Πυρήνας (θεωρία κατηγοριών)

Στη θεωρία κατηγοριών και στις εφαρμογές της σε άλλους κλάδους των μαθηματικών, οι πυρήνες είναι μια γενίκευση των πυρήνων των ομομορφισμών ομάδων, των πυρήνων των ομομορφισμών των  modules και ορισμένων άλλων πυρήνων που προέρχονται από την άλγεβρα. Διαισθητικά, ο πυρήνας του μορφισμού f : X → Y είναι ο πιο γενικός μορφισμός  k : K → X που δίνει μηδέν όταν συντίθεται με τον (ακολουθούμενο από τον) f.

Ας σημειωθεί ότι τα ζεύγη πυρήνων και οι διαφορικοί πυρήνες (επίσης γνωστοί ως δυαδικοί εξισωτές) μερικές φορές φέρουν το όνομα "πυρήνας"- Αν και συνδέονται μεταξύ τους, δεν είναι απολύτως ταυτόσημα και δεν εξετάζονται σε αυτό το άρθρο.

Ορισμός

Έστω C μια κατηγορία.
Για να οριστεί ένας πυρήνας με την γενική έννοια της θεωρίας κατηγοριών, η C πρέπει να έχει μηδενικούς μορφισμούς.
Σε αυτή την περίπτωση, αν f : X → Y είναι ένας αυθαίρετος μορφισμός στο C, τότε ένας πυρήνας του f  είναι ένας εξισωτής του f και του μηδενικού μορφισμού από το X στο Y.
Με σύμβολα:
ker(f) = eq(f, 0XY)

Ακριβέστερα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί η ακόλουθη καθολική ιδιότητα. Ο πυρήνας του f είναι ένα αντικείμενο K μαζί με ένα μορφισμό k : K → X έτσι ώστε:
 f∘k είναι ο μηδενικός μορφισμός από το K στο Y;

100px|class=skin-invert

 Δεδομένου οποιουδήποτε μορφισμού  k′ : K′ → X έτσι ώστε  f ∘k′ iνα είναι ο μηδενικός μορφισμός, υπάρχει ένας μοναδικός μορφισμός u : K′ → K έτσι ώστε k∘u = k′.

200px|class=skin-invert

Όπως για κάθε καθολική ιδιότητα, υπάρχει ένας μοναδικός ισομορφισμός μεταξύ δύο πυρήνων του ίδιου μορφισμού, και ο μορφισμός k είναι πάντα μονομορφισμός (με την κατηγορηματική έννοια). Ως εκ τούτου, είναι συνηθισμένο να μιλάμε για τον «πυρήνα» ενός μορφισμού. Σε συγκεκριμένες κατηγορίες, μπορεί κανείς να πάρει ένα υποσύνολο του X  για το K οπότε ο μορφισμός k είναι η απεικόνιση εγκλεισμού. Αυτό επιτρέπει να μιλάμε για το K ως πυρήνα, αφού το k καθορίζεται πεπλεγμένα  από το K. Υπάρχουν μη συγκεκριμένες κατηγορίες, όπου μπορεί κανείς να ορίσει με παρόμοιο τρόπο έναν «φυσικό» πυρήνα, έτσι ώστε το k να ορίζει πεπλεγμένα το k .

Δεν χρειάζεται κάθε μορφισμός να έχει πυρήνα, αλλά αν έχει, τότε όλοι οι πυρήνες του είναι ισομορφικοί με την ισχυρή έννοια: αν k : K → X και ℓ : L → X είναι πυρήνες του f : X → Y, τότε υπάρχει ένας μοναδικός ισομορφισμός φ : K → L έτσι ώστε ℓ∘φ = k.

Παραδείγματα  

Οι πυρήνες είναι γνωστοί σε πολλές κατηγορίες της αφηρημένης άλγεβρας, όπως η κατηγορία των ομάδων ή η κατηγορία των (αριστερών) δομών πάνω σε ένα σταθερό δακτύλιο (συμπεριλαμβανομένων των διανυσματικών χώρων πάνω σε ένα σταθερό σώμα). Για να γίνουμε πιο σαφείς, αν  f : X → Y είναι ένας ομομορφισμός σε μία από αυτές τις κατηγορίες και K είναι ο πυρήνας του με την συνήθη αλγεβρική έννοια, τότε Kείναι ένα υποαντικείμενο του X και ο ομομορφισμός συμπερίληψης από το K στο X είναι ένας πυρήνας με την κατηγορηματική έννοια.

Αξίζει να σημειωθεί ότι στην κατηγορία των μονοειδών, οι πυρήνες της θεωρίας κατηγοριών υπάρχουν όπως και για τις ομάδες, αλλά αυτοί οι πυρήνες δεν περιέχουν επαρκείς πληροφορίες για αλγεβρικούς σκοπούς.  Επομένως, η έννοια του πυρήνα που μελετάται στη θεωρία των μονοειδών είναι ελαφρώς διαφορετική (βλ. #Σχέση με τους αλγεβρικούς πυρήνες παρακάτω).

Στην κατηγορία των μοναδιαίων δακτυλίων, δεν υπάρχουν πυρήνες με την έννοια της θεωρίας κατηγοριών. Πράγματι, αυτή η κατηγορία δεν έχει καν μηδενικούς μορφισμούς.  Ωστόσο, υπάρχει ακόμα μια έννοια πυρήνα που μελετάται στη θεωρία δακτυλίων και που αντιστοιχεί στους πυρήνες στην κατηγορία των μη μοναδιαίων δακτυλίων.

Στην κατηγορία των σημειακών τοπολογικών χώρων, αν  f : X → Y είναι μια συνεχής σημειακή απεικόνιση, τότε η προ-εικόνα του διακριτού σημείου, K, είναι ένας υποχώρος του X.  Η απεικόνιση εγκλεισμού του K στο X είναι ο κατηγορικός πυρήνας του f.

Σχέση με άλλες κατηγορικές έννοιες  

Η αντίθετη έννοια του πυρήνα είναι αυτή του συν-πυρήνα.
Δηλαδή, ο πυρήνας ενός μορφισμού είναι ο συν-πυρήνας του στην αντίθετη κατηγορία, και το αντίστροφο.

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, ένας πυρήνας είναι ένας τύπος δυαδικού εξισωτή ή πυρήνα διαφοράς.
Αντίστροφα, σε μια προαθροιστική κατηγορία, κάθε δυαδικός εξισωτής μπορεί να κατασκευαστεί ως πυρήνας.
Συγκεκριμένα, ο εξισωτής των μορφισμών f και g είναι ο πυρήνας της διαφοράς g − f.
Με σύμβολα:
eq (f, g) = ker (g − f).
Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο οι δυαδικοί εξισωτές ονομάζονται "πυρήνες διαφοράς" ακόμη και σε μη προσθετικές κατηγορίες όπου οι μορφισμοί δεν μπορούν να αφαιρεθούν.

Κάθε πυρήνας, όπως και κάθε άλλος εξισωτής, είναι μονομορφισμός.
Αντίστροφα, ένας μονομορφισμός ονομάζεται κανονικός αν είναι ο πυρήνας κάποιου μορφισμού.
Μια κατηγορία ονομάζεται κανονική αν κάθε μονομορφισμός είναι κανονικός.

Οι αβελιανές κατηγορίες, ειδικότερα, είναι πάντα κανονικές. Σε αυτή την περίπτωση, ο πυρήνας του συν-πυρήνα οποιουδήποτε μορφισμού (ο οποίος υπάρχει πάντα σε μια αβελιανή κατηγορία) αποδεικνύεται ότι είναι η εικόνα αυτού του μορφισμού. Με σύμβολα:
im f = ker coker f (σε μια αβελιανή κατηγορία)
Όταν το m  είναι μονομορφισμός, πρέπει να είναι η ίδια του η εικόνα. Έτσι, όχι μόνο οι αβελιανές κατηγορίες είναι κανονικές, έτσι ώστε κάθε μονομορφισμός να είναι πυρήνας, αλλά γνωρίζουμε επίσης ποιος μορφισμός είναι πυρήνας του μονομορφισμού, δηλαδή ο συν-πυρήνας του.
Με σύμβολα:
m = ker (coker m) (για μονομορφισμούς σε μια αβελιανή κατηγορία)

Σχέση με αλγεβρικούς πυρήνες

Η καθολική άλγεβρα ορίζει την έννοια του πυρήνα για ομομορφισμούς μεταξύ δύο αλγεβρικών δομών του ίδιου είδους. Αυτή η έννοια του πυρήνα μετράει πόσο απέχει ο συγκεκριμένος ομομορφισμός από το να είναι ερριπτικός. Υπάρχει κάποια επικάλυψη μεταξύ αυτής της αλγεβρικής έννοιας και της κατηγορικής έννοιας του πυρήνα, καθώς και οι δύο γενικεύουν την κατάσταση των ομάδων και των ενοτήτων που αναφέρθηκε παραπάνω. Γενικά, ωστόσο, η καθολική-αλγεβρική έννοια του πυρήνα μοιάζει περισσότερο με την κατηγοριοθεωρητική έννοια του ζεύγους πυρήνων. Αναλυτικότερα, τα ζεύγη πυρήνων μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να ερμηνεύσουν τους πυρήνες στη θεωρία μονοειδών ή στη θεωρία δακτυλίων με κατηγοριοθεωρητικούς όρους.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Αβελιανή ομάδα

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές



.
 .
.
.

 Murray Bremner and  Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα