Multiplika funkcio

En nombroteorio, multiplika funkcio estas aritmetika funkcio f(n) de la pozitiva entjero n kun la propraĵoj f(1) = 1 kaj por ĉiuj reciproke primaj a kaj b
f(ab) = f(a) f(b) .

Aritmetika funkcio f(n) estas forte multiplika se f(ab) = f(a) por ĉiu primo a kaj pozitiva entjero b.

Aritmetika funkcio f(n) estas plene multiplika se f(1) = 1 kaj f(ab) = f(a) f(b) veras por ĉiuj pozitivaj entjeroj a kaj b, eĉ se ili estas ne reciproke primaj. Tiam f(ab) = f(a)b.

Ekster nombroteorio, la termino multiplika estas kutime uzata por funkcioj kun la propraĵo f(ab) = f(a) f(b) por ĉiuj argumentoj a kaj b; ĉi tio postulas ke f(1) = 1, aŭ f(a) = 0 por ĉiuj a escepti a = 1. Ĉi tiu artikolo diskutas nombro-teoriajn multiplikajn funkciojn.

 Ekzemploj 

Ekzemploj de multiplikaj funkcioj inkluzivas multajn funkciojn gravajn en nombroteorio:
 (n): eŭlera funkcio , kalkulanta la pozitivajn entjerojn kiuj estas reciproke primaj al n kaj esras ne pli grandaj n
 (n): la funkcio de Möbius, rilatanta al la kvanto de primaj faktoroj de kvadrato-liberaj nombroj
 plej granda komuna divizoro(n,k): la plej granda komuna divizoro de n kaj k, kie k estas fiksita entjero.
 d(n): la kvanto de pozitivaj divizoroj de n,
 (n): la sumo de ĉiuj pozitivaj divizoroj de n,
 k(n): la dividanta funkcio, kiu estas la sumo de la k-onaj potencoj de ĉiuj pozitivaj divizoroj de n (kie k povas esti ĉiu kompleksa nombro). En specialaj okazoj:
 0(n) = d(n) kaj
 1(n) = (n) ,
 1(n): la konstanta funkcio, difinita kiel 1(n) = 1 (plene multiplika)
 Id(n): identa funkcio, difinita kiel Id(n) = n (plene multiplika)
 Idk(n): la pova funkcio, difinita kiel Idk(n) = nk por ĉiu natura aŭ kompleksa nombro k (plene multiplika). Kiel specialaj okazoj:
 Id0(n) = 1(n) kaj
 Id1(n) = Id(n) ,
 (n): la funkcio difinita kiel (n) = 1 se n = 1 kaj = 0 se n > 1, iam nomata kiel multiplika unuo por rulumo de Dirichlet aŭ simple la unuobla funkcio; iam skribita kiel u(n), ĝi estu ne konfuzita kun (n) (plene multiplika).
 (n/p), la simbolo de Legendre, kie p estas fiksita primo (plene multiplika).
 (n): la funkcio de Liouville, rilatanta al la kvanto de primaj faktoroj dividantaj na n (plene multiplika).
 (n), difinita kiel (n)=(-1)(n), kie la adicia funkcio (n) estas la kvanto de diversaj primoj dividantaj na n.
 Ĉiuj signoj de Dirichlet estas plene multiplikaj funkcioj.

Ekzemplo de ne-multiplika funkcio estas la aritmetika funkcio r2(n) - la kvanto de prezentoj de n kiel sumoj de kvadratoj de du entjeroj, pozitivaj, negativaj, aŭ nulo, kie en kalkulo de la kvanto de la manieroj, malaj ordoj estas permesataj. Ekzemple:

1 = 12 + 02 = (-1)2 + 02 = 02 + 12 = 02 + (-1)2

kaj pro tio r2(1) = 4 ≠ 1. Ĉi tio montras ke la funkcio estas ne multiplika. Tamen, r2(n)/4 estas multiplika.

Vidu en aritmetika funkcio por iuj aliaj ekzemploj de ne-multiplikaj funkcioj.

 Propraĵoj 

Multiplika funkcio estas plene difinita per siaj valoroj je la potencoj de primoj, kio estas konsekvenco de la fundamenta teoremo de aritmetiko. Tial, se n estas produto de potencoj de diversaj primoj
n = pa qb ..., tiam
f(n) = f(pa) f(q b) ...

Ĉi tiu propraĵo de multiplikaj funkcioj grave reduktas la necesan por kalkulado, kiel en jenaj ekzemploj por n = 144 = 24 · 32:
 d(144) = 0(144) = 0(24)0(32) = (10 + 20 + 40 + 80 + 160)(10 + 30 + 90) = 5 · 3 = 15,
 (144) = 1(144) = 1(24)1(32) = (11 + 21 + 41 + 81 + 161)(11 + 31 + 91) = 31 · 13 = 403,
 *(144) = *(24)*(32) = (11 + 161)(11 + 91) = 17 · 10 = 170.

Simile:

(144)=(24)(32) = 8 · 6 = 48

Ĝenerale, se f(n) estas multiplika funkcio kaj a, b estas iuj du pozitivaj entjeroj, tiam
f(a) · f(b) = f(PGKD(a,b)) · f(PMKO(a,b)).

Ĉiu plene multiplika funkcio estas homomorfio de monoidoj kaj estas plene difinita per ĝia limigo al la primoj.

 Rulumo 

Se f kaj g estas du multiplikaj funkcioj, unu difinas nova multiplika funkcio f * g, la rulumo de Dirichlet de f kaj g, per
(f * g)(n) = ∑d |n f(d)g(n/d)
kie la sumo etendas super ĉiuj pozitivaj divizoroj d de n.
Kun ĉi tiu operacio, la aro de ĉiuj multiplikaj funkcioj estas komuta grupo kun la neŭtrala elemento .

Rilatoj inter la multiplikaj funkcioj estas:

  =  * 1 (la inversiga formulo de Möbius)
  =  * Id
 d = 1 * 1
  = Id * 1 =  * d
 k = _Id_k * 1
 Id =  * 1 =  * 
 Idk = k * 

La rulumo de Dirichlet povas esti difinita por ĝeneralaj aritmetikaj funkcioj, kaj donas ringan strukturon, la ringon de Dirichlet.

 Vidu ankaŭ 
 Eŭlera produto
 Serio de Bell
 Adicia funkcio
 Unuobla funkcio