G-πρότυπο

Στα μαθηματικά, δεδομένης μιας ομάδας G, ένα G-πρότυπο είναι μια αβελιανή ομάδα M στην οποία η G δρα συμβατά με την αβελιανή δομή της ομάδας M. Αυτή η ευρέως εφαρμόσιμη έννοια γενικεύει εκείνη της αναπαράστασης της G. Η ομάδα (συν)ομολογίας παρέχει ένα σημαντικό σύνολο εργαλείων για τη μελέτη γενικών G-προτύπων.

Ο όρος G-πρότυπο χρησιμοποιείται επίσης για την πιο γενική έννοια ενός R-προτύπου στο οποίο το G δρα γραμμικά (δηλ. ως ομάδα αυτομορφισμών R-προτύπων).

Ορισμός και βασικές έννοιες

Έστω  μια ομάδα. Ένα αριστερό -πρότυπο αποτελείται από  μια αβελιανή ομάδα   μαζί με μια αριστερή ομάδα δράσης  έτσι ώστε

για όλα τα  και  στο  και όλα τα   στο , όπου  δηλώνει . Ένα δεξί -πρότυπο ορίζεται με παρόμοιο τρόπο. Δεδομένου ενός αριστερού -προτύπου , μπορεί να μετατραπεί σε δεξί -πρότυπο ορίζοντας .

Η συνάρτηση  ονομάζεται μορφισμός των -προτύπων (ή -γραμμική απεικόνιση, η -ομομορφισμός) αν   είναι ταυτόχρονα ομομορφισμός ομάδας και -ισαλλοίωτη. 

Η συλλογή των αριστερών (αντίστοιχα δεξιών) -προτύπων και των μορφισμών τους σχηματίζουν μια αβελιανή κατηγορία  (αντίστοιχα. ). Η κατηγορία  (αντίστοιχα. ) μπορεί να ταυτιστεί με την κατηγορία των αριστερών (αντίστοιχα δεξιών) -προτύπων, δηλαδή με τα πρότυπα πάνω στον δακτύλιο της ομάδας .

Ένα υποπρότυπο ενός -module  είναι μια υποομάδα  που είναι σταθερή υπό τη δράση του , δηλαδή.  για όλα τα  και. Δεδομένου ενός υποπροτύπου του , το πρότυπο πηλίκου  είναι η ομάδα πηλίκου με δράση .

Παραδείγμα

Δεδομένης μιας ομάδας , η αβελιανή ομάδα  είναι ένα -πρότυπο με την ασήμαντη δράση .
Έστω  το σύνολο των δυαδικών τετραγωνικών μορφών  με   ακέραιους αριθμούς, και έστω  (η ειδική γραμμική ομάδα  2×2 πάνω στο ).  Ορίζει

όπου

και   είναι πολλαπλασιασμός πινάκων. Τότε  είναι ένα -πρότυπο που μελετήθηκε από τον Γκάους.  Πράγματι, έχουμε



Εάν είναι μια αναπαράσταση του  πάνω σε ένα σώμα , τότε  είναι ένα -πρότυπο (είναι μια αβελιανή ομάδα υπό πρόσθεση).

Τοπολογικές ομάδες

Εάν   είναι μια τοπολογική ομάδα και   είναι μια αβελιανή τοπολογική ομάδα, τότε ένα τοπολογικό G-πρότυπο είναι ένα G-πρότυπο όπου η δράση απεικόνιση   είναι συνεχής (όπου η τοπολογία του γινομένου λαμβάνεται στο ).

Με άλλα λόγια, ένα τοπολογικό G-πρότυπο είναι μια αβελιανή τοπολογική ομάδα  μαζί με μια συνεχή απεικόνιση  που ικανοποιεί τις συνήθεις σχέσεις , , και .

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές






Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556



 Categorical programming with inductive and coinductive types () by Varmo Vene
 Philip Wadler: Recursive types for free! () University of Glasgow, June 1990. Draft.
 Algebra and coalgebra () from CLiki
 B. Jacobs, J. Rutten: A Tutorial on (Co) Algebras and (Co) Induction. Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science, vol. 62, 1997, 
 Understanding F-Algebras () by Bartosz Milewski
 star-autonomous category at the nLab

 This article is based in part on PlanetMath's article on examples of initial and terminal objects.






  A handbook for study and research





 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Γενική τοπολογία 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα