Εικοστό τρίτο πρόβλημα του Χίλμπερτ

Το εικοστό τρίτο πρόβλημα του Χίλμπερτ είναι το τελευταίο από τα προβλήματα του Χίλμπερτ που παρατίθενται σε έναν περίφημο κατάλογο που συνέταξε το 1900 ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ. Σε αντίθεση με τα άλλα 22 προβλήματα του Χίλμπερτ, το 23ο δεν είναι τόσο ένα συγκεκριμένο «πρόβλημα» όσο μια ενθάρρυνση προς την περαιτέρω ανάπτυξη του λογισμού των μεταβολών. Η εκφώνηση του προβλήματός του είναι μια περίληψη της κατάστασης (το 1900) της θεωρίας του λογισμού των μεταβολών, με κάποια εισαγωγικά σχόλια που καταγγέλλουν την έλλειψη εργασίας που είχε γίνει για τη θεωρία στα μέσα και τα τέλη του 19ου αιώνα.

Αρχική διατύπωση

Η δήλωση του προβλήματος αρχίζει με την ακόλουθη παράγραφο:

Μέχρι στιγμής, έχω αναφερθεί σε γενικά προβλήματα τόσο συγκεκριμένα και ειδικά όσο το δυνατό..... Παρά ταύτα, θα ήθελα να κλείσω με ένα γενικό πρόβλημα, δηλαδή με την ένδειξη ενός κλάδου των μαθηματικών που αναφέρθηκε επανειλημμένα σε αυτή τη διάλεξη - ο οποίος, παρά τη σημαντική πρόοδο που του έδωσε πρόσφατα ο Βάιερστρας, δεν λαμβάνει τη γενική εκτίμηση που, κατά τη γνώμη μου, του αναλογεί - εννοώ τον λογισμό των μεταβολώνHilbert, David, "Mathematische Probleme" Göttinger Nachrichten, (1900), pp. 253-297, and in Archiv der Mathematik und Physik, (3) 1 (1901), 44-63 and 213-237. Published in English translation by Dr. Maby Winton Newson, Bulletin of the American Mathematical Society 8 (1902), 437-479    . [A fuller title of the journal Göttinger Nachrichten is Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wiss. zu Göttingen.]

Λογισμός των μεταβολλών

Κύριο άρθρο: Λογισμός των μεταβολών

Ο λογισμός των μεταβολών είναι ένας τομέας της μαθηματικής ανάλυσης που ασχολείται με τη μεγιστοποίηση ή την ελαχιστοποίηση συναρτήσεων, οι οποίες είναι απεικονίσεις από ένα σύνολο συναρτήσεων στους πραγματικούς αριθμούς. Τα συναρτησιακά εκφράζονται συχνά ως οριστικά ολοκληρώματα που περιλαμβάνουν συναρτήσεις και τις παραγώγους τους. Το ενδιαφέρον εστιάζεται στις ακραίες συναρτήσεις που κάνουν τη συνάρτηση να επιτυγχάνει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή - ή στις στάσιμες συναρτήσεις - εκείνες όπου ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης είναι μηδέν.

Πρόοδος

Μετά τη διατύπωση του προβλήματος, ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ, η Έμι Νέτερ, ο Λεονίντα Τονέλι, ο Ανρί Λεμπέσγκ,  και ο Ζακ Ανταμάρ μεταξύ άλλων συνέβαλαν σημαντικά στον λογισμό των μεταβολών. Ο Μάρστον Μορς εφάρμοσε τον λογισμό των μεταβολών σε αυτό που σήμερα ονομάζεται θεωρία Μορς. Ο Λεβ Ποντριάγκιν, ο Ραλφ Ροκαφέλαρ και ο Φ. Χ. Κλαρκ ανέπτυξαν νέα μαθηματικά εργαλεία για τον λογισμό των μεταβολών στη θεωρία του βέλτιστου ελέγχου. Ο δυναμικός προγραμματισμός του Ρίτσαρντ Μπέλμαν είναι μια εναλλακτική λύση στον λογισμό των λογισμό των μεταβολών.Dimitri P Bertsekas. Dynamic programming and optimal control. Athena Scientific, 2005. See 2004: Harold J. Kushner: regarding Dynamic Programming,  "The calculus of variations had related ideas (e.g., the work of Caratheodory, the Hamilton-Jacobi equation). This led to conflicts with the calculus of variations community."

Κάθε μαθηματικός που αναφέρθηκε έφερε μια μοναδική προοπτική και εμπλούτισε τον τομέα με καινοτόμες ιδέες. Παραδείγματος χάριν, η θεωρία του Μάρστον Μορς άνοιξε νέους δρόμους στη διαφορική τοπολογία, ενώ το έργο του Ποντριάγκιν ήταν θεμελιώδες για την ανάπτυξη της σύγχρονης θεωρίας ελέγχου. 
Οι συνεισφορές αυτές όχι μόνο εμβάθυναν τη θεωρητική μας κατανόηση, αλλά βρήκαν και πρακτικές εφαρμογές που συνεχίζουν να επηρεάζουν την έρευνα και την καινοτομία σήμερα.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Proof of Dehn's Theorem at Everything2

Dehn Invariant at Everything2
 Ντέιβιντ Χίλμπερτ, Μαθηματικά προβλήματα, 6ο πρόβλημα, σε αγγλική μετάφραση.

 Δείτε επίσης 
 Μερική διαφορική εξίσωση
 Καρλ Φρίντριχ Γκάους
 Λογισμός των μεταβολών
 Δυναμικός προγραμματισμός
 Μαθηματική ανάλυση
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Μερική διαφορική εξίσωση
 Δευτεροβάθμια εξίσωση 
 Χώρος Χίλμπερτ
 Ντάβιντ Χίλμπερτ
 Ευκλείδειος χώρος
 Θεωρία αριθμών
 Πραγματικός αριθμός

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 

 Benesova, B. and Kruzik, M.: "Weak Lower Semicontinuity of Integral Functionals and Applications". SIAM Review  59(4) (2017), 703–766.
 Bolza, O.: Lectures on the Calculus of Variations. Chelsea Publishing Company, 1904, available on Digital Mathematics library. 2nd edition republished in 1961, paperback in 2005, ISBN 978-1-4181-8201-4.
.

 Πηγές 





Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Συναρτησιακή ανάλυση
Κατηγορία:Μαθηματική φυσική
Κατηγορία:Προβλήματα του Χίλμπερτ
Κατηγορία:Ιστορία των Μαθηματικών
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά
Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία