Modelo de Ising

La Modelo de Ising, nomita pro la fizikisto Ernst Ising, estas matematika modelo en Statistika mekaniko. Ĝi estas uzita por modeli diversajn fenomenojn en kiu partoj de informoj, interrilatantaj pare, produktas kolektivajn efikojn.

 Difino 
La modelo de Ising (Ising-a modelo) estas difinita sur diskreta kolekto de variabloj, nomataj spinoj, kiuj povas alpreni la valoron 1 aŭ −1. La spinoj  interagas duope, kun energio kiu havas unu valoron kiam la du spinoj estas la samaj, kaj duan valoron kiam la du spinoj estas malsamaj.

 Energia funkcio 
La energio de Ising-a modelo estas difinita kiel:

kie la sumo kalkulas ĉiun paron de spino nur unufoje. Oni rimarkas ke la produkto de spinoj estas aŭ +1, se la du spinoj estas la samaj (enliniigitaj), aŭ −1 se ili estas malsamaj (malenliniigitaj). J estas duono de la diferenco en energio inter la du eblecoj. Magnetaj interrilatadoj provas vicigi proksimaj spinoj. Spinoj fariĝitas hazardaj kiam varmenergio estas pli granda ol la forto de la interrilatado.

Por ĉiu paro, se
 la interagado estas nomita feromagneta
 la interagado estas nomita kontraŭ-feromagneta
 la spinoj estas ne-interagantaj

Feromagneta interagado emas vicigi spinojn, kaj kontraŭ-feromagneta emas kontraŭvicigi ilin.

La spinoj povas esti pripensataj kiel loĝantaj sur grafeo, kie ĉiu nodo havas ĝuste unu spinon, kaj ĉiu rando konektas du spinojn kun nenula valoro de J. Se ĉiuj J estas egalaj, estas oportuna mezuri energion en unuoj de J. Do modelo estas tute specifita per la grafeo kaj la signumo de J.

 Simpla ekzemplo 
La kontraŭ-feromagneta unu-dimensia modelo de Ising havas jenan energifunkcion:

kie i kuras tra ĉiuj entjeroj. Ĉi tio interrilatigas ĉiun paron de tre proksimaj najbaro.

La feromagneta du-dimensia modelo de Insing sur kvadrata krado estas kolekto de spinoj  sur ĉiu nodo (i,j) de du-dimensia kvadrata krado kaj la energio estas:

Rimarku, ke la adicio interrilatigas ĉiun situon kun ĝia dekstra najbaro kaj ĝia suba najbaro. Tiele, ĉiu eĝo estas kalkulita nur unufoje.

La Ising-a modelo de averaĝa kampo estas la modelo de Ising sur kompleta grafeo, kie ĉiu vertico estas konektita kun ĉiu restanta vertico:

 Magneta kampo 
La energio de Ising-a modelo povas esti modifata por influi la tutan sistemon. Magneta kampo  povas esti adiciata al la energio, kaj ĝi rompas la simetrion,
La kompleta energifunkcio estas:

kie la krampoj indikas, ke i kaj j indicas proksimajn poziciojn sur la grafeo.

 Statistiko 
La modelo estas statistika modelo, do la energio estas vere la logaritmo de la probablo. La probablo de ĉiu spino-stataro estas la distribuo de Boltzmann kun inversa temperaturo β.

Por generi spino-statarojn, uzante ĉi tiun probablodistribuon, estas koncepte plej facila uzi la Metropolis-algoritmon:
 Elektu spinon hazarde kaj kalkulu la kontribuon de ĉi-tiu spino al la energio.
 Inversigu la spinvaloron kaj kalkulu la novan kontribuon.
 Se la energio estas pli malgranda, konservu la inversigitan valoron.
 Se la energio estas pli granda, konservu la inversigitan valoron per probablo 
 Refaru ekde la unua punkto

La ŝanĝo de energio  dependas nur de spinvaloro kaj ĝiaj grafeonajbaroj. Do se la grafeo ne estas tro konektata, la algoritmo estas rapida. Ĉi-tiu procedo fine produktas pinton sur la distribuo.

 Demandoj 
La interesaj statistikaj demandoj estas en la limo de grandaj nombroj:
 En tipa spino-stataro, ĉu la plej granda parto de spinoj estas +1 (aŭ −1), aŭ ĉu ili estas dividata egale?
 Se spino (en iu ajn pozicio) estas 1, kio estas la probablo ke la spino en pozicio j ankaŭ estas 1?
 Se β estus ŝanĝita, ĉu fazoŝanĝo estiĝus?
 Se J estas hazarda, kiom da malsamaj spino-stataroj estas tie por ĉiu inversa temperaturo?
 Sur krado, kiu estas la fraktala dimensio de la formo de larĝa aro de +1-spinoj?

 Ĝenerala diskuto 
dekstre|eta|350px|Vidaĵo de movaĵo-nevarianta probableco mezuro de la unu-dimensia Ising-a modelo.

En sia doktoreca tezo de 1925 Ising solvis la modelon por la 1D-a (unu-dimensia) kazo. En unu dimensio, la solvo agnoskas neniun fazotransiron. Sur bazo de ĉi-tiu rezulto, li neĝuste konkludis, ke ĉi-tiu modelo ne elmontris fazan konduton en iu ajn dimensio.

Pliparto de la nombraj solvoj uzas Metropolis-Hastings-algoritmon kune kun Monte-Carlo-ciklo. Laŭ la komplekseco nur apudaj verticoj povas esti enkalkulataj aŭ por longdistancaj modeloj aliaj verticoj povas esti inkluzivitaj.

La modelo de Ising spertas fazotransiron inter ordigita kaj senorda fazoj en 2 dimensioj aŭ pli.
En 2 dimensioj la Ising-a modelo havas fortan/malfortan duecon (inter altaj kaj malaltaj temperaturoj) nomitan Kramers-Wannier-dueco. La fiksa punkto de ĉi-tiu dueco estas ĉe la duaorda fazotransiro-temperaturo.

Dum la modelo de Ising estas simpligita mikroskopa priskribo pri feromagnetismo, estas ankoraŭ gravega pro la universaleco de la kontinuuma limo. Universaleco signifas, ke la variadoj ĉe la fazo-transiro estas priskribita per kontinuuma kampo kun libera energio aŭ Lagrange-a, kiu estas funkcio de la kampo-valoroj. Ĝuste kiel estas multaj metodoj por diskretigi diferencialajn ekvaciojn, ĉiuj el kiuj donas la saman respondon, kiam la krada interspaco estas malgranda, estas diversaj diskretaj modeloj, kiuj havas la ĝustan saman kritan konduton, ĉar ili havas la saman kontinuuman limon.

La eksperimente observitaj variadoj de feromagnetoj ĉe la Curie-punkto kaj de fluidoj ĉe la vaporo-likvaĵa krita punkto estas karakterizitaj ĝuste per la kritaj variadoj de la Ising-a modelo. La sama estas vera por la plej simplaj statistikaj modeloj en 3 dimensioj, kies variadoj povas esti karakterizitaj per ununura skalara kampo, la loka magnetigo en apudkrita magneto aŭ la loka denseco en apudkrita fluaĵo. Ĉiuj ĉi sistemoj havas variadantajn grapolojn, kies fraktalaj skalaj leĝoj kaj longdistancaj korelaciaj funkcioj estas kvante antaŭviditaj de la modelo.

Krom la kontinuuma limo, multaj diskretaj sistemoj povas esti bildigitaj ĝuste aŭ proksimume al la Ising-a sistemo. La granda-kanonika-ensembla formulado de la krado-gasa modelo, ekzemple, povas esti bildigita ĝuste al la kanonik-ensembla formulado de la Ising-a modelo. La bildigado permesas ekspluati ŝajnigon kaj analizajn rezultojn de la Ising-a modelo por respondi al demandoj pri la rilataj modeloj.

 Historia Signifo 
Unu el Demokritaj argumentoj subtenanta atomismon estis tio ke atomoj nature klarigas la klarajn fazo-limojn observitaj en materialoj, kiel kiam glacio degelas al akvo aŭ akvo fariĝis vaporon. Lia ideo estis tio, ke malgrandaj ŝanĝoj en la atom-skalaj ecoj produktus grandajn ŝanĝojn en statistika konduto de ilia agrego. Aliuloj kredis ke la materio estas esence kontinua, ne atoma, kaj ke la grandskalaj ecoj de la meterio estas ne redukteblaj al bazaj atomaj ecoj.

Dum la leĝoj de kemia ligado klarigis al deknaŭa-jarcentaj kemiistoj ke la atomoj estis veraj, inter fizikistoj la debato daŭris ĝis la frua dudeka jarcento. Atomistoj, precipe James Clerk Maxwell kaj Ludwig Boltzmann, aplikis Hamilton-an formuliĝon de Neŭtonaj leĝoj al grandaj sistemoj, kaj trovis ke la statistika konduto de la atomoj ĝuste karakterizas la mediatemperaturo-gasojn. Sed klasika statistika mekaniko ne antaŭvidis la tutajn ecojn de likvaĵoj kaj solidaĵoj, nek gasoj ĉe malalta temperaturo.

Iatempe kvantuma mekaniko estis formulita, atomismo ne estis plu konfliktoveka kun eksperimento, sed ĉi tiu ne estigis universalan akcepton de la statistika mekaniko, kiu transiris atomismon. Josiah Willard Gibbs kreis kompletan formalismon por reprodukti la Termodinamikajn leĝojn per la mekanikaj leĝoj. Sed de la 19a jarcento, kiam la statistika mekaniko estis konsiderita dubinda, multaj misaj argumentoj supervivis. La problemoj en intuicio plejparte devenas de la fakto, ke la limo de senlima statistika sistemo havas multaj nulo-unu leĝoj de probablo, kiuj forestas en limigitaj sistemoj: infinitezima ŝanĝo en parametro povas estigi grandajn diferencojn en la statistika konduto, kiel Demokrito atendis.

 Neniu fazo-transiro en limigita volumeno 
En la frua parto de dudeka jarcento, iuj kredis ke la partiga funkcio neniam povus karakterizi fazo-transiron, baze sur la sekvonta argumento:

 La partiga funkcio estas adicio de  sur la tutaj statoj.
 la eksponenta funkcio estas ĉie analiza kiel funkcio .
 la adicio de analizaj funkcioj estas analiza.

Sed la logaritmo de la partiga funkcio ne estas analiza kiel funkcio de la temperaturo ĉe fazo-transiro, do la teorio ne funkcias.

Ĉi tiu argumento laboras por limigita sumo de eksponentaj funkcioj, kaj ĝuste establas ke ne estas neordinaraĵoj en la libera energio de sistemo de finia grandeco. Por sistemoj kiuj estas ĉe la termodinamika limo (nome, por senlimaj sistemoj) la senlima adicio povas produkti neordinaraĵojn. La konverĝo al la termodinamika limo estas rapida, tiel ke la fazo-konduto estas ŝajne jam sur relative eta krado, ankaŭ se la neordinaraĵoj estas eliminitaj per la finia grandeco de la sistemo.

Ĉi tiu estis unue establita de Rudolph Peierls en la Ising-a modelo.

 Peierls-aj gutetoj 
Nelonge post kiam Lenz kaj Ising konstruas la Ising-a modelo, Peierls povis eksplicite montri ke fazo-transiro okazas en du-dimensioj.

Por fari ĉi tio, li komparis la limoj de alta kaj malalta temperaturoj. Ĉe senlima temperaturo (β → 0), ĉiuj statoj havas egalaj probablecoj. Ĉiu spino estas sendependa de iu ajn alia, kaj se tipaj statoj ĉe senlima temperaturo estas desegnataj, tiel ke plus/minus estas reprezentitaj de nigraj kaj blankaj punktoj, ili similas televidan "neĝon" (bruo). Por altaj, sed ne senlimaj temperaturoj, estas malgrandaj korelacioj inter najbaraj pozicioj: la neĝo emas amasiĝi iomete, sed la ekrano konservas hazardeman bildon, kaj ne estas klaraj ekscesoj de blanko aŭ nigro.

Kvanta mezuro de la eksceso estas la magnetado, kiu estas la averaĝa valoro de la spino:

Falsa argumento, kiu similas la argumenton de la lasta sekcio, nun establas ke la magnetado en la Ising-a modelo estas ĉiam nula.
 Ĉiu spino-stataro havas egalan energion kompare kun la stataro, kiu havas la tutajn spinojn inversiĝitajn.
 Do por ĉiu spino-stataro kun magnetado M estas stataro kun magnetado -M, kiu havas egalan probablecon.
 Do la magnetado nulas.

Kiel antaŭ, ĉi tio nur montras ke la magnetado nulas por iu ajn finia volumeno. Por senlima sistemo, variadoj (osciloj) ne povas ŝanĝi la sistemo de plejparte plus-stato al plejparte minus-stato kun ajn malnula probableco.

Por tre altaj temperaturoj, la magnetado nulas, kiel ĉe senlima temperaturo. Por vidi ĉi tion, rimarku ke se spino A havas nur korelacieton  kun spino B, kaj B estas nur malforte korelaciata kun spino C, sed C estas alie sendependa de A, la kvanto de korelacio de A kaj C estas ĉirkaŭ . Por du spinoj apartigantaj de distanco L, la kvanto de korelacio estas ĉirkaŭ  sed se ekzistas pli ol unu vojo per kiuj la korelacioj povas vojaĝi, ĉi tiu kvanto pliiĝas per la nombro de vojoj.

La nombro de vojoj de longeco L sur kvadrata krado en d-dimensioj estas:

ĉar estas 2d selektoj ĉe ĉiu paso.

Limo por la totala korelacio estas donata de adiciado sur ĉiuj vojoj ligantaj du punktojn, kiu estas limigata supre per la adicio sur la tutaj vojoj de lungeco L dividita de la :

kiu nulas kiam  etas.

Ĉe malaltaj temperaturoj, (β → oo), la stataroj estas apud la plej malalta statar-energio, tiu kie la tutaj spinoj estas plus aŭ la tutaj spinoj estas minus. Peierls demandis se estas statistike ebla ĉe malalta temperaturo, startante kun la tutaj minus-spinoj, oscili al stato kie plejparto de la spinoj estas plus. Por ke ĉi tio okazu, devas esti ebla ke gutetoj de plus-signo koagulas por formi la plus-stato.

La energio de guto de plus-spinoj, en a minus-fono, estas proporcia al la perimetro L de la guto, kie plus-spinoj kaj minus-spinoj najbaras unu la alia. Por a guto de perimetro L, la areo estas io inter  (la rekta linio) kaj (la kvadrata skatolo). La probableco-kosto, por enkonduki guton, estas la faktoro:

sed ĉi tiu kontribuas al la partiga funkcio multiplikita de la totala nombro de gutoj kun perimetro L, kiu estas malpli ol la totala nombro de vojoj de lungeco L:

Tiel ke la guto-kontribuado al la tuta spino, eĉ preterkalkulante per permesi al ĉiu ejo havi apartan gluton, estas supre limigata de:

kiu nulas ĉe grandaj . Por  sufiĉe granda, ĉi tiu eksponente nuligantaj longaj fermitaj cikloj, tiel ke ili ne povas okazi, kaj la magnetado neniam oscilas tro fora de −1.

Tiel Peierls establas ke la magnetato en la modelo de Ising fine difinas superselektado-sektorojn, nome apartigataj domajnoj kiuj ne estas ligitaj per finiaj osciloj.

 Kramers-Wannier dueco 
Kramers kaj Wannier povis montri ke la altatemperaturo-ekspansio kaj la malaltatemperaturo-ekspansio de la modelo estas egalaj per totala skaligo de la libera energio. Ĉi tiu permesis ke la fazotransiro-punkto, en la du-dimensiaj modeloj, esti determinata precize (sub la supozo ke ekzistas unikan kritan punkton).

 Yang Lee nuloj 
Post Onsager-a solvo, Yang kaj Lee prienketis la manieron laŭ kiu la partiga funkcio neordinariĝas kiel la temperaturo alproksimiĝas al la krita temperaturo.

 Aplikaĵoj 
 Magnetismo 
La originala instigo por la modelo estis la fenomeno de la feromagnetismo. Fero estas magneta; post kiam ĝi magnetiĝis, ĝi restas magnetata dum longa tempo kompare kun ajn atoma tempo.

Ekde la 19a jarcento, estis klara ke magnetaj kampoj estis pro fluoj en materio, kaj Ampère postulis ke kostantaj magnetoj estas kaŭzitaj de kostantaj atomaj fluoj. La moviĝo de klasikaj ŝargitaj partikloj bedaŭrinde ne povas ekspliki kostantaj fluoj, kiel montris Larmor. Por sperti feromagnetismo, la atomoj devas havi kostantajn magnetajn momantojn kiuj ne estas kaŭzita de klasikaj ŝargoj.

Post kiam oni eltrovis la elektronan spinon, estis klara ke magnetismo estis kaŭzita de granda nombro de elektronoj turnantaj laŭ sama direkto. Estis nature demandi kiel ĉiuj elektronoj scias laŭ kiu direkto turni, ĉar la elektronoj sur unu flanko de magneto ne rekte interagas kun la elektronoj sur la alia flanko. Ili povas nur influi iliajn najbarojn. La Ising-a modelo estis destinita por enketi ĉu granda frakcio de la elektronoj povus esti turnita laŭ la sama direkto uzante nur la lokaj fortoj.

 Lattice gas 
La modelo de Ising povas estis reinterpretita kiel statistika modelo por la moviĝo de atomoj. Ekde la kineta energio ne dependas de la pozicio, sed nur de momanto, la statistiko de la pozicioj nur dependas de la potenciala energio, la termodinamiko de la gaso nur dependas de la potenciala energio por ĉiu agordo de atomoj.

Kruda modelo estas fari spacotempan kradon kaj imagi ke ĉiu pozicio aŭ enhavas atomon aŭ ne. La spaco de agordo estas tiu de sendependaj bitoj , kie ĉiu bito estas 0 aŭ 1 laŭ ĉu la pozicio estas okupita aŭ ne. Alloga interago reduktas la energion de du najbaraj atomoj. Se la allogo estas sole tra proksimaj najbaroj, la energio estas reduktita de  por ĉiu okupita najbara paro.

La denseco de la atomoj povas esti regulata per aldono de kemia potencialo, kiu estas multiplika probableco-kosto por aldoni unu plian atomon. Multiplika faktoro en probableco povas esti reinterpretita kiel adicia termo en la logaritmo - la energio. La ekstra energio de la agordo kun N atomoj estas ŝanĝita de . La probableco-kosto de unu plia atomo estas faktoro de .

Tial la energio sur la gaso-kardo estas:

Reskribanta la termoj per la spinoj, .

Por kradoj kie ĉiu situo havas egalan nombron de najbaroj, ĉi tiu estas la Ising-a modelo kun magneta kampo , kie  estas la nombro de najbaroj.

 Paremaj interrilataj bitoj 
La agado de la neŭronoj en la cerbo povas esti modelita statistike. Ĉiu neŭrono iam ajn estas aŭ aktiva (+) aŭ neaktiva (-). La aktivaj neŭronoj estas tiuj kiuj sendas agopotencialon laŭ la aksono (laŭ donata frekvenco), kaj la neaktivoj estas tiuj kiuj ne. Ĉar la naŭrala agado je iu aparta momento estas modelita de sendependaj bitoj, Hopfield sugestis ke dinamika modelo de Ising provizus unuan proksimumon al la neŭrala reto kiu kapablas lerni.

Sekvanta la ĝenerala metodo de Jaynes , lastatempa interpreto de Schneidman, Berry, Segev and Bialek
,
estas ke la Ising-a modelo utilas por ĉiu modelo de neŭrala funkcio, ĉar statistika modelo por neŭrala agado devu esti elektita uzante la principo de maksimuma entropio. Donata kolekto de neŭronoj, statistika modelo, kiu povas reprodukti la averaĝan pafo-frekvencon por ĉiu neŭrono, enkondukas Lagrange-an multiplikanton por ĉiu neŭrono:

Sed la agado de ĉiu neŭrono, en ĉi tiu modelo, estas statistike sendependa. Por ebligi paro-korelaciojn, kiam unu neŭrono emas pafi (aŭ ne pafi) kune kun alia, oni enkondukas paremajn Lagrange-ajn multiplikantojn:

Ĉi tiu energifunkcio nur enkondukas probableco-diferencojn por spino havanta unu partikularan valoron kaj por paro de spinoj havantaj saman valoron. Korelacioj de pli alta ordo estas mallimigitaj de la multiplikantoj. Agado-skemo ŝablonata de ĉi tiu disdonado bezonas la plej grandajn nombrojn de bitoj por enmagazenado en komputilo, laŭ la plej efika kodo-skemo imagebla, kompare kun iu ajn alia disdonado kun la sama averaĝa agado kaj paremaj korelacioj. Ĉi tiu signifas ke la modeloj de Ising koncernas ĉiun sistemon kiu estas priskribita de bitoj kiuj estas kiel hazardaj laŭeble, kun limoj sur la paremaj korelacioj kaj la averaĝa nombro de "1"; kaj ĉi tio ofte okazas en ambaŭ fizika kaj sociologiaj fakoj.

 Krita konduto 
 Unu-dimensio – sendependaj spino-turnoj 
La energio de unu-dimensia feromagneta Ising-a modelo estas:

Kie  iras de  al , la longeco de la linio. La energio de la plej malalta stato estas , kiam ĉiuj spinoj estas la sama. Por iu ajn agordo, la ekstra energio egalas la nombron de signo-ŝanĝoj kiel oni observas la agordon de maldekstre dekstren.

Se oni nomas la nombro de signo-ŝanĝoj en egordo kiel , la diferenco en energio de la plej malalta energistato estas . Ekde la energio estas adiciebla en la nombro de turnoj, la probableco  de havi spino-turnon ĉe ĉiu pozicio estas sendependa. La raporto de la probableco de trovi turnon kun la probableco de ne trovi ĝin estas la Boltzmann-a faktoro:

La problemo estas reduktita al sendependaj monerumadoj. Ĉi tiu esence kompletigas la matematikan priskribon.

De la priskribo pri sendependaj ĵetoj de monero, la statistiko de modelo por longaj linioj povas esti komprenata. La linio fendiĝis en domajnoj. Ĉiu domajno estas de averaĝa longeco . La longeco de domajno estas disdonata eksponenciale. La domajnoj neniam igas senlima, tiel longa sistemo neniam magnetiĝas. Ĉiu paŝo reduktas la korelacion inter spino kaj sia najbaro de kvanto proporcia al , do la korelacioj falas eksponenciale.

La partiga funkcio estas la volumeno de la agordoj, ĉiu agordo pezigita per sia Boltzmann-a pezo. Ekde ĉiu agordo estas priskribita de la signo-ŝanĝoj, la partiga funkcio faktoriĝas:

La logaritmo dividita per  estas la liberenergia denseco:

kiu estas analitika fore de . Signo de fazo-transiro estas neanalitika liberenergio, do la unu-dimensia modelo ne havas fazo-transiron.

 Nefiniaj dimensioj – Meza Kampo 
La konduto de modelo de Ising sur komplete konektita grafeo povus esti tute komprenita per Meza Kampo Teorio.
La ideo estas ke se ĉiu spino estas konektita kun granda nombro de spinoj, sole la averaĝa nombro de + spinoj kompare kun - spinoj gravas, ekde la variadoj ĉirkaŭ ĉi tiu mezo estas malgrandaj. La meza kampo H estas la mezuma frakcio de spinoj kiu estas + minus la mezuma frakcio kiu estas -. La energia kosto de ununura spinturno en la meza kampo H estas  2 JNH. Estas oportuna redifini J por sorbi la faktoro N, tiel ke la limo  estas glata. Per la nova J, la energi-kosto de spinturno estas  2 JH.

Ĉi tiu energi-kosto alportas la raporton de probableco p ke la spino estas + kontraŭ 1 − p ke la spino estas −. Ĉi tiu raporto estas la Boltzmann-a factoro.

tiel ke

La mezvaloro de la spino estas donata averaĝante 1 kaj −1 kun la pezoj p kaj 1 − p, tiel ke la mezvaloro estas 2p − 1. Sed tiu ĉi averaĝo estas la sama por la tutaj spinoj, do ĝi egalas H.

La solvoj por ĉi tiu ekvacio estas eblaj mezkampoj. Por  ekzistas sole la ununuran solvon ĉe H = 0. Por plej grandaj valoroj de β ekzistas tri solvojn, kaj la solvo ĉe H = 0 estas mastabila.

La malstabileco signifas ke pliigante iomete la mezkampon super nulo produktas statistikan fakcio de spinoj kiu estas pli granda ol la valoro de la mezkampo. Do mezkampo, kiu varias super nulo, produktos pli grandan mezkampon, kaj ĝi fine haltos ĉe stabila solvo. Ĉi tiu signifas ke por temperaturoj sub la krita valoro  la mezkampa Ising-a modelo travivas fazo-transiron en la limo de granda N.

Super la krita temperaturo, variadoj en H estas damnaj ĉar la mezkampo restarigas la variado laŭ nula kampo. Sub la krita temperaturo, la mezkampo estas regata al nova ekvilibro-valoro, kiu estas aŭ la pozitiva H aŭ la negativa H solvo de la ekvacio.

Por , iomete sub la krita temperaturo, la valoro de H povas esti kalkulita per la Taylor-a ekspansio de la hiperbola tangento:

dividante de H por forĵeti la malstabilan solvon ĉe H = 0, la stabilaj solvoj estas:

La spontanea magnetiĝo J kreskas apud la krita punkto kiel la kvadrata radiko de la ŝanĝo en temperaturo. Ĉi tiu estas vera ĉiam, kiam H povas esti kalkulita de la solvo de analitika ekvacio kiu estas simetria inter pozitivaj kaj negativaj valoroj; ĉi tiu gvidis Landau al suspekto ke ĉiuj Ising-aj fazo-transiroj ĉiudimensie devas sekvi ĉi tiun leĝon.

La mezkampa eksponento estas universala ĉar ŝanĝoj en la konduto de solvoj de analitikaj ekvacioj estas ĉiam priskribita per katastrofoj en la Taylor-a serioj, kiuj estas polinoma ekvacio. De simetrio, la ekvacio por H devas nur havi neparajn potencojn de H sur la dekstraflanko de la ekvacio. Ŝanĝante β nur glate ŝanĝas la koeficientojn. La transiro okazas kiam la koeficiento de H dekstraflanke egalas 1.
Apud la transiro:

Ĉio A kaj B estas, kondiĉe ke neniu el ili estas nulita, la spontanea magnetiĝo kreskos kiel la kvadrata radiko de ε. Ĉi tiu argumento nur povas malsukcesi se la liberenergio  estas aŭ ne-analitika aŭ ne-ĝenera ĉe la ĝusta β kie la transiro okazas.

Sed la spontanea magnetiĝo en magnetaj sistemoj kaj la denseco en gasoj apud la krita punkto estas mezurita tre precize. La denseco kaj la magnetiĝo en tri dimensioj havas la saman potencoleĝan dependecon sur la temperaturo apud la krita punkto, sed la konduto eksperimente estas:

La eksponento ankaŭ estas universala, ĝi estas la sama en la Ising-a modelo kiel en la eksperimentaj magneto kaj gaso, sed ĝi ne egalas la mezkampan valoron. Ĉi tiu estis tre mirinda.

Ĉi tiu ankaŭ estas vera en du-dimensioj, kie:

Sed tie ne estis mirinda, ĉar ĝi estas antaŭvidita de Onsager.

 Du-dimensioj – Onsager-a solvo 
La partiga funkcio de la Ising-a modelo du-dimensie sur kvadrata krado povas esti mapita du-dimensian liberan fermionon. Ĉi tiu permesas la specifan varmon esti kalkulita precize. Onsager akiris la sekvonta analitikan esprimon por la magnetiĝo kiel funkcio de temperaturo:

kie:

 Translokigo-Matrico 
Startu de analogio kun kvantuma mekaniko. La Ising-a modelo sur longa perioda krado havas partigan funkcion:

Pripensu i direkto kiel spaco, kaj la j direkto kiel tempo. Ĉi tiu estas sendependa sumo sur ĉiuj valoroj ke la spinoj povas okupi ĉe ĉiufoje. Ĉi tiu estas speco de vojo-integralo, ĝi estas la sumo sur ĉiuj spinaj historioj.

Vojo-integralo povas esti reskribita kiel Hamilton-a evoluo. La Hamilton-a paŝas tra tempo farante unitarian rotacion inter tempo  kaj tempo :

La multipliko de la matricoj U, unu poste la alia, estas la totala tempevoluo-operatoro, kiu estas la vojo-integralo de kie ni startis.

kie N estas la nombro de tempa momenteto. La sumo sur ĉiuj vojoj estas donata de multiplikado de matricoj, ĉiu matrica elemento estas la transiro-probableco de unu momenteto al la sekvanta.

Simile, oni povas dividi la sumon sur ĉiuj partigafunkciaj agordoj per momentetoj, kie ĉiu momenteto estas la unu-dimensia krado ĉe tempo 1. Ĉi tiu difinas la translokigo-matricon:

La agordoj en ĉiu momenteto estas unu-dimensia kolekto de spinoj. Ĉe ĉiu momenteto, T havas matricajn elementojn inter du agordoj de spinoj, unu en la tuja estonto kaj unu en la tuja pasinteco. Ĉi tiuj du agordoj estas C1 kaj C2, kaj ili estas tute unu-dimensiaj spinagordoj. Ni povas pensi la vektoran spacon, en kie T agas, kiel la tutaj kompleksaj liniaj kombinoj de ĉi tiuj. Uzante kvantuma mekanika notaro:

kie ĉiu baza vektoro  estas spinagordo de unu-dimensia modelo de Ising.

Kiel la Hamilton-a, la translokigo-matrico agas sur ĉiuj lineaj kombinoj de statoj. La partiga funkcio estas matrica funkcio de T, kiu estas difinita de la sumo sur ĉiuj historioj kiuj revenas al la originala agordo post N paŝoj:

Ekde ĉi tiu estas matrica ekvacio, ĝi povas esti solvita per ajn bazo. Do, se oni povas diagonaligi la matrico T, oni povas trovi Z.

 T per matricoj de Pauli 
La kontribuo al la partiga funkcio por ĉiu pasinta/estonta paro de agordoj sur momenteto estas la sumo de du termoj. Ekzistas la nombro de la spino-turnoj en la pasinta momenteto kaj ekzistas la nombro de la spino-turnoj inter la pasinta kaj estonta momenteto. Difinu operatoron sur agordoj, kiu turnas la spinon ĉe situo i:

En la ordinara bazo de Ising, aganta sur iu ajn lineara kombino de pasintaj agordoj, ĝi produktas la saman linearan kombinon, sed kun la spino ĉe pozicio i de ĉiu bazvektoro turniĝita.

Difinu duan operatoron, kiu multiplikas la bazvektoron per +1 kaj -1 laŭ la spino ĉe pozicio i:

T povas esti skribita per ĉi tiuj:

kie A kaj B estas kostantoj kiuj devas esti determinataj por reprodukti la partigan funkcio. La interpreto estas ke la statistika agordo ĉe ĉi tiu momenteto kontribuas laŭ kaj la nombro de spino-turnoj en la momenteto, kaj ĉu kaj ne la spino ĉe pozicio i turniĝis.

 Spinoturnaj kreoperatoro kaj detruoperatoro 
Tiel kiel en la unu-dimensia okazo, ni varias atenton de la spinoj al la spino-turnoj. La  termo en T kalkulas la nombron de spino-turnoj, kiu ni povas skribi per spino-turnaj kreoperatoro kaj detruoperatoro:

La unuaj termo turnas spinon, tiel dependante de bazostato ĝi aŭ:
 movas spino-turnon de unu unuo dekstre
 movas spino-turnon de unu unuo maldekstre
 produktas du spino-turnojn sur najbaraj situoj
 detruas du spino-turnojn sur najbaraj situoj

Skribante ĉi tiun per kreoperatoroj kaj detruoperatoroj:

Ignoru la kostantajn koeficientojn, kaj atentiĝu pri la formo. Ili estas tute kvadrataj. Ekde la koeficientoj estas kostantaj, ĉi tiu signifas ke la matrico T povas esti diagonalata per konvertoj de Fourier.

Diagonalante oni produktas la liberan energion de Onsager.

 Trans la kvara dimensio - libera kampo 
En ajn dimensio, la modelo de Ising povas esti produktive priskribita per loke varianta averaĝa kampo. La kampo estas difinita kiel la averaĝa spino-valoro sur granda regiono, sed ne tiel granda por inkluzivi la tutan sistemon. La kampo ankoraŭ havas malrapidajn variojn de punkto al punkto, kiel la averaĝiganta volumeno moviĝas. Ĉi tiuj variadoj en la kampo estas priskribitaj de kontinua kampoteorio en la senfinasistema limo.

 Loka kampo 
La kampo H estas difinita kiel la ampleksaj ondolongaj Fourier-aj komponentoj de la spino-variablo, ĉe la limo kie la ondolongo estas longa. Ekzistas multaj vojoj por kalkuli la ampleksa ondolongo averaĝo. La detaloj ne multe estas tro gravaj, ekde la celo estas trovi la statistikon de H kaj ne la spinoj. Unufoje la korelacioj en H estas konataj, la longdistancaj korelacioj inter la spinoj estos proporcia al la longdistancaj korelacioj en H.

Por ajn valoro de la malrapide varianta kampo H, la libera energio (logaritma probableco) estas loka analitika funkcio de H kaj ĝiaj gradientoj. La libera energio F(H) estas difinita esti la sumo sur ĉiuj agordoj de Ising kiuj estas solidaj kun la ampleksa ondolongo-kampo. Ekde H estas kruda priskribo, ekzistas multaj agordoj solida kun ĉiu valoro de H, tiel ke ne multa ĝusteco estas bezonata por la kongrueco.

Ekde la permesata skalo de voloroj de la spino en ajna regiono nur dependas de la valoroj de H, en unu averaĝanta volumeno de tiuj regionoj, la liberenergia kontribuo de ĉiu regiono nur dependas de la valoro de H tie kaj en la najbaraj regionoj. Do F estas la sumo sur la regionoj de loka kontribuo, kiu nur dependas de H kaj siaj derivaĵoj.

De simetrio en H, nur paraj potencoj. De reflekto-simetrio sur kvadrata krado, nur paraj potencoj de gradientoj kontribuas. Skribanta la unuaj malmultaj termoj en la liberenergio:

Sur kvadrata kvadro, simetrioj garantias ke la koeficiento  de la derivaĵaj termoj estas tute egalaj. Sed ankaŭ por malizotropa modelo de Ising, en kiu la Zoj en malsamaj direktoj estas malsamaj, la variadoj en H estas izotropaj en koordinatsistemo kie la malsamaj spacodirektoj estas reskalitaj.

Sur ajn krado, la derivaĵa termo  estas pozitive difinita kvadrata formo, kaj povas esti uzita por difini la metriko de la spaco. Do ajn movo-nevarianta modelo de Ising estas rotacie nevarianta ĉe longaj distancoj, en koordinatoj kiuj faras . Rotacia simetrio emerĝas spontane ĉe grandaj distancoj sole ĉar ne ekzistas tre multe malaltordo-termoj . Ĉe pli altordaj multkritaj punktoj, ĉi tiu hazarda simetrio estas perdata.

Ekde  estas funkcio de malrapide spacvarianta kampo, la probableco de ajn kampo-agordo estas:

La statistika averaĝo de ajn produkto de Hoj egalas:

La denominatoro en ĉi tiu esprimo estas nomita partiga funkcio, kaj la integralo sur ĉiuj eblaj valoroj de H estas statistika vojo-integralo. Ĝi integralas  sur ĉiuj valoroj de H, sur la ampleksaj ondolongaj Fourier-aj komponentoj de la spinoj. F estas eŭklida Lagrange-a por la kampo H, la sola diferenco inter ĉi tiu kaj la kvantuma kampo-teorio de skalara kampo estas ke ĉiuj derivaĵaj termoj enas kun pozitiva signo, kaj ne ekzistas totala faktoro de i.

 Dimensia analitiko 
La formo de F povas esti uzita por antaŭvidi tiujn el termoj, kiuj estas plej grava per dimensia analitiko. Dimensia analitiko estas ne tute simpla, ĉar la skaligo de H bezonas esti determinata.

Ĝeneralkaze elekti la skaligo-leĝo por H estas simpla; la sola kontribuanta termo estas la unua,

Ĉi tiu termo estas la plej signifa, sed ĝi determinas simplan konduton. Ĉi tiu formo de la liberenergio estas lokega, signifante ke ĝi estas sumo de sendependa kontribuo de ĉiu punkto. Ĉi tiu similas la spino-turnojn en la unu-dimensia modelo de Ising. Ĉiu valoro de H ĉe ĉiu punkto varias tute sendepende de la valoro ĉe ĉiu alia punkto.

La skalo de la kampo povas esti redifinita por inkluzivi la koeficienton A, kaj do estas klare ke A sole determinas la totalan skalon de variadoj. La lokega modelo longondolonge altatemperature priskribas la konduton de la Ising-a modelo, ekde ĉe ĉi tiu limo la variado-averaĝoj estas sendependaj de punkto al punkto.

Por trovi la kritan punkton, oni malpliigas la temperaturon. Kiam la temperaturo malpliiĝas, la variadoj en H pliiĝas ĉar la variadoj estas pli interrilataj. Ĉi tiu signifas, ke la averaĝo de granda nombro de spinoj ne malgrandiĝas rapide tiel, kiel se ili estus neinterrilataj, ĉar ili emas egaliĝi. Ĉi tiu samvaloras malpliigi A en la sistemo de unuoj, kie H ne inkluzivas A. La fazo-transiro povas nur okazi, kiam la subkondukantaj termoj en F povas kontribui, sed ekde la unua termo superregas ĉe longaj distancoj, la koeficiento A devas esti nulita. Ĉi tiu estas la loko de la krita punkto:

Kie t estas parametro, kiu pasas tra nulo ĉe la transiro.

Ekde t estas etega, fiksi la skalon de la kampo, uzante ĉi tiu termo, eksplodigas la aliajn termojn. Kiam t estas eta, la skalo de la kampo povas aŭ esti agordata por fiksi la koeficienton de la  termo aŭ egali la  termon al 1.

 Magnetigo 
Por trovi la magnetigo, oni fiksas la skaligon de H tiel ke λ estas unu. Nun la kampo H havas dimension d/4, tiel ke  estas sendimensia, kaj Z havas dimension 2 − d/2. En ĉi tiu skaligo, la gradienta termo estas nur grava ĉe la longaj distancoj por . Trans la kvar dimensioj, ĉe longaj ondologoj, la totala magnetigo estas nur influita de la lokegaj termoj.

Ekzistas unu subtila argumento. La kampo H estas varianta statistike, kaj la variadoj povas formovi la nulo-punkton de t. Por vidi kiel, konsideru  dividita laŭ la sekvonta metodo:

La unua termo estas kostanta kontribuo al la liberenergio, kaj povas esti nekonsiderita. La dua termo estas a finia formovo en t. La tria termo estas kvanto, kiu skalas al nulo ĉe longaj distancoj. Ĉi tio signifas ke kiam oni analizas la skaligo de t per dimensia analizo, estas la formovita t kiu gravas. Ĉi tiu estis historie tre konfuziganta, ĉar la formovo en t ĉe ajn finia λ estas finia, sed apud la transiro t estas tre eta. La frakcia ŝanĝo en t estas tre granda, kaj en unuoj kie t estas fiksata, la formovo ŝajnas senlima.

La magnetigo estas ĉe la minimumo de la liberenergio, kaj ĉi tiu estas analitika ekvacio. Per termoj de la formovita t,

Por t < 0, la minimumo estas ĉe H proporcia al la kvadrata radiko de t. Do Landau-a katastrofo-argumento estas korekta en dimensioj pli grandaj ol 5. La magnetiga eksponento en dimensioj pli grandaj ol 5 egalas la averaĝakampo-valoron.

Kiam t estas negativa, la variadoj pri la nova minimumo estas priskribita de nova pozitiva kvadrata koeficiento. Ekde ĉi tiu termo ĉiam superregas, ĉe temperaturoj sub la transiro, la variadoj ankoraŭ iĝas lokegaj ĉe longaj distancoj.

 Variadoj 
Por trovi la konduton de la variadoj, reskalu la kampon por fiksi la gradiento-termon. Do la longeco-skaligo-dimensio de la kampo estas 1 − d/2. Nun la kampo havas kostantajn kvadratajn spacajn variadojn ĉe ĉiu temperaturo. La skala dimensio de la  termo estas 2, dum la skala dimensio de la  termo estas 4 − d. Por d < 4, la  termo havas pozitivan skalodimension. En dimensioj pli altaj ol 4 ĝi havas negativan skalodimension.

Ĉi tiu estas esenca diferenco. En dimensioj pli altaj ol 4, fiksi la skalon de la gradiento-termo signifas ke la koeficiento de la  termo estas malpli kaj malpli grava ĉe pli kaj pli grandaj ondolongoj. La dimensio ĉe kie nekvadrataj kontribuoj ekkontribuas estas konata kiel la krita dimensio. En la Ising-a modelo, la kritica dimensio estas 4.

En dimensioj preter 4, la kritaj variadoj estas priskribitaj de pure kvadrata libera energio ĉe grandaj ondolongoj. Ĉi tiu signifas ke la korelaciofunkcioj estas tutaj kalkuleblaj kiel Gauss-aj averaĝoj:

ĝusta kiam x − y estas granda. La funkcio G(x − y) estas la analitika kontinuaĵo, per imaginara tempo, de la propaganto de Feynman, ekde la libera energio estas la analitika kontinuaĵo de la kvantumakampo-ago por libera skalara kampo. Por dimensioj kiel 5 kaj pli altaj, ĉiuj la aliaj korelaciofunkcioj ĉe grandaj distancoj estas, do, determinata de teoremo de Wick. Ĉiuj la neparaj momantoj estas nulo, de +/− simetrio. La paraj momantoj estas la sumo sur ĉiu partigaĵo per paroj de la produkto de G(x − y) por ĉiu paro.

kie C estas la proporcio-kostanto. Do koni G sufiĉas. Ĝi determinas ĉiujn multapunktajn korelaciojn de la kampo.

 La krita dupunkto funkcio 
Por determini la formon de G, konsideru ke la kampoj en vojo-integralo sekvas la klasikajn ekvaciojn de movo derivitaj per vario de la liberenergio:

Ĉi tiu validas nur ĉe ne koincidantaj punktoj, ekde la korelacioj de H estas singulara kiam punktoj kolizias. H sekvas klasikaj ekvacioj de movo por la sama motivo ke la kvantuma mekanikoperatoro sekvas ilin—ĝiaj variadoj estas difinitaj de vojo-integralo.

Ĉe la krita punkto t = 0, ĉi tiu estas Laplace-a ekvacio, kiu povas esti solvita per metodo de Gauss de elektrostatiko. Difinu elektran kampon analogon per

for de origino:

ekde G estas sfere simetria en d dimensioj, E estas la radiusa gradiento de G. Integrali sur granda d − 1 dimensia sfero,

Ĉi tiu donas:

kaj G povas esti trovita per integrali pri r.

La kostanto C fiksas la tutan normaligon de la kampo.

 G(r) for de krita punkto 
Kiam t malegalas nulon, tiel ke H estas varianta ĉe temperaturo leĝere for de krita, la dupunkto funkcio nulas ĉe grandaj distancoj. La ekvacio, kiun ĝi sekvas, estas ŝanĝita:

Por r eta kompare kun , la solvo diverĝas ekzakte same kiel en la krita kazo, sed la granda distanco konduto estas ŝanĝas.

Por vidi kiel, estas oportuna reprezenti la dupunkto funkcio kiel integralo, enkondukita de Schwinger en la kunteksto de la kvantumkampo teorio:

Ĉi tiu estas G, ekde la transformo de Fourier de ĉi tiu integralo estas simpla. Ĉiu fiksata τ kontribuo estas Gauss-a en x, kies transformo de Fourier estas alia Gauss-a reciproka amplekso en k.

Ĉi tiu estas la inverso de la operatoro  en k spaco, aganta sur la unuo-funkcio en k spaco, kiu estas la transformo de Fourier de deltofunkcia fonto lokata ĉe la origino. Tiel ĝi plenumas la sama ekvacio kiel G kun la samaj limokondiĉoj, kiuj determinas la forto de la diverĝo ĉe 0.

La interpreto de la integrala reprezento super la propra tempo τ estas ke la dupunkto funkcio estas la sumo sur ĉiuj vojoj de hazarda promenado, kiuj ligas pozicio 0 al pozicio x dum la tempo τ. La denseco de ĉi tiuj vojoj ĉe la tempo τ ĉe pozicio x estas Gauss-a, sed la hazarda promenanto malaperas je kostanta rapideco proporcia al  tiel ke la Gauss-o ĉe tempo τ estas malpliigita pri alto de faktoro, kiu stabile malpliiĝas eksponente. En la kunteksto de la kvantumkampteorio, ĉi tiuj estas la vojoj de relativece lokita kvantumo en la formalismo kiu sekvas la vojojn de individuaj partikloj. En kunteksto pure statistika, ĉi tiuj vojoj ankoraŭ aperas per la matematika reciprokado kun la kvantumaj kampoj, sed ilia interpreto estas malpli rekte fizika.

La integrala reprezento tuj montras ke G(r) estas pozitiva, ekde ĝi estas reprezentita kiel pezita sumo de pozitivaj Gauss-oj. Ĝi ankaŭ donas la rapideco de la dekadenco ĉe grandaj r, ekde la propra tempo, kiun hazarda promenado bezonas por atingi pozicio τ, estas r2 kaj dum ĉi tiu tempo, la Gauss-a alto dekadencas de . La dekadenca faktoro, ĝusta por pozicio r, do estas .

Heŭristika proksimumado por G(r) estas:

Ĉi tiu ne estas ekzakta formo, krom en tri dimensioj, kie interagoj inter vojoj iĝas gravaj. La ekzaktaj formoj en altaj dimensioj estas variadoj de funkcioj de Bessel.

 Symanzik-a polimera interpreto 
La interpreto de la korelacioj kiel fiksata grando kvantumo vojaĝanta sur hazardaj vojoj donas metodon por kompreni kial la krita dimensio de la  interago estas 4. La termo H4 povas esti pensita kiel la kvadrato de la denseco de la hazardaj promenantoj ĉe ĉiu punkto. Por ke tia termino ŝanĝi la finiorda-korecio funkcioj, kiuj nur enkondukas kelkajn novajn hazardajn promenadojn en la variadanta medio, la novaj vojoj devas intersekciĝi. Alimaniere, la kvadrato de la denseco estas nur proporcia al la denseco kaj nur formovas la H2 koeficienton per kostanto. Sed la intersekcia probableco de hazardaj promenadoj dependas de dimensio, kaj hazardaj promenadoj en dimensioj pli altaj ol 4 ne intersekciĝas.

La fraktala dimensio de ordinara hazarda promenado estas 2. La nombro de sferoj de grando ε bezonata por kovri la vojo pliiĝas kiel . Du objektoj de fraktala dimensio 2 interagos per racia probableco nur en spaco de dimensio 4 aŭ pli maltalta, la sama kondiĉo kiel por ĝenerala paro de ebenoj. Kurt Symanzik argumentis ke ĉi tiu implikas ke la kritaj Ising-aj variadoj en dimensioj pli altaj ol 4 devas esti priskribitaj de libera kampo. Ĉi tiu argumento fine iĝis metematikan pruvon.

 Referencoj 

 Stephen G. Brush (1967), History of the Lenz-Ising Model. Reviews of Modern Physics (American Physical Society) vol. 39, pp 883–893. (DOI: 10.1103/RevModPhys.39.883)
 Ross Kindermann kaj J. Laurie Snell (1980), Markov Random Fields and Their Applications . American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3381-2.
 Barry M. McCoy and Tai Tsun Wu (1973), The Two-Dimensional Ising Model. Harvard University Press, Cambridge Massachusetts, ISBN 0674914406
 John Palmer (2007), Planar Ising Correlations. Birkhäuser, Boston, ISBN 978-0-8176-4248-8
 I. A. Stepanov, "Exact Solutions of the One-Dimensional, Two-Dimensional, and Three-Dimensional Ising Models". – Nano Science and Nano Technology: An Indian Journal. 2012. Vol. 6. No 3. 118-122. The paper is on the Journal’s website with a free access.
.

 Notoj 


 Eksteraj ligiloj (anglalingve) 
 Barry A. Cipra, "The Ising model is NP-complete", SIAM News, Vol. 33, No. 6; online edition (.pdf) 
 Raportas, kial la Ising-a modelo ne povas esti solvita ĝuste ĝenerale, ekde ne-ebenaj Ising-aj modeloj estas NP-kompletaj.

 Science-World-artikolo pri Ising-a modelo
 Ising-a apleto de Universitato Syracuse 
 Bela dinamika 2D-a Ising-a apleto 
 Larĝa kaj pli malsimpla 2D-a Ising-a Apleto 
 Ising-modela simulado de Enrique Zeleny, la Demonstro-Projekto Wolfram
 Faza transiro sur krado
 3D Ising-modela simulado per GPU
 GPU-akcelata Monte-Carlo-simulado de la 2D-a kaj 3D-a Ising-aj modeloj

Kategorio:Fundamentaj fizikaj konceptoj
Kategorio:Statistika mekaniko
Kategorio:Magnetismo
Kategorio:Fiziko