Μεταβατικό σύνολο

Στην θεωρία συνόλων, ένας κλάδος των μαθηματικών, ένα σύνολο  ονομάζεται μεταβατικό αν ισχύει μία από τις ακόλουθες ισοδύναμες συνθήκες:
 όποτε  και , τότε .
 όποτε  και  δεν είναι αρχέγονο στοιχείο, τότε  είναι υποσύνολο του .
Ομοίως, μια τάξη  είναι μεταβατική αν κάθε στοιχείο του  είναι υποσύνολο του .

 Παραδείγματα   

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό των τακτικών αριθμών που πρότεινε ο Τζον φον Νόιμαν, οι τακτικοί αριθμοί ορίζονται ως κληρονομικά μεταβατικά σύνολα: ένας τακτικός αριθμός είναι ένα μεταβατικό σύνολο του οποίου τα μέλη είναι επίσης μεταβατικά (και επομένως τακτικοί αριθμοί). Η κλάση όλων των τακτικών αριθμών είναι μια μεταβατική κλάση.

Οποιοδήποτε από τα στάδια  και  που οδηγούν στην οικοδόμηση του σύμπαντος  φον Νεύμαν  και του οικοδομήσιμου σύμπαντος του Γκέντελ   είναι μεταβατικά σύνολα. Τα σύμπαντα  και  είναι τα ίδια μεταβατικές τάξεις.

Αυτός είναι ένας πλήρης κατάλογος όλων των πεπερασμένων μεταβατικών συνόλων με έως και 20 αγκύλες:
















































 Ιδιότητες 

Ένα σύνολο  είναι μεταβατικό αν και μόνο αν , όπου  είναι η ένωση όλων των στοιχείων του  που είναι σύνολα, .

Εάν  είναι μεταβατικό, τότε  είναι μεταβατικό.

Εάν  και  είναι μεταβατικά, τότε  και  είναι μεταβατικά. Γενικά, αν  είναι μια κλάση της οποίας όλα τα στοιχεία είναι μεταβατικά σύνολα, τότε  και  είναι μεταβατικά. (Η πρώτη πρόταση σε αυτήν την παράγραφο είναι η περίπτωση .)

Ένα σύνολο  που δεν περιέχει αρχέγονα στοιχεία είναι μεταβατικό αν και μόνο αν είναι υποσύνολο του δικού του συνόλου δυνάμεων,  Το σύνολο δυνάμεων ενός μεταβατικού συνόλου χωρίς αρχέγονα στοιχεία είναι μεταβατικό.

 Μεταβατική κλειστότητα 

Η μεταβατική κλειστότητα ενός συνόλου  είναι το μικρότερο (σε σχέση με τον εγκλεισμό) μεταβατικό σύνολο που περιλαμβάνει (δηλ. ). Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται ένα σύνολο  , τότε η μεταβατική κλειστότητα του  είναι

Απόδειξη. Ας σημειωθεί  και . Τότε ισχυριζόμαστε ότι το σύνολο

είναι μεταβατικό, και όποτε  είναι ένα μεταβατικό σύνολο που περιλαμβάνει το  τότε .

Ας υποθέσουμε ότι . Τότε  για κάποιο  και έτσι . Δεδομένου ότι , . Επομένως, το  είναι μεταβατικό.

Τώρα ας πάρουμε  όπως παραπάνω. Αποδεικνύουμε με επαγωγή ότι  για όλα τα , αποδεικνύοντας έτσι ότι : Η βασική περίπτωση ισχύει, καθώς . Τώρα ας υποθέσουμε ότι . Τότε . Αλλά  είναι μεταβατικό, οπότε , επομένως . Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη.

Να σημειωθεί ότι αυτό είναι το σύνολο όλων των αντικειμένων που σχετίζονται με το  μέσω της μεταβατικής κλειστότητας της σχέσης ιδιότητας μέλους, δεδομένου ότι η ένωση ενός συνόλου μπορεί να εκφραστεί με όρους του σχετικού γινομένου της σχέσης ιδιότητας μέλους με τον εαυτό της.

Η μεταβατική κλειστότητα ενός συνόλου μπορεί να εκφραστεί με έναν τύπο πρώτης τάξης:  είναι μεταβατική κλειστότητα του  αν και μόνο αν  είναι η τομή όλων των μεταβατικών υπερσυνόλων του  (δηλαδή, κάθε μεταβατικό υπερσύνολο του  περιέχει το  ως υποσύνολο).

Μεταβατικά μοντέλα της θεωρίας συνόλων

Οι μεταβατικές κλάσεις χρησιμοποιούνται συχνά για την κατασκευή ερμηνειών της θεωρίας συνόλων, που συνήθως ονομάζονται εσωτερικά πρότυπα. Ο λόγος είναι ότι οι ιδιότητες που ορίζονται από περιορισμένες φόρμουλες είναι απόλυτες για τις μεταβατικές κλάσεις.

Ένα μεταβατικό σύνολο (ή κλάση) που αποτελεί πρότυπο ενός τυπικού συστήματος της θεωρίας συνόλων ονομάζεται μεταβατικό πρότυπο του συστήματος (υπό την προϋπόθεση ότι η σχέση στοιχείων του προτύπου είναι ο περιορισμός της πραγματικής σχέσης στοιχείων στο σύμπαν του προτύπου). Η μεταβατικότητα είναι ένας σημαντικός παράγοντας για τον προσδιορισμό της απόλυτης ισχύος των τύπων.

Στην προσέγγιση της υπερδομής της μη τυπικής ανάλυσης, τα μη τυπικά σύμπαντα ικανοποιούν την ισχυρή μεταβατικότητα. Εδώ, μια κλάση  ορίζεται ως ισχυρά μεταβατική εάν, για κάθε σύνολο , υπάρχει ένα μεταβατικό υπερσύνολο  με . Μια ισχυρά μεταβατική κλάση είναι αυτόματα μεταβατική. Αυτή η ενισχυμένη υπόθεση μεταβατικότητας επιτρέπει να συμπεράνουμε, επί παραδείγματι, ότι η  περιέχει τον τομέα κάθε δυαδικής σχέσης στην .Goldblatt (1998) p.161

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές









  A handbook for study and research
 Murray Bremner and  Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα