
.
Do la ekvacioj de Euler–Lagrange  fariĝas
,
aŭ (uzante la alian simbolon de Christoffel )
.
Tiu ĉi estas la fama ekvacio de geodeziiko (angle geodesic, france géodesique, germane Geodäte): la trajektorio estas geodeziiko, la plej mallonga (aŭ, pli ĝenerale, ekstrema aŭ senmova) kurbo inter du punktoj. Tial alternativa ago por la libera klasika partiklo estas la longo de la trajektorio de la partiklo, kaj la respondanta lagranĝiano estas la rapido de kresko de la trajektorio:
.
La respondantaj movokvantoj estas
;
iliaj derivaĵoj estas
;
kaj la ĝeneraligitaj fortoj estas
.
Do la ekvacioj de Euler–Lagrange fariĝas

Ĝenerale . Tial ni ree havas la ekvacion de geodeziiko. Ni vidu ke pluraj malsamaj lagranĝianoj povas priskribi la saman dinamikon.

 Konservatoj kaj Teoremo de Noether 
Simetrio de lagranĝa sistemo estas kontinue derivebla mapo , , tia ke:

por iu .

La (unua) teoremo de Noether (far germana matematikisto Emmy Noether) asertas ke:
Se aŭtonoma sistemo havas simetrion , do ĝi konservas iun kvanton  difinitan loke kiel
.

Skizo de pruvo. Ni neglektu indicon  pro klareco. Do , kaj

.
Alivorte, la teoremo de Noether rilatas simetrion al konservato.

La plej grava ekzemplo de konservato estas la energio. Konsideru aŭtonoman sistemon (la lagranĝiano ne dependas de tempo rekte). Do ĝi havas la simetrion :,
kiu verigas
.
(K.e.,  tie ĉi.) Do la kvanto, la hamiltoniano,

konserviĝas:
.
La estas la tuta energio de aŭtonoma sistemo. Se la sistemo ne estas aŭtonoma, do

anstataŭe.

 Rilato inter lagranĝa kaj hamiltona mekanikoj 
Ĉe  kaj , konsideru la bildigon  difinitan kiel
.
Pli ĝenerale, oni havas faskan mapon . Lagranĝa sistemo estas regula s.n.s.  formas difeomorfion inter  kaj  — alivorte, s.n.s. oni povas unike determini la rapidojn el la movokvantoj. Lagranĝa sistemo estas forte regula s.n.s.  formas difeomorfion inter  kaj  (la lagranĝiano provizas naturan izomorfion inter la tanĝa kaj la kotanĝa faskoj). Klare, forte regula lagranĝiano estas ĉiam regula, sed la inversa implico ne estas vera ĝenerale.

Ekzemploj. Lagranĝiano  ne estas regula, ĉar la movokvantoj nulas idente. Lagranĝiano  estas forte regula, ĉar . Lagranĝiano  estas regula sed ne forte regula, ĉar : solaj pozitivaj movokvantoj havas malbildojn; la bildigo  estas enjekcia sed ne surjekcia.

Ni povas reformuli regulan lagranĝian sistemon kiel hamiltona sistemo jene. Difinu la fazan spacon . La faza spaco havas duoblan da dimensioj de la spaco de agordoj .
Kiel (subspaco de) la kotanĝa fasko , la faza spaco  portas naturan simplektan strukturon  jene. Konsideru la projekcion  kaj ĝian derivaĵon . Do oni povas difini la unu-forman kampon  sur  kiel
 por , , kaj .
Laŭ loka koordinatsistemo,
.
Do oni difinu
.
Evidente  estas fermita (eĉ ekzakta) kaj ne degeneras.

Nune la hamiltonianon , kiu estas funkcio , vidiĝas kiel funkcio  (uzante la izomorfion ). Do  formas hamiltona sistemo, kaj la ekvacioj de Hamilton povas esti pruvitaj el la ekvacioj de Euler–Lagrange.
Skizo de pruvo.
Vidante  kaj uzante koordinatoj ,

.
Vidante  kiel simplekta sternaĵo kaj uzante koordinatoj ,
.
∴  kaj . ∎

 Referencoj 
 LD Landau, EM Lifshitz, Mechanics, Pergamon Press.
 KC Gupta, Classical mechanics of particles and rigid bodies, Wiley, 1988.
 H Goldstein, CP Poole, JL Safko, Classical Mechanics. Addison-Wesley.
 C Lanczos, The variational principles of mechanics. Dover, 1986, ISBN 0486650677.
 F Kuypers, Klassische Mechanik Wiley-Vch, 2008, ISBN 3527407219.
 ВИ Арнольд, Математические методы классической механики. 3a eld. Moskvo: Наука, 1989.
 Angla traduko VI Arnold, Mathematical methods of mathematical physics, 2a eld. Novjorko: Springer-Verlag, 1989. ISBN 0387968903

Kategorio:Klasika mekaniko