Distribucio

En analitiko, distribucio estas objekto simila al funkcio sed eble kun neordinaraj punktoj — ekzemple, la delta distribucio . Teknike, distribucio estas kontinua lineara funkcionalo sur ia spaco de "bonaj" funkcioj (por la preciza difino de "boneco", vidu sube). La teorio de distribucioj estas lineara en senco ke oni povas fari linearan operaciojn je distribuoj (ekz., adicion, derivon, konverton de Fourier, k.t.p.), sed oni ne povas, ĝenerale, fari nelinearajn operaciojn (ekz., multiplikon).

 Difino 
Konsideru malfermitan subspaconpli ĝenerale, oni povas konsideri senfine deriveblan sternaĵojn. . Testa funkcio  estas funkcio
 kompakte apogata, k.e., ekzistas kompakta subspaco  tia ke  se ;
 kaj senfine derivebla, k.e.,  ekzistas por ĉiu multindekso .
Difinu topologion sur la vektora spaco  de testaj funkcioj sur  jene: se  (), do  se kaj nur se
 ekzistas kompakta subspaco  tia ke  por ĉiu  se ;
 kaj  por ĉiu multindekso  (k.e.,  uniforme).
Distribucio sur  estas kontinua (laŭ supra topologio) lineara funkcionalo . En aliaj vortoj, la spaco  de distribucioj estas la topologia dualo de  (laŭ supra topologio).

 Funkcioj kiel distribucioj 
Funkcio  estas loke integralebla se kaj nur se ĝi estas integralebla (laŭ Lebesgue) sur ĉiu kompakta subspaco . Difinu ĵeton  el spaco de loke integraleblaj funkcioj al spaco de distribucioj tian ke
.
Tiu ĉi ĵeto estas bijekcio escepte ke  se kaj nur se  kaj  koincidas escepte sur nulmezura aro. Tial, normale oni skribas kvazaŭ loke integralebla funkcio estus distribucio.

 La derivaĵo de distribucio 
Se  estas multindekso, difinu derivaĵon  de distribucio  (laŭ poparta integralado) kiel
.
Se la distribucio estas funkcio (laŭ supra ĵeto inter funkcioj kaj distribucioj), la derivaĵo kiel distribucio koincidas kun la derivaĵo kiel funkcio.

 Multipliko 
Oni povas difinu multiplikon inter distribucio kaj senfine derivebla funkcio (sed, ĝenerale, ne inter du distribucioj). Difinu la produton  de distribucio  kaj senfine derivebla funkcio  tian ke
.

 Bontemperamentaj distribucioj 
Oni ne povas difini konverton de Fourier de ĉia distribucio. Tamen, oni povas difini subaron de specialaj distribucioj — la bontemperamentaj (angle tempered) distribucioj — sur kiu oni povas difini konverton de Fourier.

Konsideru eŭklidan spacon . Funkcio de Schwartz estas funkcio  tia ke

pro ĉia multindekso  kaj . Oni povas pruvi ke konvertaĵo de Fourier de funkcio de Schwartz estas alia funkcio de Schwarz.

Difinu topologion sur spaco  de funkcioj de Schwarz tian ke  se kaj nur se:
 pro ĉia multindekso  kaj .
Bontemperamenta distribucio estas kontinua lineara funkcionalo  (laŭ supra topologio). En aliaj vortoj, la spaco  de bontemperamentaj distribucioj estas la topologia dualo de .

La spaco  estas subspaco de , ĉar  estas subaro de  kaj konverĝeco laŭ  estas pli forta ol konverĝeco laŭ . Oni povas pruvi ke la derivaĵo de bontemperamenta distribucio estas alia bontemperamenta distribucio.

Difinu la konvertaĵon de Fourier  de bontemperamenta distribucio  kiel jenon:
.
La konvertaĵo de Fourier de bontemperamenta distribucio estas alia bontemperamenta distribucio.
Oni povas pruvi ke
.

 La ondfronta aro kaj multipliko de distribucioj 
Ĝenerale oni ne povas difini produtojn de arbitraj distribucioj. Tamen, oni povas uzi la koncepton de ondfronta aro difini produtojn de distribucioj kiuj verigas kelkajn kondiĉojn.Vidu, ekz., la prezentadon de Richard Borcherds, arXiv:math-ph/0204014.

Se  estas senfine derivebla funkcio, difinu la aron  kiel la aron de punktoj  tiaj ke  ne kreskas malrapide kiel funkcio de .Funkcio  kreskas malrapide se kaj nur se  por ĉiu pozitiva entjero .

Oni povas pruvi ke la konvertaĵo de Fourier de kompakte apogata distribucio estas senfine derivebla funkcio.
La ondfronta aro (angle wavefront set)  de distribucio  estas la aro  de punktoj  tiaj ke  por ĉiu testa funkcio  kun .

Konsideru distribuciojn  kaj . Se ne ekzistas  tia ke , do la "neordinaraĵoj" de la du distribucioj ne koincidas (en ia senco), kaj oni povas unike difini la produton .

 Notoj 

 Referencoj 

 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
.

Kategorio:Funkcionala analitiko
Kategorio:Matematika fiziko