Θεώρημα Γκάους-Μπονέ

Στο μαθηματικό κλάδο της διαφορικής γεωμετρίας, το θεώρημα Γκάους-Μπονέ (ή τύπος Γκάους-Μπονέ) είναι ένας θεμελιώδης τύπος που συνδέει την καμπυλότητα μιας επιφάνειας με την υποκείμενη τοπολογία της.

Στην απλούστερη εφαρμογή,  δηλαδή στην περίπτωση του επιπέδου ενός τριγώνου, το άθροισμα των γωνιών του είναι 180 μοίρες[. Το θεώρημα Γκάους-Μπονέ επεκτείνει αυτό σε πιο περίπλοκα σχήματα και καμπύλες επιφάνειες, συνδέοντας την τοπική και την παγκόσμια γεωμετρία.

Το θεώρημα πήρε το όνομά του από τον Καρλ Φρίντριχ Γκάους, ο οποίος ανέπτυξε μια εκδοχή του αλλά δεν τη δημοσίευσε ποτέ, και τον Πιερ Οσάν Μπονέ, ο οποίος δημοσίευσε μια ειδική περίπτωση το 1848.

Δήλωση

Ας υποθέσουμε ότι η  είναι μια συμπαγής δισδιάστατη πολλαπλότητα του Ρίμαν με όριο . Έστω  η γκαουσιανή καμπυλότητα της  και   η γεωδαιτική καμπυλότητα της . Τότε 

όπου  είναι το στοιχείο όγκου του εμβαδού της επιφάνειας, και  είναι το στοιχείο γραμμής κατά μήκος του ορίου του .  Εδώ, είναι η χαρακτηριστική Όιλερ του .

Αν το όριο  είναι τμηματικά λείο, τότε ερμηνεύουμε το ολοκλήρωμα  ως το άθροισμα των αντίστοιχων ολοκληρωμάτων κατά μήκος των λείων τμημάτων του συνόρου, συν το άθροισμα των γωνιών κατά τις οποίες τα λεία τμήματα στρέφονται στις γωνίες του συνόρου.

Πολλές τυπικές αποδείξεις χρησιμοποιούν το θεώρημα των στρεφόμενων εφαπτόμενων, το οποίο δηλώνει χονδρικά ότι ο αριθμός στροφής μιας καμπύλης Ζορντάν είναι ακριβώς ±1.

Απλό παράδειγμα

Ας υποθέσουμε ότι το Μ είναι το βόρειο ημισφαίριο κομμένο από μια σφαίρα ακτίνας R. Η χαρακτηριστική Όιλερ είναι 1. Στο αριστερό μέρος του θεωρήματος, έχουμε  και    επειδή το όριο είναι ο ισημερινός και ο ισημερινός είναι μια γεωδαισιακή της σφαίρας. Τότε .

Από την άλλη πλευρά, ας υποθέσουμε ότι ισοπεδώνουμε το ημισφαίριο για να το κάνουμε δίσκο. Αυτός ο μετασχηματισμός είναι ομοιομορφισμός, οπότε η χαρακτηριστική του Όιλερ εξακολουθεί να είναι 1. Ωστόσο, στην αριστερή πλευρά του θεωρήματος έχουμε τώρα  και , επειδή μια περιφέρεια δεν είναι γεωδαισιακή του επιπέδου. Τότε .

Τέλος, ας πάρουμε μια σφαιρική οκτάδα, επίσης ομοιομορφική με τις προηγούμενες περιπτώσεις. Τότε . Τώρα  σχεδόν παντού κατά μήκος του ορίου, το οποίο είναι ένα γεωδαιτικό τρίγωνο. Αλλά έχουμε τρεις ορθογώνιες γωνίες, οπότε .

Ερμηνεία και σημασία
Το θεώρημα ισχύει ιδίως για συμπαγείς επιφάνειες χωρίς όρια, οπότε το ολοκλήρωμα

μπορεί να παραλειφθεί. Δηλώνει ότι η συνολική καμπυλότητα Γκάους μιας τέτοιας κλειστής επιφάνειας είναι ίση με 2 φορές τη χαρακτηριστική του Όιλερ της επιφάνειας. Σημειώστε ότι για προσανατολισμένες συμπαγείς επιφάνειες χωρίς όριο, η χαρακτηριστική του Όιλερ ισούται με }, όπου  είναι το γένος της επιφάνειας: Οποιαδήποτε προσανατολισμένη συμπαγής επιφάνεια χωρίς όριο είναι τοπολογικά ισοδύναμη με μια σφαίρα με κάποιες χειρολαβές προσαρτημένες, και το  μετράει τον αριθμό των χειρολαβών.

Αν κάμπτεται και παραμορφώνεται η επιφάνεια , η χαρακτηριστική του Όιλερ, που είναι τοπολογικό αναλλοίωτο, δεν θα αλλάξει, ενώ οι καμπυλότητες σε κάποια σημεία θα αλλάξουν. Το θεώρημα δηλώνει, κάπως εκπληκτικά, ότι το συνολικό ολοκλήρωμα όλων των καμπυλοτήτων θα παραμείνει το ίδιο, ανεξάρτητα από τον τρόπο με τον οποίο γίνεται η παραμόρφωση. Έτσι, για παράδειγμα, αν έχετε μια σφαίρα με ένα «βαθούλωμα», τότε η συνολική καμπυλότητα της είναι 4 (η χαρακτηριστική του Όιλερ μιας σφαίρας είνα

Η πυκνότητα της επιφάνειας είναι ζωτικής σημασίας. Ας θεωρήσουμε φερ' ειπείν τον ανοικτό μοναδιαίο δίσκο, μια μη συμπαγή επιφάνεια Ρίμαν χωρίς όριο, με καμπυλότητα 0 και με χαρακτηριστική Όιλερ 1: ο τύπος Γκάους-Μπονέ δεν λειτουργεί. Ισχύει όμως για τον συμπαγή κλειστό μοναδιαίο δίσκο, ο οποίος επίσης έχει χαρακτηριστική Όιλερ 1, λόγω του προστιθέμενου συνοριακού ολοκληρώματος με τιμή 2.

Ως εφαρμογή, ένας τόρος έχει χαρακτηριστική Όιλερ  0, οπότε η συνολική καμπυλότητα του πρέπει επίσης να είναι μηδέν. Αν ο τόρος φέρει τη συνηθισμένη μετρική Ρίμαν από την ενσωμάτωσή του στο , τότε το εσωτερικό έχει αρνητική καμπυλότητα Γκάους, το εξωτερικό έχει θετική καμπυλότητα Γκάους και η συνολική καμπυλότητα είναι πράγματι 0. Είναι επίσης δυνατό να κατασκευάσουμε έναν τόρο ταυτίζοντας αντίθετες πλευρές ενός τετραγώνου, οπότε η μετρική του Ριμάν στον τόρο είναι επίπεδη και έχει σταθερή καμπυλότητα 0, με αποτέλεσμα και πάλι η συνολική καμπυλότητα να είναι 0. Δεν είναι δυνατό να προσδιορίσουμε μια μετρική του Ριμάν στον τόρο με παντού θετική ή παντού αρνητική καμπυλότητα Γκάους.

Για τρίγωνα  

Μερικές φορές ο τύπος Γκάους Μπονέ διατυπώνεται ως εξής



όπου  είναι ένα γεωδαιτικό τρίγωνο. Εδώ ορίζουμε ως «τρίγωνο» στο  μια απλά συνδεδεμένη περιοχή της οποίας το όριο αποτελείται από τρεις γεωδαισιακές. Μπορούμε στη συνέχεια να εφαρμόσουμε το GB στην επιφάνεια  που σχηματίζεται από το εσωτερικό αυτού του τριγώνου και το κομμάτι-όριο του τριγώνου.

Η γεωδαισιακή καμπυλότητα των συνοριακών γεωδαισιακών είναι 0, και η χαρακτηριστική Όιλερ της  είναι 1.

Επομένως, το άθροισμα των γωνιών στροφής του γεωδαιτικού τριγώνου είναι ίσο με 2 μείον τη συνολική καμπυλότητα εντός του τριγώνου. Δεδομένου ότι η γωνία στροφής σε μια γωνία είναι ίση με  μείον την εσωτερική γωνία, μπορούμε να το αναδιατυπώσουμε ως εξής:

 Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός γεωδαιτικού τριγώνου είναι ίσο με  συν τη συνολική καμπυλότητα που περικλείεται από το τρίγωνο: 

Στην περίπτωση του επιπέδου (όπου η γκαουσιανή καμπυλότητα είναι 0 και οι γεωδαισιακές είναι ευθείες), ανακτούμε τον γνωστό τύπο για το άθροισμα των γωνιών σε ένα συνηθισμένο τρίγωνο. Στην κανονική σφαίρα, όπου η καμπυλότητα είναι παντού 1, βλέπουμε ότι το άθροισμα των γωνιών των γεωδαισιακών τριγώνων είναι πάντα μεγαλύτερο από .

 Ειδικές περιπτώσεις  

Ορισμένα προηγούμενα αποτελέσματα στη σφαιρική γεωμετρία και την υπερβολική γεωμετρία, που ανακαλύφθηκαν τους προηγούμενους αιώνες, εντάχθηκαν ως ειδικές περιπτώσεις του Γκάους-Μπονέ. 

 Τρίγωνα 
Στη σφαιρική τριγωνομετρία και την υπερβολική τριγωνομετρία, το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ανάλογο με το ποσό κατά το οποίο οι εσωτερικές γωνίες του δεν αθροίζουν 180°, ή ισοδύναμα με το (αντίστροφο) ποσό κατά το οποίο οι εξωτερικές γωνίες του δεν αθροίζουν 360°.

Το εμβαδόν ενός σφαιρικού τριγώνου είναι ανάλογο με την περίσσεια του, σύμφωνα με το θεώρημα του Ζιράρ - το ποσό κατά το οποίο οι εσωτερικές του γωνίες αθροίζουν περισσότερο από 180°, το οποίο είναι ίσο με το ποσό κατά το οποίο οι εξωτερικές του γωνίες αθροίζουν λιγότερο από 360°.

Το εμβαδόν ενός υπερβολικού τριγώνου, αντίστροφα, είναι ανάλογο με το “'ελάττωμά”' του, όπως διαπιστώθηκε από τον Γιόχαν Χάινριχ Λάμπερτ.

 Πολύεδρα 

Το θεώρημα του Ντεκάρτ για το συνολικό γωνιακό ελάττωμα ενός πολυέδρου είναι το γραμμικό ανάλογο: 

δηλώνει ότι το άθροισμα του ελαττώματος σε όλες τις κορυφές ενός πολυέδρου που είναι ομοιομορφικό με τη σφαίρα είναι 4. Γενικότερα, αν το πολύεδρο έχει χαρακτηριστική του Όιλερ {{math|“'χ”  2 - 2'“g”'}} (όπου  είναι το γένος, ο «αριθμός των οπών»), τότε το άθροισμα της ατέλειας είναι . 

Αυτή είναι η ειδική περίπτωση του Γκάους-Μπονέ, στην οποία η καμπυλότητα συγκεντρώνεται σε διακριτά σημεία (τις κορυφές). Σκεπτόμενοι την καμπυλότητα ως μέτρο και όχι ως συνάρτηση, το θεώρημα του Ντεκάρτ είναι Γκάους-Μπονέ όπου η καμπυλότητα είναι ένα διακριτό μέτρο, και το Γκάους-Μπονέ για μέτρα γενικεύει τόσο το Γκάους-Μπονέ για λείες πολλαπλότητες όσο και το θεώρημα του Ντεκάρτ.

Συνδυαστικά ανάλογα 

Υπάρχουν αρκετά συνδυαστικά ανάλογα του θεωρήματος Γκάους-Μπονέ. Αναφέρουμε το ακόλουθο. Έστω  μια πεπερασμένη δισδιάστατη ψευδο-πολλαπλότητα. Έστω  ο αριθμός των τριγώνων που περιέχουν την κορυφή . Τότε

όπου το πρώτο άθροισμα εκτείνεται στις κορυφές στο εσωτερικό του , το δεύτερο άθροισμα εκτείνεται στις συνοριακές κορυφές και  είναι η χαρακτηριστική Όιλερ του .

Παρόμοιοι τύποι μπορούν να προκύψουν για δισδιάστατη ψευδο-πολλαπλότητα όταν αντικαταστήσουμε τα τρίγωνα με ανώτερα πολύγωνα. Για πολύγωνα με  κορυφές, πρέπει να αντικαταστήσουμε τα 3 και 6 στον παραπάνω τύπο με  και  αντίστοιχα.
Επί παραδείγματι, για τα τετράπλευρα πρέπει να αντικαταστήσουμε το 3 και το 6 στον παραπάνω τύπο με 2 και 4, αντίστοιχα. Πιο συγκεκριμένα, αν  είναι μια κλειστή δισδιάστατη ψηφιακή πολλαπλότητα, το γένος αποδεικνύεται 

όπου  δηλώνει τον αριθμό των σημείων της επιφάνειας, καθένα από τα οποία έχει  γειτονικά σημεία στην επιφάνεια. Αυτός είναι ο απλούστερος τύπος του θεωρήματος Γκάους-Μπονέ στον τρισδιάστατο ψηφιακό χώρο.

Γενικεύσεις

Το θεώρημα Τσέρν (από το Σινγκ-Σεν Τσέρν 1945) είναι η -διάστατη γενίκευση του GB (βλέπε επίσης ομομορφισμός Τσέρν-Βέιλ).

Το θεώρημα Ρίμαν-Ροχ μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως γενίκευση του GB σε μιγαδικές πολλαπλότητες.

Μια εκτεταμένη γενίκευση που περιλαμβάνει όλα τα προαναφερθέντα θεωρήματα είναι το θεώρημα του δείκτη Ατιγιά-Σίνγκερ.

Μια γενίκευση σε 2-πολλαπλότητες που δεν χρειάζεται να είναι συμπαγείς είναι η ανισότητα Κον-Βόσεν.


Στη δημοφιλή κουλτούρα

Στο μυθιστόρημα «“Διασπορά»” του Γκρεγκ Έγκαν, δύο χαρακτήρες συζητούν την εξαγωγή αυτού του θεωρήματος.

Το θεώρημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί άμεσα ως σύστημα ελέγχου της γλυπτικής - για παράδειγμα, στο έργο του Έντμουντ Χάρις που βρίσκεται στη συλλογή του Κολεγίου Αριστείας του Πανεπιστημίου του Άρκανσο.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Τριγωνομετρική συνάρτηση
 Βαθμωτό πεδίο
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Υπερβολική γεωμετρία
 Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Καμπυλότητα Γκάους
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Μιγαδικός αριθμός
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 





 .

 . Review: Séquin, Carlo H. (2009), Journal of Mathematics and the Arts'' 3: 229–230, 

Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Κατηγορία:Διαφορική τοπολογία
Κατηγορία:Εμβαδόν
Κατηγορία:Επιφάνειες
Κατηγορία:Υπερβολική γεωμετρία
Κατηγορία:Σφαίρα