Αντιμεταθετικό διάγραμμα

Στα μαθηματικά, και ειδικά στην θεωρία κατηγοριών, ένα αντιμεταθετικό διάγραμμα είναι ένα διάγραμμα στο οποίο όλες οι κατευθυνόμενες διαδρομές με την ίδια αφετηρία και τελικό σημείο οδηγούν στο ίδιο αποτέλεσμα. Λέγεται ότι τα αντιμεταθετικά διαγράμματα παίζουν στην θεωρία κατηγοριών τον ίδιο ρόλο που παίζουν οι εξισώσεις στην άλγεβρα.

Περιγραφή

Ένα αντιμεταθετικό διάγραμμα αποτελείται συχνά από τρία μέρη:
 αντικείμενα (γνωστά και ως κορυφές)
 μορφισμοί (γνωστοί και ως βέλη ή άκρες)
 διαδρομές ή σύνθετα

Σύμβολα βέλους  

Στα αλγεβρικά κείμενα, ο τύπος του μορφισμού μπορεί να υποδηλώνεται με διαφορετικές χρήσεις του βέλους:
 Ένας μονομορφισμός μπορεί να επισημανθεί με  ή .
 Ένας επιμορφισμός μπορεί να επισημανθεί με ένα .
 Ένας ισομορφισμός μπορεί να επισημανθεί με ένα .
 Το διακεκομμένο βέλος συνήθως αντιπροσωπεύει τον ισχυρισμό ότι ο υποδεικνυόμενος μορφισμός υπάρχει (όποτε ισχύει το υπόλοιπο του διαγράμματος). Το βέλος μπορεί προαιρετικά να επισημανθεί ως .
 Εάν ο μορφισμός είναι επιπλέον μοναδικός, τότε το διακεκομμένο βέλος μπορεί να επισημανθεί με  ή .
Εάν ο μορφισμός δρα μεταξύ δύο βελών (όπως στην περίπτωση της θεωρίας ανώτερων κατηγοριών), ονομάζεται κατά προτίμηση φυσικός μετασχηματισμός και μπορεί να επισημανθεί ως  (όπως φαίνεται παρακάτω σε αυτό το άρθρο).

Οι έννοιες των διαφόρων βελών δεν είναι απολύτως τυποποιημένες: τα βέλη που χρησιμοποιούνται για μονομορφισμούς, επιμορφισμούς και ισομορφισμούς χρησιμοποιούνται επίσης για έρριψεις, επίρριψεις και αμφίρριψεις, καθώς και τις συν-νηματοποιήσεις, τις νηματοποιήσεις και τις ασθενείς ισοδυναμίες σε μια κατηγορία μοντέλων.

Επαλήθευση της αντιμεταθετικότητας  

Η αντιμεταθετικότητα έχει νόημα για ένα πολύγωνο με οποιονδήποτε πεπερασμένο αριθμό πλευρών (συμπεριλαμβανομένων και των 1 ή 2), και ένα διάγραμμα είναι αντιμεταθετικό αν κάθε πολυγωνικό υποδιάγραμμα είναι αντιμεταθετικό.

Να σημειωθεί ότι ένα διάγραμμα μπορεί να είναι μη αντιμεταθετικό, δηλαδή η σύνθεση διαφορετικών διαδρομών στο διάγραμμα μπορεί να μην δίνει το ίδιο αποτέλεσμα.

Παραδείγματα

Παράδειγμα 1
Στο αριστερό διάγραμμα, που εκφράζει το πρώτο θεώρημα ισομορφισμού, η αντιμεταθετικότητα του τριγώνου σημαίνει ότι . Στο δεξί διάγραμμα, η αντιμεταθετικότητα του τετραγώνου σημαίνει .
 175px|class=skin-invert 150px|class=skin-invert

Παράδειγμα 2
Για να είναι το παρακάτω αντιμεταθετικό διάγραμμα, πρέπει να ικανοποιούνται τρεις ισότητες:





Εδώ, δεδομένου ότι η πρώτη ισότητα προκύπτει από τις δύο τελευταίες, αρκεί να δείξουμε ότι οι (2) και (3) είναι αληθείς για να είναι το διάγραμμα αντιμεταθετικό. Ωστόσο, δεδομένου ότι η ισότητα (3) γενικά δεν προκύπτει από τις άλλες δύο, δεν αρκεί γενικά να έχουμε μόνο τις ισότητες (1) και (2) αν θέλουμε να δείξουμε ότι το διάγραμμα είναι αντιμεταθετικό.

 class=skin-invert

Διάγραμμα κυνηγιού

Το διάγραμμα κυνηγιού (αγγλικά:Diagram chasing) (ονομάζονται επίσης διαγραμματική αναζήτησης) είναι μια μέθοδος μαθηματικής απόδειξης που χρησιμοποιείται ειδικά στην ομολογική άλγεβρα, όπου κάποιος αποδεικνύει μια ιδιότητα κάποιου μορφισμού ανιχνεύοντας τα στοιχεία ενός αντιμεταθετικού διαγράμματος. Μια απόδειξη με διαγράμματα κυνηγιού συνήθως περιλαμβάνει τη τυπική χρήση των ιδιοτήτων του διαγράμματος, όπως ερριπτικες ή επιρριπτικες απεικονίσεις ή ακριβείς ακολουθίες. Δημιουργείται ένας συλλογισμός, για τον οποίο η γραφική απεικόνιση του διαγράμματος αποτελεί απλώς ένα οπτικό βοήθημα. Συνεπώς, καταλήγουμε να "κυνηγάμε" στοιχεία στο διάγραμμα, μέχρι να δημιουργηθεί ή να επαληθευτεί το επιθυμητό στοιχείο ή αποτέλεσμα.

Παραδείγματα αποδείξεων με διάγραμμα περιλαμβάνουν εκείνα που δίνονται συνήθως για το λήμμα των πέντε, το λήμμα του φιδιού, το λήμμα του ζιγκ-ζαγκ και το λήμμα των εννέα.

Στην ανώτερη θεωρία κατηγοριών, δεν εξετάζονται μόνο τα αντικείμενα και τα βέλη, αλλά και τα βέλη μεταξύ των βελών, τα βέλη μεταξύ των βελών μεταξύ των βελών και ούτω καθεξής επ' άπειρον. Παραδείγματος χάριν, η κατηγορία των μικρών κατηγοριών Cat είναι φυσικά μια 2-κατηγορία, με τους συναρτητές ως βέλη της και τους φυσικούς μετασχηματισμούς ως βέλη μεταξύ των συναρτητών. Σε αυτό το πλαίσιο, τα αντιμεταθετικά διαγράμματα μπορεί να περιλαμβάνουν και αυτά τα ανώτερα βέλη, τα οποία συχνά απεικονίζονται με τον ακόλουθο τρόπο: . Ενδεικτικά, το ακόλουθο (κάπως τετριμμένο) διάγραμμα απεικονίζει δύο κατηγορίες  και, μαζί με δύο συναρτητές ,  :  →  και ένα φυσικό μετασχηματισμό  :  ⇒ :

200px|class=skin-invert

Υπάρχουν δύο είδη σύνθεσης σε μια 2-κατηγορία (που ονομάζονται κάθετη σύνθεση και οριζόντια σύνθεση) και μπορούν επίσης να απεικονιστούν μέσω διαγραμμάτων επικόλλησης (βλ. Ορισμοί για παραδείγματα).

 Διαγράμματα ως συναρτητές 
Βλ.Διάγραμμα (θεωρία κατηγοριών)

Ένα αντιμεταθετικό διάγραμμα σε μια κατηγορία C  μπορεί να ερμηνευθεί ως ένας συναρτητής από μια κατηγορία δείκτη J προς C . Ο συναρτητής ονομάζεται διάγραμμα.

Πιο τυπικά, ένα αντιμεταθετικό διάγραμμα είναι μια οπτικοποίηση ενός διαγράμματος που έχει ως δείκτη μια κατηγορία poset (Μερικώς διατεταγμένο σύνολο). Ένα τέτοιο διάγραμμα περιλαμβάνει συνήθως:
 ένας κόμβος για κάθε αντικείμενο στην κατηγορία ευρετηρίου,
 ένα βέλος για ένα σύνολο παράγωγων μορφισμών (παραλείποντας τις απεικονίσεις ταυτότητας και τους μορφισμούς που μπορούν να εκφραστούν ως συνθέσεις),
 η αντιμεταθετικότητα του διαγράμματος (η ισότητα διαφορετικών συνθέσεων απεικονίσεων μεταξύ δύο αντικειμένων), που αντιστοιχεί στη μοναδικότητα μιας απεικόνισης μεταξύ δύο αντικειμένων σε μια κατηγορία poset (Μερικώς διατεταγμένο σύνολο).

Αντίθετα, δεδομένου ενός αντιμεταθετικού διαγράμματος, ορίζει μια κατηγορία poset, όπου:
 τα αντικείμενα είναι οι κόμβοι,
 υπάρχει μορφισμός μεταξύ δύο αντικειμένων αν και μόνο αν υπάρχει μια (κατευθυνόμενη) διαδρομή μεταξύ των κόμβων, * με τη σχέση ότι αυτός ο μορφισμός είναι μοναδικός (οποιαδήποτε σύνθεση απεικονίσεων ορίζεται από τον τομέα και τον στόχο της: αυτό είναι το αξίωμα της αντιμεταθετικότητας).

Ωστόσο, δεν είναι όλα τα διαγράμματα αντιμεταθετικά (η έννοια του διαγράμματος γενικεύει αυστηρά το αντιμεταθετικό διάγραμμα). Ως απλό παράδειγμα, το διάγραμμα ενός μεμονωμένου αντικειμένου με ενδομορφισμό () ή με δύο παράλληλα βέλη ( , δηλαδή , που μερικές φορές ονομάζεται ελεύθερο βέλος), όπως χρησιμοποιείται στον ορισμό του εξισωτή, δεν χρειάζεται να είναι αντιμεταθετικό . Επιπλέον, τα διαγράμματα μπορεί να είναι ακατάστατα ή αδύνατα να σχεδιαστούν, όταν ο αριθμός των αντικειμένων ή των μορφισμών είναι μεγάλος (ή ακόμη και άπειρος).

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Αβελιανή ομάδα

 Βιβλιογραφία






 <




Παραπομπές

 Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E. (1990). Abstract and Concrete Categories. Originally published by John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (now free on-line edition)
 Robert Goldblatt (1984). Topoi, the Categorial Analysis of Logic (Studies in logic and the foundations of mathematics, 98). North-Holland. Reprinted 2006 by Dover Publications.






  A handbook for study and research

 Murray Bremner and  Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα