Διαχωρίσιμο πολυώνυμο

Στα μαθηματικά, ένα πολυώνυμο P(X)  σε ένα δεδομένο σώμα K είναι διαχωρίσιμο αν οι ρίζες του είναι διακριτές σε μια αλγεβρική κλειστότητα του K, δηλαδή ο αριθμός των διακριτών ριζών είναι ίσος με τον βαθμό του πολυωνύμουPages 240-241 of Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001.

Η έννοια αυτή σχετίζεται στενά με το πολυώνυμο χωρίς τετράγωνα. Εάν το K είναι τέλειο σώμα τότε οι δύο έννοιες συμπίπτουν. Γενικά, το P(X)  είναι διαχωρίσιμο αν και μόνο αν είναι ελεύθερο τετραγώνων πάνω σε οποιοδήποτε σώμα που περιέχει το K, το οποίο ισχύει αν και μόνο αν το P(X)  είναι σχετικά πρώτος με την τυπική παράγωγό του D P(X).

Παλαιότερος ορισμός 

Σε έναν παλαιότερο ορισμό, το P(X) θεωρούνταν διαχωρίσιμο αν κάθε ένας από τους μη αναγώγιμους παράγοντες του στο K[X]  είναι διαχωρίσιμος στον σύγχρονο ορισμόN. Jacobson, Basic Algebra I, p. 233. Σε αυτόν τον ορισμό, η διαχωρισιμότητα εξαρτιόταν από το σώμα K- παραδείγματος χάριν, οποιοδήποτε πολυώνυμο πάνω σε ένα τέλειο σώμα θα θεωρούνταν διαχωρίσιμο. Αυτός ο ορισμός, αν και μπορεί να είναι βολικός για τη θεωρία Γκαλουά, δεν χρησιμοποιείται πλέον.

Διαχωρίσιμες επεκτάσεις σωμάτων

Τα διαχωρίσιμα πολυώνυμα χρησιμοποιούνται για τον ορισμό διαχωρίσιμων επεκτάσεων: Μια επέκταση σώματος  είναι διαχωρίσιμη επέκταση αν και μόνο αν για κάθε  στο  που είναι αλγεβρικό πάνω στο , το ελάχιστο πολυώνυμο του  πάνω στο  είναι ένα διαχωρίσιμο πολυώνυμο.

Μη διαχωρίσιμες επεκτάσεις (δηλαδή επεκτάσεις που δεν είναι διαχωρίσιμες) μπορούν να εμφανιστούν μόνο σε θετική χαρακτηριστική. 

Το παραπάνω κριτήριο οδηγεί στο γρήγορο συμπέρασμα ότι αν το P είναι μη αναγώγιμο και μη διαχωρίσιμο, τότε 

P(X) = Q(Xp) 
για κάποιο πολυώνυμο Q πάνω στο K, όπου ο πρώτος αριθμός p είναι ο χαρακτηριστικός.

Με αυτό το στοιχείο μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα παράδειγμα:

P(X) = Xp − T

με K το σώμα των ρητών συναρτήσεων στο απροσδιόριστο T πάνω από το πεπερασμένο σώμα με p στοιχεία. Εδώ μπορεί κανείς να αποδείξει άμεσα ότι το P(X) είναι μη αναγώγιμο και όχι διαχωρίσιμο. Αυτό είναι στην πραγματικότητα ένα τυπικό παράδειγμα του γιατί η αδιαχωρισιμότητα έχει σημασία- σε γεωμετρικούς όρους το P αντιπροσωπεύει την απεικόνιση στην προβολική γραμμή πάνω στο πεπερασμένο σώμα, παίρνοντας συντεταγμένες στην pth δύναμη τους. Τέτοιες απεικονίσεις είναι θεμελιώδεις για την αλγεβρική γεωμετρία των πεπερασμένων σωμάτων. Για να το θέσουμε αλλιώς, υπάρχουν καλύψεις σε αυτό το περιβάλλον που δεν μπορούν να «φανούν» από τη θεωρία Γκαλουά. (Βλέπε Ριζικός μορφισμός ).

Εάν L είναι η επέκταση σώματος
K(T1/p), 
με άλλα λόγια το σώμα διάσπασης του P, τότε το L/K είναι ένα παράδειγμα μιας αμιγώς αδιαχώριστης επέκτασης σώματος. Είναι βαθμού p, αλλά δεν έχει κανένα αυτομορφισμό που να καθορίζει το K, εκτός από την ταυτότητα, επειδή το T1/p είναι η μοναδική ρίζα του P. Αυτό δείχνει άμεσα ότι η θεωρία Γκαλουά πρέπει εδώ να καταρρεύσει. Ένα σώμα στο οποίο δεν υπάρχουν τέτοιες επεκτάσεις ονομάζεται «τέλειο». Το ότι τα πεπερασμένα σώματα είναι τέλεια προκύπτει εκ των υστέρων από τη γνωστή δομή τους.

Μπορεί κανείς να δείξει ότι το τανυστικό γινόμενο των σωμάτων του L με τον εαυτό του πάνω από το K για αυτό το παράδειγμα έχει μη μηδενικά στοιχεία που δεν είναι μηδενικά. Αυτό είναι μια άλλη εκδήλωση της αδιαχωρησιμότητας: δηλαδή, η πράξη του τανυστικού γινομένου επί των σωμάτων δεν είναι απαραίτητο να παράγει ένα δακτύλιο που είναι γινόμενο σωμάτων (άρα, όχι ένα αντιμεταθετικό ημι-απλό δακτύλιο).

Αν το P(x) είναι διαχωρίσιμο και οι ρίζες του σχηματίζουν μια ομάδα (υποομάδα του σώματος K), τότε το P(x) είναι ένα προσθετικό πολυώνυμο.

Εφαρμογές στη θεωρία Γκαλουά

Τα διαχωρίσιμα πολυώνυμα εμφανίζονται συχνά στη θεωρία Γκαλουά.

Επί παραδείγματι, έστω P ένα μη αναγώγιμο πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές και p ένας πρώτος αριθμός που δεν διαιρεί τον πρώτο συντελεστή του P. Έστω Q το πολυώνυμο πάνω στο πεπερασμένο σώμα με p στοιχεία, το οποίο προκύπτει από την αναγωγή modulo p των συντελεστών του P. Τότε, αν το Q είναι διαχωρίσιμο (πράγμα που ισχύει για κάθε p εκτός από έναν πεπερασμένο αριθμό), τότε οι βαθμοί των μη αναγώγιμων παραγόντων του Q είναι τα μήκη των κύκλων κάποιας μετατροπής της ομάδας Γκαλουά του P.

Ένα άλλο παράδειγμα: η P είναι όπως παραπάνω, μια επιλύουσα R για μια ομάδα G είναι ένα πολυώνυμο του οποίου οι συντελεστές είναι πολυώνυμα στους συντελεστές της P, το οποίο παρέχει κάποιες πληροφορίες για την ομάδα Γκαλουά της P. Πιο συγκεκριμένα, αν το R είναι διαχωρίσιμο και έχει μια ρητή ρίζα τότε η ομάδα Γκαλουά του P περιέχεται στο G. Παραδείγματος χάριν, αν D είναι η διακρίνουσα της P τότε  είναι μια επιλύουσα για την εναλλάσσουσα ομάδα. Αυτή η επιλύουσα είναι πάντα διαχωρίσιμη (υποθέτοντας ότι η χαρακτηριστική δεν είναι 2) αν η P είναι μη αναγώγιμη, αλλά οι περισσότερες επιλύουσες δεν είναι πάντα διαχωρίσιμες.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Καμπυλότητα Γκάους
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Σώμα διασπάσεως
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νοεροί υπολογισμοί

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 


 Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001

.   English translation (of 2nd revised edition):  (Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)

 Πηγές 




 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα