Aritmetiko

Aritmetiko estas branĉo de matematiko, studanta la naturon kaj proprecojn de nombroj kaj speciale la proprecojn de la tradiciaj operacioj kiujn oni faris pere de ili — nome adicio, subtraho, multipliko kaj divido. Ĝi inkluzivas ankaŭ la studon pri algoritmoj kaj operacioj super entjeroj kaj frakcioj, kvocientoj, proporcioj, procentoj. La nomo devenas de la vorto  arithmos, kiu signifas "nombron" en greka lingvo.

La moderna aritmetiko ne okupiĝas nur pri elementaj kalkuloj, sed pri gravaj ecoj de entjeroj (primeco, plej granda komuna divizoro, primaj faktoroj ktp.) kaj similaj ecoj de aliaj objektoj (ekzemple elementoj de ringoj). Evoluo de Aritmetiko venigis al apartigo de novaj matematikaj branĉoj: Algebro kaj Nombroteorio.

 Historio 
La prahistorio de aritmetiko estas limigita al malgranda nombro de artifaktoj kiuj povas indiki la koncepton de adicio kaj subtraho, kies plej bone konata restaĵo estas la Iŝanga osto el centra Afriko, kiu datas el iam inter 20,000 kaj 18,000 jaroj a.K., kvankam ties interpretado estas disputata.

La plej fruaj verkitaj registroj indikis ke jam en Antikva Egipto kaj Babilono oni uzis ĉiujn operaciojn de elementa aritmetiko tiom frue kiom ĉe 2000 a.K. Tiuj artifaktoj ne ĉiam pruvas la specifan procezon uzitan por solvi numerajn problemojn, sed la karakteroj de la partikulara nombrosistemo forte influas la komplikecon de metodoj. La hieroglifa sistemo de la egiptaj ciferoj, same kiel la postaj Romaj ciferoj, descendis el la kalkulaj markoj uzitaj populare por kalkuladi. Ambaŭokaze, tiu deveno rezultis en valoroj kiuj uzis dekuman bazon, sed ne inkludis pozician nombrosistemon. Kompleksa kalkulado pere de romaj ciferoj postulis la helpon de kalkultabulo aŭ de abako por havi la rezultojn.

La plej fruaj nombrosistemoj kiuj inkludis pozician nombrosistemon ne estis dekumaj, kiel la sesdekuma sistemo (kun bazo de 60) de la Babilonaj ciferoj kaj la dudekuma sistemo (kun bazo de 20) en kiu konsistis la ciferoj de Majaoj. Pro tiu pozici-valora koncepto, la kapablo reuzi la samajn ciferojn por diferencaj valoroj kontribuis al pli simplaj kaj pli efikaj metodoj de kalkulo.

eta|dekstra|Skulptaĵo reprezentanta Eŭklidon, Oxford University Museum.
La kontinua historia disvolvigo de la moderna aritmetiko startas ĉe la Helenisma Epoko de Antikva Grekio, kvankam ĝi originiĝis multe pli poste ol la menciitaj ekzemploj de Babilonanoj kaj Egiptianoj. Antaŭ la verkoj de Eŭklido de ĉirkaŭ la jaro 300 a.K., Grekaj matematikistoj koincidis kun la filozofiaj kaj mistikismaj kredoj. Por ekzemplo, Nikomaĥo resumis la vidpunktojn de la pli frua Pitagorisma alproksimiĝo al nombroj, kaj ties rilataro de unu kun alia, en sia Enkonduko al Aritmetiko.

La Grekaj ciferoj estis uzitaj de Arkimedo, Diofanto kaj aliaj en pozicia notacio ne tre diferenca el la nuntempa. Mankis al la antikvaj grekoj simbolo por nulo ĝis la Helenisma Epoko, kaj ili uzis tri apartajn seriojn de simboloj kiel ciferoj: nome unu serio por la lokoj de unuoj, alia por la lokoj de dekoj, kaj alia tria por la lokoj de centoj. Por la loko de miloj ili uzis la simbolojn de la unuoloko, kaj tiel plu. Ties aldona algoritmo estis sama al tiu nuntempa, kaj ties multiplika algoritmo estis nur tre malmulte diferenca. Ties longa divida algoritmo estis la sama, kaj la algoritmo por kalkuli kvadratajn radikojn, populare uzita ĝis tiom ĵuse kiom ĝis la 20a jarcento, estis konata jam de Arkimedo, kiu eble inventis ĝin. Li fakte preferis ĝin al la metodo de Herono de sinsekva alproksimiĝo ĉar, kalkulita, cifero ne ŝanĝas, kaj la kvadrataj radikoj de perfektaj kvadratoj, kiaj , finas tuj kiel . Ĉe ciferoj kun frakcia parto, kiel , ili uzis negativajn potencojn de 60 anstataŭ negativajn potencojn de 10 por la frakcia parto, nome .The Works of Archimedes, Chapter IV, Arithmetic in Archimedes, eldonita de T.L. Heath, Dover Publications Inc, New York, 2002.

La antikvaj ĉinoj progresis en aritmetikaj studoj el la Dinastio Ŝang kaj pluis tra la Dinastio Tang, el bazaj ciferoj al antaŭenirinta algebro. La antikvaj ĉinoj uzis pozician notacion similan al tiu de la grekoj. Ĉar ankaŭ al ili mankis simbolo por nulo, ili havis unu serion de simboloj por la loko de unuoj, kaj duan serion por la loko de dekoj. Por por la loko de centoj, ili reuzis la simbolojn de la loko de unuoj, kaj tiel plu. Iliaj simboloj estis bazitaj sur la antikvaj kalkulbastonoj. Estas komplika demando determini precize kiam la ĉinoj ekkalkulis per pozicia reprezentado, sed ĝi certe okazis definitive antaŭ la jaro 400 a.K.Joseph Needham, Science and Civilization in China, Vol. 3, p. 9, Cambridge University Press, 1959. La antikvaj ĉinoj estis la unuaj kiuj klare malkovris, komprenis, kaj aplikis negativajn nombrojn kiel oni klarigas en la verko Naŭ ĉapitroj pri la matematika arto (Ĝiuĵang Suanŝu), kiu estis verkita de Liu Hui.

La laŭgrada disvolvigo de la Hind–arabaj ciferoj sendepende de la difinita loko-valora koncepto kaj pozicia notacio, kiu kombinis la pli simplajn metodojn por kalkuloj per dekuma bazo kaj la uzadon de cifero reprezentante nulon. Tio ebligis ke la sistemo konsiste reprezentu kaj grandajn kaj malgrandajn entjerojn. Tiu alproksimiĝo finfine anstataŭis ĉiujn aliajn sistemojn. En la komenco de la 6a jarcento p.K., la hindia matematikisto Aryabhata aligis ekzistintan version de tiu sistemo en sia verko, kaj eksperimentis per diversaj notacioj. En la 7a jarcento, Brahmagupta establis la uzadon de 0 (nulo) kiel aparta cifero kaj determinis la rezultojn por multiplikado, divido, sumo kaj subtraho de nulo kaj de ĉiuj aliaj ciferoj, escepte ĉe la rezulto de divido per nulo. Liatempa, la siriaka episkopo Severo Seboĥt (650) diris, "Hindianoj posedas kalkulmetodon kiu ne estas sufiĉe laŭdita. Ties racia sistemo de matematiko, aŭ ties kalkulmetodo. Mi celas la sistemon kiu uzas naŭ simbolojn."Reference: Revue de l'Orient Chretien de François Nau pp.327-338. (1929) Ankaŭ la araboj lernis tiun novan metodon kaj nomis ĝin ĥesab (la arablingva radiko por kalkulo).

eta|200ra|La Radokalkulilo de Leibniz estis la unua kalkulilo kiu povis plenumi la kvar aritmetikajn operaciojn.
Kvankam la Codex Vigilanus priskribis fruan formon de Arabaj ciferoj (sen 0) ĉirkaŭ la jaro 976, Leonardo de Pisa (Fibonacci) estis ĉefa respondeco pri la etendo de ties uzado tra Eŭropo post la publikigo de sia libro Liber Abaci en 1202. Li verkis, "La metodo de hindianoj () surpasas ajnan konatan metodon por kalkuli. Ĝi estas mirinda metodo. Ili faras siajn kalkulojn uzante naŭ ciferojn kaj simbolon por nulo".Reference: Sigler, L., "Fibonacci's Liber Abaci", Springer, 2003.

En la Mezepoko, aritmetiko estis unu el la sep liberaj artoj instruataj en universitatoj.

La florado de algebro en la mezepoka Islama mondo kaj en la renesanca Eŭropo estis elkreskaĵo de la enorma simpligo de kalkulado pere de dekuma notacio.

Variaj tipoj de iloj estis inventitaj kaj amplekse uzataj por helpi en la tasko de nombra kalkulado. Antaŭ la Renesanco, ili estis variaj tipoj de abakoj. Pli ĵusaj ekzemploj estas glitkalkuliloj, nomografoj kaj mekanikaj kalkuliloj, kiaj la paskala kalkulilo. Nuntempe, ili estis anstataŭitaj de elektronikaj kalkuliloj kaj komputiloj.

 Aritmetikaj operacioj 
La bazaj aritmetikaj operacioj estas adicio, subtraho, multipliko kaj divido. Ĉiuj el ili estas duargumenta operacio, t.e. ĝi ricevas du nombrojn kaj finkalkule eldonas alian trian. Kvankam oni inkludas ankaŭ pliajn antaŭenirintajn operaciojn, kiel manipulado de procentoj, kvadrataj radikoj, eksponentado, kaj logaritmaj funkcioj. Aritmetiko estas plenumita laŭ ordo de operacioj.

En matematiko, la bazaj duargumentaj operacioj estas la jenaj:

 Adicio 

Adicio estas operacio por trovi la sumon de nombroj aŭ kvantoj. La signo de adicio estas + (plus). Se oni adicias 5 kaj 3, oni ricevos 8. 5 kaj 3 estas la adiciatoj, 8 estas la sum-valoro. Precize, oni nomu la termon '5 + 3' sum-termon aŭ sum-esprimon, sed fak-mallonge ofte ankaŭ nur sumon.

La tradicia maniero koncerne la skribforman adicion - ekz-e de la naturaj nombroj 295 kaj 107 (dekume prezentitaj) - okazus jene:

La kalkulado reduktiĝas al relative facila (elementa) sumado de unu-ciferaj nombroj. Unu-cifera nombro de unuoj de la sum-valoro estas skribenda sub la sum-streko, kaj la unucifera nombro de dekoj estas ŝovenda maldekstren super la strekon. Tiu restaĵo estas la ŝovenda nombro (de:Übertrag).
La ruĝaj ciferoj sur la bildo estas tia ŝovenda nombro (de dekoj), kiu estas ricevita post for-apartigo de la dekstraflanka cifero (nombro de unuoj).

 Subtraho 

Subtraho estas operacio por trovi la diferencon inter unua nombro (aŭ kvanto) kaj dua nombro (aŭ kvanto), en tiu ordo; la signo de subtraho estas − (minus). Ekz. ĉe la subtraho: 9−6=3 oni diras, ke 9 estas la malpliigato, 6 estas la subtrahanto, 3 estas la diferenco. Ĝia kontraŭa operacio estas la adicio.

 Multipliko 

En matematiko, multipliko aŭ obligo estas duargumenta operacio. Ĝi povas esti aplikata al diversaj objektoj. Argumentoj de multipliko estas faktoroj kaj la rezulto estas produto.

Multipliko povas esti skribata per kelkaj manieroj. Ekzemple multipliko de 5 kaj 2:

5×2
5·2
5*2

La asterisko (*) estas ofte uzata en komputiloj ĉar ĝi estas simbolo sur ĉiu klavaro, sed ĝi estas malofte uzata kiam oni skribas permane. Ĉi tiu uzado devenis en la programlingvo Fortrano.

Ofte, multipliko estas subkomprenata sen uzo de aparta signo. Ĉi tiu estas normo en algebro, ekzemple:
5x
xy

Ĉi tiu potenciale povas misigi se nomoj de variabloj povas havi pli ol unu literon. Ĉi tiu skribmaniero estas ne uzata inter nombroj sola: 52 ne estas 5 × 2. Kodo de la multiplika signo × estas deksesuma D7 en unikodo, en HTML ĝi povas esti skribata kiel ×.

 Divido 

En matematiko, aparte en elementa aritmetiko, divido estas aritmetika operacio kiu estas la inverso de multipliko.

Specife, se 
kie b estas ne nulo, tiam

kio estas, a dividita per b egalas al c. Oni povas pli koncize legi kiel "a sur b egala al c".

Ekzemple,  ĉar .

En la pli supre esprimo, a estas nomita la dividato aŭ numeratoro, b la dividanto aŭ denominatoro kaj c la kvociento.

Divido per nulo (do kiam la dividanto estas nulo) estas kutime ne difinita.

Divido estas plej ofte montrita per skribado de la dividato super la dividanto kun horizontalo inter ili. Ekzemple, a dividita per b estas skribata kiel .

Maniero esprimi dividon tute sur unu linio estas skribi la dividaton, tiam oblikvon, tiam la dividanton, tiamaniere: .
Ĉi tio estas la kutima maniero precizigi dividon en plej multaj komputilaj programadaj lingvoj ĉar ĝi povas facile esti tajpita kiel simpla vico de signoj.

Presa variado kiu estas meze inter ĉi tiuj du formoj uzas oblikvon sed altigas la dividaton, kaj malaltigas la dividanton: a⁄b

Iu ajn el tiuj formoj povas ordinare elmontri frakcion. Frakcio estas divida esprimo kie kaj dividato kaj dividanto estas entjeroj (kvankam tipe nomitaj la numeratoro kaj denominatoro respektive), kaj ne estas implico, ke la divido bezonas esti plue pritaksita.

 Nombroteorio 

Nombroteorio estas branĉo de matematiko, dediĉita al la studo de proprecoj de entjeroj kaj ĝiaj ĝeneraligoj (ekz. algebraj entjeroj). La demandoj pri la plej granda komuna divizoro, la plej malgranda komuna oblo, malkomponado je primoj, prezento de natura nombro en iu certa formo, ĝia dividebleco kaj aliaj temoj estas studobjektoj de la nombroteorio. Ĝi inkluzivas ankaŭ: teorion de komparoj, diofantaj ekvacioj, ĉena frakcio, diofantaj alproksimiĝoj, transcendaj ekvacioj k.a. Ekde la 1980-aj jaroj nombroteorio trovis surprizajn aplikojn en ĉifrado (kriptografio); ĝi ebligis la unuajn nesimetriajn ĉifrojn. En speciala literaturo oni ofte trovas ankaŭ sinonimajn terminojn – Teorio de Nombroj aŭ Teorio pri Nombroj.

 Aritmetikaj konceptoj 
 Resto
 Fundamenta teoremo de aritmetiko
 aroj de nombroj
 nombrosistemo
 dekuma nombrosistemo
 aritmetika meznombro
 aritmetika vico

 Operacioj 
 adicio
 subtraho
 multipliko
 divido
 procento
 kvadrata radiko
 potenco
 logaritmo

 Vidu ankaŭ 
 Algebro
 Geometrio
 Kalkulo
 Matematiko
 Trigonometrio

 Notoj 

Bibliografio




























































































































































































































 Eksteraj ligiloj 

 http://www.orthopedagogiek.info/Testen%20onderwijs.htm 
 http://www.cito.nl/po/vakken/rekwisk/eind_fr.htm 
 http://www.music.indiana.edu/tml/9th-11th/ODOREG_TEXT.html  Reguloj pri abako


Kategorio:Matematiko