Λήμμα των πέντε

Στα μαθηματικά, ειδικά στην ομολογική άλγεβρα και σε άλλες εφαρμογές της θεωρίας των αβελιανών κατηγοριών, το λήμμα των πέντε είναι ένα σημαντικό και ευρέως χρησιμοποιούμενο λήμμα σχετικά με τα αντιμεταθετικά διαγράμματα.   Το λήμμα των πέντε δεν ισχύει μόνο για τις αβελιανές κατηγορίες, αλλά λειτουργεί και στην κατηγορία των ομάδων, παραδείγματος χάριν.

Το λήμμα των πέντε μπορεί να θεωρηθεί ως συνδυασμός δύο άλλων θεωρημάτων, των τεσσάρων λημμάτων, τα οποία είναι δυϊκά  το ένα προς το άλλο..

Δηλώσεις      

Ας εξετάσουμε το ακόλουθο αντιμεταθετικό διάγραμμα σε οποιαδήποτε αβελιανή κατηγορία (όπως η κατηγορία των αβελιανών ομάδων ή η κατηγορία των διανυσματικών χώρων πάνω σε ένα δεδομένο σώμα) ή στην κατηγορία των ομάδων.

 file:5 lemma.svg

Το λήμμα των πέντε αναφέρει ότι, εάν οι σειρές είναι ακριβείς ακολουθίες, τα m  και p είναι ισομορφισμοί, το l είναι επιμορφισμός και το q είναι μονομορφισμός, τότε το n είναι επίσης ισομορφισμός.

Τα δύο τέσσερα λήμματα αναφέρουν:

Απόδειξη

Η μέθοδος απόδειξης που θα χρησιμοποιήσουμε είναι γνωστή ως "διάγραμμα κυνηγιού".   Θα αποδείξουμε τα πέντε λήμματα αποδεικνύοντας ξεχωριστά καθένα από τα δύο τέσσερα λήμματα.

Για να προβούμε στο διάγραμμα κυνηγιού, ας υποθέσουμε ότι βρισκόμαστε σε μια κατηγορία προτύπων πάνω σε κάποιο δακτύλιο, έτσι ώστε να να μιλάμε για "στοιχεία" των αντικειμένων στο διάγραμμα και να θεωρούμε τους μορφισμούς του διαγράμματος ως "συναρτήσεις" (στην πραγματικότητα, ομομορφισμούς) που δρουν πάνω σε αυτά τα στοιχεία.
Τότε, ένας μορφισμός είναι μονομορφισμός αν και μόνο αν είναι ερριπτικός, και είναι επιμορφισμός αν και μόνο αν είναι επιρριπτικός.
Ομοίως, για να ασχοληθούμε με την ακρίβεια, μπορούμε να σκεφτούμε τους πυρήνες και τις εικόνες με τη θεωρητική έννοια της συνάρτησης.

Η απόδειξη θα εξακολουθεί να ισχύει για οποιαδήποτε (μικρή) αβελιανή κατηγορία λόγω του θεωρήματος εγκλεισμού του Μίτσελ, το οποίο ορίζει ότι οποιαδήποτε μικρή αβελιανή κατηγορία μπορεί να αναπαρασταθεί ως κατηγορία προτύπων πάνω σε κάποιο δακτύλιο.
Για την κατηγορία των ομάδων, απλώς μετατρέπουμε όλες τις πρόσθετες σημειώσεις παρακάτω σε πολλαπλασιαστικές σημειώσεις και σημειώνουμε ότι η αντιμεταθετικότητα της αβελιανής ομάδας δεν χρησιμοποιείται ποτέ.

Έτσι, για να αποδείξουμε το (1), ας υποθέσουμε ότι τα m και p είναι επιρριπτικά και το q είναι ερριπτικό.
alt=An animation showing a diagram chase to prove (1) of the 4 lemma. This is the case where we assume c' gets sent to a nonzero element and want to show the map from B to B' is epic.|thumb|302x302px|Απόδειξη του (1) στην περίπτωση όπου  είναι μη μηδενικό
 file:4 lemma right.svg

 Έστω c′ ένα στοιχείο του C′.
 Δεδομένου ότι p είναι επιρριπτικό, υπάρχει ένα στοιχείο d στο D με p(d) =  t(c′).
 Λόγω της αντιμεταθετικότητας του διαγράμματος, u(p(d)) = q(j(d)).
 Δεδομένου ότι t = ker u με ακρίβεια, 0 = u(t(c′)) = u(p(d)) = q(j(d)).
 Δεδομένου ότι q  είναι ερριπτικό j(d) = 0, οπότε  d είναι στο j = im h.
 Επομένως, υπάρχει το c στο C με h(c) = d.
 Τότε  t(n(c)) = p(h(c)) = t(c′).  Δεδομένου ότι το t είναι ομομορφισμός, προκύπτει ότι t(c′ − n(c)) = 0.
 Με ακρίβεια, το c′ − n(c) βρίσκεται στην εικόνα του s, οπότε υπάρχει το b′ στο B′ με s(b′) = c′ − n(c).
 Δεδομένου ότι η m είναι επιρριπτική, μπορούμε να βρούμε το b στο B έτσι ώστε b′ = m(b).
 Με την αντιμεταθετικότητα, n(g(b)) = s(m(b)) = c′ − n(c).
 Δεδομένου ότι το n είναι ομομορφισμός, n(g(b) + c) = n(g(b)) + n(c) = c′ − n(c) + n(c) = c′.
 Επομένως, το n είναι επιρριπτικό.

Στη συνέχεια, για να αποδείξουμε το (2), ας υποθέσουμε ότι τα m και p είναι ερριπτικά και το "l" είναι επιρριπτικό.
 file:4 lemma left.svg
 Εστω το c στο C τέτοιο ώστε n(c) = 0.
 Το t(n(c)) είναι τότε 0.
 Λόγω της αντιμεταθετικότητας, , p(h(c)) = 0.
 Δεδομένου ότι το p είναι ερριπτικό, h(c) = 0.
 Με ακρίβεια, υπάρχει ένα στοιχείο b του B τέτοιο ώστε g(b) = c.
 Λόγω της αντιμεταθετικότητας, s(m(b)) = n(g(b)) = n(c) = 0.
 Με ακρίβεια, υπάρχει τότε ένα στοιχείο a′ του A′ τέτοιο ώστε r(a′) = m(b).
 Δεδομένου ότι l είναι επιρριπτική, υπάρχει ένα a στο A τέτοιο ώστε .
 Με βάση την αντιμεταθετικότητα, .
 Δεδομένου ότι m είναι  ερριπτικό f(a) = b.
 So c = g(f(a)).
 Δεδομένου ότι η σύνθεση των g και f  είναι τετριμμένη c = 0.
 Επομένως, το n είναι  ερριπτικό.

Συνδυάζοντας τα δύο τέσσερα λήμματα αποδεικνύεται τώρα ολόκληρο το λήμμα των πέντε.

Εφαρμογές

Το Λήμμα των πέντε εφαρμόζεται συχνά σε μακρές ακριβείς ακολουθίες: κατά τον υπολογισμό της ομολογίας ή της συνομολογίας ενός δεδομένου αντικειμένου, συνήθως χρησιμοποιείται ένα απλούστερο υποαντικείμενο του οποίου η ομολογία/συνομολογία είναι γνωστή, και καταλήγει σε μια μακρά ακριβή ακολουθία που περιλαμβάνει τις άγνωστες ομολογικές ομάδες του αρχικού αντικειμένου. Αυτό από μόνο του συχνά δεν αρκεί για τον προσδιορισμό των άγνωστων ομολογικών ομάδων, αλλά αν μπορεί κανείς να συγκρίνει το αρχικό αντικείμενο και το υποαντικείμενο με καλά κατανοητά αντικείμενα μέσω μορφισμών, τότε προκαλείται ένας μορφισμός μεταξύ των αντίστοιχων μακρών ακριβών ακολουθιών και το λήμμα των πέντε μπορεί τότε να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό των άγνωστων ομολογικών ομάδων.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές




Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.






  A handbook for study and research









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα