Βαθμωτό δυναμικό

Στη μαθηματική φυσική, το βαθμωτό δυναμικό περιγράφει την κατάσταση κατά την οποία η διαφορά στις δυναμικές ενέργειες ενός αντικειμένου σε δύο διαφορετικές θέσεις εξαρτάται μόνο από τις θέσεις και όχι από τη διαδρομή που ακολουθεί το αντικείμενο κατά τη μετακίνησή του από τη μία θέση στην άλλη. Πρόκειται για ένα βαθμωτό πεδίο στον τρισδιάστατο χώρο: μια τιμή χωρίς κατεύθυνση (βαθμωτό) που εξαρτάται μόνο από τη θέση της. Ένα γνωστό παράδειγμα είναι η δυνητική ενέργεια που οφείλεται στη βαρύτητα.


Το βαθμωτό δυναμικό είναι μια θεμελιώδης έννοια στη διανυσματική ανάλυση και τη φυσική (το επίθετο βαθμωτό συχνά παραλείπεται αν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης με το διανυσματικό δυναμικό). Το βαθμωτό δυναμικό είναι ένα παράδειγμα βαθμωτού πεδίου. Δεδομένου ενός διανυσματικού πεδίου F, το βαθμωτό δυναμικό P ορίζεται έτσι ώστε:

όπου  είναι η κλίση του  και το δεύτερο μέρος της εξίσωσης είναι μείον η κλίση για μια συνάρτηση των καρτεσιανών συντεταγμένων. Σε ορισμένες περιπτώσεις, οι μαθηματικοί μπορούν να χρησιμοποιήσουν ένα θετικό πρόσημο μπροστά από την κλίση για να ορίσουν το δυναμικόSee  for an example where the potential is defined without a negative. Other references such as  avoid using the term potential when solving for a function from its gradient. Εξαιτίας αυτού του ορισμού του  ως προς την κλίση, η κατεύθυνση του  σε οποιοδήποτε σημείο είναι η κατεύθυνση της πιο απότομης μείωσης του  σε αυτό το σημείο, ενώ το μέγεθός του είναι ο ρυθμός αυτής της μείωσης ανά μονάδα μήκους.

Προκειμένου η  να περιγραφεί μόνο με όρους βαθμωτού δυναμικού, οποιαδήποτε από τις ακόλουθες ισοδύναμες προτάσεις πρέπει να είναι αληθής:

 όπου η ολοκλήρωση γίνεται σε ένα τόξο του Ζορντάν που διέρχεται από τη θέση a στη θέση  στη  και  είναι το  που αξιολογείται στη θέση .
 όπου το ολοκλήρωμα αναφέρεται σε οποιοδήποτε απλό κλειστό μονοπάτι, γνωστό και ως καμπύλη Ζορντάν..

Η πρώτη από αυτές τις συνθήκες αντιπροσωπεύει το θεμελιώδες θεώρημα της κλίσης και ισχύει για κάθε διανυσματικό πεδίο που είναι κλίση ενός διαφορίσιμου μονοσήμαντου βαθμωτού πεδίου .  Η δεύτερη συνθήκη είναι μια απαίτηση του   ώστε να μπορεί να εκφραστεί ως κλίση μιας βαθμωτής συνάρτησης. Η τρίτη συνθήκη επανεκφράζει τη δεύτερη συνθήκη ως προς την κύρτωση της   χρησιμοποιώντας το θεμελιώδες θεώρημα της κυρτότητας.  Ένα διανυσματικό πεδίο   που ικανοποιεί αυτές τις συνθήκες λέγεται αστρόβιλο (συντηρητικό).


Τα βαθμωτά δυναμικά διαδραματίζουν εξέχοντα ρόλο σε πολλούς τομείς της φυσικής και της μηχανικής. Το δυναμικό βαρύτητας είναι το βαθμωτό δυναμικό που σχετίζεται με τη δύναμη της βαρύτητας ανά μονάδα μάζας, ή ισοδύναμα, την επιτάχυνση λόγω του πεδίου, ως συνάρτηση της θέσης. Το δυναμικό βαρύτητας είναι η δυναμική ενέργεια βαρύτητας ανά μονάδα μάζας. Στην ηλεκτροστατική το ηλεκτρικό δυναμικό είναι το βαθμωτό δυναμικό που σχετίζεται με το ηλεκτρικό πεδίο, δηλαδή με την ηλεκτροστατική δύναμη ανά μονάδα φορτίου. Το ηλεκτρικό δυναμικό είναι στην περίπτωση αυτή η ηλεκτροστατική δυναμική ενέργεια ανά μονάδα φορτίου. Στη ρευστοδυναμική, τα αστρόβιλα ελασματικά πεδία έχουν ένα βαθμωτό δυναμικό μόνο στην ειδική περίπτωση που πρόκειται για λαπλασιανό πεδίο. Ορισμένες πτυχές της πυρηνικής δύναμης μπορούν να περιγραφούν από ένα δυναμικό Γιουκάβα. Το δυναμικό παίζει εξέχοντα ρόλο στις διατυπώσεις Λαγκρανζιανής και Χαμιλτονιανής της κλασικής μηχανικής. Περαιτέρω, το βαθμωτό δυναμικό είναι η θεμελιώδης ποσότητα στην κβαντομηχανική.

Δεν έχει κάθε διανυσματικό πεδίο ένα βαθμωτό δυναμικό. Αυτά που έχουν ονομάζονται συντηρητικά, που αντιστοιχούν στην έννοια της συντηρητικής δύναμης στη φυσική. Παραδείγματα μη συντηρητικών δυνάμεων είναι οι δυνάμεις τριβής, οι μαγνητικές δυνάμεις και στη μηχανική των ρευστών ένα σωληνοειδές πεδίο ταχύτητας. Ωστόσο, σύμφωνα με το θεώρημα του Χέλμχολτς, όλα τα διανυσματικά πεδία μπορούν να περιγραφούν με όρους ενός βαθμωτού δυναμικού και ενός αντίστοιχου διανυσματικού δυναμικού. Στην ηλεκτροδυναμική, τα ηλεκτρομαγνητικά βαθμωτά και διανυσματικά δυναμικά είναι γνωστά μαζί ως ηλεκτρομαγνητικό τετραδυναμικό.

Συνθήκες ολοκληρωσιμότητας 
Αν  είναι ένα συντηρητικό διανυσματικό πεδίο (που ονομάζεται επίσης “'αστρόβιλο”', “'χωρίς καμπύλη”' ή “'δυναμικό”') και οι συνιστώσες του έχουν συνεχείς μερικές παραγώγους, το “”'δυναμικό'“” του  ως προς ένα σημείο αναφοράς  ορίζεται ως προς το ευθύγραμμο ολοκλήρωμα:

όπου  είναι μια παραμετροποιημένη διαδρομή από  to ,

Το γεγονός ότι το γραμμικό ολοκλήρωμα εξαρτάται από τη διαδρομή  μόνο μέσω των τερματικών του σημείων  και  είναι, στην ουσία, η ιδιότητα ανεξαρτησίας διαδρομής ενός συντηρητικού διανυσματικού πεδίου. Το θεμελιώδες θεώρημα των γραμμικών ολοκληρωμάτων συνεπάγεται ότι αν  ορίζεται με αυτόν τον τρόπο, τότε , οπότε  είναι ένα βαθμωτό δυναμικό του συντηρητικού διανυσματικού πεδίου . Το βαθμωτό δυναμικό δεν καθορίζεται μόνο από το διανυσματικό πεδίο: πράγματι, η κλίση μιας συνάρτησης δεν επηρεάζεται αν προστεθεί σε αυτήν μια σταθερά. Αν το  ορίζεται ως προς το γραμμικό ολοκλήρωμα, η ασάφεια του  αντανακλά την ελευθερία στην επιλογή του σημείου αναφοράς .

Το υψόμετρο ως βαρυτική δυναμική ενέργεια

Ένα παράδειγμα είναι το (σχεδόν) ομοιόμορφο βαρυτικό πεδίο κοντά στην επιφάνεια της Γης.  Έχει μια δυναμική ενέργεια

όπου  είναι η βαρυτική δυναμική ενέργεια και  είναι το ύψος πάνω από την επιφάνεια.  Αυτό σημαίνει ότι η βαρυτική δυναμική ενέργεια σε μια απεικόνιση περιγράμματος είναι ανάλογη του ύψους. Σε μια απεικόνιση του περιγράμματος, η δισδιάστατη αρνητική κλίση του υψομέτρου είναι ένα δισδιάστατο διανυσματικό πεδίο, του οποίου τα διανύσματα είναι πάντα κάθετα στα περιγράμματα και επίσης κάθετα στη διεύθυνση της βαρύτητας.  Αλλά στην λοφώδη περιοχή που αντιπροσωπεύεται από την απεικόνιση  περιγραμμάτων, η τρισδιάστατη αρνητική κλίση του  δείχνει πάντα ευθεία προς τα κάτω προς την κατεύθυνση της βαρύτητας- .  Ωστόσο, μια σφαίρα που κυλάει σε έναν λόφο δεν μπορεί να κινηθεί απευθείας προς τα κάτω λόγω της ορθής δύναμης της επιφάνειας του λόφου, η οποία ακυρώνει τη συνιστώσα της βαρύτητας κάθετα στην επιφάνεια του λόφου.  Η συνιστώσα της βαρύτητας που απομένει για την κίνηση της σφαίρας είναι παράλληλη προς την επιφάνεια:

όπου  είναι η γωνία κλίσης και η συνιστώσα του  κάθετα στη βαρύτητα είναι

Αυτή η δύναμη , παράλληλη προς το έδαφος, είναι μεγαλύτερη όταν  είναι 45 μοίρες.

Έστω  το ομοιόμορφο υψομετρικό διάστημα μεταξύ των περιγραμμάτων στην απεικόνιση περιγραμμάτων και  η απόσταση μεταξύ δύο περιγραμμάτων.  Τότε

έτσι ώστε

Ωστόσο, σε μια απεικόνιση του περιγράμματος, η κλίση είναι αντιστρόφως ανάλογη του , το οποίο δεν είναι παρόμοιο με τη δύναμη : το υψόμετρο σε μια απεικόνιση του περιγράμματος δεν είναι ακριβώς ένα δισδιάστατο δυναμικό πεδίο.  Τα μεγέθη των δυνάμεων είναι διαφορετικά, αλλά οι κατευθύνσεις των δυνάμεων είναι οι ίδιες τόσο σε μια απεικόνιση περιγράμματος όσο και στην λοφώδη περιοχή της γήινης επιφάνειας που αναπαριστά η απεικόνιση περιγράμματος.

Πίεση ως δυναμικό άνωσης

Στη μηχανική των ρευστών, ένα ρευστό που βρίσκεται σε ισορροπία, αλλά παρουσία ομοιόμορφου βαρυτικού πεδίου, διαπερνάται από μια ομοιόμορφη δύναμη άνωσης που εξουδετερώνει τη βαρυτική δύναμη: με αυτόν τον τρόπο το ρευστό διατηρεί την ισορροπία του. Αυτή η πλευστική δύναμη είναι η αρνητική κλίση της πίεσης:

Δεδομένου ότι η δύναμη άνωσης δείχνει προς τα πάνω, προς την αντίθετη κατεύθυνση από τη βαρύτητα, τότε η πίεση στο ρευστό αυξάνεται προς τα κάτω.  Η πίεση σε ένα στατικό σώμα νερού αυξάνεται αναλογικά με το βάθος κάτω από την επιφάνεια του νερού.  Οι επιφάνειες σταθερής πίεσης είναι επίπεδα παράλληλα προς την επιφάνεια, τα οποία μπορούν να χαρακτηριστούν ως το επίπεδο μηδενικής πίεσης.

Εάν το υγρό έχει μια κατακόρυφη δίνη (της οποίας ο άξονας περιστροφής είναι κάθετος στην επιφάνεια), τότε η δίνη προκαλεί μια ύφεση στο πεδίο πίεσης. Η επιφάνεια του υγρού μέσα στη δίνη έλκεται προς τα κάτω, όπως και κάθε επιφάνεια ίσης πίεσης, η οποία εξακολουθεί να παραμένει παράλληλη προς την επιφάνεια του υγρού. Το φαινόμενο είναι ισχυρότερο στο εσωτερικό της δίνης και μειώνεται ραγδαία με την απόσταση από τον άξονα της δίνης. 

Η δύναμη άνωσης που οφείλεται σε ένα υγρό σε ένα στερεό αντικείμενο που είναι βυθισμένο και περιβάλλεται από το υγρό αυτό μπορεί να ληφθεί με την ολοκλήρωση της αρνητικής βαθμίδας πίεσης κατά μήκος της επιφάνειας του αντικειμένου:

Βαθμωτό δυναμικό στον Ευκλείδειο χώρο 

Στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο , το βαθμωτό δυναμικό ενός αστρόβιλου διανυσματικού πεδίου   δίνεται ως εξής

όπου  είναι ένα απειροελάχιστο στοιχείο όγκου ως προς .  Τότε

Αυτό ισχύει υπό την προϋπόθεση ότι η  είναι συνεχής και εξαφανίζεται ασυμπτωτικά στο μηδέν προς το άπειρο, μειούμενη ταχύτερα από   και αν η απόκλιση της  εξαφανίζεται επίσης προς το άπειρο, μειούμενη ταχύτερα από
.

Με άλλο τρόπο, έστω

είναι το Νευτώνειο δυναμικό.  Αυτή είναι η θεμελιώδης λύση της εξίσωσης Λαπλάς, που σημαίνει ότι η Λαπλασιανή της  είναι ίση με το αρνητικό της συνάρτησης δέλτα Ντιράκ:

Τότε το βαθμωτό δυναμικό είναι η απόκλιση της συνέλιξης της   με την :

Πράγματι, η συνέλιξη ενός αστρόβιλου διανυσματικού πεδίου με ένα περιστροφικά αμετάβλητο δυναμικό είναι επίσης αστρόβιλο.  Για ένα αστρόβιλο διανυσματικό πεδίο , μπορεί να δειχθεί ότι

Ως εκ τούτου

όπως απαιτείται.

Γενικότερα, ο τύπος

ισχύει στον -διάστατο Ευκλείδειο χώρο () με το Νευτώνειο δυναμικό να δίνεται τότε ως εξής

όπου  είναι ο όγκος της μοναδιαίας -σφαίρας.  Η απόδειξη είναι πανομοιότυπη.  Εναλλακτικά, η ολοκλήρωση κατά μέρη (ή, πιο αυστηρά, οι ιδιότητες της συνέλιξης) δίνει

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Διδιάστατος χώρος
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Υπερβολική γεωμετρία
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Καμπυλότητα Γκάους
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Διάσταση Κρουλ
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 









 . Review: Séquin, Carlo H. (2009), Journal of Mathematics and the Arts 3: 229–230, 

Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Κατηγορία:Θεωρήματα στην ανάλυση 
Κατηγορία:Μαθηματική ανάλυση
Κατηγορία:Επιφάνειες 
Κατηγορία:Διαφορική τοπολογία 
Κατηγορία:Διανύσματα 
Κατηγορία:Διανυσματικός λογισμός
Κατηγορία:Μαθηματικές συναρτήσεις