Kurba integralo

En matematiko, kurba integralo estas integralo komputita laŭ kurbo en ia spaco. Kurbaj integraloj estas uzataj en vektora kalkulo kaj kompleksa analitiko. En vektora kalkulo oni konsideras integralojn de skalara aŭ vektora kampoj sur multdimensia spaco; En kompleksa analitiko oni konsideras integralojn de holomorfaj funkcioj sur kompleksa ebeno.

Por kurba integralo oni uzas la normalan integralan simbolon . Kelkfoje, por integralo laŭ fermitaj kurboj (t.e., kurboj kies komenca kaj fina punktoj koincidas), oni uzas la specialan simbolon .

 Kurba integralo en vektora kalkulo 
Supozu ke:
  estas orientita kurbo korektebla (angle rectifiable; t.e., kurbo kun finia, difinebla longeco);
  estas barita, kontinua (escepte sur nulmezura aro) skalara kampo.
Tiam oni konstruas sumon de Riemann jene. Parametrigu  kiel , kaj dividu  en  pecojn  kun .
Tiam la kurba integralo de skalara kampo  sur kurbo  difiniĝas kiel
.
Oni povas pruvi ke la sumo de Riemann ekzistas kaj ne dependas je elekto de parametrigo. Se la kurbo  estas pece glata, la difino simpliĝas al jena formulo:
.

Anstataŭ skalaraj kampoj oni povas difini integralojn de vektoraj kampoj simile.
Supozu ke:
  estas orientita kurbo korektebla;
  estas vektora kampo.
Elektu parametrigon  kaj dividu  en  subintervalojn . La kurba integralo de vektora kampo  laŭ kurbo  difiniĝas jene:
.
Simile, se la kurbo  estas pece glata:
.

Se  estas la gradiento de iu skalara kampo , tio estas,
,
oni povas pruvi ke
.
Mirinde, por gradientoj de skalaraj kampoj, la kurba integralo ne dependas je la preciza kurbo uzata sed nure je la finpunktoj  kaj  (kaj la orientado) de la kurbo.

 Kompleksa analitiko 
Supozu ke
  estas orientita kurbo korektebla (angle rectifiable; t.e., kurbo kun finia, difinebla longeco);
  estas kompleksvalora funkcio.
Parametrigu  kiel , kaj dividu  en  pecojn . La kurba integralo de  laŭ  difiniĝas kiel la sumo de Riemann
.
Se  estas peca glata, la difino simplifigas al:
.

Ekzemple, konsideru la funkcio . Difinu la kurbo  kiel maldekstrume orientita cirklo ĉirkaŭ . Ni povas parametrigi  kiel  kun . Ni trovas:

.
Tiu ĉi povas esti ankaŭ kontrolita per la teoremo de rekremento (vidu sube).

 Teoremo de rekremento 
Gravaj propozicioj pri kurbaj integraloj estas la koŝia integrala teoremo kaj la teoremo de rekremento (angle: ).

La teoremo de rekremento donas ĝeneralan metodon kalkuli kurbajn integralojn de meromorfaj funkcioj. Precize, supozu ke
  estas simple konektita malfermita aro;
 ;
  estas holomorfa funkcio (t.e. meromorfa sur  kun polusoj );
  estas orientita fermita kurbo korektebla (t.e. kun finia longeco).
Tiam:

kie
  signifas la vindnombron (angle: winding number), t.e.,  se  ne serpentumas ĉirkaŭ ;  se  serpentumas ĉirkaŭ  -foje maldekstrume (t.e. mallaŭhorloĝnadle);  se  serpentumas -foje dekstrume (t.e. laŭhorloĝnadle);
  signifas la rekrementon (angle: residue) de  apud , t.e., la valoron  tian ke  havas holomorfa malderivaĵo apud .

Speciale, se mankas la polusoj de , tiam . Tio ĉi estas la koŝia integrala teoremo.

Pro la teoremo de rekremento, oni povas ofte uzi konturajn integralojn en la kompleksa ebeno por trovi integralojn de reelvaloraj funkcioj de reela variablo.

Ekzemple, ree konsideru la antaŭan ekzemplon, , kie  estas cirklo ĉirkaŭ . Ekzistas unu poluso de , t.e., ĉe . La rekremento , ĉar  havas holomorfan malderivaĵon . La vindnombro estas . Tial
.

 Rilato inter vektora kaj kompleksa kurbaj integraloj 
Oni povas identigi  kun .
Konsideru orientitan korekteblan kurbon  kaj funkcion . Tiam:

kaj

kie  estas  vidita kiel vektora funkcio kaj  estas  vidita kiel vektora funkcio.

 Uzado en fiziko 
La kurba integralo havas multajn aplikojn en fiziko. Ekzemple, la laboro farita sur partiklo vojaĝanta sur kurbo  per forto  estas . Se la forto estas gradiento de skalara kampo (t.e., potencialo), tiam la laboro ne dependas sur la preciza vojo de partiklo, nure sur la komenca kaj fina pozicioj de la partiklo.

Kurbaj integraloj estas gravaj ankaŭ en kvantuma mekaniko kaj kvantuma kampa teorio. Ekzemple, kompleksaj kurbaj integraloj estas ofte uzataj kalkuli amplitudojn de probabloj en teorio de disĵetoj.

 Vidu ankaŭ 
 Integralo
 Surfaca integralo
 Volumena integralo
 Obla integralo
 Teoremo de Stokes

 Eksteraj ligiloj 

 Solvis problemojn pri kurbaj integraloj 

Kategorio:Kompleksa analitiko
Kategorio:Vektora kalkulo
Kategorio:Integrala kalkulo
Kategorio:Kurboj