Alte abunda nombro

En matematiko, alte abunda nombro estas natura nombro, ĉe kiu la sumo de ĝiaj divizoroj (inkluzivante la nombron mem) estas pli granda ol la samspeca sumo de la divizoroj de ĉiu malpli granda natura nombro.

Natura nombro n estas alte abunda se kaj nur se por ĉiu natura nombro m tia ke m<n,

σ(n)>σ(m)

kie σ(n) estas la dividanta funkcio (la sumo de ĉiuj pozitivaj divizoroj de n)

La unuaj kelkaj alte abundaj nombroj estas
1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 42, 48, 60, ... .

Ekzemple, 5 ne estas alte abunda ĉar σ(5) = 5+1 = 6 estas pli malgranda ol σ(4) = 4+2+1 = 7, kaj 8 estas alte abunda ĉar σ(8) = 8+4+2+1 = 15 estas pli granda ol ĉiuj antaŭaj valoroj de σ.

Alte abundaj nombroj kaj kelkaj similaj klasoj de nombroj estis unue prezentitaj de Subbayya Sivasankaranarayana Pillai (1943), kaj frua laboro je la subjekto estis farita de Leonidas Alaoglu kaj Paul Erdős (1944). Alaoglu kaj Erdős kreis tabelon de ĉiuj alte abundaj nombroj ĝis 104, kaj montris ke la kvanto de alte abundaj nombroj malpli grandaj ol N estas almenaŭ proporcia al log2 N. Ili ankaŭ pruvis ke 7200 estas la plej granda pova alte abunda nombro, kaj pro tio la plej granda alte abunda nombro kun nepara sumo de divizoroj.

 Rilatoj kun aliaj aroj de nombroj 

Komence estis opinio ke ĉiuj faktorialoj estas alte abundaj nombroj, sed ĉi tio estas malvero.
σ(9!) = σ(362880) = 1481040 ,
sed ekzistas pli malgranda nombro kun pli granda sumo de divizoroj,
σ(360360) = 1572480 ,
do 9! ne estas alte abunda.

Alaoglu kaj Erdős rimarkis ke ĉiu superabunda nombro estas alte abunda, kaj demandis ĉu estas malfinie multaj alte abundaj nombroj kiu estas ne superabunda. Ĉi tiu demando estis respondita jese de Nicolas (1969).

Malgraŭ la terminologio, ne ĉiu alte abunda nombro estas abunda nombro. Ekzemple neniu el la unuaj sep alte abundaj nombroj estas abunda.

 Referencoj 





 Eksteraj ligiloj 


Kategorio:Entjeraj vicoj