Εκθετικό σώμα

Στα μαθηματικά, ένα εκθετικό σώμα είναι ένα σώμα με μια περαιτέρω μοναδιαία πράξη που είναι ένας ομομορφισμός από την προσθετική ομάδα του σώματος στην πολλαπλασιαστική του ομάδα. Αυτό γενικεύει τη συνήθη ιδέα της εκθετοποίησης στους πραγματικούς αριθμούς, όπου η βάση είναι ένας επιλεγμένος θετικός πραγματικός αριθμός.

Ορισμός

Ένα σώμα είναι μια αλγεβρική δομή που αποτελείται από ένα σύνολο στοιχείων, το F, δύο δυαδικές πράξεις, την πρόσθεση (+), έτσι ώστε το F να σχηματίζει μια αβελιανή ομάδα με ταυτότητα 0F και τον πολλαπλασιασμό (•), έτσι ώστε το F εκτός του 0F  να σχηματίζει μια αβελιανή ομάδα υπό πολλαπλασιασμό με ταυτότητα 1F, και έτσι ώστε ο πολλαπλασιασμός να είναι διανεμητικός επί της πρόσθεσης, δηλαδή για οποιαδήποτε στοιχεία a, b, c στο F, έχουμε .  Αν υπάρχει επίσης μια συνάρτηση E που απεικονίζει την F στην F, και τέτοια ώστε για κάθε a και b στην F να ισχύει

τότε το F καλείται εκθετικό σώμα και η συνάρτηση E καλείται εκθετική συνάρτηση στο F.Helmut Wolter, Some results about exponential fields (survey), Mémoires de la S.M.F. 2e série, 16, (1984), pp. 85–94.  Έτσι, μια εκθετική συνάρτηση σε ένα σώμα είναι ένας ομομορφισμός μεταξύ της προσθετικής ομάδας του  F και της πολλαπλασιαστικής του ομάδας.

 Τετριμμένη εκθετική συνάρτηση 

Υπάρχει μια τετριμμένη εκθετική συνάρτηση σε οποιοδήποτε σώμα, δηλαδή η απεικόνιση που στέλνει κάθε στοιχείο στο στοιχείο ταυτότητας του σώματος υπό πολλαπλασιασμό.  Έτσι κάθε σώμα είναι τετριμμένα και εκθετικό σώμα, οπότε οι περιπτώσεις που ενδιαφέρουν τους μαθηματικούς εμφανίζονται όταν η εκθετική συνάρτηση δεν είναι τετριμμένη.

Τα εκθετικά σώματα μερικές φορές απαιτείται να έχουν χαρακτηριστικό μηδέν, καθώς η μόνη εκθετική συνάρτηση σε ένα σώμα με μη μηδενικό χαρακτηριστικό είναι η τετριμμένη.Lou van den Dries, Exponential rings, exponential polynomials and exponential functions, Pacific Journal of Mathematics, 113, no.1 (1984), pp. 51–66. Για να το δείτε αυτό, ας σημειωθεί πρώτα ότι για κάθε στοιχείο x σε ένα σώμα με χαρακτηριστικό p > 0,

Ως εκ τούτου, λαμβάνοντας υπόψην τον ενδομορφισμό Φρομπένιους,

Και έτσι E(x) = 1 για κάθε x. Martin Bays, Jonathan Kirby, A.J. Wilkie, A Schanuel property for exponentially transcendental powers, (2008), 

Παραδείγματα

 Το σώμα των πραγματικών αριθμών R, ή όπως μπορεί να γραφτεί για να τονιστεί ότι το εξετάζουμε καθαρά ως ένα σώμα με πρόσθεση, πολλαπλασιασμό και ειδικές σταθερές μηδέν και ένα, έχει άπειρες εκθετικές συναρτήσεις. Μια τέτοια συνάρτηση είναι η συνήθης εκθετική συνάρτηση, δηλαδή , αφού έχουμε  και , όπως απαιτείται. Θεωρώντας το διατεταγμένο σώμα R εφοδιασμένο με αυτή τη συνάρτηση προκύπτει το διατεταγμένο πραγματικό εκθετικό σώμα, που συμβολίζεται .
 Κάθε πραγματικός αριθμός  δίνει μια εκθετική συνάρτηση στον R, όπου η απεικόνιση  ικανοποιεί τις απαιτούμενες ιδιότητες.
 Ανάλογα με το πραγματικό εκθετικό σώμα, υπάρχει και το μιγαδικό εκθετικό σώμα, .
 Ο Μπόρις Ζίλμπερ κατασκεύασε ένα εκθετικό σώμα Kexp που, κρίσιμα, ικανοποιεί την ισοδύναμη διατύπωση της εικασίας του Σάνουελ με την εκθετική συνάρτηση του σώματος. Boris Zilber, Pseudo-exponentiation on algebraically closed fields of characteristic zero, Ann. Pure Appl. Logic, 132, no.1 (2005), pp. 67–95.  Εικάζεται ότι αυτό το εκθετικό σώμα είναι στην πραγματικότητα το Cexp, και μια απόδειξη αυτού του γεγονότος θα αποδείκνυε έτσι την εικασία του Σάνουελ.

Εκθετικοί δακτύλιοι

Το υποκείμενο σύνολο F μπορεί να μην απαιτείται να είναι σώμα, αλλά αντίθετα να επιτρέπεται να είναι απλά ένας δακτύλιος, R, και ταυτόχρονα η εκθετική συνάρτηση χαλαρώνει ώστε να είναι ένας ομομορφισμός από την προσθετική ομάδα στο R στην πολλαπλασιαστική ομάδα μονάδων στο R.  Το αντικείμενο που προκύπτει ονομάζεται εκθετικός δακτύλιος.

Ένα παράδειγμα εκθετικού δακτυλίου με μη τετριμμένη εκθετική συνάρτηση είναι ο δακτύλιος των ακεραίων Ζ που είναι εφοδιασμένος με τη συνάρτηση Ε η οποία παίρνει την τιμή +1 σε ζυγούς ακεραίους και −1 σε περιττούς ακεραίους, δηλαδή η συνάρτηση  Αυτή η εκθετική συνάρτηση, και η τετριμμένη, είναι οι μόνες δύο συναρτήσεις στον Ζ που ικανοποιούν τις συνθήκες.Giuseppina Terzo, Some Consequences of Schanuel's Conjecture in Exponential Rings, Communications in Algebra, Volume 36, Issue 3 (2008), pp. 1171–1189.

Ανοικτά προβλήματα

Τα εκθετικά σώματα είναι αντικείμενα που μελετώνται πολύ στη θεωρία μοντέλων, παρέχοντας περιστασιακά μια σύνδεση μεταξύ αυτής και της θεωρίας αριθμών, όπως στην περίπτωση της εργασίας του Ζίλμπερ σχετικά με την εικασία του Σάνουελ.  Αποδείχθηκε τη δεκαετία του 1990 ότι το Rexp είναι πλήρες μοντέλο, ένα αποτέλεσμα γνωστό ως θεώρημα του Γουίλκι. Αυτό το αποτέλεσμα, όταν συνδυάζεται με το θεώρημα του Χοβάνσκι για τις Rexp είναι επίσης o-minimal.A.J. Wilkie, Model completeness results for expansions of the ordered field of real numbers by restricted Pfaffian functions and the exponential function, J. Amer. Math. Soc., 9 (1996), pp. 1051–1094. Από την άλλη πλευρά, είναι γνωστό ότι το  Cexp δεν είναι πλήρες μοντέλο..David Marker, A remark on Zilber's pseudoexponentiation, The Journal of Symbolic Logic, 71, no.3 (2006), pp. 791–798.  Το ζήτημα της αποφασισιμότητας είναι ακόμη άλυτο. Ο Άλφρεντ Τάρσκι έθεσε το ερώτημα της αποφασισιμότητας του Rexp και ως εκ τούτου είναι πλέον γνωστό ως πρόβλημα εκθετικής συνάρτησης του Τάρσκι. Είναι γνωστό ότι αν η πραγματική εκδοχή της εικασίας του Σάνουελ είναι αληθής, τότε το  Rexp είναι αποφασίσιμο.A.J. Macintyre, A.J. Wilkie, On the decidability of the real exponential field, Kreisel 70th Birthday Volume, (2005).

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Καμπυλότητα Γκάους
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Σώμα διασπάσεως
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νοεροί υπολογισμοί

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 


 Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001

.   English translation (of 2nd revised edition):  (Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)

 Πηγές 




 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα