Δέσμη ευθειών

Στην γεωμετρία, συντρέχουσες ονομάζονται δύο ή περισσότερες ευθείες που τέμνονται σε (ακριβώς) ένα σημείο.

Ένα σύνολο των ευθειών που συντρέχουν λέγονται δέσμη ευθειών και το σημείο τομής τους λέγεται το κέντρο της.

 Ιδιότητες 

Έστω δύο παράλληλες ευθείες  και τρεις ευθείες  που τέμνουν αυτές τις ευθείες στα σημεία   αντίστοιχα. Οι  αποτελούν δέσμη, αν και μόνο αν 
,
δηλαδή τα τμήματα που αποκόπτουν από τις παράλληλες είναι ανάλογα μεταξύ τους.

 Παραδείγματα 

 Τρίγωνα 

 Οι ευθείες των υψών ενός τριγώνου συντρέχουν στο σημείο που λέγεται ορθόκεντρο του τριγώνου.
 Οι ευθείες των διχοτόμων ενός τριγώνου συντρέχουν στο σημείο που λέγεται έγκεντρο του τριγώνου.
 Οι ευθείες των διαμέσων ενός τριγώνου συντρέχουν στο σημείο που λέγεται βαρύκεντρο του τριγώνου.
 Οι ευθείες των συμμετροδιαμέσων του τριγώνου συντρέχουν στο συμμετροδιάμεσο σημείο του τριγώνου.

 Κανονικά πολύγωνα 
 Οι μεσοκάθετοι των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου διέρχονται από το κέντρο του.

 Αναλυτική γεωμετρία 

Η εξίσωση της δέσμης ευθειών είναι η



Οι συντεταγμένες του κέντρου βρίσκονται από την επίλυση του συστήματος


Αν  τότε έχουμε   μια μονοπαραμετρική οικογένεια ευθειών. Η μονοπαραμετρική οικογένεια ευθειών  μαζί με την ευθεία  αποτελούν την δέσμη ευθειών . Η ίδια δέσμη ορίζεται και για  μαζί με την ευθεία 

Αν   το κέντρο της δέσμης , τότε είναι και το κέντρο της μονοπαραμετρικής οικογένειας ευθειών . Η δέσμη ευθειών που διέρχονται από το   καλύπτει όλο το επίπεδο, δηλαδή η δέσμη ευθειών με κέντρο το     περιέχει όλες τις ευθείες του επιπέδου που διέρχονται από αυτό ενώ δεν ισχύει το ίδιο για την μονοπαραμετρική οικογένεια ευθειών. 
Για παράδειγμα το σύνολο των ευθειών της δέσμης  είναι το σύνολο των ευθειών της μονοπαραμετρικής οικογένειας ευθειών  μαζί με την ευθεία .
Στο παραπάνω παράδειγμα η δέσμη ευθειών  έχει κέντρο το . Παρατηρούμε ότι η ευθεία με εξίσωση  διέρχεται από το  και ανήκει στην δέσμη ευθειών αφού παράγεται από αυτήν για  και  ενώ η μονοπαραμετρική οικογένεια ευθειών  δεν μπορεί να την παράγει αφού δεν υπάρχει τιμή του πραγματικού αριθμού   ώστε  και .

Αν είναι γνωστό το κέντρο  της δέσμης ευθειών τότε οι  εξισώσεις των ευθειών της είναι η οικογένεια  μαζί με την ευθεία 
 Δείτε επίσης 
 Δέσμημα
 Συνευθειακά σημεία
 Ομοκύκλια σημεία

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Γεωμετρία
Κατηγορία:Ευθείες