Διανυσματικά πεδία σε κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες

Σημείωση: Αυτή η σελίδα χρησιμοποιεί τον κοινό συμβολισμό της φυσικής για τις σφαιρικές συντεταγμένες, όπου  είναι η γωνία μεταξύ του άξονα z  και του διανύσματος ακτίνας που συνδέει την αρχή με το εν λόγω σημείο, ενώ  είναι η γωνία μεταξύ της προβολής του διανύσματος ακτίνας στο επίπεδο x-y και του άξονα x. Χρησιμοποιούνται αρκετοί άλλοι ορισμοί, γι' αυτό και πρέπει να δίνεται προσοχή κατά τη σύγκριση διαφορετικών πηγών.Wolfram Mathworld, spherical coordinates

 Κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων 

 Διανυσματικά πεδία 

Τα διανύσματα ορίζονται στις κυλινδρικές συντεταγμένες ως εξής (ρ, φ, z), όπου

 ρ είναι το μήκος του διανύσματος που προβάλλεται στο επίπεδο
 φ είναι η γωνία μεταξύ της προβολής του διανύσματος στο επίπεδο xy-plane (i.e. ρ) και του θετικού άξονα x-axis (0 ≤ φ < 2π),
 z είναι η κανονική συντεταγμένη z.

(ρ, φ, z)δίνεται σε καρτεσιανές συντεταγμένες από:

ή αντιστρόφως ανά:

Κάθε διανυσματικό πεδίο μπορεί να γραφεί ως προς τα μοναδιαία διανύσματα ως εξής:

Τα κυλινδρικά μοναδιαία διανύσματα σχετίζονται με τα καρτεσιανά μοναδιαία διανύσματα ως εξής:

Σημείωση: ο πίνακας είναι ένας ορθογώνιος πίνακας, δηλαδή ο αντιστρέψιμος είναι απλώς η αντιστροφή του.

 Χρονική παράγωγος ενός διανυσματικού πεδίου 

Για να διαπιστωθεί πώς μεταβάλλεται το διανυσματικό πεδίο Α με το χρόνο, πρέπει να υπολογιστούν οι χρονικές παράγωγοι.
Για το σκοπό αυτό θα χρησιμοποιηθεί ο συμβολισμός του Νεύτωνα για τη χρονική παράγωγο ().
Σε καρτεσιανές συντεταγμένες αυτό είναι απλά:

Ωστόσο, σε κυλινδρικές συντεταγμένες αυτό γίνεται:

Χρειάζονται οι χρονικές παράγωγοι των μοναδιαίων διανυσμάτων. 
Δίνονται από:

Έτσι, η χρονική παράγωγος απλοποιείται σε:

 Δεύτερη χρονική παράγωγος ενός διανυσματικού πεδίου 

Η δεύτερη χρονική παράγωγος παρουσιάζει ενδιαφέρον στη φυσική, καθώς συναντάται στις εξισώσεις κίνησης για κλασικά μηχανικά συστήματα.
Η δεύτερη χρονική παράγωγος ενός διανυσματικού πεδίου σε κυλινδρικές συντεταγμένες δίνεται από:

Για να γίνει κατανοητή αυτή η έκφραση, το A αντικαθίσταται από το P όπου P είναι το διάνυσμα (ρ, φ, z).

Αυτό σημαίνει ότι  .

Μετά την αντικατάσταση, το αποτέλεσμα δίνεται:

Στη μηχανική, οι όροι αυτής της έκφρασης ονομάζονται:
   κεντρική επιτάχυνση προς τα έξω   κεντρομόλος επιτάχυνση   γωνιακή επιτάχυνση   Δύναμη Κοριόλις   -επιτάχυνση

Δείτε επίσης: Γωνιακή επιτάχυνση και Δύναμη Κοριόλις.

 Σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων 

 Διανυσματικά πεδία 

Τα διανύσματα ορίζονται στις σφαιρικές συντεταγμένες ως (r, θ, φ), όπου
 r είναι το μήκος του διανύσματος,
 θ είναι η γωνία μεταξύ του θετικού άξονα Ζ και του εν λόγω διανύσματος (0 ≤ θ ≤ π), και
 φ είναι η γωνία μεταξύ της προβολής του διανύσματος στο επίπεδο xy και του θετικού άξονα Χ (0 ≤ φ < 2π).

(r, θ, φ) δίνεται σε καρτεσιανές συντεταγμένες από:

ή αντιστρόφως ανά:

Κάθε διανυσματικό πεδίο μπορεί να γραφεί ως προς τα μοναδιαία διανύσματα ως εξής:

Τα διανύσματα σφαιρικής βάσης σχετίζονται με τα διανύσματα καρτεσιανής βάσης μέσω του Ιακωβιανού πίνακα:

Σημείωση: ο πίνακας είναι ένας ορθογώνιος πίνακας, δηλαδή ο αντιστρέψιμος του είναι απλώς o ανάστοφός του.

Τα καρτεσιανά μοναδιαία διανύσματα σχετίζονται έτσι με τα σφαιρικά μοναδιαία διανύσματα ως εξής:

 Χρονική παράγωγος ενός διανυσματικού πεδίου 

Για να διαπιστωθεί πώς μεταβάλλεται το διανυσματικό πεδίο Α με το χρόνο, πρέπει να υπολογιστούν οι χρονικές παράγωγοι.
Σε καρτεσιανές συντεταγμένες αυτό είναι απλά:

Ωστόσο, σε σφαιρικές συντεταγμένες αυτό γίνεται:

Χρειάζονται οι χρονικές παράγωγοι των μοναδιαίων διανυσμάτων.  Δίνονται από:

Έτσι, η χρονική παράγωγος γίνεται:

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Μορφοκλασματική διάσταση
 Διδιάστατος χώρος
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Υπερβολική γεωμετρία
 Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Καμπυλότητα Γκάους
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Διάσταση Κρουλ
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 







 . Review: Séquin, Carlo H. (2009), Journal of Mathematics and the Arts 3: 229–230, 

Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Κατηγορία:Θεωρήματα στην ανάλυση
Κατηγορία:Μαθηματική ανάλυση
Κατηγορία:Επιφάνειες
Κατηγορία:Διαφορική τοπολογία
Κατηγορία:Διανύσματα
Κατηγορία:Διανυσματικός λογισμός
Κατηγορία:Μαθηματικές συναρτήσεις