Konjekto de Poincaré

En matematiko, la konjekto de Poincaré estas konjekto pri la karakterizado de la tri-dimensia sfero inter 3-dimensiaj sternaĵoj. La konjekto koncernas spacon kiu loke aspektas simile al ordinara tri dimensia spaco sed estas finia en amplekso kaj ne havas iun ajn randon (do estas fermita 3-sternaĵo). La konjekto pretendas ke se tia spaco havas la aldonan propraĵon ke ĉiu ciklo en la spaco povas esti kontinue kuntirita al punkto, tiam ĝi estas ĝuste tri-dimensia sfero. Analogaj rezultoj estas ankaŭ en pli grandaj dimensioj.

Post proksimume jarcento de penoj de matematikistoj, serio de artikoloj estis verkita en 2002 kaj 2003 de Grigorij Perelman, sekvante la programon de Richard Hamiltono, skizante la solvaĵo. Tri grupoj de matematikistoj ellaboris detalojn de la pruvo de Perelman.

La Konjekto de Poincaré estas unu el la plej grava demandoj en topologio. Ĝi estas unu el la sep Jarmilaj Premiaj Problemoj por kiu la Argila Matematika Instituto oferas primion de 1000000$ por la unua korekta solvaĵo.
Laboro de Perelman estas sub recenzo kaj la premio povas esti juĝita al li se la pruvo esto$s konsiderita kiel valida dum du jaroj post la eldono."Intervjuo kun Jim Carlson " en ICM 2006 Ĉiutagaj Novaj, Madrido 29-a de aŭgusto 2006, p. 1"Antaŭ konsidero, proponita solvaĵo devas esti publikigita en matematika eldono de tutmonda famo (aŭ la alia formo kiun la SAB kvalifikas), kaj ĝi devas ankaŭ devas esti ĝenerale akceptita en la matematika komunumo du jarojn post."de Reguloj por la Jarmilo Premioj , versio de 19-a de januaro, 2005, havebla je la retejo de la Argila Matematika Instituto

En la 22-a de decembro 2006 Scienco juĝis pruvon de Perelman de la konjekto de Poincaré kiel la scienca "Breĉo de la Jaro", la unua fojon la juĝo estas en areo de matematiko.

 Historio 
 Demando de Poincaré 
Je la komenco de la 20-a jarcento, Henri Poincaré laboris pri la fundamentoj de topologio, pri tio kio poste nomiĝis kiel kombina topologio kaj poste kiel algebra topologio. Li estis aparte interesita en topologiaj propraĵoj karakterizantaj sferon.

Poincaré pretendis en 1900 ke homologeco, ilo kiun li faris surbaze sur antaŭa laboro de Enrico Betti, estis sufiĉa por diri ĉu iu 3-sternaĵo estis 3-sfero. En artikolo de 1904 li priskribis la kontraŭekzemplon, nun nomata kiel la sfero de Poincaré, kiu havas la saman homologecon kiel 3-sfero. Poincaré sukcesis montri ke la sfero de Poincaré havas fundamentan grupon de ordo 120. Ĉar la 3-sfero havas bagatelan fundamentan grupon, li konkludis ke ili estas malsamaj spacoj. La sfero de Poincaré estis la unua ekzemplo de homologeca sfero, la multaj aliaj estis poste konstruitaj.

En la sama papero, Poincaré demandis, ĉu 3-sternaĵo kun la homologeco de 3-sfero kaj ankaŭ kun bagatela fundamenta grupo estas 3-sfero. La nova kondiĉo, kiu estas "bagatela fundamenta grupo", povas esti refrazita kiel "ĉiu ciklo povas esti malpligrandigita al punkto".

La originala frazo estis la sekva:

Konsideru kompaktan 3-dimensian sternaĵon V sen rando. Ĉu eblas ke la fundamenta grupo de V estas bagatela, kvankam V estas ne homeomorfa al la 3-dimensia sfero? 

Poincaré neniam deklaris ĉu li kredis ke ĉi tiu aldona kondiĉo sufiĉe karakterizas la 3-sferon, sed, la propozicio pri tio, ke la respondo estas jesa, estas sciata kiel la konjekto de Poincaré. Jen la norma formo de la konjekto:

Ĉiu simple koneksa kompakta 3-sternaĵo (sen rando) estas homeomorfa al 3-sfero.

 En la aliaj dimensioj 
La konjekto povas esti ĝeneraligita al aliaj dimensioj, kaj estis solvita multa pli frue en ĉi tia okazo (ĝi en la okazo estas sufiĉe malsama). Vidu en ĝeneraligita konjekto de Poincaré.

 Provitaj solvoj 
Por tempo, ĉi tiu problemo aspektas kiel latenta, ĝis kiam J. H. C. Whitehead revigligis intereson al la konjekto, kiam en la 1930-aj jaroj li unua pretendis havi pruvon, sed agnoskis ĝian ne taŭgecon. En la procezo, li esploris interesajn ekzemplojn de simple koneksa ne-kompaktaj 3-sternaĵoj ne homeomorfaj al R3, la prototipo de kiuj estas nun nomata kiel la sternaĵo de Whitehead.

En la 1950-aj kaj 1960-aj jaroj, la aliaj matematikistoj pretendis havi pruvojn nur por esplori la malfacilaĵojn. En 1958 R. H. Bing pruvis malfortan version de la konjekto de Poincaré: se ĉiu simpla fermita kurbo de kompakta 3-sternaĵo estas enhavita en 3-pilko, tiam la sternaĵo estas homeomorfa al la 3-sfero.  R.H. Bing
Necesaj kaj sufiĉaj kondiĉoj de tio ke 3-sternaĵo estas S3
La Analoj de Matematiko 2-a Ser., Volumo. 68, Ne. 1 (jul., 1958), pp. 17-37  Bing ankaŭ priskribis iujn el siaj malsukcesoj en penoj pruvi la konjekton de Poincaré.
Bing, R. H. Iuj aspektoj de la topologio de 3-sternaĵoj rilatanta al la konjekto de Poincaré. 1964 Prelegoj pri moderna matematiko, Volumo. II pp. 93-128 Wiley, Novjorko

 Referencoj 

plu en Vikipedio:Tradukado/Konjekto de Poincaré - parto 2 - ankoraŭ ne finita

Kategorio:Geometria topologio
Kategorio:3-sternaĵoj
Kategorio:Konjektoj