Aksiomo de senfineco

En la aksioma aroteorio kaj la branĉoj de logiko, matematiko kaj komputoscienco kiuj ĝin uzas, la aksiomo de senfineco estas unu el la aksiomoj de la aroteorio de Zermelo-Fraenkel (ZFE). Ĝi certigas la ekziston de almenaŭ unu senfina aro, nome de aro entenanta la naturajn nombrojn.

Formala aserto
En la formala lingvo de la aroteorio, la aksiomo estas

En vortoj, ekzistas aro S (la aro kiu estas postulatata esti senfina) tia ke la malplena aro estas en S kaj tia ke por ĉiu x en S, la aro formita per kunigo de x kun la unuaro {x} ankaŭ estas en S. Tia aro estas foje nomata indukta aro.

Interpreto kaj sekvoj
La aksiomo estas intime ligita kun la kutima konstruo de la naturaj nombroj en la aroteorio, en kiu la postanto de x estas difinata kiel x ∪ {x}.  Se x estas aro, tiam el la aliaj aksiomoj de la aroteorio sekvas ke ĉi tiu postanto ankaŭ estas unike difinita aro. Postantoj estas uzataj por difini la kutiman aroteorian kodigon de la naturaj nombroj. En ĉi tiu kodigo, nulo estas la malplena aro:

0 = {}.

La nombro 1 estas la postanto de 0:

1 = 0 ∪ {0} = {} ∪ {0} = {0}.

Analoge, du estas la postanto de 1:

2 = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {0,1},

kaj tiel plu. Sekvo de ĉi tiu difino estas ke ĉiu natura nombro estas egala al la aro de ĉiuj antaŭaj naturaj nombroj.

Ĉi tiu konstruo formas la naturajn nombrojn. Tamen, la aliaj aksiomoj ne sufiĉas por pruvi ke ekzistas la aro de ĉiuj naturaj nombroj. Tial ĝia ekzisto estas asertata kiel aksiomo — la aksiomo de senfineco. La aksiomo asertas ke ekzistas aro S kiu entenas 0 kaj kiu estas fermita laŭ la postanto-funkcio; tio signifas, ke por ĉiu elemento de S, la postanto de tiu elemento ankaŭ estas en S.

Do la esenco de la aksiomo estas

Ekzistas aro S kiu entenas ĉiujn naturajn nombrojn.

La aksiomo de senfineco ankaŭ estas unu el la aksiomoj de Neumann-Bernays-Gödel.

Ĉerpi la naturajn nombrojn el la senfina aro
La senfina aro S estas superaro de la naturaj nombroj. Por pruvi ke la naturaj nombroj mem konsistigas aron, oni prenas la komunaĵon de ĉiuj induktaj aroj.

 Sendependeco 
La aksiomo de senfineco ne estas derivebla el la restantaj aksiomo de ZFE, se tiuj aliaj aksiomoj estas koheraj.

Fakte, uzante la universon de von Neumann, ni povas konstrui modelon de la ZFE-aksiomoj kun la senfineco-aksiomo anstataŭita de ĝia neo. Temas pri  , la klaso de herede finhavaj aroj, kun la heredita elemento-rilato. 

La kvantonombro de la aro de naturaj nombroj, alef nulo (), havas multajn ecojn de granda kvantonombro. Tial la aksiomo de senfineco estas foje konsiderata la unua grandkvantonombra aksiomo, kaj inverse grandkvantonombraj aksiomoj estas foje nomataj fortaj aksiomoj de senfineco.

 Fontoj 
Paul Halmos (1960) Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company. Reprinted 1974 by Springer-Verlag. ISBN 0-387-90092-6.
Thomas Jech (2003) Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.
Kenneth Kunen (1980) Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.

Kategorio:Senfineco
Senfineco