Nombro de Carmichael

En nombroteorio, nombro de Carmichael aŭ absoluta pseŭdoprimo de Fermat estas komponita pozitiva entjero n, kiu kontentigas la kongruecon  por ĉiu entjero b, kiu estas reciproke prima kun n (vidu en modula aritmetiko).

Tiaj nombroj estas nomitaj omaĝe al Robert Daniel Carmichael. La nombroj de Carmichael estas nombroj de Knödel K1.

 Ĝenerala priskribo 
Malgranda teoremo de Fermat diras, ke, se p estas primo kaj a estas reciproke prima kun p, 1≤a<p, tiam ap-1-1 estas dividebla per p. Se nombro x ne estas primo, a kaj x estas reciproke primaj, 1≤a<x kaj x dividas la nombron ax-1-1, tiam x estas pseŭdoprimo al bazo a. Nombro x, kiu estas pseŭdoprimo por ĉiuj valoroj de a reciproke primaj kun x estas nombro de Carmichael.

Malgranda teoremo de Fermat diras, ke ĉiuj primoj havas certan propraĵon. En ĉi tiu senco nombroj de Carmichael estas similaj al primoj.

Nombroj de Carmichael estas gravaj, ĉar ili povas ĉirkaŭiri la primeco-teston de Fermat: ĉiuj nombroj estas por ili ĉiam neatestantoj de Fermat. Pro tio, ke nombroj de Carmichael ekzistas, ĉi tiu primeca testo ne povas pruvi primecon de nombro, kvankam ĝi povas ankoraŭ esti uzata por pruvi, ke nombro estas komponita.

Krome, se la nombroj iĝas pli grandaj, nombroj de Carmichael inter ili iĝas tre maloftaj. Ekzemple, inter 1 kaj 1018 ekzistas nur 1,401,644 nombroj de Carmichael (averaĝe proksimume unu por 700·109 nombroj).Richard Pinch, "La nombroj de Carmichael supren ĝis 1018", aprilo de 2006 (surbaze de lia pli frua laboro  ).

Alternativa kaj ekvivalenta difino de nombro de Carmichael estas donita per teoremo de Korselt.

Teoremo (Korselt 1899): Pozitiva komponita entjero n estas nombro de Carmichael, se kaj nur se n estas kvadrato-libera, kaj por ĉiuj primaj divizoroj p de n, validas (p - 1) | (n - 1) (la notacio a | b indikas, ke la nombro a dividas la nombron b).

El ĉi tiu teoremo sekvas ke ĉiuj nombroj de Carmichael estas neparaj.

Korselt estis la unua, kiu identigis ĉi tiujn ecojn, sed li ne sukcesis trovi ekzemplon. En 1910 Carmichael trovis la unuan kaj plej malgrandan ĉi tian nombron, 561.

Tion, ke 561 estas nombro de Carmichael, pruveblas dank' al la teoremo de Korselt. Ja 561 = 3 ∙ 11 ∙ 17 estas kvadratolibera kaj 2 | 560, 10 | 560 kaj 16 | 560.

La plej malgrandaj nombroj de Carmichael estas
561 = 3 ∙ 11 ∙ 17   (2 | 560, 10 | 560, 16 | 560)
1105 = 5 ∙ 13 ∙ 17   (4 | 1104, 12 | 1104, 16 | 1104)
1729 = 7 ∙ 13 ∙ 19   (6 | 1728, 12 | 1728, 18 | 1728)
2465 = 5 ∙ 17 ∙ 29   (4 | 2464, 16 | 2464, 28 | 2464)
2821 = 7 ∙ 13 ∙ 31   (6 | 2820, 12 | 2820, 30 | 2820)
6601 = 7 ∙ 23 ∙ 41   (6 | 6600, 22 | 6600, 40 | 6600)
8911 = 7 ∙ 19 ∙ 67   (6 | 8910, 18 | 8910, 66 | 8910)

J. Chernick pruvis teoremon en 1939 kiu povas esti uzita por konstrui subaron de nombroj de Carmichael. Nombro (6k + 1)(12k + 1)(18k + 1) estas nombro de Carmichael, se ĉiuj ĝiaj tri faktoroj estas primoj.

Löh kaj Niebuhr en 1992 trovis iujn el gigantaj nombroj de Carmichael, inkluzive unu kun 1101518 faktoroj kaj pli ol 16 milionoj da ciferoj.

 Ecoj 
Nombro de Carmichael havas almenaŭ 3 primajn faktorojn. La unuaj nombroj de Carmichael kun k primaj faktoroj estas:
 k  3  561 = 3 ∙ 11 ∙ 17 4  41041 = 7 ∙ 11 ∙ 13 ∙ 41 5  825265 = 5 ∙ 7 ∙ 17 ∙ 19 ∙ 73 6  321197185 = 5 ∙ 19 ∙ 23 ∙ 29 ∙ 37 ∙ 137 7  5394826801 = 7 ∙ 13 ∙ 17 ∙ 23 ∙ 31 ∙ 67 ∙ 73 8  232250619601 = 7 ∙ 11 ∙ 13 ∙ 17 ∙ 31 ∙ 37 ∙ 73 ∙ 163 9  9746347772161 = 7 ∙ 11 ∙ 13 ∙ 17 ∙ 19 ∙ 31 ∙ 37 ∙ 41 ∙ 641

La unuaj nombroj de Carmichael kun 4 primaj faktoroj estas:

 i  1  41041 = 7 ∙ 11 ∙ 13 ∙ 41 2  62745 = 3 ∙ 5 ∙ 47 ∙ 89 3  63973 = 7 ∙ 13 ∙ 19 ∙ 37 4  75361 = 11 ∙ 13 ∙ 17 ∙ 31 5  101101 = 7 ∙ 11 ∙ 13 ∙ 101 6  126217 = 7 ∙ 13 ∙ 19 ∙ 73 7  172081 = 7 ∙ 13 ∙ 31 ∙ 61 8  188461 = 7 ∙ 13 ∙ 19 ∙ 109 9  278545 = 5 ∙ 17 ∙ 29 ∙ 113 10  340561 = 13 ∙ 17 ∙ 23 ∙ 67

La dua nombro de Carmichael (1105) povas esti esprimita kiel sumo de du kvadratoj en pli multaj manieroj ol ĉiu pli malgranda nombro. La tria nombro de Carmichael (1729) estas la nombro de Hardy-Ramanujan: la plej malgranda nombro, kiu povas esti esprimita kiel sumo de du kuboj en du malsamaj manieroj.

 Distribuo 
Estu C(X) kvanto de nombroj de Carmichael malpli grandaj ol aŭ egalaj al X.

La tabelo donas distribuon de nombroj de Carmichael supren ĝis potencoj de 10 (de Pinch 2006):

 n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C(10n) 1 7 16 43 105 255 646 1547 3605 8241 19279 44706 105212 246683 585355 1401644 3381806 8220777

Erdős pruvis en lia 1956 papero ke

por iu konstanto k.

La tabelo pli sube donas aproksimaĵojn por ĉi tiu konstanto:

 n  k por C(10n) 4  2,19547 6  1,97946 8  1,90495 10  1,86870 12  1,86377 14  1,86293 16  1,86406 18  1,86522 20  1,86598

En la alia direkto, Paŭlo Erdős heŭristike argumentis ke devas ekzisti malfinie multaj nombroj de Carmichael. En 1994 estis montrite de W. R. (Red) Alford, Andrew Granville kaj Carl Pomerance ke reale ekzistas malfinie multaj nombroj de Carmichael. Aparte, ili montris ke

C(X) > X(2/7)

por sufiĉe granda X W. R. (Red) Alford, Andrew Granville kaj Carl Pomerance. "Estas malfinie multaj nombroj de Carmichael" Analoj de matematiko 139 (1994) 703-722.. Glyn Harman pruvis ke

C(X) > X0.332

denove por sufiĉe granda X.Glyn Harman. "On the number of Carmichael numbers up to X." - "Pri la kvanto de nombroj de Carmichael supren ĝis X." Bull. Lond. Math. Soc. 37 (2005) 641-650. Ĉi tiu aŭtoro sinsekve
plibonigis la eksponenton al proksime kaj super 1/3. Paŭlo Erdős ankaŭ donis heŭristikon sugestantan ke lia supera baro devas esti proksima al la vera kurzo de kreskado de C(X).

 Referencoj 

 Eksteraj ligiloj 
  - nombroj de Carmichael
  - unuaj nombroj de Carmichael kun certa kvanto de primaj faktoroj ekde 3
  - nombroj de Carmichael kun 4 primaj faktoroj

 Tabelo de nombroj de Carmichael
 Mathpages: La dualeco de 1729 
 Finaj respondoj de modula aritmetiko
 Richard G.E. Pinch. La nombroj de Carmichael supren ĝis 1020 (listo de eldonoj)
 Günter Löh kaj Wolfgang Niebuhr (1996).  Nova algoritmo por konstruado de grandaj nombroj de Carmichael (pdf)

Kategorio:Entjeraj vicoj
Kategorio:Modula aritmetiko
Kategorio:Kvazaŭprimoj