Θαυμαστό θεώρημα

Το Θαυμαστό θεώρημα του Γκάους είναι ένα σημαντικό αποτέλεσμα της διαφορικής γεωμετρίας, το οποίο αποδείχθηκε από τον Καρλ Φρίντριχ Γκάους το 1827 και αφορά την καμπυλότητα των επιφανειών. Το θεώρημα δηλώνει ότι η καμπυλότητα του Γκάους μπορεί να προσδιοριστεί εξ ολοκλήρου με τη μέτρηση γωνιών, αποστάσεων και των ρυθμών τους σε μια επιφάνεια, χωρίς αναφορά στον ιδιαίτερο τρόπο με τον οποίο η επιφάνεια ενσωματώνεται στον περιβάλλοντα τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο. Με άλλα λόγια, η γκαουσιανή καμπυλότητα μιας επιφάνειας δεν αλλάζει αν λυγίσει κανείς την επιφάνεια χωρίς να την τεντώσει. Συνεπώς, η καμπυλότητα του Γκάους είναι ένα εγγενές αναλλοίωτο μιας επιφάνειας.

Ο Γκάους παρουσίασε το θεώρημα με αυτόν τον τρόπο (μεταφρασμένο από τα λατινικά):

 Επομένως, το ακόλουθο αξιοσημείωτο θεώρημα προκύπτει από μόνο του από τον παραπάνω τύπο: Αν μια καμπυλωτή επιφάνεια αναπτυχθεί πάνω σε οποιαδήποτε άλλη επιφάνεια, το μέτρο της καμπυλότητας σε κάθε σημείο παραμένει αμετάβλητο.

Στη σύγχρονη μαθηματική ορολογία, το θεώρημα μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: 

 Η γκαουσιανή καμπυλότητα μιας επιφάνειας είναι αμετάβλητη υπό τοπική ισομετρία.


 Βασικές εφαρμογές 


Μια σφαίρα ακτίνας R έχει σταθερή καμπυλότητα Γκάους η οποία είναι ίση με 1/R2. Την ίδια στιγμή, ένα επίπεδο έχει μηδενική καμπυλότητα Γκάους. Ως επακόλουθο του Θαυμαστού θεωρήματος, ένα κομμάτι χαρτί δεν μπορεί να καμφθεί πάνω σε μια σφαίρα χωρίς να τσαλακωθεί. Αντίστροφα, η επιφάνεια μιας σφαίρας δεν μπορεί να ξεδιπλωθεί πάνω σε ένα επίπεδο χωρίς να παραμορφωθούν οι αποστάσεις. Αν κάποιος πατούσε πάνω σε ένα άδειο κέλυφος αυγού, οι άκρες του πρέπει να διασπαστούν κατά τη διαστολή προτού ισοπεδωθούν. Μαθηματικά, μια σφαίρα και ένα επίπεδο δεν είναι ισομετρικά, ούτε καν τοπικά. Το γεγονός αυτό είναι σημαντικό για τη χαρτογραφία: συνεπάγεται ότι κανένας επίπεδος (επίπεδος) χάρτης της Γης δεν μπορεί να είναι τέλειος, ακόμη και για ένα τμήμα της γήινης επιφάνειας. Έτσι, κάθε χαρτογραφική προβολή αναγκαστικά παραμορφώνει τουλάχιστον κάποιες αποστάσεις.Geodetical applications were one of the primary motivations for Gauss's "investigations of the curved surfaces".

Το κατενοειδές και το ελικοειδές είναι δύο πολύ διαφορετικές επιφάνειες. Παρ' όλα αυτά, κάθε μία από αυτές μπορεί να κάμπτεται συνεχώς στην άλλη: είναι τοπικά ισομετρικές. Από το Θαυμαστό Θεώρημα προκύπτει ότι υπό αυτή την κάμψη η καμπυλότητα Γκάους σε οποιαδήποτε δύο αντίστοιχα σημεία του κατενοειδούς και του ελικοειδούς είναι πάντα η ίδια. Έτσι, η ισομετρία είναι απλώς κάμψη και συστροφή μιας επιφάνειας χωρίς εσωτερικό τσαλάκωμα ή σχίσιμο, με άλλα λόγια χωρίς επιπλέον τάση, συμπίεση ή διάτμηση.

Μια εφαρμογή του θεωρήματος παρατηρείται όταν ένα επίπεδο αντικείμενο κάμπτεται ή καμπυλώνεται κάπως κατά μήκος μιας γραμμής, δημιουργώντας δυσκαμψία στην κάθετη διεύθυνση. Αυτό το φαινόμενο είναι πρακτική χρήση στις κατασκευές, καθώς και σε μια κοινή στρατηγική για την κατανάλωση πίτσας: Ένα επίπεδο κομμάτι πίτσας μπορεί να θεωρηθεί ως μια επιφάνεια με σταθερή γκαουσιανή καμπυλότητα 0. Η ήπια κάμψη ενός κομματιού διατηρεί αυτή την καμπυλότητα κατά προσέγγιση (υποθέτοντας ότι η καμπυλότητα είναι κατά προσέγγιση μια τοπική ισομετρία). Αν μια φέτα καμπυλωθεί οριζόντια κατά μήκος μιας ακτίνας, δημιουργούνται μη μηδενικές κύριες καμπυλότητες κατά μήκος της καμπυλότητας, πράγμα που σημαίνει ότι η άλλη κύρια καμπυλότητα σε αυτά τα σημεία πρέπει να είναι μηδέν. Αυτό δημιουργεί ακαμψία στη διεύθυνση κάθετα στην πτύχωση, ένα επιθυμητό χαρακτηριστικό για την κατανάλωση πίτσας, καθώς διατηρεί το σχήμα της για αρκετό χρονικό διάστημα ώστε να καταναλωθεί χωρίς ζημιά. Η ίδια αρχή χρησιμοποιείται για την ενίσχυση κυματοειδών υλικών, όπως το κυματοειδές χαρτόνι και η κυματοειδής γαλβανισμένη λαμαρίναwired.com, καθώς και ορισμένες μορφές Τσιπς.

Παραγωγή

Όπως έχει ήδη αναφερθεί, ο ίδιος ο Γκάους μπόρεσε να προσδιορίσει αυτό το θεώρημα μόνο μετά από μακροχρόνιους υπολογισμούς. Αργότερα, κατέστη δυνατό να απλοποιηθούν σημαντικά οι υπολογισμοί αυτοί. Για παράδειγμα, ισχύει ο τύπος του Μπριόσι: 

Όπου ,  και  είναι οι συντελεστές της πρώτης θεμελιώδους μορφής ως προς μια παραμετροποίηση . Οι όροι ,  κ.λπ. συμβολίζουν την πρώτη και τη δεύτερη μερική παράγωγο σύμφωνα με τις παραμέτρους  και , με τις οποίες παραμετροποιείται η συγκεκριμένη επιφάνεια. Ο τύπος αυτός αποδεικνύεται με την εφαρμογή του ορισμού της καμπυλότητας του Γκάους, του τύπου πολλαπλασιασμού των προσδιοριστών και μιας εξελιγμένης αναπαράστασης των ανώτερων παραγώγων του διανύσματος θέσης της επιφάνειας με συντελεστές της πρώτης θεμελιώδους μορφής.

Το Θαυμαστό Θεώρημα προκύπτει από αυτό ως συνέπεια.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Τριγωνομετρική συνάρτηση
 Βαθμωτό πεδίο
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Καμπύλη Μπεζιέ
 Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Τρισδιάστατος χώρος
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Μιγαδικός αριθμός
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 

 .

 . Review: Séquin, Carlo H. (2009), Journal of Mathematics and the Arts 3: 229–230, 

Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

 Πηγές 
 Humanitarian Data Exchange(HDX) – The Humanitarian Data Exchange (HDX) is an open humanitarian data sharing platform managed by the United Nations Office for the Coordination of Humanitarian Affairs.
 NYC Open Data – free public data published by New York City agencies and other partners.
 Relational data set repository 
 Research Pipeline – a wiki/website with links to data sets on many different topics
 StatLib–JASA Data Archive
 UCI – a machine learning repository
 UK Government Public Data
 World Bank Open Data – Free and open access to global development data by World Bank




Κατηγορία:Εμβαδόν
Κατηγορία:Επιφάνειες