F-συνάλγεβρα

Στα μαθηματικά, συγκεκριμένα στην θεωρία κατηγοριών, μια -συνάλγεβρα είναι μια δομή που ορίζεται σύμφωνα με έναν συναρτητή , με συγκεκριμένες ιδιότητες όπως ορίζονται παρακάτω. Τόσο για τις άλγεβρες όσο και για τις συνάλγεβρες, ένας συναρτητής είναι ένας βολικός και γενικός τρόπος οργάνωσης μιας υπογραφής. Αυτό έχει εφαρμογές στην επιστήμη των υπολογιστών: παραδείγματα συνάλγεβρων περιλαμβάνουν την οκνηρή αποτίμηση, τις άπειρες δομές δεδομένων, όπως τα ρεύματα, και επίσης τα συστήματα μετάβασης. 

Οι -συνάλγεβρες είναι δυϊκές προς τις -άλγεβρες. Ακριβώς όπως η κλάση όλων των αλγεβρών για μια δεδομένη υπογραφή και θεωρία εξισώσεων σχηματίζει μια ποικιλία, έτσι και η κλάση όλων των -συνάλγεβρων που ικανοποιούν μια δεδομένη θεωρία εξισώσεων σχηματίζει μια συνποικιλία, όπου η υπογραφή δίνεται από το .

Ορισμός
Έστω 



έναν ενδοσυναρτητη σε μια κατηγορία  .
Μια -συνάλγεβρα είναι ένα αντικείμενο  της  μαζί με έναν μορφισμό 

της , που συνήθως γράφεται ως  .

Ένας ομομορφισμός -συνάλγεβρας από  σε μια άλλη -συνάλγεβρα
 είναι ένας μορφισμός 



στην  έτσι ώστε 

. 

Επομένως, οι -συνάλγεβρες για ένα δεδομένο συναρτητή F αποτελούν μια κατηγορία. 

 Παραδείγματα 

Ας θεωρήσουμε τον ενδοσυναρτητη  που στέλνει ένα σύνολο στην ασύνδετη ένωσή του με το μονοσύνολο . Μια συναλγεβρα αυτού του ενδοσυναρτητη δίνεται από , όπου   είναι οι λεγόμενοι φυσικοί αριθμοί, που αποτελούνται από τους μη αρνητικούς ακέραιους αριθμούς και επίσης το άπειρο, και η συνάρτηση    δίνεται από  ,  f για  και.  Στην πραγματικότητα,  είναι η τελική συνάλγεβρα αυτού του ενδοσυναρτητή.

Γενικότερα, ορίζουμε ένα σύνολο , και εξετάζουμε τον συναρτητή  που στέλνει το  στο . Τότε μια -συνάλγεβρα είναι ένα πεπερασμένο ή άπειρο ρεύμα πάνω στο αλφάβητο  όπου  είναι το σύνολο των καταστάσεων και  είναι η συνάρτηση μετάβασης κατάστασης. Η εφαρμογή της συνάρτησης μετάβασης κατάστασης σε μια κατάσταση μπορεί να οδηγήσει σε δύο πιθανά αποτελέσματα: είτε ένα στοιχείο του  μαζί με την επόμενη κατάσταση του ρεύματος, είτε το στοιχείο του μονοσυνόλου (singleton) set  ως διαχωριστή "τελική κατάσταση" που υποδηλώνει ότι δεν υπάρχουν άλλες τιμές στο ρεύμα.

Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές, η συνάρτηση μετάβασης κατάστασης ενός τέτοιου αντικειμένου συναλγεβρικής δομής μπορεί να έχει τη μορφή , η οποία παραγοντοποιείται εύκολα σε μια συλλογή "επιλογέων", "παρατηρητών", "μεθόδων" .   Ειδικές περιπτώσεις πρακτικού ενδιαφέροντος περιλαμβάνουν παρατηρητές που παράγουν τιμές χαρακτηριστικών και μεθόδους μετατροπής της μορφής  που λαμβάνουν επιπλέον παραμέτρους και παράγουν καταστάσεις. Αυτή η αποσύνθεση είναι διπλή σε σχέση με την αποσύνθεση των αρχικών -άλγεβρων σε αθροίσματα "κατασκευαστών". 

Έστω P η κατασκευή του συνόλου των δυνάμεων στην κατηγορία των συνόλων, που θεωρείται ως συναναλλοίωτος συναρτητής. Οι P-συνάλγεβρες βρίσκονται σε αμφιρριπτική αντιστοιχία με σύνολα με δυαδική σχέση. Τώρα, ας ορίσουμε ένα άλλο σύνολο, A. Τότε, οι συνάλγεβρες για τον ενδοσυναρτητή P(A×(-)) βρίσκονται σε αμφιρριπτική αντιστοιχία με τα επισημασμένα συστήματα μετάβασης, και οι ομομορφισμοί μεταξύ των συνάλγεβρων αντιστοιχούν σε συναρτησιακούς διπροσομοιώσεων μεταξύ των επισημασμένων συστημάτων μετάβασης.

 Εφαρμογές 

Στην επιστήμη των υπολογιστών, η συναλγεβρική λογική έχει αναδειχθεί ως ένας βολικός και κατάλληλα γενικός τρόπος προσδιορισμού της συμπεριφοράς συστημάτων και δομών δεδομένων που είναι εν δυνάμει άπειρα, όπως, λόγου χάριν, οι κλάσεις στον αντικειμενοστρεφή προγραμματισμό, τα ρεύματα και τα συστήματα μετάβασης. Ενώ η αλγεβρική προδιαγραφή ασχολείται με τη λειτουργική συμπεριφορά, χρησιμοποιώντας συνήθως επαγωγικούς τύπους δεδομένων που παράγονται από κατασκευαστές, η συναλγεβρική προδιαγραφή ασχολείται με τη συμπεριφορά που μοντελοποιείται από συν-επαγωγικούς τύπους διαδικασιών που είναι παρατηρήσιμοι από επιλογείς, σε μεγάλο βαθμό στο πνεύμα της θεωρίας των αυτομάτων. Σημαντικό ρόλο παίζουν εδώ οι τελικές συνάλγεβρες, οι οποίες είναι πλήρεις συνόλα πιθανώς άπειρων συμπεριφορών, όπως οι ροές. Η φυσική λογική για την έκφραση των ιδιοτήτων τέτοιων συστημάτων είναι η συναλγεβρική τροπική λογική.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία










Παραπομπές

 B. Jacobs and J. Rutten,  A Tutorial on (Co)Algebras and (Co)Induction.  EATCS Bulletin 62, 1997, p.222-259. 
 Jan J. M. M. Rutten: Universal coalgebra: a theory of systems. Theor. Comput. Sci. 249(1): 3-80 (2000).
 J. Adámek, Introduction to coalgebra. Theory and Applications of Categories 14 (2005), 157-199
 B. Jacobs, Introduction to Coalgebra. Towards Mathematics of States and Observations (book draft)
 Yde Venema: Automata and Fixed Point Logics: a Coalgebraic Perspective. Information and Computation, 204 (2006) 637-678.

Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556






 star-autonomous category at the nLab

 This article is based in part on PlanetMath's article on examples of initial and terminal objects.


Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.






  A handbook for study and research









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Γενική τοπολογία 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα