Primo de Sophie Germain

En nombroteorio, la primo de Sophie Germain estas primo p, se 2p+1 estas ankaŭ primo 2p+1 estas nomata kiel sekura primo. Ekzemple, 29 estas primo de Sophie Germain ĉar ĝi estas primo kaj 2 × 29 + 1 = 59 estas sekura primo.

Ĉi tiuj nombroj estas nomataj pro franca matematikisto Marie-Sophie Germain.

La unuaj primoj de Sophie Germain estas:

 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, ... .

Se p estas primo de Sophie Germain do 2p+1 estas nomata kiel sekura primo, ĉar ne ĉiuj (2p+1)-j estas primoj.

Ĉiu primo de Sophie Germain p>3 estas de formo 6k-1. La alia ebla formo de primo p>3 estas 6k+1, sed tiam 2p+1=12k+3 kiu dividiĝas per 3 kaj do ne estas primo, kaj do ĉi tia p ne estas primo de Sophie Germain.

La plej granda sciata primo de Sophie Germain estas 48047305725 × 2172403-1. Ĝi havas 51910 dekumajn ciferojn kaj estis trovita la 25-an de januaro 2007 . La antaŭa rekordo estis 137211941292195 × 2171960-1, kiu havas 51780 dekumajn ciferojn kaj estis trovita la 3-an de majo 2006 .

Estas konjekto ke estas malfinie multaj primoj de Sophie Germain, sed simile al la ĝemela prima konjekto, ĉi tiu konjekto ne estas pruvita.

Heŭristika pritakso de Godfrey Harold Hardy kaj J. E. Littlewood de kvanto de primoj de Sophie Germain malpli grandaj ol n estas 2C2 n / (ln n)2 kie C2 estas la ĝemela prima konstanto kiu estas proksimume 0,660161. Por n = 104, ĉi tio antaŭdiras ekziston de 156 primoj de Sophie Germain, kiu havas 20% eraron kompare al la akurata valoro 190. Por n = 107, la pritakso antaŭdiras na 50822, kiu havas 10% eraron kompare al la akurata valoro 56032.

Vico {p, 2p+1, 2(2p+1)+1, ...} de 1 aŭ pli multaj primoj de Sophie Germain, finiĝanta kun primo kiu ne nepre estas primo de Sophie Germain, estas ĉeno de Cunningham de la unua speco. Ĉiu ero de ĉi tia vico escepte de la unua kaj lasta estas ambaŭ primo de Sophie Germain kaj sekura primo.

Se primo de Sophie Germain p estas de formo 4k+3, tiam ĝia respektiva sekura primo 2p+1 estas dividanto de la nombro de Mersenne 2p-1.

Primoj de Sophie Germain povas esti uzataj en la generado de pseŭdo-stokastoj. La dekuma prezento de 1/q donas q-1 pseŭdo-hazardajn ciferojn, se q estas la sekura primo de primo de Sophie Germain p, kaj p kongruas al 3, 9, aŭ 11 (mod 20). Tial la taŭgaj primoj q estas 7, 23, 47, 59, 167, 179, (respektivaj al p = 3, 11, 23, 29, 83, 89). Ekzemple, por q = 23 rezultiĝas ciferoj 0, 4, 3, 4, 7, 8, 2, 6, 0, 8, 6, 9, 5, 6, 5, 2, 1, 7, 3, 9, 1, 3. Tamen ĉi tiaj ciferoj ne estas taŭgaj por ĉifrikaj celoj.

 Referencoj 

 Vidu ankaŭ 
 Sophie Germain

 Eksteraj ligiloj 
  - vico de primoj de Sophie Germain
 20 la plej grandaj primoj de Sophie Germain je la Primaj Paĝoj

Kategorio:Primoj