Ordinara diferenciala ekvacio

En matematiko, ordinara diferenciala ekvacio (mallonge ODE) estas rilato, kiu enhavas funkciojn de nur unu nedependa variablo, kaj unu aŭ kelkajn el ĝiaj derivaĵoj kun respekto al la variablo.

Simpla ekzemplo estas neŭtona dua leĝo de moviĝo, kiu povas esti skribita kiel la diferenciala ekvacio



por la moviĝo de partiklo de konstanta maso m. Ĝenerale, la forto F dependas de la pozicio de la partiklo x(t) je tempo t kaj de la tempo t senpere, kaj tial la nekonata funkcio x(t) aperas en ambaŭ flankoj de la diferenciala ekvacio, kiel estas indikite en la skribmaniero F(x(t), t).

Ordinaraj diferencialaj ekvacioj malsamas de diferencialaj ekvacioj en partaj derivaĵoj en tio, ke la lastaj enhavas plurajn nedependajn variablojn kaj partajn derivaĵojn je la kelkaj nedependaj variabloj.

Se la ekvacio estas lineara, ĝi povas esti solvita per analitikaj manieroj. Tamen multaj interesaj diferencialaj ekvacioj estas ne-linearaj kaj, kun kelkaj esceptoj, ili ne povas esti solvitaj akurate. Proksimumaj solvaĵoj estas ricevataj per komputilaj manieroj de solvado (vidu en cifereca solvado de diferencialaj ekvacioj).

Ordinaraj diferencialaj ekvacioj aperas en multaj malsamaj ĉirkaŭtekstoj en geometrio, fiziko, astronomio ktp.

 Difinoj 
 Ordinara diferenciala ekvacio 
Estu y(x) nekonata funkcio



kie y(n) estas la n-a derivaĵo de y je x. Tiam ekvacio de formo

 F(x, y, y', y'', ..., y(n-1), y(n)) = 0

estas nomata kiel ordinara diferenciala ekvacio (ODE) de ordo n. Por vektoraj valoraj funkcioj,



estas nomata kiel sistemo de ordinaraj diferencialaj ekvacioj de dimensio m.

Se diferenciala ekvacio de ordo n havas formon

 F(x, y, y', y'', ..., y(n-1), y(n)) = 0

ĝi estas nomata kiel implica diferenciala ekvacio. La formo

 F(x, y, y', y'', ..., y(n-1)) = y(n)

estas nomata kiel eksplicita diferenciala ekvacio.

Diferenciala ekvacio ne dependanta sur x estas nomata kiel aŭtonoma.

Diferenciala ekvacio estas lineara se F povas esti skribita kiel lineara kombinaĵo de la derivaĵoj de y



kie ai(x) kaj r(x) estas kontinuaj funkcioj de x. La funkcio r(x) estas nomata kiel la fonta flanko; se r(x)=0 tiam la lineara diferenciala ekvacio estas nomata kiel homogena, alie ĝi estas nomata kiel nehomogena (estas ankaŭ la alia signifo por la vorto "homogena", vidu sube).

 Solvaĵoj 
dekstra|eta|300px|Iuj solvaĵoj al . Apartaj solvaĵoj estas bluaj; la singulara solvaĵo estas verda; la hibrida solvaĵo estas ruĝa.

 F(x, y, y', y'', ..., y(n-1), y(n)) = 0

funkcio u: I ⊂ R → R  estas nomata kiel la solvaĵo aŭ integrala kurbo por F, se u estas n-foje diferencialebla sur I, kaj



Por donitaj du solvaĵoj u: J ⊂ R → R  kaj v: I ⊂ R → R , u estas nomata kiel vastigaĵo de v se I ⊂ J kaj



Solvaĵo kiu ne havas vastigaĵon estas nomata kiel malloka solvaĵo.

Ĝenerala solvaĵo de ekvacio de ordo n estas solvaĵo enhavanta n aldonajn variablojn respektivajn al n konstantoj de integralado. Aparta solvaĵo estas rezultanta de la ĝenerala solvaĵo per meto al la konstantoj de apartaj valoroj, ofte elektita por konveni al  aŭ randaj kondiĉoj. Singulara solvaĵo estas solvaĵo kiu ne povas esti ricevita de la ĝenerala solvaĵo.

 Malpligrandiĝo al sistemo de unua ordo 
Ĉiu diferenciala ekvacio de ordo n povas esti skribita kiel sistemo de n diferencialaj ekvacioj de ordo 1.

Estu donita ordinara diferenciala ekvacio de ordo n kaj dimensio 1:

 F(x, y, y', y'', ..., y(n-1), y(n)) = 0

Oni difinu novan familion de nekonataj funkcioj

 yk = y(k-1)

kie k = 1 ... n

Tiam y1 = y restas la fonta nekonata funkcio kaj oni povas tiam reverki la originalan diferencialan ekvacion kiel sistemo de diferencialaj ekvacioj de ordo 1 kaj dimensio n:

 y1' = y2
 y2' = y3
 ...
 yn-1' = yn
 F(x, y1, y2, y3, ..., yn, yn') = 0

 Integralado 
Eble la plej simpla diferenciala ekvacio estas de formo y' = a(x).

Ĝia solvaĵo estas



Por trovi ĝin necesas plenumi integraladon de la funkcio a(x). Post ĉi tio, uzo de la vorto "integralado" estas ĝeneraligita al serĉado de solvaĵoj de ajna diferenciala ekvacio.

 Linearaj ordinaraj diferencialaj ekvacioj 

Bone komprenita aparta klaso de diferencialaj ekvacioj estas linearaj diferencialaj ekvacioj. Oni povas ĉiam malpligrandigi eksplicitan linearan diferencialan ekvacion de ĉiu ordo al sistemo de linearaj diferencialaj ekvacioj de ordo 1 de formo



kiun oni povas skribi lakone per matrica kaj vektora skribmaniero kiel



kie 



 Homogenaj ekvacioj 
La aro de solvaĵoj por sistemo de homogenaj linearaj diferencialaj ekvacioj de ordo 1 kaj dimensio n

formas n-dimensia vektoran spacon. Por donita bazo por ĉi tiu vektora spaco , kiu estas nomata kiel fundamenta sistemo, ĉiu solvaĵo  povas esti skribita kiel



La n×n matrico



estas nomata kiel fundamenta matrico. Ĝenerale estas ne maniero eksplicite konstrui fundamentan sistemon, sed se unu solvaĵo estas sciata do malpligrandiĝo de d'Alembert povas esti uzata por malpligrandigi la dimension de la diferenciala ekvacio per unu.

 Nehomogenaj ekvacioj 
La aro de solvaĵoj por sistemo de nehomogenaj linearaj diferencialaj ekvacioj de ordo 1 kaj dimensio n

povas esti konstruita per trovado de la fundamenta sistemo  al la respektiva homogena ekvacio kaj unu aparta solvaĵo  p(x) de la nehomogena ekvacio. Ĉiu solvaĵo  s(x) de nehomogena ekvacio povas tiam esti skribita kiel



Aparta solvaĵo de la nehomogena ekvacio povas esti trovita per la maniero de integrala multiplikato, maniero de nedifinitaj koeficientoj aŭ la maniero de variado de parametroj.

 Maniero de integrala multiplikato 
Estu diferenciala ekvacio y' + a(x)y = b(x).

Estu la funkcio μ(x), nomata kiel integrala multiplikato:



Multiplikate ambaŭ flankojn de la fonta ekvacio je μ(x) rezultas



La maldekstra parto estas derivaĵo de μ(x)y(x) je x. Tiel

 (μ(x) y(x))' = b(x)μ(x)

Integralante rezultas



Tiel solvaĵo de la fonta ekvacio estas



 Maniero de variado de parametroj 
Estu diferenciala ekvacio y' + a(x)y = b(x).

Konsideru la analogan homogenan ekvacion y' + a(x)y = 0. Ĉe ĝi la variabloj povas esti disdividitaj kaj ĝia solvaĵo estas



Solvaĵojn de la fonta ekvacio oni serĉu de formo



Metanti ĉi tion en la fontan ekvacion





kie c1 estas ajna konstanto.

Tiel solvaĵo de la fonta ekvacio estas



 Fundamentaj sistemoj por homogenaj ekvacioj kun konstantaj koeficientoj 
Se sistemo de homogenaj linearaj diferencialaj ekvacioj havas konstantajn koeficientojn



tiam oni povas eksplicite konstrui fundamentan sistemon. La fundamenta sistemo povas esti skribita kiel matrica diferenciala ekvacio



kun solvaĵo kiel matrica eksponenta funkcio



kiu estas fundamenta matrico por la originala diferenciala ekvacio. Por eksplicite kalkuli ĉi tiun esprimon oni unue konvertu matricon A en jordanan normalan formon



kaj tiam komputi la blokojn

de J aparte kiel

 Specialaj specoj de diferencialaj ekvacioj 
 Diferenciala ekvacio kun apartigeblaj variabloj y'(x) = f(y(x))g(x) Diferenciala ekvacio de d’Alembert 

 Diferenciala ekvacio de Bernoulli y'+a(x)y = b(x)yn kie n≠1 kaj n≠0 (vidu sube)

 Diferenciala ekvacio integralebla per integralanta faktoro , kie la vektora kampo (p, q) estas potenciala funkcio

 Diferenciala ekvacio de Jacobi 

 Diferenciala ekvacio de Riccati 

 Homogena ekvacio, kvazaŭhomogenaj ekvacio (vidu sube)

 Homogenaj ekvacioj 
Diferenciala ekvacio y' = f(x, y) estas homogena se f(x, y) estas homogena funkcio du nula eksponento. Funkcio f(x, y) estas homogena funkcio du eksponento k se por ĉiu λ>0, f(λx, λy) = λk f(x, y).

Notu, ke la vorto "homogena" ĉi tie estas uzata je la aliaj senco ol ĉe linearaj ordinaraj diferencialaj ekvacioj.

Anstataŭo y(x) = xz(x) se x>0 donas:

 f(x, xz) = x0 f(1, z) = f(1, z) y' = xz' + zMetante ĉi tion en la fontan ekvacion rezultas



kio estas ekvacio kun apartigeblaj variabloj.

 Kvazaŭhomogenaj ekvacioj 
Diferenciala ekvacio y' = f(x, y) estas homogena se f(x, y) estas homogena funkcio du nula eksponento. Funkcio f(x, y) estas homogena funkcio du eksponento k se por ĉiu λ>0, f(λx, λy) = λk f(x, y).

Diferenciala ekvacio y' = f(x, y) estas kvazaŭhomogena se por ĉiu λ>0 f(λαx, λβy) = λβ-α f(x, y)La ekvacio estas solvebla per anstataŭo :

Estu , tiam rezultas



kio estas homogena ekvacio.

 Diferencialaj ekvacioj de Bernoulli 
Diferenciala ekvacio de Bernoulli estas ekvacio de formo y'+a(x)y = b(x)yn kie n≠1 kaj n≠0. Se n=1 aŭ n=0 la ekvacio estas lineara.

Ĝi povas esti solvita per du manieroj:

 Unua maniero

Estu anstataŭo .

Tiam la ekvacio estas lineara



 Dua maniero

Estu anstataŭo y = uv.

Tiam



Estu  solvaĵo de diferenciala ekvacio kun apartigeblaj variabloj

 v' + a(x)v = 0Tiam por kalkuli u rezultas ekvacio



kio estas ekvacio kun apartigeblaj variabloj.

 Teorioj de ODE 
 Singularaj solvaĵoj 
La teorio de singularaj solvaĵoj de ordinaraj kaj partaj diferencialaj ekvacioj estis subjekto de esploro de la tempo de Leibniz, sed nur ekde mezo de la 19-a jarcento ĝi
ricevis specialan atenton. Interesa sed malgrande sciata laboro sur la subjekto estis de Houtain (1854). Darboŭ (startante en 1873) okupiĝis pri la teorio, kaj en la geometria interpretado de ĉi tiuj
solvaĵoj li malfermis kampon kiu estis prilaborita per diversaj verkistoj, rimarkinde Felice Casorati kaj Cayley.

 Malpligrandiĝo al kvadraturoj 
La primitiva provo en konsidero de diferencialaj ekvacioj estas malpligrandiĝo al kvadraturoj. Simile al tio kiel estis la espero de algebristoj de la 18-a jarcento trovi manieron por solvado la ĝenerala polinoma ekvacio de n''-a ordo, estis la espero de analizistoj trovi ĝeneralan manieron por integralado de ĉiuj diferencialaj ekvacioj.

 Teorio de Sturm-Liouville 
Teorio de Sturm-Liouville estas ĝenerala maniero por solvado de dua-ordaj linearaj ekvacioj kun variantaj koeficientoj.

 Vidu ankaŭ 
 Diferenciala ekvacio
 Diferenciala ekvacio en partaj derivaĵoj
 Matrica diferenciala ekvacio
 Diferenca ekvacio
 Cifereca solvado de diferencialaj ekvacioj
 Laplaca konverto de diferencialaj ekvacioj
 Randa valora problemo
 Problemo de Cauchy
 Dinamika sistemo
 Aŭtonoma sistemo (matematiko)

 Eksteraj ligiloj 

 W. Johnson, Traktato pri ordinara kaj partaj diferencialaj ekvacioj, 1913, en Historia Matematika Kolekto Universitato de Miĉigano
  (inkluzivas liston de programoj por solvado de diferencialaj ekvacioj).
 EqWorld: La mondo de matematikaj ekvacioj, enhavanta liston de ordinaraj diferencialaj ekvacioj kun iliaj solvaĵoj.
 Surliniaj notoj / diferencialaj ekvacioj de Paul Dawkins, Universitato Lamar.
 Diferencialaj ekvacioj, S.O.S. Matematiko.
 Aboco pri analitika solvado de diferencialaj ekvacioj de la Holistic Cifereca Maniera Instituto, Universitato de Suda Florido.
 Matematika asistanto sur TTT  surlinia solvado de iuj diferencialaj ekvacioj
 Ordinaraj diferencialaj ekvacioj kaj dinamikaj sistemoj de Gerald Teschl

Kategorio:Diferenciala kalkulo
Kategorio:Diferencialaj ekvacioj
Kategorio:Ordinaraj diferencialaj ekvacioj