Kvadrata piramida nombro

En matematiko, kvadrata piramida nombro estas figuriga nombro kiu prezentas kvadratan piramidon - piramidon kun kvadrata bazo kaj kvar triangulaj flankoj. Ĉi tiuj nombroj povas esti esprimita en formulo kiel



tio estas, per sumigo de la kvadratoj de la unuaj n entjeroj. Per matematika indukta ĝi estas ebla al derivi unu formulo de la alia. Ekvivalenta formulo estas donita en Liber Abaci de Fibonacci's (1202, ĉ. II.12).

Ĉi tiu estas speciala okazo de formulo de Faulhaber.

La unuaj kelkaj kvadrataj piramidaj nombroj estas:

 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819

Piramidaj nombroj povas esti modelita en fizika spaco kun donita kvanto da pilkoj kaj kvadrata kadro kiu tenas en loko la pilkojn formantajn la bazon.

 Pruvo por la formulo de la sumo de kvadratoj 

 Unua pruvo 

La unua pruvo povas esti donita per indukto

Estu 

Necesas pruvi ke 

Por n=1 la hipotezo estas vera bagatele.

Estu  vera por iu n. Tiam por n+1:







Tial laŭ principo de matematika indukto, la hipotezo estas pruvita.

 Dua pruvo 







  (en la maldekstra flanko, ĉiu termoj forigis unu la alian escepte de (n+1) kaj 1)


De ĉi tie, 

 Rilatoj al la aliaj figurigaj nombroj 

La piramidaj nombroj povas ankaŭ esti esprimitaj kiel sumoj de dutermaj koeficientoj (aŭ de du najbaraj kvaredraj nombroj) kiel:



en la sama maniero kiel kvadrataj nombroj estas la sumoj de du najbaraj triangulaj nombroj.

Oni povas derivi la alian rilaton inter kvadrataj piramidaj nombroj kaj kvaredraj nombroj: se Pn estas la n-a kvadrata piramida nombro kaj Tn estas la n-a kvaredra nombro do



La sumo de du najbaraj kvadrataj piramidaj nombroj estas okedra nombro.

Ekster 1, estas nur unu alia nombro tio estas ambaŭ kvadrata nombro kaj kvadrata piramida nombro, 4900, la 70-a kvadrata nombro kaj la 24-a kvadrata piramida nombro. Ĉi tiu fakto estis pruvita per G. N. Watson en 1918.

 Kvadratoj en kvadrato 

Komuna matematika enigmo engaĝas trovon de la kvanto de kvadratoj en granda n×n kvadrata krado. Ĉi tiu nombro povas esti derivita kiel sekvas:

 La kvanto de 1×1 skatoloj trovitaj en la krado estas .
 La kvanto de 2×2 skatoloj trovitaj en la krado estas . Ĉi tio povas esti kalkulita per kalkulado de ĉiuj eblaj supro-maldekstraj anguloj de 2×2 skatoloj.
 La kvanto de k×k skatoloj (1 ≤ k ≤ n) trovitaj en la krado estas . Ĉi tio povas esti kalkulita per kalkulado de ĉiuj eblaj supro-maldekstraj anguloj de k×k skatoloj.

Tiel la kvanto de kvadratoj en n per n kvadrata krado estas:

aŭ

Tio estas, la solvaĵo al la enigmo estas donita per la kvadrata piramida nombro.

 Vidu ankaŭ 

 Kvaredra nombro
 Kvadratigita triangula nombro

 Eksteraj ligiloj 
  vico de kvadrataj piramidaj nombroj


Kategorio:Figurigaj nombroj
Kategorio:Piramidoj