Θεώρημα Κρόνεκερ-Βέμπερ

Στην αλγεβρική θεωρία αριθμών, μπορεί να αποδειχθεί ότι κάθε κυκλοτομικό σώμα είναι μια αβελιανή επέκταση του ρητού αριθμητικού σώματος Q', με ομάδα Γκαλουά της μορφής . Το Θεώρημα Κρόνεκερ-Βέμπερ παρέχει μια μερική αντιστροφή: κάθε πεπερασμένη αβελιανή επέκταση του Q περιέχεται μέσα σε κάποιο κυκλοτομικό σώμα. Με άλλα λόγια, κάθε αλγεβρικός ακέραιος του οποίου η ομάδα Γκαλουά είναι αβελιανή μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα ριζών της ενότητας με ρητούς συντελεστές. Παραδείγματος χάριν,

  και 

Το θεώρημα πήρε το όνομά του από τους Λέοπολντ Κρόνεκερ και Χάινριχ Μάρτιν Βέμπερ.

 Θεωρία σωμάτων διατύπωση 

Το θεώρημα Κρόνεκερ-Βέμπερ μπορεί να διατυπωθεί σε όρους σωμάτων και επεκτάσεων σωμάτων. Συγκεκριμένα, το θεώρημα Κρόνεκερ-Βέμπερ δηλώνει: κάθε πεπερασμένη αβελιανή επέκταση των ρητών αριθμών Q είναι ένα υποσώμα ενός κυκλοτομικού σώματος. 
Δηλαδή, όποτε ένα αλγεβρικό σώμα αριθμών έχει μια ομάδα Γκαλουά πάνω από το Q  που είναι αβελιανή ομάδα, το σώμα είναι υποσώμα ενός σώματος που προκύπτει από την πρόσθεση μιας ρίζας της ενότητας στους ρητούς αριθμούς.

Για μια δεδομένη αβελιανή επέκταση K του Q υπάρχει ένα ελάχιστο κυκλοτομικό σώμα που το περιέχει. Το θεώρημα επιτρέπει να ορίσουμε τον αγωγό του K ως τον μικρότερο ακέραιο αριθμό n, ώστε το K να βρίσκεται μέσα στο σώμα που παράγεται από τις n-th  ρίζες της ενότητας. Επί παραδείγματι, τα τετραγωνικά σώματα έχουν ως αγωγό την απόλυτη τιμή της διακρίνουσας τους, γεγονός που γενικεύεται στη θεωρία κλάσεων σωμάτων.

Ιστορία

Το θεώρημα διατυπώθηκε για πρώτη φορά από τον Κρόνεκερ (), αν και το επιχείρημά του δεν ήταν πλήρες για επεκτάσεις βαθμού δύναμης του 2. 
Ο Βέμπερ () δημοσίευσε μια απόδειξη, η οποία όμως είχε κάποια κενά και λάθη που επισημάνθηκαν και διορθώθηκαν από τον Νόιμαν (1981). Η πρώτη πλήρης απόδειξη δόθηκε από τον Χίλμπερτ ().

Γενικεύσεις

Οι Λούμπιν και Τέιτ () απέδειξαν το τοπικό θεώρημα Κρόνεκερ-Βέμπερ, το οποίο δηλώνει ότι οποιαδήποτε αβελιανή επέκταση ενός τοπικού σώματος μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας κυκλοτομικές επεκτάσεις και επεκτάσεις Λούμπιν-Τέιτ. Οι Χάζεβινκελ (), Ρόζεν () και Λούμπιν ( ) έδωσαν άλλες αποδείξεις.

Το δωδέκατο πρόβλημα του Χίλμπερτ ζητά γενικεύσεις του θεωρήματος Κρόνεκερ-Βέμπερ σε μη αβελιανές επεκτάσεις ρητών αριθμών και ζητά τα ανάλογα των ριζών της ενότητας για τα σώματα αυτά. Μια διαφορετική προσέγγιση στις αβελιανές επεκτάσεις δίνεται από τη θεωρία κλάσεων σωμάτων.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Καμπυλότητα Γκάους
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Σώμα διασπάσεως
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νοεροί υπολογισμοί

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 

 Πηγές 





 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα