Primofaktorialo

eta|300ra|n# kiel funkcio de n (ruĝaj punktoj), komparare al n!. Ambaŭ grafikaĵoj estas logaritmaj.

En matematiko, primofaktorialo estas produto de la unuaj primoj.

La primofaktorialo havas du similajn sed malsamajn signifojn.

La nomo estas konstruita el la vortoj primo kaj faktorialo.

 n# 
n# por n≥1 estas difinita kiel produto de ĉiuj primoj, kiuj estas ne pli grandaj ol n.

La vico ankaŭ inkluzivas 1# = 1 kiel malplenan produton.

La ekvivalenta rikura difino estas

La unuaj primofaktorialoj n# por n=1, 2, 3 ... 12 estas:

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

Ĉiu elemento de tiu ĉi vico por neprima n estas sama kiel la antaŭa elemento.

Ekzemple, 7# estas produto de ĉiuj primoj ne pli grandaj ol 7:

 7# = 2 · 3 · 5 · 7 = 210

8# estas produto de ĉiuj primoj ne pli grandaj ol 8:

 8# = 2 · 3 · 5 · 7 = 210

kio egalas al 7#. Ankaŭ 9# kaj 10# havas la saman valoron, sed

 11# = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 = 2310

 pn# 
Se pn estas la n-a primo, do la primofaktorialo pn# estas produto de la unuaj n primoj:

La unuaj kelkaj primofaktorialoj pn# estas:

 1, 2, 6, 30, 210, 2310

La vico ankaŭ inkluzivas p0# = 1 kiel malplena produto.

Ekzemple, p4# estas produto de la unuaj 4 primoj:

 p4# = 2 · 3 · 5 · 7 = 210

kaj, p5# estas produto de la unuaj 5 primoj:

 p4# = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 = 2310

 Propraĵoj 
Estas idento

kie, π(n) estas la primo-kalkulanta funkcio, donanta kvanton de primoj ne pli grandaj ol n.

Natura logaritmo de primofaktorialo log (n#) estas la unua funkcio de Ĉebiŝev, skribata kiel  aŭ , kiu proksimiĝas al lineara n por granda n. Tiel asimptote primofaktorialo n# kreskas kiel:



aŭ pli konkrete



Asimptote primofaktorialo pn# kreskas kiel:

kie exp (x) = ex estas la eksponenta funkcio kaj "o" estas la malgranda o.

Ĉiu alte komponigita nombro estas produto de primofaktorialoj (ekzemple  360 = 2·6·30).

Ĉiu valoro de primofaktorialo kvadrato-libera entjero kaj havas pli multajn malsamajn primajn faktorojn ol ĉiu nombro pli malgranda ol ĝi. Por ĉiu valoro primofaktorialo n#, la frakcio φ(n#)/(n#) estas pli malgranda ol φ(x)/x por ĉiu entjero x, x<n#, kie φ estas la eŭlera φ funkcio.

Ĉiu plene multiplika funkcio estas difinita per ĝiaj valoroj je primofaktorialoj, pro tio ke ĝi estas difinita per ĝiaj valoroj je primoj, kiuj povas esti rekalkulitaj per divido de najbaraj valoroj je primofaktorialoj.

Primofaktorialoj raperas en la serĉoj de primoj en aritmetikaj vicoj. Ekzemple, 2236133941 + 23# estas primo komenca en vico de 13 primoj, trovataj per sinsekva adicio de 23#, kaj finiĝanta kun 5136341251. 23# estas ankaŭ la komuna diferenco en aritmetikaj vicoj de 15 kaj 16 primoj.

 Tabelo de primofaktorialoj 
 n n# pn pn# 0 1 1 1 2 2 2 2 3 6 3 6 5 30 4 6 7 210 5 30 11 2310 6 30 13 30030 7 210 17 510510 8 210 19 9699690 9 210 23 223092870 10 210 29 6469693230 11 2310 31 200560490130 12 2310 37 7420738134810 13 30030 41 304250263527210 14 30030 43 13082761331670030 15 30030 47 614889782588491410

 Vidu ankaŭ 
 Primofaktoriala primo
 Faktorialo
 Eŭlera φ funkcio
 Primo-kalkulanta funkcio

 Eksteraj ligiloj 

 n#
 pn#
 primo-kalkulanta funkcio π(n)

Kategorio:Faktorialo kaj dutermaj temoj
Kategorio:Primoj

ru:Факториал#Праймориал или примориал