Μετρήσιμος χώρος

(Το περιεχόμενο σε αυτή την επεξεργασία έχει μεταφραστεί από το υπάρχον αγγλικό λήμμα της Wikipedia στο: Measurable space)

Μετρήσιμος χώρος είναι ένα βασικό αντικείμενο μελέτης στη θεωρία μέτρου. Είναι μια δυάδα  που αποτελείται από ένα σύνολο  και μια σ-άλγεβρα , η οποία καθορίζει τα υποσύνολα του  τα οποία θα μετριούνται.

Η έννοια του μετρήσιμου χώρου χρησιμοποιείται ώστε να οριστούν, αλλά και να γενικευτούν διαισθητικές έννοιες, όπως το μήκος, το εμβαδό και τον όγκο, για ένα οποιοδήποτε σύνολο . Εφόσον αυτές οι διαισθητικές έννοιες δεν αφορούν μεμονωμένα σημεία, αλλά σύνολα σημείων (πχ καμπύλες, γεωμετρικά σχήματα), χρησιμοποιείται ένα σύνολο , το οποίο αποτελείται από υποσύνολα του . Αυτό το σύνολο  οφείλει να είναι σ-άλγεβρα, δηλαδή να πληροί ορισμένες ιδιότητες τις οποίες θα αναμέναμε από ένα σύνολο "περιοχών": ότι η τομή ή η ένωση κάποιων περιοχών είναι επίσης περιοχή, ή ότι ο ολόκληρος ο χώρος εκτός μιας περιοχής είναι επίσης περιοχή.

 Ορισμός 
Ένας μετρήσιμος χώρος είναι μία δυάδα  που αποτελείται από ένα σύνολο  και μία σ-άλγεβρα  πάνω στο  .  Ένα σύνολο  είναι σ-άλγεβρα πάνω στο  αν ικανοποιεί:


 αν , τότε 
 αν , τότε 

Τα στοιχεία της   λέγονται μετρήσιμα σύνολα του μετρήσιμου χώρου.

Να γίνει η παρατήρηση ότι σε αντίθεση με έναν μετρικό χώρο, δεν απαιτείται μετρική για τον ορισμό ενός μετρήσιμου χώρου.

 Παραδείγματα 

 Έστω ένα οποιοδήποτε σύνολο . Τότε το  είναι σ-άλγεβρα πάνω στο , και η δυάδα  είναι η πιο απλή περίπτωση ενός μετρήσιμου χώρου. Αν επιπλέον , τότε το  είναι επίσης μια σ-άλγεβρα πάνω στο , και η δυάδα  είναι ένας δεύτερος μετρήσιμος χώρος για το .
 Έστω ένα αριθμήσιμο σύνολο . Τότε το το δυναμοσύνολο  είναι σ-άλγεβρα πάνω στο , άρα και ο  είναι μετρήσιμος χώρος.
 Έστω  ένας τοπολογικός χώρος (δηλαδή το  αποτελείται από υποσύνολα του  τα οποία λέγονται ανοιχτά, περιέχει το , και είναι κλειστό στις πεπερασμένες τομές και στις αριθμήσιμες ενώσεις). Τότε  η Borel σ-άλγεβρα  ορίζεται ως η μικρότερη δυνατή σ-άλγεβρα πάνω στο  με .

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Θεωρία μέτρου