3-sfero

En matematiko, 3-sfero estas pli multdimensia analogo de sfero. Ĝi konsistas el punktoj samdistancaj de fiksita centra punkto en 4-dimensia eŭklida spaco. Ordinara sfero (aŭ 2-sfero) estas du dimensia surfaco dum 3-sfero estas objekto kun tri dimensioj, konata kiel 3-sternaĵo.

3-sfero estas parto okazo hipersfero, kiu estas n-sfero por n ≥ 3.

 Difino 

En karteziaj koordinatoj, 3-sfero kun centro (C0, C1, C2, C3) kaj radiuso r estas la aro de ĉiuj punktoj (x0, x1, x2, x3) en R4 tiaj ke

La 3-sfero centrita je la fonto de koordinatoj kun radiuso 1 estas nomita la unuobla 3-sfero kaj estas kutime skribata kiel S3:

Propraĵoj
 Rudimentaj propraĵoj 
La 3-dimensia volumeno (aŭ hiperareo) de 3-sfero de radiuso r estas

kaj la 4-dimensia hipervolumeno (la volumeno de la 4-dimensia regiono barita per la 3-sfero) estas

Ĉiu ne-malplena komunaĵo de 3-sfero kun tri-dimensia hiperebeno estas 2-sfero (se ne la hiperebeno estas tangento al la 3-sfero, en ĉi tiu okazo la komunaĵo estas sola punkto). Se 3-sfero moviĝas tra donita tri-dimensia hiperebeno, la komunaĵo startas kiel punkto, poste iĝas kreskantan 2-sferon kiu atingas sian maksimuma amplekso kiam la hiperebeno sekcas ĝuste tra la ekvatoro de la 3-sfero. Poste la 2-sfero malpligrandiĝas denove al sola punkto kiam la 3-sfero lasas la hiperebenon.

 Topologiaj propraĵoj 

3-sfero estas kompakta, koneksa, 3-dimensia sternaĵo sen rando. Ĝi estas ankaŭ simple-koneksa. Ĉi tio signifas ke ĉiu ciklo, aŭ cirkla vojo, sur la 3-sfero povas esti kontinue malpligrandigita al punkto ne lasante la 3-sferon. La konjekto de Poincaré proponas ke la 3-sfero estas la nura tri-dimensia sternaĵo kun ĉi tiuj propraĵoj (kun precizo de homeomorfio).

La 3-sfero estas homeomorfa al la unu-punkta kompaktigo de R3. Ĝenerale, ĉiu topologia spaco kiu estas homeomorfa al la 3-sfero estas nomata kiel topologia 3-sfero.

 Geometriaj propraĵoj 

La 3-sfero estas nature glata sternaĵo, fakte, fermita enigita substernaĵo de R4. La eŭklida metriko sur R4 donas metriko sur la 3-sfero donante al ĝi la strukturon de rimana sternaĵo. Kiel kun ĉiuj sferoj, la 3-sfero havas konstanta pozitiva sekcian kurbecon egalan al 1/r2 kie r estas la radiuso.

 Koordinatoj sur la 3-sfero 

La kvar eŭklida koordinatoj por S3 estas superfluaj ĉar ili estas kun rezervo pro la kondiĉo ke . Ĉar ĝi estas 3-dimensia sternaĵo oni devus kapabli parametrigi la 3-sferon S3 per tri koordinatoj, simile al kiel oni povas parametrigi la 2-sferon uzanta du koordinatojn (latitudo kaj longitudo). 

 Hipersferaj koordinatoj 

Hipersferaj koordinatoj estas analogio al la kutimaj sferaj koordinatoj sur S2. La koordinatoj estas (ψ, θ, φ) kaj

kie ψ kaj θ estas en limigoj ekde 0 al π, kaj φ estas en limigoj ekde 0 al 2π. Notu, ke por ĉiu fiksita valoro de ψ, θ kaj φ parametrigas 2-sferon de radiuso sin(ψ), krom okazoj kiam ψ egalas al 0 aŭ π, en ĉi tiu okazo ili priskribi punkton.

Vidu ankaŭ
Hipersfero
1-sfero, 2-sfero
4-hiperkubo
4-hiperpluredro
Simplaĵo
Sfero de Poincaré

Eksteraj ligiloj
  Noto: Ĉi tiu artikolo uzas la alternan sistemon de nomado por sferoj en kiu sfero en n-dimensia spaco estas nomata kiel n-sfero.

Kategorio:4-dimensia geometrio
Kategorio:Algebra topologio
Kategorio:Elementa geometrio
Kategorio:Geometria topologio