Αντίθετη κατηγορία

Στην θεωρία κατηγοριών, έναν κλάδο των μαθηματικών, η αντίθετη κατηγορία ή δυϊκή κατηγορία  μιας δεδομένης κατηγορίας  σχηματίζεται με την αντιστροφή των μορφισμών, δηλαδή με την ανταλλαγή της πηγής και του στόχου κάθε μορφισμού. Η διπλή αντιστροφή δίνει την αρχική κατηγορία, οπότε η αντίθετη της αντίθετης κατηγορίας είναι η ίδια η αρχική κατηγορία. Σε σύμβολα, . Η κατασκευή μπορεί να γενικευτεί σε ∞-κατηγορίες χρησιμοποιώντας το αντίθετο απλοϊκό σύνολο.

Παραδείγμα
 Ένα παράδειγμα προέρχεται από την αντιστροφή της κατεύθυνσης των ανισοτήτων σε μια μερική διάταξη. Έτσι, αν X είναι ένα σύνολο και ≤  μια μερική διάταξη, μπορούμε να ορίσουμε μια νέα μερική διάταξη ≤op ως εξής

 x ≤op y  αν και μόνο αν y ≤ x.

 Η νέα διάταξη ονομάζεται συνήθως διπλή διάταξη του  of ≤, και συνήθως συμβολίζεται με το ≥. Επομένως, η δυϊκότητα διαδραματίζει σημαντικό ρόλο στη θεωρία των διατάξεων και κάθε καθαρά θεωρητική έννοια διάταξης έχει μια δυική. Παραδείγματος χάριν, υπάρχουν αντίθετα ζεύγη όπως παιδί/γονέας, απόγονος/πρόγονος, Μέγιστο κάτω φράγμα, κάτω σύνολο/άνω σύνολο, ιδανικό/φίλτρο κ.λπ. Αυτή η δυϊκότητα της θεωρίας διάταξης είναι με τη σειρά της μια ειδική περίπτωση της κατασκευής αντίθετων κατηγοριών, καθώς κάθε ταξινομημένο σύνολο μπορεί να θεωρηθεί ως κατηγορία.
 Δεδομένου μιας ημι-ομάδας (S, ·), συνήθως ορίζεται η αντίθετη ημι-ομάδα ως (S, ·)op = (S, *) όπου x*y ≔ y·x για όλα τα x,y στο S. Έτσι, και για τις ημι-ομάδες υπάρχει μια ισχυρή αρχή δυϊκότητας. Προφανώς, η ίδια κατασκευή ισχύει και για τις ομάδες, και είναι γνωστή και στη θεωρία δακτυλίων, όπου εφαρμόζεται στο πολλαπλασιαστικό ημισύνολο του δακτυλίου για να δώσει τον αντίθετο δακτύλιο. Και πάλι, αυτή η διαδικασία μπορεί να περιγραφεί με την ολοκλήρωση μιας ημι-ομάδας σε ένα μονοειδές, λαμβάνοντας την αντίστοιχη αντίθετη κατηγορία και, στη συνέχεια, αφαιρώντας ενδεχομένως τη μονάδα από αυτό το μονοειδές.
 Η κατηγορία της άλγεβρας Μπουλ και των ομομορφισμών Μπουλ είναι ισοδύναμη με την αντίθετη κατηγορία των χώρων Στόουν και των συνεχών συναρτήσεων.
 Η κατηγορία των αφινικών σχημάτων είναι ισοδύναμη με την αντίθετη κατηγορία των αντιμεταθετικών δακτυλίων.

 Η δυϊκότητα του Ποντριάγκιν περιορίζεται σε μια ισοδυναμία μεταξύ της κατηγορίας των συμπαγών αβελιανών τοπολογικών ομάδων Χάουσντορφ και της αντίθετης κατηγορίας των (διακριτών) αβελιανών ομάδων.
 Σύμφωνα με το θεώρημα Γκέλφαντ-Νάιμαρκ, η κατηγορία των εντοπίσιμων μετρήσιμων χώρων (με μετρήσιμες απεικονίσεις) είναι ισοδύναμη με την κατηγορία των αντιμεταθετικών αλγεβρών Φον Νεύμαν (με κανονικές ομομορφισμούς *-αλγεβρών).

Ιδιότητες
Αντίθετα, τα παράγωγα  που διατηρούνται:
 (βλ. κατηγορία παραγώγων)

Αντίθετα διατηρεί τους συναρτητές:
O. Wyler, Lecture Notes on Topoi and Quasitopoi, World Scientific, 1991, p. 8. (Βλ. κατηγορία συναρτητών, αντίθετος συναρτητής.)

Αντίθετα, διατηρεί τα τεμάχια:
 (Βλ. κατηγορία κόμμα)

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές









 star-autonomous category at the nLab

 This article is based in part on PlanetMath's article on examples of initial and terminal objects.


Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.






  A handbook for study and research









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα