Πεπερασμένος μορφισμός

Στην αλγεβρική γεωμετρία, ένας πεπερασμένος μορφισμός μεταξύ δύο αφινικών ποικιλιών  είναι μια πυκνή κανονική απεικόνιση η οποία επάγει ισομορφικό εγκλεισμό   μεταξύ των δακτυλίων συντεταγμένων τους, έτσι ώστε το  να είναι ολοκλήρωμα  επί  του  . T Αυτός ο ορισμός μπορεί να επεκταθεί στις οιονεί προβολικές ποικιλίες, έτσι ώστε μια κανονική απεικόνιση  μεταξύ οιονεί προβολικών ποικιλιών να είναι πεπερασμένη αν κάθε σημείο  έχει μια αφινική γειτονιά  V τέτοια ώστε   να είναι αφινική και  είναι μια πεπερασμένη απεικόνιση (με βάση τον προηγούμενο ορισμό, επειδή είναι μεταξύ αφινικών ποικιλιών).

 Ορισμός μέσω σχημάτων 

Ένας μορφισμός f: X → Y σχημάτων είναι πεπερασμένος μορφισμός αν το Y έχει ανοικτό κάλυμμα από αφινικά σχήματα

έτσι ώστε για κάθε i,

είναι ένα ανοικτό αφινικό υποσύστημα Spec Ai, και ο περιορισμός του f στο Ui ο οποίος επάγει έναν ομομορφισμό δακτυλίου

κάνει το A iμια πεπερασμένης παραγωγής module επί του Bi (με άλλα λόγια, μια πεπερασμένη  Bi-άλγεβρα)). Λέμε επίσης ότι το X είναι πεπερασμένο επί του Y.

Στην πραγματικότητα, η f  είναι πεπερασμένη αν και μόνο αν για κάθε ανοικτό αφινικό υπόσχημα V = Spec B στο Y, η αντίστροφη εικόνα του V στο X iείναι αφινική, της μορφής Spec A, με το A ένα πεπερασμένα παραγόμενο B-module..

Επί παραδείγματι, για οποιοδήποτε σώμα k,  είναι ένας πεπερασμένος μορφισμός αφού το  as -modules. Γεωμετρικά, αυτό είναι προφανώς πεπερασμένο, αφού πρόκειται για ένα διακλαδισμένο n-φυλλοειδές κάλυμμα της αφινικής γραμμής που εκφυλίζεται στην αρχή. Αντίθετα, ο εγκλεισμός του A1 − 0 στο A1 δεν είναι πεπερασμένος. (Πράγματι, ο πολυωνυμικός δακτύλιος Λοράν k[y, y−1] δεν παράγεται πεπερασμένα ως ενότητα πάνω από το k[y].) Αυτό περιορίζει τη γεωμετρική μας διαίσθηση σε επιφανειακές οικογένειες με πεπερασμένες ίνες.

 Ιδιότητες των πεπερασμένων μορφισμών 

 Η σύνθεση δύο πεπερασμένων μορφισμών είναι πεπερασμένη.
 Κάθε αλλαγή βάσης ενός πεπερασμένου μορφισμού f: X → Y είναι πεπερασμένη. Δηλαδή, αν g: Z → Y είναι οποιοσδήποτε μορφισμός σχημάτων, τότε ο μορφισμός X ×Y Z → Z iπου προκύπτει είναι πεπερασμένος. Αυτό αντιστοιχεί στην ακόλουθη αλγεβρική δήλωση: αν οι  A και C  είναι (αντιμεταθετικές) B-άλγεβρες, και η  A παράγεται πεπερασμένα ως B-module, τότε το τανυστικό γινόμενο A ⊗B C παράγεται πεπερασμένα ως C-module.  Πράγματι, οι γεννήτορες μπορούν να θεωρηθούν ότι είναι τα στοιχεία ai ⊗ 1, όπου ai είναι οι δεδομένες γεννήτορες της A  ως B-module.
 Οι κλειστές βυθίσεις είναι πεπερασμένες, καθώς δίνονται τοπικά από την A → A/I, όπου I είναι το ιδεώδες (τμήμα της ιδεατής σφαίρας) που αντιστοιχεί στο κλειστό υποσχήμα.
 Οι πεπερασμένοι μορφισμοί είναι κλειστοί, άρα (λόγω της σταθερότητάς τους σε αλλαγή βάσης) κατάλληλοι. Αυτό προκύπτει από το θεώρημα των Κοέν-Σέιντενμπεργκ στην αντιμεταθετική άλγεβρα.
 Οι πεπερασμένοι μορφισμοί έχουν πεπερασμένες ίνες (δηλαδή είναι σχεδόν πεπερασμένοι). Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι για ένα σώμα k κάθε πεπερασμένη k-άλγεβρα είναι ένας δακτύλιος Αρτινιάν. Μια συναφής δήλωση είναι ότι για έναν πεπερασμένο υπερθετικό μορφισμό f: X → Y, οι X και Y έχουν την ίδια διάσταση.
 Κατά τον Ντελίν, ένας μορφισμός σχημάτων είναι πεπερασμένος αν και μόνο αν είναι κατάλληλος και οιονεί πεπερασμένος.Grothendieck, EGA IV, Part 4, Corollaire 18.12.4.  Αυτό είχε αποδειχθεί από τον Γκροτέντικ αν ο μορφισμός f: X → Y' είναι τοπικά πεπερασμένης παρουσίασης, πράγμα που προκύπτει από τις άλλες υποθέσεις αν το Y είναι Ναιτεριανό.Grothendieck, EGA IV, Part 3, Théorème 8.11.1.
 Οι πεπερασμένοι μορφισμοί είναι τόσο προβολικοί όσο και αφινικοί.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Αβελιανή ομάδα

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές

Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1966). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 28: 5–255. doi:10.1007/bf02684343. MR 0217086. 
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 32: 5–361. doi:10.1007/bf02732123. MR 0238860. 
Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 
Shafarevich, Igor R. (2013). Basic Algebraic Geometry 1. Springer Science. doi:10.1007/978-3-642-37956-7. ISBN 978-0-387-97716-4.















 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Μορφισμοί
Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα