Ελεύθερη άλγεβρα

Στα μαθηματικά, ειδικά στον τομέα της αφηρημένης άλγεβρας, που είναι γνωστός ως θεωρία δακτυλίων, μια ελεύθερη άλγεβρα είναι το μη αντιμεταθετικό ανάλογο ενός πολυωνυμικού δακτυλίου, καθώς τα στοιχεία της μπορούν να περιγραφούν ως "πολυώνυμα" με μη αντιμεταθετικές μεταβλητές. Ομοίως, ο πολυωνυμικός δακτύλιος μπορεί να θεωρηθεί ως μια ελεύθερη αντιμεταθετική άλγεβρα.

Ορισμός

Για  R έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο, η ελεύθερη (προσεταιριστική, μοναδιαία) άλγεβρα σε n απροσδιόριστα {X1,...,Xn} είναι το ελεύθερο R-πρότυπο με βάση που αποτελείται από όλες τις λέξεις του αλφαβήτου {X1,...,Xn} (συμπεριλαμβανομένης της κενής λέξης, που είναι η μονάδα της ελεύθερης άλγεβρας). Αυτό το R-πρότυπο γίνεται R-άλγεβρα ορίζοντας τον πολλαπλασιασμό ως εξής: το γινόμενο δύο στοιχείων της βάσης είναι η συνένωση των αντίστοιχων λέξεων:

και το γινόμενο δυο αυθαίρετων στοιχείων του R-πρότυπο καθορίζεται έτσι με μοναδικό τρόπο (επειδή ο πολλαπλασιασμός σε μια R-άλγεβρα πρέπει να είναι R-διγραμμικός). Αυτή η R-άλγεβρα συμβολίζεται με  R⟨X1,...,Xn⟩. Αυτή η κατασκευή μπορεί εύκολα να γενικευτεί σε ένα αυθαίρετο σύνολο X ακαθόριστων.

Εν ολίγοις, για ένα αυθαίρετο σύνολο , η ελεύθερη (προσεταιριστική, μοναδιαία) R-άλγεβρα στο X είναι 

με τον R-διγραμμικό πολλαπλασιασμό που είναι παράθεση λέξεων, όπου X* δηλώνει το ελεύθερο μονοειδές στο X (δηλ. λέξεις με τα γράμματα Xi),  δηλώνει το εξωτερικό άμεσο άθροισμα και Rw δηλώνει το ελεύθερο  R-πρότυπο στο 1 στοιχείο, τη λέξη w.

Παραδείγματος χάριν, στο R⟨X1,X2,X3,X4⟩, για τα βαθμωτά α, β, γ, δ ∈ R, ένα συγκεκριμένο παράδειγμα γινομένου δύο στοιχείων είναι

.

Ο μη- αντιμεταθετικός πολυωνυμικός δακτύλιος μπορεί να ταυτιστεί με τον μονοειδή δακτύλιο πάνω στο R του ελεύθερου μονοειδούς όλων των πεπερασμένων λέξεων στο Xi.

Αντίθεση με πολυώνυμα

Δεδομένου ότι οι λέξεις του αλφαβήτου  {X1, ...,Xn} αποτελούν βάση του R⟨X1,...,Xn⟩, είναι σαφές ότι κάθε στοιχείο του R⟨X1, ...,Xn⟩ μπορεί να γραφτεί με μοναδικό τρόπο με τη μορφή: 

όπου είναι στοιχεία του R και όλα εκτός από έναν πεπερασμένο αριθμό αυτών των στοιχείων είναι μηδέν. Αυτό εξηγεί γιατί τα στοιχεία του R⟨X1,...,Xn⟩ συχνά αναφέρονται ως "μη αντιμεταθετικά πολυώνυμα" στις "μεταβλητές" (ή "απροσδιόριστα") X1,...,Xn; Τα στοιχεία  λέγονται "συντελεστές" αυτών των πολυωνύμων, και η R-άλγεβρα R⟨X1,...,Xn⟩ ονομάζεται "μη- αντιμεταθετική πολυωνυμική άλγεβρα πάνω στο R σε n ακαθόριστα". Ας σημειώσουμε ότι, σε αντίθεση με έναν πραγματικό πολυωνυμικό δακτύλιο, οι μεταβλητές δεν είναι αντιμεταθετικές. Παραδείγματος χάριν, το, X1X2 δεν ισούται με το X2X1.

Γενικότερα, μπορεί κανείς να κατασκευάσει την ελεύθερη άλγεβρα R⟨E⟩ σε οποιοδήποτε σύνολο E γεννητόρων. Δεδομένου ότι οι δακτύλιοι μπορούν να θεωρηθούν ως Z-άλγεβρες, ένας ελεύθερος δακτύλιος στο E μπορεί να οριστεί ως η ελεύθερη άλγεβρα  Z⟨E⟩.

Σε ένα σώμα, η ελεύθερη άλγεβρα σε n αόριστες μεταβλητές μπορεί να κατασκευαστεί ως η τανυστική άλγεβρα σε έναν n-διάστατο διανυσματικό χώρο. Για έναν πιο γενικό δακτύλιο συντελεστών, η ίδια κατασκευή λειτουργεί αν πάρουμε το ελεύθερο πρότυπο σε n γεννήτορες. 

Η κατασκευή της ελεύθερης άλγεβρας στο E  είναι συναρματική στη φύση της και ικανοποιεί μια κατάλληλη καθολική ιδιότητα. O συναρτητής της ελεύθερης άλγεβρας είναι αριστερός συζυγής των επιλήσμων συναρτητών από την κατηγορία των R-άλγεβρων στην κατηγορία των συνόλων.

Οι ελεύθερες άλγεβρες πάνω σε δακτυλίους διαιρέσεως είναι ελεύθεροι ιδεώδεις δακτύλιοι.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία










Παραπομπές



Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556






 star-autonomous category at the nLab

 This article is based in part on PlanetMath's article on examples of initial and terminal objects .


Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.






  A handbook for study and research









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Γενική τοπολογία
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα