Συνγινόμενο

Στην θεωρία κατηγοριών, το συνγινόμενο, ή κατηγορικό άθροισμα, είναι μια κατασκευή που περιλαμβάνει ως παραδείγματα την ασύνδετη ή ξένη ένωση συνόλων και τοπολογικών χώρων, το ελεύθερο γινόμενο ομάδων και το άμεσο άθροισμα δομοστοιχείων και διανυσματικών χώρων. Το συνγινόμενο, μιας οικογένειας αντικειμένων είναι ουσιαστικά το "λιγότερο συγκεκριμένο»" αντικείμενο στο οποίο κάθε αντικείμενο της οικογένειας δέχεται ένα μορφισμό. Είναι η κατηγοριοθεωρητική δυϊκή έννοια του κατηγορικού γινομένου, που σημαίνει ότι ο ορισμός είναι ο ίδιος με τον ορισμό του γινομένου, αλλά με όλα τα βέλη να έχουν αντιστραφεί. Παρά την φαινομενικά αβλαβή αλλαγή στο όνομα και στη σημειογραφία, τα συνγινόμενά μπορούν να είναι και συνήθως είναι εντελώς διαφορετικά από τα γινόμενα μέσα σε μια δεδομένη κατηγορία.

 Ορισμός

Ας υποθέσουμε ότι  είναι μια κατηγορία και ότι  και  είναι αντικείμενα της  Ένα αντικείμενο ονομάζεται συνγινόμενο των  και  και γράφεται  ή  ή μερικές φορές απλά  αν υπάρχουν μορφισμοί  και  που ικανοποιούν την ακόλουθη καθολική ιδιότητα: για κάθε αντικείμενο  και κάθε μορφισμό  και  υπάρχει ένας μοναδικός μορφισμός  έτσι ώστε  και  Δηλαδή, το ακόλουθο διάγραμμα είναι αντιμεταθετικό:

280px|center

Το μοναδικό βέλος  που κάνει αυτό το διάγραμμα να είναι αντιμεταθετικό μπορεί να συμβολίζεται ως    ή  Οι μορφισμοί  και  ονομάζονται , αν και δεν χρειάζεται να είναι έρριψεις ή ακόμη και μονικές.

Ο ορισμός του συνγινόμενου  μπορεί να επεκταθεί σε μια αυθαίρετη οικογένεια αντικειμένων που ευρετηριάζονται από ένα σύνολο  Το συνγινόμενο της οικογένειας  είναι ένα αντικείμενο  μαζί με μια συλλογή μορφισμών  έτσι ώστε, για κάθε αντικείμενο  και κάθε συλλογή μορφισμών  να υπάρχει ένας μοναδικός μορφισμός  έτσι ώστε  Δηλαδή, το ακόλουθο διάγραμμα είναι αντιμεταθετικό για κάθε :

160px|center

Το συνγινόμενο  της οικογένειας  συχνά συμβολίζεται με  ή 

Μερικές φορές ο μορφισμός  μπορεί να συμβολίζεται ως  για να υποδηλώσει την εξάρτησή του από τα μεμονωμένα .

 Παραδείγματα 

Το συνγινόμενο στην κατηγορία των συνόλων είναι απλά η ασύνδετη ένωση με τις απεικονίσεις  ij να είναι οι απεικονίσεις εγκλεισμού. Σε αντίθεση με τα άμεσα γινόμενα, τα συνγινόμενα σε άλλες κατηγορίες δεν βασίζονται όλα προφανώς στην έννοια των συνόλων, επειδή οι ενώσεις δεν συμπεριφέρονται καλά όσον αφορά τη διατήρηση των πράξεων (π.χ. η ένωση δύο ομάδων δεν χρειάζεται να είναι ομάδα) και έτσι τα συνγινόμενα σε διαφορετικές κατηγορίες μπορεί να διαφέρουν εντελώς μεταξύ τους. Παραδείγματος χάριν, το συνγινόμενο στην κατηγορία των ομάδων, που ονομάζεται «ελεύθερο γινόμενο», είναι αρκετά περίπλοκο. Από την άλλη πλευρά, στην κατηγορία των αβελιανών ομάδων (και ομοίως για τους διανυσματικούς χώρους), το συνγινόμενο, που ονομάζεται άμεση άθροιση, αποτελείται από τα στοιχεία του άμεσου γινομένου που έχουν μόνο πεπερασμένο αριθμό μη μηδενικών όρων. (Συνεπώς, συμπίπτει ακριβώς με το άμεσο γινόμενο στην περίπτωση πεπερασμένου αριθμού παραγόντων.)

Δεδομένου ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου R, το συνγινόμενο στην κατηγορία των αντιμεταθετικών R-άλγεβρων είναι το τανυστικό γινόμενο. Στην κατηγορία των (μη αντιμεταθετικών) R-άλγεβρων, το συνγινόμενο είναι ένα πηλίκο της τανυστικής άλγεβρας (βλ. Ελεύθερο γινόμενο προσεταιριστικών άλγεβρων).

Στην περίπτωση των τοπολογικών χώρων, τα συνγινόμενα είναι ασύνδετες ενώσεις με τις τοπολογίες ασύνδετης ένωσης τους.  Δηλαδή, είναι μια ασύνδετη ένωση των υποκείμενων συνόλων, και τα ανοιχτά σύνολα είναι σύνολα ανοιχτά σε κάθε ένα από τα χώρους», με μια μάλλον προφανή έννοια.  Στην κατηγορία των σημειακών χώρων, θεμελιώδης στην ομοτοπική θεωρία, το συνγινόμενο είναι το σφηνοειδές άθροισμα (το οποίο ισοδυναμεί με την ένωση μιας συλλογής χώρων με βασικά σημεία σε ένα κοινό βασικό σημείο).

Η έννοια της ασύνδετης ένωσης υποκρύπτεται στα παραπάνω παραδείγματα: το άμεσο άθροισμα των αβελιανών ομάδων είναι η ομάδα που δημιουργείται από την "οιονεί" ασύνδετη ένωση (ασύνδετη ένωση όλων των μη μηδενικών στοιχείων, μαζί με ένα κοινό μηδέν), ομοίως για τους διανυσματικούς χώρους: ο χώρος που εκτείνεται από την "οιονεί" ασύνδετη ένωση.  το ελεύθερο γινόμενο για ομάδες δημιουργείται από το σύνολο όλων των γραμμάτων από μια παρόμοια "οιονεί ασύνδετη"  ένωση όπου δεν επιτρέπεται να είναι αντιμεταθετικά δύο στοιχεία από διαφορετικά σύνολα.  Αυτό το μοτίβο ισχύει για οποιαδήποτε ποικιλία με την έννοια της καθολικής άλγεβρας.

Το συνγινόμενο στην κατηγορία των χώρων Μπάναχ με σύντομες απεικονίσεις είναι το άθροισμα   το οποίο δεν μπορεί να αντιληφθεί κανείς τόσο εύκολα ως ένα  "οιονεί ασύνδετο" άθροισμα, αλλά έχει μια μοναδιαία σφαίρα που δημιουργείται σχεδόν ασύνδετα από τη μοναδιαία σφαίρα που είναι οι συντελεστές.

Το συνγινόμενο μιας κατηγορίας poset (Μερικώς διατεταγμένο σύνολο) είναι η πράξη σύνδεσης.

 Συζήτηση 

Η κατασκευή του συνγινόμενου  που δόθηκε παραπάνω είναι στην πραγματικότητα μια ειδική περίπτωση ενός ορίου στην θεωρία κατηγοριών. Το συνγινόμενο σε μια κατηγορία  μπορεί να οριστεί ως το όριο οποιουδήποτε συναρτητή από μια διακριτή κατηγορία  στην . Δεν έχει κάθε οικογένεια  ένα συνγινόμενο γενικά, αλλά αν έχει, τότε το συνγινόμενο είναι μοναδικό με την έννοια ότι αν  και  είναι δύο συνγινόμενα της οικογένειας , τότε (σύμφωνα με τον ορισμό των συνγινόμενων) υπάρχει ένας μοναδικός ισομορφισμός  έτσι ώστε  για κάθε .

Όπως και με κάθε καθολική ιδιότητα, το συνγινόμενο μπορεί να γίνει κατανοητό ως καθολικός μορφισμός. Ας υποθέσουμε ότι  είναι ο διαγώνιος συναρτητής που αντιστοιχεί σε κάθε αντικείμενο  το ταξινομημένο ζεύγος  και σε κάθε μορφισμό  το ζεύγος . Τότε το συνγινόμενο  στο  δίνεται από έναν καθολικό μορφισμό στον συναρτητή  από το αντικείμενο  στο .

Το συνγινόμενο που ευρετηριάζεται από το κενό σύνολο (δηλαδή, ένα κενό συνγινόμενο) είναι το ίδιο με ένα αρχικό αντικείμενο στο .

Εάν  είναι ένα σύνολο τέτοιο ώστε να υπάρχουν όλα τα συνγινόμενα για οικογένειες που ευρετηριάζονται με , τότε είναι δυνατό να επιλέξουμε τα γινόμενα με συμβατό τρόπο, έτσι ώστε το συνγινόμενο να μετατραπεί σε έναν συναρτητή . Το συνγινόμενο της οικογένειας  τότε συχνά συμβολίζεται με

και οι απεικονίσεις  είναι γνωστές ως φυσικές  έρριψεις.

Υποθέτοντας ότι  δηλώνει το σύνολο όλων των μορφισμών από  σε  στο  (δηλαδή, ένα σύνολο hom-set στο ),  έχουμε έναν φυσικό ισομορφισμό 

που δίνεται από την έρριψη που απεικονίζει κάθε πλειάδα μορφισμών

(ένα γινόμενο στο Σύνολο, η κατηγορία των συνόλων, που είναι το καρτεσιανό γινόμενο, οπότε είναι μια πλειάδα μορφισμών) στον μορφισμό

Το ότι αυτή η απεικόνιση είναι επίρριψη προκύπτει από την αντιμεταθετικότητα του διαγράμματος: κάθε μορφισμός   είναι το συνγινόμενο της πλειάδας 

Το ότι πρόκειται για  έρριψη  προκύπτει από την καθολική κατασκευή που ορίζει τη μοναδικότητα αυτών των απεικονίσεων.  Η φυσικότητα του ισομορφισμού είναι επίσης συνέπεια του διαγράμματος.  Έτσι, ο αντίστροφος συναρτητής hom μετατρέπει τα συνγινόμενα σε γινόμενα.  Με άλλα λόγια, ο συναρτητής hom, θεωρούμενος ως συναρτητής από την αντίθετη κατηγορία  προς το Set είναι συνεχής· διατηρεί τα όρια (ένα συνγινόμενο στο  είναι ένα γινόμενο στο ).

Εάν  είναι ένα πεπερασμένο σύνολο, ας πούμε , τότε το συνγινόμενο των αντικειμένων  συχνά συμβολίζεται με. Ας υποθέσουμε ότι όλα τα πεπερασμένα συνγινόμενα υπάρχουν στο C,  οι συναρτητές συνγινόμενων έχουν επιλεγεί όπως παραπάνω και το 0 συμβολίζει το αρχικό αντικείμενο του C που αντιστοιχεί στο κενό συνγινόμενο. Τότε έχουμε φυσικούς ισομορφισμούς




Αυτές οι ιδιότητες είναι τυπικά παρόμοιες με αυτές ενός αντιμεταθετικού μονοειδούς. Μια κατηγορία με πεπερασμένα συμπαγή γινόμενα είναι ένα παράδειγμα συμμετρικής μονοειδούς κατηγορίας.

Εάν η κατηγορία έχει ένα μηδενικό αντικείμενο , τότε έχουμε ένα μοναδικό μορφισμό  (δεδομένου ότι το  είναι τερματικό) και επομένως ένα μορφισμό .  Δεδομένου ότι το  είναι επίσης αρχικό, έχουμε έναν κανονικό ισομορφισμό  όπως στην προηγούμενη παράγραφο.  Έχουμε λοιπόν μορφισμούς  και , από τους οποίους συνάγουμε έναν κανονικό μορφισμό .  Αυτό μπορεί να επεκταθεί με επαγωγή σε έναν κανονικό μορφισμό από οποιοδήποτε πεπερασμένο συνγινόμενο στο αντίστοιχο γινόμενο.  Αυτός ο μορφισμός δεν χρειάζεται γενικά να είναι ισομορφισμός. Στο Grp  είναι ένας κατάλληλος επιμορφισμός, ενώ στο Set* (η κατηγορία των σημειακών συνόλων) είναι ένας κατάλληλος μονομορφισμός.  Σε οποιαδήποτε προαθροιστική κατηγορία, αυτός ο μορφισμός είναι ισομορφισμός και το αντίστοιχο αντικείμενο είναι γνωστό ως διγινόμενο.  Μια κατηγορία με όλα τα πεπερασμένα διγινόμενα είναι γνωστή ως ημι-προσθετική κατηγορία.

Εάν όλες οι οικογένειες αντικειμένων που ευρετηριάζονται από  έχουν συνγινόμενα στο , τότε το συνγινόμενο περιλαμβάνει έναν συναρτητή . Ας σημειωθεί ότι, όπως και το γινόμενο, αυτός ο συναρτητής είναι συναλλοίωτος.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές









  A handbook for study and research
 Murray Bremner and  Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα