Επίπεδο σώματος (Άλγεβρα)

Στη θεωρία σώματων, έναν κλάδο των μαθηματικών, το επίπεδο σώματος (γερμανικά:Stufe δηλαδή  επίπεδο) s(F) ενός σώματος F είναι ο ελάχιστος αριθμός τετραγώνων που έχουν άθροισμα -1. Εάν το -1 δεν μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα τετραγώνων,s(F) = . Στην περίπτωση αυτή, το F είναι τυπικά πραγματικό σώμα. Ο Άλμπρεχτ Πφίστερ απέδειξε ότι το επίπεδο, αν είναι πεπερασμένο, είναι πάντα μια δύναμη του 2 και ότι αντίστροφα κάθε δύναμη του 2 εμφανίζεται.

Δυνάμεις του 2

Αν  τότε  για κάποιο φυσικό αριθμό .Rajwade (1993) p.13Lam (2005) p.379

Απόδειξη: Έστω ότι  επιλέγεται έτσι ώστε . Έστω  .  Τότε υπάρχουν  στοιχεία  τέτοια ώστε

Τόσο το  όσο και το  είναι αθροίσματα τετραγώνων  και , αφού διαφορετικά , σε αντίθεση με την παραδοχή για το .

Σύμφωνα με τη θεωρία των μορφών Πφίστερ, το γινόμενο  είναι το ίδιο ένα άθροισμα  τετραγώνων, δηλαδή  για κάποια . Αλλά αφού , έχουμε επίσης , και επομένως

και συνεπώς .

Θετική χαρακτηριστική

Κάθε σώμα  με θετική χαρακτηριστική έχει .Rajwade (1993) p.33

Απόδειξη: Έστω . Αρκεί να αποδειχθεί ο ισχυρισμός για το .

Αν  τότε , οπότε .

Αν  θεωρούμε το σύνολο  των τετραγώνων. Το  είναι μια υποομάδα δείκτη  στην κυκλική ομάδα  με  στοιχεία. Έτσι η  περιέχει ακριβώς  στοιχεία, και το ίδιο ισχύει και για την .
Εφόσον η  έχει συνολικά μόνο  στοιχεία, οι  και  δεν μπορούν να είναι ξένα (disjoint), δηλαδή υπάρχουν  με  και επομένως .

Ιδιότητες

Το επίπεδο  s(F) σχετίζεται με τον αριθμό του Πυθαγόρα p(F)  ως εξής:  p(F) ≤  s(F) + 1.Rajwade (1993) p.44 Αν η F  δεν είναι τυπικά πραγματική τότε  s(F) ≤ p(F) ≤ s(F) + 1.Rajwade (1993) p.228Lam (2005) p.395 Η προσθετική τάξη της μορφής (1) και συνεπώς ο εκθέτης της ομάδας Βιτ της F είναι ίσος με 2s(F).Milnor & Husemoller (1973) p.75Lam (2005) p.380

Παραδείγματα

 To επίπεδο ενός τετραγωνικά κλειστού σώματος είναι 1.
 Το επίπεδο ενός αλγεβρικού αριθμητικού σώματος είναι ∞, 1, 2 ή 4 (θεώρημα του Ζίγκελ). Παραδείγματα είναι τα Q, Q(√−1), Q(√−2) και Q(√−7).
 Το επίπεδο ενός πεπερασμένου σώματος GF(q) είναι 1 αν q ≡ 1 mod 4 και 2 αν  q ≡ 3 mod 4.
 Το επίπεδο ενός τοπικού σώματος με περιττή υπολειμματική χαρακτηριστική είναι ίσο με αυτό του υπολειμματικού του σώματος.  To επίπεδο του 2-adic σώματος Q2 is 4.Lam (2005) p.381

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Καμπυλότητα Γκάους
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Σώμα διασπάσεως
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νοεροί υπολογισμοί

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές





 Max Koecher & Reinhold Remmert (1990) "Composition Algebras. Hurwitz's Theorem — Vector-Product Algebras", chapter 10 of Numbers by Heinz-Dieter Ebbinghau et al., Springer, 

 (English translation of a Russian original)








 Πηγές 





 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα