Πλήρης και πιστός συναρτητής

Στην θεωρία κατηγοριών, ένας πιστός συναρτητής είναι ένας συναρτητής που είναι ερριπτικός σε σύνολα hom (hom-sets), και ένας πλήρης συναρτητής είναι επιρριπτικός σε σύνολα hom (hom-sets). Ένας συναρτητής που διαθέτει και τις δύο ιδιότητες ονομάζεται πλήρης και πιστός συναρτητής.

Τυπικοί ορισμοί
μικρογραφία|Απεικόνιση του ορισμού ενός πιστού συναρτητή
Συγκεκριμένα, ας υποθέσουμε ότι C και D είναι (τοπικά μικρές) κατηγορίες και ότι F : C → D είναι ένας συναρτητής από το C στο D. Ο συναρτητής F επάγει έναν συναρτητή

για κάθε ζεύγος αντικειμένων X και Y στο C. Ο συναρτητής F  λέγεται ότι είναι
πιστός αν FX,Y είναι ερριπτικός Mac Lane (1971), p. 15Jacobson (2009), p. 22
πλήρης αν FX,Y είναι επιρριπτικός Mac Lane (1971), p. 14
πλήρως πιστός (= πλήρως και πιστός) αν FX,Y είναι αμφιρριπτικός
για κάθε X και Y στο C.

Ιδιότητες
Ένας πιστός συναρτητής δεν χρειάζεται να είναι ερριπτικός σε αντικείμενα ή μορφισμούς. Δηλαδή, δύο αντικείμενα X και X′ μπορεί να αντιστοιχούν στο ίδιο αντικείμενο στο D (γι' αυτό το εύρος ενός πλήρους και πιστού συναρτητή δεν είναι απαραίτητα ισομορφικό με το C), και δύο μορφισμοί  f : X → Y και f′ : X′ → Y′ (με διαφορετικές περιοχές/συν-περιοχές) μπορεί να αντιστοιχούν στον ίδιο μορφισμό στο D. Ομοίως, ένας πλήρης συναρτητής δεν χρειάζεται να είναι επιρριπτικός σε αντικείμενα ή μορφισμούς. Μπορεί να υπάρχουν αντικείμενα στο D που δεν έχουν τη μορφή FX για κάποιο X στο C. Οι μορφισμοί μεταξύ τέτοιων αντικειμένων σαφώς δεν μπορούν να προέρχονται από μορφισμούς στο C.

Ένας πλήρης και πιστός συναρτητής είναι αναγκαστικά ενιαίος σε αντικείμενα μέχρι ισομορφισμού. Δηλαδή, αν F : C → D είναι ένας πλήρης και πιστός συναρτητής και  τότε .

Παραδείγματα 
 Ο επιλήσμων συναρτητής U : Grp → Set αντιστοιχεί ομάδες στο υποκείμενο σύνολο τους, "λησμονώντας" την πράξη της ομάδας. Το U είναι πιστός επειδή δύο ομομορφισμοί ομάδων με τους ίδιους τομείς και τομείς τιμών είναι ίσοι αν δίνονται από τις ίδιες συναρτήσεις στα υποκείμενα σύνολα. Αυτός ο συναρτητής δεν είναι πλήρης, καθώς υπάρχουν συναρτήσεις μεταξύ των υποκείμενων συνόλων ομάδων που δεν είναι ομομορφισμοί ομάδων. Μια κατηγορία με έναν πιστό συναρτητή προς το Set είναι (εξ ορισμού) μια συγκεκριμένη κατηγορία. Γενικά, αυτός ο συναρτητής που λησμονεί δεν είναι πλήρης.
 Ο συναρτητής εγκλίσεως Ab → Grp είναι πλήρης πιστός, δεδομένου ότι το Ab (η κατηγορία των αβελιανών ομάδων) είναι εξ ορισμού η πλήρης υποκατηγορία του Grp που προκαλείται από τις αβελιανές ομάδες.

Γενίκευση σε (∞, 1)-κατηγορίες

Η έννοια ενός συναρτητή που είναι "πλήρης" ή "πιστός" δεν μεταφράζεται στην έννοια μιας (∞, 1)-κατηγορίας.  Σε μια (∞, 1)-κατηγορία, οι απεικονίσεις μεταξύ δύο οποιωνδήποτε αντικειμένων δίνονται από ένα χώρο μόνο μέχρι ομοτοπία. Δεδομένου ότι οι έννοιες της  έρριψης και της επικάλυψης δεν είναι έννοιες αμετάβλητες ως προς την ομοτοπία ( ας σκεφτούμε μια εμβύθιση διαστήματος στους πραγματικούς αριθμούς έναντι μιας απεικόνισης διαστήματος σε ένα σημείο), δεν έχουμε την έννοια ενός συναρτητή που είναι "πλήρης" ή "πιστός". Ωστόσο, μπορούμε να ορίσουμε έναν συναρτητή των οιονεί κατηγοριών ως  "πλήρης πιστός " αν για κάθε X και Y στο C, η απεικόνιση  είναι ασθενής ισοδυναμία.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές









  A handbook for study and research
 Murray Bremner and  Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα