Nombregoj

Por informo pri tio kiel grandaj nombroj estas nomataj, vidu la artikolon vortoj por grandegaj nombroj.
Grandaj nombroj estas nombroj, kiuj estas grave pli grandaj ol tiuj kiuj estas kutime uzitaj en ĉiutaga vivo, ekzemple en simpla nombrado aŭ en monaj transakcioj. La termino tipe signifas grandajn pozitivajn entjerojn, aŭ pli ĝenerale, grandajn pozitivajn reelajn nombrojn, sed ĝi povas ankaŭ esti uzata en aliaj ĉirkaŭtekstoj.

Tre grandaj nombroj ofte okazas en kampoj kiel matematiko, kosmologio kaj ĉifriko. Iam homoj epitetumas nombrojn kiel "astronomie grandaj". Tamen, facile eblas matematike difini nombrojn, kiuj estas multe pli grandaj ol tiuj uzataj eĉ en astronomio.

 Uzado de scienca notacio por trakti grandajn kaj malgrandajn nombrojn 
Scienca notacio estis kreita por trakti la larĝan gamon de valoroj kiuj okazas en scienca studo. 1,0 × 109, ekzemple, estas unu miliardo, 1 sekvita de naŭ nuloj: 1 000 000 000, kaj 1,0 × 10−9 estas unu miliardono, aŭ 0,000 000 001. Skribi kiel 109 anstataŭ naŭ nuloj ŝparas al legantoj la penon kaj hazardon de kalkulado de longa serio da nuloj por kompreni kiel granda estas la nombro.

Aldonado de 0 al la fino de nombro obligas ĝin per 10: 100 estas 10-oble 10. En scienca notacio, tamen, la eksponento nur pligrandiĝas je unu, de 101 al 102. Por nombroj en scienca notacio, malgrandaj ŝanĝoj en la eksponento signifas grandajn ŝanĝojn en la nombro mem.

 Heŭristikaĵo por konverti inter scienca notacio kaj potencoj de du 
Jen kruda regulo por konverti inter scienca notacio kaj potencoj de du, ĉar komputilo-rilataj kvantoj estas ofte komencitaj en potencoj de du. Notu, ke 103 = 1000 estas tre proksimume egala al 210 = 1024. Ĉi tio permesas rapide konverti inter potencoj de dek kaj potencoj de du. Ekzemple, 220 estas proksimume 106 = 1 000 000, kaj 230 estas proksimume 109 = 1 000 000 000. Iuj aliaj ekzemploj:

 kaj

Sed notu, ke tiu proksimuma kalkulado perdas unu faktoron de 2 por ĉiu 292. Pro tio,
 (sed ne )

 Ekzemplaj grandaj nombroj 
 Grandaj nombroj en la ĉiutaga mondo 
Ekzemploj de grandaj nombroj priskribantaj ĉiutagajn real-mondajn objektoj estas:

 La kvanto de cigaredoj fumitaj en la Usono dum unu jaro, de la ordo de 1012, unu duiliono)
 La kvanto de bitoj sur komputila fiksita disko (kiel de 2006, tipe proksimume 1012, 125 GB)
 La kvanto de ĉeloj en la homa korpo (pli ol 1014)
 La kvanto de neŭronaj ligoj en la homa cerbo (pritaksita je 1014)
 Nombro de Avogadro (kvanto de atomoj en 12 gramoj da karbono-12, proksimume 6,022×1023)

 Astronomie grandaj nombroj 
Aliaj grandaj nombroj troviĝas en astronomio kaj kosmologio, ekzemple:

 Laŭ la nuntempa modelo de Praeksplodego de la Universo la Universo aĝas je 13,7×109 jaroj, kio estas 4,3×1017 sekundoj
 La observebla universo "diametre" larĝas 78×109 lumjarojn, kio estas 7,4×1026 metroj,
 Ĝi entenas proksimume 300×1021 stelojn, organizitajn en proksimume 80×109 galaksioj;
 La kvanto de atomoj en la videbla universo estas eble inter 1079 kaj 1081,Maso, amplekso, kaj denseco de la Universo

Pri astronomiaj nombroj rilataj al distanco kaj tempo, vidu en:
 Ordoj de grandeco (longo)
 Ordoj de grandeco (tempo)

Aliaj ekzemploj estas donitaj en ordoj de grandeco (nombroj).

 Eĉ pli grandaj nombroj 
Kombinaj procezoj rapide generas eĉ pli grandajn nombrojn. La faktoriala funkcio, kiu difinas la nombron de permutoj sur aro de donitaj objektoj kreskas tre rapide kun la kvanto de objektoj. La formulo de Stirling donas precizan asimptotan esprimon por tiu kresko.

Kombinaj procezoj generas tre grandajn nombrojn en statistika mekaniko. Tiuj nombroj estas tiel grandaj, ke ili estas tipe menciataj nur per siaj logaritmoj.

Nombroj de Gödel, kaj similaj nombroj uzataj por prezenti bit-ĉenojn en algoritma informa teorio estas tre grandaj, eĉ por matematikaj propozicioj de modera longo. Tamen, iuj malnormalaj ("patologiaj") nombroj estas eĉ pli grandaj ol la nombroj de Gödel de tipaj matematikaj propozicioj.

 Komputiloj kaj komputa komplikeco 

La leĝo de Moore, por paroli ĝenerale, taksas, ke komputiloj duobliĝas en rapido dum proksimume ĉiuj 18 monatoj. Ĉi tiu iam kondukas homojn kredi, ke eble, komputiloj estos kapablaj solvi ian ajn matematikan problemon, ne grave kiel malsimpla. Sed tio malveras; komputiloj estas fundamente limigitaj per la limigoj de fiziko, kaj certaj superaj baroj al tio kion oni povas atendi povas laŭkaŭze esti formulitaj. Ankaŭ, estas certaj teoriaj rezultoj kiuj montras, ke iuj problemoj estas esence preter la atingo de plena komputa solvo, ne grave kiel pova aŭ rapida estas la kalkulado; vidu en N-korpa problemo.

Inter 1980 kaj 2000, la tipaj ampleksoj de fiksitaj diskoj pligrandiĝis de proksimume 10 megabitokoj (1×107) ĝis proksimume 100 gigabitokoj (1011 bitokoj). 100 gigabitoka disko povas stori la antaŭnomojn de ĉiuj el la ses miliardoj da loĝantoj de la Tero sen uzo de datuma kunpremo. Sed kio pri vortaro-sur-disko storanta ĉiujn eblajn pasvortojn enhavantajn ĝis 40 signojn? Premisante ke ĉiu signo egalas unu bitokon, estas ĉirkaŭ 2320 ĉi tiaj pasvortoj, kiu estas proksimume 2×1096. Referaĵo  rimarkigas, ke, se ĉiu partiklo en la universo povus esti uzata kiel parto de giganta komputilo, ĝi povus stori nur proksimume 1090 bitojn, malpli ol unu miliononon de la amplekso kiun postulus la vortaro.

Kompreneble, eĉ se komputiloj ne povas stori ĉiujn eblajn 40-signajn ĉenojn, ili tamen povas facile esti programitaj por ekkreadi kaj elmontradi ilin unuope. Tiel longe kiel ni ne provas stori ĉiun eligon, nia programo povis kuri nedefinite. Premisante ke moderna persona komputilo povas eligi po 1 miliardo ĉenojn je sekundo, ĉi tio prenus unu miliardonon de 2×1096 sekundoj, aŭ 2×1087 sekundojn por plenumi la taskon, kio egalas ĉirkaŭ 6 × 1079 jarojn. Por kontrasto, la universo estas taksita al aĝi 13,7 miliardon (1,37×1010) jarojn. Kompreneble, komputiloj supozeble daŭros plirapidiĝi, sed la sama referaĵo menciita antaŭe taksas, ke la tuta universo funkcianta kiel grandega komputilo povis jam plenumi nur apenaŭ 10120 operaciojn ekde la praeksplodo. Tio estas sufiĉas por montri ĉiujn 40-signajn pasvortojn, sed komputadi ĉiujn 50-signajn ĉenojn superus la taksitan komputan potencialon de eĉ la tuta universa mem.

Problemoj kiel ĉi tiu pli supre priskribita kreskas eksponente en la kvanto de paŝoj kiujn ili postulas, alivorte ili estas problemoj de eksponenta tempo. Estas kaŭzo kial eksponente malfacilaj problemoj estas konsiderataj kiel netrakteblaj en komputiko: por eĉ malgrandaj nombroj kiel la 40 aŭ 50 signoj kiel en la ekzemplo, la kvanto de paŝoj de komputado postulita superas eĉ teoriajn limigojn pri homara komputa kapablo. La tradicia divido inter "facilaj" kaj "pezaj" problemoj estas tial farita inter programoj kiuj postulas kaj kiuj ne postulas eksponente pligrandiĝantajn rimedojn por plenumiĝi, vidu plu en komplikecaj klasoj P kaj NP.

Tamen, ne postuli eksponente pligrandiĝantajn rimedojn ne sufiĉas por garantii komputeblecon en praktiko – ekz. estas multaj algoritmoj de polinoma kresko kies ciferecaj parametroj estas tiel grandaj ke ili estas praktike neuzeblaj. (?)

Tiaj limigoj estas avantaĝo en ĉifriko, ĉar iu ajn ĉifro-rompanta maniero postulanta pli ol, oni diru, la 10120 operaciojn menciitajn antaŭe neniam fareblos. Kompreneble, multaj ĉifroj jam estas rompitaj per trovo de kompetentaj teknikoj kiuj postulas nur modestajn kvantojn de komputado kaj ekspluatas malfortecon nekonatan por la ĉifra dizajnisto. Ankaŭe, multaj esploroj tra ĉiuj branĉoj de komputiko fokusas super trovi novajn, kompetentajn, bonrendimentajn solvojn al problemoj, kiuj laboras kun multe malpli grandaj rimedoj ol estas postulitaj de naiva solvado. Ekzemple, unu maniero trovi la plej grandan komunan divizoro inter du 1000-ciferaj nombroj estas komputi ĉiujn iliajn faktorojn per prov-dividado. Tiu postulus 2×10500 divid-operaciojn, tro multaj por esti reale farataj. Sed la eŭklida algoritmo, uzante multe pli kompetentan teknikon, prenas nur proksimume 7000 operaciojn por trovi plej grandan komunan divizoron de eĉ ĉi tiaj gigantaj nombroj.

Kiel ĝenerala regulo, tipa komputilo en 2005 povas plenumi 240 kalkulojn en kelkaj minutoj. Kelkaj miloj komputiloj laborantaj por kelkaj jaroj povus solvi problemon postulantan 264 kalkulojn, sed neniu kvanto da tradiciaj komputiloj solvos problemon postulantan 2128 operaciojn (kiu estas proksimume kvanto postulata por rompi la 128-bitan SSL kutime uzatan en TTT-legiloj, alprenante ke la subkuŝantaj ĉifroj restos sekuraj). Limigoj al komputila memoro estas kompareblaj. Kvantumaj komputiloj eble povos igi certajn problemojn fareblajn, sed ĝis 2005 tio ankoraŭ ne aspektas kiel baldaŭa afero.

 Aliaj ekzemploj 
 Guglo = 
 Gugloplekso =  Ĝi estas kvanto de statoj en kiu povas esti sistemo konsistanta el  partikloj, ĉiu el kiuj povas esti en guglo da statoj. Alternative, ĝi estas kvanto de statoj en kiuj sistemo povas esti kiuj konsistas el guglo partikloj, ĉiu el kiu povas esti en 10 statoj.
 Centiliono =  aŭ , depende de sistemo de nombro-nomado.
 Nombro de Skewes: la unua estas ĉ. , la dua 
 Nombro de Graham

La tuteca kvanto de presita materialo en la mondo estas krude 1,6×1018 bitoj; pro tio la tuta enhavo povas esti prezentita per nombro kiu estas krude 

Por "potenca turo", la plej taŭga por la valoro estas la alto kaj la lasta kelkaj valoroj. Komparu kun gugloplekso:




Ankaŭ komparu:




La unua nombro estas multe pli granda ol la dua, pro la pli granda alto de la potenca turo, kaj malgraŭ la malgrandaj nombroj 1,1 (tamen, se ĉi tiuj nombroj estas 1 aŭ malpli grandaj, ĉi tio grande ŝanĝas la rezulton). Komparante la grandecon de ĉiu sekva eksponento en la lasta nombro kun , oni trovas diferencon en la grandeco de efiko sur la fina eksponento. En la nombro 3000,48, la fina eksponento, la entuta grandeco de la fina eksponento estas donacita de la 2-a eksponento (1000). La 1-a eksponento nur aldonas faktoron 3 al la mikso (1000×3). La baza nombro nur aldonas faktoron 1,00016 en la fina eksponento (1000×3×1,00016=3000,48). Tio klare montras la gravecon de la plej alta eksponento en la turo.

 Normigita sistemo skribi tre grandajn nombrojn 
Normigita maniero skribi tre grandajn nombrojn permesas al ili esti facile ordigitaj en pligrandiĝanta ordo, kaj oni povas akiri bonan ideon pri kiom pli granda iu nombro estas ol alia.

Supereksponento kun bazo 10 povas esti uzata por tre rondigitaj nombroj, ĉiu prezentanta ordon de grandeco en ĝenerala senco.

Nombroj interajn povas esti esprimitaj per potenca turo de nombroj 10, kun normala nombro ĉe la supro, eble en scienca notacio, ekz. , nombro inter  kaj  (se la eksponento ĉe la supro estas inter 10 kaj , kiel ĉi tie, la nombro kiel la 7 estas la alto).

Se la alto estas tro granda por tutskribi la tutan potencan turon, notacio kiel  povas esti uzata, kie  estas la funkcia potenco de la funkcio  .

Diversaj nomoj estas uzataj por tiu prezento:

 bazo-10 eksponenta tura formo
 supereksponenta notacio
 neplena potenca turo

La notacio  estas en askio ((10^)^183)3,12e6, proponita plisimpligo estas 10^^183@3,12e6; la notacioj 10^^1@3,12e6 kaj 10^^0@3,12e6 estas ne bezonataj, oni povas simple skribi kiel 10^3,12e6 kaj 3,12e6 respektive.

Tial gugloplekso = 10^^2@100 = 10^^3@2 = 10^^4@0,301; la notacio povas esti elektita por ĉiu aparte nombro, aŭ ĉiuj nombroj elektita same. En la lasta okazo kompari nombrojn estas iom pli simple. Ekzemple, kompari nombrojn 10^^2@23,8 kun 10^6e23 postulas la malgrandan kalkuladon 10^0,8=6,3 por vidi, ke la unua nombro estas pli granda.

Por normigi la limigon de la supra valoro (post la @), oni povas elekti unu el la limigoj 0 ... 1, 1 .... 10, aŭ 10 ... 1e10:

 Kun limigo 0 ... 1, eĉ pli mallonga notacio rezultiĝas, ekzemple gugloplekso = 10^^3,301 proponita de Vilhelmo Elliot. Ĉi tiu estas ne nur notacio, ĝi provizas samtempe ĝeneraligon de 10^^x al reela x>-2 (10^^4@0=10^^3, de ĉi tie la entjero antaŭ la punkto estas je unu malpli granda ol en la antaŭa notacio). Ĉi tiu funkcio povas aŭ povas ne konveni depende de postulita glateco kaj aliaj propraĵoj; ĝi estas monotone pligrandiĝanta kaj kontinua, kaj 10^^(x+1) = 10^(10^^x), sed ĝi estas nur popece diferencialebla. La inversa funkcio estas superlogaritmo, difinita por ĉiuj reelaj nombroj, ankaŭ negativaj nombroj. Vidu ankaŭ en supereksponento pri vastigado al reelaj nombroj.

 La limigo 10 ... 1e10 donas la notacion pli proksiman al ordinara scienca notacio, kaj la notacio estas reduktita al la ordinara scienca notacio se la nombro estas mem en tiu limigo (la parto "10^^0@" en komenco povas esti forigita).

Alia ekzemplo:
 (inter  kaj )

La ordo aŭ pli precize grandoordo de nombro (sur pli granda skalo ol kutime), povas esti karakterizita per la kvanto de fojoj n kiun oni devas ripete preni la logaritmon  por ricevi nombron inter 1 kaj 10. Tiam la nombro estas inter  kaj . Simila al ĉi tio estas funkcio ripetita logaritmo.

Estas propraĵo:

Kio estas, se nombro x estas prezentata kiel  oni povas fari la potencan turon je 1 etaĝo pli altan kaj anstataŭi la valoron x per .

Se la alto de la turo ne estas akurate donita tiam doni valoron ĉe la supro ne havas sencon, kaj notacio kiel  povas esti uzata.

Se la valoro post la duopa sago mem estas tre granda nombro, la formulo pli supre povas rekure esti aplikita al la valoro.

Ekzemploj:

 (inter  kaj )
 (inter  kaj )

 Akurateco 
Por nombro 10n, ĉiu unuo de ŝanĝo de n ŝanĝas la rezulton per faktoro 10. Estu ekzemple nombro , kaj estu la 8,2 la rezulto de rondigo al plej proksima, do la preciza valoro estas inter 8,15 kaj 8,25. Tiam la vera valoro de la eksponento povas esti je 50 malpli aŭ 50 pli. Do la preciza rezulto povas esti per faktoro 1050 pli granda aŭ pli malgranda. Tiu estas kvazaŭe ege malbona akurateco, sed por ĉi tiaj grandaj nombroj ĝi povas esti konsiderata kiel normala, granda eraro en granda nombro povas esti relative malgranda kaj pro tio akceptebla.

Kun ege grandaj nombroj, la relativa eraro povas esti granda, ankoraŭ povas esti senco laŭ kiu ni bezonas konsideri la nombrojn kiel "proksima je grandeco". Ekzemple, estu

 1010 kaj 109

La relativa eraro estas



sufiĉe granda. Tamen, oni povas ankaŭ konsideri la relativan eraron en la logaritmoj; en ĉi tiu kazo, la logaritmoj (je bazo 10) estas 10 kaj 9, do la relativa eraro estas nur 10%.

La fakto estas, ke eksponentaj funkcioj grande pligrandigas relativajn erarojn – se a kaj b havas malgrandan relativan eraron,

 10a kaj 10b

ne povas havi malgrandan relativan eraron, kaj

  kaj 

havas ankoraŭ pli grandan relativan eraron. La demando tiam iĝas: sur kiu nivelo de ripetitaj logaritmoj oni deziru kompari du nombrojn? Estas senco en kiu oni eble bezonas konsideri nombrojn

  kaj 

kiel "proksimaj je grandeco". La relativa eraro inter ĉi tiuj du nombroj estas granda, kaj la relativa eraro inter iliaj logaritmoj estas ankoraŭ granda; tamen, la relativa eraro inter iliaj dua-ripetitaj logaritmoj (logaritmoj de logaritmoj) estas malgranda:

  kaj 

Tiaj komparoj de ripetitaj logaritmoj estas kutima ekzemple en analitika nombroteorio.

 Proksimuma aritmetiko por tre grandaj nombroj 
Estas iuj ĝeneralaj reguloj pri la kutimaj aritmetikaj operacioj plenumitaj sur tre grandaj nombroj:

 Sumo kaj produto de du tre grandaj nombroj ambaŭ proksimume egalas al la pli granda el la du fontaj nombroj.



Do:

 Tre granda nombro altigita al tre granda potenco estas proksimume egala al la pli granda el jenaj du valoroj: la unua valoro kaj 10 en la potenco de la dua. Ekzemple, por tre granda n veras  kaj ankaŭ . Tial .

 Nekomputeble grandaj nombroj 
La diligenta kastora funkcio Σ estas ekzemplo de funkcio kiu kreskas pli rapide ol iu ajn komputebla funkcio. Ĝia valoro por eĉ relative malgranda enigo estas giganta. La valoroj de Σ(n) por n = 1, 2, 3, 4 estas 1, 4, 6, 13. Σ(5) estas ne sciata sed estas definitive ≥ 4098. Σ(6) estas almenaŭ 1.29×10865.

 Nefiniaj nombroj 
Kvankam ĉiuj ĉi tiuj nombroj pli supre estas tre grandaj, ili estas ĉiuj ankoraŭ finiaj. Iuj kampoj de matematiko difinas nefiniajn kaj transfiniajn nombrojn. Ekzemple,  (vidu alef-nula) estas la kardinalo de la nefinia aro de naturaj nombroj, kaj alef-unua estas la sekva plej malgranda kardinalo.  estas la kardinalo de la reelaj nombroj. La propozicio ke  estas nomata la kontinuumo-hipotezo.

Vidi ankaŭ:
 Granda kardinalo
 Kardinalo de Mahlo
 Nepriskribebla kardinalo

 Notacioj 
Iuj notacioj por ege grandaj nombroj:
 Notacio de Knuth / hiperoperatoroj / akermana funkcio, inkluzivante supereksponenton
 Sagiĉena notacio de Conway
 Notacio de Steinhaus-Moser krom maniero konstrui grandajn nombrojn, ĉi tiu ankaŭ engaĝas grafikan notacion kun poligonoj; alternativaj notacioj, kiel pli kutima funkcia notacio, povas ankaŭ esti uzita kun la samaj funkcioj.
 Notacio de la tabelo de Jonathan Bowers permesas al konsiderinde pli grandaj nombroj esti prezentitaj ol la supren-saga notacio de Knuth.

Ĉi tiuj notacioj estas esence funkcioj de entjeraj variabloj (kvankam iuj el ili estas ĝeneraligitaj al reelaj variabloj), kiuj pligrandiĝas tre rapide kun ĉi tiuj variabloj. Iam pli rapide pligrandiĝantaj funkcioj povas facile esti konstruitaj rekursie per apliki ĉi tiujn funkciojn kun grandaj entjeroj kiel argumento.

Notu, ke funkcio kun vertikala asimptoto estas ne helpema difini tre grandan nombron, kvankam la funkcio pligrandiĝas tre rapide: oni devas difini argumenton tre proksime al la asimptoto, kio estas uzi tre malgrandan nombron, kaj konstrui tion estas ekvivalentas konstrui tre grandan nombron, ekzemple per la inverso.

 Vidu ankaŭ 
 Historio de grandaj nombroj
 Numeralego
 Leĝo de grandaj nombroj
 Listo de nombroj
 Eksponenta funkcia kresko
 Supereksponento
 Hiperoperatoro
 Akermana funkcio
 Supren-saga notacio de Knuth
 Sagoĉena notacio de Conway
 Notacio de Steinhaus-Moser
 Hiperlogaritmo
 Ripetita logaritmo
 Malgranda nombro
 Guglo
 Gugloplekso
 Zilliono
 Granda O
 Scienca notacio
 Logaritmo
 Logaritma skalo
 Ordoj de grandeco
 Kalkulado
 Komputa komplikteorio
 Algoritma informa teorio
 Komputebleca teorio
 Granda kardinalo
 Kardinalo de Mahlo
 Nepriskribebla kardinalo

 Referencoj 

 Eksteraj ligiloj 
 Rimarkindaj propraĵoj de specifaj nombroj (lasta paĝo de serio kiu traktas la nombrojn en kreska ordo, de ĉi tie la plej grandajn nombrojn en la serio)
 "Grandaj nombroj" kaj "Rimarkindaj propraĵoj de specifaj nombroj" - Robert Munafo
 Grandaj nombroj - Susan Stepney
 Hamleto estas Granda Nombro - Jim Blowers (1) , (2)
 Kiel al kalkuli kun grandaj nombroj - Dave L. Renfro
 Nombro de Graham kaj rapide kreskantaj funkcioj - Dave L. Renfro
 Diskuto kaj ŝanĝo de notacio
 Funkcio de Ackermann kaj novaj aritmetikaj operacioj - Rubtsov kaj Romerio
 Diversa terminologio por grandaj nombroj; enhavas erarojn
 Aldonaĵoj por Excel por funkcioj de etendita precizeco kaj matrica algebro - ĉiesaĵo, malfermita kodo.
 Really Big Numbers

Kategorio:Matematika notacio
Kategorio:Grandaj nombroj