Κατηγορία πολλαπλοτήτων

Στα μαθηματικά, η κατηγορία των πολλαπλοτήτων, που συχνά συμβολίζεται ως Manp, iείναι η κατηγορία της οποίας τα αντικείμενα είναι πολλαπλότητες της τάξεως λειότητας Cp και της οποίας οι μορφισμοί είναι p-times συνεχώς διαφορίσιμων απεικονίσεων. Η κατηγορία αυτή σχηματίζεται επειδή η σύνθεση δύο απεικονίσεων Cp είναι και πάλι συνεχής και της κλάσεως Cp.

Συνήθως μας ενδιαφέρουν μόνο οι πολλαπλότητες Cp-που μοντελοποιούνται σε χώρους μιας σταθερής κατηγορίας A, και η κατηγορία τέτοιων πολλαπλοτήτων συμβολίζεται Manp(A). Ομοίως, η κατηγορία των Cp-πολλαπλοτήτων που μοντελοποιούνται σε ένα σταθερό χώρο E συμβολίζεται Manp(E).

Μπορούμε επίσης να μιλήσουμε για την κατηγορία των λείων πολλαπλοτήτων, Man∞, ή για την κατηγορία των αναλυτικών πολλαπλοτήτων  Manω.

Manp είναι μια συμπαγής κατηγορία  

Όπως πολλές κατηγορίες, η κατηγορία Manp είναι μια συγκεκριμένη κατηγορία, που σημαίνει ότι τα αντικείμενά της είναι σύνολα με πρόσθετη δομή (δηλαδή μια τοπολογία και μια κλάση ισοδυναμίας των άτλαντων των διαγραμμάτων που ορίζουν μια Cp-διαφοροποιήσιμη δομή) και οι μορφισμοί της είναι συναρτήσεις που διατηρούν αυτή τη δομή. Υπάρχει ένας φυσικός επιλήσμων  συναρτητής
U : Manp → Top
στην κατηγορία των τοπολογικών χώρων, η οποία αποδίδει σε κάθε πολλαπλότητα τον υποκείμενο τοπολογικό χώρο και σε κάθε p-times συνεχώς διαφορίσιμη συνάρτηση την υποκείμενη συνεχή συνάρτηση των τοπολογικών χώρων. Ομοίως, υπάρχει ένας φυσικός επιλήσμων  συναρτητής
U′ : Manp → Set

στην κατηγορία των συνόλων που αποδίδει σε κάθε πολλαπλότητα το υποκείμενο σύνολο και σε κάθε p-times συνεχώς διαφορίσιμη συνάρτηση την υποκείμενη συνάρτηση. Τέλος, για όλα τα 0 < p < q < ∞ υπάρχουν φυσικοί συναρτητές εγκλεισμού.
Manω → Man∞ → Manq → Manp → Man0
Με άλλα λόγια, μπορεί κανείς πάντα να δει την κατηγορία των λείων πολλαπλοτήτων ως υποκατηγορία των λιγότερο λείων πολλαπλοτήτων μέχρι την Man0, την κατηγορία των τοπολογικών πολλαπλοτήτων με συνεχείς απεικονίσεις μεταξύ τους.

Προφανώς αυτοί οι εγκλεισμοί δεν είναι πλήρεις (οι συνεχείς απεικονίσεις μπορεί να μην είναι q-διαφοροποιήσιμες, οι q-διαφοροποιήσιμες απεικονίσεις μπορεί να μην είναι p-διαφοροποιήσιμες, οι p-διαφοροποιήσιμες απεικονίσεις μπορεί να μην είναι λείες και οι λείες απεικονίσεις μπορεί να μην είναι αναλυτικές), ούτε πλήρες (ομοίως όπως είπαμε για τις απεικονίσεις, οι ομοιομορφισμοί δεν είναι γενικά διαφορμορφισμοί κ.ο.κ.), ούτε ευρύ (δεν είναι όλες οι τοπολογικές πολλαπλότητες διαφοροποιήσιμες κ.ο.κ.), οπότε μπορούν να θεωρηθούν ως "αυστηρές" υποκατηγορίες.

 Σημειακές πολλαπλότητες και ο συναρτητής του εφαπτόμενου χώρου 

Συχνά είναι βολικό ή απαραίτητο να δουλεύουμε με την κατηγορία των πολλαπλοτήτων μαζί με ένα διακεκριμένο σημείο: Man•p ανάλογη με την Top• - την κατηγορία των σημειακών χώρων. Τα αντικείμενα της Man•p είναι ζεύγη  όπου  είναι μια πολλαπλότητα μαζί με ένα σημείο βάσης  και οι μορφισμοί είναι απεικονίσεις  p-times συνεχώς διαφορίσιμες που διατηρούν το σημείο βάσης: π.χ.  έτσι ώστε Η κατηγορία των σημειακών πολλαπλοτήτων είναι ένα παράδειγμα μιας κατηγορίας κόμμα (Comma) - Man•p  είναι ακριβώς  όπου  αναπαριστά ένα αυθαίρετο μονοσύνολο, και το αναπαριστά μια απεικόνιση από αυτό το μονοσύνολο σε ένα στοιχείο της  Manp, επιλέγοντας ένα σημείο βάσης. 

Η κατασκευή του εφαπτόμενου χώρου μπορεί να θεωρηθεί ως ένας συναρτητής από την Man•p στο VectR  ως εξής: δεδομένες σημειακές πολλαπλότητες και  με  απεικόνιση  μεταξύ τους, μπορούμε να ορίσουμε τους διανυσματικούς χώρους και  με μια γραμμική απεικόνιση μεταξύ τους που δίνεται από το pushforward (διαφορικό):  Αυτή η κατασκευή είναι ένας γνήσιος συναρτητής επειδή το pushforward της ταυτοτικής απεικόνισης   i είναι ο ισομορφισμός διανυσματικού χώρου   και ο κανόνας της αλυσίδας εξασφαλίζει ότι  

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή κατηγορία
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές






Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556



 Categorical programming with inductive and coinductive types () by Varmo Vene
 Philip Wadler: Recursive types for free! () University of Glasgow, June 1990. Draft.
 Algebra and coalgebra () from CLiki
 B. Jacobs, J. Rutten: A Tutorial on (Co) Algebras and (Co) Induction. Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science, vol. 62, 1997, 
 Understanding F-Algebras () by Bartosz Milewski






  A handbook for study and research





 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Γενική τοπολογία
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα
Κατηγορία:Πολλαπλότητες