Δυϊκότητα (θεωρία κατηγοριών)

Στην θεωρία κατηγοριών, έναν κλάδο των μαθηματικών, η δυϊκότητα είναι μια αντιστοιχία μεταξύ των ιδιοτήτων μιας κατηγορίας C και των δυϊκών ιδιοτήτων της αντίθετης κατηγορίας C και των δυϊκών ιδιοτήτων της αντίθετης κατηγορίας Cop. Δεδομένης μιας πρότασης σχετικά με την κατηγορία C, , ανταλλάσσοντας την πηγή και τον προορισμό κάθε μορφισμού καθώς και ανταλλάσσοντας τη σειρά σύνθεσης δύο μορφισμών, λαμβάνεται μια αντίστοιχη δυϊκή πρόταση σχετικά με την αντίθετη κατηγορία Cop. (Η Cop συντίθεται αντιστρέφοντας κάθε μορφισμό της C.) Η δυϊκότητα, ως τέτοια, είναι η διατύπωση ότι η αλήθεια είναι αμετάβλητη υπό αυτή τη πράξη στις προτάσεις. Με άλλα λόγια, αν μια πρόταση S είναι αληθής για την C, τότε η δυϊκή της πρόταση είναι αληθής για την Cop. Επίσης, αν μια πρόταση είναι ψευδής για την  C, , τότε η δυϊκή της πρέπει να είναι ψευδής για την Cop. (Συνοπτικά, η  S για την C είναι αληθής αν και μόνο αν η δυϊκή της για την Cop είναι αληθής.)

Δεδομένης μιας συγκεκριμένης κατηγορίας C, συχνά συμβαίνει η αντίθετη κατηγορία Cop να είναι αφηρημένη. Η Cop δεν χρειάζεται να είναι μια κατηγορία που προκύπτει από τη μαθηματική πρακτική. Σε αυτή την περίπτωση, μια άλλη κατηγορία D ονομάζεται επίσης δυϊκότητα με την C αν η D και η Cop είναι ισοδύναμες ως κατηγορίες.

Στην περίπτωση που η C και η αντίθετη Cop είναι ισοδύναμες, μια τέτοια κατηγορία είναι αυτοδυϊκή.

Τυπικός ορισμός

Ορίζουμε την στοιχειώδη γλώσσα της θεωρίας κατηγοριών ως τη γλώσσα πρώτης τάξης δύο τύπων με αντικείμενα και μορφισμούς ως διακριτούς τύπους, μαζί με τις σχέσεις ενός αντικειμένου που είναι η πηγή ή ο προορισμός ενός μορφισμού και ένα σύμβολο για τη σύνθεση δύο μορφισμών.

Έστω σ οποιαδήποτε πρόταση σε αυτή τη γλώσσα. Σχηματίζουμε το δυϊκο σop ως εξής:  
 Αντικαθιστούμε κάθε εμφάνιση της "πηγή" στο σ με τη λέξη "στόχος".
 Αντικαθιστούμε τη διάταξη των μορφισμών σύνθεσης. Δηλαδή, αντικαταστήστε κάθε εμφάνιση του  με 
Ανεπίσημα, αυτές οι συνθήκες δηλώνουν ότι το δυϊκό μιας δήλωσης σχηματίζεται με την αντιστροφή των βελών και των συνθέσεων.

Η δυϊκότητα είναι η παρατήρηση ότι το σ ισχύει για κάποια κατηγορία C αν και μόνο αν το σop ισχύει γιαCop.

Παραδείγματα

 Ένας μορφισμός  είναι μονομορφισμός αν  συνεπάγεται .  Εκτελώντας τη δυϊκή πράξη, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι  συνεπάγεται  Αυτός ο αντίστροφος μορφισμός   είναι, εξ ορισμού, ακριβώς ένας επιμορφισμός. Εν ολίγοις, η ιδιότητα του μονομορφισμού είναι δυϊκή προς την ιδιότητα του επιμορφισμού.

Εφαρμόζοντας τη δυϊκότητα, αυτό σημαίνει ότι ένας μορφισμός σε κάποια κατηγορία C is είναι μονομορφισμός αν και μόνο αν ο αντίστροφος μορφισμός στην αντίθετη κατηγορία Cop (που αποτελείται από την αντιστροφή όλων των μορφισμών στο C) είναι επιμορφισμός.

 Ένα παράδειγμα προέρχεται από την αντιστροφή της κατεύθυνσης των ανισοτήτων σε μια μερική διάταξη. Έτσι, αν X είναι ένα σύνολο και ≤ μια  σχέση μερική διάταξης, μπορούμε να ορίσουμε μια νέα μερική σχέση διάταξης ≤new ως εξής

 x ≤new y αν και μόνο αν y ≤ x.

Αυτό το παραδείγμα για τις τάξεις είναι μια ειδική περίπτωση, καθώς οι μερικές διάταξεις αντιστοιχούν σε ένα συγκεκριμένο είδος κατηγορίας στην οποία το Hom(A,B) (ένα σύνολο όλων των μορφισμών από το A στο B μιας κατηγορίας)  μπορεί να έχει το πολύ ένα στοιχείο. Στις εφαρμογές στη λογική, αυτό μοιάζει με μια πολύ γενική περιγραφή της άρνησης (δηλαδή, οι αποδείξεις λειτουργούν με την αντίθετη κατεύθυνση). Παραδείγματος χάριν, αν πάρουμε το αντίθετο ενός πλέγματος, θα διαπιστώσουμε ότι οι συναντήσεις και οι ενώσεις έχουν ανταλλάξει τους ρόλους τους. Αυτή είναι μια αφηρημένη μορφή των τύπων του Ντε Μόργκαν ή της δυϊκότητας που εφαρμόζεται στα πλέγματα.

 Τα όρια και τα συν-όρια είναι δυϊκές έννοιες.
 Οι ινώσεις και οι συνινώσεις είναι παραδείγματα διπλών εννοιών στην αλγεβρική τοπολογία και την ομοτοπική θεωρία. Σε αυτό το πλαίσιο, η δυϊκότητα ονομάζεται συχνά δυϊκότητα Έκμαν-Χίλτον.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Αβελιανή ομάδα

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές



.
 .
.
.

 Murray Bremner and  Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα