Πολλαπλασιαστική ομάδα

Στα μαθηματικά και τη θεωρία ομάδων, ο όρος πολλαπλασιαστική ομάδα αναφέρεται σε μία από τις ακόλουθες έννοιες:

η ομάδα υπό πολλαπλασιασμό των αντίστροφων στοιχείων ενός σώματοςSee Hazewinkel et al. (2004), p. 2., δακτυλίου ή άλλης δομής για την οποία μία από τις πράξεις της αναφέρεται ως πολλαπλασιασμός. Στην περίπτωση ενός σώματος F, η ομάδα είναι  , όπου το 0 αναφέρεται στο μηδενικό στοιχείο του F και η δυαδική πράξη • είναι ο πολλαπλασιασμός του σώματος,
ο αλγεβρικός τόρος GL(1).

 Παραδείγματα 

Η πολλαπλασιαστική ομάδα των ακεραίων υπολοίπων n είναι η ομάδα υπό πολλαπλασιασμό των αντίστροφων στοιχείων της .  Όταν το n δεν είναι πρώτος αριθμός, υπάρχουν στοιχεία εκτός από το μηδέν που δεν είναι αντίστροφα.
 Η πολλαπλασιαστική ομάδα των θετικών πραγματικών αριθμών  είναι μια αβελιανή ομάδα με 1 το ταυτοτικό στοιχείο. Ο λογάριθμος είναι ένας ομαδικός ισομορφισμός αυτής της ομάδας προς την προσθετική ομάδα των πραγματικών αριθμών, .
 Η πολλαπλασιαστική ομάδα ενός σώματος  είναι το σύνολο όλων των μη μηδενικών στοιχείων: , υπό την πράξη του πολλαπλασιασμού. Αν η  είναι πεπερασμένη τάξης q (για παράδειγμα q = p ένας πρώτος, και ) τότε η πολλαπλασιαστική ομάδα είναι κυκλική: .

Ομαδικό σχήμα ριζών της ενότητας

Το ομαδικό σχήμα των n-th ριζών της ενότητας είναι εξ ορισμού ο πυρήνας της n-δύναμης απεικόνισης  στην πολλαπλασιαστική ομάδα GL(1), θεωρούμενη ως ομαδικό σχήμα. Δηλαδή, για κάθε ακέραιο n > 1 μπορούμε να θεωρήσουμε τον μορφισμό στην πολλαπλασιαστική ομάδα που παίρνει n-th δυνάμεις, και να πάρουμε ένα κατάλληλο γινόμενο ινών των σχημάτων, με τον μορφισμό e που χρησιμεύει ως ταυτότητα.

Το προκύπτον ομαδικό σχήμα γράφεται μn (or ). Προκύπτει ένα μειωμένο σχήμα, όταν το παίρνουμε πάνω από ένα σώμα K, αν και μόνο αν η χαρακτηριστική του K δεν διαιρεί το n. Αυτό το καθιστά πηγή ορισμένων βασικών παραδειγμάτων μη αναγωγικών σχημάτων (συστήματα με μηδενικά στοιχεία στις δέσμες δομών τους), για παράδειγμα το μp πάνω από ένα πεπερασμένο σώμα με p στοιχεία για οποιονδήποτε πρώτο αριθμό p.

Το φαινόμενο αυτό δεν εκφράζεται εύκολα στην επίσημη γλώσσα της αλγεβρικής γεωμετρίας. Παραδείγματος χάριν, αποδεικνύεται μείζονος σημασίας για την έκφραση της θεωρίας της δυαδικότητας των αβελιανών ποικιλιών σε χαρακτηριστική p  (θεωρία του Πιερ Καρτιέ). Η συνομολογία Γκαλουά αυτού του ομαδικού σχήματος είναι ένας τρόπος έκφρασης της θεωρίας Κούμερ.

 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Καμπυλότητα Γκάους
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Σώμα διασπάσεως
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νοεροί υπολογισμοί

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 

.
.

 Πηγές 





 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρήματα στη Γεωμετρία
Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα
Κατηγορία:Ευκλείδεια Γεωμετρία
Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών