Ιδεώδες δεμάτιο

Στην αλγεβρική γεωμετρία και σε άλλους τομείς των μαθηματικών, ένα  Ιδεώδες δεμάτιο είναι το καθολικό ανάλογο ενός ιδεώδους σε ένα δακτύλιο. Τα ιδεώδη δεμάτια σε ένα γεωμετρικό αντικείμενο συνδέονται στενά με τους υποχώρους του.

 Ορισμός 

Έστω X ένας τοπολογικός χώρος και A ένα δεμάτιο δακτυλίων στο X. (Με άλλα λόγια  είναι ένας δακτυλιωτός χώρος.). Ένα Ιδεώδες δεμάτιο J στο A είναι ένα υποαντικείμενο του A στην κατηγορία των δεματίων των A-προτύπων, δηλαδή ένα υποδεμάτιο του A που θεωρείται ως ένα δεμάτιο αβελιανών ομάδων έτσι ώστε 

για όλα τα ανοιχτά υποσύνολα U του X. Με άλλα λόγια, το J είναι ένα δεμάτιο των A-υποπροτύπων (submodules) του A.

 Γενικές ιδιότητες 

 Εάν  f: A → B είναι ομομορφισμός μεταξύ δύο δεμάτια δακτυλίων στον ίδιο χώρο X, ο πυρήνας του f είναι ένα ιδεώδες δεμάτιο στο A.
 Αντίστροφα, για κάθε ιδεώδες δεμάτιο J σε ένα δεμάτιο δακτυλίων A, υπάρχει μια φυσική δομή ενός δεματίου δακτυλίων στο πηλίκο δεματίου A/J. Ας σημειωθεί ότι η κανονική απεικόνιση
 Γ(U, A)/Γ(U, J) → Γ(U, A/J)
 για ανοιχτά υποσύνολα U είναι ερριπτική, αλλά γενικά δεν είναι επιρριπτική. (Βλ. συνομολογία δεματίου.)

 Αλγεβρική γεωμετρία 

Στο πλαίσιο των σχημάτων, η σημασία των ιδεωδών δεματίων έγκειται κυρίως στην αντιστοιχία μεταξύ κλειστών υποσχημάτων και οιονεί συνεκτικών ιδεωδών δεματίων. Ας θεωρήσουμε ένα σχήμα X και ένα οιονεί συνεκτικό ιδεώδες δεμάτιο J στο OX. Τότε, η υποστήριξη Z του OX/J είναι ένας κλειστός υποχώρος του X, και  είναι ένα σχήμα (και οι δύο ισχυρισμοί μπορούν να ελεγχθούν τοπικά). Ονομάζεται κλειστό υποσχήμα του X που ορίζεται από J. Αντίστροφα, έστω  μια κλειστή εμβάπτιση, δηλαδή ένας μορφισμός που είναι ομοιομορφισμός σε έναν κλειστό υποχώρο έτσι ώστε η σχετική απεικόνιση

είναι επιρριπτική στο στάχυ. Τότε, ο πυρήνας J του  είναι ένα σχεδόν συνεκτικό ιδεώδες δεμάτιο, και το i προκαλεί έναν ισομορφισμό από το Z στο κλειστό υποσχέδιο που ορίζεται από το J.EGA I, 4.2.2 b)

Μια ιδιαίτερη περίπτωση αυτής της αντιστοιχίας είναι το μοναδικό ελαττωμένο υποσχήμα Xred του X που έχει τον ίδιο υποκείμενο χώρο, το οποίο ορίζεται από το μηδενοριζικό του OX (ορίζεται με βάση το στέλεχος ή σε ανοιχτά αφινικά διαγράμματα).EGA I, 5.1

Για έναν μορφισμό  και ένα κλειστό υποσχήμα Y′ ⊆ Y που ορίζεται από ένα Ιδεώδες δεμάτιο J, η προ-εικόνα  ορίζεται από το Ιδεώδες δεμάτιοEGA I, 4.4.5
 f*(J)OX = im(f*J → OX).

το νηµατικό γινόµενο  ενός Ιδεώδους δεματίου J στο υποσχήμα Z που ορίζεται από το J περιέχει σημαντικές πληροφορίες και ονομάζεται συνκανονική δέσμη του Z. Παραδείγματος χάριν, το δεμάτιο των διαφορικών Κέλερ μπορεί να οριστεί ως το νηµατικό γινόμενο του ιδεώδους δεματίου που ορίζει τη διαγώνιο  στο X. (Για λόγους απλότητας, ας υποθέσουμε ότι το X είναι διαχωρισμένο έτσι ώστε η διαγώνιος να είναι κλειστή εμβάπτιση.)EGA IV, 16.1.2 and 16.3.1

 Αναλυτική γεωμετρία 

Στη θεωρία των μιγαδικών-αναλυτικών χώρων, το θεώρημα Οκά-Καρτάν αναφέρει ότι ένα κλειστό υποσύνολο A  ενός μιγαδικού χώρου είναι αναλυτικό αν και μόνο αν το Ιδεώδες δεμάτιο των συναρτήσεων που εκμηδενίζονται στο A είναι συνεκτικό. Αυτό το Ιδεώδες δεμάτιο δίνει επίσης στο Α τη δομή ενός ελαττωμένου κλειστού μιγαδικού υποχώρου.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία










Παραπομπές

 Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007/bf02684778. MR 0217083.

 Perspective. Information and Computation, 204 (2006) 637-678].

Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556






 star-autonomous category at the nLab

 This article is based in part on PlanetMath's article on examples of initial and terminal objects .


Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.






  A handbook for study and research









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Γενική τοπολογία
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα