Derivaĵo de produto

En matematiko, produta regulo aŭ leĝo de Leibniz estas formulo donanta derivaĵon de produto de funkcioj. Estu f(x) kaj g(x) esti du diferencialeblaj funkcioj de x. Tiam

 (f·g)'=f·g'+g·f' 

aŭ en la alia skribmaniero:



 Ekzemploj 
 Trovu derivaĵon de f(x) = x2. Ĉi tiu funkcio povas esti skribita kiel f(x) = x·x kaj per uzo de la produta regulo



 Trovu derivaĵon de f(x) = x3. Ĉi tiu funkcio povas esti skribita kiel f(x) = x2·x kaj



El la antaŭa ekzemplo prenu la formulon por  kaj do



 Trovu derivaĵon de f(x) = x2 sin(x).



Derivaĵo de sin(x) estas cos(x) kaj do



 Konsekvencoj 
 Speciff okazo de la produta regulo estas la konstanta multiplika regulo kiuj ststas ke se c estas konstanto (ne dependas de x) kaj f(x) estas diferencialebla funkcio, tiam cf(x) estas ankaŭ diferencialebla, kaj ĝia derivaĵo estas



ĉar .

 La produta regulo donas la regulon por poparta integralado.

 La produta regulo donas la malfortan version de la regulo de derivaĵo de kvociento. Ĝi estas malforta versio en tio ke ĝi ne pruvas ke la kvociento estas diferencialebla, sed nur statas kio estas ĝia derivaĵo se estas ĝi estas diferencialebla.

 Pruvo 
 Per difino de derivaĵo 
eta|250px|f(x)(g(x + h) - g(x)) + g(x + h)(f(x + h) - f(x))

Ĉi tiu pruvo estas simila al la pruvo pli supre. Estu

 y(x) = f(x)g(x)

Laŭ difino de derivaĵo



kaj do



Por plisimpligi la limigon oni adiciu kaj subtrahu termon f(x)g(x + h) al la numeratoro, tiam rezultas



Tiam eblas faktorigi partojn de la numeratoro



La frakcio estas disdividiĝas en du frakciojn



Pro tio ke g(x) estas diferencialebla ĝi estas kontinua je x kaj do  ekzistas kaj egalas al g(x). Krome, f(x) ne dependas de h kaj povas esti eligita el la limigo kiel konstanta faktoro. Tiel la limigo povas esti aplikata aparte al eroj de la esprimo

La difinoj de derivaĵoj de f(x) kaj g(x)





Povas esti uzataj por anstataŭigi erojn de la antaŭ esprimo kaj rezultas la produta regulo



 Per tuteca derivaĵo 
Funkcio f(x) = g(x)h(x) povas esti konsiderata kiel funkcio de du variabloj g kaj h, ĉiu el kiuj en sia vico estas funkcio de x.

Ambaŭ partaj derivaĵoj de f je g kaj h povas esti trovitaj:



kie h estas konsiderata kiel konstanto; kaj



kie g estas konsiderata kiel konstanto.

Tiam



 Ekspliko per diferencialoj 
Malkovro de ĉi tiu regulo estas kreditita al Gottfried Wilhelm Leibniz, kiu monris ĝian verecon jene.

Estu f(x) kaj g(x) du diferencialeblaj funkcioj de x. La diferencialo de fg estas

 d(fg) = (f + df)(g + dg) - fg = f·dg + g·df + df·dg

Pro tio ke la termo df·dg estas malatentebla (ĉar ĝi estas kvadrate malgranda respektive al df kaj dg, Leibniz konkludis ke

 d(fg) = f·dg + g·df

kaj ĉi tio estas diferenciala formo de la produta regulo. Se dividi la esprimon per diferencialo dx rezultas



 Aliaj okazoj 
 Derivaĵoj de produtoj de vektoraj funkcioj 
La regulo veras ankaŭ por skalara produto kaj vektora produto de du vektoro-valoraj funkcioj de skalara variablo.

Estu  f(x) kaj  g(x) ĉi tiaj funkcioj de skalaro x.

Tiam por derivaĵo de ilia skalara produto estas formulo



Por derivaĵo de ilia vektora produto estas formulo



kie la ordo de multiplikatoj en ĉiu vektora produto gravas.

 Derivaĵo de produto de matricaj funkcioj 
La regulo veras ankaŭ por matrica produto kaj vektora produto de du matrico-valoraj funkcioj de skalara variablo.

Estu A(x) kaj B(x) ĉi tiaj funkcioj de skalaro x, de tiaj ampleksoj ke ilia matrica produto A(x)B(x) ekzistas.

Tiam por derivaĵo de ilia matrica produto estas formulo



kie la ordo de multiplikatoj en ĉiu produto gravas.

 Derivaĵo de produto de pli ol du funkcioj 
La produta regulo povas esti ĝeneraligita al produto de pli ol du faktoroj.

Por kolekto de funkcioj f1(x), ..., fk(x) de variablo x:



Ekzemple, por tri faktoroj:



Ĉi tio veras ankaŭ por matrico-valoraj funkcioj, sed tiam ordo de multiplikatoj en la produtoj devas esti ĉiam tia kia ĝi estas en la fonta produto. Por kolekto de matrico-valoraj funkcioj A1(x), ..., Ak(x) de variablo x, de ampleksoj tiaj ke ilia produto ekzistas. Taim



Ekzemple, por tri faktoroj:



 Pli altaj derivaĵoj 
La produta regulo povas esti ĝeneraligita al pli altaj derivaĵoj de produto de du funkcioj f(x) kaj g(x) de variablo x:



kie  estas binomaj koeficientoj. La formulo aspekte similas al la binomo de Newton.

Ekzemple por n=2:



Ĉi tio veras ankaŭ por matrico-valoraj funkcioj, tiam la ordo de multiplikatoj en ĉiu produto gravas.

 Miksitaj partaj derivaĵoj 
Por miksita parta derivaĵo de n-a ordo de produto de du funkcioj f(x1, ..., xn) kaj g(x1, ..., xn) je x1, ..., xn estas formulo



kie la indekso S trapasas ĉiujn 2n variantojn de subaro de aro {1, ..., n}.

Ekzemple por n=3:





Ĉi tio veras ankaŭ por matrico-valoraj funkcioj, tiam la ordo de multiplikatoj en ĉiu produto gravas.

 Vidu ankaŭ 
 Derivaĵo de funkcia komponaĵo
 Operacioj en vektora kalkulo
 Derivaĵo de kvociento
 Poparta integralado
 Formulo de Faà di Bruno

Kategorio:Diferenciala kalkulo