Προσυναρτητής

Στη θεωρία κατηγοριών, έναν κλάδο των μαθηματικών, οι προσυναρτητές είναι μια γενίκευση των σχέσεων και των διπροτύπων (bimodules).

 Ορισμός 

Ένας προσυναρτητής (αγγλικά: profunctor) (που ονομάζεται επίσης διανομέας (Distributeur) από τη γαλλική σχολή και (πρότυπο) module από τη σχολή του Σίδνεϊ)  από μια κατηγορία  σε μια κατηγορία , που γράφεται 
 ,
ορίζεται ως ένας συναρτητής

όπου  δηλώνει την αντίθετη κατηγορία του  και  δηλώνει την κατηγορία των συνόλων. Δεδομένων των μορφισμών  αντίστοιχα στο  και ενός στοιχείου , γράφουμε  για να δηλώσουμε τις δράσεις.

Αν θεωρήσουμε ότι η κατηγορία των μικρών κατηγοριών   είναι καρτεσιανά κλειστή, ο προσυναρτητής   μπορεί να θεωρηθεί ως ένας συναρτηστής

όπου   δηλώνει την κατηγορία των προδεματίων πάνω από  .

Μια αντιστοιχία από το   στο   είναι ένας προσυναρτητής .

 Προσυναρτητές ως κατηγορίες 

Ένας ισοδύναμος ορισμός ενός προσυναρτητή  είναι μια κατηγορία της οποίας τα αντικείμενα είναι η ασύνδετη ένωση των αντικειμένων της  και των αντικειμένων της , και της οποίας οι μορφισμοί είναι οι μορφισμοί της   και οι μορφισμοί της , συν μηδέν ή περισσότεροι πρόσθετοι μορφισμοί από αντικείμενα της  σε αντικείμενα της . Τα σύνολα στον παραπάνω τυπικό ορισμό είναι τα ομο-σύνολα μεταξύ των αντικειμένων του και των αντικειμένων του  . (Τα σύνολα αυτά είναι επίσης γνωστά ως het-sets, αφού οι αντίστοιχοι μορφισμοί θα μπορούσαν να ονομαστούν ετερομορφισμοί.) Ο προηγούμενος ορισμός μπορεί να ανακτηθεί από τον περιορισμό του συναρτητή Hom  to .

Αυτό καθιστά επίσης σαφές ότι ένας προσυναρτητής μπορεί να θεωρηθεί ως μια σχέση μεταξύ των αντικειμένων του  και των αντικειμένων του , όπου κάθε μέλος της σχέσης σχετίζεται με ένα σύνολο μορφισμών. Ένας συναρτητής είναι μια ειδική περίπτωση ενός προσυναρτητή με τον ίδιο τρόπο που μια συνάρτηση είναι μια ειδική περίπτωση μιας σχέσης.

 Σύνθεση των προσυναρτητών 

Το σύνθετο  δύο προσυναρτητών 
  and 
δίνεται από τη σχέση

όπου  είναι η αριστερή επέκταση Καν του συναρτητή   κατά μήκος του συναρτητή Γιονέντα   του  (ο οποίος σε κάθε αντικείμενο  του  συνδέει τον συναρτητή ).

Μπορεί να αποδειχθεί ότι 

όπου   είναι η ελάχιστη σχέση ισοδυναμίας τέτοια ώστε   κάθε φορά που υπάρχει ένας μορφισμός  στο  τέτοιος ώστε
   and  .
Ισοδύναμα, η σύνθεση προσυναρτητή μπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας ένα coend


 Δικατηγορία των προσυναρτητών 

Η σύνθεση των προσυναρτητών είναι προσεταιριστική μέχρι το ισομορφισμό (επειδή το γινόμενο δεν είναι αυστηρά προσεταιριστικό στο Set). Το καλύτερο που μπορεί να ελπίζει κανείς είναι επομένως να κατασκευάσει μια δικατηγορία Prof της οποίας 
 0-κύτταρα είναι μικρές κατηγορίες
 1-κύτταρα μεταξύ δύο μικρών κατηγοριών είναι οι προσυναρτητές μεταξύ αυτών των κατηγοριών,
 2-κύτταρα μεταξύ δύο προσυναρτητών είναι οι φυσικοί μετασχηματισμοί μεταξύ αυτών των προσυναρτητών.

 Ιδιότητες 
 Μετατροπή συναρτητών σε προσυναρτητών 
Ένας συναρτητής  μπορεί να θεωρηθεί ως ένας προσυναρτητής  με μετασύνθεση με τον συναρτητή Γιονέντα: 
 .

Μπορεί να αποδειχθεί ότι ένας τέτοιος προσυναρτητής  έχει ένα δεξιό συζυγή. Επιπλέον, αυτό είναι ένα χαρακτηριστικό: ένας προσυναρτητής  έχει ένα δεξιό συζυγή αν και μόνο αν  παράγοντα μέσω της ολοκλήρωσης Κωσύ του , δηλαδή υπάρχει ένας προσυναρτητής   έτσι ώστε  .

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή κατηγορία
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές



Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556



 Categorical programming with inductive and coinductive types () by Varmo Vene
 Philip Wadler: Recursive types for free! () University of Glasgow, June 1990. Draft.
 Algebra and coalgebra () from CLiki
 B. Jacobs, J. Rutten: A Tutorial on (Co) Algebras and (Co) Induction. Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science, vol. 62, 1997, 
 Understanding F-Algebras () by Bartosz Milewski






  A handbook for study and research





 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Γενική τοπολογία 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα 
Κατηγορία:Συναρτητές