Εικασία Φερμά-Καταλάν

Στη θεωρία των αριθμών, η εικασία Φερμά-Καταλάν είναι μια γενίκευση του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά και της εικασίας του Καταλάν. Η εικασία δηλώνει ότι η εξίσωση

έχει μόνο πεπερασμένα πολλές λύσεις (a,b,c,m,n,k)  με διακριτές τριάδες τιμών (am, bn, ck)  όπου a, b, c είναι θετικοί σχετικά πρώτη ακέραιοι και m, n, k που ικανοποιούν τις ακόλουθες προϋποθέσεις 

Η ανισότητα για τα m, n, και k είναι απαραίτητο μέρος της εικασίας. Χωρίς την ανισότητα θα υπήρχαν άπειρες λύσεις, παραδείγματος χάριν με k = 1 (για οποιοδήποτε a, b, m και n και μεc = am + bn) ή με m, n και k όλα ίσα με δύο (για τις άπειρες γνωστές πυθαγόρειες τριάδες).

Γνωστές λύσεις
Από το 2015 είναι γνωστές οι ακόλουθες δέκα λύσεις της εξίσωσης (1) που πληρούν τα κριτήρια της εξίσωσης (2):. 

 (για  ώστε να ικανοποιείται η Εξ.2)

Η πρώτη από αυτές (1m + 23 = 32) είναι η μόνη λύση όπου ένα από τα a, b ή c είναι 1, σύμφωνα με την εικασία του Καταλάν, που αποδείχθηκε το 2002 από τον Πρέντα Μιχαηλέσκου. Ενώ η περίπτωση αυτή οδηγεί σε άπειρες λύσεις της (1) (αφού μπορεί κανείς να επιλέξει οποιοδήποτε m για m > 6), οι λύσεις αυτές δίνουν μόνο μια τριάδα τιμών (am, bn, ck).

Μερικά αποτελέσματα
Είναι γνωστό από το θεώρημα Ντάρμον-Γκράνβιλ, το οποίο χρησιμοποιεί το θεώρημα του Φάλτινγκς, ότι για οποιαδήποτε σταθερή επιλογή θετικών ακεραίων m, n και k που ικανοποιούν την (2), υπάρχει μόνο ένας πεπερασμένος αριθμός από τριάδες (a, b, c) που λύνουν την (1).    Ωστόσο, η ολοκληρωμένη εικασία Φερμά-Καταλάν είναι ισχυρότερη, καθώς επιτρέπει τη μεταβολή των εκθετών m, n και k.

Η εικασία abc συνεπάγεται την εικασία Φερμά-Καταλάν.

Για έναν κατάλογο αποτελεσμάτων για αδύνατους συνδυασμούς εκθετών, δείτε Εικασία του Beal#Μερικά αποτελέσματα. Η εικασία του Μπιλ είναι αληθής αν και μόνο αν όλες οι λύσεις Φερμά-Καταλαν έχουν m = 2, n = 2, ή k = 2.

Ειδικές τιμές των εκθετών

Το πεπερασμένο των λύσεων διερευνήθηκε για ειδικούς συνδυασμούς εκθετών  της εικασίας, συμπεριλαμβανομένων των εξής

(2, 3, 7) από τους Μπιορν Πούνεν u. a.(2005)Poonen, Edward Schaefer, Michael Stoll: Twists of X (7) and primitive solutions of . .
 Η εικασία Φερμά που αποδείχθηκε από τον Άντριου Γουάιλς αφορά την περίπτωση (k, k, k) χωρίς λύση για 
Οι Ανρί Νταρμόν και Λοϊκ Μερέλ αντιμετώπισαν τις περιπτώσεις (k, k, 2) και (k, k, 3) και έδειξαν ότι δεν υπάρχουν λύσεις για (k, k, 3),  και για (k, k, 2) για .Darmon, Merel: Winding Quotients and Some Variants of Fermat’s Last Theorem. In: J. reine angew. Math. Band 490, 1997, S. 81–100, SUB Göttingen
(2n, 2n, 5) από τον Μάικλ Μπένετ
(2,4,n) από τους Τζόρνταν Σ. Έλενμπεργκ, Έλενμπεργκ/Μπένετ/Νγκ και ΜπρούινMichael Bennett, mit Chen, Dahmen, Yazdani: The Generalized Fermat equation: a progress report. (PDF; 442 kB) Hawaii-Manoa 2012, Vortragsfolien και (2, n, 4) από Μπένετ και Μπένετ/Σκίνερ.
(2,6,n) από Μπένετ/Τσεν και  Μπρούιν
(2, n, 6), (3,3,2n), (3,6,n), (2, 2n, k) για k= 9, 10 ή 15, (4, 2n, 3) από τους Μπένετ, Ι. Τσεν, Σ. Ντάμεν, Σ. Γιαζντάνι
(2,4,7) του Γκιόκα
(2,3,8), (2,3,9), (2,4,5), (2,4,6), (3,3,4), (3,3,5) από τον Μπρούιν (2004).N. Bruin: Visualising Sha[2] in Abelian Surfaces. In: Math. Comput. Band 73, 2004, S. 1459–1476
(5,5,7), (7,7,5) από τον Νταχμεν/Σίκσεκ
(3,4,5) Σίκσεκ/Στολ

Ο Ανρί Νταρμόν (2012) ακολούθησε ένα πρόγραμμα γενίκευσης της καμπύλης Φρέι του προβλήματος Φερμά (σε ποικιλίες Φρέι-Αμπέλ) προκειμένου να μελετήσει τις γενικευμένες εξισώσεις Φερμά  (με ).

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών

 Δείτε επίσης 
 Θεωρία αριθμών
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Συζυγής μιγαδικός αριθμός
 Δεύτερη Εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ
 Ελλειπτική καμπύλη
 e (μαθηματική σταθερά)
 Πυθαγόρεια τετράδα
 Άρτιοι και περιττοί αριθμοί
 Τετραγωνικός αριθμός
 Κρυπτογραφία ελλειπτικών καμπυλών
 Προβλήματα του Λαντάου
 Κύβος (άλγεβρα)
 Εικασία του Γκόλντμπαχ
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Υπόθεση H του Σίνζελ
 Κλάση συζυγίας
 Ευκλείδειος χώρος

 Βιβλιογραφία












 Παραπομπές 

 Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά στο Wolfram Mathworld

  Scientific article by Andrew Wiles


Gebel, J., Pethö, A., and Zimmer, H.G.: "On Mordell's equation", 'Compositio Math.' 110(1998), 335-367.
I. Jiménez Calvo, J. Herranz and G. Sáez Moreno, "A new algorithm to search for small nonzero |'x3 - y2'| values", 'Math. Comp.' 78 (2009), pp. 2435-2444.
S. Aanderaa, L. Kristiansen and H. K. Ruud, "Search for good examples of Hall's conjecture", 'Math. Comp.' 87 (2018), 2903-2914.

 Πηγές 








Κατηγορία:Διοφαντικές εξισώσεις
Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών
Κατηγορία:Θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Εικασίες
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά