Ekzaktaj trigonometriaj konstantoj

En matematiko, ekzaktaj trigonometria konstantoj estas valoroj de trigonometriaj funkcioj por certaj argumentoj, kiuj povas esti ekzakte esprimitaj per algebraj operacioj kaj radikoj.

Ĉiuj valoroj de sinuso, kosinuso, kaj tangento de angulo obla de 3° estas ekzakte esprimebla.

 Kiel valoroj por sinuso kaj kosinuso povas esti kalkulitaj 
Ĝenerale estas multaj uzeblaj formuloj por sinuso kaj kosinuso de duona angulo kaj sumo kaj diferenco de anguloj (vidu en trigonometriaj funkcioj).

Ĉi tiu artikolo estas nekompleta en almenaŭ jenaj sencoj:

 Ĉiam eblas apliki duono-angula formulo kaj trovi akuratajn esprimojn por sinuso kaj kosinuso de duono de ĉiu angulo sur la listo pli sube.
 Triono-angulaj formuloj ekzistas, ili estas solvoj de formuloj por trioblaj anguloj kiel kubaj ekvacioj por sin θ kaj cos θ:
 : 
 : 
 : Notu, ke kuba radiko ne estas kalkulebla per cirkelo kaj liniilo, tiel la respektivaj plurlateroj povas esti ne konstrueblaj. Ankaŭ, kompleksaj nombroj povas aperi dum kalkulo de la valoroj, tamen la rezulto estas reela. Vidu sube la valorojn por 20°.
 Sinuso kaj kosinuso de ĉiuj anguloj kiuj aperaj en konstrueblaj plurlateroj estas esprimeblaj per nur kvadrataj radikoj, tiel sinuso kaj kosinuso de ankaŭ Π/17, Π/257 kaj Π/65537 povas esti akurate esprimitaj, kaj ankaŭ de Π/(5·17), Π/(3·17), Π/(5·257), Π/(17·257), Π/(5·65537), Π/(5·17·257), ktp; entjera faktorigo de la denominatoro devas konsisti nur el malsamaj primoj de Fermat. Ankaŭ estas esprimeblaj iliaj duonoj, trionoj, kvaronoj, sesonoj, okonoj, naŭonoj ktp kaj iliaj obloj, sumoj, diferencoj.
 Ankaŭ iuj la aliaj valoroj de sinuso kaj kosinuso povas esti kalkulitaj, inter ili tiuj de Π/7, Π/11, Π/13. Ĝenerale ĉi tiaj denominatoroj de la argumento igas aperon de polinomaj ekvacioj de grado 5 kaj pli granda, kiuj ĝenerale ne solveblas en radikaloj, tamen ĝuste por ĉi tiuj argumentoj la ekvacioj estas iel pli simplaj kaj solveblaj.

 La bagatelaj aĵoj 
La funkcioj por 0, 30, 45, 60 kaj 90 gradoj povas esti kalkulita de iliaj trianguloj, per teoremo de Pitagoro.

 n × Π/(5×2m) 
dekstra|eta|a/b = 1/φ

 Geometria maniero 
Aplikante ptolemean teoremon al la cikla kvarlatero ABCD difinita per kvar sinsekvaj verticoj de la regula kvinlatero, oni povas trovi ke:



kiu estas la inverso de la ora proporcio φ, kie crd estas la ĥorda funkcio:



tial



En alternativa varianto de pruvo, estu X la komunaĵo de AC kaj BD, tiam triangulo AXB estas izocela, tiel AX=AB=a. Trianguloj AXD kaj ĈB estas simila, ĉar AD estas paralelo al BC. Tiel XC=a(a/b). Sed AX+XC=AC, tiel a+a2/b=b. Solvo de ĉi tiu donas ke a/b=1/φ,
Simile



tial



 Algebra maniero 
La oblaj angulaj formuloj por funkcioj de 5x estas:




Se x estas 18, 36, 54, 72 aŭ 90 gradoj do 5x estas 90, 180, 270, 360 aŭ 450 gradoj respektive, sin 5x=0 aŭ cos 5x=0. Estu  aŭ  kaj solvi por y ekvacion



Unu solvaĵo estas nulo, kaj la rezultanta post divido de ambaŭ flankoj je y ekvacio de la 4-a grado povas esti solvita kiel kvadrata de .

Se sin 5x=1 aŭ cos 5x=1, la ekvacio estas



kiu faktoriĝas kiel

 .

 n × Π/60 
15° estas duono de 30°. 3° estas 18°-15°. Tiel per formuloj por duona angulo kaj subtraho de anguloj la valoroj por 3° estas kalkuleblaj. Por ĉiuj obloj de 3° la valoroj estas kalkuleblaj per adicio kaj subtraho de anguloj.

 Tangento kaj kotangento 
Tangento estas sinuso dividita per kosinuso, kaj kotangento estas kosinuso dividita per sinuso, aŭ 1 dividita per tangento. Poste la frakcion ofte eblas plisimpligi.

 Plisimpligo 
 Racionaligo la denominatoro 
 Se la denominatoro estas kvadrata radiko, multipliku la numeratoron kaj denominatoron per la radiko.
 Se la denominatoro estas sumo aŭ diferenco de du termoj, multipliku la numeratoron kaj denominatoron per la respektive diferenco aŭ sumo de la du termoj de la denominatoro.
 Povas esti bezonate fari ĉi tiuj paŝojn kelkfoje.

