Determinanto

En lineara algebro, determinanto estas funkcio, kiu asociigas skalaron det(A) al ĉiu n×n kvadrata matrico A. La fundamenta geometria signifo de determinanto estas kiel la skala faktoro por volumeno se A estas konsiderita kiel lineara transformo. 

Por ĉiu pozitiva entjero n, estas unika determinanta funkcio por la n×n matricoj super ĉiu komuta ringo R. Aparte, ĉi tiu funkcio ekzistas kiam R estas la kampo de reelaj aŭ kompleksaj nombroj.

Determinanto de A estas ankaŭ iam skribita kiel |A|, sed ĉi tiu skribmaniero estas ambigua: ĝi estas ankaŭ uzata por matricaj normoj, kaj por la kvadrata radiko de .

 Ĝenerala difino kaj kalkulado 
Estu  kvadrata matrico.

Se  estas 1-per-1 matrico, tiam  .

Se  estas 2-per-2 matrico, tiam  .

Por 3-per-3 matrico A, la formulo estas pli komplika:

Por ĝenerala n-per-n matrico, la determinanto estis difinita per formulo de Leibniz:

La sumo estas komputita super ĉiuj permutoj  de nombroj {1,2,...,n} kaj  estas signumo de la permuto : =+1 se  estas para permuto kaj =−1 se ĝi estas nepara.

Ĉi tiu formulo enhavas  (faktorialon) da termoj, kaj pro tio uzi ĝin por kalkuli determinantojn pri granda  maloportunas.

Determinanto povas esti komputita kun la gaŭsaj algoritmaj uzante jenajn regulojn:
 Se  estas triangula matrico, kio estas  ĉiam , tiam 
 Se  rezultas de  per interŝanĝo de du linioj aŭ de du kolumnoj, tiam 
 Se  rezultas de  per multipliko de unu linio aŭ de unu kolumno kun la nombro , tiam 
 Se  rezultas de  per adicio al linio de unu alia linio multiplikita per iu koeficiento, aŭ adicio al kolumno de unu alia kolumno multiplikita per iu koeficiento, tiam 

Uzante la lastajn tri regulojn eblas konverti ĉiun matricon en triangulan matricon, tiam eblas uzi la unua regulo por komputi ĝian determinanton.

 Propraĵoj 
La determinanto estas multiplika mapo en la senco ke
 por ĉiuj n-per-n matricoj  kaj .
Ĉi tiu estas ĝeneraligita per la Koŝio-Binet-a formulo al produktoj de ne-kvadrataj matricoj.

Estas facile vidi ke, se  estas la -per- identa matrico,  kaj tial:
, por ĉiuj -per- matricoj  kaj ĉiuj skalaroj .

Matrico super komuta ringo R estas inversigebla, se kaj nur se ĝia determinanto estas unuo en R.

Aparte, se A estas matrico super kampo K, kiel la realaj nombroj aŭ kompleksaj nombroj, tiam A estas inversigebla se kaj nur se det_(A) estas ne-nulo. En ĉi tiu okazo, ni havas

Esprimita malsame: la vektoroj v1,...,vn en Rn formas bazon, se kaj nur se det(v1,...,vn) estas ne-nulo.

Matrico kaj ĝia transpono havas la saman determinanton:

La determinanto de
kompleksa matrico kaj de ĝia konjugita transpono
estas konjugita:

Notu ke konjugita transpono de matrico estas identa al la transpono pri reela matrico.

Se  kaj  estas similaj, tio estas, se tie ekzistas inversigebla matrico  , tia ke  =  , tiam pro la multiplika propraĵo,

 Vidu ankaŭ 
 Rango de matrico
 Ejgeno

Kategorio:Matrica teorio
Kategorio:Lineara algebro
Kategorio:Abstrakta algebro
Kategorio:Algebro