Αβελιανή επέκταση

Στην αφηρημένη άλγεβρα, μια αβελιανή επέκταση είναι μια επέκταση Γκαλουά όπου η ομάδα Γκαλουά είναι αβελιανή. Όταν η ομάδα Γκαλουά είναι επίσης κυκλική, η επέκταση ονομάζεται επίσης κυκλική επέκταση. Πηγαίνοντας προς την άλλη κατεύθυνση, μια επέκταση Γκαλουά καλείται επιλύσιμη αν η ομάδα Γκαλουά της είναι επιλύσιμη, δηλαδή αν η ομάδα μπορεί να αναλυθεί σε μια σειρά κανονικών επεκτάσεων μιας αβελιανής ομάδας. Κάθε πεπερασμένη επέκταση ενός πεπερασμένου σώματος είναι μια κυκλική επέκταση.

Περιγραφή

Η θεωρία κλάσεων σωμάτων παρέχει λεπτομερείς πληροφορίες σχετικά με τις αβελιανές επεκτάσεις των αριθμητικών σωμάτων, τα σώματα συναρτήσεων των αλγεβρικών καμπυλών πάνω σε πεπερασμένα σώματα και τα τοπικά σώματα.

Υπάρχουν δύο ελαφρώς διαφορετικοί ορισμοί του όρου κυκλοτομική επέκταση. Μπορεί να σημαίνει είτε μια επέκταση που σχηματίζεται από την πρόσθεση ριζών της μονάδας σε ένα σώμα, είτε μια υποεπέκταση μιας τέτοιας επέκτασης. Τα κυκλοτομικά σώματα είναι παραδείγματα. Μια κυκλοτομική επέκταση, σύμφωνα με οποιονδήποτε ορισμό, είναι πάντα αβελιανή.

Αν ένα σώμα K περιέχει μια πρωταρχική n-th ρίζα της ενότητας και η n-th ρίζα ενός στοιχείου του K προσκολλάται, η επέκταση Κούμερ που προκύπτει είναι μια αβελιανή επέκταση (αν το K έχει χαρακτηριστικό p θα πρέπει να λέμε ότι το p δεν διαιρεί το n, αφού διαφορετικά μπορεί να αποτύχει να είναι ακόμα και μια διαχωρίσιμη επέκταση). Γενικά, ωστόσο, οι ομάδες Γκαλουά των n-th ριζών των στοιχείων λειτουργούν τόσο στις n-th ρίζες όσο και στις ρίζες της ενότητας, δίνοντας μια μη αβελιανή ομάδα Γκαλουά ως ημι-άμεσο γινόμενο. Η θεωρία Κούμερ δίνει μια πλήρη περιγραφή της περίπτωσης της αβελιανής επέκτασης, και το θεώρημα Κρόνεκερ-Βέμπερ μας λέει ότι αν το K είναι το σώμα των ρητών αριθμών, μια επέκταση είναι αβελιανή αν και μόνο αν είναι ένα υποσώμα ενός σώματος που προκύπτει από την προσάρτηση μιας ρίζας της μονάδας.

Υπάρχει μια σημαντική αναλογία με τη θεμελιώδη ομάδα στην τοπολογία, η οποία ταξινομεί όλους τους χώρους κάλυψης ενός χώρου: οι αβελιανές καλύψεις ταξινομούνται από την αβελιανοποίησή τους, η οποία σχετίζεται άμεσα με την πρώτη ομάδα ομολογίας.

Μιγαδικός πολλαπλασιασμός και νεανικό όνειρο του Κρόνεκερ

Στην περίπτωση του σώματος ℚ, είναι αξιοσημείωτο ότι μια μέγιστη αβελιανή επέκταση παράγεται από ειδικές τιμές της εκθετικής συνάρτησης. Πράγματι, μεταξύ των μιγαδικών αριθμών, οι ρίζες της ενότητας διακρίνονται ως αυτές που γράφονται  για ρητές τιμές της παραμέτρου . Αυτές οι παράμετροι είναι οι μόνοι αλγεβρικοί αριθμοί στους οποίους το υπερβατικό  παίρνει αλγεβρικές τιμές (μια N-η ρίζα ικανοποιεί την εξίσωση X=1), εξ ου και η ονομασία ειδική τιμή.

Στην περίπτωση των σωμάτων μιγαδικών τετραγωνικών αριθμών, πρέπει να προσθέσουμε στις ρίζες της μονάδας τους αλγεβρικούς αριθμούς που προκύπτουν από τις συντεταγμένες των σημείων στρέψης μιας ελλειπτικής καμπύλης. Αυτή είναι η θεωρία του μιγαδικού πολλαπλασιασμού. Αυτές οι θεωρήσεις αποτελούν μέρος του νεανικού ονείρου του Κρόνεκερ (Kronecker Jugendtraum).

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 

 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Καμπυλότητα Γκάους
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Σώμα διασπάσεως
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νοεροί υπολογισμοί

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές



 Max Koecher & Reinhold Remmert (1990) "Composition Algebras. Hurwitz's Theorem — Vector-Product Algebras", chapter 10 of Numbers by Heinz-Dieter Ebbinghau et al., Springer, 

 (English translation of a Russian original)








 Πηγές 





 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα