Algebra strukturo

En moderna matematiko, "algebra strukturo" estas loze difinita termino signifanta la matematikajn objektojn tradicie studatajn en la kampo de abstrakta algebro: aroj kun operacioj.

En universala algebro, oni studas algebrajn strukturojn konsistantajn el aro kaj kolekto da operacioj difinitaj sur la aro, por kiuj validas certaj identoj.

La vorto "strukturo" povas signifi kaj specifan matematikan objekton, kaj pli abstraktan koncepton. Ekzemple, la monstra grupo samtempe estas algebra strukturo, kaj ĝi havas algebran strukturon: la strukturon komunan al ĉiuj grupoj. Ĉi tiu artikolo uzas ambaŭ sencojn de la termino.

 Strukturoj, kies aksiomoj ĉiuj estas identecoj 
Ĉiuj aksiomoj de strukturoj en ĉi tio sekcio estas identecoj, aŭ egalaĵoj, kiel ekzemple la eco de adicio, ke a+b = b+a por ĉiuj a kaj b.

Simplaj strukturoj: Neniu duuma operacio:

 Aro: degenera algebra strukturo, havanta nul operaciojn difinitajn sur ĝi
 Punktita aro: aro S kun (invarianta, memkonjugita, normala) ero s de S
 Transforma sistemo: aro S kun transformo, t.e. funkcio S → S
 Punktita unuloka sistemo: unuloka sistemo kun normala ero (tiaj objektoj okazas en diskutoj de la aksiomoj de Peano)

Grupoecaj strukturoj: Unu duuma operacio

 Magmo aŭ grupoido: aro kun sola operacio (matematiko)
 Kvazaŭgrupo: magmo, en kiu la operacio (matematiko) ĉiam havas inverson
 Lopo: kvazaŭgrupo kun neŭtrala elemento
 Semigrupo: asocia magmo
 Monoido: semigrupo kun neŭtrala elemento
 Grupo: monoido, en kiu ĉiu ero havas inverson
 Komuta grupo: komuta grupo

Ringoecaj strukturoj: Du duumaj operacioj
 Semiringo: aro kiu formas semigrupon sub du malsamaj duargumentaj operacioj, kie unu el ili ("adicio") estas komuta kaj la dua estas distribua rilate ĝin. Ĉi tiu estas la sama kiel ringo, sed sen adiciaj inversoj.
 Ringo: aro kun komuta grupa operacio ("adicio"), kaj kun alia semigrupa operacio ("multipliko"), ligitaj per distribueco.
 Rng: ringo sen multiplika idento.
 Komuta ringo: ringo kies multipliko estas komuta
 Algebro de Kleene: kvadrategala duonringo kun aldona unuloka operatoro (la Stelo de Kleene); ĉi tiuj estas modelitaj sur regulesprimoj

Moduloj: Sistemoj difinitaj super du aroj, M kaj R:
 Modulo super ringo R: aro kun adicia komuta grupa operacio, kaj ankaŭ unuvalenta operacio de skalara multipliko por ĉiu elemento de R, kun asocia kondiĉo liganta skalaran multiplikon kun multipliko en R Vektora spaco: modulo (modela teorio) super kampo (vidu pli sube por kampoj)Alĝebroj
 Alĝebro super kampo: modulo aŭ vektora spaco kaj ankaŭ dulineara operatoro kiel multipliko
 Asocia alĝebro: alĝebro, kies multipliko estas asocia
 Komuta alĝebro: asocia alĝebro, kies multipliko estas komuta
 Alĝebro de Lie: ne-asocia alĝebro grava en geometrio

Latisoj
 latiso: aro kun du komutaj, asociaj, idempotentaj operacioj, kontentigantaj la sorbajn identaĵojn
 Bulea algebro: distribueca, komplementa latiso

 Strukturoj kun aksiomoj, kiuj ne estas identecoj 
La strukturoj en ĉi sekcio ne estas variaĵoj, ĉar ili ne eblas aksiomigi ili sole per identecoj.

Unu ampleksigo de la koncepto de algebra strukturo estas studi arojn kun operacioj, kiuj devas kontentigi aksiomoj escepte identoj.

La pli supraj strukturoj estas ĉiuj formalaj sistemoj, ili konsistas pure el difinoj kaj ne metas iujn ajn limigajn kondiĉojn sur la strukturojn. En la difino de kampo pli sube estas la limiga kondiĉo 0 (la adicia idento) ≠ 1 (la multiplika idento. Por ke tiu estu pure formala strukturo, neniu tia kondiĉo devus lokiĝi. Tamen, se 0=1 tiam la strukturo kolapsas. De ĉi tie, necesa limigo, ke 0 ≠ 1 devas validi por certigi, ke ni havos utilan matematikan eternecon. Kvankam ĉi tiuj strukturoj sendube havas algebran guston, ili suferas de difektoj ne troveblaj en universala algebro. Ekzemple, ne ekzistas produto de du integrecaj ringoj, nek libera kampo super iu ajn aro.

 Integreca ringo: ringo kun 0 ≠ 1, kiu havas neniujn nuldivizorojn escepte 0
 Korpo: integreca ringo kun inversa operacio (la inversa operacio estas ne difinita por la nulo)
 Kampo: komuta korpo
 Artinian-ringo: ringo kiu kontentigas la descendantan ĉenan kondiĉon sur idealoj.

Aritmetikaĵoj

Kamp-similaj strukturoj

Kombinitaj sistemoj: vektoraj spacoj kaj alĝebroj super kampojTri duumaj operacioj

Kvar duumaj operacioj

Kombinitaj sistemoj multlinearaj alĝebroj

 Ekzemploj 
 La (ne-nulo) naturaj nombroj kun aldono (+) estas magmo.
 La nenegativaj entjeroj sub aldono estas magmo kun idento.
 La entjeroj Z kun subtraho (−) formas kvazaŭgrupon.
 La nenulo racionaloj Q kun divido (÷) formas kvazaŭgrupon.

Grup-similaj strukturoj

 Ĉiu grupo estas ciklo, ĉar a * x = b se kaj nur se x = a−1 * b, kaj y * a = b se kaj nur se y = b * a−1.
 La entjeroj Z kun aldono (+) formas komutan grupon.
 La ne-nulo racionaloj Q kun multipliko (×) formas komutan grupon.
 Du per du matricoj kun multipliko ariĝi (ne komuta).
 Ĉiu cikla grupo G estas abela, ĉar se x, y estas en G, tiam _xy_ = aman = am + n = an + m = anam = _yx_. En aparta, la entjeroj Z formas komutan grupon sub adicio, kiel fari la entjeroj module nZ/nZ.
 Pli da ekzemploj troviĝas en ekzemploj de grupoj.

Latisoj

Ring-similaj strukturoj

 La naturaj nombroj (inkluzive nulon), kun la ordinara adicii kaj multipliko estas komuta duonringo.
 La aro R[X] de ĉiuj polinomoj super iu koeficienta ringo R formas ringon.
 Du per du matricoj kun aldono kaj multipliko formas ringon (ne komutan).
 Finia ringo: Se n estas pozitiva entjero, tiam la aro Zn = Z/nZ de entjeroj module n (kiel adicia grupo la cikla grupo de ordo n ) formas ringon kun n eroj (vidu artikolon modula aritmetiko).

Integrecaj ringoj

 La entjeroj kun la du operacioj de aldono kaj multipliko formas integrecan ringon.
 La p-adic-aj entjeroj.

Kampoj

 La racionalaj nombroj kun adicio kaj multipliko formas kampon.
 La reelaj nombroj R, sub la kutimaj operacioj adicio kaj multipliko.
 La reelaj nombroj enhavas kelkajn interesajn subkorpojn: la reelaj algebraj nombroj, la komputeblaj nombroj, kaj la difineblaj nombroj.
 Kiam la reelaj nombroj estas donitaj la kutima (ordenanta, mendanta, ordanta, dimensianta, komandanta, ordigo) ili formas plenumi ordita kampo kiu estas kategoria — ĝi estas ĉi tiun strukturon kiu provizas la fundamenton por plej formalaj traktoj de kalkulo.
 La kompleksaj nombroj C, sub la kutimaj operacioj adicio kaj multipliko.
 Algebra nombra kampo estas finia kampa vastigaĵo de la racionalaj nombroj Q, tio estas, kampo enhavanta Q kiu havas finian dimension kiel vektora spaco super Q. Tiaj kampoj estas tre gravaj en nombroteorio.
 Se q > 1 estas povo de primo, tiam ekzistas (ĝis izomorfio) precize unu finia kampo kun q elementoj: Fq, Z/qZ, aŭ GF(q). Ĉiu alia finia kampo estas izomorfia al unu el ĉi tiuj kampoj. Tiajn kampojn oni ofte nomas kampoj de Galois, ek kio fontas la notacio GF(q) [pro la anglalingva Galois Field].
 Donite primon p, la aro de entjeroj module p estas finia kampo kun p eroj: Fp = {0, 1, …, p − 1} kie la operacioj estas difinitaj per plenumado de la operacio en Z''', dividanta per p kaj prenante la reston; vidu artikolon modula aritmetiko.

 Permesado de aldona strukturo 
Algebraj strukturoj povas ankaŭ esti difinitaj sur aroj kun aldona ne-algebra strukturo, kiel topologia spaco. La algebra strukturo estas postulita esti iel kongrua kun la aldona strukturo.

 Ordita grupo: grupo kun kongrua parta ordo
 Lineare ordita grupo: grupo kun kongrua lineara ordo
 Arĥimeda grupo: lineare ordita grupo por kiu validas la Arĥimeda eco
 Topologia grupo: grupo kun kongrua topologio
 Grupo de Lie: grupo kun kongrua sternaĵa strukturo
 Gradita algebro: algebro kun "gradoj"
 Clifford-algebro: asocia alĝebro difinita per kvadrata formo sur vektora spaco
 Topologia vektora spaco: vektora spaco kun kongrua topologio

 Teorio de kategorioj 
Ĉiu algebra strukturo havas sian propran nocion de homomorfio, nome funkcio, kiu estas kongrua kun la operacio(j) difinanta(j) la strukturon. Tiamaniere, ĉiu algebra strukturo difinas kategorion.

Ekzemple, la kategorio de grupoj havas ĉiujn grupojn kiel objektojn kaj ĉiujn grupajn homomorfiojn kiel strukturkonservantajn transformojn. Ĉi tiu konkreta kategorio povas esti konsideratata kiel kategorio de aroj kun aldonita strukturo en la kategorio-teoria senco. Simile, la kategorio de topologiaj grupoj (kun kontinuaj grupaj homomorfioj kiel strukturkonservantaj transformoj) estas kategorio de topologiaj spacoj kun superflua strukturo.

Ekzistas diversaj konceptoj en la teorio de kategorioj kiuj provas enkapti la algebran karakteron de kunteksto, ekzemple
 algebreca
 esence algebreca
 prezentebla
 loke prezentebla
 universala eco

 Vidu ankaŭ 
 Abstrakta algebro
 Teorio de kategorioj
 Libera objekto
 Listo de algebraj strukturoj
 Listo de unuaordaj teorioj
 Universala algebro
 Algebra variaĵo
 Valento (matematiko)
 Signaturo

 Referencoj 
 Garrett Birkhoff kaj Saunders MacLane, 1999 (1967). Algebra, 2nd ed. Chelsea.
 Michel, Anthony N., kaj Herget, Charles J., 1993 (1981). Applied Algebra and Functional Analysis. Dover.

Monografo senpage havebla perrete:
 Burris, Stanley N., kaj H.P. Sankappanavar, H. P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.

Teorio de kategorioj:
 Mac Lane, Saunders (1998) Categories for the Working Mathematician. 2nd ed. (Graduate Texts in Mathematics 5). Springer-Verlag.
 Taylor, Paul, 1999. Practical Foundations of Mathematics''. Cambridge University Press.

 Eksteraj ligiloj 

 Jipsen's algebra structures. 
 Planet Math. 

Kategorio:Abstrakta algebro