Κυβικό σώμα

Στα μαθηματικά, και συγκεκριμένα στον τομέα της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών, ένα κυβικό σώμα είναι ένα αλγεβρικό σώμα αριθμών τρίτου βαθμού.

Ορισμός

Αν το K είναι επέκταση σώματος των ρητών αριθμών Q' βαθμού [K:Q] = 3, τότε το K ονομάζεται κυβικό σώμα. Κάθε τέτοιο σώμα είναι ισόμορφο με ένα σώμα της μορφής

όπου f είναι ένα μη αναγώγιμο κυβικό πολυώνυμο με συντελεστές στο Q.  Αν το f έχει τρεις πραγματικές ρίζες, τότε το K ονομάζεται ολικά πραγματικό κυβικό σώμα και αποτελεί παράδειγμα ενός ολικά πραγματικού σώματος.  Αν, από την άλλη πλευρά, το f έχει μια μη πραγματική ρίζα, τότε το K ονομάζεται σύνθετο κυβικό σώμα.

Ένα κυβικό σώμα K ονομάζεται κυκλικό κυβικό σώμα αν περιέχει και τις τρεις ρίζες του γεννητικού του πολυωνύμου f. Ισοδύναμα, το K είναι κυκλικό κυβικό σώμα αν είναι επέκταση Γκαλουά του Q, οπότε η ομάδα Γκαλουά του πάνω στο Q είναι κυκλική τάξης τρία. Αυτό μπορεί να συμβεί μόνο αν το K είναι εντελώς πραγματικό. Είναι ένα σπάνιο φαινόμενο με την έννοια ότι αν το σύνολο των κυβικών σωμάτων ταξινομηθεί με βάση τη διακριτική ικανότητα, τότε το ποσοστό των κυβικών σωμάτων που είναι κυκλικά πλησιάζει το μηδέν καθώς το όριο της διακριτικής ικανότητας πλησιάζει στο άπειρο. Harvey Cohn computed an asymptotic for the number of cyclic cubic fields , while Harold Davenport and Hans Heilbronn computed the asymptotic for all cubic fields .

Ένα κυβικό σώμα ονομάζεται καθαρό κυβικό σώμα αν μπορεί να προκύψει από την πρόσθεση της πραγματικής κυβικής ρίζας  ενός θετικού ακέραιου αριθμού n χωρίς κύβους στο σώμα ρητών αριθμών Q. Τέτοια σώματα είναι πάντα μιγαδικά κυβικά σώματα, αφού κάθε θετικός αριθμός έχει δύο μιγαδικές μη πραγματικές κυβικές ρίζες.

Παραδείγματα

Η πρόσθεση της πραγματικής κυβικής ρίζας του 2 στους ρητούς αριθμούς δίνει το κυβικό σώμα . Αυτό είναι ένα παράδειγμα ενός καθαρού κυβικού σώματος, και συνεπώς ενός μιγαδικού κυβικού σώματος. Στην πραγματικότητα, από όλα τα καθαρά κυβικά σώματα, έχει τη μικρότερη διακριτική ικανότητα (σε απόλυτη τιμή), δηλαδή -108. contains a table of complex cubic fields
Το μιγαδικό κυβικό σώμα που προκύπτει από την προσάρτηση στο Q μιας ρίζας του  δεν είναι καθαρό. Έχει τη μικρότερη διακριτική ικανότητα (σε απόλυτη τιμή) από όλα τα κυβικά σώματα, δηλαδή -23.
Δίπλα σε μια ρίζα του  στο Q' δίνει ένα κυκλικό κυβικό σώμα, και επομένως ένα εντελώς πραγματικό κυβικό σώμα.  Έχει τη μικρότερη διακριτική ικανότητα όλων των ολικώς πραγματικών κυβικών σωμάτων, δηλαδή 49. contains a table of totally real cubic fields and indicates which are cyclic
Το σώμα που προκύπτει από την πρόσθεση στο Q μιας ρίζας του  είναι ένα παράδειγμα ενός ολικώς πραγματικού κυβικού σώματος που δεν είναι κυκλικό.  Η διακρίνουσα του είναι 148, η μικρότερη διακρίνουσα ενός μη κυκλικού εντελώς πραγματικού κυβικού σώματος. 
Κανένα κυκλωματικό σώμα δεν είναι κυβικό, επειδή ο βαθμός ενός κυκλωματικού σώματος είναι ίσος με φ(n), όπου φ είναι η συνάρτηση του Όιλερ, η οποία παίρνει μόνο ζυγές τιμές εκτός από την περίπτωση φ(1) = φ(2) = 1.

Κλειστότητα του Γκαλουά

Ένα κυκλικό κυβικό σώμα K συγκροτεί τη δική του κλειστότητα Γκαλουά με την ομάδα Γκαλουά Gal(K/Q)  ισόμορφη με την κυκλική ομάδα τάξης τρία. Ωστόσο, οποιοδήποτε άλλο κυβικό σώμα K είναι μια μη Γκαλουά επέκταση του K ίναι μια μη Γκαλουά επέκταση του Q  και έχει μια επέκταση σώματος N δευτέρου βαθμού ως κλειστότητα Γκαλουά του. Η ομάδα Γκαλουά Gal(N/Q) είναι ισόμορφη με τη συμμετρική ομάδα S3 σε τρία γράμματα.

Συνδεδεμένο τετραγωνικό σώμα

Η διακριτική ενός κυβικού σώματοςK μπορεί να γραφεί μόνο ως df2 όπου d είναι μια θεμελιώδης διακρίνουσα. Τότε, το K κυκλικό αν και μόνο αν d = 1, οπότε το μόνο υποσώμα της κλειστότητας Γκαλουά του K είναι το ίδιο το Q. Αν d ≠ 1 τότε η κλειστότητα Γκαλουά N του K περιέχει ένα μοναδικό τετραγωνικό σώμα k του οποίου η διακρίνουσα είναι d (στην περίπτωση d = 1, το υποσώμα Q θεωρείται μερικές φορές ως το "εκφυλισμένο" τετραγωνικό σώμα με τη διακρίνουσα 1). Ο αγωγός του N πάνω από k είναι το f, και το f2 είναι η σχετική διακρίνουσα του N πάνω από το K. Η διακρίνουσα του N είναι d3f4.

Το σώμα K είναι ένα καθαρό κυβικό σώμα αν και μόνο αν d = −3. Αυτή είναι η περίπτωση για την οποία το τετραγωνικό σώμα που περιέχεται στην κλειστότητα Γκαλουά του K είναι το κυκλωματικό σώμα των κυβικών ριζών της μονάδας.

Διακρίνουσα
250px|right|thumb|Οι μπλε σταυροί είναι ο αριθμός των τελείως πραγματικών κυβικών σωμάτων με περιορισμένη διακριτική ικανότητα. Η µαύρη γραµµή είναι η ασυµπτωτική κατανοµή πρώτης τάξης ενώ η πράσινη γραµµή περιλαµβάνει τον όρο δεύτερης τάξης..The exact counts were computed by Michel Olivier and are available at . The first-order asymptotic is due to Harold Davenport and Hans Heilbronn . The second-order term was conjectured by David P. Roberts  and a proof has been published by Manjul Bhargava], Arul Shankar, and Jacob Tsimerman .

250px|right|thumb|Οι μπλε σταυροί είναι ο αριθμός των μιγαδικών κυβικών σωμάτων με περιορισμένη διακριτική ικανότητα. Η μαύρη γραμμή είναι η ασυμπτωτική κατανομή πρώτης τάξης ενώ η πράσινη γραμμή περιλαμβάνει τον όρο δεύτερης τάξης.

Δεδομένου ότι το πρόσημο της διακρίνουσας ενός αριθμητικού σώματος  K είναι (−1)r2, όπου r2  είναι το πλήθος των συζυγών ζευγών μιγαδικών ενσωματώσεων του K στο C, η διακρίνουσα ενός κυβικού σώματος θα είναι θετική ακριβώς όταν το σώμα είναι εντελώς πραγματικό, και αρνητική αν είναι μιγαδικό κυβικό σώμα.

Δεδομένου κάποιου πραγματικού αριθμού N > 0 υπάρχουν μόνο πεπερασμένα πολλά κυβικά σώματα K των οποίων η διακρίνουσα DK ικανοποιεί την τιμή   |DK| ≤ N.H. Minkowski, Diophantische Approximationen, chapter 4, §5. Είναι γνωστοί τύποι που υπολογίζουν την πρωτεύουσα διάσπαση της DK, και έτσι μπορεί να υπολογιστεί ρητά.

Σε αντίθεση με τα τετραγωνικά σώματα, πολλά μη ισόμορφα κυβικά σώματα K1, ..., Km μπορούν να έχουν την ίδια διακρίνουσα D. Ο αριθμός m αυτών των σωμάτων ονομάζεται πολλαπλότητα  της διακρίνουσας D. Μερικά μικρά παραδείγματα είναι m = 2 για D  = −1836, 3969, m = 3 για D  = −1228, 22356, m  = 4 για D = −3299, 32009, και m = 6 για D = −70956, 3054132.

Κάθε κυβικό σώμα K θα είναι της μορφής K = Q(θ) για κάποιον αριθμό θ που είναι ρίζα ενός μη αναγώγιμου πολυωνύμου

όπου a και b είναι ακέραιοι αριθμοί. Η διακρίνουσα της f είναι Δ = 4a3 − 27b2. Συμβολίζοντας τη διακρίνουσα του K με D, ο δείκτης i(θ) του θ ορίζεται τότε από τη σχέση  Δ = i(θ)2D.

Στην περίπτωση ενός μη κυκλικού κυβικού σώματος K αυτός ο τύπος δείκτη μπορεί να συνδυαστεί με τον τύπο του αγωγού  D = f2d για να ληφθεί μια ανάλυση της πολυωνυμικής διακρίνουσας Δ = i(θ)2f2d στο τετράγωνο του γινομένου i(θ)f και της διακρίνουσας d του τετραγωνικού σώματος k που σχετίζεται με το κυβικό σώμα K, όπου το d είναι ελεύθερο τετραγώνων μέχρι έναν πιθανό παράγοντα 22 or 23.Ο Georgy Voronoy έδωσε μια μέθοδο για το διαχωρισμό των i(θ) και f στο τετραγωνικό μέρος του Δ.G. F. Voronoi, Concerning algebraic integers derivable from a root of an equation of the third degree, Master's Thesis, St. Petersburg, 1894 (Russian).

Η μελέτη του αριθμού των κυβικών σωμάτων των οποίων η διακρίνουσα είναι μικρότερη από ένα δεδομένο όριο είναι ένας σύγχρονος τομέας έρευνας. Έστω N+(X) (αντίστοιχα N−(X)) το πλήθος των απολύτως πραγματικών (αντίστοιχα μιγαδικών) κυβικών σωμάτων των οποίων η διακρίνουσα περιορίζεται από το X σε απόλυτη τιμή. Στις αρχές της δεκαετίας του 1970, οι Χάρολντ Ντάβενπορτ και Χανς Χάιλμπρον προσδιόρισαν τον πρώτο όρο της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς του N±(X) (καθώς το X πηγαίνει στο άπειρο).Their work can also be interpreted as a computation of the average size of the 3-torsion part of the :en:class group of a :en:quadratic field, and thus constitutes one of the few proven cases of the :en:Cohen–Lenstra conjectures: see, e.g.  Μέσω μιας ανάλυσης του υπολοίπου της συνάρτησης ζέτα Σιντάνι, σε συνδυασμό με τη μελέτη των πινάκων κυβικών σωμάτων που συνέταξε ο Καρίμ Μπελάμπας (Belabas 1997) και κάποιων en:ευρετικών μεθόδων, ο Ντέιβιντ Π. Ρόμπερτς υπέθεσε έναν ακριβέστερο ασυμπτωτικό τύπο 

όπου A± = 1 ή 3, B± = 1 or , ανάλογα με την εντελώς πραγματική ή μιγαδική περίπτωση ζ(s) είναι η συνάρτηση ζήτα του Ρίμαν και Γ(s) είναι η συνάρτηση Γάμμα. Αποδείξεις αυτού του τύπου έχουν δημοσιευτεί από τους Mπαργκάβα, Σανκάρ & Τσίμερμαν (2013) χρησιμοποιώντας μεθόδους που βασίζονται στην προηγούμενη εργασία του Mπαργκάβα, καθώς και από τους Τανιγκούτσι & Θορν (2013) βασιζόμενοι στη συνάρτηση Ζήτα Σιντάνι.

Μοναδιαία ομάδα 

Σύμφωνα με το θεώρημα της μονάδας του Ντίριχλετ, η χωρίς στρέψη μοναδιαία τάξη r ενός αλγεβρικού αριθμητικού σώματος K με r1 πραγματικές ενσωματώσεις και r2 ζεύγη συζυγών μιγαδικών ενσωματώσεων καθορίζεται από τον τύπο r = r1 + r2 − 1. Επομένως, ένα ολικά πραγματικό κυβικό σώμα  K με r1 = 3, r2 = 0 έχει δύο ανεξάρτητες μονάδες  ε1, ε2  και ένα μιγαδικό κυβικό σώμα K με r1 = r2 = 1 έχει μία μόνο θεμελιώδη μονάδα ε1. Αυτά τα θεμελιώδη συστήματα μονάδων μπορούν να υπολογιστούν μέσω γενικευμένων αλγορίθμων συνεχιζόμενων κλασμάτων του Voronoi, οι οποίοι έχουν ερμηνευτεί γεωμετρικά από τους Ντελόνε και Φαντέεφ.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Υπερβολική γεωμετρία
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Καμπυλότητα Γκάους
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Σώμα διασπάσεως
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 

Şaban Alaca, Kenneth S. Williams, Introductory algebraic number theory, Cambridge University Press, 2004.

.   English translation (of 2nd revised edition):  (Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)

 Πηγές 




 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα