Υποκατηγορία

Στα μαθηματικά, συγκεκριμένα στη θεωρία κατηγοριών, μια υποκατηγορία μιας κατηγορίας C είναι μια κατηγορία S της οποίας τα αντικείμενα είναι αντικείμενα της C και της οποίας οι μορφισμοί είναι μορφισμοί της C με τις ίδιες ταυτότητες και σύνθεση μορφισμών. Διαισθητικά, μια υποκατηγορία της C είναι μια κατηγορία που λαμβάνεται από την C "αφαιρώντας" μερικά από τα αντικείμενα και τα βέλη της. 

 Επίσημος ορισμός 
Έστω C μια κατηγορία. Μια υποκατηγορία S της C δίνεται από τη σχέση 
μια υποσυλλογή αντικειμένων του C, που συμβολίζεται ob(S),
μια υποσυλλογή μορφισμών του C, που συμβολίζεται hom(S).
έτσι ώστε
για κάθε X στο ob(S), ο ταυτοτικός μορφισμός idX είναι στο hom(S),
για κάθε μορφισμό f : X → Y στο hom(S), τόσο η πηγή X όσο και ο στόχος Y βρίσκονται στο ob(S),
για κάθε ζεύγος μορφισμών f και g στο hom(S) το σύνθετο f o g είναι στο hom(S) όποτε ορίζεται.

Αυτές οι συνθήκες εξασφαλίζουν ότι η S είναι μια κατηγορία από μόνη της: η συλλογή των αντικειμένων της είναι ob(S), iη συλλογή των μορφισμών της είναι hom(S),  και οι ταυτότητες και η σύνθεσή της είναι όπως στην C. Υπάρχει ένας προφανής πιστός συναρτητής I : S → C, οποίος ονομάζεται συναρτητής εγκλεισμού και μετατρέπει τα αντικείμενα και τους μορφισμούς στους εαυτούς τους..

Έστω S μια υποκατηγορία μιας κατηγορίας C. Λέμε ότι η S είναι πλήρης υποκατηγορία της C αν για κάθε ζεύγος αντικειμένων X και Y της S,

Μια πλήρης υποκατηγορία είναι αυτή που περιλαμβάνει όλους τους μορφισμούς της C  μεταξύ των αντικειμένων του S. Για κάθε συλλογή αντικειμένων A της C, υπάρχει μια μοναδική πλήρης υποκατηγορία της C της οποίας τα αντικείμενα είναι αυτά της A.

Παραδείγμα

 Η κατηγορία των πεπερασμένων συνόλων αποτελεί πλήρη υποκατηγορία της κατηγορίας των συνόλων.
 Η κατηγορία της οποίας τα αντικείμενα είναι σύνολα και της οποίας οι μορφισμοί είναι αμφίρριψεις αποτελεί μια μη πλήρη υποκατηγορία της κατηγορίας των συνόλων.
 Η κατηγορία των αβελιανών ομάδων αποτελεί πλήρη υποκατηγορία της κατηγορίας των ομάδων.
 Η κατηγορία των δακτυλίων (των οποίων οι μορφισμοί είναι ομομορφισμοί δακτυλίων που διατηρούν τη μονάδα) αποτελεί μια μη πλήρη υποκατηγορία της κατηγορίας των rngs.
 Για ένα σώμα K, η κατηγορία των K-διανυσματικών χώρων αποτελεί πλήρη υποκατηγορία της κατηγορίας των (αριστερών ή δεξιών) K-modules.

 Εμφύτευση 

Δεδομένης μιας υποκατηγορίας S της C, ο εγκλειστικός συναρτητής  είναι και πιστός συναρτηστής και ερριπτικός σε αντικείμενα. Είναι πλήρης αν και μόνο αν η S είναι πλήρης υποκατηγορία.

Ορισμένοι συγγραφείς ορίζουν μια εμφύτευση ως έναν πλήρη και πιστό συναρτητή. Ένας τέτοιος τελεστής είναι αναγκαστικά ερριπτικός σε αντικείμενα μέχρι ισομορφισμού. Παραδείγματος χάριν, η εμφύτευση Γιονέντα είναι μια εμφύτευση με αυτή την έννοια.

Ορισμένοι συγγραφείς ορίζουν μια εμφύτευση ως έναν πλήρη και πιστό συναρτητή που είναι ερριπτικός στα αντικείμενα.

Άλλοι συγγραφείς ορίζουν έναν συναρτητή ως εμφύτευση αν είναι πιστός και ερριπτικός σε αντικείμενα. Ισοδύναμα, ο F είναι μια εμφύτευση αν είναι ερριπτικός σε μορφισμούς. Ένας συναρτητής F ονομάζεται τότε πλήρης εμφύτευση αν είναι πλήρης συναρτητής και εμφύτευση..

Με τους ορισμούς της προηγούμενης παραγράφου, για κάθε (πλήρη) εμφύτευση  F : B → C η εικόνα της F  είναι μια (πλήρης) υποκατηγορία S της C, και η F επάγει έναν ισομορφισμό κατηγοριών μεταξύ των B και S. Αν η F  δεν είναι ερριπτική σε αντικείμενα τότε η εικόνα της F είναι ισοδύναμη με την B.

Σε ορισμένες κατηγορίες, μπορούμε επίσης να μιλήσουμε για μορφισμούς της κατηγορίας που είναι εμφυτεύσεις.

 Είδη υποκατηγοριών 

Μια υποκατηγορία S της C  λέγεται ισομορφιστικά κλειστή ή πλήρης αν κάθε ισομορφισμός k : X → Y στην C έτσι ώστε το Y να είναι στην S ανήκει επίσης στην S. Μια ισομορφιστικά κλειστή πλήρης υποκατηγορία λέγεται αυστηρά πλήρης.

Μια υποκατηγορία της C είναι ευρεία ή lluf (ένας όρος που τέθηκε για πρώτη φορά από τον Πίτερ Φρέιντ) αν περιέχει όλα τα αντικείμενα της C.Wide subcategory at the nLab Μια ευρεία υποκατηγορία δεν είναι συνήθως πλήρης: η μόνη ευρεία πλήρης υποκατηγορία μιας κατηγορίας είναι η ίδια η κατηγορία.

Μια υποκατηγορία Σερ είναι μια μη κενή πλήρης υποκατηγορία S μιας αβελιανής κατηγορίας C τέτοια ώστε για όλες τις σύντομες ακριβείς ακολουθίες

στο C, το M ανήκει στο S αν και μόνο αν και οι δύο  και  κάνουν. Η έννοια αυτή προκύπτει από τη θεωρία C-του Σερ.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές









 star-autonomous category at the nLab

 This article is based in part on PlanetMath's article on examples of initial and terminal objects.


Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.






  A handbook for study and research









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα