Εικόνα (θεωρία κατηγοριών)

Στη θεωρία κατηγοριών, έναν κλάδο των μαθηματικών, η εικόνα ενός μορφισμού είναι μια γενίκευση της εικόνας μιας συνάρτησης.

 Γενικός ορισμός 

Έστω μια κατηγορία  και ένας μορφισμός  στην , η εικόνα Section I.10 p.12
του  είναι ένας μονομορφισμός  που ικανοποιεί την ακόλουθη καθολική ιδιότητα:
Υπάρχει ένας μορφισμός  τέτοιος ώστε .
Για κάθε αντικείμενο  με έναν μορφισμό  και έναν μονομορφισμό  τέτοιο ώστε , υπάρχει ένας μοναδικός μορφισμός  τέτοιος ώστε .

Παρατηρήσεις:
 μια τέτοια παραγοντοποίηση δεν υπάρχει απαραίτητα.
 Το  είναι μοναδικό από τον ορισμό του  μονικού.
 Το  είναι μοναδικό από τον ορισμό του  μονικού.
  είναι μονικό.
  συνεπάγεται ήδη ότι  είναι μοναδικό.


400px|center

Η εικόνα   συμβολίζεται συχνά με  ή .

Πρόταση: Αν   έχει όλους τους εξισωτές τότε το  στην παραγοντοποίηση  της (1) είναι ένας επιμορφισμός. Proposition 10.1 p.12

Μαθηματική απόδειξη

Έστω  τέτοιο ώστε , πρέπει να δείξουμε ότι . Εφόσον ο εξισωτής του  υπάρχει, το  παραγοντοποιείται ως  με  μονικό. Αλλά τότε η  είναι παραγοντοποίηση της  με  μονομορφισμό. Επομένως, από την καθολική ιδιότητα της εικόνας υπάρχει ένα μοναδικό βέλος  τέτοιο ώστε  και αφού  είναι μονικό . Επιπλέον, έχουμε  και από την ιδιότητα μονομορφισμού του  προκύπτει .
300px|center
Αυτό σημαίνει ότι  και συνεπώς ότι  εξισώνει , οπότε .

 Δεύτερος ορισμός 

Σε μια κατηγορία  με όλα τα πεπερασμένα όρια και συν-όρια (colimits), η εικόνα ορίζεται ως ο εξισωτής  του λεγόμενου ζεύγους συμπυρήνων , το οποίο είναι συνκαρτεσιανό(cocartesian) ενός μορφισμού με τον εαυτό του πάνω στο πεδίο ορισμού του, που θα προκύψει από ένα ζεύγος μορφισμών , επί των οποίων λαμβάνεται ο εξισωτής, i. δηλ. το πρώτο από τα παρακάτω διαγράμματα είναι συνκαρτεσιανό, ενώ το δεύτερο εξισορροπιστή. Definition 5.1.1

500px|center
500px|center

Παρατηρήσεις:
 Η πεπερασμένη διπληρότητα της κατηγορίας εξασφαλίζει ότι υπάρχουν pushouts και εξισωτές.
 Το  μπορεί να ονομαστεί κανονική εικόνα καθώς το  είναι ένας κανονικός μονομορφισμός, δηλαδή ο εξισωτής ενός ζεύγους μορφισμών. (Υπενθυμίζουμε επίσης ότι ένας εξισωτής είναι αυτόματα ένας μονομορφισμός).
 Σε μια αβελιανή κατηγορία, η ιδιότητα του ζεύγους συμπυρήνων μπορεί να γραφεί  και η συνθήκη εξισωτή . Επιπλέον, όλοι οι μονομορφισμοί είναι κανονικοί.

  θεώρημα
 Αν η  παραγοντοποιείται πάντα μέσω κανονικών μονομορφισμών, τότε οι δύο ορισμοί συμπίπτουν.

Απόδειξη

Ο πρώτος ορισμός συνεπάγεται τον δεύτερο:  Έστω ότι ισχύει η (1) με  κανονικό μονομορφισμό.

 Εξισορρόπηση: πρέπει να δείξουμε ότι  . Ως το ζεύγος συμπυρήνων του  και από την προηγούμενη πρόταση, αφού το  έχει όλους τους εξισωτές, το βέλος  στην παραγοντοποίηση  είναι επιμορφισμός, άρα .
 Καθολικότητα: σε μια κατηγορία με όλα τα συν-όρια (colimits) (ή τουλάχιστον όλα τα "pushouts" (ώθηση προς τα έξω))  η ίδια δέχεται ένα ζεύγος συμπυρήνων 
450px|center
Επιπλέον, ως κανονικός μονομορφισμός, ο  είναι ο εξισωτής ενός ζεύγους μορφισμών  αλλά ισχυριζόμαστε εδώ ότι είναι επίσης ο εξισωτής του .
Πράγματι, από την κατασκευή  έτσι το διάγραμμα «ζεύγος πυρήνων» για  δίνει ένα μοναδικό μορφισμό  τέτοιος ώστε . Τώρα, μια απεικόνιση  που εξισώνει το  ικανοποιεί επίσης το , άρα από το διάγραμμα εξισωτή για το , υπάρχει μια μοναδική απεικόνιση  ώστε να ισχύει .
Τέλος, χρησιμοποιούμε το διάγραμμα ζεύγους πυρήνων (του ) με  : υπάρχει ένα μοναδικό  τέτοιο ώστε . Επομένως, οποιαδήποτε απεικόνιση  η οποία εξισώνει την  εξισώνει επίσης την  και συνεπώς παραγοντοποιείται μοναδικά ως . Αυτό σημαίνει ακριβώς ότι το  είναι ο εξισωτής του .

Ο δεύτερος ορισμός συνεπάγεται τον πρώτο:

 Παραγοντοποίηση: λαμβάνοντας  στο διάγραμμα εξισωτή (το  αντιστοιχεί στο ), προκύπτει η παραγοντοποίηση .
 Καθολικότητα: έστω  μια παραγοντοποίηση με  κανονικό μονομορφισμό, δηλαδή ο εξισωτής κάποιου ζεύγους .

450px|center

Τότε  οπότε από το διάγραμμα "ζεύγος συμπυρήνων" (του ), με , υπάρχει ένα μοναδικό  τέτοιο ώστε .
Επομένως, από  (m από τον εξισωτή του διαγράμματος (i1, i2),  προκύπτει , άρα από την καθολικότητα στο (εξισωτής του διαγράμματος (d1, d2) με την αντικατάσταση του f από το m), υπάρχει ένα μοναδικό  έτσι ώστε .

 Παραδείγματα 

Στην κατηγορία των συνόλων η εικόνα ενός μορφισμού  είναι ο εγκλεισμός από τη συνηθισμένη εικόνα  στο . Σε πολλές συγκεκριμένες κατηγορίες, όπως ομάδες, αβελιανές ομάδες και (αριστερά ή δεξιά) πρότυπα, η εικόνα ενός μορφισμού είναι η εικόνα του αντίστοιχου μορφισμού στην κατηγορία των συνόλων.

Σε οποιαδήποτε κανονική κατηγορία με μηδενικό αντικείμενο και πυρήνες και συμπυρήνες για κάθε μορφισμό, η εικόνα ενός μορφισμού  μπορεί να εκφραστεί ως εξής:

im f = ker coker f

Σε μια αβελιανή κατηγορία (η οποία είναι ειδικότερα δικανονική), αν το f  είναι μονομορφισμός τότε f  = ker coker f , και έτσι f = im f.

 Ουσιώδης εικόνα 

Μια συναφής έννοια με την εικόνα είναι η ουσιώδης εικόνα.Μια υποκατηγορία  μιας (αυστηρής) κατηγορίας λέγεται πλήρης αν για κάθε , και για κάθε ισομορφισμό , τόσο η  όσο και η  ανήκουν στην C.

Δεδομένου ενός τελεστή  μεταξύ κατηγοριών, η μικρότερη πλήρης υποκατηγορία της n-κατηγορίας-στόχου B που περιέχει την εικόνα της A υπό F.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Αβελιανή ομάδα

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές

 Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E. (1990). Abstract and Concrete Categories. Originally published by John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (now free on-line edition)
 Robert Goldblatt (1984). Topoi, the Categorial Analysis of Logic (Studies in logic and the foundations of mathematics, 98). North-Holland. Reprinted 2006 by Dover Publications.






  A handbook for study and research

 Murray Bremner and  Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics.'' Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρήματα στη Γεωμετρία
Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα