Teorio de kategorioj

La teorio de kategorioj aŭ kategorio-teorio estas moderna koncepto, kiu aperis en la jaroj 1940-aj en la artikoloj de Samuel Eilenberg kaj Saunders MacLane. Plej simple esprimite, ĝi estas ĝenerala teorio de strukturoj kaj sistemoj de strukturoj. Fakte, oni povas diri, ke la teorio de kategorioj ne estas aparta matematika fako, sed ilo, kiu utilas en diversaj matematikaj fakoj, aŭ lingvo, per kiu oni povas diskuti strukturojn, kiuj aperas en diversaj fakoj.

La bazaj nocioj de la teorio estas simplaj. Kategorio konsistas el du specoj: objektoj kaj sagoj inter tiuj objektoj.

Grave, kategorio ankaŭ bezonas surhavi tri operaciojn: fontoperacio mallongita al fon, kofontoperacio (aŭ celoperacio), mallongigita al kof, kaj komponoperacio, skribe ∘.

La operacio fon estas funkcio de la sagoj de la kategorio al la objektoj de la sama kategorio, kiu donas la komencon de ĉiu sago. 

Simile, kof donas la finon de ĉiu sago.

La komponoperacio estas duvalenta (ne nepre ĉie difinita) operacio difinita, se kaj nur se la kofonto de la unua sago egalas la fonton de la dua. Kategorio devas ankaŭ havi la jenajn ecojn:

 Ĉiu objekto C havas identsagon (ofte skribita 1C aŭ idC) tia, ke 1C ∘ f = f = f ∘ 1C ĉe ĉiuj sagoj f.
 La komponoperacio estas asocia: (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h) ĉe sagoj f, g, h.
 fon(f ∘ g) = fon(g) kaj kof(f ∘ g) = kof(f). Kial tio validu, iĝas klare, kiam oni rememoras, ke la prototipa signifo de f ∘ g estas 'unue f kaj poste g '.
Por ilustri, vi povas imagi, ke la objektoj estas aroj, la sagoj estas ĉiuj funkcioj inter la aroj, kaj la komponoperacio estas ordinara funkcia komponado. Ĝi estas konkreta kategorio ĉar la objektoj estas iuj aroj (eble kun aldonita strukturo), la sagoj estas iuj funkcioj, kaj la komponoperacio estas funkcia komponado. Aliaj ekzemploj de konkretaj kategorioj estas la kategorio de grupoj kaj homomorfioj, la kategorio de topologioj kaj kontinuaj funkcioj k.s. Ekzistas ankaŭ pluraj kategorioj, kiuj ne estas konkretaj; ĉi tiuj abstraktaj kategorioj ofte okazas per konstruadoj el aliaj kategorioj (ekz. konstruadoj de mala/inversa kategorio, tranĉa kategorio, kategorioj de monadalgebroj kaj koalgebroj).

Kiam oni esprimas strukturojn en la lingvo de kategorioj, oni gajnas ne nur la eblecon studi la ecojn de la strukturoj, sed ankaŭ la eblecon studi la tipojn de strukturoj. Por tio ekzistas la koncepto funktoro. Koncepte, funktoro estas transformo inter du kategorioj, plenumanta kelkajn evidentajn ecojn pri sia efiko al la objektoj kaj sagoj en la fonta kategorio.

Aldone al la baza kadro de kategorioj kaj funktoroj, konstruiĝis tuta teorio kun aliaj konceptoj kiel naturaj transformoj, komplementaj funktoroj, kaj limoj. Tiuj strukturoj abundas en ĉiuj fakoj de matematiko, fojfoje evidente kaj fojfoje kaŝite. Ĝuste rivelado de kategoriaj strukturoj estas la plej grava utilo de kategorio-teorio. Kiam oni trovas kategorion en iu matematika fako, subite ĉiuj rezultoj pri kategorioj validas pri tiuj strukturoj, do jen multe da novaj rezultoj sen multe da penado. Kaj, memkompreneble, tia malkovrado donas pli profundan komprenon de la strukturoj.

Por multaj, la teorio de kategorioj estas alternativo al la aroteorio.

La teorio de kategorioj utilas interalie en matematika studado de komputillingvoj (ekzemple, en la studado de tipo-sistemoj) kaj topologio.