Προβολικό αντικείμενο

Στην θεωρία κατηγοριών, η έννοια του προβολικού αντικειμένου γενικεύει την έννοια του προβολικού προτύπου. Τα προβολικά αντικείμενα στις αβελιανές κατηγορίες χρησιμοποιούνται στην ομολογική άλγεβρα. Η διπλή έννοια του προβολικού αντικειμένου είναι αυτή του ερριπτικου αντικειμένου.

Ορισμός 

Ένα αντικείμενο  σε μια κατηγορία  είναι προβολικό  αν για κάθε επιμορφισμό  και μορφισμό , υπάρχει ένας μορφισμός  τέτοιος ώστε , δηλαδή το ακόλουθο διάγραμμα είναι αντιμεταθετικό:

150px

Δηλαδή, κάθε μορφισμός  παραγοντοποιείται μέσω κάθε επιμορφισμού .

Εάν το C είναι τοπικά μικρό, δηλαδή, συγκεκριμένα, το  είναι ένα σύνολο για οποιοδήποτε αντικείμενο X στο C, ο ορισμός αυτός είναι ισοδύναμος με την προϋπόθεση ότι ο συναρτητής hom (γνωστός και ως συναρτητής συν-αναπαραστάσιμος )

διατηρεί τους επιμορφισμούς.

Προβολικά αντικείμενα σε αβελιανές κατηγορίες 

Εάν η κατηγορία C είναι μια αβελιανή κατηγορία, όπως παραδείγματος χάριν η κατηγορία των αβελιανών ομάδων, τότε το P είναι προβολικό αν και μόνο αν

είναι ένας ακριβής συναρτητής, όπου Ab είναι η κατηγορία των αβελιανών ομάδων. 

Μια αβελιανή κατηγορία  λέγεται ότι είναι «αρκετά προβολική» αν, για κάθε αντικείμενο  της  , υπάρχει ένα προβολικό αντικείμενο  του   και ένας επιμορφισμός από το P στο A  ή, ισοδύναμα, μια σύντομη ακριβής ακολουθία

Ο σκοπός αυτού του ορισμού είναι να διασφαλιστεί ότι κάθε αντικείμενο A δέχεται μια προβολική ανάλυση, δηλαδή μια (μακρά) ακριβή ακολουθία

όπου τα αντικείμενα  είναι προβολικά.

Προβολικότητα σε σχέση με περιορισμένες κατηγορίες

Ο Σεμαντένι ( συζητά την έννοια των προβολικών (και δυαδικά ερριπτικών) αντικειμένων σε σχέση με μια λεγόμενη δικατηγορία, η οποία αποτελείται από ένα ζεύγος υποκατηγοριών από "έρριψεις" και "επίρριψεις" στην δεδομένη κατηγορία C . Αυτές οι υποκατηγορίες υπόκεινται σε ορισμένες τυπικές ιδιότητες, συμπεριλαμβανομένης της απαίτησης ότι κάθε επικάλυψη είναι επιμορφισμός. Ένα προβολικό αντικείμενο (σε σχέση με τη σταθερή κατηγορία των επικαλύψεων) είναι τότε ένα αντικείμενο P, έτσι ώστε το Hom(P, −) μετατρέπει τη σταθερή κλάση από επίρριψεις (σε αντίθεση με όλους τους επιμορφισμούς) σε επίρριψεις συνόλων (με τη συνήθη έννοια).

Ιδιότητες 
 Το συνγινόμενο δύο προβολικών αντικειμένων είναι προβολικό.
 Η συστολή ενός προβολικού αντικειμένου είναι προβολική.

Παραδείγματα
Η δήλωση ότι όλα τα σύνολα είναι προβολικά είναι ισοδύναμη με το αξίωμα της επιλογής. 

Τα προβολικά αντικείμενα στην κατηγορία των αβελιανών ομάδων είναι οι ελεύθερες αβελιανές ομάδες.

Έστω  ένας δακτύλιος με ταυτότητα. Ας θεωρήσουμε την (αβελιανή) κατηγορία -Mod των αριστερών -προτύπων. Τα προβολικά αντικείμενα στο -Mod είναι ακριβώς τα προβολικά αριστερά R-πρὀτυπα. Συνεπώς, το  είναι το ίδιο ένα προβολικό αντικείμενο στο -Mod. Αντίστοιχα, τα ερριπτικά αντικείμενα στο   -Mod είναι ακριβώς τα ερριπτικά αριστερά R-πρότυπα.

Η κατηγορία των αριστερών (δεξιών) -προτύπων έχει επίσης αρκετές προβολικές. Αυτό ισχύει επειδή, για κάθε αριστερό (δεξί) -πρότυπο , μπορούμε να θεωρήσουμε το  ως το ελεύθερο (και επομένως προβολικό)  -πρότυπο που δημιουργείται από ένα σύνολο παραγόντων  για το  ( παραδείγματος χάριν, μπορούμε να θεωρήσουμε το  ως ). Τότε η κανονική προβολή  είναι η απαιτούμενη επίρριψη .

Τα προβολικά αντικείμενα στην κατηγορία των συμπαγών χώρων Χάουσντορφ είναι ακριβώς οι ακραία αποσυνδεδεμένοι χώροι. Αυτό το αποτέλεσμα οφείλεται στον Γκλίσον (, με μια απλοποιημένη απόδειξη που δόθηκε από τον Ρέινγουοτερ (.

Στην κατηγορία των χώρων Μπάναχ και των συστολών (δηλαδή, των συναρτήσεων των οποίων η νόρμα είναι το πολύ 1), οι επιμορφισμοί είναι ακριβώς οι απεικονίσεις με πυκνή εικόνα. Ο  Βίβεγκερ ( δείχνει ότι ο μηδενικός χώρος είναι το μόνο προβολικό αντικείμενο σε αυτή την κατηγορία. Υπάρχουν όμως μη-τετριμμένοι χώροι, οι οποίοι είναι προβολικοί σε σχέση με την κατηγορία των επίκαιρων συστολών. Στην κατηγορία των κανονικών διανυσματικών χώρων με συστολές (και επιρριπτικές απεικονίσεις ως "επίρριψεις"), τα προβολικά αντικείμενα είναι ακριβώς οι -χώροι.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές

Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.






  A handbook for study and research
 Murray Bremner and  Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα