ZFC

ZFC estas mallongigo por la aroteorio laŭ Zermelo kaj Fraenkel, kun la aksiomo de elekto (angle choice, france choix). 

En la jaro 1908, Ernst Zermelo proponis la Zermelo aroteorio kiel aksiomata matematika bazo. Tamen en la jaro 1925, Abraham Fraenkel skribis leteron al Ernst Zermelo kaj menciis ke ne la kardinala nombro  kaj la aro  (ĉi tie,  estas senfinia aro kaj  signifas 
aro de ĉiuj subaroj de ) ne estas konstruebla per lia teorio.

Kun Thoralf Skolem, ili proponis novajn aksiomojn, aldonis la aksiomon de reguleco, kaj anstataŭigis la aksiomon de specifio per la aksiomo de apartigo. Tiu aksiomaro estas konata kiel ZF. Kun la aksiomo de elekto, la aksiomaro nomiĝas ZFE (pli kutime ZFC laŭ la angla aŭ la franca).

 Aksiomoj 
 Aksiomo de etendo 

Supozu ke , , kaj  estas aroj. Per la aksiomo de etendo oni povas difini la koncepton de egaleco de aroj. Unu aro egalas la alian aron se ĉiu elemento ekzistas en ambaŭ aroj:

 Aksiomo de reguleco 

Supozu ke  kaj  estas aroj. Per la aksiomo oni povas eldoni elementon de aro se la aro havas pli ol nul elementojn:

Interesa demando estas kial oni bezonas  en la formulo. La kialo estas la evito de la paradokso de Bertrand Russell.

 Aksiomo de apartigo 

Supozu ke , , , kaj la finia vico  estas aroj. Cetere supozu ke  estas predikato (petas arojn en rondaj krampoj kiel argumentoj kaj respondas pravon aŭ malpravon).

La ideo de la aksiomo estas ke per la predikato oni povas elekti subaro  de la baza aro .

 Para aksiomo 

Supozu ke  kaj  estas aroj. Oni povas krei superaro de elementoj de  kaj , nome :

 Aksiomo de kunaĵo 

Supozu ke , , kaj  estas aroj. Supozu ke  estas aro de aroj. La aksiomo diras ke oni povas elpreni ĉiu elemento de la aroj de  kaj enmeti ĝin en kuna aro :

 Aksiomo de ĵeto 

La signo  signifas ke akurate nur unu elementon ekzistas. Kontraŭe la signo  signifas ke unu elemento aŭ pli da elementoj ekzistas.

Supozu ke , , , , kaj  estas aroj. Cetere supozu ke  estas predikato.

La aksiomo enkondukas la ideon de ĵeto. La funkcio  reprezentas ke oni povas ĵeti la nombron 3 al -3 kaj la nombro 42 al -42. Sed oni devas difini la baza aro de la nombroj  kaj . En la aksiomo oni ne jam povas uzi la koncepton de funkcio sed la ideo estas ke  estas la aro  kaj  estas la aro . Per  oni povas ĵeti elementojn de  al .

 Aksiomo de senfineco 

Ni difinu la mallongigon  kiel . Supozu ke , , kaj  estas aroj

Tielmaniere oni povas krei la naturajn nombrojn:

 0     1     2     3     4    

 Aksiomo pri la aro de ĉiuj subaroj 
Supozu ke , , kaj  estas aroj:

Do por ĉiu subaro , oni povas enmeti ĉi tiu subaro al . Tiel oni povas kolekti la tutan aron de subaroj. Fakte oni kutime difinas funkcion  kiu kreas la aro de ĉiuj subaroj (kun la nomo  ĉar alia nomo estas “potencaro”):

 Aksiomo de elekto 

Ĉi tiu aksiomo kontribuas la C en ZFC. Supozu ke  kaj  estas aroj kaj  estas predikato:

La aksiomo diras ke, por ĉiu aro kun pli ol unu elemento, oni povas trovi predikaton  kiu elektas elementon de la aro. Se vi havas la aron  kiel , la predikato  plenumas la kriterion. Ĝenerale por entjeraj finiaj aroj, oni povas difini . Sed la situacio pri senfinaj aroj estas malfacila kaj oni bezonas la aksiomon de elekto. Pli detale, la aksiomo estas diskutata en aparta artikolo.

Kategorio:Aro-teorio