Ολικό σώμα

Στα μαθηματικά ένα ολικό σώμα είναι ένα από τα δύο είδη σωμάτων (το άλλο είναι τα τοπικά σώματα) που χαρακτηρίζονται με τη χρήση αποτιμήσεων. Υπάρχουν δύο είδη ολικών σωμάτων:

Αλγεβρικό σώμα αριθμών: Μια πεπερασμένη επέκταση του 
Ολικό σώμα συναρτήσεων: Το σώμα συναρτήσεων μιας μη αναγώγιμης αλγεβρικής καμπύλης πάνω σε ένα πεπερασμένο σώμα, ισοδύναμα, μια πεπερασμένη επέκταση του , του σώματος των ρητών συναρτήσεων μιας μεταβλητής πάνω στο πεπερασμένο σώμα με  στοιχεία.

Ένας αξιωματικός χαρακτηρισμός αυτών των σωμάτων μέσω της θεωρίας αποτίμησης δόθηκε από τους Εμίλ Άρτιν και Τζορτζ Γουάπλς τη δεκαετία του 1940.

Τυπικοί ορισμοί

Ένα ολικό σώμα θεωρείται ένα από τα ακόλουθα:
Ένα αλγεβρικό αριθμητικό σώμα
Ένα αλγεβρικό σώμα αριθμών F είναι μια πεπερασμένη (και επομένως αλγεβρική) επέκταση του σώματος των ρητών αριθμών Q.  Έτσι το F είναι ένα σώμα που περιέχει το Q και έχει πεπερασμένη διάσταση όταν θεωρείται ως διανυσματικός χώρος πάνω στο Q.

Το σώμα συναρτήσεων μιας μη αναγώγιμης αλγεβρικής καμπύλης πάνω σε ένα πεπερασμένο σώμα
Το σώμα συναρτήσεων μιας αλγεβρικής ποικιλίας είναι το σύνολο όλων των ρητών συναρτήσεων πάνω στην ποικιλία αυτή. Σε μια μη αναγώγιμη αλγεβρική καμπύλη (δηλαδή μια μονοδιάστατη ποικιλία V) πάνω από ένα πεπερασμένο σώμα, λέμε ότι μια ρητή συνάρτηση σε ένα ανοικτό αφινικό υποσύνολο U ορίζεται ως ο λόγος δύο πολυωνύμων στον αφινικό δακτύλιο συντεταγμένων του U, και ότι μια ρητή συνάρτηση σε όλο το V αποτελείται από τέτοια τοπικά δεδομένα που συμφωνούν στις τομές των ανοικτών αφινικών. Αυτό τεχνικά ορίζει ότι οι ρητές συναρτήσεις στο V είναι το σώμα των κλασμάτων του δακτυλίου των αφινικών συντεταγμένων οποιουδήποτε ανοικτού αφινικού υποσυνόλου, αφού όλα αυτά τα υποσύνολα είναι πυκνά.

Αναλογίες μεταξύ των δύο κατηγοριών σωμάτων

Υπάρχουν ορισμένες τυπικές ομοιότητες μεταξύ των δύο ειδών σωμάτων.  Ένα σώμα οποιουδήποτε τύπου έχει την ιδιότητα ότι όλες οι συμπληρώσεις του είναι τοπικά συμπαγή σώματα (βλέπε τοπικά σώματα).  Κάθε σώμα οποιουδήποτε τύπου μπορεί να υλοποιηθεί ως το σώμα των κλασμάτων ενός σώματος Ντέντεκιντ στο οποίο κάθε μη μηδενικό ιδεώδες έχει πεπερασμένο δείκτη.  Σε κάθε περίπτωση, έχουμε τον τύπο του γινομένου για μη μηδενικά στοιχεία x:

όπου το v μεταβάλλεται σε όλες τις αποτιμήσεις του σώματος.

Η αναλογία μεταξύ των δύο ειδών σωμάτων αποτέλεσε ισχυρό κίνητρο για την αλγεβρική θεωρία αριθμών. Η ιδέα της αναλογίας μεταξύ αριθμητικών σωμάτων και επιφανειών Ρίμαν χρονολογείται από τον Ρίσαρντ Ντέντεκιντ και τον Χάινριχ Μ. Βέμπερ τον δέκατο ένατο αιώνα. Η πιο αυστηρή αναλογία που εκφράζεται από την ιδέα του «ολικού σώματος», στην οποία η όψη μιας επιφάνειας Ρίμαν ως αλγεβρική καμπύλη αντιστοιχίζεται σε καμπύλες που ορίζονται πάνω σε ένα πεπερασμένο σώμα, οικοδομήθηκε κατά τη διάρκεια της δεκαετίας του 1930, με αποκορύφωμα την υπόθεση Ρίμαν για καμπύλες πάνω σε πεπερασμένα σώματα που διευθετήθηκε από τον Αντρέ Βέιλ το 1940. Η ορολογία μπορεί να οφείλεται στον Βειλ, ο οποίος έγραψε τη Βασική Θεωρία Αριθμών (1967) εν μέρει για να επεξεργαστεί τον παραλληλισμό.

Συνήθως είναι ευκολότερο να εργαστεί κανείς στην περίπτωση του σώματος συναρτήσεων και στη συνέχεια να προσπαθήσει να αναπτύξει παράλληλες τεχνικές στην πλευρά του σώματος αριθμών.  Η ανάπτυξη της θεωρίας Αρακέλοφ και η αξιοποίησή της από τον Γκερντ Φάλτινγκς στην απόδειξη της εικασίας του Μόρντελ είναι ένα θεαματικό παράδειγμα.  Η αναλογία άσκησε επίσης επιρροή στην ανάπτυξη της θεωρίας Ιγουασάβα και της Εικασίας Μέιν. Η απόδειξη του θεμελιώδους λήμματος στο πρόγραμμα Λάνγκλαντς έκανε επίσης χρήση τεχνικών που αναγάγουν την περίπτωση του αριθμητικού σώματος στην περίπτωση του συναρτησιακού σώματος.

Θεωρήματα

Θεώρημα Χάσε-Μινκόφσκι

Το θεώρημα Χάσε-Μινκόφσκι είναι ένα θεμελιώδες αποτέλεσμα στη θεωρία αριθμών που δηλώνει ότι δύο τετραγωνικές μορφές πάνω σε ένα ολικό σώμα είναι ισοδύναμες αν και μόνο αν είναι ισοδύναμες τοπικά σε όλα τα σημεία, δηλαδή ισοδύναμες σε κάθε ολοκλήρωση του σώματος. 

Νόμος αμοιβαιότητας Αρτίν

Ο νόμος της αμοιβαιότητας του Αρτίν συνεπάγεται μια περιγραφή της αβελιανοποίησης της απόλυτης ομάδας Γκαλουά ενός ολικού σώματος Κ που βασίζεται στην αρχή τοπικού-ολικου Χάσε. Μπορεί να περιγραφεί με όρους συνομολογίας ως εξής:

Έστω Lv/Kv μια επέκταση Γκαλουά τοπικών σωμάτων με ομάδα Γκαλουά G. Ο νόμος της τοπικής αμοιβαιότητας περιγράφει έναν κανονικό ισομορφισμό



ονομάζεται τοπικό σύμβολο Αρτίν, τοπικός χάρτης αμοιβαιότητας ή σύμβολο υπολειμμάτων νόρμας..

Εστω L/K μια επέκταση Γκαλουά ολικών σωμάτων και CL η ομάδα κλάσης idèle. 
of L. Oι απεικονίσεις θv για διαφορετικές θέσεις v του K μπορούν να συγκεντρωθούν σε μια συνολική απεικόνιση συμβόλων πολλαπλασιάζοντας τις τοπικές συνιστώσες μιας κλάσης idèle. Μία από τις δηλώσεις του νόμου αμοιβαιότητας Αρτίν είναι ότι αυτό οδηγεί σε έναν κανονικό ισομορφισμό.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Υπερβολική γεωμετρία
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Καμπυλότητα Γκάους
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Σώμα διασπάσεως
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 



 J.W.S. Cassels, "Global fields", in J.W.S. Cassels and A. Frohlich| (eds), Algebraic number theory, :en:Academic Press, 1973.  Chap.II, pp. 45–84.
 J.W.S. Cassels, "Local fields", Cambridge University Press, 1986, ISBN 0-521-31525-5.  P.56.
 Neukirch, Jürgen (1999). Algebraic Number Theory. Vol. 322. Translated by Schappacher, Norbert. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.


 ISBN 978-1-4757-5673-9

.   English translation (of 2nd revised edition):  (Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)

 Πηγές 




 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα