Harmona serio

Harmona serio – nombra serio kiu havas aspekton:

Nomo devenas de sekvaj duontonoj de oscilanta kordo, kiuj estas proporcia al 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... . Ĉiuj elemento de serio estas harmona meznombro de du antaŭaj nombroj.

 Malkonverĝo de harmona serio 
Harmona serio estas malkonverĝa - suba pruvo de tiu fakto devenas de Nikolao de Oresme kaj estas unu el gravaj sukcesoj de mezepoka matematiko.

Ĉar sumo de nombroj en ĉiu krampo de la lasta formulado estas = 1/2, vico de partaj sumoj de la serio ne havas limeson.

 Ĝeneralaĵoj 
Tiel nomata ĝenerala harmona serio

estas malkonverĝa kiam 

Oni povas pruvipruvis Euler, ke makkonverĝa estas ankaŭ serio de inversoj de primoj.

 Harmonaj nombroj 
Sekvaj partaj sumoj de harmona serio

tiel nomataj harmonaj nombroj, kreskas malrapide, ĉar ekzistas ekvacio:

kaj γ estas tiel nomata konstanto de Euler. Tio signifas, ke harmona serio kreskas same rapide kiel natura logaritmo.

 Harmona serio kun pli altaj gradoj 
Harmona serio kun grado α havas aspekton:

La serio estas konverĝa por α>1 kaj malkonverĝa alikaze. Se α povus esti kompleksa nombro kaj por ĉiu α kiam serio estas korverĝa kunigos ĝia sumo, tiel verkata funkcio estas funkcio ς de Riemann:

Tiu funkcio estas grava en teorio de nombroj. Kaj kunigas kun ĝi fama hipotezo de Riemann.

Ankaŭ Alterna harmona serio estas ankaŭ konverĝa, sed nur kondiĉe

Tiu rezultas ekzemple el disvolvo de funkcio natura logaritmo en serio de Taylor.

 Notoj 

Kategorio:Matematika serio