U-αμετάβλητη

Στα μαθηματικά, η καθολική αμετάβλητη ή u-αμετάβλητη ενός σώματος περιγράφει τη δομή των τετραγωνικών μορφών πάνω στο σώμα.

Η καθολική αμετάβλητη u(F)  ενός σώματος F είναι η μεγαλύτερη διάσταση ενός ανισότροπου τετραγωνικού χώρου πάνω από το F, ή ∞ αν αυτός δεν υπάρχει. Δεδομένου ότι τα τυπικά πραγματικά σώματα έχουν ανισότροπες τετραγωνικές μορφές (αθροίσματα τετραγώνων) σε κάθε διάσταση, η αμετάβλητη παρουσιάζει ενδιαφέρον μόνο για άλλα σώματα. Μια ισοδύναμη διατύπωση είναι ότι το u είναι ο μικρότερος αριθμός τέτοιος ώστε κάθε μορφή διάστασης μεγαλύτερης του u  να είναι ισότροπη, ή ότι κάθε μορφή διάστασης τουλάχιστον u είναι καθολική.

Παραδείγματα

 Στους μιγαδικούς αριθμούς, u(C) = 1.
 Αν το F είναι τετραγωνικά κλειστός τότε u(F) = 1.
 Το σώμα συναρτήσεων μιας αλγεβρικής καμπύλης πάνω από ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα έχει u ≤ 2. Αυτό προκύπτει από το θεώρημα του Τσεν ότι ένα τέτοιο σώμα είναι οιονεί αλγεβρικά κλειστό.Lam (2005) p.376
 Αν το  F είναι ένα μη πραγματικό καθολικό ή τοπικό σώμα, ή γενικότερα ένα συνδεδεμένο σώμα, τότε u(F) = 1, 2, 4 or 8.Lam (2005) p.406

Ιδιότητες

 Αν το F δεν είναι τυπικά πραγματική και η χαρακτηριστική του  F δεν είναι 2 τότε το u(F) είναι το πολύ , ο δείκτης των τετραγώνων στην πολλαπλασιαστική ομάδα του F.Lam (2005) p. 400
 Το u(F)  δεν μπορεί να πάρει τις τιμές 3, 5 ή 7.Lam (2005) p. 401  Σώματα υπάρχουν με u = 6Lam (2005) p.484 και u = 9.
 Ο Μερκούριεφ έδειξε ότι κάθε ζυγός ακέραιος αριθμός εμφανίζεται ως η τιμή του u(F) για κάποιο F.Lam (2005) p. 402Elman, Karpenko, Merkurjev (2008) p. 170
 Ο Αλέξαντερ Βίσικ απέδειξε ότι υπάρχουν σώματα με u-αμετάβλητα  για όλα τα .
 Το αμετάβλητο u είναι περιορισμένο κάτω από επεκτάσεις σώματος πεπερασμένου βαθμού.  Αν E/F είναι μια επέκταση σώματος βαθμού n τότε

Στην περίπτωση των τετραγωνικών επεκτάσεων, το u αναλλοίωτο περιορίζεται από

και επιτυγχάνονται όλες οι τιμές σε αυτό το εύρος.

Το γενικό u-αμετάβλητο
Δεδομένου ότι το u-αμετάβλητο έχει μικρό ενδιαφέρον στην περίπτωση των τυπικά πραγματικών σωμάτων, ορίζουμε ως γενικό u-αμετάβλητο τη μέγιστη διάσταση μιας ανισότροπης μορφής στην υποομάδα στρέψης του δακτυλίου Βιτ (Witt) του F, ή το ∞ αν αυτό δεν υπάρχει. Lam (2005) p. 409  Για μη τυπικά-πραγματικά σώματα, ο δακτύλιος Βιτ (Witt) είναι στρεπτός, οπότε αυτό συμφωνεί με τον προηγούμενο ορισμό.Lam (2005) p. 410  Για μη τυπικά-πραγματικά πεδία, ο δακτύλιος Βιτ (Witt) είναι στρεπτός, οπότε αυτό συμφωνεί με τον προηγούμενο ορισμό.   Για ένα τυπικά πραγματικό σώμα, το γενικό u-αμετάβλητο είναι είτε άρτιο είτε ∞.

Ιδιότητες
 u(F) ≤ 1 εάν και μόνο εάν το F είναι πυθαγόρειο σώμα.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Καμπυλότητα Γκάους
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Σώμα διασπάσεως
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νοεροί υπολογισμοί

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 





 , reprinted in volume I of his collected papers, 











 Πηγές 





 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα