Ενδέκατο πρόβλημα του Χίλμπερτ

Το ενδέκατο πρόβλημα του Χίλμπερτ είναι ένα από τα ανοικτά μαθηματικά προβλήματα που έθεσε ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ στο Δεύτερο Διεθνές Συνέδριο Μαθηματικών στο Παρίσι το 1900. Μια προώθηση της θεωρίας των τετραγωνικών μορφών, ανέφερε το πρόβλημα ως εξής:

Επεξεργασία του προβλήματος
Όπως δήλωσε ο Καπλάνσκι, «Το 11ο Πρόβλημα είναι απλά το εξής: την ταξινόμηση τετραγωνικών μορφών σε αλγεβρικά αριθμητικά σώματα». Αυτό ακριβώς έκανε ο Μινκόφσκι για την τετραγωνική μορφή με κλασματικούς συντελεστές. Μια τετραγωνική μορφή (όχι τετραγωνική εξίσωση) είναι οποιοδήποτε πολυώνυμο στο οποίο κάθε όρος έχει μεταβλητές που εμφανίζονται ακριβώς δύο φορές. Η γενική μορφή μιας τέτοιας εξίσωσης είναι ax2 + bxy + cy2. (όλοι οι συντελεστές πρέπει να είναι ακέραιοι αριθμοί).

Μια δεδομένη τετραγωνική μορφή λέγεται ότι αντιπροσωπεύει έναν φυσικό αριθμό εάν η αντικατάσταση των μεταβλητών με συγκεκριμένους αριθμούς δίνει τον αριθμό. Ο Γκάους και όσοι τον ακολούθησαν διαπίστωσαν ότι αν αλλάξουμε τις μεταβλητές με ορισμένους τρόπους, η νέα τετραγωνική μορφή αναπαριστούσε τους ίδιους φυσικούς αριθμούς με την παλιά, αλλά σε διαφορετική, πιο εύκολα ερμηνεύσιμη μορφή. Χρησιμοποίησε αυτή τη θεωρία των ισοδύναμων τετραγωνικών μορφών για να αποδείξει αποτελέσματα της θεωρίας των αριθμών. Ο Λαγκράνζ, παραδείγματος χάριν, έδειξε ότι οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα τεσσάρων τετραγώνων. Ο Γκάους το απέδειξε αυτό χρησιμοποιώντας τη θεωρία του για τις σχέσεις ισοδυναμίας, δείχνοντας ότι η τετραγωνική  αναπαριστά όλους τους φυσικούς αριθμούς. Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, ο Μινκόφσκι δημιούργησε και απέδειξε μια παρόμοια θεωρία για τετραγωνικές μορφές που είχαν κλάσματα ως συντελεστές. Το ενδέκατο πρόβλημα του Χίλμπερτ απαιτεί μια παρόμοια θεωρία. Με άλλα λόγια, έναν τρόπο ταξινόμησης του κατά πόσον μια μορφή είναι ισοδύναμη με μια άλλη, αλλά στην περίπτωση όπου οι συντελεστές μπορεί να είναι αλγεβρικοί αριθμοί. Ο Χέλμουτ Χάσε το πέτυχε αυτό τον Οκτώβριο του 1920 σε μια απόδειξη που χρησιμοποιεί την αρχή "local-global" και το γεγονός ότι η θεωρία είναι σχετικά απλή για τα p-adic συστήματα. Δημοσίευσε την εργασία του το 1923 και το 1924. Βλέπε αρχή Χάσε, θεώρημα Χάσε-Μινκόφσκι. Η "local-global" (Τοπική - Καθολική) αρχή δηλώνει ότι ένα γενικό αποτέλεσμα που αφορά έναν ρητό αριθμό ή ακόμη και όλους τους ρητούς αριθμούς μπορεί συχνά να τεκμηριωθεί ελέγχοντας ότι το αποτέλεσμα είναι αληθές για κάθε σύστημα p-adic αριθμών.

Υπάρχει επίσης πιο πρόσφατη εργασία σχετικά με το ενδέκατο πρόβλημα του Χίλμπερτ που μελετά πότε ένας ακέραιος μπορεί να αναπαρασταθεί από μια τετραγωνική μορφή. Ένα παράδειγμα είναι η εργασία των Kογκντέλ, Πιατέτσκι-Σαπίρο και Σάρνακ 
.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Proof of Dehn's Theorem at Everything2

Dehn Invariant at Everything2
 Ντέιβιντ Χίλμπερτ, Μαθηματικά προβλήματα, 6ο πρόβλημα, σε αγγλική μετάφραση.

 Δείτε επίσης 
 Μερική διαφορική εξίσωση
 Καρλ Φρίντριχ Γκάους
 Δακτύλιος (μαθηματικά)
 Μιγαδικός αριθμός
 Γραμμική άλγεβρα
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Ρητή συνάρτηση
 Δευτεροβάθμια εξίσωση 
 Χώρος Χίλμπερτ
 Ντάβιντ Χίλμπερτ
 Ευκλείδειος χώρος
 Θεωρία αριθμών
 Διανυσματικός χώρος

 Βιβλιογραφία










 Παραπομπές 



 Πηγές 



Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Αντιμεταθετική άλγεβρα
Κατηγορία:Θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Προβλήματα του Χίλμπερτ
Κατηγορία:Ιστορία των Μαθηματικών
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά
Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία