Αναλλοίωτος Χάσε μιας άλγεβρας

Στα μαθηματικά, ο αναλλοίωτος Χάσε μιας άλγεβρας είναι ένας αναλλοίωτος που συνδέεται με μια κλάση Μπράουερ των αλγεβρών πάνω από ένα σώμα. Η έννοια πήρε το όνομά της από τον Χέλμουτ Χάσε. Ο αναλλοίωτος αυτός παίζει ρόλο στη θεωρία σωμάτων τοπικών κλάσεων.

Τοπικά σώματα

Έστω K ένα τοπικό σώμα με αποτίμηση  v και D μια K-άλγεβρα.  Μπορούμε να υποθέσουμε ότι η D είναι μια άλγεβρα διαίρεσης με κέντρο K βαθμού  n. Η αποτίμηση v  μπορεί να επεκταθεί στην D όπως για παράδειγμα επεκτείνοντάς την συμβατά σε κάθε αντιμεταθετικό υποσώμα της D:  η ομάδα τιμών αυτής της αποτίμησης είναι (1/n)Z.Serre (1967) p.137

Υπάρχει ένα αντιμεταθετικό υποσώμα  L του D το οποίο είναι αδιαμόρφωτο πάνω στο K, και το D χωρίζεται πάνω στο L.Serre (1967) pp.130,138   Το σώμα L  δεν είναι μοναδικό, αλλά όλες αυτές οι επεκτάσεις είναι συζυγείς σύμφωνα με το θεώρημα Σκόλεμ - Νέτερ, το οποίο επιπλέον δείχνει ότι κάθε αυτομορφισμός του L  επάγεται από μια συζυγή στο D .  Ας πάρουμε γ στο D  τέτοιο ώστε η σύζευξη με γ να επάγει τον αυτομορφισμό Φρομπένιους του L/K και έστω  v(γ) = k/n.  Τότε το k/n  modulo 1 είναι ο αναλλοίωτος Χάσε του  D.  Εξαρτάται μόνο από την τάξη Μπράουερ του  D.Serre (1967) p.138

Ο αναλλοίωτος Χάσε είναι επομένως μια απεικόνιση που ορίζεται στην ομάδα Μπράουερ ενός τοπικού σώματος K  προς την διαιρετή ομάδα Q/Z.Lorenz (2008) p.232   Κάθε κλάση στην ομάδα Μπράουερ αντιπροσωπεύεται από μια κλάση στην ομάδα Μπράουερ μιας μη ενοποιημένης επέκτασης του L/K βαθμού n,Lorenz (2008) pp.225–226 την οποία, σύμφωνα με το θεώρημα Γκρούνβαλντ-Γουάνγκ και το θεώρημα Άλμπερτ-Μπράουερ-Χάσε-Νέτερ, μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι μια κυκλική άλγεβρα (L,φ,πk)  για κάποιο k mod n, όπου φ είναι η απεικόνιση Φρομπένιους και π είναι ένας ομοιόμορφος.Lorenz (2008) p.226 Ο αναλλοίωτος χάρτης συνδέει το στοιχείο k/n  mod 1 με την κλάση.  Αυτό παρουσιάζει τον αναλλοίωτο χάρτη ως ομομορφισμό

Η απεικόνηση του αναλλοίωτου επεκτείνεται στο Br(K) αναπαριστώντας κάθε κλάση με κάποιο στοιχείο του Br(L/K)  όπως παραπάνω.Lorenz (2008) p.232

Για ένα μη-αρχιμήδειο τοπικό σώμα, η απεικόνηση του αναλλοίωτου είναι ένας ισομορφισμός ομάδας.Lorenz (2008) p.233

Στην περίπτωση του σώματος R  των πραγματικών αριθμών, υπάρχουν δύο κλάσεις Μπράουερ, οι οποίες αντιπροσωπεύονται από την ίδια την άλγεβρα R  και την άλγεβρα των τετραδόνιων H.Serre (1979) p.163 Είναι βολικό να αναθέσουμε το αναλλοίωτο μηδέν στην τάξη του R και το αναλλοίωτο 1/2 modulo 1 στην τάξη των τετραδόνιων.

Στην περίπτωση του σώματος C  των μιγαδικών αριθμών, η μόνη κλάση Μπράουερ είναι η τετριμμένη, με αναλλοίωτο το μηδέν.

Ολικά σώματα

Για ένα ολικό σώμα K, δεδομένης μιας κεντρικής απλής άλγεβρας D πάνω στο K, τότε για κάθε αποτίμηση v του K μπορούμε να εξετάσουμε την επέκταση των βαθμωτών Dv = D ⊗ Kv  Η επέκταση Dv διασπάται για όλα εκτός από πεπερασμένα πολλά v, έτσι ώστε το τοπικό αναλλοίωτο του Dv να είναι σχεδόν πάντα μηδέν. Η ομάδα Μπράουερ Br(K) εντάσσεται σε μια ακριβή ακολουθίαGille & Szamuely (2006) p.159

όπου S είναι το σύνολο όλων των αποτιμήσεων του K  και το δεξιό βέλος είναι το άθροισμα των τοπικών αναλλοίωτων.  Η εγχυσιμότητα του αριστερού βέλους είναι το περιεχόμενο του θεωρήματος  Άλμπερτ-Μπράουερ-Χάσε-Νέτερ. Η ακρίβεια στον μεσαίο όρο είναι ένα βαθύ γεγονός από τη θεωρία ολικής κλάσης σωμάτων .

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Καμπυλότητα Γκάους
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Σώμα διασπάσεως
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νοεροί υπολογισμοί

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές






 Max Koecher & Reinhold Remmert (1990) "Composition Algebras. Hurwitz's Theorem — Vector-Product Algebras", chapter 10 of Numbers by Heinz-Dieter Ebbinghau et al., Springer, 

 (English translation of a Russian original)








 Πηγές 





 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα