Καμπυλότητα Γκάους

Στη διαφορική γεωμετρία, η καμπυλότητα Γκάους, Γκαουσιανή καμπυλότητα, ή Ολική καµπυλότητα  μιας λείας επιφάνειας στον τρισδιάστατο χώρο σε ένα σημείο είναι το γινόμενο των κύριων καμπυλοτήτων,  και , στο συγκεκριμένο σημείο:

Παραδείγµατος χάριν, µια σφαίρα ακτίνας  έχει καµπυλότητα Γκάους   παντού, ενώ ένα επίπεδο και ένας κύλινδρος έχουν γκαουσιανή καµπυλότητα µηδέν παντού. Η γκαουσιανή καμπυλότητα μπορεί επίσης να είναι αρνητική, όπως στην περίπτωση ενός υπερβολοειδούς ή του εσωτερικού ενός τόρου.

Η καμπυλότητα του Γκάους είναι ένα «εσωτερικό» μέτρο της καμπυλότητας, που σημαίνει ότι θα μπορούσε κατ' αρχήν να μετρηθεί από ένα δισδιάστατο ον που ζει εξ ολοκλήρου μέσα στην επιφάνεια, επειδή εξαρτάται μόνο από τις αποστάσεις που μετρώνται «μέσα» ή κατά μήκος της επιφάνειας και όχι από τον τρόπο με τον οποίο αυτή είναι ισομετρικά ενσωματωμένη στον Ευκλείδειο χώρο. Αυτό είναι το περιεχόμενο του  Θαυμαστού θεωρήματος .

Η καμπυλότητα Γκάους πήρε το όνομά της από τον Καρλ Φρίντριχ Γκάους, ο οποίος δημοσίευσε το Θαυμαστό θεώρημα το 1827.

 Άτυπος ορισμός 
Σε οποιοδήποτε σημείο μιας επιφάνειας, μπορούμε να βρούμε ένα κανονικό διάνυσμα που βρίσκεται σε ορθή γωνία με την επιφάνεια- τα επίπεδα που περιέχουν το κανονικό διάνυσμα ονομάζονται «κανονικά επίπεδα». Η τομή ενός κανονικού επιπέδου και της επιφάνειας θα σχηματίσει μια καμπύλη που ονομάζεται κανονική τομή και η καμπυλότητα αυτής της καμπύλης είναι η κανονική καμπυλότητα. Για τα περισσότερα σημεία στις περισσότερες λείες επιφάνειες, οι διάφορες κανονικές τομές θα έχουν διαφορετικές καμπυλότητες- η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή τους ονομάζονται κύριες καμπυλότητες, ονομάζουμε αυτές , . Η καμπυλότητα Γκάους είναι το γινόμενο των δύο κύριων καμπυλοτήτων .

Το πρόσημο της καμπυλότητας Γκάους μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον χαρακτηρισμό της επιφάνειας.
Εάν και οι δύο κύριες καμπυλότητες έχουν το ίδιο πρόσημο: , τότε η καμπυλότητα Γκάους είναι θετική και η επιφάνεια λέγεται ότι έχει ελλειπτικό σημείο. Σε τέτοια σημεία, η επιφάνεια θα είναι θολωτή, και θα βρίσκεται τοπικά στη μία πλευρά του εφαπτόμενου επιπέδου της. Όλες οι τομεακές καμπυλότητες θα έχουν το ίδιο πρόσημο. 
Εάν οι κύριες καμπυλότητες έχουν διαφορετικά πρόσημα:, τότε η καμπυλότητα Γκάους είναι αρνητική και η επιφάνεια λέγεται ότι έχει υπερβολικό σημείο ή σημείο σέλας. Σε τέτοια σημεία, η επιφάνεια θα έχει σχήμα σέλας. Επειδή η μία κύρια καμπυλότητα είναι αρνητική, η άλλη θετική και η κανονική καμπυλότητα μεταβάλλεται συνεχώς αν περιστρέψετε ένα επίπεδο ορθογώνιο στην επιφάνεια γύρω από την κάθετη στην επιφάνεια προς δύο κατευθύνσεις, οι κανονικές καμπυλότητες θα είναι μηδέν δίνοντας τις ασυμπτωτικές καμπύλες για το σημείο αυτό.
Εάν μία από τις κύριες καμπυλότητες είναι μηδέν: , η γκαουσιανή καμπυλότητα είναι μηδέν και η επιφάνεια λέγεται ότι έχει παραβολικό σημείο.

Οι περισσότερες επιφάνειες περιέχουν περιοχές θετικής καμπυλότητας Γκάους (ελλειπτικά σημεία) και περιοχές αρνητικής καμπυλότητας Γκάους που χωρίζονται από μια καμπύλη σημείων με μηδενική καμπυλότητα Γκάους που ονομάζεται παραβολική γραμμή.

 Σχέση με τις γεωμετρίες 
Όταν μια επιφάνεια έχει σταθερή μηδενική καμπυλότητα Γκάους, τότε πρόκειται για αναπτυσσόμενη επιφάνεια και η γεωμετρία της επιφάνειας είναι η ευκλείδεια γεωμετρία.

Όταν μια επιφάνεια έχει σταθερή θετική γκαουσιανή καμπυλότητα, τότε η γεωμετρία της επιφάνειας είναι σφαιρική γεωμετρία. Οι σφαίρες και τα τμήματα σφαιρών έχουν αυτή τη γεωμετρία, αλλά υπάρχουν και άλλα παραδείγματα, όπως η επιφάνεια Λεμον/αμερικανικό ποδόσφαιρο.

Όταν μια επιφάνεια έχει σταθερή αρνητική καμπυλότητα Γκάους, τότε πρόκειται για ψευδοσφαιρική επιφάνεια και η γεωμετρία της επιφάνειας είναι υπερβολική γεωμετρία.

Σχέση με τις κύριες καμπυλότητες
Οι δύο κύριες καμπυλότητες σε ένα δεδομένο σημείο μιας επιφάνειας (τοπολογίας) είναι οι ιδιοτιμές του τελεστή σχήματος στο σημείο. Μετρούν την καμπυλότητα της επιφάνειας προς διάφορες κατευθύνσεις από το συγκεκριμένο σημείο.  Παρουσιάζουμε την επιφάνεια με το θεώρημα της εμπρόθετης συνάρτησης ως τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, , δύο μεταβλητών, με τέτοιο τρόπο ώστε το σημείο  να είναι κρίσιμο σημείο, δηλαδή η κλίση της  να εξαφανίζεται (αυτό μπορεί πάντα να επιτευχθεί με μια κατάλληλη άκαμπτη κίνηση). Τότε η γκαουσιανή καμπυλότητα της επιφάνειας στο  είναι ο προσδιοριστής του πίνακα Εσιαν του  (που είναι το γινόμενο των ιδιοτιμών  Εσιάν). (Υπενθυμίζουμε ότι  Εσιανός είναι ο πίνακας 2×2 των δεύτερων παραγώγων.) Αυτός ο ορισμός εξηγεί αμέσως τη διάκριση μεταξύ ενός κουβά/καπέλου και ενός σημείου σέλας.

 Εναλλακτικοί ορισμοί 
Δίνεται επίσης από

όπου  

είναι η συναλλοίωτη παράγωγος και  είναι ο μετρικός τανυστής.

όπου  είναι ο τελεστής σχήματος.

Ένας χρήσιμος τύπος για την καμπυλότητα του Γκάους είναι η εξίσωση του Λιουβίλ ως προς τη Λαπλασιανή σε ισοθερμικές συντεταγμένες.

 Ολική καμπυλότητα 

Το επιφανειακό ολοκλήρωμα της καμπυλότητας Γκάους σε κάποια περιοχή μιας επιφάνειας ονομάζεται «ολική καμπυλότητα». Η ολική καμπυλότητα ενός γεωδαιτικού τριγώνου ισούται με την απόκλιση του αθροίσματος των γωνιών του από το . Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου σε μια επιφάνεια θετικής καμπυλότητας θα υπερβαίνει το , ενώ το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου σε μια επιφάνεια αρνητικής καμπυλότητας θα είναι μικρότερο από το . Σε μια επιφάνεια μηδενικής καμπυλότητας, όπως το ευκλείδειο επίπεδο, το άθροισμα των γωνιών θα είναι ακριβώς  ακτίνια.

Ένα πιο γενικό αποτέλεσμα είναι το θεώρημα Γκάους-Μπονέ.

 Σημαντικά θεωρήματα 
Θαυμαστό θεώρημα 
Κύριο άρθρο: Θαυμαστό θεώρημα 

Το Theorema egregium (ή «Θαυμαστό θεώρημα») του Γκάους δηλώνει ότι η γκαουσιανή καμπυλότητα μιας επιφάνειας μπορεί να προσδιοριστεί από τις μετρήσεις του μήκους στην ίδια την επιφάνεια. Στην πραγματικότητα, μπορεί να βρεθεί δεδομένης της πλήρους γνώσης της πρώτης θεμελιώδους μορφής και να εκφραστεί μέσω της πρώτης θεμελιώδους μορφής και των μερικών παραγώγων της πρώτης και δεύτερης τάξης. Ισοδύναμα, ή ορίζουσα της δεύτερης θεμελιώδους μορφής μιας επιφάνειας στο  μπορεί να εκφραστεί με τον τρόπο αυτό. Το αξιοσημείωτο, και εκπληκτικό, χαρακτηριστικό αυτού του θεωρήματος είναι ότι παρόλο που ο ορισμός της γκαουσιανής καμπυλότητας μιας επιφάνειας  στον  εξαρτάται ασφαλώς από τον τρόπο με τον οποίο η επιφάνεια τοποθετείται στο χώρο, το τελικό αποτέλεσμα, η ίδια η γκαουσιανή καμπυλότητα, καθορίζεται από την εσωτερική μετρική της επιφάνειας χωρίς καμία περαιτέρω αναφορά στον περιβάλλοντα χώρο: είναι εσωτερικά αναλλοίωτο. Ειδικότερα, η καμπυλότητα Γκάους είναι αναλλοίωτη υπό ισομετρικές παραμορφώσεις της επιφάνειας. 

Στη σύγχρονη διαφορική γεωμετρία, μια «επιφάνεια», θεωρούμενη αφηρημένα, είναι μια δισδιάστατη διαφορίσιμη πολλαπλότητα. Για να συνδεθεί αυτή η άποψη με την κλασική θεωρία των επιφανειών, μια τέτοια αφηρημένη επιφάνεια ενσωματώνεται στον  και αποκτά τη μετρική Ρίμαν που δίνεται από την πρώτη θεμελιώδη μορφή. Ας υποθέσουμε ότι η εικόνα της ενσωμάτωσης είναι μια επιφάνεια  στον . Μια τοπική ισομετρία είναι ένας διαφορικός μορφισμός  μεταξύ ανοικτών περιοχών του  του οποίου ο περιορισμός στην   είναι ισομετρία στην εικόνα του. Το Θαυμαστό θεώρημα  διατυπώνεται ως εξής: 

Παραδείγματος χάριν, η καμπυλότητα Γκάους ενός κυλινδρικού σωλήνα είναι μηδέν, όπως και για τον «ξετυλιγμένο» σωλήνα (ο οποίος είναι επίπεδος).  Από την άλλη πλευρά, δεδομένου ότι μια σφαίρα ακτίνας  έχει σταθερή θετική καμπυλότητα  και ένα επίπεδο έχει σταθερή καμπυλότητα 0, αυτές οι δύο επιφάνειες δεν είναι ισομετρικές, ούτε καν τοπικά. Έτσι, οποιαδήποτε επίπεδη αναπαράσταση έστω και ενός μικρού τμήματος μιας σφαίρας πρέπει να παραμορφώνει τις αποστάσεις. Επομένως, καμία χαρτογραφική προβολή δεν είναι τέλεια.

 Θεώρημα Γκάους-Μπονέ
Το θεώρημα Γκάους-Μπονέ συσχετίζει την ολική καμπυλότητα μιας επιφάνειας με τη χαρακτηριστική του Όιλερ και παρέχει μια σημαντική σύνδεση μεταξύ τοπικών γεωμετρικών ιδιοτήτων και παγκόσμιων τοπολογικών ιδιοτήτων.

Επιφάνειες σταθερής καμπυλότητας 

 Το θεώρημα του Μίντινγκ (1839) δηλώνει ότι όλες οι επιφάνειες με την ίδια σταθερή καμπυλότητα  είναι τοπικά ισομετρικές. Μια συνέπεια του θεωρήματος του Μίντινγκ είναι ότι κάθε επιφάνεια της οποίας η καμπυλότητα είναι πανομοιότυπα μηδέν μπορεί να κατασκευαστεί με την κάμψη κάποιας επίπεδης περιοχής. Τέτοιες επιφάνειες ονομάζονται αναπτύξιμες επιφάνειες. Ο Μίντινγκ έθεσε επίσης το ερώτημα αν μια κλειστή επιφάνεια με σταθερή θετική καμπυλότητα είναι απαραίτητα άκαμπτη.
 Το θεώρημα του Λίμπμαν (1900) έδωσε απάντηση στο ερώτημα του Μίντινγκ. Οι μόνες κανονικές (της κατηγορίας C2) κλειστές επιφάνειες στο  με σταθερή θετική καμπυλότητα Γκάους είναι οι σφαίρες. Εάν μια σφαίρα παραμορφωθεί, δεν παραμένει σφαίρα, αποδεικνύοντας ότι μια σφαίρα είναι άκαμπτη. Μια τυπική απόδειξη χρησιμοποιεί το λήμμα του Χίλμπερτ ότι τα μη οβελιαία σημεία ακραίας κύριας καμπυλότητας έχουν μη θετική καμπυλότητα Γκάους..
 Το θεώρημα του Χίλμπερτ (1901) δηλώνει ότι δεν υπάρχει καμία πλήρης αναλυτική (κλάσης Cω) κανονική επιφάνεια στον R3 με σταθερή αρνητική καμπυλότητα Γκαουσιανής καμπυλότητας. Στην πραγματικότητα, το συμπέρασμα ισχύει επίσης για επιφάνειες της κλάσης C2 βυθισμένες στον R3, αλλά καταρρέει για επιφάνειες C1. Η ψευδόσφαιρα έχει σταθερή αρνητική καμπυλότητα Γκάους εκτός από τον οριακό της κύκλο, όπου η καμπυλότητα Γκάους δεν ορίζεται.
Υπάρχουν και άλλες επιφάνειες που έχουν σταθερή θετική καμπυλότητα Γκάους. Ο Μανφρέντο ντο Κάρμο εξετάζει επιφάνειες με περιστροφή  όπου , και  (ελλειπτικό ολοκλήρωμα δεύτερου είδους). Αυτές οι επιφάνειες έχουν όλες σταθερή καμπυλότητα Γκάους 1, αλλά, για  είτε έχουν ένα όριο είτε ένα μοναδικό σημείο. ο Ντο Κάρμο δίνει επίσης τρία διαφορετικά παραδείγματα επιφάνειας με σταθερή αρνητική καμπυλότητα Γκάους, ένα από τα οποία είναι ψευδόσφαιρα . 
Υπάρχουν πολλές άλλες πιθανές οριοθετημένες επιφάνειες με σταθερή καμπυλότητα Γκάους. Ενώ η σφαίρα είναι άκαμπτη και δεν μπορεί να καμφθεί χρησιμοποιώντας μια ισομετρία, αν αφαιρεθεί μια μικρή περιοχή, ή ακόμη και μια τομή κατά μήκος ενός μικρού τμήματος, τότε η προκύπτουσα επιφάνεια μπορεί να καμφθεί. Μια τέτοια κάμψη διατηρεί τη γκαουσιανή καμπυλότητα, οπότε οποιαδήποτε τέτοια κάμψη μιας σφαίρας με την αφαίρεση μιας περιοχής θα έχει επίσης σταθερή γκαουσιανή καμπυλότητα
.

Εναλλακτικοί τύποι
Η γκαουσιανή καμπυλότητα μιας επιφάνειας στο  μπορεί να εκφραστεί ως ο λόγος των ορίζουσων της δεύτερης και της πρώτης θεμελιώδους μορφής  και : 
 Ο τύπος του Μπριόσκι (από τον Φραντσέσκο Μπριόσκι) δίνει την καμπυλότητα Γκάους αποκλειστικά σε όρους της πρώτης θεμελιώδους μορφής: 
Για μια ορθογώνια παραμετροποίηση (), η γκαουσιανή καμπυλότητα είναι:

Για μια επιφάνεια που περιγράφεται ως γραφική παράσταση μιας συνάρτησης , η καμπυλότητα του Γκαουσιανού είναι:  
 Για μια έμμεσα καθορισμένη επιφάνεια, , η γκαουσιανή καμπυλότητα μπορεί να εκφραστεί σε όρους της κλίσης  και του πίνακα Χέσιαν :  
 Για μια επιφάνεια με μετρική σύμφωνη με την ευκλείδεια, οπότε  και , η καμπυλότητα Gauss δίνεται από ( είναι ο συνήθης τελεστής Λαπλάς): 
Η γκαουσιανή καμπυλότητα είναι η οριακή διαφορά μεταξύ της περιφέρειας ενός γεωδαιτικού κύκλου και ενός κύκλου στο επίπεδο: Bertrand–Diquet–Puiseux theorem 
Η καμπυλότητα Γκάους είναι η οριακή διαφορά μεταξύ του εμβαδού ενός γεωδαιτικού δίσκου και ενός δίσκου στο επίπεδο:  


 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Τριγωνομετρική συνάρτηση
 Βαθμωτό πεδίο
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Καμπύλη Μπεζιέ
 Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Υπολογιστική ρευστοδυναμική
 Τρισδιάστατος χώρος
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Μιγαδικός αριθμός
 Συνήθης διαφορική εξίσωση
 Γραμμική απεικόνιση

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 

 .

 . Review: Séquin, Carlo H. (2009), Journal of Mathematics and the Arts 3: 229–230, 

Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Κατηγορία:Διαφορική τοπολογία
Κατηγορία:Εμβαδόν
Κατηγορία:Επιφάνειες
Κατηγορία:Διαφορική γεωμετρία