Nombro

Nombro estas unu el la ĉefkonceptoj de matematiko. Ĝi aperis en frua antikveco kaj iom post iom vastiĝadis kaj ĝeneraliĝadis laŭ grado de vastiĝo de la homa agadsfero kaj de la problemaro, kiu postulis kvantan priskribon kaj esploron. En komencaj ŝtupoj de ĝia evoluo, la koncepto de nombro estis difinita kiel rimedo por kalkuli kaj mezuri objektojn, poste la nombro fariĝis fundamenta nocio de matematiko, kaj la plua evoluo okazis nur pro bezonoj de ĉi tiu scienco.

Nombro, en scienco, estas fakte abstraktaĵo kiu reprezentas kvanton aŭ amplekson. En matematiko nombro povas reprezenti kvanton de mezuro aŭ pli ĝenerale elementon de nombra sistemo aŭ ordan numeron kiu reprezentos pozicion ene de (vic)ordo de difinita serio. La kompleksaj nombroj estas uzataj kiel utila ilo por solvi algebrajn problemojn, kaj algebre ili estas simpla aldonaĵo al la reelaj nombroj kiuj siavice ampleksigis la koncepton de orda numero. Ĉefe, reela nombro solvas la problemon de komparo de du mezuroj: kaj se ili estas kunmezureblaj kaj se ili estas nekunmezureblaj. Por ekzemplo: flanko de kvadrato estas kunmezurebla kun ties perimetro; tamen flanko de kvadrato kaj la diagonalo de la kvadrato estas reciproke nekunmezureblaj. A.I. Fetísov. Acerca de la demostración en geometría. Editorial Mir, Moskvo (1980)

Krome, en ampleksa senco, nombro indikas la grafikan skribsignon, kiu utilas por reprezenti ĝin; tiu grafika signo, kiu estas skribebla per unusola skribosigno, ricevas la nomon cifero.

La koncepto de nombro inkluzivas abstraktaĵojn kiel frakciaj, negativaj, neracionalaj, transcendaj, kompleksaj, kaj ankaŭ nombrojn de tipoj pli abstraktaj kiel, ekzemple, nombrojn hiperkompleksajn, kiuj ĝeneraligas la koncepton de kompleksa nombro, aŭ la hiperreelajn, la superreelajn kaj la subreelajn nombrojn, kiuj inkluzivas la reelojn kiel subaron.

Strukturo de la nombrosistemoj 
En abstrakta algebro kaj matematika analizo nombrosistemon oni karakterizas per: 

 Algebra strukturo, kutime komuta ringo aŭ matematika kampo (en nekomuta kazo estas Alĝebro super kampo kaj en la kazo de la naturaj nombroj nur komuta monoido).
 Orda strukturo, kutime ordigita aro, en la kazo de naturaj, entjeraj, raciaj kaj reelaj nombroj ili estas komplete ordigitaj aroj, kvankam kompleksaj kaj hiperkompleksaj nombroj estas nur parte ordigitaj aroj. Ankaŭ la realaj nombroj estas bone ordigita aro kun densa ordo.Ekzistas neniu rilato de ordo en la aro ℂ de kompleksoj, kiel ekzemple ekzistas en realaj, raciaj, entjeroj kaj naturaj nombroj.
 Topologia strukturo, nombreblaj nombraj aroj estas kutime malkonektitaj aroj, sur kiuj la diskreta topologio estas konsiderata, dum ĉe nenombreblaj aroj estas konsiderata topologio kiu igas ilin taŭgaj por matematika analizo.

Alia interesa propraĵo de multaj nombraj aroj estas ke ili povas esti reprezentitaj per Hasse-diagramoj, Euler-diagramoj kaj Venn-diagramoj, kaj kombinaĵo de ambaŭ povas esti prenita en Euler-Venn-diagramo kun la karakteriza kvarlatera formo kaj ankaŭ diagramo povas esti reprezentita interne per fiagramo Hasse (ĝi estas rekta linio). Kaj historie kaj koncipe, la diversaj nombraj aroj, de la plej simplaj el naturaj nombroj ĝis transcendaj etendaĵoj de realaj kaj kompleksaj nombroj, ellaboritaj per modelteorio dum la 20-a jarcento, estas konstruitaj de pli simpla strukturo ĝis alia pli kompleksa.Ne necese. La reela nombrosistemo povas esti difinita aksiome, same kiel David Hilbert faris; en la sama maniero tiu de kompleksaj nombroj, same kiel faras Polya (1887-1985), Lars Alfhors (1907-1996), Aleksej Markuŝeviĉ (1908-1979), ktp.

