Τετράγωνο αθροίσματος και τετράγωνο διαφοράς

Στα μαθηματικά, το τετράγωνο αθροίσματος αναφέρεται στην ύψωση ενός αθροίσματος δύο αριθμών στο τετράγωνο, δηλαδή μία έκφραση της μορφής 
,
συνήθως για πραγματικούς αριθμούς .
Η ταυτότητα του τετραγώνου του αθροίσματος λέει ότι
.
Το τετράγωνο διαφοράς δύο αριθμών αναφέρεται στην ύψωση της διαφοράς δύο αριθμών στο τετράγωνο, δηλαδή μία έκφραση της μορφής
.
Η ταυτότητα του τετραγώνου της διαφοράς λέει ότι
.

Οι δύο ταυτότητες εμφανίζονται ως Πρότασεις 4 και 7 στο Βιβλίο 2 στα Στοιχεία του Ευκλείδη.

 Απόδειξη 

 Εφαρμογές 

 Πολική ταυτότητα 
Άμεση συνέπεια των παραπάνω ταυτοτήτων είναι η λεγόμενη πολική ταυτότητα, η οποία εμφανίζεται ως Πρόταση 8 στο Βιβλίο 2 στα Στοιχεία:
.

 Ανισότητες 

Αφού το τετράγωνο ενός πραγματικού αριθμού είναι μη-αρνητικός αριθμός, λαμβάνουμε ότι 
.

Αυτή η ανισότητα χρησιμεύει στην απόδειξη διαφόρων άλλων. 

 Παράδειγμα 1ο (ΑΜ-ΓΜ) 
Αυτή η ανισότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην απόδειξη ότι ο αριθμητικός μέσος δύο αριθμών είναι μεγαλύτερος ή ίσος από τον γεωμετρικό μέσο, δηλαδή 
.
Η απόδειξη προκύπτει θέτοντας  και .

 Παράδειγμα 2ο 
Όταν , θέτοντας , η ανισότητα δίνει ότι 
.

 Γενίκευση 

Όταν λαβάνουμε το άθροισμα  όρων τότε η ταυτότητα γίνεται 
.

Για παράδειγμα, όταν  έχουμε ότι 
.

 Δείτε επίσης 
 Διαφορά τετραγώνων
 Άθροισμα δύο κύβων

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Μαθηματικές ταυτότητες