Ακολουθία Ευκλείδη-Μάλεν

Η ακολουθία Ευκλείδη-Μάλεν είναι μια άπειρη ακολουθία διαφορετικών πρώτων αριθμών, στην οποία κάθε στοιχείο είναι ο μικρότερος πρώτος παράγοντας του ενός συν το γινόμενο όλων των προηγούμενων στοιχείων. Πήραν το όνομά τους από τον αρχαίο Έλληνα μαθηματικό Ευκλείδη, επειδή ο ορισμός τους βασίζεται σε μια ιδέα της απόδειξης του Ευκλείδη ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί, και από τον Άλμπερτ Α. Μάλεν, ο οποίος διερωτήθηκε για την ακολουθία το 1963..

Τα 51 πρώτα στοιχεία της ακολουθίας είναι

2, 3, 7, 43, 13, 53, 5, 6221671, 38709183810571, 139, 2801, 11, 17, 5471, 52662739, 23003, 30693651606209, 37, 1741, 1313797957, 887, 71, 7127, 109, 23, 97, 159227, 643679794963466223081509857, 103, 1079990819, 9539, 3143065813, 29, 3847, 89, 19, 577, 223, 139703, 457, 9649, 61, 4357, 87991098722552272708281251793312351581099392851768893748012603709343, 107, 127, 3313, 227432689108589532754984915075774848386671439568260420754414940780761245893, 59, 31, 211... 

Αυτά είναι τα μόνα γνωστά στοιχεία. Η εύρεση του επόμενου απαιτεί την εύρεση του μικρότερου πρώτου παράγοντα ενός 335ψήφιου αριθμού (ο οποίος είναι γνωστό ότι είναι σύνθετος).

Ορισμός

Το -th στοιχείο της ακολουθίας, , είναι ο μικρότερος πρώτος παράγοντας του

Το πρώτο στοιχείο είναι επομένως ο μικρότερος πρώτος παράγοντας του  "άδειου" γινόμενου (empty product) συν ένα, που είναι 2. Το τρίτο στοιχείο είναι (2 × 3) + 1 = 7.  Μια καλύτερη απεικόνιση είναι το πέμπτο στοιχείο της ακολουθίας, το 13.  Αυτό υπολογίζεται από το (2 × 3 × 7 × 43) + 1 = 1806 + 1 = 1807, το γινόμενο δύο πρώτων αριθμών, 13 × 139.  Από αυτούς τους δύο πρώτους αριθμούς, ο 13 είναι ο μικρότερος και έτσι περιλαμβάνεται στην ακολουθία.  Ομοίως, το έβδομο στοιχείο, το 5, είναι το αποτέλεσμα του (2 × 3 × 7 × 43 × 13 × 53) + 1 = 1244335, οι πρώτοι παράγοντες του οποίου είναι το 5 και το 248867.  Τα παραδείγματα αυτά δείχνουν γιατί η ακολουθία μπορεί να μεταπηδήσει από πολύ μεγάλους σε πολύ μικρούς αριθμούς.

Ιδιότητες

Η ακολουθία είναι απείρως μεγάλη και δεν περιέχει επαναλαμβανόμενα στοιχεία. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί με τη μέθοδο της απόδειξης του Ευκλείδη ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί. Αυτή η απόδειξη είναι εποικοδομητική και η ακολουθία είναι το αποτέλεσμα της εκτέλεσης μιας εκδοχής αυτής της κατασκευής.

Εικασία
Ο Μάλεν () ρώτησε αν κάθε πρώτος αριθμός εμφανίζεται στην ακολουθία Ευκλείδη-Μάλεν και, αν όχι, αν το πρόβλημα του ελέγχου ενός συγκεκριμένου πρώτου αριθμού για την ένταξή του στην ακολουθία είναι υπολογίσιμο. Ο Ντανιέλ Σανκς () υπέθεσε, με βάση ευρετικές υποθέσεις ότι η κατανομή των πρώτων αριθμών είναι τυχαία, ότι κάθε πρώτος αριθμός εμφανίζεται στην ακολουθία.. Ωστόσο, παρόλο που παρόμοιες αναδρομικές ακολουθίες σε άλλους τομείς δεν περιέχουν όλους τους πρώτους αριθμούς,. και τα δύο αυτά προβλήματα παραμένουν ανοικτά για την αρχική ακολουθία Ευκλείδη-Μάλεν.. Ο μικρότερος πρώτος αριθμός που δεν είναι γνωστό ότι είναι στοιχείο της ακολουθίας είναι ο 41.

Οι θέσεις των πρώτων αριθμών από το 2 έως το 97 είναι:
 2:1, 3:2, 5:7, 7:3, 11:12, 13:5, 17:13, 19:36, 23:25, 29:33, 31:50, 37:18, 41:?, 43:4, 47:?, 53:6, 59:49, 61:42, 67:?, 71:22, 73:?, 79:?, 83:?, 89:35, 97:26 

όπου το ? δηλώνει ότι η θέση (ή αν υπάρχει καθόλου) είναι άγνωστη από το 2012.The listing with the question marks is given in the Extensions field of the OEIS entry, whereas the main listing stops at 33 and has no question marks.

Σχετικές ακολουθίες
Μια σχετική ακολουθία αριθμών που καθορίζεται από τον μεγαλύτερο πρώτο παράγοντα του ενός συν το γινόμενο των προηγούμενων αριθμών (αντί του μικρότερου πρώτου παράγοντα) είναι επίσης γνωστή ως ακολουθία Ευκλείδη-Μάλεν. Αυξάνεται ταχύτερα, αλλά δεν είναι μονοτονική.. Οι αριθμοί αυτής της ακολουθίας είναι
2, 3, 7, 43, 139, 50207, 340999, 2365347734339, 4680225641471129, 1368845206580129, 889340324577880670089824574922371, ... .
Δεν εμφανίζεται κάθε πρώτος αριθμός σε αυτή την ακολουθία, και η ακολουθία των πρώτων αριθμών που λείπουν,
5, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, ... 
έχει αποδειχθεί ότι είναι άπειρη...

Είναι επίσης δυνατό να δημιουργηθούν τροποποιημένες εκδοχές της ακολουθίας Ευκλείδη-Μάλεν χρησιμοποιώντας τον ίδιο κανόνα επιλογής του μικρότερου πρώτου παράγοντα σε κάθε βήμα, αλλά ξεκινώντας με έναν διαφορετικό πρώτο παράγοντα από το 2.

Εναλλακτικά, αν θεωρήσουμε ότι κάθε αριθμός είναι ένα συν το γινόμενο των προηγούμενων αριθμών (αντί να τον παραγοντοποιήσουμε), προκύπτει η ακολουθία του Συλβέστερ. Η ακολουθία που κατασκευάζεται με την επανειλημμένη προσθήκη όλων των παραγόντων του ένα συν το γινόμενο των προηγούμενων αριθμών είναι η ίδια με την ακολουθία των πρώτων παραγόντων της ακολουθίας του Συλβέστερ. Όπως και η ακολουθία Ευκλείδη-Μάλεν, αυτή είναι μια μη μονοτονική ακολουθία πρώτων αριθμών, αλλά είναι γνωστό ότι δεν περιλαμβάνει όλους τους πρώτους αριθμούς..

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών

 Δείτε επίσης 
 Θεωρία αριθμών
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Φυσικός λογάριθμος
 Δεύτερη Εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ
 Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
 e (μαθηματική σταθερά)
 Πρώτος αριθμός
 Άρτιοι και περιττοί αριθμοί
 Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
 Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν
 Προβλήματα του Λαντάου
 Εικασία του Λεζάντρ
 Εικασία του Γκόλντμπαχ
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Υπόθεση H του Σίνζελ
 Συνάρτηση Όιλερ
 Ευκλείδειος χώρος

 Βιβλιογραφία












 Παραπομπές 

 Research Problem 8:  Recursive function theory (A modern look at a Euclidean idea), Bull. Amer. Math. Soc., 69 (1963), 737.
 Review: M. D. Mesarovic and Y. Takahara, General systems theory: Mathematical foundations, Bull. Amer. Math. Soc., 81 (1975), 1047–1044.
  On new theorems for elementary number theory, Notre Dame Journal of Formal Logic, Vol. 8, Issue 4 1967, 353–356.
  A note on a weakened Goldbach-like conjecture, Notre Dame Journal of Formal Logic, Vol. 3, Issue 2 1962, 118–119.
Brian H. Mayoh: On the second Goldbach conjecture. In: Nordisk Tidskrift for Informationsbehandling. Band 6, 1966, S. 48–50 (MR0194405).
John O. Kiltinen, Peter B. Young: Goldbach, Lemoine, and a know/don’t know problem. In: Mathematics Magazine. Band 58, 1985, S. 195–203 (MR0801144).


 Πηγές 








Κατηγορία:Αναλυτική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Εικασίες για πρώτους αριθμούς
Κατηγορία:Πρώτοι αριθμοί
Κατηγορία:Ακέραιοι αριθμοί
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά