24-ĉelo

En geometrio, la 24-ĉelo aŭ dudekkvarĉelo estas la konveksa regula plurĉelo kun simbolo de Schläfli {3,4,3}.

La 24-ĉelo estas la unika konveksa regula plurĉelo sen bona regula 3-dimensia analogo.

La rando de la 24-ĉelo estas komponita el 24 okedraj ĉeloj. Je ĉiu vertico kuniĝas 6 ĉeloj. Je ĉiu latero kuniĝas 3 ĉeloj. Kune ili havas 96 triangulajn edrojn, 96 laterojn kaj 24 verticojn. La vertica figuro estas kubo. La 24-ĉelo estas mem-duala.

Estas malpli ordaj formoj de simetrio de 24-ĉelo, derivataj kiel rektigita 16-ĉelo, kun simetrio B4 = [3,3,4] aŭ D4. Ili povas esti respektive desegnitaj dukolore kun 8 kaj 16 okedraj ĉeloj, trikolore kun 8 okedroj ĉiu koloro.

 Konstruoj 
24-ĉelo estas donita kiel la konveksa koverto de ĝiaj verticoj.
Karteziaj koordinatoj de verticoj de la 24-ĉelo centrita je la (0, 0, 0, 0) kun lateroj de longo 1 estas:
8 verticoj - ĉiuj permutoj de (±1, 0, 0, 0)
16 verticoj - ĉiuj de formo (±½, ±½, ±½, ±½)
La unuaj 8 verticoj estas verticoj de la regula 16-ĉelo kaj la aliaj 16 estas la verticoj de la duala 4-hiperkubo. Oni povas plu dividi la lastajn 16 verticojn en du grupojn: tiuj kun para kvanto de minusoj kaj tiuj kun nepara kvanto. Ĉiu el la du grupoj de 8 verticoj difinas regulan 16-ĉelon. La verticoj de la 24-ĉelo povas tiam esti grupita en 3 arojn el 8 verticoj, kaj ĉiu aro difinas regulan 16-ĉelon, kaj la restaj 16 difinas la dualan 4-hiperkubon.

Analoga konstruado en 3-spaco donas la romban dekduedron, kiu, tamen, ne estas regula pluredro.

La verticoj de la duala 24-ĉelo estas donataj kiel ĉiuj permutoj de
(±1, ±1, 0, 0)
La duala 24-ĉelo havas laterojn de longo √2 kaj estas enskribita en 3-sferon de radiuso √2.

Alia maniero de konstruado de la 24-ĉelo estas per la rektigo de la 16-ĉelo. La vertica figuro de la 16-ĉelo estas okedro; tial, tranĉado de verticoj de la 16-ĉelo je la mezpunktoj de ĝiaj lateroj produktas 8 okedrajn ĉelojn. Ĉi tiu procezo ankaŭ rektigas la kvaredrajn ĉelojn de la 16-ĉelo kaj ankaŭ ili iĝas okedrojn, tial formante la 24 okedrajn ĉelojn de la 24-ĉelo.

 Bildoj 
200ra200raRektlinia sfera projekcioOrta projekcio

400ra|eta|maldekstra|Stereobildo de 3-dimensia projekcio de 24-ĉelo
600ra|eta|maldekstra|Reta pluredro de 24-ĉelo kun ĉeloj kolorigitaj laŭ D4, B4 kaj F4 simetrioj

 Kahelaroj 
Oni povas kaheli 4-dimensian eŭklidan spacon per regulaj 24-ĉeloj. Ĉi tiu kahelaro estas nomata kiel la 24-ĉela 4-kahelaro kaj havas simbolon de Schläfli {3,4,3,3}. La duala kahelaro, 16-ĉela 4-kahelaro, {3,3,4,3}, estas farata el regulaj 16-ĉeloj. Kun ankaŭ la 4-hiperkuba 4-kahelaro {4,3,3,4}, ĉi tiuj estas la nuraj tri regulaj kahelaroj de eŭklida 4-spaco (R4).

Aro de unuaj 4-pilkoj enskribitaj en la 24-ĉeloj de la kahelaro estas la plej densa pakado de 3-sferoj en 4-spaco. La vertica konfiguro de la 24-ĉelo havas ankaŭ estas montrita al doni la plej grandan eblan kvanton de tuŝoj en 4 dimensioj.

 Simetrioj kaj radikaj sistemoj 
La 48 verticoj de la 24-ĉelo kaj ĝia duala plurĉelo formas la radika sistemo de speco F4. La 24 verticoj de la duala plurĉelo formas la radikan sistemon de speco D4. La geometria simetria grupo de la 24-ĉelo estas la grupo de Weyl de F4 kiu estas generita per reflektoj tra la hiperebenoj perpendikularaj al la F4 radikoj. Ĉi tiu estas solvebla grupo de ordo 1152.

 Projekcioj 
eta|220ra|eta|Projekcio kovertoj de la 24-ĉelo. Ĉiu ĉelo estas desegnita kun malsamaj kolorigitaj edroj, inversigitaj ĉeloj ne estas montritaj.  1. ĉelo-unua  2. edro-unua  3. latero-unua  4. vertico-unua
La ĉelo-unua paralela projekcio de la 24-ĉelo en 3-dimensian spacon havas kubokedran koverton. Du el la okedraj ĉeloj, la plej proksima kaj pli malproksima de la vidanto, projekciiĝas sur okedron kies verticoj kuŝi je la centroj de la kubokedraj kvadrataj edroj. Ĉirkaŭbarante ĉi tiun centran okedron kuŝas la projekcioj de 16 aliaj ĉeloj, havanta 8 paroj ĉiu el kiuj projekciiĝas sur unuon el la 8 volumenoj kuŝantaj inter triangula edro de la centra okedro kaj la plej proksima triangula edro de la kubokedro. La ceteraj 6 ĉeloj projekciiĝas sur la kvadratajn edrojn de la kubokedro.

La latero-unua paralela projekcio havas plilongigitan seslateran dupiramidan koverto.

La edro-unua paralela projekcio havas neuniforman seslatera du-seslateran kontraŭprisman koverton.

La vertico-unua paralela projekcio de la 24-ĉelo en 3-dimensian spacon havas romba dekduedra koverton. 12 el la 24 okedraj ĉeloj projekciiĝas en paroj sur ses kvadratajn dupiramidojn kiuj kuniĝas je la centro de la romba dekduedro. La ceteraj 12 okedraj ĉeloj projekcias sur la 12 rombajn edrojn de la romba dekduedro.

La vertico-unua perspektiva projekcio de la 24-ĉelo en 3-dimensian spacon havas kvarlateropiramidigita kuban koverto. La aranĝo de ĉeloj en ĉi tiu bildo estas simila al la bildo sub paralela projekcio.

 Rilatantaj plurĉeloj 
Kelkaj uniformaj plurĉeloj povas esti derivitaj de la 24-ĉelo per tranĉoj:
 Senpintigo je 1/3 de la latera longo rezultiĝas je la senpintigita 24-ĉelo;
 Senpintigo je 1/2 de la latera longo rezultiĝas je la rektigita 24-ĉelo;
 Senpintigo je duono de la profundo al la duala 24-ĉela rezultiĝas je la dutranĉita 24-ĉelo, kiu estas ĉelo-uniforma.

La 96 lateroj de la 24-ĉelo povas esti disdividitaj je la ora proporcio por produkti la 96 verticojn de la riproĉa 24-ĉelo. Ĉi tiu estas farata per dono de direktoj al lateroj de la 24-ĉelo tiel ke ĉiu du-dimensia edro povu esti ĉirkaŭirata laŭ la direktoj, poste necesas disdividi ĉiu lateron je la ora proporcio laŭ la direkto. Analoga ŝanĝo al okedro produktas dudekedron, kiu estas la riproĉa okedro.

 Vidu ankaŭ 
 Uniforma plurĉelo

 Referencoj 
 H. S. M. Coxeter, Regulaj hiperpluredroj, 3-a. red., Doveraj Eldonoj, 1973. ISBN 0-486-61480-8.

 Eksteraj ligiloj 



 -  [3,4,3]: 24-ĉelo (22)
 -  [4,3,3]: Rektigita 16-ĉelo (22)
 -  [31,1,1]: 24-ĉelo (22)
  Pri 24-ĉelo en regulaj hiperpluredroj de Marco Möller en R4
 24-ĉelaj animacioj 
 24-ĉelo en rektliniaj sferaj projekcioj 
 24-ĉela priskribo kaj figuroj 
 Dekdulateroj de Petrie en la 24-ĉelo: matematiko kaj animacia programaro 

Kategorio:Plurĉeloj