Fermita-malfermita aro

En topologio, fermita-malfermita aro en topologia spaco estas aro, kiu estas kaj malfermita aro, kaj fermita aro.

 Ekzemploj 

La spaco X estu topologia spaco sur la aro, kiu estas la kunaĵo de la du intervaloj [0,1] kaj [2,3], kun la topologio heredita kiel la subspaca topologio de la ordinara topologio sur la reela linio R. En la topologia spaco X, la aro [0,1] estas fermita-malfermita, kaj same la aro [2,3]. Ĉi tiu estas sufiĉe tipa ekzemplo: se topologia spaco estas similmaniere konstruita kiel kunaĵo de finia nombro da disaj koneksaj spacoj kiel komponantoj, ĉiu el la komponantoj estas fermita-malfermita.

En ĉiu topologia spaco X, la malplena aro kaj la tuta spaco X estas fermita-malfermita.[1][2]

Kiel malpli bagatela ekzemplo, estu la spaco Q de ĉiuj racionalaj nombroj kun ilia ordinara topologio, kaj estu aro A de ĉiuj pozitivaj racionalaj nombroj kies kvadrato estas pli granda ol 2. Pro tio ke √2 estas ne en Q, A estas fermita-malfermita subaro de Q. Notu ke tamen A ne estas fermita-malfermita subaro de la reela linio R, ĝi estas nek malfermita nek fermita en R.

 Ecoj 

 Aro estas fermita-malfermita se kaj nur se ĝia rando estas malplena.
 Ĉiu fermita-malfermita aro estas unio de (eble malfinie multaj) koneksaj komponantoj.
 Se ĉiuj koneksaj komponantoj de topologia spaco X estas malfermitaj (ekzemple, se X havas nur finie multajn komponantojn, aŭ se X estas loke koneksa), tiam aro estas fermita-malfermita en X se kaj nur se ĝi estas unio de koneksaj komponantoj.
 Topologia spaco X estas koneksa se kaj nur se la nuraj fermitaj-malfermitaj aroj en X estas la malplena aro kaj X.
 Topologia spaco X estas diskreta se kaj nur se ĉiu el ĝiaj subaroj estas fermita-malfermita.
 La operacioj de formado de kunaĵoj kaj komunaĵoj igas la aron de fermitaj-malfermitaj subaroj de donita topologia spaco X bulea algebro. Ĉiu Bulea algebro povas esti ricevita tiamaniere el taŭga topologia spaco, vidu en kerna prezenta teoremo por buleaj algebroj.

 Vidu ankaŭ 

 Fermita aro
 Malfermita aro

 Eksteraj ligiloj 
 Topologio sen ŝiroj de Sidney A. Morrita

Kategorio:Ĝenerala topologio