 Specialaj naturaj nombroj 
La studo de kelkaj trajtoj kiujn nombroj havas produktis grandegan nombron da specoj de nombroj, la plej multaj el ili sen specifa matematika intereso. Ili povas esti enkadrigitaj ene de distra matematiko. Jen kelkaj:
 Perfekta: nombro egalvalora al la sumo de siaj dividantoj (inklude la 1). Ekzemplo: 6 = 1 + 2 + 3.
 Sheldon: la nombro 73, estas la 21a primo, kiu multobligante 7 × 3 = 21; kaj inverse kiel 37 rezultas la 12a primo.
 Narcisista: nombro de n ciferoj kiu iĝas egalvalora al la sumo de la potencoj de ordo n de siaj ciferoj. Ekzemplo: 153 = 1³ + 5³ + 3³.
 Omirp: primo kiu inversigante siajn ciferojn rezultigas alian primon. Ejkzemplo: 1597 kaj 7951 estas primoj.
 Vampira: nombro kiu estas la produto de du nombroj akirita el ĝiaj ciferoj. Ekzemplo: 2187 = 27 × 81.
 Hamstera: ĝia aritmetika strukturo N= (a×b)2-1, kie a kaj b estas ambaŭ primoj, la sumo de iliaj dividantoj superas N, kaj la kvanto de iliaj dividantoj estas > a×b/2; ekzemplo: 1224 = (5×7)2-1
 Pitagora: pitagora triopo estas tri nombroj kiuj plenumas la jenajn kondiĉojn: la kvadrato de unu el ili, plus la kvadrato de alia, estas egala al la kvadrato de la tria, por ekzemplo: (3, 4, 5) ĉar 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52

Post kiam la problemo de la naturo kaj klasifiko de nombroj estas komprenita, aperas alia problemo, pli praktika, sed kiu kondiĉas ĉion, kion oni faros el ili: la maniero ilin skribi. La sistemo kiu estis universale trudita estas pozicia numerado, danke al la invento de nulo, kun konstanta bazo.

Pli formale, en Die Grundlagen der Arithmetik, Gottlob Frege (1848-1925) disponigas difinon de "nombro", kiu estis prenita kiel referenco fare de multaj matematikistoj (inkluzive de Bertrand Russell [1872-1870], kunkreinto de Principia mathematica):

Notu ankaŭ ke Frege, same kiel iu ajn alia matematikisto, estas nekapabla difini nombron kiel la esprimon de kvanto, ĉar matematika simboleco ne nepre referencas kalkuleblecon, kaj la fakto de "kvanto" aludis al io kalkulebla, dum nombroj estas adoptitaj por difini la kardinalecon de, ekzemple, la elementoj kiuj kuŝas en la malferma intervalo (0, 1), kiu enhavas sennombrajn elementojn (la kontinuumo).

Giuseppe Peano, antaŭ ol starigi siajn kvin proponojn pri naturaj nombroj, eksplicite supozas, ke difino estas konata (eble pro ĝia "evidenteco") de la vortoj aŭ konceptoj nulo, posteulo kaj nombro mem. Tiamaniere li postulas:
 0 estas natura nombro
 la posteulo de ĉiu nombro estas nombro mem
 du diferencaj nombroj ne havas la saman posteulon
 0 ne estas la posteulo de ajna nombro
 kaj la induktan proprecon

Tamen, se oni difinas la koncepton "nulo" kiel la nombron 100, kaj la koncepton "nombro" kiel nombrojn pli grandajn ol 100, tiam validas la kvin supre menciitaj proponoj, ne al la ideo, ke Peano dezirus komuniki, sed al ĝia formaliĝo.

La difino de nombro do ne estas tute formaligita, kvankam ekzistas plimulta interkonsento en adoptado de la difino de Frege.

 Historio de la koncepto de nombro 
eta|dekstre|240ra|Osto de Iŝango.
La koncepto de nombro estas asocia al la kapablo kalkuli kaj kompari kiu el du aroj de similaj entoj havas pli grandan kvanton de elementoj. La unuaj homaj socioj trafis tuj la problemon determini kiu el du aroj estas "pli granda" ol alia, aŭ koni precize kiom da elementoj formis kolekton de aĵoj. Tiuj problemoj povis esti solvitaj simple kalkulante. La kapablo de la homa estaĵo kalkuli, ne estas simpla fenomeno, kvankam la majoritato de kulturoj havas kalkulsistemojn kiuj alvenas minimume ĝis centoj, kelkaj popoloj havantaj simplan materialan kulturon, disponas nur de terminoj por la nombroj 1, 2 kaj 3 kaj kutime uzas la terminon "multaj" por pli grandaj kvantoj, kvankam, kiam necesas, ili uzas rimede esprimojn tradukeblaj kiel "3 plus 3 kaj aliaj 3" kiam necesas.

La kalkulo plej verŝajne komencis pere de la uzado de fizikaj objektoj (kiaj amasoj da ŝtonoj) kaj de kalkulmarkoj, kiel tiuj trovitaj sur ĉizitaj ostoj: tiu de Lebombo, kun 29 fendoj gravuritaj sur osto de paviano, havas ĉirkaŭ  jarojn de antikveco kaj alia osto de lupo trovita en la iama Ĉeĥoslovakio, kun 57 markoj disponitaj en kvin grupoj de 11 kaj krome du apartaj, estis ĉirkaŭkalkulita en  jaroj de antikveco. Ambaŭ okazoj konstituas unu el la plej antikvaj kalkulmarkoj konataj ĝis nun kaj oni sugestis ke eble ili estas rilataj kun registroj de lunaj fazoj. Ian Stewart, Historia de las matemáticas, Crítica, 2008. ISBN 978-84-8432-369-3 p. 12-13 Pri la origino de la orda kalkulo, kelkaj teorioj situas ĝin en religiaj ritoj. La nombraj sistemoj de la majoritato de lingvaj familioj respegulas ke la operacio kalkuli estis asocia al la kalkulo de aŭ per fingroj (tialo kial la sistemoj de dekuma kaj dudekuma bazo estas la plej abundaj), kvankam estas atestante la uzadon de aliaj nombraj bazoj krom 10 kaj 20, ekzemple 60 ĉe la babilonioj.

alternative=Babylonian numerals.svg|eta|maldekstre|300ra|La babilonaj numeralaj ciferoj de 1 ĝis 59 de la sesdekuma sistemo.
La paŝo al la nombraj simboloj, same kiel la skribado, asociiĝis al la apero de kompleksaj socioj kun institucioj centrigitaj konstituante burokratajn sistemojn de kalkulo en registroj pri impostado kaj de propraĵoj. Ties origino estus en primitivaj simboloj kun diferencaj formoj por la kalkulo de diferencaj tipoj de havaĵoj kiel tiuj kiuj estis trovitaj en Mezopotamio enskribitaj sur argilaj tabuletoj kiuj siavice estis venintaj anstataŭi iompostiome la kalkulon de diferencaj havaĵoj pere de argilaj ŝlipoj (konstatitaj almenaŭ ekde la jaro 8000 a.K.) La nombraj simboloj plej antikve trovitaj situas en la mezopotamiaj civilizoj kaj uziĝis kiel nombrosistemo ne nur por la kalkulo aŭ la komerco sed ankaŭ por la agrikultura mezurado kaj la astronomio, por ekzemplo, por registroj de la movadoj de la planedoj en la nokta ĉielo. Ian Stewart, Historia de las matemáticas, Crítica, 2008. ISBN 978-84-8432-369-3 p. 14.

