Magia kvadrato

Magia kvadrato estas kvadrata tabelo , plenigita per diversaj nombroj tiel, ke la sumo de nombroj en ĉiu horizontalo, vertikalo kaj diagonalo estas sama. Magiaj kvadratoj ekzistas por ĉiuj ordoj  krom . La kazo  estas triviala, ĉar tiuokaze la kvadrato konsistas nur el unu nombro.

 Difinoj 
La magia konstanto estas sumo de nombroj en iu horizontalo, vertikalo aŭ diagonalo de magia kvadrato. La magia konstanto de norma magia kvadrato de la ordo  dependas nur de  kaj ĝin oni povas kalkuli per la sekva formulo:



La komenco de la sinsekvo de la magiaj konstantoj de normaj magiaj kvadratoj M (n) () estas jena:

15, 34, 65, 111, 175, 260, 369, 505, 671, 870, 1105, … ().

 Klasifiko de magiaj kvadratoj 
Se en kvadrato egalas nur la sumoj de horizontaloj kaj vertikaloj do oni nomas ĝin duonmagia.

Magia kvadrato de ordo  estas norma se ĝi enhavas ĉiun pozitivan entjeron inter 1 kaj . Foje oni lasas la vorton “norma” kaj nomas norman magian kvadraton simple “magia kvadrato”.

Magia kvadrato estas asocieca aŭ simetria se sumo de ĉiuj du nombroj, simetriaj rilate de la centro, estas sama kaj egalas . Simetriaj kvadratoj ne ekzistas por nepare paraj ordoj ().

92 17 4 95 8 91 12 87 16 8399  76  31  22  77  26  73  30  69  21  20 64 41 36 63 40 59  81 1003  19 67  58  47  51  46 34  82 9896  80 33  52  45  57  48 68  21 57  78 35  49  56  44  53 66  23 9490  27 62  43  54  50  55 39  74 1113  72 42 60 65 38 61 37  29 8886  32  70  79  24  75  28  71  25 1518 84 97 6 93 10 89 14 85 9
Se post forigo de la randoj de magia kvadrato restas magia kvadrato, do komenca kvadrato nomiĝas borderita. Se post forigo de la randoj restas borderita magia kvadrato, do komenca kvadrato nomiĝas samcentra borderita. Borderitaj kvadratoj ne ekzistas por ordo 4. Vidu la ekzemplon de samcentra borderita kvadrato de ordo 10 dekstre.

Magia kvadrato estas kunmetita aŭ kompunda se ĝi konsistas el pluraj magiaj kvadratoj, tute aŭ parte, kaj la subkvadratoj povas havi aŭ ne havi komunan parton. Laŭ tiu ĉi difino borderita magia kvadrato estas kunmetita. Sed foje oni postulas, ke subkvadratoj ne havu komunajn partojn kaj kune donu la tutan kunmetitan kvadraton, tiuokaze magian kvadraton kun malpligranda kvadrato ene de si oni nomas inkrustita, kaj la enan subkvadraton inkrustaĵo.

 2  3 5  8 5  8  2 34  1  7  6 7 6  4  1

La kvadrato estas tut-diagonala aŭ diabla magia kvadrato, se sumo de nombroj ankaŭ en rompitaj diagonaloj egalas al la magia konstanto. Do ne nur post rotacio aŭ reflekto, sed ankaŭ post translacio (supren/malsupren aŭ dekstre/maldekstre) la kvadrato restas magia. Rompita diagonalo iras trans rando de kvadrato kaj aperas el la kontraŭa rando, kvazaŭ la kvadrato estas volvita en toro. Aliaj nomoj de tiaj kvadratoj: perfektaj aŭ ĝajnaj kvadratoj. Vidu la ekzemplon de tut-diagonala kvadrato de ordo 4 maldekstre. Unu el rompitaj diagonaloj estas montrita sur ĝi per pli malhela koloro.

Ultramagia kvadrato samtempe estas asocieca kaj tut-diagonala. Tiaj kvadratoj ekzistas nur por ordoj .

71211421381116310596154
 Magia kvadrato estas plej perfekta magia kvadrato se tri kondiĉoj estas plenumitaj:
 La ordo de la kvadrato estas oblo de 4, do .
 En la kvadrato ĉiu subkvadrato de ordo  havas saman sumon de ĉiuj siaj nombroj, kiu egalas , kie  estas la magia konstanto. Se la magia kvadrato estas norma, do . Subkvadratoj oni konsideru ne nur tiujn, kiuj troviĝas ene de la magia kvadrato, sed ankaŭ tiujn, kiuj aperas trans la randoj de ĝi, inkluzive la kazon de la kvar angulaj ĉeloj de la magia kvadrato, kvazaŭ tiu lasta estas volvita en toro.
 Sumo de ĉiu paro da nombroj, kiuj situas en sama diagonalo (inkluzive rompitaj) distance je  estas sama kaj egalas . Se la magia kvadrato estas norma, do . En la kvadrato dekstre ĉiu tia paro estas montrita per sia koloro.

Eblas aliaj klasifikoj de magiaj kvadratoj.

 Transformoj, konservantaj magiecon 
 Por ĉiu magia kvadrato 
 Ĉiu magia kvadrato restas magia, se oni multiplikas ĉiujn ĝiajn nombrojn per iu konstanto.
 Ĉiu magia kvadrato restas magia, se oni adicias al ĉiuj ĝiaj nombroj aŭ subtrahas de ili iun konstanton, aŭ de iu konstanto subtrahadas ĉiujn ĝiajn nombrojn. Ĉe la okazo, ke oni subtrahadas de  ĉiujn nombrojn de norma kvadrato, oni ricevas komplementon de la komenca kvadrato, ankaŭ norman. En la sekva ekzemplo, se la nombrojn de la maldekstra kvadrato oni subtrahadas de 17, do oni ricevas la komplementon dekstre. Sed se la saman operacion oni faras por la dekstra kvadrato, do oni ricevas la komplementon maldekstre.

 10  3  13  8 5  16  2  11 4  9  7  14 15  6  12  1

 7  14  4  9 12  1  15  6 13  8  10  3 2  11  5  16

 Ĉiun magian kvadraton oni povas turni aŭ reflekti kaj ricevi 8 triviale malsamajn magiajn kvadratojn. Ordinare oni rigardas ilin ĉiujn ekvivalentaj, kaj la tutan okopon nomas ekvivalentklaso. Ordinare oni rigardas ekvivalentajn kvadratojn samaj. La 8 ekvivalentajn kvadratojn de ordo 3 vidu malsupre:

 8  1  6 3  5  7 4  9  2

 6  1  8 7  5  3 2  9  4

 2  7  6 9  5  1 4  3  8

 4  3  8 9  5  1 2  7  6

 2  9  4 7  5  3 6  1  8

 4  9  2 3  5  7 8  1  6

 6  7  2 1  5  9 8  3  4

 8  3  4 1  5  9 6  7  2

 Ĉiu magia kvadrato restas magia, se oni interŝanĝas du horizontalojn, kiuj situas je sama distanco  de la centro, kaj poste interŝanĝas du vertikalojn, kiuj situas je sama distanco  de la centro. (Same estas se oni komence interŝanĝas vertikalojn kaj poste horizontalojn). Vidu malsupre la ekzemplon, kie la dekstra magia kvadrato de ordo 4 povas esti ricevita el la maldekstra per interŝanĝo de la 1-an kaj 4-an horizontalojn kaj posta (aŭ antaŭa) interŝanĝo la 1-an kaj 4-an vertikalojn.

1 15 14 412  6  7 98  10  11 513 3 2 16

 16  3  2  13 9  6  7  12 5  10  11  8 4  15  14  1

 Historio 
eta|maldekstra|150px|La kvadrato Lo Ŝu
eta|150px|La kvadrato Lo Ŝu en moderna formo

 Ĉinio kaj Japanio 
La unua nun konata norma magia kvadrato estas tiel nomata kvadrato Lo Ŝu (ĉine tradicie 洛書; simpligite 洛书; pinjine luò shū). Ĝi estas norma magia kvadrato de ordo 3. Ĉina legendo pri prahistoria Ju la Grana (大禹), la fondinto de la dinastio Xia, rakontas pri mistere aperinta testudo, sur kies karapaco nombroj ekde 1 ĝis 9 estis desegnitaj per rondaj punktoj. Lo Ŝu estis malklare menciita en ĉ. 650 a.K., en ĉ. 500 a.K. kaj en ĉ. 300 a.K., en 80 estis menciita klare kaj en 570 donita la kvadrato mem. Se Ju la Granda efektive vivis en 22-a—21-a jarcentoj a.K kaj en lia tempo oni efektive konis la kvadraton Lo Ŝu, do plej verŝajne tiu estas la plej malnova norma magia kvadrato, konata de homoj.

150px|eta|dekstra|La paĝo, montranta magian kvadraton el verko de Cheng Dawei (程大位)
La aŭtoro de la plej malnova el ĝis nun konservintaj traktaĵoj pri magiaj kvadratoj en 1275 estis Yang Hui, sed lia verko estis kompilita el plu fruaj. Li donos unu norman magian kvadraton de ordo 3, po du kvadratojn por ĉiu ordo ekde 4 ĝis 8, unu kvadraton por ordo 8 kaj unu duonmagian kvadraton de ordo 10.

 4  9  2 3  5  7 8  1  6

 2  16  13  3 11  5  8  10 7  9  12  6 14  4  1  15

 1  23  16  4  21 15 14 7 18  11 24 17 13 9  2 20 8 19 12  6 5  3  10  22  25

 13  22  18  27  11  20 31  4  36  9  29  2 12  21  14  23  16  25 30  3  5  32  34  7 17  26  10  19  15  24 8  35  28  1  6  33

46 8 16 20 29 7 493  40  35  36  18  41 244  12 33 23 19  38 628  26 11 25 39  24 225  37 31 27 17  13 4548  9  15  14  32  10 471 43 34 30 21 42 4

 61  3  2  64 57 7 6 60 12  54  55  9 16 50 51 13 20  46 47 17 24 42 43 21 37  27 26  40 33 31 30 3629 35 34 32  25 39  38  2844 22 23 41 48 18  19  4552 14 15 49  56  10  11  535 59 58 8  1  63  62  4

31 76 13  36  81  18 29 74 1122 40 58  27  45  63 20 38 5667 4 49  72  9  54 65 2 47 30  75  12 32 77 14  34  79  16 21  39  57 23 41 59  25  43  61 66  3  48 68 5 50  70  7  5235 80 17  28  73  10 33 78 1526 44 62  19  37  55 24 42 6071 8 53  64  1  46 69 6 51

Supre estas la normaj magiaj kvadratoj el la traktaĵo de Yang Hui, en kiuj oni povas trovi principon de Lo Ŝu. La kvadratoj de ordoj 5 kaj 7 estas borderitaj. En kvadratoj de ordo 8 kelkaj internaj subkvadratoj ankaŭ estas magiaj. La kvadrato de ordo 9 konsistas el 9 subkvadratoj de ordo 3, ankaŭ magiaj. Sed Yang Hui ne donis ĝeneralan metodon por konstruado de magiaj kvadratoj. Post Yang Hui magiaj kvadratoj nemalofte aperis en ĉina matematiko, sed la ĝenerala metodo ne aperis.

En Japanio oni ekinteresiĝis pri magiaj kvadratoj en 17-a jarcento post disvastiĝo de verkoj de Yang Hui kaj Cheng Dawei, kaj en Japanio oni esploris magiajn kvadratojn multe pli rapide ol en Ĉinio. Seki Takakazu () en 1683 jam donis algoritmojn por konstrui multajn magiajn kvadratojn de ordoj neparaj, unuope paraj () kaj duoble paraj ().

 Barato 
120px|eta|dekstra|La skemo de Kubera-kolam
En Barato oni uzis magian kvadraton por ritaj celoj ekde antikvaj tempoj kaj uzas nun. Kiel ekzemplo oni povas rigardi Kubera-kolam-on, la magian kvadraton de ordo . Fakte, estas la reflektita laŭ horizontala akso kvadrato Lo Ŝu, al kies nombroj oni aldonis po 19, do la magia konstanto estas 72. Tiun kvadraton oni kutime desegnas sur plankoj, en ĝiaj ĉeloj metas monerojn kaj florojn.

La plej malnova pseŭdo-magia kvadrato de ordo 4 oni trovis en verko de Varahamihira (), skribita en ĉ. 587. En la verko la kvadrato ne havis iun magian kvaliton, ĝi estis nur helpilo por miksi el 16 ingrediencoj po 4 kaj ricevi diversajn parfumojn ĉiam samkvante. Jen tiu kvadrato:

 2  3  5  8 5  8  2  3 4  1  7  6 7  6  4  1

La magia konstanto estas 18. La kvadrato estas nek norma, nek magia, en ĝi la nombroj ekde 1 ĝis 8 aperas dufoje. Se la kvadrato estus magia, ĝi estus tut-diagonala aŭ diabla magia kvadrato. Krom tio, la kvadrato de Varahamihira estus plej perfekta magia kvadrato.

El la kvadrato de Varahamihira oni povas ricevi 4 diversajn normajn magiaj kvadratojn. Por tio oni aldonu po 8 al unu nombro el ĉiu paro de samvaloraj nombroj tiel, ke en ĉiu horizontalo, vertikalo kaj ambaŭ ĉefaj diagonaloj estu po 2 kaj nur po 2 aldonoj. Jen estas tiuj kvar kvadratoj:

 10  3  13  8 5  16  2  11 4  9  7  14 15  6  12  1

 2  11  5  16 13  8  10  3 12  1  15  6 7  14  4  9

 10  3  5  16 13  8  2  11 4  9  15  6 7  14  12  1

 2  11  13  8 5  16  10  3 12  1  7  14 15  6  4  9

Konstruadon de magiaj kvadratoj de ordo 4 priskribis la barata metalurgisto kaj alkemiisto Nagarjuna(angle) en 10-a jarcento. Unu el donitaj de Nagarjuna magiaj kvadratoj estas nomita je lia honoro. Rimarkinde estas, ke la kvadrato de Nagarjuna ne povas esti konstruita per la metodo, donita de Nagarjuna. Jen tiu kvadrato:
 30  16  18  36 10  44  22  24 32  14  20  34 28  26  40  6
Estas tut-diagonala kvadrato. Ĝia magia konstanto estas 100. La kvadrato konsistas el po 8 membroj el du aritmetikaj vicoj, kies komencaj membroj estas 6 kaj 16 kaj komuna diferenco de najbaraj membroj estas 4.

150px|eta|La magia kvadrato de la templo Parshvanatha, Khaĝuraho, Barato
Sur la muro de la ĝajnista templo Parshvanatha en Khaĝuraho troviĝas la fama magia kvadrato de ordo 4, farita en 11-a aŭ 12-a jarcento. Jen estas ĝi:

 7  12  1 14 2  13  8  11 16  3  10  5 9  6  15  4
Ĝi estas tut-diagonala kvadrato kaj havas la magian konstanton 34. Pro tiu ĉi kvadrato alia nomo de tut-diagonalaj kvadratoj estas “ĝajnaj kvadratoj”.

Laŭ nunaj scioj, en Barato la unuan sisteman esploron de magiaj kvadratoj faris  ĉ. 1315 en sia verko Ganitasara Kaumudi. La verko enhavas malgrandan parton pri magiaj kvadratoj. Tie li donis kvadraton de ordo 4 kaj rearanĝado de ĝi; klasifikis magiajn kvadratojn en tri grupoj (neparaj, pare paraj kaj nepare paraj) laŭ iliaj ordoj; donis kvadrato de ordo 6; priskribis po unu metodo por konstruado paraj kaj neparaj kvadratoj.

Narayana Pandita ( en sia verko de 1356) donis ĉiuflankan esploron de magiaj kvadratoj. Laŭ li, la koncepton de magia kvadrato homoj ricevis de Ŝivo.

 Irano, Arabio, Norda Afriko, Andaluso 
eta|Magia kvadrato de ordo 6 el manuskripto de 16-a jarcento
Kvankam oni nun ne scias pri la frua historio de magiaj kvadratoj en Irano kaj Arabio, tamen supozeblas, ke ili estis sciataj en praislama tempo. Klaras, tamen, ke la esploro de magiaj kvadratoj estis ofta en mezepokaj Islamaj landoj, eble tio komenciĝis post la disvastigado de ŝako en la regiono. La unua apero de magia kvadrato de ordo 3 (kiu iel eblas dati) troviĝas en alkemiaj verkoj de Jabir ibn Hayyan (721—815). Estas sciate, traktaĵoj pri magiaj kvadratoj estis skribitaj en la 9-a jarcento, sed la plej fruaj ĝis konserviĝintaj havas datojn el la 10-a jarcento: unu de Abu al-Wafa' Buzjani (ĉ. 998) kaj la alia de Ali b. Ahmad al-Antaki (ĉ. 987). Tiuj fruaj traktaĵoj estis pure matematikaj, kaj magian kvadraton oni nomis harmonia dismetado de nombroj. El la traktaĵoj oni povas vidi, ke jam antaŭe matematikistoj de la pritraktata regiono scipovis krei borderitajn kvadratojn de ajna ordo, simplajn magiajn kvadratojn de malgrandaj ordoj (), kiujn oni uzis por konstruo de kunmetitaj magiaj kvadratoj.

Ekzemploj de magiaj kvadratoj de ordoj ekde 3 ĝis 9 troviĝas en Enciklopedio de frataro de pureco () (ĉ. 983). La kvadratojn ekde 3 ĝis 7 el la verko vidu malsupre:

 2  7  6 9  5  1 4  3  8

 4  14  15  1 9  7  6  12 5  11  10  8 16  2  3  13

 21  3  4  12  25 15  17  6  19  8 10  24  13  2  16 18  7  20  9  11 1  14  22  23  5

 11  22  32  5  23  18 25  16  7  30  13  20 27  6  35  36  4  3 10  31  1  2  33  34 14  19  8  29  26  15 24  17  28  9  12  21

47 11 8 9 6 45 494  37  20  17  16  35 462  18 26 21 28  32 4843  19 27 25 23  31 738  36 22 29 24  14 1240  15  30  33  34  13 101 39 42 41 44 5 3

En 11-a jarcento oni trovis kelkajn metodojn por konstrui magian kvadraton de neparaj kaj pare paraj () ordoj; pli komplikan problemon pri nepare paraj () ordoj solvis Alhazen en la dua duono de 11-a jarcento aŭ en la komenco de 12-a jarcento. Pli-malpli samtempe oni konstruadis tut-diagonalajn kvadratojn. Traktaĵoj pri magiaj kvadratoj multis en la 11-a kaj 12-a jarcentoj, plej ofte estas simpligo aŭ perfektigo de jam ekzistantaj metodoj. Komence de 13-a jarcento pli kaj pli ofte oni uzis magiajn kvadratojn por okultaj celoj, kaj plej ofte donis magiajn kvadratojn mem, sed ne metodojn por ilin konstrui. Esceptoj malmultaj ekzistis, ekzemple, egiptiano Ahmad al-Buni, kiu donis ĝeneralajn metodojn por konstruo de borderitaj magiaj kvadratoj.

Plej frue menciis ligon inter 7 magiaj kvadratoj kaj 7 planedoj la andalusano Ibn Zarkali (1029-1087). Poste la tradicio ligi 7 certajn magiajn kvadratojn de ordoj ekde 3 ĝis 9 kaj uzi la kvadratojn en astrologiaj kalkuloj iĝis vaste konata, sed aperigis tiu ligo, verŝajne, araboj.

 Eŭropo 
200px|eta|La paĝo el “Oedipus Aegyptiacus” Athanasius Kircher, 1653
Unuafoje en Eŭropo magiaj kvadratoj aperas en Andaluso, ĉe jam menciita Ibn Zarkali. Laŭ verko de tiu lasta en 1280-aj jaroj estis kompilita Libro de Astromagia,Nun en la Vatikana Biblioteko (cod. Reg. Lat. 1283a). atribuata al Alfonso la 10-a. En la teksto de Alfonso diversordajn magiajn kvadratojn oni ligas kun diversaj planedoj; el ĉiuj konsideritaj kvadratoj en la manuskripto estas prezentita nur la kvadrato de ordo 3, ligita kun Marso.

Ĉirkaŭ 1315 en Bizanca Imperio, laŭ arabaj fontoj, sed sen ties mistikemo, Manuel Moschopoulos () verkis matematikan traktaĵon pri magiaj kvadratoj, kie li donis po du metodoj por neparaj kvadratoj kaj por pare paraj. Sed li restis nekonata ekster Bizanca Imperio ĝis la 17-a jarcento.

Magiaj kvadratoj denove aperis en Florenco en 14-a jarcento. Kvadratoj  kaj  troviĝas en manuskripto Trattato d'Abbaco de Paolo Dagomari (1282–1374). Luca Pacioli (ĉ. 1447–1517) en sia verko De Viribus Quantitatis en la fino de 14-a jarcento priskribis magiajn kvadratojn de ordoj ekde  ĝis . Estas interese, ke Paolo Dagomari, same kiel Luca Pacioli post li, rigardis magian kvadraton utilaj por elpensi matematikajn demandojn aŭ ludojn kaj preskaŭ ne menciis pri magia uzado de ili. Paolo Dagomari ja nomis ilin kvadratoj de la Suno kaj de la Luno kaj menciis, ke oni ilin uzas por astrologiaj kalkuloj, sed ne detaligis tion.

eta|maldekstra|La detalo de la gravuro Melankolio fare de Alberto Durero. Meze malsupre du nombroj signifas la jaron de la kreado, aliaj malsupraj nombroj signifas la 4-an kaj 1-an literojn en alfabeto, la inicialojn de la aŭtora nomo
La planedaj kvadradoj disvastiĝis en norda Evropo en la fino de 15-a jarcento. Ekzemple, en la krakova manuskripto de Picatrix estas donitaj magiaj kvadradoj de ordoj ekde 3 ĝis 9. La sama kvadrataro, kvankam forte misformita, poste aperis en Archidoxis magica, atribuita de Paracelso. En 1514 Alberto Durero eternigis kvadraton de ordo 4 en sia fama gravuro Melankolio. Agrippa von Nettesheim, la samtempulo de Paracelso, publikigis sian trivoluman verkon De occulta philosophia en 1531, en ĝi li dediĉis la ĉapitron 22 el la volumo 2 al la planedaj kvadratoj (vidu ilin malsupre). La sama kvadrataro denove aperis en 1539 en Practica Arithmetice de Gerolamo Cardano. La tradicion de planedaj kvadratoj daŭrigis en 17-a jarcento Athanasius Kircher en Oedipi Aegyptici (1653). En Germanio ankaŭ estis skribitaj matematikaj traktaĵoj fare de Michael Stifel, kiu reinventis borderitajn kvadradojn, kaj de Adam Ries, kiu reinventis la metodon de kontinua numerado por konstruado de ordigitaj neparaj kvadratoj, jam inventitan fare de Agrippa. Sed pro religiaj militoj iliaj verkoj estis nekonataj en la cetera Eŭropo.

+ Saturno=15 4  9  2 3  5  7 8  1  6

+ Jupitero=34 4  14  15  1 9  7  6  12 5  11  10  8 16  2  3  13

+ Marso=65 11  24  7  20  3 4  12  25  8  16 17  5  13  21  9 10  18  1  14  22 23  6  19  2  15

+ Suno=111 6  32  3  34  35  1 7  11  27  28  8  30 19  14  16  15  23  24 18  20  22  21  17  13 25  29  10  9  26  12 36  5  33  4  2  31

+ Venuso=175 22  47  16  41  10  35  4 5  23  48  17  42  11  29 30  6  24  49  18  36  12 13  31  7  25  43  19  37 38  14  32  1  26  44  20 21  39  8  33  2  27  45 46  15  40  9  34  3  28

+ Merkuro=260 8  58  59  5  4  62  63  1 49  15  14  52  53  11  10  56 41  23  22  44  45  19  18  48 32  34  35  29  28  38  39  25 40  26  27  37  36  30  31  33 17  47  46  20  21  43  42  24 9  55  54  12  13  51  50  16 64  2  3  61  60  6  7  57

+ Luno=369 37  78  29  70  21  62  13  54  5 6  38  79  30  71  22  63  14  46 47  7  39  80  31  72  23  55  15 16  48  8  40  81  32  64  24  56 57  17  49  9  41  73  33  65  25 26  58  18  50  1  42  74  34  66 67  27  59  10  51  2  43  75  35 36  68  19  60  11  52  3  44  76 77  28  69  20  61  12  53  4  45

En 1624 en Francio Claude-Gaspard Bachet de Méziriac priskribis “diamantan metodon” por konstruado de ordigitaj neparaj kvadratoj de Agrippa en sia libro “Problèmes Plaisants”. Ankaŭ estas sciate, ke Blaise Pascal, Bernard Frénicle de Bessy kaj Pierre de Fermat scipovis konstrui samcentrajn borderitajn kvadratojn, la plej fruan raporton pri ilia metodo donis Antoine Arnauld en sia “Nouveaux éléments de géométrie” (1667). En du traktaĵoj “Des quarrez magiques” kaj “Table générale des quarrez magiques de quatre de côté”, publikigitaj en 1693, je 20 jaroj post lia morto, Bernard Frénicle de Bessy demonstris, ke ekzistas ĝuste 880 diversaj magiaj kvadratoj de ordo 4, kaj priskribis metodojn por serĉi magiajn kvadratojn de ajna para ordo. En 1691 Simon de la Loubère en sia libro “Du Royaume de Siam” priskribis la baratan kontinuan metodon por konstruado de ordigitaj neparaj kvadratoj, kiun li eksciis dum diplomata vojaĝo. La metodo estis pli rapida ol “diamanta metodo”.

eta|150px

 Literaj kvadratoj 
Literaj kvadratoj estas kvadrata tabelo de literoj, el kiu formiĝas vortoj. Fama ekzemplo de tiuj estas la sator-kvadrato. Ankaŭ tiajn kvadratojn el literoj oni ofte nomas magiaj.

 Vidu ankaŭ 

 Sudoko
 Kontraŭmagia kvadrato
 Latina kvadrato
 Magia stelo
 Magia kubo

 Referencoj 

 Eksteraj ligiloj 
 http://www.artype.de/quadrate/index.html

 http://mathworld.wolfram.com/MagicSquare.html 
 http://www.roma.unisa.edu.au/07305/magicsq.htm 

Kategorio:Magiaj kvadratoj