Πρότυπο πηλίκο

Στην άλγεβρα, δεδομένου ενός προτύπου και ενός υποπροτύπου, μπορεί κανείς να κατασκευάσει το πρότυπο πηλίκο τους.  Αυτή η κατασκευή, που περιγράφεται παρακάτω, είναι πολύ παρόμοια με εκείνη ενός πηλίκου διανυσματικού χώρου.  Διαφέρει από τις ανάλογες κατασκευές πηλίκου δακτυλίων και ομάδων από το γεγονός ότι στις τελευταίες περιπτώσεις, ο υποχώρος που χρησιμοποιείται για τον ορισμό του πηλίκου δεν είναι της ίδιας φύσης με τον περιβάλλοντα χώρο (δηλαδή, ένας πηλίκο δακτύλιος είναι το πηλίκο ενός δακτυλίου από ένα ιδεώδες, όχι από έναν υποχώρο, και μια ομάδα πηλίκου είναι το πηλίκο μιας ομάδας από μια κανονική υποομάδα, όχι από μια γενική υποομάδα). 

Δεδομένου ενός προτύπου  πάνω από έναν δακτύλιο , και ενός υποπροτύπου  του , ο χώρος πηλίκο   ορίζεται από τη σχέση ισοδυναμίας

  αν και μόνο αν 

για κάθε  στο . Τα στοιχεία του  είναι οι κλάσεις ισοδυναμίας    Ο συναρτητής   που στέλνει το  στο  στην κλάση ισοδυναμίας του  ονομάζεται πηλίκο ή απεικόνιση προβολής και είναι ομομορφισμός προτύπων.

Η πράξη της πρόσθεσης στην  ορίζεται για δύο κλάσεις ισοδυναμίας ως η κλάση ισοδυναμίας του αθροίσματος δύο εκπροσώπων από τις κλάσεις αυτές- και ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός των στοιχείων της  με στοιχεία της  ορίζεται ομοίως. Σημειώστε ότι πρέπει να αποδειχθεί ότι αυτές οι πράξεις είναι καλά ορισμένες. Τότε η  γίνεται η ίδια ένα -πρότυπο, το οποίο ονομάζεται πρότυπο πηλίκο. Σε σύμβολα, για όλα τα   στο  και  στο :

 Παραδείγματα 

Ας θεωρήσουμε τον πολυωνυμικό δακτύλιο,  με πραγματικούς συντελεστές, και το -πρότυπο  Ας λάβουμε υπόψιν το υποπρότυπο

του , δηλαδή το υποπρότυπο όλων των πολυωνύμων που διαιρούνται με . Προκύπτει ότι η σχέση ισοδυναμίας που καθορίζεται από αυτό το πρότυπο θα είναι 

 αν και μόνο αν   και  δίνουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρούνται με .

Επομένως, στον πρότυπο πηλίκο , το  είναι το ίδιο με το 0; έτσι μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το  προκύπτει από το   θέτοντας . Αυτό το πρότυπο πηλίκο είναι ισομορφικό με τους μιγαδικούς αριθμούς, θεωρούμενο ως πρότυπο πάνω στους πραγματικούς αριθμούς 

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές









 star-autonomous category at the nLab

 This article is based in part on PlanetMath's article on examples of initial and terminal objects.


Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.






  A handbook for study and research









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα