Ομαδοειδές αντικείμενο

Στην θεωρία κατηγοριών, έναν κλάδο των μαθηματικών, ένα ομαδοειδές αντικείμενο είναι τόσο μια γενίκευση ενός ομαδοειδούς που βασίζεται σε πλουσιότερες δομές από τα σύνολα, όσο και μια γενίκευση των ομαδικών αντικειμένων όταν ο πολλαπλασιασμός είναι μόνο μερικώς καθορισμένος.

 Ορισμός 

Ένα ομαδοειδές αντικείμενο σε μια κατηγορία  C που δέχεται πεπερασμένo νηµατικό γινόµενο αποτελείται από ένα ζεύγος αντικειμένων  μαζί με πέντε μορφισμούς 

που ικανοποιούν τα ακόλουθα αξιώματα ομαδοειδών
  όπου τα    αποτελούν τις δύο προβολές,
 (προσεταιριστικότητα) 
 (μονάδα) 
 (αντίστροφο) , , .

 Παραδείγματα 

 Αντικείμενα ομάδας 
Ένα αντικείμενο ομάδας είναι μια ειδική περίπτωση ομαδοειδούς αντικειμένου, όπου  και . Επομένως, ανακτά κανείς τις τοπολογικές ομάδες λαμβάνοντας την κατηγορία των τοπολογικών χώρων, ή τις ομάδες Λι από την κατηγορία των πολλαπλοτήτων κ.λπ. 

 Ομαδοειδή 
Ένα ομαδοειδές αντικείμενο στην κατηγορία των συνόλων είναι ακριβώς ένα ομαδοειδές με την συνήθη έννοια: μια κατηγορία στην οποία κάθε μορφισμός είναι ένας ισομορφισμός. Πράγματι, δεδομένης μιας τέτοιας κατηγορίας C, ας θεωρήσουμε U το σύνολο όλων των αντικειμένων σε C, R το σύνολο όλων των μορφισμών σε C, τους πέντε μορφισμούς που δίνονται από , ,  και. Όταν ο όρος "ομάδα" μπορεί φυσικά να αναφέρεται σε ένα αντικείμενο ομάδας σε κάποια συγκεκριμένη κατηγορία, ο όρος "ομαδοειδές" χρησιμοποιείται για να αναφέρεται σε ένα ομαδοειδές αντικείμενο στην κατηγορία των συνόλων.

Ωστόσο, σε αντίθεση με το προηγούμενο παράδειγμα με τις ομάδες Λι, ένα ομαδοειδές αντικείμενο στην κατηγορία των πολλαπλοτήτων δεν είναι απαραίτητα ένα ομαδοειδές  Λι, καθώς οι απεικονίσεις s και t δεν πληρούν άλλες απαιτήσεις (δεν είναι απαραίτητα καταδύσεις).

 Ομαδοειδή σχήματα

Ένα ομαδοειδές S-σχήμα είναι ένα ομαδοειδές αντικείμενο στην κατηγορία των σχημάτων πάνω σε κάποιο σταθερό βασικό σχήμα S. Αν , τότε ένα ομαδοειδές σχήμα (όπου  είναι απαραίτητα η δομή απεικόνισης) είναι το ίδιο με ένα ομαδοειδές σχήμα. Ένα ομαδοειδές σχήμα ονομάζεται επίσης αλγεβρικό ομαδοειδές, για να μεταδώσει την ιδέα ότι είναι μια γενίκευση των αλγεβρικών ομάδων και των ενεργειών τους. 

Παραδείγματος χάριν, ας υποθέσουμε ότι μια αλγεβρική ομάδα G δρα από τα δεξιά σε ένα σχήμα U. Τότε, ας πάρουμε , s την προβολή, t τη δεδομένη δράση. Αυτό καθορίζει ένα ομαδοειδές σχήμα.

 Κατασκευές 

Δεδομένου ενός ομαδοειδούς αντικειμένου (R, U), ο εξισωτής του ,  αν υπάρχει, είναι ένα ομαδοειδές αντικείμενο που ονομάζεται ομάδα αδράνειας του ομαδοειδούς. Ο συν-εξισωτής του ίδιου διαγράμματος, αν υπάρχει, είναι το πηλίκο του ομαδοειδούς.  

Κάθε ομαδοειδές αντικείμενο σε μια κατηγορία C (εάν υπάρχει) μπορεί να θεωρηθεί ως ένας ανταλλοίωτος  συναρτητής από το C στην κατηγορία των ομαδοειδών. Με αυτόν τον τρόπο, κάθε ομαδοειδές αντικείμενο καθορίζει μια προ-στοίβα (prestack) στα ομαδοειδή. Αυτη την προ-στοίβα δεν είναι μία στοίβα, αλλά μπορεί να μετατραπεί σε στοίβα για να αποδώσει μία στοίβα (stack).

Η κύρια χρήση της έννοιας είναι ότι παρέχει τον Άτλαντα για μια στοίβα. Πιο συγκεκριμένα, έστω  η κατηγορία των -torsors (κύριες δέσμες).Τότε είναι μια κατηγορία που διαχωρίζεται σε ομαδοειδή- στην πραγματικότητα (σε μια καλή περίπτωση), μια στοίβα Ντελίν–Μάμφορντ. Αντίστροφα, κάθε στοίβα DM έχει αυτή τη μορφή.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία










Παραπομπές



Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556






 star-autonomous category at the nLab

 This article is based in part on PlanetMath's article on examples of initial and terminal objects .


Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.






  A handbook for study and research









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων  
Κατηγορία:Γενική τοπολογία 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα