Κατηγορία του Κλάισλι

Στην θεωρία κατηγοριών, μια κατηγορία του Κλάισλι είναι μια κατηγορία που συνδέεται φυσικά με οποιαδήποτε μονάδα Τ. Είναι ισοδύναμη με την κατηγορία των ελεύθερων Τ-άλγεβρων. Η κατηγορία του Κλάισλι είναι μία από τις δύο ακραίες λύσεις στο ερώτημα: "Μήπως κάθε μονάδα προκύπτει από μια σύζευξη ; " Η άλλη ακραία λύση είναι η κατηγορία Εϊλενμπεργκ-Μουρ. Οι κατηγορίες Κλάισλι πήραν το όνομά τους από τον μαθηματικό Χάινριχ Κλάισλι.

Επίσημος ορισμός

Έστω 〈T, η, μ〉 μια μονάδα πάνω σε μια κατηγορία C. Η κατηγορία Κλάισλι του C είναι η κατηγορία CT της οποίας τα αντικείμενα και οι μορφισμοί δίνονται από

Δηλαδή, κάθε μορφισμός f: X → T Y στο C (με ομοπεροιοχή TY) μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως μορφισμός στο  CT (αλλά με ομοπεριοχή  Y). Η σύνθεση των μορφισμών στο CT δίνεται από

όπου f: X → T Y και g: Y → T Z. Ο ταυτοτικός μορφισμός δίνεται από τη μονάδα η:
.

Ένας εναλλακτικός τρόπος γραφής αυτού, ο οποίος διευκρινίζει την κατηγορία στην οποία ανήκει κάθε αντικείμενο, χρησιμοποιείται από τον Μακ Λέιν..  Χρησιμοποιούμε μια ελαφρώς διαφορετική σημειογραφία για αυτήν την παρουσίαση. Δεδομένης της ίδιας μονάδας και κατηγορίας  όπως παραπάνω, συσχετίζουμε με κάθε αντικείμενο  στο  ένα νέο αντικείμενο , και για κάθε μορφισμό  στο   έναν μορφισμό .  Μαζί, αυτά τα αντικείμενα και οι μορφισμοί σχηματίζουν την κατηγορία μας  , όπου ορίζουμε τη σύνθεση, που ονομάζεται επίσης σύνθεση Κλάισλι, με 

Τότε ο ταυτοτικός μορφισμός στο , η ταυτότητα του Κλάισλι, είναι

 Τελεστές επέκτασης και τριπλές Κλάισλι 

Η σύνθεση των βελών Κλάισλι μπορεί να εκφραστεί συνοπτικά με τη βοήθεια του τελεστή επέκτασης (–)# : Hom(X, TY) → Hom(TX, TY). Δεδομένης μιας μονάδας 〈T, η, μ〉 πάνω σε μια κατηγορία C και ενός μορφισμού f : X → TY ας θέσουμε

Η σύνθεση στην κατηγορία Κλάισλι CT μπορεί τότε να γραφτεί

Ο τελεστής επέκτασης ικανοποιεί τις ταυτότητες :

όπου f : X → TY και g : Y → TZ. Από αυτές τις τετριμένες ιδιότητες προκύπτει προφανώς ότι η σύνθεση Κλάισλι είναι προσεταιριστική και ότι η ηX είναι η ταυτότητα.

Στην πραγματικότητα, το να δίνει μια μονάδα σημαίνει ότι δίνει ένα τριπλό Κλάισλι 〈T, η, (–)#〉, i.e. 
 Μια συνάρτηση ;
 Για κάθε αντικείμενο  στο ,  ένας μορφισμός  ;
 Για κάθε μορφισμό   στο ,  ένας μορφισμός  
έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι τρεις παραπάνω εξισώσεις για τους τελεστές επεκτασης.

 Σύζευξη Κλάισλι 

Οι κατηγορίες Κλάισλι ορίστηκαν αρχικά για να δείξουν ότι κάθε μονάδα προκύπτει από μια σύζευξη. Η κατασκευή αυτή έχει ως εξής.

Έστω 〈T, η, μ〉 μια μονάδα πάνω σε μια κατηγορία C και έστω CT η προσεταιριστική κατηγορία Κλάισλι. Χρησιμοποιώντας τη σημειογραφία του Mακ Λέιν που αναφέρθηκε στην ενότητα “Τυπικός ορισμός“  παραπάνω, ορίζουμε έναν συναρτητή F: C → CT by

και έναν συναρτητή G : CT → C από

Μπορεί να αποδειχθεί ότι τα t F και G είναι πράγματι συναρτητές και ότι το F είναι αριστερό συζυγές του G. Η συν-μονάδα της σύζευξης δίνεται από

Τέλος, μπορεί κανείς να δείξει ότι T = GF και μ = GεF  έτσι ώστε 〈T, η, μ〉 να είναι η μονάδα που σχετίζεται με την σύζευξη 〈F, G, η, ε〉.

Απόδειξη ότι GF = T

Για κάθε αντικείμενο X στην κατηγορία C:


Για κάθε  στην κατηγορία C:

Δεδομένου ότι  αληθεύει για κάθε αντικείμενο  X στο C και  αληθεύει για κάθε μορφισμό f στο C, τότε . Q.E.D.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές






 star-autonomous category at the nLab

 This article is based in part on PlanetMath's article on examples of initial and terminal objects.


Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.






  A handbook for study and research









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Συναρτητές
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα