Konstanto de Eŭlero-Mascheroni

En matematiko, konstanto de Eŭlero-Mascheroni (ankaŭ nomata kiel la Eŭlera konstanto) estas matematika konstanto difinita kiel limigo de diferenco inter sumo de harmona serio kaj natura logaritmo:



Ĝi estas kutime skribata per minuskla greka litero gamo γ.

Ĝia proksimuma valoro estas:

 γ ≈ 0,577215664901532860606512090082402431042159335 9399235988057672348848677267776646709369470632917467495...

En deksesuma sistemo ĝi estas proksimume:

 γ ≈ 0,93C467E37DB0C7A4D1B...16

Konstanto de Eŭlero-Mascheroni estas malsama de la eŭlera nombro e, bazo de natura logaritmo.

 Historio 
La konstanto unue aperis en papero de Leonhard Euler, De Progressionibus harmonicis observationes (Indekso de Eneström 43) de 1735. Eŭlero uzis simbolojn C kaj O por la konstanto. En 1790, itala matematikisto Lorenzo Mascheroni uzis simbolon A por la konstanto. La skribmaniero γ aperas nek en la skribadoj de Eŭlero nek de Mascheroni, kaj estis elektita poste pro ligeco al Γ funkcio.

 Aperoj 
La konstanto aperas, en multaj lokoj, inter alia en († signifas ke ĉi tiu elemento enhavas eksplicitan ekvacion):
 Produto formulo de la Γ funkcio
 Kalkuloj de la digama funkcio
 Neegalaĵo por eŭlera φ funkcio
 La kreskada kurzo de la dividanta funkcio
 Esprimoj kun la eksponenta funkcia integralo
 Laplaca konverto de la natura logaritmo
 La unua termo de la serio de Taylor de la rimana zeta funkcio†, kie ĝi estas la unua de la konstantoj de Stieltjes†
 La kalkulo de la konstanto Meissel-Mertens
 La tria el teoremoj de Mertens†
 Solvaĵo de ekvacio de Bessel de la dua speco

 Propraĵoj 
La nombro γ ne estas pruvita al esti racionala aŭ neracionala. Ankaŭ, ĝi ne estas pruvita al esti algebra aŭ transcenda.

Ĉenfrakcia analitiko montras ke se γ estas racionala, ĝia denominatoro estas pli granda ol 10242080.

 Rilato al Γ funkcio 
γ estas minus la derivaĵo de la gama funkcio Γ je argumenta valoro 1. Tial:



kie Ψ estas digama funkcio.

γ estas ankaŭ la limigo:



Limigo rilatanta al la beta funkcio (esprimita per Γ funkcio) estas



 Rilato al la zeta funkcio 
γ povas ankaŭ esti esprimita kiel malfinia sumo (serio) kies termoj enhavas la rimanan zetan funkcion je pozitivaj entjeroj:





Alia serio rilatanta al la zeta funkcio:







La eraro termo en la lasta ekvacio estas rapide malkreskanta funkcio de n. Tiel la formulo konvenas por kalkulado de la konstanto kun alta precizeco.

Alia estas la malsimetria limigo (Sondow, 1998):



kaj





Proksime rilatanta al ĉi tiu estas la racionala zeta seria esprimo:



kie  estas la zeta funkcio de Hurwitz;
 Hn estas la n-a harmona nombro.

Elvolvado de iuj termoj en la zeta funkcio de Hurwitz rezultiĝas:

 , kie 

 Integraloj 
γ rezultiĝas kiel valoro de difinitaj integraloj:









Difinitaj integraloj en kiuj γ estas inkluzivata estas:





γ rezultiĝas kiel valoro de kelkaj de duopa integralo (Sondow 2003, 2005) kun ekvivalenta serio:



Interesa komparo (J. Sondow 2005) estas la duopa integralo kaj alterna serio



Tiel  povas esti konsiderata kiel alterna eŭlera konstanto.

La du konstantoj estas ankaŭ rilatantaj per du serioj (vidi _Sondow_ 2005 #2)





kie N0(n) kaj N1(n) estas la kvanto de ciferoj "0" kaj "1", respektive, en la duuma prezento de n.

 Serioj 
γ rezultiĝas kiel valoro de malfiniaj serioj:



La serio por γ estas ekvivalenta al serio de Nielsen (trovita en 1897):

.

En 1910, Vacca trovitis similan serion:



kie log2 estas la logaritmo kun bazo 2 kaj  estas la planka funkcio.

En 1926, Vacca trovis serion:



aŭ



(Krämer, 2005)

Serio de Vacca povas esti ricevita de integralo de Catalan de 1875 (Sondow kaj Zudilin):



 Ĉenfrakcia elvolvaĵo 
La ĉenfrakcio elvolvaĵo de γ estas:

 γ = [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, 1, 11, 3, 7, 1, 7, 1, 1, 5, 1, 49, 4, 1, 65, 1, 4, 7, 11, 1, 399, 2, ...]

Tiel



La ĉenfrakcia elvolvaĵo de γ enhavas almenaŭ 470000 erojn.

 Asimptotaj elvolvaĵoj 
Estas jenaj asimptotaj formuloj por γ:


(Eŭlero)


(Negoi)


(Cesaro)

kie Hn estas la n-a harmona nombro.

La tria formulo estas ankaŭ nomita kiel la elvolvaĵo de Ramanujan.

 e en potenco γ 
Bazo de natura logaritmo e en potenco γ, la nombro eγ≈1,78107241799019798523650410310717954916964521430343... estas grava en nombroteorio. Iam ĝi estas skribata kiel γ' .

eγ egalas al jena limigo, kie pn estas la n-a primo:



Aliaj malfiniaj produtoj rilatantaj al eγ, kiuj rezultiĝas de la G-funkcio de Barnes:





Ankaŭ:



kie la n-a faktoro estas la (n+1)-a radiko de



Ĉi tiu malfinia produto, unue esplorita de Ser en 1926, estis reesplorita per Sondow (2003) uzante supergeometriajn funkciojn.

 Ĝeneraligoj 
Eŭleraj ĝeneraligitaj konstantoj estas



por 0 < α < 1, kaj estas γ la okazo de α=1. Ĉi tiu povas esti plui ĝeneraligita al



por ajna malkreskanta funkcio f. Se



rezultiĝas konstantoj de Stieltjes, kaj



donas konstantojn



kie denove aperas la limigo



La du-dimensia limiga ĝeneraligo estas la konstanto de Masser-Gramain.

 Sciataj ciferoj 
Eŭlero komence kalkulis la valoron kun 6 dekumaj ciferoj. En 1781, li kalkulis ĝin kun 16 dekumaj ciferoj. Mascheroni provis kalkuli kun 32 dekumaj ciferoj, sed faris erarojn en la 20...22-aj ciferoj. (startanta de la 20-a cifero, lia rezulto estas 1811209008239 la korekta valoro estas 0651209008240.)

Poste pli rapidaj komputiloj kaj algoritmoj permesis kalkuli la nombron kun pli multaj ciferoj de precizeco.Gourdon, X., Sebah, P; La eŭlera konstanto γ

 Dato  Kvanto de sciataj ciferoj  Kalkulado de 1734  5  Leonhard Euler 1736  15  Leonhard Euler 1790  19  Lorenzo Mascheroni 1809  24  Johann Georg von Soldner 1812  40  F.B.G. Nicolai 1861  41  Oettinger 1869  59  William Shanks 1871  110  William Shanks 1878  263  John Couch Adams 1962  1271  Donald E. Knuth 1962  3566  D.W. Sweeney 1977  20700  Richard P. Brent 1980  30100  Richard P. Brent kaj Edwin M. McMillan 1993  172000  Jonathan Borwein 1997  1000000  Thomas Papanikolaou Decembro 1998  7286255  Xavier Gourdon Oktobro 1999  108 000 000  Xavier Gourdon & Patrick Demichel 16-a de julio de 2006  2 000 000 000  Shigeru Kondo  8-a de decembro, 2006  116 580 041  Aleksander J. Yee  15-a de julio, 2007  5 000 000 000  Shigeru Kondo (pretendis) Pretendo farita en TTT-ejo de Shigeru Kondo 1-a de januaro, 2008  1 001 262 777  Richard B. Kreckel (pretendis) Pretendo farita en Paĝo de Richard B. Kreckel en TTT-ejo de GiNaC 3-a de januaro, 2008  131 151 000  Nicholas D. Farrer (pretendis) 

 Eksteraj ligiloj 

  - γ
  - ĉenfrakcia elvolvaĵo de γ

  γ derivata kiel sumoj de rimana zeta funkcio.
 Jonathan Sondow (1998)   Malsimetria formulo por eŭlera konstanto Matematika Revuo 71: 219-220.
 Jonathan Sondow (2002)  Supergeometria proksimiĝo tra lineara formoj engaĝante logaritmojn al neracionalecaj kriterioj por eŭlera konstanto. Kun apendico de Sergey Zlobin 
 Jonathan Sondow (2003)  Malfinio produto por eγ tra supergeometriaj formuloj por eŭlera konstanto γ
 Jonathan Sondow (2003a)  Kriterioj por neracionaleco de Eŭlera konstanto. Paperoj de la Amerika Matematika Socio 131: 3335-3344.
 Jonathan Sondow (2005) " Duopaj integraloj por Eŭlera konstanto kaj ln 4/π kaj analoga de _Hadjicostas_'s formulo. Amerika Matematika Monate 112: 61-65.
 Jonathan Sondow (2005)  Nova Vacca-speca racionala serio por Eŭlera konstanto kaj ĝia alterna analogo ln 4/π Jonathan Sondow kaj Wadim Zudilin,  Eŭlera konstanto, q-logaritmoj, kaj formuloj de ramanujan kaj Gosper. Ramanujan J. (al aperi).
 Gourdon, Xavier kaj Sebah, P. (2002)  Kolekto de formuloj por eŭlera konstanto γ
 Gourdon, Xavier kaj Sebah, P (2004)  La eŭlera konstanto γ.
   Konstanto de Eŭlero-Mascheroni en Biblioteko de Mathcad.
 Krämer, Stefan   Eŭlera konstanto γ=0,577...'', ĝia matematiko kaj historio
 Jonathan Sondow 

Kategorio:Matematikaj konstantoj
Kategorio:Nesolvitaj problemoj en matematiko
Kategorio:Leonhard Euler