Ολοκλήρωμα του Ντουχάμελ

Στη θεωρία της ταλάντωσης, το ολοκλήρωμα του Ντουχάμελ είναι ένας τρόπος υπολογισμού της απόκρισης γραμμικών συστημάτων και δομών σε αυθαίρετες χρονικά μεταβαλλόμενες εξωτερικές διαταραχές.

Εισαγωγή

Ιστορικό

Η απόκριση ενός γραμμικού, ιξωδώς αποσβεσμένου συστήματος ενός βαθμού ελευθερίας (SDOF) σε μια χρονικά μεταβαλλόμενη μηχανική διέγερση p(t) δίνεται από την ακόλουθη συνήθη διαφορική εξίσωση δεύτερης βαθμού 

όπου m είναι η (ισοδύναμη) μάζα, x συμβολίζει το πλάτος της ταλάντωσης, t τον χρόνο, c τον συντελεστή ιξώδους απόσβεσης και k τη δυσκαμψία του συστήματος ή της δομής.

Αν ένα σύστημα αρχικά βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του, από όπου ασκείται πάνω του μια μοναδιαία ώθηση τη στιγμή t=0, δηλαδή p(t) στην παραπάνω εξίσωση είναι μια συνάρτηση δέλτα Ντιράκ δ(t), , τότε επιλύοντας τη διαφορική εξίσωση μπορούμε να πάρουμε μια θεμελιώδη λύση (γνωστή ως συνάρτηση μοναδιαίας παλμικής απόκρισης)

όπου  ονομάζεται λόγος απόσβεσης του συστήματος,  είναι η φυσική γωνιακή συχνότητα του συστήματος χωρίς απόσβεση (όταν c=0) και  είναι η γωνιακή συχνότητα όταν λαμβάνεται υπόψη το φαινόμενο της απόσβεσης (όταν ). Εάν ο παλμός συμβαίνει στο t=τ αντί για t=0, δηλαδή, η κρουστική απόκριση είναι 

，

Συμπεράσματα
Θεωρώντας την αυθαίρετα μεταβαλλόμενη διέγερση p(t) ως υπέρθεση μιας σειράς παλμών:

τότε είναι γνωστό από τη γραμμικότητα του συστήματος ότι η συνολική απόκριση μπορεί επίσης να αναλυθεί στην υπέρθεση μιας σειράς παλμικών αποκρίσεων:

Αφήνοντας , και αντικαθιστώντας την άθροιση με ολοκλήρωμα, η παραπάνω εξίσωση είναι αυστηρά έγκυρη

Η αντικατάσταση της έκφρασης του h(t-τ) στην παραπάνω εξίσωση οδηγεί στη γενική έκφραση του ολοκληρώματος του Ντουχάμελ

Μαθηματική απόδειξη
Η παραπάνω δυναμική εξίσωση ισορροπίας SDOF στην περίπτωση p(t)=0 είναι η ομογενής εξίσωση:

, όπου 

Η λύση αυτής της εξίσωσης είναι:

Η αντικατάσταση:  οδηγεί στο:

Μία μερική λύση της μη ομοιογενούς εξίσωσης: , όπου  θα μπορούσε να προκύψει με τη μέθοδο Λαγκράντζιαν για την εξαγωγή μερικής λύσης μη ομοιογενών συνήθων διαφορικών εξισώσεων.

Η λύση αυτή έχει τη μορφή: 

Τώρα αντικαθιστώντας:,όπου  είναι η παράγουσα του x(t) που υπολογίζεται στο t=z, στην περίπτωση z=t αυτό το ολοκλήρωμα είναι η ίδια η παράγουσα, δίνει :

Τέλος, η γενική λύση της παραπάνω μη ομοιογενούς εξίσωσης παριστάνεται ως εξής:

με χρονική παράγωγο:

, where 

Για να βρεθούν οι άγνωστες σταθερές , θα εφαρμοστούν μηδενικές αρχικές συνθήκες:

 ⇒ 
 ⇒ 

Τώρα συνδυάζοντας και τις δύο αρχικές συνθήκες μαζί, παρατηρείται το επόμενο σύστημα εξισώσεων:

Η αντίστροφη αντικατάσταση των σταθερών  και  στην παραπάνω έκφραση για x(t) δίνει:

Αντικαθιστώντας τα  και  (η διαφορά μεταξύ των αρχικών τιμών σε t=t και t=0) με ορισμένα ολοκληρώματα (με μια άλλη μεταβλητή τ) θα αποκαλύψουμε τη γενική λύση με μηδενικές αρχικές συνθήκες, δηλαδή:

Τέλος, αντικαθιστώντας , Κατά συνέπεια , όπου ξ<1 αποδίδει:

, όπου  και i είναι η φανταστική μονάδα.

Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις στην παραπάνω γενική λύση με μηδενικές αρχικές συνθήκες και χρησιμοποιώντας τον εκθετικό τύπο του Όιλερ, θα ακυρώσουμε τους φανταστικούς όρους και θα αποκαλύψουμε τη λύση του Ντουχάμελ:

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Τριγωνομετρική συνάρτηση
 Συνάρτηση γάμμα
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Ρητή συνάρτηση
 Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Κατάλογος ολοκληρωμάτων των Γκαουσιανών συναρτήσεων
 Κατάλογος ολοκληρωμάτων των υπερβολικών συναρτήσεων
 Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Μιγαδικός αριθμός
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Ακέραιος αριθμός

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 



 . In particular chapters III and IV.












Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Κατηγορία:Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
Κατηγορία:Ολοκληρώματα
Κατηγορία:Μαθηματικές συναρτήσεις
Κατηγορία:Θεωρήματα στην ανάλυση
Κατηγορία:Μηχανική
Κατηγορία:Ειδικές συναρτήσεις