Διανυσματικό πεδίο

Στον διανυσματικό λογισμό και τη φυσική, ένα διανυσματικό πεδίο είναι η ανάθεση ενός διανύσματος σε κάθε σημείο ενός χώρου, συνηθέστερα του ευκλείδειου χώρου .. Ένα διανυσματικό πεδίο σε ένα επίπεδο μπορεί να απεικονιστεί ως μια συλλογή βελών με συγκεκριμένα μεγέθη και κατευθύνσεις, καθένα από τα οποία συνδέεται με ένα σημείο του επιπέδου. Τα διανυσματικά πεδία χρησιμοποιούνται συχνά για τη μοντελοποίηση, παραδείγματος χάριν, της ταχύτητας και της κατεύθυνσης ενός κινούμενου ρευστού στον τρισδιάστατο χώρο, όπως ο άνεμος, ή της ισχύος και της κατεύθυνσης κάποιας δύναμης, όπως η μαγνητική ή η βαρυτική δύναμη, καθώς μεταβάλλεται από ένα σημείο σε ένα άλλο σημείο. 

Τα στοιχεία του διαφορικού και του ολοκληρωτικού λογισμού επεκτείνονται φυσικά στα διανυσματικά πεδία. Όταν ένα διανυσματικό πεδίο αντιπροσωπεύει δύναμη, το γραμμικό ολοκλήρωμα ενός διανυσματικού πεδίου αντιπροσωπεύει το έργο που επιτελείται από μια δύναμη που κινείται κατά μήκος μιας διαδρομής, και υπό αυτή την ερμηνεία η διατήρηση της ενέργειας παρουσιάζεται ως ειδική περίπτωση του θεμελιώδους θεωρήματος του λογισμού. Τα διανυσματικά πεδία μπορούν να θεωρηθούν ότι αντιπροσωπεύουν την ταχύτητα μιας κινούμενης ροής στο χώρο, και αυτή η φυσική διαίσθηση οδηγεί σε έννοιες όπως η απόκλιση (που αντιπροσωπεύει τον ρυθμό μεταβολής του όγκου μιας ροής) και η κύρτωση (που αντιπροσωπεύει την περιστροφή μιας ροής). 

Ένα διανυσματικό πεδίο είναι μια ειδική περίπτωση συνάρτησης με διανυσματική τιμή, της οποίας η διάσταση του πεδίου δεν έχει καμία σχέση με τη διάσταση του εύρους της- για παράδειγμα, το διάνυσμα θέσης μιας καμπύλης χώρου ορίζεται μόνο για μικρότερο υποσύνολο του περιβάλλοντος χώρου. Ομοίως, n συντεταγμένες, ένα διανυσματικό πεδίο σε ένα πεδίο στον n-διάστατο ευκλείδειο χώρο. 

Τα διανυσματικά πεδία αναφέρονται συχνά σε ανοικτά υποσύνολα του Ευκλείδειου χώρου, αλλά έχουν νόημα και σε άλλα υποσύνολα, όπως οι επιφάνειες, όπου συσχετίζουν ένα βέλος εφαπτόμενο στην επιφάνεια σε κάθε σημείο (ένα εφαπτόμενο διάνυσμα). Γενικότερα, τα διανυσματικά πεδία ορίζονται σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες, δηλαδή χώρους που μοιάζουν με τον Ευκλείδειο χώρο σε μικρές κλίμακες, αλλά μπορεί να έχουν πιο περίπλοκη δομή σε μεγαλύτερες κλίμακες. Σε αυτό το περιβάλλον, ένα διανυσματικό πεδίο δίνει ένα εφαπτόμενο διάνυσμα σε κάθε σημείο της πολλαπλότητας (δηλαδή ένα τμήμα της εφαπτόμενης δέσμης στην πολλαπλότητα). Τα διανυσματικά πεδία είναι ένα είδος τανυστικού πεδίου.

Ορισμός
Διανυσματικά πεδία σε υποσύνολα του Ευκλείδειου χώρου

Δεδομένου ενός υποσυνόλου   του  ένα διανυσματικό πεδίο αναπαρίσταται από μια διανυσματική συνάρτηση  σε τυπικές καρτεσιανές συντεταγμένες . Αν κάθε συνιστώσα του   είναι συνεχής, τότε το   είναι συνεχές διανυσματικό πεδίο. Είναι σύνηθες να εστιάζουμε σε λεία διανυσματικά πεδία, που σημαίνει ότι κάθε συνιστώσα είναι λεία συνάρτηση (διαφορίσιμη για οποιονδήποτε αριθμό φορών). Ένα διανυσματικό πεδίο μπορεί να απεικονιστεί ως ανάθεση ενός διανύσματος σε μεμονωμένα σημεία ενός n'-διάστατου χώρου. 

Ένας τυπικός συμβολισμός είναι να γράφουμε  για τα μοναδιαία διανύσματα στις κατευθύνσεις των συντεταγμένων. Με αυτούς τους όρους, κάθε λείο διανυσματικό πεδίο  σε ένα ανοικτό υποσύνολο  του  μπορεί να γραφεί ως εξής

για κάποιες λείες συναρτήσεις  στο .  Ο λόγος για αυτόν τον συμβολισμό είναι ότι ένα διανυσματικό πεδίο καθορίζει μία γραμμική απεικόνηση από τον χώρο των λείων συναρτήσεων στον εαυτό του,   που δίνεται με διαφοροποίηση στην κατεύθυνση του διανυσματικού πεδίου.

'“'Παράδειγμα”: Το διανυσματικό πεδίο  περιγράφει μια αριστερόστροφη περιστροφή γύρω από την αρχή στο . Για να δείξουμε ότι η συνάρτηση  είναι περιστροφικά αναλλοίωτη, ας υπολογίσουμε:

Δίνονται τα διανυσματικά πεδία ,  που ορίζονται στο  και μια λεία συνάρτηση  που ορίζεται στο  οι πράξεις του κλιμακωτού πολλαπλασιασμού και της διανυσματικής πρόσθεσης,

μετατρέπουν τα λεία διανυσματικά πεδία σε μια ενότητα πάνω στο δακτύλιο των λείων συναρτήσεων, όπου ο πολλαπλασιασμός των συναρτήσεων ορίζεται σημειακά.

Νόμος μετασχηματισμού συντεταγμένων

Στη φυσική, ένα διάνυσμα διακρίνεται επιπλέον από τον τρόπο με τον οποίο αλλάζουν οι συντεταγμένες του όταν μετράμε το ίδιο διάνυσμα σε σχέση με ένα διαφορετικό σύστημα συντεταγμένων υποβάθρου. Οι ιδιότητες μετασχηματισμού των διανυσμάτων διακρίνουν ένα διάνυσμα ως μια γεωμετρικά διαφορετική οντότητα από μια απλή λίστα κλιμάκων ή από ένα συνδιανυσματικό.

Έτσι, έστω ότι  είναι μια επιλογή καρτεσιανών συντεταγμένων, ως προς τις οποίες οι συνιστώσες του διανύσματος  είναι

και έστω ότι (y1,...,yn) είναι n συναρτήσεις των xi ορίζοντας ένα διαφορετικό σύστημα συντεταγμένων.  Τότε οι συνιστώσες του διανύσματος V στις νέες συντεταγμένες απαιτείται να ικανοποιούν τον νόμο μετασχηματισμού

Ένας τέτοιος νόμος μετασχηματισμού ονομάζεται αντιστρεπτικός.  Ένας παρόμοιος νόμος μετασχηματισμού χαρακτηρίζει τα διανυσματικά πεδία στη φυσική: συγκεκριμένα, ένα διανυσματικό πεδίο είναι μια προδιαγραφή “'n”' συναρτήσεων σε κάθε σύστημα συντεταγμένων που υπόκεινται στο νόμο μετασχηματισμού () που συνδέει τα διαφορετικά συστήματα συντεταγμένων.

Τα διανυσματικά πεδία αντιδιαστέλλονται έτσι με τα βαθμωτά πεδία, τα οποία συσχετίζουν έναν αριθμό ή κλιμάκιο σε κάθε σημείο του χώρου, και αντιδιαστέλλονται επίσης με τις απλές λίστες κλιμακωτών πεδίων, οι οποίες δεν μετασχηματίζονταιright|272x272px|thumb|Ένα διανυσματικό πεδίο σε μια σφαίρα

Διανυσματικά πεδία σε πολλαπλότητες
Δεδομένης μιας διαφορίσιμης πολλαπλότητας , ένα ”'διανυσματικό πεδίο'“ στην  είναι μια ανάθεση ενός εφαπτόμενου διανύσματος σε κάθε σημείο της . 
Πιο συγκεκριμένα, ένα διανυσματικό πεδίο  είναι μια απεικόνιση από το  στην εφαπτομενική δέσμη  έτσι ώστε  να είναι η απεικόνιση ταυτότητας.

Ένας εναλλακτικός ορισμός: Ένα λείο διανυσματικό πεδίο  σε μια πολλαπλότητα  είναι μία γραμμική ἀπεικονίση  τέτοιος ώστε  να είναι παράγωγος:  για όλα τα . 

Αν η πολλαπλότητα  είναι λεία ή αναλυτική -δηλαδή, η αλλαγή των συντεταγμένων είναι λεία (αναλυτική)- τότε μπορεί κανείς να κατανοήσει την έννοια των λείων (αναλυτικών) διανυσματικών πεδίων. Η συλλογή όλων των λείων διανυσματικών πεδίων σε μια λεία πολλαπλότητα  συμβολίζεται συχνά με  ή  (ειδικά όταν σκεφτόμαστε τα διανυσματικά πεδία ως τμήματα)- η συλλογή όλων των λείων διανυσματικών πεδίων συμβολίζεται επίσης με  (a fraktur "X").

Παραδείγματα
Εδώ: αφηρημένη σύνθεση καμπυλών που ακολουθούν ένα διανυσματικό πεδίο που παράγεται με θόρυβο Open Simplex.
 Ένα διανυσματικό πεδίο για την κίνηση του αέρα στη Γη θα συσχετίζει για κάθε σημείο στην επιφάνεια της Γης ένα διάνυσμα με την ταχύτητα και την κατεύθυνση του ανέμου για το σημείο αυτό. Αυτό μπορεί να σχεδιαστεί με τη χρήση βελών για την αναπαράσταση του ανέμου- το μήκος (μέγεθος) του βέλους θα αποτελεί ένδειξη της ταχύτητας του ανέμου. Ένα «υψηλό» στον συνήθη χάρτη βαρομετρικής πίεσης θα λειτουργούσε τότε ως πηγή (βέλη που δείχνουν προς τα μακριά), και ένα «χαμηλό» θα ήταν ένας απορροφητήρας (βέλη που δείχνουν προς τα εκεί), δεδομένου ότι ο αέρας τείνει να μετακινείται από περιοχές υψηλής πίεσης σε περιοχές χαμηλής πίεσης.
 Πεδίο ταχύτητας ενός κινούμενου ρευστού. Στην περίπτωση αυτή, ένα διάνυσμα ταχύτητας συνδέεται με κάθε σημείο του ρευστού.
Οι ρευματικές γραμμές, οι ραβδωτές γραμμές και οι γραμμές διαδρομής είναι 3 τύποι γραμμών που μπορούν να κατασκευαστούν από (χρονοεξαρτώμενα) διανυσματικά πεδία. Είναι οι εξής:
ρευματικές γραμμές: η γραμμή που παράγεται από σωματίδια που διέρχονται από ένα συγκεκριμένο σταθερό σημείο σε διάφορους χρόνους
γραμμές διαδρομής: δείχνουν την πορεία που θα ακολουθούσε ένα δεδομένο σωματίδιο (μηδενικής μάζας).
ρευματικές γραμμές (ή fieldlines): η πορεία ενός σωματιδίου που επηρεάζεται από το στιγμιαίο πεδίο (δηλαδή, η πορεία ενός σωματιδίου εάν το πεδίο διατηρείται σταθερό).
Μαγνητικά πεδία. Οι γραμμές του πεδίου μπορούν να αποκαλυφθούν χρησιμοποιώντας μικρά ρινίσματα σιδήρου. 
Οι εξισώσεις του Μάξγουελ μας επιτρέπουν να χρησιμοποιήσουμε ένα δεδομένο σύνολο αρχικών και οριακών συνθηκών για να συμπεράνουμε, για κάθε σημείο στον Ευκλείδειο χώρο, ένα μέγεθος και μια κατεύθυνση για τη δύναμη που δέχεται ένα φορτισμένο σωματίδιο δοκιμής σε αυτό το σημείο- το διανυσματικό πεδίο που προκύπτει είναι το ηλεκτρικό πεδίο. 
Το βαρυτικό πεδίο που δημιουργείται από οποιοδήποτε ογκώδες αντικείμενο είναι επίσης διανυσματικό πεδίο. Για παράδειγμα, τα διανύσματα του βαρυτικού πεδίου για ένα σφαιρικά συμμετρικό σώμα θα ήταν όλα στραμμένα προς το κέντρο της σφαίρας με το μέγεθος των διανυσμάτων να μειώνεται όσο αυξάνεται η ακτινική απόσταση από το σώμα.

Πεδίο κλίσης σε ευκλείδειους χώρους

Τα διανυσματικά πεδία μπορούν να κατασκευαστούν από βαθμωτά πεδία χρησιμοποιώντας τον τελεστή κλίσης (συμβολίζεται με το Ανάδελτα: ∇).

Ένα διανυσματικό πεδίο V που ορίζεται σε ένα ανοικτό σύνολο S λέγεται πεδίο κλίσης  ή συντηρητικό πεδίο  αν υπάρχει μια συνάρτηση πραγματικής τιμής (ένα κλιμακωτό πεδίο) f στο S τέτοια ώστε

Η σχετική ροή ονομάζεται ροή βαθμίδας και χρησιμοποιείται στη μέθοδο της καθόδου κλίσης (Gradient Descent).

Το ολοκλήρωμα διαδρομής κατά μήκος οποιασδήποτε κλειστής καμπύλης γ (γ(0) = γ(1)) σε ένα συντηρητικό πεδίο είναι μηδέν:

 Κεντρικό πεδίο σε ευκλείδειους χώρους
Ένα διανυσματικό πεδίο  πάνω από τον  ονομάζεται κεντρικό πεδίο αν

όπου  είναι η ορθογώνια ομάδα. Λέμε ότι τα κεντρικά πεδία είναι αναλλοίωτα κάτω από ορθογώνιους μετασχηματισμούς γύρω από το 0.

Το σημείο 0 ονομάζεται κέντρο  του πεδίου.

Δεδομένου ότι οι ορθογώνιοι μετασχηματισμοί είναι στην πραγματικότητα περιστροφές και ανακλάσεις, οι συνθήκες αναλλοίωτου σημαίνουν ότι τα διανύσματα ενός κεντρικού πεδίου κατευθύνονται πάντα προς το 0 ή απομακρύνονται από αυτό- αυτός είναι ένας εναλλακτικός (και απλούστερος) ορισμός. Ένα κεντρικό πεδίο είναι πάντα ένα πεδίο κλίσης, αφού ο ορισμός του σε έναν ημιάξονα και η ολοκλήρωση δίνει μια αντι-κλίση.

Επεμβάσεις σε διανυσματικά πεδία
Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα

Κύριο άρθρο: Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα

Μια συνήθης τεχνική στη φυσική είναι η ολοκλήρωση ενός διανυσματικού πεδίου κατά μήκος μιας καμπύλης, που ονομάζεται επίσης προσδιορισμός του επικαμπύλιου ολοκληρώματος. Διαισθητικά αυτό σημαίνει ότι αθροίζονται όλες οι διανυσματικές συνιστώσες που βρίσκονται σε ευθεία με τις εφαπτόμενες της καμπύλης, εκφρασμένες ως τα βαθμωτά τους γινόμενα. Επί παραδείγματι, δεδομένου ενός σωματιδίου σε ένα πεδίο δυνάμεων (π.χ. βαρύτητας), όπου κάθε διάνυσμα σε κάποιο σημείο του χώρου αντιπροσωπεύει τη δύναμη που ασκείται εκεί στο σωματίδιο, το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα κατά μήκος μιας συγκεκριμένης διαδρομής είναι το έργο που επιτελείται στο σωματίδιο, όταν ταξιδεύει κατά μήκος αυτής της διαδρομής. Διαισθητικά, είναι το άθροισμα των βαθμωτών γινομένων του διανύσματος της δύναμης και του μικρού διανύσματος της εφαπτομένης σε κάθε σημείο κατά μήκος της καμπύλης.

Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα κατασκευάζεται κατ' αναλογία με το ολοκλήρωμα Ρίμαν και υπάρχει αν η καμπύλη είναι ορθοκαμπύλη (έχει πεπερασμένο μήκος) και το διανυσματικό πεδίο είναι συνεχές.

Δεδομένου ενός διανυσματικού πεδίου  και μιας καμπύλης , παραμετροποιημένης από  στο [a, b] (όπου  και  είναι πραγματικοί αριθμοί), το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα ορίζεται ως εξής

Για να δείξει κανείς την τοπολογία του διανυσματικού πεδίου μπορεί να χρησιμοποιήσει τη συνέλιξη του επικαμπύλιου ολοκληρώματος.

Απόκλιση

Η απόκλιση ενός διανυσματικού πεδίου στον Ευκλείδειο χώρο είναι μια συνάρτηση (ή ένα κλιμακωτό πεδίο). Στις τρεις διαστάσεις, η απόκλιση ορίζεται ως εξής

με την προφανή γενίκευση σε αυθαίρετες διαστάσεις. Η απόκλιση σε ένα σημείο αντιπροσωπεύει το βαθμό στον οποίο ένας μικρός όγκος γύρω από το σημείο είναι πηγή ή απορροφητήρας για τη διανυσματική ροή, ένα αποτέλεσμα που γίνεται ακριβές από το θεώρημα της απόκλισης.

Η απόκλιση μπορεί επίσης να οριστεί σε μια πολλαπλότητα του Ρίμαν, δηλαδή σε μια πολλαπλότητα με μετρική του Ρίμαν που μετρά το μήκος των διανυσμάτων.

Στροβιλισμός σε τρεις διαστάσεις

Ο στροβιλισμός είναι μια πράξη που παίρνει ένα διανυσματικό πεδίο και παράγει ένα άλλο διανυσματικό πεδίο. Ο στροβιλισμός ορίζεται μόνο σε τρεις διαστάσεις, αλλά ορισμένες ιδιότητες της κύρτωσης μπορούν να αποτυπωθούν σε υψηλότερες διαστάσεις με την εξωτερική παράγωγο. Στις τρεις διαστάσεις, ορίζεται ως εξής

Ο στροβιλισμός μετρά την πυκνότητα της γωνιακής ροπής της διανυσματικής ροής σε ένα σημείο,  δηλαδή την ποσότητα στην οποία η ροή κυκλοφορεί γύρω από έναν σταθερό άξονα. Αυτή η διαισθητική περιγραφή γίνεται ακριβής με το θεώρημα του Στόκε.

 Δείκτης ενός διανυσματικού πεδίου 

Ο δείκτης ενός διανυσματικού πεδίου είναι ένας ακέραιος αριθμός που βοηθά στην περιγραφή της συμπεριφοράς του γύρω από ένα απομονωμένο μηδέν (δηλαδή μια απομονωμένη ιδιομορφία του πεδίου). Στο επίπεδο, ο δείκτης παίρνει την τιμή -1 σε μια ιδιομορφία σέλας αλλά +1 σε μια ιδιομορφία πηγής ή βυθού.

Έστω n be η διάσταση της πολλαπλότητας στην οποία ορίζεται το διανυσματικό πεδίο. Ας πάρουμε μια κλειστή επιφάνεια (ομοιομορφική με την (n-1)-σφαίρα) S γύρω από το μηδέν, έτσι ώστε να μην υπάρχουν άλλα μηδενικά στο εσωτερικό της S. Μια απεικόνιση από αυτή τη σφαίρα σε μια μοναδιαία σφαίρα διάστασης n − 1  μπορεί να κατασκευαστεί διαιρώντας κάθε διάνυσμα σε αυτή τη σφαίρα με το μήκος του για να σχηματίσουμε ένα διάνυσμα μοναδιαίου μήκους, το οποίο είναι ένα σημείο στη μοναδιαία σφαίρα Sn−1. Αυτό ορίζει μια συνεχή απεικόνιση από το S στο Sn−1 . Ο δείκτης του διανυσματικού πεδίου στο σημείο είναι ο βαθμός αυτού του χάρτη. Μπορεί να αποδειχθεί ότι αυτός ο ακέραιος αριθμός δεν εξαρτάται από την επιλογή του S και επομένως εξαρτάται μόνο από το ίδιο το διανυσματικό πεδίο.

Ο δείκτης δεν ορίζεται σε κανένα μη-σιγμοειδές σημείο (δηλαδή σε σημείο όπου το διάνυσμα δεν είναι μηδενικό). Είναι ίσος με +1 γύρω από μια πηγή, και γενικότερα ίσος με (-1)k γύρω από μια σέλλα που έχει k συρρικνούμενες διαστάσεις και n−k διαστελλόμενες διαστάσεις.

Ο δείκτης του διανυσματικού πεδίου στο σύνολό του ορίζεται όταν έχει μόνο πεπερασμένα πολλά μηδενικά. Στην περίπτωση αυτή, όλα τα μηδενικά είναι απομονωμένα και ο δείκτης του διανυσματικού πεδίου ορίζεται ως το άθροισμα των δεικτών σε όλα τα μηδενικά.

Για μια συνηθισμένη (δισδιάστατη) σφαίρα στον τρισδιάστατο χώρο, μπορεί να αποδειχθεί ότι ο δείκτης οποιουδήποτε διανυσματικού πεδίου στη σφαίρα πρέπει να είναι 2. Αυτό δείχνει ότι κάθε τέτοιο διανυσματικό πεδίο πρέπει να έχει μηδέν. Αυτό συνεπάγεται το θεώρημα της τριχωτής σφαίρας.

Για ένα διανυσματικό πεδίο σε μια συμπαγή πολλαπλότητα με πεπερασμένα πολλά μηδενικά, το θεώρημα Πουανκαρέ-Χοφ δηλώνει ότι ο δείκτης του διανυσματικού πεδίου είναι η χαρακτηριστική Όιλερ της πολλαπλότητας.

Φυσική διαίσθηση

Ο Μάικλ Φαραντέι, με την έννοια των «γραμμών δύναμης», τόνισε ότι το «ίδιο το πεδίο» πρέπει να είναι αντικείμενο μελέτης, κάτι που έγινε σε όλη τη φυσική με τη μορφή της θεωρίας πεδίου.

Εκτός από το μαγνητικό πεδίο, άλλα φαινόμενα που μοντελοποιήθηκαν από τον Φαραντέι περιλαμβάνουν το ηλεκτρικό πεδίο και το πεδίο του φωτός.

Τις τελευταίες δεκαετίες πολλές φαινομενολογικές διατυπώσεις της μη αναστρέψιμης δυναμικής και των εξισώσεων εξέλιξης στη φυσική, από τη μηχανική πολύπλοκων ρευστών και στερεών μέχρι τη χημική κινητική και την κβαντική θερμοδυναμική, έχουν συγκλίνει προς τη γεωμετρική ιδέα της «απότομης ανόδου της εντροπίας» ή της «ροής βαθμίδας» ως ένα συνεπές καθολικό πλαίσιο μοντελοποίησης που εγγυάται τη συμβατότητα με το δεύτερο νόμο της θερμοδυναμικής και επεκτείνει γνωστά αποτελέσματα κοντινής ισορροπίας, όπως η αμοιβαιότητα Ονσάγκερ, στη σφαίρα μακρινής μη ισορροπίας. 

Καμπύλες ροής

Σκεφτείτε τη ροή ενός ρευστού σε μια περιοχή του χώρου. Σε κάθε δεδομένη χρονική στιγμή, κάθε σημείο του ρευστού έχει μια συγκεκριμένη ταχύτητα που συνδέεται με αυτό- έτσι υπάρχει ένα διανυσματικό πεδίο που συνδέεται με κάθε ροή. Ισχύει και το αντίστροφο: είναι δυνατόν να συσχετιστεί μια ροή με ένα διανυσματικό πεδίο που έχει ως ταχύτητα το εν λόγω διανυσματικό πεδίο.

Δεδομένου ενός διανυσματικού πεδίου  που ορίζεται στο , ορίζεται καμπύλες  στο  έτσι ώστε για κάθε  σε ένα διάστημα ,

Σύμφωνα με το θεώρημα Πικάρντ-Λίντελεφ, αν η  είναι συνεχής κατά Λίπσιτζ υπάρχει μια “'μοναδική”' -καμπύλη  για κάθε σημείο  στο  έτσι ώστε, για κάποια  ,

Οι καμπύλες  ονομάζονται ολοκληρωτικές καμπύλες ή τροχιές (ή λιγότερο συχνά γραμμές ροής) του διανυσματικού πεδίου  και χωρίζουν το  σε κλάσεις ισοδυναμίας. Δεν είναι πάντα δυνατό να επεκτείνουμε το διάστημα   σε ολόκληρη τη γραμμή των πραγματικών αριθμών. Η ροή μπορεί για παράδειγμα να φτάσει στην άκρη του   σε πεπερασμένο χρόνο. Σε δύο ή τρεις διαστάσεις μπορεί κανείς να απεικονίσει το διανυσματικό πεδίο ως αποτέλεσμα μιας ροής στο . Αν ρίξουμε ένα σωματίδιο σε αυτή τη ροή σε ένα σημείο   θα κινηθεί κατά μήκος της καμπύλης   στη ροή ανάλογα με το αρχικό σημείο .  Εάν το  είναι ένα σταθερό σημείο   (δηλαδή το διανυσματικό πεδίο είναι ίσο με το μηδενικό διάνυσμα στο σημείο ) τότε το σωματίδιο θα παραμείνει στο .

Τυπικές εφαρμογές είναι η διαδρομή σε ρευστό, η γεωδαιτική ροή και οι μονοπαραμετρικές υποομάδες και ο εκθετικός χάρτης στις ομάδες Λι.

 Πλήρη διανυσματικά πεδία 

Σύμφωνα με τον ορισμό, ένα διανυσματικό πεδίο στην   ονομάζεται πλήρες αν κάθε καμπύλη ροής του υπάρχει για κάθε χρόνο.  Ειδικότερα, τα διανυσματικά πεδία με συμπαγή στήριξη σε μια πολλαπλότητα είναι πλήρη. Αν το   είναι ένα πλήρες διανυσματικό πεδίο στην  τότε η μονοπαραμετρική ομάδα των διαφορικών μορφισμών που παράγεται από τη ροή κατά μήκος του  υπάρχει για κάθε χρόνο- περιγράφεται από μια λεία απεικόνιση

Σε μια συμπαγή πολλαπλότητα χωρίς όρια, κάθε λείο διανυσματικό πεδίο είναι πλήρες.  Ένα παράδειγμα ενός ελλιπούς διανυσματικού πεδίου  στην πραγματική γραμμή  δίνεται από τη σχέση .  Για, τη διαφορική εξίσωση , με αρχική συνθήκη , έχει ως μοναδική λύση  αν  (και  για όλα τα  αν ).  Επομένως για , το  είναι απροσδιόριστο στο , οπότε δεν μπορεί να οριστεί για όλες τις τιμές του .

Η αγκύλη Λι 

Οι ροές που σχετίζονται με δύο διανυσματικά πεδία δεν χρειάζεται να αντιμετατίθενται μεταξύ τους. Η μη αντιμετάθεση τους περιγράφεται από την αγκύλη Λι  δύο διανυσματικών πεδίων, η οποία είναι και πάλι ένα διανυσματικό πεδίο. Η αγκύλη Λι έχει έναν απλό ορισμό σε σχέση με τη δράση των διανυσματικών πεδίων σε λείες συναρτήσεις :

Λεία συνάρτηση

Δίνεται μια λεία συνάρτηση μεταξύ πολλαπλοτήτων,, η παράγωγος είναι μια επαγόμενη απεικόνιση σε εφαπτόμενες δέσμες, .  Δεδομένων των διανυσματικών πεδίων  και  λέμε ότι   σχετίζεται  με  αν ισχύει η εξίσωση .

Αν η  είναι -σχετική με την , , τότε η παρένθεση Λι  είναι -σχετική με την .

Γενικεύσεις
Αντικαθιστώντας τα διανύσματα με p-διανύσματα (pη εξωτερική δύναμη των διανυσμάτων) προκύπτουν p-διανυσματικά πεδία- παίρνοντας τον διπλό χώρο και τις εξωτερικές δυνάμεις προκύπτουν διαφορικές k-μορφές, και συνδυάζοντας αυτές προκύπτουν γενικά πεδία τανυστών.

Αλγεβρικά, τα διανυσματικά πεδία μπορούν να χαρακτηριστούν ως παραγώγιση της άλγεβρας λείων συναρτήσεων στην πολλαπλότητα, γεγονός που οδηγεί στον ορισμό ενός διανυσματικού πεδίου σε μια αντιμεταθετική άλγεβρα ως παραγώγιση στην άλγεβρα, η οποία αναπτύσσεται στη θεωρία του διαφορικού λογισμού πάνω σε αντιμεταθετικές άλγεβρες.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Τριγωνομετρική συνάρτηση
 Διδιάστατος χώρος
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Υπερβολική γεωμετρία
 Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Καμπυλότητα Γκάους
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Μιγαδικός αριθμός
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 









 . Review: Séquin, Carlo H. (2009), Journal of Mathematics and the Arts'' 3: 229–230, 

Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Κατηγορία:Θεωρήματα στην ανάλυση 
Κατηγορία:Μαθηματική ανάλυση
Κατηγορία:Επιφάνειες 
Κατηγορία:Διαφορική τοπολογία 
Κατηγορία:Διανύσματα 
Κατηγορία:Διανυσματικός λογισμός
Κατηγορία:Μαθηματικές συναρτήσεις