Pakada problemo

Pakadaj problemoj estas speco de problemoj en matematiko.

En pakada problemo estas donitaj:
 unu aŭ pli multaj (kutime du-dimensiaj aŭ tri-dimensiaj) konteneroj;
 kelkaj 'varoj', iuj aŭ ĉiuj el kiuj devas esti pakitaj en ĉi tiujn kontenerojn.

eta|La plej densa pakado de 7 cirkloj en kvadrato, tamen unu cirklo havas movan liberecon

Kutime la pakado devas esti sen breĉoj aŭ interkovroj, sed en iuj pakadaj problemoj la interkovroj (de varoj unu la alian aŭ kun la rando de la kontenero estas permesita sed devus esti farita kiel eblas pli malgranda. En la aliaj, breĉoj estas permesitaj, sed interkovroj estas ne permesitaj, kutime la tuteca areo de breĉoj devus esti farita kiel eblas pli malgranda.

Kutime la problemoj engaĝas trovadon de la maksimuma kvanto de certaj formoj kiuj povas esti pakitaj, aŭ trovadon de la minimuma amplekso de la kontenero.

Eĉ se iu pakado estas la plej densa ebla, iam okazas ke iu el la pakitaj eroj havas liberecon de movo en iu regiono.

 Pakado de malfinia spaco 
Multaj el ĉi tiuj problemoj, se la kontenera amplekso estas pligrandigita en ĉiuj direktoj, iĝas ekvivalento al la problemo de pakado de objektoj kiel eblas dense en malfinia eŭklida spaco. La keplera konjekto statis la optimalan solvaĵon por pakado de sferoj, poste ĝi estis pruvita de Hales.

 Cirkloj en ebeno 
eta|maldekstra|Kvadrata pakado de cirkloj en ebeno
eta|Seslatera pakado de cirkloj en ebeno, la plej densa ebla

Cirkloj (n-sferoj en aliaj dimensioj) ne povas esti pakitaj kun 100% uzo de spaco en dimensioj pli grandaj ol unu (en unu-dimensia spaco, cirklo nur konsistas el du punktoj). Tio estas, tie ĉiam estas neuzata spaco se oni pakas nur cirklojn. La plej kompetenta vojo de pakado cirkloj, seslatera pakado, havas relativan uzadon de la spaco . La kvadrata pakado estas malpli densa, kaj havas relativan uzadon de la spaco 

 Sferoj en eŭklida pilko 
La problemo de trovanta de la plej malgranda pilko tia ke k disaj malfermitaj unuoblaj pilkoj povas esti pakitaj en ĝin havas simplan kaj plenan respondo en n-dimensia eŭklida spaco se k≤n+1, kaj en malfinio-dimensia hilberta spaco sen limigoj. En ĉi tiu okazo, konfiguro de k poduope tanĝantaj unuoblaj pilkoj estas havebla. Estu la centroj je la verticoj a1, ..., ak de regula (k-1)-dimensia simplaĵo kun longo de latero egala al 2. La distanco de ĉiu vertico de la centro de la simplaĵo estas . Ankaŭ, ĉiu la alia punkto de la spaco bezone havas pli grandan distancon de almenaŭ unu el la k verticoj. Tiel, la k malfermitaj unuoblaj pilkoj centritaj je a1, ..., ak estas inkluzivitaj en pilkon de radiuso , kiu estas minimuma por ĉi tiu konfiguro.

 Sferoj en briko 
Klasika problemo estas la sfera pakanta problemo, kiu estas trovado de kvanto de sferaj objektoj de donita diametro d kiuj povas esti pakitaj en brikon de donita amplekso a×b×c.

 Cirkloj 
Estas multaj problemoj engaĝaj pakadon de cirkloj en apartan formon de la plej malgranda ebla amplekso. Notu, ke ĉi tiuj problemoj estas matematike malsamaj de la ideoj en la cirkla pakanta teoremo.

 Cirkloj en cirklo 
Iu el la ne-bagatelaj cirklaj pakadaj problemoj estas pakado de unuoblaj cirkloj en la kiel eblas plej malgrandan cirklon.

Minimumaj solvaĵoj:

 Kvanto de unuoblaj cirkloj Radiuso de la kontenera cirklo 1  1  120x120px 2  2  120x120px 3  ≈2,154  120x120px 4  ≈2,414  120x120px 5  ≈2,701  120x120px 6  3  120x120px 7  3  120x120px 8  ≈3,304  120x120px 9  ≈3,613  120x120px 10  ≈3,813  120x120px 11  ≈3,923  120x120px 12  ≈4,029  120x120px 13  ≈4,236  120x120px 14  ≈4,328  120x120px 15  ≈4,521  120x120px 16  ≈4,615  120x120px 17  ≈4,792  120x120px 18  ≈4,863  120x120px 19  ≈4,863  120x120px 20  ≈5,122  120x120px

 Cirkloj en kvadrato 
Paki n unuoblajn cirklojn en la kiel eblas plej malgrandan kvadraton. Ĉi tio estas proksime rilatanta al disvastigo de punktoj en unuobla kvadrato kun trovado de la plej granda minimuma apartigo dn inter la punktoj. Por konverti inter ĉi tiuj du formulaĵoj de la problemo, la kvadrata latero L por n unuoblaj cirkloj estas L=2+2/dn.

Aktualaj plej bonaj solvaĵoj:

 Kvanto de unuoblaj cirkloj n Latero de la kontenera kvadrato L Minimuma apartigo dn en unuobla kvadrato 1  2   2  ≈3,414  ≈1,414 *  120x120px 3  ≈3,931  ≈1,035 *  120x120px 4  4  1 *  120x120px 5  ≈4,828  ≈0,707 *  120x120px 6  ≈5,328  ≈0,601 *  120x120px 7  ≈5,732  ≈0,536 *  120x120px 8  ≈5,863  ≈0,518 *  120x120px 9  6  0,5 *  120x120px 10  ≈6,747  ≈0,421  120x120px 11  ≈7,022  ≈0,398  120x120px 12  ≈7,144  ≈0,389  120x120px 13  ≈7,463  ≈0,366  120x120px 14  ≈7,796  ≈0,345 *  120x120px 15  ≈7,932  ≈0,337  120x120px 16  8  ≈0,333 *  120x120px 17  ≈8,532  ≈0,306  120x120px 18  ≈8,656  ≈0,300  120x120px 19  ≈8,907  ≈0,290  120x120px 20  ≈8,978  ≈0,287  120x120px
* indikas ke la solvaĵo estas sciata al esti optimala.

 Cirkloj en izocela orta triangulo 
Paki n unuoblajn cirklojn en la kiel eblas plej malgrandan izocelan ortan triangulon - ortan triangulon kun anguloj 45°, 45°, 90°.

 Kvanto de unuoblaj cirkloj n Krura latero de la kontenera triangulo 1  ≈3,414  2  ≈4,828  3  ≈5,414  4  ≈6,242  5  ≈7,146  6  ≈7,414  120x120px 7  ≈8,181  8  ≈8,692  9  ≈9,071  10  ≈9,414  11  ≈10,059  12  ≈10,422  13  ≈10,798  14  ≈11,141  15  ≈11,414 

 Cirkloj en egallatera triangulo 
Paki n unuoblajn cirklojn en la kiel eblas plej malgrandan egallateran triangulon.

Minimumaj solvaĵoj:

 Kvanto de unuoblaj cirkloj n Latero de la kontenera triangulo 1  ≈3,464  2  ≈5,464  3  ≈5,464  4  ≈6,928  120x120px 5  ≈7,464  130x130px 130x130px 6  ≈7,464  7  ≈8,928  8  ≈9,293  9  ≈9,464  10  ≈9,464  11  ≈10,730  12  ≈10,928  13  ≈11,406  14  ≈11,464  15  ≈11,464 

 Cirkloj en regula seslatero 
Paki n unuoblajn cirklojn en la kiel eblas plej malgrandan regula seslateron.

 Kvanto de unuoblaj cirkloj n Latero de la kontenera seslatero 1  ≈1,154 2  ≈2,154 3  ≈2,309 4  ≈2,666 5  ≈2,999 6  ≈3,154 7  ≈3,154 8  ≈3,709 9  ≈4,011 10  ≈4,119 11  ≈4,309 12  ≈4,309 13  ≈4,618 14  ≈4,666 15  ≈4,961

 Kvadratoj 
 Kvadratoj en kvadrato 
Problemo estas la kvadrata pakada problemo, kie oni devas difini kiun kvanton da kvadratoj de latero 1 oni povas paki en kvadraton de latero a. Evidente, se a estas entjero, la respondo estas a2, sed la preciza, aŭ eĉ asimptota, kvanto de malŝparata spaco por ne-entjera a estas ne sciata.

Pruvitaj minimumaj solvaĵoj:

 Kvanto de kvadratoj Latero de la kontenera kvadrato 1  1  2  2  3  2  4  2  5  2+2-1/2≈2,707  110x110px 6  3  7  3  120x120px 8  3  9  3  10  3+2-1/2≈3,707  140x140px

Aliaj rezultoj:
 Se eblas paki n2-2 kvadratoj en kvadraton de latero a, tiam a≥n.
 La naiva maniero (latero al latero) malŝparas spacon malpli ol 2a+1.
 La malŝparata spaco estas asimptote o(a7/11).
 La malŝparata spaco ne estas asimptote o(a1/2).
 11 unuoblaj kvadratoj ne povas esti pakitaj en kvadraton de latero malpli granda ol .

 Kvadratoj en cirklo 
Paki n kvadratojn en la kiel eblas plej malgrandan cirklon.

Minimumaj solvaĵoj:

 Kvanto de kvadratoj Radiuso de la kontenera cirklo 1  2-1/2 ≈0,707  2  ≈1,118  3  ≈1,288  4  ≈1,414  5  ≈1,581  120x120px 6  ≈1,688  128x128px 7  ≈1,802  8  ≈1,978  9  ≈2,077  10  ≈2,121  11  ≈2,215  12  ≈2,236 

 Kahelaroj 
En kahelaroj, devas esti nek breĉoj, nek interkovroj.

 Ortanguloj en ortangulo 
Estas gravaj teoremoj pri kahelado de ortanguloj (kaj kubsimilaĵoj) en ortanguloj (kubsimilaĵoj) sen breĉoj aŭ interkovroj:

 Teoremo de Klarner: a×b ortangulo povas esti pakita kun 1 × n ortangulo se kaj nur se n estas divizoro de a aŭ n estas divizoro de b.
 Teoremo de de Bruijn: Skatolo povas esti pakita kun harmonaj brikoj a×ab×abc se la skatolo havas dimensiojn ap×abq×abcr por iuj naturaj nombroj p, q, r, kio estas ke la skatolo estas entjera oblo de la briko je ĉiu dimensio.

 Plurkvadratetoj 
eta|Variantoj de ortanguloj el ĉiuj kvin-kvadratetaj pecoj

La studo de kahelaroj plurkvadratetoj grande koncernas du klasojn de problemoj: kaheli ortangulon kun kongruaj kaheloj, kaj al paki po unu el ĉiu n-kvadrateto en ortangulon.

Klasika enigmo de la dua speco estas al aranĝi ĉiujn 12 malsamajn 5-kvadratetojn en ortangulojn 3×20, 4×15, 5×12 kaj 6×10.

 Vidu ankaŭ 
 Pakado de aro
 Uja pakanta problemo
 Enigmo de Slothouber-Graatsma
 Enigmo de Conway
 Tetriso
 Kovrada problemo
 Dorssakproblemo
 Kvaredra pakado
 Problemo pri tranĉado de stoko
 Problemo pri kvanto de tuŝoj

 Eksteraj ligiloj 






 Pakada centro de Erich 
 "Skatola pakado" de Jr. Ed Pegg.
 Erich Friedman, "Pakado de unuoblaj kvadratoj en kvadratojn: katastro kaj novaj rezultoj" , La Elektronika Ĵurnalo de Kombinatoriko DS7 (2005).
 M. Kearney kaj P. Shiu, "Kompetenta pakado de unuoblaj kvadratoj en kvadraton", La Elektronika Ĵurnalo de Kombinatoriko 9:1 #R14 (2002).
 P. Erdős kaj R. L. Graham, "Pri pakado de kvadratoj kun egalaj kvadratoj", Ĵurnalo de Kombina Teorio, Serio A 19 (1975), pp. 119–123.
 W. Stromquist, "Pakado de 10 aŭ 11 unuoblaj kvadratoj en kvadrato", La Elektronika Ĵurnalo de Kombinatoriko 10 #R8 (2003).


Kategorio:Diskreta geometrio
Kategorio:Kahelaj enigmoj