Πρόβλημα του Ναπολέοντα

Το πρόβλημα του Ναπολέοντα είναι πρόβλημα κατασκευής με κανόνα και διαβήτη. Δίνεται ένας κύκλος και το κέντρο του. Η πρόκληση είναι να διαιρεθεί ο κύκλος σε τέσσερα ίσα τόξα χρησιμοποιώντας μόνο ένα διαβήτη.Folens MATHS Programme Year 9, 3. Mascheroni constructions, Napoleon's problem, p. 72–73 Projekt Director: Mary Pardoe, 2003 by Folens Limited,   Retrieved 2018-06-07Napoleon's problem Ήταν γνωστό ότι ο Ναπολέων ήταν ερασιτέχνης μαθηματικός, αλλά δεν είναι γνωστό αν δημιούργησε ή έλυσε το πρόβλημα. Ο φίλος του Ναπολέοντα, ο Ιταλός μαθηματικός Λορέντζο Μασκερόνι, εισήγαγε τον περιορισμό στη χρήση του διαβήτη (χωρίς χάρακα) στις γεωμετρικές κατασκευές. Αλλά στην πραγματικότητα, η παραπάνω πρόκληση είναι ευκολότερη από το πραγματικό πρόβλημα του Ναπολέοντα, που συνίσταται στην εύρεση του κέντρου ενός δεδομένου κύκλου μόνο με διαβήτη. Στις επόμενες ενότητες θα περιγραφούν λύσεις σε τρία προβλήματα και αποδείξεις ότι λειτουργούν.

Το βιβλίο του Γκιόργκ Μορ «Euclides Danicus (Ο Δανός Ευκλείδης)» από το 1672 πρόλαβε την ιδέα του Μασκερόνι, αν και το βιβλίο ανακαλύφθηκε εκ νέου μόλις το 1928.

 Διαίρεση κύκλου σε τέσσερα ίσα τόξα με δεδομένο το κέντρο του  

Από ένα σημείο Χ του κύκλου C, σχεδιάστε ένα τόξο που διέρχεται από το Ο (το κέντρο του C) το οποίο τέμνει το C στα σημεία V και Y. Κάντε το ίδιο με επίκεντρο το Y στο Ο, τέμνοντας το C στα σημεία Χ και Ζ. Σημειώστε ότι τα ευθύγραμμα τμήματα OV, OX, OY, OZ, VX, XY, YZ έχουν το ίδιο μήκος, καθώς όλες οι αποστάσεις είναι ίσες με την ακτίνα του κύκλου C.

Τώρα σχεδιάστε ένα τόξο με κέντρο το V που διέρχεται από το Y και ένα τόξο με κέντρο το Z που διέρχεται από το X- ονομάστε το σημείο όπου αυτά τα δύο τόξα διασταυρώνονται T. Σημειώστε ότι οι αποστάσεις VY και XZ είναι  φορές την ακτίνα του κύκλου C.

Τοποθετήστε την ακτίνα του διαβήτη ίση με την απόσταση ΟΤ ( επί την ακτίνα του κύκλου C) και σχεδιάστε ένα τόξο με κέντρο το Ζ που τέμνει τον κύκλο C στα σημεία U και W. Το UVWZ είναι ένα τετράγωνο και τα τόξα του C UV, VW, WZ και ZU είναι το καθένα ίσο με το ένα τέταρτο της περιφέρειας του C.

Εύρεση του κέντρου ενός δεδομένου κύκλου 
400px|right

Έστω (C) ο κύκλος, του οποίου πρέπει να βρεθεί το κέντρο.

Έστω A ένα σημείο στο (C).

Ένας κύκλος (C1) με κέντρο το A συναντά το (C) στα σημεία B και B'.

Δύο κύκλοι (C2) με κέντρο τα σημεία B και B', με ακτίνα AB, τέμνονται και πάλι στο σημείο C.

Ένας κύκλος (C3) με κέντρο το C και ακτίνα AC συναντά τον (C1) στα σημεία D και D'.

Δύο κύκλοι (C4) με κέντρο τα D και D' και ακτίνα AD συναντώνται στο σημείο A, και στο O, το ζητούμενο κέντρο του (C).

Σημείωση: για να λειτουργήσει αυτό, η ακτίνα του κύκλου (C1) δεν πρέπει να είναι ούτε πολύ μικρή ούτε πολύ μεγάλη. Πιο συγκεκριμένα, η ακτίνα αυτή πρέπει να είναι μεταξύ του μισού και του διπλάσιου της ακτίνας του (C): αν η ακτίνα είναι μεγαλύτερη από τη διάμετρο του (C), ο (C1) δεν θα τέμνει τον (C)- αν η ακτίνα είναι μικρότερη από τη μισή ακτίνα του (C), το σημείο C θα βρίσκεται μεταξύ Α και Ο και ο (C3) δεν θα τέμνει τον (C1).

 Απόδειξη 

Η ιδέα πίσω από την απόδειξη είναι να κατασκευάσετε, μόνο με διαβήτη, το μήκος b²/a όταν τα μήκη a και b είναι γνωστά, και a/2 ≤ b ≤ 2a.

Στο σχήμα στα δεξιά, σχεδιάζεται ένας κύκλος ακτίνας α με κέντρο το Ο. Σε αυτόν επιλέγεται ένα σημείο Α, από το οποίο μπορούν να προσδιοριστούν τα σημεία Β και Β' έτσι ώστε τα ΑΒ και ΑΒ' να έχουν μήκος b. Το σημείο Α' βρίσκεται απέναντι από το Α, αλλά δεν χρειάζεται να κατασκευαστεί (θα χρειαζόταν μια ευθεία)- ομοίως το σημείο Η είναι η (εικονική) τομή των ΑΑ' και ΒΒ'. Το σημείο C μπορεί να προσδιοριστεί από τα B και B', χρησιμοποιώντας κύκλους ακτίνας b.

Το τρίγωνο ΑΒΑ' έχει ορθή γωνία στο Β και το BH είναι κάθετο στο ΑΑ', οπότε :


Ως εκ τούτου, και AC = b²/a.

Στην παραπάνω κατασκευή του κέντρου, μια τέτοια διαμόρφωση εμφανίζεται δύο φορές : 
 τα σημεία A, B και B' βρίσκονται πάνω στον κύκλο (C), ακτίνα a = r ; τα AB, AB', BC και B'C είναι ίσα με b = R, οπότε ;

 τα σημεία A, D και D' βρίσκονται πάνω στον κύκλο με κέντρο το C, ακτίνας  ; τα DA, D'A, DO και D'O είναι ίσα με b = R, οπότε .
Επομένως, το Ο είναι το κέντρο του κύκλου (C). 

 Εύρεση του μέσου μιας δεδομένης απόστασης ή ενός ευθύγραμμου τμήματος 

Έστω |AD| η απόσταση''', της οποίας το κέντρο πρέπει να βρεθεί.

Δύο κύκλοι (C1) με κέντρο το A και (C2) με κέντρο το D και ακτίνα |AD| συναντώνται στα σημεία B και B'.

Ένας κύκλος (C3) με κέντρο το B' και ακτίνα |B'B| συναντά τον κύκλο (C2) στο A'.

Ένας κύκλος (C4) με κέντρο το A' και ακτίνα |A'A| συναντά τον κύκλο (C1) στα σημεία E και E'.

Δύο κύκλοι (C5) με κέντρο το E και (C6) με κέντρο το E' και ακτίνα |EA| συναντώνται στα σημεία A και O. Το O είναι το ζητούμενο κέντρο του |AD|.

Το σχέδιο μπορεί επίσης να εφαρμοστεί σε ένα Ευθύγραμμο τμήμα'' .
Η απόδειξη που περιγράφεται παραπάνω ισχύει και για αυτόν τον σχεδιασμό.
Σημείωση: Το σημείο Α στο σχέδιο είναι ισοδύναμο με το Α στην απόδειξη.
Επομένως, ακτίνα: (C2) ≙ (C) και σημεία: O ≙ H, B ≙ B, D ≙ O και A' ≙ A'.

 Δημοσιεύσεις 


  On-line text at archive.org









 Δείτε επίσης 
 Πραγματικό προβολικό επίπεδο
 Στοιχεία του Ευκλείδη
 Ευκλείδειος χώρος
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Μιγαδικός αριθμός
 τοπολογικος ισομορφισμός
 Παραβολή (γεωμετρία)
 Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
 Θεώρημα εξαγώνου του Πάππου
 Ορθογώνιο τρίγωνο
 Τετραγωνισμός παραβολής
 Διαβήτης (όργανο)
 Διπλασιασμός του κύβου
 Προβολική γεωμετρία
 Υπερβολή (γεωμετρία)
 Μη αντιμεταθετική αλγεβρική γεωμετρία
 Κωνική τομή
 Παραλληλόγραμμο
 Θεώρημα Ναπολέοντα

 Παραπομπές 

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Euclid’s elements of geometry - The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν
  Τα οπτικά του Ευκλείδη Διδακτορική Διατριβή - ΕΑΔΔ
 “Αρχιμήδους Βιβλίο Λημμάτων” – Πραγματεία του Νικολάου Λ. Κεχρή   Ανοιχτή βιβλιοθήκη 
 Virtual book about Archimedes Chris Rorres - Drexel University
 A History of Greek Mathematics, Τόμος 1
 A History of Greek Mathematics: Τόμος 2
 Advanced Euclidean Geometry
 Methods for Euclidean Geometry.
  Mathematics via Problems: Part 2: Geometry,  Napoleon's problem, mathematics..page 25
 CRC Concise Encyclopedia of Mathematics.. Napoleon's problem, mathematics... page 1984
  Mathematical Problems: An Essay on Their Nature and Importance ..Napoleon's problem, mathematics....page85.
 Mathematical Olympiad Treasures ...Napoleon's problem, mathematics..page 54 .
 The World of Mathematics, Τόμος 1 ....Napoleon's problem, mathematics..... page 321...
  Tales of Impossibility: The 2000-Year Quest to Solve the Mathematical .....Napoleon's problem, mathematics...page 184
 Unipotent and Nilpotent Classes in Simple Algebraic Groups and Lie Algebras..

 Πηγές 




Κατηγορία:Ευκλείδεια Γεωμετρία 
Κατηγορία:Θεωρήματα στη Γεωμετρία 
Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία 
Κατηγορία:Κύκλος 
Κατηγορία:Στοιχειώδης γεωμετρία