Πίνακας συνάφειας

Στη στατιστική, ο πίνακας συνάφειας (επίσης γνωστός ως πίνακας συμπτώσεων) είναι ένας είδος που εμφανίζει την πολυμεταβλητή κατανομή συχνοτήτων των μεταβλητών. Χρησιμοποιούνται ευρέως σε έρευνες, οικονομικές πληροφορίες, μηχανική και επιστημονική έρευνα. Παρέχουν μια βασική εικόνα της αλληλεπίδρασης μεταξύ δύο μεταβλητών και μπορούν να βοηθήσουν στην εύρεση αλληλεπιδράσεων μεταξύ τους. Ο όρος πίνακας συνάφειας χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Καρλ Πίρσον στο "On the Theory of Contingency and Its Relation to Association and Normal Correlation" (Σχετικά με τη θεωρία συμπτώσεων  και τη σχέση της με τη συνάφεια και την κανονική συσχέτιση), μέρος των ερευνητικών σημειωμάτων της εταιρείας Drapers' Company Research Memoirs Biometric Series I (Ερευνητικά απομνημονεύματα της εταιρείας Ντράπερς Βιομετρική σειρά Ι) που δημοσιεύθηκε το 1904. 

Ένα κρίσιμο πρόβλημα της πολυμεταβλητής στατιστικής είναι η εύρεση της δομής (άμεσης) εξάρτησης που διέπει τις μεταβλητές που περιέχονται σε πίνακες συνάφειας υψηλής διάστασης. Εάν αποκαλυφθούν ορισμένες από τις υπό συνθήκη ανεξαρτησίες, τότε ακόμη και η αποθήκευση των δεδομένων μπορεί να γίνει με πιο έξυπνο τρόπο (βλ. Lauritzen (2002)). Για να γίνει αυτό μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει έννοιες της θεωρίας της πληροφορίας, οι οποίες αποκτούν την πληροφορία μόνο από την κατανομή των πιθανοτήτων, η οποία μπορεί εύκολα να εκφραστεί από τον πίνακα ενδεχομένων με τις σχετικές συχνότητες.

Ο συγκεντρωτικός πίνακας (Pivot Table) είναι ένας τρόπος δημιουργίας πίνακα συναφειας με τη χρήση λογισμικού λογιστικών φύλλων.

Παράδειγμα

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο μεταβλητές, το φύλο (άνδρας ή γυναίκα) και η δεξιότητα (δεξιόχειρας ή αριστερόχειρας). Περαιτέρω, υποθέστε ότι 100 άτομα λαμβάνονται τυχαία από έναν πολύ μεγάλο πληθυσμό στο πλαίσιο μιας μελέτης για τις διαφορές φύλου στη δεξιότητα. Μπορεί να δημιουργηθεί ένας πίνακας συνάφειας που να εμφανίζει τον αριθμό των ατόμων που είναι άνδρες δεξιόχειρες και αριστερόχειρες, γυναίκες δεξιόχειρες και αριστερόχειρες. Ένας τέτοιος πίνακας συνάφειας παρουσιάζεται παρακάτω. 

   Δεξιόχειρας  Αριστερόχειρας  Σύνολο Αρσενικό 43  9   52 Θηλυκό 44  4   48 Σύνολο  87  13  100

Οι αριθμοί των αρσενικών, των θηλυκών και των δεξιόχειρων και αριστερόχειρων ατόμων ονομάζονται περιθωριακά σύνολα. Το μεγάλο σύνολο (ο συνολικός αριθμός των ατόμων που αντιπροσωπεύονται στον πίνακα συνάφειας) είναι ο αριθμός στην κάτω δεξιά γωνία.

Ο πίνακας επιτρέπει στους χρήστες να δουν με μια ματιά ότι το ποσοστό των ανδρών που είναι δεξιόχειρες είναι περίπου το ίδιο με το ποσοστό των γυναικών που είναι δεξιόχειρες, αν και οι αναλογίες δεν είναι ταυτόσημες. Η ισχύς της συσχέτισης μπορεί να μετρηθεί με τον Λόγο απόδοσης και ο λόγος  απόδοσης του πληθυσμού εκτιμάται από τον Λόγο απόδοσης του δείγματος. Η σημαντικότητα της διαφοράς μεταξύ των δύο αναλογιών μπορεί να εκτιμηθεί με μια ποικιλία στατιστικών δοκιμών, όπως το τεστ χι-τετράγωνο του Πίρσον, το τεστ G, το ακριβές τεστ του Φίσερ, το τεστ του Μπόσλοου και το τεστ του Μπάρναρντ, υπό την προϋπόθεση ότι οι καταχωρήσεις στον πίνακα αντιπροσωπεύουν άτομα που έχουν ληφθεί τυχαία από τον πληθυσμό για τον οποίο πρόκειται να εξαχθούν συμπεράσματα. Εάν τα ποσοστά των ατόμων στις διάφορες στήλες διαφέρουν σημαντικά μεταξύ των γραμμών (ή το αντίστροφο), λέγεται ότι υπάρχει μια ενδεχόμενη σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών. Με άλλα λόγια, οι δύο μεταβλητές δεν είναι ανεξάρτητες. Εάν δεν υπάρχει συνάφεια, λέγεται ότι οι δύο μεταβλητές είναι ανεξάρτητες. 

Το παραπάνω παράδειγμα είναι το απλούστερο είδος πίνακα συνάφειας, ένας πίνακας στον οποίο κάθε μεταβλητή έχει μόνο δύο επίπεδα- αυτός ονομάζεται πίνακας συνάφειας 2 × 2. Κατ' αρχήν, μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιοσδήποτε αριθμός γραμμών και στηλών. Μπορούν επίσης να υπάρχουν περισσότερες από δύο μεταβλητές, αλλά οι πίνακες συνάφειας υψηλότερης τάξης είναι δύσκολο να αναπαρασταθούν οπτικά. Η σχέση μεταξύ τακτικών μεταβλητών ή μεταξύ τακτικών και κατηγορικών μεταβλητών μπορεί επίσης να αναπαρασταθεί σε πίνακες ενδεχομένων, αν και η πρακτική αυτή είναι σπάνια. Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με τη χρήση ενός πίνακα συνάφειας  για τη σχέση μεταξύ δύο τακτικών μεταβλητών, βλέπε Goodman and Kruskal's gamma.

 Τυποποιημένο περιεχόμενο ενός πίνακα συνάφειας 
 Πολλαπλές στήλες (ιστορικά, σχεδιάστηκαν για να χρησιμοποιούν όλο το λευκό χώρο μιας τυπωμένης σελίδας). Όταν κάθε γραμμή αναφέρεται σε μια συγκεκριμένη υπο-ομάδα του πληθυσμού (στην προκειμένη περίπτωση άνδρες ή γυναίκες), οι στήλες αναφέρονται μερικές φορές ως σημεία μπάνερ ή  αποκοπές (και οι γραμμές αναφέρονται μερικές φορές ως  αποκοπές).
 Έλεγχοι σημαντικότητας. Συνήθως, είτε συγκρίσεις στηλών, οι οποίες ελέγχουν για διαφορές μεταξύ στηλών και εμφανίζουν αυτά τα αποτελέσματα χρησιμοποιώντας γράμματα, είτε, συγκρίσεις κελιών, οι οποίες χρησιμοποιούν χρώμα ή βέλη για να προσδιορίσουν ένα κελί σε έναν πίνακα που ξεχωρίζει με κάποιο τρόπο.
 Δίκτυα ή netts, τα οποία είναι επιμέρους αθροίσματα.
 Ένα ή περισσότερα από τα εξής: ποσοστά, ποσοστά γραμμών, ποσοστά στηλών, δείκτες ή μέσοι όροι.
 Μη σταθμισμένα μεγέθη δείγματος (μετρήσεις).

Μέτρα συσχέτισης

Ο βαθμός συσχέτισης μεταξύ των δύο μεταβλητών μπορεί να εκτιμηθεί με διάφορους συντελεστές. Στις υποενότητες που ακολουθούν περιγράφονται ορισμένοι από αυτούς. Για μια πληρέστερη συζήτηση των χρήσεών τους, ανατρέξτε στα κύρια άρθρα που συνδέονται με τον τίτλο κάθε υποενότητας. 

Λόγος απόδοσης 
Κύριο άρθρο: Λόγος απόδοσης

Το απλούστερο μέτρο συσχέτισης για έναν πίνακα ενδεχομένων 2 × 2 είναι ο Λόγος απόδοσης. Δεδομένων δύο γεγονότων, Α και Β, ο Λόγος απόδοσης ορίζεται ως ο Λόγος απόδοσης του Α παρουσία του Β και των πιθανοτήτων του Α απουσία του Β, ή ισοδύναμα (λόγω συμμετρίας), ο Λόγος απόδοσης του Β παρουσία του Α και των πιθανοτήτων του Β απουσία του Α. Δύο γεγονότα είναι ανεξάρτητα εάν και μόνο εάν ο Λόγος απόδοσης είναι 1. Εάν ο Λόγος απόδοσης  είναι μεγαλύτερος από 1, τα γεγονότα συνδέονται θετικά- εάν ο Λόγος απόδοσης είναι μικρότερος από 1, τα γεγονότα συνδέονται αρνητικά.

Ο λόγος απόδοσης  έχει μια απλή έκφραση σε όρους πιθανοτήτων- δεδομένης της κοινής κατανομής πιθανοτήτων:

Ο Λόγος απόδοσης είναι:

Συντελεστής Φ
Ένα απλό μέτρο, που εφαρμόζεται μόνο στην περίπτωση του Πίνακα συνάφειας 2 × 2, είναι ο συντελεστής Φ που ορίζεται ως εξής



όπου  υπολογίζεται όπως στο τεστ χι-τετραγώνου του Πίρσον και Ν είναι το μεγάλο σύνολο των παρατηρήσεων. Το φ κυμαίνεται από 0 (που αντιστοιχεί σε καμία συσχέτιση μεταξύ των μεταβλητών) έως 1 ή -1 (πλήρης συσχέτιση ή πλήρης αντίστροφη συσχέτιση), εφόσον βασίζεται σε δεδομένα συχνότητας που αναπαρίστανται σε πίνακες 2 × 2. Τότε το πρόσημό του ισούται με το πρόσημο του γινομένου των κύριων διαγώνιων στοιχείων του πίνακα μείον το γινόμενο των εκτός διαγωνίου στοιχείων. φ παίρνει την ελάχιστη τιμή −1,0 ή τη μέγιστη τιμή +1,0 εάν και μόνο εάν κάθε οριακό ποσοστό είναι ίσο με 0,5 (και δύο διαγώνια κελιά είναι κενά).Ferguson, G. A. (1966). Statistical analysis in psychology and education. New York: McGraw–Hill.

Το V του Κραμέρ και ο συντελεστής συνάφειας C

Δύο εναλλακτικές λύσεις είναι ο συντελεστής συνάφειας C και ο V του Κραμέρ.

Οι τύποι για τους συντελεστές C και V είναι οι εξής

  και



k είναι ο αριθμός των γραμμών ή ο αριθμός των στηλών, όποιο από τα δύο είναι μικρότερο.

Το C υποφέρει από το μειονέκτημα ότι δεν φτάνει το μέγιστο 1,0, συγκεκριμένα το μέγιστο που μπορεί να φτάσει σε έναν πίνακα 2 × 2 είναι 0,707 . Μπορεί να φτάσει τιμές πιο κοντά στο 1,0 σε πίνακες συνάφειας με περισσότερες κατηγορίες- παραδείγματος χάριν, μπορεί να φτάσει το μέγιστο 0,870 σε έναν πίνακα 4 × 4. Επομένως, δεν θα πρέπει να χρησιμοποιείται για τη σύγκριση συσχετίσεων σε διαφορετικούς πίνακες, εάν αυτοί έχουν διαφορετικό αριθμό κατηγοριών.Smith, S. C., & Albaum, G. S. (2004) Fundamentals of marketing research. Sage: Thousand Oaks, CA. p. 631

Το C μπορεί να ρυθμιστεί έτσι ώστε να φτάσει στο μέγιστο 1.0 όταν υπάρχει πλήρης συσχέτιση σε έναν πίνακα οποιουδήποτε αριθμού γραμμών και στηλών, διαιρώντας το C με  όπου k είναι ο αριθμός των γραμμών ή των στηλών, όταν ο πίνακας είναι τετράγωνος ή με  όπου r είναι ο αριθμός των γραμμών και c είναι ο αριθμός των στηλών.Blaikie, N. (2003) Analyzing Quantitative Data. Sage: Thousand Oaks, CA. p. 100

Συντελεστής λάμδα

Ο συντελεστής λάμδα είναι ένα μέτρο της ισχύος της συσχέτισης των διασταυρούμενων πινάκων όταν οι μεταβλητές μετρώνται σε Κλίμακες μέτρησης. Οι τιμές κυμαίνονται από 0,0 (καμία συσχέτιση) έως 1,0 (η μέγιστη δυνατή συσχέτιση).

Το ασύμμετρο λάμδα μετρά την ποσοστιαία βελτίωση στην πρόβλεψη της εξαρτημένης μεταβλητής. Το συμμετρικό λάμδα μετρά την ποσοστιαία βελτίωση όταν η πρόβλεψη γίνεται και προς τις δύο κατευθύνσεις.

Συντελεστής αβεβαιότητας

Ο συντελεστής αβεβαιότητας, ή U του Θεϊλ, είναι ένα άλλο μέτρο για τις μεταβλητές σε ονομαστικό επίπεδο. Οι τιμές του κυμαίνονται από -1,0 (100% αρνητική συσχέτιση ή τέλεια αντιστροφή) έως +1,0 (100% θετική συσχέτιση ή τέλεια συμφωνία). Η τιμή 0,0 υποδηλώνει την απουσία συσχέτισης.

Επίσης, ο συντελεστής αβεβαιότητας είναι υπό όρους και ένα ασύμμετρο μέτρο συσχέτισης, το οποίο μπορεί να εκφραστεί ως εξής 

.

Αυτή η ασύμμετρη ιδιότητα μπορεί να οδηγήσει σε γνώσεις που δεν είναι τόσο εμφανείς σε συμμετρικά μέτρα συσχέτισης.

Λοιποί

Δοκιμή γάμμα: Δεν υπάρχει προσαρμογή ούτε για το μέγεθος του πίνακα ούτε για τις ισοπαλίες.
Ταυ του Κένταλ: Προσαρμογή για ισοπαλίες. 
Tau-b: Χρησιμοποιείται για τετράγωνους πίνακες.
Tau-c: Χρησιμοποιείται για ορθογώνιους πίνακες.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή

 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Κατανομή t-Student
 Κανονική κατανομή
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Διαφορική γεωμετρία
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Θεωρία αναπαραστάσεων
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Ένα προς ένα
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Προβολικός χώρος
 Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Μιγαδικός αριθμός
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Τυπική απόκλιση

 Βιβλιογραφία













 Παραπομπές 









   (15 pages)

 Ch. 1–6 of 2013 edition

 Πηγές 








Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Πληροφοριακά γραφήματα
Κατηγορία:Στατιστικοί Έλεγχοι
Κατηγορία:Μέθοδοι επιστημονικής έρευνας
Κατηγορία:Εφαρμοσμένα μαθηματικά
Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών
Κατηγορία:Επιστημονική μέθοδος
Κατηγορία:Στατιστικές μέθοδοι
Κατηγορία:Θεωρία αριθμών