Αναπαράσταση του Στάινμπεργκ

Στα μαθηματικά, η αναπαράσταση Στάινμπεργκ, ή module Στάινμπεργκ ή χαρακτήρας Στάινμπεργκ, που συμβολίζεται με St, είναι μια συγκεκριμένη γραμμική αναπαράσταση μιας αναγωγικής αλγεβρικής ομάδας πάνω σε ένα πεπερασμένο σώμα ή τοπικό σώμα, ή μια ομάδα με ένα BN-ζεύγος. Είναι ανάλογος με την απεικόνιση ε με 1 διάσταση πρόσημο μιας ομάδας Κόξετερ ή Γουέιλ που παίρνει όλες τις αντανακλάσεις στο -1.

Για τις ομάδες πάνω από πεπερασμένα σώματα, οι αναπαραστάσεις αυτές εισήχθησαν από τον Ρόμπερτ Στάινμπεργκ (, πρώτα για τις γενικές γραμμικές ομάδες, στη συνέχεια για τις κλασικές ομάδες και στη συνέχεια για όλες τις ομάδες Σεβαλέ, με μια κατασκευή που γενικεύτηκε αμέσως στις άλλες ομάδες τύπου Λι που ανακαλύφθηκαν λίγο αργότερα από τους Στάινμπεργκ, Σουζούκι και Ρι.
Πάνω σε ένα πεπερασμένο πεδίο χαρακτηριστικού p, η αναπαράσταση Στάινμπεργκ έχει βαθμό ίσο με τη μεγαλύτερη δύναμη του p που διαιρεί την τάξη της ομάδας.

Η αναπαράσταση Στάινμπεργκ είναι η διπλή αναπαράσταση Άλβις-Κέρτις της τετριμμένης μονοδιάστατης αναπαράστασης.

Οι Ματσουμότο (), Σαλίκα (), και Χάρις-Τσάντρα () όρισαν ανάλογες αναπαραστάσεις Steinberg (μερικές φορές αποκαλούμενες ειδικές αναπαραστάσεις) για αλγεβρικές ομάδες πάνω από τοπικά σώματα. Για τη γενική γραμμική ομάδα GL(2), η διάσταση της μονάδας Ζάκετ μιας ειδικής παράστασης είναι πάντα μία.

 Η αναπαράσταση Σταίνμπεργκ μιας πεπερασμένης ομάδας 
Η τιμή του χαρακτήρα St σε ένα στοιχείο g ισούται, μέχρι το πρόσημο, με την τάξη μιας υποομάδας Συλόου του συγκεντρωτή της g αν η g έχει πρώτη διατάξη στο p, και είναι μηδέν αν η διάταξη της g είναι διαιρετή με το p.
Η αναπαράσταση Στάινμπεργκ είναι ίση με ένα εναλλασσόμενο άθροισμα πάνω σε όλες τις παραβολικές υποομάδες που περιέχουν μια υποομάδα Μπορέλ, της αναπαράστασης που επάγεται από την αναπαράσταση ταυτότητας της παραβολικής υποομάδας.
Η αναπαράσταση Στάινμπεργκ είναι τόσο κανονική όσο και μονοδύναμη, και είναι η μόνη μη αναγώγιμη κανονική μονοδύναμη αναπαράσταση (για τον δεδομένο πρώτο αριθμό p).
Η αναπαράσταση Στάινμπεργκ χρησιμοποιείται στην απόδειξη του θεωρήματος του Χαμπούς (η εικασία του Μάμφορντ).

Οι περισσότερες πεπερασμένες απλές ομάδες έχουν ακριβώς μία αναπαράσταση Στάινμπεργκ. Μερικές έχουν περισσότερες από μία, επειδή είναι ομάδες τύπου Λι με περισσότερους από έναν τρόπους.  Για τις συμμετρικές ομάδες (και άλλες ομάδες Κόξετερ) η αναπαράσταση με πρόσημο είναι ανάλογη της αναπαράστασης Στάινμπεργκ. Ορισμένες από τις σποραδικές απλές ομάδες λειτουργούν ως διπλά μεταβατικές ομάδες μεταθέσεων, οπότε έχουν ένα BN-ζεύγος για το οποίο μπορεί κανείς να ορίσει μια αναπαράσταση Στάινμπεργκ, αλλά για τις περισσότερες από τις σποραδικές ομάδες δεν υπάρχει κάποιο γνωστό ανάλογο.

Αναπαράσταση Στάινμπεργκ μιας p-adic ομάδας

Οι Ματσουμότο , Σαλίκα  (, και Χάρις-Τσάντρα ( εισήγαγαν τις αναπαραστάσεις Στάινμπεργκ για αλγεβρικές ομάδες πάνω σε τοπικά σώματα. Ο  Κάσελμαν ( έδειξε ότι οι διαφορετικοί τρόποι ορισμού των αναπαραστάσεων Στάινμπεργκ είναι ισοδύναμοι.
Οι  Μπορέλ & Σερ () και Μπορέλ () έδειξαν πώς να υλοποιήσουν την αναπαράσταση Στάινμπεργκ στην ομάδα συνομολογίας H(X) του κτιρίου Μπρουχάτ-Τιτς της ομάδας.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Καμπυλότητα Γκάους
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Σώμα διασπάσεως
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νοεροί υπολογισμοί

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 

 Finite Groups of Lie Type: Conjugacy Classes and Complex Characters (Wiley Classics Library) by Roger W. Carter, John Wiley & Sons Inc; New Ed edition (August 1993) ISBN 0-471-94109-3
 ISBN 978-0-8218-1426-0

R. Steinberg,   Collected Papers, Amer. Math. Soc.  (1997) ISBN 0-8218-0576-2  pp. 580–586

 Πηγές 





 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα