Katalana nombro

La katalanaj nombroj estas entjeroj ofte trovataj en kombinatoriko. Ili konsistigas vicon, kies n-a elemento  estas difinita jene:

 ,

kie  estas la binoma koeficiento.
La unuaj katalanaj nombroj por n = 0, 1, 2, 3, ... estas
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, ... — estas la sinsekvo .

Kvankam la difino enhavas dividon, ĉiuj katalanaj nombroj estas naturaj nombroj (pozitivaj entjeroj), ĉar eblas prezenti ilin en jena formo:

por n ≥ 1: 

 Aplikoj en kombinatoriko 
  estas egala al la nombro de la vortoj de Dyck de longo . "Vorto de Dyck" estas vorto formita el n literoj X kaj n literoj Y tia, ke ĉiu komenca parto de la vorto enhavas ne pli la Y-oj ol da X-oj. Alivorte, kiam oni trairas tian vorton de maldekstre, la nombro de jam legitaj X-oj neniam malsuperas tiun de la jam legitaj Y-oj. Aŭ se X estas malferma kaj Y estas ferma krampoj, tiam la vortoj de Dyck estas la ĝustaj parentezaj esprimoj. Ekzemple la vortoj de Dyck de longo 6 estas jenaj:

XXXYYY, XYXXYY, XYXYXY, XXYYXY, XXYXYY.

Efektive .

  estas ankaŭ la nombro de malsamaj manieroj meti krampojn inter  faktoroj. Ekzemple por  ekzistas kvin parentezaj strukturoj por kvar faktoroj: a(b(cd)), a((bc)d), (ab)(cd), (a(bc))d, ((ab)c)d. Ĉar tiaj esprimoj estas reprezenteblaj per ordigitaj duumaj arboj,  egalas ankaŭ al la nombro de de tiaj arboj kun  folioj.

eta|dekstra|240px|Trianguligoj de kvinangulo
  estas ankaŭ la nombro de malsamaj manieroj por dispartigi plurlateron de  lateroj al trianguloj, ligante ĝiajn verticojn per strekoj.

  estas ankaŭ la nombro de

 Rikura rilato 
La katalanaj nombroj obeas jenan rikuran rilaton:

 kaj por 

Tion kaŭzas la fakto, ke ĉiu vorto v de Dyck de longo pli ol 2 estas skribebla unumaniere en jena formo:

v = Xv1Yv2

per du aliaj, eble malplenaj vortoj de Dyck , .

 Historio 
La katalana vico estis unuafoje priskribita en la 18-a jarcento de Leonhard Euler, kiu okupiĝis pri la malsamaj manieroj dispartigi plurlateron al trianguloj. La unuan publikaĵon pri la temo faris Johann Andreas Segner, kaj la vico de tiam portis la nomon "segneraj nombroj". Eugène Charles Catalan faris ligon al la nombro de parentezaj esprimoj, kaj lia nomo anstataŭis tiun de Segner.

Kategorio:Entjeraj vicoj