Προδεμάτιο (θεωρία κατηγοριών)

Στην θεωρία κατηγοριών, έναν κλάδο των μαθηματικών, ένα προδεμάτιο (αγγλικά:presheaf) σε μια κατηγορία  είναι ένας συναρτητής . Εάν  είναι poset (Μερικώς διατεταγμένο σύνολο) των ανοιχτών συνόλων σε έναν τοπολογικό χώρο, που ερμηνεύεται ως κατηγορία, τότε ανακτάται η συνήθης έννοια του προδεματίου σε έναν τοπολογικό χώρο. 

Ένας μορφισμός των προδεματίων ορίζεται ως φυσικός μετασχηματισμός των συναρτητών. Αυτό μετατρέπει την συλλογή όλων των προδεματίων στο    σε μια κατηγορία και αποτελεί παράδειγμα μιας κατηγορίας συναρτητών. Συχνά γράφεται ως  και ονομάζεται κατηγορία των προδεματίων στο .  Ένας συναρτητής στο   ονομάζεται μερικές φορές προσυναρτητής.

Ένα προδεμάτιο που είναι φυσικό ισομορφικό με τον αντίστροφο hom-συναρτητή Hom(–, A) για κάποιο αντικείμενο A του C ονομάζεται αναπαραστάσιμο προδεμάτιο. 

Ορισμένοι συγγραφείς αναφέρονται σε έναν συναρτητή   ως -valued προδεμάτιο. co-Yoneda lemma

 Παραδείγματα 

 Ένα απλό σύνολο είναι Set-valued (Σύνολο τιμών) προδεματίου στην κατηγορία simplex .
 Ένας κατευθυνόμενος πολυγράφος είναι ένα προδεμάτιο στην κατηγορία με δύο στοιχεία και δύο παράλληλους μορφισμούς μεταξύ τους, δηλαδή .
 Μια κατηγορία βέλους είναι ένα προδεμάτιο στην κατηγορία με δύο στοιχεία και ένα μορφισμό μεταξύ τους. Δηλαδή .
 Μια δεξιά ομάδα δράσης είναι ένα προδεμάτιο στην κατηγορία που δημιουργείται από μια ομάδα  ,  δηλαδή μια κατηγορία με ένα στοιχείο και αντιστρέψιμους μορφισμούς.

 Ιδιότητες 

 Όταν   είναι μια μικρή κατηγορία, η κατηγορία των συναρτητών είναι καρτεσιανή κλειστή..
 To poset (Μερικώς διατεταγμένο σύνολο) των υποαντικειμένων του  σχηματίζει μια άλγεβρα Heyting, όποτε το  είναι ένα αντικείμενο του   για μικρή  .
 Για κάθε μορφισμό  του  , ο συναρτητής pullback των υποαντικειμένων   χει έναν δεξιό συζυγή, που συμβολίζεται , και έναν αριστερό συζυγή, . Αυτοί είναι οι καθολικοί και υπαρξιακοί ποσοδείκτες.
 Μια τοπικά μικρή κατηγορία  ενσωματώνεται πλήρως και πιστά στην κατηγορία  των set-valued (Συνόλων τιμών) προδεματίων μέσω της εμφύτευσης Γιονέντα, η οποία σε κάθε αντικείμενο  της  συσχετίζει τον συναρτητή hom .
Η κατηγορία   δέχεται μικρά όρια και μικρά συνόρια. Βλ. όριο και συνόριο των προδεματίων για περαιτέρω συζήτηση.
 Το θεώρημα της πυκνότητας δηλώνει ότι κάθε προδεμάτιο είναι ένα συνόριο αναπαραστάσιμων προδεματίων - στην πραγματικότητα, το    είναι η συνόριο πλήρωση του  (Βλ.. #καθολική ιδιότητα που ακλουθεί)

 Καθολική ιδιότητα 

Η κατασκευή  ονομάζεται πλήρωση συνορίου(colimit) 

. του  C λόγω της ακόλουθης καθολικής ιδιότητας: 

 Πρόταση—Έστω C, D κατηγορίες και ας υποθέσουμε ότι η D δέχεται μικρά συνόρια (colimits). Τότε κάθε συναρτητής    παραγοντοποιείται ως εξής
 :
 όπου y είναι η εμφύτευση Γιονέντα και  είναι ένας μοναδικός, μέχρι ισομορφισμού, συνοριακός συναρτηστής που διατηρεί το συνόριο, ο οποίος ονομάζεται επέκταση Γιονέντα του .

Απόδειξη: Δεδομένου ενός προδεματίου F, σύμφωνα με το θεώρημα πυκνότητας, μπορούμε να γράψουμε  όπου   είναι αντικείμενα στο C. Τότε ας θέσουμε  το οποίο υπάρχει βάσει της παραδοχής. Δεδομένου ότι    είναι συναρματικο, αυτό καθορίζει τον συναρτητή . Συνοπτικά, το  είναι η αριστερή επέκταση Καν του  κατά μήκος του y; Εξ ου και η ονομασία "επέκταση Γιονέντα". Για να δούμε ότι  αντιμετατίθεται με μικρά συνόρια, φαίνεται ότι  είναι έναν αριστερό-συζυγή (σε κάποιο συναρτητή). Ορίζουμε   ως τον συναρτητή που δίνεται από: για κάθε αντικείμενο M στο D και κάθε αντικείμενο U στο C,

Στη συνέχεια, για κάθε αντικείμενο M στο D, δεδομένου ότι   σύμφωνα με το λήμμα Γιονέντα έχουμε:

που σημαίνει ότι  είναι έναν αριστερό-συζυγή προς . 

Η πρόταση έχει διάφορα συμπεράσματα. Επί παραδείγματι, η πρόταση υποδηλώνει ότι η κατασκευή  είναι συναρματική: δηλαδή, κάθε συναρματική  καθορίζει τον συναρματική .

 Παραλλαγές 

Ένα προδεμάτιο χώρων σε μια ∞-κατηγορία C είναι ένας ανταλλοίωτος συναρτητής από την C προς την ∞-κατηγορία χώρων ( παραδείγματος χάριν, το νεύρο της κατηγορίας των CW-συμπλεγμάτων) Είναι μια ∞-cκατηγορία εκδοχή ενός προδεματίου συνόλων, καθώς ένα «σύνολο» αντικαθίσταται από ένα "χώρο". Η εν λόγω έννοια χρησιμοποιείται, μεταξύ άλλων, στη διατύπωση της ∞-κατηγορίας του λήμματος του Γιονέντα που λέει:   είναι πλήρως πιστή (εδώ το C μπορεί να είναι απλά ένα απλοϊκό σύνολο.)

Ένα συν-προδεμάτιο (copresheaf ) μιας κατηγορίας C είναι ένα προδεμάτιο της Cop. Με άλλα λόγια, είναι ένας συναλλοίωτος συναρτητής από την C στο Set.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία










Παραπομπές

Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556






 star-autonomous category at the nLab

 This article is based in part on PlanetMath's article on examples of initial and terminal objects.


Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.






  A handbook for study and research









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Γενική τοπολογία
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα
Κατηγορία:Συναρτητές