Ελεύθερη άλγεβρα Μπουλ

Στα μαθηματικά, μια ελεύθερη άλγεβρα Μπουλ είναι μια άλγεβρα Μπουλ με ένα διακριτό σύνολο στοιχείων, που ονομάζονται "γεννήτριες ή γεννήτορες", έτσι ώστε:
Κάθε στοιχείο της άλγεβρας Μπουλ μπορεί να εκφραστεί ως ένας πεπερασμένος συνδυασμός γεννητριών, χρησιμοποιώντας τις πράξεις Μπουλ, και
Οι γεννήτριες είναι όσο το δυνατόν πιο ανεξάρτητες, με την έννοια ότι δεν υπάρχουν σχέσεις μεταξύ τους (και πάλι σε όρους πεπερασμένων εκφράσεων που χρησιμοποιούν τις πράξεις Μπουλ) που δεν ισχύουν σε "κάθε" άλγεβρα Μπουλ, ανεξάρτητα από το "ποια" στοιχεία επιλέγονται.

Ένα απλό παράδειγμα

Οι γεννήτριες μιας ελεύθερης άλγεβρας Μπουλ μπορούν να αντιπροσωπεύουν ανεξάρτητες προτάσεις. Ας σκεφτούμε, παραδείγματος χάριν, τις προτάσεις "Ο Γιάννης είναι ψηλός" και "Η Μαρία είναι πλούσια". Οι προτάσεις αυτές δημιουργούν μια άλγεβρα Μπουλ με τέσσερα άτομα, και συγκεκριμένα: 
Ο Τζον είναι ψηλός και η Μαρία είναι πλούσια.
Ο Τζον είναι ψηλός και η Μαρία δεν είναι πλούσια.
Ο Τζον δεν είναι ψηλός και η Μαρία είναι πλούσια.
Ο Τζον δεν είναι ψηλός και η Μαρία δεν είναι πλούσια.

Άλλα στοιχεία της  άλγεβρας Μπουλ  είναι οι λογικές σύζεύξεις των ατόμων, όπως "Ο Τζον είναι ψηλός και η Μαρία δεν είναι πλούσια, ή ο Τζον δεν είναι ψηλός και η Μαρία είναι πλούσια". Επιπλέον, υπάρχει ένα ακόμη στοιχείο, το ΨΕΥΔΕΣ, το οποίο μπορεί να θεωρηθεί ως η κενή σύζευξη, δηλαδή η σύζευξη χωρίς άτομα.

Αυτό το παράδειγμα παράγει μια άλγεβρα Μπουλ με 16 στοιχεία. Γενικά, για πεπερασμένο n, η ελεύθερη άλγεβρα Μπουλ με n γεννήτριες έχει 2n  άτομα και, επομένως  στοιχεία.

Εάν υπάρχουν άπειροι γεννήτορες, επικρατεί μια παρόμοια κατάσταση, με τη διαφορά ότι τώρα δεν υπάρχουν άτομα. Κάθε στοιχείο της άλγεβρας Μπουλ είναι ένας συνδυασμός πεπερασμένου αριθμού γεννητικών προτάσεων, με δύο τέτοια στοιχεία να θεωρούνται πανομοιότυπα εάν είναι λογικά ισοδύναμα.

Ένας άλλος τρόπος για να καταλάβουμε γιατί η ελεύθερη Μπουλ άλγεβρα σε ένα σύνολο n στοιχείων έχει   στοιχεία είναι να παρατηρήσουμε ότι κάθε στοιχείο είναι μια συνάρτηση από n bits σε ένα. Υπάρχουν  πιθανές εισόδους σε μια τέτοια συνάρτηση και η συνάρτηση θα επιλέξει 0 ή 1  ως έξοδο για κάθε είσοδο, οπότε υπάρχουν πιθανές συναρτήσεις. 

Κατηγορία-θεωρητικός ορισμός

Στη γλώσσα της θεωρίας κατηγοριών, οι ελεύθερες  άλγεβρες Μπουλ μπορούν να οριστούν απλά με όρους μιας σύζευξη μεταξύ της κατηγορίας των συνόλων και των συναρτήσεων, Set και της κατηγορίας των αλγεβρών Μπουλ και των ομομορφισμών αλγεβρών Μπουλ BA. Στην πραγματικότητα, αυτή η προσέγγιση γενικεύεται σε οποιαδήποτε αλγεβρική δομή που μπορεί να οριστεί στο πλαίσιο της καθολικής άλγεβρας. 

Προηγουμένως, είπαμε ότι μια ελεύθερη άλγεβρα Μπουλ είναι μια άλγεβρα Μπουλ με ένα σύνολο γεννητριών που συμπεριφέρονται με έναν συγκεκριμένο τρόπο. Εναλλακτικά, θα μπορούσε κανείς να ξεκινήσει με ένα σύνολο και να ρωτήσει ποια άλγεβρα δημιουργεί. Κάθε σύνολο X δημιουργεί μια ελεύθερη άλγεβρα Μπουλ FX που ορίζεται ως η άλγεβρα έτσι ώστε για κάθε άλγεβρα B και συνάρτηση f : X → B, να υπάρχει ένας μοναδικός ομομορφισμός άλγεβρας Μπουλ f′ : FX → B που επεκτείνει την f. Διαγραμματικά,
center
όπου iX είναι ο εγκλεισμός  και το διακεκομμένο βέλος υποδηλώνει μοναδικότητα. Η ιδέα είναι ότι μόλις επιλέξει κανείς πού θα στείλει τα στοιχεία του X, οι νόμοι για τους ομομορφισμούς της άλγεβρας Μπουλ καθορίζουν πού θα στείλει όλα τα άλλα στοιχεία της ελεύθερης άλγεβρας FX. Εάν η FX περιείχε στοιχεία που δεν μπορούν να εκφραστούν ως συνδυασμοί στοιχείων του X, τότε η f′ δεν θα ήταν μοναδική, και εάν τα στοιχεία του X δεν ήταν επαρκώς ανεξάρτητα, τότε η f′ δεν θα ήταν καλά καθορισμένη! Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι το FX είναι μοναδικό (μέχρι ισομορφισμό), οπότε αυτός ο ορισμός έχει νόημα. Είναι επίσης εύκολο να αποδειχθεί ότι μια ελεύθερη άλγεβρα Μπουλ με γεννήτορα το σύνολο X,όπως ορίζεται αρχικά, είναι ισομορφική με το FX, οπότε οι δύο ορισμοί συμφωνούν.

Ένα μειονέκτημα του παραπάνω ορισμού είναι ότι το διάγραμμα δεν αποτυπώνει το γεγονός ότι το f′ είναι ομομορφισμός. Δεδομένου ότι πρόκειται για διάγραμμα στο Set κάθε βέλος υποδηλώνει μια απλή συνάρτηση. Μπορούμε να το διορθώσουμε χωρίζοντάς το σε δύο διαγράμματα, ένα στο BA και ένα στο  Set.  Για να συνδέσουμε τα δύο, εισάγουμε ένα συναρτητή U : BA → Set  που "λησμονεί" την αλγεβρική δομή, αντιστοιχίζοντας τις άλγεβρες και τους ομομορφισμούς στα υποκείμενα σύνολα και συναρτήσεις τους. 
center
Αν ερμηνεύσουμε το πάνω βέλος ως διάγραμμα στο  BA  και το κάτω τρίγωνο ως διάγραμμα στο Set, τότε αυτό το διάγραμμα εκφράζει σωστά ότι κάθε συνάρτηση f : X → UB επεκτείνεται σε έναν μοναδικό ομομορφισμό της άλγεβρας Μπουλ f′ : FX → B. Ο συναρτηστής U μπορεί να θεωρηθεί ως ένα μέσο για να επαναφέρει τον ομομορφισμό f′ στο Set ώστε να μπορεί να συσχετιστεί με το f.

Το αξιοσημείωτο σε αυτό είναι ότι το τελευταίο διάγραμμα είναι ένας από τους διάφορους (ισοδύναμους) ορισμούς του πότε δύο συναρτητες είναι συζυγείς. Το F επεκτείνεται εύκολα σε έναν συναρτητή Set → BA, και ο ορισμός μας του X που παράγει μια ελεύθερη άλγεβρα Μπουλ FX είναι ακριβώς ότι το U έχει ένα αριστερό συζυγή F.

Τοπολογική υλοποίηση

Η ελεύθερη  άλγεβρα Μπουλ με κ γεννήτριες, όπου κ είναι ένας πεπερασμένος ή άπειρος πληθάριθμος, μπορεί να πραγματοποιηθεί ως η συλλογή όλων των κλειστά-ανοιχτών υποσυνόλων του {0,1}κ,  με δεδομένη την τοπολογία γινομένου, υποθέτοντας ότι το {0,1} έχει τη διακριτή τοπολογία. Για κάθε α<κ, ο αth  γεννήτορας είναι το σύνολο όλων των στοιχείων του {0,1}κ των οποίων η αth συντεταγμένη είναι  1. Συγκεκριμένα, η ελεύθερη άλγεβρα Μπουλ με γεννήτορες είναι η συλλογή όλων των κλειστά-ανοιχτών υποσυνόλων ενός χώρου Κάντορ, που μερικές φορές ονομάζεται άλγεβρα Κάντορ. Αυτή η συλλογή είναι μετρήσιμη. Στην πραγματικότητα, ενώ η ελεύθερη άλγεβρα Μπουλ με n γεννήτριες, n πεπερασμένες, έχει πληθικότητα  , η ελεύθερη άλγεβρα Μπουλ με    γεννήτριες, όπως και κάθε ελεύθερη άλγεβρα με   γεννήτριες και μετρήσιμες πολλές πεπερασμένες πράξεις, έχει πληθικότητα .

Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με αυτή την τοπολογική προσέγγιση της ελεύθερης άλγεβρας Μπουλ, ανατρέξτε στο θεώρημα αναπαραστάσεως του Στόουν για τις άλγεβρες Μπουλ.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία










Παραπομπές



Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556






 star-autonomous category at the nLab

 This article is based in part on PlanetMath's article on examples of initial and terminal objects .


Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.






  A handbook for study and research









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Γενική τοπολογία
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Άλγεβρα Μπουλ
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα