Περιγράψιμο πολύγωνο

Στην γεωμετρία, ένα πολύγωνο λέγεται περιγράψιμο σε κύκλο αν υπάρχει κύκλος εσωτερικός του πολυγώνου που εφάπτεται σε όλες του τις πλευρές. Ο κύκλος αυτός είναι μοναδικός και λέγεται ο εγγεγραμμένος κύκλος του πολυγώνου. Το πολύγωνο λέγεται ότι είναι περιγεγραμμένο σε αυτόν.

 Ιδιότητες 
 Ένα πολύγωνο είναι περιγράψιμο ανν οι διχοτόμοι των γωνιών του διέρχονται από το ίδιο εσωτερικό σημείο. Το σημείο αυτό είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του πολυγώνου. 

 Ένα περιγράψιμο πολύγωνο είναι ισόπλευρο ανν οι εναλλάξ του γωνίες είναι ίσες, δηλαδή  και .

Μετρικές σχέσεις 
 (Γενίκευση θεωρήματος Πιτό) Σε ένα περιγράψιμο πολύγωνο με  πλευρές, ισχύει ότι το άθροισμα των περιττών πλευρών είναι ίσο με το άθροισμα των άρτιων πλευρών. Πιο συγκεκριμένα, στο πολύγωνο  ισχύει ότι 
,
όπου  η ημιπερίμετρος του πολυγώνου.Δείτε την απόδειξη εδώ.
 Το έγκεντρο , το κέντρο βάρους  του πολυγώνου και το κέντρο βάρους  της περιφέρειας του πολυγώνου είναι συνευθειακά και επιπλέον
.

 Εμβαδόν 
 Ένα πολύγωνο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας , έχει εμβαδόν ίσο με
,
όπου  είναι η ημιπερίμετρος του πολυγώνου.

 Για μία δοσμένη περίμετρο και μία δοσμένη ακολουθία γωνιών, το περιγράψιμο πολύγωνο είναι το πολύγωνο που έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν.

 Ειδικές περιπτώσεις 
 Όλα τα τρίγωνα είναι περιγράψιμα, καθώς οι διχοτόμοι διέρχονται από το ίδιο σημείο, το έγκεντρο του τριγώνου.
 Στα τετράπλευρα, ισχύουν οι εξής αναγκαίες και ικανές συνθήκες για να είναι περιγράψιμο:
 Ένα τετράπλευρο είναι περιγράψιμο σε κύκλο αν και μόνο αν τρεις από τις διχοτόμους του διέρχονται από το ίδιο σημείο.
 (Θεώρημα Πιτό) Ένα τετράπλευρο είναι περιγράψιμο σε κύκλο αν και μόνο αν το άθροισμα των απέναντι πλευρών είναι το ίδιο.
 Όλα τα κανονικά πολύγωνα είναι περιγράψιμα σε κύκλο.

 Περαιτέρω ανάγνωση 
Ξενόγλωσσα άρθρα 


 Δείτε επίσης 
 Εγγεγραμμένος κύκλος τριγώνου
 Περιγράψιμο τετράπλευρο
 Εγγράψιμο πολύγωνο
 Παρεγγεγραμμένο πολύγωνο

 Σημειώσεις 

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Πολύγωνα