Αλγεβρική κλειστότητα

Στα μαθηματικά, ιδιαίτερα στην αφηρημένη άλγεβρα, μια αλγεβρική κλειστότητα ενός σώματος Κ είναι μια αλγεβρική επέκταση του Κ που είναι αλγεβρικά κλειστή. Είναι μία από τις πολλές κλειστότητες στα μαθηματικά.

Χρησιμοποιώντας το Λήμμα του ΤσορνMcCarthy (1991) p.21M. F. Atiyah and I. G. Macdonald (1969). Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley publishing Company. pp. 11–12.Kaplansky (1972) pp.74-76 ή το ασθενέστερο λήμμα υπερφίλτρου,Mathoverflow discussion μπορεί να αποδειχθεί ότι κάθε σώμα έχει μια αλγεβρική κλειστότητα και ότι η αλγεβρική κλειστότητα ενός σώματος Κ είναι μοναδική μέχρι έναν ισομορφισμό που καθορίζει κάθε μέλος του Κ. Λόγω αυτής της ουσιαστικής μοναδικότητας, συχνά 
μιλάμε για την αλγεβρική κλειστότητα του Κ και όχι για αλγεβρική κλειστότητα του Κ.

Η αλγεβρική κλειστότητα ενός σώματος K μπορεί να θεωρηθεί ως η μεγαλύτερη αλγεβρική επέκταση του K. Για να το δούμε αυτό, σημειώστε ότι αν το L είναι οποιαδήποτε αλγεβρική επέκταση του K, τότε η αλγεβρική κλειστότητα του L είναι επίσης μια αλγεβρική κλειστότητα του K, και έτσι το L περιέχεται στην αλγεβρική κλειστότητα του K. Η αλγεβρική κλειστότητα του Κ είναι επίσης το μικρότερο αλγεβρικά κλειστό σώμα που περιέχει το Κ, διότι αν το Μ είναι οποιοδήποτε αλγεβρικά κλειστό σώμα που περιέχει το Κ, τότε τα στοιχεία του Μ που είναι αλγεβρικά πάνω στο Κ σχηματίζουν μια αλγεβρική κλειστότητα του Κ.

Η αλγεβρική κλειστότητα ενός σώματος Κ έχει την ίδια πληθικότητα με το Κ αν το Κ είναι άπειρο, και είναι μετρήσιμα άπειρο αν το Κ είναι πεπερασμένο.

Παραδείγματα
Το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας δηλώνει ότι η αλγεβρική κλειστότητα του σώματος των πραγματικών αριθμών είναι το σώμα των μιγαδικών αριθμών.
Η αλγεβρική κλειστότητα του σώματος των ρητών αριθμών είναι το σώμα των αλγεβρικών αριθμών.
 Υπάρχουν πολλές μετρήσιμες αλγεβρικές κλειστότητες εντός των μιγαδικών αριθμών, οι οποίες περιέχουν αυστηρά το σώμα των αλγεβρικών αριθμών- αυτές είναι οι αλγεβρικές κλειστότητες των υπερβατικών επεκτάσεων των ρητών αριθμών, π.χ. η αλγεβρική κλειστότητα του Q(π).
Για ένα πεπερασμένο σώμα πρώτης δύναμης τάξεως q, η αλγεβρική κλειστότητα είναι ένα μετρήσιμο άπειρο σώμα που περιέχει ένα αντίγραφο του σώματος τάξεως qn για κάθε θετικό ακέραιο n (και είναι στην πραγματικότητα η ένωση αυτών των αντιγράφων)..

Ύπαρξη αλγεβρικής κλειστότητας και σώματα διασπάσεως

Έστω  το σύνολο όλων των μονικών μη αναγώγιμων πολυωνύμων στο  K[x].
Για κάθε , εισάγετε νέες μεταβλητές   όπου .
Έστω R ο πολυωνυμικός δακτύλιος πάνω από K που παράγεται από   για όλα τα  και όλα τα . Write


με .
Έστω I το ιδεώδες στο R που παράγεται από το  . Δεδομένου ότι το I είναι αυστηρά μικρότερο από το R,

Το λήμμα του Τσορν συνεπάγεται ότι υπάρχει ένα μέγιστο ιδεώδες M στο R που περιέχει το I.
Το σώμα K1=R/M έχει την ιδιότητα ότι κάθε πολυώνυμο  με συντελεστές στο K διασπάται ως το γινόμενο και συνεπώς έχει όλες τις ρίζες στο K1. Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να κατασκευαστεί μια επέκταση K2 του K1 κ.λπ. Η ένωση όλων αυτών των επεκτάσεων είναι η αλγεβρική κλειστότητα του K, επειδή κάθε πολυώνυμο με συντελεστές σε αυτό το νέο σώμα έχει τους συντελεστές του σε κάποιο Kn με αρκετά μεγάλο n, και τότε οι ρίζες του βρίσκονται στο Kn+1,  και επομένως στην ίδια την ένωση.

Διαχωρίσιμη κλειστότητα 

Μια αλγεβρική κλειστότητα Kalg του K περιέχει μια μοναδική διαχωρίσιμη επέκταση Ksep του K που περιέχει όλες τις (αλγεβρικές) διαχωρίσιμες επεκτάσεις του K μέσα στο Kalg.  Αυτή η υποεπέκταση ονομάζεται διαχωρίσιμη κλειστότητα του K. Επειδή μια διαχωρίσιμη επέκταση μιας διαχωρίσιμης επέκτασης είναι πάλι διαχωρίσιμη, δεν υπάρχουν πεπερασμένες διαχωρίσιμες επεκτάσεις του Ksep, βαθμού  > 1. Για να το πούμε αλλιώς, το K περιέχεται σε μία διαχωρίσιμη-κλειστή αλγεβρική επέκταση σώματος. Είναι μοναδικό (μέχρι τον ισομορφισμό)..McCarthy (1991) p.22

Η διαχωρίσιμη κλειστότητα είναι η πλήρης αλγεβρική κλειστότητα αν και μόνο αν το K είναι τέλειο σώμα. Παραδείγματος χάριν, αν το  K είναι ένα σώμα χαρακτηριστικού p και αν το X είναι υπερβατικό πάνω στο K,  είναι μια μη διαχωρίσιμη επέκταση αλγεβρικού σώματος.

Γενικά, η απόλυτη ομάδα Γκαλουά του Κ είναι η ομάδα Γκαλουά του Ksep πάνω από το K.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Υπερβολική γεωμετρία
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Καμπυλότητα Γκάους
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Σώμα διασπάσεως
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νοεροί υπολογισμοί

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 

Şaban Alaca, Kenneth S. Williams, Introductory algebraic number theory, Cambridge University Press, 2004.

.   English translation (of 2nd revised edition):  (Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)

 Πηγές 




 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα