Αντικείμενο ομάδας

Στην θεωρία κατηγοριών, έναν κλάδο των μαθηματικών, τα αντικείμενα ομάδας είναι ορισμένες γενικεύσεις ομάδων που βασίζονται σε πιο περίπλοκες δομές από τα σύνολα. Ένα τυπικό παράδειγμα αντικειμένου ομάδας είναι μια τοπολογική ομάδα, μια ομάδα της οποίας το υποκείμενο σύνολο είναι ένας τοπολογικός χώρος, έτσι ώστε οι πράξεις της ομάδας να είναι συνεχείς.

Ορισμός

Τυπικά, ξεκινάμε με μια κατηγορία C με πεπερασμένα γινόμενα (δηλαδή, η  C έχει ένα τελικό αντικείμενο 1 και οποιαδήποτε δύο αντικείμενα της C  έχουν ένα γινόμενο). Ένα αντικείμενο ομάδας στην  C είναι ένα αντικείμενο G της C μαζί με μορφισμούς  
m : G × G → G (θεωρείται ως "Πολλαπλασιαστική ομάδα")
e : 1 → G (θεωρείται ως "εγκλεισμός του ταυτοτικού στοιχείου")
inv : G → G (θεωρείται ως η πράξη της αντιστροφής")
έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι ακόλουθες ιδιότητες (με βάση τα αξιώματα της ομάδας –  πιο συγκεκριμένα, με βάση τον ορισμό της ομάδας που χρησιμοποιείται στην καθολική άλγεβρα) να ικανοποιούνται
 Το m iείναι προσεταιριστικό, δηλαδή m (m × idG) = m (idG × m) ως μορφισμοί G × G × G → G, και όπου π.χ. m × idG : G × G × G → G × G; Εδώ ταυτίζουμε το G × (G × G) με κανονικό τρόπο με το  (G × G) × G. 
 Το e είναι μια αμφίπλευρη μονάδα του m, δηλαδή  m (idG × e) = p1, όπου p1 : G × 1 → G είναι η κανονική προβολή, και  m (e × idG) = p2, όπου p2 : 1 × G → G iείναι η κανονική προβολή.
 το inv είναι ένα αμφίπλευρο αντίστροφο για το m, δηλαδή αν d : G → G × G  είναι η διαγώνια απεικόνιση και eG : G → G είναι η σύνθεση του μοναδικού μορφισμού G → 1 (ονομάζεται επίσης counit) με το  e, τότε m (idG × inv) d = eG και m (inv × idG) d = eG.

Αξίζει να σημειωθεί ότι αυτό αναφέρεται σε όρους απεικονίσεων – το γινόμενο και το αντίστροφο πρέπει να είναι απεικονίσεις στην κατηγορία – και χωρίς καμία αναφορά στα υποκείμενα "στοιχεία" του αντικειμένου της ομάδας – οι κατηγορίες γενικά δεν έχουν στοιχεία των αντικειμένων τους.

Ένας άλλος τρόπος για να εκφράσουμε τα παραπάνω είναι να λέμε ότι το G  είναι ένα αντικείμενο ομάδας σε μια κατηγορία C αν για κάθε αντικείμενο X στο C, υπάρχει μια δομή ομάδας στα μορφίσματα Hom(X, G) από το X στο G έτσι ώστε η συσχέτιση του X με το Hom(X, G) να είναι ένας (ανταλλοίωτος) συναρτητής από το C στην κατηγορία των ομάδων.

 Παραδείγματα 

 Κάθε σύνολο G για το οποίο μπορεί να οριστεί μια δομή ομάδας (G, m, u, −1) μπορεί να θεωρηθεί ως αντικείμενο ομάδας στην κατηγορία των συνόλων. Η απεικόνιση m είναι η πράξη της ομάδας, η απεικόνιση e (της οποίας ο χώρος ορισμού είναι ένα μονοσύνολο) επιλέγει το ταυτοτικό στοιχείο  u του G, και η απεικόνιση inv αντιστοιχίζει σε κάθε στοιχείο της ομάδας το αντίστροφό του. eG : G → G είναι η απεικόνιση που στέλνει κάθε στοιχείο του G στο ταυτοτικό στοιχείο.
 Μια τοπολογική ομάδα είναι ένα αντικείμενο ομάδας στην κατηγορία των τοπολογικών χώρων με συνεχείς συναρτήσεις.
 Μια ομάδα Λι είναι ένα αντικείμενο ομάδας στην κατηγορία των λείων πολλαπλοτήτων με λείες απεικονίσεις.
 Μια υπερ-ομάδα Λι είναι ένα αντικείμενο ομάδας στην κατηγορία των υπερ-πολλαπλοτήτων.
 Μια αλγεβρική ομάδα είναι ένα αντικείμενο ομάδας στην κατηγορία των αλγεβρικών ποικιλιών. Στη σύγχρονη αλγεβρική γεωμετρία, εξετάζονται τα πιο γενικά σχήματα ομάδων, αντικείμενα ομάδων στην κατηγορία των σχημάτων.
 Μια τοπική ομάδα είναι ένα αντικείμενο ομάδας στην κατηγορία των τοπικών.
 Τα αντικείμενα της κατηγορίας των ομάδων (ή μονοειδών) είναι οι αβελιανές ομάδες. Ο λόγος για αυτό είναι ότι, αν υποτεθεί ότι το inv είναι ομομορφισμός, τότε το G πρέπει να είναι αβελιανό. Πιο συγκεκριμένα: Αν A είναι μια αβελιανή ομάδα και συμβολίζουμε με m την πολλαπλασιαστική ομάδα  A, με  e εγκλεισμό του ταυτοτικού στοιχείου και με inv την αντίστροφη πράξη στην A, τότε (A, m, e, inv) είναι ένα αντικείμενο ομάδας στην κατηγορία των ομάδων (ή μονοειδών). Αντίθετα, αν  (A, m, e, inv) είναι ένα αντικείμενο ομάδας σε μία από αυτές τις κατηγορίες, τότε το m συμπίπτει αναγκαστικά με τη δεδομένη πράξη στο A, το e είναι ο εγκλεισμός του δεδομένου ταυτοτικού στοιχείου στο A, inv iτο A με τη δεδομένη πράξη είναι μια αβελιανή ομάδα. Βλέπε επίσης το επιχείρημα Εκμαν–Χίλτον.
 Η αυστηρή ομάδα 2 είναι το αντικείμενο ομάδας στην κατηγορία των μικρών κατηγοριών.
 Δεδομένης μιας κατηγορίας C με πεπερασμένα συμπαράγωγα, ένα αντικείμενο συν-ομάδας είναι ένα αντικείμενο G της C μαζί με "συν-πολλαπλασιασμό" m: G → G  G, μια "συν-ταυτότητα" e: G → 0, και μια "συν-αντιστροφή" inv: G → G που ικανοποιούν τις διπλές εκδοχές των αξιωμάτων για αντικείμενα ομάδας. Εδώ το 0 είναι το αρχικό αντικείμενο του  C. Τα αντικείμενα συν-ομάδας εμφανίζονται φυσικά στην αλγεβρική τοπολογία.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Αβελιανή ομάδα

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές













 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα