Πραγματική συνάρτηση

Στα μαθηματικά, μία συνάρτηση ονομάζεται πραγματική αν το σύνολο τιμών της είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Δηλαδή, αν η συνάρτηση αντιστοιχεί τα στοιχεία ενός συνόλου σε πραγματικούς αριθμούς. 

Πιο συγκεκριμένα, μία συνάρτηση  είναι πραγματική ανΚάποιοι ορισμοί στην μαθηματική ανάλυση έχουν επίσης τον περιορισμό ότι το πεδίο ορισμού είναι υποσύνολο των πραγματικών αριθμών, δηλαδή . 
.

Ισοδύναμα, το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι υποσύνολο των πραγματικών αριθμών, δηλαδή .Σε αυτόν τον ορισμό δεν γίνεται αναφορά στο σύνολο . Συγκεκριμένα, θα μπορούσε να είναι υπερσύνολο των πραγματικών αριθμών (για παράδειγμα ίσο με ).

 Παραδείγματα 

Παραδείγματα από την πραγματική ζωή:
 Η συνάρτηση που αντιστοιχεί τα ονόματα των μαθητών μίας τάξης στο ύψος των μαθητών:
(Γιώργος, 1.62), (Δέσποινα, 1.73), (Ελένη, 1.55).
 Η συνάρτηση που αντιστοιχεί τις λίμνες της Ελλάδος στην έκτασή τους:
(Τριχωνίδα, 95,840), (Βόλβη, 75,456), (Αμβρακία, 14,477).
 Η συνάρτηση που αντιστοιχεί τους κατοίκους της Ελλάδας στον αριθμό ταυτότητάς τους είναι πραγματική (καθώς οι φυσικοί αριθμοί είναι υποσύνολο των πραγματικών).

Παραδείγματα από τα μαθηματικά:
 Η συνάρτηση του τετραγώνου  με . 
 Η συνάρτηση  με .
 Η συνάρτηση προσήμου είναι πραγματική συνάρτηση (παρόλο που συνδέει τους πραγματικούς αριθμούς μόνο σε τρεις ακεραίους)

 Η συνάρτηση  με  είναι πραγματική.
 Η συνάρτηση  με  είναι πραγματική, καθώς το σύνολο τιμών πρέπει να είναι υποσύνολο των πραγματικών και όχι το πεδίο τιμών.
 Κάθε ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μία πραγματική συνάρτηση.

 Ιδιότητες 
 Κάθε συνάρτηση  με  είναι πραγματική.
 Αν  και  είναι δύο πραγματικές συναρτήσεις με το ίδιο πεδίο ορισμού, τότε για κάθε πραγματικούς αριθμούς , ο γραμμικός τους συνδυασμός , δηλαδή η συνάρτηση  με  (για κάθε ) είναι επίσης πραγματική.

 Δείτε επίσης 
 Συνάρτηση
 Μιγαδική συνάρτηση

 Σημειώσεις 

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Στοιχειώδη μαθηματικά