Integralebla funkcio

Integralebla funkcio – funkcio, por kiu ekzistas integralo laŭ senco de ia teorio. Ekzemple estas integralebleco laŭ Riemann, laŭ Lebesgue, laŭ Stieltjes kaj aliaj.
Tamen malgraŭ tio ke teorioj de integraleblaj funkcioj (en diversaj sencoj) estas tre grandaj, plej ofte integraleco signifas laŭ senco de Mezurteorio kiu estas skribita sube. Ĝi estas preskaŭ rekta ĝeneralo de integralebleco laŭ Stieltjes.

 Difinoj 
Estu  σ-algebro.

 Simpla funkcio estas funkcio  tiel, ke por iaj realaj nombroj  kaj por disaj aroj   estas

 por ĉiuj .
 Se aldone ankaŭ  (por ) tiam, funkcio f estas integralebla simpla funkcio kaj integralo de f laŭ mezuro  estas difinita kiel:
 .
 Rimarku, ke kolekto de integraleblaj simplaj funkcioj estas sendependa de lineara kombinaĵo kaj absoluta valoro, ekzemple, se   estas integraleblaj simplaj funkcioj, tiam  ankaŭ estas.

 Estu   mezurebla funkcio (kaj sur  estas σ-korpo de algebro de Borel). Tiam, funkcio g estas integralebla laŭ senco de mezuro  se oni povas trovi vico de integraleblaj simplaj funkcioj  kiuj plenumas subajn kondiĉojn:

 (a) por ĉiu pozitiva  ekzistas  tia, ke  por ĉiuj  

 (b) por ĉiu pozitiva , 

 .

 Tiam difino de Integralo de g laŭ mezuro  estas: 

 .

 Inverse, se  g estas integralebla (laŭ mezuro ), tiam  estas korekte difinita, alinome: por ĉiu vico de integraleblaj simplaj funkcioj   kiuj plenumas kondiĉoj  (a) kaj (b) (supere montrita) valoro de limeso  estas ĉiam sama.

 Rimarkoj 
 En matematiko eblecoj por enkonduki intervalojn kaj integraleblecon estas kelkaj. Kutime diferencoj inter ili estas teknika kaj ili havas homogenajn difinojn.
 Kondiĉo (a) en supera difino de funkcio, signifas ke vico  estas en cetera senco vico de Cauchy.  Ĉar: Konsideru funkcio ρ difinita sur paroj de integraleblecajn simplajn funkciojn per kondiĉo . Tiam ρ estas simetria kaj plenumas neegalaĵon de triangulo kaj ankaŭ, ke .
 Kondiĉo (b) en supera difino, signifas ke vico  estas konverĝa en seco de mezuro de funkcio f.

 Fundamentaj ecoj 
Kiel supren, estu   mezurebla spaco kun mezuro.
Se  estas integraleblecaj, tiam lineara kombinaĵo de ili  (por ) kaj   estas ankaŭ integralebleca.
Se , f estas mezurebla, g estas integralebla kaj , tiam, f estas integralebla (an. mezurebla funkcio, de kiu absoluta valoro estas preskaŭ ĉie pli granda ol integralebla funkcio estas integralebla). Ankaŭ pli:
 . 
 Mezurebla funkcio f estas integralebla tiam kaj nur tiam, kiam absoluta valoro de ĝi  estas integralebla.

 Teoremo de Lebesgue pri barita konverĝeco: Konsideru, ke:
 (a)  estas vico de integraleblaj funkcioj, kiu konverĝas preskaŭ ĉie al funkcio f 
 (b) g estas integralebla funkcio, tiel ke  .
 Tiam f estas integralebla funkcio. Kaj ankaŭ pli .
 Lemato de Fatou: Se  estas ne malpozitiva vico de integraleblaj funkcioj, tiel ke  , tiam funkcio  difinita per 
  por 
 estas integralebla. Kaj pli .

Kategorio:Reela analitiko
Kategorio:Rudimentaj specialaj funkcioj