Ελεύθερη κατηγορία

Στα μαθηματικά, η ελεύθερη κατηγορία που παράγεται από ένα κατευθυνόμενο γράφο ή μια φαρέτρα είναι η κατηγορία που προκύπτει από την ελεύθερη συνένωση βελών μεταξύ τους, κάθε φορά που ο στόχος του ενός βέλους είναι η πηγή του επόμενου.

Πιο συγκεκριμένα, τα αντικείμενα της κατηγορίας είναι οι κορυφές της φαρέτρας και οι μορφισμοί είναι μονοπάτια μεταξύ των αντικειμένων. Εδώ, ένα μονοπάτι ορίζεται ως μια πεπερασμένη ακολουθία

όπου  είναι μια κορυφή της φαρέτρας,  είναι μια ακμή της φαρέτρας και το n εκτείνεται στους μη αρνητικούς ακέραιους αριθμούς. Για κάθε κορυφή  της φαρέτρας, υπάρχει ένα κενό μονοπάτι το οποίο αποτελεί τους ταυτοτικούς μορφισμούς της κατηγορίας.

Η πράξη σύνθεσης είναι η συνένωση των μονοπατιών. Δεδομένων των μονοπατιών

η σύνθεσή τους είναι
.

Να σημειωθεί ότι το αποτέλεσμα της σύνθεσης αρχίζει με τον δεξιό τελεστέο (operand) της σύνθεσης και τελειώνει με τον αριστερό τελεστέο της.

 Παραδείγματα 

 Αν  είναι η φαρέτρα με μία κορυφή και μία ακμή  από το αντικείμενο αυτό προς τον εαυτό της, τότε η ελεύθερη κατηγορία στο  έχει ως βέλη , , ∘{,∘{∘, κλπ. 
 Έστω  η φαρέτρα με δύο κορυφές ,  και δύο ακμές ,  από  προς  και  προς , αντίστοιχα. Τότε η ελεύθερη κατηγορία στο  έχει δύο ταυτοτικά βέλη και ένα βέλος για κάθε πεπερασμένη ακολουθία εναλλασσόμενων s και s, συμπεριλαμβανομένων: , , ∘, ∘{, ∘∘, ∘∘, κλπ.
 Αν  είναι η φαρέτρα , τότε η ελεύθερη κατηγορία στο  έχει (εκτός από τρία βέλη ταυτότητας), τα βέλη , , και ∘{.
 Αν μια φαρέτρα  έχει μόνο μία κορυφή, τότε η ελεύθερη κατηγορία στην  έχει μόνο ένα αντικείμενο και αντιστοιχεί στο ελεύθερο μονοειδές στις ακμές της .

Ιδιότητες

Η κατηγορία των μικρών κατηγοριών Cat έχει έναν επιλήσμων συναρτητή  στην κατηγορία Quiv της φαρέτρας:

 : Cat → Quiv

που παίρνει τα αντικείμενα στις κορυφές και τους μορφισμούς στα βέλη. Διαισθητικά,  "λησμονεί ποια βέλη είναι σύνθετα και ποια είναι ταυτότητες". Αυτός ο επιλήσμων συναρτητή είναι δεξιός συζυγής με τον συναρτητή που στέλνει μια φαρέτρα στην αντίστοιχη ελεύθερη κατηγορία.

 Καθολική ιδιότητα

Η ελεύθερη κατηγορία σε μια φαρέτρα μπορεί να περιγραφεί μέχρι τον ισομορφισμό με μια καθολική ιδιότητα. Έστω  : Quiv → Cat  ο τελεστής που μεταφέρει μια φαρέτρα στην ελεύθερη κατηγορία πάνω σε αυτή την φαρέτρα (όπως περιγράφηκε παραπάνω), έστω  ο επιλήσμων συναρτητής  που ορίστηκε παραπάνω, και έστω  οποιαδήποτε φαρέτρα. Τότε υπάρχει ένας ομομορφισμός γραφημάτων   :  → (()) και δεδομένης οποιασδήποτε κατηγορίας D και οποιουδήποτε ομομορφισμού γράφων  :  → , υπάρχει ένας μοναδικός συναρτητής  : () → D τέτοιος ώστε ()∘=, δηλαδή το ακόλουθο διάγραμμα αντιμετατίθεται:

300px|class=skin-invert

Ο συναρτητής  είναι αριστερός συζυγής με τον επιλήσμων συναρτητή .free category nLab 

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές









  A handbook for study and research
 Murray Bremner and  Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα