Θεωρία ανώτερων κατηγοριών

Στα μαθηματικά, η θεωρία ανώτερων κατηγοριών είναι το τμήμα της θεωρίας κατηγοριών ανώτερης τάξης, το οποίο σημαίνει ότι ορισμένες ισότητες αντικαθίστανται από ρητά βέλη προκειμένου να είναι δυνατή η ρητή μελέτη της δομής πίσω από αυτές τις ισότητες. Η θεωρία ανώτερων κατηγοριών εφαρμόζεται συχνά στην αλγεβρική τοπολογία (ιδίως στη θεωρία ομοτοπίας), όπου μελετώνται αλγεβρικές αναλλοίωτες των χώρων, όπως το θεμελιώδες ασθενές ∞-ομαδοειδές. 

Στη θεωρία ανώτερων κατηγοριών, η έννοια των ανώτερων κατηγορικών δομών, όπως οι (∞-κατηγορίες), επιτρέπει μια πιο ανθεκτική αντιμετώπιση της θεωρίας ομοτοπίας, επιτρέποντας την αποτύπωση λεπτότερων ομοτοπικών διακρίσεων, όπως η διαφοροποίηση δύο τοπολογικών χώρων που έχουν την ίδια θεμελιώδη ομάδα αλλά διαφέρουν στις ανώτερες ομάδες ομοτοπίας τους. Αυτή η προσέγγιση είναι ιδιαίτερα πολύτιμη όταν πρόκειται για χώρους με περίπλοκα τοπολογικά χαρακτηριστικά, όπως ο χώρος των Άιλενμπεργκ-ΜακΛέιν.

 Αυστηρές ανώτερες κατηγορίες 

Μια συνηθισμένη κατηγορία έχει αντικείμενα και μορφισμούς, οι οποίοι ονομάζονται 1-μορφισμοί στο πλαίσιο της θεωρίας ανώτερων κατηγοριών. Μια  γενικεύει αυτό το γεγονός περιλαμβάνοντας επίσης μορφισμούς μεταξύ των μορφισμών. Η συνέχιση αυτής της διαδικασίας μέχρι n-μορφισμούς μεταξύ  (n − 1)-μορφισμών δίνει μια κατηγορία. 

Ακριβώς όπως η κατηγορία που είναι γνωστή ως Cat, η οποία είναι η κατηγορία των μικρών κατηγοριών και συναρτητών είναι στην πραγματικότητα μια   με φυσικούς μετασχηματισμούς ως , η κατηγορία  των (μικρών) n-κατηγοριών είναι στην πραγματικότητα μια (n + 1)-κατηγορία. 

Μια  ορίζεται με επαγωγή στο n ως εξής:
 Μια   είναι ένα σύνολο,
 Μια (n + 1)-κατηγορία είναι μια κατηγορία εμπλουτισμένη με την κατηγορία .

Έτσι, μια  είναι απλώς μια (τοπικά μικρή) κατηγορία. 

Η μονοειδής δομή του Set (Συνόλου) είναι αυτή που δίνεται από το καρτεσιανό γινόμενο ως τανυστή και ένα μονοσύνολο ως μονάδα. Στην πραγματικότητα, σε κάθε κατηγορία με πεπερασμένα γινόμενα μπορεί να δοθεί μια μονοειδής δομή. Η αναδρομική κατασκευή της   λειτουργεί ικανοποιητικά διότι αν μια κατηγορία  έχει πεπερασμένα γινόμενα, η κατηγορία των -εμπλουτισμένων κατηγοριών έχει επίσης πεπερασμένα γινόμενα.

Ενώ αυτή η έννοια είναι πολύ αυστηρή για ορισμένους σκοπούς, όπως για παράδειγμα στη θεωρία ομοτοπίας, όπου οι "αδύναμες" δομές προκύπτουν με τη μορφή ανώτερων κατηγοριών, έχουν επίσης προκύψει αυστηρά κυβικά ομαδοειδή ανώτερης ομοτοπίας που δίνουν μια νέα βάση για την αλγεβρική τοπολογία στα όρια μεταξύ της ομολογίας και της θεωρίας ομοτοπίας- βλ. το άρθρο Nonabelian algebraic topology, που αναφέρεται στο βιβλίο παρακάτω.

Οιονεί-κατηγορίες

Τα αδύναμα συμπλέγματα Καν, ή οιονεί κατηγορίες, είναι απλοποιημένα σύνολα που ικανοποιούν μια αδύναμη εκδοχή της συνθήκης Καν. Ο Αντρέ Ζογιάλ έδειξε ότι αποτελούν ένα καλό θεμέλιο για τη θεωρία ανώτερων κατηγοριών, κατασκευάζοντας τη δομή μοντέλου Ζογιάλ στην κατηγορία των απλοποιημένων συνόλων, της οποίας τα ινώδη αντικείμενα είναι ακριβώς οιονεί κατηγορίες. Το 2009, η θεωρία συστηματοποιήθηκε περαιτέρω από τον Ιακόμπ Λούρι, ο οποίος τις αποκαλεί απλώς κατηγορίες απείρου, αν και ο τελευταίος όρος είναι επίσης ένας γενικός όρος για όλα τα μοντέλα των (άπειρων, k) κατηγοριών για οποιοδήποτε k.

Απλά εμπλουτισμένη κατηγορία

Οι εμπλουτισμένες απλές κατηγορίες, ή απλές κατηγορίες, είναι εμπλουτισμένες κατηγορίες σε απλά σύνολα. Ωστόσο, όταν τις θεωρούμε ως μοντέλο για τις κατηγορίες (άπειρο, 1), πολλές κατηγορικές έννοιες ( όπως τα όρια) δεν αντιστοιχούν στις αντίστοιχες έννοιες με την έννοια των εμπλουτισμένων κατηγοριών. Το ίδιο ισχύει και για άλλα εμπλουτισμένα μοντέλα, όπως τις τοπολογικά εμπλουτισμένες κατηγορίες.

Κατηγορίες του Σεγκάλ

Πρόκειται για μοντέλα ανώτερων κατηγοριών που εισήγαγαν οι Χίρσοβιτς και Σίμπσον το 1998, εν μέρει εμπνευσμένα από τα αποτελέσματα του Γκράεμ Σεγκάλ το 1974.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία









Παραπομπές

Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556






 star-autonomous category at the nLab

 This article is based in part on PlanetMath's article on examples of initial and terminal objects .


Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.






  A handbook for study and research









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Γενική τοπολογία 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα