Ebeno (matematiko)

Ebeno, en matematiko, estas du-dimensia surfaco perfekte plata, kiu povas esti komprenita kiel infinite vasta kaj infinitezime maldika aĵo orientita en ia spaco.

 Eŭklida ebeno 
Kiel la eŭklida spaco, ebeno estas tia spaco, kiu, estante du malsamaj punktoj, enhavas la unikan rekton, kiu trapasas tiujn punktojn.

Ebeno kiu estas eŭklida spaco estas nomata kiel eŭklida ebeno aŭ ℝ2.

La fundamenta strukturo de tiaj du ebenoj ĉiam estos la sama. En matematiko, tio estas topologia ekvivalento, kio signifas, ke ĉiuj ajn ebenoj ŝajnas egalaj.

En eŭklida ebeno povas esti difinita koordinatosistemo el du koordinatoj, kiu povas difini ĉiun punkton en la ebeno. Karteziaj koordinatoj estas plej kutime uzataj, ili tie havas abscison kaj ordinaton.

 Ebenoj lokitaj en ℝ3 
Tiu ĉi sekcio speciale traktas ebenojn lokitaj en tridimensia spaco, precipe en ℝ3.

Unu eŭklida ebeno povas esti unike difinita per iu ajn maniero sube:
 tri nerekte disigitaj punktoj
 unu rekto kaj unu punkto ekster de la rekto
 du rektoj kun komuna punkto
 du paralelaj rektoj

 Ecoj 
En tridimensia eŭklida spaco oni povas uzi jenajn ecojn de ebeno, kiuj ne ĉiam validas en spacoj kun pli granda dimensieco:

 Du ebenoj estas aŭ paralelaj, aŭ kruciĝas je rekta linio.
 Linio aŭ estas paralela al la ebeno, aŭ kruciĝas kun ĝi je unu punkto, aŭ tute apartenas al la ebeno.
 Du vertikalaj linioj, kiuj estas perpendikularaj al la sama ebeno estas paralelaj unu al la alia.
 Du ebenoj, perpendikularaj al la sama linio estas paralelaj unu al la alia.

 Difino de ebeno pere de punkto kaj normala vektoro 
En tridimensia spaco plia grava metodo difini ebenon estas indiki punkton kaj la vektoron, kiu estas perpendikulara al la ebeno.

Estu  la punkto, kie ni volas loki nian ebenon, kaj estu  nenula normala vektoro al tiu ebeno. La dezirata ebeno estas aro de ĉiuj punktoj  tiel, ke validas 

Se ni skribas ,  kaj d estas punkta produto ,
tiam la ebeno  estas difinita per la kondiĉo , kie a, b, c kaj d estas reelaj nombroj kaj a,b kaj c ne estas nulo(j).

Alternative, oni povas parametre priskribi ebenon kiel aron de ĉiuj punktoj de la formo  kie s kaj t varias tra ĉiuj reelaj nombroj, kaj ,  kaj  estas donitaj vektoroj, kiuj difinigas la ebenon.  projekcias de la origino de arbitra punkto sur la ebeno, kaj  kaj  povas esti videbligitaj kiel komencentaj en  kaj indikantaj al diversaj direktoj laŭlonge de la ebeno.  kaj  povas, sed ne nepre devas esti perpendikularaj.

 Difino de ebeno per tri punktoj 
 Ebeno, kiu trairas tra tri punktojn ,  kaj , povas esti difinita kiel aro de ĉiuj punktoj (x,y,z), kiuj koheras al jena determinanta ekvacio:

 Por priskribi la ebenon kiel ekvacio en la formo , oni solvu la jenan ekvaci-sistemon:

.

Tiu ĉi sistemo povas esti solvita pere de regulo de Cramer kaj bazaj matricaj operacioj. Estu . Tiam,

.

Tiuj ekvacioj estas parametraj en d. Se oni elektas d egala al ajna nenula nombro kaj anstataŭigas ĝin en tiuj ekvacioj, oni ricevas ununuran solvon.

 Tiu ebeno povas krome esti priskribita kiel "punkto kaj normala vektoro", same kiel estis indikite pli supre.

Adekvata normala vektoro rezultiĝas de kruca produto

kaj kiel la punkto  povas esti prenita ajna de la punktoj  aŭ .

 Distanco inter punkto kaj ebeno 
Inter la ebeno  kaj la punkto , kiu ne nepre kuŝas sur la ebeno, la plej mallonga distanco inter  ĝis la ebeno estas

El tiu sekvas, ke  kuŝas sur la ebeno tiam kaj nur tiam, se D=0.

Se , kio signifas, ke a, b kaj c estis normigitaj, tiam la ekvacio fariĝas jena

 Linio de interkruciĝo de du ebenoj 
Oni konsideru la kruciĝantajn ebenojn, priskribitajn kiel  kaj , tiam la linio de interkruciĝo estas perpendikulara al ambaŭ  kaj  kaj do paralela al  .

Se ni krome supozos, ke  kaj  estas ortonormalaj, tiam la plej proksima al la origino punkto sur la linio de interkruciĝo estas  .

 Dueda angulo 
Oni konsideru du kruciĝantajn ebenojn, priskribitajn kiel  kaj , la duedra angulo inter ili estas difinita kiel la angulo  inter ties normalaj direktoj:

 Vidu ankaŭ 
 Hiperebeno - analogo de ebeno en diversaj dimensioj
 Kompleksa ebeno
 Hiperbola ebeno
 Projekcia ebeno
 Reela projekcia ebeno
 Kompleksa projekcia ebeno
 Fana ebeno
 Ebena geometrio

 Eksteraj ligiloj 

 Ebeno, ĉe Mathworld (angle)

Kategorio:Eŭklida geometrio