Neegalaĵo (pli granda, malpli granda)

En matematiko, neegalaĵo estas propozicio pri relativa amplekso aŭ ordo de du objektoj. La notacio a < b signifas ke a estas malpli ol b kaj la notacio a > b signifas ke a estas pli granda ol b. Ĉi tiuj rilatoj estas sciata kiel striktaj neegalaĵoj.

En kontrasto a ≤ b signifas ke a estas malpli ol aŭ egala al b kaj a ≥ b signifas ke a estas pli granda ol aŭ egala al b. Ĉi tiuj rilatoj estas sciata kiel nestriktaj neegalaĵoj.

Se la senco de la neegalaĵo estas la sama por ĉiuj valoroj de variabloj por kiu ĝi estas skribita, tiam la neegalaĵo estas nomita kiel absoluta neegalaĵo aŭ senkondiĉa neegalaĵo. Se la senco de neegalaĵo veras nur por certaj valoroj de la variabloj, sed estas malvera por la aliaj valoroj de la variabloj ĝi estas nomita kiel kondiĉa neegalaĵo.

 Propraĵoj 
Neegalaĵoj havas jenajn propraĵojn:

 Unu el tri variantoj 
 Por ĉiuj du reelaj nombroj, "a" kaj "b", unu kaj nur unu el jenaj estas vera:
 a < b
 a = b
 a > b

 Transitiveco 
La transitiveco de neegalaĵaj ŝtatoj:
 Por ĉiuj reelaj nombroj, "a", "b", "c":
 Se a > b kaj b > c do a > c
 Se a < b kaj b < c do a < c

 Interŝanĝo de flankoj 
 Por ĉiuj reelaj nombroj, "a" kaj "b":
 Se a > b do b < a
 Se a < b do b > a

 Adicio kaj subtraho 
Neegalaĵo restas vera aŭ malvera se ambaŭ flankoj estas pligrandigitaj aŭ malgrandigitaj per adicio aŭ subtraho de la sama nombro.

 Por ĉiuj reelaj nombroj, "a", "b", "c":
 Se a > b do a + c > b + c kaj a − c > b − c
 Se a < b do a + c < b + c kaj a − c < b − c

 Multipliko kaj divido 
Neegalaĵo restas vera aŭ malvera se ambaŭ flankoj estas multiplikitaj aŭ dividitaj per pozitiva nombro. La vereco de neegalaĵo estas malita se ambaŭ flankoj estas multiplikitaj aŭ dividitaj per negativa nombro.

 Por ĉiuj reelaj nombroj, "a", "b", kaj "c ≠ 0":
 Se c > 0 kaj a > b do a × c > b × c kaj a / c > b / c
 Se c > 0 kaj a < b do a × c < b × c kaj a / c < b / c
 Se c < 0 kaj a > b do a × c < b × c kaj a / c < b / c
 Se c < 0 kaj a < b do a × c > b × c kaj a / c > b / c

 Apliko de funkcio ambaŭflanken 
Ĉiu severe monotone pligrandiĝanta funkcio povas esti aplikita ambaŭflanken al neegalaĵo kaj ĝi konservos sian verecon aŭ malverecon.

 Ĉena notacio 
La notacio a < b < c signifas ke a < b kaj b < c kio, per la transitiveca propraĵo pli supre skribita, donas ke a < c.

Ĉi tiu notacio povas esti ĝeneraligita al ĉiu kvanto nombro de kondiĉoj: a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an signifas ke ai ≤ ai+1 por i = 1, 2, ..., n−1. Per la transitiveca propraĵo, ĉi tiu kondiĉo estas ekvivalento al ai ≤ aj por ĉiuj 1 ≤ i ≤ j ≤ n.

Simile oni skribas ke a > b < c, a ≤ b < c ktp en ĉiuj eblas variantoj.

 Programlingvoj 
En plejparto de programlingvoj (kun escepto de Python) ĉi tiu notacio signifas tute alian.

a < b < c egalas al (a < b) < c. Ĉi tie a < b = 1 se a < b (la kondiĉo veras) kaj 0 male.
Do ekzemple 3 < 2 < 1 estas 1 (vero) ĉar
3 < 2 < 1 = (3 < 2) < 1 = 0 < 1 = 1.

 Konataj neegalaĵoj 
Vidu ankaŭ jenon: listo de neegalaĵoj.

En matematikisto oni ofte uzas neegalaĵojn por bari nombrojn se akurata formulo estas ne sciata aŭ ne povas esti komputita facile. Ĉi tiaj neegalaĵoj:

 Neegalaĵo de Azuma
 Neegalaĵo de Bernoulli
 Bulea neegalaĵo
 Neegalaĵo de Koŝio-Schwarz
 Neegalaĵo de Ĉebiŝev
 Neegalaĵo de Ĉernov
 Neegalaĵo de Cramér-Rao
 Neegalaĵo de Hoeffding
 Neegalaĵo de Hölder
 Neegalaĵo de aritmetika kaj geometria meznombroj
 Neegalaĵo de Jensen
 Neegalaĵo de Markov
 Neegalaĵo de Minkowski
 Neegalaĵo de Nesbitt
 Neegalaĵo de Pedoe
 Triangula neegalaĵo

 Vidu ankaŭ 
 Duargumenta rilato
 Parte orda aro
 Egaleco (matematiko)

Kategorio:Neegalaĵoj
Kategorio:Rudimenta algebro