Συμπυρήνας

Ο συμπυρήνας μιας γραμμικής απεικόνισης διανυσματικών χώρων f : X → Y είναι ο πηλικόχωρος Y / im(f) της ομοπεριοχής f από την εικόνα της f. Η διάσταση του συμπυρήνα ονομάζεται corank της f. 

Οι συμπυρήνες είναι δίδυμοι με τους πυρήνες της θεωρίας κατηγοριών, εξ ου και το όνομά τους: ο πυρήνας είναι ένα υποαντικείμενο της περιοχής (αντιστοιχεί στην περιοχή), ενώ ο συμπυρήνας είναι ένα αντικείμενο πηλίκου της συμπεριοχής ή ομοπεριοχής (απεικόνιση από την συμπεριοχή).  

Διαισθητικά, δεδομένης μιας εξίσωσης f(x) = y που προσπαθούμε να λύσουμε, ο συμπυρήνας μετρά τους περιορισμούς που πρέπει να ικανοποιεί το y για να έχει αυτή η εξίσωση λύση – τα εμπόδια για μια λύση – ενώ ο συμπυρήνας μετρά τους βαθμούς ελευθερίας σε μια λύση, αν υπάρχει. Αυτό αναλύεται λεπτομερώς στην ενότητα "Διαισθητική προσέγγιση" παρακάτω.

Γενικότερα, ο συμπυρήνας ενός μορφισμού f : X → Y σε κάποια κατηγορία (π.χ. ένας ομομορφισμός μεταξύ ομάδων ή ένας περιορισμένος γραμμικός τελεστής μεταξύ χώρων Χίλμπερτ) είναι ένα αντικείμενο Q και ένας μορφισμός q : Y → Q  έτσι ώστε η σύνθεση q f να είναι ο μηδενικός μορφισμός της κατηγορίας, και επιπλέον το q να είναι καθολικό σε σχέση με αυτή την ιδιότητα. Συχνά η απεικόνιση q είναι κατανοητή και το ίδιο το Q ονομάζεται συμπυρήνα του f.

Σε πολλές περιπτώσεις στην αφηρημένη άλγεβρα, όπως για τις αβελιανές ομάδες, τους διανυσματικούς χώρους ή τα υποσύνολα, τον συμπυρήνα ομομορφισμού f : X → Y είναι το πηλίκο του Y από την εικόνα του f. Σε τοπολογικές ρυθμίσεις, όπως με περιορισμένους γραμμικούς τελεστές μεταξύ χώρων Χίλμπερτ, συνήθως πρέπει να ληφθεί την κλειστότητα της εικόνας πριν περάσουμε στο πηλίκο.

 Επίσημος ορισμός 
Μπορεί κανείς να ορίσει το συμπυρήνα στο γενικό πλαίσιο της θεωρίας κατηγοριών. Προκειμένου ο ορισμός να έχει νόημα, η εν λόγω κατηγορία πρέπει να έχει μηδενικούς μορφισμούς. Ο συμπυρήνας ενός μορφισμού f : X → Y ορίζεται ως ο συνεξισωτής του f και του μηδενικού μορφισμού 0XY : X → Y.

Συγκεκριμένα, αυτό σημαίνει τα εξής. Ο συμπυρήνας του f : X → Y είναι ένα αντικείμενο Q μαζί με έναν μορφισμό q : Y → Q έτσι ώστε το διάγραμμα

class=skin-invert

αντιμεταθετικό. Επιπλέον, ο μορφισμός q πρέπει να είναι καθολικός για αυτό το διάγραμμα, δηλαδή οποιοσδήποτε άλλος q′ : Y → Q′ μπορεί να παραχθεί συνθέτοντας το q με έναν μοναδικό μορφισμό u : Q → Q′

class=skin-invert

Όπως συμβαίνει με όλες τις καθολικές κατασκευές, ο συμπυρήνας, εάν υπάρχει, είναι μοναδικός μέχρι ενός μοναδικού ισομορφισμού, ή πιο συγκεκριμένα: εάν q : Y → Q και q′ : Y → Q′  είναι δύο συμπυρήνες τουf : X → Y, τότε υπάρχει ένας μοναδικός ισομορφισμός u : Q → Q′ with q = u q.

Όπως όλοι οι συνεξισωτές, ο συμπυρήνας q : Y → Q είναι αναγκαστικά ένας επιμορφισμός. Αντίστροφα, ένας επιμορφισμός ονομάζεται κανονικός (ή συν-κανονικός) αν είναι ο συμπυρήνας κάποιου μορφισμού. Μια κατηγορία ονομάζεται κανονική αν κάθε επιμορφισμός είναι κανονικός (π.χ. η κατηγορία των ομάδων είναι κανονική).

Παραδείγματα

Στην κατηγορία των ομάδων, ο συμπυρήνας ενός ομομορφισμού ομάδων f : G → H είναι το πηλίκο του H με την κανονική κλειστότητα της εικόνας του f. Στην περίπτωση των αβελιανών ομάδων, δεδομένου ότι κάθε υποομάδα είναι κανονική, ο συμπυρήνας είναι απλώς το H modulo της εικόνας του f:

Ειδικές περιπτώσεις
Σε μια προ-προσθετική κατηγορία, έχει νόημα να προσθέτουμε και να αφαιρούμε μορφισμούς. Σε μια τέτοια κατηγορία, ο ισοσταθμιστής δύο μορφισμών  f και g (εάν υπάρχει) είναι απλώς ο συμπυρήνας   της διαφοράς τους:

Σε μια αβελιανή κατηγορία (ένα ειδικό είδος προ-προσθετικής κατηγορίας) η εικόνα και η συν-εικόνα ενός μορφισμού f δίνονται από

Συγκεκριμένα, κάθε αβελιανή κατηγορία είναι κανονική (και επίσης συν-κανονική). Δηλαδή, κάθε μονομορφισμός m μπορεί να γραφτεί ως πυρήνας κάποιου μορφισμού. Συγκεκριμένα, το m είναι ο πυρήνας του δικού του συμπυρήνα:

Διαίσθηση

Ο συμπυρήνας  μπορεί να θεωρηθεί ως ο χώρος των περιορισμών που πρέπει να ικανοποιεί μια εξίσωση, ως ο χώρος των εμποδίων, ακριβώς όπως ο πυρήνας είναι ο χώρος των λύσεων.

Τυπικά, μπορεί κανείς να συνδέσει τον πυρήνα και τον συμπύρηνα μιας απεικόνισης T: V → με την ακριβή ακολουθία 

Αυτά μπορούν να ερμηνευθούν ως εξής: δεδομένης μιας γραμμικής εξίσωσης T(v) = w που πρέπει να λυθεί,

 ο πυρήνας είναι ο χώρος των λύσεων της ομογενούς εξίσωσης T(v) = 0, και η διάστασή του είναι ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας στις λύσεις της T(v) = w, εάν υπάρχουν.
 Ο συμπυρήνας είναι ο χώρος των περιορισμών στο w που πρέπει να ικανοποιηθούν για να έχει η εξίσωση λύση, και η διάστασή του είναι ο αριθμός των ανεξάρτητων περιορισμών που πρέπει να ικανοποιηθούν για να έχει η εξίσωση λύση.

Η διάσταση του συμπυρήνα συν τη διάσταση της εικόνας (ο βαθμός) ισούνται με τη διάσταση του χώρου-στόχου, καθώς η διάσταση του χώρου πηλίκου W / T(V) είναι απλά η διάσταση του χώρου μείον τη διάσταση της εικόνας.

Ως απλό παράδειγμα, ας θεωρήσουμε την απεικόνιση T: R2 → R'''2, που δίνεται από T(x, y) = (0, y). Τότε, για να έχει μια εξίσωση T(x, y) = (a, b) λύση, πρέπει να έχουμε a = 0 (ένας περιορισμός) και, σε αυτή την περίπτωση, ο χώρος λύσεων είναι (x, b), ή, ισοδύναμα (0, b) + (x, 0), (ένας βαθμός ελευθερίας). Ο πυρήνας μπορεί να εκφραστεί ως ο υποχώρος (x, 0) ⊆ V: η τιμή του x είναι η ελευθερία σε μια λύση. Ο συμπυρήνας μπορεί να εκφραστεί μέσω της πραγματικής απεικόνισης W: (a, b) → (a): δεδομένου ενός διανύσματος (a, b), η τιμή του a είναι το εμπόδιο στην ύπαρξη λύσης.

Επιπλέον, ο συμπυρήνας μπορεί να θεωρηθεί ως κάτι που "ανιχνεύει" τις επίρριψεις με τον ίδιο τρόπο που ο πυρήνας "ανιχνεύει" τις έρριψεις. Μια απεικόνιση είναι ερριπτική αν και μόνο αν ο πυρήνας της είναι τετριμμένος, και μια απεικόνιση είναι επιρριπτική αν και μόνο αν ο συμπυρήνας της είναι τετριμμένος, ή με άλλα λόγια, αν W = im(T).

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές

Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician, Second Edition, 1978, p. 64
Emily Riehl: Category Theory in Context, Aurora Modern Math Originals, 2014, p. 82, p. 139 footnote 8.


 This article is based in part on PlanetMath's article on examples of initial and terminal objects. 

Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.






  A handbook for study and research









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics.'' Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα