Σύμπαν του Γκρότεντικ

Στα μαθηματικά, ένα σύμπαν Γκρότεντικ είναι ένα σύνολο U με τις ακόλουθες ιδιότητες:

 Εάν x είναι στοιχείο του U και «y» είναι στοιχείο του x, τότε y  είναι επίσης στοιχείο του U. (U είναι ένα μεταβατικό σύνολο.)
 Εάν τα x και y είναι και τα δύο στοιχεία του U, τότε το  είναι στοιχείο του U.
 Εάν το x είναι στοιχείο του U, τότε το P(x), το δυναμικό σύνολο του x, είναι επίσης στοιχείο του U.
 Εάν  είναι μια οικογένεια στοιχείων του U και εάν  είναι ένα στοιχείο του U, τότε η ένωση  είναι ένα στοιχείο του U.

Ένα σύμπαν Γκρότεντικ έχει ως στόχο να παρέχει ένα σύνολο στο οποίο μπορούν να εκτελεστούν όλες οι μαθηματικές πράξεις. (Στην πραγματικότητα, τα αμέτρητα σύμπαντα Γκρότεντικ παρέχουν πρότυπα της θεωρίας συνόλων με τη φυσική σχέση ∈, τη φυσική πράξη του συνόλου των δυνάμεων κ.λπ.). Τα στοιχεία ενός σύμπαντος Γκρότεντικ ονομάζονται μερικές φορές μικρά σύνολα. Η ιδέα των σύμπαντων οφείλεται στον Αλεξάντερ Γκρότεντικ, ο οποίος τα χρησιμοποίησε ως τρόπο αποφυγής των κατάλληλων κλάσεων στην αλγεβρική γεωμετρία. Η αρχική πρόταση του Γκρότεντικ ήταν να προστεθεί το ακόλουθο αξίωμα των σύμπαντων στα συνήθη αξιώματα της θεωρίας συνόλων: Για κάθε σύνολο , υπάρχει ένα σύμπαν  που περιέχει το , δηλαδή .

Η ύπαρξη ενός μη τετριμμένου σύμπαντος  Γκρότεντικ υπερβαίνει τα συνήθη αξιώματα της θεωρίας συνόλων Ζερμέλο-Φρένκελ-Ιδιαίτερα, θα συνεπαγόταν την ύπαρξη ισχυρά απρόσιτων πληθικών.
Η θεωρία συνόλων Τάρσκι-Γκρότεντικ  είναι μια αξιωματική προσέγγιση της θεωρίας συνόλων, που χρησιμοποιείται σε ορισμένα συστήματα αυτόματης απόδειξης, στα οποία κάθε σύνολο ανήκει σε ένα σύμπαν Γκρότεντικ.
Η έννοια του σύμπαντος Γκρότεντικ  μπορεί επίσης να οριστεί σε ένα τόπο.

Ιδιότητες 

Ως παράδειγμα, μπορούμε να αποδείξουμε μια απλή πρόταση.

Πρόταση. Αν  και , τότε .
Απόδειξη.   επειδή .  επειδή , οπότε .

Είναι εξίσου εύκολο να αποδειχθεί ότι κάθε σύμπαν Γκρότεντικ U περιέχει:
 Όλα τα μονοσύνολα κάθε στοιχείου του, 
 Όλα τα γινόμενα όλων των οικογενειών στοιχείων του U που ευρετηριάζονται από ένα στοιχείο του U,
 Όλες οι ασύνδετες ενώσεις όλων των οικογενειών στοιχείων του U που ευρετηριάζονται από ένα στοιχείο του U,
 Όλες οι τομές όλων των οικογενειών από στοιχεία του U  που ευρετηριάζονται από ένα στοιχείο του U ,
 Όλες οι συναρτήσεις μεταξύ οποιωνδήποτε δύο στοιχείων του U, και
 Όλα τα υποσύνολα του U των οποίων ο πληθικός είναι στοιχείο του U.

Συγκεκριμένα, από το τελευταίο αξίωμα προκύπτει ότι αν το U  δεν είναι κενό, πρέπει να περιέχει όλα τα πεπερασμένα υποσύνολά του και ένα υποσύνολο κάθε πεπερασμένη πληθικότητα.  Επίσης μπορεί κανείς να αποδείξει άμεσα από τους ορισμούς ότι η τομή οποιασδήποτε κλάσης σύμπαντων είναι ένα σύμπαν.

 Σύμπαντα Γκρότεντικ και απρόσιτοι πληθικοί 

Υπάρχουν δύο απλά παραδείγματα συμπάντων Γκρότεντικ:
 Το κενό σύνολο, και
 Το σύνολο όλων των κληρονομικά πεπερασμένων συνόλων .
Άλλα παραδείγματα είναι πιο δύσκολο να κατασκευαστούν.  Σε γενικές γραμμές, αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι τα σύμπαντα Γκρότεντικ είναι ισοδύναμα με ισχυρά απρόσιτους πληθικούς.  Πιο τυπικά, τα ακόλουθα δύο αξιώματα είναι ισοδύναμα:

 (U) Για κάθε σύνολο x, υπάρχει ένα σύμπαν Γκρότεντικ U τέτοιο ώστε x ∈ U.
 (C) Για κάθε πληθικό κ, υπάρχει ένα ισχυρά απρόσιτο πληθικό λ που είναι αυστηρά μεγαλύτερο από το κ.

Για να αποδειχθεί αυτό το γεγονός, εισάγουμε τη συνάρτηση  c(U).  Ορίζουμε:

όπου με |x| εννοούμε την πληθικότητα του x.  Τότε, για οποιοδήποτε σύμπαν U, c(U) είναι είτε μηδέν είτε ισχυρά απρόσιτο.  Υποθέτοντας ότι είναι διαφορετικό από το μηδέν, είναι ένα ισχυρό όριο πληθικού, επειδή το δυναμικό σύνολο οποιουδήποτε στοιχείου του U είναι ένα στοιχείο του U και κάθε στοιχείο του U είναι ένα υποσύνολο του U. Για να διαπιστώσουμε ότι είναι κανονική, ας υποθέσουμε ότι cλ είναι μια συλλογή πληθικών που ευρετηριάζονται από το , όπου η πληθικότητα του  και κάθε cλ είναι μικρότερη από  c(U).  Τότε, σύμφωνα με τον ορισμό του c(U), το  και κάθε  cλ μπορούν να αντικατασταθούν από ένα στοιχείο του U.  Η ένωση των στοιχείων του U που ευρετηριάζονται από ένα στοιχείο του U είναι ένα στοιχείο του U, οπότε το άθροισμα του cλ έχει την πληθικότητα ενός στοιχείου του U, και επομένως είναι μικρότερο από το c(U).  Επικαλούμενοι το αξίωμα της θεμελίωσης, ότι κανένα σύνολο δεν περιέχεται στον εαυτό του, μπορεί να αποδειχθεί ότι το c(U) ισούται με το  |U|; Όταν το αξίωμα της θεμελίωσης δεν ισχύει, υπάρχουν αντιπαραδείγματα (μπορούμε παραδείγματος χάριν να θεωρήσουμε το  U ως το σύνολο όλων των πεπερασμένων συνόλων πεπερασμένων συνόλων κ.ο.κ. των συνόλων xα όπου ο δείκτης  α είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός και xα = {xα} για κάθε α. Τότε το U έχει την πληθικότητα του συνεχούς, αλλά όλα τα μέλη του έχουν πεπερασμένη πληθικότητα και έτσι  ; βλ. το άρθρο του Μπουρμπάκι για περισσότερες λεπτομέρειες).

Ας υποθέσουμε ότι  είναι ένας ισχυρά απρόσιτος πληθικός. Ας πούμε ότι ένα σύνολο S είναι αυστηρά τύπου  αν για οποιαδήποτε ακολουθία .  (Το ίδιο το S αντιστοιχεί στην κενή ακολουθία.)  Τότε το σύνολο  όλων των συνόλων αυστηρά τύπου  είναι ένα σύμπαν Γκρότεντικ πληθικότητας . Η απόδειξη αυτού του γεγονότος είναι μακρά, οπότε για λεπτομέρειες παραπέμπουμε και πάλι στο άρθρο του Μπουρμπάκι, που αναφέρεται στις αναφορές.

Για να δείξουμε ότι το αξίωμα του μεγάλου πληθικού (C) συνεπάγεται το αξίωμα του σύμπαντος (U), ας επιλέξουμε ένα σύνολο x.  Ας είναι x0 = x,  και για κάθε n,  ας είναι   η ένωση των στοιχείων του  xn.   Ας υποθέσουμε ότι  y = .  By (C), υπάρχει ένας ισχυρά απρόσιτος πληθικός αριθμός  τέτοιος ώστεt .  Ας υποθέσουμε ότι  είναι το σύμπαν της προηγούμενης παραγράφου. Το x είναι αυστηρά τύπου  κ,  οπότε .  Για να δείξουμε ότι το αξίωμα του σύμπαντος (U) συνεπάγεται το αξίωμα του μεγάλου πληθικού αριθμού (C), ας επιλέξουμε έναν πληθικό αριθμόl . Το  είναι ένα σύνολο, οπότε είναι στοιχείο ενός σύμπαντος Γκρότεντικ U.   Η πληθικότητα του U είναι ισχυρά απρόσιτη και αυστηρά μεγαλύτερη από εκείνη του .

Στην πραγματικότητα, κάθε σύμπαν Γκρότεντικ έχει τη μορφή  για κάποιο .  Αυτό δίνει μια άλλη μορφή ισοδυναμίας μεταξύ των συμπάντων Γκρότεντικ και των ισχυρά απρόσιτων πληθικών αριθμών:

Για κάθε σύμπαν Γκρότεντικ U, το |U| είναι είτε μηδέν, , είτε ένας ισχυρά απρόσιτος πληθικός αριθμός. Και αν  είναι μηδέν, , oή ένας ισχυρά απρόσιτος πληθικός αριθμός, τότε υπάρχει ένα σύμπαν Γκρότεντικ .  Επιπλέον, , και .

Δεδομένου ότι η ύπαρξη ισχυρά απρόσιτων πληθικών αριθμών δεν μπορεί να αποδειχθεί από τα αξιώματα της θεωρίας συνόλων Ζερμέλο-Φράνκελ (ZFC), η ύπαρξη σύμπαντων εκτός από το κενό σύνολο και το  δεν μπορεί να αποδειχθεί ούτε από το ZFC.   Ωστόσο, οι ισχυρά απρόσιτοι πληθικοί αριθμοί βρίσκονται στο κάτω άκρο της λίστας των μεγάλων πληθικών αριθμών. Έτσι, οι περισσότερες θεωρίες συνόλων που χρησιμοποιούν μεγάλους πληθικούς αριθμούς (όπως "ZFC συν υπάρχει ένας μετρήσιμος πληθικός αριθμός", "ZFC συν υπάρχουν άπειροι πληθικοί αριθμοί Γούντιν") θα αποδείξουν ότι τα σύμπαντα Γκρότεντικ υπάρχουν.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές









  A handbook for study and research
 Murray Bremner and  Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα