Θεώρημα εξαγώνου του Πάππου

Στα μαθηματικά, το Θεώρημα του εξαγώνου του Πάππου (που αποδίδεται στον Πάππο της Αλεξάνδρειας) δηλώνει ότι 
δεδομένου ενός συνόλου συγγραμμικών σημείων  και ενός άλλου συνόλου συγγραμμικών σημείων  τότε τα σημεία τομής  από τα ζεύγη ευθειών  και  και  και  είναι συγγραμμικά, που βρίσκονται πάνω στην ευθεία του Πάππου. Τα τρία αυτά σημεία είναι τα σημεία τομής των αντίθετων πλευρών του εξαγώνου . 

Ισχύει σε ένα προβολικό επίπεδο πάνω από οποιοδήποτε πεδίο, αλλά αποτυγχάνει για προβολικά επίπεδα πάνω από οποιονδήποτε μη αντιμεταθετικό δακτύλιο διαίρεσης.Coxeter, pp. 236-7 Τα προβολικά επίπεδα στα οποία ισχύει το θεώρημα ονομάζονται επιπεδα του Πάππου.

Αν θεωρήσουμε ένα επίπεδο Πάππου που περιέχει ένα εξάγωνο όπως μόλις περιγράφηκε αλλά με πλευρές  και  παράλληλες και επίσης πλευρές  και  παράλληλες (έτσι ώστε η ευθεία Πάππου  να είναι η ευθεία στο άπειρο), παίρνουμε την αφινική εκδοχή του θεωρήματος του Πάππου που φαίνεται στο δεύτερο διάγραμμα.

Αν η ευθεία Πάππου  και οι ευθείες  έχουν ένα κοινό σημείο, προκύπτει η λεγόμενη μικρή εκδοχή του θεωρήματος του Πάππου. Rolf Lingenberg: Grundlagen der Geometrie, BI-Taschenbuch, 1969, p. 93

Το δυϊκό αυτό θεώρημα πρόσπτωσης δηλώνει ότι δεδομένου ενός συνόλου συγκλίνουσων ευθειών  και ενός άλλου συνόλου συγκλίνουσων ευθειών , τότε οι ευθείες  που ορίζονται από ζεύγη σημείων που προκύπτουν από ζεύγη τομών  και  και  και  είναι συγκλίνουσα. (Συγκλίνουσα σημαίνει ότι οι ευθείες περνούν από ένα σημείο).

Το θεώρημα Πάππου είναι μια ειδική περίπτωση του θεωρήματος του Πασκάλ για την κωνική - η οριακή περίπτωση όταν η κωνική εκφυλίζεται σε 2 ευθείες. Το θεώρημα του Πασκάλ είναι με τη σειρά του μια ειδική περίπτωση του θεωρήματος Κέιλι-Μπάχαραχ.

Η διάταξη Πάππου είναι η διάταξη 9 ευθειών και 9 σημείων που εμφανίζεται στο θεώρημα του Πάππου, με κάθε ευθεία να συναντά 3 από τα σημεία και κάθε σημείο να συναντά 3 ευθείες. Γενικά, η ευθεία του Πάππου δεν περνάει από το σημείο τομής των  και .However, this does occur when  and  are in perspective, that is,  and  are concurrent. Αυτή η διαμόρφωση αυτοδιπλώνεται.Δεδομένου ότι, ειδικότερα, οι γραμμές  έχουν τις ιδιότητες των γραμμών  του δυϊκού θεωρήματος, και η συγγραμμικότητα των  είναι ισοδύναμη με τη σύμπτωση των , το δυϊκό θεώρημα είναι επομένως ακριβώς το ίδιο με το ίδιο το θεώρημα. Το γράφημα Λεβί της διαμόρφωσης Πάππου είναι το γράφημα Πάππου, ένα διμερές γράφημα κανονικής απόστασης με 18 κορυφές και 27 ακμές.

 Απόδειξη: αφινική μορφή 

Εάν η αφινική μορφή της δήλωσης μπορεί να αποδειχθεί, τότε η προβολική μορφή του θεωρήματος Πάππου αποδεικνύεται, καθώς η επέκταση ενός επιπέδου Πάππου σε ένα προβολικό επίπεδο είναι μοναδική. 

Λόγω της παραλληλότητας σε ένα αφινικό επίπεδο πρέπει να διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: and . 

Το κλειδί για μια απλή απόδειξη είναι η δυνατότητα εισαγωγής ενός «κατάλληλου» συστήματος συντεταγμένων:

Περίπτωση 1: Οι γραμμές  τέμνονται στο σημείο .
Στην περίπτωση αυτή εισάγονται συντεταγμένες, έτσι ώστε  (βλ. διάγραμμα). 

  έχουν τις συντεταγμένες .

Από την παραλληλία των ευθειών < προκύπτει  και από την παραλληλία των ευθειών  προκύπτει . Επομένως η ευθεία  έχει κλίση  και είναι παράλληλη με την ευθεία .

Case 2:  («μικρό θεώρημα»).
Στην περίπτωση αυτή οι συντεταγμένες επιλέγονται έτσι ώστε . Από την παραλληλία των  και  προκύπτει  και , αντίστοιχα, και τουλάχιστον η παραλληλία .

 Απόδειξη με ομογενείς συντεταγμένες 
Επιλέγουμε ομογενείς συντεταγμένες με 

.
Στις ευθείες ,  οι οποίες δίνονται από τις σχέσεις , ας πάρουμε τα σημεία   ως εξής 

για ορισμένα . Οι τρεις ευθείες  είναι < , οπότε περνούν από το ίδιο σημείο  αν και μόνο αν . Η προϋπόθεση για τις τρεις ευθείες  και  με εξισώσεις  να διέρχεται από το ίδιο σημείο  είναι . Άρα αυτό το τελευταίο σύνολο των τριών ευθειών είναι συγκλίνον αν όλα τα άλλα οκτώ σύνολα είναι, επειδή ο πολλαπλασιασμός είναι αντιμεταθετικός, οπότε . Ισοδύναμα, τα  είναι συγγραμμικά.

Η παραπάνω απόδειξη δείχνει επίσης ότι για να ισχύει το θεώρημα Πάππου για έναν προβολικό χώρο πάνω από ένα δακτύλιο διαίρεσης είναι τόσο επαρκές όσο και απαραίτητο ο δακτύλιος διαίρεσης να είναι ένα (αντιμεταθετικό) πεδίο. Ο Γερμανός μαθηματικός Gerhard Hessenberg απέδειξε ότι το θεώρημα Πάππου  συνεπάγεται το θεώρημα του Ντεσάργκ.According to , Hessenberg's original proof  is not complete; he disregarded the possibility that some additional incidences could occur in the Desargues configuration. A complete proof is provided by . Γενικά, το θεώρημα Πάππου ισχύει για κάποιο προβολικό επίπεδο αν και μόνο αν πρόκειται για προβολικό επίπεδο πάνω σε ένα αντιμεταθετικό πεδίο. Τα προβολικά επίπεδα στα οποία δεν ισχύει το θεώρημα Πάππου είναι τα προβολικά επίπεδα Ντεσάργκ πάνω από μη αντιμεταθετικούς δακτυλίους διαίρεσης και τα μη Ντεσάργκιανά επίπεδα.

Η απόδειξη είναι άκυρη αν τα  τυχαίνει να είναι συγγραμμικά. Σε αυτή την περίπτωση μπορεί να παρασχεθεί μια εναλλακτική απόδειξη, για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας μια διαφορετική προβολική αναφορά.

Δυϊκό θεώρημα

Λόγω της αρχής της δυϊκότητας για τα προβολικά επίπεδα, το δυϊκό θεώρημα του Πάππου είναι αληθές:

Εάν 6 ευθείες  επιλέγονται εναλλάξ από δύο δεσμήματα με κέντρα , οι ευθείες





είναι συγκλίνουσες, δηλαδή: έχουν ένα κοινό σημείο .
Το αριστερό διάγραμμα δείχνει την προβολική εκδοχή, το δεξιό την αφινική εκδοχή, όπου τα σημεία 
 είναι σημεία στο άπειρο. Αν το σημείο  βρίσκεται στην ευθεία  τότε έχουμε το «διπλό μικρό θεώρημα» του θεωρήματος Πάππου.

Αν στην αφινική εκδοχή του δυϊκού «μικρού θεωρήματος» το σημείο  είναι επίσης ένα σημείο στο άπειρο, παίρνουμε το θεώρημα του Τόμσεν, μια δήλωση για 6 σημεία στις πλευρές ενός τριγώνου (βλ. διάγραμμα). Το σχήμα Τόμσεν παίζει ουσιαστικό ρόλο στον συντονισμό ενός αξιωματικά ορισμένου προβολικού επιπέδου. W. Blaschke: Projektive Geometrie, Springer-Verlag, 2013, , S. 190 Η απόδειξη του κλεισίματος του σχήματος του Τόμσεν καλύπτεται από την απόδειξη του «μικρού θεωρήματος», που δόθηκε παραπάνω. Υπάρχει όμως και μια απλή άμεση απόδειξη:

Επειδή η δήλωση του θεωρήματος του Τόμσεν (το κλείσιμο του σχήματος) χρησιμοποιεί μόνο τους όρους συνδέω, τέμνω και παράλληλα, η δήλωση είναι αναλλοίωτη ως προς τη συνάφεια και μπορεί κανείς να εισαγάγει συντεταγμένες τέτοιες ώστε 
 ( βλ. δεξί διάγραμμα). Το σημείο εκκίνησης της ακολουθίας των χορδών είναι  Εύκολα επαληθεύει κανείς τις συντεταγμένες των σημείων που δίνονται στο διάγραμμα, το οποίο δείχνει: το τελευταίο σημείο συμπίπτει με το πρώτο σημείο.

Άλλες δηλώσεις του θεωρήματος

Εκτός από τους παραπάνω χαρακτηρισμούς του θεωρήματος Πάππου και του δυϊκού του, οι παρακάτω είναι ισοδύναμες δηλώσεις:
 Αν οι έξι κορυφές ενός εξαγώνου βρίσκονται εναλλάξ πάνω σε δύο ευθείες, τότε τα τρία σημεία τομής των ζευγών αντίθετων πλευρών είναι συγγραμμικά.Coxeter, p. 231
 Τοποθετημένοι σε έναν πίνακα εννέα σημείων (όπως στο σχήμα και την περιγραφή παραπάνω) και θεωρώντας ότι αξιολογούν ένα μόνιμο, αν οι δύο πρώτες σειρές και οι έξι «διαγώνιες» τριάδες είναι συγγραμμικές, τότε η τρίτη σειρά είναι συγγραμμική.

Δηλαδή, αν  είναι ευθείες, τότε το θεώρημα του Πάππου δηλώνει ότι  πρέπει να είναι ευθεία.  Επίσης, ας σημειωθεί ότι η ίδια διατύπωση του πίνακα ισχύει και για τη διπλή μορφή του θεωρήματος όταν  κ.λπ. είναι τριάδες ταυτόχρονων ευθειών. Coxeter, p. 233
 Δεδομένων τριών διαφορετικών σημείων σε κάθε μία από δύο διαφορετικές ευθείες, αν αντιστοιχίσετε κάθε σημείο σε μία από τις ευθείες με ένα από την άλλη ευθεία, τότε οι ενώσεις των σημείων που δεν έχουν αντιστοιχιστεί θα συναντηθούν σε (αντίθετα) ζεύγη σε σημεία κατά μήκος μιας ευθείας.Whicher, chapter 14
 Αν δύο τρίγωνα είναι προοπτικά με τουλάχιστον δύο διαφορετικούς τρόπους, τότε είναι προοπτικά με τρεις τρόπους.
 Αν οι  και  είναι συγκλίνουσες  και οι  και  είναι συγκλίνουσες , τότε οι  και  είναι συγκλίνουσες.

