Ανώτερο τοπικό σώμα

Στα μαθηματικά, ένα ανώτερο (-διάστατο) τοπικό σώμα είναι ένα σημαντικό παράδειγμα ενός πλήρους διακριτού σώματος αποτίμησης. Τέτοια σώματα καλούνται επίσης μερικές φορές πολυδιάστατα τοπικά σώματα.

Στα συνήθη τοπικά σώματα (συνήθως πληρότητες αριθμητικών σωμάτων ή τα σώματα πηλίκων των τοπικών δακτυλίων αλγεβρικών καμπυλών) υπάρχει μια μοναδική επιφανειακή διακριτή αποτίμηση (βαθμού 1) που συνδέεται με την επιλογή μιας τοπικής παραμέτρου των σωμάτων, εκτός αν πρόκειται για αρχιμήδεια τοπικά σώματα όπως οι πραγματικοί αριθμοί και οι μιγαδικοί αριθμοί. Ομοίως, υπάρχει μια διακριτή αποτίμηση τάξης n σε όλα σχεδόν τα n-διάστατα τοπικά σώματα, που συνδέεται με μια επιλογή n τοπικών παραμέτρων του σώματοςFesenko, I.B., Vostokov, S.V. Local Fields and Their Extensions. American Mathematical Society, 1992, Chapter 1 and Appendix.. Σε αντίθεση με τα μονοδιάστατα τοπικά σώματα, τα ανώτερα τοπικά σώματα έχουν μια ακολουθία από σώματα υπολοίπων Fesenko, I., Kurihara, M. (eds.) Invitation to Higher Local Fields. Geometry and Topology Monographs, 2000, section 1 (Zhukov).. Υπάρχουν διαφορετικές ολοκληρωτικές δομές στα ανώτερα τοπικά σώματα, ανάλογα με το πόσες πληροφορίες από σώματα υπολοίπων θέλει κανείς να λάβει υπόψη του
.

Γεωμετρικά, τα ανώτερα τοπικά σώματα εμφανίζονται μέσω μιας διαδικασίας εντοπισμού και συμπλήρωσης των τοπικών δακτυλίων των σχημάτων ανώτερης διάστασης. Τα ανώτερα τοπικά σώματα αποτελούν σημαντικό μέρος του αντικειμένου της θεωρίας αριθμών ανώτερης διάστασης, αποτελώντας την κατάλληλη συλλογή αντικειμένων για τοπικές θεωρήσεις.

Ορισμός

Τα πεπερασμένα σώματα έχουν διάσταση 0 και τα πλήρη διακριτά σώματα αποτίμησης με πεπερασμένο σώμα υπολοίπων έχουν διάσταση ένα (είναι φυσικό να ορίσουμε επίσης τα αρχιμήδεια τοπικά σώματα όπως το R ή το C να έχουν διάσταση 1), τότε λέμε ότι ένα πλήρες διακριτό σώμα αποτίμησης έχει διάσταση n αν το σώμα υπολοίπων του έχει διάσταση n-1. Υψηλότερα τοπικά σώματα είναι αυτά με διάσταση μεγαλύτερη του ενός, ενώ μονοδιάστατα τοπικά σώματα είναι τα παραδοσιακά τοπικά σώματα. Ονομάζουμε το σώμα υπολοίπων ενός πεπερασμένης διάστασης ανώτερου τοπικού σώματος το 'πρώτο' σώμα υπολοίπων, το σώμα υπολοίπων του είναι στη συνέχεια το δεύτερο σώμα υπολοίπων, και το μοτίβο συνεχίζεται μέχρι να φτάσουμε σε ένα πεπερασμένο σώμα.

Παραδείγματα
Τα δισδιάστατα τοπικά σώματα χωρίζονται στις ακόλουθες κατηγορίες:
Σώματα θετικής χαρακτηριστικής, είναι τυπικές δυναμοσειρές στη μεταβλητή  t  πάνω σε ένα μονοδιάστατο τοπικό σώμα, δηλ. Fq((u))((t)).
Εξίσου χαρακτηριστικά σώματα χαρακτηριστικής μηδέν, είναι τυπικές δυναμοσειρές F((t)) πάνω σε ένα μονοδιάστατο τοπικό σώμα Fχαρακτηριστικής μηδέν.
Μεικτά-χαρακτηριστικά σώματα, είναι πεπερασμένες επεκτάσεις των σωμάτων τύπου F{{t}}, Το F είναι ένα μονοδιάστατο τοπικό σώμα χαρακτηριστικής μηδέν. Το σώμα αυτό ορίζεται ως το σύνολο των τυπικών δυναμοσειρών, άπειρων και προς τις δύο κατευθύνσεις, με συντελεστές από το F τέτοιους ώστε το ελάχιστο της αποτίμησης των συντελεστών να είναι ένας ακέραιος αριθμός, και τέτοιους ώστε η αποτίμηση των συντελεστών να τείνει στο μηδέν καθώς ο δείκτης τους πηγαίνει στο μείον άπειρο.
Αρχιμήδεια δισδιάστατα τοπικά σώματα, τα οποία είναι τυπικές δυναμοσειρές πάνω από τους πραγματικούς αριθμούς R  ή τους μιγαδικούς αριθμούς C.

Κατασκευές
Τα ανώτερα τοπικά σώματα εμφανίζονται σε διάφορα πλαίσια. Ένα γεωμετρικό παράδειγμα είναι το ακόλουθο. Αν δοθεί μια επιφάνεια πάνω σε ένα πεπερασμένο σώμα χαρακτηριστικής p, μια καμπύλη πάνω στην επιφάνεια και ένα σημείο πάνω στην καμπύλη, τότε ας πάρουμε τον τοπικό δακτύλιο στο σημείο. Στη συνέχεια, συμπληρώνουμε αυτόν τον δακτύλιο, τον εντοπίζουμε στην καμπύλη και συμπληρώνουμε τον δακτύλιο που προκύπτει. Τέλος, ας πάρουμε το πηλίκο του σώματος. Το αποτέλεσμα είναι ένα δισδιάστατο τοπικό σώμα πάνω από ένα πεπερασμένο σώμα.

Υπάρχει επίσης μια κατασκευή που χρησιμοποιεί την αντιμεταθετική άλγεβρα, η οποία γίνεται τεχνική για μη κανονικούς δακτυλίους. Το σημείο εκκίνησης είναι ένας Ναιτεριανός, κανονικός, “'n”'-διάστατος δακτύλιος και μια πλήρης σημαία πρώτων ιδεωδών έτσι ώστε ο αντίστοιχος πηλίκο δακτύλιος να είναι κανονικός. Μια σειρά από συμπληρώσεις και τοπικοποιήσεις λαμβάνουν χώρα όπως παραπάνω μέχρι να φτάσουμε σε ένα “'n”'-διάστατο τοπικό σώμα.

Τοπολογίες σε ανώτερα τοπικά σώματα

Τα μονοδιάστατα τοπικά σώματα εξετάζονται συνήθως στην τοπολογία αποτίμησης, στην οποία η διακριτή αποτίμηση χρησιμοποιείται για τον ορισμό ανοικτών συνόλων. Αυτό δεν αρκεί για υψηλότερης διάστασης τοπικά σώματα, αφού πρέπει να ληφθεί υπόψιν η τοπολογία και στο επίπεδο των υπολοίπων. Τα υψηλότερα τοπικά σώματα μπορούν να εξοπλιστούν με κατάλληλες τοπολογίες (όχι αποκλειστικά καθορισμένες) οι οποίες αντιμετωπίζουν αυτό το ζήτημα. Τέτοιες τοπολογίες δεν είναι οι τοπολογίες που σχετίζονται με διακριτές αποτιμήσεις τάξης n, if n > 1. Σε διάσταση δύο και υψηλότερη η προσθετική ομάδα του σώματος γίνεται μια τοπολογική ομάδα η οποία δεν είναι τοπικά συμπαγής και η βάση της τοπολογίας δεν είναι μετρήσιμη. Το πιο εκπληκτικό είναι ότι ο πολλαπλασιασμός δεν είναι συνεχής- ωστόσο, είναι διαδοχικά συνεχής, πράγμα που αρκεί για όλους τους ρητούς αριθμητικούς σκοπούς. Υπάρχουν επίσης επαναληπτικές προσεγγίσεις Ind–Pro για την αντικατάσταση των τοπολογικών θεωρήσεων από πιο τυπικές.Fesenko, I., Kurihara, M. (eds.) Invitation to Higher Local Fields. Geometry and Topology Monographs, 2000, several sections.

Μέτρο, ολοκλήρωση και αρμονική ανάλυση σε ανώτερα τοπικά σώματα

Δεν υπάρχει αμετάβλητο μέτρο μετάθεσης σε δισδιάστατα τοπικά σώματα. Αντίθετα, υπάρχει ένα πεπερασμένα προσθετικό αναλλοίωτο μέτρο μεταφοράς που ορίζεται στο δακτύλιο των συνόλων που παράγονται από κλειστές μπάλες σε σχέση με δισδιάστατες διακριτές αποτιμήσεις στο σώμα, και παίρνει τιμές σε τυπικές δυναμοσειρές R((X)) επί πραγματικών.Fesenko, I. Analysis on arithmetic schemes. I. Docum. Math., (2003), Kato's special volume, 261-284. Αυτό το μέτρο είναι επίσης μετρήσιμα προσθετικό με μια ορισμένη εκλεπτυσμένη έννοια. Μπορεί να θεωρηθεί ως ανώτερο μέτρο Χάαρ σε ανώτερα τοπικά σώματα. Η προσθετική ομάδα κάθε ανώτερου τοπικού πεδίου είναι μη-κανονικά αυτοδυαδική και μπορεί κανείς να ορίσει έναν ανώτερο μετασχηματισμό Φουριέ σε κατάλληλους χώρους συναρτήσεων. Αυτό οδηγεί στην ανώτερη αρμονική ανάλυση. Fesenko, I., Measure, integration and elements of harmonic analysis on generalized loop spaces, Proceed. St. Petersburg Math. Soc., vol. 12 (2005), 179-199;  AMS Transl. Series 2, vol. 219, 149-164, 2006

 Ανώτερη τοπική Θεωρία κλάσεων σωμάτων 

Η  ανώτερη τοπική Θεωρία κλάσεων σωμάτων στην πρώτη διάσταση έχει τα ανάλογα της στις υψηλότερες διαστάσεις. Η κατάλληλη αντικατάσταση για την πολλαπλασιαστική ομάδα γίνεται η nth ομάδα Μίλνορ Κ, όπου n  είναι η διάσταση του σώματος, η οποία στη συνέχεια εμφανίζεται ως το πεδίο μιας απεικόνισης αμοιβαιότητας στην ομάδα Γκαλουά της μέγιστης αβελιανής επέκτασης πάνω στο σώμα. Ακόμα καλύτερα είναι να εργάζεται κανείς με το πηλίκο της nth ομάδας Μίλνορ K με την υποομάδα των στοιχείων της που διαιρούνται με κάθε θετικό ακέραιο. Λόγω του θεωρήματος Φέσενκο,  αυτό το πηλίκο μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως το μέγιστο διαχωρισμένο τοπολογικό πηλίκο της ομάδας Κ, εφοδιασμένο με την κατάλληλη τοπολογία υψηλότερης διάστασης. Ο ομομορφισμός ανώτερης τοπικής αμοιβαιότητας από αυτό το πηλίκο της nth ομάδας K του Μίλνορ προς την ομάδα Γκαλουά της μέγιστης αβελιανής επέκτασης του ανώτερου τοπικού σώματος έχει πολλά χαρακτηριστικά παρόμοια με εκείνα της θεωρίας των μονοδιάστατων τοπικών σωμάτων.

Η ανώτερη τοπική Θεωρία κλάσεων σωμάτων είναι συμβατή με τη θεωρία κλάσεων σωμάτων σε επίπεδο σώματος υπολοίπων , χρησιμοποιώντας την απεικόνηση συνόρων της θεωρίας Μίλνορ K για τη δημιουργία ενός αντιμεταθετικού διαγράμματος που περιλαμβάνει την απεικόνιση της αμοιβαιότητας στο επίπεδο του σώματος και του σώματος υπολοίπων.

Η γενική θεωρία ανώτερων τοπικών κλάσεων αναπτύχθηκε από τον Καζούγια Κάτο  και από τον Ιβάν Φεσένκο.  Η γενική θεωρία ανώτερων τοπικών κλάσεων σε θετική χαρακτηριστική προτάθηκε από τον Αλεξέι Πάρσιν.
 Translation (1991), Proc. Steklov Inst. Math. 4: 191–201.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Καμπυλότητα Γκάους
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Σώμα διασπάσεως
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νοεροί υπολογισμοί

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 

 , reprinted in volume I of his collected papers, 











 Πηγές 





 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα