Leĝo de kosinusoj

En trigonometrio, la leĝo de kosinusoj, nomita ankaŭ kosinusa formulo, kosinusa regulo, kosinusa teoremo aŭ kosinusa teoremo de Carnot, estas interrilato inter longoj de lateroj kaj kosinuso de unu el anguloj ĉe triangulo sur eŭklida ebeno.



kie c estas longoj de latero kontraŭa al angulo γ,
 a kaj b estas longoj de latero inter kiuj estas angulo γ.

Ekvivalente por la aliaj anguloj de la triangulo la leĝo estas:




La leĝo de kosinusoj estas ĝeneraligo de la teoremo de Pitagoro, kiu veras nur por ortaj trianguloj: se la angulo γ estas orto (90° aŭ π/2 radianoj), tiam cos γ=0, kaj tial la leĝo de kosinusoj reduktiĝas al



kio estas la teoremo de Pitagoro.

 Aplikoj 
eta|240px|Aplikoj de la leĝo de kosinusoj: nekonata latero kaj nekonata angulo.

La leĝo de kosinusoj povas esti uzata por komputi la trian lateron de triangulo se du lateroj kaj angulo inter ili estas sciataj:

Tiel la teoremo estas uzata en triangulado.

La leĝo de kosinusoj povas esti uzata por komputanti angulojn de triangulo se ĉiuj tri lateroj estas sciataj:

La leĝo de kosinusoj povas esti uzata por komputi la trian lateron de triangulo se du lateroj kaj angulo kontraŭa al unu el ili estas sciataj:

Ĉi tiuj formuloj produktas grandajn rondigajn erarojn en flosantaj punktaj kalkuloj se la triangulo estas tre akuta, kio estas, se c estas malgranda relative al a kaj b aŭ γ estas malgranda.

La tria formulo estas la rezulto de solvado por a de la kvadrata ekvacio

 a2 − 2ab cos γ + b2 − c2 = 0.

Ĉi tiu ekvacio povas havi 0, 1 aŭ 2 pozitivajn solvaĵojn depende de kvanto de eblaj trianguloj donitaj per la datumoj b, c kaj γ. Estas du pozitivaj solvaĵoj se b sin(γ) < c < b, nur unu pozitiva solvaĵo se c > b aŭ c = b sin(C), kaj ne estas pozitivaj solvaĵoj se c < b sin(γ). Ĉi tiuj malsamaj okazoj estas ankaŭ eksplikitaj per la latero-latero-angula kongrueca multvaloreco.

 Pruvo 
Konsideri triangulo kun lateroj de longoj a, b, c, kie estas γ la angulo kontraŭa la latero de longo c. Situu ĉi tiu triangulo sur la koordinatsistemo tiel ke la verticoj estu kun koordinatoj A (b cos γ, b sin γ), B(a,0), C(0,0). Per la distanca formulo,  kaj plu:



 Izocela okazo 
Se la triangulo estas izocela, a = b, la leĝo de kosinusoj plisimpliĝas) grave. Ĉar tiam a2 + b2 = 2a2 = 2ab, la leĝo de kosinusoj iĝas kiel



 Analogo por kvaredroj 
Estu  areoj de la kvar edroj de kvaredro. Estu la duedraj anguloj per  kaj tiel plu. Tiam

 Vidu ankaŭ 
 Leĝo de sinusoj
 Leĝo de tangentoj
 Leĝo de kosinusoj (sfera)
 Triangulado
 Polariza idento

 Eksteraj ligiloj 

 Leĝo de kosinusoj  je PlainMath
 Kelkaj derivaĵoj de la kosinusa leĝo je tranĉi-la-nodon

Kategorio:Trigonometrio
Kategorio:Angulo
Kategorio:Pluredroj