Ευθειογενής επιφάνεια

Στη γεωμετρία, μια επιφάνεια S στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο είναι ευθειογενής (ονομάζεται επίσης ρόλλος) εάν μέσω κάθε σημείου της  υπάρχει μια ευθεία που βρίσκεται πάνω στην . Ενδεικτικά αναφέρονται το επίπεδο, η πλευρική επιφάνεια ενός κυλίνδρου ή κώνου, μια κωνική επιφάνεια με ελλειπτική διευθετούσα, το δεξιό κωνοειδές, το ελικοειδές και η αναπτυκτή εφαπτομένη μιας ομαλής καμπύλης στο χώρο.

Μια ευθειογενής επιφάνεια μπορεί να περιγραφεί ως το σύνολο των σημείων που σαρώνει μια κινούμενη ευθεία γραμμή. Επί παραδείγματι, ένας κώνος σχηματίζεται διατηρώντας ένα σημείο μιας ευθείας σταθερό, ενώ ένα άλλο σημείο κινείται κατά μήκος ενός κύκλου. Μια επιφάνεια είναι διπλά ευθειογενής αν από κάθε σημείο της περνούν δύο διαφορετικές ευθείες που βρίσκονται πάνω στην επιφάνεια. Το υπερβολικό παραβολοειδές και το υπερβολοειδές ενός φύλλου είναι διπλά ευθειογενείς επιφάνειες. Το επίπεδο είναι η μόνη επιφάνεια που περιέχει τουλάχιστον τρεις διακριτές ευθείες μέσω κάθε σημείου της ().

Οι ιδιότητες της ευθειογενούς ή της διπλά ευθειογενούς διατηρούνται από τις προβολικές απεικονίσεις και επομένως αποτελούν έννοιες της προβολικής γεωμετρίας. Στην αλγεβρική γεωμετρία, οι ευθειογενείς επιφάνειες θεωρούνται μερικές φορές επιφάνειες στον αφινικό ή προβολικό χώρο πάνω από ένα πεδίο, αλλά μερικές φορές θεωρούνται επίσης ως αφηρημένες αλγεβρικές επιφάνειες χωρίς ενσωμάτωση στον αφινικό ή προβολικό χώρο, οπότε η λέξη "ευθεία" νοείται ως αφινική ή προβολική ευθεία.

Ορισμός και παραμετρική αναπαράσταση

Μια επιφάνεια στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο ονομάζεται «ευθειογενής επιφάνεια » αν είναι η ένωση μιας διαφορίσιμης μονοπαραμετρικής οικογένειας γραμμών.
Τυπικά, μια ευθειογενής επιφάνεια  είναι μια επιφάνεια στον  που περιγράφεται από μια παραμετρική αναπαράσταση της μορφής



για  που μεταβάλλεται σε ένα διάστημα και  που κυμαίνεται στους πραγματικούς. Απαιτείται ότι , και τόσο η  όσο και η  πρέπει να είναι διαφορίσιμες.

Κάθε ευθεία γραμμή  με σταθερή παράμετρο  ονομάζεται γεννήτρια. Τα διανύσματα  περιγράφουν τις κατευθύνσεις των γεννητριών. Η καμπύλη  ονομάζεται διευθετούσα της απεικόνισης. Η διευθετούσα  μπορεί να καταρρεύσει σε ένα σημείο (στην περίπτωση ενός κώνου, βλέπε παράδειγμα παρακάτω).

Η ευθειογενής επιφάνεια  μπορεί εναλλακτικά να περιγραφεί ως εξής



με τη δεύτερη ευθεία . Για να επιστρέψουμε στην πρώτη περιγραφή ξεκινώντας με δύο μη τέμνουσες καμπύλες  ως διευθετούσες, θέτουμε 

Το γεωμετρικό σχήμα των διευθετούσων και των γεννητριών είναι φυσικά ουσιώδες για το σχήμα της γραμμικής επιφάνειας που παράγουν. Ωστόσο, οι συγκεκριμένες παραμετρικές αναπαραστάσεις τους επηρεάζουν επίσης το σχήμα της ευθειογενούς επιφάνειας.

 Παραδείγματα  

 Ορθός κυκλικός κύλινδρος 

Ένας ορθός κυκλικός κύλινδρος δίνεται από την εξίσωση

Μπορεί να παραμετροποιηθεί ως ακολούθως

με 

 Ορθός κυκλικός κώνος 

Ένας ορθός κυκλικός κύλινδρος δίνεται από την εξίσωση

Η παράμετρος μπορεί να οριστεί ως εξής

με

Στην περίπτωση αυτή θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί η κορυφή ως διευθετούσα, δηλ.

και


ως  διευθετούσες .

Για οποιονδήποτε κώνο μπορεί κανείς να επιλέξει την κορυφή ως κατευθυντήρια γραμμή. Αυτό δείχνει ότι η διευθετούσα μιας ευθειογενούς επιφάνειας μπορεί να εκφυλιστεί σε σημείο.

 Ελικοειδές 
Βλ..Ελικοειδές


Ένα ελικοειδές μπορεί να παραμετροποιηθεί ως εξής

Η διευθετούσα 

είναι ο άξονας z, οι κατευθύνσεις των γραμμών είναι
,
και η δεύτερη διευθετούσα

είναι μια έλικα.

 Κύλινδρος, κώνος και υπερβολοειδές 


Η παραμετρική αναπαράσταση 

έχει δύο οριζόντιους κύκλους ως διευθετούσες. Η πρόσθετη παράμετρος  επιτρέπει τη μεταβολή των παραμετρικών παραστάσεων των κύκλων. Για το

 προκύπτει ο κύλινδρος  ,
 προκύπτει ο κώνος ,
 παίρνουμε ένα υπερβολοειδές ενός φύλλου με εξίσωση  και τους ημιάξονες .

Ένα υπερβολοειδές ενός φύλλου είναι μια διπλά ευθειογενής επιφάνεια.

 Υπερβολικό παραβολοειδές 


Εάν οι δύο διευθετούσες στο (CD) είναι οι γραμμές 

παίρνει κανείς 

,

το οποίο είναι το υπερβολικό παραβολοειδές που παρεμβάλλει διγραμμικά τα 4 σημεία  .G. Farin: Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design, Academic Press, 1990, , p. 250

Η επιφάνεια είναι διπλά ευθειογενής, επειδή κάθε σημείο βρίσκεται σε δύο γραμμές της επιφάνειας.

Για το παράδειγμα που φαίνεται στο διάγραμμα: 

Το υπερβολικό παραβολοειδές έχει την εξίσωση .

 Λωρίδα Μέμπιους 
Κύριο άρθρο: Λωρίδα του Μέμπιους

Η ευθειογενής επιφάνεια


με

 (κύκλος ως διευθετούσα),

περιέχει μια λωρίδα Μέμπιους.

Το διάγραμμα δείχνει τη λωρίδα του Μἐμπιους για .

Ένας απλός υπολογισμός δείχνει  (βλέπε επόμενη ενότητα). Συνεπώς, η δεδομένη υλοποίηση μιας λωρίδας Μέμπιους είναι μη αναπτύξιμη. Αλλά υπάρχουν αναπτύξιμες λωρίδες Μέμπιους.W. Wunderlich: Über ein abwickelbares Möbiusband, Monatshefte für Mathematik 66, 1962, S. 276-289.

 Αναπτυσσόμενες επιφάνειες 

Για τον προσδιορισμό του κανονικού διανύσματος σε ένα σημείο χρειάζονται οι μερικές παράγωγοι της παράστασης  :
,
.

Επομένως, το κανονικό διάνυσμα είναι

Δεδομένου ότι  (Ένα μικτό γινόμενο με δύο ίσα διανύσματα είναι πάντα 0), το  είναι ένα εφαπτόμενο διάνυσμα σε οποιοδήποτε σημείο . Τα εφαπτόμενα επίπεδα κατά μήκος αυτής της ευθείας είναι όλα τα ίδια, αν  είναι πολλαπλάσιο του . Αυτό είναι δυνατό μόνο αν τα τρία διανύσματα  βρίσκονται σε ένα επίπεδο, δηλαδή αν είναι γραμμικά εξαρτημένα. Η γραμμική εξάρτηση τριών διανυσμάτων μπορεί να ελεγχθεί χρησιμοποιώντας τον προσδιοριστή των διανυσμάτων αυτών:

Τα εφαπτόμενα επίπεδα κατά μήκος της ευθείας  είναι ίσα, αν 
 .

Μια λεία επιφάνεια με μηδενική γκαουσιανή καμπυλότητα ονομάζεται αναπτύξιμη σε επίπεδο, ή απλά αναπτύξιμη. Η προσδιοριστική συνθήκη μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη της ακόλουθης δήλωσης:

Μια ευθειογενής επιφάνεια  είναι αναπτύξιμη εάν και μόνο εάν 

σε κάθε σημείο.W. Kühnel: Differentialgeometrie, p. 58–60

Οι γεννήτριες μιας οποιασδήποτε ευθειογενούς επιφάνειας συμπίπτουν με μια οικογένεια των ασυμπτωτικών γραμμών της. Για αναπτυσσόμενες επιφάνειες σχηματίζουν επίσης μια οικογένεια των γραμμών καμπυλότητας της. Μπορεί να αποδειχθεί ότι κάθε αναπτύξιμη επιφάνεια είναι ένας κώνος, ένας κύλινδρος ή μια επιφάνεια που σχηματίζεται από όλες τις εφαπτόμενες μιας καμπύλης χώρου.G. Farin: p. 380


Η καθοριστική συνθήκη για αναπτυσσόμενες επιφάνειες χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό αριθμητικά αναπτυσσόμενων συνδέσεων μεταξύ καμπυλών χώρου (ευθείες). Το διάγραμμα δείχνει μια αναπτυσσόμενη σύνδεση μεταξύ δύο ελλειψοειδών που περιέχονται σε διαφορετικά επίπεδα (το ένα οριζόντιο, το άλλο κατακόρυφο) και την ανάπτυξή της.E. Hartmann: Geometry and Algorithms for CAD, lecture note, TU Darmstadt, p. 113

Μια εντύπωση της χρήσης των αναπτύξιμων επιφανειών στο Computer Aided Design (CAD) δίνεται στο Interactive design of developable surfaces.Tang, Bo, Wallner, Pottmann: Interactive design of developable surfaces, ACM Trans. Graph. (MONTH 2015), DOI: 10.1145/2832906

Μια ιστορική έρευνα για τις αξιοποιήσιμες επιφάνειες μπορεί να βρεθεί στο  Αξιοποιήσιμες επιφάνειες: History and Application.Snezana Lawrence: Developable Surfaces: Their History and Application, in  Nexus Network Journal 13(3) · October 2011, 

Ευθειογενείς επιφάνειες στην αλγεβρική γεωμετρία

Στην αλγεβρική γεωμετρία, οι ευθειογενείς επιφάνειες ορίστηκαν αρχικά ως προβολικές επιφάνειες στον προβολικό χώρο που περιέχουν μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από οποιοδήποτε σημείο. Αυτό συνεπάγεται αμέσως ότι υπάρχει μια προβολική ευθεία στην επιφάνεια μέσω οποιουδήποτε δεδομένου σημείου, και αυτή η συνθήκη χρησιμοποιείται τώρα συχνά ως ορισμός μιας ευθειογενούς επιφάνειας: οι ευθειογενείς επιφάνειες ορίζονται ως αφηρημένες προβολικές επιφάνειες που ικανοποιούν αυτή τη συνθήκη ότι υπάρχει μια προβολική ευθεία μέσω οποιουδήποτε σημείου. Με άλλα λόγια, είναι δίρρητες με το γινόμενο μιας καμπύλης και μιας προβολικής γραμμής. Μερικές φορές μια ευθειογενής επιφάνεια ορίζεται ως μια επιφάνεια που ικανοποιεί την ισχυρότερη συνθήκη ότι έχει μια ίνα πάνω σε μια καμπύλη με ίνες που είναι προβολικές γραμμές. Αυτό αποκλείει το προβολικό επίπεδο, το οποίο έχει μια προβολική γραμμή σε κάθε σημείο, αλλά δεν μπορεί να γραφτεί ως τέτοια νηματοποίηση. Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου,  σελιδα 121 

Οι ευθειογενείς επιφάνειες εμφανίζονται στην ταξινόμηση Ενρίκες των προβολικών μιγαδικών επιφανειών, επειδή κάθε αλγεβρική επιφάνεια διάστασης Κοντάιρα  είναι ευθειογενής επιφάνεια (ή προβολικό επίπεδο, αν χρησιμοποιηθεί ο περιοριστικός ορισμός της ευθειογενούς επιφάνειας). Κάθε ελάχιστη προβολική ευθειογενής επιφάνεια εκτός από το προβολικό επίπεδο είναι η προβολική δέσμη μιας δισδιάστατης διανυσματικής δέσμης πάνω σε κάποια καμπύλη. Οι ευθειογενείς επιφάνειες με βασική καμπύλη γένους 0 είναι οι επιφάνειες Χίρζεμπρουχ.

Ευθειογενείς επιφάνειες στην αρχιτεκτονική
Οι διπλά ευθειογενείς επιφάνειες αποτελούν έμπνευση για καμπύλες υπερβολοειδείς κατασκευές που μπορούν να κατασκευαστούν με ένα πλέγμα από ευθύγραμμα στοιχεία, δηλαδή:

Υπερβολικο παραβολοειδές, όπως οι σέλες στέγη οροφής (saddle roofs).
Υπερβολοειδή ενός φύλλου, όπως οι πύργοι ψύξης και ορισμένοι κάδοι απορριμμάτων.

Ο πυραυλοκινητήρας RM-81 Agena χρησιμοποιούσε ευθύγραμμα κανάλια ψύξης τα οποία ήταν τοποθετημένα σε μια ευθειογενής επιφάνεια για να σχηματίσουν το λαιμό του τμήματος του ακροφυσίου. 

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Τριγωνομετρική συνάρτηση
 Συνάρτηση γάμμα
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Ρητή συνάρτηση
 Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Ζαν-Μπατίστ Μαρί Μενιέ ντε Λα Πλας
 Τρισδιάστατος χώρος
 Κοχλίας του Αρχιμήδη
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Μιγαδικός αριθμός
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Ακέραιος αριθμός

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 




 . Review: Bulletin of the American Mathematical Society 37 (1931), 791-793, 
 .
 .
 .

 . Review: Séquin, Carlo H. (2009), Journal of Mathematics and the Arts 3: 229–230, 

Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Κατηγορία:Ολοκληρώματα
Κατηγορία:Εμβαδόν
Κατηγορία:Επιφάνειες
Κατηγορία:Γεωμετρικά σχήματα
Κατηγορία:Γεωμετρία