Πίνακας Χάσε-Βιτ

Στα μαθηματικά, ο πίνακας Χάσε-Βιτ H μιας μη-ιδιάζουσας αλγεβρικής καμπύλης C  πάνω από ένα πεπερασμένο σώμα F είναι ο πίνακας της απεικόνισης Φρομπένιους (απεικόνιση της p-th δύναμης όπου το F έχει q στοιχεία, q μια δύναμη του πρώτου αριθμού p) ως προς μια βάση για τη διαφορική του πρώτου είδους. Είναι ένας πίνακας g × g όπου το C έχει γένος g. Ο βαθμός του πίνακα Χάσε-Βιτ είναι το αναλλοίωτο Χάσε ή Χάσε-Βιτ (Hasse–Witt).

Προσέγγιση του ορισμού

Αυτός ο ορισμός, όπως δίνεται στην εισαγωγή, είναι φυσικός με κλασικούς όρους και οφείλεται στους Χέλμουτ Χάσε και Ερνστ Βιτ (1936). Παρέχει μια λύση στο ερώτημα της p-τάξης της Ιακωβιανής ποικιλίας J  της C . Η  p-τάξη περιορίζεται από τον βαθμό του H συγκεκριμέναείναι ο βαθμός  της απεικόνισης Φρομπένιους που συντίθεται με τον εαυτό της g φορές. Είναι επίσης ένας ορισμός που είναι κατ' αρχήν αλγοριθμικός. Το ζήτημα αυτό προσέλκυσε πρόσφατα σημαντικό ενδιαφέρον ως πρακτική εφαρμογή στην κρυπτογραφία, στην περίπτωση της C  μιας υπερελιπτικής καμπύλης. Η καμπύλη C είναι υπερειδικής αν H = 0.

Αυτός ο ορισμός απαιτεί τουλάχιστον μερικές επιφυλάξεις. Πρώτον, υπάρχει μια σύμβαση σχετικά με τις απεικονίσεις Φρομπένιους, και σύμφωνα με τη σύγχρονη αντίληψη αυτό που απαιτείται για το H είναι η μεταφορά του Φρομπένιους (βλέπε αριθμητικό και γεωμετρικό Φρομπένιους για περισσότερη ανάλυση). Δεύτερον, η απεικόνιση Φρομπένιους δεν είναι F-γραμμική- είναι γραμμική πάνω στο πρώτο σώμα  Z/pZ  στο F.  Επομένως, ο πίνακας μπορεί να γραφτεί, αλλά δεν αντιπροσωπεύει μια γραμμική απεικόνιση με την απλή έννοια.

Συνομολογία
Η ερμηνεία για τη συνομολογία των τμημάτων είναι η εξής: η απής: η απεικόνιση p-δύναμης ενεργεί στο

H1(C,OC),

ή με άλλα λόγια η πρώτη συνομολογία του C με συντελεστές στη δομή του. Αυτό ονομάζεται τώρα τελεστής Καρτιέ - Μανίν  (μερικές φορές απλά τελεστής Καρτιέ), από τους Πιερ Καρτιέ και Γιούρι Μανίν. Η σύνδεση με τον ορισμό Χάσε-Βιτ γίνεται μέσω της δυαδικότητας Σερ, η οποία για μια καμπύλη συσχετίζει την ομάδα αυτή με την ομάδα

H0(C, ΩC)

όπου ΩC = Ω1C είναι η δέσμη των διαφορικών Κέλερ στο C.

Αβελιανές ποικιλίες και ο p-βαθμός τους

Το p-rank μιας αβελιανής ποικιλίας A σε ένα σώμα K χαρακτηριστικής p είναι ο ακέραιοςk για τον οποίο ο πυρήνας A[p] του πολλαπλασιασμού με  p έχει pk σημεία. Μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή από το 0 έως το  d, διάσταση του A; Αντίθετα, για οποιονδήποτε άλλο πρώτο αριθμό l υπάρχουν l2d σημεία στο A[l].  Ο λόγος για τον οποίο η τάξη p-rank είναι ότι ο πολλαπλασιασμός με p στο A είναι μια αδιαχώριστη ισογένεια: το διαφορικό είναι p που είναι 0 στο K. Εξετάζοντας τον πυρήνα ως ομαδικό σχήμα μπορεί κανείς να πάρει την πληρέστερη δομή (αναφορά Ντέιβιντ Μάμφορντ Αβελιανές ποικιλίες σελ. 146–7); αλλά αν για παράδειγμα εξετάσει κανείς την αναγωγή mod p μιας εξίσωσης διαίρεσης, ο αριθμός των λύσεων πρέπει να μειωθεί.

Ο βαθμός του τελεστή Καρτιέ - Μανίν, ή του πίνακα Χάσε-Βιτ, δίνει επομένως ένα ανώτερο όριο για τον  p-βαθμό. Ο p-βαθμός είναι ο βαθμός του τελεστή Φρομπένιους που συντίθεται με τον εαυτό του g φορές. Στην αρχική εργασία των Χάσε και Βιτ το πρόβλημα διατυπώνεται με όρους εγγενείς στο “'C”', χωρίς να βασίζεται στο J. Εκεί πρόκειται για την ταξινόμηση των πιθανών επεκτάσεων Αρτίν-Σράιερ του συναρτησιακού σώματος F(C) (το ανάλογο σε αυτή την περίπτωση της θεωρίας Κούμερ).

Περίπτωση του γένους 1

Η περίπτωση των ελλειπτικών καμπυλών εκπονήθηκε από τον Χάσε το 1934.  Εφόσον το γένος είναι 1, οι μόνες δυνατότητες για τον πίνακα H είναι:  Ο H είναι μηδέν, αναλλοίωτος Χάσε 0, p-βαθμός 0, η “'υπερσυνεχής”' περίπτωση- ή H μη μηδέν, αναλλοίωτος Χάσε 1, p-βαθμός 1, η “'συνηθισμένη”' περίπτωση.  Εδώ υπάρχει ένας τύπος συγγραμμικότητας που λέει ότι η H είναι συγγραμμική modulo “'p”' με τον αριθμό “'N”' των σημείων στο C πάνω στο F τουλάχιστον όταν q = p.  Λόγω του θεωρήματος του Χάσε για τις ελλειπτικές καμπύλες, η γνώση του N modulo p καθορίζει το N για p ≥ 5. Αυτή η σύνδεση με τις τοπικές ζ-συναρτήσεις έχει διερευνηθεί σε βάθος.

Για μια επίπεδη καμπύλη που ορίζεται από ένα κυβικό f(X,Y,Z) = 0, το αναλλοίωτο Χάσε είναι μηδενικό εάν και μόνο εάν ο συντελεστής του (XYZ)p−1 στο fp−1  είναι μηδενικός.|

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Καμπυλότητα Γκάους
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Σώμα διασπάσεως
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νοεροί υπολογισμοί

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές

 (English translation of a Russian original)








 Πηγές 





 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα