Θεώρημα του γνώμονα

Στην γεωμετρία, το θεώρημα του γνώμονα λέει ότι ορισμένα παραλληλόγραμμα που εμφανίζονται σε ένα γνώμονα έχουν ίσα εμβαδά.

Πιο συγκεκριμένα, έστω ένα παραλληλόγραμμο  και  ένα σημείο της διαγωνίου . H παράλληλη από το  προς την πλευρά  τέμνει την  στο  και την  στο . Ομοίως, η παράλληλη από το  προς το  τέμνει την  στο  και την  στο . Τότε, τα παραλληλόγραμμα  και  έχουν ίσα εμβαδά.

Γνώμων είναι η ονομασία για το σχήμα L που αποτελείται από τα δύο επικαλυπτόμενα παραλληλόγραμμα  και . Τα παραλληλόγραμμα ίσου εμβαδού  και  ονομάζονται παραπληρώματα (των παραλληλογράμμων στη διαγώνιο  και ).

 Απόδειξη 

 Εφαρμογές και επεκτάσεις 
Το θεώρημα του γνώμονα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή ενός νέου παραλληλογράμμου ή ορθογωνίου ίσου εμβαδού με ένα δεδομένο παραλληλόγραμμο ή ορθογώνιο χρησιμοποιώντας κανόνα και διαβήτη. Αυτό επιτρέπει επίσης την γεωμετρική αναπαράσταση μιας διαίρεσης δύο αριθμών, ένα σημαντικό χαρακτηριστικό για την αναδιατύπωση γεωμετρικών προβλημάτων με αλγεβρικούς όρους. Πιο συγκεκριμένα, αν δύο αριθμοί δίνονται ως μήκη ευθύγραμμων τμημάτων μπορεί κανείς να κατασκευάσει ένα τρίτο ευθύγραμμο τμήμα, το μήκος του οποίου αντιστοιχεί στο πηλίκο αυτών των δύο αριθμών (βλέπε διάγραμμα). Μια άλλη εφαρμογή είναι η μεταφορά του λόγου του τμήματος ενός ευθύγραμμου τμήματος σε ένα άλλο ευθύγραμμο τμήμα (διαφορετικού μήκους), διαιρώντας έτσι αυτό το άλλο ευθύγραμμο τμήμα με τον ίδιο λόγο όπως ένα δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα και το τμήμα του (βλ. διάγραμμα).

Το θεώρημα γενικεύεται και σε τρεις διαστάσεις για τα παραλληλεπίπεδα. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε ένα σημείο  στη διαγώνιο του χώρου ενός παραλληλεπιπέδου και αντί για δύο παράλληλες ευθείες έχουμε τρία επίπεδα που διέρχονται από το , το καθένα παράλληλο με τις επιφάνειες του παραλληλεπιπέδου. Τα τρία επίπεδα χωρίζουν το παραλληλεπίπεδο σε οκτώ μικρότερα παραλληλεπίπεδα- δύο από αυτά περιβάλλουν τη διαγώνιο και συναντώνται στο . Τώρα κάθε ένα από αυτά τα δύο παραλληλεπίπεδα γύρω από τη διαγώνιο έχει τρία από τα υπόλοιπα έξι παραλληλεπίπεδα προσαρτημένα σε αυτό, και αυτά τα τρία παίζουν το ρόλο των συμπληρωμάτων και είναι ίσου όγκου (βλ. διάγραμμα).

 Γενικό θεώρημα για ένθετα παραλληλόγραμμα 
Το θεώρημα του γνώμονα είναι ειδική περίπτωση ενός γενικότερου θεωρήματος για ένθετα παραλληλόγραμμα με κοινή διαγώνιο. Σε ένα παραλληλόγραμμο  θεωρούμε ένα αυθαίρετο εσωτερικό παραλληλόγραμμο  που έχει επίσης ως διαγώνιο το . Επιπλέον υπάρχουν δύο μοναδικά καθορισμένα παραλληλόγραμμα  και  των οποίων οι πλευρές είναι παράλληλες με τις πλευρές του εξωτερικού παραλληλογράμμου και τα οποία μοιράζονται την κορυφή  με το εσωτερικό παραλληλόγραμμο. Τώρα η διαφορά των εμβαδών αυτών των δύο παραλληλογράμμων είναι ίση με το εμβαδόν του εσωτερικού παραλληλογράμμου, δηλαδή
.

Όταν το  ταυτίζεται με το , τότε το εφυλισμένο παραλληλόγραμμο  έχει εμβαδόν μηδέν και επομένως η παραπάνω σχέση δίνει ότι  (δηλαδή το θεώρημα του γνώμονα).

 Ιστορικές πτυχές 
Το θεώρημα του γνώμονα εμφανίζεται στα Στοιχεία του Ευκλείδη (γύρω στο 300 π.Χ.)  ως πρόταση 43 στο Βιβλίο 1. Στην πρόταση αυτή δεν χρησιμοποιείται ο όρος «γνώμονας», αλλά αναφέρεται στα παραλληλόγραμμα  και  ως παραπληρώματα.

Ο ορισμός για τον γνώμονα δίνεται ως ορισμός 2 στο Βιβλίο 2:

Περαιτέρω θεωρήματα για τα οποία ο γνώμονας και οι ιδιότητές του παίζουν σημαντικό ρόλο είναι η Πρόταση 6 στο Βιβλίο 2, η Πρόταση 27-30 στο Βιβλίο 6 και οι προτάσεις 1-4 στο Βιβλίο 13.

Δείτε επίσης

 Στοιχεία του Ευκλείδη
 Παραλληλόγραμμο

 Περαιτέρω ανάγνωση 

 Ξενόγλωσσα άρθρα 



Παραπομπές



Κατηγορία:Ευκλείδεια Γεωμετρία 
Κατηγορία:Κλασική γεωμετρία 
Κατηγορία:Θεωρήματα στη Γεωμετρία 
Κατηγορία:Γεωμετρία 
Κατηγορία:Γεωμετρικά σχήματα