Εικασία του Πολινιάκ

Στη θεωρία των αριθμών, η εικασία του Πολινιάκ διατυπώθηκε από τον Aλφόνς ντε Πολινιάκ το 1849 και έχει ως εξής: 
 From p. 400:  "1er Théorème.  Tout nombre pair est égal à la différence de deux nombres premiers consécutifs d'une infinité de manières … " (1st Theorem.  Every even number is equal to the difference of two consecutive prime numbers in an infinite number of ways … )

Για κάθε θετικός Άρτιος αριθμός n, υπάρχουν άπειρα κενά πρώτων αριθμών  μεγέθους n. Με άλλα λόγια, υπάρχουν άπειρες πολλές περιπτώσεις όπου δύο διαδοχικοί πρώτοι αριθμοί έχουν διαφορά n., p. 112

Αν και η εικασία δεν έχει ακόμη αποδειχθεί ή διαψευστεί για οποιαδήποτε δεδομένη τιμή του n, ο Γιτάνγκ Ζανγκ έκανε μια σημαντική ανακάλυψη το 2013 αποδεικνύοντας ότι υπάρχουν άπειρες πολλές διαφορές μεγέθους n για μια τιμή του n < 70.000.000. Λίγο αργότερα την ίδια χρονιά, ο Τζέιμς Μέιναρντ ανακοίνωσε μια σχετική ανακάλυψη αποδεικνύοντας ότι υπάρχουν άπειρα πολλά κενά μεγέθους 600 ή λιγότερο . Από τις 14 Απριλίου 2014, ένα χρόνο μετά την ανακοίνωση του Ζανγκ, σύμφωνα με το wiki του έργου Polymath, το n έχει μειωθεί σε 246. Επιπλέον, υποθέτοντας την εικασία Έλιοτ-Χάλμπερσταμ και τη γενικευμένη μορφή της, το wiki του έργου Polymath αναφέρει ότι το n έχει μειωθεί σε 12 και 6, αντίστοιχα.

Για n = 2, αυτή είναι η εικασία των δίδυμων πρώτων. Για n = 4, δηλώνει ότι υπάρχουν απείρως πολλοί πρώτοι αριθμοι Κουσίν (p, p + 4). Για n = 6, σημειώνει ότι υπάρχουν απείρως πολλοί σέξι πρώτοι (p, p + 6) χωρίς να υπάρχουν πρώτοι μεταξύ p και p + 6.

Υποθετική πυκνότητα

Έστω  για άρτιο n ο αριθμός των πρώτων κενών μεγέθους n κάτω από το x.

Η πρώτη εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ λέει ότι η ασυμπτωτική πυκνότητα είναι της μορφής 

όπου Cn είναι μια συνάρτηση του n, και  σημαίνει ότι το πηλίκο δύο εκφράσεων τείνει στο 1 καθώς το x πλησιάζει στο άπειρο. .

C2 είναι η δίδυμη πρώτη σταθερά

όπου το γινόμενο εκτείνεται σε όλους τους πρώτους αριθμούς p ≥ 3.

Το Cn είναι το C2 πολλαπλασιασμένο με έναν αριθμό που εξαρτάται από τους περιττούς πρώτους παράγοντες q of n:  

Παραδείγματος χάριν, C4 = C2 και C6 = 2C2. Οι δίδυμοι πρώτοι έχουν την ίδια εικαζόμενη πυκνότητα με τους πρώτους Κουσίν και τη μισή πυκνότητα των σέξι πρώτων.

Ας σημειωθεί ότι κάθε περιττός πρώτος παράγοντας q του n αυξάνει την εικαζόμενη πυκνότητα σε σύγκριση με τους δίδυμους πρώτους κατά έναν παράγοντα . Ακολουθεί ένα ευρετικό επιχείρημα. Βασίζεται σε ορισμένες αναπόδεικτες υποθέσεις, οπότε το συμπέρασμα παραμένει εικασία. Η πιθανότητα ένας τυχαίος περιττός πρώτος q να διαιρεί είτε το a είτε το a + 2 σε ένα τυχαίο «δυνητικό» δίδυμο ζεύγος πρώτων αριθμών είναι , αφού το q διαιρεί έναν από τους q αριθμούς από το a έως το a + q − 1. Τώρα ας υποθέσουμε ότι το q διαιρεί το n και ας θεωρήσουμε ένα δυνητικό πρώτο ζεύγος (a, a + n). Το q διαιρεί το a + n αν και μόνο αν το q διαιρεί το a, και η πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι . Η πιθανότητα το (a, a + n) να είναι απαλλαγμένο από τον παράγοντα q, διαιρούμενη με την πιθανότητα το (a, a + 2) να είναι απαλλαγμένο από τον q, γίνεται τότε  διαιρούμενη με . Αυτό ισούται με το οποίο μεταφέρεται στην εικαζόμενη πυκνότητα των πρώτων. Στην περίπτωση του n = 6, το επιχείρημα απλοποιείται ως εξής: Αν το a είναι ένας τυχαίος αριθμός, τότε το 3 έχει πιθανότητα 2/3 να διαιρέσει το a ή το a + 2 αλλά μόνο πιθανότητα 1/3 να διαιρέσει το a και το a + 6, οπότε το τελευταίο ζεύγος εικάζεται διπλάσια πιθανότητα να είναι και τα δύο πρώτοι.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

 Δείτε επίσης 
 Θεωρία αριθμών
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Φυσικός λογάριθμος
 Πρώτος αριθμός Μερσέν
 e (μαθηματική σταθερά)
 Πρώτος αριθμός
 Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
 Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν
 Φυσικός αριθμός
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Αριθμητική πρόοδος
 Συνάρτηση Όιλερ
 Ευκλείδειος χώρος

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 


 Reprinted by Chelsea Publishing, New York, 1971, ISBN 0-8284-0086-5.



 Πηγές 
Alphonse de Polignac, Recherches nouvelles sur les nombres premiers. Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences (1849)






Κατηγορία:Αναλυτική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Εικασίες για πρώτους αριθμούς
Κατηγορία:Πρώτοι αριθμοί
Κατηγορία:Ακέραιοι αριθμοί
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά