Κατηγορική λογική

Η κατηγορική λογική είναι ο κλάδος των μαθηματικών στον οποίο εργαλεία και έννοιες από τη θεωρία κατηγοριών εφαρμόζονται στη μελέτη της μαθηματικής λογικής. Είναι επίσης αξιοσημείωτη για τις συνδέσεις της με τη θεωρητική επιστήμη των υπολογιστών.  Σε γενικές γραμμές, η  κατηγορική λογική αναπαριστά τόσο τη σύνταξη όσο και τη σημασιολογία μέσω μιας κατηγορίας, και μια ερμηνεία μέσω ενός συναρτητή. Το κατηγορικό πλαίσιο παρέχει ένα πλούσιο εννοιολογικό υπόβαθρο για λογικές κατασκευές και τη θεωρία των τύπων. Το συγκεκριμένο θέμα είναι αναγνωρίσιμο με αυτούς τους όρους από το 1970 περίπου.

 Επισκόπηση

Υπάρχουν τρία σημαντικά θέματα στην κατηγορική προσέγγιση της λογικής: 
Κατηγορική σημασιολογία Η κατηγορική λογική εισάγει την έννοια της δομής που αποτιμάται σε μια κατηγορία C με την κλασική θεωρητική του μοντέλου έννοια της δομής να εμφανίζεται στην ειδική περίπτωση όπου C είναι η κατηγορία των συνόλων και των συναρτήσεων. Αυτή η έννοια αποδείχθηκε χρήσιμη όταν η έννοια του μοντέλου της θεωρίας συνόλων στερείται γενικότητας και/ή είναι άβολη. Η μοντελοποίηση από τον R.A.G. Seely διαφόρων απροσδιοριστικών θεωριών, όπως το Σύστημα F, είναι ένα παράδειγμα της χρησιμότητας της κατηγορικής σημασιολογίας.

Διαπιστώθηκε ότι τα συνδετικά της προ-κατηγορικής λογικής γίνονταν σαφέστερα κατανοητά με τη χρήση της έννοιας του συζυγούς συναρτητή και ότι οι ποσοδείκτες γίνονταν επίσης καλύτερα κατανοητοί με τη χρήση συζυγών συναρτητών.

Εσωτερικές γλώσσες Αυτό μπορεί να θεωρηθεί ως μια τυποποίηση και γενίκευση της απόδειξης μέσω της διαγραμματικής αναζήτησης. Ορίζεται μια κατάλληλη εσωτερική γλώσσα που ονομάζει τα σχετικά συστατικά μιας κατηγορίας και, στη συνέχεια, εφαρμόζεται η κατηγορική σημασιολογία για να μετατρέψει τις προτάσεις μιας λογικής στην εσωτερική γλώσσα σε αντίστοιχες κατηγορικές δηλώσεις. Αυτή η προσέγγιση γνώρισε τη μεγαλύτερη επιτυχία στη θεωρία των τόπων : η εσωτερική γλώσσα ενός τόπου, σε συνδυασμό με τη σημασιολογία της ανώτερης διαισθητικής λογικής σε έναν τόπο, επιτρέπει τη συλλογιστική πάνω στα αντικείμενα και τις μορφές ενός τόπου σαν να επρόκειτο για σύνολα και συναρτήσεις. γεγονός που επέτρεψε την επιτυχή επεξεργασία τόπων που διαθέτουν «σύνολα» με ιδιότητες ασυμβίβαστες με την κλασική λογική. Ένα εξαιρετικό παράδειγμα είναι το μοντέλο της Ντέινα Σκοτ (Dana Scott) για τον μη τυποποιημένο λογισμό λάμδα με όρους αντικειμένων που ανασύρονται στο δικό τους χώρο συναρτήσεων. Ένα άλλο είναι το μοντέλο των Μόγκι-Χάιλαντ για το σύστημα F μέσω μιας εσωτερικής πλήρους υποκατηγορίας του αποτελεσματικού τόπου του Μάρτιν Χάιλαντ (Martin Hyland).

Κατασκευές μοντέλων όρων Σε πολλές περιπτώσεις, η κατηγορική σημασιολογία μιας λογικής παρέχει μια βάση για την καθιέρωση μιας αντιστοιχίας μεταξύ των θεωριών της λογικής και των περιπτώσεων ενός κατάλληλου είδους κατηγορίας. Ένα κλασικό παράδειγμα είναι η αντιστοιχία μεταξύ των θεωριών της βη-εξισωτικής λογικής πάνω σε απλά τυποποιημένο λογισμό λάμδα και καρτεσιανών κλειστών κατηγοριών. Οι κατηγορίες που προκύπτουν από τις θεωρίες μέσω της κατασκευής μοντέλων όρων μπορούν συνήθως να χαρακτηριστούν ως ισοδύναμες με μια κατάλληλη καθολική ιδιότητα. Αυτό επέτρεψε την απόδειξη των μεταθεωρητικών ιδιοτήτων ορισμένων λογικών μέσω μιας κατάλληλης κατηγοριακής άλγεβρας. Παραδείγματος χάριν, ο Φρέιντ απέδειξε με αυτόν τον τρόπο τις ιδιότητες της διάζευξης και της ύπαρξης της διαισθητικής λογικής.

Τα τρία αυτά θέματα συνδέονται μεταξύ τους. Η κατηγορική σημασιολογία μιας λογικής συνίσταται στην περιγραφή μιας κατηγορίας δομημένων κατηγοριών που σχετίζεται με την κατηγορία των θεωριών αυτής της λογικής μέσω μιας σύζευξης, όπου οι δύο τελεστές της προσάρτησης δίνουν αφενός την εσωτερική γλώσσα μιας δομημένης κατηγορίας και αφετέρου το μοντέλο όρων μιας θεωρίας.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
 Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Προσεταιριστική ιδιότητα
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Τοπολογικός χώρος
 Κατηγορία αβελιανών ομάδων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Αβελιανή ομάδα
 Σύνθεση συνάρτησης
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ένα προς ένα
 Συναρτητής Hom
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

 Βιβλιογραφία









Παραπομπές

Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556






 star-autonomous category at the nLab

 This article is based in part on PlanetMath's article on examples of initial and terminal objects.


Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.






  A handbook for study and research









 Πηγές 






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Γενική τοπολογία 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα