Αριθμός του Πυθαγόρα

Στα μαθηματικά, ο αριθμός του Πυθαγόρα ή το μειωμένο ύψος ενός σώματος περιγράφει τη δομή του συνόλου των τετραγώνων του σώματος. Ο αριθμός Πυθαγόρα p(K) ενός σώματος K είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος αριθμός p  ώστε κάθε άθροισμα τετραγώνων στο K να είναι άθροισμα p τετραγώνων.

Ένα Πυθαγόρειο σώμα είναι ένα σώμα με αριθμό του Πυθαγόρα 1: δηλαδή κάθε άθροισμα τετραγώνων είναι ήδη ένα τετράγωνο.

 Ορισμός 

Για ένα σώμα  έστω

είναι το σύνολο των πεπερασμένων αθροισμάτων τετραγώνων που δεν είναι ίσα με το μηδέν.

Με

συμβολίζουμε το σύνολο των αθροισμάτων των τετραγώνων στο , που έχουν το πολύ μήκος .
Προφανώς,  για όλα τα .
Ωστόσο, δεν είναι σαφές αν υπάρχει πάντα ένα  υπάρχει, ώστε .
Ονομάζουμε Πυθαγόρειο αριθμό του  την ακόλουθη μεταβλητή:

σύμφωνα με την οποία  ακριβώς τότε, αν για όλα τα  ισχύει.  Είναι πάντα .

 Πυθαγόρειος αριθμός ορισμένων αριθμητικών σωμάτων 

  Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, για   ein , έτσι ώστε . Αυτό σημαίνει ότι ο Πυθαγόρειος αριθμός των πραγματικών αριθμών . Με άλλα λόγια, μπορούμε να πάρουμε την τετραγωνική ρίζα οποιουδήποτε αθροίσματος τετραγώνων στο  μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εξαγωγή της ρίζας. Είναι πιθανό ότι ο Πυθαγόρειος αριθμός πήρε το όνομά του από αυτή τη θεώρηση.
 Ο Πυθαγόρειος αριθμός των μιγαδικών αριθμών .
 Σύμφωνα με το θεώρημα του Όιλερ-Λαγκράνζ, ο Πυθαγόρειος αριθμός των ρητών αριθμών είναι , d. h. δηλαδή κάθε άθροισμα τετραγώνων ρητών αριθμών μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα τεσσάρων το πολύ τετραγώνων.

Περαιτέρω παραδείγματα και αποδείξεις

Θεώρημα:  Εάν το  είναι ένα μη ρητό σώμα, (δηλαδή ,) ο Πυθαγόρειος αριθμός του   μπορεί να εκτιμηθεί από το επίπεδο  του :

Απόδειξη: Βλ.. θεώρημα  (Πυθαγόρειος αριθμός μη ρητών σωμάτων)  Από Wikibooks στα 

Falls  είναι ένα μη ρητό σώμα με θετικά χαρακτηριστικά, ισχύει ένα λήμμα από το βιβλίο Squares του A. R. Rajwade A.R. Rajwade, Squares, Cambridge University Press, 1993, σύμφωνα με το οποίο για κάθε σώμα  με   ισχύει ότι  (για την απόδειξη βλέπε. Stufe).

Αυτό σημαίνει ότι  ισχύει για όλα τα μη πραγματικά σώματα με θετικά χαρακτηριστικά

Μπορούμε να είμαστε αρκετά ακριβείς στην περίπτωση   όπου  είναι μια περιττή πρώτη δύναμη. Ισχύουν τα ακόλουθα:

Θεώρημα   για όλα τα  όπου  είναι πρώτος αριθμός και .

Απόδειξη: Βλ Θεώρημα (Πυθαγόρειος αριθμός σωμάτων με χαρακτηριστικό μια πρώτη δύναμη) Από Wikibooks στα 

Πυθαγόρειος αριθμός για αναπτύγματα ρητών αριθμών

Έστω  μια επέκταση ενός πεπερασμένου σώματος πάνω στους ρητούς αριθμούς, δηλ  ο βαθμός υπερβατικότητας της  πάνω στο .

Χρησιμοποιώντας την εικασία του Μίλνορ (βλ. K-theory: Milnor conjecture), η οποία αποδείχθηκε από τον Βλαντιμίρ Βοϊεβόντσκι, μπορεί να αποδειχθεί ότι  ισχύει για όλα τα .

Επειδή  η εκτίμηση αυτή είναι ξεκάθαρη για .

Για  έχει αποδειχθεί μέχρι σήμερα  Florian Pop, bislang unveröffentlichter Artikel. Πιθανώς, ωστόσο, ισχύει ακόμη και , που θα ήταν τότε μια ισχυρή εκτίμηση λόγω του ότι  .Y. Pourchet, Sur la representation en somme de carres des polynomes a une indeterminee sur un corps de nombres algebraiques, Acta Arith. 19, 1971

Μια λεπτομερής περιγραφή της απόδειξης του  μπορεί να βρεθεί στην εργασία Über die Pythagoraszahl von FunktionenkörpernÜber die Pythagoraszahl von Funktionenkörpern, βλέπε παρακάτω.

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 

 Beweisarchiv: Zahlentheorie: Algebraische Zahlentheorie: Pythagoraszahl nicht-reeller 








Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα