Paradokso de Cantor

La paradokso de Cantor aŭ Kantora paradokso (alinomita ankaŭ paradokso de la plej granda kardinala nombro) estas paradokso de aroteorio, kies argumento estis malkovrita de Georg Cantor en la 1890-aj jaroj. Ĝi troviĝas en letero de ĉi-lasta matematikisto al David Hilbert, datita 18971. Ĝi estas nomita de Bertrand Russell en siaj Principoj de Matematiko (Principia Matematica) de 1903.

En tro naiva aroteorio, kiu konsideris ke ĉiu propreco posedas difinitan grupon, tia paradokso aperas kiel antinomio, kontraŭdiro de teorio, ĉar la kardinala nombro de la klaso de ĉiuj aroj estu tiam la plej granda kardinalo. Sed ĝi ne estas tio  por Cantor, kiu iamatempe diris ke por li ne estis paradokso. La plej granda kardinala nombro ne estas aro kaj en moderna aroteorio la klaso de kardinaloj ne estas aro.

 Principo de paradokso 

Ni marku aron S kiel aro de ĉiuj aroj, kiuj ne estas sia propra elemento (t.e. da aroj, kiuj ne enhavas sin mem).



Tiu ĉi aro estas en la sistemo de Cantor bone difinita, tio signifas nun devus ebli por ajna aro M decidi, ĉu tiu ĉi aro M estas aŭ ne estas la elemento de aro S. Sed ĉi tion ne eblas decidi por la aro S mem. Ambaŭ eblecoj nome kondukas al kontraŭdiro kun ties difino. Se S ne estas sia propra elemento, laŭ la difino ĝi devus aparteni al S; sed se S estas sia propra elemento, poste ĝi laŭ la difino ne devus aparteni al S.

 Variantoj 
Tiu ĉi antinomio havas vicon da popularaj variantoj, kiuj uzas ĝin en diversaj pli facile imageblaj kuntekstoj.

 Paradokso de razisto 
En malgranda urbo estas ununura razisto, kiu razas ĝuste tiujn  virojn en la urbo, kiuj ne razas sin mem. Sed tia urbo ne povas ekzisti, ĉar ĉi tie denove okazas disputo: Ĉu la razisto razas sin mem? Li devas razi sin mem ĝuste tiam, kiam li ne razos sin mem.

 Listoj en Vikipedio 
La paradokson eblas apliki eĉ en Vikipedio: En kelkaj lingvaj versioj ekzistas Listo de listoj, Lista de listas  enhavanta listojn de ĉiuj artikoloj, kiuj estas listoj. Sed se ekzistus artikolo nomita Listo de ĉiuj listoj, kiuj ne enhavas sin mem, ĝi aŭ devas esti nekompleta (se ĝi ne enhavas sin mem) aŭ erara (se ĝi enhavas sin mem).

Tiuj ĉi klarigantaj variantoj de la paradokso de Russell havas kontraŭ lia ekzakta ara versio certan avantaĝon: eblas eviti al la paradokso per tio, ke oni rifuzas la donitan aperaĵon. Ĉe la paradokso de razisto oni proklamos, ke tia razisto (aŭ urbo) simple ne povas ekzisti, en Vikipedio nenia tia artikolo ekzistas ktp. La signifo de la paradokso de Russell konsistas en tio, ke en matematiko ne eblas rifuzi la ekzistadon de ia aro, kiu plene taŭgas al difino nur pro tio, ke ĝi kondukas al disputaj finoj. Rifuzi la ekzistadon de tia aro nome signifas, ke la apartenanta difino de aro mem estas netaŭga.

 Rilataj temoj 
 Paradoksoj de naiva teorio de aroj
 Paradokso de Berry
 Paradokso de mensoganto
 Teoremoj de nekompleteco
 Problemo de halto
 Teorio de aroj de Zermelo-Fraenkel
 Paradokso de Burali-Forti
 Rusela paradokso

Kategorio:Paradoksoj
Kategorio:Paradoksoj de naiva teorio de aroj
Kategorio:Logiko