Kontinua funkcio

En matematiko, kontinua funkcio estas funkcio, kies valoro malmulte ŝanĝiĝas en okazo de malgranda ŝanĝo de la argumento. Se malgranda ŝanĝo de la argumento povas produkti rompan salton en valoro de la funkcio, la funkcio estas nekontinua. La ĉirkaŭteksto de ĉi tiu termino estas reelo-valoraj funkcioj sur la reela domajno aŭ sur topologia aŭ metrika spacoj escepte la kompleksajn nombrojn. Pri komplekso-valoraj funkcioj vidu artikolon kompleksa analitiko. La rimarkinda diferenco en maniero estas tiu ke en la reela domajno, la punktoj en la domajno kiuj estas punktoj de nekontinueco estas specialaĵoj. Sed en la kompleksa domajno tiaj punktoj estas kutime aparte forprenitaj el la domajno, do la funkcio kontinua en kompleksa domajno estas kontinua sur malkonektita partoj de reela domajno.

 Reelo-valoraj kontinuaj funkcioj 

Funkcio  estas kontinua en iu punkto  , se du postuloj estas plenumitaj:
  devas esti difinita (kio signifas ke  devas esti ero de la argumentaro de ).
 La limeso de  , se  proksimiĝas al  , devas ekzisti kaj esti egala al  . (Se la punkto  en la domajno de  ne estas ne akumuliĝa punkto de la domajno, tiam ĉi tiu kondiĉo estas vera, ĉar  ne povas proksimiĝi al  .)

Funkcio estas ĉie kontinua, aŭ simple kontinua, se ĝi estas kontinua en ĉiu punkto de sia argumentaro. Pli ĝenerale, funkcio estas kontinua sur iu subaro de sia domajno se ĝi estas kontinua en ĉiu punkto de la subaro.

 En topologio 
Funkcio inter topologiaj spacoj estas kontinua se la inversa bildo de ĉiu malfermita aro estas malfermita. Ĉi tio povas esti komprenita kiel postulo de foresto de rompoj aŭ apartigoj en la funkcio. Anstataŭigi nocion "inversa bildo" per (ne inversa) "bildo" ĉi tie ne eblas, la kontraŭekzemplo estas konduto de funkcio ĉirkaŭ ekstremumo; ekzemple por la funkcio  , bildo de malfermita aro  estas aro  kiu ne estas malfermita; ĉi tiu ekzemplo uzas la norman topologion sur  .

 Proprecoj de kontinuaj funkcioj 
Se du funkcioj f kaj g estas kontinuaj, tiam f + g kaj f.g estas kontinuaj. Se g(x) ≠ 0 por ĉiuj x en la domajno, tiam f/g estas ankaŭ kontinua.

La komponaĵo f o g de du kontinuaj funkcioj estas kontinua.

La interna valora teoremo estas teoremo, bazita sur la propreco de pleneco pri reelaj nombroj , kaj formuliĝas tiel: "Se la reel-valora funkcio f estas kontinua sur la segmento [a, b] kaj k estas iu nombro inter f(a) kaj f(b), tiam estas iu nombro c en [a, b] tia, ke f(c) = k. Ekzemple, se infano kontinue kreskas de 1 m al 1,5 m inter la aĝoj de 2 jaroj kaj 6 jaroj, tiam, estas iama aĝo inter 2 jaroj kaj 6 jaroj, kiam la infana alto estas 1,25 m.

Sekvas de tio, ke se f estas kontinua sur [a, b] kaj f(a) kaj f(b) havas kontraŭajn signumojn, tiam, je iu punkto c, f(c) egalas al nulo.

Ekstremuma teoremo: Se funkcio f estas difinita sur segmento [a,b], aŭ iu fermita kaj barita aro, kaj estas kontinua tie, tiam la funkcio atingas sian maksimumon, en iu punkto c ∈ [A,b] kun f(c) ≥ f(x) por ĉiuj x ∈ [a,b]. La sama estas vera pri la minimumo de f. Ĉi tiuj propozicioj estas malveraj, se la funkcio estas difinita sur malfermita intervalo ]a,b[ (aŭ ĉiu aro kiu ne estas ambaŭ fermita kaj barita); ekzemple la kontinua funkcio f(x) = 1/x difinita sur la malfermita intervalo ]0,1[ ne estas diferenciebla je 0.

Se funkcio estas diferencialebla en iu punkto c de sia domajno, tiam ĝi estas ankaŭ kontinua je c. La kontraŭo estas ne vera: funkcio tia kontinua je c ne necese estas diferencialebla tie. Konsideru ekzemple la absolut-valoran funkcion je c = 0.

 Vidu ankaŭ 
 Duonkontinueco
 Simetrie kontinua funkcio
 Klasifiko de nekontinuecoj
 Uniforma kontunueco
 Absoluta kontunueco

 Kontunueco de Scott
 Normala funkcio
 Barita lineara operatoro
 Limigo (teorio de kategorioj)
 Kontunueco de Lipschitz

Kategorio:Kalkulo
Kategorio:Ĝenerala topologio