Ρητή ποικιλία

Στα μαθηματικά, μια ρητή ποικιλία είναι μια αλγεβρική ποικιλία, πάνω σε ένα δεδομένο σώμα K, η οποία είναι διαιρετικά ισοδύναμη με έναν προβολικό χώρο κάποιας διάστασης πάνω στο K. Αυτό σημαίνει ότι το συναρτησιακό της σώμα είναι ισόμορφο με το

το σώμα όλων των ρητών συναρτήσεων για κάποιο σύνολο  απροσδιόριστων, όπου d  είναι η διάσταση της ποικιλίας.

Ρητότητα και παραμετροποίηση

Έστω V μια αφινική αλγεβρική ποικιλία διάστασης d που ορίζεται από ένα πρώτο ιδεώδες I = ⟨f1, ..., fk⟩  στο . Αν το V  είναι ρητό, τότε υπάρχουν n + 1  πολυώνυμα g0, ..., gn in  τέτοια ώστε  Με άλλα λόγια, έχουμε μια    της ποικιλίας.

Αντίστροφα, μια τέτοια ρητή παραμετροποίηση επάγει έναν ομομορφισμό σώματος του σώματος των συναρτήσεων του V στο . Αλλά αυτός ο ομομορφισμός δεν είναι απαραίτητα επάνω. Αν υπάρχει μια τέτοια παραμετροποίηση, η ποικιλία λέγεται ότι είναι μονόρητη (unirational). Το θεώρημα του Λύροτ (βλ. παρακάτω) συνεπάγεται ότι οι μοναδιαίες καμπύλες είναι ρητές.  Το θεώρημα του Καστελνουόβο υπονοεί επίσης ότι, σε χαρακτηριστική μηδέν, κάθε μοναδιαία επιφάνεια είναι ρητή.

Ερωτήσεις περί ρητότητας

Ένα ερώτημα ρητότητας θέτει το ζήτημα αν μια δεδομένη επέκταση σώματος είναι ρητή, με την έννοια ότι είναι (μέχρι ισομορφισμού) το σώμα συνάρτησης μιας ρητής ποικιλίας- τέτοιες επεκτάσεις σώματος περιγράφονται επίσης ως καθαρά υπερβατικές. Πιο συγκεκριμένα, το ερώτημα της ρητότητας για την επέκταση σώματος  έχει ως εξής: είναι το  ισόμορφο με ένα ρητό σώμα συναρτήσεων στο  ως προς τον αριθμό των απροσδιορισμών που δίνεται από το βαθμό υπερβατικότητας;

Υπάρχουν πολλές διαφορετικές παραλλαγές αυτού του ερωτήματος, που προκύπτουν από τον τρόπο με τον οποίο κατασκευάζονται τα σώματα  και .

Ενδεικτικά, έστω  ένα σώμα, και έστω

είναι απροσδιόριστοι πάνω από το K και έστω L το σώμα που παράγεται πάνω από το K από αυτούς.  Θεωρήστε μια πεπερασμένη ομάδα  που μεταβάλλει αυτές τις απροσδιόριστες πάνω από το K.  Σύμφωνα με την καθιερωμένη θεωρία Γκαλουά, το σύνολο των σταθερών σημείων αυτής της δράσης της ομάδας είναι ένα υποσώμα του , που συνήθως συμβολίζεται . Το ερώτημα ρητότητας για το  ονομάζεται πρόβλημα της Νέτερ και διερωτάται αν αυτό το σώμα σταθερών σημείων είναι ή όχι μια καθαρά υπερβατική επέκταση του K.

Στην εργασία της Νέτερ  σχετικά με τη θεωρία Γκαλουά μελέτησε το πρόβλημα της παραμετροποίησης των εξισώσεων με δεδομένη ομάδα Γκαλουά, το οποίο αναγάγει σε "πρόβλημα της Νέτερ". (Ανέφερε για πρώτη φορά αυτό το πρόβλημα στο , όπου απέδωσε το πρόβλημα στην Ε. Φίσερ). Έδειξε ότι αυτό ισχύει για n = 2, 3, ή 4. Ρ.Γ. Σβαν ( βρήκε ένα αντιπαράδειγμα στο πρόβλημα της Νέτερ, με n = 47 και G μια κυκλική ομάδα τάξης 47.

 Θεώρημα Λύροτ 

Μια πασίγνωστη περίπτωση είναι το πρόβλημα του Λύροτ, το οποίο έλυσε ο Γιάκομπ Λύροτ τον δέκατο ένατο αιώνα. Το πρόβλημα του Λύροτ αφορά τις υποεκτάσεις L του  K(X), τις ρητές συναρτήσεις στο ενιαίο απροσδιόριστο X. Κάθε τέτοιο σώμα είναι είτε ίσο με το K είτε είναι επίσης ρητό, δηλαδή L = K(F) για κάποια ρητή συνάρτηση F. Με γεωμετρικούς όρους αυτό δηλώνει ότι μια μη σταθερή ρητή απεικόνιση από την προβολική γραμμή σε μια καμπύλη C μπορεί να συμβεί μόνο όταν η C έχει επίσης γένος 0. Το γεγονός αυτό μπορεί να διαβαστεί γεωμετρικά  από τον τύπο Ρίμαν-Χέρβιτς

Μονορητότητα

Μια μονόρητη (unirational) ποικιλία V πάνω σε ένα σώμα K είναι μια ποικιλία που κυριαρχείται από μια ρητή ποικιλία, έτσι ώστε το σώμα συναρτήσεων K(V) να βρίσκεται σε ένα καθαρά υπερβατικό σώμα πεπερασμένου τύπου (το οποίο μπορεί να επιλεγεί να είναι πεπερασμένου βαθμού πάνω στο K(V) αν το K είναι άπειρο). Η λύση του προβλήματος του Λύροτ δείχνει ότι για τις αλγεβρικές καμπύλες, οι ρητές και οι μονόρητες είναι ίδιες, και το θεώρημα του Καστελνουόβο υποδηλώνει ότι για τις μιγαδικές επιφάνειες οι μονόρητες υποδηλώνουν ρητές, επειδή και οι δύο χαρακτηρίζονται από την εκμηδένιση τόσο του αριθμητικού γένους όσο και του δεύτερου πολυγένους. Ο Ζαρίσκι βρήκε μερικά παραδείγματα (επιφάνειες Ζαρίσκι) με χαρακτηριστικό p > 0 που είναι μονόρητες αλλά όχι ρητές. Οι Κλέμενς & Γκρίφιθς () έδειξαν ότι ένα κυβικό τριπλό δεν είναι γενικά μια ρητή ποικιλία, παρέχοντας ένα παράδειγμα για τρεις διαστάσεις ότι η μονογενής δεν συνεπάγεται ρητότητα. Η εργασία τους χρησιμοποίησε ένα ενδιάμεσο Ιακωβιανό. Οι Ισκοβσκιχ & Μανίν () έδειξαν ότι όλα τα μη μοναδικά τετραπλά τριπλά είναι παράλογα, αν και μερικά από αυτά είναι μονογενή. Οι Άρτιν & Μάμφορντ () βρήκαν μερικές τριπλές με μη-τριβιακή στρέψη στην τρίτη ομάδα ομολογίας τους, πράγμα που σημαίνει ότι δεν είναι ρητές.

Για οποιοδήποτε σώμα K, ο Τζάνος Κόλαρ (János Kollár) απέδειξε το 2000 ότι μια ομαλή κυβική υπερ-επιφάνεια διαστάσεων τουλάχιστον 2 είναι μονόρητη αν έχει ένα σημείο που ορίζεται πάνω στο K. Αυτό αποτελεί βελτίωση πολλών κλασικών αποτελεσμάτων, ξεκινώντας από την περίπτωση των κυβικών επιφανειών (οι οποίες είναι λογικές ποικιλίες πάνω σε ένα αλγεβρικό κλείσιμο). Άλλα παραδείγματα ποικιλιών που αποδεικνύονται μονόρητες είναι πολλές περιπτώσεις του χώρου των καμπυλών.

Ρητά συνδεδεμένη ποικιλία

Μια ρητά συνδεδεμένη ποικιλία V είναι μια προβολική αλγεβρική ποικιλία πάνω σε ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα, έτσι ώστε μέσα από κάθε δύο σημεία να περνά η εικόνα ενός κανονικού χάρτη από την προβολική ευθεία στο V. Αντίστοιχα, μια ποικιλία είναι ρητά συνδεδεμένη αν κάθε δύο σημεία συνδέονται με μια ρητή καμπύλη που περιέχεται στην ποικιλία..

Αυτός ο ορισμός διαφέρει από τον ορισμό της συνδεσιμότητας διαδρομών μόνο ως προς τη φύση της διαδρομής, αλλά είναι πολύ διαφορετικός, καθώς οι μόνες αλγεβρικές καμπύλες που είναι ρητά συνδεδεμένες είναι οι ρητές.

Κάθε ρητή ποικιλία, συμπεριλαμβανομένων των προβολικών χώρων, είναι ρητά συνδεδεμένη, αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει. Η κατηγορία των ρητά συνδεδεμένων ποικιλιών είναι επομένως μια γενίκευση της κατηγορίας των ρητών ποικιλιών. Οι μονορητικές ποικιλίες είναι ρητά συνδεδεμένες, αλλά δεν είναι γνωστό αν ισχύει το αντίστροφο.

Σταθερά ρητές ποικιλίες

Μια ποικιλία V ονομάζεται σταθερά ρητή αν  είναι ρητή για κάποιο . Κάθε ρητή ποικιλία είναι επομένως, εξ ορισμού, σταθερά ρητή. Παραδείγματα που κατασκευάστηκαν από Μποβίλ ( δείχνουν ότι το αντίστροφο είναι λάθος.

Ο Σρέιντερ () έδειξε ότι πολύ γενικές υπερεπιφάνειες  δεν είναι σταθερά ρητές, υπό την προϋπόθεση ότι ο βαθμός του V είναι τουλάχιστον .

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Καμπυλότητα Γκάους
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Σώμα διασπάσεως
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νοεροί υπολογισμοί

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 

.
.

 Πηγές 





 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα