Ταξινομητής υποαντικειμένων

Στα μαθηματικά, ειδικά στην θεωρία κατηγοριών, ένας ταξινομητής υποαντικειμένων είναι ένα ειδικό αντικείμενο Ω μιας κατηγορίας, έτσι ώστε, διαισθητικά, τα υποαντικείμενα οποιουδήποτε αντικειμένου X στην κατηγορία να αντιστοιχούν στους μορφισμούς από το X στο Ω.  Σε τυπικά παραδείγματα, αυτός ο μορφισμός αναθέτει την τιμή "αληθές" στα στοιχεία του υποαντικειμένου και την τιμή "ψευδές" στα άλλα στοιχεία του X. Επομένως, ένας ταξινομητής υποαντικειμένων είναι επίσης γνωστός ως "αντικείμενο με τιμή αλήθειας" και η έννοια χρησιμοποιείται ευρέως στην κατηγορηματική περιγραφή της λογικής. Ας σημειωθεί, ωστόσο, ότι οι ταξινομητές υποαντικειμένων είναι συχνά πολύ πιο περίπλοκοι από τις απλές δυαδικές λογικές τιμές αλήθειας {true, false}.

 Εισαγωγικό παράδειγμα 
Ως παράδειγμα, το σύνολο Ω = {0,1} είναι ένας ταξινομητής υποαντικειμένων στην κατηγορία των συνόλων και των συναρτήσεων: σε κάθε υποσύνολο A του S που ορίζεται από τη συνάρτηση εγκλεισμού  j  : A → S μπορούμε να αποδώσουμε τη συνάρτηση χA από το S στο Ω που εκτελεί ακριβώς την απεικόνιση των στοιχείων του A στο 1,  και των στοιχείων εκτός του A στο 0 (με άλλα λόγια, η  χA είναι η χαρακτηριστική συνάρτηση του A). Αντίστροφα, κάθε συνάρτηση από το S στο Ω προκύπτει με αυτόν τον τρόπο από ένα και μόνο υποσύνολο A.

Για να γίνουμε πιο κατανοητοί, ας θεωρήσουμε ένα υποσύνολο A του S (A ⊆ S), όπου S είναι ένα σύνολο. Η έννοια του υποσυνόλου μπορεί να εκφραστεί μαθηματικά χρησιμοποιώντας τη λεγόμενη χαρακτηριστική συνάρτηση  χA : S → {0,1}, η οποία ορίζεται ως εξής:

(Εδώ ερμηνεύουμε το 1 ως αληθές και το 0 ως ψευδές.) Ο ρόλος της χαρακτηριστικής συνάρτησης είναι να καθορίσει ποια στοιχεία ανήκουν στο υποσύνολο A. Στην πραγματικότητα, το χA είναι αληθές ακριβώς στα στοιχεία του A.

Με αυτόν τον τρόπο, η συλλογή όλων των υποσυνόλων του S και η συλλογή όλων των απεικόνισεων από το S στο Ω = {0,1} είναι ισομορφικές.

Για να κατηγοριοποιήσουμε αυτή την έννοια, ας θυμηθούμε ότι, στην θεωρία κατηγοριών, ένα υποαντικείμενο αντιπροσωπεύεται στην πραγματικότητα από ένα ζεύγος που αποτελείται από ένα αντικείμενο  A και ένα μονοικό βέλος A → S (που ερμηνεύεται ως έγκλειση σε ένα άλλο αντικείμενο S). Κατά συνέπεια, το αληθές αναφέρεται στο στοιχείο 1, το οποίο επιλέγεται από το βέλος: αληθές:: {0} → {0, 1} που αποτελεί την απεικόνιση του 0 στο 1.Το υποσύνολο A του S μπορεί τώρα να οριστεί ως ανάκρουση (pullback) του αληθούς κατά μήκος της χαρακτηριστικής συνάρτησης χA, όπως φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα:


Ορισμός
Για τον γενικό ορισμό, ξεκινάμε με μια κατηγορία C που έχει ένα τελικό αντικείμενο, το οποίο συμβολίζουμε με 1. Το αντικείμενο Ω της C είναι ένας ταξινομητής υποαντικειμένων για την C αν υπάρχει ένας μορφισμός

1 → Ω

με την ακόλουθη ιδιότητα:
Για κάθε μονομορφισμό j: U → X υπάρχει ένας μοναδικός μορφισμός χj: X → Ω έτσι ώστε το ακόλουθο αντιμεταθετικό διάγραμμα

είναι ένα νηµατικό γινόμενο (pullback}—δηλαδή, το U είναι το όριο του διαγράμματος:


Ο μορφισμός  χ j ονομάζεται τότε ο ταξινομικός μορφισμός για το υποαντικείμενο που αντιπροσωπεύεται από το j.

 Περισσότερα παραδείγματα 

 Δεμάτια συνόλων 
Η κατηγορία των δεματίων συνόλων σε έναν τοπολογικό χώρο X διαθέτει έναν ταξινομητή υποαντικειμένων που μπορεί να περιγραφεί ως εξής: Για κάθε ανοιχτό σύνολο U του X, το Ω(U) είναι το σύνολο όλων των ανοιχτών υποσυνόλων του U.  Το τελικό αντικείμενο είναι το δεμάτιο 1 που αντιστοιχεί το μονοσύνολο {*} σε κάθε ανοιχτό σύνολο U του X. Ο μορφισμός η:1 → Ω δίνεται από την οικογένεια των απεικόνισεων ηU : 1(U) → Ω(U) που ορίζεται από ηU(*)=U f για κάθε ανοιχτό σύνολο U του X.  Δεδομένου ενός δεματίου F στο X και ενός υποδεματίου (sub-sheaf)  j: G → F, ο ταξινομικός μορφισμός χ j : F → Ω δίνεται από την οικογένεια των απεικόνισεων χ j,U : F(U) → Ω(U), όπου χ j,U(x)  είναι η ένωση όλων των ανοιχτών συνόλων V του U έτσι ώστε ο περιορισμός του x στο V (με την έννοια των δεμάτιων) να περιέχεται στο jV(G(V)).

Σε γενικές γραμμές, μια πρόταση μέσα σε αυτό το τόπο είναι αληθής ή ψευδής, και η αληθινή της αξία από την άποψη ενός ανοιχτού υποσυνόλου U είναι το ανοιχτό υποσύνολο του  U όπου η πρόταση είναι αληθής.

 Presheaves (προδεμάτια) 

Δεδομένης μιας μικρής κατηγορίας  η κατηγορία των προ-δεματίων (presheaves)  (δηλαδή η κατηγορία των συναρτητών που αποτελείται από όλους τους ανταναλλοίωτους συναρτητές από το  στο ) έχει έναν ταξινομητή υποαντικειμένων που δίνεται από τον συναρτητή που στέλνει κάθε  στο σύνολο των κόσκινων στο  . Οι ταξινομικοί μορφισμοί κατασκευάζονται με τρόπο αρκετά παρόμοιο με αυτούς στο παραπάνω παράδειγμα των δεμάτιων συνόλων.

 Στοιχειώδη τοπολογικά θέματα 

Και τα δύο παραπάνω παραδείγματα περιλαμβάνονται στο ακόλουθο γενικό γεγονός: κάθε στοιχειώδης τόπος, ο οποίος ορίζεται ως κατηγορία με πεπερασμένα όρια και αντικείμενα δύναμης, έχει αναγκαστικά έναν ταξινομητή υποαντικειμένων.Pedicchio & Tholen (2004) p.8 Τα δύο παραπάνω παραδείγματα είναι τόποι του Γκρότεντικ, και κάθε τόπος του Γκρότεντικ είναι ένας στοιχειώδης τόπος.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία






 <ref>




Παραπομπές

Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician, Second Edition, 1978, p. 64
Emily Riehl: Category Theory in Context, Aurora Modern Math Originals, 2014, p. 82, p. 139 footnote 8.


 This article is based in part on PlanetMath's article on examples of initial and terminal objects.


Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.






  A handbook for study and research









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα