Εικασία Αγκόχ-Γκιούγκα

Στη θεωρία των αριθμών η εικασία Αγκόχ-Γκιούγκα για τους αριθμούς Μπερνούλι Bk υποστηρίζει ότι ο p είναι πρώτος αριθμός αν και μόνο αν



Η εικασία πήρε το όνομά της από τους Τακάσι Αγκόχ και Τζουζέπε Γκιούγκα.

 Ισοδύναμη διατύπωση

Η εικασία όπως διατυπώθηκε παραπάνω οφείλεται στον Τακάσι Αγκόχ (1990)- μια ισοδύναμη διατύπωση οφείλεται στον Τζουζέπε Γκιούγκα, από το 1950, σύμφωνα με την οποία το p είναι πρώτος αριθμός αν και μόνο αν 

το οποίο μπορεί επίσης να γραφτεί ως

Είναι τετριμμένο να δείξουμε ότι το να είναι το p πρώτος αριθμός αρκεί για να ισχύει η δεύτερη ισοδυναμία, αφού αν το p είναι πρώτος αριθμός, το μικρό θεώρημα του Φερμά δηλώνει ότι

για , και η ισοδυναμία προκύπτει, αφού 

Κατάσταση

Η δήλωση εξακολουθεί να αποτελεί εικασία, καθώς δεν αποδείχθηκε ακόμη ότι αν ένας αριθμός n δεν είναι πρώτος (δηλαδή ο n είναι σύνθετος), τότε ο τύπος δεν ισχύει. Έγινε αποδεκτό ότι ένας σύνθετος αριθμός n ικανοποιεί τον τύπο αν και μόνο αν είναι και αριθμός Καρμάικλ και αριθμός Γκιούγκα, και ότι αν υπάρχει τέτοιος αριθμός, έχει τουλάχιστον 13.800 ψηφία  (Borwein, Borwein, Borwein, Girgensohn 1996). Ο Λαέρτ Σορίνι, τέλος, σε μια εργασία του 2001 έδειξε ότι ένα πιθανό αντιπαράδειγμα θα πρέπει να είναι ένας αριθμός n μεγαλύτερος από   1036067, ο οποίος αντιπροσωπεύει το όριο που πρότεινε ο Μπεντόκι για την τεχνική επίδειξης που προσδιόρισε ο Γκιούγκα στη δική του εικασία.

Σχέση με το θεώρημα του Γουίλσον

Η εικασία Αγκόχ-Γκιούγκα παρουσιάζει ομοιότητα με το θεώρημα του Γουίλσον, το οποίο έχει αποδειχθεί αληθές. Το θεώρημα του Γουίλσον δηλώνει ότι ένας αριθμός p είναι πρώτος αν και μόνο αν 

το οποίο μπορεί επίσης να γραφτεί ως

Για έναν περιττό πρώτο αριθμό p έχουμε

και για p=2 έχουμε

Έτσι, η αλήθεια της εικασίας Αγκόχ-Γκιούγκα σε συνδυασμό με το θεώρημα του Γουίλσον θα έδινε: ένας αριθμός p είναι πρώτος αν και μόνο αν

και

 Παραδείγματα 
Παράδειγμα 1:

Έστω 

Τότε το  dέχει τους πρώτους διαιρέτες  και . Ισχύουν τα ακόλουθα::

Επομένως,  είναι ένας αριθμός Γκιούγκα.

Παράδειγμα 2:

Οι πρώτοι επτά αριθμοί Γκιούγκα είναι οι εξής:

30, 858, 1722, 66198, 2214408306, 24423128562, 432749205173838 … ()

Τα στοιχεία της Γκιούγκα που είναι γνωστά μέχρι σήμερα

 3 παράγοντες:
 30 = 2 · 3 · 5
 4 παράγοντες:
 858 = 2 · 3 · 11 · 13
 1722 = 2 · 3 · 7 · 41
 5 παράγοντες:
 66.198 = 2 · 3 · 11 · 17 · 59
 6 παράγοντες:
 2.214.408.306 = 2 · 3 · 11 · 23 · 31 · 47.057
 24.423.128.562 = 2 · 3 · 7 · 43 · 3041 · 4447
 7 παράγοντες:
 432.749.205.173.838 = 2 · 3 · 7 · 59 · 163 · 1381 · 775.807
 14.737.133.470.010.574 = 2 · 3 · 7 · 71 · 103 · 67.213 · 713.863
 550.843.391.309.130.318 = 2 · 3 · 7 · 71 · 103 · 61.559 · 29.133.437
 8 παράγοντες:
 244.197.000.982.499.715.087.866.346 = 2 · 3 · 11 · 23 · 31 · 47.137 · 28.282.147 · 3.892.535.183
 554.079.914.617.070.801.288.578.559.178 = 2 · 3 · 11 · 23 · 31 · 47.059 · 2.259.696.349 · 110.725.121.051
 1.910.667.181.420.507.984.555.759.916.338.506 = 2 · 3 · 7 · 43 · 1831 · 138.683 · 2.861.051 · 1.456.230.512.169.437
 10 παράγοντες:
 4.200.017.949.707.747.062.038.711.509.670.656.632.404.195.753.751.630.609.228.764.416.142.557.211.582.098.432.545.190.323.474.818 = 2 · 3 · 11 · 23 · 31 · 47.059 · 2.217.342.227 · 1.729.101.023.519 · 8.491.659.218.261.819.498.490.029.296.021 · 58.254.480.569.119.734.123.541.298.976.556.403

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών

 Δείτε επίσης 
 Θεωρία αριθμών
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Φυσικός λογάριθμος
 Πρώτος αριθμός Μερσέν
 e (μαθηματική σταθερά)
 Πρώτος αριθμός
 Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
 Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν
 Φυσικός αριθμός
 Εικασία του Λεζάντρ
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Αριθμητική πρόοδος
 Συνάρτηση Όιλερ
 Ευκλείδειος χώρος

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 



  Giuga, Giuseppe (1951). "Su una presumibile proprietà caratteristica dei numeri primi". Ist.Lombardo Sci. Lett., Rend., Cl. Sci. Mat. Natur. (in Italian). 83: 511–518.  Zbl 0045.01801.
   Agoh, Takashi (1995). "On Giuga's conjecture". Manuscripta Mathematica. 87 (4): 501–510. doi:10.1007/bf02570490. Zbl 0845.11004.
  Borwein, D.; Borwein, J. M.; Borwein, P. B.; Girgensohn, R. (1996). "Giuga's Conjecture on Primality" (PDF). American Mathematical Monthly. 103 (1): 40–50. CiteSeerX 10.1.1.586.1424. doi:10.2307/2975213. JSTOR 2975213. Zbl 0860.11003. Archived from the original (PDF) on 2005-05-31. Retrieved 2005-05-29.
 Sorini, Laerte (2001). "Un Metodo Euristico per la Soluzione della Congettura di Giuga". Quaderni di Economia, Matematica e Statistica, DESP, Università di Urbino Carlo Bo (in Italian). 68. 

 Πηγές 








Κατηγορία:Αναλυτική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Εικασίες για πρώτους αριθμούς
Κατηγορία:Πρώτοι αριθμοί
Κατηγορία:Ακέραιοι αριθμοί
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά