Atendata valoro

En probablo-teorio la atendata valoro (aŭ ekspekto aŭ matematika ekspekto) de hazarda variablo estas la sumo de probabloj de ĉiuj eblaj rezultoj de la eksperimento, multiplikitaj per respektivaj valoroj de la variablo. Tial, ĝi prezentas la averaĝan kvanton, kiun oni "atendas" havi de la eksperimentado, se ĝi estas ripetita multfoje. Notu, ke la valoro mem estas tute ne atendata en la ĝenerala senco; ĝi povas esti malverŝajna aŭ tute neebla. Ludo aŭ situacio, en kiu la atendita valoro por la ludanto estas nulo (alivorte - nek gajno, nek malgajno) estas nomita "justa ludo".

Ekzemple, ĵetkubo povas doni egalprobable nombrojn 1, 2, 3, 4, 5, 6. Do la probablo de ĉiu el ĉi tiuj nombroj estas 1/6. Do la atendata valoro estas
(1/6)*1 + (1/6)*2 + (1/6)*3 + (1/6)*4 + (1/6)*5 + (1/6)*6 = 3.5 .

 Matematika difino 

Ĝenerale, se  estas hazarda variablo difinita sur probablospaco , do la atendita valoro de  (signita kiel  aŭ iam  aŭ ) estas difinita kiel

kie la lebega integralo estas uzata. Notu, ke ne ĉiu hazarda variablo havas atenditan valoron, ĉar la integralo povas ne ekzisti (ekzemple por la koŝia distribuo). Du variabloj kun la sama probablodistribuo havas la saman atenditan valoron, se ĝi estas difinita.

Se  estas diskreta hazarda variablo kun valoroj , , ... kaj respektivaj probabloj , , ... (kiuj sume estas 1) do  povas esti komputita kiel la sumo de serio

kiel en la ekzemplo menciita pli supre.

Se la probablodistribuo de  havas probablodensan funkcion , tiam la atendita valoro povas esti komputita kiel

Se  estas konstanta hazarda variablo  por iu fiksita reela nombro , do la atendita valoro de  estas ankaŭ .

La atendita valoro de ajna funkcio de x, g(x), kun respekto al la probablodensa funkcio f(x) estas donita per

 Ecoj 
 Lineareco 
La atendata-valora operatoro (aŭ ekspekta operatoro)  estas lineara en la senco, ke

por ĉiuj du hazardaj variabloj  kaj  (kiuj devas esti difinitaj sur la sama probablospaco) kaj ĉiuj reelaj nombroj  kaj .

 Ripetita ekspekto 
Por ĉiuj du hazardaj variabloj  oni povas difini la kondiĉan ekspekton:

Tiam la ekspekto de 

De ĉi tie jena ekvacio sekvas:

La dekstra flanko de ĉi tiu ekvacio nomiĝas la ripetita ekspekto. Ĉi tiu propozicio estas traktita en leĝo de tuteca ekspekto.

 Neegalaĵo 
Se hazarda variablo X estas ĉiam malpli ol aŭ egala al alia hazarda variablo Y, do la ekspekto de X estas malpli ol aŭ egala al tiu de Y:

Se , tiam .

Aparte, ĉar  kaj , la absoluta valoro de ekspekto de hazarda variablo estas malpli aŭ egala al la ekspekto de ĝia absoluta valoro:

 Prezento 
Jena formulo veras por ĉiu nenegativa reelvalora hazarda variablo  tia ke ) kaj pozitiva reela nombro :

 Nemultiplikeco 
Ĝenerale, la atendita-valora operatoro estas ne multiplika, kio signifas, ke  ne estas bezone egala al , escepte se  kaj  estas sendependaj aŭ nekorelaciigitaj.
Ĉi tiu manko de multiplikeco necesigas studojn de kunvarianco kaj korelacio.

 Funkcia ne-invarianteco 
Ĝenerale, la ekspekta operatoro kaj funkcioj de hazarda variablo ne estas komuteblaj; tio signifas, ke

 Vidu ankaŭ 
 Reprodukta valoro (populacia genetiko)
 Kondiĉa ekspekto
 An neegalaĵo sur loko kaj skalaj parametroj
 Atendata nombro
 Atendata valoro estas ankaŭ grava koncepto en ekonomiko.

Kategorio:Probablo-teorio