Faktorialo

0  1 1  1 2  2 3  6 4  24 5  120 6  720 7  5040 8  40320 9  362880 10  3 628 800 11  39 916 800 12  479 001 600 13  6 227 020 800 14  87 178 291 200 15  1 307 674 368 000 20  2 432 902 008 176 640 000 25  15 511 210 043 330 985 984 000 000 50  3,04140932... × 1064 70  1,19785717... × 10100 450  1,73336873... × 101000 3249  6,41233768... × 1010000 25206  1,205703438... × 10100000 47176  8,4485731495... × 10200001 100000  2,8242294079... × 10456573

En la matematiko, faktorialo de natura nombro n estas la produto de la pozitivaj entjeroj malpli aŭ egalaj al n. Oni signas ĝin per n!, kion oni prononcas no faktoriale laŭ Christian Kramp.

 Difino 

Oni aldone difinas , ĉar ĝenerale la produto de neniuj faktoroj estas konsiderata 1.

 Kombinatoriko 
En kombinatoriko, faktorialo n! estas kvanto de permutaĵoj de n eroj. Ekzemple:

 Por 1 ero {A} estas 1!=1 permuto:
 A
 Por 2 eroj {A,B} estas 2!=2 permutaĵoj:
 AB   BA
 Por 3 eroj {A,B,C} estas 3!=6 permutaĵoj:
 ABC   ACB   BAC   BCA   CAB   CBA
 Por 4 eroj {A,B,C,D} estas 4!=24 permutaĵoj:
 ABCD   BACD   CABD   DABC
 ABDC   BADC   CADB   DACB
 ACBD   BCAD   CBAD   DBAC
 ACDB   BCDA   CBDA   DBCA
 ADBC   BDAC   CDAB   DCAB
 ADCB   BDCA   CDBA   DCBA

 Γ-funkcio 
Γ-funkcio estas funkcio, difinita por ĉiuj reelaj aŭ kompleksaj argumentoj krom nepozitivaj entjeroj (0, -1, -2, -3, ...). Ĝi estas vastigaĵo de faktorialo. Se n estas nenegativa entjero (0, 1, 2, 3, ...), do

 Γ(n+1) = n!

Aŭ ekvivalente se n estas pozitiva entjero (1, 2, 3, 4, ...), do

 Γ(n) = (n-1)!

 Proksimuma kalkulado de Stirling 
Proksimuma kalkulado de Stirling estas proksimuma formulo por faktoriala:



kie la nombro e estas la bazo de la eksponenta funkcio kaj O estas granda O.

Pli simpla, malpli preciza sed iam uzebla estas formulo kun nur la unua membro de la proksimuma kalkulado de Stirling



Tiam estas limigoj por la faktorialo.



Tia proksimumo permesas ankaŭ trovi proksimumon pri la logaritmo de n! :

 Duopa faktorialo 
Duopa faktorialo estas:

Tiel:

 n!!=n(n-2)(n-4)·...·6·4·2 se n estas para pozitiva;
 n!!=n(n-2)(n-4)·...·5·3·1 se n estas nepara pozitiva;

Notu, ke duopa faktorialo ne estas faktorialo de faktorialo, ĝenerale n!!≠(n!)!.

La difino povas esti etendita reen al la negativaj argumentoj ĉar

Tiel:

 n!!=1/( (n+2)(n+4)·...·(-3)·(-1)·1 ) se n estas nepara negativa.

Per ĉi tia maniero duopa faktorialo ne estas difinita por para negativa argumento, tamen vidu sube pri ebleco difini per Γ funkcio.

Ekzemple, 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384, 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945.

Valoroj de n!! por n=0, 1, 2, ... estas:

 1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...

Valoroj de n!! por n=-1, -3, -5, ... estas:



Iuj formuloj kun duopa faktorialo:

kie Γ estas Γ funkcio. La lasta formulo povas esti konsiderata kiel difino de duopa faktorialo por ĉiuj kompleksaj n≠0.

 Plurfaktorialo 
Plurfaktorialo estas plua ĝeneraligo post la duopa faktorialo. Plurfaktorialo de la k-a ordo de n, aŭ alivorte la k-a plurfaktorialo de n, estas

Duopa faktorialo estas plurfaktorialo de la 2-a ordo.

 Primofaktorialo 
Primofaktorialo n# estas produto de ĉiuj primoj ne pli grandaj ol n. Ekzemple:



Se pn estas la n-a primo, do pn# estas produto de n la unuaj primoj:

La unuaj valoroj de pn# por n=1, 2, 3, ... estas:

 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410.

 Vidu ankaŭ 
 Kombinatoriko
 Γ-funkcio

 Eksteraj ligiloj 

 Retejo pri faktorialo (cs, en, fr)
  - valoroj de faktorialo n! por n = 0, 1, 2, ...
  - valoroj de duopa faktorialo n!! por n = 0, 1, 2, ...
  - valoroj de pn#
  - numeratoroj de proksimuma kalkulado de Stirling
  - denominatoroj de proksimuma kalkulado de Stirling

Kategorio:Specialaj funkcioj
Kategorio:Entjeraj vicoj