Κατηγορία αβελιανών ομάδων

Στα μαθηματικά, η κατηγορία Ab έχει ως αντικείμενα τις αβελιανές ομάδες και ως μορφισμούς τους ομομορφισμούς ομάδων. Αυτή είναι η πρωτότυπη αβελιανή κατηγορία: πράγματι, κάθε μικρή αβελιανή κατηγορία μπορεί να ενσωματωθεί στην Ab.

 Ορισμός 
 Κατηγορία των αβελιανών ομάδων 

Η κατηγορία των αβελιανών ομάδων είναι η κατηγορία Ab  που ορίζεται ως εξής:
 Τα αντικείμενα είναι οι αβελιανές ομάδες.
 Οι μορφισμοί μεταξύ των αντικειμένων είναι οι μορφισμοί των ομάδων.
Είναι λοιπόν μια πλήρης υποκατηγορία της κατηγορίας Grp των ομάδων.

Η κατηγορία των αβελιανών ομάδων ταυτίζεται με την κατηγορία των δομοστοιχείων επί :
.

Εμπλουτισμένες κατηγορίες στο Ab 

Η κατηγορία Ab είναι μονοειδής και επιτρέπει επομένως τον ορισμό μιας εμπλουτισμένης δομής. Οι εμπλουτισμένες κατηγορίες στο Ab ονομάζονται προπροσθετικές .

 Ιδιότητες   

Το μηδενικό αντικείμενο του Ab είναι η τετριμμένη ομάδα {0} που αποτελείται μόνο από το ουδέτερο στοιχείο της.

Οι μονομορφισμοί στο Ab είναι οι ερριπτικοί ομομορφισμοί ομάδων, οι επιμορφισμοί είναι οι επιρριπτικοι ομομορφισμοί ομάδων και οι ισομορφισμοί είναι οι αμφιρριπτικοι ομομορφισμοί ομάδων.

Το Ab είναι μια πλήρης υποκατηγορία του Grp, της κατηγορίας όλων των ομάδων. Η κύρια διαφορά μεταξύ του Ab και του Grp είναι ότι το άθροισμα δύο ομομορφισμών  f και g μεταξύ αβελιανών ομάδων είναι και πάλι ένας ομομορφισμός ομάδας:

(f+g)(x+y) = f(x+y) + g(x+y) = f(x) + f(y) + g(x) + g(y) 
       = f(x) + g(x) + f(y) + g(y) = (f+g)(x) + (f+g)(y)

Η τρίτη ισότητα απαιτεί η ομάδα να είναι αβελιανή. Αυτή η προσθήκη μορφισμού μετατρέπει την Ab σε προπροσθετική κατηγορία, και επειδή το άμεσο άθροισμα, πεπερασμένου αριθμού αβελιανών ομάδων δίνει ένα διγινόμενο, έχουμε πράγματι μία προσθετική κατηγορία.

Στην Ab, η έννοια του πυρήνα με την κατηγορία της θεωρίας των κατηγοριών συμπίπτει με τον πυρήνα στην αλγεβρική έννοια, δηλαδή ο κατηγορικός πυρήνας του μορφισμού f : A → B   είναι η υποομάδα K του A που ορίζεται από K = {x ∈ A : f(x) = 0}, μαζί με τον ομομορφισμό συμπερίληψης i : K → A. Το ίδιο ισχύει και για τους συμπυρήνες. Ο συμπυρήνας του f είναι η ομάδα πηλίκου C = B / f(A) μαζί με τη φυσική προβολή p : B → C. (Αξίζει να σημειωθεί μια άλλη σημαντική διαφορά μεταξύ  Ab και Grp: Στο Grp μπορεί να συμβεί το f(A) iνα μην είναι κανονική υποομάδα του B, και ότι επομένως η ομάδα πηλίκου  B / f(A) δεν μπορεί να σχηματιστεί.) Με αυτές τις συγκεκριμένες περιγραφές των πυρήνων και των συμπυρήνων, είναι αρκετά εύκολο να επαληθευτεί ότι η  Ab είναι πράγματι μια αβελιανή κατηγορία.

Ο ξεχασιάρης συναρτήτης από το Mod  στο Ab που στέλνει ένα  -πρότυπο  στην υποκείμενη αβελιανή ομάδα  και ο συναρτητής από το Ab στο  που στέλνει μια αβελιανή ομάδα  στο  -πρότυπο  που λαμβάνεται ορίζοντας  ορίζουν έναν ισομορφισμό κατηγοριών.

Το γινόμενο στο Ab δίνεται από το γινόμενο των ομάδων, που σχηματίζεται λαμβάνοντας το καρτεσιανό γινόμενο των υποκείμενων συνόλων και εκτελώντας την πράξη της ομάδας κατά συνιστώσες. Επειδή το Ab έχει πυρήνες, μπορεί κανείς να δείξει ότι το Ab είναι μια πλήρης κατηγορία. Το συνγινόμενο (coproduct) στο Ab δίνεται από το άμεσο άθροισμα. Δεδομένου ότι το Ab έχει κοπυρήτες, προκύπτει ότι το Ab είναι επίσης συν-πλήρες.

Έχουμε ένα ξεχασιάρικο συναρτητή  Ab → Set που αντιστοιχεί σε κάθε αβελιανή ομάδα το υποκείμενο σύνολο και σε κάθε ομομορφισμό ομάδων την υποκείμενη συνάρτηση. Αυτός ο συναρτητής είναι πιστός και, επομένως, το Ab είναι μια συγκεκριμένη κατηγορία. Ο ξεχασιάρης συναρτητής έχει έναν αριστερό συζυγή (ο οποίος αντιστοιχεί σε ένα δεδομένο σύνολο την ελεύθερη αβελιανή ομάδα με αυτό το σύνολο ως βάση), αλλά δεν έχει δεξιό συζυγή.

Η λήψη άμεσων ορίων στο Ab είναι ένας ακριβής συναρτητής. Δεδομένου ότι η ομάδα των ακεραίων Z χρησιμεύει ως γεννήτρια, η κατηγορία Ab είναι επομένως μια κατηγορία  Γκρότεντικ. Πράγματι, είναι το πρωτότυπο παράδειγμα μιας κατηγορίας  Γκρότεντικ.

Ένα αντικείμενο στο Ab είναι ερριπτικό αν και μόνο αν είναι μια διαιρέσιμη ομάδα· είναι προβολικό αν και μόνο αν είναι μια ελεύθερη αβελιανή ομάδα. Η κατηγορία έχει έναν προβολικό γεννήτορα (Z) και έναν ερριπτικό συν-γεννήτορα (Q/Z)

Δεδομένων δύο αβελιανών ομάδων A και B, το τανυστικό τους γινόμενο A⊗B ορίζεται ως μια αβελιανή ομάδα. Με αυτή την έννοια του γινομένου, η Ab είναι μια κλειστή συμμετρική μονοειδής κατηγορία.

Το Ab δεν είναι τόπος, καθώς, μεταξύ άλλων, έχει αντικείμενο μηδέν.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία










Παραπομπές









  A handbook for study and research
 Murray Bremner and  Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα