Διγινόμενο

Στην θεωρία κατηγοριών και τις εφαρμογές της στα μαθηματικά, ένα διγινόμενο μιας πεπερασμένης συλλογής αντικειμένων, σε μια κατηγορία με μηδέν αντικείμενα, είναι ταυτόχρονα ένα γινόμενο και ένα συνγινόμενο. Σε μια προαθροιστική κατηγορία, οι έννοιες του γινομένου και του συνγινομένου συμπίπτουν για πεπερασμένες συλλογές αντικειμένων.Borceux, 4-5 Το διγινόμενο είναι μια γενίκευση των πεπερασμένων άμεσων αθροισμάτων των προτύπων.

Ορισμός      

Έστω C μια κατηγορία με μηδενικούς μορφισμούς. Δεδομένης μιας πεπερασμένης (ενδεχομένως κενής) συλλογής αντικειμένων A1, ..., An στο C,  το διγινόμενο τους είναι ένα αντικείμενο  στο C μαζί με μορφισμούς 

 στο C (οι μορφισμοί προβολής)
 (οι μορφισμοί εμφύτευσης)
που ικανοποιούν
, ο ταυτοτικός μορφισμός του   και
, ο μηδενικός μορφισμός  for 
και έτσι ώστε
 είναι ένα γινόμενο για το  και
είναι ένα συνγινόμενο για το 

Εάν C είναι προ-προσθετικό και ισχύουν οι δύο πρώτες συνθήκες, τότε καθεμία από τις δύο τελευταίες συνθήκες είναι ισοδύναμη με  όταν n > 0.Saunders Mac Lane - Categories for the Working Mathematician, Second Edition, page 194. Ένα κενό ή μηδενικό γινόμενο είναι πάντα ένα τελικό αντικείμενο στην κατηγορία, και το κενό συνγινόμενο είναι πάντα ένα αρχικό αντικείμενο στην κατηγορία. Έτσι, ένα κενό ή μηδενικό διγινόμενο είναι πάντα ένα μηδενικό αντικείμενο.

Παραδείγματα

Στην κατηγορία των αβελιανών ομάδων, τα διγινόμενα υπάρχουν πάντα και δίνονται από το άμεσο άθροισμα.Borceux, 8 Το μηδενικό αντικείμενο είναι η τετριμμένη ομάδα.

Ομοίως, τα διγινόμενα υπάρχουν στην κατηγορία των διανυσματικών χώρων πάνω σε ένα σώμα. Το διγινόμενο είναι και πάλι η άμεση άθροιση, και το μηδενικό αντικείμενο είναι ο ασήμαντος διανυσματικός χώρος.

Γενικότερα, τα διγινόμενα υπάρχουν στην κατηγορία των προτύπων πάνω σε ένα δακτύλιο.

Από την άλλη πλευρά, τα διγινόμενα δεν υπάρχουν στην κατηγορία των ομάδων.Borceux, 7 Εδώ, το γινόμενο είναι το άμεσο γινόμενο, αλλά το συνγινόμενο είναι το ελεύθερο γινόμενο.

Επίσης, τα διγινόμενα δεν υπάρχουν στην κατηγορία των συνόλων. Διότι, το γινόμενο δίνεται από το καρτεσιανό γινόμενο, ενώ το συνγινόμενο δίνεται από την ξένη ή ασύνδετη ένωση. Αυτή η κατηγορία δεν έχει μηδενικό αντικείμενο.

Η άλγεβρα των σύνθετων πινάκων βασίζεται σε διγινόμενα στις κατηγορίες των πινάκων.H.D. Macedo, J.N. Oliveira, Typing linear algebra: A biproduct-oriented approach, Science of Computer Programming, Volume 78, Issue 11, 1 November 2013, Pages 2160-2191, , .

Ιδιότητες

Εάν το διγινόμενο  υπάρχει για όλα τα ζεύγη αντικειμένων A και B στην κατηγορία C, και η C έχει ένα μηδενικό αντικείμενο, τότε όλα τα πεπερασμένα διγινόμενα υπάρχουν, καθιστώντας την C τόσο μια καρτεσιανή μονοειδή κατηγορία όσο και μια συν-καρτεσιανή μονοειδή κατηγορία.

Εάν το γινόμενο   και το συγινόμενο    υπάρχουν και τα δύο για κάποιο ζεύγος αντικειμένων  A1, A2, τότε υπάρχει ένας μοναδικός μορφισμός  έτσι ώστε

 for 

Από αυτό προκύπτει ότι το διγινόμενο  υπάρχει αν και μόνο αν η f  είναι ισομορφισμός.

Εάν η C είναι μια προ-προσθετική κατηγορία, τότε κάθε πεπερασμένο διγινόμενο είναι ένα διγινόμενο και κάθε πεπερασμένο συνγινόμενο είναι ένα διγινόμενο. Παραδείγματος χάριν, αν  υπάρχει, τότε υπάρχουν μοναδικοί μορφισμοί  έτσι ώστε

 for 

Για να δούμε ότι  είναι τώρα επίσης ένα συνγινόμενο και, ως εκ τούτου, ένα διγινόμενο, ας υποθέσουμε ότι έχουμε μορφισμούς   για κάποιο αντικείμενο . Ορίζουμε  Τότε το   είναι ένας μορφισμός από το  to , και  for .

Σε αυτή την περίπτωση έχουμε πάντα

Μια πρόσθετη κατηγορία είναι μια προ-προσθετική κατηγορία στην οποία υπάρχουν όλα τα πεπερασμένα διγινόμενα. Συγκεκριμένα, τα διγινόμενα υπάρχουν πάντα στις αβελιανές κατηγορίες.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές




Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.






  A handbook for study and research









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα