Όνειρο του δευτεροετούς

ανακαλύφθηκε το 1697 από τον Γιόχαν Μπερνούλι.

Οι αριθμητικές τιμές αυτών των σταθερών είναι περίπου 1,291285997... και 0,7834305107..., αντίστοιχα.

Η ονομασία «όνειρο του δευτεροετούς»It appears in . έρχεται σε αντίθεση με την ονομασία «όνειρο του πρωτοετούς » που δίνεται στην εσφαλμένηIncorrect in general, but correct when one is working in a commutative ring of prime characteristic  with  being a power of . The correct result in a general commutative context is given by the binomial theorem. ταυτότητα  Το όνειρο του δευτεροετούς έχει μια παρόμοια αίσθηση του υπερβολικά καλό για να είναι αληθινό, αλλά είναι αληθινό.

 Απόδειξη 
Οι αποδείξεις των δύο ταυτοτήτων είναι εντελώς ανάλογες, οπότε παρουσιάζεται εδώ μόνο η απόδειξη της δεύτερης.
Τα βασικά συστατικά της απόδειξης είναι τα εξής:

 για να γράψουμε  (χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό  για τον φυσικό λογάριθμο και  για την εκθετική συνάρτηση),
 για να αναπτύξετε  χρησιμοποιώντας τη δυνάμοσειρά για - και
 για να ολοκληρωθεί κατά όρους, χρησιμοποιώντας την ολοκλήρωση με αντικατάσταση.

Αναλυτικά,  μπορεί να αναπτυχθεί ως εξής

Ως εκ τούτου,

Με την ομοιόμορφη σύγκλιση της δυναμοσειράς, μπορεί κανείς να εναλλάξει την άθροιση και την ολοκλήρωση για να προκύψει

Για την αξιολόγηση των παραπάνω ολοκληρωμάτων, μπορούμε να αλλάξουμε τη μεταβλητή στο ολοκλήρωμα μέσω της αντικατάστασης   Με αυτή την αντικατάσταση, τα όρια ολοκλήρωσης μετατρέπονται σε  δίνοντας την ταυτότητα

Με την ολοκλήρωση της ταυτότητας του Όιλερ για τη συνάρτηση Γάμμα, έχουμε  

έτσι ώστε

Αθροίζοντας αυτά (και αλλάζοντας την ευρετηρίαση ώστε να ξεκινά από  αντί για ) προκύπτει ο τύπος.

Ιστορική απόδειξη

Η αρχική απόδειξη, που δόθηκε στο Μπερνούλι, και παρουσιάστηκε σε εκσυγχρονισμένη μορφή στο Ντάνχαμ, διαφέρει από την παραπάνω στο πώς υπολογίζεται το κατά όρους ολοκλήρωμα  αλλά κατά τα άλλα είναι η ίδια, παραλείποντας τεχνικές λεπτομέρειες για την αιτιολόγηση των βημάτων (όπως η ολοκλήρωση κατά όρους). Αντί να ολοκληρώσει με αντικατάσταση, που δίνει τη συνάρτηση Γάμμα (η οποία δεν ήταν ακόμη γνωστή), ο Μπερνούλι χρησιμοποίησε την ολοκλήρωση κατά μέρη για τον επαναληπτικό υπολογισμό αυτών των όρων. 

Η ολοκλήρωση κατά μέρη προχωρά ως εξής, μεταβάλλοντας τους δύο εκθέτες ανεξάρτητα για να προκύψει μια αναδρομή. Αρχικά υπολογίζεται ένα απροσδιόριστο ολοκλήρωμα, παραλείποντας τη σταθερά ολοκληρώσεως  τόσο επειδή αυτό γινόταν ιστορικά, όσο και επειδή πέφτει έξω κατά τον υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος. 

Ολοκληρώνοντας  με αντικατάσταση  and  προκύπτει: 

(επίσης στον κατάλογο των ολοκληρωμάτων λογαριθμικών συναρτήσεων). Αυτό μειώνει τη δύναμη του λογαρίθμου στο ολοκλήρωμα κατά 1 (από  σε ) και έτσι μπορεί κανείς να υπολογίσει το ολοκλήρωμα επαγωγικά, ως εξής

όπου  υποδηλώνει το φθίνον παραγοντικό- υπάρχει πεπερασμένο άθροισμα επειδή η επαγωγή σταματά στο 0, αφού  είναι ακέραιος.

Στην περίπτωση αυτή  και είναι ακέραιοι, οπότε

Ολοκληρώνοντας από το 0 έως το 1, όλοι οι όροι εξαφανίζονται εκτός από τον τελευταίο όρο στο 1,All the terms vanish at 0 because  by l'Hôpital's rule (Bernoulli omitted this technicality), and all but the last term vanish at 1 since . ο οποίος δίνει:

Αυτό είναι ισοδύναμο με τον υπολογισμό της ολοκληρωτικής ταυτότητας του Euler  για τη συνάρτηση Γάμμα σε ένα διαφορετικό πεδίο (που αντιστοιχεί στην αλλαγή των μεταβλητών με αντικατάσταση), καθώς η ίδια η ταυτότητα του Όιλερ μπορεί επίσης να υπολογιστεί μέσω μιας ανάλογης ολοκλήρωσης κατά μέρη.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
 Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή

 Δείτε επίσης 
 Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
 Τριγωνομετρική συνάρτηση
 Συνάρτηση γάμμα
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Διαφορική γεωμετρία
 Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
 Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Ευκλείδειος χώρος
 Ανρί Λεόν Λεμπέσγκ 
 Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
 Εφαρμοσμένα μαθηματικά
 Προβολικός χώρος
 Δυναμοσειρές
 Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Μιγαδικός αριθμός
 Τυχαία μεταβλητή
 Ακέραιος αριθμός

 Βιβλιογραφία












 Παραπομπές 




 OEIS,  and 


 Max R. P. Grossmann (2017): Sophomore's dream. 1,000,000 digits of the first constant

 .
 .

  Literature for x^x and Sophomore's Dream, Tetration Forum,  03/02/2010
 The Coupled Exponential, Jay A. Fantini, Gilbert C. Kloepfer, 1998
 Sophomore's Dream Function, Jean Jacquelin, 2010, 13 pp.



 Ch. 1–6 of 2013 edition

Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Μιγαδική ανάλυση
Κατηγορία:Ολοκληρώματα
Κατηγορία:Μέθοδοι επιστημονικής έρευνας
Κατηγορία:Εφαρμοσμένα μαθηματικά
Κατηγορία:Ειδικές συναρτήσεις
Κατηγορία:Ολοκληρωτικός λογισμός
Κατηγορία:Μαθηματικές σταθερές
Κατηγορία:Θεωρία αριθμών