Skalaro (matematiko)

Skalaro estas koncepto uzata en matematiko kaj fiziko. Plej tipe, skalaro estas unuopa nombro, kontraste al  vektoroj kaj matricoj, kiuj estas bazitaj sur aroj de nombroj.

En matematiko, skalaro estas membro de la baza kampo de iu vektora spaco. En fiziko, ĝi estas kvanto esprimebla per unu nombro, kiu devas esti sendependa de ajna koordinatsistemo.

Multaj fizikaj valoroj povas esti skalaro aŭ vektoro depende de simpleco de priskribita situacio. Ekzemple, rapido estas skalaro se la aĵo moviĝas nur laŭlonge de unu linio kaj vektoro se ĝi moviĝas en ĉiuj direktoj.

En lineara algebro, skalaro estas ero de kampo — kutime la reelaj aŭ kompleksaj nombroj — kiuj povas esti multiplikitaj per vektoro de vektora spaco, tra la operacio de skalara multipliko, cedante alian vektoron.

Ankaŭ, skalara produto estas operacio (ne konfuzinda kun skalara multipliko) kiu povas esti difinita sur vektora spaco, permesanta du vektoroj esti multiplikitaj por produkti skalaro. Vektora spaco ekipita kun skalara produto estas nomita skalara produta spaco.

La reela komponanto de kvaterniono estas ankaŭ nomita ĝia skalara parto.

La termino estas ankaŭ iam uzita neformale por signifi vektoron, matricon, tensoron, aŭ alian kutime "kombinaĵo" valora kiu estas reale reduktita al sola komponanto. Tial, ekzemple, la produto de 1×n matrico kaj n×1 matrico, kiu estas formale 1×1 matrico, estas ofte dirita al esti skalaro.

La termino skalara matrico estas kutime signifanta matricon de la formo kI kie k estas skalaro kaj I estas la identa matrico.

 Etimologio 

La vorto skalaro deriviĝas de la vorto "skalo" por limigo de nombroj, kiu siavice estas derivita de scala (latina nomo por "ŝtupetaro"). Laŭ citaĵo en la Oksforda Angla Vortaro la unua skriba uzo de la termino estis tiu de W. R. Hamilton en 1846, por nomi la reelan parton de kvaterniono:

La algebre reela parto povas ricevi, laŭ la demando, en kiu ĝi okazas, ĉiujn valorojn enhavatajn sur la skalo de nombroj de negativa al pozitiva malfinio; tial ni nomos ĝin la "skalara parto".

 Difinoj kaj propraĵoj 

 Skalaroj de vektoraj spacoj 

Vektora spaco estas difinita kiel aro de vektoroj, aro de skalaroj, kaj skalara multiplika operacio, kiu prenas skalaron k kaj vektoron v al alia vektoro kv.  Ekzemple, en koordinata spaco, la skalara multipliko  rendimento . En (lineara) funkcia spaco, kf estas la funkcio x  k(f(x)).

La skalaroj povas esti prenitaj de iu ajn kampo, inkluzivante la racionalajn nombrojn, algebrajn nombrojn, reelajn nombrojn, kompleksajn nombrojn, kaj ankaŭ finiajn kampojn.

 Skalaroj kiel vektoraj komponantoj 

Laŭ fundamenta teoremo de lineara algebro, ĉiu vektora spaco havas bazon.  Sekvas, ke ĉiu vektora spaco super skalara kampo K estas izomorfia al koordinata vektora spaco kie la koordinatoj estas eroj de K. Ekzemple, ĉiu reela vektora spaco de dimensio n estas izomorfia al n-dimensia reela spaco Rn.

 Skalara produto 

Skalara produta spaco estas vektora spaco V kun aldona operacio de skalara produto (aŭ ena produto), kiu prenas du vektorojn kaj redonas nombron. La rezulto estas kutime difinita al esti membro de V-a skalara kampo. Ĉar la ena produto de vektoro al si devas esti nenegativa, skalara produta spaco povas esti difinita nur super kampoj, kiuj subtenas la nocion de signo. Ĉi tiu ekskludas finiajn kampojn, ekzemple.

 Skalaroj en normigitaj vektoraj spacoj 

Alternative, vektora spaco V povas esti ekipita kun norma funkcio, kiu asignas al ĉiu vektoro v en V skalaro ǁvǁ. Per difino, multiplikante v per skalaro k ankaŭ (obligas, multiplikas) ĝian normon per |k|. Se ǁvǁ estas interpretita kiel la longo de v, tiu operacio povas esti priskribita  skali la longon de v per k.

La normo estas kutime difinita esti ero de V's skalara kampo K, kiu limigas la lastan al kampoj, kiuj subtenas la nocion de signo. Ankaŭ, se V havas dimension 2 aŭ pli, K devas fermiĝi sub kvadrata radiko, kaj ankaŭ la kvar aritmetikaj operacioj; tial la racionalaj nombroj Q estas ekskluditaj. Por ĉi tiu kaŭzo, ne ĉiu skalara produta spaco estas normigita vektora spaco.

 Skalaroj en moduloj 

Se oni ĝeneraligas la postulon, ke la aro de skalaroj formu kampon, tiel ke ili formu nur ringon (tiel ke, ekzemple, la divido de skalaroj ne nepre estas difinita), la rezulta pli ĝenerala algebra strukturo nomiĝas modulo.

En tiu kazo la "skalaroj" povas esti komplikaj objektoj. Ekzemple, se R estas ringo, la vektoran spacon Rn  eblas garni per strukturo de modulo super la ringo de n×n-matricoj kun elementoj el R kiel skalaroj. Alia ekzemplo venas de la teorio de sternaĵoj, kie la tangenta pakaĵo formas modulon super la algebro de reelaj funkcioj sur la sternaĵo.

 Skalanta transformo 

La skalara multipliko de vektoraj spacoj kaj moduloj estas speciala okazo de skalanta speco de lineara transformo.

 Vidu ankaŭ 
 Skalara kampo
 Skalara multipliko
 Skalara produto

Kategorio:Abstrakta algebro
Kategorio:Lineara algebro
Kategorio:Fiziko