Κατηγορία Κρουλ-Σμιντ

Στη θεωρία κατηγοριών, ένας κλάδος των μαθηματικών, ο όρος κατηγορία Κρουλ-Σμιντ αναφέρεται σε μια γενίκευση των κατηγοριών στις οποίες ισχύει το θεώρημα Κρουλ-Σμιντ. Εμφανίζονται, λόγου χάριν, στη μελέτη των προτύπων πεπερασμένων διαστάσεων σε μια άλγεβρα.

 Ορισμός 

Ας υποθέσουμε ότι C είναι μια πρόσθετη κατηγορία, ή πιο γενικά μια πρόσθετη -γραμμική κατηγορία για ένα αντιμεταθετικό δακτύλιο . Ονομάζουμε C κατηγορία Κρουλ-Σμιντ υπό την προϋπόθεση ότι κάθε αντικείμενο αναλύεται σε ένα πεπερασμένο άμεσο άθροισμα αντικειμένων που έχουν τοπικούς δακτυλίους ενδομορφισμού. Ισοδύναμα, το C  έχει διαχωρισμένα ταυτοδυναμία και ο δακτύλιος ενδομορφισμού κάθε αντικειμένου είναι ημιτέλειος. 

Ιδιότητες
Υπάρχει ένα ανάλογο του θεωρήματος Κρουλ-Σμιντ στις κατηγορίες Κρουλ-Σμιντ:

Ένα αντικείμενο ονομάζεται αδιάσπαστο αν δεν είναι ισομορφικό με ένα άμεσο άθροισμα δύο μη μηδενικών αντικειμένων. Σε μια κατηγορία Κρουλ-Σμιντ ισχύει ότι
ένα αντικείμενο είναι αδιάσπαστο αν και μόνο αν ο δακτύλιος ενδομορφισμού του είναι τοπικός.
κάθε αντικείμενο είναι ισομορφικό με ένα πεπερασμένο άθροισμα μη αναλύσιμων αντικειμένων.
iαν   όπου τα   και   είναι όλα αδιάσπαστα, τότε  ,  και υπάρχει μια μετάθεση    τέτοια ώστε    για όλα τα .

Μπορεί κανείς να ορίσει το βέλος Αουσλάντερ-Ράιτεν μιας κατηγορίας Κρουλ-Σμιντ.

 Παραδείγματα 

 Μια αβελιανή κατηγορία στην οποία κάθε αντικείμενο έχει πεπερασμένο μήκος.This is the classical case, see for example Krause (2012), Corollary 3.3.3. Αυτό περιλαμβάνει ως ειδική περίπτωση την κατηγορία των προτύπων πεπερασμένων διαστάσεων πάνω σε μια άλγεβρα.
 Η κατηγορία των πεπερασμένα παραγόμενων προτύπων πάνω σε μια πεπερασμένηA finite -algebra is an -algebra which is finitely generated as an -module. -άλγεβρα, όπου  είναι ένας αντιμεταθετικός Ναιτεριανός πλήρης τοπικός δακτύλιος.Reiner (2003), Section 6, Exercises 5 and 6, p. 88.
 Η κατηγορία των συνεκτικών δεματίων σε μια πλήρη ποικιλία πάνω σε ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα.Atiyah (1956), Theorem 2.

 Ένα μη παράδειγμα 

Η κατηγορία των πεπερασμένα παραγόμενων προβολικών προτύπων πάνω στους ακέραιους αριθμούς έχει διαχωρισμένα αυτοδυναμία  και κάθε προτύπο είναι ισομορφικό με ένα πεπερασμένο άμεσο άθροισμα αντιγράφων του κανονικού πρότυπου, ο αριθμός καθορίζεται από τον βαθμό. Έτσι, η κατηγορία έχει μοναδική ανάλυση σε αδιάσπαστα, αλλά δεν είναι Κρουλ-Σμιντ, καθώς το κανονικό πρότυπο δεν έχει τοπικό δακτύλιο ενδομορφισμού. 

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές

 Michael Atiyah (1956) On the Krull-Schmidt theorem with application to sheaves. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 84 (1956), pp. 307-317. doi:10.24033/bsmf.1475. https://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.1475/
 Henning Krause, Krull-Remak-Schmidt categories and projective covers, May 2012.
 Irving Reiner (2003) Maximal orders. Corrected reprint of the 1975 original. With a foreword by M. J. Taylor. London Mathematical Society Monographs. New Series, 28. The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford. .
 Claus Michael Ringel (1984) Tame Algebras and Integral Quadratic Forms, Lecture Notes in Mathematics 1099, Springer-Verlag, 1984.
 Twisted smooth Deligne cohomology
Bloch's Conjecture, Deligne Cohomology and Higher Chow Groups

Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556



 Categorical programming with inductive and coinductive types () by Varmo Vene
 Philip Wadler: Recursive types for free! () University of Glasgow, June 1990. Draft.
 Algebra and coalgebra () from CLiki
 B. Jacobs, J. Rutten: A Tutorial on (Co) Algebras and (Co) Induction. Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science, vol. 62, 1997, 
 Understanding F-Algebras () by Bartosz Milewski
 star-autonomous category at the nLab

 This article is based in part on PlanetMath's article on examples of initial and terminal objects.






  A handbook for study and research





 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Θεωρία αναπαραστάσεων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα