Εικόνα (μαθηματικά)

Στα μαθηματικά, εικόνα ενός υποσυνόλου του πεδίου ορισμού μίας συνάρτησης ονομάζεται το σύνολο των τιμών που μπορεί να λάβει μέσω αυτής της συνάρτησης.

Πιο συγκεκριμένα, έστω μία συνάρτηση  και . Η εικόνα του  μέσω της  είναι το σύνολο 
,
και συνήθως συμβολίζεται με  ή απλά .

 Ορισμοί 

 Εικόνα ενός στοιχείου 

Εικόνα ενός στοιχείου  του πεδίου ορισμού μίας συνάρτησης  ονομάζεται το στοιχείο  δηλαδή το μοναδικό στοιχείο  για το οποίο .

 Παραδείγματα 
 Για την συνάρτηση  με , η εικόνα του  είναι το . 
 Για την συνάρτηση  με , η εικόνα του  είναι το . 
 Για την συνάρτηση , η εικόνα του  είναι το  και του  είναι το . 

 Εικόνα ενός συνόλου 
Εικόνα ενός υποσυνόλου  του πεδίου ορισμού  είναι το σύνολο 
.
Το σύνολο αυτό συμβολίζεται ως  ή  (ή απλά ), και ορίζει μία συνάρτηση από το δυναμοσύνολο του  στο δυναμοσύνολο του , δηλαδή .

Από αυτόν τον ορισμό προκύπτει ότι  για κάθε στοιχείο .

 Παραδείγματα 
 Για την συνάρτηση  με , η εικόνα του
  είναι το σύνολο ,
  είναι το σύνολο ,
  είναι το σύνολο .
 Για την συνάρτηση  με , η εικόνα του
  είναι το σύνολο , 
  είναι το σύνολο , 
  είναι το σύνολο . 
 Για την συνάρτηση , η εικόνα του 
  είναι το ,
  είναι το . 

 Εικόνα της συνάρτησης 
Εικόνα της συνάρτησης είναι η εικόνα του πεδίου ορισμού , ή ισοδύναμα
.

 Παραδείγματα 
 Η εικόνα της συνάρτησης  με  είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών . 
 Η εικόνα της συνάρτησης  με , είναι το σύνολο των μη-αρνητικών πραγματικών αριθμών . 
 Η εικόνα της συνάρτησης , είναι το σύνολο .

 Αντίστροφη εικόνα 

Η αντίστροφη εικόνα ενός υποσυνόλου  του πεδίου τιμών  της συνάρτησης είναι το σύνολο 
.
Το σύνολο αυτό συμβολίζεται ως ,  (ή απλά ) και ορίζει μία συνάρτηση από το δυναμοσύνολο του  στο δυναμοσύνολο του , δηλαδή .  
 Παραδείγματα 

 Για την συνάρτηση  με , η αντίστροφη εικόνα του
  είναι το σύνολο ,
  είναι το σύνολο ,
  είναι το σύνολο .
 Για την συνάρτηση  με , η αντίστροφη εικόνα του
  είναι το σύνολο , 
  είναι το σύνολο , 
  είναι το σύνολο . 
 Για την συνάρτηση , η αντίστροφη εικόνα του 
  είναι το ,
  είναι το . 

 Ιδιότητες 

 Εικόνα 
Για κάθε συνάρτηση  και κάθε  
  αν και μόνο αν .
 Αν  τότε .

 .

 .
Σημείωση: Αν η  είναι ένα προς ένα, τότε ισχύει η ισότητα. 

 Για κάθε  και , ισχύει ότι για ,
.

 Για ένα πεπερασμένο σύνολο , ισχύει ότι .

 Αντίστροφη εικόνα 
Για κάθε συνάρτηση  και κάθε  
 .
Σημείωση: Για μία επί συνάρτηση ισχύει ότι  αν και μόνο αν .

 .

 .

 .

 .

 .

 Αν  για κάποιο , τότε . 
Σημείωση: Η προϋπόθεση χρειάζεται, καθώς στην συνάρτηση  παραπάνω αν , τότε  και  (και τα δύο σύνολα δεν είναι ίσα).

 Δείτε επίσης 
 Συνάρτηση

 Παραπομπές