Μηδενικό αντικείμενο (άλγεβρα)

Στην άλγεβρα, το μηδενικό αντικείμενο μιας δεδομένης αλγεβρικής δομής είναι, με την έννοια που εξηγείται παρακάτω, το απλούστερο αντικείμενο μιας τέτοιας δομής. Ως σύνολο είναι ένα μονοσύνολο, και ως μάγμα έχει μια ασήμαντη δομή, η οποία είναι επίσης μια αβελιανή ομάδα. Η προαναφερθείσα αβελιανή δομή ομάδας συνήθως ταυτίζεται με την πρόσθεση, και το μοναδικό στοιχείο ονομάζεται μηδέν, οπότε το ίδιο το αντικείμενο συνήθως συμβολίζεται ως {0}. Συχνά αναφέρεται το ασήμαντο αντικείμενο (μιας συγκεκριμένης κατηγορίας), καθώς κάθε τετριμμένο αντικείμενο είναι ισομορφικό με οποιοδήποτε άλλο (υπό έναν μοναδικό ισομορφισμό).

Περιπτώσεις

Οι περιπτώσεις του αντικειμένου μηδέν περιλαμβάνουν, μεταξύ άλλων, τα ακόλουθα:
 Ως ομάδα, η μηδενική ομάδα ή τετριμμένη ομάδα.
 Ως δακτύλιος, ο μηδενικός δακτύλιος ή τετριμμένος δακτύλιος.
 Ως άλγεβρα πάνω σε ένα σώμα ή άλγεβρα πάνω σε ένα δακτύλιο, η τετριμμένη άλγεβρα.
 Ως πρότυπο (πάνω σε ένα δακτύλιο ), το μηδενικό πρότυπο. Ο όρος τετριμμένο πρότυπο χρησιμοποιείται επίσης, αν και μπορεί να είναι ασαφής, καθώς ένα τετριμμένο G-πρότυπο είναι ένα G-πρότυπο με τετριμμένη δράση.
 Ως διανυσματικός χώρος (πάνω σε ένα σώμα ), ο μηδενικός διανυσματικός χώρος, μηδενικής διάστασης διανυσματικός χώρος ή απλά μηδενικός χώρος.
Αυτά τα αντικείμενα περιγράφονται από κοινού όχι μόνο με βάση την κοινή δομή των μονοσύνολων και των ασήμαντων ομάδων, αλλά και λόγω των κοινών ιδιοτήτων της θεωρίας κατηγοριών.

Στις τρεις τελευταίες περιπτώσεις, ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός με ένα στοιχείο του βασικού δακτυλίου (ή σώματος) ορίζεται ως:
 , όπου .
Το πιο γενικό από αυτά, το μηδενικό πρότυπο, είναι ένα πρότυπο πεπερασμένης παραγωγής με κενό σύνολο παραγωγής.

Για δομές που απαιτούν τη δομή πολλαπλασιασμού μέσα στο αντικείμενο μηδέν, όπως ο ασήμαντος δακτύλιος, υπάρχει μόνο μία δυνατότητα, , επειδή δεν υπάρχουν στοιχεία διαφορετικά από το μηδέν. Αυτή η δομή είναι προσεταιριστική και αντιμεταθετική. Ένας δακτύλιος  που έχει τόσο προσθετική όσο και ταυτοτικό πολλαπλασιαστικό στοιχείο είναι ασήμαντος αν και μόνο αν , καθώς αυτή η ισότητα υποδηλώνει ότι για όλα τα  εντός του ,

Σε αυτή την περίπτωση είναι δυνατό να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν, καθώς το μοναδικό στοιχείο είναι το ίδιο το πολλαπλασιαστικό του αντίστροφο. Ορισμένες ιδιότητες του {0} εξαρτώνται από τον ακριβή ορισμό της πολλαπλασιαστικής ταυτότητας. βλ. #Μοναδικές δομές παρακάτω.

Κάθε τετριμμένη άλγεβρα είναι επίσης ένας τετριμμένος δακτύλιος. Μια τετριμμένη άλγεβρα πάνω σε ένα σώμα είναι ταυτόχρονα ένας μηδενικός διανυσματικός χώρος που εξετάζεται παρακάτω. Πάνω σε έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο, μια τετριμμένη άλγεβρα είναι ταυτόχρονα ένα μηδενικό πρότυπο.

Ο τετριμμένος δακτύλιος ως παράδειγμα ενός rng (ψευδο-δακτυλίου) με τετράγωνο μηδέν. Μια τετριμμένη άλγεβρα ως παράδειγμα μιας μηδενικής άλγεβρας.

Ο μηδενικός διανυσματικός χώρος είναι ένα ιδιαίτερα διαδεδομένο παράδειγμα μηδενικού αντικειμένου, ένας διανυσματικός χώρος πάνω σε ένα σώμα με κενή βάση. Επομένως, έχει διάσταση μηδέν. Είναι επίσης μια ασήμαντη ομάδα πάνω στην πρόσθεση και ένα τετριμμένο προτύπο που αναφέρθηκε παραπάνω.

 Ιδιότητες 

  2↕ 

  =

  [ ]
   ‹0   ↔1
   ^0
  ↔1
   Το στοιχείο του μηδενικού χώρου, που γράφεται ως διάνυσμα κενής στήλης (το δεξιότερο), πολλαπλασιάζεται με τον κενό πίνακα 2×0 για να ληφθεί ο δισδιάστατος μηδενικός διάνυσμα (το αριστερότερο). Τηρούνται οι κανόνες του πολλαπλασιασμού πινάκων.
Ο μηδενικός δακτύλιος, το μηδενικό πρότυπο και ο μηδενικός διανυσματικός χώρος είναι τα μηδενικά αντικείμενα, αντίστοιχα, της κατηγορίας των ψευδοδακτυλίων, της κατηγορίας των προτύπων και της κατηγορίας των διανυσματικών χώρων. Ωστόσο, ο μηδενικός δακτύλιος δεν είναι μηδενικό αντικείμενο στην κατηγορία των δακτυλίων, καθώς δεν υπάρχει ομομορφισμός δακτυλίου του μηδενικού δακτυλίου σε κανέναν άλλο δακτύλιο.

Το μηδενικό αντικείμενο, εξ ορισμού, πρέπει να είναι τελικό αντικείμενο, πράγμα που σημαίνει ότι πρέπει να υπάρχει ένας μορφισμός   και να είναι μοναδικός για ένα τυχαίο αντικείμενο . Αυτός ο μορφισμός εφαρμόζει την απεικόνιση κάθε στοιχείου του  στο .

Το μηδενικό αντικείμενο, επίσης εξ ορισμού, πρέπει να είναι ένα αρχικό αντικείμενο, πράγμα που σημαίνει ότι πρέπει να υπάρχει ένας μορφισμός  και να είναι μοναδικός για ένα τυχαίο αντικείμενο . Αυτός ο μορφισμός αποτελεί την απεικόνιση του , το μοναδικό στοιχείο του  , στο μηδενικό στοιχείο  , που ονομάζεται μηδενικός διάνυσμα στους διανυσματικούς χώρους. Αυτή η απεικόνιση είναι μονομορφισμός και, ως εκ τούτου, η εικόνα της είναι ισομορφική με . Για τα πρότυπα και τους διανυσματικούς χώρους, αυτό το υποσύνολο  είναι το μόνο υποσύνολο που παράγεται από υποπρότυπα (ή 0-διάστατος γραμμικός υποχώρος) σε κάθε πρότυπο (ή διανυσματικό χώρο) .

Μοναδικές δομές

Το αντικείμενο   είναι ένα τελικό αντικείμενο οποιασδήποτε αλγεβρικής δομής όπου υπάρχει, όπως περιγράφηκε στα παραπάνω παραδείγματα. Ωστόσο, η ύπαρξή του και, εάν υπάρχει, η ιδιότητά του να είναι αρχικό αντικείμενο (και, ως εκ τούτου, ένα μηδενικό αντικείμενο με την έννοια της κατηγοριακής θεωρίας) εξαρτώνται από τον ακριβή ορισμό του πολλαπλασιαστικού ταυτοτικού στοιχείου 1 σε μια συγκεκριμένη δομή.

Εάν ο ορισμός του  απαιτεί ότι, τότε το αντικείμενο  δεν μπορεί να υπάρχει, επειδή μπορεί να περιέχει μόνο ένα στοιχείο. Συγκεκριμένα, ο δακτύλιος του μηδενός δεν είναι σώμα. Αν οι μαθηματικοί αναφέρονται μερικές φορές σε ένα σώμα με ένα στοιχείο, αυτό το αφηρημένο και κάπως μυστηριώδες μαθηματικό αντικείμενο δεν είναι σώμα.

Σε κατηγορίες όπου το ταυτοτικό πολλαπλασιαστικό στοιχείο πρέπει να διατηρείται από μορφισμούς, αλλά μπορεί να ισούται με το μηδέν, το αντικείμενο  μπορεί να υπάρχει. Όμως, δεν μπορεί να υπάρχει ως αρχικό αντικείμενο, επειδή δεν υπάρχουν μορφισμοί που διατηρούν την ταυτότητα από το   σε οποιοδήποτε αντικείμενο όπου . Παραδείγματος χάριν, στην κατηγορία των δακτυλίων Ring ο δακτύλιος των ακεραίων Z είναι το αρχικό αντικείμενο, όχι .

Εάν μια αλγεβρική δομή απαιτεί ταυτοτικό πολλαπλασιαστικό στοιχείο, αλλά ούτε τη διατήρησή του από μορφισμούς ούτε , τότε υπάρχουν μηδενικοί μορφισμοί και η κατάσταση δεν διαφέρει από τις μη ενιαίες δομές που εξετάστηκαν στην προηγούμενη ενότητα.

 Σημειογραφία 

Οι μηδενικοί διανυσματικοί χώροι και τα μηδενικά πρότυπα συνήθως συμβολίζονται με  (αντί για ). Αυτό ισχύει πάντα όταν εμφανίζονται σε μια ακριβή ακολουθία.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές




Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.






  A handbook for study and research









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα