Naiva aroteorio

En nuntempa matematiko, naiva aroteorioKoncerne la fonton de la termino naiva aroteorio, Jeff Miller diris: “Naïve aroteorio (kontrastante al aksioma aroteorio) estis uzita foje en la 1940-aj jaroj kaj iĝis enradikiĝinta termino en la 1950-aj jaroj. Ĝi troviĝas en recenzo de Hermann Weyl pri P. A. Schilpp (ed) La Filozofio de Bertrand Russell en la Amerika Matematika Monataĵo, 53., Ne. 4. (1946), p. 210 kaj en la recenzo de Laszlo Kalmar pri La Paradokso de Kleene kaj Rosser en Ĵurnalo de Signa Logiko, 11, Ne. 4. (1946), p. 136. (JSTOR).”  La terminon poste popularigis la libro de (Paŭlo, Bono) Halmos, Naiva Ara Teorio (1960). estas la unua fazo en la evoluo de aroteorio, kiu estas formulita pli zorge kiel aksioma aroteorio. Naiva aroteorio baziĝas sur neformala kompreno pri aroj kiel kolektoj da objektoj nomataj la elementoj aŭ membroj de la aro, dum la aksioma aroteorio allasas nur tiajn faktojn pri aroj iliaj interrilatoj, kiuj estas dedukteblaj el kohera grupo da aksiomoj, ja same bazitaj sur nia kolektiva kompreno pri kolektoj da objektoj kaj iliaj elementoj, sed zorge elektitaj pro diversaj konsideroj servantaj interalie la strebon eviti la konatajn paradoksojn. Aroj estas de granda graveco en matematiko; fakte, en la nuntempa formala traktado, plejmulto da matematikaj konceptoj, (nombroj, rilatoj, funkcioj kaj tiel plu) estas difinitaj kadre de aroteorio.

 Enkonduko 
Naiva aroteorio estis kreita je la fino de la 19-a jarcento fare de Georg Cantor por povigi al matematikistoj labori super nefiniaj aroj konsekvence.

Kiel montriĝis, la premiso ke oni povus plenumi ĉiajn operaciojn sur aroj sen limigo kondukis al paradoksoj kiel Paradokso de Russell. En respondo, aksioma aroteorio estis ellaborita por difini precize kiuj operacioj estas permesitaj kaj kiam. Hodiaŭ, kiam matematikistoj parolas pri "aroteorio" kiel kampo, ili kutime celas aksioman aroteorion. Neformalaj aplikoj de aroteorio en aliaj kampoj estas iam nomitaj aplikoj de "naiva aroteorio", sed kutime estas komprenita esti pravigeblaj laŭ aksiomaro (normale ZFC — Aroteorio de Zermelo-Fraenkel).

Estas grave, noti, ke iuj kredas, ke la aroteorio de Georg Cantor estis ne reale implikita en la paradoksoj (tio estas afero kiu daŭras esti diskutita). Li estis konscia pri iuj el ili kaj ŝajnis ne kredi, ke ili senkreditigis lian teorion. Malfacilas esti certa pri tio, ĉar li ne faris aksiomigon. Frege verkis eksplicite aksiomigitan teorion, en kiu la formaligita versio de naiva aroteorio povas esti interpretita, kaj estas tiu formala teorio kiun Bertrand Russell reale adresis kiam li surscenigis la paradokson de Russell.

Estas utile studi arojn naive por kultivi lerton labori kun ili. Plie, firma enmensigo de aro-teoriaj konceptoj el naiva starpunkto estas grava kiel unua stadio de komprenado la motivon por la formalaj aksiomoj de aroteorio.

Ĉi tiu artikolo ellaboras la naivan teorion. Aroj estas difinitaj neformale kaj kelkaj el iliaj propraĵoj estas esploritaj. Ligoj en ĉi tiu artikolo al specifaj aksiomoj de aroteorio montras iujn el la interrilatoj inter la neformala diskuto ĉi tie kaj la formala aksiomigo de aroteorio, sed nenia provo estas farita pravigi ĉiun propozicion sur tia bazo.

La termino "naiva aroteorio" ne ĉiam signifas la nekonsekvencan teorion de Frege. Ĝi povas signifi la kutiman aroteorion prezentitan neformale, kiel ĉe la konata libro Naiva Ara Teorio fare de Halmos, kiu estas fakte ia (kaj ne tiom) neformala prezento de la kutima aksioma aroteorio ZFC.

 Aroj, anaro kaj egaleco 
En naiva aroteorio, aro estas priskribita kiel bone-difinita kolekto de objektoj. Ĉi tiuj objektoj estas nomitaj la eroj aŭ membroj de la aro. Objektoj povas esti io ajn: nombroj, homoj, aliaj aroj, kaj tiel plu. Ekzemple, 4 estas membro de la aro de ĉiuj paraj entjeroj. Klare, la aro de paraj nombroj estas nefinie granda; estas nenia postulo, ke aro estu finia.

Se x estas membro de A, tiam estas ankaŭ dirite, ke x apartenas al A, aŭ, ke x estas en A. En ĉi tiu kazo, ni skribas x ∈ A.
(La simbolo "", derivaĵo de la Greko litero epsilono, "ε", estis prezentita fare de Peano en 1888.)
La simbolo  estas iam uzata por skribi x ∉ A, aŭ "x estas ne en A".

Du aroj A kaj B estas difinitaj esti egalaj kiam ili havas precize la samajn erojn, tio estas, se ĉiu ero de A estas ero de B kaj ĉiu ero de B estas ero de A. (Vidu aksiomo de pligrandigebleco.) Tial aron plene difinas ĝiaj eroj; la priskribo estas indiferenta. Ekzemple, la aro kun eroj 2, 3, kaj 5 estas egala al la aro de ĉiuj primoj malpli ol 6.
Se A kaj B estas egalaj, tiam ĉi tiu estas signata simbole kiel A = B (kiel kutime).

Ni ankaŭ enkalkulas malplenan aron, ofte signata per  , kaj foje per {}: aro tute sen ia ajn membro. Ĉar aro estas difinita plene per siaj eroj, povas esti nur unu malplena aro. (Vidu aksiomo de malplena aro.)

 Precizigantaj arojn 
La plej simpla maniero priskribi aron estas listi ties erojn inter krispaj kunigaj krampoj (nomata: precizigi aron amplekse?(en:extensionally)).
Tial {1,2} signifas ke la aro kies solaj eroj estas 1 kaj 2.
(Vidu aksiomo de parado.) Notu jenajn punktojn:
 Ordo de eroj estas indiferenta; ekzemple, {1,2} = {2,1}.
 Ripetado (obleco) de eroj estas nesignifa; ekzemple, {1,2,2} = {1,1,1,2} = {1,2}.
(Ĉi tiuj estas sekvoj de la difino de egaleco en la antaŭa sekcio.)

Ĉi tiu notacio povas esti neformale misuzita per diri ion kiel {hundoj} por celi la aron de ĉiuj hundoj, sed ĉi tiu ekzemplo devus kutime esti legata de matematikistoj kiel "la aro enhavanta la solan eron hundoj".

Ega (sed ĝusta) ekzemplo de ĉi tiu notacio estas {}, kiu signas la malplenan aron.

Ni povas ankaŭ uzi la notacion {x : P(x)} (aŭ iam {x | P(x)}) por signi la aron enhavantan ĉiujn objektojn por kiuj la kondiĉo P validas.
Ekzemple, {x : x estas reela nombro} signas la aron el reelaj nombroj, {x : x havas blondan hararon} signas la aron de ĉio kun blonda hararo, kaj {x : x estas hundo} signas la aron de ĉiuj hundoj.

Ĉi tiu notacio estas nomita aro-konstrua notacio (aŭ "ara kompreno", aparte en la ĉirkaŭteksto de (Funkcionalo, Funkcia) programado). Iuj variantoj de ara konstrua notacio estas:
 {x ∈ A : P(x)} signas la aron de ĉiuj x kiuj estas jam membroj de A tia, ke la kondiĉo P validas por x. Ekzemple, se Z estas la aro de entjeroj, tiam {x ∈ Z : x estas para} estas la aro de ĉiuj paraj entjeroj. Vidu aksiomo de specifigo.)
 {F(x) : x ∈ A} signas la aron de ĉiuj objektoj ricevitaj per meti membrojn de la aro A en la formulon F. Ekzemple, {2x : x ∈ Z} estas denove la aro de ĉiuj paraj entjeroj. Vidu aksiomo de anstataŭo.)
 {F(x) : P(x)} estas la plej ĝenerala formo de ara konstrua notacio. Ekzemple, {posedanto de x : x estas hundo} estas la aro de ĉiuj hundaj posedantoj.

 Subaroj 
Donita du aroj A kaj B ni diras, ke A estas subaro de B se ĉiu ero de A estas ankaŭ ero de B. Rimarku, ke aparte, B estas subaro de si; subaro de B, kiu ne egalas al B estas nomita pozitiva subaro.

Se A estas subaro de B, tiam oni povas ankaŭ diri, ke B estas superaro de A, ke A estas enhavata en B, aŭ ke B enhavas na A.
En simboloj, A ⊆ B signifas, ke A estas subaro de B, kaj B ⊇ A signifas, ke B estas superaro de A. Iuj aŭtoroj uzas la simbolojn "⊂" kaj "⊃" por subaroj, kaj aliaj uzas tiujn simbolojn nur por pozitivaj subaroj. Oni povas uzi la simbolojn "\subsetneq" kaj "\supsetneq" por indiki malegalecon. En ĉi tiu enciklopedio, "⊆" kaj "⊇" estas uzataj por subaroj dum "⊂" kaj "⊃" estas rezervitaj por pozitivaj subaroj.

Kiel ilustraĵo, estu A la aro de reelaj nombroj,
estu B la aro de entjeroj,
estu C la aro de neparaj entjeroj,
kaj estu D la aro de aktuala aŭ antaŭaj prezidentoj de Usono.
Tiam C estas subaro de B,
B estas subaro de A,
kaj C estas subaro de A.
(Notu, ke ne ĉiuj aroj estas kompareblaj tiamaniere.
Ekzemple, veras nek, ke A estas subaro de D nek, ke D estas subaro de A.)

Sekvas senpere de la difino de egaleco de aroj pli supre, ke donita du aroj A kaj B, A = B se kaj nur se A ⊆ B kaj B ⊆ A. Fakte tio estas ofte donita kiel la difino de egaleco. Kutime kiam oni celas pruvi ke du aroj estas egalaj, oni klopodas montri tiujn du inkluzivojn.

La aro de ĉiuj subaroj de donita aro A estas nomata kiel la aro de ĉiuj subaroj (potenco-aro) de A kaj estas signata per  aŭ . (Tiu P foje skribiĝas per eleganta tiparo.) Se la aro A havas n erojn, tiam  havas  erojn. Notu, ke la malplena aro estas subaro de ĉiu aro. (La diro ke ĉiuj membroj de malplena aro ankaŭ estas membroj de iu ajn aro A vake veras.)

 Universalaj aroj kaj absolutaj komplementoj 
En certaj ĉirkaŭtekstoj ni povas konsideri ĉiujn koncernajn arojn kiel subaroj de iu donita universala aro.
Ekzemple, se ni estas esplorantaj propraĵojn de la reelaj nombroj R (kaj subaroj de R), tiam ni povas preni R kiel nian universalan aron. Estas grave kompreni, ke universala aro estas nur kelktempe difinita laŭ la ĉirkaŭteksto; estas nenia tia aĵo kiel "universala" universala aro, "la aro de ĉio" (vidu #Paradoksoj pli sube).

Donita universala aro U kaj subaro A de U, ni povas difini la komplemento de A (en U) kiel
AC := {x ∈ U : ¬(x ∈ A)}, kie ¬ estas la logika ne-operatoro.

En aliaj vortoj, AC ("A-komplemento"'; iam simple A' , "A-primo") estas la aro de ĉiuj membroj de U kiuj ne estas membroj de A.
Tial kun R, Z kaj O difinitaj kiel en la sekcio pri subaroj, se Z estas la universala aro, tiam OC (aŭ O' ) estas la aro de paraj entjeroj, dum se R estas la universala aro, tiam O'  estas la aro de ĉiuj reelaj nombroj, kiuj estas ĉu paraj entjeroj, ĉu tute ne entjeroj.

La kolekto {A : A ⊆ U} de ĉiuj subaroj de donita universo U estas nomitaj la aro de ĉiuj subaroj de U.
(Vidu aksiomo de aro de ĉiuj subaroj.)
Ĝi estas signata P(U); la "P" estas iam en leganta tiparo.

 Unioj, komunaĵoj, kaj relativaj komplementoj 
Donite du arojn A kaj B, ni povas konstrui ilian union.
Ĉi tiu estas la aro konsistanta de ĉiuj objektoj kiuj estas eroj de A aŭ de B aŭ de ambaŭ (vidu aksiomo de unio). Ĝi estas skribata per A ∪ B.

La komunaĵo de A kaj B estas la aro de ĉiuj objektoj kiuj estas kaj en A, kaj en B. Ĝi estas skribata per A ∩ B.

Fine, la relativa komplemento de B relativa al A, ankaŭ nomata kiel la aroteoria diferenco de A kaj B, estas la aro de ĉiuj objektoj, kiuj apartenas al A sed ne al B. Ĝi estas skribita kiel A \ B aŭ A − B.
Simbole, ĉi tiuj estas respektiveA ∪ B := {x : (x ∈ A) aŭ (x ∈ B)};A ∩ B := {x : (x ∈ A) kaj (x ∈ B)} = {x ∈ A : x ∈ B} = {x ∈ B : x ∈ A};A \ B := {x : (x ∈ A) kaj ne (x ∈ B) } = {x ∈ A : ne (x ∈ B)}.

Rimarku, ke A ne devas esti subaro de B por ke B \ A faru sencon; ĉi tiu estas la diferenco inter la relativa komplemento kaj la absoluta komplemento de la antaŭa sekcio.

Por ilustri ĉi tiujn ideojn, estu A la aro de maldekstre-manitaj homoj, kaj estu B la aro de homoj kun blonda hararo.
Tiam A &ĉapo; B estas la aro de ĉiuj maldekstre-manitaj blonda-haritaj homoj, dum A &taso; B estas la aro de ĉiuj homoj kiuj estas maldekstre-manitaj aŭ blonda-haritaj aŭ ambaŭ.A \ B, aliflanke, estas la aro de ĉiuj homoj, kiuj estas maldekstre-manitaj, sed ne blonda-haritaj, dum B \ A estas la aro de ĉiuj homoj, kiuj havas blondan hararon sed ne estas maldekstre-manita.

Nun estu E la aro de ĉiuj homoj,
kaj estu F la aro de ĉiuj loĝantaj aĵoj super 1000-jaraĝa.
Kio estas E &ĉapo; F en tiu kazo?
Neniu homo estas super 1000-jaraĝa, do E &ĉapo; F devas esti la malplena aro {}.

Por iu ajn aro A, la aro de ĉiuj subaroj  estas ia Bulea algebro sub la operacioj de unio kaj komunaĵo.

 Ordigitaj duopoj kaj Karteziaj produtoj 
Intuicie, ordigita duopo estas simple kolekto de du objektoj tiaj, ke ili povas esti distingitaj kiel la unua ero kaj la alia kiel la dua ero, kaj havantaj la fundamentan propraĵon, ke du ordigitaj duopoj estas egalaj se kaj nur se iliaj unuaj eroj estas egalaj kaj iliaj duaj eroj estas egalaj.

Formale, ordigita duopo kun unua koordinato a, kaj dua koordinato b, kutime signata per (a, b), estas difinita kiel la aro {{a}, {a, b}}.

Sekvas, ke du ordigitaj duopoj (a, b) kaj (c, d) estas egalaj se kaj nur se a = c kaj b = d.

Alternative, ordigita duopo povas esti formale konsiderata aro {a, b} kun tuteca ordo.

(La notacio (a, b) estas ankaŭ uzata por signifi malfermitan intervalon sur la reela nombra linio, sed la ĉirkaŭteksto devus fari klara kiu signifo estas intencita. Alie, la notacio ]a,b[ uzeblas por signi la malfermitan intervalon dum (a,b) uziĝas por la ordigita paro).

Se A kaj B estas aroj, tiam la kartezia produto (aŭ simple produto) estas difinita kiel:A × B = {(a, b) : a estas en A kaj b estas en B}.
Tio estas, A × B estas la aro de ĉiuj ordigitaj duopoj kies unua koordinato estas ero de A kaj kies dua koordinato estas ero de B.

Ni povas etendi tiun difinon al aro A ×  B × C de orditaj triopoj, kaj pli ĝenerale al aroj de orditaj n-opoj por ia ajn pozitiva entjero n. Estas eĉ eble difini nefiniajn karteziajn produtojn, sed por fari tion ni bezonas pli komplike profundan difinon de produto.

Karteziaj produtoj estis unue ellaboritaj fare de René Descartes en la ĉirkaŭteksto de analitika geometrio.
Se R signifas la aron de ĉiuj reelaj nombroj, tiam R2 := R × 
R prezentas la Eŭklidan ebenon kaj
R3 := 
R × 
R × 
R prezentas tri-dimensian eŭklidan spacon.

 Iuj gravaj aroj 
Notu: En ĉi tiu sekcio, a, b, kaj c estas naturaj nombroj, kaj r kaj s estas reelaj nombroj.
 Naturaj nombroj estas uzataj por kalkulado. Blackboard-grasa majuskla N () ofte prezentas ĉi tiun aron.
 Entjeroj aperas kiel solvoj por x en ekvacioj kiel x + a = b. Blackboard-grasa majuskla Z () ofte prezentas ĉi tiun aron (por la Germana Zahlen, signifanta nombrojn, ĉar I estas uzata por la aro de imaginaroj).
 Racionalaj nombroj aperas kiel solvoj al ekvacioj kiel a + bx = c. Blackboard-grasa majuskla Q () ofte prezentas ĉi tiun aron (por kvociento, ĉar R estas uzata por la aro de reelaj nombroj).
 Algebraj nombroj aperas kiel solvoj al polinomaj ekvacioj (kun entjeraj koeficientoj) kaj povas engaĝi radikalojn kaj certajn aliajn neracionalajn nombrojn. Blackboard-grasa majuskla A () aŭ Q kun superlinio ofte prezentas ĉi tiun aron.
 Reelaj nombroj inkluzivas la algebrajn nombrojn kaj ankaŭ la transcendajn nombrojn, kiuj ne povas aperi kiel solvoj al polinomaj ekvacioj kun racionalaj koeficientoj. Blackboard-kuraĝa majuskla R () ofte prezentas ĉi tiun aron.
 Imaginaroj aperas kiel solvoj al ekvacioj kiel x2 + r = 0 kie r > 0. Blackboard-grasa majuskla I () ofte prezentas ĉi tiun aron.
 Kompleksaj nombroj estas sumoj de reelo kaj imaginaro: r + si. Ĉi tie kaj r kaj s povas egali nulon; tial, la aro de reelaj nombroj kaj la aro de imaginaroj estas subaroj de la aro de kompleksaj nombroj, kiuj formas algebran fermon por la aro de reelaj nombroj, kio signifas ke ĉiu polinomo kiu havas koeficientojn en  ankaŭ havas almenaŭ unu radikon en tiu aro. Blackboard-grasa majuskla C () ofte prezentas ĉi tiun aron. Rimarku, ke ĉar nombro r + si povas identiĝi kun punkto (r,s) en la ebeno, C fundamente estas "la sama" kiel la Kartezia produto R×R ("la sama" signifas ke iu ajn punkto en unu determinas unikan punkton en la alia, kaj por la rezulto de kalkulado ne gravas kiu el la du estas uzata por la kalkulado).

 Paradoksoj 
Ni menciis pli frue la bezonon por formala, aksioma aliro.
Kiuj problemoj estiĝas en la traktado kiun ni donis?
La problemoj rilatas al la formado de aroj.
Onia unua intuicio povus esti, ke ni povas formi iujn ajn arojn kiujn ni deziras, sed tia vido kondukas al nekonsekvencaĵoj.
Por iu ajn aro x ni povas demandi, ĉu x estas membro de si.

DifinuZ = {x : x estas ne membro de x}.

Nun por la problemo: ĉu estas Z membro de Z?
Se jes, tiam per la difinanta kvalito de Z, Z estas ne membro de si, kio estas, Z estas ne membro de Z.
Ĉi tio devigas al ni deklari, ke Z estas ne membro de Z.
Tiam Z estas ne membro de si kaj do, denove per difino de Z, Z ja estas membro de Z.
Tial ambaŭ opcioj kondukas nin al kontraŭdiro kaj ni havas nekonsekvencan teorion.
Aksiomaj evoluoj lokas limigojn al la speco de aroj kian ni estas permesita formi kaj tiel malebligas problemojn kiel nia aro Z ekde la ekesto. Ĉi tiu aparta paradokso estas Paradokso de Russell.

La malavantaĝo estas ke oni devas pli zorgi pri onia evoluigo, kiel oni devas en iu ajn rigora matematika argumento.
Aparte, estas problemece paroli pri aro de ĉio, aŭ por esti (eble) iom malpli ambicia, eĉ aro de ĉiuj aroj.
Fakte, en la norma aksiomigado de aroteorio, estas nenia aro de ĉiuj aroj.
En areoj de matematiko kiuj ŝajnas postuli aron de ĉiuj aroj (kiel teorio de kategorioj), oni foje povas iam sin limigi al universala aro tiel granda, ke ĉiom ordinara matematiko povas esti farita en ĝi (vidu universo).
Alternative, oni povas utiligi proprajn klasojn.
Aŭ, oni povas uzi malsaman aksiomigon de aroteorio, kiel la Novaj Fundamentoj de W. V. Quine , kiuj allasas aron de ĉiuj aroj kaj malsammaniere evitas la Paradokso de Russell.
La preciza solvo uzita malofte faras netan diferencon.

 Vidu ankaŭ artikolojn 
 Algebro de aroj
 Aksioma aroteorio
 Interna aroteorio
 Aro
 Aroteorio

 Referencoj 
 Halmos, P.R., Naiva Ara Teorio, D. Van Nostrand Company, Princeton, NJ, 1960. Represita, Springer-Verlag, Nov-Jorko, NY, 1974, ISBN 0-387-90092-6.
 Bourbaki, N., Elements of the History of mathematics, John Meldrum (trans.), Springer-Velag, Berlino, Germanio, 1994.
 Devlin, K.J., The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory, 2-a redakcio, Springer-Verlag, Nov-Jorko, NY 1993.
 kamioneto Heijenoort, J., From Frege to Gödel, A Source Book in Mathematical Logis, 1879-1931, Harvard University Press, Kembriĝo (Britio), Ma, 1967. Represita kun korektaĵoj, 1977.
 Kelley, J.L., General Topology'', Van Nostrand Reinhold, Nov-Jorko, NY, 1955.

 Eksteraj ligiloj 
 (Komencaĵoj de aroteorio) paĝo je St Andrews 
 Plej frua Sciata Uzas de Iu de la Vortoj de Matematiko (S) 
 Unikeco de la malplena aro Ĉu estas nur unu malplena aro anstataŭ malfinio de malplenaj subaroj? 

 Piednotoj 

Kategorio:Aro-teorio