Απόλυτη ομάδα Γκαλουά

Στα μαθηματικά, η απόλυτη ομάδα Γκαλουά GK ενός σώματος  K είναι η ομάδα Γκαλουά του Ksep πάνω από το K, όπουKsep είναι μια διαχωρίσιμη κλειστότητα του K. Εναλλακτικά, είναι η ομάδα όλων των αυτομορφισμών της αλγεβρικής κλειστότητας του K που καθορίζουν το K. Η απόλυτη ομάδα Γκαλουά είναι καλά ορισμένη μέχρι τον εσωτερικό αυτομορφισμό. Είναι μια προπεπερασμένη ομάδα.

(Όταν το K είναι τέλειο σώμα, το Ksep είναι το ίδιο με μια αλγεβρική κλειστότητα Kalg του K. Αυτό ισχύει π.χ. για το K χαρακτηριστική μηδέν, ή για το K  ένα πεπερασμένο σώμα.)

 Παραδείγματα 
 Η απόλυτη ομάδα Γκαλουά μιας αλγεβρικά κλειστής περιοχής είναι τετριμμένη.
 Η απόλυτη ομάδα Γκαλουά των πραγματικών αριθμών είναι μια κυκλική ομάδα με δύο στοιχεία την μιγαδική συζυγία και την ταυτοτική απεικόνιση), αφού το C είναι το διαχωρίσιμο κλείσιμο του R, και ο βαθμός της πάνω στο R είναι [C:R] = 2.
 Η απόλυτη ομάδα Γκαλουά ενός πεπερασμένου σώματος K είναι ισόμορφη με την ομάδα των ακέραιων προπεπερασμένων αριθμών.
, p. 14.
 (Για τον συμβολισμό, δείτε το αντίστροφο όριο.)
Ο αυτομορφισμός Φρομπένιους Fr είναι μια κανονική (τοπολογική) γεννήτρια του GK. (Εάν το K έχει q στοιχεία, το  Fr δίνεται από Fr(x) = xq για όλα τα x στο Kalg.)
 Η απόλυτη ομάδα Γκαλουά του σώματος των ρητών συναρτήσεων με μιγαδικούς συντελεστές είναι ελεύθερη (ως προπεπερασμένη ομάδα). Το αποτέλεσμα αυτό οφείλεται στον Αντριέν Ντουαντί και έχει τις ρίζες του στο θεώρημα ύπαρξης του Ρίμαν..
 Γενικότερα, έστω C ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα και x ένα απροσδιόριστο.  Τότε η απόλυτη ομάδα Γκαλουά του K = C(x) είναι ελεύθερη με βαθμό ίσο με την πληθικότητα του C. Το αποτέλεσμα αυτό οφείλεται στους Ντέιβιντ Χαρμπάτερ και Φλόριαν Ποπ, ενώ αποδείχθηκε αργότερα και από τους Νταν Χάραν και Μοσέ Τζάρντεν με αλγεβρικές μεθόδους.
 Έστω K μια πεπερασμένη επέκταση των  p-adic αριθμών Qp. Για p ≠ 2, η απόλυτη ομάδα Γκαλουά παράγεται από  [K:Qp] + 3 στοιχεία και έχει ρητή περιγραφή με γεννήτριες και σχέσεις. Αυτό είναι ένα αποτέλεσμα των Ούβε Γιάνσεν και Κέι Γουίνγκμπεργκ.  Μερικά αποτελέσματα είναι γνωστά για την περίπτωση  p = 2, αλλά η δομή για Q2 δεν είναι γνωστή.
Μια άλλη περίπτωση στην οποία έχει προσδιοριστεί η απόλυτη ομάδα Γκαλουά είναι για το μεγαλύτερο εντελώς πραγματικό υποσώμα του σώματος των αλγεβρικών αριθμών.

 Προβλήματα 

 Δεν είναι γνωστή καμία άμεση περιγραφή για την απόλυτη ομάδα Γκαλουά των ρητών αριθμών. Στην περίπτωση αυτή, προκύπτει από το θεώρημα του Μπέλι ότι η απόλυτη ομάδα Γκαλουά έχει μια πιστή δράση στα "dessins d'enfants" του Γκρότεντικ (χάρτες σε επιφάνειες), επιτρέποντάς μας να δούμε τη θεωρία Γκαλουά των αλγεβρικών αριθμητικών σωμάτων.
 Έστω Κ η μέγιστη αβελιανή επέκταση των ρητών αριθμών. Τότε η εικασία του Σαφαρέβιτς ισχυρίζεται ότι η απόλυτη ομάδα Γκαλουά του Κ είναι μια ελεύθερη προπεπερασμένη ομάδα. , p. 449.
Ένα ενδιαφέρον πρόβλημα είναι η διευθέτηση της εικασίας των Γιάν Μίνατς και Νγκουγιέν Ντουι Ταν σχετικά με την εξαφάνιση των παραγώγων - Μάσεϊ για .Mináč & Tân (2016) pp.255,284Harpaz & Wittenberg (2023) pp.1,41

 Μερικά γενικά αποτελέσματα 

 Το θεώρημα Νόικιρχ-Ουτσίντα (Neukirch-Uchida) υποστηρίζει ότι κάθε ισομορφισμός των απόλυτων ομάδων Γκαλουά αλγεβρικών αριθμητικών σωμάτων προκύπτει από έναν αυτομορφισμό σώματος. Συγκεκριμένα, δύο απόλυτες ομάδες Γκαλουά αριθμητικών σωμάτων είναι ισόμορφες αν και μόνο αν τα σώματα βάσης είναι ισόμορφα.
 Κάθε προπεπερασμέμη ομάδα εμφανίζεται ως ομάδα Γκαλουά κάποιας επέκτασης Γκαλουά,Fried & Jarden (2008) p.12 * Κάθε προπεπερασμένη ομάδα εμφανίζεται ως ομάδα Γκαλουά κάποιας επέκτασης Γκαλουά- ωστόσο, δεν εμφανίζεται κάθε προπεπερασμένη ομάδα ως απόλυτη ομάδα Γκαλουά Επί παραδείγματι, το θεώρημα Αρτίν-Σράιερ ισχυρίζεται ότι οι μόνες πεπερασμένες απόλυτες ομάδες Γκαλουά είναι είτε τετριμμένες είτε τάξης 2, δηλαδή μόνο δύο τάξεις ισομορφισμού.
 Κάθε προβολική προπεπερασμένη ομάδα μπορεί να υλοποιηθεί ως απόλυτη ομάδα Γκαλουά ενός ψευδοαλγεβρικά κλειστού σώματος. Το αποτέλεσμα αυτό οφείλεται στους Αλεξάντερ Λουμπότσκι και Λου βαν ντεν Ντρις.Fried & Jarden (2008) pp.208,545

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Καμπυλότητα Γκάους
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Σώμα διασπάσεως
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νοεροί υπολογισμοί

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 



Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 323, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196, Zbl 0948.11001

 Πηγές 





 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα