Συντηρητικό διανυσματικό πεδίο

Στον διανυσματικό λογισμό, ένα συντηρητικό διανυσματικό πεδίο είναι ένα διανυσματικό πεδίο που είναι η κλίση κάποιας συνάρτησης . Ένα συντηρητικό διανυσματικό πεδίο έχει την ιδιότητα ότι το γραμμικό ολοκλήρωμά του είναι ανεξάρτητο της διαδρομής- η επιλογή της διαδρομής μεταξύ δύο σημείων δεν αλλάζει την τιμή του γραμμικού ολοκληρώματος. Η ανεξαρτησία διαδρομής του γραμμικού ολοκληρώματος είναι ισοδύναμη με το διανυσματικό πεδίο κάτω από το γραμμικό ολοκλήρωμα να είναι συντηρητικό. Ένα συντηρητικό διανυσματικό πεδίο είναι επίσης αμετάβλητο- στις τρεις διαστάσεις, αυτό σημαίνει ότι έχει εξαφανιζόμενη κύρτωση. Ένα μη περιστροφικό διανυσματικό πεδίο είναι αναγκαστικά συντηρητικό, εφόσον το πεδίο είναι απλά συνδεδεμένο.

Τα συντηρητικά διανυσματικά πεδία εμφανίζονται φυσικά στη μηχανική: Είναι διανυσματικά πεδία που αντιπροσωπεύουν δυνάμεις φυσικών συστημάτων στα οποία η ενέργεια διατηρείται. George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 6th edition, Elsevier Academic Press (2005)  Για ένα συντηρητικό σύστημα, το έργο που εκτελείται κατά την κίνηση κατά μήκος μιας διαδρομής σε ένα χώρο διαμόρφωσης εξαρτάται μόνο από τα τελικά σημεία της διαδρομής, οπότε είναι δυνατόν να οριστεί δυνητική ενέργεια που είναι ανεξάρτητη από την πραγματική διαδρομή που ακολουθείται.

Άτυπη μεταχείριση

Σε ένα δισδιάστατο και τρισδιάστατο χώρο, υπάρχει μια ασάφεια στη λήψη ενός ολοκληρώματος μεταξύ δύο σημείων, καθώς υπάρχουν άπειρες διαδρομές μεταξύ των δύο σημείων - εκτός από την ευθεία γραμμή που σχηματίζεται μεταξύ των δύο σημείων, θα μπορούσε κανείς να επιλέξει μια καμπύλη διαδρομή μεγαλύτερου μήκους, όπως φαίνεται στο σχήμα. Επομένως, γενικά, η τιμή του ολοκληρώματος εξαρτάται από τη διαδρομή που λαμβάνεται. Ωστόσο, στην ειδική περίπτωση ενός συντηρητικού διανυσματικού πεδίου, η τιμή του ολοκληρώματος είναι ανεξάρτητη από τη διαδρομή που λαμβάνεται, η οποία μπορεί να θεωρηθεί ως μια μεγάλης κλίμακας ακύρωση όλων των στοιχείων  που δεν έχουν συνιστώσα κατά μήκος της ευθείας μεταξύ των δύο σημείων. Για να το οπτικοποιήσουμε αυτό, ας φανταστούμε δύο ανθρώπους που σκαρφαλώνουν σε έναν γκρεμό- ο ένας αποφασίζει να σκαρφαλώσει τον γκρεμό ανεβαίνοντας κατακόρυφα, και ο δεύτερος αποφασίζει να περπατήσει κατά μήκος ενός ελικοειδούς μονοπατιού που έχει μεγαλύτερο μήκος από το ύψος του γκρεμού, αλλά με μικρή μόνο γωνία ως προς την οριζόντια. Παρόλο που οι δύο πεζοπόροι έχουν ακολουθήσει διαφορετικές διαδρομές για να φτάσουν στην κορυφή του γκρεμού, στην κορυφή θα έχουν κερδίσει και οι δύο την ίδια ποσότητα βαρυτικής δυναμικής ενέργειας. Αυτό συμβαίνει επειδή ένα βαρυτικό πεδίο είναι συντηρητικό.


Διαισθητική εξήγηση

Ο Μαουρίτς Κορνέλις Έσερ απεικονίζει ένα μη συντηρητικό διανυσματικό πεδίο, το οποίο είναι αδύνατο να εμφανιστεί ως η κλίση του μεταβαλλόμενου ύψους πάνω από το έδαφος (βαρυτικό δυναμικό) καθώς κάποιος κινείται κατά μήκος της σκάλας. Το πεδίο δυνάμεων που βιώνει αυτός που κινείται στη σκάλα είναι μη συντηρητικό, δεδομένου ότι μπορεί κανείς να επιστρέψει στο σημείο εκκίνησης ανεβαίνοντας περισσότερο από ό,τι κατεβαίνει ή το αντίστροφο, με αποτέλεσμα το έργο που επιτελείται από τη βαρύτητα να μην είναι μηδενικό. Σε μια πραγματική σκάλα, το ύψος πάνω από το έδαφος είναι ένα βαθμωτό δυναμικό πεδίο: πρέπει να ανέβει κανείς ακριβώς όσο κατεβαίνει για να επιστρέψει στο ίδιο σημείο, οπότε το έργο της βαρύτητας μηδενίζεται. Αυτό υποδηλώνει την ανεξαρτησία της διαδρομής του έργου που εκτελείται στη σκάλα- ισοδύναμα, το πεδίο δυνάμεων που βιώνεται είναι συντηρητικό (βλ. την επόμενη ενότητα: Ανεξαρτησία διαδρομής και συντηρητικό διανυσματικό πεδίο). Η κατάσταση που απεικονίζεται στην εκτύπωση είναι αδύνατη.

Ορισμός

Ένα διανυσματικό πεδίο  όπου  είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του , λέγεται συντηρητικό αν υπάρχει ένα  (συνεχώς διαφορίσιμο) βαθμωτό πεδίο  For  to be path-independent,  is not necessarily continuously differentiable, the condition of being differentiable is enough, since the :en:Gradient theorem, that proves the path independence of , does not require  to be continuously differentiable.

There must be a reason for the definition of conservative vector fields to require  to be continuously differentiable.   έτσι ώστε

Εδώ,  δηλώνει την κλίση του . Εφόσον η  είναι συνεχώς διαφορίσιμη, η  είναι συνεχής. Όταν ισχύει η παραπάνω εξίσωση, το  ονομάζεται βαθμωτό δυναμικό για .

Το θεμελιώδες θεώρημα του διανυσματικού λογισμού ορίζει ότι, υπό ορισμένες συνθήκες κανονικότητας, κάθε διανυσματικό πεδίο μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα ενός συντηρητικού διανυσματικού πεδίου και ενός σωληνοειδούς πεδίου.

 Ανεξαρτησία διαδρομής και συντηρητικό διανυσματικό πεδίο

Ανεξαρτησία διαδρομής

Ένα γραμμικό ολοκλήρωμα ενός διανυσματικού πεδίου   λέγεται ότι είναι ανεξάρτητο από τη διαδρομή αν εξαρτάται μόνο από δύο τελικά σημεία της διαδρομής του ολοκληρώματος, ανεξάρτητα από το ποια διαδρομή μεταξύ τους επιλέγεται:  

για κάθε ζεύγος ολοκληρωμένων διαδρομών  και  μεταξύ ενός δεδομένου ζεύγους τελικών σημείων διαδρομής στο .

Η ανεξαρτησία διαδρομής εκφράζεται επίσης ισοδύναμα ως εξής

για κάθε τεμαχιακά λεία κλειστή διαδρομή  στο  όπου τα δύο τελικά σημεία συμπίπτουν. Οι δύο εκφράσεις είναι ισοδύναμες αφού κάθε κλειστό μονοπάτι  μπορεί να γίνει από δύο μονοπάτια-  από ένα τελικό σημείο  σε ένα άλλο τελικό σημείο , και  από  σε , οπότε

όπου  είναι το αντίστροφο του  και η τελευταία ισότητα ισχύει λόγω της ανεξαρτησίας της διαδρομής 

 Συντηρητικό διανυσματικό πεδίο 

Μια βασική ιδιότητα ενός συντηρητικού διανυσματικού πεδίου  είναι ότι το ολοκλήρωμά του κατά μήκος μιας διαδρομής εξαρτάται μόνο από τα τελικά σημεία αυτής της διαδρομής και όχι από τη συγκεκριμένη διαδρομή που ακολουθήθηκε. Με άλλα λόγια, «'αν είναι ένα συντηρητικό διανυσματικό πεδίο, τότε το γραμμικό ολοκλήρωμά του είναι ανεξάρτητο από τη διαδρομή». Έστω ότι  για κάποιο  (συνεχώς διαφορίσιμο) βαθμωτό πεδίο   πάνω από το  ως ανοιχτό υποσύνολο του  (οπότε  είναι ένα συντηρητικό διανυσματικό πεδίο που είναι συνεχές) και  είναι ένα διαφορίσιμο μονοπάτι (i. e., μπορεί να παραμετροποιηθεί από μια διαφορίσιμη συνάρτηση) στο  με ένα αρχικό σημείο  και ένα τελικό σημείο . Τότε το θεώρημα κλίσης (που ονομάζεται επίσης “'θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού για γραμμικά ολοκληρώματα”') δηλώνει ότι

Αυτό ισχύει ως συνέπεια του ορισμού του γραμμικού ολοκληρώματος, του κανόνα της αλυσίδας και του δεύτερου θεμελιώδους θεωρήματος του λογισμού.  στο γραμμικό ολοκλήρωμα είναι ένα ακριβές διαφορικό για ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων (π.χ. καρτεσιανές, κυλινδρικές ή σφαιρικές συντεταγμένες). Εφόσον το θεώρημα της κλίσης ισχύει για μια διαφορίσιμη διαδρομή, η ανεξαρτησία διαδρομής ενός συντηρητικού διανυσματικού πεδίου πάνω σε καμπύλες με τμηματική διαφοροποίηση αποδεικνύεται επίσης με την απόδειξη ανά συνιστώσα διαφορίσιμης καμπύλης.

Μέχρι στιγμής έχει αποδειχθεί ότι ένα συντηρητικό διανυσματικό πεδίο  είναι γραμμικό ολοκλήρωμα ανεξάρτητο από τη διαδρομή. Αντίστροφα, “'αν ένα συνεχές διανυσματικό πεδίο  είναι (γραμμικό ολοκλήρωμα) ανεξάρτητο από τη διαδρομή, τότε είναι ένα συντηρητικό διανυσματικό πεδίο, οπότε ισχύει η ακόλουθη διττή δήλωση:

Η απόδειξη αυτής της αντίστροφης δήλωσης είναι η ακόλουθη.

 είναι ένα συνεχές διανυσματικό πεδίο του οποίου το ευθύγραμμο ολοκλήρωμα είναι ανεξάρτητο από τη διαδρομή. Στη συνέχεια, ας φτιάξουμε μια συνάρτηση  που ορίζεται ως εξής

σε μια αυθαίρετη διαδρομή μεταξύ ενός επιλεγμένου σημείου εκκίνησης  και ενός αυθαίρετου σημείου .Δεδομένου ότι είναι ανεξάρτητη από τη διαδρομή, εξαρτάται μόνο από τα  και  ανεξάρτητα από το ποια διαδρομή μεταξύ αυτών των σημείων επιλέγεται.

Ας επιλέξουμε τη διαδρομή που φαίνεται στο αριστερό μέρος του δεξιού σχήματος, όπου χρησιμοποιείται δισδιάστατο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Το δεύτερο τμήμα αυτής της διαδρομής είναι παράλληλο με τον άξονα , οπότε δεν υπάρχει καμία μεταβολή κατά μήκος του άξονα . Το ευθύγραμμο ολοκλήρωμα κατά μήκος αυτής της διαδρομής είναι

Από την ανεξαρτησία της διαδρομής, η μερική παράγωγος της ως προς  (για να έχει η  μερικές παραγώγους, η  πρέπει να είναι συνεχής) είναι

αφού τα  και  είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους. Ας εκφράσουμε το  ως  όπου  και  είναι μοναδιαία διανύσματα κατά μήκος των αξόνων  και  αντίστοιχα, τότε, αφού ,

όπου η τελευταία ισότητα προέρχεται από το δεύτερο θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού.

Μια παρόμοια προσέγγιση για το γραμμικό ολοκληρωτικό μονοπάτι που φαίνεται στα δεξιά του δεξιού σχήματος οδηγεί σε  

έτσι

αποδεικνύεται για το δισδιάστατο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Αυτή η μέθοδος απόδειξης μπορεί εύκολα να επεκταθεί σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων μεγαλύτερης διάστασης (π.χ. ένα 3-διάστατο σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων), οπότε αποδεικνύεται η αντίστροφη δήλωση. Μια άλλη απόδειξη βρίσκεται εδώ ως η αντίστροφη του θεωρήματος της κλίσης.

Αστρόβιλο διανυσματικό πεδίο

300px|thumbnail|right|Το παραπάνω διανυσματικό πεδίο  ορίζεται στο , i.e.,  με την αφαίρεση όλων των συντεταγμένων στον άξονα  (άρα όχι ένας απλά συνδεδεμένος χώρος), έχει μηδενική καμπύλη στο  και συνεπώς είναι μη περιστροφικός. Ωστόσο, δεν είναι συντηρητικός και δεν έχει ανεξαρτησία διαδρομής.

Έστω  (τρισδιάστατος χώρος), και έστω  είναι ένα  (συνεχώς διαφορίσιμο) διανυσματικό πεδίο, με ένα ανοικτό υποσύνολο  του . Τότε το  καλείται μη περιστροφικό αν η καμπύλη του είναι  παντού στο , δηλαδή αν

Για το λόγο αυτό, τέτοια διανυσματικά πεδία αναφέρονται μερικές φορές ως αστρόβιλα διανυσματικά  ή διανυσματικά πεδία αστρόβιλα. Αναφέρονται επίσης ως διαμήκη διανυσματικά πεδία.

Είναι μια ταυτότητα του διανυσματικού λογισμού ότι για κάθε  (συνεχώς διαφορίσιμο μέχρι τη 2η παράγωγο) βαθμωτό πεδίο  στο , έχουμε

Επομένως, κάθε συντηρητικό διανυσματικό πεδίο  στο  είναι επίσης ένα αστρόβιλο διανυσματικό πεδίο στο . Αυτό το αποτέλεσμα μπορεί εύκολα να αποδειχθεί εκφράζοντας το  σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων με το θεώρημα του Σβαρτς (που ονομάζεται επίσης θεώρημα του Κλαιρό για την ισότητα των μικτών μερικών).

Υπό την προϋπόθεση ότι το  είναι ένας απλά συνδεδεμένος ανοιχτός χώρος («κατά προσέγγιση», ένας μονοκόμματος ανοιχτός χώρος χωρίς τρύπα στο εσωτερικό του), ισχύει και το αντίστροφο: Κάθε μη περιστροφικό διανυσματικό πεδίο σε έναν απλά συνδεδεμένο ανοιχτό χώρο  είναι ένα  συντηρητικό διανυσματικό πεδίο στο .

Η παραπάνω δήλωση δεν είναι όχι αληθής γενικά αν η  δεν είναι απλά συνδεδεμένη. Έστω   με αφαίρεση όλων των συντεταγμένων στον άξονα  (άρα όχι απλά συνδεδεμένος χώρος), δηλαδή . Τώρα, ορίζουμε ένα διανυσματικό πεδίο  στο  ως εξής

Τότε η  έχει μηδενικό στροβιλισμό παντού στην  ( παντού στην ), δηλαδή η  είναι αστρόβιλη. Ωστόσο, η κυκλοφορία του  γύρω από τον μοναδιαίο κύκλο στο επίπεδο  είναι - σε πολικές συντεταγμένες,
,
οπότε το ολοκλήρωμα στον μοναδιαίο κύκλο είναι

Επομένως, η  δεν έχει την ιδιότητα ανεξαρτησίας διαδρομής που συζητήθηκε παραπάνω, οπότε δεν είναι συντηρητική ακόμη και αν
 αφού το  όπου ορίζεται το  δεν είναι ένας απλά συνδεδεμένος ανοικτός χώρος.

Ας πούμε πάλι, σε μια απλά συνδεδεμένη ανοικτή περιοχή, ένα αστρόβιλο διανυσματικό πεδίο  έχει την ιδιότητα ανεξαρτησίας διαδρομής (άρα  ως συντηρητικό). Αυτό μπορεί να αποδειχθεί άμεσα χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Στόκες,



για κάθε ομαλή προσανατολισμένη επιφάνεια  της οποίας το όριο είναι μια απλή κλειστή διαδρομή . Έτσι, συμπεραίνεται ότι Σε μια απλά συνδεδεμένη ανοικτή περιοχή, κάθε  διανυσματικό πεδίο που έχει την ιδιότητα της ανεξαρτησίας από τη διαδρομή (άρα είναι συντηρητικό διανυσματικό πεδίο.) πρέπει να είναι και στρόβιλο και το αντίστροφο. Αφαίρεση 
Πιο αφηρημένα, με την παρουσία μιας μετρικής του Ρίμαν, τα διανυσματικά πεδία αντιστοιχούν σε διαφορικές . Τα συντηρητικά διανυσματικά πεδία αντιστοιχούν στις ακριβείς , δηλαδή στις μορφές που είναι η εξωτερική παράγωγος  μιας συνάρτησης (βαθμωτού πεδίου)  στο . Τα μη περιστροφικά διανυσματικά πεδία αντιστοιχούν στις κλειστές , δηλαδή στις   τέτοια ώστε . Καθώς  κάθε ακριβής μορφή είναι κλειστή, άρα κάθε συντηρητικό διανυσματικό πεδίο είναι μη περιστροφικό. Αντίστροφα, όλες οι κλειστές  είναι ακριβείς αν η  είναι απλά συνεκτική.

Στροβιλότητα 

Η στροβιλότητα  ενός διανυσματικού πεδίου μπορεί να οριστεί από:

Η στροβιλότητα ενός μη περιστροφικού πεδίου είναι παντού μηδενική, pp. 194–196.. Το θεώρημα του Κέλβιν δηλώνει ότι ένα ρευστό που είναι αστρόβιλο σε μια αδιαφανή ροή θα παραμείνει αστρόβιλο. Αυτό το αποτέλεσμα μπορεί να προκύψει από την εξίσωση μεταφοράς στροβιλότητας, η οποία προκύπτει από τη λήψη της καμπύλης των εξισώσεων Ναβιέρ-Στόκες.

Για ένα δισδιάστατο πεδίο, η στροβιλότητα λειτουργεί ως μέτρο της τοπικής περιστροφής των στοιχείων του ρευστού. Η στροβιλότητα δεν υποδηλώνει τίποτα για την καθολική συμπεριφορά ενός ρευστού. Είναι δυνατόν ένα ρευστό που κινείται σε ευθεία γραμμή να έχει στροβιλότητα, και είναι δυνατόν ένα ρευστό που κινείται σε κύκλο να μην έχει στροβιλότητα

Συντηρητικές δυνάμεις 

Αν το διανυσματικό πεδίο που συνδέεται με μια δύναμη  είναι συντηρητικό, τότε η δύναμη λέγεται συντηρητική δύναμη.

Τα πιο γνωστά παραδείγματα συντηρητικών δυνάμεων είναι η βαρυτική δύναμη (που συνδέεται με ένα βαρυτικό πεδίο) και η ηλεκτρική δύναμη (που συνδέεται με ένα ηλεκτροστατικό πεδίο). Σύμφωνα με το νόμο της έλξης του Νεύτωνα, μια ελκτική δύναμη  που ασκείται σε μια μάζα  λόγω μιας μάζας  που βρίσκεται σε απόσταση

  από το , υπάγεται στην εξίσωση

όπου  είναι η Σταθερά της βαρύτητας και  είναι ένα “'μοναδιαίο”' διάνυσμα που δείχνει από το  προς το . Η δύναμη της βαρύτητας είναι συντηρητική επειδή , όπου

είναι η βαρυτική δυναμική ενέργεια. Με άλλα λόγια, το πεδίο βαρύτητας  που σχετίζεται με τη βαρυτική δύναμη  είναι η κλίση του δυναμικού βαρύτητας  που σχετίζεται με τη βαρυτική δυναμική ενέργεια . Μπορεί να αποδειχθεί ότι οποιοδήποτε διανυσματικό πεδίο της μορφής  είναι συντηρητικό, υπό την προϋπόθεση ότι  είναι ολοκληρώσιμο.

Για τις συντηρητικές δυνάμεις, η “'ανεξαρτησία της διαδρομής”' μπορεί να ερμηνευθεί ότι το έργο που επιτελείται πηγαίνοντας από ένα σημείο  σε ένα σημείο  είναι ανεξάρτητο από την επιλεγμένη διαδρομή κίνησης (εξαρτάται μόνο από τα σημεία  και ) και ότι το έργο  που επιτελείται πηγαίνοντας γύρω από έναν απλό κλειστό βρόχο  είναι :

Η συνολική ενέργεια ενός σωματιδίου που κινείται υπό την επίδραση συντηρητικών δυνάμεων διατηρείται, με την έννοια ότι μια απώλεια δυναμικής ενέργειας μετατρέπεται σε ίση ποσότητα κινητικής ενέργειας ή αντίστροφα.

 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Διδιάστατος χώρος
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Υπερβολική γεωμετρία
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Καμπυλότητα Γκάους
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Διάσταση Κρουλ
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 









 . Review: Séquin, Carlo H. (2009), Journal of Mathematics and the Arts'' 3: 229–230, 

Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Κατηγορία:Θεωρήματα στην ανάλυση
Κατηγορία:Μαθηματική ανάλυση
Κατηγορία:Επιφάνειες
Κατηγορία:Διαφορική τοπολογία
Κατηγορία:Διανύσματα
Κατηγορία:Διανυσματικός λογισμός
Κατηγορία:Μαθηματικές συναρτήσεις