Εικοστό πρόβλημα του Χίλμπερτ

Το εικοστό πρόβλημα του Χίλμπερτ είναι ένα από τα 23 προβλήματα Χίλμπερτ που παρατίθενται σε έναν περίφημο κατάλογο που συνέταξε το 1900 ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ. Διερωτάται αν όλα τα προβλήματα συνοριακών τιμών μπορούν να επιλυθούν (δηλαδή, αν τα προβλήματα μεταβολών με ορισμένες συνοριακές συνθήκες έχουν λύσεις).

Εισαγωγή

Ο Χίλμπερτ παρατήρησε ότι υπήρχαν μέθοδοι για την επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων όπου οι τιμές της συνάρτησης δίνονταν στο σύνορο, αλλά το πρόβλημα ζητούσε μεθόδους για την επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων με πιο περίπλοκες συνθήκες στο σύνορο (π.χ. που περιλαμβάνουν παραγώγους της συνάρτησης), ή για την επίλυση προβλημάτων του λογισμού της μεταβολής σε περισσότερες από μία διαστάσεις ( παραδείγματος χάριν, προβλήματα ελάχιστης επιφάνειας ή ελάχιστης καμπυλότητας).

Διατύπωση του προβλήματος

Η αρχική δήλωση του προβλήματος στο σύνολό της έχει ως εξής:

Ένα σημαντικό πρόβλημα που συνδέεται στενά με τα προηγούμενα που αναφέρονται στο δέκατο ένατο πρόβλημα του Χίλμπερτ είναι το ερώτημα σχετικά με την ύπαρξη λύσεων μερικών διαφορικών εξισώσεων όταν οι τιμές στο όριο της περιοχής είναι προκαθορισμένες. Το πρόβλημα αυτό επιλύεται σε μεγάλο βαθμό με τις μεθόδους των Χ. Α. Σβαρτς, Κ. Νόιμαν και Πουανκαρέ για τη διαφορική εξίσωση του δυναμικού. Οι μέθοδοι αυτές, ωστόσο, φαίνεται ότι γενικά δεν μπορούν να επεκταθούν άμεσα στην περίπτωση όπου κατά μήκος του συνόρου προδιαγράφονται είτε οι διαφορικοί συντελεστές είτε οποιεσδήποτε σχέσεις μεταξύ αυτών και των τιμών της συνάρτησης. Επίσης, δεν μπορούν να επεκταθούν άμεσα στην περίπτωση όπου η έρευνα δεν αφορά δυνητικές επιφάνειες αλλά, ας πούμε, επιφάνειες ελάχιστης επιφάνειας ή επιφάνειες σταθερής θετικής Γκαουσιανής καμπυλότητας, οι οποίες πρέπει να περάσουν από μια καθορισμένη στρεβλωμένη καμπύλη ή να εκταθούν πάνω από μια δεδομένη επιφάνεια δακτυλίου. Έχω την πεποίθηση ότι θα είναι δυνατόν να αποδειχθούν αυτά τα θεωρήματα ύπαρξης μέσω μιας γενικής αρχής της οποίας η φύση υποδεικνύεται από την αρχή του Ντίριχλετ. Αυτή η γενική αρχή θα μας επιτρέψει τότε ίσως να προσεγγίσουμε το ερώτημα: Κάθε πρόβλημα κανονικής μεταβολής δεν έχει λύση, εφόσον ικανοποιούνται ορισμένες υποθέσεις σχετικά με τις δεδομένες οριακές συνθήκες (ας πούμε ότι οι συναρτήσεις που αφορούν αυτές τις οριακές συνθήκες είναι συνεχείς και έχουν κατά τμήματα μία ή περισσότερες παραγώγους), και εφόσον επίσης, αν χρειαστεί, η έννοια της λύσης θα επεκταθεί κατάλληλαHilbert, David, "Mathematische Probleme" Göttinger Nachrichten, (1900), pp. 253-297, and in Archiv der Mathematik und Physik, (3) 1 (1901), 44-63 and 213-237. Published in English translation by Dr. Maby Winton Newson, Bulletin of the American Mathematical Society 8 (1902), 437-479    . [A fuller title of the journal Göttinger Nachrichten is Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wiss. zu Göttingen.];

Προβλήματα συνοριακών τιμών
Στον τομέα των διαφορικών εξισώσεων, ένα πρόβλημα συνοριακών τιμών είναι μια διαφορική εξίσωση μαζί με ένα σύνολο πρόσθετων περιορισμών, που ονομάζονται οριακές συνθήκες. Η λύση ενός προβλήματος συνοριακών τιμών είναι μια λύση της διαφορικής εξίσωσης που ικανοποιεί επίσης τις συνοριακές συνθήκες.

Για να είναι χρήσιμο σε εφαρμογές, ένα πρόβλημα συνοριακών τιμών πρέπει να είναι καλά διατυπωμένο. Αυτό σημαίνει ότι δεδομένης της εισόδου του προβλήματος υπάρχει μια μοναδική λύση, η οποία εξαρτάται συνεχώς από την είσοδο. Μεγάλο μέρος της θεωρητικής εργασίας στον τομέα των μερικών διαφορικών εξισώσεων αφιερώνεται στην απόδειξη ότι τα προβλήματα οριακών τιμών που προκύπτουν από επιστημονικές και μηχανολογικές εφαρμογές είναι πράγματι καλά τοποθετημένα.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Proof of Dehn's Theorem at Everything2

Dehn Invariant at Everything2
 Ντέιβιντ Χίλμπερτ, Μαθηματικά προβλήματα, 6ο πρόβλημα, σε αγγλική μετάφραση.

 Δείτε επίσης 
 Μερική διαφορική εξίσωση
 Καρλ Φρίντριχ Γκάους
 Λογισμός των μεταβολών
 Διαφορική εξίσωση
 Γραμμική άλγεβρα
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Μερική διαφορική εξίσωση
 Δευτεροβάθμια εξίσωση 
 Χώρος Χίλμπερτ
 Ντάβιντ Χίλμπερτ
 Ευκλείδειος χώρος
 Θεωρία αριθμών
 Διανυσματικός χώρος

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 

.
.
.

 Πηγές 



Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Συναρτησιακή ανάλυση
Κατηγορία:Μαθηματική φυσική
Κατηγορία:Προβλήματα του Χίλμπερτ
Κατηγορία:Ιστορία των Μαθηματικών
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά
Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία