Sigma adicieco

En matematiko, adicieco kaj sigma adicieco de funkcio difinita sur subaroj de donita aro estas propraĵoj de la funkcio kiu donas la intuiciajn propraĵojn de amplekso (longo, areo, volumeno) de la subaroj.

 Adiciaj (aŭ finie adiciaj) araj funkcioj 

Estu μ funkcio difinita sur algebro de aroj D kun valoroj en [-∞, +∞] (vidu en la etendita reela nombra linio). La funkcio μ estas adicia se, por ĉiuj disaj aroj A kaj B en D



Konsekvenco de ĉi tio estas, ke adicia funkcio ne povas preni ambaŭ -∞ kaj +∞ kiel valoroj, pro tio ke esprimo +∞+(-∞) estas nedifinita.

Oni povas pruvi per matematika indukto, ke adicia funkcio kontentigas



por ĉiuj disaj aroj A1, A2, ..., AN en D.

 σ-adiciaj araj funkcioj 

Estu D estas σ-algebro. Se por ĉiu vico A1, A2, ..., Ak, ... de disaj aroj en D



μ estas kalkuleble adicia aŭ σ-adicia.

Ĉiu σ-adicia funkcio estas aficia sed ne inverse, kiel estas montrite pli sube.

 Propraĵoj 

 μ(∅) = 0.
 Se μ estas nenegativa kaj A ⊆ B, do μ(A) ≤ μ(B).
 Se A ⊂ B, do μ(B-A) = μ(B) - μ(A).
 μ(A ∪ B) + μ(A ∩ B) = μ(A) + μ(B).

 Ekzemploj 

Ekzemplo de σ-adicia funkcio estas funkcio μ difinita super la aro de ĉiuj subaroj de la reelaj nombroj kiel



Se A1, A2, ..., Ak, ... estas vico de disaj aroj de reelaj nombroj, tiam neniu el la aroj enhavas 0, malinkluzive aŭ precize unu de ilin enhavas 0. En ĉu okazo la egaleco



veras.

Ekzemplo de adicia funkcio kiu estas ne σ-adicia estas funkcio μ difinita super la aro de ĉiuj subaroj de la reelaj nombroj kiel

kie  signifas la fermaĵon de aro A.

Ĉi tiu funkcio estas adicia pro tio ke fermaĵo de finia unio de aroj estas la unio de fermaĵoj de la aroj, kaj povas esti la du okazoj se 0 estas en la fermaĵo de iu el ĉi tiuj aroj aŭ ne. Ĉi tiu funkcio estas ne σ-adicia, ĉi tio sekvas el konsidero de vico de disaj aroj



por n=1, 2, 3, ... La unio de ĉi tiuj aroj estas la intervalo (0, 1) kies fermaĵo estas [0, 1] kaj μ aplikita al la unio estas tiam malfinio, sed μ aplikita al ĉiu el la An estas nulo, do la sumo de μ(An) estas ankaŭ nulo, kiu demonstras la kontraŭekzemplon.

Lebega mezuro estas ekzemplo de σ-adicia funkcio. Vidu en mezuro kaj signuma mezuro por pliaj ekzemploj de σ-adiciaj funkcioj.

 Ĝeneraligoj 

Oni povas difini adiciajn funkciojn kun valoroj en ĉiu adicia monoido (ekzemple ĉiu grupo aŭ pli kutime vektora spaco). Por sigmo-adicieco, oni bezonas aldone ke la koncepto de limeso de vico estu difinita sur ĉi tiu aro. Ekzemple, spektraj mezuroj estas sigmo-adiciaj funkcioj kun valoroj en banaĥa algebro. Alia ekzemplo, ankaŭ de kvantummekaniko, estas la pozitiva operatoro-valora mezuro.

 Vidu ankaŭ 

 Mezuro (matematiko)
 Signuma mezuro
 Lebega mezuro
 Adicia funkcio
 Subadicia funkcio
 Teoremo de Hahn-Kolmogorov

 Eksteraj ligiloj 



Kategorio:Mezura teorio