Σύνθετο σώμα (μαθηματικά)

Το σύνθετο σώμα   είναι ένα αντικείμενο μελέτης στη θεωρία των σωμάτων. Έστω K ένα σώμα, και έστω , 

του K. Τότε το (εσωτερικό) σύνθετοRoman, p. 42. των  και  είναι το σώμα που ορίζεται ως η τομή όλων των υποσωμάτων του Κ που εμπεριέχονται τόσο το  όσο και το . Το σύνθετο συμβολίζεται συνήθως ως .

Ιδιότητες

Ισοδύναμα με τις τομές μπορούμε να ορίσουμε το σύνθετο  ως το μικρότερο υπόσωμα  του K που περιέχει τόσο το  όσο και το . Ενώ για τον ορισμό μέσω της τομής, η ευκρίνεια εξαρτάται μόνο από την ιδιότητα ότι οι τομές των σωμάτων είναι τα ίδια σωμάτα, εδώ περιλαμβάνονται δύο βοηθητικοί ισχυρισμοί. Πρώτον, ότι υπάρχουν ελάχιστα υποσώματα του K που περιλαμβάνουν τα  και  και δεύτερον, ότι ένα τέτοιο ελάχιστο υπόσωμα είναι μοναδικό και επομένως δίκαια ονομάζεται το μικρότερο.

Μπορεί επίσης να οριστεί χρησιμοποιώντας το σώμα των κλασμάτων

όπου  είναι το σύνολο όλων των -ρητών εκφράσεων σε πεπερασμένα πολλά στοιχεία του .

Έστω  ένα κοινό υπόσωμα και  μια επέκταση Γκαλουά τότε  και  είναι και τα δύο επίσης Γκαλουά και υπάρχει ένας ισομορφισμός που δίνεται από τον περιορισμό

Για τις πεπερασμένες επεκτάσεις σωμάτων αυτό μπορεί να βρεθεί ρητά στον Μιλν Milne, p. 40; take into account the preliminary definition of Galois as finite on p. 37 και για τις άπειρες επεκτάσεις αυτό προκύπτει αφού οι άπειρες επεκτάσεις Γκαλουά είναι ακριβώς εκείνες οι επεκτάσεις που είναι ενώσεις ενός (άπειρου) συνόλου πεπερασμένων επεκτάσεων Γκαλουά.Milne, p. 93 and 99

Αν επιπλέον η  είναι μια επέκταση Γκαλουά τότε οι  και  είναι επίσης Γκαλουά και η απεικόνιση

είναι ένας ομοιομορφισμός ομάδας που είναι ισομορφισμός στην υποομάδα

Βλ.. Milne.Milne, p. 41 and 93

Και οι δύο ιδιότητες είναι ιδιαίτερα χρήσιμες για  και οι δηλώσεις τους απλοποιούνται ανάλογα σε αυτή την ειδική περίπτωση. Ειδικότερα, το  είναι πάντα ισομορφισμός σε αυτή την περίπτωση.

 Εξωτερικό σύνθετο 

Όταν τα  και  δεν θεωρούνται υποσώματα ενός κοινού σώματος, τότε το (εξωτερικό) σύνθετο ορίζεται χρησιμοποιώντας το τανυστικό γινόμενο των σωμάτων. Ας σημειωθεί ότι πρέπει να δοθεί κάποια προσοχή στην επιλογή του κοινού υποσώματος πάνω στο οποίο εκτελείται αυτό το τανυστικό γινόμενο, διαφορετικά το τανυστικό γινόμενο μπορεί να καταλήξει να είναι μόνο μια άλγεβρα που δεν είναι σώμα.

 Γενικεύσεις 

Αν  είναι ένα σύνολο από υποσώματα ενός σταθερού σώματος K που δεικτοδοτείται από το σύνολο I, το γενικευμένο σύνθετο σώμα μπορεί να οριστεί μέσω της τομής



 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Διδιάστατος χώρος
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Υπερβολική γεωμετρία
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Καμπυλότητα Γκάους
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Διάσταση Κρουλ
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 

 , especially chapter 2






 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.
 Theodor Schneider: Einführung in die transzendenten Zahlen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Bd. 81, ). Springer, Berlin u. a. 1957.
 Bartel Leendert van der Waerden: Algebra (= Heidelberger Taschenbücher. Bd. 12) Band 1. 8. Auflage. Springer, Berlin u. a. 1971, ISBN 3-540-03561-3.



Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα