Δακτύλιος ενδομορφισμού

Στα μαθηματικά, οι ενδομορφισμοί μιας αβελιανής ομάδας X σχηματίζουν ένα δακτύλιο. Αυτός ο δακτύλιος ονομάζεται δακτύλιος ενδομορφισμού του X και συμβολίζεται με End(X). Είναι το σύνολο όλων των ομομορφισμών του X στον εαυτό του. Η πρόσθεση των ενδομορφισμών προκύπτει φυσικά με σημειακό τρόπο και ο πολλαπλασιασμός μέσω σύνθεσης ενδομορφισμών. Χρησιμοποιώντας αυτές τις πράξεις, το σύνολο των ενδομορφισμών μιας αβελιανής ομάδας σχηματίζει ένα (μονάδα) δακτύλιο, με την μηδενική απεικόνιση  ως προσθετική ταυτότητα και την ταυτότητα  ως πολλαπλασιαστική ταυτότητα. 

Οι σχετικές συναρτήσεις περιορίζονται σε αυτό που ορίζεται ως ομομορφισμός στο πλαίσιο, το οποίο εξαρτάται από την κατηγορία του υπό εξέταση αντικειμένου. Συνεπώς, ο δακτύλιος ενδομορφισμού κωδικοποιεί διάφορες εσωτερικές ιδιότητες του αντικειμένου. Καθώς ο δακτύλιος ενδομορφισμού είναι συχνά μια άλγεβρα πάνω σε κάποιο δακτύλιο R, αυτό μπορεί επίσης να ονομαστεί άλγεβρα ενδομορφισμού.

Μια αβελιανή ομάδα είναι το ίδιο με ένα module πάνω στον δακτύλιο των ακεραίων, ο οποίος είναι το αρχικό αντικείμενο στην κατηγορία των δακτυλίων. Με παρόμοιο τρόπο, αν R είναι οποιοσδήποτε αντιμεταθετικός δακτύλιος, οι ενδομορφισμοί ενός  R-module  σχηματίζουν μια άλγεβρα πάνω στο R με τα ίδια αξιώματα και παράγωγα. Ειδικότερα, αν R είναι ένα σώμα, τα υποδείγματά του M είναι διανυσματικοί χώροι και ο δακτύλιος ενδομορφισμού του καθενός είναι μια άλγεβρα πάνω στο σώμα R.

 Περιγραφή 

Έστω  μια αβελιανή ομάδα και ας εξετάσουμε τους ομομορφισμούς ομάδων από τοv A  στο  A. Τότε, η πρόσθεση δύο τέτοιων ομομορφισμών μπορεί να οριστεί σημειακά για να παράγει έναν άλλο ομομορφισμό ομάδας. Συγκεκριμένα, με δεδομένους δύο τέτοιους ομομορφισμούς f και g, το άθροισμα των f και g είναι ο ομομορφισμός . Υπό αυτή τη λειτουργία, το End(A) είναι μια αβελιανή ομάδα. Με την πρόσθετη λειτουργία της σύνθεσης ομομορφισμών, το End(A) είναι ένας δακτύλιος με πολλαπλασιαστική ταυτότητα. Αυτή η σύνθεση είναι ρητά . Η πολλαπλασιαστική ταυτότητα είναι ο ομομορφισμός ταυτότητας στο A. Τα πρόσθετα αντίστροφα είναι τα αντίστροφα κατά σημείο.

Εάν το σύνολο A δεν σχηματίζει μια αβελιανή ομάδα, τότε η παραπάνω κατασκευή δεν είναι απαραίτητα καλά καθορισμένη, καθώς τότε το άθροισμα δύο ομομορφισμών δεν χρειάζεται να είναι ομομορφισμός. Ωστόσο, η κλειστότητα του συνόλου των ενδομορφισμών υπό τις παραπάνω πράξεις είναι ένα τυπικό παράδειγμα ενός οιονεί δακτυλίου που δεν είναι δακτύλιος.

Ιδιότητες 

 Οι δακτύλιοι ενδομορφισμού έχουν πάντα προσθετικές και πολλαπλασιαστικές ταυτότητες, αντίστοιχα τη μηδενική απεικόνιση και την ταυτότητα.
 Οι δακτύλιοι ενδομορφισμού είναι προσεταιριστικοί, αλλά συνήθως μη αντιμεταθετικοί.
 Εάν ένα πρότυπο είναι απλό, τότε ο δακτύλιος ενδομορφισμού του είναι ένας δακτύλιος διαίρεσης (αυτό μερικές φορές ονομάζεται λήμμα του Σουρ) 
 Ένα πρότυπο είναι αδιάσπαστο αν και μόνο αν ο δακτύλιος του ενδομορφισμού του δεν περιέχει κανένα μη τετριμμένο αδύναμο στοιχείο. Εάν το πρότυπο  είναι ένα ερριπτικό πρότυπο , τότε η μη αναλυσιμότητα είναι ισοδύναμη με το ενδομορφισμό δακτυλίου να είναι ένας τοπικός δακτύλιος.
 Για ένα ημισαπλό module, ο δακτύλιος ενδομορφισμού είναι ένας κανονικός δακτύλιος φον Νόιμαν.
 Ο δακτύλιος ενδομορφισμού  ενός μη μηδενικού δεξιού μονοσειριακού module  έχει είτε ένα είτε δύο μέγιστα δεξιά ιδεώδη. Εάν το υποσύνολο είναι Αρτινιάν, Ναιτεριανό προβολικό ή ερριπτικό, τότε ο δακτύλιος ενδομορφισμού έχει ένα μοναδικό μέγιστο ιδεώδες, έτσι ώστε να είναι ένας τοπικός δακτύλιος.
 Ο δακτύλιος ενδομορφισμού ενός ομοιόμορφου προτύπου Αρτινιάν είναι ένας τοπικός δακτύλιος.
 Ο δακτύλιος ενδομορφισμού ενός υποσυνόλου με πεπερασμένο μήκος σύνθεσης είναι ένας ημιπρωταρχικός δακτύλιος.
 Ο δακτύλιος ενδομορφισμού ενός συνεχούς ή διακριτού υποσυνόλου είναι ένας καθαρός δακτύλιος 
 Εάν ένα module R είναι πεπερασμένο παραγόμενο και προβολικό (δηλαδή, ένας προγεννήτορας), τότε ο δακτύλιος ενδομορφισμού του προτύπου (module) και του R μοιράζονται όλες τις ιδιότητες του Μορίτα. Ένα θεμελιώδες αποτέλεσμα της θεωρίας του Μορίτα είναι ότι όλοι οι δακτύλιοι ισοδύναμοι με το R προκύπτουν ως δακτύλιοι ενδομορφισμού προγεννητόρων.

 Παραδείγματα 

 Στην κατηγορία των  R-modules, ο δακτύλιος ενδομορφισμού του R-module  M  θα χρησιμοποιεί μόνο τους ομομορφισμούς του  R-module, οι οποίοι είναι συνήθως ένα κατάλληλο υποσύνολο ομομορφισμού της αβελιανής ομάδας. Όταν το M είναι ένα πεπερασμένα παραγόμενο προβολικό module, ο δακτύλιος ενδομορφισμών είναι κεντρικός για την ισοδυναμία Μορίτα των κατηγοριών module.
 Για οποιαδήποτε αβελιανή ομάδα , , δεδομένου ότι κάθε πίνακας στο  φέρει μια φυσική ομομορφική δομή ως εξής:


 Μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει αυτόν τον ισομορφισμό για να κατασκευάσει πολλούς μη-αντιμεταθετικούς δακτυλίους ενδομορφισμού. Παραδείγματος χάριν : , δεδομένου ότι .  
 Επίσης, όταν  είναι ένα σώμα, υπάρχει ένας κανονικός ισομορφισμός , οπότε , δηλαδή ο δακτύλιος ενδομορφισμών ενός  -διανυσματικού χώρου ταυτίζεται με το δακτύλιο των n-by-n πινάκων με στοιχεία στο . Γενικότερα, η άλγεβρα ενδομορφισμού του ελεύθερου υποσυνόλου  είναι από τη φύση της -by- πίνακες με στοιχεία στο δακτύλιο .
 Χαρακτηριστικό παράδειγμα του τελευταίου σημείου είναι ότι, για κάθε δακτύλιο R με μονάδα, ,  Ως συγκεκριμένο παράδειγμα του τελευταίου σημείου, για κάθε δακτύλιο R με ενότητα, όπου τα στοιχεία του R δρουν στο R με "αριστερό" πολλαπλασιασμό.
 Σε γενικές γραμμές, οι δακτύλιοι ενδομορφισμού μπορούν να οριστούν για τα αντικείμενα οποιασδήποτε προαθροιστικής κατηγορίας.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Αβελιανή ομάδα

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές








  A handbook for study and research

 Murray Bremner and  Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα