Καταχρηστικό ολοκλήρωμα

Στη μαθηματική ανάλυση, ένα καταχρηστικό ολοκλήρωμα ή  γενικευμένο ολοκλήρωμα είναι μια επέκταση της έννοιας του ορισμένου ολοκληρώματος σε περιπτώσεις που παραβιάζουν τις συνήθεις παραδοχές για αυτό το είδος ολοκληρώματος. Στο πλαίσιο των ολοκληρωμάτων Ρίμαν (ή, ισοδύναμα, των ολοκληρωμάτων Ντάρμπου), αυτό συνήθως περιλαμβάνει απεριόριστη ποσότητα, είτε του συνόλου πάνω στο οποίο λαμβάνεται το ολοκλήρωμα είτε του ολοκληρώματος (της συνάρτησης που ολοκληρώνεται), είτε και των δύο. Μπορεί επίσης να περιλαμβάνει οριοθετημένα αλλά όχι κλειστά σύνολα ή οριοθετημένες αλλά όχι συνεχείς συναρτήσεις. Ενώ ένα καταχρηστικό ολοκλήρωμα  γράφεται συνήθως συμβολικά όπως ένα κανονικό ορισμένο ολοκλήρωμα, στην πραγματικότητα αντιπροσωπεύει ένα όριο ενός ορισμένου ολοκληρώματος ή ένα άθροισμα τέτοιων ορίων- έτσι τα καταχρηστικά ολοκληρώματα λέγεται ότι συγκλίνουν ή αποκλίνουν . Αν ένα κανονικό ορισμένο ολοκλήρωμα (το οποίο μπορεί να ονομαστεί κανονικό ολοκλήρωμα) επεξεργαστεί σαν να είναι καταχρηστικό, θα προκύψει η ίδια απάντηση.

Στην απλούστερη περίπτωση μιας συνάρτησης πραγματικής τιμής μιας μόνο μεταβλητής που ολοκληρώνεται με την έννοια του Ρίμαν (ή του Ντάρμπου) σε ένα μόνο διάστημα, τα καταχρηστικά ολοκληρώματα μπορούν να έχουν οποιαδήποτε από τις ακόλουθες μορφές: 




 , όπου  είναι απροσδιόριστο ή ασυνεχές κάπου στο 

Οι τρεις πρώτες μορφές είναι καταχρηστικές επειδή τα ολοκληρώματα λαμβάνονται σε ένα απεριόριστο διάστημα. (Μπορεί να είναι καταχρηστικά και για άλλους λόγους, όπως εξηγείται παρακάτω.) Ένα τέτοιο ολοκλήρωμα περιγράφεται μερικές φορές ως "πρώτου" τύπου ή είδους, αν το ολοκλήρωμα ικανοποιεί κατά τα άλλα τις παραδοχές της ολοκλήρωσης.. Τα ολοκληρώματα της τέταρτης μορφής που είναι καταχρηστικά επειδή το  έχει μια κατακόρυφη ασύμπτωτη κάπου στο διάστημα  μπορεί να περιγραφούν ως «δεύτερου» τύπου ή είδους.  Τα ολοκληρώματα που συνδυάζουν πτυχές και των δύο τύπων περιγράφονται μερικές φορές ως «τρίτου» τύπου ή είδους. .

Σε κάθε παραπάνω περίπτωση, το καταχρηστικό ολοκλήρωμα πρέπει να ξαναγραφεί χρησιμοποιώντας ένα ή περισσότερα όρια, ανάλογα με το τι προκαλεί το καταχρηστικό ολοκλήρωμα. Παραδείγματος χάριν, στην περίπτωση 1, εάν η  είναι συνεχής σε ολόκληρο το διάστημα , τότε


Το όριο στα δεξιά θεωρείται ότι είναι ο ορισμός του ολοκληρωτικού συμβολισμού στα αριστερά.

Αν η  είναι συνεχής μόνο στο  και όχι στο , τότε τυπικά αυτό ξαναγράφεται ως εξής


για οποιαδήποτε επιλογή του . Εδώ και τα δύο όρια πρέπει να συγκλίνουν σε μια πεπερασμένη τιμή για να λέμε ότι το καταχρηστικό ολοκλήρωμα συγκλίνει. Αυτή η απαίτηση αποφεύγει την αμφίσημη περίπτωση της πρόσθεσης θετικών και αρνητικών απειροστών (δηλαδή την απροσδιόριστη μορφή « ""). Εναλλακτικά, θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί ένα επαναληπτικό όριο ή ένα ενιαίο όριο με βάση την πρωτεύουσα τιμή Κωσύ.

Αν η  είναι συνεχής στο  και , με ασυνέχεια οποιουδήποτε είδους στο , τότε



για οποιαδήποτε επιλογή του . Οι προηγούμενες παρατηρήσεις σχετικά με τις απροσδιόριστες μορφές, τα επαναλαμβανόμενα όρια και την πρωτεύουσα τιμή Κωσύ ισχύουν και εδώ.

Η συνάρτηση  μπορεί να έχει περισσότερες ασυνέχειες, οπότε απαιτούνται ακόμη περισσότερα όρια (ή μια πιο περίπλοκη έκφραση πρωτεύουσας τιμής).

Οι περιπτώσεις 2-4 αντιμετωπίζονται με παρόμοιο τρόπο. Βλέπε τα παραδείγματα παρακάτω.

Τα καταχρηστικά ολοκληρώματα μπορούν επίσης να αξιολογηθούν στο πλαίσιο των μιγαδικών αριθμών, σε υψηλότερες διαστάσεις και σε άλλα θεωρητικά πλαίσια, όπως η ολοκλήρωμα Λεμπέσγκ ή η ολοκλήρωμα  Χένστοκ-Κούρβαϊλ. Τα ολοκληρώματα που θεωρούνται καταχρηστικά σε ένα πλαίσιο μπορεί να μην είναι σε άλλα.

Παραδείγματα
Ο αρχικός ορισμός του ολοκληρώματος Ρίμαν δεν ισχύει για μια συνάρτηση όπως  στο διάστημα [1, ∞),  επειδή σε αυτή την περίπτωση το πεδίο ολοκλήρωσης είναι απεριόριστο. Ωστόσο, το ολοκλήρωμα Ρίμαν μπορεί συχνά να επεκταθεί μέσω της συνέχειας, ορίζοντας το καταχρηστικό ολοκλήρωμα αντ' αυτού ως όριο

Ο στενός ορισμός του ολοκληρώματος Ρίμαν δεν καλύπτει επίσης τη συνάρτηση  στο διάστημα [0, 1]. Το πρόβλημα εδώ είναι ότι το ολοκλήρωμα είναι απεριόριστο στο πεδίο ολοκλήρωσης. Με άλλα λόγια, ο ορισμός του ολοκληρώματος Ρίμαν απαιτεί τόσο το πεδίο ολοκλήρωσης όσο και το ολοκλήρωμα να είναι οριοθετημένα. Ωστόσο, το καταχρηστικό ολοκλήρωμα υπάρχει αν το κατανοήσουμε ως το όριο


Αυτή η διαδικασία δεν εγγυάται την επιτυχία- ένα όριο μπορεί να μην υπάρχει ή να είναι άπειρο. Παραδείγματος χάριν, στο περιορισμένο διάστημα από το 0 έως το 1 το ολοκλήρωμα του  δεν συγκλίνει- και στο μη περιορισμένο διάστημα από το 1 έως το  το ολοκλήρωμα του  δεν συγκλίνει.

Μπορεί επίσης να συμβεί ένα ολοκλήρωμα να είναι απεριόριστο κοντά σε ένα εσωτερικό σημείο, οπότε το ολοκλήρωμα πρέπει να χωριστεί στο σημείο αυτό. Για να συγκλίνει το ολοκλήρωμα στο σύνολό του, τα οριακά ολοκληρώματα και στις δύο πλευρές πρέπει να υπάρχουν και να είναι οριοθετημένα. Επί παραδείγματι:

Αλλά το παρόμοιο ολοκλήρωμα

δεν μπορεί να αποδοθεί τιμή με αυτόν τον τρόπο, καθώς τα ολοκληρώματα πάνω και κάτω από το μηδέν στο πεδίο του ολοκληρώματος δεν συγκλίνουν ανεξάρτητα. (Ωστόσο, βλέπε πρωτεύουσα τιμή Κωσύ.)

 Σύγκλιση του ολοκληρώματος 
Ένα καταχρηστικό ολοκλήρωμα συγκλίνει αν υπάρχει το όριο που το ορίζει.  Έτσι, μπορούμε για παράδειγμα να ισχυριστούμε ότι το καταχρηστικό ολοκλήρωμα

υπάρχει και ισούται με L αν τα ολοκληρώματα κάτω από το όριο υπάρχουν για όλα τα επαρκώς μεγάλα t, και η τιμή του ορίου είναι ίση με L.

Είναι επίσης δυνατό ένα καταχρηστικό ολοκλήρωμα να αποκλίνει στο άπειρο.  Στην περίπτωση αυτή, μπορεί κανείς να δώσει στο ολοκλήρωμα την τιμή ∞ (ή -∞). Επί παραδείγματι 

Ωστόσο, άλλα καταχρηστικά ολοκληρώματα μπορεί απλώς να αποκλίνουν προς καμία συγκεκριμένη κατεύθυνση, όπως

ο οποίος δεν υπάρχει, ακόμη και ως εκτεταμένος πραγματικός αριθμός. Αυτό ονομάζεται απόκλιση με ταλάντωση.

Ένας περιορισμός της τεχνικής της καταχρηστικής ολοκλήρωσης είναι ότι το όριο πρέπει να λαμβάνεται ως προς ένα τελικό σημείο κάθε φορά.  Έτσι, για παράδειγμα, ένα καταχρηστικό ολοκλήρωμα της μορφής

μπορεί να οριστεί με τη λήψη δύο ξεχωριστών ορίων- στα οποία

εφόσον το διπλό όριο είναι πεπερασμένο. Μπορεί επίσης να οριστεί ως ένα ζεύγος διαφορετικών καταχρηστικών ολοκληρωμάτων πρώτου είδους:

όπου c είναι οποιοδήποτε βολικό σημείο στο οποίο μπορεί να αρχίσει η ολοκλήρωση. Αυτός ο ορισμός ισχύει επίσης όταν ένα από αυτά τα ολοκληρώματα είναι άπειρο, ή και τα δύο αν έχουν το ίδιο πρόσημο.

Ένα παράδειγμα καταχρηστικού ολοκληρώματος όπου και τα δύο τελικά σημεία είναι άπειρα είναι το γκαουσιανό ολοκλήρωμα   Ένα παράδειγμα που αποτιμάται στο άπειρο είναι    Αλλά ούτε και άλλα ολοκληρώματα αυτού του είδους μπορεί κανείς να ορίσει με σαφήνεια, όπως το   δεδομένου ότι το διπλό όριο είναι άπειρο και η μέθοδος των δύο ολοκληρωμάτων

δίνει μια απροσδιόριστη μορφή,  Σε αυτή την περίπτωση, μπορεί κανείς ωστόσο να ορίσει ένα καταχρηστικό ολοκλήρωμα με την έννοια της πρωτεύουσας τιμής του Κωσύ:

Τα ερωτήματα που πρέπει να απαντηθούν για τον προσδιορισμό ενός καταχρηστικού ολοκληρώματος είναι τα εξής:

Υπάρχει το όριο;
Μπορεί να υπολογιστεί το όριο;

Το πρώτο ερώτημα είναι θέμα μαθηματικής ανάλυσης. Το δεύτερο μπορεί να αντιμετωπιστεί με τεχνικές υπολογισμού, αλλά και σε ορισμένες περιπτώσεις με ολοκλήρωση περιγράμματος, μετασχηματισμούς Φουριέ και άλλες πιο προηγμένες μεθόδους.

Τύποι ολοκληρωμάτων
Υπάρχουν περισσότερες από μία θεωρίες ολοκλήρωσης. Από την άποψη του λογισμού, η θεωρία ολοκλήρωσης του Ρίμαν θεωρείται συνήθως ως η προεπιλεγμένη θεωρία. Κατά τη χρήση καταχρηστικών ολοκληρωμάτων, μπορεί να έχει σημασία ποια θεωρία ολοκλήρωσης παίζει ρόλο.

Για το ολοκλήρωμα Ρίμαν (ή το ολοκλήρωμα Ντάρμπου, το οποίο είναι ισοδύναμο με αυτό), το καταχρηστικό ολοκλήρωμα είναι απαραίτητο τόσο για απεριόριστα διαστήματα (αφού δεν μπορεί κανείς να διαιρέσει το διάστημα σε πεπερασμένου μήκους υποδιαστήματα) όσο και για απεριόριστες συναρτήσεις με πεπερασμένο ολοκλήρωμα (αφού, αν υποθέσουμε ότι είναι απεριόριστο παραπάνω, τότε το άνω ολοκλήρωμα θα είναι άπειρο, αλλά το κάτω ολοκλήρωμα θα είναι πεπερασμένο).
 Το ολοκλήρωμα Λεμπέσγκ αντιμετωπίζει διαφορετικά τα απεριόριστα πεδία και τις απεριόριστες συναρτήσεις, έτσι ώστε συχνά ένα ολοκλήρωμα που υπάρχει μόνο ως καταχρηστικό ολοκλήρωμα Ρίμαν θα υπάρχει και ως (κατάλληλο) ολοκλήρωμα Λεμπέσγκ, όπως ..  Από την άλλη πλευρά, υπάρχουν επίσης ολοκληρώματα που έχουν ένα καταχρηστικό ολοκλήρωμα Ρίμαν αλλά δεν έχουν ένα (κατάλληλο) ολοκλήρωμα Λεμπέσγκ, όπως . Η θεωρία Λεμπέσγκ δεν το βλέπει αυτό ως ανεπάρκεια: από την άποψη της θεωρίας μέτρων,  και δεν μπορεί να οριστεί ικανοποιητικά.  Σε ορισμένες περιπτώσεις, ωστόσο, μπορεί να είναι βολικό να χρησιμοποιηθούν καταχρηστικά ολοκληρώματα Λεμπέσγκ, όπως συμβαίνει, για παράδειγμα, κατά τον ορισμό της πρωτεύουσας τιμής Κωσύ. Το ολοκλήρωμα Λεμπέσγκ είναι λίγο πολύ απαραίτητο στη θεωρητική επεξεργασία του μετασχηματισμού Φουριέ, με διαδεδομένη χρήση ολοκληρωμάτων σε ολόκληρη την πραγματική γραμμή.
 Για το ολοκλήρωμα Χένστοκ - Κούρτζηλ, το καταχρηστικό ολοκλήρωμα «δεν είναι απαραίτητο», και αυτό θεωρείται ένα δυνατό σημείο της θεωρίας: περιλαμβάνει όλες τις ολοκληρώσιμες συναρτήσεις Λεμπέσγκ και τις καταχρηστικά ολοκληρώσιμες συναρτήσεις Ρίμαν.

 Καταχρηστικά ολοκληρώματα Ρίμαν και ολοκληρώματα Λεμπέσγκ 

Σε ορισμένες περιπτώσεις, το ολοκλήρωμα

μπορεί να οριστεί ως ένα ολοκλήρωμα (ένα ολοκλήρωμα Λεμπέσγκ, για πα

ράδειγμα) χωρίς αναφορά στο όριο

αλλά δεν μπορεί να υπολογιστεί με άλλο τρόπο. Αυτό συμβαίνει συχνά όταν η συνάρτηση f που ολοκληρώνεται από το a στο c έχει κάθετη ασύμπτωτη στο c ή όταν c = ∞ (βλέπε σχήματα 1 και 2). Σε τέτοιες περιπτώσεις, το καταχρηστικό ολοκλήρωμα Ρίμαν επιτρέπει τον υπολογισμό του ολοκληρώματος Lebesgue της συνάρτησης. Συγκεκριμένα, ισχύει το ακόλουθο θεώρημα (Apostol 1974, Θεώρημα 10.33):

Εάν μια συνάρτηση f είναι ολοκληρώσιμη κατά Ρίμαν στο [a,b] για κάθε b ≥ a και τα μερικά ολοκληρώματα

are bounded as b → ∞, τότε τα καταχρηστικά ολοκληρώματα Ρίμαν

υπάρχουν και τα δύο.  Επιπλέον, η f είναι ολοκληρώμα  Λεμπέσγκ στο [a, ∞), και το ολοκλήρωμά της κατά Λεμπέσγκ
είναι ίσο με το καταχρηστικό ολοκλήρωμά της κατά Ρίμαν.

Παραδείγματος χάριν, το ολοκλήρωμα

μπορεί να ερμηνευθεί εναλλακτικά ως καταχρηστικό ολοκλήρωμα

ή μπορεί να ερμηνευθεί ως ολοκλήρωμα Λεμπέσγκ στο σύνολο (0, ∞).  Δεδομένου ότι και τα δύο αυτά είδη ολοκληρωμάτων συμφωνούν, είναι ελεύθερος κανείς να επιλέξει την πρώτη μέθοδο για τον υπολογισμό της τιμής του ολοκληρώματος, ακόμη και αν τελικά επιθυμεί να το θεωρήσει ως ολοκλήρωμα Λεμπέσγκ.  Έτσι, τα καταχρηστικά ολοκληρώματα είναι σαφώς χρήσιμα εργαλεία για την απόκτηση των πραγματικών τιμών των ολοκληρωμάτων.

Σε άλλες περιπτώσεις, ωστόσο, ένα ολοκλήρωμα Λεμπέσγκ μεταξύ πεπερασμένων τελικών σημείων μπορεί να μην ορίζεται καν, επειδή τα ολοκληρώματα του θετικού και του αρνητικού μέρους της f είναι και τα δύο άπειρα, αλλά το καταχρηστικό ολοκλήρωμα Ρίμαν μπορεί να εξακολουθεί να υπάρχει.  Τέτοιες περιπτώσεις είναι τα «κατάλληλα καταχρηστικά» ολοκληρώματα, δηλαδή οι τιμές τους δεν μπορούν να οριστούν παρά μόνο ως τέτοια όρια.  Επί παραδείγματι,

δεν μπορεί να ερμηνευθεί ως ολοκλήρωμα Λεμπέσγκ, δεδομένου ότι

Αλλά   είναι ωστόσο ολοκληρώσιμη μεταξύ δύο οποιωνδήποτε πεπερασμένων τελικών σημείων και το ολοκλήρωμά της μεταξύ 0 και ∞ συνήθως νοείται ως το όριο του ολοκληρώματος:

Ιδιομορφίες

Μπορούμε να μιλήσουμε για τις ιδιομορφίες ενός καταχρηστικού ολοκληρώματος, δηλαδή για τα σημεία εκείνα της εκτεταμένης γραμμής πραγματικών αριθμών στα οποία χρησιμοποιούνται όρια. 

Πρωτεύουσα τιμή του Κωσύ (Cauchy)
Κύριο άρθρο: Πρωτεύουσα τιμή του Κωσύ (Cauchy)

Ας θεωρήσουμε τη διαφορά στις τιμές δύο ορίων: 

Η πρώτη είναι η πρωτεύουσα τιμή Κωσύ της κατά τα άλλα ασαφώς καθορισμένης έκφρασης

Παρομοίως, έχουμε

αλλά

Η πρώτη είναι η πρωτεύουσα τιμή της κατά τα άλλα ασαφώς καθορισμένης έκφρασης

Όλα τα παραπάνω όρια είναι περιπτώσεις της απροσδιόριστης μορφής .

Αυτές οι παθογένειες δεν επηρεάζουν την «Ολοκλήρωση κατά Λεμπέσγκ », δηλαδή τις συναρτήσεις των οποίων τα ολοκληρώματα των απόλυτων τιμών είναι πεπερασμένα.

Αθροιστικότητα

Ένα καταχρηστικό ολοκλήρωμα μπορεί να αποκλίνει με την έννοια ότι το όριο που το ορίζει μπορεί να μην υπάρχει. Σε αυτή την περίπτωση, υπάρχουν πιο περίπλοκοι ορισμοί του ορίου που μπορούν να παράγουν μια συγκλίνουσα τιμή για το καταχρηστικό ολοκλήρωμα. Αυτές ονομάζονται μέθοδοι αθροιστικότητας.

Μια μέθοδος αθροιστικότητας, δημοφιλής στην ανάλυση Φουριέ, είναι αυτή της άθροισης Σεζάρο. Το ολοκλήρωμα 

είναι αθροιζόμενο κατά Σεζάρο (C, α) αν

υπάρχει και είναι πεπερασμένη .  Η τιμή αυτού του ορίου, αν υπάρχει, είναι το (C, α) άθροισμα του ολοκληρώματος.

Ένα ολοκλήρωμα είναι (C, 0) αθροιζόμενο ακριβώς όταν υπάρχει ως καταχρηστικό ολοκλήρωμα.  Ωστόσο, υπάρχουν ολοκληρώματα τα οποία είναι (C, α) αθροιζόμενα για α > 0 τα οποία δεν συγκλίνουν ως καταχρηστικά ολοκληρώματα (με την έννοια του Ρίμαν ή του Λεμπέσγκ). Ένα παράδειγμα είναι το ολοκλήρωμα

το οποίο αποτυγχάνει να υπάρξει ως καταχρηστικό ολοκλήρωμα, αλλά είναι (C,α''') αθροιστικό για κάθε α > 0.  Πρόκειται για μια ολοκληρωτική εκδοχή της σειράς του Γκράντι.

Πολυμεταβλητά καταχρηστικά ολοκληρώματα

Το καταχρηστικό ολοκλήρωμα μπορεί επίσης να οριστεί για συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. Ο ορισμός είναι ελαφρώς διαφορετικός, ανάλογα με το αν απαιτείται ολοκλήρωση σε ένα απεριόριστο πεδίο, όπως , ή αν ολοκληρώνεται μια συνάρτηση με ιδιομορφίες, όπως .

Καταχρηστικό ολοκλήρωμα  σε αυθαίρετα πεδία
Αν  είναι μια μη αρνητική συνάρτηση που είναι ολοκληρώσιμη κατά Ρίμαν πάνω σε κάθε συμπαγή κύβο της μορφής , για , τότε το καταχρηστικό ολοκλήρωμα της f πάνω στο  ορίζεται ως το όριο

υπό την προϋπόθεση ότι υπάρχει.

Μια συνάρτηση σε ένα αυθαίρετο πεδίο A στο  επεκτείνεται σε μια συνάρτηση  στο  με μηδενισμό εκτός του A:

Το ολοκλήρωμα Ρίμαν μιας συνάρτησης σε ένα περιορισμένο πεδίο Α ορίζεται τότε ως το ολοκλήρωμα της εκτεταμένης συνάρτησης  over a cube  που περιέχει Α:  

Γενικότερα, αν το A είναι απεριόριστο, τότε το καταχρηστικό ολοκλήρωμα Ρίμαν σε ένα αυθαίρετο πεδίο στο  ορίζεται ως το όριο:

Συναρτήσεις με θετικές και αρνητικές τιμές

Αυτοί οι ορισμοί ισχύουν για συναρτήσεις που είναι μη αρνητικές.  Μια γενικότερη συνάρτηση f μπορεί να αναλυθεί ως διαφορά του θετικού μέρους της  και του αρνητικού μέρους της , οπότε

με  και  και τις δύο μη αρνητικές συναρτήσεις.  Η συνάρτηση f'' έχει ένα καταχρηστικό ολοκλήρωμα Ρίμαν, αν κάθε μία από τις  και  έχει ένα, οπότε η τιμή αυτού του καταχρηστικού ολοκληρώματος ορίζεται ως εξής

Για να υπάρχει με αυτή την έννοια, το καταχρηστικό ολοκλήρωμα συγκλίνει κατ' ανάγκη απόλυτα, αφού

: "We need to make this stronger definition of convergence in terms of |f(x)| because cancellation in the integrals can occur in so many different ways in higher dimensions.": "The relevant notion here is that of unconditional convergence." ... "In fact, for improper integrals of such functions, unconditional convergence turns out to be equivalent to absolute convergence."

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή

 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Συγκλίνουσα σειρά
 Κανονική κατανομή
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Διαφορική γεωμετρία
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Θεωρία αναπαραστάσεων
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Ανρί Λεόν Λεμπέσγκ 
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Προβολικός χώρος
 Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Μιγαδικός αριθμός
 Τυχαία μεταβλητή
 Ακέραιος αριθμός

 Βιβλιογραφία













 Παραπομπές 

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.
 .
 .

 .

 Ch. 1–6 of 2013 edition

Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Μιγαδική ανάλυση
Κατηγορία:Ολοκληρώματα
Κατηγορία:Μέθοδοι επιστημονικής έρευνας
Κατηγορία:Εφαρμοσμένα μαθηματικά
Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών
Κατηγορία:Ολοκληρωτικός λογισμός
Κατηγορία:Μαθηματική ανάλυση
Κατηγορία:Θεωρία αριθμών