Χώρος του Στόουν

Στην τοπολογία και σε συναφείς τομείς των μαθηματικών, ένας χώρος Στόουν, γνωστός και ως προπεπερασμένος χώρος το προπεπερασμένο σύνολο, είναι ένας συμπαγής χώρος  Χάουσντορφ εντελώς αποσυνδεδεμένος. Οι χώροι Στόουν πήραν το όνομά τους από τον Μάρσαλ Χ. Στόουν, ο οποίος τους εισήγαγε και τους μελέτησε τη δεκαετία του 1930 στο πλαίσιο της έρευνάς του για τις άλγεβρες Μπουλ, η οποία κορυφώθηκε με τη θεωρία αναπαράστασεως για τις άλγεβρες Μπουλ.

 Ισοδύναμες συνθήκες 

Οι ακόλουθες συνθήκες στον τοπολογικό χώρο  είναι ισοδύναμες:

  είναι ένας χώρος Στόουν.;
   είναι ομοιομορφικό με το προβαλλόμενο όριο (στην κατηγορία των τοπολογικών χώρων) ενός αντίστροφου συστήματος πεπερασμένων διακριτών χώρων;
  είναι συμπαγές και πλήρως διαχωρισμένο;
   είναι συμπαγές, T0, και μηδενικής διάστασης (με την έννοια της μικρής επαγωγικής διάστασης);
  είναι συνεκτικό και Χάουσντορφ.

 Παραδείγματα 

Σημαντικά παραδείγματα χώρων Στόουν περιλαμβάνουν τους πεπερασμένους διακριτούς χώρους, το σύνολο Κάντορ και τον χώρο   των -adic ακεραίων, όπου  είναι οποιοσδήποτε πρώτος αριθμός. Γενικεύοντας αυτά τα παραδείγματα, οποιοδήποτε γινόμενο από αυθαίρετα πολλούς πεπερασμένους διακριτούς χώρους είναι ένας χώρος Στόουν, και ο τοπολογικός χώρος που υποκρύπτει οποιαδήποτε προπεπερασμένη ομάδα είναι ένας χώρος Στόουν. Η συμπύκνωση Στόουν–Τσεχ των φυσικών αριθμών με τη διακριτή τοπολογία, ή μάλλον οποιουδήποτε διακριτού χώρου, είναι ένας χώρος Στόουν. .

 Θεωρία αναπαραστάσεως του Στόουν για τις άλγεβρες Μπουλ 

Σε κάθε άλγεβρα Μπουλ  μπορούμε να συσχετίσουμε ένα χώρο Στόουν   ως εξής: τα στοιχεία του  είναι τα υπερφίλτρα στο  και η τοπολογία στο   που ονομάζεται τοπολογία του Στόουν, δημιουργείται από τα σύνολα της μορφής  όπου 

Η θεωρία αναπαραστάσεως του Στόουν για τις άλγεβρες Μπουλ δηλώνει ότι κάθε άλγεβρα Μπουλ είναι ισομορφική με την άλγεβρα Μπουλ των κλειστών-ανοικτών συνόλων του χώρου Στόουν; Επιπλέον, κάθε χώρος Στόουν  είναι ομοιομορφικός με τον χώρο Στόουν που ανήκει στην άλγεβρα Μπουλ των κλειστών-ανοικτών συνόλων του  Αυτές οι αντιστοιχίσεις είναι συναρματικές και λαμβάνουμε μια κατηγοριοθεωρητική δυαδικότητα μεταξύ της κατηγορίας των αλγεβρών Μπουλ (με ομομορφισμούς ως μορφισμούς) και της κατηγορίας των χώρων Στόουν (με συνεχείς απεικονίσεις ως μορφισμούς).

Το θεώρημα του Στόουν έδωσε αφορμή για μια σειρά παρόμοιων δυϊκότητων, που σήμερα είναι γνωστές συλλογικά ως δυϊκότητες του Στόουν.

 Συμπυκνωμένα μαθηματικά 

Η κατηγορία των χώρων Στόουν με συνεχείς απεικονίσεις είναι ισοδύναμη με την προ-κατηγορία της κατηγορίας των πεπερασμένων συνόλων, γεγονός που εξηγεί τον όρο "προπεπερασμένα σύνολα". Τα προπεπερασμένα σύνολα βρίσκονται στο επίκεντρο του έργου των συμπυκνωμένων μαθηματικών, που αποσκοπεί στην αντικατάσταση των τοπολογικών χώρων με "συμπυκνωμένα σύνολα", όπου ένας τοπολογικός χώρος X αντικαθίσταται από τον συναρτητή που μεταφέρει ένα προπεπερασμένο σύνολο S στο σύνολο των συνεχών απεικονίσεων από S στο X.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία










Παραπομπές



Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556






 star-autonomous category at the nLab

 This article is based in part on PlanetMath's article on examples of initial and terminal objects.


Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.






  A handbook for study and research









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Γενική τοπολογία 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Άλγεβρα Μπουλ
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα