Konverĝa serio

En matematiko, serio estas sumo da eroj el vico de nombroj.

Por donita vico , la n-a parta sumo Sn estas sumo de la unuaj n eroj de la vico, tio estas,

Serio estas konverĝa se kaj nur se la vico de ĝiaj partaj sumoj  konverĝas (ekzistas limigo de vico). En pli formala lingvo, serio konverĝas se tie ekzistas limigo y, tia ke por ĉiu ajne malgranda pozitiva nombro e, e>0, estas entjero N tia ke por ĉiuj n ≥ N,

Serio kiu ne estas konverĝa estas malkonverĝa serio (ankaŭ nomita diverĝa serio).

 Ekzemploj 
eta|320px|Vidigo de konverĝo al 2 de la geometria vico 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... .

Konverĝaj serioj

 Inversoj de nenegativaj entjeraj potencoj de 2
 : 

 Inversoj de pozitivaj entjeroj kun alternaj signoj (alterna serio)
 : 

 Inversoj de kvadrataj nombroj
 : 

 Inversoj de pozitivaj neparaj entjeroj kun alternaj signoj
 : 

Malkonverĝaj serioj

 Inversoj de pozitivaj entjeroj
 : 

 Inversoj de primoj:
 : 

 Konverĝaj testoj 
Konverĝa testo estas maniero por difini ĉu serio konverĝas aŭ malkonverĝas

 Kompara provo 
Eroj de la vico  estas komparataj al tiuj de la alia vico .

Se, por ĉiuj n,  kaj  konverĝas, do  konverĝas.

Se, por ĉiuj n, , kaj  malkonverĝas, do  malkonverĝas.

 Rilatuma provo 
Se por ĉiu n, an>0 kaj ekzistas r tia ke

tiam se r<1, do la serio konverĝas. Se r>1, do la serio malkonverĝas.

Se r = 1 la rilatuma provo ne donas respondon, la serio povas kaj konverĝi kaj malkonverĝi.

 Radika provo 
Se por ĉiu n, an≥0 kaj ekzistas r tia ke

tiam se r<1, do la serio konverĝas. Se r>1, do la serio malkonverĝas.

Se r = 1 la radika provo ne donas respondon, la serio povas kaj konverĝi kaj malkonverĝi.

La rilatuma provo kaj la radika provo estas ambaŭ bazitaj sur komparo kun geometria serio, kaj tiel ili laboras en similaj situacioj. Se la rilatuma provo laboras (la limigo ekzistas kaj estas ne egala al 1) tiam laboras la radika provo. La reo tamen, estas ne vera. La radika provo estas pro tio pli ĝenerale aplikebla, sed kiel praktika materio la limigo estas ofte malfacila al komputi por kutime estantaj specoj de serioj.

 Limiga kompara provo 
Se por ĉiu n, an>0 kaj bn>0 kaj limigo  ekzistas kaj estas ne nulo, do  konverĝas se kaj nur se  konverĝas.

 Alterna seria provo aŭ kriterio de Leibniz 
Por alterna serio de formo  kie por ĉiu n an>0, se {an} estas monotone malkreskanta kaj havas limigon 0, do la serio konverĝas.

 Integrala provo 
La serio povas esti komparita al integralo. Se ekzistas pozitiva kaj monotone malkreskanta funkcio f(x) tia ke je ĉiuj pozitivaj entjeraj argumentoj ĝi egalas al eroj de la serio f(n) = an kaj se

tiam la serio konverĝas. Se la integralo malkonverĝas, tiam la serio malkonverĝas.

 Koŝia konverĝa provo 
Serio

konverĝas se kaj nur se la vico de partaj sumoj estas koŝia vico.

Ĉi tio signifas ke por ĉiu  estas pozitiva entjero N tia ke por ĉiuj m kaj n tiaj ke n ≥ m ≥ N

kio estas ekvivalento al

 Koŝia kondensa provo 
Se {an} estas monotona malkreskanta vico, do
 konverĝas se kaj nur se  konverĝas.

 Provo de Dirichlet 
 Abela provo 
 Provo de Raabe 
 Kondiĉa kaj absoluta konverĝo 
Por ĉiu vico , laŭ propraĵo de sumo de absolutaj valoroj (neegalaĵo de triangulo sur la kompleksa ebeno)



Ĉi tio signifas ke se  konverĝas, tiam ankaŭ  konverĝas (sed ne inverse).

Se serio  konverĝas, do serio  estas absolute konverĝa. Absolute konverĝa vico estas tiu en kiu longo de linio kreita per kunigo kune de ĉiuj pligrandiĝoj al la parta sumo estas finia. Ekzemple, serio de Taylor de la eksponenta funkcio estas absolute konverĝa ĉie.

Se serio  konverĝas sed serio  malkonverĝas, do la serio  estas kondiĉe konverĝa. La linio kreita per kunigo kune de ĉiuj pligrandiĝoj al la parta sumo estas malfinie longa. Ekzemple, serio de Taylor de logaritmo estas kondiĉe konverĝa.

La rimana seria teoremo statas ke se reela serio konverĝas kondiĉe, do eblas reordigi ĝiajn erojn tiel ke la serio konverĝu al ĉiu donita reela valoro, aŭ malkonverĝu.

 Uniforma konverĝo 
Estu  vico de funkcioj.

La serio  konverĝas unuforme al f se la vico {Sn} de partaj sumoj difinita per



konverĝas unuforme al f.

M-kriterio de Weierstrass estas analogo de la kompara provo por malfinia serio de funkcioj.

 Eksteraj ligiloj 

 http://www.boutichesaid.cv.dz/Series/ConvergentSeries.htm 
 http://www.ro6ert.com/ro6ert/portfolio/ComplexConvergence/ 
 Rimana seria teoremo je MathWorld

Kategorio:Matematika serio