Διατεταγμένο σώμα

Στα μαθηματικά, ένα διατεταγμένο σώμα είναι ένα σώμα μαζί με μια συνολική διάταξη των στοιχείων του που είναι συμβατή με τις πράξεις του σώματος.  Βασικά παραδείγματα διατεταγμένων σωμάτων είναι οι ρητοί αριθμοί και οι πραγματικοί αριθμοί, και οι δύο με τις τυπικές τους διατάξεις.

Κάθε υποσώμα ενός διατεταγμένου σώματος είναι επίσης ένα διατεταγμένο σώμα με την κληρονομημένη τάξη. Κάθε διατεταγμένο σώμα περιέχει ένα διατεταγμένο υποσώμα που είναι ισόμορφο με τους ρητούς αριθμούς. Κάθε Ντέντεκιντ-πλήρες διατεταγμένο σώμα είναι ισόμορφο με τους πραγματικούς αριθμούς. Τα τετράγωνα είναι αναγκαστικά μη αρνητικά σε ένα διατεταγμένο σώμα. Αυτό σημαίνει ότι οι μιγαδικοί αριθμοί δεν μπορούν να είναι διατεταγμένοι, αφού το τετράγωνο της φανταστικής μονάδας i είναι -1 (το οποίο είναι αρνητικό σε οποιοδήποτε διατεταγμένο σώμα).  Τα πεπερασμένα σώματα δεν μπορούν να είναι διατεταγμένα.

Ιστορικά, η αξιωματοποίηση ενός διατεταγμένου σώματος αφαιρέθηκε σταδιακά από τους πραγματικούς αριθμούς, από μαθηματικούς όπως οι Ντάβιντ Χίλμπερτ, Ότο Χόλντερ και Χανς Χαν. Αυτό εξελίχθηκε τελικά στη θεωρία Αρτίν-Σράιερ των διατεταγμένων σωμάτων και των τυπικά πραγματικών σωμάτων.

Ορισμοί

Υπάρχουν δύο ισοδύναμοι κοινοί ορισμοί ενός διατεταγμένου σώματος.  Ο ορισμός της ολικής τάξεως εμφανίστηκε πρώτος ιστορικά και είναι μια Λογική πρώτου βαθμού αξιωματοποίηση της τάξεως  ως δυαδικό κατηγόρημα. Οι Αρτίν και Σρέιερ έδωσαν τον ορισμό με όρους θετικού κώνου το 1926, ο οποίος αξιωματοποιεί την υποσυλλογή των μη αρνητικών στοιχείων.  Αν και το τελευταίο είναι ανώτερης τάξης, η θεώρηση των θετικών κώνων ως  προθετικών κώνων παρέχει ένα ευρύτερο πλαίσιο στο οποίο οι διατάξεις σώματος είναι  μερικές διατάξεις.

Ολική τάξη

Ένα σώμα  μαζί με μια ολική τάξη  on  είναι ένα διατεταγμένο σώμα αν η τάξη ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες για όλα τα  
 Αν  τότε  και
 Αν  και  τότε 
Ως συνήθως, γράφουμε   για  κα . Οι συμβολισμοί  και  σημαίνουν  και , αντίστοιχα. Τα στοιχεία  με  ονομάζονται θετικά.

Θετικός κώνος

Ένας ' ή προδιάταξη ενός σώματος  είναι ένα υποσύνολο  που έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:Lam (2005) p. 289
 Για  και  στο  τόσο το  όσο και το  είναι στο 
 Αν  τότε  Συγκεκριμένα,  και 
 Το στοιχείο  δεν υπάρχει στο 

Ένα  είναι ένα σώμα εξοπλισμένο με μια προδιάταξη  Τα μη μηδενικά στοιχεία του  σχηματίζουν μια υποομάδα της πολλαπλασιαστικής ομάδας του 

Αν επιπλέον, το σύνολο  είναι η ένωση των  και  ονομάζουμε το  θετικό κώνο του  Τα μη μηδενικά στοιχεία του  ονομάζονται θετικά στοιχεία του 

Ένα διατεταγμένο σώμα είναι ένα σώμα  μαζί με έναν θετικό κώνο 

Οι προδιατάξεις στο  είναι ακριβώς οι τομές οικογενειών θετικών κώνων στο  Οι θετικοί κώνοι είναι οι μέγιστες προδιατάξεις.

Ισοδυναμία των δύο ορισμών
Έστω  ένα σώμα. Υπάρχει μια αμφίρριψη μεταξύ των διατάξεων σώματος του  και των θετικών κώνων του 

Δεδομένης μιας διάταξης σώματος ≤ όπως στον πρώτο ορισμό, το σύνολο των στοιχείων που είναι τέτοια ώστε  αποτελεί θετικό κώνο του  Αντίστροφα, δεδομένου ενός θετικού κώνου  του  όπως στον δεύτερο ορισμό, μπορεί κανείς να συσχετίσει μια ολική διάταξη  στο  θέτοντας  ως  Αυτή η ολική διάταξη  ικανοποιεί τις ιδιότητες του πρώτου ορισμού.

Παραδείγματα διατεταγμένων σωμάτων

Παραδείγματα διατεταγμένων σωμάτων είναι:
 το σώμα  των ρητών αριθμών με την τυπική του διάταξη (η οποία είναι και η μόνη του διάταξη),
 το σώμα  των πραγματικών αριθμών με την τυπική του διάταξη (η οποία είναι και η μόνη του διάταξη),
 οποιοδήποτε υποσώμα ενός διατεταγμένου σώματος, όπως οι πραγματικοί αλγεβρικοί αριθμοί ή οι υπολογίσιμοι αριθμοί, γίνεται διατεταγμένο σώμα περιορίζοντας την ταξινόμηση στο υποσώμα,
 το σώμα  των ρητών συναρτήσεων , όπου  και  είναι πολυώνυμα με ρητούς συντελεστές και , μπορεί να γίνει ένα διατεταγμένο σώμα καθορίζοντας έναν πραγματικό υπερβατικό αριθμό  και ορίζοντας  αν και μόνο αν .  Αυτό είναι ισοδύναμο με την ενσωμάτωση του  στο  μέσω του  και τον περιορισμό της διάταξης του  σε μια διάταξη της εικόνας του . Με αυτόν τον τρόπο, παίρνουμε πολλές διαφορετικές διατάξεις της .
 Το σώμα  των τυπικών σειρών Λοράν με πραγματικούς συντελεστές, όπου το x θεωρείται απειροελάχιστο και θετικό.
 οι μετασειρές
 τα πραγματικά κλειστά σώματα
 οι σούπερ πραγματικοί αριθμοί
 οι υπερπραγματικοί αριθμοί

Οι υπερπραγματικοί αριθμοί σχηματίζουν μια κατάλληλη τάξη αντί για σύνολο, αλλά κατά τα άλλα υπακούουν στα αξιώματα ενός διατεταγμένου σώματος. Κάθε διατεταγμένο σώμα μπορεί να ενσωματωθεί στους υπερπραγματικούς αριθμούς.

Ιδιότητες διατεταγμένων σωμάτων


Για κάθε a, b, c, d στο F:
 Είτε -a ≤ 0 ≤ a είτε a ≤ 0 ≤ -a.
 Μπορεί κανείς να «προσθέσει ανισότητες»: αν a ≤ b και c ≤ d, τότε a + c ≤ b + d.
 Μπορεί κανείς να «πολλαπλασιάσει ανισότητες με θετικά στοιχεία»: αν a ≤ b και 0 ≤ c, τότε ac ≤ bc.
 "Πολλαπλασιάζοντας με αρνητικά στοιχεία αναποδογυρίζει μια ανισότητα": αν a ≤ b και c ≤ 0, τότε ac ≥ bc.
 Αν  a < b και a, b > 0, τότε 1/b < 1/a.
 Τα τετράγωνα είναι μη αρνητικά: 0 ≤ a2 για όλα τα a στο F. Ειδικότερα, δεδομένου ότι 1=12, προκύπτει ότι 0 ≤ 1. Αφού 0 ≠ 1, συμπεραίνουμε ότι 0 < 1.
 Ένα διατεταγμένο σώμα έχει χαρακτηριστική 0. (Αφού 1 > 0, τότε 1 + 1 > 0, και 1 + 1 + 1 > 0, κ.λπ., και κανένα πεπερασμένο άθροισμα μονάδων δεν μπορεί να ισούται με το μηδέν.)  Ειδικότερα, τα πεπερασμένα σώματα δεν μπορούν να είναι διατεταγμένα.
 Κάθε μη τετριμμένο άθροισμα τετραγώνων είναι μη μηδενικό.  Ισοδύναμα: 

Κάθε υποσώμα ενός διατεταγμένου σώματος είναι επίσης ένα διατεταγμένο σώμα (κληρονομώντας την επαγόμενη διάταξη). Το μικρότερο υποσώμα είναι ισόμορφο με τους ρητούς (όπως και για κάθε άλλο σώμα χαρακτηριστικής 0), και η τάξη σε αυτό το ρητό υποσώμα είναι η ίδια με τη τάξη των ίδιων των ρητών.

Αν κάθε στοιχείο ενός διατεταγμένου σώματος βρίσκεται μεταξύ δύο στοιχείων του ρητού υποσώματός του, τότε το σώμα λέγεται Αρχιμήδειο. Διαφορετικά, το εν λόγω σώμα είναι ένα μη-Αρχιμήδειο διατεταγμένο σώμα και περιέχει απειροστοιχεία. Επί παραδείγματι, οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούν ένα Αρχιμήδειο σώμα, αλλά οι υπερπραγματικοί αριθμοί αποτελούν ένα μη-Αρχιμήδειο σώμα, επειδή επεκτείνουν τους πραγματικούς αριθμούς με στοιχεία μεγαλύτερα από οποιονδήποτε τυπικό φυσικό αριθμό.

Ένα διατεταγμένο σώμα F είναι ισόμορφο με το σώμα πραγματικών αριθμών R αν και μόνο αν κάθε μη κενό υποσύνολο του F με άνω όριο στο F έχει ένα ελάχιστο άνω όριο στο F. Αυτή η ιδιότητα συνεπάγεται ότι το σώμα είναι Αρχιμήδειο.

Διανυσματικοί χώροι πάνω από ένα διατεταγμένο σώμα

Οι διανυσματικοί χώροι (ιδιαίτερα οι n-χώροι) πάνω από ένα διατεταγμένο σώμα παρουσιάζουν ορισμένες ειδικές ιδιότητες και έχουν ορισμένες ειδικές δομές, συγκεκριμένα: προσανατολισμό, κυρτότητα και θετικά ορισμένο εσωτερικό γινόμενο. Βλ. ενότητα Γεωμετρικές ιδιότητες και χρήσεις για συζήτηση αυτών των ιδιοτήτων του Rn, οι οποίες μπορούν να γενικευτούν σε διανυσματικούς χώρους πάνω από άλλα διατεταγμένα σώματα.

Δυνατότητα ταξινόμησης σωμάτων

Κάθε διατεταγμένο σώμα είναι ένα τυπικά πραγματικό σώμα, δηλαδή το 0 δεν μπορεί να γραφεί ως άθροισμα μη μηδενικών τετραγώνων.Lam (2005) p. 41Lam (2005) p. 232

Αντίθετα, κάθε τυπικά πραγματικό σώμα μπορεί να εξοπλιστεί με μια συμβατή ολική τάξη, η οποία θα το μετατρέψει σε διατεταγμένο σώμα. (Αυτή η τάξη δεν χρειάζεται να είναι μοναδικά καθορισμένη.) Η απόδειξη χρησιμοποιεί το λήμμα του Ζορν.Lam (2005) p. 236

Τα πεπερασμένα σώματα και γενικότερα τα σώματα θετικής χαρακτηριστικής δεν μπορούν να μετατραπούν σε διατεταγμένα σώματα, όπως φαίνεται παραπάνω. Οι μιγαδικοί αριθμοί επίσης δεν μπορούν να μετατραπούν σε διατεταγμένο σώμα, καθώς το -1 είναι τετράγωνο της φανταστικής μονάδας i. Επίσης, οι p-adic αριθμοί δεν μπορούν να είναι διατεταγμένοι, καθώς σύμφωνα με το λήμμα του Χένσελ το Q2  περιέχει μια τετραγωνική ρίζα του -7, άρα 
12 + 12 + 12 + 22 + 2 = 0, και Qp (p > 2) περιέχουν μια τετραγωνική ρίζα του 1 − p, έτσι (p − 1)⋅12 + 2 = 0.The squares of the square roots  and  are in Q, but are < 0, so that these roots cannot be in Q which means that their  expansions are not periodic.

Τοπολογία που προκαλείται από τη τάξη

Αν το F είναι εφοδιασμένο με την τοπολογία τάξης που προκύπτει από την ολική τάξη ≤, τότε τα αξιώματα εγγυώνται ότι οι πράξεις + και × είναι συνεχείς, οπότε το F είναι τοπολογικό σώμα.

Τοπολογία Χάρισον

Η τοπολογία Χάρισον είναι μια τοπολογία στο σύνολο των διατάξεων XF ενός τυπικά πραγματικού σώματος F. Κάθε διάταξη μπορεί να θεωρηθεί ως ένας πολλαπλασιαστικός ομομορφισμός ομάδας από το F∗ προς το ±1. Δίνοντας στο ±1 τη διακριτή τοπολογία και στο ±1F την τοπολογία του γινομένου, προκύπτει η τοπολογία υποδιαστήματος στο XF. Τα σύνολα Χάρισον  αποτελούν μια υποβάση για την τοπολογία Χάρισον. Το γινόμενο είναι ένας χώρος Μπουλ (συμπαγής, Χάουστορφ και εντελώς ασύνδετος) και το XF είναι ένα κλειστό υποσύνολο, άρα και πάλι Μπουλ.Lam (2005) p. 271Lam (1983) pp. 1–2

Διατάξεις και υπερταξινομημένα σώματα

Μία διάταξη  στο F είναι μια προδιάταξη T με την ιδιότητα ότι αν η S είναι μια υποομάδα δείκτη 2 στο F∗ που περιέχει την T − {0} και δεν περιέχει την −1 τότε η S είναι μια τάξη (δηλαδή, η S είναι κλειστή υπό πρόσθεση).Lam (1983) p. 39 Ένα υπερδιαταγμένο σώμα είναι ένα ολικά πραγματικό σώμα στο οποίο το σύνολο των αθροισμάτων των τετραγώνων σχηματίζει μία διάταξηLam (1983) p. 45

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Καμπυλότητα Γκάους
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Σώμα διασπάσεως
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νοεροί υπολογισμοί

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 



 Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001

.   English translation (of 2nd revised edition):  (Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)

 Πηγές 




 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα