Αλγεβρική επέκταση

Στα μαθηματικά, μια αλγεβρική επέκταση είναι μια επέκταση σώματος  τέτοια ώστε κάθε στοιχείο του μεγαλύτερου σώματος  να είναι αλγεβρικό πάνω στο μικρότερο σώμα   δηλαδή κάθε στοιχείο του  να είναι ρίζα ενός μη μηδενικού πολυωνύμου με συντελεστές στο .Fraleigh (2014), Definition 31.1, p. 283.Malik, Mordeson, Sen (1997), Definition 21.1.23, p. 453. Μια επέκταση σώματος που δεν είναι αλγεβρική, καλείται υπερβατική και πρέπει να περιέχει υπερβατικά στοιχεία, δηλαδή στοιχεία που δεν είναι αλγεβρικά.Fraleigh (2014), Definition 29.6, p. 267.Malik, Mordeson, Sen (1997), Theorem 21.1.8, p. 447.

Οι αλγεβρικές επεκτάσεις του σώματος  των ρητών αριθμών ονομάζονται αλγεβρικά αριθμητικά σώματα και αποτελούν τα κύρια αντικείμενα μελέτης της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών. Ένα άλλο παράδειγμα κοινής αλγεβρικής επέκτασης είναι η επέκταση  των πραγματικών αριθμών από τους μιγαδικούς αριθμούς.

Μερικές ιδιότητες

Όλες οι υπερβατικές επεκτάσεις είναι άπειρου βαθμού. Αυτό με τη σειρά του συνεπάγεται ότι όλες οι πεπερασμένες επεκτάσεις είναι αλγεβρικές.See also Hazewinkel et al. (2004), p. 3. Το αντίστροφο δεν ισχύει όμως: υπάρχουν άπειρες επεκτάσεις που είναι αλγεβρικές.Fraleigh (2014), Theorem 31.18, p. 288. Συγκεκριμένα, το σώμα όλων των αλγεβρικών αριθμών είναι μια άπειρη αλγεβρική επέκταση των ρητών αριθμών.Fraleigh (2014), Corollary 31.13, p. 287.

Έστω  ένα σώμα επέκτασης του , και . Το μικρότερο υποσώμα του  που περιέχει  και  συμβολίζεται συνήθως  Αν  είναι αλγεβρικό πάνω στο , τότε τα στοιχεία του  μπορούν να εκφραστούν ως πολυώνυμα στο  με συντελεστές στο K, δηλαδή, , ο μικρότερος δακτύλιος που περιέχει  και . Σε αυτή την περίπτωση, ο  είναι μια πεπερασμένη επέκταση του  και όλα τα στοιχεία του είναι αλγεβρικά πάνω στον .  Συγκεκριμένα, ο  είναι ένας -διανυσματικός χώρος με βάση , όπου d είναι ο βαθμός του ελάχιστου πολυωνύμου του .Fraleigh (2014), Theorem 30.23, p. 280. Αυτές οι ιδιότητες δεν ισχύουν αν το  δεν είναι αλγεβρικό. Επί παραδείγματι  και είναι και οι δύο άπειρης διάστασης διανυσματικοί χώροι πάνω στο Fraleigh (2014), Example 29.8, p. 268.

Ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα F δεν έχει κατάλληλες αλγεβρικές επεκτάσεις, δηλαδή δεν έχει αλγεβρικές επεκτάσεις E με F < E.Fraleigh (2014), Corollary 31.16, p. 287. Ένα παράδειγμα είναι το σώμα των μιγαδικών αριθμών. Κάθε σώμα έχει μια αλγεβρική επέκταση η οποία είναι αλγεβρικά κλειστή (ονομάζεται αλγεβρική κλειστότητά), αλλά η απόδειξη αυτού γενικά απαιτεί κάποια μορφή του αξιώματος της επιλογής.Fraleigh (2014), Theorem 31.22, p. 290.

Μια επέκταση L/K είναι αλγεβρική αν και μόνο αν κάθε υπο-'K-άλγεβρα της L είναι σώμα.

Ιδιότητες
Ισχύουν οι ακόλουθες τρεις ιδιότητες:Lang (2002) p.228
 Αν η E είναι αλγεβρική προέκταση της F και η F είναι αλγεβρική προέκταση της K τότε η E είναι αλγεβρική προέκταση της K.
 Αν E και F είναι αλγεβρικές επεκτάσεις του K σε ένα κοινό υπερσώμα  C, τότε το σύνθετο EF είναι αλγεβρική επέκταση του K.
 Αν η E είναι αλγεβρική επέκταση της F και η E > K > F τότε το E είναι αλγεβρική επέκταση του K.

Αυτά τα πεπερασμένα αποτελέσματα μπορούν να γενικευτούν με τη χρήση της υπερπεπερασμένης επαγωγής:

Το γεγονός αυτό, μαζί με το λήμμα του Ζορν (που εφαρμόζεται σε ένα κατάλληλα επιλεγμένο σύνολο), τεκμηριώνει την ύπαρξη αλγεβρικής κλειστότητας.

Γενικεύσεις

Η θεωρία μοντέλων γενικεύει την έννοια της αλγεβρικής επέκτασης σε αυθαίρετες θεωρίες: μια ενσωμάτωση της Μ στην Ν ονομάζεται αλγεβρική επέκταση αν για κάθε x στην Ν υπάρχει ένας τύπος p με παραμέτρους στην Μ, τέτοιος ώστε ο p(x) να είναι αληθής και το σύνολο

είναι πεπερασμένη. Αποδεικνύεται ότι η εφαρμογή αυτού του ορισμού στη θεωρία των σωμάτων δίνει τον συνήθη ορισμό της αλγεβρικής επέκτασης. Η ομάδα Γκαλουά του Ν πάνω στο Μ μπορεί και πάλι να οριστεί ως η ομάδα των αυτομορφισμών και αποδεικνύεται ότι το μεγαλύτερο μέρος της θεωρίας των ομάδων Γκαλουά μπορεί να αναπτυχθεί για τη γενική περίπτωση.

 Σχετική αλγεβρική κλειστότητα 
Δεδομένου ενός σώματος k και ενός σώματος K που περιέχει το k, ορίζεται ως  σχετική αλγεβρική κλειστότητα του k στο K το υποσώμα  του K που αποτελείται από όλα τα στοιχεία του K που είναι αλγεβρικά πάνω στο k, δηλαδή όλα τα στοιχεία του K που είναι ρίζα κάποιου μη μηδενικού πολυωνύμου με συντελεστές στο k.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Διδιάστατος χώρος
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Υπερβολική γεωμετρία
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Καμπυλότητα Γκάους
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Σώμα διασπάσεως
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 

Lang, Serge (2004), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Corrected fourth printing, revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4

 (Galois' original paper, with extensive background and commentary.)

  (Chapter 4 gives an introduction to the field-theoretic approach to Galois theory.)
 (This book introduces the reader to the Galois theory  of Grothendieck, and some generalisations, leading to Galois groupoids.)

.   English translation (of 2nd revised edition):  (Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)

 Πηγές 




 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα