Σωληνοειδές διανυσματικό πεδίο

Στον διανυσματικό λογισμό ένα σωληνοειδές διανυσματικό πεδίο (επίσης γνωστό ως ασυμπίεστο διανυσματικό πεδίο, διανυσματικό πεδίο χωρίς απόκλιση ή εγκάρσιο διανυσματικό πεδίο) είναι ένα διανυσματικό πεδίο v με απόκλιση μηδέν σε όλα τα σημεία του πεδίου:

Ένας συνήθης τρόπος έκφρασης αυτής της ιδιότητας είναι να πούμε ότι το πεδίο δεν έχει πηγές ή καταβόθρες.This statement does not mean that the field lines of a solenoidal field must be closed, neither that they cannot begin or end. For a detailed discussion of the subject, see J. Slepian: "Lines of Force in Electric and Magnetic Fields", American Journal of Physics, vol. 19, pp. 87-90, 1951, and L. Zilberti: "The Misconception of Closed Magnetic Flux Lines", IEEE Magnetics Letters, vol. 8, art. 1306005, 2017.

Ιδιότητες
Το θεώρημα της απόκλισης δίνει έναν ισοδύναμο ολοκλήρωμα ορισμό ενός σωληνοειδούς πεδίου, δηλαδή ότι για οποιαδήποτε κλειστή επιφάνεια, η καθαρή συνολική ροή μέσω της επιφάνειας πρέπει να είναι μηδέν:

όπου  είναι η κάθετη προς τα έξω σε κάθε στοιχείο της επιφάνειας.

Το θεμελιώδες θεώρημα του διανυσματικού λογισμού ορίζει ότι κάθε διανυσματικό πεδίο μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα ενός μη περιστροφικού και ενός σωληνοειδούς πεδίου. Η συνθήκη της μηδενικής απόκλισης ικανοποιείται κάθε φορά που ένα διανυσματικό πεδίο v έχει μόνο μια συνιστώσα διανυσματικού δυναμικού, επειδή ο ορισμός του διανυσματικού δυναμικού A ως:

οδηγεί αυτόματα στην ταυτότητα (όπως μπορεί να αποδειχθεί, για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας καρτεσιανές συντεταγμένες):

Ισχύει και το αντίστροφο: για κάθε σωληνοειδές v υπάρχει ένα διανυσματικό δυναμικό A τέτοιο ώστε (Αυστηρά μιλώντας, αυτό ισχύει υπό ορισμένες τεχνικές συνθήκες για το v, βλέπε θεωρημα Χέλμχολτς-Χοτζ.).

 Ετυμολογία 
Ο όρος σωληνοειδής (αγγλικά: Solenoidal) προέρχεται από τα  αρχαία ελληνικά σωληνοειδής < σωλήν + -ειδής (< εἶδος).

Κατανομή ενός σωληνοειδούς πεδίου

Στον τρισδιάστατο ευκλείδειο διανυσματικό χώρο, δεδομένου ότι η απόκλιση του περιστροφικού πεδίου είναι μηδέν, το περιστροφικό πεδίο ενός διανυσματικού πεδίου είναι ένα σωληνοειδές πεδίο. Ισχύει και το αντίστροφο: κάθε πεδίο χωρίς απόκλιση B μπορεί να γραφεί τοπικά ως το περιστροφικό ενός διανυσματικού πεδίου A. Το πεδίο μπορεί να γραφεί συνολικά αν ορίζεται σε ένα κυρτό ανοικτό, ή γενικότερα σε ένα πεδίο με πεπερασμένη θεμελιώδη ομάδα.

Δεδομένου του ορισμού των διαφορικών μορφών, η απόδειξη είναι στοιχειώδης. Το πεδίο B  συνδέεται με το 2- κλειστή διαφορική μορφή  όπου (x, y, z) είναι οι συντεταγμένες σε ένα ορθοκανονικό καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Το διαφορικό του ω  γράφεται . Η απαίτηση να μην έχει απόκλιση η B είναι ισοδύναμη με την απαίτηση να είναι κλειστή η ω. Εάν η πρώτη ομάδα συνομολογίας Ντε Ραμ του πεδίου είναι μηδέν (τοπολογική συνθήκη), τότε αυτό είναι ισοδύναμο με το ότι η ω είναι ακριβής, δηλαδή υπάρχει μια διαφορική μορφή η τέτοια ώστε . Αν γράφουμε η με τη μορφή , τότε ένας άμεσος υπολογισμός δείχνει ότι το B  είναι το περιστροφικό του A.

Στον ηλεκτρομαγνητισμό, σε περίπτωση απουσίας ηλεκτρικού πεδίου, το μαγνητικό πεδίο είναι ένα σωληνοειδές πεδίο- η προηγούμενη ιδιότητα μας επιτρέπει να ορίσουμε το διανυσματικό δυναμικό σε αυτή την κατάσταση.

Ένα τρισδιάστατο σωληνοειδές πεδίο έχει μόνο δύο ανεξάρτητες συνιστώσες. Είναι δυνατόν (και μερικές φορές βολικό) να αναλύσουμε το πεδίο χρησιμοποιώντας δύο βαθμωτές ποσότητες. Το πεδίο λέγεται ότι έχει μια τοροειδή συνιστώσα και μια πολωτική συνιστώσα.

Παραδείγματα

 Το μαγνητικό πεδίο B (βλέπε νόμο του Γκάους για τον μαγνητισμό)
 Το πεδίο ταχύτητας μιας ασυμπίεστης ροής ρευστού
 Το πεδίο στροβιλότητας
 Το ηλεκτρικό πεδίο E σε ουδέτερες περιοχές (),
 Η πυκνότητα ρεύματος J όπου η πυκνότητα φορτίου είναι αμετάβλητη, .
 Το μαγνητικό διανυσματικό δυναμικό A σε μέτρο Κουλόμπ

 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Διδιάστατος χώρος
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Υπερβολική γεωμετρία
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Καμπυλότητα Γκάους
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Διάσταση Κρουλ
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 







 . Review: Séquin, Carlo H. (2009), Journal of Mathematics and the Arts 3: 229–230, 

Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Κατηγορία:Θεωρήματα στην ανάλυση
Κατηγορία:Μαθηματική ανάλυση
Κατηγορία:Επιφάνειες
Κατηγορία:Διαφορική τοπολογία
Κατηγορία:Διανύσματα
Κατηγορία:Διανυσματικός λογισμός
Κατηγορία:Μαθηματικές συναρτήσεις