Unuforma plurĉelo

En geometrio, unuforma plurĉelo estas plurĉelo (aŭ 4-hiperpluredro) kiu estas unuforma hiperpluredro, do kiu estas vertico-transitiva kaj kies ĉeloj estas unuformaj pluredroj.

Ĉi tiu artikolo enhavas la plenan liston de 64 ne-prismaj konveksaj unuformaj plurĉeloj, kaj priskribas du malfiniajn arojn de konveksaj prismoj.

 Historio de malkovro 
 Regulaj hiperpluredroj: (konveksaj edroj)
 1852: Ludwig Schläfli pruvis en sia manuskripto Theorie der vielfachen Kontinuität ke estas akurate 6 regulaj hiperpluredroj en 4 dimensioj kaj nur 3 en 5 aŭ pli multaj dimensioj.
 Regulaj stelaj plurĉeloj (kun stelaj pluredraj ĉeloj aŭ verticaj figuroj)
 1852: Ludwig Schläfli ankaŭ trovis na 4 el la 10 regulaj stelaj plurĉeloj, nekonsiderinte tiujn 6 kun ĉeloj aŭ verticaj figuroj {5/2,5} kaj {5,5/2}.
 1883: Edmund Hess plenigis la liston de 10 nekonveksaj regulaj plurĉeloj en sia libro Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder .
 Duonregulaj hiperpluredroj: (konveksaj)
 1900: Thorold Gosset publikigis liston de neprismaj duonregulaj konveksaj hiperpluredroj kun regulaj ĉeloj (platonaj solidoj) en lia eldono Pri la regulaj kaj duoneregulaj figuroj en spaco de n dimensioj.
 1912: E. L. Elte elvolvis la aferon surbaze de laboro de Gosset en eldono La duonregulaj hiperpluredroj de la hiperspacoj, inkluzivante specialan subaron de hiperpluredroj kun duonregulaj facetoj (tiuj konstrueblaj per sola ringita vertico de figuro de Coxeter-Dynkin.)
 Konveksaj unuformaj hiperpluredroj:
 1910: Alicia Boole Stott, en ŝia eldono Geometria konkludo de duonregulaj surbaze de regulaj hiperpluredroj kaj spacaj plomboj elvolvis la difinon per permeso de ankaŭ arĥimedaj solidoj kaj prismaj ĉeloj.
 1940: La serĉo estis elvolvita sisteme de Harold Scott MacDonald Coxeter en lia eldono Regulaj kaj duonregulaj hiperpluredroj.
 Konveksaj unuformaj plurĉeloj:
 1965: La plena listo de konveksaj formoj estis farita de John Horton Conway kaj Michael Guy en ilia eldono Kvar-dimensiaj arĥimedaj hiperpluredroj. La laboro estas farita per komputila serĉado. Estis trovita nur unu konveksa plurĉelo kiu ne povas esti konstruita per konstruo de Wythoff - la spacograndigita kontraŭprismo.
 1997: Plena numerado de la nomoj kaj eroj de la konveksaj unuformaj plurĉeloj estas donita surlinie de George Olshevsky. 
 2004: Pruvo ke la aro de Conway kaj'Guy estas plena estis publikigita de Marco Möller en lia disertaĵo Vierdimensionale Archimedische Polytope.
 Neregulaj unuformaj stelaj plurĉeloj (nekonveksaj):
 Daŭriĝas: Miloj de nekonveksaj unuformaj plurĉeloj estas sciataj, sed plejparte ili estas nepublikigitaj. La listo estas supozita al ne esti plena, kaj ne estas sciate kiam la plena listo estos farita.

 Regulaj plurĉeloj 
La unuformaj plurĉeloj inkluzivas 16 regulajn plurĉelojn:
 6 konveksaj regulaj plurĉeloj
 10 nekonveksaj plurĉeloj de Schläfli-Hess
Ĉi el la 16 havas propraĵo ke ĉiuj ĉeloj, edroj, lateroj, kaj verticoj estas kongruaj.

 Konveksaj unuformaj plurĉeloj 
Estas 64 konveksaj unuformaj plurĉeloj, inkluzivanta la 6 konveksajn regulajn plurĉelojn, kaj malinkluzivante la malfiniajn arojn de la duprismoj kaj la kontraŭprismaj hiperprismoj.
 5 estas pluredraj prismoj bazita sur la platonaj solidoj .El ili 1 interkovras kun la regulaj ĉar la unuforma kuba hiperprismo estas regula 4-hiperkubo; do 4 la novaj formoj.
 13 estas pluredraj prismoj bazita sur la arĥimedaj solidoj
 9 estas en la mem-duala regula {3,3,3} (5-ĉelo) familio.
 9 estas en la mem-duala regula {3,4,3} (24-ĉelo) familio (malinkluzivante riproĉan 24-ĉelon).
 15 estas en la regula {3,3,4} (4-hiperkubo/16-ĉelo) familio El ili 3 interkovras kun 24-ĉela familio; do 12 la novaj formoj.
 15 estas en la regula {3,3,5} (120-ĉelo/600-ĉelo) familio.
 1 speciala riproĉa formo en la {3,4,3} (24-ĉelo) familio - la riproĉa 24-ĉelo.
 1 speciala kiu ne povas esti konstruita per konstruo de Wythoff - la spacograndigita kontraŭprismo.
 Entute: 4+13+9+9+12+15+1+1=64

Aldone al la 64 pli supre listigitaj, estas 2 malfiniaj prismaj aroj kiuj generas ĉiujn la ceterajn konveksajn formojn:
 Aro de unuformaj kontraŭprismaj prismoj - s{p,2}x{} - ĉiu el ili estas 4-dimensia prismo kun konveksa kontraŭprismo kiel la bazo.
 Aro de unuformaj duprismoj - {p}x{q} - ĉiu el ili estas kartezia produto de du konveksaj plurlateroj.

 A4 {3,3,3} (5-ĉela) familio 
La bildoj estas desegnitaj kiel projekcioj de figuroj de Schlegel centritaj je la ĉelo de situo 3, kun konsekvenca orientiĝo, kaj la 5 ĉeloj je situo 0 estas montritaj solide.
 Nomo Bildo Figuro de Coxeter-Dynkinkaj simbolo de Schläfli Ĉeloj laŭ situo Ĉeloj Edroj Lateroj Verticoj Situo 3(5) Situo 2(10) Situo 1(10) Situo 0(5) 5-ĉelo 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.png{3,3,3} 30ra(3.3.3) 5 10 10 5 Senpintigita 5-ĉelo 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngt0,1{3,3,3} 30ra(3.6.6) 30ra(3.3.3) 10 30 40 20 Rektigita 5-ĉelo 50ra Dosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngt1{3,3,3} 30ra(3.3.3.3) 30ra(3.3.3) 10 30 30 10 Laterotranĉita 5-ĉelo 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngt0,2{3,3,3} 30ra(3.4.3.4) 30ra(3.4.4) 30ra(3.3.3.3) 20 80 90 30 Rektigitotranĉita 5-ĉelo 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngt0,1,2{3,3,3} 30ra(4.6.6) 30ra(3.4.4) 30ra(3.6.6) 20 80 120 60 Edroverticotranĉita 5-ĉelo 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngt0,1,3{3,3,3} 30ra(3.6.6) 30ra(4.4.6) 30ra(3.4.4) 30ra(3.4.3.4) 30 120 150 60 *Dutranĉita 5-ĉelo 50ra Dosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngt1,2{3,3,3} 30ra(3.6.6) 30ra(3.6.6) 10 40 60 30 *Edrotranĉita 5-ĉelo 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngt0,3{3,3,3} 30ra(3.3.3) 30ra(3.4.4) 30ra(3.4.4) 30ra(3.3.3) 30 70 60 20 *Entutotranĉita 5-ĉelo 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngt0,1,2,3{3,3,3} 30ra(4.6.6) 30ra(4.4.6) 30ra(4.4.6) 30ra(4.6.6) 30 150 240 120

La 5-ĉelo havas simplan kvinĉelan simetrion de ordo 120, izomorfia al la permutoj de kvin eroj, ĉar ĉiuj paroj de verticoj estas rilatantaj en la sama maniero.

*La tri formoj markitaj per asterisko havas la pli altan etenditan kvinĉelan simetrion, de ordo 240, ĉar ĉiu ero respektiva al ero de la fonta 5-ĉelo povas esti interŝanĝita kun ĉiu el la eroj respektivaj al eroj de la duala 5-ĉelo.

 La C4 {4,3,3}/{3,3,4} (4-hiperkuba/16-ĉela) familio 
 4-hiperkuba familio 
La bildoj estas desegnitaj kiel projekcioj de figuroj de Schlegel centritaj je la ĉelo de situo 3, kun konsekvenca orientiĝo, kaj la 16 ĉeloj je situo 0 estas montritaj solide alterne kolorigite.
 Nomo Bildo Figuro de Coxeter-Dynkinkaj simbolo de Schläfli Ĉeloj laŭ situo Ĉeloj Edroj Lateroj Verticoj Situo 3(8) Situo 2(24) Situo 1(32) Situo 0(16) 4-hiperkubo  (8-ĉelo) 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.png{4,3,3} 30ra(4.4.4) 8 24 32 16 Senpintigita 4-hiperkubo 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngt0,1{4,3,3} 30ra(3.8.8) 30ra(3.3.3) 24 88 128 64 Rektigita 4-hiperkubo 50ra Dosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngt1{4,3,3} 30ra(3.4.3.4) 30ra(3.3.3) 24 88 96 32 Laterotranĉita 4-hiperkubo 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngt0,2{4,3,3} 30ra(3.4.4.4) 30ra(3.4.4) 30ra(3.3.3.3) 56 248 288 96 Rektigitotranĉita 4-hiperkubo 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngt0,1,2{4,3,3} 30ra(4.6.8) 30ra(3.4.4) 30ra(3.6.6) 56 248 384 192 Edroverticotranĉita 4-hiperkubo 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngt0,1,3{4,3,3} 30ra(3.8.8) 30ra(4.4.8) 30ra(3.4.4) 30ra(3.4.3.4) 80 368 480 192 Dutranĉita 4-hiperkubo(dutranĉita 16-ĉelo) 50ra Dosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngt1,2{4,3,3} 30ra(4.6.6) 30ra(3.6.6) 24 120 192 96 Edrotranĉita 4-hiperkubo(edrotranĉita 16-ĉelo) 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngt0,3{4,3,3} 30ra(4.4.4) 30ra(4.4.4) 30ra(3.4.4) 30ra(3.3.3) 80 208 192 64 Entutotranĉita 4-hiperkubo(entutotranĉita 16-ĉelo) 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngt0,1,2,3{3,3,4} 30ra(4.6.8) 30ra(4.4.8) 30ra(4.4.6) 30ra(4.6.6) 80 464 768 384

 16-ĉela familio 
La bildoj estas desegnitaj kiel projekcioj de figuroj de Schlegel centritaj je la ĉelo de situo 0, kun konsekvenca orientiĝo, kaj la 8 ĉeloj je situo 3 estas montritaj solide, dukolore en du prismaj aroj.

 Nomo Bildo Figuro de Coxeter-Dynkinkaj simbolo de Schläfli Ĉeloj laŭ situo Ĉeloj Edroj Lateroj Verticoj Situo 3(8) Situo 2(24) Situo 1(32) Situo 0(16) 16-ĉelo 50ra Dosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.png{3,3,4} 30ra(3.3.3) 16 32 24 8 Senpintigita 16-ĉelo 50ra Dosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngt0,1{3,3,4} 30ra(3.3.3.3) 30ra(3.6.6) 24 96 120 48 *Rektigita 16-ĉelo(24-ĉelo) 50ra Dosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngt1{3,3,4} 30ra(3.3.3.3) 30ra(3.3.3.3) 24 96 96 24 *Laterotranĉita 16-ĉelo(rektigita 24-ĉelo) 50ra Dosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngt0,2{3,3,4} 30ra(3.4.3.4) 30ra(4.4.4) 30ra(3.4.3.4) 48 240 288 96 *Rektigitotranĉita 16-ĉelo(senpintigita 24-ĉelo) 50ra Dosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngt0,1,2{3,3,4} 30ra(4.6.6) 30ra(4.4.4) 30ra(4.6.6) 48 240 384 192 Edroverticotranĉita 16-ĉelo 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngt0,1,3{3,3,4} 30ra(3.4.4.4) 30ra(4.4.4) 30ra(4.4.6) 30ra(3.6.6) 80 368 480 192 Dutranĉita 16-ĉelo(dutranĉita 4-hiperkubo) 50ra Dosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngt1,2{3,3,4} 30ra(4.6.6) 30ra(3.6.6) 24 120 192 96 Edrotranĉita 16-ĉelo(edrotranĉita 4-hiperkubo) 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngt0,3{3,3,4} 30ra(4.4.4) 30ra(4.4.4) 30ra(3.4.4) 30ra(3.3.3) 80 208 192 64 Entutotranĉita 16-ĉelo(entutotranĉita 4-hiperkubo) 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngt0,1,2,3{3,3,4} 30ra(4.6.8) 30ra(4.4.8) 30ra(4.4.6) 30ra(4.6.6) 80 464 768 384

Ĉi tiu familio havas simplan 16-ĉelan simetrion, de ordo 24*16=384: 4!=24 permutoj de la kvar hakoj, 24=16 por reflektoj laŭ ĉiu akso.

(*) Simile al tio kiel rektigo de la kvaredro produktas la okedron, rektigo de la 16-ĉelo produktas la 24-ĉelon, la regula membron de ĉi tiu familio. Markitaj per "*" plurĉeloj havas simplan 24-ĉelan simetrion de ordo 1152, vidu pli detale en la sekva ĉapitro.

 La F4 {3,4,3} (24-ĉela) familio 
 Nomo Bildo Figuro de Coxeter-Dynkinkaj simbolo de Schläfli Ĉeloj laŭ situo Ĉeloj Edroj Lateroj Verticoj Situo 3(24) Situo 2(96) Situo 1(96) Situo 0(24) 24-ĉelo(rektigita 16-ĉelo) 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.png{3,4,3} 30ra(3.3.3.3) 24 96 96 24 Senpintigita 24-ĉelo(rektigitotranĉita 16-ĉelo) 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngt0,1{3,4,3} 30ra(4.6.6) 30ra(4.4.4) 48 240 384 192 Rektigita 24-ĉelo(laterotranĉita 16-ĉelo) 50ra Dosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngt1{3,4,3} 30ra(3.4.3.4) 30ra(4.4.4) 48 240 288 96 Laterotranĉita 24-ĉelo 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngt0,2{3,4,3} 30ra(3.4.4.4) 30ra(3.4.4) 30ra(3.4.3.4) 144 720 864 288 Rektigitotranĉita 24-ĉelo 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngt0,1,2{3,4,3} 30ra(4.6.8) 30ra(3.4.4) 30ra(3.8.8) 144 720 1152 576 Edroverticotranĉita 24-ĉelo 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngt0,1,3{3,4,3} 30ra(4.6.6) 30ra(4.4.6) 30ra(3.4.4) 30ra(3.4.4.4) 240 1104 1440 576 *Dutranĉita 24-ĉelo 50ra Dosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngt1,2{3,4,3} 30ra(3.8.8) 30ra(3.8.8) 48 336 576 288 *Edrotranĉita 24-ĉelo 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngt0,3{3,4,3} 30ra(3.3.3.3) 30ra(3.4.4) 30ra(3.4.4) 30ra(3.3.3.3) 240 672 576 144 *Entutotranĉita 24-ĉelo 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngt0,1,2,3{3,4,3} 30ra(4.6.8) 30ra(4.4.6) 30ra(4.4.6) 30ra(4.6.8) 240 1392 2304 1152 **Riproĉa 24-ĉelo(alternita senpintigita 24-ĉelo) 50ra Dosiero:CDW hole.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW hole.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngh0,1{3,4,3} 30ra(3.3.3.3.3) 30ra(3.3.3)(oblikva) 30ra(3.3.3) 144 480 432 96

Ĉi tiu familio havas simplan 24-ĉelan simetrion, de ordo 24*48=1152: la 48 simetrioj de la okedro por ĉiu el la 24 ĉeloj.

*La tri formoj markitaj per asterisko havas la pli altan etenditan 24-ĉelan simetrion, de duoble pli granda ordo 2304, ĉar ĉiu ero respektiva al ero de la fonta 24-ĉelo povas esti interŝanĝita kun ĉiu el la eroj respektivaj al eroj de la duala 24-ĉelo.

**La riproĉa 24-ĉelo ĉi tie, malgraŭ ĝia komuna nomo, ne estas analoga al la riproĉa kubo. Ĝi estas farata per alternado de la senpintigita 24-ĉelo. Ĝia simetria ordo estas nur 576 (la jona malkreskigita 24-ĉela grupo).

 La G4 {5,3,3}/{3,3,5} (120-ĉela/600-ĉela) familio 
 Nomo Bildo Figuro de Coxeter-Dynkinkaj simbolo de Schläfli Ĉeloj laŭ situo Ĉeloj Edroj Lateroj Verticoj Situo 3(120) Situo 2(720) Situo 1(1200) Situo 0(600) 120-ĉelo 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 5.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.png{5,3,3} 30ra(5.5.5) 120 720 1200 600 600-ĉelo 50ra Dosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 5.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.png{3,3,5} 30ra(3.3.3) 600 1200 720 120 Senpintigita 120-ĉelo 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 5.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngt0,1{5,3,3} 30ra(3.10.10) 30ra(3.3.3) 720 3120 4800 2400 Senpintigita 600-ĉelo 50ra Dosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 5.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngt0,1{3,3,5} 30ra(3.3.3.3.3) 30ra(3.6.6) 720 3600 4320 1440 Rektigita 120-ĉelo 50ra Dosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 5.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngt1{5,3,3} 30ra(3.5.3.5) 30ra(3.3.3) 720 3120 3600 1200 Rektigita 600-ĉelo 50ra Dosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 5.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngt1{3,3,5} 30ra(3.3.3.3.3) 30ra(3.3.3.3) 720 3600 3600 720 Laterotranĉita 120-ĉelo 51ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 5.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngt0,2{5,3,3} 30ra(3.4.5.4) 30ra(3.4.4) 30ra(3.3.3.3) 1920 9120 10800 3600 Laterotranĉita 600-ĉelo 50ra Dosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 5.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngt0,2{3,3,5} 30ra(3.5.3.5) 30ra(4.4.5) 30ra(3.4.3.4) 1440 8640 10800 3600 Rektigitotranĉita 120-ĉelo 51ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 5.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngt0,1,2{5,3,3} 30ra(4.6.10) 30ra(3.4.4) 30ra(3.6.6) 1920 9120 14400 7200 Rektigitotranĉita 600-ĉelo 50ra Dosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 5.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngt0,1,2{3,3,5} 30ra(5.6.6) 30ra(4.4.5) 30ra(4.6.6) 1440 8640 14400 7200 Edroverticotranĉita 120-ĉelo 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 5.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngt0,1,3{5,3,3} 30ra(3.10.10) 30ra(4.4.10) 30ra(3.4.4) 30ra(3.4.3.4) 2640 13440 18000 7200 Edroverticotranĉita 600-ĉelo 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 5.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngt0,1,3{3,3,5} 30ra(3.4.5.4) 30ra(4.4.5) 30ra(4.4.6) 30ra(3.6.6) 2640 13440 18000 7200 Dutranĉita 120-ĉelo(dutranĉita 600-ĉelo) 50ra Dosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 5.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngt1,2{5,3,3} 30ra(5.6.6) 30ra(3.6.6) 720 4320 7200 3600 Edrotranĉita 120-ĉelo(edrotranĉita 600-ĉelo) 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 5.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngt0,3{5,3,3} 30ra(5.5.5) 30ra(4.4.5) 30ra(3.4.4) 30ra(3.3.3) 2640 7440 7200 2400 Entutotranĉita 120-ĉelo(entutotranĉita 600-ĉelo) 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 5.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngt0,1,2,3{5,3,3} 30ra(4.6.10) 30ra(4.4.10) 30ra(4.4.6) 30ra(4.6.6) 2640 17040 28800 14400

Ĉi tiu familio havas simplan 120-ĉelan simetrion, de ordo 120*120=24*600=14400: 120 por ĉiu el la 120 dekduedroj, aŭ 24 por ĉiu el la 600 kvaredroj.

 La B4 [31,1,1] grupa familio 
Ĉi tiu familio ne donas la novajn unuformajn plurĉelojn, sed indas ripeti ĉi tiujn alternativajn konstruojn.

 Nomo Bildo Figuro de Coxeter-Dynkinkaj simbolo de Schläfli Ĉeloj laŭ situo Ĉeloj Edroj Lateroj Verticoj Situo 0(8) Situo 1(24) Situo 0'(8) Situo 3(8) Situo A(96) 16-ĉelo 50ra Dosiero:CD ring.pngDosiero:CD 3.pngDosiero:CD downbranch-00.pngDosiero:CD 3.pngDosiero:CD dot.png<P>t0{31,1,1} 30ra(3.3.3) 30ra(3.3.3) 16 32 24 8 Senpintigita 16-ĉelo 50ra Dosiero:CD ring.pngDosiero:CD 3.pngDosiero:CD downbranch-10.pngDosiero:CD 3.pngDosiero:CD dot.png<P>t0,1{31,1,1} 30ra(3.3.3.3) 30ra(3.6.6) 30ra(3.6.6) 24 96 120 48 Rektigita 4-hiperkubo 50ra Dosiero:CD ring.pngDosiero:CD 3.pngDosiero:CD downbranch-01.pngDosiero:CD 3.pngDosiero:CD dot.png<P>t0,2{31,1,1} 30ra(3.3.3) 30ra(3.3.3) 30ra(3.4.3.4) 24 88 96 32 Dutranĉita 4-hiperkubo 50ra Dosiero:CD ring.pngDosiero:CD 3.pngDosiero:CD downbranch-11.pngDosiero:CD 3.pngDosiero:CD dot.png<P>t0,1,2{31,1,1} 30ra(3.6.6) 30ra(3.6.6) 30ra(4.6.6) 24 120 192 96 24-ĉelo 50ra Dosiero:CD dot.pngDosiero:CD 3.pngDosiero:CD downbranch-10.pngDosiero:CD 3.pngDosiero:CD dot.png<P>t1{31,1,1} 30ra(3.3.3.3) 30ra(3.3.3.3) 30ra(3.3.3.3) 24 96 96 24 Rektigita 24-ĉelo 50ra Dosiero:CD ring.pngDosiero:CD 3.pngDosiero:CD downbranch-01.pngDosiero:CD 3.pngDosiero:CD ring.png<P>t0,2,3{31,1,1} 30ra(3.4.3.4) 30ra(4.4.4) 30ra(3.4.3.4) 30ra(3.4.3.4) 48 240 288 96 Senpintigita 24-ĉelo 50ra Dosiero:CD ring.pngDosiero:CD 3.pngDosiero:CD downbranch-11.pngDosiero:CD 3.pngDosiero:CD ring.png<P>t0,1,2,3{31,1,1} 30ra(4.6.6) 30ra(4.4.4) 30ra(4.6.6) 30ra(4.6.6) 48 240 384 192 Riproĉa 24-ĉelo 50ra Dosiero:CD hole.pngDosiero:CD 3.pngDosiero:CD downbranch-snub.pngDosiero:CD 3.pngDosiero:CD hole.png<P>s{31,1,1} 30ra(3.3.3.3.3) 30ra(3.3.3) 30ra(3.3.3.3.3) 30ra(3.3.3.3.3) 30ra(3.3.3) 144 480 432 96

Ĉi tie denove la riproĉa 24-ĉelo prezentas alternadon de la senpintigita 24-ĉelo, kreante 96 novajn kvaredrojn je la situoj de la forigataj verticoj. En kontrasto al ĝia aperoj en antaŭaj grupoj kiel parte riproĉigita plurĉelo, nur en ĉi tiu geometria simetria grupo ĝi havas la plenan analogecon al la 3-dimensiaj la riproĉa kubo kaj la riproĉa dekduedro.

 La spacograndigita kontraŭprismo 
Estas unu unuforma konveksa plurĉelo kiu ne povas esti konstruita per konstruo de Wythoff - la spacograndigita kontraŭprismo, konsistanta de 20 kvinlateraj kontraŭprismoj formantaj du perpendikularajn ringojn kunigitajn per 300 kvaredroj. Ĝi estas iel analoga al la tri-dimensiaj kontraŭprismoj, kiuj konsistas el du paralelaj plurlateroj kunigitaj per bando de trianguloj; sed malsimile al ili la spacograndigita kontraŭprismo ne estas membro de malfinia familio de unuformaj hiperpluredroj.

Ĝia simetria ordo estas 400 (la jona malkreskigita grupo).

 Nomo Bildo Figuro de Coxeter-Dynkinkaj simbolo de Schläfli Ĉeloj laŭ speco Ĉeloj Edroj Lateroj Verticoj Spacograndigita kontraŭprismo 50ra Ne ekzistasne ekzistas 300 (3.3.3) 20ra 20 (3.3.3.5) 20ra 320 20 {5}700 {3} 500 100

 Prismaj unuformaj plurĉeloj 
Estas tri malfiniaj familioj de unuformaj plurĉeloj kiuj estas konsiderataj kiel prismaj, en tiu senco ke ili ĝeneraligas la propraĵoj de la 3-dimensiaj prismoj. Prisma hiperpluredro estas kartezia produto de du hiperpluredroj de subaj dimensioj. Estas kvar manieroj ricevi 4-dimensian plurĉelon per kartezia produto:

 {p,q}x{} - Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW p.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW q.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.png - {p,q}-pluredra prismo
 {p}x{q} - Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW p.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW q.pngDosiero:CDW dot.png - p-latera q-latera duprismo
 {p}x{}x{} - Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW p.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.png - plurlateraj prismaj prismoj - (la samo kiel {p}x{4})
 {}x{}x{}x{} - Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.png - 4-hiperkubo (ne malfinia serio)

 Pluredraj prismoj 
Unu el familioj de prismaj plurĉeloj estas la pluredraj prismoj, ĉiu el kiuj estas kartezia produto de pluredro kun streko. La ĉeloj de ĉi tia plurĉelo estas du identaj unuformaj pluredroj situantaj en paralelaj hiperebenoj (la bazaj ĉeloj) kaj tavolo de prismoj kunigataj ilin (la flankaj ĉeloj). Ĉi tiu familio inkluzivas prismojn por la 75 neprismaj unuformaj pluredroj. El ili 18 estas konveksa, 5 kreitaj de platonaj solidoj kaj 13 kreitaj de arĥimedaj solidoj. Unu el ili tiuj, la kuba prismo, estas listigita pli supre kiel la 4-hiperkubo.

Ankaŭ ekzistas pluredraj prismoj surbaze de la malfiniaj familioj de tri-dimensiaj prismoj kaj kontraŭprismoj.

La simetria ordo de pluredra prismo estas dufoje de tiu de la baza pluredro, krom specialaj okazoj kiam bazaj kaj flankaj ĉeloj estas la samaj, tiam la ordo estas pli granda.

 Kvaredraj prismoj: A3xA1 - {3,3}x{} 
 Nomo Bildo Figuro de Coxeter-Dynkinkaj simbolo de Schläfli Ĉeloj laŭ speco Ĉeloj Edroj Lateroj Verticoj Kvaredra prismo 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.pngt0{3,3}x{} 2 20ra3.3.3 4 20ra3.4.4 6 8 {3}6 {4} 16 8 Senpintigita kvaredra prismo 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.pngt0,1{3,3}x{} 2 20ra3.6.6 4 20ra3.4.4 4 20ra4.4.6 10 8 (3)8 {4}8 {6} 48 24 Rektigita kvaredra prismo(okedra prismo) 50ra Dosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.pngt1{3,3}x{} 2 20ra3.3.3.3 4 20ra3.4.4 6 16 {3}12 {4} 30 12 Laterotranĉita kvaredra prismo(kubokedra prismo) 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.pngt0,2{3,3}x{} 2 20ra3.4.3.4 8 20ra3.4.4 6 20ra4.4.4 16 16 {3}36 {4} 60 24 Rektigitotranĉita kvaredra prismo(senpintigita okedra prismo) 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.pngt0,1,2{3,3}x{} 2 20ra4.6.6 8 20ra3.4.4 6 20ra4.4.4 16 48 {4}16 {6} 96 48 Riproĉa kvaredra prismo(dudekedra prismo) 50ra Dosiero:CDW hole.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW hole.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW hole.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.pngs{3,3}x{} 2 20ra3.3.3.3.3 20 20ra3.4.4 22 40 {3}30 {4} 72 24

 Okedraj prismoj: C3xA1 - {4,3}x{} 
 Nomo Bildo Figuro de Coxeter-Dynkinkaj simbolo de Schläfli Ĉeloj laŭ speco Ĉeloj Edroj Lateroj Verticoj Kuba prismo(4-hiperkubo)(4-4 duprismo) 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.pngt0{4,3}x{} 2 20ra4.4.4 6 20ra4.4.4 8 24 {4} 32 16 Okedra prismo(rektigita kvaredra prismo)(kvadrata kontraŭprisma prismo) 50ra Dosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.pngt2{4,3}x{} 2 20ra3.3.3.3 8 20ra3.4.4 10 16 {3}12 {4} 30 12 Kubokedra prismo(laterotranĉita kvaredra prismo) 50ra Dosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.pngt1{4,3}x{} 2 20ra3.4.3.4 8 20ra3.4.4 6 20ra4.4.4 16 16 {3}36 {4} 60 24 Senpintigita kuba prismo 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.pngt0,1{4,3}x{} 2 20ra3.8.8 8 20ra3.4.4 6 20ra4.4.8 16 16 {3}36 {4}12 {8} 96 48 Senpintigita okedra prismo(rektigitotranĉita kvaredra prismo) 50ra Dosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.pngt1,2{4,3}x{} 2 20ra4.6.6 6 20ra4.4.4 8 20ra4.4.6 16 48 {4}16 {6} 96 48 Rombokub-okedra prismo 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.pngt0,2{4,3}x{} 2 20ra3.4.4.4 8 20ra3.4.4 18 20ra4.4.4 28 16 {3}84 {4} 120 96 Senpintigita kubokedra prismo 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.pngt0,1,2{4,3}x{} 2 20ra4.6.8 12 20ra4.4.4 8 20ra4.4.6 6 20ra4.4.8 28 96 {4}16 {6}12 {8} 192 96 Riproĉa kuba prismo 50ra Dosiero:CDW hole.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW hole.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW hole.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.pngs{4,3}x{} 2 20ra3.3.3.3.4 32 20ra3.4.4 6 20ra4.4.4 40 64 {3}72 {4} 144 48

 Dudekedraj prismoj: G3xA1 - {5,3}x{} 
 Nomo Bildo Figuro de Coxeter-Dynkinkaj simbolo de Schläfli Ĉeloj laŭ speco Ĉeloj Edroj Lateroj Verticoj Dekduedra prismo 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 5.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.pngt0{5,3}x{} 2 20ra5.5.5 12 20ra4.4.5 14 30 {4}24 {5} 80 40 Dudekedra prismo(riproĉa kvaredra prismo) 50ra Dosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 5.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.pngt2{5,3}x{} 2 20ra3.3.3.3.3 20 20ra3.4.4 22 40 {3}30 {4} 72 24 Dudek-dekduedra prismo 50ra Dosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 5.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.pngt1{5,3}x{} 2 20ra3.5.3.5 20 20ra3.4.4 12 20ra4.4.5 34 40 {3}60 {4}24 {5} 150 60 Senpintigita dekduedra prismo 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 5.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.pngt0,1{5,3}x{} 2 20ra3.10.10 20 20ra3.4.4 12 20ra4.4.5 34 40 {3}90 {4}24 {10} 240 120 Senpintigita dudekedra prismo 50ra Dosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 5.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.pngt1,2{5,3}x{} 2 20ra5.6.6 12 20ra4.4.5 20 20ra4.4.6 34 90 {4}24 {5}40 {6} 240 120 Rombo-dudek-dekduedra prismo 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 5.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.pngt0,2{5,3}x{} 2 20ra3.4.5.4 20 20ra3.4.4 30 20ra4.4.4 12 20ra4.4.5 64 40 {3}180 {4}24 {5} 300 120 Senpintigita dudek-dekduedra prismo 50ra Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 5.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.pngt0,1,2{5,3}x{} 2 20ra4.6.4.10 30 20ra4.4.4 20 20ra4.4.6 12 20ra4.4.10 64 240 {4}40 {6}24 {5} 480 240 Riproĉa dekduedra prismo 50ra Dosiero:CDW hole.pngDosiero:CDW 5.pngDosiero:CDW hole.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW hole.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.pngs{5,3}x{} 2 20ra3.3.3.3.5 80 20ra3.4.4 12 20ra4.4.5 94 240 {4}40 {6}24 {10} 360 120

 Duprismoj D2pxD2q - {p}x{q} 
eta|Figuro de Schlegel de la 3,3-duprismo kun unu el 6 triangulaj prismaj ĉeloj montrita
Ekzistas la malfinia familio de konveksaj unuformaj duprismoj, ĉiu el kiuj estas produtoj de du regulaj plurlateroj.

Ĉiu el ili havas figuron de Coxeter-Dynkin: Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW p.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW q.pngDosiero:CDW dot.png

Ĉi tiu familio interkovras kun la unua: se unu el la du faktoraj plurlateroj estas kvadrato, la produto estas ekvivalento al hiperprismo kies bazo estas tri-dimensia prismo. La 4-hiperkubo povas ankaŭ estas 4,4-duprismo.

La simetria ordo de duprismo kies faktoroj estas p-latero kaj q-latero ("p,q-duprismo") estas 4pq se p≠q; se la faktoroj estas ambaŭ p-lateroj la simetria ordo estas 8p2.

La eroj de p,q-duprismo (p ≥ 3, q ≥ 3) estas:
 Ĉeloj: p q-lateraj prismoj, q p-lateraj prismoj
 Edroj: pq kvadratoj, p q-lateroj, q p-lateroj
 Lateroj: 2pq
 Verticoj: pq

 3,3 duprismo Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.png 6 triangulaj prismoj 3,4 duprismo Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW dot.png 3 kuboj, 4 triangulaj prismoj 3,5 duprismo Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 5.pngDosiero:CDW dot.png 3 kvinlateraj prismoj, 5 triangulaj prismoj 3,6 duprismo Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 3.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 6.pngDosiero:CDW dot.png 3 seslateraj prismoj, 6 triangulaj prismoj 4,4 duprismo Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW dot.png 8 kuboj (la sama kiel 4-hiperkubo) 4,5 duprismo Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 5.pngDosiero:CDW dot.png 4 kvinlateraj prismoj, 5 kuboj 4,6 duprismo Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 4.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 6.pngDosiero:CDW dot.png 4 seslateraj prismoj, 6 kuboj 5,5 duprismo Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 5.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 5.pngDosiero:CDW dot.png 10 kvinlateraj prismoj 5,6 duprismo Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 5.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 6.pngDosiero:CDW dot.png 5 seslateraj prismoj, 6 kvinlateraj prismoj 6,6 duprismo Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 6.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 6.pngDosiero:CDW dot.png 12 seslateraj prismoj ... ... ...

Estas ne unuforma analogo en kvar dimensioj al la malfinia familio de tri-dimensiaj kontraŭprismoj.

 Plurlateraj prismaj prismoj: D2pxA1xA1 - {p}x{}x{} 
La malfinia aro de konveksaj unuforma prismaj prismoj interkovras kun la 4,p duprismoj (p≥3):

Dosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW p.pngDosiero:CDW dot.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.png

Ĉiu enhavas p kubojn kaj 4 p-laterajn prismojn kaj estas la sama kiel 4-p duprismo.

 Triangula prisma prismo - la sama kiel 3-4 duprismo
 Kvadrata prisma prismo - la sama kiel 4-4 duprismo kaj kiel 4-hiperkubo
 Kvinlatera prisma prismo - la sama kiel 4-5 duprismo
 Seslatera prisma prismo - la sama kiel 4-6 duprismo
 Seplatera prisma prismo - la sama kiel 4-7 duprismo
 Oklatera prisma prismo - la sama kiel 4-8 duprismo
 ...

 Plurlateraj kontraŭprismaj prismoj: DpdxA1 - (3.3.3.p) x {} 
Ĉiu el la malfinia aroj de konveksaj unuformaj kontraŭprismaj prismoj estas konstruita de du paralelaj unuformaj kontraŭprismoj): (p≥3) - Dosiero:CDW hole.pngDosiero:CDW p.pngDosiero:CDW hole.pngDosiero:CDW 2b.pngDosiero:CDW hole.pngDosiero:CDW 2.pngDosiero:CDW ring.png.

Ĝi enhavas 2 p-lateraj kontraŭprismoj, koneksajn per 2 p-lateraj prismoj kaj 2p triangulaj prismoj.

NomoFiguro de Coxeter-DynkinĈeloj Triangula kontraŭprisma prismo (okedra prismo) ( )3( )2( )2(o) 2 okedroj koneksaj per 8 triangulaj prismoj Kvadrata kontraŭprisma prismo ( )4( )2( )2(o) 2 kvadrataj kontraŭprismoj koneksaj per 2 kuboj kaj 8 triangulaj prismoj Kvinlatera kontraŭprisma prismo ( )5( )2( )2(o) 2 kvinlateraj kontraŭprismoj koneksaj per 2 kvinlateraj prismoj kaj 10 triangulaj prismoj Seslatera kontraŭprisma prismo ( )6( )2( )2(o) 2 seslateraj kontraŭprismoj koneksaj per 2 seslateraj prismoj kaj 12 triangulaj prismoj Seplatera kontraŭprisma prismo ( )7( )2( )2(o) 2 seplateraj kontraŭprismoj koneksaj per 2 seplateraj prismoj kaj 14 triangulaj prismoj Oklatera kontraŭprisma prismo ( )8( )2( )2(o) 2 oklateraj kontraŭprismoj koneksaj per 2 oklateraj prismoj kaj 16 triangulaj prismoj.........

p-latera kontraŭprisma prismo havas 4p triangulajn, 4p kvadratajn kaj 4 p-laterajn edroj. Ĝi havas 10p laterojn, kaj 4p verticojn.

 Geometriaj derivaĵoj por plurĉeloj 
340ra|eta|La tranĉaj operacioj
340ra|eta|Ekzemplaj situoj de kalejdoskopa generila punkto en fundamenta domajno.
La 46 konveksaj unuformaj plurĉeloj, konstrueblaj per konstruo de Wythoff, inkluzivas la 6 konveksajn regulajn plurĉelojn. La aliaj 40 povas esti derivitaj de la regulaj plurĉeloj per geometriaj operacioj kiu konservas plejparton aŭ ĉiujn de iliaj simetrioj. Pro tio la plurĉeloj povas esti klasifikitaj per iliaj geometriaj simetriaj grupoj.

La geometriaj operacioj, kiuj derivas la 40 unuformajn plurĉelojn de la regulaj plurĉeloj, estas tranĉaj operacioj. De plurĉelo povas esti fortranĉitaj la verticoj, lateroj aŭ edroj, donante aldonajn ĉelojn respektivajn al tiuj eroj.

La figuro de Coxeter-Dynkin montras la kvar spegulojn de la kalejdoskopa konstruo de Wythoff, kiel verticojn, kaj la lateroj inter la verticoj estas markitaj per entjeroj montrantaj la angulon inter la speguloj. La angulo estas 180/n gradoj por latero markita kiel n. Ringigitaj verticoj montras, kiuj speguloj estas aktivaj por la formo. Tio, ke spegulo estas aktiva, signifas, ke la genera punkto situas for de la spegulo.

 Operacio Simbolo de Schläfli Figuro de Coxeter-Dynkin Priskribo Gepatro t0{p,q,r} Dosiero:Dynkins-1000.png Originala regula formo {p,q,r} Rektigo t1{p,q,r} Dosiero:Dynkins-0100.png Tranĉa operacio estas aplikita al verticoj ĝis la originalaj lateroj estas degeneritaj en punktojn. Durektigo t2{p,q,r} Dosiero:Dynkins-0010.png Tranĉa operacio estas aplikita al verticoj ĝis la originalaj edroj estas degeneritaj en punktojn. Sama kiel rektigita duala. Trirektigo(duala) t3{p,q,r} Dosiero:Dynkins-0001.png Tranĉa operacio estas aplikita al verticoj ĝis la originalaj ĉeloj estas degeneritaj en punktojn. Sama kiel regula duala {r,q,p} Tranĉo t0,1{p,q,r} Dosiero:Dynkins-1100.png Ĉiu vertico estas dehakita tiel ke la mezo de ĉiu originala latero restas. Kie la vertico estis, tie aperas nova ĉelo, kun formo kiel la gepatra vertica figuro. Ĉiu originala ĉelo estas senpintigita. Dutranĉo t1,2{p,q,r} Dosiero:Dynkins-0110.png Tranĉo inter rektigita formo kaj la duala rektigita formo. Tritranĉo t2,3{p,q,r} Dosiero:Dynkins-0011.png Senpintigita duala {r,q,p} Laterotranĉo t0,2{p,q,r} Dosiero:Dynkins-1010.png Tranĉo estas aplikita al lateroj. Ankaŭ verticoj estas tranĉataj, sed nur ĝis minimuma ebla profundo. La rezulto estas inter la regula kaj duala rektigita formoj. Dulaterotranĉo t1,3{p,q,r} Dosiero:Dynkins-0101.png Laterotranĉita duala {r,q,p} Edrotranĉo(ekspansio, elvolvaĵo) t0,3{p,q,r} Dosiero:Dynkins-1001.png Tranĉo estas aplikita al edroj. Ankaŭ verticoj kaj lateroj estas tranĉataj, sed nur ĝis minimuma ebla profundo. La rezulto estas inter regula (formo, formi) kaj la duala. Rektigitotranĉo t0,1,2{p,q,r} Dosiero:Dynkins-1110.png Ambaŭ la laterotranĉa kaj tranĉa operacioj estas aplikitaj kune. Durektigitotranĉo t1,2,3{p,q,r} Dosiero:Dynkins-0111.png Rektigitotranĉita duala {r,q,p} Edroverticotranĉo t0,1,3{p,q,r} Dosiero:Dynkins-1101.png Tranĉo estas aplikita al edroj. La verticoj de la fonta formo estas tranĉataj plu. Ankaŭ la lateroj estas tranĉataj, sed nur ĝis minimuma ebla profundo. Alivorte, ambaŭ la edrotranĉo kaj tranĉo operacioj estas aplikitaj kune. Edrolaterotranĉo t0,1,3{p,q,r} Dosiero:Dynkins-1011.png Tranĉo estas aplikita al edroj. La lateroj de la fonta formo estas tranĉataj plu. Ankaŭ la verticoj estas tranĉataj, sed nur ĝis minimuma ebla profundo. La samo kiel edroverticotranĉita duala {r,q,p} Entutotranĉo(edrolateroverticotranĉo) t0,1,2,3{p,q,r} Dosiero:Dynkins-1111.png Tranĉo estas aplikita al edroj. La lateroj de la fonta formo estas tranĉataj plu. Poste la verticoj de la fonta formo estas tranĉataj plu. Havas ĉiujn tri operatorojn aplikitajn.

Vidu ankaŭ pri konveksaj unuformaj ĉelaroj, iuj el kiuj ilustras ĉi tiuj operacioj kiel aplikitajn al la regula kuba kahelaro.

Se du hiperpluredroj estas dualaj unu al la alian (4-hiperkubo kaj 16-ĉelo; 120-ĉelo kaj 600-ĉelo), tiam dutranĉo, edrotranĉo kaj entutotranĉo produktas la samajn figurojn kiel rezultantajn se la sama operacio estas aplikita al la duala fonta plurĉelo.

 Vidu ankaŭ 
 Plurĉelo
 Regula plurĉelo
 Unuforma pluredro
 Unuforma hiperpluredro
 Konveksa uniforma kahelaro de eŭklida 3-spaco

 Referencoj 
 Thorold Gosset, Pri la regulaj kaj duoneregulaj figuroj en spaco de n dimensioj, Kuriero de Matematiko, Macmillan, 1900
 Alicia Boole Stott, Geometria konkludo de duonregulaj surbaze de regulaj hiperpluredroj kaj spacaj plomboj, Verhandelingen of the Koninklijke academy van Wetenschappen width unit Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdamo, 1910

 H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes - Regulaj hiperpluredroj, 3-a. red., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8.
 Kalejdoskopoj: Elektitaj skriboj de H.S.M. Coxeter, redaktita de F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6  
 (Papero 22) H.S.M. Coxeter, Regulaj kaj duonregulaj hiperpluredroj I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
 (Papero 23) H.S.M. Coxeter, Regulaj kaj duonregulaj hiperpluredroj II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
 (Papero 24) H.S.M. Coxeter, Regulaj kaj duonregulaj hiperpluredroj III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
 John Horton Conway kaj Michael Guy: Kvar-dimensiaj arĥimedaj hiperpluredroj, Paperoj de la Kolokvo sur Konvekseco je Kopenhago, paĝo 38 kaj 39, 1965
 Norman Johnson: La teorio de unuformaj hiperpluredroj kaj kahelaroj, Ph.D. Disertaĵo, Universitato de Toronto, 1966
 Branko Grünbaum Konveksaj hiperpluredroj, Novjorko; Londono: Springer, c2003. ISBN 0-387-00424-6. Dua redakcio preparita de Volker Kaibel, Victor Klee, Günter M. Ziegler.

 Eksteraj ligiloj 

 Stella4D  - programaro kiu produktas vidojn de unuformaj plurĉeloj.
Konveksaj unuformaj plurĉeloj
 Hiperpluredroj en R4 de Marco Möller
 2004 Disertaĵo 
 Unuformaj hiperpluredroj en kvar dimensioj, George Olshevsky
 Regulaj kaj duonregulaj konveksaj hiperpluredroj - mallonga historia ĝenerala priskribo 
Nekonveksaj unuformaj plurĉeloj
 Unuformaj plurĉeloj de Jonathan Bowers

Kategorio:Plurĉeloj