Κατηγορία συνόλων

Στον μαθηματικό κλάδο της θεωρίας κατηγοριών, η κατηγορία των συνόλων, που συμβολίζεται με Set (Σύνολο), είναι η κατηγορία της οποίας τα αντικείμενα είναι σύνολα. Τα βέλη ή μορφισμοί μεταξύ των συνόλων A και B είναι οι συναρτήσεις από το A στο B, και η σύνθεση των μορφισμών είναι η σύνθεση συναρτήσεων.

Πολλές άλλες κατηγορίες (όπως η κατηγορία των ομάδων, με ομομορφισμούς ομάδων ως βέλη) προσθέτουν δομή στα αντικείμενα της κατηγορίας των συνόλων ή περιορίζουν τα βέλη σε συναρτήσεις συγκεκριμένου είδους (ή και τα δύο).

Ιδιότητες της κατηγορίας των συνόλων

Τα αξιώματα μιας κατηγορίας ικανοποιούνται από το Set (Σύνολο) επειδή η σύνθεση των συναρτήσεων είναι προσεταιριστική και επειδή κάθε σύνολο X έχει μια συνάρτηση ταυτότητας idX : X → X  που χρησιμεύει ως ταυτοτικό στοιχείο για τη σύνθεση συναρτήσεων.

Οι επιμορφισμοί στο Set είναι οι επιρριπτικές απεικονίσεις, οι μονομορφισμοί είναι οι ερριπτικές απεικονίσεις και οι ισομορφισμοί είναι οι αμφιρριπτικές απεικονίσεις.

Το κενό σύνολο χρησιμεύει ως αρχικό αντικείμενο στο Set με κενές συναρτήσεις ως μορφισμούς.  Κάθε μονοσύνολο είναι ένα τερματικό αντικείμενο, με τις συναρτήσεις να αντιστοιχούν όλα τα στοιχεία των συνόλων προέλευσης στο μοναδικό στοιχείο προορισμού ως μορφισμούς. Επομένως, δεν υπάρχουν κενά αντικείμενα στο Set.

Η κατηγορία Set είναι πλήρης και συμπληρωματική. Το γινόμενο σε αυτή την κατηγορία δίνεται από το καρτεσιανό γινόμενο των συνόλων. Το συμπαράγωγο δίνεται από την ασύνδετη ένωση: δεδομένων των συνόλων Ai όπουi κυμαίνεται σε κάποιο σύνολο δεικτών I, κατασκευάζουμε το συμπαράγωγο ως την ένωση των Ai×{i} (το καρτεσιανό γινόμενο με i χρησιμεύει για να εξασφαλίσει ότι όλα τα συστατικά παραμένουν ασύνδετα).

Το Set είναι το πρωτότυπο μιας συγκεκριμένης κατηγορίας. Άλλες κατηγορίες είναι συγκεκριμένες αν "βασίζονται" στο Set με κάποιον καλά καθορισμένο τρόπο.

Κάθε σύνολο δύο στοιχείων χρησιμεύει ως ταξινομητής υποαντικειμένων στο Set. Το αντικείμενο δύναμης ενός συνόλου A δίνεται από το σύνολο δύναμης του, και το εκθετικό αντικείμενο των συνόλων A και B δίνεται από το σύνολο όλων των συναρτήσεων από το A στο B. Το Set είναι επομένως ένα topos (και συγκεκριμένα καρτεσιανό κλειστό και ακριβές κατά την έννοια του Μπαρρ).

Το Set δεν είναι αβελιανό, προσθετικό ούτε προ-προσθετικό.

Κάθε μη κενό σύνολο είναι ένα ερριπτικό αντικείμενο στο Set (Σύνολο). Κάθε σύνολο είναι ένα προβολικό αντικείμενο στο Set (υποθέτοντας το αξίωμα της επιλογής).

Τα πεπερασμένα αναπαραστάσιμα αντικείμενα στο Set είναι τα πεπερασμένα σύνολα. Δεδομένου ότι κάθε σύνολο είναι άμεσο όριο των πεπερασμένων υποσυνόλων του, η κατηγορία Set είναι μια τοπικά πεπερασμένα αναπαραστάσιμη κατηγορία.

Εάν C είναι μια αυθαίρετη κατηγορία, οι ανταλλοίωτοι συναρτητές από C σε Set είναι συχνά ένα σημαντικό αντικείμενο μελέτης. Εάν A είναι ένα αντικείμενο του f C,  τότε ο συνάρτητης από C σε  Set που στέλνει το X στο HomC(X,A) (το σύνολο των μορφισμών στο C από το X στο A)είναι ένα παράδειγμα ενός τέτοιου συναρτητή. Εάν C είναι μια μικρή κατηγορία (δηλαδή η συλλογή των αντικειμένων της σχηματίζει ένα σύνολο), τότε οι ανταλλοίωτοι συναρτητές από C προς το Set, μαζί με τους φυσικούς μετασχηματισμούς ως μορφισμούς, σχηματίζουν μια νέα κατηγορία, μια κατηγορία συναρτητών γνωστή ως κατηγορία presheaves στο C.

Βασικές αρχές για την κατηγορία των συνόλων

Στην θεωρία συνόλων Ζερμέλο-Φράνκελ, η συλλογή όλων των συνόλων δεν είναι σύνολο. Αυτό προκύπτει από το αξίωμα της θεμελίωσης. Οι συλλογές που δεν είναι σύνολα αναφέρονται σε κατάλληλες κλάσεις.
Δεν μπορεί κανείς να χειριστεί τις κατάλληλες κλάσεις όπως χειρίζεται τα σύνολα. Συγκεκριμένα, δεν είναι δυνατό να γράψει κανείς ότι αυτές οι κατάλληλες κλάσεις ανήκουν σε μια συλλογή (είτε σε ένα σύνολο είτε σε μια κατάλληλη κλάση). Αυτό αποτελεί πρόβλημα, διότι σημαίνει ότι η κατηγορία των συνόλων δεν μπορεί να τυποποιηθεί απλά σε αυτό το πλαίσιο. Κατηγορίες όπως το Set, των οποίων η συλλογή αντικειμένων σχηματίζει μια κατάλληλη κλάση, είναι γνωστές ως μεγάλες κατηγορίες, για να διακρίνονται από τις μικρές κατηγορίες, των οποίων τα αντικείμενα σχηματίζουν ένα σύνολο.

Ένας τρόπος για να επιλυθεί το πρόβλημα είναι να εργαστεί κανείς σε ένα σύστημα που δίνει τυπικό χαρακτήρα στις κατάλληλες κλάσεις, όπως η θεωρία συνόλων NBG. Σε αυτό το πλαίσιο, οι κατηγορίες που σχηματίζονται από σύνολα λέγονται μικρές και εκείνες (όπως το Set) που σχηματίζονται από κατάλληλες κλάσεις λέγονται μεγάλες.

Μια άλλη λύση είναι να υποθέσουμε την ύπαρξη των σύμπαντων Γκρότεντικ. Σε γενικές γραμμές, ένα σύμπαν Γκρότεντικ είναι ένα σύνολο που το ίδιο αποτελεί μοντέλο του ZF(C) (Παραδείγματος χάριν αν ένα σύνολο ανήκει σε ένα σύμπαν, τα στοιχεία του και το σύνολο των δυνατοτήτων του θα ανήκουν στο σύμπαν).  Η ύπαρξη των σύμπαντων Γκρότεντικ (εκτός από το κενό σύνολο και το σύνολο  όλων των κληρονομικά πεπερασμένων συνόλων) δεν υπονοείται από τα συνήθη αξιώματα ZF. Πρόκειται για ένα επιπλέον, ανεξάρτητο αξίωμα, που ισοδυναμεί περίπου με την ύπαρξη ισχυρά απρόσιτων πληθικών. Υποθέτοντας αυτό το επιπλέον αξίωμα, μπορεί κανείς να περιορίσει τα αντικείμενα του Set  στα στοιχεία ενός συγκεκριμένου σύμπαντος. (Δεν υπάρχει «σύνολο όλων των συνόλων» μέσα στο μοντέλο, αλλά μπορεί κανείς να συλλογιστεί σχετικά με την κλάση U όλων των εσωτερικών συνόλων, δηλαδή των στοιχείων του U.)

Σε μια παραλλαγή αυτού του σχήματος, η κλάση των συνόλων είναι η ένωση ολόκληρου του πύργου των σύμπαντων του Γκρότεντικ. (Αυτή είναι απαραιτήτως μια κατάλληλη κλάση, αλλά κάθε σύμπαν του Γκρότεντικ είναι ένα σύνολο, επειδή είναι στοιχείο κάποιου μεγαλύτερου σύμπαντος του Γκρότεντικ.) Ωστόσο, δεν εργάζεται κανείς άμεσα με την "κατηγορία όλων των συνόλων". Αντ' αυτού, τα θεωρήματα εκφράζονται με όρους της κατηγορίας SetU, τα αντικείμενα της οποίας είναι τα στοιχεία ενός επαρκώς μεγάλου σύμπαντος Γκρότεντικ U, και στη συνέχεια αποδεικνύεται ότι δεν εξαρτώνται από τη συγκεκριμένη επιλογή του U. Ως βασική αρχή για την θεωρία κατηγοριών, αυτή η προσέγγιση ταιριάζει καλά με ένα σύστημα όπως η θεωρία συνόλων Τάρσκι-Γκρότεντικ, στην οποία δεν μπορεί κανείς να συλλογιστεί άμεσα για τις κατάλληλες κατηγορίες. Το κύριο μειονέκτημά της είναι ότι ένα θεώρημα μπορεί να ισχύει για όλα τα SetU αλλά όχι για το Set.

Έχουν προταθεί διάφορες άλλες λύσεις και παραλλαγές των παραπάνω.

Τα ίδια ζητήματα προκύπτουν και με άλλες συγκεκριμένες κατηγορίες, όπως η κατηγορία των ομάδων ή η κατηγορία των τοπολογικών χώρων.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές









  A handbook for study and research
 Murray Bremner and  Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα