Θεώρημα Κέισι

Διατύπωση του θεωρήματος

Έστω  ένας κύκλος ακτίνας . Έστω  τέσσερις μη τεμνόμενοι κύκλοι που βρίσκονται μέσα στον  και εφάπτονται σε αυτόν. Συμβολίζουμε με  το μήκος της εξωτερικής κοινής διπλής εφαπτομένης  των κύκλων . Τότε:

Σηµειώστε ότι στην εκφυλισµένη περίπτωση, όπου και οι τέσσερις κύκλοι ανάγονται σε σηµεία, αυτό αντιστοιχεί ακριβώς στο θεώρηµα του Πτολεµαίου.

 Απόδειξη 

Η ακόλουθη απόδειξη οφείλεταιBottema, O. (1944). Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde. (translation by Reinie Erné as Topics in Elementary Geometry, Springer 2008, of the second extended edition published by Epsilon-Uitgaven 1987). στον Ζαχαρία. Zacharias, M. (1942). "Der Caseysche Satz". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 52: 79–89. Συμβολίζουμε την ακτίνα του κύκλου  με  και το σημείο εφαπτομένης του με τον κύκλο  με . Θα χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό  για τα κέντρα των κύκλων.
Να σημειωθεί ότι από το Πυθαγόρειο θεώρημα,

Θα προσπαθήσουμε να εκφράσουμε αυτό το μήκος σε όρους των σημείων . Σύμφωνα με τον νόμο των συνημίτονων στο τρίγωνο ,

Δεδομένου ότι οι κύκλοι  εφάπτονται μεταξύ τους:

Έστω  ένα σημείο του κύκλου . Σύμφωνα με τον νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο :

Επομένως,

Και τέλος, το μήκος που ζητάμε είναι

Μπορούμε τώρα να εκτιμήσουμε την αριστερή πλευρά, με τη βοήθεια του αρχικού θεώρημα του Πτολεμαίου που εφαρμόζεται στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο :

Περαιτέρω γενικεύσεις 

Μπορεί να φανεί ότι οι τέσσερις κύκλοι δεν χρειάζεται να βρίσκονται μέσα στον μεγάλο κύκλο. Στην πραγματικότητα, μπορούν να εφάπτονται σε αυτόν και από το εξωτερικό. Στην περίπτωση αυτή, θα πρέπει να γίνει η ακόλουθη αλλαγή:Johnson, Roger A. (1929). Modern Geometry. Houghton Mifflin, Boston (republished facsimile by Dover 1960, 2007 as Advanced Euclidean Geometry).

Αν  εφάπτονται και οι δύο από την ίδια πλευρά του  (και οι δύο μέσα ή και οι δύο έξω),  είναι το μήκος της εξωτερικής κοινής εφαπτομένης.

Αν  εφάπτονται από διαφορετικές πλευρές του  (μία μέσα και μία έξω),  είναι το μήκος της εσωτερικής κοινής εφαπτομένης.

Ισχύει και το αντίστροφο του θεωρήματος του Casey. Δηλαδή, αν ισχύει η ισότητα, οι κύκλοι εφάπτονται σε έναν κοινό κύκλο.

Εφαρμογές

Το θεώρημα του Κέισι και το αντίστροφό του μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την απόδειξη μιας σειράς δηλώσεων στην Ευκλείδεια γεωμετρία. Παραδείγματος χάριν, η συντομότερη γνωστή απόδειξη του θεωρήματος του Φόιερμπαχ χρησιμοποιεί το αντίστροφο θεώρημα.

 Δημοσιεύσεις 


 Wilhelm Killing: Lehrbuch Der Analytischen Geometrie. Teil 2, Outlook Verlagsgesellschaft, Bremen 2011, ISBN 978-3-86403-540-1.




.




.





 Δείτε επίσης 

 Field Arithmetic
 Βικιπαίδεια:Εγχειρίδιο μορφής/Μαθηματικά (Περιέχει και τα αγγλοελληνικά Λεξικά Μαθηματικής Ορολογίας)
 Πραγματικό προβολικό επίπεδο
 Στοιχεία του Ευκλείδη
 Ευκλείδειος χώρος
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Ομογενές πολυώνυμο
 Παραμετρικές εξισώσεις
 Παραβολή (γεωμετρία)
 Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
 Σπείρα του Αρχιμήδη
 Συνέχεια συνάρτησης
 Διπλή εφαπτομένη
 Πυθαγόρειο θεώρημα
 Θεώρημα του Πτολεμαίου
 Τετραγωνισμός του κύκλου
 Συνημίτονο
 Μονοδύναμο στοιχείο
 High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 

 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Euclid’s elements of geometry - The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν
 A History of Greek Mathematics, Τόμος 1
 A History of Greek Mathematics: Τόμος 2
 Advanced Euclidean Geometry
 Methods for Euclidean Geometry.
 Exploring Advanced Euclidean Geometry with GeoGebra.
 Methods for Euclidean Geometry
 Redefining Geometrical Exactness: Descartes’ Transformation of the Early ...
 Essentials of Mathematica: With Applications to Mathematics and Physics
 Exploring Classical Greek Construction Problems with Interactive Geometry ....
 Unipotent and Nilpotent Classes in Simple Algebraic Groups and Lie Algebras..

 Παραπομπές 

.
.
.

Κατηγορία:Ευκλείδεια Γεωμετρία 
Κατηγορία:Κλασική γεωμετρία 
Κατηγορία:Καμπύλες 
Κατηγορία:Διαφορική γεωμετρία 
Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία 
Κατηγορία:Γεωμετρικά σχήματα 
Κατηγορία:Κύκλος