Ĉina restteoremo

Ĉina restteoremo estas la nomo de multaj similaj teoremoj de abstrakta algebro kaj nombroteorio.

 Samtempaj kongruecoj de entjeroj 

Samtempa kongrueco de entjeroj estas sistemo de linearaj kongruecoj



por kiu estas trovendaj ĉiuj , kiuj solvas ĉiujn kongruecojn samtempe. Se solvo  ekzistas kaj oni difinas  ("pmko" signifas la plej malgrandan komunan oblon), la aro  enhavas ĉiujn solvojn. Sed ankaŭ eblas, ke neniu solvo ekzistas.

 Reciproke primaj moduloj 

La origina versio de la restteoremo (el la libro La kompendio de aritmetiko de Sūn Zǐ de la ĉina matematikisto Sūn Zǐ) deklaras eldiron pri samtempaj kongruecoj en la kazo, ke la moduloj estas reciproke primaj. Ĝi tekstas:

 estu popare reciproke primaj entjeroj. Tiam por ĉiu entjera opo  ekzistas entjero , kiu solvas la jenan samtempan kongruecon:
  kun 
Ĉiuj solvoj por tiu kongrueco estas kongrua module .

Tiu produto  egalas al la PMKO kaŭze de reciproka primeco.

Trovado de unu solvo

Unu solvo  povas esti trovita jene: Por ĉiu  la nombroj  kaj  estas reciproke primaj, do oni povas trovi du nombrojn  kaj , ekzemple kun la etendita eŭklida algoritmo, kun la propreco
 .

Se oni metas , tiam validas

 .

Tiam la nombro

estas solvo por la samtempa kongrueco.

Ekzemplo

Estu serĉata entjero , por kiu validas jeno:


Ĉi tie validas .
Kun helpo de etendita eŭklida algoritmo oni kalkulas
 , do 
 , do 
 , do 

Tiam unu solvo estas . Kaŭze de  ĉiuj aliaj solvoj estas kongruaj al 47 module 60.

 Ĝenerala kazo 

Ankaŭ ĉe la kazo, ke la moduloj ne estas reciproke primaj, ekzistas solvo kelkfoje. La ekzakta kondiĉo tekstas: Solvo por la samtempa kongrueco ekzistas strikte tiam, se por ĉiuj  validas:
 .
Ĉiuj solvoj estas kongruaj module la PMKO de .

En la kazo, ke solvo ekzistas, unu samtempa kongrueco povas esti solvita, ekzemple, per substituoj, paŝo post paŝo, ankaŭ se la moduloj ne estas reciproke primaj.

Ekzemplo

La celo de unu klasika enigmo estas trovi la malplej grandan naturan nombron, kiu havas la reston 1 ĉe dividado kun resto per 2, 3, 4, 5 kaj 6, kaj estas nete dividebla per 7. Do oni serĉas la malplej grandan pozitivan solvon  de la samtempa kongrueco.


Ĉar la moduloj ne estas reciproke primaj, oni ne povas apliki la ĉinan restteoremon senpere. Sed oni povas kunigi la unuan kvin kondiĉojn al , kiu signifas, ke solvo estu trovita por


Tiu sistemo de kongruecoj nun solveblas pere de la ĉina restteoremo.

 Rekta solvado de samtempaj kongruecoj de entjeroj 

La jenaj ambaŭ kongruecoj estu donita:

Se tiuj solveblas, do , ili estas ekvivalenta je la simpla kongrueco:


kun .

Tio funkcias ankaŭ kiam la nombroj n kaj m ne estas reciproke primaj; tio do estas klara simpligo por solvi samtempajn kongruecojn. Sistemo de kongruecoj povas esti solvita per refarita aplikado de tiu simpligo.

Kategorio:Matematiko
Kategorio:Teoremoj