Funkcio zeta de Riemann

Funkcio zeta de Riemann aŭ Funkcio zeta de Euler kaj Riemann aŭ Rimana ζ funkcio (skribite per greka litero ζ) aŭ Rimana funkcio zeto estas unu el , nomita laŭ Bernhard Riemann kaj difinata per formulo:

Serio estas konverĝa por valoroj de z, kies reala parto estas pli granda ol 1. Por la aliaj z estas uzata la analitika vastigaĵo.

Kun funkcio estas kunigata unu el plej gravaj problemoj de hodiaŭa matematiko – hipotezo de Riemann.

 Ecoj 
Por nombroj  kiuj havas realan parton malpli granda ol 1, valoro de funkcio ζ povas esti kalkulita el formulo:

kaj  estas funkcio Γ de Euler.

 Diagramo de ζ(x) 
570ra

 Kelkaj valoroj 

 La funkcio Zeto kiel Malfinia Produto 
Ojler montris ke

Ĉi tiu formulo veras por ĉiu  kies reela parto estas pli ol .

Ojler deduktis tion sekvamaniere. Unue, rimarku ke

Per subtraho, oni trovas

En la dekstra flanko, estas nur la malparaj entjeroj. Pro tio,

Alia subtraho vidigas ke

Ĉiu nombro dividebla per  estante subtrahita, supre restas nur la malparaj nombroj kiuj estas nedivideblaj per . Simile,

kie, en la dekstra flanko, aperas la entjeraj nombroj kiujn oni ne povas dividi per  aŭ  (kaj nur tiuj).

Induktive, en la maldekstra flanko aperas la produto , kaj la dekstra nombra konverĝas al . Oni tuj atingas la proponatan egalecon.

Rimarko: la serio kiu difinas  konverĝas absolute, se la reala parto de  estas pli ol . Tio permesas montri que la dekstra limito estas .

 Vidu ankaŭ 
 ZetaGrid


Kategorio:Specialaj funkcioj