Rotacia simetrio

En fiziko kaj matematiko, rotacia simetrio de objekto estas simetrio kiu estas invarianteco de la objekto je iu turno.

Estadas kontinua rotacia simetrio kaj diskreta rotacia simetrio.

rotacia simetrio de objekto signifas ke iu certa turno ne ŝanĝas la objekton. Por donita objekto, aro de la turnoj kiuj ĝin ne ŝanĝas estas la geometria simetria grupo de la objekto, aŭ, se la objekto havas ankaŭ la aliajn simetrion, subgrupo de la geometria simetria grupo.

Leĝoj de fiziko estas rotacia invarianto (So(3)-invarianto) se ili ne distingas malsamajn direktojn en spaco. Laŭ teoremo de Noether, mova simetrio de fizika sistemo estas ekvivalento al la angula movokvanta konservada leĝo.

 Geometrio 
Formale, rotacia simetrio estas simetrio kun respektivo al iu aŭ ĉiuj rotacioj en m-dimensia eŭklida spaco. rotaciadoj estas direktaj izometrioj, do ili estas izometrioj konservantaj orientiĝon. Pro ĉi tio geometria simetria grupo de rotacia simetrio estas subgrupo de E+(m) (vidu en eŭklida grupo).

Simetrio kun respekto al ĉiuj rotaciadoj ĉirkaŭ ĉiu vertico enhavas movan simetrion kun respektivo al ĉiuj movoj, kaj la geometria simetria grupo do estas la tuta E+(m). Ĉi tio signifas ke la objektoj homogene okupas la tutan spacon, ĉi tio estas la okazo por fizikaj leĝoj.

Por simetrio kun respektivo al rotaciadoj ĉirkaŭ iu punkto oni povas preni la punkton kiel fonto (nulo) de la koordinatosistemo. Ĉij rotaciadoj ĉirkaŭ fonto de koordinatoj formas la specialan perpendikularan grupon So(m) de perpendikularaj matricoj kun amplekso de ĉiu matrico m×m kaj kun determinanto de ĉiu matrico 1. Por m=3 ĉi tio estas la rotaciada grupo.

En la alia signifo de la vorto, la rotaciada grupo de objekto estas la geometria simetria grupo en E+(n), la eŭklida grupo (grupo de direktaj izometrioj); en aliaj vortoj, la komunaĵo de la plena geometria simetria grupo de la objekto kaj la grupo de direktaj izometrioj. Por nememspegulsimetriaj objektoj ĝi estas la sama kiel la plena geometria simetria grupo.

 n-obla rotacia simetrio 
rotacia simetrio de ordo n, aŭ n-obla rotacia simetrio, aŭ diskreta rotacia simetrio de ordo n, ĉirkaŭ certa punkto en 2 dimensioj, akso en 3 dimensioj, m-2 dimensia hiperebeno en m dimensioj signifas ke rotaciado per angulo de 360°/n (180°, 120°, 90°, 72°, 60° por n=2...6) ne ŝanĝas la figuron. La triviala "1-obla simetrio", fakte, ne estas simetrio.

La kristal-sistema notacio por n-obla rotacia simetrio estas Cn aŭ simple "n". La reala geometria simetria grupo estas precizigita per la punkto aŭ simetriakso, kaj ankaŭ la nombro n. Por ĉiu punkto aŭ simetriakso la abstrakta grupo estas cikla grupo Zn de ordo n. Kvankam por la lasta ankaŭ la notacio Cn estas uzata, la geometria kaj la abstrakta Cn devas esti distingataj, ĉar ekzistas aliaj geometriaj simetriaj grupoj kun la sama speco de abstrakta grupo, vidu en punktaj grupoj en tri dimensioj.

La fundamenta domajno estas sektoro de 360°/n, se ne estas aldonaj simetrioj.

Se estas rotacia simetrio kun respektivo al angulo β do estas ankaŭ rotacia simetrio kun respektivo al angulo kiu estas la plej granda komuna divizoro de β kaj 360°. Se ĉi tiu plej granda komuna divizoro ne ekzistas do la rotacia simetrio estas kontinua (malfinio-obla).

Ekzemple, se estas rotacia simetrio kun respektivo al angulo 100°, tiam ĝi estas ankaŭ kun respektivo al angulo 20°, kiu estas la plej granda komuna divizoro de 100° kaj 360°.

 Multaj simetriaj aksoj tra la sama punkto 
Por diskreta simetrio kun multaj simetriaj aksoj tra la sama punkto, estas jenaj eblecoj:
 Aldone al n-obla akso, n perpendikularo 2-oblaj aksoj: la duedraj grupoj Dn de ordo 2n (n≥2). Ĉi tiu estas la rotacia grupo de regula prismo, aŭ regula dupiramido. Kvankam la sama skribmaniero estas uzata, la geometria kaj abstrakta Dn devas esti distingitaj ĉar estas la aliaj geometriaj simetriaj grupoj kun la sama speco de abstrakta grupa, vidu en punktaj grupoj en tri dimensioj.
 4 3-oblaj kaj 3 2-oblaj aksoj: la rotacia grupo T de ordo 12 de regula kvaredro (kvaredra simetrio). La grupo estas izomorfia al alterna grupo A4.
 3 4-oblaj, 4 3-obla, 6 2-oblaj aksoj: la rotacia grupo O de ordo 24 de kubo kaj regula okedro (okedra simetrio). La grupo estas izomorfia al simetria grupo S4.
 6 5-oblaj, 10 3-oblaj, 15 2-oblaj aksoj: la rotacia grupo I de ordo 60 de dekduedro kaj dudekedro (dekduedra simetrio). La grupo estas izomorfia al alterna grupo A5. La grupo enhavas 10 versiojn de D3 kaj 6 versiojn de D5 (rotaciaj simetrioj similaj al tiuj de prismoj kaj kontraŭprismoj (prisma simetrio)).

Ĉe la platonaj solidoj, la 2-oblaj aksoj estas tra la mezpunktoj de kontraŭaj lateroj, la kvanto de ili estas duono kvanto de la lateroj. La aliaj aksoj estas tra kontraŭaj verticoj kaj tra centroj de kontraŭaj edroj, kun escepto ĉe la kvaredro, kie la 3-oblaj aksoj estas ĉiu tra vertico kaj la centro de la kontraŭa edro.

 rotacia simetrio kun respektivo al ĉiu angulo 
rotacia simetrio kun respektivo al ĉiu angulo estas kontinua rotacia simetrio aŭ malfinio-obla rotacia simetrio.

En 2 dimensioj rotacia simetrio kun respekto al ĉiu angulo estas cikla simetrio. La fundamenta domajno estas duonrekto.

En 3 dimensioj estadas cilindra simetrio kaj sfera simetrio.

Cilindra simetrio estas nedependeco de la figuro de la angula koordinato el cilindraj koordinatoj. La fundamenta domajno estas duonebeno tra la akso.

Sfera simetrio estas nedependeco de la figuro de ambaŭ angulaj koordinatoj el sferaj koordinatoj. La fundamenta domajno estas la radiusa duonrekto.

En 4 dimensioj, kontinua aŭ diskreta rotacia simetrio ĉirkaŭ ebeno respektivas al respektiva 2D rotacia simetrio en ĉiu perpendikulara ebeno, ĉirkaŭ la punkto de komunaĵo de la du ebenoj. Figuro povas ankaŭ havi rotacia simetrio ĉirkaŭ du perpendikularaj ebenoj, do ĝi povas esti la cilindro (kartezia produto) de du turne simetriaj 2D figuroj. El ĉi tiuj du figuroj, neunu, nur unu aŭ ambaŭ povas havi kontinuajn rotaciajn simetriojn, kaj la restantaj havi diskretajn rotaciajn simetriojn. La ekzemploj estas ducilindro kaj diversaj regula duprismoj.

En 4 dimensioj povas esti ankaŭ sfera simetrio ĉirkaŭ rekto kaj 3-sfera simetrio ĉirkaŭ punkto.

 rotacia simetrio kun mova simetrio 
eta|180ra|Ordigo en primitiva ĉelo de 2-obla kaj 4-obla rotaciaj centroj. Fundamenta domajno estas indikita en flava.
2-obla rotacia simetrio kaj ankaŭ sola mova simetrio estas unu el la frisaj grupoj. Estas du rotaciaj centroj por primitiva ĉelo.

eta|250ra|Ordigo en primitiva ĉelo de 2-obla, 3-obla, 6-obla rotaciaj centroj, sola aŭ en kombinaĵo (konsideru la 6-oblan kiel kombinaĵo de 2-obla kaj 3-obla); ĉe nur 2-obla simetrio la formo de la paralelogramo povas esti diversa. Por la okazo p6, fundamenta domajno estas indikita en flava.
rotacia simetrio kaj ankaŭ duopa mova simetrio estas jenaj papertapetaj grupoj, kun aksoj por primitiva ĉelo:
 p2 (2222): 4 2-oblaj; rotacia grupo de paralelograma, ortangula, kaj romba kradoj.
 p3 (333): 3 3-obla; rotacia grupo regula triangula kahelaro kun la egallateraj trianguloj alterne kolorigitaj.
 p4 (442): 2 4-oblaj, 2 2-oblaj; rotacia grupo de kvadrata krado.
 p6 (632): 1 6-oblaj, 2 3-oblaj, 3 2-oblaj rotacia grupo de seslatera krado.

 2-oblaj rotaciaj centroj (inkluzivante la 4-oblajn kaj 6-oblajn), se ili ekzistas, formas kradon egalan al la mova krado skalita per faktoro 1/2. En la okazo de mova simetrio en unu dimensio la propraĵo veras kvankam la termino "krado" ne estas uzata.
 3-oblaj rotaciaj centroj (inkluzivante la 6-oblajn), se ili ekzistas, formas seslateran kradon egalan al la mova krado skalitan per faktoro 1/√3 kaj turnitan je 30° (aŭ ekvivalente je 90°).
 4-oblaj rotaciaj centroj, se ili ekzistas, formas kvadratan kradon egalan al la mova krado skalitan per faktoro 1/√2 kaj turnitan je 45°.
 6-oblaj rotaciaj centroj, se ili ekzistas, formas seslateran kradon egalan al la mova krado.

3-obla rotacia simetrio je unu punkto kaj 2-obla je la alia (aŭ en 3D kun respektivo diversa paralelaj aksoj) implicas rotacian grupon p6, kio estas duopa mova simetrio kaj 6-obla rotacia simetrio je iu punkto (aŭ, en 3D, paralela akso). La mova distanco por la simetrio generita per ĉi tia paro de rotaciaj centroj estas 2√3 fojoj distanco inter ili.

eta|Seslateropiramidigita triangula kahelaro, ekzemplo de p6 (kun koloroj) kaj p6m (sen koloroj); la linioj estas reflektaj aksoj se koloroj estas ignorita. Estas enhavataj tri ortangulaj kradoj ĉiu en malsama direkto.

 Ekzemploj 
eta|maldekstra|3-obla rotacia simetrio sen aldonaj simetrioj

 Vidu ankaŭ 
 Mova simetrio
 Reflekta simetrio
 Radiala simetrio
 Simetriaj kombinaĵoj
 Frisa grupo
 Papertapeta grupo
 Punktaj grupoj en tri dimensioj
 Spaca grupo
 rotacia invarianto
 Lorenca simetrio
 Ŝraŭba akso
 Kristalografia limiga teoremo

Kategorio:Rotacia simetrio
Kategorio:Simetrio
Kategorio:Konservadaj leĝoj