Duvalenta rilato

En matematiko, duvalenta rilato aŭ duargumenta rilato aŭ 2-argumenta rilato estas ajna asocio inter du elementoj de aro, aŭ de elemento de unu aro kun elemento de alia aro.

Duargumenta rilato estas speciala kazo de n-opa (n-valenta) rilato por n=2.

 Ekzemploj 

Du gravaj klasoj de duargumentaj rilatoj estas ekvivalentrilatoj kaj ordoj, vidu sube pli detale.

Ekzemploj de duargumentaj rilatoj:

 Ordoj:
 "pli granda ol"
 "malpli granda ol"
 "pli granda ol aŭ egala al"
 "malpli granda ol aŭ egala al"
 "dividas" (inter du naturaj nombroj)
 "subaro de"
 Ekvivalentrilatoj:
 Egaleco
 Izomorfio
 "paralela al" (en geometrio)
 "kongrua al" (en geometrio)
 "en reciproke unuvalora rilato kun"
 Aliaj:
 "najbara al" (por du verticoj de iu donita grafeo)

Duvalentaj rilatoj estas uzataj ankaŭ en komputado, speciale en datumbazoj bazitaj sur la t.n. rilata modelo, t.e. sur rilatoj.

 Difino 

Duargumenta rilato R estas kutime difinata kiel ordigita triopo (X, Y, G) kie X kaj Y estas ajnaj aroj (aŭ klasoj), kaj G estas subaro de la cilindro (algebro) X × Y. La aroj X kaj Y estas la argumentaro) kaj cela aro respektive, de la rilato, kaj G estas la grafikaĵo.

Se x ∈ X kaj y ∈ Y, frazo (x, y) ∈ R signifas ke x estas R-rilatanta al y, kaj estas skribata kiel xRy aŭ R(x, y). La lasta notacio respektivas al konsidero de R kiel la nadla funkcio (karakteriza funkcio) de la aro de paroj G.

La ordo de la elementojoj en ĉiu paro de G povas esti grava, se a ≠ b, do ĉiu el aRb kaj bRa povas esti vera aŭ malvera, ĝenerale sendepende unu de la alia.

Laŭ la difino pli supre, du rilatoj kun la sama grafikaĵo povas diferenci, se ili diferenci en la aroj X kaj Y. Ekzemple, se G = {(4, 8), (2, 2), (9, 1)}, do (Z,Z, G), (R, Z, G), (Z, R, G), (R, R, G) estas malsamaj rilatoj.

Iam oni ne konsideras la arojn X kaj Y kiel partoj de la rilato, kaj pro tio difinas duargumentan rilaton kiel nur G. Laŭ ĉi tiu varianto de la difino, la aro de paroj {(4, 8), (2, 2), (9, 1)} estas rilato de ĉiu paro de aroj, tia ke la unua enhavas erojn 2, 4, 9 kaj la dua enhavas erojn 1, 2, 8.

En iuj sistemoj de aksioma aroteorio, rilatoj estas etenditaj al klasoj, kiu estas ĝeneraligoj de aroj. Ĉi tiu vastigaĵo estas bezonata por, interalie, modeligo de konceptoj de "estas ero de" aŭ "estas subaro de" en aroteorio.

La koncepto de funkcio estas difinita kiel speciala speco de duargumenta rilato. Tamen, en sia vico, rilato povas esti konsiderata kiel du-argumenta funkcio, valoro de kiu estas "malvero" aŭ "vero".

 Specoj de duargumentaj rilatoj 

Iuj klasoj de duargumentaj rilatoj R super X kaj Y estas:

 Nomo  Difino Maldekstre ĉiea aŭ totala  Por ĉiuj x en X ekzistas y en Y tia ke xRy (ĉi tiu eco, kvankam estas fojfoje ankaŭ nomata tuteca, estas malsama, ol la difino de tuteca en la sekva sekcio). Surĵeto aŭ dekstre ĉiea  Por ĉiuj y en Y ekzistas x en X tia ke xRy. Funkcio aŭ parta funkcio aŭ dekstre unika rilato  Por ĉiuj x en X, y en Y kaj z en Y, se xRy kaj xRz do y=z. Ĉie difinita funkcio Maldekstre ĉiea funkcia rilato. Disĵeto aŭ maldekstre unika  Por ĉiuj x en X, z en X kaj y en Y, se xRy kaj zRy do x=z. Dissurĵeto  Dekstre ĉiea disĵeta funkcia rilato. Inversigebla funkcio aŭ reciproke unuvalora rilato  Maldekstre kaj dekstre ĉiea disĵeta funkcia rilato.

 Duargumentaj rilatoj super unu aro 

Se X=Y do la duargumenta rilato estas super X.

Iuj klasoj de duargumentaj rilatoj R super unu aro X estas:

 Nomo  Difino  Ekzemplo Refleksiva rilato  Por ĉiu x en X, veras xRx.  "pli granda ol aŭ egala al" estas refleksiva rilato sed "pli granda ol" ne estas refleksiva rilato. Malrefleksiva rilato  Por ĉiu x en X, veras ne xRx.  "pli granda ol" estas ekzemplo de malrefleksiva rilato. Kunrefleksiva rilato  Por ĉiuj x kaj y en X, se xRy do x=y.  Simetria rilato  Por ĉiuj x kaj y en X, se xRy do yRx.  "same racionala aŭ malracionala" estas simetria rilato, ĉar se x estas same racionala aŭ malracionala kiel y se kaj nur se y estas same racionala aŭ malracionala kiel x. Antisimetria rilato  Por ĉiuj x kaj y en X, se xRy kaj yRx do x=y.  "pli granda ol aŭ egala al" estas antisimetria rilato, ĉar se x≥y kaj y≥x, do x=y. Malsimetria rilato  Por ĉiuj x kaj y en X, se xRy do ne yRx.  "pli granda ol" estas malsimetria rilato, ĉar se x>y do ne y>x. Trivarianta rilato  Por ĉiuj x kaj y en X, validas precize unu el xRy, yRx, x=y.  "pli granda ol" estas ekzemplo de trivarianta rilato. Transitiva rilato  Por ĉiuj x, y kaj z en X, se xRy kaj yRz do xRz.  "pli granda ol" estas transitiva rilato, ĉar se x>y kaj y>z do x>z. Tuteca rilato aŭ lineara rilato  Por ĉiuj x kaj y en X, veras xRy aŭ yRx (aŭ ambaŭ) (ĉi tiu difino por tuteca estas malsama de la maldekstre-tuteca kaj dekstre-tuteca de la antaŭa sekcio).  "pli granda ol aŭ egala al" estas ekzemplo de tuteca rilato. Etendebla rilato aŭ seriaĵo  Por ĉiuj x en X, ekzistas y en X tia ke xRy.  "pli granda ol" estas etendebla rilato sur la entjeroj. Sed ĝi estas ne etendebla rilato sur la pozitivaj entjeroj, ĉar ne ekzistas y en la aro de pozitivaj entjeroj tia ke 1>y. Eŭklida rilato  Por ĉiuj x, y kaj z en X, se xRy kaj xRz, do yRz.  Aroeca rilato  Por ĉiu x en X, la klaso de ĉiuj y tiaj ke yRx estas aro. Ĉi tio havas sencon nur se permesi rilatojn sur pozitivaj klasoj.  La kutima ordo < sur la klaso de numeroj estas aroeca, sed ĝia inverso <−1 ne estas aroeca.

Rilato kiu estas refleksiva, simetria kaj transitiva estas ekvivalentrilato. Rilato kiu estas refleksiva, antisimetria kaj transitiva estas parta ordo. Parta ordo, kiu estas tuteca, estas tuteca ordo aŭ linia ordo aŭ ĉeno. Linia ordo, en kiu ĉiu nemalplena subaro havas la plej malgrandan elementon, estas bona ordo.

Rilato kiu estas simetria, transitiva kaj etendebla estas ankaŭ refleksiva.

 Operacioj je duargumentaj rilatoj 

Se R estas duargumenta rilato super X kaj Y, do

 Nomo  Difino  Ekzemplo Inversa rilato R−1  Duargumenta rilato super Y kaj X, difinita kiel R−1 = { (y, x) | (x, y) ∈ R }.  "malpli granda ol aŭ egala al" estas inverso de "pli granda ol aŭ egala al", ĉar a≤b se kaj nur se b≥a. Komplemento RC  xRCy se kaj nur se ne xRy.  a<b estas komplemento de a≥b.

Komplemento de komplemento estas la fonta rilato, (RC)C=R. Ankaŭ inverso de inverso estas la fonta rilato, (R−1)−1=R.

Duargumenta rilato super unu aro estas egala al sia inverso se kaj nur se ĝi estas simetria.

Komplemento de la inverso estas inverso de la komplemento, (R−1)C=(RC)−1.

Se X=Y la komplemento havas propraĵojn:

 Se rilato estas simetria, la komplemento estas simetria.
 La komplemento de refleksiva rilato estas malrefleksiva rilato. La komplemento de malrefleksiva rilato estas refleksiva rilato.
 La komplemento de strikte malforta ordo estas tuteca antaŭordo. La komplemento de tuteca antaŭordo estas strikte malforta ordo.

Se R estas duargumenta rilato super X do estas duargumentaj rilatoj super X:

 Nomo  Difino  Ekzemplo Refleksiva fermaĵo R=  R= = {(x, x) | x ∈ X} ∪ R, aŭ la plej malgranda refleksiva rilato super X enhavanta na R. Ĝi estas komunaĵo de ĉiuj refleksivaj rilatoj enhavantaj na R.  "pli granda ol aŭ egala al" estas refleksiva fermaĵo de "pli granda ol". Refleksiva malpligrandiĝo R≠  R≠ = R \ {(x, x) | x ∈ X} aŭ la plej granda nerefleksiva rilato super X enhavata en R.  "pli granda ol" estas refleksiva malpligrandiĝo de "pli granda ol aŭ egala al". Transitiva fermaĵo R+  La plej malgranda transitiva rilato super X enhavanta na R. Ĝi estas komunaĵo de ĉiuj transitivaj rilatoj enhavanta na R.  Transitiva malpligrandiĝo R−  La plej malgranda rilato havanta la saman transitivan fermaĵon kiel R.  Transitiva-refleksiva fermaĵo R*  R* = (R+)=. 

Se R, S estas duargumentaj rilatoj super X kaj Y do estas duargumentaj rilatoj:

 Nomo  Difino  Ekzemplo Unio R ∪ S ⊆ X × Y  R ∪ S = {(x, y) | (x, y) ∈ R aŭ (x, y) ∈ S}  a≠b estas unio de a<b kaj a>b Komunaĵo R ∩ S ⊆ X × Y  R ∩ S = { (x, y) | (x, y) ∈ R kaj (x, y) ∈ S }  a=b estas unio de a≤b kaj a≥b

Se R estas duargumenta rilato super X kaj Y, kaj S estas duargumenta rilato super Y kaj Z, do estas duargumenta rilato super X kaj Z:

 Komponaĵo de rilatoj S o R (ankaŭ iam skribata kiel R o S), difinita kiel S o R = { (x, z) | ekzistas y ∈ Y, tia ke (x, y) ∈ R kaj (y, z) ∈ S }. La ordo de R kaj S en la skribmaniero S o R uzata ĉi tie kongruas kun la ordo en kutima skribmaniero por komponaĵo de funkcioj.

 Limigo 

La limigo de duargumenta rilato sur aro X al subaro S estas la aro de ĉiuj paroj (x, y) en la rilato por kiu ambaŭ x kaj y estas en S.

Se rilato estas refleksiva rilato, malrefleksiva rilato, simetria rilato, antisimetria rilato, malsimetria rilato, transitiva rilato, tuteca rilato, trivarianta rilato, parta ordo, tuteca ordo, strikta malforta ordo, tuteca antaŭordo, malforta ordo, aŭ ekvivalentrilato, ĝiaj limigoj estas (ankaŭ, tro).

Tamen, la transitiva fermo de limigo estas subaro de la limigo de la transita fermo, kiu estas ĝenerale ne la samo.

