Probablo

La termino probablo referencas al nombro, kiu estas proksima al la relativa ofto de difinita okazaĵo en longa serio de ripetoj de pli ĝenerala okazaĵo kaj al nombro, kiu iusence esprimas la gradon de kredindeco de aserto.Probablo en PIV, Alirita la 15an de Oktobro 2021. Sinonimoj de la komunuza vorto "probabla" estas kredebla, supozebla, verŝajna. Probabla estas io, kio tre verŝajne estas vera, ekzistas, okazos ktp.

Precize kiel la klasika mekaniko asignas precizan difinon al ĉiutagaj terminoj kiel laboro kaj forto, la probablo-teorio provas kvantigi la nocion de verŝajneco.

 Etimologio 
La vorto probablo derivas precize de la latina probabilitas, kiu povas signifi ankaŭ "honestecon", nome mezuro de la aŭtoritato atestanto en jura proceso aŭ juĝo en Eŭropo, kaj iam ofte rilata al la nobela deveno de la menciita atestanto. Iasence, tio diferencas multe disde la nuntempa signifo de probablo, kiu male estas mezuro de la pezo de la empiria pruvaro, kaj oni alvenas al ĝi el la indukta logiko kaj el la statistika inferenco. Ian Hacking (2006) The Emergence of Probability: A Philosophical Study of Early Ideas about Probability, Induction and Statistical Inference, Cambridge University Press, 

La vorto probablo derivas larĝasence de la Latina probare (pruvi, provi). Neformale, verŝajna estas unu el kelkaj vortoj aplikita al malcerta evento aŭ scio, estante proksime rilatanta en signifo al verŝajna, riska, danĝera, kaj duba. Ŝanco kaj veto estas aliaj vortoj esprimantaj similajn nociojn.

Interpretoj
Kiam oni traktas hazardajn eksperimentojn - t.e., eksperimentojn kaj hazardajn kaj bone difinitajn - en pure teoria situacio (kiel monerĵetado), probablecoj povas esti nombre priskribitaj per la nombro de dezirataj rezultoj, dividita per la tuta nombro de ĉiuj rezultoj. Ĉi tio nomiĝas teoria probableco (kontraste al empirieco|empiria probableco, kiu traktas probablecojn en la kunteksto de realaj eksperimentoj). La probableco estas nombro inter 0 kaj 1; ju pli granda la probableco, des pli probable la dezirata rezulto okazos. Ekzemple, dufoje monerĵeti donos rezultojn "fronto-fronto", "fronto-dorso", "dorso-fronto", kaj "dorso-dorso". La probableco ricevi rezulton de "fronto-fronto" estas 1 el 4 rezultoj, aŭ, nombre, 1/4, 0.25 aŭ 25%. La probableco ricevi rezulton de almenaŭ unu fronto estas 3 el 4, aŭ 0.75, kaj ĉi tiu evento pli probable okazos. Tamen, kiam temas pri praktika apliko, ekzistas du ĉefaj konkurantaj kategorioj de probablaj interpretoj, kies anoj havas malsamajn vidpunktojn pri la fundamenta naturo de probablo:
 Objektivistoj asignas nombrojn por priskribi iun objektivan aŭ fizikan staton de aferoj. La plej populara versio de objektiva probablo estas frekvenca probablo, kiu asertas, ke la probablo de hazarda evento indikas la relativan oftecon de okazo de la rezulto de eksperimento kiam la eksperimento estas ripetata senfine. Ĉi tiu interpreto konsideras probablon kiel la relativan oftecon "longtempe" de rezultoj. Modifo de ĉi tio estas inklina probablo, kiu interpretas probablon kiel la tendencon de iu eksperimento doni ian rezulton, eĉ se ĝi estas farita nur unufoje.
 Subjektivistoj asignas nombrojn laŭ subjektiva probableco, tio estas, kiel grado de kredo. La grado de kredo estis interpretita kiel "la prezo je kiu vi aĉetus aŭ vendus veton kiu pagas 1 unuon de utileco se E, 0 se ne E", kvankam tiu interpreto ne estas universale interkonsentita. La plej populara versio de subjektiva probableco estas la nomita Bajeza probableco, kiu inkluzivas fakan scion same kiel eksperimentajn datumojn por produkti probablecojn. La faka scio estas reprezentita per iu (subjektiva) antaŭa probableca distribuo. Ĉi tiuj datumoj estas integritaj en probablecan funkcion. La produto de la antaŭa probableco kaj la probabla probableco, kiam normaligita, rezultas en posta probableca distribuo kiu inkluzivas ĉiujn informojn konatajn ĝis tiam. Laŭ la teoremo de Aumann pri interkonsento, Bajezaj agentoj kies antaŭaj kredoj estas similaj finos kun similaj postaj kredoj. Tamen, sufiĉe malsamaj antaŭaj kredoj povas konduki al malsamaj konkludoj, sendepende de kiom da informoj la agentoj kunhavas.

 Historiaj rimarkoj 
eta|maldekstre|180ra|Girolamo Cardano, unu el la plej fruaj probablistoj.
La scienca studo de probablo estas moderna evoluo. Vethazardludo montras, ke tie estas intereso kvantigi la ideon de probablo de jam jarmiloj, sed akurata matematika priskribo taŭga en tiuj problemoj aperis nur multe pli poste.

La unuaj elementaj konsideroj pri probablo estis faritaj de Girolamo Cardano en la 16-a jarcento. Kardano estis hazardludanto, kiu kutimis fari longajn feriojn de sia scienca laboro por fari vetludojn. En la procezo, li disvolvis la fundamentojn de probablo-teorio, kiujn li prezentis en sia libro "La Libro de Bonŝanco kaj Ludoj" (latine: Liber de ludo aleae), kiu estis kompletigita en 1563 sed eldonita jarcenton poste, en 1663. La libro konsistas el 32 ĉapitroj - la unuaj ĉapitroj estas dediĉitaj al konsiloj por ludantoj en kartludoj kaj ĵetkuboj. Ili ankaŭ inkluzivas priskribon de oftaj trompaj metodoj. En la sekvaj ĉapitroj, Kardano provas montri la regulojn, kiuj regas la hazardludojn, kaj montras, ke ĝi ne dependas nur de la hazardo, sed ke ĉiu evento en la ludo havas kalkuleblan probablon.

eta|dekstre|180ra|Christiaan Huygens publikigis unu el la unuaj libroj pri probableco (17-a jarcento).
La teknika doktrino pri probablo fontas el la koresponda rilato inter Pierre de Fermat kaj Blaise Pascal (1654). Christiaan Huygens (1657) verkis la plej frue konatan sciencan traktaton pri la temo. Post tio sekvis la Kybeia de Juan Caramuel (1670). Kelkaj el la menciitaj verkistoj -Fermat, Pascal kaj Caramuel- mencias en siaj respektivaj korespondaĵojn verkon Ars Commutationes de Sebastiano de Rocafull (1649), nuntempe perdita. La fundamenta verko Ars Conjectandi de Jakob Bernoulli (postmorta, 1713) kaj Doktrino de Ŝancoj de Abraham de Moivre (1718) traktas la subjekton kiel branĉon de matematiko. Estas menciinda la fakula verko de sugesta titolo "La apero de la probablo" (The Emergence of Probability, 1975) de Ian Hacking kiu pritraktas historion de la frua disvolvigo de la propra koncepto de matematika probablo.

La teorio de eraroj povas estis spurita reen en la historio ĝis Opera Miscellanea (postmorta, 1722) de Roger Cotes, sed disertacio preparita de Thomas Simpson en 1755 (presita en 1756) aplikis por la unua fojo la teorion por la studo de observeraroj. La represo (1757) de tiu disertacio eksponas la aksiomojn, ke la eraroj pozitivaj kaj negativaj estas same probablaj, kaj ke estas certaj limoj atribueblaj, ene de kiuj oni supozas, ke estas ĉiuj eblaj eraroj; tie oni studas la kontinuajn erarojn kaj oni proponas kurbon de la probablo.

Pierre-Simon Laplace (1774) faris la unuan klopodon dedukti regulon por la kombino de observoj el la principoj de la teorio de la probabloj. Laplace kreis formulon por esprimi la verŝajnecon de la tagiĝo. Li diris, ke la verŝajneco estis (d+1)/(d+2), kie d estas la nombro de tagoj, kiam tagiĝis en la paseo. Laplace diris ke ĉi tiu formulo, kies nomo estis "Regulordo" (de Laplace), taŭgas en ĉiuj kazoj, kie oni nenion scias aŭ kie, aĵo kiun oni scias, oni ŝanĝis (aŭ ŝanĝos) pro aĵo kion oni ne scias. Li deduktis formulon por la averaĝo de tri observoj. Li atingis ankaŭ (1781) formulon por la leĝo de facileco de eraro (termino kreita de Lagrange, 1774), sed lia formulo kondukis al malfacile uzeblaj ekvacioj.

Daniel Bernoulli (1778) enkondukis la principon de la maksimuma produto de la probabloj de sistemo de kunestantaj eraroj.

Siaflanke la metodo de kvadrataj minimumoj estis kreitaj de Adrien-Marie Legendre (1805), kiu enkondukis ĝin en sia verko Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes (Novaj metodoj por la determinado de la orbitoj de la kometoj). Senscie pri la kontribuo de Legendre, irland-usona verkisto, Robert Adrain, redaktoro de "The Analyst" (1808), deduktis por la unua fojo la leĝon de facileco de eraro:

kie  kaj  estas konstantoj kiuj dependas de la precizeco de la observado. Li eksponis du pruvojn, el kiuj la dua estas esence la sama de John Herschel (1850). Gauss eksponis ŝajne la unuan pruvon konata en Eŭropo (nome la tria post tiu de Adrain) en 1809. Aldonaj pruvoj estis eksponitaj de Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837), Friedrich Bessel (1838), W. F. Donkin (1844, 1856) kaj Morgan Crofton (1870). Aliaj fakuloj kiuj kontribuis al la fako estis Ellis (1844), De Morgan (1864), Glaisher (1872) kaj Giovanni Schiaparelli (1875). La formulo de Peters (1856) por , la probabla eraro de ununura observo, estas tre bone konata.

En la 19-a jarcento, la aŭtoroj de la ĝenerala teorio estis Laplace, Sylvestre Lacroix (1816), Littrow (1833), Adolphe Quetelet (1853), Richard Dedekind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion, kaj Karl Pearson. Augustus De Morgan kaj George Boole plibonigis la eksponon de la teorio.

En 1930 Andrej Kolmogorov disvolvigis la aksioman bazon de la probablo uzante la teorion de la mezuro.

Teorio

Kiel ĉe aliaj teorioj, la teorio de probablo estas prezento de siaj konceptoj en formalaj terminoj - tio estas, en terminoj, kiujn oni povas konsideri aparte de ilia signifo. Ĉi tiuj formalaj terminoj estas manipulataj per la reguloj de matematiko kaj logiko, kaj ĉiuj rezultoj estas interpretataj aŭ transigitaj reen en la probleman domajnon.

Okazis almenaŭ du sukcesaj provoj formaligi probablon, nome la formulo de Kolmogorov kaj la formulo de Richard Threlkeld Cox. En la formulo de Kolmogorov (vidu ankaŭ artikolon probablospaco), aroj estas interpretataj kiel eventoj kaj probablo kiel mezuro sur klaso de aroj. En la teoremo de Cox, probablo estas prenita kiel primitiva teorio (t.e., ne plu analizita), kaj la emfazo estas sur konstruado de kohera asigno de probablovaloroj al propozicioj. En ambaŭ kazoj, la leĝoj de probablo estas la samaj, krom teknikaj detaloj.

Ekzistas aliaj metodoj por kvantigi necertecon, kiel ekzemple la teorio de Dempster-Shafer aŭ la teorio de eblecoj, sed tiuj estas esence malsamaj kaj ne kongruaj kun la kutime komprenataj leĝoj de probabloj.

Aplikoj
Probabloteorio estas aplikata en ĉiutaga vivo en risko-takso kaj modelado. La asekura sektoro kaj merkatoj uzas aktuaran sciencon por determini prezojn kaj fari komercajn decidojn. Registaroj aplikas probablokalkulajn metodojn en media reguligo, analizo de rajtoj kaj financa reguligo.

Ekzemplo de la uzo de probablokalkulo en akcia komercado estas la efiko de la perceptita probablokalkulo de iu ajn ĝeneraligita konflikto en Mezoriento sur naftoprezoj, kiuj havas ondetajn efikojn en la ekonomio kiel tuto. Takso fare de krudvara borsisto, ke milito estas pli probabla, povas sendi la prezojn de tiu krudvaro supren aŭ malsupren, kaj signali al aliaj komercistoj tiun opinion. Sekve, la probablokalkuloj estas nek taksataj sendepende nek nepre racie. La teorio de kondutisma financo aperis por priskribi la efikon de tia gruppenso pri prezigado, pri politiko, kaj pri paco kaj konflikto.Singh, Laurie (2010) "Whither Efficient Markets? Efficient Market Theory and Behavioral Finance". The Finance Professionals' Post, 2010.

Aldone al financa takso, probablokalkulo povas esti uzata por analizi tendencojn en biologio (ekz., disvastiĝo de malsanoj) kaj ankaŭ ekologio (ekz., biologiaj kvadratoj de Punnett). (11 pages) Kiel ĉe financo, riskokalkulo povas esti uzata kiel statistika ilo por kalkuli la probablecon de nedezirataj okazaĵoj, kaj povas helpi efektivigi protokolojn por eviti tiajn cirkonstancojn. Probablokalkulo estas uzata por dezajni hazardludojn tiel ke kazinoj povas fari garantiitan profiton, tamen provizi pagojn al ludantoj sufiĉe oftajn por instigi daŭran ludadon.

Alia signifa apliko de probablokalkulo en ĉiutaga vivo estas fidindeco. Multaj konsumvaroj, kiel aŭtoj kaj konsumelektroniko, uzas fidindecteorion en produkta dezajno por redukti la probablecon de paneo. La probableco de paneo povas influi la decidojn de fabrikanto pri la garantio de produkto.

Ankaŭ la kaŝmemora lingvomodelo kaj aliaj statistikaj lingvomodeloj uzataj en natur-lingva prilaborado estas ekzemploj de aplikoj de probablokalkulo.

Matematika traktado
Konsideru eksperimenton, kiu povas produkti kelkajn rezultojn. La kolekto de ĉiuj eblaj rezultoj nomiĝas la provrezultaro de la eksperimento, foje nomata kiel . La aro de ĉiuj subaroj de la provrezultaro formiĝas per konsidero de ĉiuj malsamaj kolektoj de eblaj rezultoj. Ekzemple, ĵetado de ĵetkubo povas produkti ses eblajn rezultojn. Unu kolekto de eblaj rezultoj donas raran nombron sur la ĵetkubo. Tiel, la subaro {1,3,5} estas elemento de la aro de ĉiuj subaroj de la provrezultaro de ĵetkuboj. Ĉi tiuj kolektoj nomiĝas "eventoj". En ĉi tiu kazo, {1,3,5} estas la evento, ke la ĵetkubo falas sur iun raran nombron. Se la rezultoj, kiuj efektive okazas, falas en donita evento, oni diras, ke la evento okazis.

Probablo estas maniero asigni al ĉiu evento valoron inter nulo kaj unu, kun la postulo, ke la evento konsistanta el ĉiuj eblaj rezultoj (en nia ekzemplo, la evento {1,2,3,4,5,6}) ricevu valoron de unu. Por kvalifikiĝi kiel probablo, la asigno de valoroj devas plenumi la postulon, ke por iu ajn kolekto de reciproke ekskluzivaj eventoj (eventoj sen komunaj rezultoj, kiel ekzemple la eventoj {1,6}, {3}, kaj {2,4}), la probablo, ke almenaŭ unu el la eventoj okazos, estas donita per la sumo de la probabloj de ĉiuj individuaj eventoj.

La probableco de evento A estas skribita kiel , p(A), aŭ .Olofsson (2005) p. 8. Ĉi tiu matematika difino de probableco povas etendiĝi al senfinaj provaĵspacoj, kaj eĉ nenombraj provaĵspacoj, uzante la koncepton de mezuro.

La malo aŭ komplemento de evento A estas la evento [ne A] (tio estas, la evento de A ne okazanta), ofte nomata , , aŭ ; ĝia probableco estas donita per .Olofsson (2005), p. 9 Ekzemple, la ŝanco ne atingi seson sur sesflanka ĵetkubo estas 1 – (ŝanco ĵeti seson) = 1 − ⁠1/6⁠ = ⁠5/6⁠. 

Se du eventoj A kaj B okazas dum ununura plenumo de eksperimento, tio nomiĝas la intersekco aŭ komuna probableco de A kaj B, indikita kiel 

Sendependaj eventoj
Se du eventoj, A kaj B, estas sendependaj, tiam la komuna probablo estas

Ekzemple, se du moneroj estas ĵetitaj, tiam la ŝanco ke ambaŭ estu frontoj estasOlofsson (2005) p. 35.

