Teoremo de Bézout

En algebra geometrio, teoremo de Bézout koncernas kvanton de intersekcoj, aŭ komunaĵaj punktoj, de du ebenaj algebraj kurboj.

La teoremo asertas ke la kvanto de komunaĵaj punktoj de du algebraj kurboj X kaj Y egalas al produto de gradoj de polinomoj kiuj ilin difinas. Ĉi tiu frazo devas esti kompetente skribita je kelkaj gravaj flankoj, per konsidero de punktoj je malfinio, permeso de kompleksaj koordinatoj (aŭ pli ĝenerale, koordinatoj de la tegaĵo de la baza kampo), asignado de konvenaj intersekcaj nombroj (oblecoj) al ĉiu intersekca punkto, kaj malinkluzivado de degeneraj okazo kiam X kaj Y havas komunan komponenton. Se ambaŭ X kaj Y estas difinitaj per malsamaj neredukteblaj polinomoj, ili ne havas komunan komponenton. Ĝenerala (ne specifa) paro de kurboj ne havas komunan komponenton.

Pli simpla formulaĵo estas ke se X kaj Y estas ambaŭ reelaj aŭ kompleksaj neredukteblaj kurboj, X havas gradon m kaj Y havas gradon n tiam la kvanto de iliaj intersekcaj punktoj estas ne pli granda ol mn.

 Rigora frazo 

Estu X kaj Y du ebenaj projekciaj kurboj difinitaj super kampo F kiuj ne havi komunan komponenton. Tiam la tuteca kvanto de intersekcaj punktoj de X kaj Y kun koordinatoj en algebre fermita kampo E enhavanta F, kalkulitaj kun iliaj intersekcaj nombroj (oblecoj), egalas al produto de la gradoj de X kaj Y.

 Historio 

Iuj specialaj okazoj de la teoremo estis sciataj jam en la 17-a jarcento, aparte okazo de rektoj, konikoj, kaj ebenaj kubaj kurboj. La teoremo estis publikigita en 1776 en Théorie générale des équations algébriques de Étienne Bézout. Li tiam ne havis modernan algebran notacion por ekvacioj de kelkaj variabloj kaj donis pruvon bazitan sur pezaj algebraj esprimoj. De la moderna vidpunkto, rezonado de Bézout estas iom heŭristika, ĉar li ne formulis la precizajn kondiĉojn por la teoremo. Tiel iuj aŭtoroj skribas ke lia pruvo estas nekorekta, kaj tiel ne estas la unua pruvo de la teoremo.

 Intersekca obleco 

La plej delikata parto de la teoremo kaj ĝia ĝeneraligo al okazo de k algebraj hipersurfacoj en k-dimensia projekcia spaco estas la proceduro de asignado de pozitivaj intersekcaj oblecoj. Se P estas komuna punkto de du ebenaj algebraj kurboj X kaj Y kiu estas ne-singulara punkto de ambaŭ de ili kaj ankaŭ la tanĝantoj al X kaj Y je P estas malsamaj tiam la intersekca obleco egalas al 1. Ĉi tio respektivas al okazo de simpla intersekco. Se la kurboj X kaj Y havas komunan tanĝanton je P tiam la obleco estas minimume 2. Vidu en intersekca nombro por la ĝenerala difino.

 Ekzemploj 

Du malsamaj ne paralelaj rektoj intersekciĝas je akurate unu punkto. Du paraleloj paralelaj rektoj intersekciĝas je unika punkto kiu kuŝas je malfinio. Por vidi kiel ĉi tio laboras algebre, en projekcia spaco, la linioj x+2y=6 kaj x+2y=4 estas prezentita per la homogenaj ekvacioj x+2y-6z=0 kaj x+2y-4z=0. Solvante ilin kune rezultiĝas x=-2y kaj z=0, kio respektivas al punkto (-2: 1: 0) en homogenaj koordinatoj. Ĉar la z-koordinato estas 0, ĉi tiu punkto kuŝas sur la linio je malfinio.

La speciala okazo kiam unu el la kurboj estas rekto povas esti derivita de la fundamenta teoremo de algebro. En ĉi tiu okazo, la teoremo statas ke algebra kurbo de grado n sekcas donitan rekton en n punktoj, kalkulante ilin kun la oblecoj. Ekzemple, la (parabolo (matematiko), parabolo) difinis per y - x2 = 0 havas grado 2; la linio y − ax = 0 havas grado 1, kaj ili verigi en akurate du punktoj kiam a ≠ 0 kaj (tuŝo, tuŝi) je la fonto (sekci kun obleco du) kiam a = 0.

 Konikoj 

Du konikoj ĝenerale intersekciĝas je kvar punktoj, iuj el kiuj povas koincidi. Por plene kalkuli ĉiujn intersekcaj punktoj, povas esti necese permesi kompleksajn koordinatojn kaj inkluzivi punktoj sur la linio je malfinio en la projekcia ebeno.

Du cirkloj neniam intersekciĝas en pli ol du punktoj en la reela ebeno, sed la teoremo de Bézout antaŭdiras kvar punktojn. La malkoincido estas de tio ke ĉiuj cirklaj pasas tra la sama du kompleksaj punktoj sur la linio je malfinio. Cirklo donita per

 (x-a)2+(y-b)2 = r2

en homogenaj koordinatoj havas ekvacion

 (x-az)2+(y-bz)2 - r2z2 = 0

de kio videblas ke du punktoj (1: i: 0) kaj (1: -i: 0) kuŝas sur ĉiu cirklo.

Se du cirkloj nenie ajn intersekciĝas en la reela ebeno, kio estas se ili kuŝas tute aparte aŭ unu plene en la alia, ili intersekciĝas je ĉi tiuj du kompleksaj punktoj sur la linio je malfinio kaj en la aliaj du kompleksaj punktoj ne je malfinio.

Se du cirkloj tuŝas unu la alian en la reela ebeno, ĉi tiu punkto de tuŝo estas punkto de tanĝanteco kaj pro tio havas la oblecon 2.

Jenaj bildoj montras ekzemplojn en kiuj cirklo x2+y2-1=0 intersekciĝas kun elipso en malpli ol 4 punktoj ĉar iuj el la punktoj havas oblecojn pli grandaj ol 1:

 195x195px  x2+4y2-1=0  Du punktoj kun obleco 2 195x195px  5x2+6xy+5y2+6y-5=0  Punkto kun obleco 1 kaj punkto kun obleco 3 195x195px  4x2+y2+6x+2=0  Punkto kun obleco 4

Ĉiu koniko intersekciĝas je du punktoj kun la linio je malfinio laŭ la teoremo. Hiperbolo intersekciĝas kun ĝi je du realaj punktoj respektivaj al la du direktoj de la asimptotoj. Elipso intersekciĝas kun ĝi je du kompleksaj punktoj kiu estas konjugitaj unu al la alia; ĉe cirklo, la punktoj estas (1: i: 0) kaj (1: -i: 0) (vidu pli supre). Parabolo intersekciĝas kun ĝi je nur unu punkto, sed ĝi estas punkto de tanĝanteco kaj pro tio havas la oblecon 2.

 Eksteraj ligiloj 
 Teoremo de Bézout je MathPages

Kategorio:Algebraj kurboj
Kategorio:Eŭklida ebena geometrio
Kategorio:Algebra geometrio
Kategorio:Komunaĵa teorio
Kategorio:Matematikaj teoremoj