Koniko

dekstra|450x300px|eta|Specoj de konikoj
eta|dekstra|280px|Tabelo de konikoj el Cyclopaedia, 1728
En matematiko, koniko estas unu-dimensia lokaro de punktoj produktata de la intersekco de ebeno kaj konuso. La konikoj estis nomitaj kaj studitaj ĉirkaŭ 200 a.K., kiam Apolonio de Pergo faris sisteman studon de iliaj trajtoj.

Ne degenera koniko estas unu el cirklo, elipso, parabolo, hiperbolo.

Koniko havas kontinue kreskantan aŭ malkreskantan kurbecon (glata linio); pli detale, ĝi havas neniun trafleksan punkton.

 Degeneraj okazoj 
Estas multaj degeneraj okazoj, en kiu la ebeno pasas tra la apekso de la konuso. La komunaĵo en ĉi tiuj okazoj povas esti:

 Rekto se la ebeno estas tanĝanta al surfaco de la konuso;
 Punkto se la angulo inter la ebeno kaj la akso de la konuso estas pli granda ol tanĝanta;
 Du intersekcantaj rektoj se la angulo inter la ebeno kaj la akso de la konuso estas malpli granda ol tanĝanta.

Se la konuso estas degenera cilindro (la vertico estas je malfinio), la cilindraj sekcoj estas ricevataj. Ĉi tio povas esti:
 Rekto se la ebeno estas tanĝanta al surfaco de la cilindro;
 Du paralelaj rektoj se la ebeno estas paralela al akso de la cilindro sed ne tanĝanta al ĝia surfaco;
 Elipso se la ebeno estas ne paralela al akso de la cilindro;

 Discentreco 

dekstra|eta|280px|Elipso (e=1/2), parabolo (e=1), hiperbolo (e=2) kun samaj fiksitaj fokuso F kaj direktanto.
Ĉiu koniko povas esti difinita per fiksa punkto F (la fokuso), linio L (la direktanto) ne enhavanta punkton F kaj nenegativa reela nombro e (la discentreco). La respektiva koniko konsistas el ĉiuj punktoj kies distanco al F egalas al distanco al L multiplikita je e.

 Por e = 0 estas cirklo
 Por 0 < e < 1 estas elipso;
 Por e = 1 estas parabolo
 Por e > 1 estas hiperbolo.

Por elipso kaj hiperbolo, du fokuso-direktantaj kombinaĵoj povas esti prenita, ĉiu donante la saman plenan figuron.

La distanco de la centro al la direktanto estas a/e, kie a estas la granda duonakso de la elipso, aŭ la distanco de la centro al la suproj de la hiperbolo. La distanco de la centro al fokuso estas ae.

Ĉe cirklo kun la discentreco e=0, oni povas imagi ke la direktanto estas malfinie malproksima de la centro. Tamen, la frazo ke la cirklo konsistas el ĉiuj punktoj kies distanco estas e fojoj la distanco al L estas neutila, ĉar oni prenas nulon da fojoj malfinion.

La discentreco de koniko estas tial mezuro de tio kiel malsimila ĝi estas de cirklo.

Por donita a, ju pli proksima e estas al 1, des la pli malgranda estas la malgranda duonakso.

 Karteziaj koordinatoj 

En la karteziaj koordinatoj, la grafikaĵo de kvadrata ekvacio de du variabloj estas ĉiam koniko, kaj ĉiuj koniko povas esti prezentita tiel. La ekvacio estas de formo
 Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 kie minimume unu el A, B, C ne estas nulo.

Tiam:

 Se B2 - 4AC < 0 rezultiĝas elipso aŭ malplena aro (ekzemple por x2 + y2 + 1 = 0).
 Se ankaŭ A = C kaj B = 0 rezultiĝas cirklo.
 Se B2 - 4AC = 0 rezultiĝas parabolo (matematiko).
 Se B2 - 4AC > 0 rezultiĝas hiperbolo.
 Se ankaŭ A + C = 0 rezultiĝas ortangula hiperbolo.

Per ŝanĝi de koordinatoj (movo aŭ turno) ĉi tiuj ekvacioj povas esti konvertitaj en la normajn formojn:

 Cirklo x2+y2 = r2
 Elipso 
 Parabolo y2=4ax
 Hiperbolo 
 Ortangula hiperbolo xy = c2

La figuroj povas esti skribita kiel parametraj ekvacioj:

 Cirklo (a cos θ, a sin θ)
 Elipso (a cos θ, b sin θ)
 Parabolo (a t2, 2at)
 Hiperbolo (a sec θ, b tan θ) aŭ (±a cosh u, b sinh u)
 Ortangula hiperbolo (ct, c/t)

 Parametroj 

Diversaj parametroj povas esti asociita kun koniko (estas prenite ke a>b).

 Nomo Ekvacio Discentreco e Lineara discentreco c Duono de flanka streko l Parametro p Cirklo x2+y2 = r2 0 0 r  Elipso      Parabolo y2=4ax 1 a 2a 2a Hiperbolo     

dekstra|eta|400px|Parametroj de elipso, c2 = a2 - b2 

La lineara discentreco c estas distanco inter la centro kaj la fokuso.

La flanka streko 2l estas la ĥordo paralela al la direktanto kaj pasanta tra la fokuso.

La fokusa parametro p estas la distanco de la fokuso al la direktanto, p = l/e.

 Polusaj koordinatoj 

En polusaj koordinatoj, koniko kun unu fokuso je la fonto kaj la alia fokuso sur la x-akso, estas donita per la ekvacio



kie e estas la discentreco kaj l= e.p.

 Vidu ankaŭ 

 Direktanto
 Discentreco
 Fokuso (geometrio)
 Samfokusa
 Geometrio
 Kvadriko - ĝeneraligo de koniko al ajna dimensio
 Matrica prezento de konikoj
 Kvadrata funkcio
 Kurbo
 Linio
 Parametra ekvacio

 Eksteraj ligiloj 
 https://web.archive.org/web/20070715064142/http://mathdl.maa.org/convergence/1/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=196&bodyId=60
 http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/ConicSections_dir/conicSections.html


 http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/ConicFitMod.html
 http://britton.disted.camosun.bc.ca/jbconics.htm
 http://www.mathacademy.com/pr/prime/articles/conics/index.asp 
 http://www.cut-the-knot.org/proofs/conics.shtml