Τοπολογικός συναρτητής

Στη θεωρία κατηγοριών και τη γενική τοπολογία, ένας τοπολογικός συναρτητής είναι αυτός που έχει παρόμοιες ιδιότητες με τον επιλήσμων συναρτητή που προέρχεται από την κατηγορία των τοπολογικών χώρων. Το πεδίο ενός τοπολογικού συναρτητή επιδέχεται κατασκευή παρόμοια με την αρχική τοπολογία (και ισοδύναμα την τελική τοπολογία) μιας οικογένειας συναρτήσεων. Η έννοια των τοπολογικών συναρτητών γενικεύει (και ενισχύει) εκείνη των νηματικών κατηγοριών, για τις οποίες εξετάζεται ένας μόνο μορφισμός αντί μιας οικογένειας

 Ορισμός 
 Πηγή και καταβόθρα
Κύριο άρθρο : Πηγές και καταβόθρες

Μια καταβόθρα  σε μια κατηγορία  αποτελείται από τα ακόλουθα δεδομένα:
 ένα αντικείμενο ,
 μια (ενδεχομένως κατάλληλη) κλάση αντικειμένων 
 και μια κλάση μορφισμών .

Αντίστοιχα, μια καταβόθρα  στην  αποτελείται από 
 ένα αντικείμενο ,
 μια κλάση αντικειμένων 
 και μια κλάση μορφισμών .

Ειδικότερα, μια πηγή  είναι ένα αντικείμενο  εάν το  είναι κενό, ένας μορφισμός  εάν το  είναι ένα σύνολο ενός μόνο στοιχείου. Ομοίως για την καταβόθρα.

 Αρχική πηγή και τελική καταβόθρα
Έστω   μια πηγή σε μια κατηγορία  και έστω   ένας συναρτητής. Η πηγή    λέγεται ότι είναι -iαρχική πηγή  αν ικανοποιεί την ακόλουθη καθολική ιδιότητα.
 Για κάθε αντικείμενο , έναν μορφισμό  και μια οικογένεια μορφισμών  τέτοια ώστε  για κάθε , υπάρχει ένας μοναδικός -μορφισμός  τέτοιος ώστε   και .

Ομοίως, ορίζεται η διπλή έννοια του -τελική καταβόθρα.

Όταν   είναι ένα σύνολο με ένα μόνο στοιχείο, η αρχική πηγή ονομάζεται καρτεσιανός μορφισμός.

 Άνωση 
Έστω ,  δύο κατηγορίες. Έστω  είναι ένας συναρτηστής. Μια πηγή  στο  είναι μια -δομημένη πηγή αν για κάθε  έχουμε  για κάποιο . Με παρόμοιο τρόπο ορίζεται μια -δομημένη καταβόθρα 

Η άνωση μιας  -δομημένης πηγής  είναι μια πηγή  στο   τέτοια ώστε  και  για κάθε  

Η άνωση -δομημένη καταβόθρα ορίζεται με παρόμοιο τρόπο. Εφόσον οι αρχικές και οι τελικές ανυψώσεις ορίζονται μέσω καθολικών ιδιοτήτων, είναι μοναδικές μέχρι ενός μοναδικού ισομορφισμού, αν υπάρχουν.

Εάν μια -δομημένη πηγή  έχει μια αρχική άνωση , λέμε ότι το  είναι μια αρχική -δομή στο  ως προς. Παρομοίως για μια τελική - δομή σε σχέση με μια -δομημένη καταβόθρα 

 Τοπολογικός συναρτητής 

Έστω  είναι ένας συναρτηστής. Τότε οι ακόλουθες δύο συνθήκες είναι ισοδύναμες.
 Κάθε -δομημένη πηγή έχει μια αρχική άνωση. Δηλαδή, υπάρχει πάντα μια αρχική δομή.
 Κάθε -δομημένη καταβόθρα έχει μια τελική άνωση. Δηλαδή, υπάρχει πάντα μια τελική δομή.

Ένας συναρτητής που ικανοποιεί αυτή την προϋπόθεση ονομάζεται τοπολογικός συναρτητής.

Μπορεί κανείς να ορίσει τους τοπολογικούς συναρτητές με διαφορετικό τρόπο, χρησιμοποιώντας τη θεωρία των εμπλουτισμένων κατηγοριών.

Μια συμπαγής κατηγορία   ονομάζεται  τοπολογική (συμπαγής) κατηγορία αν ο επιλήσμων συναρτητής r  είναι τοπολογικός. (Μια τοπολογική κατηγορία μπορεί επίσης να σημαίνει μια εμπλουτισμένη κατηγορία εμπλουτισμένη πάνω στην κατηγορία των τοπολογικών χώρων.) Ορισμένοι απαιτούν μια τοπολογική κατηγορία να ικανοποιεί δύο επιπρόσθετες συνθήκες.
 Σταθερές συναρτήσεις στο  άνωση  σε  -μορφισμούς.
 Τα νημάτα  () είναι μικρά (είναι σύνολα και όχι κατάλληλες κλάσεις).

 Ιδιότητες 
Κάθε τοπολογικός συναρτητής είναι πιστός. 

Έστω  μία από τις ακόλουθες τέσσερις ιδιότητες των κατηγοριών:
 πλήρης κατηγορία
 συν-πλήρης κατηγορία
 καλά τροφοδοτημένη κατηγορία
 συν-καλά τροφοδοτημένη κατηγορία
Εάν  είναι τοπολογικό και το   έχει την ιδιότητα , τότε το  έχει επίσης την ιδιότητα .

Έστω   μια κατηγορία. Τότε οι τοπολογικοί συναρτητές  είναι μοναδικοί μέχρι φυσικού ισομορφισμού.

Παραδείγματα 

Ένα παράδειγμα τοπολογικής κατηγορίας είναι η κατηγορία όλων των τοπολογικών χώρων με συνεχείς απεικονίσεις, όπου χρησιμοποιείται ο τυπικός επιλήσμων συναρτητής.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία









Παραπομπές

Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556






 star-autonomous category at the nLab

 This article is based in part on PlanetMath's article on examples of initial and terminal objects.


Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.






  A handbook for study and research









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Γενική τοπολογία
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα