Reelo

Reeloj (reelaj nombroj) estas intuicie priskribeblaj kiel nombroj, kiuj fidele (t.e. bijekcie) prezentas punktojn sur rekta linio, la nombra akso. Historie, la termino reala nombro estis konstruita responde kaj kontraste al imaginara nombro (etimologie: imagata). En Esperanto oni kutime uzas apartan substantivan radikon reel- por klare distingi inter la faka termino  reelo ("reela nombro", "reela rezulto") kaj la komunuza vorto realo en esprimoj kiel "reala nombro", reala rezulto ktp. Eĉ pli grave estas distingi pli kompleksajn esprimojn kiel terminecajn "reela analitiko", "reela kazo" disde liberaj vortkombinoj kiel "reala analizo", "reala kazo" kaj similaj esprimoj, kiuj povas aperi en samaj kuntekstoj.

Reelo povas esti, interalie,  racionala aŭ neracionala; algebra aŭ transcenda; kaj pozitiva, negativa aŭ nulo.

Teorie la reelojn eblas prezenti per poziciaj frakcioj, havantaj nefinie multajn ciferojn dekstre de la on-komo. Tamen praktike oni ne povas skribi la pozician frakcion de neracionala nombro, ĉar oni bezonus nefinie multan tempon kaj spacon.

Por la aro de ĉiuj reeloj oni kutime uzas simbolon R aŭ ℝ.

 Historio 
Frakcioj estis uzataj de la sumeroj ekde antaŭ 3000 a.K. Ĉirkaŭ 500 a.K. grekaj matematikistoj gvidataj de Pitagoro notis la neceson de .

La strikta teorio de reeloj estis evoluigita nur en dua duono de 19-a jarcento laŭ verkoj de K. Weierstrass, R. Dedekind kaj G. Cantor.

 Difino 
 Konstruo de la reeloj el la racionaloj 
Ekzistas pluraj manieroj konstrui la reelojn surbaze de la racionalaj nombroj. Ekzemple, oni povas difini reelon kiel dedekindan tranĉon de la racionalaj nombroj.

 Aksiomoj pri la reeloj 
Oni povas karakterizi la kampon de reeloj per jenaj aksiomoj (ĝis izomorfio):
 La kampo-aksiomoj pri adicio, multipliko kaj distribueco
 Aksiomo pri ordo, unu el la du ekvivalentaj aksiomoj
 ekzistas harmonia tuteca ordo (K, <) (do el 0 < a kaj 0 < b sekvas 0 < a + b kaj 0 < a·b)
 ekzistas subaro K₊ tiel, ke
 K = K₊ U {0} U −K₊
 Se a,b ∈ K₊, tiam a + b ∈ K₊ kaj a·b ∈ K₊
 Unu el la (ekvivalentaj) aksiomoj de kompleteco :
 Aksiomo de Weierstrass :
 Ĉiu nemalplena limigita desupre nombra aro havas solan supran limon.
 Aksiomo de Dedekind
 Ĉiu sekco en la aro de reeloj havas limon.
 Aksiomo de Cantor Ĉiu kolektiĝanta sistemo de detranĉoj {[An, Bn]} de nombra akso, havas solan nombron, kiu apartenas al ĉiuj detranĉoj.Ekzistas ankaŭ la aksiomo de Cantor-Dedekind, kiu priskribas rilaton de reeloj al geometrio.

 Demonstrado de Cantor pli la "pligrandeco" de la infinito de reelaj 
La paradokso de malfinio montras, ke la racionalaj nombroj, kvankam malpli multaj, ol la entjeraj nombroj, estas tamen "egale" nombraj, ĉar eblas konstrui parigadosistemon, per kiu ĉiuj elementoj de la unua aro kaj ĉiuj elementoj de la dua aro estas parigitaj per inversigebla funkcio. Tamen per la sama rezonado, eblas pruvi, ke la malfinio de la aro de reeloj (kardinalo de kontinuumo) estas pli granda!

Ni supozu, ke tia parigado estus efektivigita. Do ni ricevas tabelon, en kies unua kolumno troviĝas la tuta vico de la malfininombraj entjeroj ("potenco de la malkontinua"), en la sekvaj estos, linio post linio la laŭvicaj decimaloj de la ĉiu reela nombro parigita kun ĉiu entjera.
Jen nun ni konstruu reelon kies unua decimalo estu io ajn krom la unua decimalo de la unua reelo de la tabelo. Ties dua decimalo ni faru io ajn krom la dua decimalo de la dua reelo de la tabelo. Kaj tiel plu (malfinie kompreneble!)
Do nun tiu konstruita nombro ne povos esti parigita kun la unua entjero, ĉar ties unua decimalo nepre estos malsama. Ĝi ne povos esti parigita kun la dua, ĉar ĝia dua decimalo estos malsama. Kaj tiel plu. Do tiu nombro NE troviĝas en la supozita tuta parigado. CQFD (latine: Quod erat demonstrandum, kio estis pruvenda).

 Vidu ankaŭ 
 Natura nombro
 Entjero
 Racionala nombro
 Neracionala nombro
 Algebra nombro
 Transcenda nombro
 Kompleksa nombro
 Aksiomo de Cantor-Dedekind
 Arĥimeda eco estas kondiĉo, kiu garantias, ke ne ekzistas nefinie grandaj aŭ nefinie malgrandaj (t.e. infinitezimaj'') elementojoj.
 Kardinalo de kontinuumo