Όμοια πολύγωνα

Στην γεωμετρία, δύο πολύγωνα είναι όμοια αν το ένα προκύπτει από μεγέθυνση/σμίκρυνση του άλλου και πιθανώς αντανάκλαση. 

Πιο αυστηρά, τα πολύγωνα   και  με  κορυφές λέγονται όμοια με ομόλογες κορυφές τις , , ,  αν
 Οι αντίστοιχες γωνίες είναι ίσες, δηλαδή
, , ,  και
 Οι ομόλογες πλευρές (πλευρές μεταξύ ομόλογων κορυφών) είναι ανάλογες, δηλαδή
,
ο λόγος αυτός λέγεται λόγος ομοιότητας των πολυγώνων.

Συνήθως τα όμοια πολύγωνα συμβολίζονται με  ή .

 Ιδιότητες 
 Ο λόγος των περιμέτρων δύο όμοιων πολυγώνων είναι ίσος με τον λόγο ομοιότητάς τους.

 Δύο όμοια πολύγωνα μπορούν να χωριστούν σε  ομόλογα τρίγωνα που είναι όμοια μεταξύ τους (και αντίστροφα).
 Ο λόγος των εμβαδών δύο ομοίων πολυγώνων είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητάς τους.

 Ειδικές περιπτώσεις 
Για αρκετές ειδικές κατηγορίες πολυγώνων, το κριτήριο ομοιότητας πολυγώνων μπορεί να απλοποιηθεί.  
 Όμοια τρίγωνα 
Στα τρίγωνα, υπάρχουν τα εξής κριτήρια για ομοιότητα:
 (1o Κριτήριο ομοιότητας) Δύο τρίγωνα που έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι όμοια.
 (2o Κριτήριο ομοιότητας) Δύο τρίγωνα που έχουν δύο πλευρές ανάλογες μία προς μία και την περιεχόμενη γωνία τους ίση είναι όμοια.
 (3o Κριτήριο ομοιότητας) Δύο τρίγωνα που έχουν τις τρεις πλευρές τους ανάλογες μία προς μία είναι όμοια.

Για ειδικές περιπτώσεις τριγώνων, υπάρχουν ακόμα πιο εξειδικευμένα κριτήρια ομοιότητας (δείτε εδώ).

 Κανονικά πολύγωνα 
 Όλα τα κανονικά πολύγωνα με  κορυφές είναι όμοια μεταξύ τους. 

 Οι ακτίνες των περιγεγραμμένων (και εγγεγραμμένων) κύκλων δύο όμοιων κανονικών πολυγώνων έχουν λόγο ίσο με τον λόγο ομοιότητας των πολυγώνων.

 Ως σχέση ισοδυναμίας 
Η σχέση ομοιότητας πολυγώνων  είναι σχέση ισοδυναμίας:
 Ένα πολύγωνο είναι όμοιο με τον εαυτό του,  (ανακλαστική ιδιότητα).
 Αν  τότε και  (συμμετρική ιδιότητα).
 Αν  και , τότε  (μεταβατική ιδιότητα).

 Υπολογιστικός έλεγχος 

Δοσμένων δύο πολυγώνων με  κορυφές μπορούμε να ελέγξουμε αν είναι όμοια, δοκιμάζοντας κάθε μία από τις  πιθανές αντιστοιχίσεις κορυφών και ελέγχοντας ότι οι αντίστοιχες γωνίες είναι ίσες και οι αντίστοιχες πλευρές ομόλογες. Κάθε ένας τέτοιος έλεγχος ομοιότητας χρειάζεται περίπου  πράξεις, επομένως συνολικά χρειάζονται περίπου  πράξεις. 

Ο έλεγχος αυτός μπορεί να επιταχυνθεί σε  πράξεις αν αναπαραστήσουμε τα δύο πολύγωνα ως συμβολοσειρές  που εναλλάσουν τις γωνίες με τις πλευρές,Για παράδειγμα, στην μορφή . βρούμε την λεξικογραφικά μικρότερη περιστροφή τους και τις συγκρίνουμε. Η εύρεση της λεξικογαφικά μικρότερης περιστροφής μπορεί να γίνει σε χρόνο  χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο του Booth, καθώς και ο έλεγχος ισότητας συμβολοσειρών. 

 Ιστορικά 
Ο Ευκλείδης στο 6ο Βιβλίο στα Στοιχεία δίνει τον ορισμό για τα όμοια πολύγωνα που χρησιμοποιείται και σήμερα:

 Περαιτέρω ανάγνωση 
 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 Διαδραστικές εφαρμογές στο Geogebra: όμοια πολύγωνα, όμοια κανονικά πολύγωνα, όμοια τετράπλευρα, όμοια πολύγωνα
 Διαδραστικές εφαρμογές στο Φωτόδεντρο: όμοια κανονικά πολύγωνα, εμβαδόν ομοίων πολυγώνων
 Ελληνικά άρθρα 

 Δείτε επίσης 
 Όμοια τρίγωνα

 Σημειώσεις 

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Πολύγωνα