Eŭlera formulo

En matematiko, eŭlera formulo, estas idento en kompleksa analitiko, kiu donas interrilaton inter la trigonometriaj funkcioj kaj kompleksa eksponenta funkcio. Ĝi asertas, ke por ĉiu kompleksa nombro x,

 eix = cos x + i sin x

kie e estas la bazo de la naturaj logaritmoj,
 i estas la imaginara unuo,
 cos kaj sin estas la trigonometriaj funkcioj kosinuso kaj sinuso, kun la argumento x en radianoj.

La formulo estas ankoraŭ valida, se x estas ajna kompleksa nombro, kvankam la originala eŭlera formulo temas pri reela x.

 Pruvo 
La originala pruvo estas bazita sur la serio de Taylor de la eksponenta funkcio ez (kie z estas kompleksa nombro) kaj de sin x kaj cos x por reelaj nombroj x. Fakte, la sama pruvo montras ke la eŭlera formulo veras por ĉiu kompleksa z.



kaj





Tiel eix = cos x + i sin x.

 Konsekvencoj 
eta|dekstra|250px|Geometria interpretado de eŭlera formulo

Ĉi tiu formulo povas esti interpretita kiel tio ke valoro de funkcio eix desegnas la unuocirklon en la kompleksa ebeno kiam x ŝanĝiĝas tra la reelaj nombroj. Ĉi tie, x estas la angulo inter linio konektanta la punkton sur la unua cirklo kun punkto z=0 kaj la pozitiva reela akso, mezurita en radianoj tiel ke laŭhorloĝnadla direkto estas pozitiva.

Kompleksa nombro respektivas al punkto en la kompleksa ebeno kiu kutime estas prezentita en
karteziaj koordinatoj. Eŭlera formulo provizas konvertiĝon al la polusaj koordinatoj. Tiel ĉiu kompleksa nombro z = x+iy povas esti skribita kiel

kie x = Re(z) - la reela parto
 y = Im(z) - la imaginara parto
  la modulo de z
 φ = atan2 (y, x) - la argumento - la angulo priskribita pli supre

Ĝia kompleksa konjugito estas tiam

Per ĉi tiu formulo, oni povas difini la logaritmon de kompleksa nombro. Logaritmo estas la inversa funkcio de potencigo tiel ke por ĉiu kompleksa a

Pro tio ke

por ĉiu kompleksaj a kaj b rezultiĝas

por ĉiu nenula z. Preno de la logaritmo de ambaŭ flankoj montras ke:



kaj fakte ĉi tiu povas esti uzata kiel difino por la kompleksa logaritmo. La logaritmo de kompleksa nombro estas tial multvalora funkcio, ĉar φ estas multvalora:
 , k estanta entjero.

 En trigonometrio 
Eŭlera formulo provizas prezentojn de la sinuso kaj kosinuso por ĉiu kompleksa x per eksponentoj:




Ĉi tiuj du identoj pli supre povas esti derivitaj per adicio aŭ subtraho de du ekzempleroj de eŭlera formulo:




kaj solvado por kosinuso aŭ sinuso.

Ĉi tiuj formuloj povas eĉ servi kiel difinoj de sinuso kaj kosinuso por kompleksaj argumentoj x. Se preni x = iy rezultiĝas formuloj pri rilato de kosinuso kaj sinuso al hiperbola kosinuso kaj hiperbola sinuso:

Por reela x estas:

 cos x = Re(eix)
 sin x = Im(eix)

Leĝo pri eksponenta funkcia



kiu veras por ĉiu entjera k kune kun la eŭlera formulo implicas kelkajn trigonometriajn identojn kaj formulon de de Moivre.

 Aplikoj 
En diferencialaj ekvacioj, la funkcio eix estas ofte uzata por plisimpligi derivaĵoj, eĉ se la fina respondo estas reela funkcio kun sinuso kaj kosinuso.

En elektrotekniko kaj aliaj kampoj, signaloj kiuj ŝanĝiĝas periode kun tempo estas ofte priskribitaj kiel kombinaĵo de sinusa kaj kosinusa funkcioj (vidu en analitiko de Fourier), kaj ilin estas oportune esprimi kiel reela parto de kompleksaj eksponentaj funkcioj.

 Historio 
Eŭlera formulo estis pruvita unuafoje de Roger Cotes en 1714 en formo

 ln(cos x + i sin x) = ix

kie "ln" estas natura logaritmo, kun bazo e.

Eŭlero publikigis la identon en ĝia aktuala formo en 1748, kun lia pruvo surbaze de egaleco de la malfiniaj serioj de ambaŭ flankoj.

Neniu el ili vidis la geometrian interpreton de la formulo, ĉar la prezento de kompleksaj nombroj kiel punktoj sur la kompleksa ebeno aperis nur post 50 jaroj dank' al Caspar Wessel.

 Vidu ankaŭ 
 Trigonometriaj funkcioj
 Eksponenta funkcio
 Eŭlera idento - specifa okazo de la eŭlera formulo por x=π
 Kompleksa nombro
 Potencigo

 Eksteraj ligiloj 

 Pruvo de eŭlera formulo  de Julius O. Smith III
 Eŭlera formulo kaj lasta teoremo de Fermat
 Modulo de kompleksa eksponenta funkcio de John H. Mathews
 Eroj de algebro 
 Vida prezento de eŭlera formulo

Kategorio:Kompleksa analitiko
Kategorio:Trigonometrio
Kategorio:Leonhard Euler