Υπερβατική επέκταση

Στα μαθηματικά, μια  υπερβατική επέκταση   είναι μια επέκταση σώματος τέτοια ώστε να υπάρχει ένα στοιχείο στο σώμα  που είναι υπερβατικό πάνω στο σώμα , δηλαδή ένα στοιχείο που δεν είναι ρίζα οποιουδήποτε μονοσήμαντου πολυωνύμου με συντελεστές στο . Με άλλα λόγια, μια υπερβατική επέκταση είναι μια επέκταση σώματος που δεν είναι αλγεβρική. Παραδείγματος χάριν, το  και το  είναι και τα δύο υπερβατικές επεκτάσεις του 

Μια υπερβατική βάση μιας επέκτασης σώματος  (ή μια υπερβατική βάση του  πάνω από το ) είναι ένα μέγιστο αλγεβρικά ανεξάρτητο υποσύνολο του  πάνω από το  Οι υπερβατικές βάσεις μοιράζονται πολλές ιδιότητες με τις βάσεις των διανυσματικών χώρων. Συγκεκριμένα, όλες οι βάσεις υπερβατικότητας μιας επέκτασης σώματος έχουν την ίδια πληθικότητα, που ονομάζεται βαθμός υπερβατικότητας της επέκτασης. Έτσι, μια επέκταση σώματος είναι μια υπερβατική επέκταση αν και μόνο αν ο βαθμός υπερβατικότητάς της είναι διάφορος του μηδενός.

Οι υπερβατικές επεκτάσεις χρησιμοποιούνται ευρέως στην αλγεβρική γεωμετρία. Επί παραδείγματι, η διάσταση μιας αλγεβρικής ποικιλίας είναι ο βαθμός υπερβατικότητας του συναρτησιακού της σώματος. Επίσης, τα ολικά σώματα συναρτήσεων είναι υπερβατικές επεκτάσεις πρώτου βαθμού ενός πεπερασμένου σώματος και παίζουν στη θεωρία αριθμών σε θετική χαρακτηριστική ένα ρόλο που μοιάζει πολύ με το ρόλο των αλγεβρικών σωμάτων αριθμών σε χαρακτηριστική μηδέν.

 Υπέρβατική Βάση

Το λήμμα του Ζορν δείχνει ότι υπάρχει ένα μέγιστο γραμμικά ανεξάρτητο υποσύνολο ενός διανυσματικού χώρου (δηλ. μια βάση). Ένα παρόμοιο επιχείρημα με το λήμμα του Ζορν δείχνει ότι, δεδομένης μιας επέκτασης σώματος L / K υπάρχει ένα μέγιστο αλγεβρικά ανεξάρτητο υποσύνολο του L πάνω από το K. Ονομάζεται τότε υπέρβατική Βάση. Από τη μεγιστοποίηση, ένα αλγεβρικά ανεξάρτητο υποσύνολο S του L  πάνω από το K είναι μια βάση υπερβατικότητας αν και μόνο αν το L είναι μια αλγεβρική επέκταση του K(S) του σώματος που προκύπτει από την πρόσθεση των στοιχείων του S  στο K.

Το λήμμα ανταλλαγής (μια εκδοχή για αλγεβρικά ανεξάρτητα σύνολα) συνεπάγεται ότι αν S και S' είναι βάσεις υπερβατικότητας, τότε S  και S' έχουν την ίδια πληθικότητα. Τότε η κοινή πληθικότητα  των βάσεων υπερβατικότητας ονομάζεται βαθμός υπερβατικότητας του L  πάνω στο K και συμβολίζεται ως  ή . Υπάρχει λοιπόν μια αναλογία: μια βάση και ένας βαθμός υπερβατικότητας, από τη μια πλευρά, και μια βάση και μια διάσταση από την άλλη. Αυτή η αναλογία μπορεί να γίνει πιο επίσημη, παρατηρώντας ότι η γραμμική ανεξαρτησία στους διανυσματικούς χώρους και η αλγεβρική ανεξαρτησία στις επεκτάσεις σωμάτων αποτελούν και οι δύο παραδείγματα πεπερασμένων μητροειδών (προγεωμετριών). Κάθε πεπερασμένο μητροειδές έχει μια βάση, και όλες οι βάσεις έχουν την ίδια πληθικότητα..

Εάν το G είναι ένα παράγον σύνολο του L  (δηλαδή, L = K(G)), τότε μια βάση υπερβατικότητας για το L μπορεί να θεωρηθεί ως υποσύνολο του G. Έτσι,  η ελάχιστη πληθικότητα των 	παραγόντων συνόλων του L πάνω στο K. Ειδικότερα, μια πεπερασμένα παραγόμενη επέκταση σώματος δέχεται μια πεπερασμένη βάση υπερβατικότητας.

Αν δεν ορίζεται σώμα K  ο βαθμός υπερβατικότητας ενός σώματος L είναι ο βαθμός του σε σχέση με κάποιο σταθερό σώμα βάσης- παραδείγματος χάριν, το πρώτο σώμα της ίδιας χαρακτηριστικής, ή το K , αν το L είναι ένα αλγεβρικό σώμα συναρτήσεων πάνω στο K.

Η επέκταση σώματος L / K είναι καθαρά υπερβατική αν υπάρχει ένα υποσύνολο S του  L που είναι αλγεβρικά ανεξάρτητο πάνω στο  K και τέτοιο ώστε L = K(S).

Μια διαχωριστική βάση υπερβατικότητας του L / K είναι μια βάση υπερβατικότητας S τέτοια ώστε το L να είναι μια διαχωρίσιμη αλγεβρική επέκταση πάνω στο K(S).. Μια επέκταση σώματος L / K λέγεται ότι είναι διαχωρίσιμα παραγόμενη αν δέχεται μια διαχωριστική βάση υπερβατικότητας. Αν μια επέκταση σώματος παράγεται πεπερασμένα και είναι επίσης διαχωρίσιμα παραγόμενη, τότε κάθε σύνολο 	παραγόντων της επέκτασης σώματος περιέχει μια διαχωρίσιμη βάση υπερβατικότητας. Πάνω σε ένα τέλειο σώμα, κάθε πεπερασμένα παραγόμενη επέκταση σώματος είναι διαχωρίσιμα παραγόμενη, δηλαδή, δέχεται μια πεπερασμένη διαχωρίζουσα βάση υπερβατικότητας..

 Παραδείγματα

Μια επέκταση είναι αλγεβρική αν και μόνο αν ο βαθμός υπερβατικότητάς της είναι 0- το κενό σύνολο χρησιμεύει ως βάση υπερβατικότητας εδώ.
Το σώμα των ρητών συναρτήσεων σε n μεταβλητές K(x1,...,xn) (δηλαδή το σώμα των κλασμάτων του πολυωνυμικού δακτυλίου K[x1,...,xn]) είναι μια καθαρά υπερβατική επέκταση με βαθμό υπερβατικότητας n πάνω από το K; μπορούμε λόγου χάριν να πάρουμε {x1,...,xn}ως βάση υπερβατικότητας.
Γενικότερα, ο βαθμός υπερβατικότητας του συναρτησιακού σώματος L of μιας n-διάστατης αλγεβρικής ποικιλίας πάνω σε ένα βασικό σώμα  K είναι n.
Q(√2, e) έχει βαθμό υπερβατικότητας 1 άνω από το Q επειδή το √2 είναι αλγεβρικό ενώ το e είναι υπερβατικό.
Ο βαθμός υπερβατικότητας του C  ή του R επί του Q είναι η πληθικότητα του συνεχούς. (Εφόσον το Q είναι μετρήσιμο, το σώμα  Q(S) θα έχει την ίδια πληθικότητα με το S για κάθε άπειρο σύνολο S, και κάθε αλγεβρική επέκταση του Q(S) θα έχει πάλι την ίδια πληθικότητα)
Ο βαθμός υπερβατικότητας του Q(e,  π) πάνω από το  Q είναι είτε 1 είτε 2; Η ακριβής απάντηση είναι άγνωστη επειδή δεν είναι γνωστό αν τα r e και π είναι αλγεβρικά ανεξάρτητα (βλ. την εικασία του Σάνουελ)..
Αν το S είναι μια συμπαγής επιφάνεια Ρίμαν, το σώμα  C(S) των μερομορφικών συναρτήσεων στο S έχει βαθμό υπερβατικότητας 1 πάνω στο  C.

 Γεγονότα 

Αν τα M / L και L / K  είναι επεκτάσεις σωμάτων, τότε

trdeg(M / K) = trdeg(M / L) + trdeg(L / K)

Αυτό αποδεικνύεται δείχνοντας ότι μια βάση υπερβατικότητας του M / K μπορεί να προκύψει παίρνοντας την ένωση μιας βάσης υπερβατικότητας του M / L  και μιας βάσης του L / K.

Αν το σύνολο S  είναι αλγεβρικά ανεξάρτητο πάνω στο K, τότε το σώμα K(S) είναι ισόμορφο με το σώμα των ρητών συναρτήσεων πάνω στο K σε ένα σύνολο μεταβλητών της ίδιας πληθικότητας με το S. Κάθε τέτοια ρητή συνάρτηση είναι κλάσμα δύο πολυωνύμων σε πεπερασμένα πολλά από αυτά τα μεταβλητά, με συντελεστές στο K.

Δύο αλγεβρικά κλειστά σώματα είναι ισόμορφα αν και μόνο αν έχουν την ίδια χαρακτηριστική και τον ίδιο βαθμό υπερβατικότητας πάνω στο πρώτο τους σώμα.

 Ο βαθμός υπερβατικότητας μιας ακέραιας περιοχής 

Έστω  ακέραιες περιοχές. Αν  και  συμβολίζουν τα σώματα κλασμάτων των   και , τότε ο βαθμός υπερβατικότητας του  πάνω από το  ορίζεται ως ο βαθμός υπερβατικότητας της επέκτασης του σώματος 

Το λήμμα κανονικοποίησης της Nέτερ συνεπάγεται ότι αν το  είναι μια ακέραια περιοχή που είναι μια πεπερασμένα παραγόμενη άλγεβρα πάνω σε ένα σώμα , τότε η διάσταση Κρουλ του   είναι ο βαθμός υπερβατικότητας του  πάνω στο .

Αυτό έχει την ακόλουθη γεωμετρική ερμηνεία: αν η   είναι μια αφινική αλγεβρική ποικιλία πάνω από ένα σώμα , η διάσταση Κρουλ του δακτυλίου συντεταγμένων της ισούται με τον βαθμό υπερβατικότητας του σώματος συναρτήσεων της, και αυτό ορίζει τη διάσταση της .  Προκύπτει ότι, αν η   δεν είναι μια αφινική ποικιλία, η διάσταση της (που ορίζεται ως ο βαθμός υπερβατικότητας του σώματος συναρτήσεων της) μπορεί επίσης να οριστεί τοπικά ως η διάσταση Κρουλ του δακτυλίου συντεταγμένων του περιορισμού της ποικιλίας σε ένα ανοικτό αφινικό υποσύνολο.

 Σχέσεις με τα διαφορικά 

Έστω  μια πεπερασμένης παραγωγής επέκταση σώματος. Τότε 

όπου  συμβολίζει την ενότητα των διαφορικών Κέιλερ. Επίσης, στα παραπάνω, η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν το K είναι διαχωρίσιμα παραγόμενο πάνω στο K (δηλαδή αν δέχεται διαχωριστική βάση υπερβατικότητας).

 Εφαρμογές 

Οι βάσεις υπέρβασης είναι χρήσιμες για την απόδειξη διαφόρων δηλώσεων ύπαρξης για ομομορφισμούς σωμάτων. Εδώ είναι ένα παράδειγμα: Δεδομένου ενός αλγεβρικά κλειστού σώματος L, ενός υποσώματος K και ενός αυτομορφισμού σώματος f του K, υπάρχει ένας αυτομορφισμός σώματος του L που επεκτείνει τον f (δηλαδή του οποίου ο περιορισμός στο K είναι ο f). Για την απόδειξη, ξεκινάμε με μια βάση υπερβατικότητας S του L / K. Τα στοιχεία του K(S) είναι απλά πηλίκα πολυωνύμων σε στοιχεία του  S  με συντελεστές στο K επομένως ο αυτομορφισμός f μπορεί να επεκταθεί σε έναν του K(S) στέλνοντας κάθε στοιχείο του S στον εαυτό του. Το σώμα L είναι η αλγεβρική κλειστότητα του K(S) και οι αλγεβρικές κλειστότητες είναι μοναδικές μέχρι ισομορφισμού- αυτό σημαίνει ότι ο αυτομορφισμός μπορεί να επεκταθεί περαιτέρω από το K(S) to L.

Ως άλλη εφαρμογή, δείχνουμε ότι υπάρχουν (πολλά) κατάλληλα υποσώματα του μιγαδικού αριθμητικού σώματος C  που είναι (ως σώματα) ισόμορφα με το C . Για την απόδειξη, ας πάρουμε μια βάση υπερβατικότητας S του C / Q. Το S είναι ένα άπειρο (ακόμη και μη μετρήσιμο) σύνολο, οπότε υπάρχουν ( πολλές) απεικονίσεις f: S → S οι οποίες είναι ερριπτικές αλλά όχι επιρριπτικές. Κάθε τέτοια απεικόνιση μπορεί να επεκταθεί σε έναν ομομορφισμό σώματος Q(S) → Q(S)  ο οποίος δεν είναι επιρριπτικός. Ένας τέτοιος ομομορφισμός σώματος μπορεί με τη σειρά του να επεκταθεί στην αλγεβρική κλειστότητα C,, και οι προκύπτοντες ομομορφισμοί σώματος C → C  δεν είναι επιρριπτικοί.

Ο βαθμός υπερβατικότητας μπορεί να δώσει μια διαισθητική κατανόηση του μεγέθους ενός σώματος. Παραδείγματος χάριν, ένα θεώρημα που οφείλεται στον Ζίγκελ δηλώνει ότι αν X είναι μια συμπαγής, συνδεδεμένη, σύνθετη πολλαπλότητα διάστασης n και K(X) δηλώνει το σώμα των (σφαιρικά καθορισμένων) μερομορφικών συναρτήσεων σε αυτό, τότε trdegC(K(X)) ≤ n.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Καμπυλότητα Γκάους
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Σώμα διασπάσεως
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νοεροί υπολογισμοί

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές

 Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157

§ 6.3. of 
 (English translation of a Russian original)








 Πηγές 





 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα