2-Λήμμα Γιονέντα

Στα μαθηματικά, ειδικά στην θεωρία κατηγοριών, το 2-λήμμα Γιονέντα είναι μια γενίκευση του λήμματος Γιονέντα σε 2-κατηγορίες. Πιο συγκεκριμένα, δεδομένου ενός ανταλλοίωτου ψευδοσυνάρτηση  σε μια κατηγορία C, ισχυρίζεται ότι: για κάθε αντικείμενο  στο C, ο φυσικός συναρτητής (αξιολόγηση της ταυτότητας) 

είναι μια ισοδυναμία κατηγοριών, όπου   δηλώνει (περίπου) την κατηγορία των φυσικών μετασχηματισμών μεταξύ ψευδοσυναρτητών στο C και  .

Σύμφωνα με την κατασκευή του Γκρότεντικ,   αντιστοιχεί στην κατηγορία κόμμα  .  Έτσι, το λήμμα συχνά διατυπώνεται ως εξής:

όπου    ταυτίζεται με την νηματική κατηγορία που σχετίζεται με το  .

Με την εφαρμογή αυτού του λήμματος, το θεώρημα της συνοχής για τις δικατηγορίες ισχύει.

 Σχεδιάγραμμα απόδειξης 
Πρώτα ορίζουμε τον συναρτητή στην αντίθετη κατεύθυνση

ως εξής. Δεδομένου ενός αντικειμένου  in , ορίζουμε τον φυσικό μετασχηματισμό

δηλαδή,  με

(Στη συνέχεια, θα παραλείπουμε συχνά τον δείκτη για έναν φυσικό μετασχηματισμό.) Στη συνέχεια, δεδομένου ενός μορφισμού   στο  , για , ορίζουμε    ως

Τότε    είναι ένας μορφισμός (για την ακρίβεια ένας 2-μορφισμός ή μια τροποποίηση στην ορολογία του Μπενάμπου). Το υπόλοιπο της απόδειξης είναι να δείξουμε ότι
 Το παραπάνω  είναι ένας συναρτητής,
 ,  όπου    είναι η αξιολόγηση στην ταυτότητα, δηλαδή,  

Ο ισχυρισμός 1 ίναι σαφής. Όσον αφορά τον ισχυρισμό 2, 

όπου ο ισομορφισμός εδώ προέρχεται από το γεγονός ότι   είναι ψευδοσυναρτητής. Ομοίως,,
Για την Ισχυρισμό 3, έχούμε:

Ομοίως για έναν μορφισμό   

 ∞-Γιονέντα 

Δεδομένης μιας ∞-κατηγορίας C, ας υποθέσουμε ότι   είναι η ∞-κατηγορία των προδεματίων πάνω σε αυτήν με τιμές στο  Kan = η ∞-κατηγορία νημάτωσης Καν. Τότε η  ∞-έκδοση της εμφύτευσης Γιονέντα  περιλαμβάνει κάποια (αβλαβή) επιλογή με τον ακόλουθο τρόπο.

Πρώτον, έχουμε τον συναρτητή hom

που χαρακτηρίζεται από μια συγκεκριμένη καθολική ιδιότητα (π.χ. καθολική αριστερή νημάτωση) και είναι μοναδική έως έναν μοναδικό ισομορφισμό στην κατηγορία ομοτοπίας  ορίζουμε έναν τέτοιο συναρτητή. Τότε λαμβάνουμε τον συναρτητή εμφύτευσης Γιονέντα με τον συνήθη τρόπο:

η οποία αποδεικνύεται πλήρως πιστή (δηλ. ισοδυναμία σε επίπεδο Hom). Επιπλέον, και πιο έντονα, για κάθε αντικείμενο  στο  και αντικείμενο  στο , η αξιολόγηση  στην ταυτότητα (βλ. παρακάτω) 

είναι αντιστρέψιμη στην ∞-κατηγορία της μεγάλης νημάτωσης Καν (δηλαδή,  η νημάτωση Καν που βρίσκεται σε ένα σύμπαν μεγαλύτερο από το συγκεκριμένο). Εδώ, η απεικόνιση αξιολόγησης    αναφέρεται στη σύνθεση

όπου η τελευταία απεικόνιση είναι ο περιορισμός στην ταυτότητα .

Το λήμμα∞-Γιονέντα σχετίζεται στενά με το ζήτημα της ευθυγράμμισης και της παραμόρφωσης.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία










Παραπομπές



 Perspective. Information and Computation, 204 (2006) 637-678].

Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556






 star-autonomous category at the nLab

 This article is based in part on PlanetMath's article on examples of initial and terminal objects.


Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.






  A handbook for study and research









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Γενική τοπολογία 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα