Hiperbola funkcio

En matematiko, la hiperbolaj funkcioj estas certaj funkcioj de unu variablo, iel analogaj al la ordinaraj trigonometriaj funkcioj.

Iliaj retroĵetoj estas la inversaj hiperbolaj funkcioj.

La bazaj hiperbolaj funkcioj estas la hiperbola sinuso kaj hiperbola kosinuso, difinitaj per eksponenta funkcio. La aliaj hiperbolaj funkcioj estas difinitaj per ili du, simile al tio kiel per sinuso kaj kosinuso estas difinitaj la aliaj trigonometriaj funkcioj

La hiperbolaj funkcioj preni reelajn valorojn por reelaj argumentoj. La argumento estas iam nomata kiel la hiperbola angulo. En kompleksa analitiko, ili estas simple racionalaj funkcioj de eksponentaj funkcioj, kaj do estas meromorfaj funkcioj.

La grafikaĵo de hiperbola kosinuso estas la kateno, la kurbo formata per fleksebla ĉeno de egala longa denseco, fiksita je siaj finoj kaj pendanta libere sub gravito.

 Difinoj 
La hiperbolaj funkcioj estas:

 Nomo  Skribmaniero  Difino Hiperbola sinuso sinh x aŭ sh x   Hiperbola kosinuso cosh x aŭ ch x   Hiperbola tangento tanh x aŭ th x   Hiperbola kotangento coth x aŭ cth x   Hiperbola sekanto sech x   Hiperbola kosekanto csch  

 290x290px  sinh, cosh, tanh 290x290px  csch, sech, coth

 Proprecoj 

kie i estas la imaginara unuo.

 sinh(-x) = -sinh x
 cosh(-x) = cosh x

De ĉi tie:

 tanh(-x) = -tanh x
 coth(-x) = -coth x
 sech(-x) = sech x
 csch(-x) = -csch x

cosh x kaj sech x estas paraj funkcioj, la aliaj el la ses estas neparaj funkcioj.

Identoj por sumo de argumentoj:





por duoblaj argumentoj:




por duonaj argumentoj:





 Derivaĵoj 

 Malderivaĵoj 








En la pli supre donitaj esprimoj, C estas la konstanto de integralado.

 Serioj 
Serioj de Taylor:

Hiperbola kotangento kaj hiperbola kosekanto havas poluson en punkto 0, tiel iliaj seriaj elvolvaĵoj estas serioj de Laurent:

 (serio de Laurent)

En la formuloj pli supre
 Bn estas la n-a nombro de Bernoulli,
 En estas la n-a eŭlera nombro.

 Hiperbolaj funkcioj por kompleksaj nombroj 
Pro tio ke la eksponenta funkcio estas difinita por ĉiu kompleksa argumento, la difinoj de la hiperbolaj funkcioj uzeblas ankaŭ por kompleksaj argumentoj. La funkcioj sinh z kaj cosh z estas tiam holomorfaj; iliaj serioj de Taylor konverĝas ĉie.

Interrilatoj al trigonometriaj funkcioj estas donitaj per eŭlera formulo, vera por ĉiu kompleksa x:

 eix = cos x + i sin x

el ĉi tiu formulo sekvas la sekva formulo

 e−ix = cos x - i sin x

kaj tiel

 tanh ix = i tan x
 cosh x = cos ix
 sinh x = -i sin ix
 tanh x = -i tan ix

La hiperbolaj funkcioj estas perioda kun kompleksa periodo 2πi (πi por hiperbola tangento kaj hiperbola kotangento).

De la difinoj de hiperbolaj sinuso kaj kosinuso, eblas derivi jenajn identojn:

 ex = cosh x + sinh x

kaj

 e−x = cosh x - sinh x

Ĉi tiuj esprimoj estas analogoj al la eŭlera formulo.

 190x190px  sinh z 190x190px  tanh z 190x190px  sech z 190x190px  cosh z 190x190px  coth z 190x190px  csch z

 Simileco al trigonometriaj funkcioj 
eta|296ra|dekstra|Radio tra la origino tranĉas la hiperbolon x2-y2 = 1 en la punkto (cosh A, sinh A), kie A estas la areo inter la radio kaj ĝia spegula bildo kun respekto al la x-akso, kaj la hiperbolo

Punkto sur la hiperbolo x y = 1 kun x > 1 difinas hiperbolan triangulon en kiu la flanko najbara al la hiperbola angulo estas asociita kun cosh kaj la flanko kontraŭa estas asociita kun sinh. Pro tio ke la punkto (1, 1) sur ĉi tiu hiperbolo estas je distanco √2 de la punkto (0, 0), la normaliga konstanto 1/√2 estas necesa al difini funkciojn cosh kaj sinh per longoj de la flankoj de la hiperbola triangulo.

Simile al tio ke kiel la aro de punktoj (cos t, sin t) estas cirklo, la aro de punktoj (cosh t, sinh t) estas la dekstra duono de la egallatera hiperbolo x2-y2 = 1.

La parametro t estas ne cirkla angulo, sed hiperbola angulo kiu estas duobligita areo inter la x-akso, la hiperbolo kaj la rekto tra punktoj (0, 0) kaj (cosh t, sinh t). Traktado de la parametro kiel duobligita areo fakte taŭgas ankaŭ por la trigonometriaj funkcioj; se konsideri punkton (cos t, sin t) sur cirklo do la argumento t estas duobligita areo de la cirkla sektoro inter la x-akso, la cirklo kaj la rekto tra punktoj (0, 0) kaj (cos t, sin t).

La hiperbolaj funkcioj kontentigas multajn identojn, similajn en formo al tiuj por la trigonometriaj funkcioj. Fakte, regulo de Osborn statas ke eblas konverti ĉiun trigonometrian identon en hiperbolan identon per elvolvanta ĝin plene en termojn de entjeraj potencoj de sinusoj kaj kosinusoj, ŝanĝo de sin al sinh kaj cos al cosh, kaj ŝanĝo de la signo de ĉiu termo kiu enhavas produton de kvanto 2, 6, 10, 14, ... da sinh-oj, kalkulante kun la potencoj. La derivado povas esti farita per trairo al trigonometriaj funkcioj kiel estas donite pli supre. Oni fari anstataŭigon en la fonta trigonometria idento kiel cosh ixj = cos xj kaj sinh ixj = i sin xj por ĉiu variablo xj; ĉi tiu aldona multiplikata imaginara unuo i ĉe sinuso, se en potenco 2, 6, 10, 14, ..., donas la ŝanĝon de signo. Poste necesas ŝanĝi la variablojn wj = ixj kaj la hiperbola idento rezultiĝas.

Ĉi tiel eblas ricevi donitajn pli supre identojn por sumo de argumentoj, por duoblaj argumentoj kaj por duonaj argumentoj

La funkcio de Gudermannian donas interrilaton inter la trigonometriaj kaj la hiperbolaj funkcioj ne engaĝante kompleksajn nombrojn.

 Vidu ankaŭ 
 Hiperbolo
 Inversa hiperbola funkcio
 Trigonometria funkcio
 Inversa trigonometria funkcio
 Eksponenta funkcio
 Eŭlera formulo
 Funkcio de Gudermannian
 Kateno

 Eksteraj ligiloj 

 Mnemoniko por hiperbolaj formuloj. G. Osborn, La Matematika Gazeto, p. 189, volumo 2, eldono 34, julio 1902 (la regulo de Osborn)
 Hiperbolaj funkcioj  je PlanetMath
 Hiperbolaj funkcioj je MathWorld
 Hiperbola tandento je MathWorld
 GonioLab : Videbligo de la unuobla cirklo, trigonometriaj kaj hiperbolaj funkcioj
 TTT-kalkulilo de hiperbolaj funkcioj

Kategorio:Rudimentaj specialaj funkcioj
Kategorio:Hiperbola geometrio