Entute, dum 5 000 jaroj la plej multaj civilizacioj nombris kiel hodiaŭ oni faras, kvankam la maniero skribi nombrojn (kvankam ili ĉiuj precize reprezentas naturajn) estis tre diversa. Esence oni povas klasifiki ĝin en tri kategoriojn:
 Sistemoj de aldona notado. Ili amasigas la simbolojn de ĉiuj unuoj, dekoj, centoj,..., necesaj ĝis la nombro finiĝas. Kvankam la simboloj povas iri en ajna ordo, ili ĉiam adoptis certan pozicion (de plej ĝis malplej). La nombraj sistemoj estas de ĉi tiu tipo: egipta, hitita, kreta, romia, greka, armena kaj juda.
 Hibridaj notadsistemoj. Ili kombinas la aldonan principon kun la multiplikan principon. En la antaŭaj, 500 estis reprezentita per 5 simboloj de 100, en ĉi tiuj estas uzata la kombinaĵo de 5 kaj 100. La ordo de la figuroj nun estas fundamenta (oni estas je unu paŝo for de la pozicia sistemo). La nombraj sistemoj estas de ĉi tiu tipo: klasika ĉina, asira, armena, etiopa kaj majaa. Ĉi-lasta uzis simbolojn por 1, 5 kaj 0. Ĉi tiu estis la unua dokumentita uzo de nulo kiel oni konas ĝin hodiaŭ (36 a.n.e.) ĉar tiu de la babilonanoj estis uzita nur inter aliaj ciferoj.
 Pozicinotadaj sistemoj. La pozicio de la figuroj diras ĉu ili estas unuoj, dekoj, centoj,..., aŭ ĝenerale la potencon de la bazo. Nur tri kulturoj krom Barato sukcesis evoluigi ĉi-tipan sistemon: la ĉina sistemo (300 a.n.e.) kiu ne havis 0, la babilona sistemo (2000 a.n.e.) kun du simboloj, de bazo 10 aldona ĝis 60 kaj pozicia (bazo 60) pluen, sen 0 ĝis 300 a.n.e.

 La egiptaj unuigaj frakcioj (Papiruso de Ahmes/Rhind) 
En ĉi tiu papiruso akirita de Alexander Henry Rhind (1833-1863) en 1858, kies enhavo datiĝas de 2000 ĝis 1800 a.n.e. krom la nombra sistemo priskribita supre oni trovas ĝian traktadon de frakcioj. Ili ne konsideras frakciojn ĝenerale, nur unuigajn frakciojn (inversajn de la naturaj nombroj 1/20) kiuj estas reprezentitaj per ovala signo super la nombro, tiel ke la frakcio 2/3 estas reprezentita per speciala signo kaj en kelkaj kazoj frakcioj de la tipo . Estas malkomponaj tabeloj de  el n=1 ĝis n=101, kiel por ekzemplo  aŭ , kaj oni ne scias kial ne ili uzis , sed ŝajnas ke ili provis uzi unuigajn frakciojn pli malgrandajn ol .

Estante suma sistemo, la notacio estas: 1+1/2+1/4. La fundamenta operacio estas aldono kaj nuntempaj multiplikoj kaj dividoj estis faritaj per "duplikaĵoj" kaj "mediacioj", ekzemple 69×19=69×(16+2+1), kie 16 reprezentas 4 duoblaĵojn kaj 2 unu duobligon.

 Babilonaj sesgesimaj frakcioj (kojnoformaj dokumentoj) 
En la kojnoformaj tabuletoj de la dinastio de Hamurabo (1800-1600 a.n.e.) aperas la pozicia sistemo, jam referencita, etendita ankaŭ al la frakcioj, sed XXX validas por ,  aŭ  per reprezento bazita sur la interpretado de la problemo.

Por kalkuladi ili turnis sin, kiel nuntempe, sed jam antaŭ disponi de kalkulmaŝinoj, al nombraj tabeloj jam disponeblaj: de multobligo, de inversaj nombroj, de kvadratoj kaj kuboj, de kvadrataj kaj kubaj radikoj, de sinsekvaj potencoj de difinita nefiksa nombro, ktp. Por ekzemplo, por kalkuli , ili prenis la plej bonan entjeran alproksimigon , kaj kalkulis  (unu pli grandan kaj alian pli malgrandan) kaj tiam  estas plej bona alproksimiĝo, kaj same aperaciante oni atingas  kaj  dum oni akiras en la tabelo Yale-7289 2=1;24,51,10 (en dekuma bazo 1,414222) kiel valoro de  elirante de .

Ili faris la operaciojn simile al hodiaŭ, la dividon per multipliko per la inverso (por kio ili uzis siajn inversajn tabelojn). Mankas el la tabelo de inversoj tiuj de 7 kaj 11, kiuj havas senlime longan seksgesiman esprimon. Ja estas 1/59=;1,1,1 (nuntempa 1/9=0,111...) kaj 1/61=;0,59,0,59 (nuntempa 1/11=0,0909...), sed ili ne rimarkis la periodan evoluon.

 Malkovro de la nekunmezureblaj nombroj 
Estas necertaj la cirkonstancoj kaj la dato de tiu malkovro, sed oni atribuas ĝin al la Pitagora skolo (oni uzas tiucele la teoremon de Pitagoro). Aristotelo (384-322 a.n.e.) mencias pruvon de la nekunmezurebleco de la diagonalo de kvadrato rilate al sia latero bazita sur la distingo inter tio para kaj tio malpara. La rekonstruo kiun faras C. Boyer estas jena:

Estante d:diagonalo, s:latero kaj d/s racionalo, oni povus esprimi tion kiel , estante p kaj q primoj inter si. Per la teoremo de Pitagoro oni alvenas al , , kaj tiam  kaj tial  devas esti paro kaj ankaŭ p, kaj tial q malparo. Estante p paro oni alvenas al tio ke , kaj tiam  kaj , kaj tiam  estas paro kaj ankaŭ q, tiam q estas paro kaj malparo je kio oni alvenas al kontraŭdiro.

La pitagora teorio ĉio estas nombro iĝis grave vundita.

La problemon solvis Eŭdokso el Knido (408-355 a.n.e.) kiel indikis Eŭklido en la kvina libro de La elementoj. Tiucele li establis la aksiomon de Arkimedo: 
«Du grandoj estas en la sama rilatumo se oni povas trovi multoblon de unu el ili kiu superu la alian» (ekskludanta la 0). Poste, en la difino 5, li donas la faman formulon de Eŭdokso:

En la libro Historio de Matematiko (1985), de J. P. Colette, oni faras observon, ke tiu difino estas tre proksima al tiu de la reela nombro kiun Dedekind (1831-1916) donis, dividante la frakciojn en la  tiel ke  kaj tiuj kiuj ne faras tion.

 Kreado de la nulo 

En iu ajn pozicia nombrosistemo, la problemo de la manko de unuoj de difinita ordo ekestas. Ekzemple, en la babilona sistemo la nombro  skribita en bazo 60 povas esti  aŭ . Foje oni uzis la malplenan pozicion por eviti ĉi tiun problemon 3 _ 2; sed la skribistoj devis esti tre singardaj por ne erari.

Ĉirkaŭ la 3-a jarcento a.n.e., en Grekio, la nenio komencis esti reprezentita per "o" kiu signifas oudos 'malplena', kaj kiu ne estigis la koncepton de nulo tia, kia ĝi ekzistas hodiaŭ. La ideo de nulo kiel matematika koncepto ŝajnas esti aperinta en Barato pli frue ol ie ajn. La nura orda notacio de la Malnova Mondo estis sumera, kie nulo estis reprezentita per malpleno.

En Ameriko, la unua konata esprimo de la antaŭhispana dudekgesima nombrosistemo devenas de la 3-a jarcento a.n.e. Temas pri malfrua olmeka steleo, kiu jam havis kaj la koncepton "ordo" kaj "nulo". La majaoj inventis kvar signojn por nulo; la ĉefaj estis: la tranĉado de heliko por la matematika nulo, kaj floro por la kalendara nulo (kiu implicis ne la foreston de kvanto, sed la plenumon de ciklo).

 Negativaj nombroj
Brahmagupta, en la jaro 628 de nuna erao, konsideras la du radikojn de kvadrataj ekvacioj, eĉ se unu el ili estas negativa aŭ neracia. Fakte, en lia verko estas la unua fojo, ke la aritmetiko (+, -, *, /, potencoj kaj radikoj) de pozitivaj kaj negativaj nombroj kaj nulo, kiun li nomis havaĵoj, ŝuldoj kaj nenio, aperas sistemigita. Do, ekzemple, por la kvociento, li asertis jene:

Pozitivo dividita per pozitivo, aŭ negativo dividita per negativo, estas jesa. Cifero dividita per cifero estas nenio (0/0=0). Pozitivo dividita per negativo estas negativo. Negativo dividita per jesa estas negativo. Pozitivo aŭ negativo dividita per cifero estas frakcio kiu havas kiel denominatoro (a/0=?).

Li ne nur uzis negativojn en la kalkuloj, sed konsideris ilin kiel izolitajn estaĵojn, sen referenco al geometrio. Ĉio ĉi estis atingita danke al lia manko de zorgo pri rigoro kaj logika fundamento, kaj lia miksaĵo de tio praktika kun tio formala. Tamen, lia traktado de la negativoj falis en la vakuon, kaj devis pasi pluraj jarcentoj (ĝis la Renesanco) por ke ĝi estu reakirita.

Ŝajne, ankaŭ la ĉinoj havis la ideon pri negativaj nombroj, kaj kutimis kalkuli kun ili uzante nigrajn bastonetojn por negativaj nombroj kaj ruĝajn bastonetojn por pozitivaj nombroj.

 Transigo de la hind-araba sistemo al Okcidento 
Pluraj aŭtoroj de la 13-a jarcento kontribuis al tiu disvastigo, inkluzive de Alexandre de Villedieu (1225), Johano de Sakrobosko (ĉirkaŭ 1195, aŭ 1200-1256) kaj precipe Leonardo de Pizo (1180-1250). Ĉi-lasta, konata kiel Fibonacci, vojaĝis tra Oriento kaj lernis la hinduan pozician sistemon el la araboj. Li verkis libron, Liber Abaci (Libro de abako), kiu pritraktas en la 1-a ĉapitro la pozician numeradon, en la sekvaj kvar elementajn operaciojn, en la ĉapitroj VI kaj VII la frakciojn: komunaj, sesgesimaj kaj unuigaj (li ne uzas decimalojn, la ĉefa avantaĝo de sistemo!), kaj en la ĉapitro XIV la kvadratajn kaj kubajn radikalojn. Ĝi ankaŭ enhavas la kunikloproblemon donitan de la serio:  kun .

Ne aperas negativaj nombroj, kiujn ankaŭ la araboj ne konsideris, pro la identigo de nombro kun grando (obstaklo, kiu daŭros jarcentojn!). Malgraŭ la avantaĝo de ĝiaj kalkulalgoritmoj, furioza batalo inter abakistoj kaj algoritmistoj eksplodos pro diversaj kialoj, ĝis la fina venko de ĉi-lastaj.

 Kontinuaj frakcioj 
Pietro Antonio Cataldi (1548-1626), kvankam per nombraj ekzemploj, disvolvigis kvadratan radikon en kontinuaj frakcioj kkiel oni faras hodiaŭ: oni deziras kalkuli  estante  la plej granda nombro kies kvadrato estas malpli granda ol  kaj , sekve:  kiun per sia notacisistemo li esprimis tiel: n=a&b/2.a.&b/2.a… Así 18=4&2/8.&2/8, kio havigas la alproksimigojn 4+(1/4), 4+(8/33)…

Tiel, neraciaj nombroj estis akceptitaj per kompleta normaleco, ĉar ili povus esti facile alproksimigitaj per raciaj nombroj.

 Tipoj 
Imaginara nombro estas multipliko de reela nombro  kun imaginara unuo . Ĉar la imaginara unuo estas difinita per la ekvacio , la kvadrato de imaginara nombro  estas , do ĝi ĉiam estas nepozitiva. La nura nombro kiu estas kaj reela kaj imaginara estas nulo.

La entjera nombro, entjero (aŭ plena nombro) konsistas el la naturaj nombroj (1, 2, 3, …), iliaj negativaj ekvivalentoj (−1, −2, −3, …) kaj 0 (nulo). Matematikistoj kutime signas ĝin per ℤ aŭ Z. La naturaj nombroj estas subaro de la entjeroj, kion oni signas per ℕ ⊂ ℤ.

Kompleksa nombro estas nombro, kiu havas aspekton z=a+bi, kie a kaj b estas reelaj nombroj, kaj i² egalas al la nombro -1. La signo i estas por imaginara unuo, a = Re z nomiĝas reela parto de kompleksa nombro kaj b = Im z - imaginara parto. Reelaj nombroj estas aparta kazo de kompleksaj nombroj, kie b=0.

Racionala nombro estas kvociento de du entjeroj; ekzemple 3/7. Matematike, eblas difini la racionalajn nombrojn kiel ordajn parojn de entjeroj (a,b), kie b ≠ 0. Oni difinas adicion kaj multiplikon laŭ la jenaj reguloj:

 (a,b) + (c,d) := (a·d + b·c, b·d)
 (a,b) · (c,d) := (a·c, b·d)

Kvankam neracionalaj nombroj ne estas ofte uzataj en ĉiutaga vivo, ili ekzistas sur la nombro-linio. Efektive, inter 0 kaj 1 sur la nombro-linio, estas senfina nombro de neracionalaj nombroj. Racionalaj kaj neracionalaj nombroj faras tuton de reelaj nombroj. La bezono de la ekzakta esprimo de kelkaj grandoj (ekz. proporcio de kvadrata diagonalo al ĝia latero) postulis determinon de neracionalaj nombroj, kiuj esprimiĝas per racionalaj nombroj nur proksimume. Ĉiuj nombroj, kiuj ne estas racionalaj, estas konsiderataj kiel neracionalaj. La termino neracionala devenas de latina irrationalis - neracia, de ir(in) - negativa prefikso kaj ratio - proporcio. Ili povas esti skribitaj kiel decimaloj, sed ne kiel frakcioj, kaj havas senfinan nombron da ciferoj dekstre de la decimala punkto. Jen ekzemplo de neracionalaj nombroj:

 pi = 3,141592 ...
 kvadrata radiko de 2 = 1,414213
 reelaj nombroj (reeloj) estas intuicie difinitaj kiel nombroj, kiuj estas bijekciaj al la punktoj sur malfinia rekto, la nombra akso. Historie la termino reala nombro estis konstruita responde kaj kontraste al imaginara nombro. En Esperanto oni kutime uzas apartan radikon substantivan reelo. Reelo povas esti racionala aŭ neracionala; algebra aŭ transcenda; kaj pozitiva, negativa aŭ nulo.

Natura nombro povas aŭ signifi ne-negativan entjeron (0,1,2,3,...) aŭ (malofte) pozitivan entjeron (1,2,3,4,...). Naturaj nombroj havas du ĉefajn uzojn: Oni uzas ĝin por nombri objektojn (ekz-e "estas tri pomoj sur la tablo") aŭ por ordigi objektojn (ekz-e "ĝi estas la trie plej granda urbo en la lando"). En la dua signifo ili estas nomataj vicmontraj nombroj aŭ numeroj. La simbolo estas .

Primo estas pozitiva entjero, kiu ne estas produto de du aliaj pozitivaj entjeroj kaj dividiĝas nur per si kaj per 1. Ekzemple, 12 dividiĝas je 1, 2, 3, 4, 6, 12 (kiuj estas la divizoroj de 12), sed 17 dividiĝas nur je 1 kaj 17. Sekve la nombro 17 estas primo, sed la nombro 12 ne estas primo, sed komponita nombro. Ĉiu primo pli granda ol 3 estas de formo  aŭ  por iu natura nombro n.

Transcenda nombro estas kompleksa nombro kiu ne estas algebra, tio estas, ne estas solvaĵo de ne-nula polinoma ekvacio kun racionalaj koeficientoj. La plej elstaraj ekzemploj de transcendaj nombroj estas π kaj la bazo de la naturaj logaritmoj e. Nur kelkaj klasoj de transcendaj nombroj estas sciataj. Povas esti ege malfacile montri ke iu donita nombro estas transcenda. Tamen, transcendaj nombroj estas ne maloftaj, preskaŭ ĉiuj reelaj kaj kompleksaj nombroj estas transcendaj, pro tio ke la algebraj nombroj estas kalkuleblaj, sed aro de transcendaj nombroj estas nekalkulebla malfinio. La pruvo estas simpla. Pro tio ke la polinomoj kun entjeraj koeficientoj estas kalkuleblaj, kaj pro tio ke ĉiu ĉi tia polinomo havas finian kvanton de radikoj, la algebraj nombroj estas kalkuleblaj. Sed diagonala argumento de Cantor pruvas ke reelaj nombroj (kaj pro tio ankaŭ kompleksaj nombroj) estas nekalkuleblaj, do aro de ĉiuj transcendaj nombroj estas nekalkulebla. Ĉiu (reela) transcenda nombro estas neracionala nombro, pro tio ke ĉiu racionala nombro estas algebra nombro. La malo ne estas vera, ne ĉiu neracionala nombro estas transcenda. Ekzemple, kvadrata radiko de 2 estas neracionala, sed ĝi estas radiko de polinomo x2-2, tiel ĝi ne estas transcenda.

Hiperreelaj nombroj estas rigora matematika maniero pritrakti infinitojn kaj infinitezimojn. Tiuj kvantoj estis vaste uzataj en matematiko kelkajn jarcentojn antaŭ enkonduko de la hiperreeloj, sed ilia uzo ĉiam estis pli intuicia ol matematike rigora. Pro disvolvoj de formala logiko dum 19-a kaj 20-a jarcentoj, oni povis difini kaj pritrakti ilin pli formale kaj rigore. La aro de hiperreeloj (foje ankaŭ nomataj nenormaj reeloj) *R estas korpa vastigaĵo de la aro de reeloj R, kiu enhavas nombrojn pli grandajn ol iu difinita reelo. Do, aro de hiperreeloj enhavas nombron pli grandan ol io ajn de la formo

 Apartaj nombroj 
 6174 
6174 estas konata kiel la konstanto de Kaprekar, laŭ la barata matematikisto D. R. Kaprekar. Ĉi tiu nombro estas notinda pro la rezulto de la sekvanta proceduro.
 paŝo 1: Prenu ajnan kvar-ciferan entjeron, enhavantan almenaŭ du malsamajn ciferojn. (Antaŭaj nuloj estas permesataj.)
 paŝo 2: Aranĝu la ciferojn en malkreskantan kaj poste kreskantan sinsekvon por havigi du kvar-ciferajn nombrojn, aldonante antaŭajn nulojn, se necese.
 paŝo 3: Subtrahu la pli malgrandan nombron el la pli granda. Reiru al paŝo 2 kaj ripetu.

La supra procezo, konata kiel la rutino de Kaprekar, ĉiam atingos la nombron 6174, post ne pli ol 8 iteracioj, kaj poste donos la nombron 6174 senfine.

 Vidu ankaŭ 

 Aroj de nombroj
 Entjera nombro
 Kompleksa nombro
 Racionala nombro
 Neracionala nombro
 Reela nombro
 Natura nombro
 Primo
 Nombro de Rayo
 Cifero
 Frakcio
 Dekoblaj kaj dekonaj unuoj
 Dekuma sistemo
 Duuma, okuma, deksesuma sistemoj
 Frakcio
 Grandaj nombroj
 Meznombro
 Numeraloj
 Operacioj per nombroj
 Prefiksoj de numeraloj
 Romiaj ciferoj
 Flosanta punkto
 Matematika konstanto
 Mita nombro
 Fizika konstanto
 Areto
 Nombroj en diversaj lingvoj
 Nulo

 Referencoj 

 Bibliografio 
 Tobias Dantzig, Number, the language of science; a critical survey written for the cultured non-mathematician, New York, The Macmillan Company, 1930. ISBN mankas
 Erich Friedman, What's special about this number? Arkivita en 2018-02-23 ĉe Wayback Machine
 Steven Galovich, Introduction to Mathematical Structures, Harcourt Brace Javanovich, 1989, ISBN 0-15-543468-3.
 Paul Halmos, Naive Set Theory, Springer, 1974, ISBN 0-387-90092-6.
 Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, 1990. ISBN 978-0195061352
 Alfred North Whitehead kaj Bertrand Russell, Principia Mathematica to *56, Cambridge University Press, 1910. ISBN mankas
 Leo Cory, A Brief History of Numbers, Oxford University Press, 2015, ISBN 978-0-19-870259-7.

 Eksteraj ligiloj 

 Lasta lekcio en Gotingeno elŝutebla en pdf-formato, bildrakonto en Esperanto de Davide Osenda, kiu temas pri aroj de nombroj. Tradukita en esperanto en la projekto RoMEo.



Kategorio:Matematiko
Kategorio:Nombroj