Permutaĵo

En la matematiko permutaĵo estas ĉiu el la eblaj diversaj manieroj vicigi la elementojn de certa aro. Ekzemple, la diversaj permutaĵoj de la elementoj a, b, c estas: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

La kvanto de eblaj permutaĵoj de n elementoj estas ĉiam n! (do n faktoriale).

 Formala difino 
Permutaĵo estas inversigebla funkcio de finia aro X al X. Oni povas facile pruvi, ke tiu ĉi difino estas ekvivalenta al la ĉi-supra neformala difino.

 Notacio 
Ekzistas du ĉefaj notacioj por permutacioj. En la matrica notacio, oni listigas la elementojn en la "natura" ordo en unu linio, kaj sube la elementojn en permutita ordo:



Ĉi tio signifas, ke en la unuan lokon, oni metu "2", en la duan lokon "5", en la trian lokon "4", en la kvaran lokon "3" kaj en la kvinan lokon "1".

La alia notacio konsideras kiel la elementoj ŝanĝas, kiam oni plurfoje aplikas la permutaĵon. En la supra permutaĵo, elemento en la unua pozicio estas movita al la dua pozicio. Denove aplikante la permutaĵon, ĝi tiam estos movita al la kvina pozicio, kaj de la kvina denove al la unua pozicio. Tiun ciklon oni skribas per (1 2 5), aŭ alternative (2 5 1) aŭ (5 1 2), sed ne kiel (1 5 2). La aliaj du elementoj formas ciklon (3 4).

Nun ni povas skribi la permutaĵon kiel aron de cikloj. La supra permutaĵo do povas esti skribata kiel (1 2 5) (3 4). Lo ordo de la cikloj ne gravas (oni ankaŭ povus skribi (3 4) (1 2 5)).

Ofte okazas, ke unu elemento tute ne moviĝas en la permutaĵo. Tion oni konsideras unu-elementan ciklon. Konsideru ekzemple la suban permutaĵon:



Laŭ cikla notacio ĝi iĝas (1) (2 5) (3 4). Ĉar la unu-elementaj cikloj ne havas iun ajn efekton, oni foje simple skribas (2 5) (3 4). Tio tamen povas kaŭzi miskomprenon, kiam la plej alta nombro ne estas movata, ĉar tiam permutaĵo de kvin elementoj povus aspekti kiel permutaĵo de kvar elementoj.

 Signo de permutaĵo 
signo de permutaĵo laŭ definico estas signo de matrico de ĉi tiu permutaĵo. Aliflanke: ĉiu permutaĵo povas verki per transpoziciado de elementoj. Transpoziciado ne estas unusignifa kaj kvanto de transpozicioj povas esti diversa.
Tamen por konkreta permutaĵo kvanto de transpozicioj estas aŭ para aŭ nepara.

 Vidu ankaŭ 
 Permuta matrico
 Kombinatoriko
 Faktorialo
 Bijekcio
 Aranĝaĵo

Kategorio:Matematiko