Analitiko

eta|Isaac Newton
eta|Augustin Louis Cauchy
eta|Bernhard Riemann
Analitiko, matematika analizo aŭ simple analizo (el la greka:  análysis, solvado, greke:  analýein, solvi) estas branĉo de matematiko, kiu temas pri reelaj kaj kompleksaj nombroj kaj iliaj funkcioj. Ĝi komenciĝis per la rigorigo de la infinitezima kalkulo kaj studas konceptojn kiel, ekzemple, kontinueco, derivaĵoj kaj integraloj.

 Historio 
En la antikva epoko kaj en la mezepoko grekaj kaj hindaj matematikistoj interesiĝis pri infinitezima kalkulo kaj atingis promesplenajn sed fragmentajn rezultojn. Pro historiaj kialoj iliaj tujaj posteuloj ne povis uzi tiujn rezultojn kaj daŭrigi la malkovradon.

Moderna analitiko estis fondita en la 17-a jarcento per infinitezima kalkulo fare de Isaac Newton kaj Gottfried Wilhelm Leibniz. En la 17-a jarcento la temoj de analitiko, kiel infinitezima kalkulado, diferencialaj ekvacioj, la analitiko de Fourier, kaj tiel plu evoluiĝis ĉefe el praktikaj laboroj. Teknikoj de infinitezima kalkulo etis uzataj sukcese por alproksimiĝi problemojn.

Dum la tuta 18-a jarcento la difino de funkcioj estis debata temo inter matematikistoj. En la 19-a jarcento Cauchy estis la unua, kiu donis logikan fondaĵon al infinitezima kalkulado enkondukinte la koncepton de la koŝia vico. Li komencis ankaŭ la formalan teorion de kompleksa analitiko. Poisson, Liouville, Fourier kaj aliaj studis ekvaciojn kaj harmonian analitikon.

Meze de la 19-a jarcento Riemann enkondukis sian teorion pri integrado, la integralon de Riemann. Dum la tria triono de la 19-a jarcento, analitiko aritmetikiĝas fare de Karl Weierstrass, kiu opiniis ke geometria rezonado estis misgvida. Li enkondukis ankaŭ la difinon de ε-δ de limeso.
Sekve matematikistoj ekzorgis pri la fakto, ke ili supozis senpruve la ekziston de kontinua vico de realaj nombroj.

 Konceptoj de analitiko 
 Aroteorio 

Aroteorio (aŭ arteorio) estas branĉo de matematiko kaj komputiko kreita ĉefe de la germana matematikisto Georg Cantor fine de la 19-a jarcento. Ĝi komence estis disputata, sed nuntempe iĝis grava en la fundamentteorio por difini bazajn konceptojn kiel nombro. Komence oni evoluigis la naivan aŭ intuician arteorion, kiun oni povas difini jene:

La bazaj konceptoj de arteorio estas aroj kaj membreco. Aro estas kolekto de objektoj, nomitaj membroj (aŭ elementoj) de la aro. La membroj povas esti ekzemple nombroj, funkcioj, aŭ aroj mem. Oni skribas la arojn per la ondkrampoj { kaj }. Do {1,2} estas aro, kaj ankaŭ {1,2,3,4,...} (la infinita aro de la naturaj nombroj, nomata N), kaj eĉ {2,3,N}, do la membroj ne devas esti de la sama klaso. Ankaŭ la malplena aro {} estas konsiderata aro.

Al tiaj aroj oni povas apliki diversajn operaciojn, kiel la kunaĵon kaj la komunaĵon. Tamen montriĝis ke, se oni aplikas ĉiujn operaciojn senlime, aperas paradoksoj kiel la Rusela paradokso. Por solvi tiujn problemojn, oni rekonstruis la arteorion uzante aksioman metodon.

 Funkcioj 

Se oni havas du arojn X kaj Y, oni povas establi diversajn konformecojn inter iliaj elementoj, kiujn oni esprimas per f, g, h, … simboloj. La konformeco inter aroj X kaj Y, estas nomata funkcio (aŭ bildigo), se al ĉiu elemento de X konformas unusola elemento el Y. La signo de la funkcio estas : y = f(x), kie x estas nedependa variablo, kaj y - dependa variablo.

nedependa variablo (argumento) - la variablo, por ĉiu el kies valoroj estas donita responda valoro de funkcio.

Dependa variablo - la variablo donita per la valoroj de de funkcio; ekz. en la funkcio sin, x - estas la nedependa variablo (argumento), dum sin x estas dependa variablo.

Aro X nomiĝas kampo de difino aŭ argumentaro, simbole D(f), kaj aro Y - kampo de valoroj aŭ cela aro, simbole E(f). Funkcio povas esti donita, se estas konata ĝia argumentaro kaj regulo de konformeco. Dume, la rimedoj por esprimo de la regulo povas esti diversaj:

 Tabela - per la vicoj de argumentoj kaj ĝiaj konformaj signifoj;
 Grafika - la aro de la punktoj M(x;y) sur la kartezia sistemo, prezentita laŭ formo de la rekto aŭ kurbo;
 Analiza - per formulo, ekz. y = 3 x² + 1.

 Limeso 

En matematiko la limeso aŭ limvaloro estas kvanto difinita laŭ certa regulo, kiu varias depende de tio ĉu temas pri limeso de funkcio aŭ limeso de vico, kaj ĉu temas pri limeso ĉe punkto aŭ limeso ĉe malfinio. La intuitiva ideo de ĉiuj tiuj difinoj de limeso estas ke ĝi estas la punkto al kiu iu kvanto alproksimiĝas. Ekzemple la vico (1/n) (do 1, 1/2, 1/3, ...) alproksimiĝas al 0 kiam n "alproksimiĝas" al malfinio.

La formala difino de limeso de vico estas jena:

Tio signifas en vortoj: Oni povas atingi ĉian proksimecon al la limeso a se oni nur rigardas sufiĉe altajn valorojn de an.
Ankaŭ eblas esprimi tiun difinon tiel: Por tute libere elektita  preskaŭ ĉiuj elementoj de la vico , krom finita aro de elementoj de , ne diferencas pli ol  de a. Tiam a  estas limeso de la vico.
Konverĝa serio estas serio kiu havas limeson de vico de ĝiaj partaj sumoj.

 Serio 

Serio en matematiko estas vico u, konsiderata kune kun ties vico v de partaj sumoj: vn=u0+u1+... +un, t.e.

v1=u0+u1
v2=u0+u1+u2
....
vj=u0+u1+... +uj
......
vn=u0+u1+... +uj+... +un

Pri maksimuma donita entjero n, la serio estas finia serio, kaj serio kun nefinia nombro de termoj estas nefinia serio.

La harmona serio estas tiu serio, kies ĝenerala termo egalas al 1/n; ĝi ne konverĝas.

La geometria serio estas tiu, kiu baziĝas sur geometria progresio; ĝi konverĝas, nur se la absoluta valoro de ĝia kvociento estas strikte malpli granda ol 1.

 Derivaĵo 

Derivaĵo estas unu el la bazaj konceptoj de analitiko kaj infinitezima kalkulo, kune kun la integralo. La derivaĵo de funkcio ĉe iu ajn punkto estas la angula koeficiento de la grafeo de la funkcio ĉe tiu punkto.

En analitiko la derivaĵo de reela funkcio de reela variablo  en la punkto  estas difinita kiel la limeso de la inkrementa rilatumo konverĝanta al 0 de h, se ĝi ekzistas kaj estas finia.

eta|Klarigo, donanta la komencan intuician ideon pri la derivaĵo, kiel la "grado" de funkcioŝanĝo, dum la argumento ŝanĝiĝas.

Pli precize, funkcio difinita en ĉirkaŭaĵo  estas derivebla en la punkto  se ekzistas kaj estas finia la limeso:

La valoro de ĉi tiu limeso nomiĝas derivaĵo de la funkcio en la punkto . Se funkcio  estas derivebla en ĉiu punkto de la intervalo , tiam oni diras, ke la funkcio estas derivebla en .

Ekzistas pluraj malsamaj simbolaj notacioj por derivaĵo de funkcio  en punkto :

 Laŭ la notacio de Lagrange

 Laŭ la notacio de Cauchy

 Laŭ la notacio de Leibniz:

 La historie unua notacio estas ankoraŭ uzata en fiziko:


 Laŭ la notacio de Newton, derivaĵo rilate al la tempo t:

 Integralo 

Integralo estas unu el la ĉefaj konceptoj de kalkulo. Ĝi estas la areo inter la grafeo de funkcio kaj la x-akso.

eta|dekstra|250px|Difinita integralo  estas la areo S sub la kurbo

Difinita integralo estas la mezuro de la areo limigita de la grafo, la x-akso kaj la du limoj de la difinita integralo. Oni do ĉiam devas skribi la limojn de integralo. La kutima skribmaniero por integralo de la funkcio  kun la limoj  kaj  estas

Nedifinita integralo estas integralo kies limoj ne estas specifitaj.

Integralo kun variabla supra limo estas funkcio, kies valoro ĉe la punkto x ĉiam estas la valoro de

kie a estas konstanto nedependa de x.

Integralo kun variabla suba limo estas funkcio, kies valoro ĉe la punkto x ĉiam estas la valoro de

kie a estas konstanto nedependa de x.

Malpropra integralo estas integralo, kiu havas senfinan limo-supron . Tiaj integraloj eblas estimi kiel limeso-integralo:

Integralo estas la inverso de derivaĵo, kiel diras la Fundamenta teoremo de kalkulo. Tio signifas ke se oni kalkulas la derivaĵon de integralo, la rezulto estos la komenca funkcio.

Tiel, se  estas malderivaĵo de , do ankaŭ  estas malderivaĵo de  por ĉiu konstanto  nedependa de . Tiel malderivaĵo estas fakte ne unu funkcio sed aro de funkcioj, diferenciĝantaj per aldono de konstanto. Ekzemple

 Serio de Taylor 

Serio de Taylor estas prezento de funkcio kiel serio (malfinia sumo de termoj kalkulitaj laŭ valoroj de derivaĵoj de la funkcio je sola punkto. Se la punkto kie estas kalkulitaj derivaĵoj estas nulo, la serio estas nomata ankaŭ kiel serio de Maclaurin.

La serio de Taylor de reela aŭ kompleksa funkcio f(x), kiu estas malfinie diferencialebla en najbaraĵo de nombro a, estas la potencoserio

aŭ la samo alie skribita:

kie n! estas la faktorialo de n
 f(n)(a) estas la n-a derivaĵo de f komputita je punkto a; la nula derivaĵo de f estas difinita kiel la f mem.

Ĉi tie estas uzataj (x-a)0=1 kaj 0!=1.

Sub certaj kondiĉoj (vidu sube), serio de Taylor de f(x) egalas al f(x) mem por ĉiuj x sufiĉe proksimaj al a.

 Subfakoj de analitiko 
Analitiko konsistas krom el la diferenciala kaj la integrala kalkuloj el aliaj subfakoj. Inter tiuj estas la teorio pri kutimaj kaj partaj diferencialaj ekvacioj, variada kalkulo, vektora kalkulo, mezura analitiko kaj funkcionala kalkulo.

 Infinitezima kalkulo 

Infinitezima kalkulo aŭ senfinecona kalkulo estas branĉo de matematiko kiu entenas la diferencialan kalkulon kaj la integralan kalkulon, kiuj estas kunigitaj per la fundamenta teoremo de infinitezima kalkulo. La infinitezima kalkulo estas rigorigita en la analitiko.

La infiniteziman kalkulon malkovris en la 17-a jarcento Newton kaj Leibniz, kiuj uzis infinitezimajn kvantojn por determini tangentojn de kurboj aŭ por faciligi kalkulon de longoj kaj areoj de la kurbaj figuroj.

En la diferenciala kalkulo, oni kalkulas la derivaĵojn de funkcioj, dum en la integrala kalkulo oni kalkulas la integralojn de funkcioj. La fundamenta teoremo de infinitezima kalkulo diras ke la nedifinita integralo de funkcio ĉiam estas malderivaĵo de tiu funkcio, do ke la derivaĵo de la nedifinita integralo de funkcio f ĉiam egalas al f.

 Diferenciala kalkulo 

Ĉe lineara funkcio, kiel ekzemple rekto

estas m la inklino kaj c la y-aksa sekcio aŭ ordinata sekkcio de la rekto. Kiam estas nur du punktoj  kaj  sur rekto, tiam eblas kalkuli la inklinon per

Ĉe ne-linearaj funkcioj, kiel ekzemple  ne eblas tiel kalkuli la inklinon, ĉar ili priskribas kurbiĝojn, kiuj do ne estas rektoj.
Tamen eblas meti en unu punkton  tanĝanton, kiu denove estas rekto.
La problemo estas nun kalkuli la inklinon de tia tanĝanto en unu loko .
Se oni elektas lokon  tute proksiman al  kaj metas rekton tra la punktoj  kaj , tiam la inklino de tiu sekanto estas la inklino de la tanĝanto. La inklino de la sekanto estas (vidu supre)

Tiun kvocienton oni nomas diferenciala kvociento aŭ meza modifa indico. Kiam oni alproksimigas la lokon  pli kaj pli al , tiam per la diferenciala kvociento troveblas la inklino de la tanĝanto. Do:

kio estas la diferenciala kvociento de f en .
La esprimo  signifas, ke x alproksimiĝas pli kaj pli al , tio estas, ke la distanco inter x kaj  iĝas pli kaj pli malgranda. Eblas diri ankaŭ, ke: „x alproksimiĝas “. La indiko  signifas la limon.
 estas la limo de la diferenciala kvociento.

Ekzistas ankaŭ kazoj, kie tiu limo ne ekzistas. Tial oni enkondukis la terminon de diferencialeblo. Funkcio f estas diferencialebla en la loko , se ekzistas la limo .

 Integrala kalkulo 

Integrala kalkulo temas pri la kalkulo de areoj sub funkcigrafoj. Tian areon oni povas alproksimiĝi pere de sumoj de partaj areoj kaj atingas ĉe la limvaloro la integralon, por klaso de funkcioj, la tiel nomataj integreblaj funkcioj, kiu inkluas la kontinuajn funkciojn. En tiu klaso, difino de integralo estas

 Harmona analitiko 

La Harmona analitiko aŭ analitiko de Fourier estas metodo, malkovrita de Jean-Baptiste Joseph Fourier, kiu


la terminoj  kaj  nomatas koeficientoj de Fourier kaj kalkulendas tiel:



 Funkcia analitiko 
Funkcia analitiko estas la fako de matematiko, kaj specife de la analitika matematiko, kiu temas pri la studo de spacoj de funkcioj.Yosida, K.: Functional Analysis, Springer-Verlag, 6a eldono, 1980 Tiuj spacoj havas siajn historiajn radikojn en la studo de transformoj kiaj la Dueco de Pontryagin aŭ transformo de Fourier kaj en la studo de la diferencialaj ekvacioj kaj de la integralaj ekvacioj. La vorto funkcia devenas de la variada kalkulo, kiu konsistas en funkcio kies aserto estas funkcio. Ĝian ĝeneralan uzadon oni atribuis al Volterra. 

En la dekomenca moderna kompreno, oni konsideris la funkcian analitikon kiel studo de la kompletaj normigitaj vektoraj spacoj pri la reelaj aŭ la kompleksaj nombroj. Tiaj spacoj nomiĝas spacoj de Banach. Grava ekzemplo estas la spaco de Hilbert, en kiu la normo eliras de skalara produto. Tiuj spacoj estas de fundamenta gravo en la matematika formulado de la kvantuma mekaniko. Pli ĝenerale kaj moderne, la funkcia analitiko inkludas la studon de la spacoj de Fréchet kaj de aliaj vektoraj spacoj laŭloke konveksaj kaj eĉ topologiaj. 

Grava studobjekto en funkcia analitiko estas la kontinuaj linearaj operaciiloj difinitaj en la spacoj de Banach kaj de Hilbert. Tiuj kondukas nature al la difino de C-stela algebro kaj de aliaj algebroj de operaciiloj. 

La spacoj de Hilbert povas esti klasitaj totale: estas unika spaco de Hilbert kiel modulo izomorfia por ĉiu kardinalo de la bazo (hilbert-a). Ĉar la spacojn de Hilbert fini-dimensiaj oni komprenas komplete en lineara algebro, kaj ĉar la morfismoj de la spacoj de Hilbert estas divideblaj ĉiam en morfismoj de spacoj kun dimensieco alef-0 (), la funkcia analitiko de Hilbert temas ĉefe pri la unika spaco de Hilbert de dimensieco alef-0, kaj ties morfismos. 

La ĝeneralaj spacoj de Banach estas multe pli komplikaj ol la spacoj de Hilbert. Ĉar spaco de Banach estas vektora spaco, bazo estas sistemo de generatoroj lineare nedependaj. Tiu koncepto, kiam la dimensio ne estas finia, kutime mankas utileco; anstataŭas ĝin tiu de fundamenta aro.

 Variada kalkulo 

Kalkulo de variadoj estas kampo de matematiko kiu okupiĝas pri trovado de ekstremumaj funkcioj de funkcionaloj. La ekstremumaj funkcioj estas tiuj ĉe kiuj donita funkcionalo atingas maksimuman aŭ minimuman valoron. Ĉi tiuj funkcionaloj kutime estas integraloj engaĝantaj nekonatan funkcion kaj ĝiajn derivaĵojn. Tiel kalkulo de variadoj rilatas al funkcionaloj same kiel ordinara infinitezima kalkulo rilatas al funkcioj.

Unu el la plej simplaj ekzemploj de ĉi tia problemo estas trovado de kurbo kiu estas la plej mallonga konekto de du punktoj. Se ne estas limigoj, la solvaĵo estas evidente rekta streko inter la punktoj. Tamen, se la kurbo estas limigita al kuŝi sur surfaco en spaco, la solvaĵo estas malpli evidenta, kaj eble multaj malsamaj samlongaj solvaĵoj povas ekzisti. Ĉi tiaj solvaĵoj estas la geodeziaj kurboj. Rilatanta problemo estas afektita per principo de Fermat en optiko: lumo sekvas la vojon de plej mallonga optika longo konektanta la du punktojn, kie la optika longo dependas de la materialo tra kiu iras la lumo. Unu respektiva koncepto en mekaniko estas la principo de plej malgranda ago.

Multaj gravaj problemoj engaĝas funkciojn de kelkaj variabloj. Solvaĵoj de randaj valoraj problemoj por la Laplaca ekvacio kontentigas la principon de Dirichlet. Problemo de Plateau postulas trovadon de surfaco de minimuma areo kiu havas donitan randon en spaco; eksperimente la solvaĵoj povas troviĝi per drata konturo kaj sapa solvaĵo. Povas esti pli ol unu loke minimumiganta surfaco, kaj ili povas havi ne simplajn topologiojn.

 Mezurteorio 

Mezurteorio estas kampo de matamatika analizo, en kiu oni provas krei funkcion de subaroj, kiu en iu senco mezuras la grandon de tiuj subaroj. Ekzemple, en  oni volas funkcion , kiu mezuras  kiel 0, la intervalo  kiel 1, kaj la tuta aro  kiel , pli precize oni volas ĝeneraligi mezuron de longo. Simile en , oni volas ĝeneraligi la -ampleksan volumenon. Tiun mezuron oni nomas Lebega mezuro. Sed oni povas meti aliajn mezurojn sur aro. Ekzemple se la tuta aro mezuras 1, tiam la mezuro estas mezuro de probableco: se subaro  havas mezuron , tiam la probableco, ke hazarde elektita punkto estas en , estas . Oni ankaŭ volas ke la funkcio havas certajn ecojn, kiuj ankaŭ havas mezurojn de longo, areo, volumeno. Sed tiam oni trovas, ke ĝenerale oni ne povas difini mezuron de ĉiuj subaroj. Do oni devas nur uzi mezureblajn subarojn. Kun mezuro, oni povas difini integralon, la Lebega integralo, kiu estas pli ĝenerala ol la Rimana integralo.

 Kompleksa analitiko 

Kompleksa analitiko estas la branĉo de matematiko esploranta funkciojn de kompleksaj argumentoj. Ĝi havas praktikan uzon en aplika matematiko kaj en multaj aliaj branĉoj de matematiko. Kompleksa analitiko koncernas aparte analitikajn funkciojn de kompleksaj variabloj, sciatajn kiel holomorfaj funkcioj.

 Nenorma analitiko 

 Cifereca analitiko 

Cifereca analitiko estas studo de algoritmoj por solvado de problemoj de kontinua matematiko per diskreta matematiko kaj aparte komputiko. La problemoj estas de kalkulo, cifereca lineara algebro super la reela kaj kompleksa kampoj, solvado de diferencialaj ekvacioj, kaj alia rilatantaj problemoj, ekestantaj el fiziko kaj inĝenierado.

Multaj problemoj en kontinua matematiko ne havas fermit-forman solvaĵon. Unu ekzemplo estas trovado de integralo de exp(−x2) (la erara funkcio) kaj solvado de ĝenerala polinoma ekvacio de grado kvin aŭ pli alta (vidu teoremon de Abelo-Ruffini). En ĉi tiuj situacioj, oni havas du variantojn: trovi proksimuman solvon uzante asimptotan analitikon aŭ ciferecan solvaĵon. La lasta elekto estas priskriba de cifereca analitiko.

Iuj problemoj estas solveblaj ekzakte per algoritmo. Ĉi tiuj algoritmoj estas nomitaj kiel rektaj. La ekzemploj estas gaŭsa elimino por solvado de sistemoj de linearaj ekvacioj kaj la simpleksa metodo en lineara programado. Tamen, ankaŭ nerektaj metodoj ekzistas por multaj problemoj. En tiaj okazoj iam eblas uzi ripetan metodon. Ĉi tia metodo startas de diveno kaj trovas sukcesajn proksimumajn kalkulaĵojn, kiuj espereble konverĝas al la solvo. Eĉ se la rekta metodo ekzistas, la ripeta metodo povas esti preferinda ĉar ĝi estas pli rapida, pli stabila aŭ pli preciza (en okazo de uzado de realaj kalkuliloj).

La kontinua problemo devas iam esti anstataŭigitaj per nekontinua problemo kies solvaĵo estas proksimuma solvon de la kontinua problemo; ĉi tiu procezo estas nomita nekontinuigo. Ekzemple, la solvo de diferenciala ekvacio estas funkcio. Ĉi tiu funkcio devas esti prezentita per finia kvanto de datumoj, ekzemple per ĝia valoro je finia nombro de punktoj je ĝia domajno, malgraŭ ke ĉi tiu domajno povas estas kontinuaĵo.

 Analitika teorio de nombroj 

 Plurdimensia analitiko 
eta|maldekstra|Ekzemplo de plurdimensia funkcio: 
Multaj lernolibroj distingas analitikon unudimensian kaj analitikon plurdimensian. Tiu distingo ne rilatas al fundamentaj konceptoj, tamen obliĝas la matematika multeco kiam temas pri pluraj dimensioj. La plurdimensia analitiko observas funkciojn  de pluraj realaj variabloj, kutime prezentataj kiel vektoro aŭ n-opo.

La terminoj de normigita spaco, de limvaloro de vico, de kontinua funkcio kaj de limvaloroj analoge ĝeneraligeblas en pluraj dimensioj.

Gravaj terminoj el la plurdimensia diferenciala kalkulado estas la direktoderivaĵo kaj la parta derivaĵo, kiuj estas derivaĵoj en variablo aŭ direkto. La teoremo de Schwarz certigas, kiam partaj aŭ direktoderivaĵoj de diversaj direktoj interŝanĝeblas. Krome gravas la termino de totala derivaĵo. Ĝi estas interpretebla kiel loka adapto de lineara transformo al kurbiĝo de plurdimensia funkcio kaj estas la plurdimensia analogaĵo de unudimensia derivaĵo. La teoremo de implicitaj funkcioj pri la loka solvo de implicitaj ekvacioj estas grava teoremo de la plurdimensia analitiko kaj bazo de la diferenciala geometrio.

En la plurdimensia analitiko ekzistas diversaj integralaj terminoj kiel la kurba integralo, la surfaca integralo kaj la spaca integralo.

 Referencoj 

 Bibliografio 
 Aliprantis, C.D., Border, K.C.: Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide, 3a eld., Springer 2007, . Rete  
 Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis I, Birkhäuser, Basel 2006, ISBN 3-7643-7755-0
 Apostol, Tom M. (1960). Análisis matemático: Introducción moderna al cálculo superior. Reverté. ISBN 84-291-5000-5.
 Banach S. Theory of Linear Operations  . Volume 38, North-Holland Mathematical Library, 1987, 
 Binmore, Kenneth George (1981). The foundations of analysis: a straightforward introduction. Cambridge University Press.
 Jean Dieudonné: Foundations of Modern Analysis (Fondaĵoj de moderna analitiko), Academic Press, U.S., 1968 ISBN 0-12-215530-0
 Edwards, R. E.: Functional Analysis, Theory and Applications, Hold, Rinehart and Winston, 1965.
 Otto Forster: Analysis 1, Vieweg, Wiesbaden 2004, ISBN 3-528-67224-2.
 Fusco, Nicola; Marcellini, Paolo; Sbordone, Carlo (1996). Analisi Matematica Due (en itala). Liguori Editore. |isbn=978-88-207-2675-1
 Gardner Bartle, Robert (1982). Introducción al análisis matemático. Limusa. ISBN 968-18-0997-1.
 Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis (Lernolibro pri analitiko), Teubner, Wiesbaden 2003, ISBN 3-519-62233-5
 Stefan Hildebrandt: Analysis, Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-42838-0.
 Johnsonbaugh, Richard; Pfaffenberger, William Elmer (1981). Foundations of mathematical analysis. New York: M. Dekker.
 Kantorovitz, S.,Introduction to Modern Analysis, Oxford University Press, 2003,2nd ed.2006.
 Konrad Königsberger: Analysis, vol. 1, Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4.
 Lebedev, L.P. kaj Vorovich, I.I.: Functional Analysis in Mechanics, Springer-Verlag, 2002
 Rey Pastor, Julio (1985). Análisis matemático: Teoría de ecuaciones; cálculo infinitesimal de una variable. Kapelusz. ISBN 950-13-3301-9.
 Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (3a eldono). New York, USA: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.
 * Schechter, M.: Principles of Functional Analysis, AMS, 2a eldono, 2001
 Vladimiro Ivanoviĉ Smirnov: Lehrgang der höheren Mathematik (Instruo pri alta matematiko), Harri Deutsch Verlag, ISBN 3-8171-1419-2
 Stewart, James (2002). Cálculo Multivariable. Thomson Learning.
 Whittaker, Edmund Taylor; Watson, George Neville (2a de januaro 1927). A Course Of Modern Analysis: An Introduction to the General Theory of Infinite Processes and of Analytic Functions; with an Account of the Principal Transcendental Functions (4a eldono). Cambridge, UK: at the University Press. ISBN 0-521-06794-4. ISBN 978-0-521-06794-2. (vi+608 pp.) (represoj: 1935, 1940, 1946, 1950, 1952, 1958, 1962, 1963, 1992)
 Wolfgang Walter: Analysis, Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20388-5.
 Yosida, K.: Functional Analysis, Springer-Verlag, 6th edition, 1980

 Vidu ankaŭ 
 Analitika variaĵo
 Matematiko
 Nenorma analitiko
 Limeso
 Serio
 Derivaĵo
 Integralo
 Serio de Taylor

 Eksteraj ligiloj 

 Matematikaj metodoj por sciencistoj kaj inĝenieroj 
 calculus.org - La retejo de Calculus ĉe la universitato de Kalifornio kun ligiloj al aliaj retpaĝoj