Συναρτητής Hom

Στα μαθηματικά, και συγκεκριμένα στην θεωρία κατηγοριών, τα hom-σύνολα (δηλαδή σύνολα μορφισμών μεταξύ αντικειμένων) δημιουργούν σημαντικούς συναρτήτές στην κατηγορία των συνόλων. Αυτοί οι συναρτήτες ονομάζονται hom-συναρτήτες και έχουν πολυάριθμες εφαρμογές στην θεωρία κατηγοριών και σε άλλους κλάδους των μαθηματικών.

Τυπικός ορισμός    

Έστω η C μια τοπικά μικρή κατηγορία (δηλ. μια κατηγορία για την οποία οι hom-κλάσεις είναι στην πραγματικότητα σύνολα και όχι γνήσιες κλάσεις). 

Για όλα τα αντικείμενα A και B στην C ορίζουμε δύο συναρτήτες στην κατηγορία των συνόλων ως εξής:

{| class=wikitable
|-
! Hom(A, –) : C → Σύνολο
! Hom(–, B) : C → ΣύνολοAlso commonly denoted Cop → Set, where Cop denotes the opposite category, and this encodes the arrow-reversing behaviour of Hom(–, B).
|-
| Είναι ένας συναλλοίωτος συναρτητής που δίνεται από:
 Hom(A, –) απεικονίζει κάθε αντικείμενο X στο C στο σύνολο των μορφισμών, Hom(A, X)
 Hom(A, –) απεικονίζει κάθε μορφισμό f : X → Y στη συνάρτηση
 Hom(A, f) : Hom(A, X) → Hom(A, Y) που δίνεται από
  για κάθε g στο Hom(A, X).
| Είναι ένας ανταλλοίωτος συναρτητής που δίνεται από::
 Hom(–, B) απεικονίζει κάθε αντικείμενο X στο C στο σύνολο των μορφισμών, Hom(X, B)
 Hom(–, B) απεικονίζει κάθε μορφισμό h : X → Y στη συνάρτηση
 Hom(h, B) : Hom(Y, B) → Hom(X, B) που δίνεται από
  για κάθε g στο Hom(Y, B).
|}

Ο συναρτήτης Hom(–, B) ονομάζεται επίσης συναρτήτης σημείων του αντικειμένου B.    

Ας σημειωθεί ότι η σταθεροποίηση του πρώτου ορίσματος του Hom οδηγεί φυσικά σε έναν συναλλοίωτο συνάρτητη  και η σταθεροποίηση του δεύτερου ορίσματος οδηγεί φυσικά σε έναν ανταλλοίωτο συνάρτητη. Αυτό είναι ένα τεχνούργημα του τρόπου με τον οποίο πρέπει να συνθέτουμε τους μορφισμούς.

Το ζεύγος συναρτητών Hom(A, –) και Hom(–, B) σχετίζεται με φυσικό τρόπο. Για οποιοδήποτε ζεύγος μορφισμών f : B → B′ και h : A′ → A το ακόλουθο διάγραμμα είναι αντιμεταθετικό:
Και οι δύο διαδρομές στέλνουν g : A → B to f∘g∘h : A′ → B′.

Η αντιμεταθετικότητα του παραπάνω διαγράμματος υποδηλώνει ότι το Hom(–, –) είναι ένας δισυναρτητής από το C × C στο Σύνολο που είναι ανταλλοίωτο στο πρώτο όρισμα και συναλλοίωτο στο δεύτερο. Αντίστοιχα, μπορούμε να πούμε ότι το Hom(–, –) είναι ένα δισυναρτητή
 Hom(–, –) : Cop × C → Set
όπου Cop είναι η αντίθετη κατηγορία τηςC.   Η σημειογραφία HomC(–, –) χρησιμοποιείται μερικές φορές για το Hom(–, –) προκειμένου να τονιστεί η κατηγορία που σχηματίζει την περιοχή.

Λήμμα του Γιονέντα  

Αναφερόμενοι στο παραπάνω αντιμεταθετικό διάγραμμα, παρατηρούμε ότι κάθε μορφισμός
 h : A′ → A

προκαλεί ένα φυσικό μετασχηματισμό
 Hom(h, –) : Hom(A, –) → Hom(A′, –)

και κάθε μορφισμός
 f : B → B′

δημιουργεί έναν φυσικό μετασχηματισμό
 Hom(–, f) : Hom(–, B) → Hom(–, B′)

Το λήμμα του Γιονέντα υποδηλώνει ότι «κάθε» φυσικό μετασχηματισμό μεταξύ συναρτητών Hom έχει αυτή τη μορφή. Με άλλα λόγια, οι συναρτητές Hom οδηγούν σε μια πλήρη και πιστή ενσωμάτωση της κατηγορίας C στην κατηγορία συναρτητών.SetCop (συναλλοίωτος ή ανταλλοίωτος ανάλογα με το ποιος συναρτήτης Hom χρησιμοποιείται).

Εσωτερικός συναρτήτης Hom

Ορισμένες κατηγορίες μπορεί να διαθέτουν έναν συναρτήτη που συμπεριφέρεται όπως ένας συναρτήτης Hom, αλλά λαμβάνει τιμές στην ίδια την κατηγορία C και όχι στην Set. Ένας τέτοιος συναρτήτης αναφέρεται ως εσωτερικός συναρτήτης Hom και συχνά γράφεται ως

για να τονίσει τον παρόμοιο χαρακτήρα του  ως γινόμενο , ή ως

για να τονιστεί ο συναρτησιακός του χαρακτήρας, ή μερικές φορές απλά με πεζά: 
  Για παραδείγματα, βλ. Κατηγορία σχέσεων.
Οι κατηγορίες που διαθέτουν εσωτερικό συναρτητή Hom αναφέρονται ως κλειστές κατηγορίες. Έχουμε 
 ,
όπου I  είναι το αντικείμενο μονάδας της κλειστής κατηγορίας. Στην περίπτωση μιας κλειστής μονοειδούς κατηγορίας, αυτό επεκτείνεται στην έννοια του currying, δηλαδή ότι

όπου  είναι ένας διπλός συναρτήτης, ο εσωτερικός συναρτήτης γινόμενου που ορίζει μια μονοειδή κατηγορία.  Ο ισομορφισμός είναι φυσικός τόσο στο X όσο και στο Z Με άλλα λόγια, σε μια κλειστή μονοειδή κατηγορία, ο εσωτερικός συναρτήτης Hom είναι ένας συναρτήτης που συνοδεύει τον εσωτερικό συναρτήτη γινόμενου.  Το αντικείμενο  Το αντικείμενο ονομάζεται εσωτερικό Hom.  Όταν  είναι το καρτεσιανό γινόμενο , το αντικείμενο  ονομάζεται εκθετικό αντικείμενο και συχνά γράφεται ως .

Τα εσωτερικά Homs, όταν είναι αλυσοδεμένα, σχηματίζουν μια γλώσσα που ονομάζεται εσωτερική γλώσσα της κατηγορίας. Τα πιο γνωστά από αυτά είναι ο απλός τύπος λογισμού Λάμδα, που είναι η εσωτερική γλώσσα των κλειστών καρτεσιανών κατηγοριών, και το σύστημα γραμμικών τύπων, που είναι η εσωτερική γλώσσα των κλειστών συμμετρικών μονοειδών κατηγοριών.

Ιδιότητες    

Ας σημειωθεί ότι ένας συναρτήτης της μορφής
 Hom(–, A) : Cop → Set

είναι ένα προ-δεμάτιο· ομοίως, το Hom(“'A”', –) είναι ένα συν-δεμάτιο.

Ένας συναρτήτης F : C → Set που είναι φυσικά ισομορφικός με Hom(A, –) για κάποιο A  στο C ονομάζεται αναπαραστάσιμος συναρτήτης (ή αναπαραστάσιμος copresheaf). Ομοίως, ένας αντίστροφος συναρτήτης ισοδύναμος με Hom(–, A)  μπορεί να ονομαστεί συν-αναπαραστάσιμος (corepresentable).

Ας σημειώσουμε ότι Hom(–, –) : Cop × C → Set είναι ένας προσυναρτητής και, συγκεκριμένα, είναι ο ταυτοτικός προσυναρτητής  .

Ο εσωτερικός συναρτήτης hom διατηρεί τα όρια, δηλαδή  στέλνει τα όρια στα όρια, ενώ  στέλνει τα όρια στο , δηλαδή τα όρια στο , στα συν-όρια (colimits). Κατά μία έννοια, αυτό μπορεί να θεωρηθεί ως ο ορισμός ενός ορίου ή ενός συν-ορίου.

Ο ενδοσυνάρτησης Hom(E, –) : Set → Set μπορεί να λάβει τη δομή ενός μοναδικού στοιχείου. Αυτό το μοναδικό στοιχείο ονομάζεται μοναδικό στοιχείο περιβάλλοντος (ή αναγνώστη).

Άλλες ιδιότητες

Εάν η  A είναι μια αβελιανή κατηγορία και η A  είναι ένα αντικείμενο της  A, τότε η HomA(A, –) είναι ένας συναλλοίωτος αριστερά ακριβής συναρτήτης από την A στην κατηγορία Ab των αβελιανών ομάδων. Είναι ακριβής αν και μόνο αν η A είναι προβολική.Jacobson (2009), p. 149, Prop. 3.9.

Ας είναι R  ένας δακτύλιος και M ένα αριστερό R-Πρότυπο (module). Ο συναρτήτης HomR(M, –): Mod-R → Ab είναι συζηγής του συναρτήτη του τανυστικού γινομένου – R M: Ab → Mod-R.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Αβελιανή ομάδα

 Βιβλιογραφία










Παραπομπές

 Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E. (1990). Abstract and Concrete Categories. Originally published by John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (now free on-line edition)
 Robert Goldblatt (1984). Topoi, the Categorial Analysis of Logic (Studies in logic and the foundations of mathematics, 98). North-Holland. Reprinted 2006 by Dover Publications.






  A handbook for study and research

 Murray Bremner and  Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα
Κατηγορία:Συναρτητές