Izotropa kvadrata formo

En matematiko, kvadrata formo super kampo F estas dirita al esti izotropa se estas ne-nula vektoro sur kiu ĝia valoro estas nulo. Alie la kvadrata formo estas neizotropa.

Se q estas kvadrata formo sur vektora spaco V super F, tiam ne-nula vektoro v en V estas dirita al esti izotropa se q(v)=0. Kvadrata formo estas izotropa se kaj nur en V ekzistas ne-nula izotropa vektoro por la kvadrata formo.

Estu (V, q) kvadrata spaco kaj W estu ĝia subspaco. Tiam W estas nomata kiel izotropa subspaco de V se ĉiuj vektoroj en ĝi estas izotropaj, kaj neizotropa subspaco se ĝi enhavas neniun (ne-nulan) izotropaj vektoroj. La izotropeca indekso de kvadrata spaco estas la maksimumo de la dimensioj de la izotropaj subspacoj.

 Propraĵoj 

Kvadrata formo q sur finidimensia reela vektora spaco V estas neizotropa se kaj nur se q estas difinita kvadrata formo:
 aŭ q estas pozitive difinita kvadrata formo, kio estas q(v)>0 por ĉiu ne-nula v en V;
 aŭ q estas negative difinita kvadrata formo, kio estas q(v)<0 por ĉiu ne-nula v en V.

Se la kvadrata formo havas la signumon (n0, n+, n-), tiam ĝia izotropeca indekso estas n0 plus la minimumo el n+ kaj n-.

Se la kvadrata formo estas ne-degenera (dimensio de la kerno estas 0) kaj havas la signumon (n+, n-), tiam ĝia izotropeca indekso estas la minimumo el n+ kaj n-.

Se F estas algebre fermita kampo, ekzemple, la kampo de kompleksaj nombroj,
kaj (V, q) estas kvadrata spaco de dimensio minimume 2, tiam q estas izotropa.

Se F estas finia kampo kaj (V, q) estas kvadrata spaco de dimensio minimume tri, tiam q estas izotropa.

Se F estas la kampo Qp de p-adic nombroj kaj (V, q) estas kvadrata spaco de dimensio minimume kvin, tiam q estas izotropa.

 Ekzemploj 

Estu du-dimensia reela spaco de vektoroj v=(x, y) kaj estu la formo q(v)=q(x, y)=x2-y2. Tiam q estas izotropa, ĉar por ne-nula vektoro (1, 1) ĝia valoro estas nulo: q(1, 1)=0.
La izotropaj subspacoj estas konsistanta unu el la vektoroj de formo (x, x) kaj la alia de (x, -x). La neizotropaj subspacoj estas ekzemple el la vektoroj de formo (x, -2x) aŭ (x, 0) aŭ (0, x).

Estu la sama spaco kaj la formo r(v)=r(x, y)=xy. Tiam r estas izotropa, ĉar por ne-nula vektoro (0, 1) ĝia valoro estas nulo: r(0, 1)=0. La izotropaj subspacoj estas konsistanta unu el la vektoroj de formo (x, 0) kaj la alia de (0, x). La neizotropaj subspacoj estas ekzemple el la vektoroj de formo (3x, -x) aŭ (x, x) aŭ (x, -x).

Estu la sama spaco kaj la formo s(v)=s(x, y)=x2+y2. Tiam s estas neizotropa, ĉar por ne-nula vektoro ĝia valoro estas pozitiva. Ĉiu subspaco estas neizotropa subspaco.

 Vidu ankaŭ 

 Kvadrata formo
 Dulineara funkcio
 Leĝo de inercio de Sylvester

Kategorio:Lineara algebro