Τέταρτο πρόβλημα του Χίλμπερτ

Στα μαθηματικά, το τέταρτο πρόβλημα του Χίλμπερτ στον κατάλογο των προβλημάτων του Χίλμπερτ του 1900 είναι ένα θεμελιώδες ερώτημα στη γεωμετρία. Σε μια δήλωση που προέκυψε από το πρωτότυπο, ήταν να βρεθούν -μέχρι έναν ισομορφισμό- όλες οι γεωμετρίες που έχουν ένα αξιωματικό σύστημα της κλασικής γεωμετρίας (ευκλείδεια, υπερβολική και ελλειπτική), με τα αξιώματα της σύμπτωσης που περιλαμβάνουν την έννοια της γωνίας να καταργούνται και να προστίθεται η `Τριγωνική ανισότητα`, που θεωρείται αξίωμα.

Αν υποθέσουμε επιπλέον το αξίωμα της συνέχειας, τότε, στην περίπτωση του ευκλείδειου επιπέδου, καταλήγουμε στο πρόβλημα που έθεσε ο Ζαν Γκαστόν Νταρμπού: "Να προσδιοριστούν όλα τα προβλήματα του λογισμού της μεταβολής στο επίπεδο, των οποίων οι λύσεις είναι όλες οι επίπεδες ευθείες"
.

Υπάρχουν διάφορες ερμηνείες της αρχικής δήλωσης του Ντέιβιντ Χίλμπερτ. Παρά ταύτα, αναζητήθηκε λύση, με τον Γερμανό μαθηματικό Γκέοργκ Χάμελ να είναι ο πρώτος που συνέβαλε στη λύση του τέταρτου προβλήματος του Χίλμπερτ
.

Μια αναγνωρισμένη λύση δόθηκε από τον Σοβιετικό μαθηματικό Αλεξέι Πογκορέλοφ το 1973.А. В. Погорелов, Полное решение IV проблемы Гильберта, ДАН СССР № 208, т.1 (1973), 46–49. English translation: А. В. Погорелов, Четвертая Проблема Гильберта. Наука, 1974.
English translation: A.V. Pogorelov, Hilbert's Fourth Problem, Scripta Series in Mathematics, Winston and Sons, 1979. Το 1976, ο Αρμένιος μαθηματικός Ρουμπέν Β. Αμπαρτζουμιάν πρότεινε μια άλλη απόδειξη του τέταρτου προβλήματος του ΧίλμπερτR. V. Ambartzumian, A note on pseudo-metrics on the plane, Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete
1976, Volume 37, Issue 2, pp 145–155.

 Αρχική δήλωση

Ο Χίλμπερτ συζητά την ύπαρξη μη Ευκλείδειας γεωμετρίας και μη Αρχιμήδειας γεωμετρίας

...μια γεωμετρία στην οποία ισχύουν όλα τα αξιώματα της συνηθισμένης ευκλείδειας γεωμετρίας, και ειδικότερα όλα τα αξιώματα της σύμπτωσης εκτός από αυτό της σύμπτωσης των τριγώνων (ή όλα εκτός από το θεώρημα της ισότητας των γωνιών βάσης στο ισοσκελές τρίγωνο), και στην οποία, εκτός αυτού, η πρόταση ότι σε κάθε τρίγωνο το άθροισμα των δύο πλευρών είναι μεγαλύτερο από την τρίτη θεωρείται ως ιδιαίτερο αξίωμαHilbert, David, "Mathematische Probleme" Göttinger Nachrichten, (1900), pp. 253–297, and in Archiv der Mathematik und Physik, (3) 1 (1901), 44–63 and 213–237. Published in English translation by Dr. Maby Winton Newson, . [A fuller title of the journal Göttinger Nachrichten is Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wiss. zu Göttingen.]

Λόγω της ιδέας ότι μια «ευθεία γραμμή» ορίζεται ως η συντομότερη διαδρομή μεταξύ δύο σημείων, αναφέρει πώς η ισότητα των τριγώνων είναι απαραίτητη για την απόδειξη του Ευκλείδη ότι μια ευθεία γραμμή στο επίπεδο είναι η συντομότερη απόσταση μεταξύ δύο σημείων. Συνοψίζει ως εξής:

Το θεώρημα της ευθείας γραμμής ως της συντομότερης απόστασης μεταξύ δύο σημείων και το ουσιαστικά ισοδύναμο θεώρημα του Ευκλείδη για τις πλευρές ενός τριγώνου, παίζουν σημαντικό ρόλο όχι μόνο στη θεωρία των αριθμών αλλά και στη θεωρία των επιφανειών και στον λογισμό των μεταβολών. Για το λόγο αυτό, και επειδή πιστεύω ότι η ενδελεχής διερεύνηση των προϋποθέσεων ισχύος του θεωρήματος αυτού θα ρίξει νέο φως στην ιδέα της απόστασης, καθώς και σε άλλες στοιχειώδεις ιδέες, π.χ. στην ιδέα του επιπέδου και στη δυνατότητα ορισμού του μέσω της ιδέας της ευθείας γραμμής, η κατασκευή και η συστηματική επεξεργασία των γεωμετριών που είναι εδώ δυνατές μου φαίνεται επιθυμητή.

Επίπεδες μετρήσεις

Αν δύο τρίγωνα βρίσκονται σε ένα επίπεδο έτσι ώστε οι ευθείες που συνδέουν τις αντίστοιχες κορυφές των τριγώνων να συναντώνται σε ένα σημείο, τότε τα τρία σημεία, στα οποία τέμνονται οι προεκτάσεις τριών ζευγών αντίστοιχων πλευρών των τριγώνων, βρίσκονται σε μία ευθεία.

Η αναγκαία προϋπόθεση για την επίλυση του τέταρτου προβλήματος του Χίλμπερτ είναι η απαίτηση ότι ένας μετρικός χώρος που ικανοποιεί τα αξιώματα αυτού του προβλήματος πρέπει να είναι "Ντεζάργκιανός", δηλαδή,:

 Αν ο χώρος έχει διάσταση 2, τότε θα πρέπει να ισχύει το θεώρημα του Ντεζάργ και το αντίστροφό του,
 Αν ο χώρος έχει διάσταση μεγαλύτερη από 2, τότε οποιαδήποτε τρία σημεία θα πρέπει να βρίσκονται σε ένα επίπεδο.

Για τους "Ντεζάργκιανούς" χώρους ο Γκέοργκ Χάμελ απέδειξε ότι κάθε λύση του τέταρτου προβλήματος του Χίλμπερτ μπορεί να αναπαρασταθεί σε έναν πραγματικό προβολικό χώρο  ή σε ένα κυρτό πεδίο του , αν προσδιορίσει κανείς τη σύμπτωση των τμημάτων με την ισότητα των μηκών τους σε μια ειδική μετρική για την οποία οι γραμμές του προβολικού χώρου είναι γεωδαισιακές.

Οι μετρικές αυτού του τύπου ονομάζονται επίπεδες ή προβολικές.

Έτσι, η λύση του τέταρτου προβλήματος του Χίλμπερτ ανάγεται στη λύση του προβλήματος του εποικοδομητικού προσδιορισμού όλων των πλήρων επίπεδων μετρικών.

Ο Χάμελ έλυσε αυτό το πρόβλημα υπό την προϋπόθεση της υψηλής κανονικότητας της μετρικής. Ωστόσο, όπως δείχνουν απλά παραδείγματα, η κλάση των κανονικών επίπεδων μετρικών είναι μικρότερη από την κλάση όλων των επίπεδων μετρικών. Τα αξιώματα των γεωμετριών που εξετάζονται συνεπάγονται μόνο μια συνέχεια των μετρικών. Επομένως, για να λυθεί πλήρως το τέταρτο πρόβλημα του Χίλμπερτ είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν εποικοδομητικά όλες οι συνεχείς επίπεδες μετρικές.

Προέλευση του τέταρτου προβλήματος του Χίλμπερτ

Πριν από το 1900, ήταν γνωστό το μοντέλο Κέιλι-Κλάιν της γεωμετρίας Λομπατσέφσκι στον μοναδιαίο δίσκο, σύμφωνα με το οποίο οι γεωδαισιακές γραμμές είναι χορδές του δίσκου και η απόσταση μεταξύ των σημείων ορίζεται ως λογάριθμος του σταυροειδούς λόγου ενός τετραπλού. Για τις δισδιάστατες μετρικές του Ριμάν, ο Ευγένιο Μπελτράμι (Eugenio Beltrami, 1835-1900) απέδειξε ότι οι επίπεδες μετρικές είναι οι μετρικές σταθερής καμπυλότητας.

Για τις Μετρικές του Ρίμαν η δήλωση αυτή αποδείχθηκε από τον Ε. Καρτάν το 1930.

Το 1890, για την επίλυση προβλημάτων σχετικά με τη θεωρία των αριθμών, ο Χέρμαν Μινκόφσκι εισήγαγε μια έννοια του χώρου που σήμερα αποκαλείται πεπερασμένης διάστασης χώρος Μπάναχ.

Χώρος Μινκόφσκι
Κύριο άρθρο: χώρος Μινκόφσκι

Έστω μια συμπαγής κυρτή υπερεπιφάνεια σε έναν ευκλείδειο χώρο που ορίζεται από την ακόλουθη σχέση



όπου η συνάρτηση  ικανοποιεί τις ακόλουθες προϋποθέσεις:




 και η μορφή  είναι θετικώς ορισμένη.

Το μήκος του διανύσματος OA ορίζεται ως εξής:



Ένας χώρος με αυτή τη μετρική ονομάζεται χώρος Μινκόφσκι.

Η υπερεπιφάνεια  είναι κυρτή και μπορεί να είναι ακανόνιστη. Η μετρική που ορίζεται είναι επίπεδη.

Χώροι Φίνσλερ

Έστω M και  μια ομαλή πεπερασμένης διάστασης πολλαπλότητα και η εφαπτομενική δέσμη της, αντίστοιχα. Η συνάρτηση  ονομάζεται μετρική Φίνσλερ αν

 ;
 For any point  ο περιορισμός του  on  είναι η νόρμα Μινκόφσκι.

 είναι χώρος Φίνσλερ.

Γεωμετρία του Χίλμπερτ
Έστω  ένα περιορισμένο ανοικτό κυρτό σύνολο με το σύνορο κλάσης C2 και θετικές κανονικές καμπυλότητες. Ομοίως με τον χώρο Λομπατσέφσκι, η υπερεπιφάνεια  ονομάζεται απόλυτη της γεωμετρίας του Χίλμπερτ.

Η απόσταση Χίλμπερτ (βλέπε σχήμα) ορίζεται ως εξής




Η απόσταση   επάγει τη μετρική Χίλμπερτ-Φίνσλερ.  on U. For any   and  (βλέπε σχήμα), έχουμε


Η μετρική είναι συμμετρική και επίπεδη. Το 1895, ο Χίλμπερτ εισήγαγε αυτή τη μετρική ως γενίκευση της γεωμετρίας Λομπατσέφσκι. Αν η υπερεπιφάνεια  είναι ελλειψοειδές, τότε έχουμε τη γεωμετρία Λομπατσέφσκι.

σ-μετρικές

Επαρκής συνθήκη για επίπεδες μετρικές

Ο Γκέοργκ Χάμελ ήταν ο πρώτος που συνέβαλε στη λύση του τέταρτου προβλήματος του Χίλμπερτ. Απέδειξε την ακόλουθη δήλωση.

Θεώρημα. Μια κανονική μετρική Φίνσλερ  είναι επίπεδη αν και μόνο αν ικανοποιεί τις συνθήκες:



Φόρμουλα Κρόφτον

Ας εξετάσουμε ένα σύνολο όλων των προσανατολισμένων γραμμών σε ένα επίπεδο. Κάθε γραμμή ορίζεται από τις παραμέτρους  και  όπου  είναι μια απόσταση από την αρχή της γραμμής και  είναι μια γωνία μεταξύ της γραμμής και του άξονα x. Τότε το σύνολο όλων των προσανατολισμένων ευθειών είναι ομοιομορφικό με έναν κυκλικό κύλινδρο ακτίνας 1 με στοιχείο εμβαδού . Έστω  μια ορθοκανονική καμπύλη σε επίπεδο. Τότε το μήκος της  είναι

όπου  είναι ένα σύνολο ευθειών που τέμνουν την καμπύλη , και  είναι ο αριθμός των τομών της ευθείας με την .
Ο Κρόφτον απέδειξε αυτή τη δήλωση το 1870.

Μια παρόμοια δήλωση ισχύει για έναν προβολικό χώρο.

 Μέτρο Μπλασκε-Μπούζεμαν 
Το 1966, σε ομιλία του στο Διεθνές Μαθηματικό Συνέδριο της Μόσχας, ο Χέρμπερτ Μπούσεμαν εισήγαγε μια νέα κατηγορία επίπεδων μετρικών. Σε ένα σύνολο γραμμών στο προβολικό επίπεδο  εισήγαγε ένα πλήρως προσθετικό μη αρνητικό μέτρο , το οποίο ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες:

 , όπου  είναι ένα σύνολο ευθειών που διέρχεται από ένα σημείο P,
 , όπου  είναι ένα σύνολο ευθειών που διέρχεται από κάποιο σύνολο Χ που περιέχει ένα ευθύγραμμο τμήμα,
  είναι πεπερασμένη.

Αν θεωρήσουμε ένα -μετρικό σε ένα αυθαίρετο κυρτό πεδίο  ενός προβολικού χώρου , τότε η συνθήκη 3) θα πρέπει να αντικατασταθεί από την ακόλουθη:
για κάθε σύνολο H τέτοιο ώστε το H να περιέχεται στο  και το κλείσιμο του H να μην τέμνει το όριο του , η ανισότητα
  ισχύει.

Χρησιμοποιώντας αυτό το μέτρο, το   στο  ορίζεται ως εξής

όπου  είναι το σύνολο των ευθειών που τέμνουν το τμήμα .

Η τριγωνική ανισότητα για αυτή τη μετρική προκύπτει από το θεώρημα του Πασχ.

Θεώρημα. Η -μετρική στο  είναι επίπεδη, δηλαδή οι γεωδαισιακές είναι οι ευθείες του προβολικού χώρου.

Αλλά ο Μπούσεμαν απείχε πολύ από την ιδέα ότι η -μετρική εξαντλεί όλες τις επίπεδες μετρικές. Έγραψε, 'Η ελευθερία στην επιλογή μιας μετρικής με δεδομένες γεωδαισιακές είναι για τις μη Ριμανιανές μετρικές τόσο μεγάλη που μπορεί να αμφισβητηθεί αν υπάρχει πραγματικά ένας πειστικός χαρακτηρισμός όλων των Ντεζάργκσιαν χώρων.

Δισδιάστατη περίπτωση

Το θεώρημα του Πογκόρελοφ
Το ακόλουθο θεώρημα αποδείχθηκε από τον Πογκορέλοφ το 1973.

Θεώρημα. Κάθε δισδιάστατη συνεχής πλήρης επίπεδη μετρική είναι μια -μετρική.

Έτσι το τέταρτο πρόβλημα του Χίλμπερτ για τη δισδιάστατη περίπτωση λύθηκε πλήρως.

Συνέπεια αυτού είναι ότι μπορεί κανείς να κολλήσει σύνορο με σύνορο δύο αντίγραφα του ίδιου επίπεδου κυρτού σχήματος, με γωνιακή συστροφή μεταξύ τους, και θα λάβει ένα τρισδιάστατο αντικείμενο χωρίς γραμμές πτυχώσεων, με τις δύο όψεις να είναι αναπτύξιμες.


 Οι αποδείξεις του Αμπαρτσουμιάν
Το 1976, ο Αμπαρτσουμιάν πρότεινε μια άλλη απόδειξη του τέταρτου προβλήματος του Χίλμπερτ.

Η απόδειξή του χρησιμοποιεί το γεγονός ότι στη δισδιάστατη περίπτωση ολόκληρο το μέτρο μπορεί να αποκατασταθεί από τις τιμές του στα δίγωνα, και έτσι να οριστεί στα τρίγωνα με τον ίδιο τρόπο που ορίζεται το εμβαδόν ενός τριγώνου στη σφαίρα. Εφόσον ισχύει η Τριγωνική ανισότητα, προκύπτει ότι το μέτρο αυτό είναι θετικό σε μη εκφυλισμένα τρίγωνα και προσδιορίζεται σε όλα τα σύνολα Μπορέλ. Ωστόσο, αυτή η δομή δεν μπορεί να γενικευτεί σε υψηλότερες διαστάσεις λόγω του τρίτου προβλήματος του Χίλμπερτ που λύθηκε από τον Μαξ Ντεν.

Στη δισδιάστατη περίπτωση, τα πολύγωνα με τον ίδιο όγκο είναι συζυγή με το ψαλίδι. Όπως αποδείχθηκε από τον Ντεν αυτό δεν ισχύει για υψηλότερη διάσταση.

Τριδιάστατη περίπτωση

Για την τρισδιάστατη περίπτωση ο Πογκορέλοφ απέδειξε το ακόλουθο θεώρημα.

Θεώρημα. Κάθε τρισδιάστατη κανονική πλήρης επίπεδη μετρική είναι μια -μετρική.

Ωστόσο, στην τρισδιάστατη περίπτωση τα -μέτρα μπορούν να πάρουν είτε θετικές είτε αρνητικές τιμές. Οι αναγκαίες και ικανές συνθήκες για να είναι επίπεδη η κανονική μετρική που ορίζεται από τη συνάρτηση του συνόλου  είναι οι ακόλουθες τρεις συνθήκες:

 η τιμή  σε οποιοδήποτε επίπεδο ισούται με μηδέν,
 η τιμή  σε κάθε κώνο είναι μη αρνητική,
 η τιμή  είναι θετικό αν ο κώνος περιέχει εσωτερικά σημεία.

Επιπλέον, ο Πογκορέλοφ έδειξε ότι κάθε πλήρης συνεχής επίπεδη μετρική στην τρισδιάστατη περίπτωση είναι το όριο των κανονικών -μετρικών με ομοιόμορφη σύγκλιση σε κάθε συμπαγή υποπεριοχή του πεδίου της μετρικής. Τις ονόμασε γενικευμένες -μετρικές.

Θεώρημα. Στην τρισδιάστατη περίπτωση κάθε πλήρης συνεχής επίπεδη μετρική είναι μια -μετρική με γενικευμένη έννοια.

Ο Μπούσεμαν, στην κριτική του στο βιβλίο του Πογκορέλοφ «Το τέταρτο πρόβλημα του Χίλμπερτ» έγραψε: «Στο πνεύμα της εποχής ο Χίλμπερτ περιορίστηκε στο n = 2, 3 και το ίδιο κάνει και ο Πογκορέλοφ.
Ωστόσο, αυτό έχει αναμφίβολα παιδαγωγικούς λόγους, επειδή απευθύνεται σε μια ευρεία κατηγορία αναγνωστών. Η πραγματική διαφορά είναι μεταξύ n = 2 και n>2. Η μέθοδος του Πογκορέλοφ λειτουργεί για n>3, αλλά απαιτεί μεγαλύτερες τεχνικές λεπτομέρειες».

Πολυσδιάστατη περίπτωση
Η πολυδιάστατη περίπτωση του τέταρτου προβλήματος Χίλμπερτ μελετήθηκε από τον Σάμπο. Το 1986 απέδειξε, όπως έγραψε, το γενικευμένο θεώρημα Πογκορέλοφ.

Θεώρημα. Κάθε n-διάστατος Ντεζαργκέσιανος χώρος της κλάσης , παράγεται από την κατασκευή Μπλάσκε-Μπούσεμαν.

Ένα -μέτρο που παράγει ένα επίπεδο μέτρο έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
 το -μέτρο των υπερεπιπέδων που διέρχονται από ένα σταθερό σημείο είναι ίσο με μηδέν,
 το -μέτρο του συνόλου των υπερεπιπέδων που τέμνουν δύο τμήματα [x, y], [y, z], όπου τα x, y та z δεν είναι συγγραμμικά, είναι θετικό.

Δόθηκε το παράδειγμα μιας επίπεδης μετρικής που δεν παράγεται από την κατασκευή Μπλάσκε-Μπούσεμαν. Ο Σάμπο περιέγραψε όλες τις συνεχείς επίπεδες μετρικές με όρους γενικευμένων συναρτήσεων.

Τέταρτο πρόβλημα του Χίλμπερτ και κυρτά σώματα
Το τέταρτο πρόβλημα του Χίλμπερτ συνδέεται επίσης στενά με τις ιδιότητες των κυρτών σωμάτων. Ένα κυρτό πολύεδρο καλείται ζωνότοπος αν είναι το άθροισμα των τμημάτων Μινκόφσκι. Ένα κυρτό σώμα που είναι όριο των ζωνοτόπων στη μετρική Μπλάσκε-Μπούσεμαν ονομάζεται ζωνοειδές. Για τα ζονοειδή, η συνάρτηση υποστήριξης παριστάνεται ως εξής

όπου  είναι ένα άρτιο θετικό μέτρο Μπορέλ σε μια σφαίρα.

Ο χώρος Μινκόφσκι παράγεται από την κατασκευή Μπλάσκε-Μπούσεμαν εάν και μόνο εάν η συνάρτηση υποστήριξης του ενδεικτικού πίνακα έχει τη μορφή (1), όπου  είναι άρτιο και όχι απαραίτητα θετικού μέτρου Μπορέλ. Τα σώματα που οριοθετούνται από τέτοιες υπερεπιφάνειες ονομάζονται γενικευμένα ζονοειδή..

Το οκτάεδρο  στον Ευκλείδειο χώρο  δεν είναι ένα γενικευμένο ζονοειδές. Από την παραπάνω δήλωση προκύπτει ότι η επίπεδη μετρική του χώρου Μινκόφσκι με τη νόρμα  δεν παράγεται από την κατασκευή Μπλάσκε-Μπούσεμαν.

Γενικεύσεις του τέταρτου προβλήματος του Χίλμπερτ
Βρέθηκε η αντιστοιχία μεταξύ των επίπεδων n-διάστατων μετρικών Φίνσλερ και των ειδικών συμπλεκτικών μορφών στην πολλαπλότητα Γκράσμαν   в .

Θεωρήθηκαν περιοδικές λύσεις του τέταρτου προβλήματος του Χίλμπερτ:
 Έστω (M, g) μια συμπαγής τοπικά ευκλείδεια πολλαπλότητα του Ρίμαν. Ας υποθέσουμε ότι δίνεται η  μετρική Φίνσλερ στην M με τις ίδιες γεωδαισιακές όπως στη μετρική g. Τότε η μετρική Φίνσλερ είναι το άθροισμα μιας τοπικά μετρικής Μινκόφσκι και μιας κλειστής 1-μορφής.

 Έστω (M, g) ένας συμπαγής συμμετρικός χώρος Ρίμαν με βαθμό μεγαλύτερο του ενός. Αν F είναι μια συμμετρική  μετρική Φίνσλερ, της οποίας οι γεωδαισιακές συμπίπτουν με τις γεωδαισιακές της Ριμανιανής μετρικής g, τότε ο (M, g) είναι ένας συμμετρικός χώρος Φίνσλερ. Το ανάλογο αυτού του θεωρήματος για συμμετρικούς χώρους με βαθμό ένα δεν έχει αποδειχθεί ακόμα.

Μια άλλη έκθεση του τέταρτου προβλήματος του Χίλμπερτ μπορεί να βρεθεί στο έργο του Πάιβα.

Άλυτα προβλήματα
 Το τέταρτο πρόβλημα του Χίλμπερτ για τη μη συμμετρική μετρική Φίνσλερ δεν έχει επιλυθεί ακόμα.
 Η περιγραφή της μετρικής στο  για την οποία τα k-επίπεδα ελαχιστοποιούν την k-περιοχή δεν έχει δοθεί ( Μπούσεμαν).

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Proof of Dehn's Theorem at Everything2

Dehn Invariant at Everything2
 Ντέιβιντ Χίλμπερτ, Μαθηματικά προβλήματα, 6ο πρόβλημα, σε αγγλική μετάφραση.

 Δείτε επίσης 
 Μερική διαφορική εξίσωση
 Καρλ Φρίντριχ Γκάους
 Προβολικός χώρος
 Δυναμικός προγραμματισμός
 Μαθηματική ανάλυση
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Μερική διαφορική εξίσωση
 Δευτεροβάθμια εξίσωση 
 Χώρος Χίλμπερτ
 Ντάβιντ Χίλμπερτ
 Ευκλείδειος χώρος
 Θεωρία αριθμών
 Ισοσκελές τρίγωνο

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 

 Benesova, B. and Kruzik, M.: "Weak Lower Semicontinuity of Integral Functionals and Applications". SIAM Review  59(4) (2017), 703–766.



 Πηγές 





Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Συναρτησιακή ανάλυση
Κατηγορία:Μαθηματική φυσική
Κατηγορία:Προβλήματα του Χίλμπερτ
Κατηγορία:Ιστορία των Μαθηματικών
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά
Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία