Homogena funkcio

En matematiko, homogena funkcio estas funkcio kun proporcieca multiplika konduto: se la argumento estas multiplikata per iu faktoro, tiam la rezulto estas multiplikata per iu potenco de ĉi-tiu faktoro. Ekzemploj estas la homogenaj polinomoj.

Formale, estu

funkcio inter du vektoraj spacoj super kampo .

Ni diru, ke  estas homogena de grado ,
se la ekvacio

veras por ĉiuj  kaj .

Lineara funkcio estas homogena de grado 1.

Plurlineara funkcio  estas homogena de grado n:

 Eŭlera teoremo pri homogenaj funkcioj 

Funkcio

kiu estas homogena de grado , havas partajn derivaĵojn de grado . Plue, ĝi verigas la eŭleran teoremon pri homogenaj funkcioj, kiu konstatas, ke

Skribite eksplicite en komponantoj, ĉi tio estas

Pruvo

Estu , trovu derivaĵon de

je . Laŭ ĉena regulo estas

,

kaj do

.

Ĉi tio povas esti skribita per nabla operatoro kiel

,

de kie la eŭlera teoremo rezultas se meti .

 Ĝeneraligoj 

Pli ĝenerale, funkcio  estas nomata homogena, se la ekvacio  veras por iu severe pligrandiĝanta pozitiva funkcio .

Foje funkcio veriganta  por ĉiu pozitiva  nomiĝas pozitive homogena (ĉi tio postulas, ke la kampo  estu ; almenaŭ necesas orda rilato por difini la pozitivecon).

 Eksteraj ligiloj 


Kategorio:Lineara algebro
Kategorio:Diferencialaj operatoroj