Ενδομορφισμός

Στα μαθηματικά, ο ενδομορφισμός είναι ένας μορφισμός από ένα μαθηματικό αντικείμενο προς τον εαυτό του. Ένας ενδομορφισμός που είναι επίσης ισομορφισμός είναι αυτομορφισμός. Επί παραδείγματι, ένας ενδομορφισμός ενός διανυσματικού χώρου  είναι μια γραμμική απεικόνιση  , και ένας ενδομορφισμός μιας ομάδας  είναι ένας ομομορφισμός ομάδας  . Σε γενικές γραμμές, μπορούμε να μιλάμε για ενδομορφισμούς σε οποιαδήποτε κατηγορία. Στην κατηγορία των συνόλων, οι ενδομορφισμοί είναι συναρτήσεις από ένα σύνολο S προς τον εαυτό του.

Σε οποιαδήποτε κατηγορία, η σύνθεση δύο οποιωνδήποτε ενδομορφισμών της  είναι και πάλι ένας ενδομορφισμός της .  Προκύπτει ότι το σύνολο όλων των ενδομορφισμών του  σχηματίζει ένα μονοειδές, το πλήρες μονοειδές μετασχηματισμού, και συμβολίζεται  (ή  για να τονιστεί η κατηγορία ).

Αυτομορφισμοί

Ένας αντιστρέψιμος ενδομορφισμός του   ονομάζεται αυτομορφισμός.  Το σύνολο όλων των αυτομορφισμών είναι ένα υποσύνολο του  με δομή ομάδας, που ονομάζεται ομάδα αυτομορφισμών του  και συμβολίζεται .  Στο ακόλουθο διάγραμμα, τα βέλη υποδηλώνουν την συνεπαγωγή:
 Αυτομορφισμός ⇒ Ισομορφισμός ⇓ ⇓ Ενδομορφισμός ⇒ Ομομορφισμός

Δακτύλιοι ενδομορφισμού

Κάθε δύο ενδομορφισμοί μιας αβελιανής ομάδας, , μπορούν να προστεθούν σύμφωνα με τον κανόνα  .  Με αυτή την πρόσθεση και με τον πολλαπλασιασμό που ορίζεται ως σύνθεση συναρτήσεων, οι ενδομορφισμοί μιας αβελιανής ομάδας σχηματίζουν έναν δακτύλιο (δακτύλιος ενδομορφισμών).  Επί παραδείγματι, το σύνολο των ενδομορφισμών της   είναι ο δακτύλιος όλων των  πινάκων με ακέραιες καταχωρήσεις. Οι ενδομορφισμοί ενός διανυσματικού χώρου ή ενός module σχηματίζουν επίσης ένα δακτύλιο, όπως και οι ενδομορφισμοί οποιουδήποτε αντικειμένου σε μια προ-προσθετική κατηγορία.  Οι ενδοµορφισµοί µιας µη αβελιανής οµάδας δηµιουργούν µια αλγεβρική δοµή γνωστή ως σχεδόν δακτύλιος. Κάθε δακτύλιος με έναν τέτοιο δακτύλιο είναι ο δακτύλιος ενδομορφισμών του κανονικού του module, και έτσι είναι ένας υποδακτύλιος ενός δακτυλίου ενδομορφισμών μιας αβελιανής ομάδας,Jacobson (2009), p. 162, Theorem 3.2. Ωστόσο, υπάρχουν δακτύλιοι που δεν είναι δακτύλιος ενδομορφισμού οποιασδήποτε αβελιανής ομάδας.

Θεωρία του τελεστή

Σε οποιαδήποτε συγκεκριμένη κατηγορία, ειδικά για διανυσματικούς χώρους, οι ενδομορφισμοί είναι απεικονίσεις από ένα σύνολο στον εαυτό του, και μπορούν να ερμηνευθούν ως μοναδιαίοι τελεστές σε αυτό το σύνολο, που δρουν στα στοιχεία, και επιτρέποντας τον ορισμό της έννοιας των τροχιών των στοιχείων, κ.λπ.

Ανάλογα με την πρόσθετη δομή που ορίζεται για την εκάστοτε κατηγορία (τοπολογία, μετρική, ...), οι τελεστές αυτοί μπορούν να έχουν ιδιότητες όπως η συνέχεια, η οριοθέτηση, κ.ο.κ.  Περισσότερες λεπτομέρειες υπάρχουν στο άρθρο σχετικά με τη θεωρία τελεστών.

Ενδοσυναρτήσεις

Μια ενδοσυνάρτηση είναι μια συνάρτηση της οποίας η περιοχή είναι ίση με τη συν-περιοχή της. Μια ομομορφική ενδοσυνάρτηση είναι ένας ενδομορφισμός.

Έστω  ένα αυθαίρετο σύνολο. Μεταξύ των τελικών ενδοσυναρτήσεων στο  βρίσκουμε μεταθέσεις του  και σταθερές συναρτήσεις που συσχετίζουν με κάθε στο  το ίδιο στοιχείο  στο .  Κάθε μεταβολή του  έχει πεδίο τιμών ίσο με το πεδίο του και είναι αμφιρριπτική και αντιστρέψιμη. Εάν η  έχει περισσότερα από ένα στοιχεία, η σταθερή συνάρτηση στην  έχει μια εικόνα που είναι ένα κατάλληλο υποσύνολο του πεδίου τιμών του, και επομένως δεν είναι αμφιρριπτική (και ως εκ τούτου δεν είναι αντιστρέψιμη). Η συνάρτηση που συνδέει με κάθε φυσικό αριθμό  το δάπεδο του  έχει εικόνα ίση με το πεδίο τιμών της και δεν είναι αντιστρέψιμη.

Οι πεπερασμένες ενδοσυναρτήσεις είναι ισοδύναμες με "κατευθυνόμενα ψευδοδάση". Σε σύνολα μεγέθους  υπάρχουν  ενδοσυναρτήσεις στο σύνολο.

Ιδιαίτερα παραδείγματα αμφιρριπτικές ενδοσυναρτήσεις είναι οι  ενελίξεις, δηλαδή οι συναρτήσεις που συμπίπτουν με τις αντίστροφες τους.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Αβελιανή ομάδα

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές

 .
 .
 .














 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Μορφισμοί
Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα