Nefinia aro

En aroteorio, nefinia aro estas aro, kiu ne estas finia aro. Nefinia aro povas esti kalkulebla aŭ nekalkulebla. Iuj ekzemploj estas:

 la aro de ĉiuj entjeroj, {..., -1, 0, 1, 2, ...}, estas kalkuleble nefinia aro, ĝia kardinala nombro estas alef-nulo;
 la aro de ĉiuj reelaj nombroj estas nekalkuleble nefinia aro, ĝia kardinala nombro estas kardinalo de kontinuumo.

 Ecoj 

La aro de naturaj nombroj (kies ekzisto estas certigita per la aksiomo de senfineco) estas nefinia. Ĝi estas la nura aro kiu estas rekte postulita per la aksiomoj al esti nefinia. La ekzisto de ĉiu la alia nefinia aro povas esti pruvita en aroteorio de Zermelo-Fraenkel kun aksiomo de elekto (ZFC) nur per montrado ke ĝi sekvas el la ekzisto de la naturaj nombroj.

Aro estas nefinia se kaj nur se por ĉiu natura nombro la aro havas subaron kies kardinala nombro estas tiu natura nombro.

Se la aksiomo de elekto veras, tiam aro estas nefinia se kaj nur se ĝi inkluzivas kalkuleblan nefinian subaron.

Se aro de aroj estas nefinia aŭ enhavas nefinian eron, tiam ĝia kunaĵo estas nefinia. La potencaro de nefinia aro estas nefinia. Ĉiu superaro de nefinia aro estas nefinia. Se nefinia aro estas fendita en finie multajn subarojn, tiam almenaŭ unu de ili devas esti nefinia. Ĉiu aro kiu povas esti mapita sur nefinian aron estas nefinia. La kartezia produto de nefinia aro kaj nemalplena aro estas nefinia. La kartezia produto de nefinia kvanto de aroj, ĉiu el kiuj enhavas minimume du erojn estas malplena aŭ nefinia; se la aksiomo de elekto veras, do ĝi estas nefinia.

Se nefinia aro estas bonorda, tiam ĝi devas havi nemalplenan subaron kiu ne havas plej grandan eron.

En aroteorio de Zermelo-Fraenkel sen aksiomo de elekto (ZF), aro estas nefinia se kaj nur se la potencaro de ĝia potencaro estas dedekindo-nefinia aro, havanta propran subaron samampleksa al si. Se ankaŭ la aksiomo de elekto estas vera, nefiniaj aroj estas precize la dedekindo-nefiniaj aroj.

Se nefinia aro estas bone-ordigebla, do ĝi havas multajn bonajn ordojn kiuj estas ne-izomorfiaj.

 Vidu ankaŭ 

 Malfinio
 Alef-nombro
 Kardinala nombro
 Kardinalo de kontinuumo

Kategorio:Aro-teorio
Kategorio:Senfineco