Θεωρία σωμάτων τοπικής κλάσεως

Στα μαθηματικά, η θεωρία σωμάτων τοπικής κλάσεως, που εισήχθη από τον Χέλμουτ Χάσε, αποτελεί τη μελέτη των αβελιανών επεκτάσεων των τοπικών σωμάτων- εδώ, "τοπικό σώμα" σημαίνει ένα σώμα που είναι πλήρες ως προς μια απόλυτη τιμή ή μια διακριτή αποτίμηση με ένα πεπερασμένο σώμα υπολοίπων: Επομένως, κάθε τοπικό σώμα είναι ισόμορφο (ως τοπολογικό σώμα) με τους πραγματικούς αριθμούς R, τους μιγαδικούς αριθμούς C, μια πεπερασμένη επέκταση των p-adic αριθμών Qp (όπου p είναι οποιοσδήποτε πρώτος αριθμός), ή το σώμα των τυπικών σειρών Λοράν  Fq((T)) πάνω σε ένα πεπερασμένο σώμα Fq.

Προσεγγίσεις στη θεωρία σωμάτων τοπικών κλάσεων

Η θεωρία σωμάτων τοπικών κλάσεων δίνει μια περιγραφή της ομάδας Γκαλουά  G της μέγιστης αβελιανής επέκτασης ενός τοπικού σώματος K  μέσω της απεικόνισης της αμοιβαιότητας που ενεργεί από την πολλαπλασιαστική ομάδα K×=K\{0}. Για μια πεπερασμένη αβελιανή επέκταση L του K η απεικόνιση της αμοιβαιότητας επάγει έναν ισομορφισμό της πηλίκο ομάδας K×/N(L×) του K× από την ομάδα νόρμας N(L×) της επέκτασης L× στην ομάδα Γκαλουά Gal(L/K)
της επέκτασης.Fesenko, Ivan and Vostokov, Sergei, Local Fields and their Extensions, 2nd ed., American Mathematical Society, 2002, ISBN 0-8218-3259-X

Το θεώρημα ύπαρξης στη θεωρία σωμάτων τοπικών κλάσεων καθιερώνει μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ ανοικτών υποομάδων πεπερασμένου δείκτη στην πολλαπλασιαστική ομάδα K× και πεπερασμένων αβελιανών επεκτάσεων του σώματος K. Για μια πεπερασμένη αβελιανή επέκταση  L του K  η αντίστοιχη ανοικτή υποομάδα πεπερασμένου δείκτη είναι η ομάδα νόρμας N(L×). Η απεικόνιση της αμοιβαιότητας στέλνει ανώτερες ομάδες μονάδων σε ανώτερες υποομάδες διακλάδωσης..Ch. 4

Χρησιμοποιώντας την τοπική απεικόνιση της αμοιβαιότητας, ορίζεται το σύμβολο Χίλμπερτ και οι γενικεύσεις του. Η εύρεση ρητών τύπων γι' αυτό είναι μια από τις υποκατευθύνσεις της θεωρίας των τοπικών σωμάτων, έχει μακρά και πλούσια ιστορία, βλέπε π.χ. την ανασκόπηση του Σεργκέι Βοστόκοφ.

Υπάρχουν συνομολογικές προσεγγίσεις και μη συνομολογικές προσεγγίσεις στη θεωρία σωμάτων τοπικών τάξεων. Οι συνομολογικές προσεγγίσεις τείνουν να είναι μη ρητές, καθώς χρησιμοποιούν το γινόμενο ένωσης των πρώτων ομάδων συνομολογίας Γκαλουά.

Για διάφορες προσεγγίσεις στη θεωρία σωμάτων τοπικής τάξεως βλ. κεφ. IV και το κεφ. 7 Κεφ. IV του. Περιλαμβάνουν την προσέγγιση Χάσε που χρησιμοποιεί την ομάδα Μπράουερ, τις συνομολογικές προσεγγίσεις, τις ρητές μεθόδους του Γιργκεν Νόικιρχ, του Μίχελ Χάζεβινκελ, τη θεωρία Λούμπιν-Τέιτ και άλλες.

Γενικεύσεις της θεωρίας σωμάτων τοπικής τάξεως

Οι γενικεύσεις της θεωρίας σωμάτων τοπικής τάξεως σε τοπικά σώματα με οιονεί πεπερασμένο σώμα καταλοίπων ήταν εύκολες επεκτάσεις της θεωρίας, που επιτεύχθηκαν από τον Γ. Γουάπλς τη δεκαετία του 1950.ch. V

Η ρητή θεωρία σωμάτων p-class για τοπικά σώματα με τέλεια και ατελή υπολειμματικά σώματα που δεν είναι πεπερασμένα πρέπει να αντιμετωπίσει το νέο ζήτημα των ομάδων νόρμας με άπειρο δείκτη. Οι κατάλληλες θεωρίες κατασκευάστηκαν από τον Ιβάν Φεσένκο.
Η μη αντιμεταθετική τοπική θεωρία σωμάτων κλάσεων του Φεσένκο για αριθμητικά προπεπερασμένες επεκτάσεις Γκαλουά τοπικών σωμάτων μελετά τον κατάλληλο τοπικό αμοιβαίο χάρτη ομόκυκλων και τις ιδιότητές του. Αυτή η αριθμητική θεωρία μπορεί να θεωρηθεί ως μια εναλλακτική λύση στη θεωρητική της αναπαράστασης τοπική αντιστοιχία Λάνγκλαντς.

Θεωρία σωμάτων ανώτερης τοπικής τάξεως

Για ένα τοπικό σώμα υψηλότερων διαστάσεων  υπάρχει μια υψηλότερη τοπική απεικόνιση αμοιβαιότητας που περιγράφει τις αβελιανές επεκτάσεις του σώματος ως προς ανοικτές υποομάδες πεπερασμένου δείκτη στην ομάδα Μίλνορ Κ του σώματος. Δηλαδή, αν το  είναι ένα -διάστατο τοπικό σώμα τότε χρησιμοποιείται το  ή το διαχωρισμένο πηλίκο του εφοδιασμένο με μια κατάλληλη τοπολογία. Όταν  η θεωρία γίνεται η συνήθης τοπική θεωρία σωμάτων τάξεως. Σε αντίθεση με την κλασική περίπτωση, οι ομάδες Μίλνορ Κ δεν ικανοποιούν την κάθοδο των μονάδων Γκαλουά αν . Η γενική θεωρία σωμάτων τοπικών κλάσεων υψηλότερων διαστάσεων αναπτύχθηκαν από τους Καζούγια Κάτο και Ιβάν Φεσένκο.

Η θεωρία σωμάτων ανώτερων τοπικών κλάσεων είναι μέρος της θεωρίας σωμάτων ανώτερων κλάσεων, η οποία μελετά τις αβελιανές επεκτάσεις (ή αβελιανά καλύμματα) των ρητών συναρτησιακών σωμάτων κατάλληλων κανονικών σχημάτων επίπεδων πάνω σε ακέραιους αριθμούς.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Καμπυλότητα Γκάους
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Σώμα διασπάσεως
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νοεροί υπολογισμοί

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές



 Max Koecher & Reinhold Remmert (1990) "Composition Algebras. Hurwitz's Theorem — Vector-Product Algebras", chapter 10 of Numbers by Heinz-Dieter Ebbinghau et al., Springer, 

 (English translation of a Russian original)








 Πηγές 





 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα