Θεωρία Άρτιν-Σράιερ

Στα μαθηματικά, η θεωρία Άρτιν-Σράιερ είναι ένας κλάδος της θεωρίας Γκαλουά, συγκεκριμένα μια θετική χαρακτηριστική αναλογία της θεωρίας Κούμερ, για επεκτάσεις Γκαλουά βαθμού ίσου με τη χαρακτηριστική p. Ο Άρτιν και Σράιερ () εισήγαγε τη θεωρία Άρτιν-Σράιερ για επεκτάσεις πρώτου βαθμού p, και ο Βιτ () τη γενίκευσε σε επεκτάσεις πρώτου βαθμού δύναμης pn.

Αν K είναι ένα σώμα με χαρακτηριστική p ενός πρώτου αριθμού, κάθε πολυώνυμο της μορφής

για  στο K, ονομάζεται πολυώνυμο Άρτιν-Σράιερ. Όταν  για όλα τα , αυτό το πολυώνυμο είναι μη αναγώγιμο στο K[X] και το σώμα διάσπασής του πάνω από το K είναι μια κυκλική επέκταση του K βαθμού p. Αυτό προκύπτει αφού για κάθε ρίζα β, οι αριθμοί β + i, για , σχηματίζουν όλες τις ρίζες -από το μικρό θεώρημα του Φερμά- οπότε το σώμα διασπάσεως είναι .

Αντίστροφα, κάθε επέκταση Γκαλουά του Κ βαθμού p ίσου με τη χαρακτηριστική του Κ είναι το σώμα διάσπασης ενός πολυωνύμου Άρτιν-Σράιερ. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας προσθετικά αντίστοιχα των μεθόδων που εμπλέκονται στη θεωρία Κούμερ, όπως το θεώρημα 90 του Χίλμπερτ και την προσθετική συνομολογία Γκαλουά.  Αυτές οι επεκτάσεις ονομάζονται επεκτάσεις Άρτιν-Σράιερ.

Οι επεκτάσεις Άρτιν-Σράιερ παίζουν ρόλο στη θεωρία της επιλυσιμότητας με ρίζες, σε χαρακτηριστική p, που αντιπροσωπεύουν μια από τις πιθανές κατηγορίες επεκτάσεων σε μια επιλύσιμη αλυσίδα.

Παίζουν επίσης ρόλο στη θεωρία των αβελιανών ποικιλιών και των ισογενειών τους. Σε χαρακτηριστική p, μια ισογένεια βαθμού p αβελιανών ποικιλιών πρέπει, για τα σώματα συναρτήσεων τους, να δίνει είτε μια επέκταση Άρτιν-Σράιερ είτε μια καθαρά αδιαχώριστη επέκταση.

Επεκτάσεις Άρτιν-Σράιερ-Βιτ
Υπάρχει ένα ανάλογο της θεωρίας Άρτιν-Σράιερ που περιγράφει τις κυκλικές επεκτάσεις με χαρακτηριστική p του p-δυνατού βαθμού (όχι μόνο του ίδιου του βαθμού p), χρησιμοποιώντας 
διανύσματα Βιτ, που αναπτύχθηκε από τον Έρνστ Βιτ. ().

 Ιστορική αναφορά 
Πολυώνυμα του τύπου Άρτιν-Σράιερ μπορούν ήδη να βρεθούν στο κεφάλαιο για τα πεπερασμένα σώματα της τρίτης έκδοσης του Cours d'algèbre supérieure (Μάθημα ανώτερης άλγεβρας) του Ζοζέφ-Αλφρέντ Σερέ, που δημοσιεύτηκε το 1866:Gary L. Mullen et Daniel Panario, Handbook of Finite Fields, Boca Raton, CRC Press, coll. « Discrete Mathematics and its Applications », 2013, 1068 p. (ISBN 978-1-4398-7378-6) p 9. Ο Σερέ δείχνει ότι αν ο ακέραιος g δεν διαιρείται από τον πρώτο αριθμό p, τότε το πολυώνυμο X είναι μη αναγώγιμο modulo pJoseph-Alfred Serret, Cours d'algèbre supérieure, vol. 2, 1866, 3e éd. (lire en ligne archive), SECTION III, chapitre 3, § 360 p 162.. - X - g είναι μη αναγώγιμο modulo p. Με σύγχρονους όρους, για κάθε g στο Fp*, X – X – gείναι μη αναγώγιμη, δηλαδή το αποτέλεσμα που παρουσιάστηκε παραπάνω για οποιοδήποτε σώμα χαρακτηριστικής p, εξειδικεύεται στο F'p.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Καμπυλότητα Γκάους
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Σώμα διασπάσεως
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νοεροί υπολογισμοί

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 

 Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001 Section VI.6 Section 
 Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 323, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196, Zbl 0948.11001 Section VI.1

 Finite Groups of Lie Type: Conjugacy Classes and Complex Characters (Wiley Classics Library) by Roger W. Carter, John Wiley & Sons Inc; New Ed edition (August 1993) ISBN 0-471-94109-3
 ISBN 978-0-8218-1426-0

R. Steinberg,   Collected Papers, Amer. Math. Soc.  (1997) ISBN 0-8218-0576-2  pp. 580–586

 Πηγές 





 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα