Sternaĵo de Whitehead

En matematiko, la sternaĵo de Whitehead estas malfermita 3-sternaĵo kiu estas punktigebla sed ne homeomorfa al R3.

Punktigebla sternaĵo estas tiu kiu povas esti kontinue malpligrandigita al punkto en la sternaĵo mem. Ekzemple, malfermita pilko estas punktigebla sternaĵo. Ankaŭ ĉiuj sternaĵoj homeomorfaj al la pilko estas punktigeblaj. Oni povas demandi ĉu ĉiuj punktigeblaj sternaĵoj estas homeomorfa al pilko. Por dimensioj 1 kaj 2, la respondo estas klasika kaj ĝi estas "jes". En dimensio 2, ĝi sekvas, ekzemple, el la rimana surĵeta teoremo. La sternaĵo de Whitehead estas la kontraŭekzemplo en dimensio 3.

Henry Whitehead esplorita ĉi tiu enigman sternaĵon dum kiam li penis pruvi la konjekton de Poincaré.

 Konstruado 
Prenu kopion de tri-dimensia sfero S3. Nun trovu kompaktan malnoditan solidan toron T1 en la sfero (solida toro estas ordinara tri-dimensia benjeto, kio estas plenigita en la toro, solida toro estas topologie produto de cirklo kaj disko.) La komplemento de la solida toro ene S3 estas la alia solida toro.

Nun prenu la duan solidan toron T2 ene de T1 tiel ke T2 kaj tuba najbaraĵo de la meridiana kurbo de T1 estas dikigita ligo de Whitehead.

Notu, ke T2 estas nule homotopa en la komplemento de la meridiano de T1. Ĉi tiu povas vidiĝi per konsidero de S3 kiel R3 ∪ ∞ kaj de la meridiana kurbo kiel la z-akso ∪ ∞. T2 havas nulan bobenan nombron ĉirkaŭ la z-akso. De ĉi tio la necesa nula homotopeco sekvas. Pro tio ke la ligo de Whitehead estas simetria, kio estas homeomorfa de la 3-sferaj vergaj komponantoj, la meridiano de T1 estas ankaŭ nule homotopa en la komplemento de T2.

Nun prenu la trian solidan toron T3 ene de T2 en la sama vojo kiel T2 kuŝas en T1, kaj tiel plu al malfinio. Estu W la kontinuaĵo de Whitehead, T∞, aŭ pli detale la komunaĵo de ĉiu Tk por k = 1, 2, 3,….

La sternaĵo de Whitehead estas difinita kiel X=S3\W kiu estas ne-kompakta sternaĵo sen rando. El la antaŭa observado, la teoremo de Hurewicz kaj teoremo de Whitehead pri homotopeca ekvivalento sekvas ke X estas punktigebla.

Pluaj studoj enhavas rezulton de Morton Brown ke X × R ≅ R4, tamen X estas ne homeomorfa al R3. La kaŭzo estas ke ĝi estas ne simple koneksa je malfinio.

Unu punkta kompaktigo de X estas la spaco S3/W (kun W al punkto). Ĝi estas ne sternaĵo. Tamen (R3/W)×R estas homeomorfa al R4.

 Rilataj spacoj 
Pliaj ekzemploj de malfermitaj punktigeblaj 3-sternaĵoj povas esti konstruita per procedo en simila maniero) kaj preno de malsamaj enigoj de Ti+1 en Ti en la ripeta procezo. Ĉiu enigo devus esti malnodita solida toro en la 3-sfero. La esencaj propraĵoj estas ke la meridiano de Ti devas esti nule homotopa en la komplemento de Ti+1, kaj aldone la meridiano de Ti+1 devas ne esti nule homotopa en Ti - Ti+1.

Alia variado estas je preno de kelkaj subtoroj je ĉiu paŝo anstataŭ de nur unu. La konusoj super iu de ĉi tiuj spacoj aperas kiel la komplementoj de ansoj de Casson en 4-pilko.

Kategorio:Geometria topologio
Kategorio:3-sternaĵoj