 Disdividi frakcion 
Iam helpas al fendi la frakcio en sumon de du frakcioj kaj tiam plisimpligi ilin aparte.

 Kvadratigo kun preno de kvadrata radiko 
Se estas komplika termo kun nur unu speco de radiko en ĝi povas helpi preni kvadratan radikon de ĝi kvadrato. Ĉi tiu povas lasi grandan radikon kun pli malgrandaj radikoj ene, sed ĝi estas ofte pli bona ol la originala esprimo.

 Plisimpligo de nestitaj radikaj esprimoj 

Ĝenerale nestitaj radikoj ne povas reduktiĝi.

Sed se por 

  estas racionala,

kaj ambaŭ

  kaj


estas racionalaj kun la adekvata elekto ĉe la kvar signoj, tiam



Ekzemplo:



 Trianguloj kaj plurlateroj 
eta|dekstra|Regula n-latera plurlatero por n=6 kaj ĝia fundamenta orta triangulo, angulo a=180°/n 

Fundamenta triangulo estas orta triangulo farita de simetriaj sekcioj de regula plurlatero. Ĉi tia orta triangulo prezentas tri punktoj en regula plurlatero: vertico, centro de latero, kaj centro de plurlatero. n-latero povas esti dividita en 2n ortajn triangulojn kun anguloj {180/n, 90−180/n, 90} gradoj, por entjera n=3, 4, 5, ... .

 Regulaj konstrueblaj plurlateroj (n=0, 1, 2, 3, ...)
 3×2n-lateroj
 30°-60°-90° triangulo: triangulo (3-latero)
 60°-30°-90° triangulo: seslatero (6-latero)
 75°-15°-90° triangulo: dekdulatero (12-latero)
 82,5°-7,5°-90° triangulo: 24-latero
 86,25°-3,75°-90° triangulo: 48-latero
 ...
 4×2n-lateroj
 45°-45°-90° triangulo: kvadrato (4-latero)
 67,5°-22,5°-90° triangulo: oklatero (8-latero)
 78,75°-11,25°-90° triangulo: 16-latero
 ...
 5×2n-lateroj
 54°-36°-90° triangulo: kvinlatero (5-latero)
 72°-18°-90° triangulo: deklatero (10-latero)
 81°-9°-90° triangulo: 20-latero
 85,5°-4,5°-90° triangulo: 40-latero
 87,75°-2,25°-90° triangulo: 80-latero
 ...
 15×2n-latero
 78°-12°-90° triangulo: 15-latero
 84°-6°-90° triangulo: 30-latero
 87°-3°-90° triangulo: 60-latero
 88,5°-1,5°-90° triangulo: 120-latero
 89,25°-0,75°-90° triangulo: 240-latero
 Pli altaj konstrueblaj regulaj plurlateroj (17, 51, 85, 255, 257...) ne havas entjerajn gradajn angulojn
 Regulaj nekonstrueblaj plurlateroj - finiaj esprimoj kun nur kvadrataj radikoj ne eblas (n=0, 1, 2, 3, ...)
 9×2n-latero
 70°-20°-90° triangulo: naŭlatero (9-latero)
 80°-10°-90° triangulo: 18-latero
 85°-5°-90° triangulo: 36-latero
 87,5°-2,5°-90° triangulo: 72-latero
 ...
 45×2n-latero
 86°-4°-90° triangulo: 45-latero
 88°-2°-90° triangulo: 90-latero
 89°-1°-90° triangulo: 180-latero
 89,5°-0,5°-90° triangulo: 360-latero
 ...

 Tabelo 
Valoroj ekster limigo [0°,45°] estas bagatele kalkuleblaj per formuloj por trigonometriaj funkcioj por koordinataj turnadoj kaj reflektoj.

 0°: fundamenta 



  estas nedifinita

 3°: 60-flanka plurlatero 





 6°: 30-flanka plurlatero 





 9°: 20-flanka plurlatero 





 Π/17: 17-flanka plurlatero 


 12°: 15-flanka plurlatero 





 15°: dekdulatero 





 18°: deklatero 





 20°: naŭlatero 





Kompleksaj nombroj aperas dum kalkulo de la valoroj, tamen la rezulto estas reela.

 21° 





 22,5°: oklatero 





 24° 





 27° 





 30°: seslatero 





 33° 





 36°: kvinlatero 





 39° 





 42° 





 45°: kvadrato 





 60°: egallatera triangulo 





 Vidu ankaŭ 
 Trigonometria funkcio
 Trigonometria idento
 Konstruebla plurlatero
 17-latero
 Trigonometria nombro

 Eksteraj ligiloj 
 Konstrueblaj regulaj plurlateroj


 Π/3 (60°) — Π/6 (30°) — Π/12 (15°) — Π/24 (7.5°)
 Π/4 (45°) — Π/8 (22.5°) — Π/16 (11.25°) — Π/32 (6.625°)
 Π/5 (36°) — Π/10 (18°) — Π/20 (9°)
 Π/7 — Π/14
 Π/9 (20°) — Π/18 (10°)
 Π/11
 Π/13
 Π/15 (12°) — Π/30 (6°)
 Π/17
 Π/23

Kategorio:Trigonometrio
Kategorio:Algebraj nombroj