Grupa ago

En matematiko, simetria grupo priskribas ĉiujn simetriojn de objektoj. Ĉi tio estas formaligita per la nocio de grupa ago: ĉiu elemento de la grupo "agas" tiel, ke ĝi permutas laŭ "simetrio" elementojn de iu aro. En ĉi tia situacio, la grupo estas ankaŭ nomata permuta grupo (aparte se la aro estas finia aŭ ne estas vektora spaco) aŭ transforma grupo (aparte se la aro havas strukturon de vektora spaco kaj la elementoj de la grupo agas kiel ĝiaj linearaj transformoj). Permuta prezento de grupo G estas prezento de G kiel grupo de permutoj de iu aro (precipe, se la aro estas finia). Ĝi povas esti ekvivalente priskribita ankaŭ kiel grupa prezento de G per permutaj matricoj kaj estas kutime konsiderata en la finidimensia kazo - ĝi estas la sama kiel grupa ago de G sur ordita bazo de vektora spaco.

 Difino 
Se  estas grupo kaj  estas aro, tiam grupa ago de  sur  estas duvalenta operacio  (kies apliko al  kaj  estas notacie ), kiu kontentigas jenajn du aksiomojn:

  por ĉiuj  kaj 
  por ĉiu , kie  estas la neŭtrala elemento de la grupo .

El ĉi tiuj du aksiomoj sekvas, ke por ĉiu , la funkcio, kiu surĵetas  al , estas inversigebla de  al . Tial oni povas alternative kaj ekvivalente difini grupan agon de  sur  kiel grupan homomorfion , kie  estas simetria grupo sur , t.e. la grupo de ĉiuj inversigeblaj funkcioj de  al .

Pri grupa ago , oni alivortume diras, ke G agas sur aro X.

 Ekzemploj 
 La simetria grupo Sn kaj ĝiaj subgrupoj agas sur la aro { 1, ... , n }, permutante ĝiajn elementojn.
 La grupo de simetrioj de pluredro agas sur la aro de ĝiaj verticoj.
 La grupo de simetrioj de ĉiu geometria objekto agas sur la aro de punktoj de tiu objekto: ekzemple, la simetrioj de kubo kombinita el ok kubetoj kaj la diamanta teoremo

 Ĝeneraligoj 
Oni povas difini, ke sur aro agas ne grupo, sed monoido (algebra strukturo pli ĝenerala ol grupo) aŭ (eĉ pli ĝenerale) duongrupo, postulante la samajn du aksiomojn kiel ĉi-supre por monoidoj kaj nur la unuan aksiomon por duongrupoj. Tamen monoida ago kaj duongrupa ago ne difinas inversigeblajn funkciojn kaj ekvivalentrilatojn.

Kategorio:Abstrakta algebro
Kategorio:Algebro
Kategorio:Grupo-teorio
Kategorio:Permutaj grupoj