Δέκατο έβδομο πρόβλημα του Χίλμπερτ

Το δέκατο έβδομο πρόβλημα Χίλμπερτ είναι ένα από τα 23 προβλήματα Χίλμπερτ που περιλαμβάνονται σε έναν διάσημο κατάλογο που συνέταξε ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ το 1900.  Αφορά την έκφραση ρητών συναρτήσεων ως πηλίκο αθροισμάτων τετραγώνων. Το αρχικό ερώτημα μπορεί να επαναδιατυπωθεί ως εξής: 

Δεδομένου ενός πολυμεταβλητού πολυωνύμου που παίρνει μόνο μη αρνητικές τιμές στους πραγματικούς, μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα τετραγώνων ρητών συναρτήσεων;

Το ερώτημα του Χίλμπερτ μπορεί να περιοριστεί σε ομογενή πολυώνυμα ζυγού βαθμού, δεδομένου ότι ένα πολυώνυμο μονού βαθμού αλλάζει πρόσημο και η Ομογενοποίηση ενός πολυωνύμου παίρνει μη αρνητικές τιμές μόνο εάν και μόνο εάν ισχύει το ίδιο και για το πολυώνυμο.

Κίνητρα

Η διατύπωση του ερωτήματος λαμβάνει υπόψιν ότι υπάρχουν μη αρνητικά πολυώνυμα, παραδείγματος χάρινMarie-Françoise Roy. The role of Hilbert's problems in real algebraic geometry.
Proceedings of the ninth EWM Meeting, Loccum, Germany 1999

τα οποία δεν μπορούν να παρασταθούν ως άθροισμα τετραγώνων άλλων πολυωνύμων. Το 1888, ο Χίλμπερτ έδειξε ότι κάθε μη αρνητικό ομογενές πολυώνυμο σε n μεταβλητές και βαθμό 2d μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα τετραγώνων άλλων πολυωνύμων αν και μόνο αν (a)
n = 2 ή (b)  2d = 2 ή (c) n = 3 και 2d = 4. Η απόδειξη του Χίλμπερτ δεν παρουσίασε κανένα ξεκάθαρο αντιπαράδειγμα: μόλις το 1967 κατασκευάστηκε το πρώτο σαφές αντιπαράδειγμα από τον Μότζκιν. Επιπλέον, αν το πολυώνυμο έχει βαθμό 2d μεγαλύτερο από δύο, υπάρχουν σημαντικά περισσότερα μη αρνητικά πολυώνυμα που δεν μπορούν να εκφραστούν ως αθροίσματα τετραγώνων  .

Ο παρακάτω πίνακας συνοψίζει σε ποιες περιπτώσεις κάθε μη αρνητικό ομογενές πολυώνυμο (ή πολυώνυμο ζυγού βαθμού) μπορεί να παρασταθεί ως άθροισμα τετραγώνων:

Οποιοδήποτε ομογενές πολυώνυμο βαθμού 2d και n μεταβλητών μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα τετραγώνων;2d (Βαθμός)Κάθε πολυώνυμο βαθμού 2d και n μεταβλητών μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα τετραγώνων;2d (Βαθμός)24≥624≥6n (Αριθμός μεταβλητών)1ΝαιΝαιΝαιn (Αριθμός μεταβλητών)1ΝαιΝαιΝαι2ΝαιΝαιΝαι2ΝαιΝαιΌχι3ΝαιΝαιΌχι3ΝαιΌχιΌχι≥4ΝαιΌχιΌχι≥4ΝαιΌχιΌχι

Λύση και γενικεύσεις

Η ειδική περίπτωση του n = 2 είχε ήδη επιλυθεί από τον Χίλμπερτ το 1893. Το γενικό πρόβλημα επιλύθηκε καταφατικά, το 1927, από τον Εμίλ Άρτιν για θετικές ημικαθορισμένες συναρτήσεις πάνω στους πραγματικούς ή γενικότερα σε πραγματικά κλειστά σώματα. Μια αλγοριθμική λύση βρέθηκε από τον Σαρλ Ντελζέλ το 1984. Ένα αποτέλεσμα του Άλμπρεχτ Πφίστερ. δείχνει ότι μια θετική ημικαθορισμένη μορφή σε n μεταβλητές μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα 2n τετραγώνωνLam (2005) p.391

Ο Ντιμπουά έδειξε το 1967 ότι η απάντηση είναι αρνητική γενικά για διατεταγμένα σώματα. Σε αυτή την περίπτωση μπορούμε να πούμε ότι ένα θετικό πολυώνυμο είναι ένα άθροισμα σταθμισμένων τετραγώνων ρητών συναρτήσεων με θετικούς συντελεστές.Lorenz (2008) p.16 Ο ΜακΚένα έδειξε το 1975 ότι όλα τα θετικά ημικαθορισμένα πολυώνυμα με συντελεστές σε ένα διατεταγμένο σώμα είναι αθροίσματα σταθμισμένων τετραγώνων ρητών συναρτήσεων με θετικούς συντελεστές μόνο αν το σώμα είναι πυκνό στο πραγματικό του κλείσιμο, με την έννοια ότι κάθε διάστημα του οποίου τα άκρα βρίσκονται στο πραγματικό κλείσιμο περιέχει στοιχεία του αρχικού σώματος.

Μια γενίκευση στην περίπτωση των πινάκων (πίνακες με πολυωνυμικές καταχωρήσεις συναρτήσεων που είναι πάντα θετικά ημικαθορισμένοι μπορούν να εκφραστούν ως άθροισμα τετραγώνων συμμετρικών πινάκων με καταχωρήσεις ρητών συναρτήσεων) δόθηκε από τους Γκοντάρ, Ριμπενμπόιμ και Προτσέσι, Σάχερ, με μια στοιχειώδη απόδειξη που δόθηκε από τους Χίλαρ και Νι.

Ελάχιστος αριθμός τετραγωνικών ρητών όρων

Το ερώτημα παραμένει ανοικτό ως προς το ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός.  

ώστε κάθε n-μεταβλητό, μη αρνητικό πολυώνυμο βαθμού d να μπορεί να γραφεί ως άθροισμα το πολύ  τετραγωνικών ρητών συναρτήσεων πάνω στους πραγματικούς. Ένα ανώτερο όριο που οφείλεται στον Πφίστερ το 1967 είναι: 

Προς την άλλη κατεύθυνση, ένα υπό όρους κατώτερο όριο μπορεί να προκύψει από την υπολογιστική θεωρία πολυπλοκότητας. Μια n-μεταβλητή περίπτωση της 3-SAT μπορεί να υλοποιηθεί ως ένα πρόβλημα θετικότητας σε ένα πολυώνυμο με n μεταβλητές και d=4. Αυτό αποδεικνύει ότι ο έλεγχος θετικότητας είναι NP-Hard. Πιο συγκεκριμένα, υποθέτοντας ότι η υπόθεση του εκθετικού χρόνου είναι αληθής, .

Στην μιγαδική ανάλυση το Ερμιτιανό ανάλογο, που απαιτεί τα τετράγωνα να είναι τετραγωνικές νόρμες ολόμορφων απεικονίσεων, είναι κάπως πιο περίπλοκο, αλλά αληθές για θετικά πολυώνυμα από ένα αποτέλεσμα του Κουίλεν. Το αποτέλεσμα του Πφίστερ από την άλλη πλευρά αποτυγχάνει στην Ερμιτιανή περίπτωση, δηλαδή δεν υπάρχει όριο για τον αριθμό των τετραγώνων που απαιτούνται, βλέπε Νταντζέλο-Λεμπλ.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Proof of Dehn's Theorem at Everything2

Dehn Invariant at Everything2
 Ντέιβιντ Χίλμπερτ, Μαθηματικά προβλήματα, 6ο πρόβλημα, σε αγγλική μετάφραση.

 Δείτε επίσης 
 Θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ
 Ρητή συνάρτηση
 Ομογενές πολυώνυμο
 Τετράγωνο (άλγεβρα)
 Πίνακας (μαθηματικά)
 Πραγματικός αριθμός 
 Χώρος Χίλμπερτ
 Ντάβιντ Χίλμπερτ
 Ευκλείδειος χώρος
 Μιγαδική ανάλυση
 Θεωρία πολυπλοκότητας

 Βιβλιογραφία








 Παραπομπές 






 Πηγές 

Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Μαθηματική λογική
Κατηγορία:Προβλήματα του Χίλμπερτ
Κατηγορία:Ιστορία των Μαθηματικών
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά
Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία