Υποσυναρτητής

Στη θεωρία κατηγοριών, έναν κλάδο των μαθηματικών, ένας υποσυναρτητής είναι ένας ειδικός τύπος συναρτητής που είναι ανάλογος ενός υποσυνόλου.

Ορισμός

Έστω C μια κατηγορία, και έστω F ένας ισαλλοίωτος συναρτητής από την C στην κατηγορία των συνόλων Set.  Ένας ισαλλοίωτος συναρτηστής G από τη C στο Set είναι υποσυναρτηστής του F αν
 Για όλα τα αντικείμενα C, G(c) ⊆ F(c), και
 Για όλα τα βέλη f: c'  → c του C, G(f)  είναι ο περιορισμός του F(f) στο G(c).
Η σχέση αυτή γράφεται συχνά ως G ⊆ F.

Παραδείγματος χάριν, έστω 1 η κατηγορία με ένα μόνο αντικείμενο και με ένα μόνο βέλος. Ο συναρτηστής F: 1 → Set  απεικονίζει το μοναδικό αντικείμενο του 1 σε κάποιο σύνολο S και το μοναδικό ταυτοτικό βέλος του 1 στην ταυτοτική συνάρτηση 1S στο S.  Ένας υποσυναρτητής G του F  απεικονίζει το μοναδικό αντικείμενο του 1 σε ένα υποσύνολο T του S και απεικονίζει το μοναδικό ταυτοτικό βέλος στην ταυτοτική συνάρτηση 1T στο T.  Προσέξτε ότι 1T είναι ο περιορισμός του 1S στο T.  Συνεπώς, οι υποσυναρτητές του F αντιστοιχούν σε υποσύνολα του S.

Παρατηρήσεις

Οι υποσυναρτητές γενικά είναι σαν τις συνολικές εκδοχές των υποσυνόλων. Επί παραδείγματι, αν κάποιος φανταστεί ότι τα αντικείμενα κάποιας κατηγορίας C είναι ανάλογα με τα ανοικτά σύνολα ενός τοπολογικού χώρου, τότε ένας ισαλλοίωτος συναρτητής από την C στην κατηγορία των συνόλων δίνει ένα σύνολο τιµών προδεματίου στην C, δηλαδή συσχετίζει σύνολα με τα αντικείμενα της C με τρόπο συμβατό με τα βέλη της C.  Ένας υποσυναρτητής στη συνέχεια  συσχετίζει ένα υποσύνολο με κάθε σύνολο, και πάλι με συμβατό τρόπο. 

Τα πιο σημαντικά παραδείγματα υποσυναρτητών είναι οι υποσυναρτητές του συναρτητή Hom. Έστω c ένα αντικείμενο της κατηγορίας C, αι ας εξετάσουμε τον συναρτητή .  Αυτός ο συναρτητής παίρνει ένα αντικείμενο c'  της C και επιστρέφει όλους τους μορφισμούς c'  → c.  Ένας υποσυναρτητής του  επιστρέφει μόνο μερικούς από τους μορφισμούς. Ένας τέτοιος υποσυναρτητής ονομάζεται κόσκινο και χρησιμοποιείται συνήθως κατά τον ορισμό των τοπολογιών Γκρότεντικ. 

Ανοικτοί υποσυναρτητές

Οι υποσυναρτητές χρησιμοποιούνται επίσης στην κατασκευή αναπαραστάσιμων συναρτητών στην κατηγορία των δακτυλιωτών χώρων. Έστω F ένας ισαλλοίωτος συναρτητής από την κατηγορία των δακτυλιωτών χώρων στην κατηγορία των συνόλων, και έστω G ⊆ F. Ας υποθέσουμε ότι αυτός ο μορφισμός εγκλεισμού G → F είναι αναπαραστάσιμος από ανοικτές εμβαπτίσεις, δηλ, για κάθε αναπαραστάσιμο συναρτητή   και κάθε μορφισμό , το ινώδες γινόμενο  είναι ένας αναπαραστάσιμος συναρτητής  και ο μορφισμός Y → X που ορίζεται από το λήμμα Γιονέντα είναι μια ανοικτή εμβάπτιση.   Τότε ο G ονομάζεται ανοικτός υποσυναρτητής του F.  Αν ο F καλύπτεται από αναπαραστάσιμους ανοικτούς υποσυναρτητές, τότε, υπό ορισμένες προϋποθέσεις, μπορεί να αποδειχθεί ότι ο F είναι αναπαραστάσιμος. Αυτή είναι μια χρήσιμη τεχνική για την κατασκευή δακτυλιωτών χώρων. Ανακαλύφθηκε και αξιοποιήθηκε σε μεγάλο βαθμό από τον Άλεξαντερ Γκρότεντικ, ο οποίος την εφάρμοσε ειδικά στην περίπτωση των σχημάτων. Για μια επίσημη δήλωση και απόδειξη, βλέπε Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique (Γκρότεντικ, Στοιχεία αλγεβρικής γεωμετρίας), τόμος 1, 2η έκδοση, κεφάλαιο 0, ενότητα 4.5. 

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή κατηγορία
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία










Παραπομπές




The standard reference is the fourth volume of the Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie.
Francis, J.  Derived Algebraic Geometry Over -Rings
Grothendieck Duality for Derived Stacks



Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556



 Categorical programming with inductive and coinductive types () by Varmo Vene
 Philip Wadler: Recursive types for free! () University of Glasgow, June 1990. Draft.
 Algebra and coalgebra () from CLiki
 B. Jacobs, J. Rutten: A Tutorial on (Co) Algebras and (Co) Induction. Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science, vol. 62, 1997, 
 Understanding F-Algebras () by Bartosz Milewski






  A handbook for study and research





 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Γενική τοπολογία 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών 
Κατηγορία:Συναρτητές 
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα