Modula aritmetiko

Modula aritmetiko estas sistemo de aritmetiko por entjeroj, kie nombroj "turniĝas reen", al nulo, post kiam ili atingas certan valoron — la modulon. Modulan aritmetikon prezentis Carl Friedrich Gauss en sia libro Disquisitiones Arithmeticae (publikigita en 1801).

Ekzemplo de modula aritmetiko estas kutima horloĝo: la aritmetiko de horoj sur la horloĝo. Se la tempo estas 7 horoj, tiam post 8 horoj estos 15 horoj (t.e. validas kutima adicio). Se la tempo estas 7 horoj, tiam post 19 horoj estos 7+19=26 horoj (laŭ la kutima adicio). Sed horloĝo uzas modulon 24, do estas 26 mod 24=2 horoj (de la sekva tagnokto).

 La rilato 
Du entjeroj a kaj b estas kongruaj module (aŭ modulite) je n, se a kaj b havas la saman reston, kiam ili estas dividitaj per n (por pozitivaj entjeroj), aŭ ekvivalente, ke ilia diferenco (a−b) estas produto de n kaj entjero (por ĉiaj entjeroj). En ĉi tiu okazo, la afero estas esprimita kiel
a ≡ b (mod n).
Ekzemple,
38 ≡ 14 (mod 12)
ĉar 38 − 14 = 24, kiu estas entjera oblo de 12.

Kongrueco laŭ modulo estas ekvivalentrilato tia, ke la ekvivalentklaso de entjero a estas la aro [a]n = { ... a − 3n, a − 2n, a − n, a, a + n, a + 2n, a + 3n, ...}. Ĉi tiu aro de ĉiuj entjeroj kongruaj al a je modulo n estas nomata kongrueca klaso aŭ n-modula restoklaso de a je modulo n kaj estas skribata ankaŭ kiel .

Se
a1 ≡ b1 (mod n)
kaj
a2 ≡ b2 (mod n)
tiam
a1 + a2 ≡ (b1 + b2) (mod n)
kaj
a1a2 ≡ b1b2 (mod n).

 Vidu ankaŭ 
 RSA (kriptado)


Kategorio:Ringo-teorio
Kategorio:Grupo-teorio