Γ-τάξης Γενικευμένη Κανονική κατανομή

γ-τάξης Γενικευμένη Κανονική κατανομή

Η πολυδιάστατη Κανονική κατανομή, [1], επεκτείνεται λόγω των Λογαριθμικών Ανισοτήτων Σομπόλεφ, [2], και μπορεί να εμφανιστεί ως μία οικογένεια κανονικών κατανομών βασιζόμενη σε μία παράμετρο «σχήματος». Αυτή η παράμετρος σχήματος  μαζί με τις παραμέτρους θέσης,  και διασποράς, , δημιουργεί την  οικογένεια κατανομών με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σππ), [3].

(1) 

όπου η σταθερά κανονικοποίησης C είναι ίση με

(2) 
και

(3) 

Θεωρούμε την , με , δείτε [4], με παράμετρο θέσης (μέση τιμή) , θετική παράμετρο διασποράς , επιπλέον παράμετρο σχήματος  και σππ  η οποία δίνεται από τις (1)–(3) και είναι ίση με, δείτε Σχήμα 1,

(4) 

με

(5) 


Σχήμα 1: Η σππ της τυποποιημένης φ₍γ₎(x) για γ = 2 (Κανονική), γ = −0.1 (κοντά στη Ντιράκ), γ = 1.05 (κοντά στην Ομοιόμορφη) και γ = 30 (κοντά στην Λαπλάς) με p = 1.

Για  ένα τυπικό γράφημα αποτελεί το Σχήμα 2.
́Εστω ότι  τότε οι κεντρικές ροπές υπολογίζονται, [4] ως
(6) 

Όταν , τότε  

Επιπλέον, έχουν υπολογιστεί η διακύμανση και η κύρτωση, [4] ως

(7) 


Σχήμα 2. Η σππ της τυποποιημένης ϕγ(x) για γ = 2 (Κανονική), γ = 3
("ενισχυμένης"-ουράς) με p = 2.

and

(8) 

Ο μετασχηματισμός Λαπλάς μπορεί να προκύψει ως, [5],

(9) 

Όταν  η (9) ανάγεται στην γνωστή μορφή του μετασχηματισμού Λαπλάς της Κανονικής κατανομής , δηλαδή

(10) 

Θεωρούμε . Η περιεχόμενη στα δεξιά γ-τάξης γενικευμένη Κανονική στο σημείο , δείτε [6], ορίζεται ως

και η περιεχόμενη στα αριστερά γ-τάξης γενικευμένη Κανονική στο σημείο  είναι

με  όπως στην (2) με .

Θεωρούμε το λογάριθμο μίας τυχαίας μεταβλητής (τμ)  η οποία ακολουθεί την γ-τάξης γενικευμένη Κανονική κατανομή, δηλαδή, . Τότε λέμε ότι η  ακολουθεί την γ-τάξης «Λογαριθμοκανονική» κατανομή, η οποία συμβολίζεται ως , με σππ, [7]

(11) 

Για μία εφαρμογή της γ-τάξης γενικευμένης Κανονικής κατανομής στη γενίκευση της Εξίσωσης Θερμότητας, [8], δείτε [9].

Παραπομπές

[1] Theodore W. Anderson. An Introduction to Multivariate Statistical Analysis. Wiley-Interscience, 3rd edition, July 2003.

[2] Leonard Gross. Logarithmic Sobolev inequalities. Amer. J. Math., 97(4):1061–1083, 1975.

[3] Christos P. Kitsos and Nikolaos K. Tavoularis. Logarithmic Sobolev Inequalities for Information measures. IEEE Trans. Inform. Theory, 55(6):2554–2561, June 2009.

[4] Christos P. Kitsos and Thomas L. Toulias. On the family of the γ-ordered normal distributions. Far East Journal of Theoretical Statistics, 35(2):95–114, January 2011.

[5] Christos P. Kitsos and Ioannis S. Stamatiou. Laplace transformation for the γ-order generalized Normal . Far East Journal of Theoretical Statistics, 68(1):1–21, 2024.

[6] Christos P. Kitsos, Vassilios G. Vassiliadis, and Thomas L. Toulias. MLE for the γ-order generalized normal distribution. Discussiones Mathematicae - Probability and Statistics, 34(1–2):143–158, 2014.

[7] Thomas L. Toulias and Christos P. Kitsos. On the generalized lognormal distribution. Journal of Probability and Statistics, 2013(1/432642):15 pages, July 2013.

[8] Samuel Karlin and Howard M. Taylor. A First Course in Stochastic Processes. Academic Press, New York, 2nd edition, 1975.

[9] Christos P. Kitsos. Generalizing the Heat Equation. Revstat - Statistical Journal, 23(2):207–221, April 2025.

 Παραπομπές