Μορφισμός

Στα μαθηματικά, ο μορφισμός είναι μια έννοια της θεωρίας κατηγοριών που γενικεύει τις απεικονίσεις που διατηρούν τη δομή, όπως ο ομομορφισμός μεταξύ αλγεβρικών δομών, οι συναρτήσεις από ένα σύνολο σε ένα άλλο σύνολο και οι συνεχείς συναρτήσεις μεταξύ τοπολογικών χώρων. Αν και πολλά παραδείγματα μορφισμών είναι απεικονίσεις που διατηρούν τη δομή, οι μορφισμοί δεν είναι απαραίτητο να είναι απεικονίσεις, αλλά μπορούν να συντίθενται με τρόπο παρόμοιο με τη σύνθεση συναρτήσεων.

Οι μορφισμοί και τα αντικείμενα είναι συστατικά μιας κατηγορίας. Οι μορφισμοί, που ονομάζονται επίσης απεικονίσεις ή βέλη, συσχετίζουν δύο αντικείμενα που ονομάζονται πηγή και στόχος του μορφισμού. Υπάρχει μια μερική πράξη, που ονομάζεται σύνθεση, στους μορφισμούς μιας κατηγορίας που ορίζεται αν ο στόχος του πρώτου μορφισμού ισούται με την πηγή του δεύτερου μορφισμού. Η σύνθεση των μορφισμών συμπεριφέρεται όπως η σύνθεση συναρτήσεων (Προσεταιριστική σύνθεση όταν αυτή ορίζεται και ύπαρξη ενός ταυτοτικού μορφισμού για κάθε αντικείμενο).

Οι μορφισμοί και οι κατηγορίες συναντώνται σε μεγάλο τμήμα των σύγχρονων μαθηματικών. Αρχικά, εισήχθησαν για την ομολογική άλγεβρα και την αλγεβρική τοπολογία. Ανήκουν στα θεμελιώδη εργαλεία της θεωρίας σχημάτων του Γκρότεντικ, μιας γενίκευσης της αλγεβρικής γεωμετρίας που εφαρμόζεται επίσης στην αλγεβρική θεωρία αριθμών.

 Ορισμός

Μια κατηγορία C αποτελείται από δύο κλάσεις, η μία από  και η άλλη από . Υπάρχουν δύο αντικείμενα που συνδέονται με κάθε μορφισμό, η   και ο . Ένας μορφισμός f από το  X στο Y είναι ένας μορφισμός με πηγή το X και στόχο το Y; Συνήθως γράφεται ως  ή X f→ Y   η τελευταία μορφή είναι καταλληλότερη για αντιμεταθετικά διαγράμματα.

Για πολλές κοινές κατηγορίες, ένα αντικείμενο είναι ένα σύνολο (συχνά με κάποια πρόσθετη δομή) και ένας μορφισμός είναι μια συνάρτηση από ένα αντικείμενο σε ένα άλλο αντικείμενο. Ως εκ τούτου, η πηγή και ο στόχος ενός μορφισμού συχνά ονομάζονται  και  αντίστοιχα.

Οι μορφισμοί είναι εξοπλισμένοι με μια μερική δυαδική πράξη, που ονομάζεται σύνθεση (μερική επειδή η σύνθεση δεν ορίζεται απαραίτητα σε κάθε ζεύγος μορφισμών μιας κατηγορίας). Η σύνθεση δύο μορφισμών f και g ορίζεται ακριβώς όταν ο στόχος του f είναι η πηγή του g, και συμβολίζεται  (ή μερικές φορές απλά gf). Η πηγή του  είναι η πηγή του f, και ο στόχος του  είναι ο στόχος του g. Η σύνθεση ικανοποιεί δύο αξιώματα:
    Για κάθε αντικείμενο X, υπάρχει ένας μορφισμός  που ονομάζεται ταυτοτικός μορφισμός  στο  X, έτσι ώστε για κάθε μορφισμό  έχουμε .
 Προσεταιριστικότητα    όποτε όλες οι συνθέσεις ορίζονται, δηλαδή όταν ο στόχος της f είναι η πηγή της g, και ο στόχος της g είναι η πηγή της h.

Για μια συγκεκριμένη κατηγορία (μια κατηγορία στην οποία τα αντικείμενα είναι σύνολα, ενδεχομένως με πρόσθετη δομή, και οι μορφισμοί είναι συναρτήσεις που διατηρούν τη δομή), ο ταυτοτικός μορφισμός  είναι απλώς η συνάρτηση ταυτότητας και η σύνθεση είναι απλώς σύνθεση συναρτήσεων.

Η σύνθεση μορφισμών συχνά αναπαρίσταται με ένα αντιμεταθετικό διάγραμμα. Επί παραδείγματι,
 File:Commutative diagram for morphism.svg

Η συλλογή όλων των μορφισμών από το X στο Y  συμβολίζεται  ή απλά  και ονομάζεται hom-set μεταξύ  X και Y. Ορισμένοι συγγραφείς γράφουν ,  ή . Ο όρος hom-set είναι κάπως λανθασμένος, καθώς η συλλογή των μορφισμών δεν απαιτείται να είναι σύνολο- μια κατηγορία όπου το  είναι σύνολο για όλα τα αντικείμενα X και Y ονομάζεται τοπικά μικρή. Επειδή τα hom-sets μπορεί να μην είναι σύνολα, κάποιοι προτιμούν να χρησιμοποιούν τον όρο "hom-class".

Η περιοχή και η συν-περιοχή είναι στην πραγματικότητα μέρος των πληροφοριών που καθορίζουν έναν μορφισμό. Επί παραδείγματι, στην κατηγορία των συνόλων, όπου οι μορφισμοί είναι συναρτήσεις, δύο συναρτήσεις μπορεί να είναι πανομοιότυπες ως σύνολα διατεταγμένων ζευγών, ενώ έχουν διαφορετικές συν-περιοχές (codomains). Οι δύο συναρτήσεις είναι διαφορετικές από την άποψη της θεωρίας κατηγοριών. Πολλοί συγγραφείς απαιτούν οι hom-κλάσεις   να είναι ξένες. Στην πράξη, αυτό δεν αποτελεί πρόβλημα, διότι αν αυτή η ασυμφωνία δεν ισχύει, μπορεί να διασφαλιστεί με την προσθήκη της περιοχής και της συν-περιοχής στους μορφισμούς (π.χ. ως δεύτερο και τρίτο συστατικό μιας τριπλής διάταξης).

 Μερικοί ειδικοί μορφισμοί 

 Μονομορφισμοί και επιμορφισμοί

Ένας μορφισμός  ονομάζεται μονομορφισμός αν  συνεπάγεται   για όλους τους μορφισμούς g1, . A Ένας μονομορφισμός μπορεί να ονομάζεται μονο για συντομία μονο, και μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μονικός ως επίθετο.Jacobson (2009), p. 15. A Ένας μορφισμός f έχει  lαριστερό αντίστροφο ή είναι a διασπασμένος μονομορφισμός αν υπάρχει ένας μορφισμός  τέτοιος ώστε . Έτσι  is ταυτοδύναμος  δηλαδή  . Ο αριστερός αντίστροφος  g ονομάζεται επίσης συστολή του f.

Οι μορφισμοί με αριστερή αντιστροφή είναι πάντα μονομορφισμοί ( συνεπάγεται , όπου  είναι η αριστερή αντιστροφή του ), αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά- ένας μονομορφισμός μπορεί να μην έχει αριστερή αντιστροφή. Στις συγκεκριμένες κατηγορίες, όπου οι μορφισμοί είναι συναρτήσεις, ένας μορφισμός που έχει αριστερό αντίστροφο είναι ερριπτικός και ένας μορφισμός που είναι ερριπτικός είναι μονομορφισμός. Σε συγκεκριμένες κατηγορίες, οι μονομορφισμοί είναι συχνά, αλλά όχι πάντα, ερριπτικοί- έτσι, η συνθήκη του να είναι μια έρριψη είναι ισχυρότερη από εκείνη του να είναι ένας μονομορφισμός, αλλά ασθενέστερη από εκείνη του να είναι ένας διαχωρισμένος μονομορφισμός.

Αντίστοιχα με τους μονομορφισμούς, ένας μορφισμός   ονομάζεται επιμορφισμός αν  συνεπάγεται   για όλους τους μορφισμούς g1, . Ένας επιμορφισμός μπορεί να ονομαστεί εν συντομία επιμορφισμός, και μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το επιρρημα επικός ως επίθετο. Ένας μορφισμός f  έχει δεξιό αντίστροφο ή είναι διασπασμένος επιμορφισμός αν υπάρχει ένας μορφισμός  τέτοιος ώστε . Ο δεξιός αντίστροφος  g ονομάζεται επίσης τμήμα του  f. Οι μορφισμοί που έχουν δεξιό αντίστροφο είναι πάντα επιμορφισμοί ( συνεπάγεται  όπου  είναι ο δεξιός αντίστροφος του ), bαλλά το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά, καθώς ένας επιμορφισμός μπορεί να μην έχει δεξιό αντίστροφο.

Αν ένας μονομορφισμός f διασπάται με αριστερό αντίστροφο g, τότε ο g είναι διασπασμένος επιμορφισμός με δεξιό αντίστροφο f. Σε συγκεκριμένες κατηγορίες, μια συνάρτηση που έχει δεξιό αντίστροφο είναι επιρριπτική . Έτσι, σε συγκεκριμένες κατηγορίες, οι επιμορφισμοί είναι συχνά, αλλά όχι πάντα, επιρριπτικοί. Η συνθήκη του να είναι μια επίρριψη είναι ισχυρότερη από εκείνη του να είναι ένας επιμορφισμός, αλλά ασθενέστερη από εκείνη του να είναι ένας διαιρεμένος επιμορφισμός. Στην κατηγορία των συνόλων, η δήλωση ότι κάθε υπερβολή έχει ένα τμήμα είναι ισοδύναμη με το αξίωμα της επιλογής.

Ένας μορφισμός που είναι ταυτόχρονα επιμορφισμός και μονομορφισμός ονομάζεται διμορφισμός

Παραδείγματος χάριν, στην κατηγορία των διανυσματικών χώρων πάνω από ένα σταθερό σώμα, οι ερριπτικοί μορφισμοί, οι μονομορφισμοί και οι διαιρεμένοι ομομορφισμοί είναι οι ίδιοι, καθώς και οι επιρριπτικοί μορφισμοί, οι επιμορφισμοί και οι διασπασμένοι  επιμορφισμοί.

Στην κατηγορία των αντιμεταθετικών δακτυλίων, οι μονομορφισμοί και οι ερριπτικοί μορφισμοί είναι το ίδιο, ενώ η έρριψη  από το  στο  είναι ένας επιμορφισμός που δεν είναι επιρριπτικός- δεν είναι ούτε διαιρεμένος επιμορφισμός ούτε διαιρεμένος μονομορφισμός. (Δείτε Ειδικοί ομομορφισμοί για περισσότερες λεπτομέρειες και αποδείξεις).

Ισομορφισμοί

Ένας μορφισμός  ονομάζεται ισομορφισμός αν υπάρχει ένας μορφισμός  τέτοιος ώστε  και . Αν ένας μορφισμός έχει και αριστερό-αντίστροφο και δεξιό-αντίστροφο, τότε οι δύο αντίστροφοι είναι ίσοι, οπότε η f είναι ισομορφισμός και η g ονομάζεται απλώς αντίστροφος της f. Οι αντίστροφοι μορφισμοί, αν υπάρχουν, είναι μοναδικοί. Ο αντίστροφος g είναι επίσης ισομορφισμός, με αντίστροφο f.  Δύο αντικείμενα με έναν ισομορφισμό μεταξύ τους λέγονται ισομορφικά ή ισοδύναμα.

Ενώ κάθε ισομορφισμός είναι διμορφισμός, ένας διμορφισμός δεν είναι απαραίτητα ισομορφισμός.  Επί παραδείγματι, στην κατηγορία των αντιμεταθετικών δακτυλίων ο εγκλεισμός  είναι ένας διμορφισμός που δεν είναι ισομορφισμός. Ωστόσο, κάθε μορφισμός που είναι ταυτόχρονα επιμορφισμός και διαχωρισμένος μονομορφισμός, ή ταυτόχρονα μονομορφισμός και διαχωρισμένος επιμορφισμός, πρέπει να είναι ισομορφισμός. Μια κατηγορία, όπως ένα Σύνολο, στην οποία κάθε διμορφισμός είναι ισομορφισμός, είναι γνωστή ως ισορροπημένη κατηγορία..

 Ενδομορφισμοί και αυτομορφισμοί 

Ένας μορφισμός  (δηλαδή ένας μορφισμός με ταυτόσημες πηγή και στόχο) είναι ένας ενδομορφισμός του X. Ένας διαχωρισμένος ενδομορφισμός είναι ένας ταυτοδύναμος ενδομορφισμός f αν f δέχεται μια ανάλυση  με . Ειδικότερα, ο φάκελος Καρούμπι μιας κατηγορίας διασπά κάθε ιδιομορφικό μορφισμό.

Ο αυτομορφισμός είναι ένας μορφισμός που είναι ταυτόχρονα ενδομορφισμός και ισομορφισμός. Σε κάθε κατηγορία, οι αυτομορφισμοί ενός αντικειμένου σχηματίζουν πάντα μια ομάδα, που ονομάζεται ομάδα αυτομορφισμού του αντικειμένου.
 Παραδείγματα 

Για αλγεβρικές δομές που συνήθως εξετάζονται στην άλγεβρα, όπως ομάδες, δακτύλιοι, ενότητες κ.λπ., οι μορφισμοί είναι συνήθως οι ομομορφισμοί και οι έννοιες ισομορφισμός, αυτομορφισμός, ενδομορφισμός, επιμορφισμός και μονομορφισμός είναι οι ίδιες με τις παραπάνω ορισμένες. Ωστόσο, στην περίπτωση των δακτυλίων, ο "επιμορφισμός" θεωρείται συχνά ως συνώνυμο της "επίρριψης", αν και υπάρχουν επιμορφισμοί δακτυλίων που δεν είναι επιρριπτικοί (π.χ. κατά την ενσωμάτωση των ακεραίων στους ρητούς αριθμούς).
 Στην κατηγορία των τοπολογικών χώρων, οι μορφισμοί είναι οι συνεχείς συναρτήσεις και οι ισομορφισμοί ονομάζονται ομομορφισμοί. Υφίσταται ερριπτική (δηλαδή ισομορφισμός συνόλων) που δεν είναι ομομορφισμός.
 Στην κατηγορία των λείων πολλαπλοτήτων, οι μορφισμοί είναι οι λείες συναρτήσεις και οι ισομορφισμοί ονομάζονται διαφορικομορφισμοί.
 Στην κατηγορία των μικρών κατηγοριών, οι μορφισμοί είναι συναρτήσεις.
 Σε μια κατηγορία συναρτήσεων, οι μορφισμοί είναι φυσικοί μετασχηματισμοί.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Αβελιανή ομάδα

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές


 Obituary press release from the University of Chicago.
 Photographs of Mac Lane , 1984–1999.
 Kutateladze S.S., Saunders Mac Lane, the Knight of Mathematics















 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.


Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων 
Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα