Linio (geometrio)

Linio aŭ kurbo estas matematika termino, unu el fundamentaj terminoj de matematikaj fakoj kiel geometrio, diferenciala geometrio, topologio. La termino estas uzata en ĉiutaga lingvo.

Linio (de lat. Linea - lina fadeno) estas unu el unuarangaj nocioj en geometrio. Difini ĝin matematike rigore ne estas facile, kaj diversaj branĉoj de matematiko traktas ĝin malsame.

 Terminologia rimarko 

Linion, kiu ne estas rekta, oni okaze nomas kurbo. Tamen fojfoje oni uzas la vorton "kurbo" kiel plenan sinonimon de la matematika termino "linio".

Intuiciaj postuloj
Malgraŭ intuicia facilo, la termino estas tre malfacila precize difini. Ĝusta difino povas esti "laŭvola linio" sur ebeno aŭ en 3D spaco, ankaŭ rekto, kiu povas diverĝi kaj rompiĝi.

(1) Linio sin prezentas unudimensian kontinuan aron da punktoj;
(2) Linio estas trajektorio de moviĝanta punkto;
(3) Linio estas bordo de la parto de surfaco.

Difino (topologio)
Kompakta linio estas sternaĵo de dimensio 1, alivorte kontinuumo en kiu por ĉiu ĝia punkto, kaj laŭvola ĉirkaŭaĵo de ĉi tiu punkto ekzistas ia ĉirkaŭaĵo de punkto, kiu entenas en lastan, kiu rando ne havas kontinuumon, kiu konsistas el ne pli ol unu punkto (ĉiaj punktoj havas laŭvolan ĉirkaŭaĵon kun 0-dimensia rando).

Pli fruaj nocioj de linio
Pavel Urysohn kaj Karl Menger difinis la koncepton per la topologio ĉirkaŭ 1920, tamen provoj difini la terminon "linio" okazis jam el antikveco:
 Komentantoj de Eŭklido difinis ĝin kiel "longo sen larĝo" aŭ "redukta ebeno".
Sed ĉi tiuj difinoj ne estas difinoj en matematika senco.
 Kartezio difinis linion kiel aron da punktoj, kiuj verigas ekvacion. Tia difino ne entenas ĉiujn eblecojn.
 Camille Jordan en XIX-a jarcento difinis linion kiel aron da punktoj , kiam  kaj  estas kontinuaj funkcioj, kaj  estas parametro el intervalo de reelaj nombroj.
Alinome linio de Jordan estas bildo de intervalo (ekvivalente: segmento) en kontinua bildigo.
Bedaŭrinde, ĉi tiu difino estas tro entenanta. En 1890 jaro Giuseppe Peano pruvis, ke, laŭ ĉi tiu difino, ankaŭ kvadrato kune kun ĝia enhavo estas linio (linio de Peano).
 Sekva difino difinas linion kiel kunaĵon de fina kvanto de arkoj, kiam nenia el du arkoj havas kunajn punktojn krom iliaj finoj. Sed ĉi tiu difino ne entenas kelkajn eblecojn. ekz:
 :  kun segmento .
 Georg Cantor fine de la 19-a jarcento anoncis difinon: ebena linio (en dudimensia spaco) estas tia kontinuumo en ebeno, ke ĝi ne entenas iajn ajn cirklojn kun pozitiva radiuso.
 En 20-a jarcento, rusa matematikisto Pavel Urysohn difinis linion tiel, kiel komenco de tiu ĉi artikolo. En dudimensia spaco, tio estas ekvivalenta al la difino de Cantor.

Genroj de linioj
Oni povas difini kelkajn diferencajn genrojn de linioj kiam oni aldonas al difino de Jordan aldonatajn kondiĉojn al funkcioj  kaj . ekzemple:
 Regula arko por deriveblaj funkcioj
 Rompita rekto por intervale linearaj funkcioj

Iuj linioj
En elementa geometrio oni esploras rektan linion aŭ rekton, segmentojn de rekto, rompitan rekton, kurban (ne nepre rektan) linion aŭ kurbon. Ĉiu speco de linio estas determinita per speciala maniero, ekz. "Cirklo estas aro de tiuj punktoj, kiuj egale distancas de la donita punkto O". Oni nomas la punkton O - centro de la cirklo, kaj la distancon R - radiuso de la cirklo.

Linio povas esti prezentita per parametroj. Ekz. se enkonduki ortajn koordinatojn (x, y) sur ebeno, oni povas doni radiuson de la cirklo R kun centro en O, per sekvajn ekvacioj: x=R · cos t, y=R · sin t, kiam parametro t forkuras intervalon 0≤t≤2p, tiam la punkto (x, y) elskribas la cirklon.

Kaj ĝenerale oni prezentas linion sur la ebeno per parametra ekvacio x=Φ(t) kaj y=Ψ(t), kie Φ(t), Ψ(t) estas arbitraj funkcioj, kontinuaj sur iu finia aŭ nefinia intervalo D de la nombra akso t. Por ĉiu valoro de la parametro el intervalo D, la ekvaciaro kompareblas al la punkto M, kies koordinatojn oni povas difini per la nomitaj ekvacioj. Analogie ĝeneraligas ĉi tiun regulon por 3-dimensiaj kaj plurdimensiaj spacoj.

En analiza geometrio oni prezentas linion per algebraj funkcioj, t.e. per plurtermoj kun n≥1 gradoj. Depende de la gradoj oni distingas jenajn liniojn:

 Linio de 1-a grado: rekto
 Linio de 2-a grado: cirklo, elipso, hiperbolo, parabolo
 Linio de 3-a grado: kartezia folio, dioklesa cisoido, kuba parabolo
 Linio de 4-a grado: Bernuli lemniskato, kartezia ovalo, kardioido, paskala heliko

Vidu ankaŭ
 Vojo
 Koniko
 Kurbo de Bézier
 Formuloj de Frenet
Por pli redakti bonvolu rigardi Vikipedio:Projekto matematiko/Kurbo
 Kurbeco
Por pli redakti bonvolu rigardi Vikipedio:Projekto matematiko/Kurbeco
 Surfaco (2-sternaĵo)
 3-sternaĵo
 4-sternaĵo
 5-sternaĵo

Eksteraj ligiloj

 Kurbo je MathWorld


Kategorio:Topologio