LU-malkomponaĵo

LU malkomponaĵo estas metodo de solvado de sistemo de linearaj ekvacioj, kiu havas formon:

Laŭ matrica maniero de skribado , kaj  - matrico de koeficientoj ,  - vektoro de variabloj,  - vektoro de datumoj.

 Priskribo de metodo 
Laŭ metodo LU matrico de koeficientoj estas malkomponata en multiplikado de du triangulaj matricoj: suba (angle: Lower) kaj supera (angle: Upper).


Sistemo de ekvacioj tiam havas formon:

kaj ĝia solvo povas esti esprimita per du sistemoj de ekvacioj kun triangulaj ekvacioj, kiuj solvas tre facile.



 Ecoj de metodo 
 La metodo ebligas rapidan kalkuladon de matrico .
 Kvanto de multiplikoj kiuj estas bezonata por solvi (kalkuli valorojn de vektoro ) estas  kaj adicioj .
 por komputila kalkulado metodo ŝparas memoron, ĉar ĉiujn valorojn oni povas havi en unu matrico kaj unu vektoro (samaj kiuj enhavas komencajn valorojn).
 Ĝi bezonas malmultajn operaciojn ol aliaj metodoj (krom specialaj metodoj)
 Kalkulado de determinanto de matrico A povas kalkuli uzante teoremon de Cauchy:

kaj uzante de fakto, ke determino de triangula matrico estas multipliko de diagonalaj elementoj de matrico. Alinome:

 LU malkomponaĵo 
Ĉefa problemo de ĉi tiu metodo estas malkomponaĵo. Por ke la malkomponaĵo estus unusignifa, decidas ke iu el du matricoj havas diagonalaj elementoj egalaj al unu.

Ekzistas du ĉefaj metodoj por fari tiun:
 Metodo elimina de Gauss
 Metodo de Doolittle (priskribo sube)

 Metodo de Doolittle 
Laŭ ĉi tiu metodo egaleco  estas sistemo de  ekvacioj kun  variabloj. La variabloj estas elementoj  por  (elementoj sube diagonalo) kaj  por  (elementoj de diagonalo kaj supere). Kun lemo ke elementoj de diagonalo de matrico L ekvacias 1.

Kalkulado sekvaj elementoj de matricoj  kaj  faras alterne. te. post kalkulado de verso de matrico U kalkulas kolumnon de matrico L kaj denove sekvan verson U.

Ĝeneralaj formuloj por apartaj elementoj de matricoj estas:

por ĉiu :
 dla 
 dla 

Laŭ lasta ekvacio metodo ne funkcios, se .

Kvanto de bezonataj operacioj:
 multiplikaj: ,
 adiciaj: .

 Ekzemplo (matrico 3x3) 

Unua verso de matrico U:

Unua kolumno de matrico L:

Dua verso de matrico U:

Dua kolumno de matrico L:

Tria verso de matrico U:

 Vidu ankaŭ 
 Malkomponaĵo de Choleski

Kategorio:Matrica teorio
Kategorio:Lineara algebro

de:Gaußsches Eliminationsverfahren#LR-Zerlegung