Pova nombro

En matematiko, pova nombro estas pozitiva entjero m tia, ke por ĉiu prima divizoro p de m, ankaŭ p2 estas divizoro de m. Ekvivalente, pova nombro estas produto de kvadrato kaj kubo, t.e. nombro m de formo m = a2b3, kie a kaj b estas pozitivaj entjeroj. Povaj nombroj estas ankaŭ konataj kiel kvadrato-plenaj, aŭ 2-plenaj.

Jen estas listo de ĉiuj povaj nombroj inter 1 kaj 1000:
1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000.

 Ekvivalento de la du difinoj 

Se m = a2b3, tiam ĉiu primo en la prima faktorigo de a aperas en la prima faktorigo de m kun eksponento de almenaŭ du, kaj ĉiu primo en la prima faktorigo de b aperas en la prima faktorigo de m kun eksponento de almenaŭ tri; pro tio, m estas pova.

En la alia direkto, supozu ke m estas pova, kun prima faktorigo

kie ĉiu αi ≥ 2. Estu γi egala al 3 se αmi estas nepara, kaj 0 alie, kaj estu βi = αi - γi. Tiam, ĉiuj valoroj βi estas nenegativaj paraj entjeroj, kaj ĉiuj valoroj γi estas ĉu 0 aŭ 3, do

liveras la deziratan prezenton de m kiel produto de kvadrato kaj kubo.

En la prezento m = a2b3 kalkulita en tiamaniere b estas kvadratolibera, kaj estas unike difinita per ĉi tiu propraĵo.

 Matematikaj propraĵoj 

La sumo inversoj de povaj nombroj konverĝas al

kie p ruligas tra ĉiuj primoj, ζ(s) estas la rimana ζ funkcio, kaj ζ(3) estas konstanto de Apéry (Golomb, 1970).

Estu k(x) la kvanto de povaj nombroj en la intervalo [1,x]. Tiam k(x) estas proporcia al la kvadrata radiko de x. Pli detale,

(Golomb, 1970).

Povas esti konsiderata la vico de paroj de najbaraj povaj nombroj. La du plej malgrandaj najbaraj povaj nombroj estas 8 kaj 9. Pro tio ke la ekvacio de Pell x2 - 8y2 = 1 havas malfinie multajn integralajn solvaĵojn, estas malfinie multaj paroj de najbaraj povaj nombroj (Golomb, 1970); pli ĝenerale, oni povas trovi najbarajn povajn nombrojn per solvado de simila ekvacio x2 - ny2 = ±1 por ĉiu perfekta kubo n. Tamen, unu el la du povaj nombroj en paro formita en tiamaniere devas esti kvadrato. Laŭ Richard K. Guy, Erdős demandis ĉu estas malfinie multaj paroj de najbaraj povaj nombroj tiaj en kiu neniu nombro en la paro estas kvadrato (ekzemplo de ĉi tia paro: 233, 2332132). Jaroslaw Wroblewski montris ke ja estas malfinie multaj ĉi tiaj paroj per montro ke 33c2+1=73d2 havas malfinie multajn solvaĵojn. Estas konjekto de Erdős, Mollin, kaj Walsh ke ne ekzistas 3 najbaraj povaj nombroj.

 Sumoj kaj diferencoj de povaj nombroj 

Ĉiu nepara nombro estas diferenco de du najbaraj kvadratoj: 2k + 1 = (k + 1)2 - k2. Simile, ĉiu multipliko de 4 estas diferenco de la kvadratoj de du nombroj kiuj diferenciĝas inter si je 2. Tamen, unuope para nombro, kio estas, nombro dividebla per du sed ne per kvar, ne povas esti esprimita kiel diferenco de kvadratoj. Ĉi tiu motivigas la demandon de difinado de kiuj unuopaj paraj nombroj povas esti esprimitaj kiel diferencoj de povaj nombroj. Golomb eksponis iujn prezentojn de ĉi tiu speco:

2 = 33 − 52
10 = 133 − 37
18 = 192 − 73 = 32(33 − 52).

Li konjektis ke 6 ne povas esti tiel prezentita, kaj Golomb konjektis ke estas malfinie multaj entjeroj kiuj ne povas esti prezentitaj kiel diferenco inter du povaj nombroj. Tamen, Narkiewicz montris ke 6 povas esti tiel prezentita en malfinie multaj manieroj, ekzemple

6 = 5473 − 4632,

kaj McDaniel montris ke ĉiu entjero havas malfinie multajn ĉi tiajn prezentojn (McDaniel, 1982).

Erdős konjektis ke ĉiu sufiĉe granda entjero estas sumo de maksimume tri povaj nombroj; ĉi tio estis pruvita de Roger Heath-Brown (1987).

 Ĝeneraligo 

Pli ĝenerale, oni povas konsideri la entjerojn kies ĉiuj primaj faktoroj havas eksponentojn de almenaŭ k. Tia entjero estas nomata kiel k-pova nombro aŭ k-plena nombro.

(2k+1 − 1)k, 2k(2k+1 − 1)k, (2k+1 − 1)k+1

estas k-povaj nombroj en aritmetika vico. Ankaŭ, se a1, a2, ..., as estas k-povaj en aritmetika vico kun komuna diferenco d, tiam

 a1(as + d)k,
a2(as + d)k, ..., as(as + d)k, (as + d)k+1

estas s + 1 k-povaj nombroj en aritmetika vico.

Oni havas identon engaĝante k-povaj nombroj:

ak(al + ... + 1)k + ak + 1(al + ... + 1)k + ... + ak + l(al + ... + 1)k = ak(al + ... +1)k+1.

Ĉi tiu donas malfinie multajn (l+1)-opoj de k-povaj nombroj kies sumo estas ankaŭ k-pova. Nitaj montras ke estas malfinie multaj solvaĵoj de x+y=z en reciproke primaj 3-povaj nombroj (Nitaj, 1995). Cohn konstruas malfinian familion de solvaĵoj de x+y=z en reciproke primaj ne-kubaj 3-povaj nombroj kiel sekvas: la trio

X = 9712247684771506604963490444281, Y = 32295800804958334401937923416351, Z = 27474621855216870941749052236511

estas solvaĵo de la ekvacio 32X3 + 49Y3 = 81Z3. Oni povas konstrui la alian solvaĵon per opcio X′ = X(49Y3 + 81Z3), Y′ = −Y(32X3 + 81Z3), Z′ = Z(32X3 − 49Y3) kaj nefarante la komunan dividanton.

 Vidu ankaŭ 
 Aĥila nombro

 Referencoj 








 Eksteraj ligiloj 

 La abc konjekto 
  - vico de povaj nombroj
  - vico de paroj de najbaraj povaj nombroj

Kategorio:Entjeraj vicoj