Reciproke ekskluzivaj eventoj
Se aŭ evento A aŭ evento B povas okazi sed neniam ambaŭ samtempe, tiam ili estas nomataj reciproke ekskluzivaj eventoj.

Se du eventoj estas reciproke ekskluzivaj, tiam la probableco de ambaŭ okazoj estas indikita kiel  kaj  Se du eventoj estas reciproke ekskluzivaj, tiam la probableco de iu el ambaŭ okazoj estas indikita kiel  kaj 

Ekzemple, la ŝanco de ĵetado de 1 aŭ 2 per sesflanka ĵetkubo estas 

Ne (necese) reciproke ekskluzivaj eventoj
Se la eventoj estas ne (necese) reciproke ekskluzivaj eventoj tiam Reskribita,

Ekzemple, kiam oni tiras karton el ludkartaro, la ŝanco ricevi koron aŭ bildkarton (J, Q, K) (aŭ ambaŭ) estas ĉar inter la 52 kartoj de ludkartaro, 13 estas koroj, 12 estas bildkartoj, kaj 3 estas ambaŭ: ĉi tie la eblecoj inkluzivitaj en la "3 kiuj estas ambaŭ" estas inkluzivitaj en ĉiu el la "13 koroj" kaj la "12 bildkartoj", sed devus esti kalkulitaj nur unufoje.

Ĉi tio povas esti plue vastigita por pluraj ne (nepre) reciproke ekskluzivaj eventoj. Por tri eventoj, ĉi tio procedas jene:
Videblas do, ke ĉi tiu ŝablono povas esti ripetata por iu ajn nombro da okazaĵoj.

Kondiĉa probablo
Kondiĉa probablo estas la probablo de iu evento A, donante la okazon de iu alia evento B. Kondiĉa probablo estas skribita , kaj legiĝas "la probablo de A, donita B". Ĝi estas difinita perOlofsson (2005) p. 29.

Se  tiam  estas formale nedifinita per tiu esprimo. En tiu kazo  kaj  estas sendependaj, ĉar  Tamen, eblas difini kondiĉan probablecon por iuj nul-probablaj eventoj, ekzemple uzante sigma-alĝebron de tiaj eventoj (kiel tiuj, kiuj devenas de kontinua hazarda variablo).

Ekzemple, en saketo da 2 ruĝaj pilkoj kaj 2 bluaj pilkoj (4 pilkoj entute), la probableco preni ruĝan pilkon estas  tamen, kiam oni prenas duan pilkon, la probableco, ke ĝi estas aŭ ruĝa pilko aŭ blua pilko, dependas de la antaŭe prenita pilko. Ekzemple, se ruĝa pilko estis prenita, tiam la probableco preni ruĝan pilkon denove estus  ĉar nur 1 ruĝa kaj 2 bluaj pilkoj restus. Kaj se blua pilko estis prenita antaŭe, la probableco preni ruĝan pilkon estos 

Inversa probableco
En probablokalkulo kaj aplikoj, la teoremo de Bayes rilatigas la probablecojn de evento  al evento  antaŭ kaj post (malantaŭ) kondiĉigado je alia evento  La probablecoj de  al evento  estas simple la rilatumo de la probablecoj de la du eventoj. Kiam arbitre multaj eventoj  estas interesaj, ne nur du, la regulo povas esti reformulita kiel malantaŭa estas proporcia al antaŭa oble verŝajneco,  kie la proporcieca simbolo signifas, ke la maldekstra flanko estas proporcia al (t.e., egalas al konstanta oble) la dekstra flanko kiam  varias, por fiksa aŭ donita  (Lee, 2012; Bertsch McGrayne, 2012). En ĉi tiu formo ĝi devenas de Laplace (1774) kaj de Cournot (1843); vidu Fienberg (2005).

Resumo de probablecoj
+Resumo de probablecoj Evento Probableco A  ne A  A aŭ B  A kaj B  A donita B 

 Formaligo de probablo 
Simile al aliaj teorioj, probablo-teorio estas prezento de probablecaj konceptoj en formalaj terminoj — do, en terminoj kiuj povas esti konsiderataj aparte de ilia signifo.
Ĉi tiuj formalaj terminoj estas manipulitaj per la reguloj de matematiko kaj logiko, kaj ĉiuj rezultoj estas tiam interpretitaj aŭ tradukitaj malen en la probleman domajnon.

Estas almenaŭ du sukcesaj provoj formaligi probablon, nome formulaĵo de Kolmogorov kaj formulaĵo de Cox.

En formulaĵo de Kolmogorov, aroj estas interpretitaj kiel eventoj kaj probablo mem kiel mezuro sur klaso de aroj. En formulaĵo de Cox, probablo estas prenita kiel primitivo (do, ne plu analizita) kaj la emfazo estas sur konstruado de konsekvencaj asignoj de probablaj valoroj al propozicioj. En ambaŭ okazoj, la leĝoj de probabloj estas la samaj, krom teknikaj detaloj:

 probablo (simbolita per p) estas nombro inter 0 kaj 1;
 probablo de evento aŭ propozicio kaj ĝia komplemento sume donas 1;
 kuna probablo de du eventoj aŭ propozicioj estas produto de probablo de la unua kaj probablo de la dua kondiĉo je la unua.

 Prezento kaj interpretado de probablaj valoroj 
La probablo de evento estas ĝenerale prezentita kiel reela nombro inter 0 kaj 1 inkluzive. Neebla evento havas probablon de akurate 0, kaj certa evento havas probablon de 1, sed la mala propozicio estas ne ĉiam vera: nek evento de probablo 0 estas ĉiam neebla, nek evento de probablo 1 estas certa. La iom subtila distingo inter "certa" kaj "probablo 1" estu traktita je pli granda longo en aparta studo pri "preskaŭ certa".

Probabloj kiuj okazas en praktiko estas nombroj inter 0 kaj 1, indikante pozicion de la evento sur la kontinuaĵo inter neebleco kaj certeco. Ju pli proksima la probablo estas al 1, des pli verŝajna estas ke la evento okazas.

 Distribuoj 
Probablodistribuo estas funkcio kiu asignas probablojn al eventoj aŭ propozicioj. Por ĉiu aro de eventoj aŭ propozicioj estas multaj manieroj asigni probablojn, do la elekto de unu distribuo aŭ alia estas ekvivalento al farado de malsamaj supozoj pri la eventoj aŭ propozicioj.

Estas kelkaj ekvivalentaj manieroj por difini probablodistribuon. Eble la plej komuna estas precizigi probablodensa funkcion. Tiam la probablo de evento aŭ propozicio estas ricevita per integralado de la denseca funkcio.
La distribua funkcio povas ankaŭ esti difinita rekte. En unu dimensio, la distribua funkcio estas nomita kiel la tuteca distribua funkcio. Probablodistribuoj povas ankaŭ esti difinitaj tra momantoj aŭ la karakteriza funkcio, aŭ en ankoraŭ alia manieroj.

 Distribuo estas nomita, kiel diskreta distribuo se ĝi estas difinita sur kalkulebla, diskreta aro, kiel subaro de entjeroj.
 Distribuo estas nomita, kiel kontinua distribuo se ĝi estas kontinua distribua funkcio.

 Problemo de Monty Hall 
eta|En tiu konkurso la serĉo de aŭto malantaŭ pordo, la ludanto elektas dekomence la pordon 1. La prezentisto malfermas tiam la pordon 3, kiu montras kapron kaj proponas la eblon elekti la pordon 2 anstataŭ la 1.
La problemo de Monty Hall estas matematika problemo de probablo bazita sur la usona televida konkurenco Let's Make a Deal (Ni faru interkonsenton). La problemo estis nomita laŭ la nomo de la prezentisto de tiu konkurenco: nome Monty Hall. La konkurencanto en la televida konkurenco devas elekti pordon el inter tri (ĉiuj fermitaj); la premio konsistas en akiri tion kio troviĝas malantaŭ tiu elektita. Oni scias certece ke malantaŭ unu el ili troviĝas aŭto, kaj malantaŭ la aliaj du estas po unu kapro.

 Vidu ankaŭ 

 Teoremo de Bayes
 Bernoulli-a procezo
 Teoremo de Cox
 Decida teorio
 Nebula mezura teorio
 Frekvenca probablo
 Hazardludo
 Ludoteorio
 Informa teorio
 Leĝo de averaĝoj
 Leĝo de grandaj nombroj
 Mezuri teorio
 Atendita valoro
 Atendita nombro
 Normala distribuo
 Probabla distribuo
 Probablokalkulo
 Hazardaj kampoj
 Hazarda variablo
 Risko
 Statistiko
 Stokastiko
 Wiener-a procezo
 Bertranda paradokso (probabloteorio)
 Apliko de probablo

 Notoj