Pi (nombro)

Pi (skribata kiel π) estas neracionala matematika konstanto, havanta proksimume la jenan valoron:


Tiu konstanto priskribas la rilatumon inter la perimetro de cirklo en geometrio kaj ties diametro. Tiu rilatumo ne dependas de la cirklo-grandeco. Por indiki Pi en skriba formo oni uzas minusklon de la greka litero pi (), kiu estas la unua litero de la greka vorto περιφέρεια ("periferio") kaj περίμετρον ("perimetro"). La unua priskribo de la nombro aperis en 1706 en la libro Synopsis palmariorum mathesos (proksimuma traduko: Nova enkonduko en matematiko), kiu estas verkita fare de kimria sciulo William Jones (1675–1749). Jones, William (1706). Synopsis Palmariorum Matheseos : or, a New Introduction to the Mathematics. pp. 243, 263. Arkivita el la originalo la 25an de Marto 2012. Alirita la 16an de Februaro 2022.  La nombro π krome estas nomata Konstanto de Arkimedo Weisstein, Eric W. "Pi". mathworld.wolfram.com. Alirita la 16an de Februaro 2022.  Bogart, Steven. "What Is Pi, and How Did It Originate?". Scientific American. Alirita la 16an de Februaro 2022.  aŭ Nombro de Ludolfo (laŭ Ludolph van Ceulen).

 Listo de nombroj – Neracionalaj nombroj  ζ(3) – √2 – √3 – √5 – φ – α – e – π – δEn duuma sistemo 11,00100100001111110110…En dekuma sistemo 3,14159265358979323846…En deksesuma sistemo 3,243F6A8885A308D31319… kiel ĉena frakcio Rimarku, ke tiu senfina frakcio ne estas perioda.

 Matematika bazo 
eta|Cirklo kun markita centro (M), radiuso (r) kaj diametro (d)

 Difino 
Ekzistas pluraj samvaloraj difinoj de . Ofte oni uzas la jenajn:
 la rilatumo inter la perimetro de cirklo kaj ties diametro aŭ
 la areo de la cirklo kun radiuso egala al 1
eta|360px|dekstra|Cirklo kun diametro 1 havas la perimetron π

En analitiko estas ofte pli praktike unue difini kosinuson pere de Serio de Taylor kaj poste enkonduki la difinon de  kiel:
 la duoblo de la plej malgranda pozitiva nuliganto de kosinuso (2 cos−1(0)) (laŭ Edmund Landau).

 Neracieco kaj transcendeco 
La nombro  estas reela nombro, sed ne estas racionala nombro. Tio signifas, ke ĝi ne povas esti priskribita kiel rilatumo inter du entjeroj, do, kiel frakcio. Tio estis pruvita en 1761 (laŭ aliaj fontoj en 1767) fare de Johann Heinrich Lambert. Verdire, la nombro estas eĉ transcenda. Tio signifas, ke ne ekzistas polinomo kun racionalaj koeficientoj, kies nuliganto estus . Konsekvence, oni ne povas skribi  kiel kombinaĵon de entjeroj, frakcioj kaj radikoj. La transcendeco de  estis pruvita de Ferdinand von Lindemann en 1882. Unu el la sekvoj de tiu pruvo estas tio, ke alia grava tasko, nome la kvadraturo de cirklo, estas pruvita neebla.

Ekzistas hipotezo, ke estas ankaŭ normala, tamen ĝis nun ĝi estis nek pruvita nek malpruvita.

 La unuaj 100 ciferoj post la komo 
Ĉar  estas neracionala nombro, oni ne povas skribi ĉiujn ties ciferojn: ĝi estas malfinia kaj malperioda. La unuaj 100 ciferoj post la komo estas:
  = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 ... Arndt & Haenel 2006, p. 240. 

 Frakcia serio 
Alia ebleco prezenti reelan nombron estas frakcia serio. Pro tio, ke  estas transcenda, tiu serio estas senlime longa.

Kontraste al la nombro de Euler e, ĝis nun oni ne sukcesis trovi iun regularecon en tiu frakcia serio de .

Por ekzakte priskribi la unuajn 200 ciferojn post la komo oni devas uzi 194 dividantojn.

 = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, 6, 6, 99, 1, 2, 2, 6, 3, 5, 1, 1, 6, 8, 1, 7, 1, 2, 3, 7, 1, 2, 1, 1, 12, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 8, 1, 1, 2, 1, 6, 1, 1, 5, 2, 2, 3, 1, 2, 4, 4, 16, 1, 161, 45, 1, 22, 1, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 24, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 10, 2, 5, 4, 1, 2, 2, 8, 1, 5, 2, 2, 26, 1, 4, 1, 1, 8, 2, 42, 2, 1, 7, 3, 3, 1, 1, 7, 2, 4, 9, 7, 2, 3, 1, 57, 1, 18, 1, 9, 19, 1, 2, 18, 1, 3, 7, 30, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 2, 8, 1, 1, 2, 1, 15, 1, 2, 13, 1, 2, 1, 4, 1, 12, 1, 1, 3, 3, 28, 1, 10, 3, 2, 20, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 5, 3, 2, 1, 6, 1, 4, ...]

 Sfera geometrio 
En sfera geometrio oni ne tiel ofte uzas , ĉar la rilatumo inter diametro kaj perimetro ne plu estas la sama por ĉiuj cirkloj, sed dependas de ties grandeco. Por la cirkloj, kiel diametro estas multe pli malgranda, ol la diametro de sfero, sur kies surfaco ĝi troviĝas (ekz. cirklo kun diametro 1 metro sur tersurfaco) tiu diferenco estas neglektebla malgranda kompare al eŭklida geometrio. Por pli grandaj cirkloj oni devas jam konsideri tiun diferencon.

 Historio de la nombro  
Apenaŭ iu alia nombro tiom laborigis homojn en homa historio kaj tiom fascinis ilin kiel . Jam antaŭ grekaj matematikistoj oni serĉis la valoron de tiu misteroplena nombro, kaj kvankam la pritaksoj fariĝis ĉiam pli precizaj, la greka matematikisto Arkimedo en ĉirkaŭ 250 jaroj a.K. estis la unua, kiu sukcesis "bridi" tiun nombron. Arndt & Haenel 2006, p. 170.  En posta historio pluraj provoj trovi la plej ekzaktan alproksimiĝon al „“ fariĝis unika ĉaso kun foje tute neordinaraj paŝoj.

La simbolo por „“ ne rilatas al Arkimedo kaj estis la unuan fojon enkondukita nur en 1706 fare de la brita matematikisto William Jones en lia verko "Nova enkonduko al matematiko" kiel "Arkimeda konstanto"; tamen oni ankaŭ pli frue uzis ĝin por kalkuli diametron de cirklo. Amasa uzo de la greka litero kiel simbolo por tiu konstanto venis nur pro ties uzo en matematikaj verkoj fare de Leonhard Euler en 1736.

 La ĉiutaga vivo postulas unuajn pritaksojn 
Pro praktikaj kialoj homoj sufiĉe frue komencis provi pritrakti la fenomenon de cirklo. Se oni devis kovri radojn per fera rubando, oni devis kalkuli la longon de tiu rubando. Se oni volas ornami kolonon per krono, oni devis kalkuli la longon de tiu krono. Se oni volis plenigi barelon per vino, oni interesiĝis pri volumeno de la barelo. Aŭ se oni devis, kiel ekzemple estas skribite en la 1a libro de Reĝoj (Biblio), ĉapitro 7 verso 23, "Kaj li faris maron fanditan, havantan dek ulnojn de rando ĝis rando, tute rondan, havantan la alton de kvin ulnoj; kaj ŝnuro de tridek ulnoj prezentis ĝian mezuron ĉirkaŭe". Tiamaniere en Biblio aperas mencio pri la valoro de  egala al 3. Tiun valoron oni ankaŭ uzis en antikva Ĉinio, eĉ se la plej simpla mezuro pere de mezur-rubando indikas, ke en realeco tiu valoro estas iom pli granda ol 3.

eta|210px|dekstra|Ptolemeo, geocentra mondobildo

Pli ekzaktaj estis la valoroj en Egiptio. La plej malnova konata kalkullibro en la mondo, la papiruso de Rhind (konata kiel "Kalkullibro de Ahm", datita 17 jarcento a.K.) donas la valoron 16/92 = 3,1604... Kiel alproksimiĝon al π
en Babilono oni uzis la ekvacion 3+1/8 = 3,125. En Barato oni uzis en sutroj de Sulba la "ŝnurregulon por konstrui altarojn", kie estis donita la valoro (26/15)2 = 3,0044... por .

 Arkimedo el Sirakuzo 
 Priskribo de cirklo kiel (enskribita) multangulo kun ĝis 96 anguloj 
Matematikistoj ofte provis alproksimiĝi al la areo de cirklo pere de multangulo kaj tiamaniere pli ekzakte kalkuli la valoron de —same, kiel Arkimedo. Arkimedo el Sirakuzo (ĉ. 287 a.K. ĝis 212 a.K.) estis helena matematikisto, fizikisto kaj inĝeniero. Li pruvis, ke la perimetro de cirklo rilatas al ties diametro same, kiel la areo de cirklo al kvadrato de ties radiuso. Pere de priskribaj kaj enskribitaj plurlaterojn ĝis la grado 96 li kalkulis la supran kaj suban limon por la cirkla perimetro. Li venis al la konkludo ege grava por sia tempo—ke la serĉata valoro estas iom pli malgranda, ol 3 + 10/70, tamen pli granda, ol 3 + 10/71:
.
Arkimedo trovis la frakcion  kiel alproksimiĝon 3,141635.

Por Arkimedo kaj por multaj matematikistoj post li estis neklare, ĉu la kalkulo de  tamen iam atingas la finan valoron, do, ĉu  estas racionalo. Tio klarigas la multjarcentan ĉason kontraŭ la ekzakta valoro. Oni longe supozis, ke mankas nur ĝusta metodo por kalkuli tiun valoron.

 Krescentoj de Hippokrato el Ĥios 
eta|210px|La sumo de la grizaj „Krescentoj“ egalas al la areo de orta triangulo.
Kvankam la neracieco de kelkaj nombroj estis konata al grekaj filozofoj ekde la teoremo de Pitagoro, kiu montris la neraciecon de la nombro , Arkimedo ne havis sufiĉe da kialoj por supozi neracionalecon de la simpla areo, ĉar ekzistas areoj, limigitaj de ĉiu flanko per kurbaj linioj, kiuj estas eĉ partoj de cirkloj kaj tamen povas esti prezentitaj kiel racionaloj. Arkimedo jam sukcesis pere de tiel nomataj Krescentoj, kiujn oni atribuas al la greka matematikisto Hipokrato el Ĥio (ĉ 450 a.K.), montri, ke la areoj de tiuj cirklo-partoj povas esti prezentitaj kiel racionaloj. Pere de "ĝenerala Pitagora teoremo" matematikistoj jam en antikva tempo trovis, ke la sumo de tiuj du krescentoj super la katetoj estas egala al la areo de la orta triangulo. Nur en 1761/1767 Johann Heinrich Lambert sukcesis pruvi la neraciecon de , kvankam multaj matematikistoj sugestis tion jam pli frue.

 Almagesto de Ptolemeo 
En sia astronomia verko Almagesto (ĉ. 100 jaroj p.K.) Ptolemeo donas tabelojn de diversaj angulaj funkcioj, kio indikis, ke li havis sufiĉe ekzaktan valoron por . Fakte, li uzis la frakcion 377/120 = 3,14166... la bazo por tiu frakcio estis ĉerpita el la verkoj de Arkimedo, aperintaj 350 jaroj pli frue... Arndt & Haenel 2006, p. 176.  Boyer & Merzbach 1991, p. 168. 

 Pli kaj pli ekzakte – de Zu Chongzhi tra Ludolph van Ceulen al John Machin 
Same, kiel en aliaj sociaj kaj kulturaj terenoj de okcidenta civilizacio, ankaŭ en matematiko dum multaj jaroj okazadis stagnado, precipe inter la fino de antikva tempo kaj dum mezepoko. La plej grandaj sukcesoj en alproksimiĝo al  estis tiam faritaj de ĉinaj kaj persaj sciencistoj. En la tria jarcento Liu Hui – simile al Arkimedo - difinis la limoj por pi 3,1410 kaj 3,1427. Ĉ. la jaro 480 ĉina matematikisto kaj astronomo Zu Ĉongĵi (430–501) trovis la valoron por "" 3,1415927, do, ĉefe kun la ekzakteco de unuaj 7 postkomaj ciferoj. Li sciis ankaŭ pri sufiĉe sambona frakcio 355/113 (tio estas la tria frakcio de frakcia serio por alproksimiĝi al ), kiu estis retrovita en Eŭropo nur en la 16a jarcento. Arndt & Haenel 2006, p. 178.  La persa sciencisto Jamŝid Masud Al-Kaŝi jam en 1424 ĝuste kalkulis la unuajn 16 postkomajn ciferojn de pi. Azarian, Mohammad K. (2010). "al-Risāla al-muhītīyya: A Summary". Missouri Journal of Mathematical Sciences. 22 (2): 64–85. doi:10.35834/mjms/1312233136.  O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (1999). "Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi". MacTutor History of Mathematics archive. Arkivita el la originalo la 12an de Aprilo 2011. Alirita la 11an de Aŭgusto 2012. 

dekstra|eta|210px|John Wallis, 1616–1703
eta|dekstra|210px|Leonhard Euler, 1707–1783

En 16a jarcento vekiĝis matematikistoj en Eŭropo. En 1596 Ludolph van Ceulen sukcesis kalkuli la unuajn 35 dekumajn ciferojn de . Onidire, li oferis 30 jarojn de sia vivo por tiu kalkulo, tamen li ne uzis iujn novajn ideojn dum kalkuli tiujn ciferojn. Li simple kalkulis plu laŭ la metodo de Arkimedo, kaj se Arkimedo haltis ĉe la 96-angulo, Ludolph daŭrigis la kalkulon ĝin enskribita 262-angulo. La nomo Nombro de Ludolf memorigas pri lia sindono. Arndt & Haenel 2006, pp. 182–183. 

La franca matematikisto François Viète en 1593 iom modifis la metodon de Arkimedo kaj alproksimiĝis al la areo de cirklo pere de enskribitaj -anguloj. El tiu supozo li, unua en la mondo, derivis la fermitan formulon por π en la formo de malfinia produkto: Arndt & Haenel 2006, p. 182. 

La brita matematikisto John Wallis en 1655 trovis tiel nomatan Produton de Wallis: Arndt & Haenel 2006, p. 187. 

.

Iom post iom la kalkuloj fariĝis pli komplikaj, Leibniz en 1682 eltrovis jenan serion:

.
Pri tio gravas la kalkulo de cirklo-areo laŭ Leibniz.

Kvankam tio jam estis konata al barataj matematikistoj en 15a jarcento, Leibniz eltrovis tion por europa matematika scienco kaj pruvos la konverĝon de tiu malfinia vico. La supra vico estas krome speciala okazo (θ = 1) de la serio de tangentarko, kiun en 1670 trovis la skota matematikisto James Gregory:

.

Ĝi fariĝis bazo por multaj alproksimiĝoj al  en posta tempo. John Machin pere de sia formulo en 1706 kalkulis la unuajn 100 ciferojn de . Lia ekvacio

povas esti uzata, same kiel serio de Taylor por tangentarko kiel rapida ilo por kalkuli pi. Oni povas derivi tiun formulon, se oni komencas uzi polusajn koordinatojn por kompleksaj nombroj, komence de

.

Leonhard Euler en sia verko Introductio in Analysin Infinitorum aperinta en 1748 en la unua volumo donas jam unuajn 148 ciferojn de la nombro . Li donas jenan formulon por kalkuli la valoron de pi:

 (Euler)

Johann Heinrich Lambert en 1770 publikigis frakcian vicon, kiun oni hodiaŭ plej ofte skribas en la formo

Pro ĉiu paŝo estas difinitaj ĉirkaŭ 0,76555 postkomaj dekumaj ciferoj, kio estas tre granda kompare al aliaj frakciaj vicoj, tial tiu ĉi vico ege bone taŭgas por kalkuli .

Metiistoj en la tempo antaŭ ŝovkalkulilo kaj poŝkalkulilo uzis la alproksimiĝon de 22/7 = 3,142857… kaj kapablis multon kalkuli enkape. La eraro kompare al la reala valoro de  estas ĉirkaŭ 0,04%. Por ĉiutaga praktika apliko tio estis tute sufiĉa.

Alia, ankaŭ ofte uzata alproksimiĝo estis la frakcio 355/113 = 3,1415929…, ankaŭ ekzakta nur ĝis la sepa ona cifero. Krome, tiu frakcio estis facile memorigebla, ĉar ĝi entenas po du unuajn tri malparajn nombrojn—kiuj estas "distranĉitaj" en la mezo. Ĉiuj tiuj racionalaj alproksimiĝoj al  havas similan econ: ili estas partaj kalkuloj de ĉenfrakcioj de , respektive 22/7 =[3;7], 355/113 = [3;7,15,1].

Neniu ĝisnun proponita formulo donas eblecon efektive kalkuli la alproksimiĝon al , kaj eĉ la miriga malkovro de Baratano Srinivasa Ramanujan en 1914, surbaze de esploro de elipsaj funkcioj kaj modulaj funkcioj, ne estis pli bonaj por tio:

 .

Pliaj kalkul-formuloj:

 (Euler)

 Modernaj metodoj de kalkuloj 
 Formulo de Bailey-Borwein-Plouffe 
En 1996 David Bailey kune kun Peter Borwein kaj Simon Plouffe malkovris la novan vic-prezenton por :



Tiu suma formulo ebligas facile difini la -an onan ciferon de  en duuma kaj deksesuma sistemo, sen bezono antaŭe kalkuli la  ciferon. La retpaĝo de Baileys   enhavas derivigon de la algoritmo kaj ankaŭ ties realiĝon en pluraj programlingvoj.

 Pi-kalkulo pere de areo-kalkulo 
eta|Cirklo, enskribita en kvadraton por kalkuli la nombron  pere de areo-formulo

Tiu kalkul-metodo uzas la rilatumon, ke  enestas en la areo-formulo de cirklo, sed ne en la formulo de ĉirkaŭskribita kvadrato.

La formulo por la areo de cirklo kun radiuso  tekstas:
 ,

la areo de kvadrato kun rando-lango de  kalkuleblas jene:
 .

La rilatumo inter cirklo kaj ĉirkaŭskribita kvadrato donas jenan rezulton:
 .
Per tio oni povas skribi  kiel produkto de tiu rilatumo: .

 Programo por kalkuli ciferojn 
Suba algoritmo estas ekzemplo, kiel oni povas kalkuli onajn ciferojn de  pere de alproksimiga metodo, ekspluatante la supre priskribitan areo-formulon.

eta|Kvarona cirklo, alproksimigata per la area kvadrato 10×10
Oni metas kradon super la kvadraton kaj kalkulas por ĉiu unuopa krad-ĉelo, ĉu tiu kuŝas ene de la cirklo aŭ ne. La rilatumo inter la krado-ĉeloj ene de la cirklo al la krado-ĉeloj ene de la kvadrato estas 4-obligita. La ekzakteco de la alproksimiĝo, kiu rezultas el tiu algoritmo, dependas de la ĉel-kvanto de la krado kaj estas kontrolita pere de . Kun  oni ricevas, ekzemple, 3.17, kaj kun  jam 3,1417. Por la rezulto 3,14159 oni, tamen, bezonas jam , kio kvadratigas la bezonatajn kalkulojn pro dudimensia solvo-vojo.

 r = 10000
 enedecirklo = 0
 enedekvadrato = (2 * r + 1) ^ 2
 for y = -r to r
   for x = -r to r
     if x ^ 2 + y ^ 2 <= r ^ 2 then
       enedecirklo = enedekvadrato + 1
 print 4*enedecirklo / enedekvadrato { 3.14159 }

La konstanto Pi, kiu estas uzata ofte en programado, estas jam antaŭkalkulita kaj enkodigita en pluraj komputilaj programoj, kaj kutime la ekzakteco de tiu kalkulo estas kelkajn ciferojn pli ol povas esti reprezentitaj per la plej ekzakta datum-tipo.

 Statistika metodo 
Plia tre interesa metodo por difini  estas statistika metodo. Por plenumi la kalkuladon oni lasas hazardajn punktojn "pluv-fali" sur la kvadraton kaj poste oni kalkulas, ĉu tiuj punktoj kuŝas ene de la enskribita cirklo aŭ ne. La ono de la punktoj, kiuj kuŝas ene de cirklo, egalas al .

Tiu metodo estas unu el Monte-Carlo-algoritmoj; la ekzakteco de korekta difini de certa ona cifero, do, povas esti difinita nur kiel certa erar-verŝajneco. Pro la leĝo de grandaj nombroj, tamen, kun pligrandiĝo de cikloj pligrandiĝas ankaŭ la ekzakteco de la kalkulaĵo. Arndt & Haenel 2006, p. 39 

La jena algoritmo estis skribita en la programlingvo Java:

public static double kalkulu_pi(int gutnombro) {
  double pi = 0;
  int ene = 0;
  int entute = gutnombro;

  while (gutnombro > 0) { // kreu pliajn gutojn kaj sumu laŭ la kondiĉo
    double dotx = Math.random();
    double doty = Math.random();

    if (dotx*dotx + doty*doty <= 1) {
      // Punkto kuŝas ene de la cirklo
      ene++;
    } else {
      // Punkto kuŝas ekster la cirklo
    }

    gutnombro--;
  }

  pi = 4*(double)ene/entute;
  return pi;
}

Notu ke tiu programo havas du problemojn: Unue tiu alproksimiĝo de  estas fina, relative mallonga kaj dekume malpreciza, ĉar double estas tia – do seninteresa. Tio estas almenaŭ ĝusta, ĉar la du koordinatoj, dotx kaj doty, estas finaj. Due la koordinataj valoroj ne estas hazardaj, nur ŝajne. Post foruzo de ĉiuj ebloj, vi rericevos la saman sinsekvon. Vera hazardo estas valora aĵo en komputilo, ekz. Linukso liveras ĝin treege malrapide (laŭ la alveno de eksteraj eventoj) en /dev/random.

Por plej ŝpare uzi tion, oni rigardu kiom da duumoj oni bezonas post komo, por decidi ĉu ene aŭ ekstere. Ekz. por duume x = 0,1; y = 0,1 => x * x + y * y = 0,1 < 1, do ĉiuj malpli grandaj nombroj ankaŭ estas ene de la cirklo. Tio signifas ke se ambaŭ nombroj havas nulon tuj post la komo, tute egalas kio sekvas, ni scias per la limigo supren ke ni estas ene. Alimaniere dirite, per nur du duumoj ni povas solvi la komparon en kvarono de la eblaj kazoj! Grafike (0, 0) estas la kvarono sube maldekstre de la unuo-kvadrato.

Simile oni povas daŭrigi aldonante pli kaj pli da duumoj al x kaj y. Ekz. x = 0,11; y = 0,1 => x * x + y * y = 0,1101 < 1, do ĉiuj malpli grandaj nombroj, ankaŭ estas ene de la cirklo. Tio signifas ke x komencanta per 0,10 sekvate de io ajn, kaj y komencanta per 0,0 sekvate de io ajn ĉiukaze estas ene. Alimaniere dirite, per nur tri duumoj ni povas solvi la komparon en plia okono de la eblaj okazoj! Grafike (10, 0) estas la maldekstra duono de la kvarono sube dekstre de la unuo-kvadrato. Pli bone eĉ, per simetrio, se ni havas la samon, kun inverso de x kaj y, nome la suba duono de la kvarono supre maldekstre, la samo validas, do per tri duumoj ni solvas plian kvaronon de la eblaj kazoj, sume jam la duonon.

La inversan okazon ni trovas per entute kvar duumoj: x = 0,11; y = 0,11 => x * x + y * y = 1,0010 > 1, do ĉiuj pli grandaj nombroj, ankaŭ estas ekstere de la cirklo. Tio signifas ke x komencante per 0,11 sekvate de io ajn, kaj y komencante per 0,11 sekvate de io ajn ĉiukaze estas ekstere. Grafike (11, 11) estas la deksesono tute supre tute dekstre de la unuo-kvadrato. Ĉifoje per plia duumo oni solvas nur deksesonon de la eblaj kazoj. Per kvin duumoj denove oni solvas konsiderinde pli, nome 5 tridekduonojn, dum ses duumoj solvas 3 sesdekkvaronojn, sume jam pli ol tri kvaronojn. Tre maloftaj pliaj okazoj postulas ege longan vicon de duumoj, kaj precize sur la cirklo oni bezonus senfinan vicon, se oni celus senfine precizan rezulton.

 Nadlo-metodo fare de Buffon 
Unu plia iom nekutima metodo, kiu ankaŭ baziĝas sur verŝajn-teorio, estis proponita de Georges-Louis Leclerc de Buffon (1707–1788), kiu elpensis ĝin en la aĝo de 20 jaroj. Li ĵetadis bastonetojn trans la ŝultron sur kahelitan plankon. Poste li kalkulis, kiom ofte la bastoneto fine kuŝis tiel, ke ĝi kruciĝis kun interkahela fendo. La pli praktikan varianton priskribis fama rusa instruisto Jakov I. Perelman en sia libro "Amuza geometrio". Oni prenu mallongan, ĉirkaŭ 2 cm longan nadlon aŭ alian metalan bastoneton kun simila longo kaj diametro, prefere sen akraj pintoj, kaj desegnu sur papero aron da paralelaj linioj tiel, ke la distanco inter unuopaj linioj estas duoble pli granda, ol la longo de la nadlo. Poste oni lasu la nadlon fali sur la paperon multfoje (kelkcent- aŭ kelkmilfoje) kaj notu, ĉu la falinta nadlo kruciĝas kun iu linio aŭ ne. Eĉ se nadlo nur tuŝas linion oni notas la kruciĝon. La rilatumo (divido) inter la kvanto de nadlo-faloj kaj la kvanto de notitaj kruciĝoj estas kun certa ekzakteco alproksimiĝo al la nombro π. Oni ankaŭ povas laŭplaĉe kurbigi aŭ zigzagigi la nadlon—tiam eblas, ke nadlo kruciĝas kun linio en pluraj lokoj kaj oni aparte notu ĉiun unuopan kruciĝon. Meze de la 19-a jarcento la svisa astronomo Johann Rudolf Wolf plenumis 5.000 ĵetojn kaj ricevis la valoron de π = 3,159.

 Temposkalo de evoluo de pi-ekzakteco 
eta|400px|Grafeo kiu montras kiel la rekorda precizeco de ciferaj alproksimiĝoj al pi, mezurata per kvanto de dekumaj onaj ciferoj (bildigataj laŭ logaritma skalo), evoluis dum la homa historio. La tempo antaŭ 1400 estas kunpremita.
 Matematikisto  Jaro Onaj ciferoj Egiptio, Kalkullibro de Ahm (Papiruso de Rhind) 17. jarcento a.K.  1 Arkimedo  ĉirkaŭ 250 a.K.  3 Zu Chongzhi  ĉirkaŭ 480  7 Jamshid Masud Al-Kashi  ĉirkaŭ 1424 16 Ludolph van Ceulen  1596  35 Jurij Vega  1794  126 William Shanks  1874  527 Levi B. Smith, John W. Wrench  1949 1.120 Daniel Shanks, John W. Wrench  1961 100.265 Yasumasa Kanada, Sayaka Yoshino, Yoshiaki Tamura 1982 16.777.206 Yasumasa Kanada, Yoshiaki Tamura, Yoshinobu Kubo 1987 134.217.700 Chudnovskys  1989 1.011.196.691 Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi  1997 51.539.600.000 Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi  1999 206.158.430.000 Yasumasa Kanada (ankoraŭ ne kontrolita) 2002 1.241.100.000.000

 Formuloj, aplik-terenoj kaj malfermitaj demandoj 
 Formuloj, kiuj enhavas  
 Formuloj el geometrio 
En geometrio la ecoj de  estas rekte uzataj.
 Perimetro de la cirklo kun radiuso : 
 Areo de la cirklo kun radiuso : 
 Volumeno de sfero kun radiuso : 
 Surfaca areo de la sfero kun radiuso : 
 Volumeno de cilindro kun la radiuso  kaj alto : 
 Volumeno de rotacia korpo, kiu aperas pro rotacio de la funkcio  je la akso , kiu havas la limojn  kaj : 
 Limo de Minkowski en geometria nombro-teorio: 

 Formuloj el analizo 
eta|altdekstre|Jean Baptiste Joseph Fourier, 1768–1830
 rolas krome en pluraj matematikaj rilatumoj, ekzemple:
 Senfinaj vicoj:  (Euler)
 Sonorila kurbo de Gauß: 
 Stirling-Formulo kiel alproksimiĝo de faktorialo por grandaj : 
 Fourier-transformado: 
 Identeco de Euler: 

La identeco de Euler estas la kombinaĵo de  kaj de alia neracionala nombro , la imaginara unuo  kaj simile al du bazaj nombroj 0 kaj 1 estas traktata kiel unu el la plej bazaj unuoj kaj formuloj.

 Formuloj el nombra teorio 
 La relativa ofteco, ke inter du hazarde elektitaj naturaj nombroj, kiuj estas sub certa limo , ne havas komunajn dividantojn, strebas kun  al .

 Formuloj el fiziko 
En fiziko  rolas krome en
 movo laŭ cirklo:  (angula rapido egalas al  multiplikita kun frekvenco)
kaj antaŭ ĉio en fiziko de ondoj, kie ĝi aperas universale en la matematikaj funkcioj por sinuso kaj kosinuso.

Jen pliaj ekzemploj
 en kvantuma mekaniko:  (Principo de necerto de Heisenberg).
 en kalkulo de genua ŝarĝo: 

 Aplikterenoj, uzo en nuntempaj kalkuloj 
La alproksimiĝoj kaj ties kalkulo dum longa tempo estis aparte gravaj por inĝenieraj sciencoj; la nuntempa eltrovo de pliaj ciferoj, male, jam apenaŭ havas praktikan sencon.

Ekzemple se oni volas kalkuli perimetron kun ekzakteco de unu milimetro, oni bezonas:
 4 onaj ciferoj por la cirklo kun radiuso de 30 metroj,
 10 onaj ciferoj por kalkuli la (idealan) longon de ekvatoro,
 15 onaj ciferoj, se oni kalkulas longon de la Tera orbito.

Kiom da onaj ciferoj oni bezonas por la plej granda imagebla cirklo, kiu povas ekzisti en nia universo? La lumo de praeksplodo en la formo de mikroonda fona radiado, krozas la distancon, kiun oni povas kalkuli jene: la aĝo de la mondo (ĉ.  jaroj) oble la rapideco de lumo (ĉ. 300.000 km/s aŭ  m/a) rezultas ĉirkaŭ  m. La cirklo kun tia radiuso havas la perimetron de ĉirkaŭ  m. La plej malgranda senco-hava longo-unuo en fiziko estas longo de Planck, kiu proksimume egalas al 10−35 m. La perimetro do konsistas el  Planck-longoj. Por kalkuli tiun perimetron laŭ la konata radiuso (oni supozu, ke tiu estas konata kun bezonata ekzakto) oni bezonas jam 62 onaj ciferoj de π, ne pli.

La hodiaŭa pruvita rekordo estas ĉirkaŭ 1,241 miliardoj ciferoj.

Unu el hodiaŭ ankoraŭ akceptata apliko de tiu sufiĉe peno-rabaj kalkuloj estas la testo de modernaj komputilaj hardvaro kaj softvaro, ĉar eĉ plej malgrandaj eraroj en kalkuloj kondukos al pluraj falsaj ciferoj de la nombro .

La cifero  rolas en pluraj branĉoj de matematiko, ne nur en geometrio, sed ankaŭ en algebro, analizo, trigonometrio kaj nombroteorio.

 Nesolvitaj demandoj 
La plej interesa ankoraŭ nesolvita demando rilate π estas, ĉu ĝi estas normala nombro aŭ ne. Alivorte, ĉu la verŝajnoj de apero de ĉiu cifero ene de tiu nombro estas egalaj aŭ ne. Tiu demando estas forte ligita al alia demando: se ni konsideras, ke la nombro π estas senfina, tio signifas, ke teorie ĉiuj libroj, kiujn oni jam verkis kaj kiujn oni verkus oni povus trovi en tiu cifero. Simila problemo nomiĝas "Teoremo de senfinaj simioj".

 Kultura aspekto 
 La Klubo de amikoj de Pi, kies sidejo troviĝas en Vieno, havas la postulon, ke nur tiu, kiu parkere ellernis almenaŭ la cent unuajn decimalojn de la nombro, rajtas membriĝi. Tutmonde, precipe en π-kluboj kaj en la matematika fako de diversaj universitatoj kaj lernejoj, oni ĉiujare festas la Pi tagon kaj la Pi proksimecan tagon.
 La nuntempa pruvita rekordo de -kalkulo apartenas al Yasumasa Kanada, kiu pere de unu HITACHI-superkomputilo eltrovis 1.241.100.000.000 (1,2 milionoj) de onaj ciferoj. Ĉe la 1.142.905.318.634. ona cifero de  laŭ Yasumasa Kanada oni retrovas la sinsekvon 314159265358.
 La unua miliono de onaj ciferoj de  kaj ties inverso  estas konversitaj kiel dosiero enkadre de Project Gutenberg sur tiu paĝo 
 La amikoj de nombro  honoras unufoje jare, la 14-an de marto tiun nombron dum Pi tago.Pi Day activities Arkivita la 4an de Julio 2013 ĉe archive.today.  La kialo por elekti tiun tagon estas simpla: en usona dato-skribmaniero tiu dato estas skribata kiel 3/14. Alia grava tago estas Pi proksimeca tago, kiun oni festas la 22-an de julio, pere de kio oni honoras la alproksimiĝon de Arkimedo 22/7.
 En la jaro 1897 en Usono en la subŝtato Indianao oni pere de la leĝo la valoron de pi egalan al 3,2. Laŭ rekordo-libro de Giuness oni deklaris la valoron de pi egala al 4.
 En 1853 William Shanks publikigis sian kalkulon de la unuaj 707 onaj ciferoj de , kiujn li kalkulis permane. Post 92 jaroj, en 1945 oni eltrovis, ke la lastaj 180 ciferoj estis malĝustaj.
 La versi-numero de enpaĝiga programo TeX de Donald Knuth spite al kutimaj konvencioj ekde 90-aj jaroj plu alproksimiĝas al , la versio el la jaro 2002 havas la numeron 3.141592  .
 Sciencistoj sendas pere de radioteleskopo la nombron pi al universo. Oni kredas, ke aliaj civilizoj scios pro tiu nombro kiam ili ricevos tiun signalon.
 La aktuala rekordo por laŭtlego de la nombro pi estas 108.000 onaj ciferoj dum 30 horoj. Oni komencis legi la 3-an de junio 2005 je la 18:00 kaj finis la 5-an de juni 2005 ekzakte je 0:00. Pli ol 360 volontuloj legis ĉiu po 300 ciferojn. Tiu legado estis organizita pere de matematikistoj el Gießen.

 Pi-sporto 
La parkerigo de pi jam fariĝis sporto, foje nomita Pi-sporto. Tiu parkerigo estas la plej bona metodo pruvi sian kapablon memorigi longajn ciferojn. La ĉino Ĉao Lu estas oficiala mond-rekordulo kun pruvitaj 67 890 onaj ciferoj, kiujn li la 20-an de novembro 2005 senerare deklamis dum 24 horoj kaj 4 minutoj. Ĉar plej ofte oni uzas memorhelpilojn, la Pi-sporto tre fote estas nomita Pifilologio.

|+ Rekordaj recitantoj de pi
! Nomo
! Lando
! nombro da decimaloj
! daŭro de la recitado
! dato
! Rekordo
|-----
| rowspan="2" | Akira Haraguchi, 59-jara
| rowspan="3" | Japanio
| + ol 100 000
| 16 horoj
| 3-a de oktobro 2006
| absoluta rekordo registrita de Guiness libro, diskutata
|-
| 83 431
|
| 2-a de julio 2005
| ne agnoskita
|-----
| Hiroyuki Goto, 22-jara
| 42 195
|
| 18-a de februaro 1995
| rekordo en Guiness libro ĝis 2006
|-
| Ĉao Lu, 24-jara
| Ĉinio
| 67 890
| 24 h 4 m
| 20-an de novembro 2005
| oficiala mond-rekordulo kun senerara deklamado
|-----
| Daniel Tammet, 25-jara
| Britio
| 22 514
| 5h 9 m
| 14-an de marto 2004
| Eŭropa rekordo
|-
| Marc Umile, 40-jara
| Usono
| 12 887
| 3h 40
| januaro 2007
| nordamerika rekordo
|}
 Listo de rekordaj pi-recitantoj 

 Memorhelpiloj 
Ekzistas pluraj memorhelpiloj por parkere ellerni la decimalojn de la nombro π. Grandega kolekto de centoj de diverslingvaj memorhelpiloj troviĝas ĉe la retpaĝo PiPhilology  prizorgita de Andreas P. Hatzipolakis.

La plejparto de memorhelpiloj kodas la ciferojn per la nombro de literoj en vorto. Jen esperantlingva memorhelpa poemo de Christian Rivière por memori la unuajn 31 decimalojn de π:

 Kun π, ĉiam l'afero konverĝas,
  3, 1   4   1   5       9
 al nombro utila kaj magia.
  2   6      5    3    5
 Infinite decimaloj anseras,
    8        9         7
 ĝiseterne tra la paĝ' fantazia.
     9      3   2  3      8

 Kiel nebulo el tabulo mara,
   4    6    2    6     4
 Tra nia universo kaj ĉe lekcioj,
  3   3     8      3   2    7
 Cifervica poemo
     9       5

Por parkere ellerni la unuajn 103 decimalojn de π kreis Martin Minich esperantlingvan kaj slovaklingvan rep-tekston kiu konsistas el la decimaloj mem, sed taŭge grupigitaj por krei versojn de poemo.

 Unuaj ciferoj 
Unuaj 500 ciferoj: 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094 33057 27036 57595 91953 09218 61173 81932 61179 31051 18548 07446 23799 62749 56735 18857 52724 89122 79381 83011 94912

 Taŭ 
Bob Palais verkis en 2001 artikolon Pi is wrong! (Pi estas malĝusta!), kie li prezentis kialojn kial pi ne estas la plej taŭga konstanto kaj proponis anstataŭigi ĝin per nova konstanto. Tiu konstanto egalus duoblon de pi.

Michael Hartl publikigis en 2010 The Tau Manifesto (La taŭ-manifesto), kie li proponis la grekan literon taŭo por reprezenti la konstanton proponitan de Palais kaj prezentis diversajn kialojn por la enkonduko de tiu ĉi nova konstanto.

 Priskribo 
La scio pri la heredado de karakterizaĵoj estis implicite uzata ekde prahistoriaj tempoj por plibonigi terkultivadon kaj bestobredadon. Tamen, la moderna genscienco, kiu provas interpreti la mekanismojn de heredado, sole komencis kun la laboro de Gregor Mendel meze de la deknaŭa jarcento. Kvankam li ne konis la fizikan bazon por heredado, Mendel observis, ke heredado estas fundamente diskreta procedo, kie specifaj trajtoj estas sendepende hereditaj — tiujn bazajn unuojn de heredado oni nun nomas genoj.

Genoj estas regionoj de DNA, molekulo konsistanta el ĉeno de kvar diversspecaj nukleotidoj - la sinsekvo de ĉi tiuj nukleotidoj estas la genetikaj informoj, kiujn la organismoj heredas. DNA ĉefe aperas en duobla grundita formo, kun nukleotidoj sur ĉiu fadeno kompletiga reciproke. Ĉiu fadeno povas agi kiel ŝablono por sintezo de nova partnera fadeno - ĉi tio estas la fizika mekanismo por la kopio kaj heredo de genetikaj informoj.
eta|182x182ra|
La sinsekvo de nukleotidoj en DNA estas uzita de ĉeloj por produkti specifajn sinsekvojn de aminoacidoj, estigantaj proteinojn - korespondado nomata la genetika kodo. Ĉi tiu sinsekvo de aminoacidoj en proteino determinas kiel ĝi aliiĝas en plastika strukturo; ĉi tiu strukturo siavice responsas pri la proteina funkcio. Proteinoj plenumas preskaŭ ĉiujn bezonatajn funkciojn por la vivo kaj reproduktado de ĉeloj. Ŝanĝo en DNA-sinsekvo povas ŝanĝi la proteinan strukturon kaj konduton, kaj ĉi tiu povas kaŭzi dramecajn sekvojn en la ĉelo kaj ĝenerale en la organismo.

Kvankam genetiko ludas grandan rolon en determinado de la apero kaj konduto de organismoj, estas la interrilato de genetiko kun la natura medio kaj organismaj spertoj, kiuj determinas la finfinan rezulton. Ekzemple, dum genoj determinas ies alton, la nutrado kaj sano, kiujn tiu persono spertis en infanaĝo ankaŭ havas grandan efikon.

 Konceptoj 
Genetika diverseco estas la totala nombro de genetikaj karaktroj en la genetika formado de specioj. Ĝi distingiĝas el "genetika varieblo", kiu priskribas la tendencon de la genetikaj karaktroj al variado.

 Organizoj 

 Usona Societo pri Homa Genetiko

 En Esperanto aperis 

 Frank van Hertrooij, Vivo de Pi ĉe la blogo Scivolemo, 14-a de marto 2018

 Referencoj 

Bibliografio
 Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2006). Pi Unleashed. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-66572-4. Alirita la 5an de Junio 2013. Angla traduko de Catriona kaj David Lischka.
 Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (1991). History of Mathematics (2a eld.). Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8.

Vidu ankaŭ
Pi-tago
 Eksteraj ligiloj 

  La ĝojo de Pi fare de David Blatner
  Dekumaj vicoj por alproksimiĝo al Pi en la Interreta enciklopedio de entjeraj vicoj
  J J O'Connor and E F Robertson: La historio de Pi. Projekto Mac Tutor
  Multaj formuloj por π ĉe MathWorld
  PlanetMath: Pi 
  Manifesto de "τ"
  Serĉante la valoron de π
  Determino de π
  BBC Radio-elsendo pri π
  Statistika distribio de informo en PI  surbaze de 1.2 miliardoj ciferoj de PI
  Unuaj 4 milionaj onaj ciferoj de π  - Atenton! - La dosiero estas ĉirkaŭ 2 Mb granda!
  Unu miliono da onaj ciferoj
 La unua miliono de ciferoj ĉe la projekto Gutenberg π 
  Serĉo de certa cifera sinsekvo inter la unuaj 200 milionoj de onaj ciferoj 
  Fontokondo por kalkuli π 
  π estas falsa! La opinio kial 2π kiel konstanto estas multe pli praktika por matematiko.
  70 milionoj ciferoj de Pi(π). 
  Kial aperis la nomo „“ por tiu nombro
  Arkimedo kaj eltrovo de pi
  Retpaĝo de Yasumasa Kanadas programo por kalkuli la unuajn 32 milionojn de onaj ciferoj
  Pibel.de – Ĝis 10 milionoj de onaj ciferoj
  Mond-rangolisto de -parkerigantoj
  Kalkulo de pi-alproksimiĝo 
  Pi-memory