Vertica konfiguro

En geometrio vertica konfiguro estas mallonga skribmaniero por prezenti vertican figuron de pluredro aŭ kahelaro kiel vico de edroj ĉirkaŭ la vertico. Por uniformaj pluredroj estas nur unu vertica speco kaj pro tio la vertica konfiguro plene difinas la pluredron.

En nememspegulsimetriaj pluredroj ekzistas du variantoj de verticoj, unu el ili estas spegulsimetria al la alia, sed ili ambaŭ havas la sama vertican konfiguron. Laŭhorloĝnadla kaj kontraŭhorloĝnadla variantoj ne estas distingeblaj per vertica konfiguro.

 Baza varianto 
Vertica konfiguro estas donata kiel opo de nombroj, ĉiu nombro el ili prezentantas la kvanton de flankon de la respektiva edro, irante ĉirkaŭ la vertico.

Ekzemple a.b.c.d.e signifas ke la vertico havas 5 edrojn ĉirkaŭ ĝi, kun a, b, c, d, kaj e lateroj.
Ekzemple 3.5.3.5 signifas ke la vertico havas 4 edrojn, alterne triangulojn kaj kvinlaterojn. Ĉi tiu vertica konfiguro difinas la vertico-uniforman dudek-dekduedron.

150ra|eta|Vertica figuro 3.5.3.5 por dudek-dekduedro

La ordo estas grava kaj ekzemple 3.3.5.5 estas malsama de 3.5.3.5.

Vertica konfiguro povas ankaŭ esti prezentata grafike kiel vertica figuro montrante la edrojn ĉirkaŭ la vertico. Ĉi tiu vertica figuro por pluredroj havas 3-dimensian strukturon ĉar la edroj estas ne en la sama ebeno. Por kahelaro de 2-dimensia ebeno vertica figuro kuŝas en la sama 2-ebeno.

 Variadoj 
Malsamaj skribmanieroj estas uzataj kun komo (,) aŭ kun punkto (.) kiel disigilo. Se ripetiĝas grupoj de edroj kun la sama subvico de kvantoj de lateroj, eksponenta skribmaniero povas esti uzata. Ekzemple 3.5.3.5 povas esti skribata kiel (3.5)^2 aŭ (3.5)2.
Se estas nur unu sola kvanto de lateroj estas uzata ankaŭ formo {p,q} kiu estas la samo kiel p.p.p... (q fojoj) = p^q = pq . Ekzemple dudekedro estas {3,5} = 3.3.3.3.3 = 3^5 = 35.

La skribmaniero estas cikla kaj ne gravas ekde kiu edro komenci skribon. Do 3.5.3.5 estas la sama kiel 5.3.5.3. Kaj 3.3.3.3.4 estas la samo kiel 3.3.3.4.3, 3.3.4.3.3, 3.4.3.3.3, 4.3.3.3.3. Por unueco, kutime la plej malgranda edro (aŭ vico de plej malgrandaj edroj) estas listigata la unua.

 Stelaj plurlateroj 
150ra|eta|Vertica figuro por Granda durombo-dudek-dekduedro
La skribmaniero ankaŭ aplikas por nekonveksaj edroj, la stelaj plurlateroj. Ekzemple kvinlatero havas 5/2 laterojn, kiu signifas ke estas 5 verticoj irante ĉirkaŭ dufoje. Ekzemple, la nekonveksa regula pluredro malgranda steligita dekduedro havas vertican konfiguron de {5/2,5} kio estas la samo kiel 5/2.5/2.5/2.5/2.5/2.

 Inversigitaj plurlateroj 
Edroj sur vertica figuro estas konsideritaj al progresi en unu direkto. Iuj pluredroj havas verticajn figurojn kun renversaĵoj kie la edroj progresas retroire. Vertica figuro prezentas ĉi tion kvazaŭ la edroj estas steloj kiel p/q kie q>p/2.

Ekzemple U75, granda durombo-dudek-dekduedro havas vertican konfiguron 4.5/3.4.3.4.5/2.4.3/2. Ĉi tie 3/2 signifas triangulon kiu havas verticojn ĉirkaŭiratajn dufoje, kio estas la samo kiel verticoj trairataj unufoje malantaŭen. Simile 5/3 estas malantaŭen trairata stelokvinlatero 5/2.

 Ĉiuj uniformaj verticaj konfiguroj de regulaj konveksaj poligonoj 
Iuj ecoj de la pluredro povas esti trovitaj per kalkulado de sumo de anguloj de edroj ĉe la vertico.

La ekzisto de duonregula pluredro povas esti priskribita per ĝiaj vertica konfiguro kaj angula difekto: edroj ĉirkaŭ vertico devas havi sumon de enaj anguloj malpli grandan ol 360°.

Se la vertica figuro prezentas kahelaron de la eŭklida ebeno la sumo egalas al 360°.

Se la sumo estas pli granda ol 360° la vertica figuro povas prezenti kahelaron de la hiperbola ebeno.

Por uniformaj pluredroj, la sumo de anguloj povas esti uzata por kalkuli kvanton de la verticoj. La angula difekto estas difinata kiel 360 gradoj minus la sumo de ĉiu enaj anguloj de la plurlateroj kiuj kuniĝas je la vertico. Kartezia teoremo donas ke, sumo de ĉiu angulaj difektoj en topologia sfero sume estas al 4*π radianoj aŭ 720°.

Ĉar uniformaj pluredroj havi identajn verticojn, ĉi tiu rilato permesas kalkuli kvanton de la verticoj: kvanto = 720/(angula_difekto).

Ekzemple, senpintigita kubo 3.8.8 havas angulan difekton de 30°. Pro tio ĝi havas 720/30=24 verticojn.

Pluredro kun vertica konfiguro {a,b} havas 4/(2-b(1-2/a)) verticojn.

Ĉiu skribita vertica konfiguro potenciale unike difinas duonregulan pluredron. Tamen ne ĉiuj konfiguroj estas eblaj.

Topologio limigas ekziston de pluredroj. Se la konfiguro estas p.q.r do p-edro estas ĉirkaŭbarita per q-edroj kaj r-edroj kaj ili estas unuaj inter la duaj, Do, aŭ p estas para aŭ q=r. Simile aŭ q estas para aŭ p=r. Pro tio eblaj triopoj estas 3.3.3, 3.4.4, 3.6.6, 3.8.8, 3.10.10, 3.12.12, 4.4.n (ĉiu n>2), 4.6.6, 4.6.8, 4.6.10, 4.6.12, 4.8.8, 5.5.5, 5.6.6, 6.6.6. Fakte, ĉi ĉiuj konfiguroj kun tri edroj je unu vertico ekzistas. Ankaŭ, 3.12.12, 4.6.12, 4.8.8, 6.6.6 rilatas al eŭklida ebenaj kahelaroj, plua pligrandigo de nombroj q kaj r jam donas hiperbolajn ebenajn kahelarojn.

Simile kiam kvar edroj verigi je ĉiu vertico, p.q.r.s, se unu nombro estas nepara ĝia la najbaroj, devas esti egalaj.

La nombro en krampoj estas la kvanto de verticoj, difinita per la angula difekto.

 Triopoj 
 Platonaj solidoj 3.3.3 (4), 4.4.4 (8), 5.5.5 (20)
 Prismoj 3.4.4 (6), 4.4.4 (8; ankaŭ listigita pli supre), 4.4.n (2n)
 Arĥimedaj solidoj 3.6.6 (12), 3.8.8 (24), 3.10.10 (60), 4.6.6 (24), 4.6.8 (48), 4.6.10 (120), 5.6.6 (60).
 Regula kahelaro 6.6.6
 Duonregulaj kahelaroj 3.12.12, 4.6.12, 4.8.8

 Kvaropoj 
 Platona solido 3.3.3.3 (6)
 Kontraŭprismoj 3.3.3.3 (6; ankaŭ listigita pli supre), 3.3.3.n (2n)
 Arĥimedaj solidoj 3.4.3.4 (12), 3.5.3.5 (30), 3.4.4.4 (24), 3.4.5.4 (60)
 Regula kahelaro 4.4.4.4
 Duonregulaj kahelaroj 3.6.3.6, 3.4.6.4

 Kvinopoj 
 Platona solido 3.3.3.3.3 (12)
 Arĥimedaj solidoj 3.3.3.3.4 (24) (nememspegulsimetria), 3.3.3.3.5 (60) (nememspegulsimetria)
 Duonregulaj kahelaroj 3.3.3.3.6 (nememspegulsimetria), 3.3.3.4.4, 3.3.4.3.4 (Notu, ke la du malsamaj ordoj de la samaj nombroj donas du malsamajn ŝablonojn)

 Sesopoj 
 Regula kahelaro 3.3.3.3.3.3

 Edra konfiguro por dualaj 
La duala pluredro estas povas ankaŭ esti listita per ĉi tiu skribmaniero, sed prefiksis per V. vidu en edra konfiguro.

La edroj de dualoj de duonregula pluredro ne estas regulaj plurlateroj, la randoj varias je longo. Ekzemple, la edra konfiguro de V3.4.3.4 prezentas romban edron ĉar ĉiu rando estas de V3-V4 speco, kaj V3.4.5.4 estas kvarangulo kun du specoj de randoj: V3-V4 kaj V4-V5.

 Vidu ankaŭ 
 Unuforma pluredro
 Platona solido
 Duonregula pluredro
 Arĥimeda solido
 Prismo (geometrio)
 Kontraŭprismo
 Listo de uniformaj pluredroj laŭ vertica figuro
 Listo de pluredroj de Wenninger
 Listo de uniformaj pluredroj
 Listo de uniformaj ebenaj kahelaroj
 Edra konfiguro
 Katalana solido - arĥimeda dualoj
 Dupiramido - prismaj dualoj
 Trapezoedro - kontraŭprismaj dualoj

 Referencoj 


Kategorio:Pluredroj
Kategorio:Matematika notacio