Θεώρημα πεταλούδας

Στην γεωμετρία, το θεώρημα της πεταλούδας  αφορά τρεις τεμνόμενες χορδές σε έναν κύκλο.

Έστω  το μέσο μιας χορδής  ενός κύκλου, από το οποίο διέρχονται δύο άλλες χορδές  και , και έστω  και  τα σημεία τομής των  και  με τη χορδή  αντίστοιχα. Τότε,  είναι επίσης το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος .

 Απόδειξη 
Η πιο κοινή απόδειξη του θεωρήματος είναι η εξής:

Θεωρούμε τις κάθετες  και  από το  στις ευθείες  και  αντίστοιχα. Επίσης, θεωρούμε τις κάθετες  και  από το  στις  και .

Τα ορθογώνια τρίγωνα  και  είναι όμοια καθώς έχουν δύο οξείες γωνίες ίσες  ως κατακορυφήν.  Επομένως,

Αντίστοιχα, από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα  και  έχουμε ότι 

Επίσης, τα ορθογώνια τρίγωνα  και  είναι όμοια καθώς έχουν δύο οξείες γωνίες ίσες  ως εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο. Επομένως, 

Αντίστοιχα, τα τρίγωνα  και  είναι όμοια, επομένως

Συνδυάζοντας τις προηγούμενες σχέσεις και το θεώρημα τεμνόμενων χορδών έχουμε
  (πολλαπλασιάζοντας την () με την ())
  (χρησιμοποιώντας την () και την ())
 (χρησιμοποιώντας το θεώρημα τεμνόμενων χορδών στα σημεία  και )

  (καθώς )
. (από την διαφορά τετραγώνων)

Οπότε,

Πολλαπλασιάζοντας χιαστί,

και απαλοίφοντας τον κοινό όρο από τα δύο μέλη της εξίσωσης
.
Αφού , ,  είναι θετικοί αριθμοί, λαμβάνουμε ότι  και καταλήγουμε ότι  είναι το μέσο του .

Υπάρχουν και πολλές άλλες αποδείξεις χρησιμοποιώντας διάφορες τεχνικές.. Μία σύνοψη αυτών μπορούν να βρεθούν στην δημοσίευση του Bankoff (1987).

Ιστορία

Η απόδειξη του θεωρήματος της πεταλούδας τέθηκε ως πρόβλημα από τον Γουίλιαμ Γουάλας στο The Gentleman's Mathematical Companion (Ο μαθηματικός σύντροφος του τζέντλεμαν) (1803). Τρεις λύσεις δημοσιεύθηκαν το 1804 και το 1805 ο Σερ Γουίλιαμ Χέρσελ έθεσε ξανά το ερώτημα σε επιστολή του προς τον Γουάλας. Ο αιδεσιμότατος Τόμας Σκερ έθεσε ξανά το ίδιο ερώτημα το 1814 στο Gentleman's Diary or Mathematical Repository (Ημερολόγιο τζέντλεμαν ή Μαθηματικό Αποθετήριο).William Wallace's 1803 Statement of the Butterfly Theorem, cut-the-knot, retrieved 2015-05-07.

 Γενικεύσεις 
Διάφορες γενικεύσεις του θεωρήματος έχουν προταθεί καθώς και επεκτάσεις στις ελλείψεις. και σε τετράπλευρα.

Δείτε επίσης
 Λήμμα Χαρούκι
 Θεώρημα τεμνόμενων χορδών

 Περαιτέρω ανάγνωση 

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 Θεώρημα πεταλούδας στο MathWorld
 Θεώρημα πεταλούδας στο Cut The Knot.
 Θεώρημα πεταλούσας στο Γεωμετρικόν.

 Ξενόγλωσσα άρθρα 




Παραπομπές



Κατηγορία:Ευκλείδεια Γεωμετρία
Κατηγορία:Κλασική γεωμετρία
Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία
Κατηγορία:Διαφορική γεωμετρία
Κατηγορία:Γεωμετρία
Κατηγορία:Θεωρήματα στη Γεωμετρία