Λήμμα ζιγκ-ζαγκ

Στα μαθηματικά, ιδιαίτερα στην ομολογική άλγεβρα, το λήμμα ζιγκ-ζαγκ υποστηρίζει την ύπαρξη μιας συγκεκριμένης μακράς ακριβούς ακολουθίας στις ομάδες ομολογίας ορισμένων μιγαδικών αλυσίδων. Το αποτέλεσμα ισχύει σε κάθε αβελιανή κατηγορία.

 Δήλωση 

Σε μια αβελιανή κατηγορία (όπως η κατηγορία των αβελιανών ομάδων ή η κατηγορία των διανυσματικών χώρων πάνω από ένα δεδομένο σώμα), έστω  και  είναι μιγαδικές αλυσίδες που ταιριάζουν στην παρακάτω σύντομη ακριβή ακολουθία: 



Μια τέτοια ακολουθία είναι η συντομογραφία του ακόλουθου αντιμεταθετικού διαγράμματος:

commutative diagram representation of a short exact sequence of chain complexes

όπου οι γραμμές είναι ακριβείς ακολουθίες και κάθε στήλη είναι μια μιγαδική αλυσίδα. 

Το λήμμα ζιγκ-ζαγκ ισχυρίζεται ότι υπάρχει μια συλλογή από οριακές απεικονίσεις 



που καθιστά την ακόλουθη ακολουθία ακριβή:

long exact sequence in homology, given by the Zig-Zag Lemma

Οι απεικονίσεις  και  είναι οι συνηθισμένες απεικονίσεις που επάγονται από την ομολογία. Οι συνοριακές απεικονίσεις  περιγράφονται παρακάτω. Το όνομα του λήμματος προκύπτει από την "ζιγκ-ζαγκ" συμπεριφορά των απεικονίσεων στην ακολουθία. Μια παραλλαγμένη εκδοχή του λήμματος ζιγκ-ζαγκ είναι ευρέως γνωστή ως το "λήμμα του φιδιού" (εξάγει την ουσία της απόδειξης του λήμματος ζιγκ-ζαγκ που δίνεται παρακάτω). .

Κατασκευή των συνοριακών απεικονίσεων

Οι απεικονίσεις  ορίζονται με τη χρήση ενός τυπικού διαγράμματος που επιδιώκει το επιχείρημα. Έστω ότι  αντιπροσωπεύει μια κλάση στο , οπότε .  Η ακρίβεια της γραμμής συνεπάγεται ότι το  είναι επιρριπτικό, οπότε πρέπει να υπάρχει κάποιο  με .  Από την αντιμεταθετικότητα του διαγράμματος, 

Για την ακρίβεια, 

Έτσι, αφού το   είναι ερριπτικό, υπάρχει ένα μοναδικό στοιχείο  τέτοιο ώστε .  Αυτό είναι ένας κύκλος, αφού το   είναι ερριπτικό και

αφού  .  Δηλαδή, .  Αυτό σημαίνει ότι το  είναι κύκλος, οπότε αντιπροσωπεύει μια κλάση στο .   Μπορούμε τώρα να ορίσουμε

Με τις οριακές απεικονίσεις καθορισμένες, μπορεί κανείς να δείξει ότι είναι καλά καθορισμένες (δηλαδή, ανεξάρτητες από τις επιλογές των c και b).  Η απόδειξη χρησιμοποιεί επιχειρήματα για την αναζήτηση διαγραμμάτων παρόμοια με τα παραπάνω. Τέτοια επιχειρήματα χρησιμοποιούνται επίσης για να δείξουμε ότι η ακολουθία στην ομολογία είναι ακριβής σε κάθε ομάδα.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία









Παραπομπές

Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556






 star-autonomous category at the nLab

 This article is based in part on PlanetMath's article on examples of initial and terminal objects.


Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.






  A handbook for study and research









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα