Εκθετικό αντικείμενο

Στα μαθηματικά, συγκεκριμένα στην θεωρία κατηγοριών, ένα εκθετικό αντικείμενο είναι η κατηγορηματική γενίκευση ενός συναρτησιακού χώρου στην θεωρία συνόλων. Οι κατηγορίες με όλα τα πεπερασμένα γινόμενα και τα εκθετικά αντικείμενα ονομάζονται καρτεσιανές κλειστές κατηγορίες. Οι κατηγορίες (όπως οι υποκατηγορίες του Top) χωρίς συζυγή γινόμενα μπορεί να έχουν ακόμα έναν εκθετικό νόμο.law for spaces at the https://en.wikipedia.org/wiki/NLab [nLab]Convenient category of topological spaces at the nLab

Ορισμός   

Έστω   μια κατηγορία, ας υποθέσουμε ότι  και  είναι αντικείμενα του , και ότι το  έχει όλα τα δυαδικά γινόμενα με το . Ένα αντικείμενο  με έναν μορφισμό  είναι ένα εκθετικό αντικείμενο αν για κάθε αντικείμενο  και μορφισμό  υπάρχει ένας μοναδικός μορφισμός  (που ονομάζεται μεταφορά του ) έτσι ώστε το ακόλουθο διάγραμμα να είναι αντιμεταθετό:
Αυτή η αντιστοίχιση ενός μοναδικού  σε κάθε   δημιουργεί έναν ισομορφισμό (αμφίρριψη) των συνόλων hom-sets, 

Εάν υπάρχει για όλα τα αντικείμενα  στο , τότε ο συναρτητής  ορίζεται στα αντικείμενα από το  και στα βέλη από το  , είναι ένα δεξί συζυγές του γινομένου συναρτητή . Για το λόγο αυτό, οι μορφισμοί  και  ονομάζονται μερικές φορές εκθετικοί συζυγείς ο ένας του άλλου.

Ορισμός εξίσωσης

Εναλλακτικά, το εκθετικό αντικείμενο μπορεί να οριστεί μέσω εξισώσεων:
 Η ύπαρξη του   εγγυάται την ύπαρξη της πράξης . 
 Η αντιμεταθετικότητα των παραπάνω διαγραμμάτων εξασφαλίζεται από την ισότητα .
 Η μοναδικότητα του  εγγυάται από την ισότητα .

Καθολική ιδιότητα

Ο εκθετικός  δίνεται από έναν καθολικό μορφισμό δηλαδή από το γινόμενο συναρτητή  στο αντικείμενο . Αυτός ο καθολικός μορφισμός αποτελείται από ένα αντικείμενο  και έναν μορφισμό .

Παραδείγματα

Στην κατηγορία των συνόλων, ένα εκθετικό αντικείμενο   είναι το σύνολο όλων των συναρτήσεων .. Η απεικόνιση  είναι απλώς η απεικόνιση αξιολόγησης, η οποία αποστέλλει το ζεύγος  στο . Για κάθε απεικόνιση  η απεικόνιση  είναι η μορφή curried του :

Μια άλγεβρα Χέιτινγκ  είναι απλώς ένα περιορισμένο πλέγμα που έχει όλα τα εκθετικά αντικείμενα. Η συνέπεια Χέιτινγκ, , είναι μια εναλλακτική σημειογραφία για το . Τα παραπάνω αποτελέσματα της συνάρτησης μετατρέπονται σε προκύπτουσα πρόταση () που είναι δεξιος συζυγής που συναντά (). Αυτή η σύζευξη μπορεί να γραφτεί ως , ή πιο ολοκληρωμένα ως:

Στην κατηγορία των τοπολογικών χώρων, το εκθετικό αντικείμενο  υπάρχει υπό την προϋπόθεση ότι το  είναι ένας τοπικά συμπαγής χώρος Χάουσντορφ. Σε αυτή την περίπτωση, ο χώρος  είναι το σύνολο όλων των συνεχών συναρτήσεων από το  στο  μαζί με την συμπαγή-ανοιχτή τοπολογία. Η απεικόνιση αξιολόγησης είναι η ίδια με αυτήν της κατηγορίας των συνόλων, είναι συνεχής με την παραπάνω τοπολογία.Joseph J. Rotman, An Introduction to Algebraic Topology (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1 (See Chapter 11 for proof.) Εάν  δεν είναι τοπικά συμπαγής Χάουσντορφ, το εκθετικό αντικείμενο μπορεί να μην υπάρχει (ο χώρος  εξακολουθεί να υπάρχει, αλλά μπορεί να μην είναι εκθετικό αντικείμενο, καθώς η συνάρτηση αξιολόγησης δεν χρειάζεται να είναι συνεχής). Για το λόγο αυτό, η κατηγορία των τοπολογικών χώρων δεν είναι καρτεσιανή κλειστή.
Ωστόσο, η κατηγορία των τοπικά συμπαγών τοπολογικών χώρων δεν είναι ούτε καρτεσιανή κλειστή, καθώς το  δεν χρειάζεται να είναι τοπικά συμπαγές για τους τοπικά συμπαγείς χώρους  και . Μια καρτεσιανή κλειστή κατηγορία χώρων δίνεται, λόγου χάριν από την πλήρη υποκατηγορία που καλύπτεται από τους συμπαγώς παραγόμενους χώρους Χάουσντορφ.

Στις συναρτησιακές γλώσσες προγραμματισμού, ο μορφισμός  ονομάζεται συχνά , και η σύνταξη  γράφεται συχνά . Ο μορφισμός  δεν πρέπει να συγχέεται με τη συνάρτηση eval σε ορισμένες γλώσσες προγραμματισμού, η οποία αξιολογεί τις εκφράσεις που βρίσκονται σε εισαγωγικά.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές




Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.






  A handbook for study and research









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα