Κατηγορία ομάδων

Στα μαθηματικά, η κατηγορία ομάδων  Grp (ή Gp) έχει την κλάση όλων των ομάδων για τα αντικείμενα και των ομομορφισμών ομάδων για τους μορφισμούς. Ως τέτοια, είναι μια συμπαγής κατηγορία. Η μελέτη αυτής της κατηγορίας είναι γνωστή ως θεωρία ομάδων.

Σχέση με άλλες κατηγορίες

Υπάρχουν δύο επιλήσμονες συναρτητές από το Grp,  M: Grp → Mon από ομάδες σε μονοειδή και U: Grp → Set  από ομάδες σε σύνολα. Το M έχει δύο συζυγή: ένα δεξί, I:  Mon→Grp, και ένα αριστερό, K: Mon→Grp. Το I: Mon→Grp είναι ο συναρτητής που στέλνει κάθε μονοειδές στο υπομονοειδές των αντιστρέψιμων στοιχείων και το K: Mon→Grp ο συναρτητής που στέλνει κάθε μονοειδές στην ομάδα Γκρότεντικ αυτού του μονοειδούς. Ο επιλήσμων συναρτητής U: Grp → Set  έχει ένα αριστερό συζυγές που δίνεται από το σύνθετο KF: Set→Mon→Grp, όπου F είναι ο ελεύθερος συναρτητής. Αυτός ο συναρτητής αντιστοιχεί σε κάθε σύνολο S την ελεύθερη ομάδα στο S.

Κατηγορικές ιδιότητες

Οι μονομορφισμοί στο Grp είναι ακριβώς οι ερριπτικοί ομομορφισμοί, οι επιμορφισμοί είναι ακριβώς οι υποκειμενικοί ομομορφισμοί και οι ισομορφισμοί είναι ακριβώς οι αμφιρριπτικοί ομομορφισμοί.

Η κατηγορία Grp είναι τόσο πλήρης όσο και συν-πλήρης. Το κατηγοριοθεωρητικό γινόμενο στο Grp είναι απλά το άμεσο γινόμενο ομάδων ενώ το κατηγοριοθεωρητικό συνγινόμενο στο Grp είναι το ελεύθερο γινόμενο ομάδων. Τα μηδενικά αντικείμενα στο Grp είναι οι τετριμμένες ομάδες (που αποτελούνται μόνο από ένα στοιχείο ταυτότητας).

Κάθε μορφισμός f : G → H  στο Grp έχει έναν κατηγοριοθεωρητικό πυρήνα (που δίνεται από τον συνηθισμένο πυρήνα της άλγεβρας ker f = {x in G | f(x) = e}), και επίσης έναν κατηγοριοθεωρητικό πυρήνα (που δίνεται από την ομάδα παραγόντων της H  από την κανονική κλειστότητα της f(G) in H). Σε αντίθεση με τις αβελιανές κατηγορίες, δεν ισχύει ότι κάθε μονομορφισμός στο Grp είναι ο πυρήνας του συμπυρήνα του.

Μη προσθετική και ως εκ τούτου μη αβελιανή

Η κατηγορία των αβελιανών ομάδων, Ab, είναι μια πλήρης υποκατηγορία της Grp. Η Ab είναι μια αβελιανή κατηγορία, αλλά η Grp δεν είναι. Πράγματι, η Grp δεν είναι καν προσθετική κατηγορία, επειδή δεν υπάρχει φυσικός τρόπος να ορίσουμε το "άθροισμα" δύο ομομορφισμών ομάδων. Η απόδειξη αυτού του γεγονότος έχει ως εξής: Το σύνολο των μορφισμών από τη συμμετρική ομάδα S3 τάξης τρία στον εαυτό της, , έχει δέκα στοιχεία: ένα στοιχείο z του οποίου το γινόμενο σε κάθε πλευρά με κάθε στοιχείο της E είναι το z (ο ομομορφισμός που στέλνει κάθε στοιχείο στην ταυτότητα), τρία στοιχεία τέτοια ώστε το γινόμενο τους σε μια σταθερή πλευρά να είναι πάντα ο εαυτός τους (οι προβολές στις τρεις υποομάδες τάξης δύο), και έξι αυτομορφισμούς.   Αν η Grp  ήταν μια προσθετική κατηγορία, τότε αυτό το σύνολο E των δέκα στοιχείων θα ήταν ένας δακτύλιος. Σε κάθε δακτύλιο, το μηδενικό στοιχείο ξεχωρίζει από την ιδιότητα ότι 0x=x0=0 για όλα τα x στο δακτύλιο, και έτσι το z θα έπρεπε να είναι το μηδέν του E.  Ωστόσο, δεν υπάρχουν δύο μη μηδενικά στοιχεία του E των οποίων το γινόμενο να είναι το z, οπότε αυτός ο πεπερασμένος δακτύλιος δεν θα είχε μηδενικούς διαιρέτες.Ένας πεπερασμένος δακτύλιος χωρίς μηδενικούς διαιρέτες είναι ένα σώμα σύμφωνα με το Μικρό θεώρημα του Γουέντερμπερν, αλλά δεν υπάρχει σώμα με δέκα στοιχεία, επειδή κάθε πεπερασμένο σώμα έχει για τάξη του, τη δύναμη ενός πρώτου.

Τέλειες ακολουθίες

Η έννοια της τέλειας ακολουθίας έχει νόημα στο Grp, και ορισμένα αποτελέσματα από τη θεωρία των αβελιανών κατηγοριών, όπως το λήμμα των εννέα, το λήμμα των πέντε και οι συνέπειές τους ισχύουν στο Grp. Το λήμμα του φιδιού όμως δεν ισχύει στο Grp.

Η Grp είναι μια κανονική κατηγορία.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές









  A handbook for study and research
 Murray Bremner and  Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα
Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών