Σκελετός (θεωρία κατηγοριών)

Στα μαθηματικά, ο σκελετός μιας κατηγορίας είναι μια υποκατηγορία που κατά προσέγγιση, δεν περιέχει περιττούς ισομορφισμούς. Υπό μια ορισμένη έννοια, ο σκελετός μιας κατηγορίας είναι η "μικρότερη" Ισοδυναμία κατηγοριών, η οποία συλλαμβάνει όλες τις "ιδιότητες κατηγοριών" της αρχικής. Στην πραγματικότητα, δύο κατηγορίες είναι ισοδύναμες αν και μόνο αν έχουν ισομορφικούς σκελετούς. Μια κατηγορία αποκαλείται σκελετική αν τα ισομορφικά αντικείμενα είναι αναγκαστικά πανομοιότυπα.

 Ορισμός 

Ένας σκελετός μιας κατηγορίας C είναι μια ισοδύναμη κατηγορία D στην οποία τα ισομορφικά αντικείμενα είναι ίσα. Τυπικά, ένας σκελετός θεωρείται μια υποκατηγορία D της C τέτοια ώστε:
 Το D είναι υποκατηγορία του C : κάθε αντικείμενο του D είναι αντικείμενο του C 

για κάθε ζεύγος αντικειμένων d1 και d2 του D, οι μορφισμοί του  D είναι μορφισμοί στο C, δηλαδή

και οι ταυτότητες και οι συνθέσεις D είναι περιορισμοί εκείνων στο C.
 O εγκλεισμός του D στο  C είναι πλήρης, πράγμα που σημαίνει ότι για κάθε ζεύγος αντικειμένων d1 και  d2 του  D, η συμπερίληψη των παραπάνω υποσυνόλων ενισχύεται σε ισότητα:

 Ο εγκλεισμός του  D  στο C είναι ουσιαστικά  επιρριπτικος: κάθε αντικείμενο του C είναι ισομορφικό με ένα αντικείμενο του D . 
 Το D είναι σκελετικό: δεν υπάρχουν διακριτά ισομορφικά αντικείμενα στο D.

 Ύπαρξη και μοναδικότητα 

Είναι θεμελιώδες γεγονός ότι κάθε μικρή κατηγορία έχει σκελετό- γενικότερα, κάθε προσβάσιμη κατηγορία έχει σκελετό. (Αυτό είναι ισοδύναμο με το αξίωμα της επιλογής.) Επίσης, αν και μια κατηγορία μπορεί να έχει πολλούς διαφορετικούς σκελετούς, δύο σκελετοί είναι ισομορφικοί ως κατηγορίες, οπότε μέχρι τον ισομορφισμό των κατηγοριών, ο σκελετός μιας κατηγορίας είναι μοναδικός.

Η σημασία των σκελετών προέρχεται από το γεγονός ότι είναι (μέχρι ισομορφισμού των κατηγοριών), κανονικοί αντιπρόσωποι των κλάσεων ισοδυναμίας των κατηγοριών υπό τη σχέση ισοδυναμίας της ισοδυναμίας των κατηγοριών. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι οποιοσδήποτε σκελετός μιας κατηγορίας C είναι ισοδύναμος με την C, και ότι δύο κατηγορίες είναι ισοδύναμες αν και μόνο αν έχουν ισομορφικούς σκελετούς.

 Παραδείγματα 

Η κατηγορία Σύνολο όλων των συνόλων έχει ως σκελετό την υποκατηγορία όλων των πληθικών αριθμών.
Η κατηγορία K-Vect όλων των διανυσματικών χώρων πάνω από ένα σταθερό σώμα  έχει ως σκελετό την υποκατηγορία που αποτελείται από όλες τις δυνάμεις , όπου “'α”' είναι οποιοσδήποτε πληθικός αριθμός, για κάθε πεπερασμένο m και n, οι απεικονίσεις  είναι ακριβώς οι n × m  πίνακες με καταχωρήσεις στον K.
FinSet, η κατηγορία όλων των πεπερασμένων συνόλων έχει ως σκελετό την FinOrd, την κατηγορία όλων των πεπερασμένων τακτικών αριθμών.
Η κατηγορία όλων των καλά διατεταγμένων συνόλων έχει ως σκελετό την υποκατηγορία όλων των τακτικών αριθμών.
Μια προδιάταξη, δηλαδή μια μικρή κατηγορία τέτοια ώστε για κάθε ζεύγος αντικειμένων , το σύνολο  είτε έχει ένα στοιχείο είτε είναι κενό, έχει ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο ως σκελετό. 
Υπάρχουν πολλά παραδείγματα σκελετοποίησης κατηγοριών σύντηξης και συναφών δομών.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Αβελιανή ομάδα

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές

 Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E. (1990). Abstract and Concrete Categories. Originally published by John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (now free on-line edition)
 Robert Goldblatt (1984). Topoi, the Categorial Analysis of Logic (Studies in logic and the foundations of mathematics, 98). North-Holland. Reprinted 2006 by Dover Publications.






  A handbook for study and research

 Murray Bremner and  Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα