Modulo (algebro)

En abstrakta algebro, la nocio modulo super ringo estas komuna ĝeneraligo de du plej gravaj nocioj en algebro, vektora spaco, kaj komuta grupo.

 Difino 
Maldekstra R-modulo super la ringo R konsistas el komuta grupo (M, +) kaj operacio R × M → M (nomata skalara multipliko; notacie: rx por r en R kaj x en M) tia, ke

por ĉiuj r,s en R, x,y en M:
r(x+y) = rx+ry
(r+s)x = rx+s x
(rs)x = r(s x)

En la kuntekstoj, kiuj implicas, ke la ringo R estas unuohava (tiel estas en plejmulto da kutimaj kuntekstoj), aldoniĝas ankaŭ jena postulo:
1R x = x

Kutime, oni simple skribas "maldekstra R-modulo M" aŭ RM. Dekstra R-modulo M aŭ MR estas difinita simile, sed la ringo operacias dekstre, kio signifas, ke la skalara multipliko estas de formo M × R → M, kaj la pli supraj aksiomoj estas skribitaj kun skalaroj r kaj s dekstre de x kaj y.

Dumodulo aŭ duflanka modulo estas modulo, kiu estas samtempe maldekstra modulo kaj dekstra modulo.

Se R estas komuta, tiam la maldekstraj R-moduloj estas esence la samo kiel dekstraj R-moduloj kaj estas nomataj simple R-moduloj.

 Ekzemploj 
 Se K estas kampo, tiam nocioj "K-vektora spaco" kaj K-modulo estas identaj.
 La koncepto de Z-modulo estas ekvivalenta al la nocio de komuta grupo. Tio estas, ke ĉiu komuta grupo estas modulo super la ringo de entjeroj Z en triviala maniero. Por n > 0, estu nx = x + x + … + x (n termoj), 0x = 0, kaj (−n)x = −(nx).
 Se R estas iu ringo kaj n estas natura nombro, tiam la kartezia produto Rn estas ambaŭ maldekstra kaj dekstra moduloj super R se oni uzu la laŭkomponantajn operaciojn. Speciale, kiam n=1, tio montras, ke R estas R-modulo, por kiu la ringa multipliko servas kiel skalara multipliko. La kazo n=0 estas nul-modulo, la triviala unuelementa R-modulo {0}. Moduloj de ĉi tiu tipo nomiĝas liberaj, kaj la nombro n estas la rango de la libera modulo.
 Se S estas nemalplena aro, M estas maldekstra R-modulo, kaj MS estas kolekto de ĉiuj funkcioj f : S → M, tiam kun aldono kaj skalara multipliko en MS difinita per (f + g)(s) = f(s) + g(s) kaj (_rf_)(s) = _rf_(s), MS estas maldekstra R-modulo. La okazo de dekstra R-modulo estas analoga. Aparte, se R estas komuta tiam la kolekto de R-modulaj homomorfioj h : M → N (vidi pli sube) estas R-modulo (kaj fakte submodulo de NM).
 Se X estas glata sternaĵo, tiam la glataj funkcioj de X al la reela nombra formas ringon C∞(X). La aro de ĉiuj glataj vektoraj kampoj difinitaj sur X formas modulon super C∞(X), kaj do faras la tensorajn kampojn kaj la diferencialajn formojn sur X.
 La kvadrataj n-per-n matricoj kun reelaj elementoj formas ringon R, kaj la eŭklida spaco Rn estas maldekstra modulo super ĉi tiu ringo se oni difinas la modula operacio tra matrica multipliko.
 Se R estas iu ringo kaj I estas iu maldekstra idealo de R, tiam I estas maldekstra modulo super R. Tute analoge dekstraj idealoj estas dekstraj moduloj.

 Tipoj de moduloj 
 La nul-modulo {0}.
 Finie generita. Modulo M estas finie generita, se en ĝi ekzistas finie multaj elementoj x1,…,xn tiaj, ke ĉiu elemento de M estas lineara kombinaĵo de tiuj elementoj kun koeficientoj de la skalara ringo R.
 Cikla modulo. Oni nomas modulon cikla modulo, se ĝi estas generebla per unu elemento.
 Libera. Libera modulo estas modulo, kiu havas bazon, aŭ ekvivalente, kiam ĝi estas izomorfa al direkta sumo de kopioj de la skalara ringo R. Ĉi tiaj moduloj similas al vektoraj spacoj.
 Projekcia modulo estas tia modulo , ke ekzistas modulo , por kiu  estas libera modulo.
 Injekcia modulo estas tia modulo , ke se  estas submodulo de modulo , tiam  por iu alia submodulo  de .
 Simpla modulo estas ĉia modulo, kiu havas precize du submodulojn: {0} kaj sin mem. Tia difino interalie implicas, ke la nul-modulon oni ne konsideras simpla. Simplajn modulojn oni foje nomas neredukteblaj.

 Vidu ankaŭ 
 Vektora spaco
 Ringo-teorio
 Modulo-teorio

Kategorio:Modulo-teorio