Derivaĵo (matematiko)

Derivaĵo estas unu el la bazaj konceptoj de analitiko kaj infinitezima kalkulo, kune kun la integralo. La derivaĵo de funkcio ĉe iu punkto estas la angula koeficiento de la grafikaĵo de la funkcio ĉe tiu punkto.

 Difino kaj notaciaj variaĵoj 
eta|dekstra|Tanĝanta rekto al linio. La angula koeficiento de tia rekto estas la derivaĵo de la funkcio ĉe la koncerna punkto.
En analitiko la derivaĵo de reela funkcio de reela variablo  en la punkto  estas difinita kiel la limeso de la inkrementa rilatumo konverĝanta al 0 de h, se ĝi ekzistas kaj estas finia.

eta|Klarigo, donanta la komencan intuician ideon pri la derivaĵo, kiel la "grado" de funkcioŝanĝo, dum la argumento ŝanĝiĝas.

Pli precize, funkcio difinita en ĉirkaŭaĵo  estas derivebla en la punkto  se ekzistas kaj estas finia la limeso:

La valoro de ĉi tiu limeso nomiĝas derivaĵo de la funkcio en la punkto . Se funkcio  estas derivebla en ĉiu punkto de la intervalo , tiam oni diras, ke la funkcio estas derivebla en .

Ekzistas pluraj malsamaj simbolaj notacioj por derivaĵo de funkcio  en punkto :

 Laŭ la notacio de Lagrange

 Laŭ la notacio de Cauchy

 Laŭ la notacio de Leibniz:

 La historie unua notacio estas ankoraŭ uzata en fiziko:


 Laŭ la notacio de Newton, derivaĵo rilate al la tempo t:

 Maldekstra kaj dekstra derivaĵo 
Nomiĝas maldekstra derivaĵo de f ĉe la punkto x0:

Nomiĝas dekstra derivaĵo de f ĉe la punkto x0:

Funkcio estas derivebla ĉe x0, se kaj nur se ekzistas la maldekstra kaj dekstra derivaĵoj, kiuj estas egalaj.

 Teoremoj 
 Teoremo de Fermat 

Estu:
  derivebla funkcio, do kontinua en , kie
  estas interna punkto al argumentaro de la funkcio f, kaj
  estas maksimumo aŭ minimumo de la funkcio f,
tiam la derivaĵo de la funkcio en  estas nula, tio estas .

 Teoremo de Rolle 

Estu  kontinua funkcio en  kaj derivebla en . Se , tiam ekzistas almenaŭ unu punkto  en la intervalo , kies derivaĵo nuliĝas.

 Teoremo de Lagrange 

Estu  kontinua funkcio en  kaj derivebla en . Ekzistas almenaŭ unu punkto  en la intervalo , kies derivaĵo egalas al .

 Teoremo de Cauchy 

Estu  kaj  kontinuaj funkcioj en  kaj deriveblaj en  kaj , tiam ekzistas almenaŭ unu punkto  en  tia, ke:


 Teoremo pri konstanta funkcio 
Funkcio estas konstanta en iu intervalo , s.n.s. ĝi estas derivebla, kaj ĝia derivaĵo nulas en tia intervalo .

Tiu aserto estas konsekvenco de la difino de la derivaĵo, kaj apliko de la teoremo de Lagrange. 

 Vidu ankaŭ 

 Derivado
 Diferencialo
 Derivaĵo de ne entjera ordo
 Formulo de Faà di Bruno
 Malderivaĵo
 Parta derivaĵo
 Simetria derivaĵo

Kategorio:Diferenciala kalkulo