Derivaĵo de kvociento

En matematiko, la kvocienta regulo estas idento por derivaĵo de funkcio kiu estas la kvociento de du la aliaj funkcioj por kiuj la derivaĵoj ekzistas.

Se la funkcio f(x) estas donita kiel

kaj h(x)≠0, tiam la derivaĵo de f(x) estas



aŭ en la alia skribmaniero

Pli detale, se por ĉiu x en iu malfermita aro enhavanta nombron a, h(x)≠0 kaj g'(a) kaj h'(a) ambaŭ ekzistas do f'(a) kaj



 Ekzemplo 

 g(x) = sin(x)
 g'(x) = cos(x)
 h(x) = cos(x)
 h'(x) = -sin(x)

 Pruvoj 

 Per difino de derivaĵo 



Oni eligu la 1/w kaj kombinu la frakciojn en la numeratoro:



Adiciante kaj subtrahante de g(x)h(x) en la numeratoro:



Oni faktorigu ĉi tion kaj multipliku je la 1/w tra la numeratoro:



Nun oni movu la limigon tra:



Laŭ la difino, la limigoj en la numeratoro estas derivaĵoj, kaj do tiel:



 Per regulo por derivaĵo de produto 

Se



do

 g(x) = f(x)h(x)

kaj

 g'(x)=f'(x)h(x) + f(x)h'(x)

De ĉi tie per algebraj transformoj eblas ricevi formulon por f'(x).





Ankaŭ eblas apliki la regulo por derivaĵo de produto rekte se 1/h(x) estas konsiderata kiel la dua multiplikato :



Kun tio ke  rezultas



 Per tuteca derivaĵo 

Funkcio  povas esti konsiderata kiel funkcio de du variabloj g kaj h, ĉiu el kiuj en sia vico estas funkcio de x.

Ambaŭ partaj derivaĵoj de f je g kaj h povas esti trovitaj:



kie h estas konsiderata kiel konstanto; kaj



kie g estas konsiderata kiel konstanto.

Tiam





 Vidu ankaŭ 

 Derivaĵo de funkcia komponaĵo
 Derivaĵo de produto

Kategorio:Diferenciala kalkulo