Θεώρημα του Κομαντίνο

Το θεώρημα του Κομαντίνο, που οφείλει το όνομά του στον Φεντερίκο Κομαντίνο (1509-1575), δηλώνει ότι οι τέσσερις διάμεσοι ενός τετραέδρου συμπίπτουν σε ένα σημείο S, το οποίο τις διαιρεί σε αναλογία 3:1. Σε ένα τετράεδρο διάμεσος είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει μια κορυφή με το κεντροειδές της απέναντι όψης - δηλαδή το κεντροειδές του απέναντι τριγώνου. Το σημείο S είναι επίσης το κεντροειδές του τετραέδρουClaudi Alsina, Roger B. Nelsen: A Mathematical Space Odyssey: Solid Geometry in the 21st Century. The Mathematical Association of America, 2015, ISBN 9780883853580, pp. 97–98Nathan Altshiller-Court: The Tetrahedron and Its Circumscribed Parallelepiped. The Mathematics Teacher, Vol. 26, No. 1 (JANUARY 1933), pp. 46–52 (JSTOR)Norman Schaumberger: Commandino's theorem. The Two-Year College Mathematics Journal, Vol. 13, No. 5 (Nov., 1982), p. 331 (JSTOR).

 Ιστορία

Το θεώρημα αποδίδεται στον Κουμαντίνο, ο οποίος δήλωσε, στο έργο του De Centro Gravitatis Solidorum (Το κέντρο βαρύτητας των στερεών, 1565), ότι οι τέσσερις διάμεσοι του τετραέδρου συμπίπτουν. Ωστόσο, σύμφωνα με τον μελετητή του 19ου αιώνα Γκιγιόμ Λιμπρί, ο Φραντσέσκο Μαουρολίκο (1494-1575) ισχυρίστηκε ότι είχε βρει το αποτέλεσμα νωρίτερα. Ωστόσο, ο Λιμπρί πίστευε ότι ήταν γνωστό ακόμη νωρίτερα στον Λεονάρντο ντα Βίντσι, ο οποίος φαίνεται ότι το είχε χρησιμοποιήσει στο έργο του. Ο Τζούλιαν Κούλιτζ συμμερίστηκε αυτή την εκτίμηση, αλλά επεσήμανε ότι δεν μπόρεσε να βρει καμία ρητή περιγραφή ή μαθηματική επεξεργασία του θεωρήματος στα έργα του ντα ΒίντσιNathan Altshiller Court: Notes on the centroid. The Mathematics Teacher, Vol. 53, No. 1 (JANUARY 1960), pp. 34 (JSTOR). άλλοι μελετητές υπέθεσαν ότι το αποτέλεσμα μπορεί να ήταν ήδη γνωστό στους Έλληνες μαθηματικούς κατά την αρχαιότηταHoward Eves: Great Moments in Mathematics (before 1650). MAA, 1983, ISBN 9780883853108, p. 225.

Γενικεύσεις

Το θεώρημα του Κομαντίνο έχει ένα άμεσο ανάλογο για μονοπλέγματα  οποιασδήποτε διάστασης:

 Έστω  ένα -μονόπλεγμα  κάποιας διάστασης  στο  και έστω  οι κορυφές του. Επιπλέον, έστω , οι διάμεσοι της , οι γραμμές που συνδέουν κάθε κορυφή  με το κεντροειδές της απέναντι -διάστατης όψης . Στη συνέχεια, οι γραμμές αυτές τέμνονται μεταξύ τους σε ένα σημείο , σε αναλογία .

 Απόλυτη γενικότητα 

Η πρώτη αναλογία αποδεικνύεται εύκολα από το ακόλουθο γενικότερο αποτέλεσμα, το οποίο είναι ανάλογο με τη λειτουργία των μοχλών στη φυσική:

 Έστω  και  φυσικοί αριθμοί, έτσι ώστε σε έναν -διανυσματικό χώρο ,  κατά ζεύγη διαφορετικά σημεία  δίνονται.
 Έστω  το κεντροειδές των σημείων , έστω  το κεντροειδές των σημείων  και έστω  το κεντροειδές όλων αυτών των σημείων .
 Τότε, έχουμε

 Συγκεκριμένα, το κεντροειδές  βρίσκεται πάνω στην ευθεία  και τη διαιρεί σε αναλογία .

Θεώρημα Ρεούστ

Το προηγούμενο θεώρημα έχει περαιτέρω ενδιαφέρουσες συνέπειες εκτός από την προαναφερθείσα γενίκευση του θεωρήματος του Κουμαντίνο. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη του ακόλουθου θεωρήματος για το κεντροειδές ενός τετραέδρου, το οποίο περιγράφηκε για πρώτη φορά στο βιβλίο Mathematische Unterhaltungen (Μαθηματικές συζητήσεις) από τον Γερμανό φυσικό Φρίντριχ Έντουαρντ Ρέουστ (Friedrich Eduard Reusch) :Friedrich Joseph Pythagoras Riecke (Hrsg.): Mathematische Unterhaltungen. Zweites Heft. 1973, S. 100, 128In den Mathematische Unterhaltungen (Zweites Heft, S. 128) wird auf die S. 36 von Reuschs Abhandlung Der Spitzbogen verwiesen.

Θα μπορούσαμε να βρούμε το κεντροειδές ενός τετραέδρου παίρνοντας τα μέσα σημεία δύο ζευγών δύο αντίθετων ακμών του και συνδέοντας τα αντίστοιχα μέσα σημεία μέσω της αντίστοιχης μέσης γραμμής τους. Το σημείο τομής των δύο μεσαίων γραμμών θα είναι το κεντροειδές του τετραέδρου.

Δεδομένου ότι ένα τετράεδρο έχει έξι ακμές σε τρία αντίθετα ζεύγη, προκύπτει το ακόλουθο συμπέρασμα:

Σε ένα τετράεδρο, οι τρεις μέσες γραμμές που αντιστοιχούν σε αντίθετα μεσοδιαστήματα ακμών συμπίπτουν και το σημείο τομής τους είναι το κεντροειδές του τετραέδρου.

Θεώρημα Βαρινιόν

Μια ειδική περίπτωση του θεωρήματος του Ρεούστ, όπου και οι τέσσερις κορυφές ενός τετραέδρου είναι συμπίπτουσες και βρίσκονται σε ένα μόνο επίπεδο, εκφυλισμένες έτσι σε τετράπλευρο, το θεώρημα του Βαρινιόν, που πήρε το όνομά του από τον Πιερ Βαρινιόν, αναφέρει τα εξής:Coxeter, op. cit., S. 242DUDEN: Rechnen und Mathematik. 1985, S. 652

Έστω ένα τετράπλευρο στο . Τότε οι δύο μέσες γραμμές που συνδέουν τα απέναντι μέσα των ακμών τέμνονται στο κέντρο του τετραπλεύρου και διαιρούνται στη μέση από αυτό.

 Δημοσιεύσεις 


 Wilhelm Killing: Lehrbuch Der Analytischen Geometrie. Teil 2, Outlook Verlagsgesellschaft, Bremen 2011, ISBN 978-3-86403-540-1.





 Allen, R. E. (1965). Studies in Plato's Metaphysics II. Taylor & Francis. ISBN 0-7100-3626-4
 Ambuel, David (2007). Image and Paradigm in Plato's Sophist. Parmenides Publishing. ISBN 978-1-930972-04-9












 Δείτε επίσης 

 Field Arithmetic
 Βικιπαίδεια:Εγχειρίδιο μορφής/Μαθηματικά (Περιέχει και τα αγγλοελληνικά Λεξικά Μαθηματικής Ορολογίας)
 Πραγματικό προβολικό επίπεδο
 Στοιχεία του Ευκλείδη
 Ευκλείδειος χώρος
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Ομογενές πολυώνυμο
 Παραμετρικές εξισώσεις
 Παραβολή (γεωμετρία)
 Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
 Σπείρα του Αρχιμήδη
 Συνέχεια συνάρτησης
 Πιερ Βαρινιόν
 Λέον Μπαττίστα Αλμπέρτι
 Φιλίππο Μπρουνελλέσκι
 Διανυσματικός χώρος
 Γεωγραφικό μήκος
 Μονοδύναμο στοιχείο
 High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 

 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Euclid’s elements of geometry - The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν
  Τα οπτικά του Ευκλείδη Διδακτορική Διατριβή - ΕΑΔΔ
 A History of Greek Mathematics, Τόμος 1
 A History of Greek Mathematics: Τόμος 2
 Advanced Euclidean Geometry
 Methods for Euclidean Geometry.
 Exploring Advanced Euclidean Geometry with GeoGebra.
 Methods for Euclidean Geometry
 Galileo at Work: His Scientific Biography
 The Thirteen Books of Euclid's Elements
 Federici Commandini Commentaria in octo mathematicarum collectionum Pappi ...
 History of Virtual Work Laws: A History of Mechanics Prospective
 Unipotent and Nilpotent Classes in Simple Algebraic Groups and Lie Algebras..

 Παραπομπές 

 Commandino, Federico - Encyclopedia.com'
 Mathematicae Collectiones a Federico Commandino Urbinate in latinum conversae, et commentariis illustratae. PAPPUS OF ALEXANDRIA.
 Federico Commandino ResearchGate
 A Couple of Nice Extensions of the Median Properties 
 Federici Commandini Liber de centro gravitatis solidorum

Κατηγορία:Ευκλείδεια Γεωμετρία
Κατηγορία:Κλασική γεωμετρία
Κατηγορία:Θεωρήματα στη Γεωμετρία
Κατηγορία:Διακριτή γεωμετρία
Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία
Κατηγορία:Πολύεδρα
Κατηγορία:Αρχαία ελληνική επιστήμη