Μονοειδές (Θεωρία κατηγοριών)

Στη θεωρία κατηγοριών, έναν κλάδο των μαθηματικών, ένα μονοειδές (ή αντικείμενο μονοειδούς, ή εσωτερικό μονοειδές, ή άλγεβρα)  σε μια μονοειδική κατηγορία  είναι ένα αντικείμενο “'M”' μαζί με δύο μορφισμούς
 μ: M ⊗ M → M  που ονομάζεται πολλαπλασιασμός,
 η: Ι → Μ που ονομάζεται μονάδα,
τέτοια ώστε το πενταγωνικό διάγραμμα
 Image:Monoid multiplication.svg
και το διάγραμμα unitor
 Image:Monoid unit svg.svg
αντιμεταθετικό. Στον παραπάνω συμβολισμό, το 1 είναι ο ταυτοτικός μορφισμός του M, I είναι το μοναδιαίο στοιχείο και τα α, λ και ρ είναι αντίστοιχα η προσεταιριστικότητα , η αριστερή ταυτότητα και η δεξιά ταυτότητα της μονοειδούς κατηγορίας  C.

Αντίστοιχα, ένα κομονοειδές σε μια μονοειδική κατηγορία C είναι ένα μονοειδές στη δυϊκή κατηγορία  Cop.

Ας υποθέσουμε ότι η μονοειδής κατηγορία C έχει μια πλεξίδα γ. Ένα μονοειδές M στην C είναι αντιμεταθετικό όταν .

 Παραδείγματα 
 Ένα μονοειδές αντικείμενο στο Set, την κατηγορία των συνόλων (με τη μονοειδική δομή που επάγεται από το καρτεσιανό γινόμενο), είναι μονοειδές με τη συνήθη έννοια.
 Ένα μονοειδές αντικείμενο στο Top, την κατηγορία των τοπολογικών χώρων (με τη μονοειδική δομή που επάγεται από την τοπολογία του γινομένου), είναι ένα τοπολογικό μονοειδές.
 Ένα μονοειδές αντικείμενο στην κατηγορία των μονοειδών (με το άμεσο γινόμενο των μονοειδών) είναι απλά ένα αντιμεταθετικό μονοειδές. Αυτό προκύπτει εύκολα από το επιχείρημα Έκμαν-Χίλτον.
 Ένα μονοειδές αντικείμενο στην κατηγορία των πλήρων join-ημιπλεγμάτων Sup (με τη μονοειδική δομή που επάγεται από το καρτεσιανό γινόμενο) είναι ένα μοναδιαίο quantale.
 Ένα μονοειδές αντικείμενο στην  την κατηγορία των αβελιανών ομάδων, είναι ένας δακτύλιος.
 Για έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο “'R”', ένα μονοειδές αντικείμενο στο
 , η κατηγορία των προτύπων πάνω από το “'R”', είναι μια R-άλγεβρα.
 η κατηγορία των βαθμωτών ενοτήτων είναι μια βαθμωτή R-άλγεβρα.
 η κατηγορία των μιγαδικών αλυσίδων των “'R”'-μονάδων είναι μια διαφορική βαθμωτή άλγεβρα.
 Ένα μονοειδές αντικείμενο στην K-Vect, την κατηγορία των "K"-διανυσματικών χώρων (και πάλι με το τανυστικό γινόμενο), είναι μια μοναδιαία προσεταιριστική "K"-άλγεβρα, και ένα κομονοειδές αντικείμενο είναι μια "K"-άλγεβρα.
 Για κάθε κατηγορία "C", η κατηγορία  των ενδοσυναρτητών της έχει μια μονοειδής δομή που επάγεται από τη σύνθεση και τον ταυτοτικό συναρτητή IC. Ένα μονοειδές αντικείμενο στο  είναι μια μονάδα στο C.

 Για κάθε κατηγορία με τελικό αντικείμενο και πεπερασμένα γινόμενα, κάθε αντικείμενο γίνεται αντικείμενο συνμονοειδές μέσω του διαγώνιου μορφισμού . Αντίστροφα σε μια κατηγορία με αρχικό αντικείμενο και πεπερασμένα συνγινόμενα, κάθε αντικείμενο γίνεται αντικείμενο μονοειδές μέσω του .

 Κατηγορίες μονοειδών 

Δεδομένων δύο μονοειδών  και  σε μια μονοειδική κατηγορία C,ένας μορφισμός  είναι ένας  'μορφισμός μονοειδών όταν
 f ∘ μ = μ′ ∘ (f ⊗ f),
 f ∘ η = η′.
Με άλλα λόγια, τα ακόλουθα διαγράμματα

File:Category monoids mu.svg, File:Category monoids eta.svg

αντιμεταθετικά.

Η κατηγορία των μονοειδών στο C και των μονοειδών μορφισμών τους γράφεται MonC.Section VII.3 in 

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές




Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.






  A handbook for study and research
 Murray Bremner and  Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα