Hiperperfekta nombro

En matematiko, k-hiperperfekta nombro estas natura nombro n por kiu
n=1+k(σ(n)-n-1) ,
kie σ(n) estas la dividanta funkcio (la sumo de ĉiuj pozitivaj divizoroj de n). Nombro estas perfekta se kaj nur se ĝi estas 1-hiperperfekta.

Ekvivalente por k-hiperperfekta nombro:
σ(n)=(n-1+k(n+1))/k

La unuaj kelkaj nombroj en la vico de k-hiperperfektaj nombroj estas 6, 21, 28, 301, 325, 496, ... , kaj la respektivaj valoroj de k estas 1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, ... . La unua kelkaj k-hiperperfektaj nombroj kiuj ne estas perfektaj estas 21, 301, 325, 697, 1333, ... .

 Listo de hiperperfektaj nombroj 
Jeno estas tabelo kun la unuaj kelkaj k-hiperperfektaj nombroj por iuj valoroj de k, kaj ankaŭ la eksteraj ligiloj al la respektivaj listoj:

 k  Eksteraj ligiloj  Iuj sciataj k-hiperperfektaj nombroj 1    6, 28, 496, 8128, 33550336, ... 2    21, 2133, 19521, 176661, 129127041, ... 3   325, ... 4   1950625, 1220640625, ... 6    301, 16513, 60110701, 1977225901, ... 10   159841, ... 11   10693, ... 12    697, 2041, 1570153, 62722153, 10604156641, 13544168521, ... 18    1333, 1909, 2469601, 893748277, ... 19   51301, ... 30   3901, 28600321, ... 31   214273, ... 35   306181, ... 40   115788961, ... 48   26977, 9560844577, ... 59   1433701, ... 60   24601, ... 66   296341, ... 75   2924101, ... 78   486877, ... 91   5199013, ... 100   10509080401, ... 108   275833, ... 126   12161963773, ... 132   96361, 130153, 495529, ... 136   156276648817, ... 138   46727970517, 51886178401, ... 140   1118457481, ... 168   250321, ... 174   7744461466717, ... 180   12211188308281, ... 190   1167773821, ... 192   163201, 137008036993, ... 198   1564317613, ... 206   626946794653, 54114833564509, ... 222   348231627849277, ... 228   391854937, 102744892633, 3710434289467, ... 252   389593, 1218260233, ... 276   72315968283289, ... 282   8898807853477, ... 296   444574821937, ... 342   542413, 26199602893, ... 348   66239465233897, ... 350   140460782701, ... 360   23911458481, ... 366   808861, ... 372   2469439417, ... 396   8432772615433, ... 402   8942902453, 813535908179653, ... 408   1238906223697, ... 414   8062678298557, ... 430   124528653669661, ... 438   6287557453, ... 480   1324790832961, ... 522   723378252872773, 106049331638192773, ... 546   211125067071829, ... 570   1345711391461, 5810517340434661, ... 660   13786783637881, ... 672   142718568339485377, ... 684   154643791177, ... 774   8695993590900027, ... 810   5646270598021, ... 814   31571188513, ... 816   31571188513, ... 820   1119337766869561, ... 968   52335185632753, ... 972   289085338292617, ... 978   60246544949557, ... 1050   64169172901, ... 1410   80293806421, ... 2772    95295817, 124035913, ... 3918   61442077, 217033693, 12059549149, 60174845917, ... 9222   404458477, 3426618541, 8983131757, 13027827181, ... 9828   432373033, 2797540201, 3777981481, 13197765673, ... 14280   848374801, 2324355601, 4390957201, 16498569361, ... 23730   2288948341, 3102982261, 6861054901, 30897836341, ... 31752    4660241041, 7220722321, 12994506001, 52929885457, 60771359377, ... 55848   15166641361, 44783952721, 67623550801, ... 67782   18407557741, 18444431149, 34939858669, ... 92568   50611924273, 64781493169, 84213367729, ... 100932   50969246953, 53192980777, 82145123113, ...

Se k > 1 estas nepara entjero kaj p=(3k+1)/2 kaj q=3k+4 estas primoj tiam p2q estas k-hiperperfekta; Judson S. McCraine konjektis en 2000 ke ĉiuj k-hiperperfektaj nombroj por nepara k>1 estas de ĉi tiu formo, sed la hipotezo ne estas pruvita. Plue, estas pruvitea ke se p≠q estas neparaj primoj kaj k estas entjero tia ke k(p+q)=pq-1, tiam pq estas k-hiperperfekta.

Se k>0 kaj p=k+1 estas primo, tiam por ĉiuj i>1 tiaj ke q=pi-p+1 estas primo, n=pi-1q estas k-hiperperfekta. Jen estas, tabelo de listoj de sciataj valoroj de k kaj respektiva) valoroj de i por kiuj n estas k-hiperperfekta:

 k  Eksteraj ligiloj  Valoroj de i 16    11, 21, 127, 149, 469, ... 22   17, 61, 445, ... 28   33, 89, 101, ... 36   67, 95, 341, ... 42    4, 6, 42, 64, 65, ... 46    5, 11, 13, 53, 115, ... 52   21, 173, ... 58   11, 117, ... 72   21, 49, ... 88    9, 41, 51, 109, 483, ... 96   6, 11, 34, ... 100    3, 7, 9, 19, 29, 99, 145, ...

 Eksteraj ligiloj 
 MathWorld: Hiperperfekta nombro
   longa listo de hiperperfektaj nombroj je datumoj
  vico de k-hiperperfektaj nombroj
  vico de respektivaj valoroj de k
  vico de k-hiperperfektaj nombroj kiuj ne estas perfektaj
 Judson S. McCranie, Studo de hiperperfektaj bombroj, Ĵurnalo de entjeraj vicoj Volumo. 3 (2000), http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/VOL3/mccranie.html

Kategorio:Entjeraj vicoj