Εξισωτής (μαθηματικά)

Στα μαθηματικά, ένας εξισωτής είναι ένα σύνολο παραμέτρων όπου δύο ή περισσότερες συναρτήσεις έχουν ίσες τιμές. Ένας εξισωτής είναι το σύνολο λύσεων μιας εξίσωσης. Σε ορισμένα πλαίσια, ένας πυρήνας διαφοράς είναι ο εξισωτής ακριβείας δύο συναρτήσεων.

 Ορισμοί 

Ας υποθέσουμε ότι X και Y είναι σύνολα.
Ας υποθέσουμε ότι f και g είναι συναρτήσεις, και οι δύο από το X στο Y.
Τότε ο εξισωτής των f και g είναι το σύνολο των στοιχείων x του X έτσι ώστε f(x) να ισούται με  g(x) in Y.
Συμβολικά:

Ο εξισωτής μπορεί να συμβολίζεται με Eq(f, g)  ή με μια παραλλαγή αυτού (όπως με μικρά γράμματα "eq").
Σε ανεπίσημα πλαίσια, είναι συνηθισμένη η σημειογραφία {f = g}.

Ο παραπάνω ορισμός χρησιμοποίησε δύο συναρτήσεις f και g, αλλά δεν υπάρχει λόγος να περιοριστούμε μόνο σε δύο συναρτήσεις, ή ακόμα και σε πεπερασμένο αριθμό συναρτήσεων.
Γενικά, αν F είναι ένα σύνολο συναρτήσεων από το X στο Y, τότε ο εξισωτής των μελών του F είναι το σύνολο των στοιχείων x του X έτσι ώστε, για οποιαδήποτε δύο μέλη f και g  του  F, f(x) ισούται με  g(x) στο Y.
Συμβολικά:

Αυτός ο εξισωτής μπορεί να γραφτεί ως Eq(f, g, h, ...) όταν το F είναι το σύνολο f, g, h, ...}.
Στην τελευταία περίπτωση, μπορεί επίσης να βρεθεί {f = g = h = ···} σε ανεπίσημα πλαίσια.

Ως εκφυλισμένη περίπτωση του γενικού ορισμού, ας υποθέσουμε ότι το F είναι ένα μονοσύνολο {f}.
Δεδομένου ότι για κάθε x ∈ X ισχύει f(x) = f(x), ο εξισωτής πρέπει να είναι ολόκληρος ο χώρος ορισμού X.
Για μια ακόμη πιο εκφυλισμένη περίπτωση, έχουμε το F ως το κενό σύνολο. Τότε ο εξισωτής είναι και πάλι ολόκληρη η περιοχή X αφούη καθολική ποσοτικοποίηση στον ορισμό είναι τυπικά αληθής.

 Πυρήνες διαφοράς 

Ένας δυαδικός εξισωτής (δηλαδή, ένας εξισωτής με μόνο δύο συναρτήσεις) ονομάζεται επίσης πυρήνας διαφοράς. Αυτό μπορεί επίσης να συμβολίζεται ως DiffKer(f, g) ή Ker(f − g). Η τελευταία σημειογραφία δείχνει από πού προέρχεται αυτή η ορολογία και για ποιο λόγο είναι πιο συνηθισμένη στο πλαίσιο της αφηρημένης άλγεβρας: Ο πυρήνας διαφοράς των f  και g είναι απλά ο πυρήνας της διαφοράς f  − g. Επιπλέον, ο πυρήνας μιας μεμονωμένης συνάρτησης f μπορεί να ανακατασκευαστεί ως ο πυρήνας διαφοράς Eq(f, 0), όπου 0 είναι η σταθερή συνάρτηση με τιμή μηδέν.

Φυσικά, όλα αυτά προϋποθέτουν ένα αλγεβρικό πλαίσιο όπου ο πυρήνας μιας συνάρτησης είναι η προ-εικόνα του μηδενός κάτω από αυτή τη συνάρτηση, κάτι που δεν ισχύει σε όλες τις κατηγορίες.
Ωστόσο, ο όρος "πυρήνας διαφοράς" δεν έχει άλλη σημασία.

Θεωρία κατηγοριών 

Οι εξισωτές μπορούν να οριστούν από μια καθολική ιδιότητα, η οποία επιτρέπει τη γενίκευση της έννοιας από την κατηγορία των συνόλων σε οποιεσδήποτε κατηγορίες.

Σε αυτό το γενικό πλαίσιο, τα X και Y είναι αντικείμενα, ενώ τα f και g είναι μορφισμοί από το  X στο Y.
Αυτά τα αντικείμενα και οι μορφισμοί σχηματίζουν ένα διάγραμμα στην εν λόγω κατηγορία, και ο εξισωτής είναι απλώς το όριο αυτού του διαγράμματος.
Με πιο σαφή όρους, ο εξισωτής αποτελείται από ένα αντικείμενο E και ένα μορφισμό eq : E → X που ικανοποιεί ,
και έτσι ώστε, δεδομένου οποιουδήποτε αντικειμένου O και μορφισμού m : O → X, αν , τότε υπάρχει ένας μοναδικός μορφισμός u : O → E  έτσι ώστε .

class=skin-invert

Ένας μορφισμός  λέγεται ότι εξισώνει  και  αν .

Σε οποιαδήποτε καθολική αλγεβρική κατηγορία, συμπεριλαμβανομένων των κατηγοριών όπου χρησιμοποιούνται πυρήνες διαφοράς, καθώς και στην ίδια την κατηγορία των συνόλων, το αντικείμενο E μπορεί πάντα να θεωρηθεί ως η συνήθης έννοια του εξισωτή, και ο μορφισμός eq μπορεί σε αυτή την περίπτωση να θεωρηθεί ως η συνάρτηση συμπερίληψης του E ως υποσύνολο του X.

Η γενίκευση αυτού σε περισσότερους από δύο μορφισμούς είναι απλή: απλά χρησιμοποιούμε ένα μεγαλύτερο διάγραμμα με περισσότερους μορφισμούς.

Η εκφυλισμένη περίπτωση ενός μόνο μορφισμού είναι επίσης απλή: τότε το eq μπορεί να είναι οποιοσδήποτε ισομορφισμός από ένα αντικείμενο E στο X.

Το σωστό διάγραμμα για την εκφυλισμένη περίπτωση με καθόλου μορφισμούς είναι ελαφρώς περίπλοκο: αρχικά θα μπορούσε κανείς να σχεδιάσει το διάγραμμα ως αποτελούμενο από τα αντικείμενα X και Y και καθόλου μορφισμούς. Αυτό όμως είναι λανθασμένο, καθώς το όριο ενός τέτοιου διαγράμματος είναι το γινόμενο των X και Y, και όχι ο εξισωτής. (Και πράγματι, τα γινόμενα και οι εξισωτές είναι διαφορετικές έννοιες: ο ορισμός του γινομένου στη θεωρία συνόλων δεν συμφωνεί με τον ορισμό του εξισωτή στη θεωρία συνόλων που αναφέρθηκε παραπάνω, επομένως είναι στην πραγματικότητα διαφορετικά.) Αντ' αυτού, η σωστή αντίληψη είναι ότι κάθε διάγραμμα εξισωτή αφορά βασικά το X, συμπεριλαμβάνοντας το Y μόνο επειδή το Y είναι ο κωδικός χώρος των μορφισμών που εμφανίζονται στο διάγραμμα. Με αυτή την άποψη, βλέπουμε ότι αν δεν υπάρχουν μορφισμοί, το Y δεν εμφανίζεται και το διάγραμμα εξισωτή αποτελείται μόνο από το X. Το όριο αυτού του διαγράμματος είναι τότε οποιοσδήποτε ισομορφισμός μεταξύ E και X.

Μπορεί να αποδειχθεί ότι κάθε εξισωτής σε οποιαδήποτε κατηγορία είναι μονομορφισμός.
Εάν το αντίστροφο ισχύει σε μια δεδομένη κατηγορία, τότε η κατηγορία αυτή λέγεται κανονική (με την έννοια των μονομορφισμών).
Γενικότερα, ένας κανονικός μονομορφισμός σε οποιαδήποτε κατηγορία είναι οποιοσδήποτε μορφισμός m που είναι εξισωτής κάποιου συνόλου μορφισμών. Ορισμένοι συγγραφείς απαιτούν πιο αυστηρά το m να είναι δυαδικός εξισωτής, δηλαδή εξισωτής ακριβώς δύο μορφισμών.
Ωστόσο, εάν η εν λόγω κατηγορία είναι πλήρης, τότε και οι δύο ορισμοί συμφωνούν.

Η έννοια του πυρήνα διαφοράς έχει επίσης νόημα σε ένα πλαίσιο θεωρίας κατηγοριών.
Ο όρος "πυρήνας διαφοράς" είναι κοινός σε όλη τη θεωρία κατηγοριών για οποιονδήποτε δυαδικό εξισωτή.
Στην περίπτωση μιας προ-αθροιστικής κατηγορίας (μια κατηγορία εμπλουτισμένη πάνω στην κατηγορία των αβελιανών ομάδων), ο όρος "πυρήνας διαφοράς" μπορεί να ερμηνευθεί κυριολεκτικά, καθώς η αφαίρεση των μορφισμών έχει νόημα.
Δηλαδή, Eq(f, g) = Ker(f - g), όπου Ker δηλώνει τον πυρήνα της θεωρίας κατηγοριών.

Κάθε κατηγορία με νηµατικό γινόµενο (pullbacks) και γινόμενο διαθέτει εξισωτές.

 Κατηγορία τοπολογικών χώρων (Top)

Στην Top όπου τα αντικείμενα είναι τοπολογικοί χώροι και οι μορφισμοί είναι συνεχείς απεικονίσεις, ο εξισωτής δύο συνεχών απεικονίσεων  διατηρεί το υποκείμενο σύνολο , αλλά του προσδίδει την υποτοπολογία που κληρονομεί από το . Η έγκλιση  είναι συνεχής και η καθολική ιδιότητα διατηρείται: κάθε συνεχής απεικόνιση   που συνενώνεται με  και  παραγοντοποιείται μοναδικά μέσω . Αυτό αποτελεί παράδειγμα της αρχής ότι η τοπολογική δομή, όταν υποτάσσεται στην καθοριστική συνθήκη του εξισωτή, κληρονομείται χωρίς αντίφαση.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία










Παραπομπές

 Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E. (1990). Abstract and Concrete Categories. Originally published by John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (now free on-line edition)
 Robert Goldblatt (1984). Topoi, the Categorial Analysis of Logic (Studies in logic and the foundations of mathematics, 98). North-Holland. Reprinted 2006 by Dover Publications.






  A handbook for study and research

 Murray Bremner and  Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα