Kardinalo de kontinuumo

Nekalkulebleco 

Kardinalo de la kontinuaĵo estas pli granda ol kardinalo de la aro de naturaj nombroj N, , konkrete  kie  (alef-nulo) estas la kardinalo de N. En aliaj vortoj, kvankam R kaj N estas ambaŭ nefiniaj aroj, la reelaj nombroj estas iusence pli multaj ol la naturaj nombroj.

Georg Cantor pruvis ĉi tion en malsamaj manieroj - kiel la unua nekalkulebleca pruvo de Cantor kaj per la diagonala argumento de Cantor.

 Egalaĵoj kun la kardinaloj 

Estu {0, 2}N la aro de nefiniaj vicoj kun valoroj el aro {0, 2}. Ĉi tiu aro klare havas kardinalecon  (la natura inversigebla funkcio inter la aro de duumaj vicoj kaj P(N) estas la nadla funkcio). La asociaĵo al ĉiu tia vico (ai) estas la unika reela nombro en la intervalo [0,1] kies triuma elvolvaĵo estas donita per la ciferoj (ai), kio estas la i-a cifero post la dekuma punkto estas ai. La bildo de ĉi tiu mapo estas nomata kiel la aro de Kantor. Ĉi tiu mapo estas enjekcia. Per evito de punktoj kun la cifero 1 en ilia triuma elvolvaĵo estas evitataj konfliktoj kreis per tio ke la triuma -elvolvaĵo de reela nombro estas ne unika. Tiel .
Per la teoremo de Cantor-Bernstein-Schroeder



Egaleco cc = c povas esti montrita per la kardinala aritmetiko:



Ĉi tiu argumento estas densigita versio de la alternado de du duumaj vicoj: estu 0,a0a1a2... la duuma elvolvaĵo de reela x kaj estu 0,b0b1b2... esti la duuma elvolvaĵo de reela y. Tiam z = 0,a0b0a1b1a2b2..., la alternado de la duumaj elvolvaĵoj, estas bone-difinita funkcio se x kaj y havas unikajn duumajn elvolvaĵojn. Nur kalkuleble multaj reelaj nombroj havas ne-unikajn duumajn elvolvaĵojn.

Per uzado de la reguloj de kardinala aritmetiko eblas montri ke



kie n estas ĉiu finia kardinalo, n≥2, kaj



kie 2c estas la kardinalo de aro de ĉiuj subaroj de R, kaj 2c>c.

 Beth-nombroj 

La vico de beth-nombroj estas difinita per  kaj . Tiel  kaj .

 La kontinuumo-hipotezo 

La kontinuumo-hipotezo statas ke c estas ankaŭ la dua alef-nombro . En aliaj vortoj, la kontinuumo-hipotezo statas ke ne ekzistas aro A kies kardinalo kuŝas severe inter  kaj c.

Ĉi tiu frazo estas sciata al esti sendependa de la aksiomoj de aroteorio de Zermelo-Fraenkel kun la aksiomo de elekto. Tio estas, ambaŭ la hipotezo kaj ĝia nego estas konsekvencaj kun ĉi tiuj aksiomoj. Fakte, por ĉiu nenula natura nombro n, la egaleco  estas sendependa de aroteorio de Zermelo-Fraenkel kun la aksiomo de elekto. La okazo n=1 estas la kontinuumo-hipotezo. La samo estas vera por plejparto de la aliaj okazoj, kvankam en iuj okazoj egaleco povas estas neebla pro la teoremo de König pri la fundoj de kunfinieco, ekzemple, . Konkrete, c povas esti  aŭ , kie  estas la unua nekalkulebla orda numero. Tiel c povas esti postanta kardinalo aŭ limiga kardinalo, kaj krom ĉi tio c povas esti regula kardinalo aŭ singulara kardinalo.

 Aroj kun kardinalo egala al kardinalo de kontinuumo 

Multaj aroj uzataj en matematiko havan kardinalon egalan al c:

 Aro de ĉiuj reelaj nombroj R
 Ĉiu nedegenera fermita aŭ malfermita intervalo en R (kiel ekzemple la unuobla intervalo [0, 1])
 Aro de ĉiuj neracionalaj nombroj
 Aro de ĉiuj transcendaj nombroj
 Aro de ĉiuj kompleksaj nombroj C
 Aro de ĉiuj punktoj de (finidimensia) eŭklida spaco  Rn
 Aro de ĉiuj vicoj de entjeroj, kio estas ĉiuj funkcioj  N→Z , ofte skribata kiel  ZN
 Aro de ĉiuj vicoj de reelaj nombroj, kio estas ĉiuj funkcioj  N→R , ofte skribata kiel  RN
 Aro de ĉiuj kontinuaj funkcioj de R al R
 Aro de ĉiuj subaroj de la naturaj nombroj P(N)
 Aro de Kantor
 Eŭklida topologio sur  Rn, kio estas la aro de ĉiuj malfermitaj aroj en  Rn
 Borela σ-algebro sur R, kio estas la aro de ĉiuj borelaj aroj en R

 Aroj kun kardinalo pli granda ol kardinalo de kontinuumo 

Iuj aroj kun kardinalo , kiu estas pli granda ol c:

 Aro  RR de ĉiuj funkcioj de R al R
 Aro P(R) de ĉiuj subaroj de R
 Aro 2R de nadlaj funkcioj difinantaj subarojn de reelaj nombroj; ĝi estas izomorfia al P(R), la nadla funkcio elektas erojn kiujn ĉiu subaro inkluzivas
 Lebega σ-algebro de R, kio estas, la aro de ĉiuj lebege mezureblaj aroj en R

 Eksteraj ligiloj 



Kategorio:Aro-teorio
Kategorio:Senfineco