Θεώρημα του Θαλή

Στην γεωμετρία, το θεώρημα του Θαλή (ή αλλιώς το θεώρημα τομής), είναι ένα θεώρημα που αφορά τις αναλογίες των ευθυγράμμων τμημάτων, τα οποία δημιουργούνται όταν δύο τεμνόμενες μεταξύ τους ευθείες τέμνονται και από ένα ζεύγος παραλλήλων ευθειών.

Πιο συγκεκριμένα, αν  και  είναι δύο ευθείες παράλληλες, και  ένα τυχόν σημείο του επιπέδου, τότε για οποιεσδήποτε δύο ευθείες που διέρχονται από το  και τέμνουν την  στα σημεία  και , και την  στα  και , ισχύει ότι () ()
.

Αντίστροφα, ισχύει ότι αν 
,
τότε οι ευθείες  και  είναι παράλληλες.

Το θεώρημα παραδοσιακά αποδίδεται στον Έλληνα μαθηματικό Θαλή τον Μιλήσιο. () Η πρώτη γνωστή απόδειξη βρίσκεται στα Στοιχεία του Ευκλείδη (Πρόταση 17 Βιβλίο 11). Το θεώρημα είναι ισοδύναμο με αυτό περί των αναλογιών σε όμοια τρίγωνα.

 Απόδειξη 

 Αντίστροφο του θεωρήματος του Θαλή 

Έστω  και  είναι δύο ευθείες και  ένα τυχόν σημείο του επιπέδου. Αν για οποιεσδήποτε δύο ευθείες που διέρχονται από το  και τέμνουν την  στα σημεία  και , και την  στα  και , ισχύει ότι,
,

τότε οι  και  είναι παράλληλες. () ()

 Εφαρμογές 
Το αντίστροφο του θεωρήματος του Θαλή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αποδείξει ότι σε μια συγκεκριμένη κατασκευή κάποια ευθύγραμμα τμήματα είναι παράλληλα. Για παράδειγμα:
 Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου είναι παράλληλο με την τρίτη πλευρά του τριγώνου.

 Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα τα μέσα δύο μη-παραλλήλων πλευρών ενός τραπεζίου είναι παράλληλο στις δύο βάσεις του τραπεζίου.

Το θεώρημα του Θαλή χρησιμοποιείται στην απόδειξη πολλών θεωρημάτων στην γεωμετρία, συμπεριλαμβανομένων των εξής:
 Θεώρημα διχοτόμου
 Την ύπαρξη του βαρυκέντρου
 Θεώρημα Βαρινιόν
 Στην ευθεία του Όιλερ

 Περαιτέρω ανάγνωση 

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 Διαδραστική εφαρμογή για θεώρημα του Θαλή στο Geogebra.
 Διαδραστική εφαρμογή για το θεώρημα του Θαλή σε ασύμβατες ευθείες στο Φωτόδεντρο.
 Διαδραστική εφαρμογή για το θεώρημα του Θαλή στο Geogebra

 Ελληνικά άρθρα 






 Παραπομπές 

Κατηγορία:Ευκλείδεια Γεωμετρία
Κατηγορία:Θεωρήματα στη Γεωμετρία