Δέκατο όγδοο πρόβλημα του Χίλμπερτ

Το δέκατο όγδοο πρόβλημα του Χίλμπερτ είναι ένα από τα 23 προβλήματα Χίλμπερτ που παρατίθενται σε έναν περίφημο κατάλογο που συνέταξε το 1900 ο μαθηματικός Ντέιβιντ Χίλμπερτ. Θέτει τρία ξεχωριστά ερωτήματα σχετικά με τα πλέγματα και το πακετάρισμα σφαιρών στον Ευκλείδειο χώρο.

Ομάδες συμμετρίας σε  διαστάσεις
Το πρώτο μέρος του προβλήματος διερωτάται αν υπάρχουν μόνο πεπερασμένα πολλές ουσιαστικά διαφορετικές ομάδες χώρου στον -διάστατο Ευκλείδειο χώρο. Το συγκεκριμένο ερώτημα απαντήθηκε καταφατικά από τον Μπίμπερμπαχ.

Ανισοεδρικά πλακίδια σε 3 διαστάσεις
Το δεύτερο μέρος του προβλήματος διερωτάται αν υπάρχει ένα πολύεδρο που να καλύπτει τον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο αλλά να μην είναι η θεμελιώδης περιοχή οποιασδήποτε ομάδας χώρου- δηλαδή, που να καλύπτει αλλά να μην επιτρέπει ισοεδρική (μεταβατική) κάλυψη. Τέτοια πλακίδια είναι τώρα γνωστά ως ανισοεδρικά. Θέτοντας το πρόβλημα σε τρεις διαστάσεις, ο Χίλμπερτ πιθανότατα υπέθετε ότι δεν υπάρχει τέτοιο πλακίδιο στις δύο διαστάσεις- η υπόθεση αυτή αποδείχθηκε αργότερα εσφαλμένη.

Το πρώτο τέτοιο κεραμίδι σε τρεις διαστάσεις ανακαλύφθηκε από τον Καρλ Ράινχαρντ το 1928. Το πρώτο παράδειγμα σε δύο διαστάσεις ευρέθη από τον Χες (Heesch ) το 1935. Το σχετικό πρόβλημα του Αϊνστάιν απαιτεί ένα σχήμα που να μπορεί να πλακιδώσει το χώρο αλλά όχι με άπειρη κυκλική ομάδα συμμετριών.

Συσκευασία σφαιρών

Στο τρίτο μέρος του προβλήματος ζητείται η πυκνότερη συσκευασία σφαιρών ή άλλων καθορισμένων σχημάτων. Αν και περιλαμβάνει ρητά και άλλα σχήματα εκτός από σφαίρες, θεωρείται γενικά ισοδύναμο με την εικασία του Κέπλερ.

Το 1998, ο Αμερικανός μαθηματικός Τόμας Κάλιστερ Χέιλς έδωσε μια απόδειξη της εικασίας Κέπλερ με τη βοήθεια υπολογιστή. Δείχνει ότι ο πιο αποδοτικός τρόπος για να πακεταριστούν οι σφαίρες είναι σε σχήμα πυραμίδας. 

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Proof of Dehn's Theorem at Everything2

Dehn Invariant at Everything2
 Ντέιβιντ Χίλμπερτ, Μαθηματικά προβλήματα, 6ο πρόβλημα, σε αγγλική μετάφραση.

 Δείτε επίσης 
 Μερική διαφορική εξίσωση
 Καρλ Φρίντριχ Γκάους
 Προβολικός χώρος
 Δυναμικός προγραμματισμός
 Μαθηματική ανάλυση
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Μερική διαφορική εξίσωση
 Δευτεροβάθμια εξίσωση 
 Χώρος Χίλμπερτ
 Ντάβιντ Χίλμπερτ
 Ευκλείδειος χώρος
 Θεωρία αριθμών
 Ισοσκελές τρίγωνο

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 

 Shreeram Shankar Abhyankar, " Hilbert's Thirteenth Problem", Algèbre non commutative, groupes quantiques et invariants (Reims, 1995), 1–11, Sémin. Congr., 2, Soc. Math. France, Paris, 1997. 

 Πηγές 







Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Διακριτή γεωμετρία
Κατηγορία:Πολύεδρα
Κατηγορία:Διοφαντικές εξισώσεις
Κατηγορία:Προβλήματα του Χίλμπερτ
Κατηγορία:Ιστορία των Μαθηματικών
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά
Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία