Θεώρημα πυκνότητας (θεωρία κατηγοριών)

Στην θεωρία κατηγοριών, έναν κλάδο των μαθηματικών, το θεώρημα πυκνότητας δηλώνει ότι κάθε προδεμάτιο (presheaf) συνόλων είναι ένα συνόριο των αναπαραστάσιμων προδεματίων με έναν κανονικό τρόπο.

Λόγου χάριν, βάσει ορισμού, ένα απλό σύνολο είναι ένα προδεμάτιο στην κατηγορία simplex Δ και ένα αναπαραστάσιμο απλό σύνολο έχει ακριβώς τη μορφή  (που ονομάζεται τυπικό n-simplex), οπότε το θεώρημα λέει: για κάθε απλό σύνολο X,

όπου το συνόριο εκτείνεται σε μια κατηγορία δεικτών που καθορίζεται από το X.

 Δήλωση 

Έστω F ένα προδεμάτιο σε μια κατηγορία C; δηλαδή ένα αντικείμενο της κατηγορίας συναρτητών .Για μια κατηγορία δεικτών πάνω στην οποία θα εκτελεστεί ένα συνόριο, ας είναι I η κατηγορία των στοιχείων του F: είναι η κατηγορία όπου 
 ένα αντικείμενο είναι ένα ζεύγος  που αποτελείται από ένα αντικείμενο U στο C και ένα στοιχείο ,
 ένας μορφισμός    αποτελείται από έναν μορφισμό   στο C έτσι ώστε 
Συνοδεύεται από τον επιλήσμων συναρτητή .

Τότε το F είναι το συνόριο του διαγράμματος (δηλαδή, ένας συναρτητής).

όπου το δεύτερο βέλος είναι η εμφύτευση του Γιονέντα: .

 Απόδειξη  

Ας υποδηλώσουμε με f το παραπάνω διάγραμμα. Για να δείξουμε ότι το συνόριο του f είναι F, πρέπει να δείξουμε ότι: για κάθε προδεμάτιο G στο C,υπάρχει μια φυσική αμφίρριψη: 

όπου   είναι ο σταθερός συναρτητής με τιμή G και Hom στα δεξιά σημαίνει το σύνολο των φυσικών μετασχηματισμών. Αυτό συμβαίνει διότι η καθολική ιδιότητα ενός συνορίου ισοδυναμεί με την έκφραση   είναι ο αριστερός συζυγής του διαγώνιου συναρτητή 

Για το σκοπό αυτό, θεωρούμε ότι  είναι ένας φυσικός μετασχηματισμός. Πρόκειται για μια οικογένεια μορφισμών που ευρετηριάζονται από τα αντικείμενα του I:

που ικανοποιεί την ιδιότητα: για κάθε μορφισμό   in I, 
(δεδομένου ότι  )

Το λήμμα του Γιονέντα λέει ότι υπάρχει μια φυσική αμφίρριψη αντιστοίχιση . Κάτω από αυτή την αμφίρριψη αντιστοίχιση, το    αντιστοιχεί σε ένα μοναδικό στοιχείο  .  Έχουμε:

επειδή, σύμφωνα με το λήμμα του Γιονέντα,   αντιστοιχεί σε 

Τώρα, για κάθε αντικείμενο U στο C, έστω  η συνάρτηση που δίνεται από . Αυτό καθορίζει τον φυσικό μετασχηματισμό ; Πράγματι, για κάθε μορφισμό  στο I, έχουμε:

δεδομένου ότι .  Είναι σαφές ότι η κατασκευή  είναι αναστρέψιμη. Επομένως,   είναι η απαιτούμενη φυσική αμφίρριψη.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία










Παραπομπές

Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556






 star-autonomous category at the nLab

 This article is based in part on PlanetMath's article on examples of initial and terminal objects .


Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.






  A handbook for study and research









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Γενική τοπολογία 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα