Πρόγραμμα Ερλάγκεν

Μέχρι το 1872, είχαν εμφανιστεί μη-Ευκλείδειες γεωμετρίες, αλλά χωρίς τρόπο προσδιορισμού της ιεραρχίας και των σχέσεών τους. Η μέθοδος του Κλάιν ήταν θεμελιωδώς καινοτόμα με τρεις τρόπους:

 Η προβολική γεωμετρία τονίστηκε ως το ενοποιητικό πλαίσιο για όλες τις άλλες γεωμετρίες που εξετάστηκαν από αυτόν. Συγκεκριμένα, η Ευκλείδεια γεωμετρία ήταν πιο περιοριστική από την ομοπαραλληλική (αφινική) γεωμετρία, η οποία με τη σειρά της είναι πιο περιοριστική από την προβολική γεωμετρία.
 Ο Κλάιν πρότεινε ότι η θεωρία ομάδων, ένας κλάδος των μαθηματικών που χρησιμοποιεί αλγεβρικές μεθόδους για την αφαίρεση της ιδέας της συμμετρίας, ήταν ο πιο χρήσιμος τρόπος οργάνωσης της γεωμετρικής γνώσης. Εκείνη την εποχή είχε ήδη εισαχθεί στη θεωρία των εξισώσεων με τη μορφή της θεωρίας Galois.
 Ο Κλάιν έκανε πολύ πιο σαφή την ιδέα ότι κάθε γεωμετρική γλώσσα είχε τις δικές της, κατάλληλες έννοιες, έτσι για παράδειγμα η προβολική γεωμετρία μιλούσε σωστά για κωνικές τομές, αλλά όχι για κύκλους ή γωνίες επειδή αυτές οι έννοιες δεν ήταν αναλλοίωτες υπό προβολικούς μετασχηματισμούς (κάτι οικείο στη γεωμετρική προοπτική). Ο τρόπος με τον οποίο οι πολλαπλές γλώσσες της γεωμετρίας επέστρεφαν μαζί θα μπορούσε να εξηγηθεί από τον τρόπο που οι υποομάδες μιας ομάδας συμμετρίας σχετίζονταν μεταξύ τους.

Αργότερα, ο Élie Cartan γενίκευσε τους ομογενείς χώρους μοντέλων του Κλάιν σε συνδέσεις Cartan σε ορισμένες κύριες δέσμες, οι οποίες γενίκευσαν τη Ριμάνεια γεωμετρία.

Τα προβλήματα της γεωμετρίας του δέκατου ένατου αιώνα

Από την εποχή του Ευκλείδη, η γεωμετρία σήμαινε τη γεωμετρία του Ευκλείδειου χώρου δύο διαστάσεων (επιπεδογεωμετρία) ή τριών διαστάσεων (στερεομετρία). Κατά το πρώτο μισό του δέκατου ένατου αιώνα υπήρξαν αρκετές εξελίξεις που περιέπλεξαν την κατάσταση. Οι μαθηματικές εφαρμογές απαιτούσαν γεωμετρία τεσσάρων ή περισσότερων διαστάσεων. Η ενδελεχής εξέταση των θεμελίων της παραδοσιακής Ευκλείδειας γεωμετρίας αποκάλυψε την ανεξαρτησία του αξιώματος παραλληλίας από τα υπόλοιπα, και έτσι γεννήθηκε η μη-Ευκλείδεια γεωμετρία. Ο Κλάιν πρότεινε την ιδέα ότι όλες αυτές οι νέες γεωμετρίες δεν είναι παρά ειδικές περιπτώσεις της προβολικής γεωμετρίας, όπως είχε ήδη αναπτυχθεί από τους Πονσλέ, Μέμπιους, Κέιλι και άλλους. Ο Κλάιν τόνισε επίσης στους μαθηματικούς ''φυσικούς'' ότι ακόμη και μια μέτρια ενασχόληση με την προβολική σκοπιά, θα μπορούσε να τους αποφέρει σημαντικά οφέλη.

Σε κάθε γεωμετρία, ο Κλάιν συνέδεσε μια υποκείμενη ομάδα συμμετριών. Η ιεραρχία των γεωμετριών αντιπροσωπεύεται μαθηματικά ως ιεραρχία αυτών των ομάδων και της ιεραρχίας των αναλλοίωτων τους. Για παράδειγμα, τα μήκη, οι γωνίες και οι επιφάνειες διατηρούνται σε σχέση με την Ευκλείδεια ομάδα συμμετριών, ενώ μόνο η δομή τομής και ο αναλογικός λόγος (cross-ratio) διατηρούνται υπό τις πιο γενικές προβολικές μετασχηματίσεις. Η έννοια της παραλληλίας, η οποία διατηρείται στην ομοπαραλληλική γεωμετρία, δεν έχει νόημα στην προβολική γεωμετρία. Στη συνέχεια, με την αφαίρεση των υποκείμενων ομάδων συμμετριών από τις γεωμετρίες, οι σχέσεις μεταξύ τους μπορούν να επαναπροσδιοριστούν σε επίπεδο ομάδας. Δεδομένου ότι η ομάδα της ομοπαραλληλικής γεωμετρίας είναι υποομάδα της ομάδας της προβολικής γεωμετρίας, οποιαδήποτε έννοια που είναι αναλλοίωτη στην προβολική γεωμετρία, είναι a priori σημαντική και στην ομοπαραλληλική γεωμετρία· αλλά όχι το αντίστροφο. Αν αφαιρέσετε τις απαιτούμενες συμμετρίες, αποκτάτε μια πιο ισχυρή θεωρία αλλά με λιγότερες έννοιες και θεωρήματα (τα οποία θα είναι βαθύτερα και πιο γενικά).

 Ομογενείς Χώροι 
Με άλλα λόγια, οι "παραδοσιακοί χώροι" είναι ομογενείς χώροι· αλλά όχι για μία μοναδικά καθορισμένη ομάδα. Αλλάζοντας την ομάδα, αλλάζει και η κατάλληλη γεωμετρική γλώσσα.

Στη σύγχρονη γλώσσα, οι ομάδες που αφορούν την κλασική γεωμετρία είναι όλες πολύ γνωστές ως ομάδες Lie: οι κλασικές ομάδες. Οι συγκεκριμένες σχέσεις περιγράφονται αρκετά απλά, χρησιμοποιώντας τεχνική ορολογία.

 Παραδείγματα 
Για παράδειγμα, η ομάδα της προβολικής γεωμετρίας σε n πραγματικές διαστάσεις είναι η ομάδα συμμετρίας του n-διάστατου πραγματικού προβολικού χώρου (η γενική γραμμική ομάδα βαθμού , αφού γίνει διαίρεση με διαγώνιους πίνακες). Η ομοπαραλληλική ομάδα είναι η υποομάδα που διατηρεί (απεικονίζει στον εαυτό της, χωρίς να διατηρεί σημείο προς σημείο) το επιλεγμένο υπερεπίπεδο στο άπειρο. Αυτή η υποομάδα έχει γνωστή δομή (ημι-ευθές γινόμενο της γενικής γραμμικής ομάδας βαθμού n με την υποομάδα των μετατοπίσεων). Αυτή η περιγραφή μας λέει ποιες ιδιότητες είναι "ομοπαράλληλες". Στους όρους της ευκλείδειας επιπεδογεωμετρίας, το να είναι ένα σχήμα παραλληλόγραμμο είναι ομοπαράλληλη ιδιότητα, αφού οι ομοπαράλληλοι μετασχηματισμοί πάντα απεικονίζουν ένα παραλληλόγραμμο σε ένα άλλο παραλληλόγραμμο. Το να είναι ένας κύκλος δεν είναι ομοπαράλληλη ιδιότητα, καθώς ένας ομοπαράλληλος εφελκυστικός μετασχηματισμός (shear) θα απεικονίσει έναν κύκλο σε μια έλλειψη.

Για να εξηγήσουμε με ακρίβεια τη σχέση μεταξύ της ομοπαράλληλης και της ευκλείδειας γεωμετρίας, πρέπει τώρα να προσδιορίσουμε την ομάδα της ευκλείδειας γεωμετρίας μέσα στην ομοπαράλληλη ομάδα. Η Ευκλείδεια ομάδα είναι στην πραγματικότητα (χρησιμοποιώντας την προηγούμενη περιγραφή της ομοπαράλληλης ομάδας) το ημι-άμεσο γινόμενο της ορθογώνιας ομάδας (περιστροφές και κατοπτρισμοί) με τις μετατοπίσεις.

Κατηγορία:Κλασική γεωμετρία
Κατηγορία:Συμμετρία
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων