Διαγώνιος

* Για άλλες σημασίες, δείτε Διαγώνιος (αποσαφήνιση).

Στη γεωμετρία διαγώνιος ονομάζεται κάθε ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο κορυφές ενός πολυγώνου ή ενός πολυέδρου όταν οι κορυφές αυτές δεν βρίσκονται στην ίδια πλευρά ή ακμή αντιστοίχως. Ο όρος στις περισσότερες ευρωπαϊκές γλώσσες προέρχεται από την αρχαία ελληνική λέξη διαγώνιος, που σημαίνει «από γωνία σε γωνία». Ο όρος χρησιμοποιήθηκε ήδη από τον ΣτράβωναΣτράβωνος Γεωγραφικά, 2.1.36-37 και τον ΕυκλείδηΕυκλείδου Στοιχεία, Βιβλίο 11, πρόταση 28 αναφερόμενος σε ένα ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει δύο κορυφές ενός ρόμβου ή κυβοειδούς Ευκλείδου Στοιχεία, Βιβλίο 11, πρόταση 38. Αργότερα υιοθετήθηκε από τη λατινική γλώσσα ως diagonus και έλαβε τη γενικότερη σημασία της πλάγιας γραμμής.

Πολύγωνα
Σε ένα πολύγωνο διαγώνιος είναι το ευθύγραμμο τμήμα μεταξύ δύο οποιωνδήποτε μη διαδοχικών κορυφών του. Επομένως ένα τετράπλευρο έχει δύο διαγωνίους, που ενώνουν μεταξύ τους τα δύο ζεύγη των αντίθετων κορυφών του. Σε οποιοδήποτε κυρτό πολύγωνο, όλες οι διαγώνιοι βρίσκονται στο εσωτερικό του σχήματος, ενώ σε κοίλα πολύγωνα, μερικές διαγώνιοι βρίσκονται εκτός του σχήματος.

Οποιοδήποτε πολύγωνο με n πλευρές (n ≥ 3), είτε κυρτό, είτε κοίλο, έχει  το πλήθος διαγωνίους συνολικώς, καθώς η κάθε κορυφή έχει διαγωνίους προς όλες τις άλλες κορυφές εκτός από την ίδια και τις δύο παρακείμενές της, δηλαδή  διαγωνίους, και η κάθε διαγώνιος μοιράζεται από δύο κορυφές.

 Πλευρές  Διαγώνιοι 3  0 4  2 5  5 6  9 7  14 8  20 9  27 10  35 Πλευρές  Διαγώνιοι 11  44 12  54 13  65 14  77 15  90 16  104 17  119 18  135 Πλευρές  Διαγώνιοι 19  152 20  170 21  189 22  209 23  230 24  252 25  275 26  299 Πλευρές  Διαγώνιοι 27  324 28  350 29  377 30  405 31  434 32  464 33  495 34  527 Πλευρές  Διαγώνιοι 35  560 36  594 37  629 38  665 39  702 40  740 41  779 42  819

Γενικώς ένα κανονικό πολύγωνο με n πλευρές έχει  διαφορετικές ως προς το μήκος διαγωνίους.

 Τμήματα που σχηματίζονται από διαγωνίους 
Σε ένα κυρτό πολύγωνο με n πλευρές («ν-γωνο»), αν δεν υπάρχει τριάδα διαγωνίων που συντρέχουν σε ένα σημείο του εσωτερικού του, το πλήθος των τμημάτων στο οποίο το σύνολο των διαγωνίων διαιρούν το εσωτερικό δίνεται από την έκφραση  :

Για ν-γωνα με n=3, 4, ..., το πλήθος των τμημάτων είναι
1, 4, 11, 25, 50, 91, 154, 246, ...

 Σημεία τομής των διαγωνίων 
Εάν δεν υπάρχει τριάδα διαγωνίων ενός κυρτού πολυγώνου που να συντρέχουν σε σημείο του εσωτερικού του, τότε το πλήθος των σημείων τομής των διαγωνίων μεταξύ τους στο εσωτερικό του σχήματος είναι .Poonen, Bjorn και Rubinstein, Michael: «The number of intersection points made by the diagonals of a regular polygon», SIAM J. Discrete Math., τόμος 11 (1998), no. 1, σσ. 135-156, σύνδεσμος προς τη δημοσίευση στον ιστότοπο του Poonen Αυτό ισχύει, εκτός από τη γενική περίπτωση, και για κάθε κανονικό πολύγωνο με περιττό αριθμό πλευρών, και οφείλεται στο ότι κάθε σημείο τομής προσδιορίζεται μονοσήμαντα από τα τέσσερα άκρα των δύο τεμνόμενων διαγωνίων: το πλήθος των σημείων τομής ισούται έτσι με τον αριθμό των συνδυασμών των n κορυφών ανά 4.

 Κανονικά πολύγωνα 
Παρά το ότι το πλήθος των διαφορετικών διαγωνίων σε ένα κανονικό πολύγωνο αυξάνεται συνεχώς καθώς αυξάνεται ο αριθμός των πλευρών του, το μήκος οποιασδήποτε διαγωνίου μπορεί πάντοτε να υπολογισθεί ως συνάρτηση του μήκους της πλευράς του πολυγώνου. Συγκεκριμένα, σε κάθε κανονικό n-γωνο with μήκος πλευράς a, το μήκος της x-ης βραχύτερης διαγωνίου είναι:

όπου sin το ημίτονο και csc η συντέμνουσα (cscθ = 1/sinθ). Η σχέση αυτή δείχνει ότι όταν το πλήθος των πλευρών τείνει στο άπειρο, τότε η x-ή βραχύτερη διαγώνιος τείνει προς το μήκος . Από την άλλη, η σχέση για τη βραχύτερη διαγώνιο απλοποιείται ως εξής στην περίπτωση x = 1:

Εάν ο αριθμός των πλευρών είναι άρτιος, τότε η μακρύτερη (μέγιστη) διαγώνιος θα έχει μήκος ίσο με τη διάμετρο του περιγεγραμμένου κύκλου του πολυγώνου, επειδή οι μέγιστες διαγώνιοι τέμνονται όλες μεταξύ τους στο κέντρο του πολυγώνου.

Μεριές σημαντικές ειδικές περιπτώσεις είναι οι εξής:

Το τετράγωνο έχει δύο διαγωνίους ίσου μήκους, οι οποίες τέμνονται στο κέντρο του τετραγώνου. Ο λόγος του μήκους μιας διαγωνίου προς το μήκος της πλευράς είναι ο άρρητος αριθμός  Αυτή η ιδιότητα διεδραμάτισε έναν κρισιμότατο ρόλο στην ιστορία των μαθηματικών, καθώς οδήγησε σύμφωνα με μία εκδοχή στην ανακάλυψη των άρρητων αριθμών από τον μαθητή του Πυθαγόρα Ίππασο, γεγονός που λέγεται ότι οδήγησε στην πρώτη «κρίση των μαθηματικών» στην ιστορία, περί το έτος 450 π.Χ..

Το κανονικό πεντάγωνο έχει 5 διαγωνίους, όλες με το ίδιο μήκος. Ο λόγος του μήκους διαγωνίου προς πλευρά στην περίπτωση αυτή είναι ο λόγος της περίφημης χρυσής τομής, 

Το κανονικό εξάγωνο έχει 9 διαγωνίους. Οι 6 βραχύτερες είναι ισομήκεις μεταξύ τους, το ίδιο και οι 3 μακρότερες, που τέμνονται μεταξύ τους στο κέντρο του σχήματος. Ο λόγος του μήκους μιας μακράς διαγωνίου προς την πλευρά είναι ακριβώς 2, ενώ ο λόγος του μήκους μιας βραχείας διαγωνίου προς την πλευρά ισούται με  .

Το κανονικό επτάγωνο έχει 14 διαγωνίους. Οι 7 βραχύτερες είναι ισομήκεις μεταξύ τους, το ίδιο και οι 7 μακρότερες Το αντίστροφο του μήκους της πλευράς ισούται με το άθροισμα των αντιστρόφων μιας βραχείας και μιας μακράς διαγωνίου.

Πολύεδρα
Τα πολύεδρα μπορεί να έχουν δύο διαφορετικές κατηγορίες διαγωνίων: τις διαγωνίους έδρας, πάνω στις έδρες του, που συνδέουν μη διαδοχικές κορυφές της ίδιες έδρας, και τις χωρικές διαγωνίους, που βρίσκονται ολόκληρες στο εσωτερικό του πολυέδρου (εκτός από τα άκρα τους στις κορυφές του).

 Ανώτερες διαστάσεις 
 N-κύβος 
Τα μήκη των διαγωνίων ενός n-διάστατου υπερκύβου μπορούν να υπολογισθούν για οποιαδήποτε τιμή του n ως συνάρτηση του μήκους της πλευράς του, με τη μέθοδο της επαγωγής. Η μακρότερη διαγώνιος ενός n-κύβου έχει μήκος   φορές την πλευρά του. Επιπροσθέτως, υπάρχουν  το πλήθος x-ες βραχύτερες διαγώνιοι. Ως παράδειγμα, ένας 5-κύβος θα έχει τις εξής διαγωνίους:

 Μήκος διαγωνίου  Πλήθος διαγωνίων   160   160 2  80   16

Ο συνολικός αριθμός των διαγωνίων είναι 416. Γενικότερα, ένας n-κύβος έχει συνολικώς  διαγωνίους. Αυτή η σχέση εξάγεται από την ακόμα γενικότερη  , που δίνει τον συνολικό αριθμό των χωρικών διαγωνίων και διαγωνίων έδρας σε κυρτά πολύτοπα. Εδώ το v συμβολίζει τον αριθμό των κορυφών και το e τον αριθμό των ακμών.

Παραπομπές

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 Οι διαγώνιοι ενός πολυγώνου με διαδραστικότητα
 Διαγώνιες πολυγώνου στο MathWorld.

Κατηγορία:Πολύγωνα
Κατηγορία:Πολύεδρα