Adicia funkcio

Malsamaj difinoj ekzistas depende de la specifa kampo de apliko. Tradicie, adicia funkcio estas funkcio kiu konfitas la adician operacion:
f(x+y) = f(x) + f(y)
por ĉiu du eroj x kaj y en la argumentaro.

En nombroteorio, adicia funkcio estas aritmetika funkcio f(n) de la pozitiva entjero n tia ke por ĉiuj reciproke primaj a kaj b, la funkcio de la produto estas la sumo de la funkcioj:
f(ab) = f(a) + f(b) .

Ekster nombroteorio, la termino adicia povas ankaŭ esti uzita por ĉiuj funkcioj kun la propraĵo f(ab) = f(a) + f(b) por ĉiuj argumentoj a kaj b.

La resto de ĉi tiuj artikolo diskutas nombro-teoriajn adiciajn funkciojn, uzante la duan difinon.
Por specifa okazo de la unua difino vidu en adicia polinomo. Noto ankaŭ ke ĉiu homomorfio f inter komutaj grupoj estas adicia laŭ la unua difino.

 Plene adiciaAdicia 

Adicia funkcio f(n) estas plene adicia se f(ab) = f(a) + f(b) veras por ĉiuj pozitivaj entjeroj a kaj b, eĉ se ili estas ne reciproke primaj.

Ĉiu plene adicia funkcio estas adicia, sed ne nepre male.

 Ekzemploj 

 Plene adiciaj 

 La limigo de la logaritma funkcio al N, a0(n) - la sumo de primoj dividantaj na n, iam skribata kiel sopfr(n). a0(20) = a0(22 · 5) = 2 + 2 + 5 = 9.

a0(4) = 4
a0(27) = 9
a0(144) = a0(24 · 32) = a0(24) + a0(32) = 8 + 6 = 14
a0(2000) = a0(24 · 53) = a0(24) + a0(53) = 8 + 15 = 23
a0(2003) = 2003
a0(54032858972279) = 1240658
a0(54032858972302) = 1780417
a0(20802650704327415) = 1240681
 ...

 La funkcio Ω(n), la entuta kvanto de primaj faktoroj de n, kalkule oblajn faktoroj multaj oblfoje. Ĝi estas ofte nomata kiel "granda omega funkcio". Ĉi tio implicas Ω(1) = 0 ĉar 1 ne havas primajn faktorojn.

Ω(4) = 2
Ω(27) = 3
Ω(144) = Ω(24 · 32) = Ω(24) + Ω(32) = 4 + 2 = 6
Ω(2000) = Ω(24 · 53) = Ω(24) + Ω(53) = 4 + 3 = 7
Ω(2001) = 3
Ω(2002) = 4
Ω(2003) = 1
Ω(54032858972279) = 3
Ω(54032858972302) = 6
Ω(20802650704327415) = 7
 ...

 Adiciaj sed ne plene adiciaj 

 a1(n) - la sumo de diversaj primoj dividantaj na n, iam skribata kiel sopf(n). a1(1) = 0, a1(20) = 2 + 5 = 7.

a1(4) = 2
a1(27) = 3
a1(144) = a1(24 · 32) = a1(24) + a1(32) = 2 + 3 = 5
a1(2000) = a1(24 · 53) = a1(24) + a1(53) = 2 + 5 = 7
a1(2001) = 55
a1(2002) = 33
a1(2003) = 2003
a1(54032858972279) = 1238665
a1(54032858972302) = 1780410
a1(20802650704327415) = 1238677
 ...

 La funkcio ω(n), la entuta kvanto de malsamaj primaj faktoroj de n.

ω(4) = 1
ω(27) = 1
ω(144) = ω(24 · 32) = ω(24) + ω(32) = 1 + 1 = 2
ω(2000) = ω(24 · 53) = ω(24) + ω(53) = 1 + 1 = 2
ω(2001) = 3
ω(2002) = 4
ω(2003) = 1
ω(54032858972279) = 3
ω(54032858972302) = 5
ω(20802650704327415) = 5
 ...

 Multiplikaj funkcioj 

De ĉiu adicia funkcio f(n) facilas krei rilatantan multiplika funkcio g(n) kio estas kun la propraĵo, ke por ĉiuj reciproke primaj a kaj b :
g(ab) = g(a) × g(b) ,
g(n) = w(f(n)-f(1)) .
kie w estas pozitiva reela nombro.

 Eksteraj ligiloj 
 SIDN A001414 sopfr(n)
 SIDN A008472 sopf(n)
 SIDN A001222 granda omega funkcio Ω(n)
 SIDN A001221 ω(n)

Kategorio:Aritmetikaj funkcioj