Beta-funkcio

Ĉi tiu artikolo temas pri la Eŭlera beta-funkcio, konvencie skribata Β(x,y). Ekzistas ankaŭ aliaj beta-funkcioj en matematiko kaj fiziko.

La matematika beta-funkcio, alinome Eŭlera integralo de la unua speco, estas speciala funkcio, kiun oni difinas por kompleksaj nombroj x kaj y kun pozitiva reela parto:

kiam

La beta-funkcion studis Leonhard Euler kaj Adrien-Marie Legendre, kaj la nomon al ĝi donis Jacques Binet. Ekzistas ankaŭ ĝeneraligo de la funkcio, t.n. nekompleta beta-funkcio kaj ties variaĵo reguligita nekompleta beta-funkcio.

 Ecoj de la funkcio 
 : , t.e., la funkcio estas simetria.

 : 

La funkcio povas esti prezentita ankaŭ per sekvaj formuloj

 Derivaĵo 

kie  estas la digamma-funkcio.

 Aproksimaĵo 
Oni povas aproksimi la beta-funkcion per la formulo de Stirling:

por grandaj: x kaj y.

Sed se x estas granda kaj y estas konstanta, tiam validas

 Nekompleta beta-funkcio 
La nekompleta beta-funkcio, estas ĝeneraligo de la beta-funkcio kaj difinita kiel

Por x = 1, la nekompleta funkcio egalas al la kompleta funkcio.

Reguligita (senkompleta) beta-funkcio estas difinita kiel

Integrante la formulon, oni ricevas por entjeraj a kaj b:

Pri la reguligita beta-funkcio validas

Kategorio:Specialaj funkcioj