Primo-kalkulanta funkcio

En matematiko, la primo-kalkulanta funkcio estas la funkcio  kies valoro estas kvanto de primoj malpli grandaj ol aŭ egala al ĝia argumento - reela nombro x. (Ĝi estas malsama la nombro π, kvankam la sama litero estas uzata).

eta|dekstra|400ra|La unuaj valoroj de 

 Kreskada kurzo 
Granda intereso en nombroteorio estas al la kreskada kurzo de la primo-kalkulanta funkcio. Estis konjektite en la fino de la 18-a jarcento de Carl Friedrich Gauss kaj Adrien-Marie Legendre ke ĝi estas proksimume  en la senco ke

Ĉi tiu frazo estas la prima teoremo. Ekvivalenta frazo estas

kie  estas la logaritma integrala funkcio. Ĉi tio estis unue pruvita en 1896 de Jacques Hadamard kaj Charles Jean de la Vallée-Poussin sendepende, uzante propraĵojn de la rimana ζ funkcio prezentitaj de Bernhard Riemann en 1859.

Pli precizaj pritaksoj de  estas nun sciataj, ekzemple

kie O estas la granda O. Pruvoj de la prima teoremo ne uzantaj la zetan funkcion aŭ kompleksan analitikon estis trovitaj ĉirkaŭ 1948 de Atle Selberg kaj Paŭlo Erdős grandparte sendepende.

Alia konjekto pri la kreskada kurzo por prima serio engaĝante la priman teoremon estas

 Tabelo de  ,  , kaj  
      10 4 -0,3 2,2 2,500 102 25 3,3 5,1 4,000 103 168 23 10 5,952 104 1229 143 17 8,137 105 9592 906 38 10,425 106 78498 6116 130 12,740 107 664579 44158 339 15,047 108 5761455 332774 754 17,357 109 50847534 2592592 1701 19,667 1010 455052511 20758029 3104 21,975 1011 4118054813 169923159 11588 24,283 1012 37607912018 1416705193 38263 26,590 1013 346065536839 11992858452 108971 28,896 1014 3204941750802 102838308636 314890 31,202 1015 29844570422669 891604962452 1052619 33,507 1016 279238341033925 7804289844393 3214632 35,812 1017 2623557157654233 68883734693281 7956589 38,116 1018 24739954287740860 612483070893536 21949555 40,420 1019 234057667276344607 5481624169369960 99877775 42,725 1020 2220819602560918840 49347193044659701 222744644 45,028 1021 21127269486018731928 446579871578168707 597394254 47,332 1022 201467286689315906290 4060704006019620994 1932355208 49,636 1023 1925320391606803968923 37083513766578631309 7250186216 51,939

La valoro por  estas de Tomás Oliveira e Silva.

 Algoritmoj por komputado de  
Simpla maniero por kalkuli  se  estas ne tro granda estas per kribrilo de Eratosteno produkti la primojn kaj poste kalkuli ilin.

Pli ellaborita vojo kalkuli  estas de Adrien-Marie Legendre: por donita  , se  estas malsamaj primoj, kvanto de entjeroj malpli grandaj ol aŭ egalaj al  kiu estas divideblaj per neniu el  estas

(kie  estas la planka funkcio). Ĉi tiu nombro estas pro tio egala al

kiam la nombroj  estas la primoj malpli grandaj ol aŭ egalaj al la kvadrata radiko de  .

En serio de artikoloj publikigita inter 1870 kaj 1885, Ernst Meissel priskribis kaj uzis praktikan kombinan manieron de komputado de  . Estu  la unuaj  primoj kaj estu  kvanto de naturaj nombroj ne pli grandaj ol  kiuj estas divideblaj per neniu el  . Tiam

Por donita natura nombro m, se  kaj se  , tiam

Uzante ĉi tiun manieron, Meissel komputis  por  egala al  ,  ,  , kaj  .

En 1959, Derrick Henry Lehmer etendis kaj simpligis la manieron de Meissel. Estu, por reela  kaj naturaj  ,  ,  kvanto de entjeroj ne pli grandaj ol  kun akurate  primaj faktoroj, ĉiuj pli granda ol  . Ankaŭ estu  . Tiam

kie la sumo reale havas nur finie multajn nenulajn erojn. Estu  entjero tia ke  , kaj estu  . Tiam  kaj  por  . Pro tio

La kalkulado de  povas esti farita kiel

Aliflanke, la kalkulado de  povas esti farita per jenaj reguloj:

Per ĉi tia maniero sur komputilo IBM 701, Lehmer estis pova komputi valoron  .

Hwang Cheng uzis jenajn identojn:

kun preno de  , kun laplaca konverto de ambaŭ flankoj kaj aplikado de geometria sumo sur  . Tiam rezultiĝas

 Aliaj primo-kalkulantaj funkcioj 
Unu el la aliaj primo-kalkulantaj funkcioj estas  kies valoro je ĉiu punkto de nekontinueco egalas al averaĝo de valoroj je la du flankoj de ĉi tiu punkto:

Tiel ekzemple:

 π0(x)=1 por 2<x<3
 π0(3)=3/2
 π0(x)=2 por 3<x<5

Ankoraŭ unu el la aliaj primo-kalkulantaj funkcioj estas la rimana primo-kalkulanta funkcio, kutime skribata kiel Π0(x). Ĉi tiu funkcio pligrandiĝas je 1/n je ĉiu prima potenco pn, kaj ĝia valoro je ĉiu punkto de nekontinueco egalas al averaĝo de valoroj je la du flankoj de ĉi tiu punkto. Ĉi tiu aldonita detalo estas ĉar tiam la funkcio povas esti difinita per inverso de konverto de Mellin. Tiel Π0(x) estas



kie ĉiu p estas primo. Aŭ



kie Λ(n) estas la funkcio de von Mangoldt.

Inversiga formulo de Möbius tiam donas ke



Per interrilato inter logaritmo de la rimana ζ funkcio kaj la funkcio de von Mangoldt kaj per la formulo de Perron rezultiĝas



En la funkcioj de Ĉebiŝev por primoj aŭ primaj potencoj pn estas sumataj valoroj ln(p):




 Formuloj por primo-kalkulantaj funkcioj 
Estas jena esprimo por ψ(x):



kie



Ĉi tie ρ estas la nuloj de la rimana ζ funkcio en la kritika filmo, kie la reela parto de ρ estas inter 0 kaj 1. La formulo estas valida por x>1, kio estas la regiono de intereso. La sumo tra la radikoj estas kondiĉe konverĝa, kaj devas esti sumata en ordo de pligrandiĝo de absoluta valoro de la imaginara parto. La sama sumo tra la bagatelaj radikoj donas la lasta subtrahaton en la formulo. La nuloj en la kritika filmo estas en kompleksaj konjugitaj paroj, do la sumo estas reela.

Por Π0(x) estas pli komplika formulo



Denove, la formulo estas valida por x>1, kaj ρ estas la netrivialaj nuloj de la zeta funkcio ordigitaj laŭ ilia absoluta valoro, kaj, denove, la lasta integralo, prenita kun minuso, estas ĝuste la sama sumo sed tra la bagatelaj nuloj. La unua membro li(x) estas la kutima logaritma integrala funkcio; la esprimo li(xρ) en la dua membro devas esti konsiderata kiel Ei(ρ ln x), kie Ei estas la analitika vastigaĵo de la eksponenta integrala funkcio de pozitivaj reelaj nombroj al la kompleksa ebeno kun branĉa tranĉo laŭ la negativaj reelaj nombroj.

Tiel inversiga formulo de Möbius donas ke



por x>1, kie



estas tiel nomata kiel rimana R-funkcio. La lasta serio por ĝi estas sciata kiel grama serio kaj konverĝas por ĉiuj pozitivaj x.

eta|dekstra|220ra|La δ funkcio (ruĝa) en logaritma skalo

La sumo tra nuloj de zeta funkcio en la kritika filmo en la formulo por π0(x) priskribas la fluktuojn de π0(x), kaj la cetera eroj donas la glatan parton. Se la rimana hipotezo veras, la amplitudo de la fluktuoj estas heŭristike proksimume , tiel la fluktuoj de la distribuo de primoj povas esti prezentitaj per la delta funkcio:



 Neegalaĵoj 
Jen estas iuj neegalaĵoj pri π(x):

  por x > 1

  por x ≥ 55

Estis konjekto ke π(x) ≤ li(x) por ĉiu pozitiva entjero x, ĝi estas malpruvita, vidu pli detale en artikolo nombro de Skewes.

Jen estas iuj neegalaĵoj por la n-a primo pn:

 n ln n + n ln ln n - n < pn < n ln n + n ln ln n por n ≥ 6, la maldekstra neegalaĵo veras eĉ por n ≥ 1

Proksimumado por la n-a primo estas



 La rimana hipotezo 
La rimana hipotezo estas ekvivalenta al multe pli strikta baro por la eraro en la pritakso por π(x), kaj de ĉi tie al pli regula distribuo de primoj:



 Vidu ankaŭ 
 Primofaktorialo
 Logaritma integrala funkcio
 Rimana ζ funkcio
 Rimana hipotezo
 Nombro de Skewes - pri signo de la diferenco π(x) - li(x)

 Eksteraj ligiloj 

 Marc Deléglise kaj Jöel Rivat, Komputado de π(x): maniero de Meissel, Lehmer, Lagarias, Miller, Odlyzko, Matematiko de kalkulado, volumo 65, nombro 33, januaro 1996, paĝoj 235-245


 Tomás Oliveira e Silva, Tabeloj de valoroj de π(x) kaj de π2(x)
 Xavier Gourdon kaj Pascal Sebah, Valoroj ĝis 4&middot1022
 Chrita Caldwell, La n-a prima paĝo je la Primaj Paĝoj.
  π(x)
  li(x) − π(x)
  π(x) - x / ln x
 Tabelo de Δ(x), bazita sur la rezultoj de Tomás Oliveira e Silva

Kategorio:Analitika nombroteorio
Kategorio:Primoj