Προέλευση

Στην παλαιότερη γνωστή μορφή του, το Θεώρημα του Πάππου είναι οι προτάσεις 138, 139, 141 και 143 του Βιβλίου VII της Συλλογής του ΠάππουHeath (Vol. II, p. 421) cites these propositions.  The latter two can be understood as converses of the former two.  Kline (p. 128) cites only Proposition 139.  The numbering of the propositions is as assigned by Hultsch.. Πρόκειται για τα Λήμματα XII, XIII, XV και XVII στο μέρος του Βιβλίου VII που αποτελείται από λήμματα στο πρώτο από τα τρία βιβλία των Πορισμάτων του Ευκλείδη.

Τα λήμματα αποδεικνύονται με βάση αυτό που σήμερα είναι γνωστό ως ο λόγος διασταύρωσης τεσσάρων συγγραμμικών σημείων. Χρησιμοποιούνται τρία προηγούμενα λήμματα. Το πρώτο από αυτά, το Λήμμα ΙΙΙ, έχει το παρακάτω διάγραμμα (το οποίο χρησιμοποιεί τα γράμματα του Πάππου, με G για το Γ, D για το Δ, J για το Θ και L για το Λ). 

Συλλογή Πάππου-7-129

Εδώ τρεις συγκλίνουσες ευθείες, AB, AG και AD, τέμνονται από δύο ευθείες, JB και JE, οι οποίες συμπίπτουν στο σημείο J. 
Επίσης η KL χαράσσεται παράλληλα με την AZ.
Τότε
KJ : JL :: (KJ : AG & AG : JL) :: (JD : GD & BG : JB).

Αυτές οι αναλογίες θα μπορούσαν να γραφούν σήμερα ως εξισώσεις:A reason for using the notation above is that, for the ancient Greeks, a ratio is not a number or a geometrical object.  We may think of ratio today as an equivalence class of pairs of geometrical objects. Also, equality for the Greeks is what we might today call congruence. In particular, distinct line segments may be equal.  Ratios are not equal in this sense; but they may be the same.
KJ/JL = (KJ/AG)(AG/JL) = (JD/GD)(BG/JB).

Ο τελευταίος σύνθετος λόγος (δηλαδή JD : GD & BG : JB) είναι γνωστός σήμερα ως ο διπλός λόγος των συγγραμμικών σημείων J, G, D και B με αυτή τη σειρά- συμβολίζεται σήμερα με (J, G; D, B). Έτσι δείξαμε ότι αυτό είναι ανεξάρτητο από την επιλογή της συγκεκριμένης ευθείας JD που τέμνει τις τρεις ευθείες που συμπίπτουν στο Α. Συγκεκριμένα
(J, G; D, B) = (J, Z; H, E).

Δεν έχει σημασία σε ποια πλευρά του Α πέφτει η ευθεία JE. Συγκεκριμένα, η κατάσταση μπορεί να είναι όπως στο επόμενο διάγραμμα, το οποίο είναι το διάγραμμα για το Λήμμα Χ. 
Συλλογή Πάππου-7-136
Όπως και προηγουμένως, έχουμε (J, G; D, B) = (J, Z; H, E). Ο Πάππος δεν το αποδεικνύει ρητά αυτό- αλλά το Λήμμα Χ είναι ένα αντίστροφο, δηλαδή ότι αν αυτές οι δύο διασταυρούμενες αναλογίες είναι ίδιες και οι ευθείες BE και DH τέμνονται στο Α, τότε τα σημεία G, A και Z πρέπει να είναι συγγραμμικά.

Αυτό που δείξαμε αρχικά μπορεί να γραφτεί ως (J, ∞; K, L) = (J, G; D, B), με το ∞ να παίρνει τη θέση της (ανύπαρκτης) τομής των JK και AG. Ο Πάππος το δείχνει αυτό, στην πραγματικότητα, στο Λήμμα ΧΙ, του οποίου το διάγραμμα, ωστόσο, έχει διαφορετικά γράμματα: 
Συλλογή Πάππου-7-137

Αυτό που δείχνει ο Πάππος είναι DE.ZH : EZ.HD :: GB : BE, το οποίο μπορούμε να γράψουμε ως εξής
(D, Z; E, H) = (∞, B; E, G).

Το διάγραμμα του Λήμματος XII είναι:
Συλλογή Πάππου-7-138

Το διάγραμμα για το Λήμμα XIII είναι το ίδιο, αλλά οι BA και DG, εκτεταμένες, συναντώνται στο N. Σε κάθε περίπτωση, θεωρώντας ότι οι ευθείες που διέρχονται από το G κόβονται από τις τρεις ευθείες που διέρχονται από το A, (και δεχόμενοι ότι οι εξισώσεις των διπλών λόγων παραμένουν έγκυρες μετά την αντιμετάθεση των καταχωρήσεων) έχουμε από το Λήμμα III ή XI
(G, J; E, H) = (G, D; ∞ Z).

Θεωρώντας ότι οι ευθείες που διέρχονται από το D κόβονται από τις τρεις ευθείες που διέρχονται από το B, έχουμε
(L, D; E, K) = (G, D; ∞ Z).
Συνεπώς (E, H; J, G) = (E, K; D, L), οπότε σύμφωνα με το Λήμμα X, τα σημεία H, M και K είναι συγγραμμικά.  Δηλαδή, τα σημεία τομής των ζευγών των αντίθετων πλευρών του εξαγώνου ADEGBZ είναι συγγραμμικά.

 Δημοσιεύσεις 


  On-line text at archive.org









 Δείτε επίσης 
 Πραγματικό προβολικό επίπεδο
 Στοιχεία του Ευκλείδη
 Ευκλείδειος χώρος
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Μιγαδικός αριθμός
 τοπολογικος ισομορφισμός
 Παραβολή (γεωμετρία)
 Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
 Πάππος ο Αλεξανδρεύς
 Αμπού αλ Ουάφα
 Τετραγωνισμός παραβολής
 Διαβήτης (όργανο)
 Διπλασιασμός του κύβου
 Προβολική γεωμετρία
 Υπερβολή (γεωμετρία)
 Μη αντιμεταθετική αλγεβρική γεωμετρία
 Κωνική τομή
 Παραλληλόγραμμο
 Θεώρημα Κέιλι-Μπάχαραχ

 Παραπομπές 

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Euclid’s elements of geometry - The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν
  Τα οπτικά του Ευκλείδη Διδακτορική Διατριβή - ΕΑΔΔ
 “Αρχιμήδους Βιβλίο Λημμάτων” – Πραγματεία του Νικολάου Λ. Κεχρή   Ανοιχτή βιβλιοθήκη 
 Virtual book about Archimedes Chris Rorres - Drexel University
 A History of Greek Mathematics, Τόμος 1
 A History of Greek Mathematics: Τόμος 2
 Advanced Euclidean Geometry
 Methods for Euclidean Geometry.
 Collineations and Conic Sections: An Introduction to Projective Geometry in .......Pappus's hexagon theorem..page55
 Projective Geometry: Exploring Projective Geometry in Computer Vision... Pappus's hexagon theorem
 Concise Encyclopedia of Mathematics..Pappus's hexagon theorem..  page 361
 Commutative Algebra Methods for Coding Theory.Pappus's hexagon theorem...page 58 .
 Topics in Elementary Geometry.. Theory.Pappus's hexagon theorem...  page 96...
 Illustrated Glossary for School Mathematics ...Pappus's hexagon theorem.....page 324
 Unipotent and Nilpotent Classes in Simple Algebraic Groups and Lie Algebras..

 Πηγές 



Κατηγορία:Ευκλείδεια Γεωμετρία 
Κατηγορία:Κλασική γεωμετρία 
Κατηγορία:Θεωρήματα στη Γεωμετρία 
Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία 
Κατηγορία:Μαθηματικά προβλήματα 
Κατηγορία:Ιστορία των Μαθηματικών 
Κατηγορία:Προβολική γεωμετρία 
Κατηγορία:Στοιχειώδης γεωμετρία