Σώμα συναρτήσεων μιας αλγεβρικής ποικιλίας

Στην αλγεβρική γεωμετρία, το σώμα συναρτήσεων μιας αλγεβρικής ποικιλίας V αποτελείται από αντικείμενα που ερμηνεύονται ως ρητές συναρτήσεις επί του V. Στην κλασική αλγεβρική γεωμετρία είναι λόγοι πολυωνύμων- στη μιγαδική γεωμετρία είναι οι μερομορφικές συναρτήσεις και τα υψηλότερης διάστασης ανάλογα τους- στη σύγχρονη αλγεβρική γεωμετρία είναι στοιχεία του σώματος κλασμάτων κάποιου πηλίκου δακτυλίου.

Ορισμός για μιγαδικές πολλαπλότητες

Στη μιγαδική γεωμετρία τα αντικείμενα μελέτης είναι οι μιγαδικές αναλυτικές ποικιλίες, στις οποίες έχουμε μια τοπική έννοια της μιγαδικής ανάλυσης, μέσω της οποίας μπορούμε να ορίσουμε μερομορφικές συναρτήσεις.  Το σώμα συναρτήσεων μιας ποικιλίας είναι τότε το σύνολο όλων των μερομορφικών συναρτήσεων πάνω στην ποικιλία. (Όπως όλες οι μερομορφικές συναρτήσεις, αυτές παίρνουν τις τιμές τους στο ). Μαζί με τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού των συναρτήσεων, πρόκειται για ένα σώμα με την έννοια της άλγεβρας.

Για τη σφαίρα του Ρίμαν, που είναι η ποικιλία  πάνω στους μιγαδικούς αριθμούς, οι ολικές μερομορφικές συναρτήσεις είναι ακριβώς οι ρητές συναρτήσεις (δηλαδή οι λόγοι των μιγαδικών πολυωνυμικών συναρτήσεων).

 Γενίκευση σε αυθαίρετο σχήμα 
Στο πιο γενικό πλαίσιο, αυτό της σύγχρονης θεωρίας σχημάτων, η τελευταία από τις παραπάνω απόψεις λαμβάνεται ως αφετηρία.  Δηλαδή, αν το  είναι ένα ολοκληρωτικό σχήμα, τότε για κάθε ανοικτό αφινικό υποσύνολο  του  ο δακτύλιος των τμημάτων  στο  είναι μια ακέραια περιοχή και, επομένως, έχει ένα σώμα κλασμάτων.  Επιπλέον, μπορεί να επαληθευτεί ότι αυτά είναι όλα τα ίδια και είναι όλα ίσα με το στέλεχος του γενικού σημείου του .  Έτσι, το σώμα συναρτήσεων του  είναι ακριβώς ο μίσχος του γενικού του σημείου.Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157, section II.3 First Properties of Schemes exercise 3.6

Γεωμετρία του σώματος συναρτήσεων

Αν V είναι μια ποικιλία που ορίζεται πάνω σε ένα σώμα K, τότε το συναρτησιακό σώμα K(V) είναι πεπερασμένη επέκταση του βασικού σώματος K- ο βαθμός υπερβατότητάς του είναι ίσος με τη διάσταση της ποικιλίας. Όλες οι επεκτάσεις του K που παράγονται πεπερασμένα ως σώματα πάνω στο K προκύπτουν με αυτόν τον τρόπο από κάποια αλγεβρική ποικιλία. Αυτές οι επεκτάσεις σωμάτων είναι επίσης γνωστές ως αλγεβρικά σώματα συναρτήσεων πάνω από το K.

Ιδιότητες της ποικιλίας V που εξαρτώνται μόνο από το σώμα συναρτήσεων μελετώνται στη δίρρητη ή αμφίρρητη γεωμετρία.

Παραδείγματα

Το σώμα συναρτήσεων ενός σημείου πάνω από το K  είναι το K .

Το σώμα συναρτήσεων της αφινικής γραμμής πάνω από το K  είναι ισόμορφο με το σώμα  K(t) των ρητών συναρτήσεων σε μία μεταβλητή. Αυτό είναι επίσης το σώμα συναρτήσεων της προβολικής γραμμής.

Ας θεωρήσουμε την αλγεβρική επίπεδη καμπύλη που ορίζεται από την εξίσωση .  Το σώμα συναρτήσεων της είναι το σώμα K(x,y), το οποίο παράγεται από στοιχεία x καιy που είναι υπερβατικά πάνω στο K και ικανοποιούν την αλγεβρική σχέση  .

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Καμπυλότητα Γκάους
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Σώμα διασπάσεως
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νοεροί υπολογισμοί

 Βιβλιογραφία











Παραπομπές



 Max Koecher & Reinhold Remmert (1990) "Composition Algebras. Hurwitz's Theorem — Vector-Product Algebras", chapter 10 of Numbers by Heinz-Dieter Ebbinghau et al., Springer, 

 (English translation of a Russian original)








 Πηγές 





 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα