Κόσκινο (θεωρία κατηγοριών)

Στην θεωρία κατηγοριών, έναν κλάδο των μαθηματικών, ένα κόσκινο είναι ένας τρόπος επιλογής βελών με κοινή ομοπεριοχή. Είναι ένα κατηγορικό ανάλογο μιας συλλογής ανοιχτών υποσυνόλων ενός σταθερού ανοιχτού συνόλου στην τοπολογία. Σε μια τοπολογία Γκρότεντικ, ορισμένα κόσκινα γίνονται κατηγορικά αναλόγως των ανοιχτών καλύψεων στην τοπολογία. Τα κόσκινα εισήχθησαν από τον Ζιρό ( BNF  προκειμένου να αναδιατυπωθεί η έννοια της τοπολογίας Γκρότεντικ.

Ορισμός

Έστω C μια κατηγορία και c ένα αντικείμενο της C.  Ένα κόσκινο  στο c είναι ένα υπο-συναρτητής του Hom(−, c), δηλαδή, για όλα τα αντικείμενα c′ of C, S(c′) ⊆ Hom(c′, c), και για όλα τα βέλη f:c″→c′, S(f) είναι ο περιορισμός του Hom(f, c), η εφέλκυση από το f (με την έννοια της προσύνθεσης, όχι των νηµατικών γινομένων), στο S(c′); Βλέπε την επόμενη ενότητα παρακάτω. .

Με άλλα λόγια, ένα κόσκινο είναι μια συλλογή S από βέλη με κοινή ομοπεριοχή που ικανοποιεί την προϋπόθεση, "Εάν g:c′→c είναι ένα βέλος στο S, και εάν  f:c″→c′ είναι οποιοδήποτε άλλο βέλος στο C, τότε το gf βρίσκεται στο S."  Συνεπώς, τα κόσκινα είναι παρόμοια με τα δεξιά ιδεώδη στη θεωρία δακτυλίων ή τα φίλτρα στη Θεωρία διάταξης.

Νηµατικό γινόµενο κόσκινων

Η πιο συνηθισμένη πράξη σε ένα κόσκινο είναι το νηµατικό γινόµενο. Η εφέλκυση ενός κόσκινου S στο c με ένα βέλος f:c′→c δίνει ένα νέο κόσκινο f*S στο c′.  Αυτό το νέο κόσκινο αποτελείται από όλα τα βέλη στο S που διαιρούνται με το c′.

Υπάρχουν διάφοροι ισοδύναμοι τρόποι για τον ορισμό του f*S.  Ο απλούστερος είναι: 

Για κάθε αντικείμενο d του C, f*S(d) = { g:d→c′ | fg ∈ S(d)}

Μια πιο αφηρημένη διατύπωση είναι:

f*S είναι η εικόνα του νηματικού γινομένου S×Hom(−, c)Hom(−, c′) υπό την φυσική προβολή S×Hom(−, c)Hom(−, c′)→Hom(−, c′).

Εδώ η απεικόνιση  Hom(−, c′)→Hom(−, c) είναι Hom(−, f), η εξώθηση από το f.

Η τελευταία διατύπωση υποδηλώνει ότι μπορούμε επίσης να πάρουμε την εικόνα του S×Hom(−, c)Hom(−, c′) κάτω από τη φυσική απεικόνιση στο Hom(−, c).  Αυτή θα είναι η εικόνα του f*S κάτω από τη σύνθεση με f.  Για κάθε αντικείμενο d του C, αυτό το κόσκινο θα αποτελείται από όλα τα βέλη fg, όπου g:d→c′ είναι ένα βέλος του f*S(d).  Με άλλα λόγια, αποτελείται από όλα τα βέλη στο S που μπορούν να παραγοντοποιηθούν μέσω του f.

Αν συμβολίσουμε με ∅c το κενό κόσκινο στο c, δηλαδή το κόσκινο για το οποίο ∅(d) είναι πάντα το κενό σύνολο, τότε για κάθε f:c′→c, f*∅c is ∅c′.  Επιπλέον, f*Hom(−, c) = Hom(−, c′).

Ιδιότητες των κόσκινων

Έστω S και S′ δύο κόσκινα στο c.  Λέμε ότι S ⊆ S′ για όλα τα αντικείμενα c′ του C, S(c′) ⊆ S′(c′). Για όλα τα αντικείμενα d του C, ορίζουμε (S ∪ S′)(d) ως S(d) ∪ S′(d) και (S ∩ S′)(d) ως S(d) ∩ S′(d). Μπορούμε σαφώς να επεκτείνουμε αυτόν τον ορισμό και σε άπειρες ενώσεις και τομές. 

Αν ορίσουμε το SieveC(c) (ή Sieve(c) για συντομία) ως το σύνολο όλων των κόσκινων στο c, τότε το Sieve(c) γίνεται μερικώς διατεταγμένο υπό το ⊆.  Από τον ορισμό είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι η ένωση ή η τομή οποιασδήποτε οικογένειας κόσκινων στο c είναι ένα κόσκινο στο c, οπότε το Sieve(c) είναι ένα πλήρες πλέγμα. 

Μια τοπολογία του Γκρότεντικ είναι μια συλλογή από κόσκινα που υπόκεινται σε ορισμένες ιδιότητες. Αυτά τα κόσκινα ονομάζονται κόσκινα κάλυψης. Το σύνολο όλων των κόσκινων κάλυψης σε ένα αντικείμενο c είναι ένα υποσύνολο J(c) στο Sieve(c). Το J(c)ικανοποιεί διάφορες ιδιότητες επιπλέον εκείνων που απαιτούνται από τον ορισμό:

Εάν S και S′ είναι κόσκινα στο c, S ⊆ S′, και S ∈ J(c), τότε S′ ∈ J(c).
Οι πεπερασμένες τομές των στοιχείων του J(c) βρίσκονται στο J(c).

Κατά συνέπεια, J(c) είναι επίσης ένα επιμεριστικό πλέγμα και είναι συντελικό στο Sieve(c).

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία









Παραπομπές






 star-autonomous category at the nLab

 This article is based in part on PlanetMath's article on examples of initial and terminal objects.


Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.






  A handbook for study and research









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα 
Κατηγορία:Ευκλείδεια Γεωμετρία