Αλγεβρική ανεξαρτησία

Στην αφηρημένη άλγεβρα, ένα υποσύνολο  ενός σώματος  είναι αλγεβρική ανεξάρτησία πάνω από ένα υποσώμα  αν τα στοιχεία του  δεν ικανοποιούν καμία μη τετριμμένη πολυωνυμική εξίσωση με συντελεστές στο .

Ειδικότερα, ένα σύνολο ενός στοιχείου  είναι αλγεβρική ανεξάρτησία πάνω στο  αν και μόνο αν  είναι υπερβατικό πάνω στο . Γενικά, όλα τα στοιχεία ενός αλγεβρικά ανεξάρτητου συνόλου  πάνω στο  είναι αναγκαστικά υπερβατικά πάνω στο  και πάνω σε όλες τις επεκτάσεις σώματος πάνω στο  που δημιουργούνται από τα υπόλοιπα στοιχεία του .

Παράδειγμα

Οι πραγματικοί αριθμοί  και  είναι υπερβατικοί αριθμοί: δεν είναι ρίζες κανενός μη τετριμμένου πολυωνύμου του οποίου οι συντελεστές είναι ρητοί αριθμοί. Έτσι, τα σύνολα  και  είναι και τα δύο αλγεβρικά ανεξάρτητα πάνω στους ρητούς αριθμούς.

Ωστόσο, το σύνολο  δεν είναι αλγεβρικά ανεξάρτητο πάνω στους ρητούς αριθμούς , επειδή το μη τετριμμένο πολυώνυμο

είναι μηδέν όταν  και .

Αλγεβρική ανεξαρτησία γνωστών σταθερών

Αν και το  και το  είναι υπερβατικά, δεν είναι γνωστό αν το  είναι αλγεβρικά ανεξάρτητο πάνω στο . Στην πραγματικότητα, δεν είναι καν γνωστό αν το  είναι άρρητο.  Ο Νεστερένκο απέδειξε το 1996 ότι:
 Οι αριθμοί ,  και , όπου  είναι η συνάρτηση γάμμα, είναι αλγεβρικά ανεξάρτητοι πάνω στο . 
 οι αριθμοί   και  είναι αλγεβρικά ανεξάρτητοι πάνω στο 
 για όλους τους θετικούς ακέραιους αριθμούς , ο αριθμός  είναι αλγεβρικά ανεξάρτητος πάνω στο .

Αποτελέσματα και ανοικτά προβλήματα

Το θεώρημα Λίντεμαν-Βάιερστρας μπορεί συχνά να χρησιμοποιηθεί για να αποδείξει ότι ορισμένα σύνολα είναι αλγεβρικά ανεξάρτητα πάνω από  . Αναφέρει ότι όποτε  είναι αλγεβρικοί αριθμοί που είναι γραμμικά ανεξάρτητοι πάνω από , τότε   είναι επίσης αλγεβρικά ανεξάρτητοι πάνω από  .

Η εικασία του Σάνουελ θα αποδείκνυε την αλγεβρική ανεξαρτησία πολλών αριθμών, συμπεριλαμβανομένων των  και , αλλά παραμένει αναπόδεικτη:

Έστω   οποιοδήποτε σύνολο  μιγαδικών αριθμών που είναι γραμμικά ανεξάρτητοι πάνω στο . Η επέκταση σώματος  έχει βαθμό υπερβατικότητας τουλάχιστον  πάνω στο .

Αλγεβρικά μητροειδής

Σε μια επέκταση σώματος  που δεν είναι αλγεβρική, το λήμμα του Τσορν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δείξει ότι υπάρχει πάντα ένα μέγιστο αλγεβρικά ανεξάρτητο υποσύνολο του  πάνω στο . Επιπλέον, όλα τα μέγιστα αλγεβρικά ανεξάρτητα υποσύνολα έχουν την ίδια πληθικότητα, γνωστή ως βαθμός υπερβατικότητας της επέκτασης.

Για κάθε πεπερασμένο σύνολο  στοιχείων του , τα αλγεβρικά ανεξάρτητα υποσύνολα του  ικανοποιούν τα αξιώματα που ορίζουν τα ανεξάρτητα σύνολα μιας ματροειδούς. Σε αυτή τη μητροειδή ή πινακοειδή , ο βαθμός ενός συνόλου στοιχείων είναι ο βαθμός υπερβατικότητας του, και η επίπεδη που δημιουργείται από ένα σύνολο  στοιχείων είναι η τομή του  με το σώμα . Μία μητροειδής που μπορεί να δημιουργηθεί με αυτόν τον τρόπο ονομάζεται αλγεβρικά μητροειδής. Δεν είναι γνωστός κανένας καλός χαρακτηρισμός των αλγεβρικών μητροειδών, αλλά ορισμένες μητροειδείς είναι γνωστό ότι δεν είναι αλγεβρικές. Η μικρότερη είναι η μητροειδής Βάμος (Vámos)..

Πολλές πεπερασμένες μητροειδείς μπορούν να αναπαρασταθούν από έναν πίνακα πάνω σε ένα σώμα , στον οποίο τα στοιχεία της μητροειδούς αντιστοιχούν σε στήλες του πίνακα, και ένα σύνολο στοιχείων είναι ανεξάρτητο αν το αντίστοιχο σύνολο στηλών είναι γραμμικά ανεξάρτητο. Κάθε μητροειδής με γραμμική αναπαράσταση αυτού του τύπου μπορεί επίσης να αναπαρασταθεί ως αλγεβρική μητροειδής, επιλέγοντας ένα ακαθόριστο για κάθε σειρά του πίνακα και χρησιμοποιώντας τους συντελεστές του πίνακα  σε κάθε στήλη για να αντιστοιχίσετε σε κάθε στοιχείο της μητροειδούς έναν γραμμικό συνδυασμό αυτών των υπερβατικών. Το αντίστροφο δεν ισχύει: δεν έχει κάθε αλγεβρική μητροειδής γραμμική αναπαράσταση..

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Καμπυλότητα Γκάους
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Σώμα διασπάσεως
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νοεροί υπολογισμοί

 Βιβλιογραφία
 </










 Παραπομπές 

 Πηγές 





 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα