Arĥimeda eco

En abstrakta algebro, la arĥimeda eco  aŭ arĥimeda aksiomo estas eco de iuj ordohavaj duongrupoj, grupoj, kampoj kaj aliaj algebraj strukturoj.

Proksimume, ĝi signifas, ke en la koncerna algebra strukturo ne ekzistas nefinie grandaj aŭ nefinie malgrandaj (infinitezimaj) elementoj. Ĉi tiu ideo povas esti realigita ekzakte en diversaj kuntekstoj, ekzemple, por kampoj kun absoluta valoro. Tiel, la ordigita kampo de reelaj nombroj estas arĥimeda, sed la kampo de p-adikaj nombroj kun la p-adika absoluta valoro estas nearĥimeda.

Ordohava algebra strukturo, en kiu ĉiuj du ne-nulaj elementoj estas kompareblaj en la senco, ke neniu el ili estas infinitezima rilate al la aliaj, estas nomata arĥimeda. Strukturo, kiu havas paron da ne-nulaj eroj, unu el kiuj estas infinitezima rilate al la alia, nomiĝas ne-arĥimeda.

 Difino 
Estu x kaj y pozitivaj elementoj de lineare ordigita grupo G. Tiam x estas infinitezima rilate al y (aŭ ekvivalente, y estas nefinia rilate al x), se por ĉiu natura nombro n la produto (ripetita sumo) nx estas malpli granda ol y:



La grupo G estas arĥimeda, se por neniu paro x, y da ĝiaj elementoj x estas infinitezima rilate al y.

Aldone, se K estas algebra strukturo kun unuo, ekzemple ringo, simila difino aplikas al K. Se x estas infinitezimo kun rilate al 1, tiam x estas infinitezima elemento. Ankaŭ, se y estas nefinia rilate al 1, tiam y estas nefinia elemento. La algebra strukturo K estas arĥimeda, se ĝi ne havas nefiniajn aŭ infinitezimajn elementojn.

 Pri kampoj 

Ordigita kampo havas ankaŭ jenajn ecojn:

 Se ĝia elemento x estas infinitezima, tiam 1/x estas nefinia, kaj inverse. Tial por kontroli, ĉu kampo estas nearĥimeda, sufiĉas kontroli nur, ĉu ekzistas infinitezimaj elementoj, aŭ kontroli ĉu ekzistas nefiniaj elementoj.
 Se x estas infinitezimo kaj r estas racionala nombro, tiam rx estas ankaŭ infinitezimo. Tiel por, ajna donita ero c, la tri eroj c/2, c kaj 2c estas aŭ ĉiuj tri infinitezimoj aŭ ĉiu tri ne-infinitezimoj.

 Arĥimeda aksiomo por reelaj nombroj 
En la aksioma teorio de reelaj nombroj, la malesto de nenulaj infinitezimaj reelaj nombroj estas implicita per la malplej-supera-lima propreco kiel sekvas.

Signifu per Z la aron konsistantan el ĉiuj pozitivaj infinitezimoj. Ĉi tiu aro estas barita desupre de 1. Nun alprenu per kontraŭdiro ke Z estas nemalplena. Tiam ĝi havas supremon (precizan supran randon) c, kiu estas ankaŭ pozitiva, tiel c/2 < c < 2c. Pro tio ke c estas supera baro de Z kaj 2c estas severe pli granda ol c, 2c devas esti severe pli granda ol ĉiu pozitiva infinitezimo. 2c ne povas mem esti infinitezimo, ĉar tiam 2c devus esti pli granda ol si. Ankaŭ pro tio ke c estas la plej malgranda supera baro de Z, c/2 devas esti infinitezimo. Sed 2c kaj c/2 ne povas havi malsamajn specojn per la rezulto pli supre, tiel estas kontraŭdiro. La konkludo sekvas ke Z estas malplena kaj ne ekzistas pozitivaj infinitezimaj reelaj nombroj.

 Ekzemplo de ne-arĥimeda ordigita kampo 
Por ekzemplo de ordigita kampo, kiu estas ne-arĥimeda, prenu la kampon de racionalaj funkcioj kun reelaj koeficientoj. Racionala funkcio estas ĉiu funkcio, kiu povas esti esprimita kiel unu polinomo dividita per alia polinomo. Por fari ordigitan kampon, necesas asigni ordon kongruan kun la adicio kaj multipliko. Estu f>g se kaj nur se f-g > 0, tiel necesas nur diri kiuj racionalaj funkcioj estas konsiderataj kiel pozitivaj. Skribu la racionalan funkcion en la formo de rilatumo de du polinomoj tiel ke la konduka koeficiento de la denominatoro estas pozitiva. Estu la funkcio konsiderata kiel pozitiva se la konduka koeficiento de la numeratoro estas pozitiva. Eblas kontroli ke ĉi tiu ordigo estas bone difinita kaj kongrua kun la adicio kaj multipliko. Per ĉi tiu difino, la racionala funkcio 1/x estas pozitiva sed malpli granda ol la racionala funkcio 1. Kaj, se n estas iu ajn natura nombro, tiam n(1/x) = n/x estas pozitiva sed ankoraŭ malpli granda ol 1. Pro tio, 1/x estas infinitezimo en ĉi tiu kampo.

Ĉi tiu ekzemplo povas esti ĝeneraligita al la aliaj koeficientoj. Se ekzemple konsideri racionalajn funkciojn kun racionalaj koeficientoj rezultas kalkulebla ne-arĥimeda ordigita kampo.

 Historio 
La koncepto portas la nomon de la antikva greka geometro kaj fizikisto Arĥimedo el Sirakuzo. Arĥimedo diris, ke por ĉiuj du rektaj segmentoj, kuŝigante la pli mallongan el ili finian kvanton da fojoj ĉiam eblas krei segmenton pli longan ol la dua. El la vidpunkto de moderna matematiko, konsiderante, ke la longoj de la netrivialaj segmentoj estas pozitivaj reelaj nombroj, videblas ke ĉi tio estas la arĥimeda propraĵo de reelaj nombroj.

Tamen, Arĥimedo uzis infinitezimojn en heŭristikaj argumentoj, kvankam ne konsideris ĉi tiajn rezonadojn pretaj matematikaj pruvoj.

Ĉar Arĥimedo donis aŭtorecon de tiu ĉi eco al Eŭdokso el Knido, ĝi estas konata ankaŭ kiel la teoremo de Eŭdokso aŭ la aksiomo de Eŭdokso.

La arĥimeda aksiomo aperas en libro V de Elementoj de Eŭklido kiel difino 4.

 Eksteraj ligiloj 



Kategorio:Kampo-teorio (matematiko)
Kategorio:Arĥimedo