Εικασία του Αρτέν για αρχικές ρίζες

Στη θεωρία των αριθμών, η εικασία του Αρτέν για τις αρχικές ρίζες δηλώνει ότι ένας δεδομένος ακέραιος α που δεν είναι ούτε τετραγωνικός αριθμός ούτε -1 είναι μια αρχική ρίζα σε άπειρους πρώτους αριθμούς p. Η εικασία αποδίδει επίσης μια ασυμπτωτική πυκνότητα σε αυτούς τους πρώτους αριθμούς. Αυτή η εικαστική πυκνότητα ισούται με τη σταθερά του Αρτέν ή ένα ρητό πολλαπλάσιο αυτής.

Η εικασία διατυπώθηκε από τον Εμίλ Αρτέν στον Χέλμουτ Χάσε στις 27 Σεπτεμβρίου 1927, σύμφωνα με το σημειωματάριο του τελευταίου. Η εικασία παραμένει άλυτη μέχρι το 2024. Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει καμία μοναδική τιμή του a για την οποία να αποδεικνύεται η εικασία του Αρτέν.

Σχηματισμός

Έστω α ένας ακέραιος αριθμός που δεν είναι τετραγωνικός και δεν είναι −1. Ας γράψουμε a = a0b2 με a0 χωρίς τετράγωνο. Συμβολίζουμε με S(a)) το σύνολο των πρώτων αριθμών p που είναι τέτοιοι ώστε ο a να είναι μια αρχική ρίζα modulo p. Τότε η εικασία δηλώνει 

 Η S(a) έχει θετική ασυμπτωτική πυκνότητα μέσα στο σύνολο των πρώτων αριθμών. Ειδικότερα, το S(a) είναι άπειρο.
 Υπό τις προϋποθέσεις ότι το a δεν είναι τέλεια δύναμη και ότι το a0 δεν είναι συμβατό με το 1 modulo 4 , η πυκνότητα αυτή είναι ανεξάρτητη από το a και ισούται με τη σταθερά του Αρτέν,  η οποία μπορεί να εκφραστεί ως άπειρο γινόμενο

  .

Παρόμοιοι εικαστικοί τύποι γινομένων υπάρχουν για την πυκνότητα όταν το a δεν ικανοποιεί τις παραπάνω συνθήκες. Σε αυτές τις περιπτώσεις, η εικαστική πυκνότητα είναι πάντα ένα ρητό πολλαπλάσιο του CArtin.

Παράδειγμα

Παραδείγματος χάριν, ας πάρουμε a = 2. Η εικασία ισχυρίζεται ότι το σύνολο των πρώτων p για το οποίο το 2 είναι μία αρχική ρίζα έχει την παραπάνω πυκνότητα CArtin. Το σύνολο αυτών των πρώτων αριθμών είναι  ) 
 S(2) = {3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, ...}.

Διαθέτει 38 στοιχεία μικρότερα από 500 και υπάρχουν 95 πρώτοι αριθμοί μικρότεροι από 500. Η αναλογία (η οποία υποθετικά τείνει προς  CArtin)) είναι 38/95 = 2/5 = 0.4.

Μερικά αποτελέσματα

Το 1967, ο Κρίστοφερ Χούλεϊ δημοσίευσε μια υπό όρους απόδειξη της εικασίας, υποθέτοντας ορισμένες περιπτώσεις της γενικευμένης υπόθεσης Ρίμαν.

Χωρίς τη γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν, δεν υπάρχει μία μόνο τιμή του a για την οποία να αποδεικνύεται η εικασία του Αρτέν. Ο ΝΤ. Ρ. Χιθ-Μπράουν απέδειξε το 1986 (Πόρισμα 1) ότι τουλάχιστον μία από τις τιμές 2, 3 ή 5 είναι αρχική ρίζα modulo απείρως πολλούς πρώτους p. Απέδειξε επίσης (Πόρισμα 2) ότι υπάρχουν το πολύ δύο πρώτοι για τους οποίους η εικασία του Αρτέν αποτυγχάνει.

 Μερικές παραλλαγές του προβλήματος του Αρτέν 

 Ελλειπτική καμπύλη 
Μια ελλειπτική καμπύλη  που δίνεται από τη σχέση , οι Λανγκ και Τρότερ έδωσαν μια εικασία για ρητά σημεία στην   ανάλογη με την εικασία της αρχικής ρίζας του Αρτέν.

Συγκεκριμένα, είπαν ότι υπάρχει μια σταθερά  για ένα δεδομένο σημείο άπειρης τάξης  στο σύνολο των ρητών σημείων  τέτοια ώστε ο αριθμός  των πρώτων αριθμών () για τους οποίους η αναγωγή του σημείου  που συμβολίζεται με  παράγει το σύνολο των σημείων του  στο , δίνεται από τη σχέση ., Εδώ αποκλείουμε τους πρώτους αριθμούς που διαιρούν τους παρονομαστές των συντεταγμένων του .

 Οι Γκούπτα και Μέρτι απέδειξαν την εικασία των Λανγκ και Τρότερ για το  με μιγαδικό πολλαπλασιασμό υπό τη Γενικευμένη Υπόθεση Ρίμαν, για πρώτους που χωρίζονται στο σχετικό φανταστικό τετραγωνικό σώμα.

 Ακριβής διάταξη 
Ο Κρισναμούρτι πρότεινε το ερώτημα πόσο συχνά η περίοδος του δεκαδικού αναπτύγματος  ενός πρώτου αριθμού  είναι άρτια.

Ο ισχυρισμός είναι ότι η περίοδος του δεκαδικού αναπτύγματος ενός πρώτου στη βάση  είναι άρτια αν και μόνο αν  όπου  and  είναι μοναδικό και p είναι τέτοιο ώστε .

Το αποτέλεσμα αποδείχθηκε από τον Χάσε το 1966.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

 Δείτε επίσης 
 Θεωρία αριθμών
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Φυσικός λογάριθμος
 Πρώτος αριθμός Μερσέν
 e (μαθηματική σταθερά)
 Πρώτος αριθμός
 Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
 Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν
 Φυσικός αριθμός
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Αριθμητική πρόοδος
 Συνάρτηση Όιλερ
 Ευκλείδειος χώρος

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 


 Reprinted by Chelsea Publishing, New York, 1971, ISBN 0-8284-0086-5.



 Πηγές 
Alphonse de Polignac, Recherches nouvelles sur les nombres premiers. Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences (1849)






Κατηγορία:Αναλυτική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Εικασίες για πρώτους αριθμούς
Κατηγορία:Πρώτοι αριθμοί
Κατηγορία:Ακέραιοι αριθμοί
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά