Ελικοειδές

Το ελικοειδές, επίσης γνωστό ως ελικοειδής επιφάνεια, είναι μια λεία επιφάνεια ενσωματωμένη στον τρισδιάστατο χώρο. Είναι η επιφάνεια που διαγράφεται από μια άπειρη γραμμή η οποία ταυτόχρονα περιστρέφεται και ανυψώνεται κατά μήκος του σταθερού άξονα περιστροφής της. Είναι η τρίτη ελάχιστη επιφάνεια που είναι γνωστή, μετά το επίπεδο και το αλυσοειδές.

Ιστορία

Περιγράφηκε από τον Όιλερ το 1774 και από τον Ζαν Μπατίστ Μενιέ το 1776. Το όνομά του προέκυψε από την ομοιότητά του με την έλικα: για κάθε σημείο του ελικοειδούς, υπάρχει μια έλικα που περιέχεται στο ελικοειδές και διέρχεται από το σημείο αυτό.

Το ελικοειδές είναι επίσης μια ευθειογενής επιφάνεια (και ένα ορθό κωνοειδές), που σημαίνει ότι είναι ένα ίχνος μιας γραμμής. Εναλλακτικά, για κάθε σημείο της επιφάνειας, υπάρχει μια ευθεία της επιφάνειας που διέρχεται από αυτό. Πράγματι, ο Καταλάν απέδειξε το 1842 ότι το ελικοειδές και το επίπεδο είναι οι μόνες ευθειογενεις ελάχιστες επιφάνειεςElements of the Geometry and Topology of Minimal Surfaces in Three-dimensional Space
By A. T. Fomenko, A. A. Tuzhilin
Contributor A. A. Tuzhilin
Published by AMS Bookstore, 1991
ISBN 0-8218-4552-7, ISBN 978-0-8218-4552-3, p. 33.

Οι Μικς και Ρόζενμπεργκ απέδειξαν το 2005 (με βάση τις ανισότητες Κάλντινγκ-Μινικότσι) ότι υπάρχουν μόνο 2 τύποι απλά συνεχόμενων ελάχιστων επιφανειών στον : το επίπεδο και το ελικοειδές.William H. Meeks, Harold Rosenberg (2005). The uniqueness of the helicoid. Annals of Mathematics (2), 161 (2), 727–758, .Tobias H. Colding, William P. Minicozzi (2004). The space of embedded minimal surfaces of fixed genus in a 3-manifold. IV. Locally simply connected. Annals of Mathematics (2), 160 (2), 573–615, . Ωστόσο, τη δεκαετία του 1990 ο Ντέιβιντ Άλεν Χόφμαν και οι συνεργάτες του βρήκαν άλλα παραδείγματα μη μηδενικού τοπολογικού γένους, που προέκυψαν από το ελικοειδές. Ο Χόφμαν, ο Μάικλ Βολφ και ο Ματίας Βέμπερ απέδειξαν το 2009David Allen Hoffman, Matthias Weber, Michael Wolf: An embedded genus-one helicoid, Annals of Mathematics, Band 169, 2009, S. 347–448 (und Proc. Nat. Acad. USA, Band 102, 2005, S. 16566–16568). ότι σχηματίζουν μια πλήρη ενσωματώσιμη ελάχιστη επιφάνεια για γένος 1 (προηγουμένως αυτό είχε αποδειχθεί μόνο για γένος άπειρο, εκτός από το γένος 0). 

Περιγραφή
μικρογραφία|262x262εσ|Ορθό ελικοειδές σε κινούμενη εικόνα.
Ένα ελικοειδές είναι επίσης μια επιφάνεια μεταφοράς με την έννοια της διαφορικής γεωμετρίας.

Το ελικοειδές και το κατενοειδές αποτελούν μέρη μιας οικογένειας ελάχιστων επιφανειών ελικοειδούς-κατενοειδούς.

Το ελικοειδές έχει σχήμα όπως ο κοχλίας του Αρχιμήδη, αλλά εκτείνεται απείρως προς όλες τις κατευθύνσεις. Μπορεί να περιγραφεί από τις ακόλουθες παραμετρικές εξισώσεις σε καρτεσιανές συντεταγμένες:

Το ελικοειδές έχει σχήμα σαν τον κοχλία του Αρχιμήδη, αλλά εκτείνεται απείρως προς όλες τις κατευθύνσεις. Μπορεί να περιγραφεί από τις ακόλουθες παραμετρικές εξισώσεις σε καρτεσιανές συντεταγμένες: 

όπου  και  κυμαίνονται από το αρνητικό άπειρο έως το θετικό άπειρο, ενώ  είναι μια σταθερά. Αν  είναι θετικό, τότε το ελικοειδές είναι δεξιόστροφο όπως φαίνεται στο σχήμα- αν είναι αρνητικό τότε αριστερόστροφο.thumb|256px|Κινούμενη εικόνα που δείχνει την τοπική ισομετρία ενός ελικοειδούς τμήματος και ενός κατενοειδούς τμήματος.

Το ελικοειδές έχει κύριες καμπυλότητες .  Το άθροισμα αυτών των μεγεθών δίνει τη [μέση καμπυλότητα (μηδέν αφού το ελικοειδές είναι ελάχιστη επιφάνεια) και το γινόμενο δίνει τη γκαουσιανή καμπυλότητα.

Το ελικοειδές είναι ομοιομορφικό με το επίπεδο .  Για να φανεί αυτό, αφήνουμε το  να μειώνεται συνεχώς από τη δεδομένη τιμή του μέχρι το μηδέν.  Κάθε ενδιάμεση τιμή του  θα περιγράφει ένα διαφορετικό ελικοειδές, μέχρι να φτάσουμε στο  και το ελικοειδές να γίνει ένα κατακόρυφο επίπεδο.

Εάν ένα ελικοειδές ακτίνας  περιστρέφεται κατά γωνία  γύρω από τον άξονά του ενώ ανεβαίνει κατά ύψος , το εμβαδόν της επιφάνειας δίνεται από τη σχέση 

Ελικοειδές και κατενοειδές

Το ελικοειδές και το κατενοειδές είναι τοπικά ισομετρικές επιφάνειες- βλ. μετασχηματισμό ελικοειδούς.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
 Wolfram Mathematica Online Integrator
  A Table of Integrals of the Error Functions

 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Τριγωνομετρική συνάρτηση
 Συνάρτηση γάμμα
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Ρητή συνάρτηση
 Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Ζαν-Μπατίστ Μαρί Μενιέ ντε Λα Πλας
 Τρισδιάστατος χώρος
 Κοχλίας του Αρχιμήδη
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Μιγαδικός αριθμός
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Ακέραιος αριθμός

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 

, English translation of 1934 classic German textbook
, Chapter I
, Cambridge undergraduate course

, for closed oriented Riemannian manifolds
; page discussing the paper: On Conway's ZIP Proof
, short elementary proof using spanning graphs



Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Κατηγορία:Ολοκληρώματα 
Κατηγορία:Εμβαδόν
Κατηγορία:Επιφάνειες