Σύστημα παραγοντοποίησης

Στα μαθηματικά, μπορεί να αποδειχθεί ότι κάθε συνάρτηση μπορεί να γραφτεί ως σύνθεση μιας επιρριπτικής συνάρτησης που ακολουθείται από μια ερριπτική συνάρτηση. Τα συστήματα παραγοντοποίησης είναι μια γενίκευση αυτής της κατάστασης στη θεωρία των κατηγοριών.

Ορισμός

Ένα σύστημα παραγοντοποίησης (E, M) για μια κατηγορία C αποτελείται από δύο κλάσεις μορφισμών E και M της C έτσι ώστε: 
Τα E και M περιέχουν και τα δύο όλους τους ισομορφισμούς της C και είναι κλειστά ως προς τη σύνθεση.
Κάθε μορφισμός f της C μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως  για ορισμένους μορφισμούς   και .
Η παραγοντοποίηση είναι συναρματική: αν   και  είναι δύο μορφισμοί έτσι ώστε   για ορισμένους μορφισμούς   και, τότε υπάρχει ένας μοναδικός μορφισμός   που κάνει το ακόλουθο διάγραμμα να είναι αντιμεταθετικό:
center

Παρατήρηση:  είναι ένας μορφισμός από  σε  στην κατηγορία βέλους. 

 Ορθογωνιότητα 

Δύο μορφισμοί   και  λέγονται ορθογώνιοι, συμβολίζονται με , αν για κάθε ζεύγος μορφισμών  και  έτσι ώστε  υπάρχει ένας μοναδικός μορφισμός  έτσι ώστε το διάγραμμα 

center

να είναι αντιμεταθετικό. Αυτή η έννοια μπορεί να επεκταθεί για να ορίσει τις ορθογώνιες συνόλου μορφισμών με

 και 

Δεδομένου ότι σε ένα σύστημα παραγοντοποίησης    περιέχει όλους τους ισομορφισμούς, η συνθήκη (3) του ορισμού είναι ισοδύναμη με
(3')  και 

Απόδειξη: Στο προηγούμενο διάγραμμα (3), ας πάρουμε   (ταυτότητα στο κατάλληλο αντικείμενο) και  .

 Ισοδύναμος ορισμός 

Το ζεύγος  των κλάσεων των μορφισμών του C είναι ένα σύστημα παραγοντοποίησης αν και μόνο αν ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες:

Κάθε μορφισμός f της C μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως  με  και 
 και 

 Ασθενή συστήματα παραγοντοποίησης 
Ας υποθέσουμε ότι e και m είναι δύο μορφισμοί σε μια κατηγορία C. Τότε το e  έχει την ιδιότητα αριστερής ανύψωσης σε σχέση με το m (αντίστοιχα το m έχει την ιδιότητα δεξιάς ανύψωσης σε σχέση με το e) όταν για κάθε ζεύγος μορφισμών  u και v έτσι ώστε ve = mu υπάρχει ένας μορφισμός w έτσι ώστε το ακόλουθο διάγραμμα να είναι αντιμεταθετικό. Η διαφορά με την ορθογώνια είναι ότι το w δεν είναι απαραίτητα μοναδικό.

center

Ένα σύστημα Ασθενές παραγοντοποίησης (E, M) για μια κατηγορία C αποτελείται από δύο κλάσεις μορφισμών E και M της C έτσι ώστε:
Η κλάση E είναι ακριβώς η κλάση των μορφισμών που έχουν την ιδιότητα της αριστερής ανύψωσης σε σχέση με κάθε μορφισμό στο M.
Η κλάση M είναι ακριβώς η κλάση των μορφισμών που έχουν τη σωστή ιδιότητα ανύψωσης σε σχέση με κάθε μορφισμό στο E.
Κάθε μορφισμός f της C μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως   για ορισμένους μορφισμούς  και .
Αυτή η έννοια οδηγεί σε έναν συνοπτικό ορισμό των πρότυπων κατηγοριών: μια πρότυπη κατηγορία είναι ένα ζεύγος που αποτελείται από μια κατηγορία C και τάξεις (λεγόμενων) ασθενών ισοδυναμιών W, νηματώσεις F και συννηματώσεις C έτσι ώστε

 C  έχει όλα τα όρια και τα συνόρια,

  είναι ένα ασθενές σύστημα παραγοντοποίησης,

  είναι ένα ασθενές σύστημα παραγοντοποίησης, και

  ικανοποιεί την ιδιότητα δύο από τα τρία: αν   και   είναι συνθέσιμα μορφίσματα και δύο από τα  βρίσκονται στο  , τότε το ίδιο ισχύει και για το τρίτο.

Μια κατηγορία μοντέλου είναι μια πλήρης και συνπλήρης κατηγορία εξοπλισμένη με μια δομή μοντέλου. Μια απεικόνιση ονομάζεται τετριμμένη νημάτωση αν ανήκει στο  και ονομάζεται τετριμμένη συνημάτωση αν ανήκει στο  Ένα αντικείμενο  ονομάζεται ινώδης αν ο μορφισμός  προς το τελικό αντικείμενο είναι νημάτωση, και ονομάζεται συννημάτωση αν ο μορφισμός   από το αρχικό αντικείμενο είναι συννημάτωση.Valery Isaev - On fibrant objects in model categories.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή κατηγορία
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές






Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556



 Categorical programming with inductive and coinductive types () by Varmo Vene
 Philip Wadler: Recursive types for free! () University of Glasgow, June 1990. Draft.
 Algebra and coalgebra () from CLiki
 B. Jacobs, J. Rutten: A Tutorial on (Co) Algebras and (Co) Induction. Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science, vol. 62, 1997, 
 Understanding F-Algebras () by Bartosz Milewski






  A handbook for study and research





 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Γενική τοπολογία
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα