Kompakta spaco

En topologio, kompakta spaco estas topologia spaco, sur kiu lokaj strukturoj (difinitaj laŭ iu kovraĵo — fibra fasko, ktp.) povas esti ĉiam konsiderataj finie, ĉar la kovraĵo estas ĉiam anstataŭebla per finia subkovraĵo. Tial, kompakta spaco estas iasence “finie malgranda” kaj tial ofte pli facile traktebla.

Sub malfortaj kondiĉoj (nome, aksiomo de Hausdorff) ĉiu kompakta subaro estas fermita subaro. En metrika spaco, ĉiu kompakta subaro estas barita subaro.

 Difino 
Malfermita kovraĵo de topologia spaco  estas familio de malfermitaj subaroj , indicita laŭ , kies kunaĵo estas la tuta spaco:

Subkovraĵo de malfermita kovrilo  estas sub-familio , , kiu estas mem malfermita kovraĵo:

Finia subkovraĵo estas, kompreneble, subkovraĵo , kies aro de indicoj  estas finia aro.

Topologia spaco  estas kompakta, se ĉiu malfermita subkovraĵo de  havas finian subkovraĵon.

Kompakta subaro de topologia spaco estas subaro, kiu estas kompakta topologia spaco kiam ĝi estas rigardata kiel (memstara) topologia spaco.

 Teoremoj 
Jen iuj teoremoj pri kompaktaj spacoj.
 kontinua bildo de kompakta spaco estas kompakta. T.e. se  kaj  estas topologiaj spacoj, kaj  estas kontinua bildigo, kaj  estas kompakta, do ĝia bildo  estas kompakta.
 Fermita subaro de kompakta spaco estas kompakta.
 Kompakta subaro de hausdorfa spaco estas fermita subaro.
 Kompakta subaro de metrika spaco estas barita subaro.

 Kompakteco en eŭklida spaco 
Por ĉiu subaro de eŭklida spaco Rn, kvar jenaj kondiĉoj estas ekvivalentaj:
 Ĝi estas kompakta.
 Ĉiu vico en la aro havas konverĝan subvicon, la limespunkto de kiu apartenas al la aro.
 Ĉiu nefinia subaro de la aro havas akumuliĝan punkton en la aro.
 La aro estas fermita kaj barita. Ĉi tiu kondiĉo estas la plej facila por kontroli, ekzemple povas esti intervalo aŭ fermita n-pilko.

En alia spacoj ĉi tiuj kondiĉoj povas esti aŭ ne esti ekvivalentaj, depende de propraĵoj de la spaco.

 Ekzemploj 
 La malplena aro estas (triviale) kompakta.
 La fermita intervalo [0, 1] estas kompakta.
 Por ĉiu natura nombro n, la n-dimensia hipersfero estas kompakta.

 Historio 
La koncepton kompakteco difinis la franca matematikisto Maurice René Fréchet en 1906.

Terminologia konfuzo ekzistas inter lingvoj. En la angla, la ĝenerala koncepto de kompakteco estas la ĉi-supra difino; tio estas ankaŭ la difino en la Nova Plena Ilustrita Vortaro de Esperanto.Nova Plena Ilustrita Vortaro de Esperanto: kompakt/a En la franca, tamen, “kompakta spaco” () ofte signifas haŭsdorfan kompaktan spacon. Notinde, la grava franca matematikista grupo Nicolas Bourbaki uzas la terminon kompakteco en tiu senco. Laŭ tiuj aŭtoroj, la anglalingva kompakta spaco nomiĝas kvazaŭkompakta spaco, kaj la anglalingva hausdorfa kompakta spaco nomiĝas kompakta spaco.

 Referencoj 

 Eksteraj ligiloj 



Kategorio:Topologio
Kategorio:Ĝenerala topologio
Kategorio:Matematikaj teoremoj