Ankaŭ, konceptoj de pleneco ne konserviĝas je la limigo. Ekzemple, sur la aro de reela nombra propraĵo de la rilato "malpli granda ol aŭ egala al" estas ke ĉiu nemalplena subaro Q de R kun supera baro en R havas precizan supran randon en R'''. Tamen, se la subaro S estas aro de racionalaj nombroj, ĉi tiu preciza supra rando ne nepre estas en S (ne nepre estas racionala nombro), tiel la propraĵo ne veras.

 Kvanto de duargumentaj rilatoj 

Kvanto de malsamaj duargumentaj rilatoj sur n-era aro estas 2n2.

  Kvanto de rilatojn  Ĉiuj  Transitivaj Refleksivaj  Antaŭordoj  Partaj ordoj  Tutecaj antaŭordoj  Tutecaj ordoj  Ekvivalentrilatoj011111111122111111216134433223512171642919136546553639944096355219752415

 Kvanto de malsamaj refleksivaj rilatoj estas la sama kiel tiu de malrefleksivaj rilatoj.
 Kvanto de malsamaj ekvivalentrilatoj estas la kvanto de dispartigoj, kiu estas la sonorila nombro.
 Kvanto de malsamaj severe partaj ordoj estas la sama kiel tiu de partaj ordoj
 Kvanto de malsamaj strikte malfortaj ordoj estas la sama kiel tiu de tutecaj antaŭordoj
 La tutecaj ordoj estas la partaj ordoj kiu estas ankaŭ tutecaj antaŭordoj. Kvanto de malsamaj antaŭordoj kiuj estas nek partaj ordoj nek tutecaj antaŭordoj estas pro tio la kvanto de antaŭordoj minus la kvanto de partaj ordoj minus la kvanto de tutecaj antaŭordoj plus la kvanto de tutecaj ordoj: 0, 0, 0, 3, kaj 85, respektive.

La duargumentaj rilatoj povas esti grupitaj en parojn - fonta rilato, komplemento, escepti de okazo kun n=0, ĉe kiu la rilato estas sia komplemento. La nesimetriaj rilatoj povas esti grupitaj en kvaropojn - fonta rilato, komplemento, inverso, komplemento de inverso.

 Pozitivaj klasoj 

Certaj rilatoj -- ekzemple, "egala al", "membro de", kaj "subaro de" -- ne povas esti komprenitaj kiel duargumentaj rilatoj laŭ la ĉi-supra difino, ĉar iliaj fontoj kaj celoj ne povas esti konsiderataj kiel aroj en la kutimaj sistemoj de aksioma aroteorio.

Por ĝenerala koncepto de egaleco kiel duargumenta rilato, oni devas preni ke la domajno kaj la celo-aro estu aro de ĉiuj aroj, kiu ne ekzistas en la kutima aroteorio. La kutima maniero de ĉirkaŭirado de la problemo estas preni sufiĉe grandan aron A, kiu enhavas ĉiujn objektojn de intereso, kaj labori kun la limigo de konsiderataj objektoj nur de A, tiel konsideri egalecon =A anstataŭ ĝenerala egaleco =.

Simile, domajno kaj celo-aro de rilato "subaro de"  devas esti limigita al P(A), aro de ĉiuj subaroj de specifa la aro A: la rezultanta ara rilato estas skribata kiel .

Ĉe rilato "membro de" domajno estas limigata al A kaj celo-aro al P(A), tiel estas konsiderata rilato .

Alia solvaĵo al ĉi tiu problemo estas uzo de aroteorio kun pozitivaj klasoj, kiu permesas al la fonta kaj cela aroj esti pozitivaj klasoj. En ĉi tia teorio, egaleco, aneco, kaj subareco estas duargumentaj rilatoj sen specialaj komentoj. Tamen ŝanĝo devas esti farita en la koncepto de ordigita triopo (X, Y, G)'', ĉar normale pozitiva klaso ne povas esti membro de ordigita opo.

 Vidu ankaŭ 

 Rilato (matematiko)
 Ordo (matematiko)
 Ordoteorio
 Ekvivalentrilato
 Ekvivalentoklaso
 Logiko de relativoj
 Rilata algebro
 Falsa interrilato

 Eksteraj ligiloj 
  - vico de kvantoj de malsamaj duargumentaj rilatoj