Teoremo de Rolle

En analitiko la teoremo de Rolle asertas, ke se funkcio estas kontinua en kompakta Intervalo , tio estas malfermita kaj limigita, derivebla en ĉiu punkto en la fermita intervalo  kaj , tiam ekzistas almenaŭ interna punkto en  kies derivaĵo nuliĝas, tio estas  (krita punkto).

Formale: Estu  Se  estas kontinua en , derivebla en  kaj  tiam 

 Demonstro 
 Per teoremoj de Weierstrass kaj Fermat 
Danke al teoremo de Weierstrass la funkcio en la intervalo  garantias la ekziston de absolutaj maksimumo kaj minimumo (kiuj estos  kaj ). Estas du kazoj:
 Maksimumo kaj minimumo estas ambaŭ en ekstremoj. Do, ĉar , . Tio implikas, ke la funkcio estas konstanta en la intervalo  kaj la derivaĵo estas nula en ĉiuj punktoj  de la intervalo .
 Maksimumo kaj minimumo ne estas en ekstremoj sed ene de la intervalo. Ni supozu, ke la punkto  en la malfermita intervalo  estas maksimumo, tio estas . Laŭ la teoremo de Fermat pri kritaj punktoj la derivaĵo estas nula en la punkto .

 Per teoremo de Lagrange 
Ĉi tiu teoremo estus aparta kazo de la teoremo de Lagrange, kiu asertas, ke, sen la hipotezo , . Se , la numeratoro estas nula, do la teoremo de Rolle estas verigita.

 Kontraŭekzemploj 
eta|dekstra|Dua kontraŭekzemplo. La funkcio  en la intervalo  ne deriveblas en x = 0. La teoremo de Rolle ne estas valida.
La teoremo ne validas se ne estas nur unu el la tri hipotezoj:
  ne estas kontinua en .
  ne estas derivebla en .
 .

 Ĝeneraligoj 
Ebla ĝeneraligo de la teoremo de Rolle garantias la ekziston de ne-deriveblaj punktoj, de fleksoj kun vertikala tanĝanto, tio estas punktoj kie la limeso de la pliiga raporto estas infinito.

 Vidu ankaŭ 

 Derivaĵo
 Teoremo de Lagrange
 Teoremo de Cauchy

Kategorio:Diferenciala kalkulo
Rolle