Κατηγορία σχέσεων

Στα μαθηματικά, η κατηγορία σχέσεων Rel έχει ως αντικείμενα την κατηγορία των συνόλων και ως μορφισμούς τις δυαδικές σχέσεις.

Ένας μορφισμός (ή βέλος) R : A → B σε αυτή την κατηγορία είναι μια σχέση μεταξύ των συνόλων A και B, οπότε .

Η σύνθεση των δύο σχέσεων R: A → B και S: B → C δίνεται από τη σχέση 
(a, c) ∈ S o R ⇔ για κάποιο b ∈ B, (a, b) ∈ R και (b, c) ∈ S.

Η Rel έχει επίσης ονομαστεί η "κατηγορία των αντιστοιχιών συνόλων".

Ιδιότητες

Η κατηγορία Rel έχει την κατηγορία των συνόλων Set ως (ευρεία) υποκατηγορία, όπου το βέλος  στο Set (σύνολο) αντιστοιχεί στη σχέση  που ορίζεται από τη σχέση .This category is called SetRel by Rydeheard and Burstall.

Ένας μορφισμός στην Rel είναι μια σχέση, και ο αντίστοιχος μορφισμός στην αντίθετη κατηγορία από την Rel έχει τα βέλη αντίστροφα, οπότε είναι η αντίστροφη σχέση. Έτσι, η Rel περιέχει το αντίθετό της και είναι αυτοδυϊκή.

Η ενέλιξη που αναπαρίσταται με τη λήψη της αντίστροφης σχέσης παρέχει την ενέλιξη που κάνει την Rel μια κατηγορία ενέλιξης. . 

Η κατηγορία έχει δύο συναρτητές στον εαυτό της που δίνονται από τον συναρτητή hom: Μια δυαδική σχέση R ⊆ A × B και η αντιστροφή της RT ⊆ B × A μπορούν να συντεθούν είτε ως R RT είτε ως RT R. Η πρώτη σύνθεση οδηγεί σε μια ομογενή σχέση επί του A και η δεύτερη επί του B. Δεδομένου ότι οι εικόνες αυτών των συναρτητών hom είναι στο ίδιο το Rel σε αυτή την περίπτωση το hom είναι έναν εσωτερικό συναρτητή hom, η Rel είναι μια κλειστή κατηγορία, και επιπλέον μια συμπαγή ενέλιξη κατηγορία.

Η κατηγορία Rel μπορεί να προκύψει από την κατηγορία Set ως η κατηγορία Κλέισλι για τη μονάδα της οποίας ο συναρτητής αντιστοιχεί στο δυναμοσύνολο, ερμηνευόμενος ως συναλλοίωτος συναρτητής.

Ίσως εκπλήσσει λίγο με την πρώτη ματιά το γεγονός ότι το γινόμενο στο Rel δίνεται από την ασύνδετη ή ξένη ένωση (αντί για το καρτεσιανό γινόμενο όπως είναι στο Set), και το ίδιο ισχύει και για το συνγινόμενο.

Το Rel είναι μονοειδώς κλειστό, αν ορίσουμε τόσο το μονοειδές γινόμενο  A ⊗ B όσο και το εσωτερικό hom A ⇒ B με το καρτεσιανό γινόμενο συνόλων. Είναι επίσης μια μονοειδής κατηγορία, αν ορίσουμε το μονοειδές γινόμενο με την ασύνδετη ή ξένη ένωση συνόλων.

Η κατηγορία Rel ήταν το πρωτότυπο για την αλγεβρική δομή που ονομάζεται αλληγορία από τους Πίτερ Τζ. Φρέιντ και Αντρέ Σκεντρόφ το 1990. Ξεκινώντας με μια κανονική κατηγορία και έναν συναρτητή F: A → B, σημειώνουν ιδιότητες του επαγόμενου συναρτητή Rel(A,B) → Rel(FA, FB). Επί παραδείγματι, διατηρεί τη σύνθεση, τη μετατροπή και την τομή. Τέτοιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται στη συνέχεια για την παροχή αξιωμάτων για μια αλληγορία.

Σχέσεις ως αντικείμενα

Οι Ντάβιντ Ράιντχαρντ και Ροντ Μπέρσταλ θεωρούν ότι η Rel έχει αντικείμενα που είναι ομογενείς σχέσεις. Επί παραδείγματι, το  A είναι ένα σύνολο και το R ⊆ A × A είναι μια δυαδική σχέση στο A. Οι μορφισμοί αυτής της κατηγορίας είναι συναρτήσεις μεταξύ συνόλων που διατηρούν μια σχέση: Έστω ότι  S ⊆ B × B  είναι μια δεύτερη σχέση και f: A → B είναι μια συνάρτηση τέτοια ώστε    τότε η f είναι ένας μορφισμός.

Η ίδια ιδέα αναπτύχθηκε από τους Άνταμεκ, Χέρλιχ και Στρέκερ, όπου ονομάζουν τα αντικείμενα (A, R) και (B, S), σύνολο και σχέση.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία









Παραπομπές

Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556






 star-autonomous category at the nLab

 This article is based in part on PlanetMath's article on examples of initial and terminal objects.


Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.






  A handbook for study and research









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα