Δικυκλική ομάδα

Στη θεωρία των ομάδων, μια δικυκλική ομάδα (συμβολισμός Dicn or Q4n,  Coxeter&Moser: Generators and Relations for discrete groups: <l,m,n>: Rl = Sm = Tn = RST) είναι ένα συγκεκριμένο είδος μη-αβελιανής ομάδας τάξης 4n (n > 1).   Αποτελεί επέκταση της κυκλικής ομάδας τάξης 2  με μια κυκλική ομάδα τάξης 2n, δίνοντας το όνομα δι-κυκλική. Στον συμβολισμό των ακριβών ακολουθιών ομάδων, η επέκταση αυτή μπορεί να εκφραστεί ως εξής:

Γενικότερα, δεδομένης οποιασδήποτε πεπερασμένης αβελιανής ομάδας με στοιχείο τάξης-2, μπορεί κανείς να ορίσει μια δικυκλική ομάδα.

Ορισμός

Για κάθε ακέραιο n > 1, η δικυκλική ομάδα Dicn μπορεί να οριστεί ως η υποομάδα των μοναδιαίων τετραδόνιων που παράγεται από την

Πιο αφηρημένα, μπορούμε να ορίσουμε τη δικυκλική ομάδα Dicn ως την ομάδα με την ακόλουθη παρουσίαση 

Ορισμένα πράγματα που πρέπει να σημειωθούν και απορρέουν από αυτόν τον ορισμό:

if , then 

Έτσι, κάθε στοιχείο του Dicn μπορεί να γραφεί μοναδικά ως , όπου 0 ≤ m < 2n και l = 0 ή 1. Οι κανόνες πολλαπλασιασμού δίνονται από 

Προκύπτει ότι το  Dicn έχει τάξη 4n.

Όταν n = 2, η δικυκλική ομάδα είναι ισόμορφη με την τετραγωνική ομάδα Q. Γενικότερα, όταν το n είναι δύναμη του 2, η δικυκλική ομάδα είναι ισομορφική με τη γενικευμένη ομάδα τετραδόνιων.

Ιδιότητες

Για κάθε n > 1, η δικυκλική ομάδα Dicn είναι μια μη αβελιανή ομάδα τάξης 4n.  (Για την εκφυλισμένη περίπτωση n = 1, η ομάδα Dic1 είναι η κυκλική ομάδαC4, η οποία δεν θεωρείται δικυκλική.)

Έστω A =  η υποομάδα της Dicn που παράγεται από το a. Τότε η A είναι κυκλική ομάδα τάξης  2n, οπότε [Dicn:A] = 2. Ως υποομάδα με δείκτη 2 είναι αυτόματα κανονική υποομάδα. Η πηλίκο ομάδα  Dicn/A είναι κυκλική ομάδα τάξης 2.

Το Dicn είναι επιλύσιμο- ας σημειωθεί ότι το A είναι κανονικό και, όντας αβελιανό, είναι το ίδιο επιλύσιμο.

 Δυαδική διεδρική ομάδα

Η δικυκλική ομάδα είναι μια δυαδική πολυεδρική ομάδα - είναι μία από τις κλάσεις των υποομάδων της ομάδας Pin, Pin−(2), η οποία είναι υποομάδα της ομάδας Spin, Spin(3) — και σε αυτό το πλαίσιο είναι γνωστή ως δυαδική διεδρική ομάδα.

Η σύνδεση με τη δυαδική κυκλική ομάδα C2n, την κυκλική ομάδα Cn, και τη διεδρική ομάδα Dihn τάξεως 2n απεικονίζεται στο διάγραμμα στα δεξιά και είναι παράλληλη με το αντίστοιχο διάγραμμα για την ομάδα Pin. Ο Κόξετερ γράφει τη δυαδική διεδρική ομάδα ως ⟨2,2,n⟩  και τη δυαδική κυκλική ομάδα με γωνιακές αγκύλες, ⟨n⟩.

Υπάρχει μια επιφανειακή ομοιότητα μεταξύ των δικυκλικών ομάδων και των διεδρικών ομάδων- και οι δύο είναι ένα είδος "καθρέφτη" μιας υποκείμενης κυκλικής ομάδας. Αλλά η παρουσίαση μιας δίεδρης ομάδας θα είχε x2 = 1, αντί για  x2 = an; και αυτό δίνει μια διαφορετική δομή. Ειδικότερα, η Dicn δεν είναι ένα ημιάμεσο γινόμενο της A και της  , αφού η A ∩  δεν είναι τετριμμένη.

Η δικυκλική ομάδα έχει μια μοναδική ανέλιξη (δηλαδή ένα στοιχείο τάξης 2), δηλαδή x2 = an. Ας σημειωθεί ότι το στοιχείο αυτό βρίσκεται στο κέντρο της Dicn. Πράγματι, το κέντρο αποτελείται αποκλειστικά από το στοιχείο ταυτότητας και το x2. Αν προσθέσουμε τη σχέση x2 = 1 στην παρουσίαση της Dicn παίρνουμε μια παρουσίαση της διεδρικής ομάδας Dihn, οπότε η πηλίκο ομάδα Dicn/<x2> είναι ισόμορφη με την Dihn.

Υπάρχει ένας φυσικός ομομορφισμός 2 προς 1 από την ομάδα των μοναδιαίων Τετραδονίων στην τρισδιάστατη ομάδα περιστροφής που περιγράφεται στα Τετραδόνια και διαστημικές περιστροφές. Εφόσον η δικυκλική ομάδα μπορεί να ενσωματωθεί μέσα στα μοναδιαία Τετραδόνια, μπορεί κανείς να αναρωτηθεί ποια είναι η εικόνα της κάτω από αυτόν τον ομομορφισμό. Η απάντηση είναι ακριβώς η διεδρική ομάδα συμμετρίας Dihn.Για το λόγο αυτό η δικυκλική ομάδα είναι επίσης γνωστή ως δυαδική διεδρική ομάδα. Ας σημειωθεί ότι η δικυκλική ομάδα δεν περιέχει καμία υποομάδα ισομορφική προς την Dihn.

Η ανάλογη κατασκευή προ-εικόνας, χρησιμοποιώντας Pin+(2) αντί για Pin−(2), δίνει μια άλλη διεδρική ομάδα, Dih2n,  αντί για δικυκλική ομάδα.

Γενικεύσεις

Έστω η A μία αβελιανή ομάδα, η οποία έχει ένα συγκεκριμένο στοιχείο y στην A με τάξη 2. Μια ομάδα G ονομάζεται γενικευμένη δικυκλική ομάδα, που γράφεται ως Dic(A, y), αν παράγεται από την A και ένα επιπλέον στοιχείο x, και επιπρόσθετα έχουμε ότι [G:A] = 2, x2 = y, και για όλα τα a στην A, x−1ax = a−1.

Δεδομένου ότι για μια κυκλική ομάδα άρτιας τάξης, υπάρχει πάντα ένα μοναδικό στοιχείο τάξης 2, μπορούμε να δούμε ότι οι δικυκλικές ομάδες είναι απλώς ένας συγκεκριμένος τύπος γενικευμένης δικυκλικής ομάδας.

Η δικυκλική ομάδα είναι η περίπτωση  της οικογένειας των δυαδικών τριγωνικών ομάδων  που ορίζεται από την παρουσίαση:Παίρνοντας το πηλίκο με την πρόσθετη σχέση   προκύπτει μια συνηθισμένη τριγωνική ομάδα, η οποία σε αυτή την περίπτωση είναι το διεδρικό πηλίκο  .

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Αβελιανή ομάδα

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές

 .
 .
 .














 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα