Χαρακτηριστική (Άλγεβρα)

Στα μαθηματικά, η χαρακτηριστική ενός δακτυλίου , συχνά συμβολίζεται με , ορίζεται ως ο μικρότερος θετικός αριθμός αντιγράφων του πολλαπλασιαστικού αριθμού του δακτυλίου ταυτότητας () του δακτυλίου που αθροίζει στην προσθετική ταυτότητα (). Αν δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός, ο δακτύλιος λέγεται ότι έχει χαρακτηριστική μηδέν. 

Δηλαδή,
 είναι ο μικρότερος θετικός αριθμός  τέτοιος ώστε: 


αν υπάρχει τέτοιος αριθμός , και  διαφορετικά.

 Κίνητρα 

Ο ειδικός ορισμός της χαρακτηριστικης μηδεν αιτιολογείται από τους ισοδύναμους ορισμούς που χαρακτηρίζονται στην επόμενη ενότητα, όπου η χαρακτηριστική μηδέν δεν απαιτείται να εξετάζεται ξεχωριστά.

Η χαρακτηριστική μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως ο εκθέτης της προσθετικής ομάδας του δακτυλίου, δηλαδή ο μικρότερος θετικός ακέραιος  τέτοιος ώστε:



για κάθε στοιχείο  του δακτυλίου (και πάλι, αν υπάρχει , αλλιώς μηδέν). Αυτός ο ορισμός ισχύει στη γενικότερη κατηγορία των δακτυλίων (βλέπε Δακτύλιος (άλγεβρα)#Κατηγορίες Δακτυλίων)- για (μονοσήμαντους) δακτυλίους οι δύο ορισμοί είναι ισοδύναμοι λόγω της επιμεριστικής ιδιότητας του νόμου.

Ισοδύναμες χαρακτηριστικές ιδιότητες

Η χαρακτηριστική ενός δακτυλίου  είναι ο φυσικός αριθμός , έτσι ώστε  να είναι ο πυρήνας του μοναδικού ομομορφισμού δακτυλίου από  σε .
 Η χαρακτηριστική είναι ο φυσικός αριθμός  τέτοιος ώστε ο  να περιέχει έναν υποδακτύλιο ισομορφικό με τον παραγοντικό δακτύλιο  , ο οποίος είναι η εικόνα του παραπάνω ομομορφισμού.
 Όταν οι μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί  ταξινομούνται μερικώς κατά διαιρετότητα , τότε το  είναι το μικρότερο και το  είναι το μεγαλύτερο.  Τότε η χαρακτηριστική ενός δακτυλίου είναι η μικρότερη τιμή του   για την οποία . Εάν δεν υπάρχει τίποτα «μικρότερο» (σε αυτή τη σειρά) από το , τότε η χαρακτηριστική είναι . Αυτή είναι η κατάλληλη μερική ταξινόμηση λόγω γεγονότων όπως το ότι  είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των  και , και ότι δεν υπάρχει ομομορφισμός δακτυλίου  εκτός αν  διαιρεί .
 Η χαρακτηριστική ενός δακτυλίου  είναι  ακριβώς αν η πρόταση  για όλα τα  συνεπάγεται ότι  είναι πολλαπλάσιο του .

 Περίπτωση δακτυλίων 

Αν  και  είναι δακτύλιοι και υπάρχει ομομορφισμός δακτυλίων , τότε η χαρακτηριστική του  διαιρεί τη χαρακτηριστική του . Αυτό μπορεί μερικές φορές να χρησιμοποιηθεί για να αποκλειστεί η δυνατότητα ορισμένων ομομορφισμών δακτυλίων. Ο μόνος δακτύλιος με χαρακτηριστική  είναι ο δακτύλιος μηδέν, ο οποίος έχει μόνο ένα στοιχείο . Αν ένας μη τετριμμένος δακτύλιος  δεν έχει μη τετριμμένους μηδενικούς διαιρέτες, τότε η χαρακτηριστική του είναι είτε  είτε πρώτος. Ειδικότερα, αυτό ισχύει για όλα τα σώματα, για όλες τις ακέραιες περιοχές και για όλους τους δακτυλίους διαίρεσης. Κάθε δακτύλιος με χαρακτηριστική μηδέν είναι άπειρος.

Ο δακτύλιος  των ακεραίων modulo  έχει χαρακτηριστική . Αν  είναι υποδακτύλιος του , τότε  και  έχουν την ίδια χαρακτηριστική. Παραδείγματος χάριν, αν  είναι πρώτος και  είναι ένα μη αναγώγιμο πολυώνυμο με συντελεστές στο σώμα   με  στοιχεία, τότε το πηλίκο του δακτυλίου  είναι ένα σώμα χαρακτηριστικής . Ένα άλλο παράδειγμα: Το σώμα  των μιγαδικών αριθμών περιέχει , οπότε η χαρακτηριστική του  είναι .

Μια -άλγεβρα είναι ισοδύναμα ένας δακτύλιος του οποίου η χαρακτηριστική διαιρεί το . Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι για κάθε δακτύλιο  υπάρχει ένας ομομορφισμός δακτυλίου , και αυτή η απεικόνιση αποτελεί παράγοντα μέσω του  αν και μόνο αν η χαρακτηριστική του  διαιρεί το . Στην περίπτωση αυτή για κάθε  στο δακτύλιο, τότε προσθέτοντας  στον εαυτό του  φορές δίνει .

Αν ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος  έχει πρώτη χαρακτηριστική , τότε έχουμε (x + y) p = x p + y p  για όλα τα στοιχεία  και  στο  - το συνήθως λανθασμένο «όνειρο του πρωτοετή» ισχύει για τη δύναμη .
Η απεικόνιση x ↦ x p  ορίζει τότε έναν ομομορφισμό δακτυλίου {{math|R''' → R}}}, ο οποίος ονομάζεται ομομορφισμός Φρόμπενιους. Αν  είναι μια ακέραια περιοχή, είναι ερριπτική

Περίπτωση σωμάτων

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η χαρακτηριστική κάθε σώματος είναι είτε το 0 είτε ένας πρώτος αριθμός. 
Ο εκθέτης της χαρακτηριστικής ορίζεται παρόμοια, με τη διαφορά ότι είναι ίσος με  όταν η χαρακτηριστική είναι - διαφορετικά έχει την ίδια τιμή με τη χαρακτηριστική.

Κάθε σώμα  έχει ένα μοναδικό ελάχιστο υποσώμα, το οποίο ονομάζεται επίσης πρώτο σώμα (prime field). Αυτό το υποσώμα είναι ισόμορφο είτε με το σώμα ρητών αριθμών  είτε με ένα πεπερασμένο σώμα  πρώτης τάξης. 
Δύο πρωτα σώματα (prime fields) της ίδιας χαρακτηριστικής είναι ισόμορφα, και αυτός ο ισομορφισμός είναι μοναδικός. Με άλλα λόγια, υπάρχει ουσιαστικά ένα μοναδικό πρώτο σώμα σε κάθε χαρακτηριστική.

Σώματα με χαρακτηριστική μηδέν

Τα σώματα χαρακτηριστική μηδεν  είναι εκείνα που έχουν ένα υποσύνολο ισόμορφο με το σώμα  των ρητών αριθμών. Τα πιο συνηθισμένα από αυτά τα σώματα είναι τα υποσώματα του σώματος  των μιγαδικών αριθμών αυτό περιλαμβάνει τους πραγματικούς αριθμούς  και όλα τα αλγεβρικά σώματα αριθμών.

Άλλα σώματα χαρακτηριστικη μηδεν  είναι τα p-adic σώματα που χρησιμοποιούνται ευρέως στη θεωρία αριθμών.

Τα σώματα ρητών κλασμάτων επί των ακεραίων ή ένα σώμα χαρακτηριστική μηδέν είναι άλλα συνηθισμένα παραδείγματα.

Τα διατεταγμένα σώματα έχουν πάντα χαρακτηριστική μηδέν- περιλαμβάνουν τα  και 

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Ομοπαραλληλική γεωμετρία
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Αρχιμήδεια ιδιότητα
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Καμπυλότητα Γκάους
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Σώμα διασπάσεως
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση
 Νοεροί υπολογισμοί

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 

 Πηγές 





 Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
 Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
 Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics.'' Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα