Unuforma pluredro

Unuforma pluredro estas unuforma hiperpluredro, 3-dimensia pluredro kiu havas regulaj plurlateroj kiel edroj kaj estas vertico-transitiva. Ĉiuj ĝiaj verticoj estas kongruaj, kaj la pluredro havas altan gradon de reflekta kaj turna simetrio.

Unuformaj pluredroj povas esti regula, kvazaŭregula aŭ duonregula. La edroj kaj verticoj ne nepre estas konveksaj, inter unuformaj pluredroj estas ankaŭ stelaj pluredroj.

Malinkluzivante la malfiniajn arojn estas 75 unuformaj pluredroj (aŭ 76 se al lateroj estas permesite koincidi).

La kategorioj inkluzivas:
 Malfiniaj aroj de unuformaj prismoj kaj kontraŭprismoj (inkluzivanta stelajn formojn)
 5 platonaj solidoj - regulaj konveksaj pluredroj
 4 pluredroj de Keplero-Poinsot - regulaj nekonveksaj pluredroj
 13 arĥimedaj solidoj - kvazaŭregula kaj duonregulaj konveksaj pluredroj
 14 nekonveksaj pluredroj kun konveksaj edroj
 39 nekonveksaj pluredroj kun nekonveksaj edroj
 1 pluredro trovita de John Skilling ĉe kiu paroj de lateroj koincidas.

Ili povas ankaŭ esti grupita per ilia geometria simetria grupo, kio estas farita pli sube.

 Historio 
 La platonaj solidoj estas konataj ekde la klasikaj grekoj kaj estis studitaj de Platono, Theaetetus kaj Eŭklido.
 Keplero (1571-1630) estis la unua, kiu publikigis la plenan liston de arĥimedaj solidoj post kiam la originala laboro de Arkimedo estis perdita.
 Keplero (1619) esploris du de la regulajn pluredroj de Keplero-Poinsot kaj Louita Poinsot (1809) esplorita la aliajn du.
 De la ceteraj 37 estis trovitaj de Badoureau (1881). Edmund Hess (1878) esploris 2 pliajn kaj Pitsch (1881) sendepende esploris 18-n, el ili ne ĉiuj antaŭe esplorita.
 Harold Scott MacDonald Coxeter esploris la ceterajn dek du en kunlaboro kun J.C.P. Miller (1930-1932) sed ne publikigis la laboron. M.S. kaj H.C. Longuet-Higgins sendepende esploris 11-n el ĉi tiuj.
 En 1954 H.S.M. Coxeter, M.S. Longuet-Higgins, J.C.P. Miller publikigis la liston de unuformaj pluredroj.
 En 1970 S. P. Sopov pruvis ilia konjekton ke la listo estis plena.
 En 1974, Magnus Wenninger publikigis lian libron, Pluredraj modeloj, kiu estas la unua publikigita listo de ĉiuj 75 neprismaj unuformaj pluredroj, kun multaj antaŭe nepublikigitaj nomoj donitaj al ili de Norman Johnson.
 En 1975, John Skilling sendepende pruvis la plenecon, kaj montris ke se la difino de unuforma pluredro estas malstreĉiĝita al permesi al randoj koincidi tiam estas nur unu superflua ebleco.
 En 1993, Zvi Har'El produktis plenan komputilan konstruadon de la unuformaj pluredroj kaj dualaj tra ilia kalejdoskopa konstrua programo nomata kiel Kaleido, kaj resumis en papero Unuforma solvaĵo por unuformaj pluredroj., donante al ili numerojn 1-80.
 Ankaŭ en 1993, R. Mäder aplikis solvaĵon de ĉi tiu Kaleido al Mathematica kun malmulte malsama indeksanta sistemo.

 Indeksado 
Estas kvar gravaj publikaĵoj indeksantaj la pluredrojn. Por distingi ilin, al la indeksoj estas aldonataj malsamaj literoj, C por la Coxeter 1954, W por la Wenninger 1974 , K por la Kaleido 1993, kaj U por la 1993 Maeder, kiu estas (mult)amplekse reproduktita aliloke. Nun U estas la plej kutima indeksado de la pluredroj.

 [C] 1954: Ĉi tiu papero listigas la unuformaj pluredroj per nombroj 15-92. 15-32 estas por la konveksaj, 33-35 por 3 malfiniaj prismaj aroj, kaj 36-92 por la nekonveksaj.
 [W] 1974: nombris ilin 1-119: 1-5 por la platonaj solidoj, 6-18 por la arĥimedaj solidoj, 19-66 por steligitaj formoj inkluzivante la 4 regulaj nekonveksaj pluredroj (sed plejparto de la steligitaj pluredroj estas neunuformaj), kaj 67-119 por la nekonveksaj unuformaj pluredroj. (La plenan liston de Wi rigardu en listo de pluredroj de Wenninger)
 [K] 1993 Kaleido: La 80 nombroj donitaj estis grupita per simetrio: 1-5 kiel prezentantoj por la malfiniaj familioj de prismaj formoj kun duedra simetrio, 6-9 kun kvaredra simetrio, 10-26 kun Okedra simetrio, 46-80 kun dudekedra simetrio.
 [U] 1993 Mathematica: Ĉi tiu listante sekvis la nombradon de Kaleido, sed movis la 5 prismajn formojn al fino de la listo, kaj la neprismaj havas numerojn 1-75.

 Konveksaj formoj kaj fundamentaj situoj de verticoj 
La konveksaj unuformaj pluredroj povas esti nomitaj per operacioj de konstruo de Wythoff sur la gepatra formo.

Ĉiu de ĉi tiuj konveksaj formoj difinas aron de verticoj kiuj povas esti uzataj ankaŭ por la nekonveksaj formoj, listigitaj en la sekva sekcio.

GepatraSenpintigitaRektigitaDutranĉita(senpintigita dualo)Durektigita(duala)LaterotranĉitaEntutotranĉitaRiproĉaEtenditasimbolo de Schläflit0{p,q}t0,1{p,q}t1{p,q}t1,2{p,q}t2{p,q}t0,2{p,q}t0,1,2{p,q}s{p,q}Simbolo de Wythoffp-q-2 q | p 2 2 q | p 2 | p q 2 p | q p | q 2 p q | 2 p q 2 | | p q 2Figuro de Coxeter-Dynkin(variadoj)(o)poqo(o)p(o)qoop(o)qoop(o)q(o)opoq(o)(o)poq(o)(o)p(o)q(o)( )p( )q( )(o)-p-o-q-o(o)-p-(o)-q-oo-p-(o)-q-oo-p-(o)-q-(o)o-p-o-q-(o)(o)-p-o-q-(o)(o)-p-(o)-q-(o)( )-p-( )-q-( )xPoQoxPxQooPxQooPxQxoPoQxxPoQxxPxQxsPsQs[p,q]:001[p,q]:011[p,q]:010[p,q]:110[p,q]:100[p,q]:101[p,q]:111[p,q]:111sVertica konfiguropq(q.2p.2p)(p.q.p.q)(p.2q.2q)qp(p.4.q.4)(4.2p.2q)(3.3.p.3.q)Kvaredra3-3-264ra{3,3}64ra(3.6.6)64ra(3.3.3.3)64ra(3.6.6)64ra{3,3}64ra(3.4.3.4)64ra(4.6.6)64ra(3.3.3.3.3)Okedra4-3-264ra{4,3}64ra(3.8.8)64ra(3.4.3.4)64ra(4.6.6)64ra{3,4}64ra(3.4.4.4)64ra(4.6.8)64ra(3.3.3.3.4)Dudekedra5-3-264ra{5,3}64ra(3.10.10)64ra(3.5.3.5)64ra(5.6.6)64ra{3,5}64ra(3.4.5.4)64ra(4.6.10)64ra(3.3.3.3.5)Duedrap-2-2Ekzemple p=5{5,2}2.10.102.5.2.564ra4.4.5{2,5}2.4.5.464ra4.4.1064ra3.3.3.5

 Difino de operacioj 
OperacioEtenditasimbolo de SchläfliFiguro deCoxeter-DynkinPriskribo Gepatro t0{p,q} 100 Ĉiu regula pluredro aŭ kahelaro Rektigita t1{p,q} 010La randoj estas plene-senpintigitaj en solajn punktojn. La pluredro nun havas la kombinitajn edrojn de la gepatro kaj la dualo.Durektigitaankaŭ Duala t2{p,q} 001100ra|dekstraLa durektigita (duala) estas plua tranĉo tiel ke la originalaj edroj estas reduktitaj al punktoj. Novaj edroj estas formitaj sub ĉiu gepatra vertico. La nombro de randoj estas neŝanĝita kaj estas turnita je 90 gradoj. La duala de la regula pluredro {p, q} estas ankaŭ regula pluredro {q, p}.Senpintigita t0,1{p,q} 110Ĉiu originala vertico estas dehakita, kun novaj edroj enspacas la truojn. Tranĉo havas gradon de libereco, kiu havas unu solvaĵo kiu kreas unuforman senpintigitan pluredron. La pluredro havas ĝiaj originalaj edroj kun duobligita kvanto de lateroj en ĉiu el la edroj, kaj enhavas la edrojn de la duala.400raDutranĉita t1,2{p,q} 011Sama kiel senpintigita duala. Laterotranĉita(aŭ rombigita)(ankaŭ elvolvita) t0,2{p,q} 101Aldone al vertica tranĉo, ĉiu originala rando estas bevelita kun novaj rektangulaj edroj aperantaj en ĝia loko, kaj ankaŭ la originalaj verticoj estas senpintigitaj. Unuforma laterotranĉo estas duonvoje inter la gepatra kaj la duala formoj.400raEntutotranĉita(aŭ rombotranĉita) t0,1,2{p,q} 111La tranĉaj operacioj estas aplikitaj por krei entutotranĉitan formon kiu havas la gepatraj edroj kun duobligita kvanto de lateroj en ĉiu el la edroj, kaj kvadratojn tie kie la originalaj randoj ekzistis.Riproĉa s{p,q} ()()()La riproĉa prenas la entutotranĉitan formon kaj rektigas alternajn verticojn. Ĉi tiu operacio estas nur ebla por pluredroj kun ĉiuj edroj kun paraj kvantoj de verticoj. Ĉiuj originalaj edroj havas nur duonon de verticoj, kaj la kvadratoj degeneras en laterojn. Ĉar la entutotranĉita havas 3 edrojn/vertico, novaj trianguloj estas formitaj. Kutime poste necesas malmulte misformigi la pluredron por ke ĝi denove estu unuforma. La ebleco de la lasta variado dependas de la grado de libereco.400ra

 Nekonveksaj formoj listitaj laŭ geometriaj simetriaj grupoj kaj situoj de verticoj 
Ĉiuj unuformaj pluredroj estas listita pli sube laŭ iliaj geometriaj simetriaj grupoj kaj subgrupitaj laŭ iliaj situoj de verticoj.

Regulaj pluredroj estas markitaj per iliaj simboloj de Schläfli. Aliaj neregulaj unuformaj pluredroj estas listitaj kun iliaj verticaj konfiguroj aŭ ilia unuformaj pluredraj indeksoj U(1-80).

Noto: por nekonveksaj formoj pli sube estas aldonita komento neunuforma se la konveksa koverto de la situo de verticoj havas sama topologio kiel unu el unuformaj pluredroj, sed havas neregulajn edrojn. Ekzemple neunuforma laterotranĉita formo povas havi nekvadratajn ortangulojn kiel edroj.

 Kvaredra simetrio 
Estas 2 konveksaj unuformaj pluredroj, la kvaredro kaj senpintigita kvaredro, kaj unu nekonveksa formo, la kvar-duon-sesedro kiu havi kvaredran simetrion. La kvaredro estas mem duala.

Aldone la okedro, senpintigita okedro, kubokedro, kaj dudekedro havas kvaredran simetrion kaj ankaŭ pli altan simetrion. Ili estas aldonitaj por pleneco pli sube, kvankam iliaj nekonveksaj formoj kun okedra simetrio ne estas inkluzivitaj ĉi tie.

Vertica grupoKonveksaNekonveksa(Kvaredra) 64ra{3,3}Senpintigita (*) 64ra(3.6.6)Rektigita (*) 64ra{3,4} 64ra(4.3/2.4.3)Laterotranĉita (*) 64ra(3.4.3.4)Entutotranĉita (*) 64ra(4.6.6)Riproĉa (*) 64ra{3,5}

 Okedra simetrio 
Estas 8 konveksa formoj kaj 10 nekonveksaj formoj kun okedra simetrio.

Vertica grupoKonveksaNekonveksa(Okedra)64ra{3,4}Senpintigis (*) 64ra(4.6.6)Rektigita (*) 64ra(3.4.3.4) 64ra(6.4/3.6.4) 64ra(6.3/2.6.3)Senpintigita duala (*) 64ra(3.8.8) 64ra(4.8/3.4/3.8/5) 64ra(8/3.3.8/3.4) 64ra(4.3/2.4.4)Duala (*)64ra{4,3}Laterotranĉita (*) 64ra(3.4.4.4) 64ra(4.8.4/3.8) 64ra(8.3/2.8.4) 64ra(8/3.8/3.3)Entutotranĉita (*) 64ra(4.6.8) Neunuforma entutotranĉita (*) (4.6.8) 64ra(8/3.4.6) 64ra(8/3.6.8) Riproĉa (*) 64ra(3.3.3.3.4)

 Dudekedra simetrio 
Estas 8 konveksa formoj kaj 46 nekonveksaj formoj kun dudekedra simetrio (aŭ 47 nekonveksa formoj se figuro de Skilling estas inkluzivita). Iu el la nekonveksa riproĉaj formoj havas neunuforman turnecan simetrion, kaj iu estas memspegulsimetriaj.

Vertica grupoKonveksaNekonveksa (Dudekedra) 64ra{3,5} 64ra{5/2,5} 64ra{5,5/2} 64ra{3,5/2} Senpintigita (*) 64ra(5.6.6) Neunuforma senpintigita (*) (5.6.6) 64raU37 64raU61 64raU67 64raU73 64raU38 64raU44 64raU56 64raU32 Rektigita (*) 64ra(3.5.3.5) 64raU49 64raU51 64raU54 64raU70 64raU71 64raU36 64raU62 64raU65 Senpintigita duala (*) 64ra(3.10.10) 64raU42 64raU48 64raU63 Neunuforma senpintigita duala (*) (3.10.10) 64raU72 Duala (*) 64ra{5,3} 64ra{5/2,3} 64raU30 64raU41 64raU47 Laterotranĉita (*) 64ra(3.4.5.4) 64raU33 64raU39 64raU58 Neunuforma laterotranĉita (*) (3.4.5.4) 64raU31 64raU43 64raU50 64raU66 64raU55 64raU75 64raU64 Entutotranĉita (*) 64ra(4.6.10) Neunuforma entutotranĉita (*) (4.6.10) 64raU68 64raU59 64raU45 Riproĉa (*)64ra(3.3.3.3.5) Neunuforma riproĉa (*) (3.3.3.3.5) 64raU40 64raU46 64raU57 64raU69 64raU60 64raU74

 Duedra simetrio 

Unuformaj pluredroj kun duedra simetrio estadas de jenaj specoj:
 64ra 64ra 64ra 64ra 64ra Konveksa prismo Konveksa kontraŭprismo Stela prismo Stela kontraŭprismo (kun konveksa vertica figuro) Stela krucigita kontraŭprismo (kun nekonveksa vertica figuro) U76 U77 U78 U79 U80
Ekzistas malfinie multaj unuformaj pluredroj de ĉiu el la 5 specoj, diferenciĝantaj per kvanto de verticoj aŭ per maniero de konekseco de la steloj.

 Figuro de Skilling 
Unu plua nekonveksa pluredro estas la granda duriproĉa durombo-dekduedro, ankaŭ sciata kiel figuro de Skilling, kiu estas vertico-unuforma, sed havas parojn de lateroj kiu koincidas en spaco tiel ke kvar edroj kuniĝas je ĉi tiuj lateroj.

Ĝi estas iam sed ne ĉiam enkalkulita kiel unuforma pluredro. Ĝi havas Ih simetrion.
 64ra

 Vidu ankaŭ 
 Pluredro
 Regula pluredro
 Kvazaŭregula pluredro
 Duonregula pluredro
 Listo de regulaj hiperpluredroj
 Listo de unuformaj pluredroj
 Listo de pluredroj de Wenninger
 Pluredra modelo
 Listo de unuformaj pluredroj laŭ vertica figuro
 Listo de unuformaj pluredroj laŭ simbolo de Wythoff
 Uniforma pluredra kombinaĵo
 Unuforma kahelaro
 Unuforma hiperpluredro

 Referencoj 
 Brückner, M. Vielecke und vielflache. Theorie und geschichte.. Leipzig, Germanio: Teubner, 1900. 
 H.S.M. Coxeter, M.S. Longuet-Higgins, J.C.P. Miller, Unuformaj pluredroj, Phil. Trans. 1954, 246 A, 401-50 
 S. P. Sopov Pruvo de la pleneco de la listo de rudimentaj homogenaj pluredroj. Ukrain. Geometr. Sb. Ne. 8, (1970), 139-156

 John Skilling, La plenumi aro de unuformaj pluredroj., Filoj de Aleksandrio. Trans. Roy. Soc. Londono Ser. 278 (1975), 111-135 
 Har'El, Z. Unuforma solvaĵo por unuformaj pluredroj., Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. Zvi Har’El   , programaro Kaleido , Bildoj , dualaj bildoj 
 Mäder, R. E. Unuformaj pluredroj. Mathematica J. 3, 48-57, 1993. 

 Eksteraj ligiloj 


 Unuforma solvaĵo por unuformaj pluredroj 
 La unuformaj pluredroj
 Virtualaj pluredroj
 Stella: Pluredra Navigilo  - Programaro por generi kaj printi retojn por ĉiuj unuformaj pluredroj
 Paperaj modeloj:
 Unuformaj/dualaj pluredroj 
 Paperaj modeloj de unuformaj kaj aliaj pluredroj

Kategorio:Pluredroj