Eŭlera idento

En matematiko, la eŭlera idento estas la idento

 eiπ + 1 = 0

kie e estas la bazo de la natura logaritmo,
 i estas la imaginara unuo, nombro kies kvadrato egalas al -1: i2 = -1
 π estas pi, la rilatumo de la cirkonferenco de cirklo al ĝia diametro.

L eŭlera idento estas ofte konsiderita kiel rimarkinda pro ĝia matematika belo. Tri bazaj aritmetikaj operacioj okazas akurate po unufoje: adicio, multipliko, potencigo. La idento kunligas kvin fundamentajn matematikajn konstantojn:

 Nulo 0
 Unu 1
 π
 e
 i

 Pruvo 
La idento estas speciala okazo de la eŭlera formulo el la kompleksa analitiko:

kun preno de :

Pro tio ke  kaj  rezultiĝas

kiu donas la eŭleran identon.

 Geometria interpretado 


aŭ  por granda N.

Geometrie ĉi tio respektivas al algluo de N ortaj trianguloj kun angulo kies tangento estas π/N radianoj al la segmento [0, 1] sur la kompleksa ebeno. La lasta triangulo havas tiam lateron proksiman al segmento [0, -1]. La preciza rezulto estas ricevata per algluo de N cirklaj sektoroj kun angulo α=π/N.

 Dosiero:EulerIdentity2.png

Se N pligrandiĝas, la triangulo kaj la cirkla segmento iĝas pli similaj

 Dosiero:EulerIdentity8.png Dosiero:EulerIdentity16.png  Algluo de 8 aŭ 16 trianguloj

 Ĝeneraligo 
Eŭlera idento estas speciala okazo de la pli ĝenerala idento ke por n>1 sumo de ĉiuj n-aj radikoj de unu, egalas al 0:

Eŭlera idento estas la okazo n=2, kun tio ke e0 = 1.

En alia matematika branĉo, uzante kvaternionan potencon oni trovas similan identitecon kiu ankaŭ funkcias por kvaternionoj. Kun la bazaj elementoj  oni havas:

 Atribuo 
Eŭlero skribis la formulon pri interrilato de eksponento al sinuso kaj kosinuso, sed ne estas sciate Eŭlero reale skribis la identon en ĉi tia simpla formo, la formulo estis verŝajne sciata antaŭ Eŭlero.

 Vidu ankaŭ 
 Leonhard Euler
 Eŭlera formulo
 Eŭlera funkcio
 Eksponenta funkcio
 Idento
 Trigonometriaj funkcioj
 Transcenda nombro - la idento estis uzata en pruvoj de transendeco de iuj gravaj konstantoj

 Eksteraj ligiloj 

 Eŭleraj plej grandaj furoroj", MAA surlinia, februaro de 2007.

Kategorio:Kompleksa analitiko
Kategorio:Matematikaj identoj
Kategorio:Leonhard Euler

pl:Wzór Eulera#Tożsamość Eulera