Κατηγορία πηλίκου

Στα μαθηματικά, μια κατηγορία πηλίκου είναι μια κατηγορία που προκύπτει από μια άλλη κατηγορία μέσω της ταύτισης συνόλων μορφισμών. Τυπικά, είναι ένα αντικείμενο πηλίκου στην κατηγορία των (τοπικά μικρών) κατηγοριών, ανάλογο με μια ομάδα πηλίκου ή ένα χώρο πηλίκου, αλλά σε κατηγορικό πλαίσιο.

Ορισμός

Έστω C  μια κατηγορία. Μια σχεση ομοιότητας R στο C  δίνεται από: για κάθε ζεύγος αντικειμένων  X, Y στο C, μια σχέση ισοδυναμίας RX,Y στο Hom(X,Y), έτσι ώστε οι σχέσεις ισοδυναμίας να σέβονται τη σύνθεση των μορφισμών. Δηλαδή, αν

συνδέονται στο Hom(X, Y) και

συνδέονται στο Hom(Y, Z), τότε το g1f1  και το g2f2 συνδέονται στο Hom(X, Z).

Δεδομένης μιας σχέσης ομοιότητας R στο C, μπορούμε να ορίσουμε την κατηγορία πηλίκου C/R ως την κατηγορία της οποίας τα αντικείμενα είναι αυτά του C και οι μορφισμοί της είναι τάξεις ισοδυναμίας των μορφισμών στο C. Δηλαδή,

Η σύνθεση των μορφισμών στο C/R είναι καλά καθορισμένη, δεδομένου ότι το R είναι μια σχέση ομοιότητας.

Ιδιότητες 

Υπάρχει ένας φυσικός συναρτητής πηλίκου του  C στο C/R που στέλνει κάθε μορφισμό στην κλάση ισοδυναμίας του. Αυτός ο συναρτητής είναι αμφιρριπτικός στα αντικείμενα και επιρριπτικός στα σύνολα Hom (δηλαδή είναι ένας πλήρης συναρτητής).

Κάθε συναρτητής F : C → D  καθορίζει μια ομοιότητα στο C λέγοντας f ~ g έαν F(f) = F(g). Ο συναρτητής F στη συνέχεια παραγοντοποιείται μέσω του συναρτητή πηλίκου C → C/~ με μοναδικό τρόπο. Αυτό μπορεί να θεωρηθεί ως το "πρώτο θεώρημα ισομορφισμού" για τις κατηγορίες.

Παραδείγματα
 Τα μονοειδή και οι ομάδες μπορούν να θεωρηθούν ως κατηγορίες με ένα αντικείμενο. Σε αυτή την περίπτωση, η κατηγορία πηλίκου συμπίπτει με την έννοια του μονοειδούς πηλίκου ή της ομάδας πηλίκου.

 Η κατηγορία ομοτοπίας των τοπολογικών χώρων hTop είναι μια κατηγορία πηλίκου της Top, της κατηγορίας των τοπολογικών χώρων. Οι τάξεις ισοδυναμίας των μορφισμών είναι τάξεις ομοτοπίας των συνεχών απεικονίσεων.

Έστω k ένα σώμα και θεωρήσουμε την αβελιανή κατηγορία Mod(k) όλων των διανυσματικών χώρων πάνω στο k με k-γραμμικές απεικονίσεις ως μορφισμούς. Για να "εξαλείψουμε" όλους τους χώρους πεπερασμένης διάστασης, μπορούμε να ονομάσουμε δύο γραμμικές απεικονίσεις f,g : X → Y ομοιόμορφες  αν και μόνο αν η διαφορά τους έχει εικόνα πεπερασμένης διάστασης. Στην προκύπτουσα κατηγορία πηλίκου, όλοι οι διανυσματικοί χώροι πεπερασμένης διάστασης είναι ισομορφικοί με το 0. [Αυτό είναι στην πραγματικότητα ένα παράδειγμα πηλίκου των προσθετικών κατηγοριών, βλ. παρακάτω.]

 Σχετικές έννοιες  

Πηλίκα πρόσθετων κατηγοριών modulo ιδεώδη

Εάν C είναι μια πρόσθετη κατηγορία και απαιτούμε η σχέση ομοιότητας ~ στο C να είναι πρόσθετη (δηλαδή, εάν f1, f2, g1  και  g2 είναι μορφισμοί από X σε Y  με  f1 ~ f2 και g1 ~g2, τότε f1 + g1 ~ f2 + g2), τότε η κατηγορία πηλίκου C/~  θα είναι επίσης προσθετική, και ο συναρτητής πηλίκου C → C/~ θα είναι ένας προσθετικός συναρτητής.

Η έννοια της πρόσθετης σχέσης ομοιότητας είναι ισοδύναμη με την έννοια του αμφίπλευρου ιδανικού των μορφισμών: για οποιαδήποτε δύο αντικείμενα X και Y μας δίνεται μια πρόσθετη υποομάδα I(X,Y) του HomC(X, Y) έτσι ώστε για όλα τα  f ∈ I(X,Y), g ∈ HomC(Y, Z) και h∈ HomC(W, X), έχουμε gf ∈ I(X,Z) and fh ∈ I(W,Y).. Δύο μορφισμοί στο HomC(X, Y) είναι σύμφωνοι αν και μόνο αν η διαφορά τους βρίσκεται στο I(X,Y).

Κάθε μοναδιαίος δακτύλιος μπορεί να θεωρηθεί ως μια πρόσθετη κατηγορία με ένα μόνο αντικείμενο, και το πηλίκο των πρόσθετων κατηγοριών που ορίστηκε παραπάνω συμπίπτει σε αυτή την περίπτωση με την έννοια του δακτυλίου πηλίκου modulo ενός αμφίπλευρου ιδεώδους.

Εντοπισμός κατηγορίας

Η εντόπιση μιας κατηγορίας εισάγει νέους μορφισμούς για να μετατρέψει αρκετούς από τους μορφισμούς της αρχικής κατηγορίας σε ισομορφισμούς. Αυτό τείνει να αυξάνει τον αριθμό των μορφισμών μεταξύ των αντικειμένων, αντί να τον μειώνει όπως στην περίπτωση των κατηγοριών πηλίκων. Αλλά και στις δύο κατασκευές συμβαίνει συχνά δύο αντικείμενα που δεν ήταν ισομορφικά στην αρχική κατηγορία να γίνονται ισομορφικά.

Πηλίκα Σερ των αβελιανών κατηγοριών
Το πηλίκο Σερ μιας αβελιανής κατηγορίας  από μια υποκατηγορία Σερ είναι μια νέα αβελιανή κατηγορία που είναι παρόμοια με μια κατηγορία πηλίκου, αλλά σε πολλές περιπτώσεις έχει επίσης τον χαρακτήρα μιας εντόπισης της κατηγορίας.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές




Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.






  A handbook for study and research
 Murray Bremner and  Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα