Ομάδα Βέιλ

Στα μαθηματικά, μια ομάδα Βέιλ, που εισήχθη από τον Αντρέ Βέιλ  (, είναι μια τροποποίηση της απόλυτης ομάδας Γκαλουά ενός τοπικού ή ολικού σώματος, που χρησιμοποιείται στη θεωρία κλάσεων σωμάτων.  Για ένα τέτοιο σώμα F, η ομάδα Βέιλ συμβολίζεται συνήθως με WF. Υπάρχουν επίσης τροποποιήσεις "πεπερασμένου επιπέδου" των ομάδων Γκαλουά: Αν η  E/F  είναι μια πεπερασμένη επέκταση, τότε η σχετική ομάδα Βέιλ της E/F είναι WE/F = WF/WEc (όπου ο δείκτης c υποδηλώνει την υποομάδα αντιμεταθέτη).

Για περισσότερες λεπτομέρειες σχετικά με τις ομάδες Βέιλ, Βλ..  Αρτίν  ή Τέιτ  ή Βέιλ .

Κατασκευή κλάσεως

Η ομάδα Βέιλ μιας κατασκευής κλάσεως με θεμελιώδεις κλάσεις uE/F ∈ H2(E/F, AF) είναι ένα είδος τροποποιημένης ομάδας Γκαλουά, που χρησιμοποιείται σε διάφορες διατυπώσεις της θεωρίας κλάσεων σωμάτων, και ιδίως στο πρόγραμμα Λάνγκλαντς.

Εάν το E/F είναι ένα κανονικό στρώμα, τότε η (σχετική) ομάδα Βέιλ WE/F του E/F είναι η προέκταση
1 → AF → WE/F → Gal(E/F) → 1
είναι η επέκταση 
που αντιστοιχεί (χρησιμοποιώντας την ερμηνεία των στοιχείων της συνομολογίας της δεύτερης ομάδας ως κεντρικές επεκτάσεις) στη θεμελιώδη κλάσηuE/F στην H2(Gal(E/F), AF). Η ομάδα Βέιλ ολόκληρου του σχηματισμού ορίζεται ως το αντίστροφο όριο των ομάδων Βέιλ όλων των στρωμάτων 
G/F, για την F μια ανοικτή υποομάδα του  G.

Η απεικόνιση της αμοιβαιότητας του σχηματισμού κλάσης (G, A) επάγει έναν ισομορφισμό από την AG  στην αβελιανοποίηση της ομάδας του Βέιλ.

Αρχιμήδειο τοπικό σώμα

Για τα αρχιμήδεια τοπικά σώματα η ομάδα Βέιλ είναι εύκολο να περιγραφεί: για το C είναι η ομάδα C× των μη μηδενικών μιγαδικών αριθμών και για το R είναι μια μη διασπασμένη επέκταση της ομάδας Γκαλουά τάξης 2 από την ομάδα των μη μηδενικών μιγαδικών αριθμών και μπορεί να ταυτιστεί με την υποομάδα C× ∪ j C× των μη μηδενικών τετράδων.

Τοπικό σώμα

Για ένα τοπικό σώμα με χαρακτηριστική p > 0,  η ομάδα Βέιλ είναι η υποομάδα της απόλυτης ομάδας Γκαλουά των στοιχείων που ενεργούν ως δύναμη του αυτομορφισμού Φρόμπενιους στο σταθερό σώμα (η ένωση όλων των πεπερασμένων υποσωμάτων).

Για p-adic σώματα, η ομάδα Βέιλ είναι μια πυκνή υποομάδα της απόλυτης ομάδας Γκαλουά και αποτελείται από όλα τα στοιχεία των οποίων η εικόνα στην ομάδα Γκαλουά του υποσυνόλου υπολοίπων είναι μια ακέραια δύναμη του αυτομορφισμού Φρόμπενιους.

Πιο συγκεκριμένα, σε αυτές τις περιπτώσεις, η ομάδα Βέιλ δεν έχει την τοπολογία του υποχώρου, αλλά μια λεπτότερη τοπολογία. Αυτή η τοπολογία ορίζεται δίνοντας στην υποομάδα αδράνειας την τοπολογία του υποχώρου της και επιβάλλοντας να είναι μια ανοιχτή υποομάδα της ομάδας Βέιλ. (Η τοπολογία που προκύπτει είναι "τοπικά προπεπερασμένη").

Σώμα συνάρτησης

Για ολικά σώματα με χαρακτηριστική p>0 (σώματα συναρτήσεων), η ομάδα Βέιλ είναι η υποομάδα της απόλυτης ομάδας Γκαλουά των στοιχείων που δρουν ως δύναμη του αυτομορφισμού Φρομπένιους στο σταθερό σώμα (την ένωση όλων των πεπερασμένων υποσωμάτων).

Σώμα Αριθμών

Για σώματα αριθμών δεν υπάρχει καμία γνωστή "φυσική" κατασκευή της ομάδας Βέιλ χωρίς τη χρήση κύκλων για την κατασκευή της επέκτασης. Η απεικόνιση από την ομάδα Βέιλ στην ομάδα Γκαλουά είναι επιρριπτική και ο πυρήνας της είναι η συνδεδεμένη συνιστώσα της ταυτότητας της ομάδας Βέιλ, η οποία είναι αρκετά περίπλοκη.

Ομάδα Βέιλ-Ντελίν 

Το σχήμα ομάδας Βέιλ-Ντελίν (ή απλά ομάδα Βέιλ-Ντελίν) W′K ενός μη-αρχιμήδειου τοπικού σώματος, “'K”', είναι μια επέκταση της ομάδας Βέιλ WK με ένα μονοδιάστατο προσθετικό ομαδικό σχήμα Ga, που εισήχθη από τον Ντελίν (. Σε αυτή την επέκταση η ομάδα Βέιλ ενεργεί στην 
προσθετική ομάδα ως εξής

όπου το w δρα στο σώμα καταλοίπων της τάξης q με a→a||w|| with ||w|| μια δύναμη του q.

Η τοπική αντιστοιχία Λάνγκλαντς για το GLn πάνω από το K (που έχει πλέον αποδειχθεί) δηλώνει ότι υπάρχει μια φυσική αμφίρριψη μεταξύ των κλάσεων ισομορφισμού των μη αναγώγιμων αποδεκτών απεικονίσεων του GLn(K)και ορισμένων n-διάστατων απεικονίσεων της ομάδας Βέιλ-Ντελίν του K.

Η ομάδα Βέιλ-Ντελίν εμφανίζεται συχνά μέσω των αναπαραστάσεών της. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η ομάδα Βέιλ-Ντελίν μερικές φορές θεωρείται ότι είναι WK × SL(2,C) ή WK × SU(2,R), ή απλά καταργείται και χρησιμοποιούνται απεικονίσεις Βέιλ-Ντελίν της WK

Στην αρχιμήδεια περίπτωση, η ομάδα Βέιλ-Ντελίν ορίζεται απλά ως ομάδα Βέιλ.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Καμπυλότητα Γκάους
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Σώμα διασπάσεως
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νοεροί υπολογισμοί

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 

 , reprinted in volume I of his collected papers, 











 Πηγές 





 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα