Pozitive difinita funkcio

En matematiko, la termino pozitive difinita funkcio signifas du malsamajn nociojn.

 En dinamikaj sistemoj 

Reelo-valora, kontinue diferencialebla funkcio f estas pozitive difinita sur najbaraĵo de la fonto de koordinatoj, D, se f(0)=0 kaj f(x)>0 por ĉiu nenula x en D.

Funkcio estas negative difinita se la neegalaĵo estas rea, f(0)=0 kaj f(x)<0 por ĉiu nenula x en D.

Funkcio estas duondifinita se la forta neegalaĵo estas anstataŭigita per malforta, tiel

 funkcio estas pozitive duondifinita se f(0)=0 kaj f(x)≥0 por ĉiu x en D,
 funkcio estas negative duondifinita se f(0)=0 kaj f(x)≤0 por ĉiu x en D,

en ĉi tiuj okazoj ne bezonatas skribi ke x devas esti nenula.

 En kompleksa analitiko kaj statistiko 

Pozitive difinita funkcio de reela variablo x estas komplekso-valora funkcio

f:R → C

tia ke por ĉiu n kaj por ĉiuj reelaj nombroj x1, ..., xn la n×n matrico A kun elementoj

 aij = f(xi - xj)

estas pozitive duondifinita matrico. Kutime estas konsiderata nur la okazo en kiu f(-x) estas la kompleksa konjugito de f(x), f(-x)=f(x)*, tiel ke la matrico A estas memadjunkta matrico (hermita matrico).

Se funkcio f estas pozitive duondifinita, per preno de n=1 kaj ajna x1 rezultiĝas

 f(0) ≥ 0.

Per preno de n=2 pro tio ke pozitive duondifinita matrico havas nenegativan determinanton rezultiĝas

f(x-y) f(y-x) ≤ f(0)2

kaj se f(-x)=f(x)* do

 |f(x)| ≤ |f(0)|

Pozitiva difiniteco aperas en la teorio de la konverto de Fourier. Pozitiva difiniteco estas necesa kondiĉo por f por ke ĝi estu la konverto de Fourier de funkcio g sur la reela linio tia ke g(y) ≥ 0.

La rea rezulto estas teoremo de Bochner kiu statas ke kontinua pozitive difinita funkcio sur la reela linio estas la konverto de Fourier de (pozitiva) mezuro.

En statistiko, la teoremo estas kutime aplikata al reelaj funkcioj; la matrico A estas tiam multiplikita per skalaro por doni kunvariancan matricon, kiu devas esti pozitive difinita. En statistika ĉirkaŭteksto, oni kutime diras ke f(x) estas la karakteriza funkcio de simetria probablodensa funkcio (PDF).

 Vidu ankaŭ 

 Pozitive difinita
 Pozitive difinita matrico

 Eksteraj ligiloj 
 Pozitive difinita funkcio

Funkcio  sur grupo G nomiĝas pozitive difinita funkcio, se la matrico  ĉiam estas pozitive duondifinita hermita matrico.

Kategorio:Kompleksa analitiko
Kategorio:Dinamikaj sistemoj