Τελεστής Ντ' Αλαμπέρ

Στην ειδική σχετικότητα, στον ηλεκτρομαγνητισμό και στην κυματική θεωρία, ο τελεστής Ντ' Αλαμπέρ (συμβολίζεται με ένα κουτί: ), που ονομάζεται επίσης τελεστής Ντ' Αλαμπέρ, κυματικός τελεστής, τελεστής κουτιού ή μερικές φορές τελεστής quabla (βλ. σύμβολο Ανάδελτα) είναι ο τελεστής Λαπλάς του χώρου Μινκόβσκι. Ο τελεστής πήρε το όνομά του από τον Γάλλο μαθηματικό και φυσικό Ζαν λε Ρον Ντ' Αλεμπέρ.

Στο χώρο Μινκόφσκι, σε τυπικές συντεταγμένες  , έχει τη μορφή



Εδώ  είναι ο τρισδιάστατος τελεστής Λαπλάς και   είναι η αντίστροφη μετρική Μινκόβσκι με

, ,  for .

Ας σημειωθεί ότι οι δείκτες άθροισης  και  κυμαίνονται από 0 έως 3: Βλ. συμβολισμός Αϊνστάιν.

(Ορισμένοι συγγραφείς χρησιμοποιούν εναλλακτικά την αρνητική μετρική υπογραφή , με .)

Οι μετασχηματισμοί Λορέντζ αφήνουν αναλλοίωτη τη μετρική Μινκόβσκι, οπότε ο Ντ' Αλαμπέρ δίνει ένα βαθμωτό Λόρεντζ. Οι παραπάνω εκφράσεις των συντεταγμένων παραμένουν έγκυρες για τις τυπικές συντεταγμένες σε κάθε αδρανειακό σύστημα.

Το σύμβολο του κουτιού και εναλλακτικές σημειώσεις

Υπάρχουν διάφορες σημειώσεις για το Ντ' Αλαμπέρ. Οι πιο συνηθισμένες είναι το σύμβολο «“κουτί»”  (Unicode: U+2610) του οποίου οι τέσσερις πλευρές αντιπροσωπεύουν τις τέσσερις διαστάσεις του χωροχρόνου και το σύμβολο τετράγωνο κουτί «“box-squared»”  το οποίο τονίζει την βαθμωτή ιδιότητα μέσω του τετραγωνικού όρου (όπως και ο τελεστής Λαπλάς). Σύμφωνα με τον τριγωνικό συμβολισμό τoυ Λαπλάς, μερικές φορές χρησιμοποιείται το .

Ένας άλλος τρόπος για να γράψουμε το Ντ' Αλαμπέρ σε επίπεδες τυπικές συντεταγμένες είναι . Αυτός ο συμβολισμός χρησιμοποιείται εκτενώς στην κβαντική θεωρία πεδίου, όπου οι μερικές παράγωγοι συνήθως δεικτοδοτούνται, οπότε η έλλειψη δείκτη με την τετραγωνική μερική παράγωγο σηματοδοτεί την παρουσία του Ντ' Αλαμπέρ.

Μερικές φορές το σύμβολο του κουτιού χρησιμοποιείται για να αναπαραστήσει την τετραδιάστατη συναλλοίωτη παράγωγο Λεβί-Κιβίτα. Το σύμβολο  χρησιμοποιείται στη συνέχεια για να αναπαραστήσει τις χωρικές παραγώγους, αλλά αυτό εξαρτάται από το διάγραμμα συντεταγμένων.

Εφαρμογές
Η κυματική εξίσωση για μικρές δονήσεις είναι της μορφής

όπου  είναι η μετατόπιση.

Η κυματική εξίσωση για το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο στο κενό είναι

όπου   είναι το ηλεκτρομαγνητικό τετραδυναμικό στο μέτρο Λόρεντζ.

Η εξίσωση Κλάιν-Γκόρντον έχει τη μορφή

Συνάρτηση του Γκριν
Η συνάρτηση του Γκριν, , για το Ντ' Αλαμπέρ ορίζεται από την εξίσωση

όπου  είναι η πολυδιάστατη συνάρτηση δέλτα Ντιράκ και  και   είναι δύο σημεία στο χώρο Μινκόβσκι.

Μια ειδική λύση δίνεται από την καθυστερημένη συνάρτηση του Γκριν, η οποία αντιστοιχεί στη διάδοση του σήματος μόνο προς τα εμπρός στο χρόνο

όπου είναι η Μοναδιαία βηματική συνάρτηση.

 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Διδιάστατος χώρος
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Υπερβολική γεωμετρία
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Καμπυλότητα Γκάους
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Διάσταση Κρουλ
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 







 . Review: Séquin, Carlo H. (2009), Journal of Mathematics and the Arts 3: 229–230, 

Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Κατηγορία:Θεωρήματα στην ανάλυση
Κατηγορία:Μαθηματική ανάλυση
Κατηγορία:Επιφάνειες
Κατηγορία:Διαφορική τοπολογία
Κατηγορία:Διανύσματα
Κατηγορία:Διανυσματικός λογισμός
Κατηγορία:Μαθηματικές συναρτήσεις