Υπoπηλίκο

Στα σὠματα (άλγεβρα) της θεωρίας κατηγοριών και της αφηρημένης άλγεβρας, ένα υπoπηλίκο είναι ένα αντικείμενο διαίρεσης ενός υποαντικειμένου. Τα υπoπηλίκα είναι ιδιαίτερα σημαντικά στις αβελιανές κατηγορίες και στη θεωρία ομάδων, όπου είναι επίσης γνωστά ως τμήματα, αν και αυτό έρχεται σε αντίθεση με μια διαφορετική έννοια στη θεωρία κατηγοριών. 

Έτσι, στην αλγεβρική δομή των ομάδων, το   είναι υπoπηλίκο της  αν υπάρχει μια υποομάδα  της   και μια κανονική υποομάδα  της  έτσι ώστε το  να είναι ισομορφικό με το .

Στη βιβλιογραφία σχετικά με τις σποραδικές ομάδες, μπορεί να βρεθούν εκφράσεις όπως " εμπεριέχεται στη  " με την προφανή έννοια ότι " είναι υπoπηλίκο της  ".

Όπως και στο πλαίσιο των υποομάδων, στο πλαίσιο των υπoπηλίκων ο όρος  "τετριμμένα " μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τα δύο υπoπηλίκα  και   που υπάρχουν σε κάθε ομάδα .

Το πηλίκο μιας υποαναπαράστασης μιας αναπαράστασης (π.χ. μιας ομάδας) μπορεί να ονομαστεί υποπηλίκο αναπαράσταση, π.χ. το θεώρημα υποπηλίκων του Χάρις-Χάντρα. p. 310.

Παράδειγμα

Υπάρχουν υπoπηλίκα ομάδων που δεν είναι ούτε υποομάδα ούτε πηλίκο αυτής. Παραδείγματος χάριν, σύμφωνα με το άρθρο "Σποραδική ομάδα" η Fi22 έχει διπλή κάλυψη που είναι υποομάδα της Fi23, οπότε είναι υπoπηλίκο της Fi23 χωρίς να είναι υποομάδα ή πηλίκο της.

 Σχέση διάταξης 

Η σχέση υπoπηλίκο του είναι μια σχέση τάξης, η οποία θα συμβολίζεται με  . Αποδεικνύεται για ομάδες.

Σημειογραφία
'Εστω  μια ομάδα, έστω  μια υποομάδα της , έστω  μια κανονική υποομάδα της , και έστω   η ομάδα πηλίκου .  Τότε λέμε ότι η  είναι υποπηλίκο της .  Με σύμβολα, έστω  και ; τότε .   Θα αποδειχθεί για ομάδες:

 Ανακλαστική σχέση : , δηλαδή κάθε στοιχείο σχετίζεται με τον εαυτό του. Πράγματι, η    είναι ισομορφική με το υπoπηλίκο  of .
 Αντισυμμετρία: αν  και  τότε ; δηλαδή, δεν υπάρχουν δύο διακριτά στοιχεία που να προηγούνται το ένα το άλλο. Πράγματι, μια σύγκριση των τάξεων των ομάδων  και  δίνει από όπου προκύπτει .
 Μεταβατικότητα: αν  και  τότε .

Απόδειξη της μεταβατικότητας για ομάδες

Έστω  ένα υπoπηλίκο του , ας είναι  ένα υπoπηλίκο της , και έστω  ο κανονικός ομομορφισμός. Τότε, στο παρακάτω διάγραμμα, όλες οι κάθετες () απεικονίσεις 

είναι επιρριπτική για τα αντίστοιχα ζεύγη

Οι προ-εικόνες  και  είναι και οι δύο υποομάδες της  που περιέχουν την  και είναι  και  επειδή κάθε έχει μια προ-εικόνα  με  Επιπλέον, η υποομάδα  είναι κανονική στο 

Κατά συνέπεια, το υπoπηλίκο  του   είναι ένα υπoπηλίκο του    της μορφής 

Σχέση με διαταξη πλυθικών

Στην εποικοδομητική θεωρία συνόλων, όπου η αρχή αποκλειόμενου μέσου δεν ισχύει απαραίτητα, μπορεί κανείς να θεωρήσει τη σχέση υπoπηλίκο ως αντικατάσταση της συνήθους σχέσης διάταξης στους πληθικούς. Όταν ισχύει η αρχή αποκλειόμενου μέσου, τότε ένα υπoπηλίκο  του είναι είτε το κενό σύνολο είτε υπάρχει μια επιρριπτική συνάρτηση . Αυτή η σχέση διάταξης συμβολίζεται συνήθως με  Αν επιπλέον ισχύει το αξίωμα της επιλογής, τότε το  έχει μια συνάρτηση ένα προς ένα με   και αυτή η σχέση διάταξης είναι η συνήθης  στους αντίστοιχους πληθικούς.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία










Παραπομπές



Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556






 star-autonomous category at the nLab

 This article is based in part on PlanetMath's article on examples of initial and terminal objects.


Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.






  A handbook for study and research









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Γενική τοπολογία
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα