Περί ελίκων

Το έργο Περί ελίκων είναι μια πραγματεία του Αρχιμήδη, γραμμένη γύρω στο 225 π.Χ. Ειδικότερα, ο Αρχιμήδης χρησιμοποίησε την Αρχιμήδεια σπείρα σε αυτό το βιβλίο για τον τετραγωνισμό του κύκλου και την τριχοτόμηση της γωνίας.

 Περιεχόμενο 

 Πρόλογος 
Ο Αρχιμήδης αρχίζει το Περί ελίκων με ένα μήνυμα προς τον Δοσίθεο από το Πελούσιο που αναφέρεται στο θάνατο του Κόνωνα ως απώλεια για τα μαθηματικά. Στη συνέχεια, παρουσιάζει περιληπτικά τα αποτελέσματα των εργασιών Περί σφαίρας και κυλίνδρου και Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων. Συνεχίζει με την αναφορά των αποτελεσμάτων του Περί ελίκων.

 Σπείρα του Αρχιμήδη 

Η σπείρα του Αρχιμήδη μελετήθηκε για πρώτη φορά από τον Κόνωνα και αργότερα μελετήθηκε από τον Αρχιμήδη στο έργο του Περί ελίκων. Ο Αρχιμήδης μπόρεσε να βρει διάφορες εφαπτόμενες στη σπείρα τις οποίες όρισε ως εξής:

 Αν μια ευθεία γραμμή, της οποίας το ένα άκρο παραμένει σταθερό, περιστραφεί με σταθερό ρυθμό σε ένα επίπεδο μέχρι να επιστρέψει στη θέση από την οποία ξεκίνησε, και αν, ταυτόχρονα με την περιστροφή της ευθείας γραμμής, ένα σημείο κινείται με σταθερή ρυθμό κατά μήκος της ευθείας γραμμής, ξεκινώντας από το σταθερό άκρο, το σημείο θα περιγράψει μια σπείρα στο επίπεδο.
 Τριχοτόμηση γωνίας 
μικρογραφία|262x262px|Σχήμα για την τριχοτόμηση της γωνίας με την σπείρα του Αρχιμήδη.
Η τριχοτόμηση της γωνίας, είναι το πρόβλημα της κατασκευής μίας γωνίας με μέτρο ίσο με το ένα τρίτο μίας δοσμένης γωνίας. Η διχοτόμηση της γωνίας μπορεί να γίνει με κανόνα και διαβήτη, ενώ η τριχοτόμηση είναι αδύνατη. Ο Αρχιμήδης πρότεινε τον εξής τρόπο για την τριχοτόμηση της γωνίας με την χρήση της σπείρας (επιπλέον του κανόνα και του διαβήτη):

Έστω ότι θέλουμε να τριχοτομήσουμε την γωνία . Τριχοτομήστε το ευθύγραμμο τμήμα  και έστω  το σημείο ώστε .Η διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος γίνεται με κανόνα και διαβήτη χρησιμοποιώντας το Θεώρημα του Θαλή. Σχεδιάστε έναν κύκλο με κέντρο το  και ακτίνα . Θεωρούμε την σπείρα στο  και ας υποθέσουμε ότι ο κύκλος με κέντρο  τέμνει τη σπείρα στο σημείο . Τότε, η γωνία  είναι το ένα τρίτο της γωνίας .

 Τετραγωνισμός του κύκλου 

μικρογραφία|Ο κύκλος και το τρίγωνο έχουν ίσο εμβαδόν.|236x236px

Ένα άλλο πρόβλημα που είναι αδύνατο με την χρήση μόνο κανόνα και διαβήτη είναι ο τετραγωνισμός του κύκλου, δηλαδή η κατασκευή ενός τετραγώνου που έχει ίσο εμβαδόν με έναν κύκλο με δοσμένη ακτίνα. Για να τετραγωνίσει τον κύκλο, ο Αρχιμήδης έδωσε την ακόλουθη κατασκευή χρησιμοποιώντας την σπείρα:

Έστω  το σημείο της σπείρας όπου ολοκληρώνεται η πρώτη στροφή. Έστω ότι η εφαπτομένη στο  τέμνει την κάθετη στην  ευθεία στο . Τότε  είναι το μήκος της περιφέρειας του κύκλου με ακτίνα .

Ο Αρχιμήδης είχε ήδη αποδείξει ως πρώτη πρόταση στο Κύκλου μέτρησις ότι το εμβαδόν ενός κύκλου είναι ίσο με ένα ορθογώνιο τρίγωνο που έχει τα μήκη των καθέτων του ίσα με την ακτίνα του κύκλου και την περιφέρεια του κύκλου. Έτσι, το εμβαδόν του κύκλου με ακτίνα  είναι ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου , από το οποίο είναι σχετικά εύκολο να κατασκευαστεί τετράγωνο με ίσο εμβαδόν.Δείτε το άρθρο για τα ισοδύναμα σχήματα.

 Δείτε επίσης 
 Περί σφαίρας και κυλίνδρου
 Σπείρα του Αρχιμήδη
 Τετραγωνισμός του κύκλου

 Σημειώσεις 

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Ευκλείδεια Γεωμετρία
Κατηγορία:Κλασική γεωμετρία
Κατηγορία:Ιστορία των Μαθηματικών
Κατηγορία:Μαθηματικά θεωρήματα
Κατηγορία:Γεωμετρικά σχήματα
Κατηγορία:Καμπύλες
Κατηγορία:Αρχιμήδης
Κατηγορία:Στοιχειώδης γεωμετρία