Teoremo pri bonordigo

En matematiko, la teoremo pri bonordigo aŭ teoremo de Zermelo (laŭ Ernst Zermelo ) asertas ke ĉiu aro povas esti provizita per bona ordo. Aro X estas bone ordigita se ĉiu ne-malplena subaro de X havas malplej grandan elementon sub la elektita ordigo.

La teoremo pri bonordigo estas ekvivalenta al la aksiomo de elekto, en la senco ke ĉiu el ili kune kun la aksiomoj de Zermelo-Fraenkel estas sufiĉa por pruvi la alian, en unuaorda logiko. (La samo validas por la lemo de Zorn.) En duaorda logiko, tamen, la teoremo pri bonordigo estas strikte pli forta ol la aksiomo de elekto: el la teoremo pri bonordigo oni povas dedukti la aksiomon de elekto, sed el la aksiomo de elekto oni ne povas inferi la teoremon pri bonordigo.

Bona ordo estas grava ĉar pro ĝi ĉiu aro povas esti konsiderata per la potenca tekniko de transfinia indukto. La teoremo pri bonordigo havas sekvojn kiuj povas ŝajni paradoksaj, kiel ekzemple la paradokso de Banach-Tarski.

 Historio 

Georg Cantor konceptis la teoremon pri bonordigo kiel "ĉefprincipon de penso". Plejparto de matematikistoj tamen trovis malfacila la ideon provizi per bonordo, ekzemple, la aron ℝ de ĉiuj reeloj. En 1904, Gyula Kőnig diris, ke li pruvis ke ĉi tia bonordo ne povas ekzisti. Tamen kelkajn semajnojn poste Felix Hausdorff trovis eraron en la pruvo. 

Ernst Zermelo enkondukis la aksiomon de elekto kiel "nekritikeblan logikan principon" por pruvi la teoremon pri bonordigo.

 Vortumo kaj skizo de pruvo 

Por ĉiu aro X, ekzistas bona ordo kun domajno X.

La teoremo pri bonordigo facile sekvas el la lemo de Zorn. Prenu la aron A de ĉiuj bone ordigitaj subaroj de X. Strikte parolante, ĉiu elemento de A estas ordigita duopo (a, b) kie a estas subaro de X kaj b estas ordigo de a. A povas esti parte ordigita per daŭrigo. Ĉi tio signifas, ke oni difinas E≤F se E estas komenca segmento de F kaj la ordigo de la membroj en E estas la sama kiel ilia ordigo en F. Se E estas tutece orda aro en X, tiam la kunaĵo de la aroj en E povas esti ordigita laŭ maniero kiu igas ĝin daŭrigo de ĉiuj aroj en E kaj, tial, superan baron de E. Oni povas tial uzi la lemon de Zorn por konkludi ke A havas maksimuman elementon M. M devas esti egala al X. Se X havas elementon x kiu ne estas en M, ekzistas aro kun la sama ordo kiel M krom kun x post ĉiuj aliaj membroj de M. Ĉi tiu aro estus daŭrigo de M, kio estas kontraŭdiro.

La aksiomo de elekto povas esti pruvita pere de la teoremo pri bonordigo jene: Por fari elektofunkcion de kolekto de aroj E, prenu la kunaĵon de la aroj en E kaj nomu ĝin X. Ekzistas bona ordo de X, kaj do ĉiu aro en E havas plej malgrandan elementon laŭ tiu ordo. La elekto-funkcio povas elekti la plej malgrandan elementon de ĉiu membro de E.

 Vidu ankaŭ 

 Bona ordo
 Bon-orda principo

 Eksteraj ligiloj 

Kategorio:Matematikaj teoremoj
Kategorio:Aro-teorio
Kategorio:Ordoteorio