Okedra simetrio

La regula okedro havas turnan simetrion de ordo 24 (kiu inkluzivas turnajn transformojn sed ne inkluzivas reflektajn transformojn), kaj entutan simetrion de ordo 48 (kiu inkluzivas kaj reflektajn kaj turnajn transformojn). Kubo havas la samajn simetriojn pro tio ke ĝi estas la duala pluredro de okedro.

La grupo de orientiĝo-konservantaj simetrioj estas S4, aŭ la grupo de permutoj de kvar objektoj, pro tio ke estas akurate unu tia simetrio por ĉiu permuto de la kvar paroj de kontraŭaj edroj de la okedro.

Turna okedra simetrio kaj plena okedra simetrio estas la diskretaj punktaj simetrioj (aŭ ekvivalente, simetrioj sur sfero) kun la plej grandaj geometriaj simetriaj grupoj kongruaj kun mova simetrio. Ili estas en la kristalaj punktaj grupoj de la kuba kristala sistemo.

 Turna okedra simetrio 
200px|eta|La okedra turna grupo O kun fundamenta domajno
O, 432, aŭ  de ordo 24, estas turna okedra simetrio . Ĉi tiu grupo estas simile al turna kvaredra simetrio T, sed la C2 aksoj estas en la okedra turna simetrio C4 aksoj, kaj aldone estas 6 C2 aksoj tra la mezpunktoj de lateroj de la kubo. Td kaj O estas izomorfiaj kiel abstraktaj grupoj: ili ambaŭ esti konforma laŭ S4, la simetria grupo je 4 objektoj. Td estas la unio de T kaj la aro ricevita per komponado de ĉiu ero de O \ T kun la inversigo. O estas la turna grupo de la kubo kaj de la regula okedro.

 Plena okedra simetrio 
eta|150px|maldekstra|Dualaj kubo kaj okedro
eta|En la piramidigita dekduedro unu plena edro estas fundamenta domajno. La aliaj pluredroj kun la sama simetrio povas esti ricevita per ĝustigo de orientiĝo de la edroj, do per kunigo de elektitaj subaroj de edroj por komponi ĉiun tutan subaron en unu edron, aŭ per anstataŭigo de ĉiu edro per multaj edroj aŭ surfaco.
200px|eta|La okedra grupo Oh kun fundamenta domajno
 Oh (*432) de ordo 48 estas plena okedra simetrio. Ĉi tiu grupo havas la samajn turnajn aksojn kiel O, sed kun spegulaj ebenoj, kiuj estas la spegulaj ebenoj de ambaŭ Td kaj Th. Ĉi tiu grupo estas izomorfia al S4 × C2, kaj estas la plena geometria simetria grupo de la kubo kaj okedro.

Kun la 4-oblaj aksoj koincidantaj kun la koordinataj aksoj, fundamenta domajno de Oh estas donita per kondiĉo 0 ≤ x ≤ y ≤ z. Objekto kun ĉi tiu simetrio estas karakterizita per la parto de la objekto en la fundamenta domajno, ekzemple la kubo estas donita per z ≤ 1 (z = 1 por la rando) , kaj la okedro per x + y + z ≤ 1 (x + y + z = 1 por la rando).
ax + by + cz = 1 donas randon de pluredro kun 48 edroj, la piramidigitan dekduedron.

La edroj estas kombinataj po 8 al pli grandaj edroj por a = b = 0 por kubo, kaj kombinataj po 6 por a = b = c por okedro.

 Konjugecaj klasoj 
La konjugecaj klasoj de O estas:
 idento
 6 × turno je 90°
 8 × turno je 120°
 3 × turno je 180° ĉirkaŭ 4-obla akso
 6 × turno je 180° ĉirkaŭ 2-obla akso

Tiuj de Oh inkluzivas ankaŭ tiujn kun inversigo:
 inversigo
 6 × turnoreflekto je 90°
 8 × turnoreflekto je 60°
 3 × reflekto de ebeno perpendikulara al 4-obla akso
 6 × reflekto de ebeno perpendikulara al 2-obla akso

 Iuj nememspegulsimetriaj pluredroj kun turna okedra simetrio 
 Nomo Speco Bildo Edroj Lateroj Verticoj Mallaŭ horloĝa nadlo Laŭ horloĝa nadlo Riproĉa kubo Arĥimeda solido 150px 150px 38  60  24 Kvinlatera dudekkvaredro Katalana solido 150px 150px 24  60  38

 Iuj pluredroj kun plena okedra simetrio 
 Nomo Speco Bildo Edroj Lateroj Verticoj Kubo Platona solido 150px 6  12  8 Okedro Platona solido 150px 8  12  6 Kubokedro Arĥimeda solido, kvazaŭregula pluredro 150px 14  24  12 Senpintigita kubo Arĥimeda solido 150px 14  36  24 Senpintigita okedro Arĥimeda solido 150px 14  36  24 Malgranda rombokub-okedro Arĥimeda solido 150px 26  8 trianguloj  18 kvadratoj  48  24 Granda rombokub-okedro Arĥimeda solido 150px 26  72  48 Romba dekduedro Katalana solido, duala de kvazaŭregula pluredro 150px 12  24  14 Trilateropiramidigita okedro Katalana solido 150px 24  36  14 Stelokangulopluredro 150px 8  12  8 Kvarlateropiramidigita kubo Katalana solido 150px 24  36  14 Deltosimila dudekkvaredro Katalana solido 150px 24  48  26 Piramidigita dekduedro  (seslateropiramidigita okedro) Katalana solido 150px 48  72  26

 Vidu ankaŭ 
 Duedra simetrio en tri dimensioj
 Kvaredra simetrio
 Dudekedra simetrio
 Triangulo de Schwarz

Kategorio:Finiaj grupoj
Kategorio:Turna simetrio