Ĥaosoteorio

En matematiko kaj fiziko, ĥaoso-teorio traktas la konduton de certaj nelinearaj dinamikaj sistemoj, kiuj estas tre sentemaj rilate al . Ili montras fenomenon nomatan ĥaoso. Inter la ecoj de ĥaoso-sistemoj estas sentemo al komencaj kondiĉoj (populare nomataj la papilia efiko). Pro tiu sentemo, la konduto de sistemoj, kiuj montras ĥaoson, ŝajnas esti hazardaj, kvankam la modelo de la sistemo estas determinisma en la senco, ke ĝi estas bone difinita kaj enhavas neniajn hazardajn parametrojn. Ekzemploj de tiaj sistemoj inkluzivas la atmosferon, la sunsistemon, platan tektonikon, turbulentajn fluojn, ekonomion kaj loĝantaran kreskon.

La sistemoj, kiuj montras matematikan ĥaoson, estas determinismaj kaj tial iasence bonordaj; ĉi tiu teĥnika uzo de la vorto ĥaoso estas malsama al ordinara lingvaĵo, kiu pensigas pri plena malordo. [Vidu la artikolon pri mitologia ĥaoso por diskuto pri la origino de la vorto "ĥaoso" en mitologio kaj pri aliaj uzoj.] Rilata kampo de fiziko nomata teorio de kvantuma ĥaoso studas ne-determinitajn sistemojn, kiuj sekvas la leĝojn de kvantummekaniko.

 Ĥaoso-dinamiko 
Por ke dinamika sistemo estu klasifikita kiel ĥaosa, laŭ la plejmulto de sciencistoj, ĝi devas havi jenajn trajtojn:

 ĝi estu sentema al komencaj kondiĉoj
 ĝi estu topologie miksanta
 ĝiaj periodaj orbitoj estu densaj 

Sentkapablo al komencaj kondiĉoj signifas, ke du punktoj en tia sistemo povas moviĝi en vaste malsamaj trajektorioj en ilia faza spaco, eĉ se la diferenco inter iliaj komencaj konfiguroj estas tre malgrandaj. La sistemoj kondutas idente nur se siaj komencaj konfiguroj estas precize samaj.

Sentkapablo al komencaj kondiĉoj estas populare konata kiel la "papilia efiko", sugestanta, ke la klakado de papiliaj aloj povus krei liliputajn ŝanĝojn en la atmosfero, kiuj povis tra la tempo kaŭzi, ke okazu tornado. La klakantaj aloj prezentas malgrandajn ŝanĝojn en la komenca kondiĉo de la sistemo, kiuj kaŭzas ĉenon de eventoj kondukante al grandskalaj fenomenoj. Se la papilio ne klakus siajn alojn, la trajektorio de la sistemo povus sekvi vaste malsamus.

Sentkapablo al komencaj kondiĉoj estas ofte konfuzita kun ĥaoso en popularaj klarigoj, sed tio en si estas ne aparte interesa. Kiel ekzemplo, konsideru la dinamikan sistemon difinitan sur la reala linio per surĵeto x al 2x. Ĉi tiu sistemo havas delikatan dependecon sur komencaj kondiĉoj ĉie, sed havas ege simplan (linearan) konduton.

Topologie miksanta signifas, ke la sistemo evoluos tra tempo tiel ke iu ajn donita regiono aŭ malfermita aro de ĝia faza spaco povos parte interkovri iun ajn alian donitan regionon. Ĉi tie, "miksanta" estas reale intencita konformi al la norma intuicio: la miksado de kolorigitaj farboj aŭ fluaĵoj estas ekzemplo de ĥaososistemo.

 Altenaĵoj 
Iuj dinamikaj sistemoj estas ĥaosaj ĉie (vidu ekz. en difeomorfio de Anosov) sed en multaj kazoj ĥaosa konduto estas trovata nur en subaro de faza spaco. La kazoj de pleja intereso estiĝas kiam la ĥaosa konduto okazas sur altenaĵo, ĉar tiam granda aro de komencaj kondiĉoj kondukos al orbitoj, kiuj konverĝas al ĉi tiu ĥaosa regiono.

Facila maniero bildigi ĥaosan allogaĵon estas komenci per punkto en la baseno de allogaĵo de la allogaĵo, kaj tiam simple grafike prezenti ĝian sinsekvan orbiton. Pro la topologia transitiveca kondiĉo, tio probable produktos bildon de la tuta fina allogaĵo.

eta|dekstra|300ra|Faza figuro por amortizita gvidita pendolo, kun duopa periodo-moviĝo
Ekzemple, en sistemo priskribanta pendolon, la faza spaco povus esti du-dimensia, konsistanta el informo pri pozicio kaj rapido. Oni povus grafike prezenti la pozicion de pendolo kontraŭ ĝia rapido. Pendolo ripozanta estos grafike prezentita kiel punkton, kaj iu en perioda moviĝo estos grafike prezentita kiel simplan fermitan kurbon. Kiam tia grafika prezento formas fermitan kurbon, la kurbo estas nomita orbito. Nia pendolo havas malfinian nombron da tiaj orbitoj, formantaj krajonon de nestitaj elipsoj ĉirkaŭ la fonto.

 Strangaj allogaĵoj 
Dum la plejparto de la moviĝo-tipoj supre menciitaj estigas tre simplajn allogaĵojn, kiaj punktoj kaj cirklecaj kurboj nomitaj limigo-cikloj, ĥaosa moviĝo estigas tion, kio estas nomata strangaj allogaĵoj, allogaĵoj, kiuj povas havi grandajn detalon kaj kompleksecon.
Ekzemple, simpla tri-dimensia modelo de la Lorenz-a vetera sistemo estigas la faman Lorenz-an allogaĵon. La Lorenz-a allogaĵo estas eble unu el la plej vast-konataj ĥaososistemaj figuroj, kredeble, ĉar, ne nur ĝi estis unu el la unuaj, sed ĝi estas unu el la plej kompleksaj kaj kiel tia estigas tre interesan ŝablonon kiu aspektas kvazaŭ la aloj de papilio. Alia tia allogaĵo estas la Rössler-a Mapo, kiu spertas periodo-du duobligantan vojon al ĥaoso, kiel la loĝistika mapo.

Strangaj allogaĵoj okazas en kaj kontinuaj dinamikaj sistemoj (kiel la sistemo de Lorenz) kaj en iuj diskretaj sistemoj (kiel mapo de Hénon). Aliaj diskretaj dinamikaj sistemoj havi forpelan strukturon nomitan Juliina aro kiu formiĝas ĉe la rando inter basenoj de allogaĵo de fiksaj punktoj - Juliinaj aroj povas esti konsiderataj strangaj forpelaĵoj. Kaj strangaj allogaĵoj, kaj Juliinaj aroj tipe havas fraktalan strukturon.

La teoremo de Poincaré-Bendixson montras, ke stranga allogaĵo povas ekesti nur en kontinua dinamika sistemo se ĝi havas tri aŭ pli da dimensioj. Tamen, neniu tia limigo aplikiĝas al diskretaj sistemoj, kiuj povas montri strangajn allogaĵojn en du aŭ eĉ unu dimensiaj sistemoj.

 Historio 
La radikoj de la teorio de ĥaoso datiĝas de ĉirkaŭ 1900, en la studoj de Henri Poincaré pri la problemo de la moviĝo de tri objektoj en reciproka gravita allogaĵo, la tiel-nomita tri-korpa problemo.
Poincaré trovis, ke povas esti orbitoj kiuj estas neperiodaj, kaj tamen ne eterne pligrandiĝantaj nek proksimiĝantaj fiksan punkton.
Postaj studoj, ankaŭ pri la temo nelinearaj diferencialaj ekvacioj,
estis plenumita de George David Birkhoff, Andrej Kolmogorov, Mary Cartwright, J. E. Littlewood, kaj Stephen Smale.
Krom Smale, ĉi tiuj studoj estis ĉiuj rekte inspirita de fiziko:
 la tri-korpa problemo ĉe Birkhoff,
 turbuleco kaj astronomiaj problemoj ĉe Kolmogorov,
 radia inĝenierado ĉe Cartwright kaj Littlewood.
Kvankam ĥaosaplaneda moviĝo ne jam estas observita, eksperimentistoj jam renkontis turbulecon en fluaĵa moviĝo kaj neperioda oscilado en radiaj cirkvitoj sen la helpo de teorio por klarigi kion ili vidas.

La teorio de ĥaoso progresis pli rapide post la jarcentmezo, kiam por unua fojo iĝis evidenta al iu sciencistoj, ke lineara teorio, la tiame plej akceptata sistem-teorio, simple ne povas klarigi la observitan konduton de certaj eksperimentoj kiel tiu de la loĝistika mapo. La ĉefa katalizilo por la evoluo de la teorio de ĥaoso estis la elektronika komputilo. Multo el la matematiko de ĥaoso-teorio utiligas la adan ripetadon de simplaj matematikaj formuloj, kio devus esti maloportuna por faro permana. Elektronikaj komputiloj faris ĉi tiajn ripetitajn kalkulojn oportunaj. Unu el la plej fruaj elektronikaj ciferecaj komputiloj, ENIAC, estis uzata por ruli simplajn veterajn prognozmodelojn.

Frua pioniro de la teorio estis Eduardo Lorenz kies interesiĝo en ĥaoso estiĝis hazarde pro lia laboro super vetera prognozado en 1961. Lorenz uzis bazan komputilon, Royal McBee LGP-30, por ruli sian veteran simuladon. Li deziris denove vidi certan vicon de datumoj, kaj por ŝpari tempon li restartis la simuladon meze de ĝia rulo. Li tion povis per enigado de printaĵo de la datumoj korespondantaj al kondiĉoj meze de lia simulado kiun li kalkulis jam la antaŭan fojon.

Je lia surprizo la vetero kiun la maŝino komencis prognozi estis plene malsama de la vetero antaŭe kalkulita. Lorenz elspuris tion al la komputila printaĵo. La printaĵo rondigis variablojn al 3-cifera nombro, sed la komputilo funkciis per 6-ciferaj nombroj. Ĉi tiu diferenco estas liliputa kaj la komuna opinio tiutempa estis, ke tio devus havi praktike nenian efikon. Tamen Lorenz estis malkovrinta, ke malgrandaj ŝanĝetoj en komencaj kondiĉoj produktas grandajn ŝanĝojn en la longtempa rezulto.

Yoshisuke Ueda sendepende identigis ĥaosan fenomenon kiel tia per uzo de analoga komputilo en la 27-a de novembro, 1961. La ĥaoso eksponata de analoga komputilo estas vere natura fenomeno, kontraste al tiuj esploritaj per cifereca komputilo. La kontrolanta profesoro de Ueda, Hayashi, malkredis je ĥaoso tra la tuta sia vivo, kaj tial li malpermesis al Ueda publikigi sian konstatan ĝis 1970.

La terminon ĥaoso tia, kiel ĝi estas uzata en matematiko, inventis fakulo pri la aplika matematiko James A. Yorke.

La havebleco de pli malmultekostaj, pli povaj komputiloj larĝigas la aplikeblon de ĥaoso-teorio, kiu restas tre aktiva areo de esplorado.

 Matematika teorio 
Matematikistoj inventis multajn aldonajn manierojn fari kvantecajn propoziciojn pri ĥaosaj sistemoj. Ĉi tiuj inkluzivas:

 Fraktala dimensio de la altenaĵo
 Ljapunovaj eksponentoj
 ripetecaj grafikaj prezentoj
 Mapoj de Poincaré
 forkiĝaj figuroj
 Transdona operatoro

 Minimuma komplekseco de ĥaosa sistemo 
Multaj simplaj sistemoj povas produkti ĥaoson ankaŭ sen uzado de diferencialaj ekvacioj, kiel ekzemple la loĝistika mapo, kiu estas diferenca ekvacio (ripeteca rilato), kiu priskribas loĝantaran kreskon tra tempo.

Eĉ la evoluo diskretaj sistemoj, kiel ĉelaj aŭtomatoj, povas peze dependi sur komencaj kondiĉoj. Stephen Wolfram estas esplorinta ĉelan aŭtomatadon kun ĉi tiu propraĵo, nomita de li regulo 30.

 Aliaj ekzemploj de ĥaosaj sistemoj 
 Dulita pendolo
 Loĝistika surĵeto
 Surĵeto de Hénon
 Modelo de Lorenz
 Dinamika bilardo
 Cirkvito de Chua
 Surĵeto de Rössler

 Apliko 
Ĥaosoteorio estas aplikata en multaj sciencaj disciplinoj: matematiko, fiziko, komputiko, ekonomiko, inĝenierado, financo, politiko, loĝantara dinamiko, psikologio, robotiko, kaj tiel plu.

 Vidu ankaŭ 
 Teorio de forkiĝo
 Komplikeco
 Dinamika sistemo
 Fraktalo
 Aro de Mandelbrot
 Juliina aro
 Rando de ĥaoso
 Antaŭdirebleco
 Analizilo de ĥaosaj datumoj

 Eksteraj ligiloj 

 Balancanta maŝino de Atwood (SAM)
 Resaltanta Pilko
 Mekanikaj kordoj
 Kapilaraj ondetoj 

Kategorio:Ĥaosoteorio
Kategorio:Nelinearaj sistemoj