Εικοστό τέταρτο πρόβλημα του Χίλμπερτ

Το εικοστό τέταρτο πρόβλημα του Χίλμπερτ είναι ένα μαθηματικό πρόβλημα που δεν δημοσιεύθηκε ως μέρος του καταλόγου των 23 προβλημάτων (γνωστού ως προβλήματα του Χίλμπερτ), αλλά περιλαμβανόταν στις αρχικές σημειώσεις του Ντέιβιντ Χίλμπερτ. Το εν λόγω πρόβλημα ζητούσε ένα κριτήριο απλότητας στις μαθηματικές αποδείξεις και την ανάπτυξη μιας θεωρίας αποδείξεων με τη δυνατότητα να αποδείξει ότι μια δεδομένη απόδειξη είναι η απλούστερη δυνατή.

Το 24ο πρόβλημα ανακαλύφθηκε εκ νέου από τον Γερμανό ιστορικό Ρύντιγκερ Τίλε το 2000, σημειώνοντας ότι ο Χίλμπερτ δεν συμπεριέλαβε το 24ο πρόβλημα στη διάλεξη όπου παρουσιάζονται τα "προβλήματα του Χίλμπερτ" ή σε κανένα άλλο δημοσιευμένο κείμενο. Οι φίλοι του Χίλμπερτ και συνάδελφοι μαθηματικοί όπως οι Άντολφ Χούρβιτς και Χέρμαν Μινκόφσκι συμμετείχαν στενά στο έργο, αλλά δεν γνώριζαν τίποτα για το συγκεκριμένο πρόβλημα.

Αυτό είναι το πλήρες κείμενο από τις σημειώσεις του Χίλμπερτ που παρατίθεται στην εργασία του Ρίντιγκερ Τίλε. Το τμήμα μεταφράστηκε από τον Ρίντιγκερ Τίλε.

Το πρόβλημα νούμερο 24 στο συνέδριό μου στο Παρίσι θα ήταν: Κριτήρια απλότητας ή απόδειξη της μεγαλύτερης απλότητας ορισμένων αποδείξεων. Ανάπτυξη μιας θεωρίας της μεθόδου απόδειξης στα μαθηματικά γενικά. Υπό ένα δεδομένο σύνολο συνθηκών μπορεί να υπάρχει μόνο μία απλούστερη απόδειξη. Συνήθως, αν υπάρχουν δύο αποδείξεις ενός θεωρήματος, πρέπει να συνεχίσουμε μέχρι η μία να προκύψει από την άλλη ή μέχρι να γίνει φανερό ότι έχουν χρησιμοποιηθεί διαφορετικές συνθήκες (και βοηθήματα) στις δύο αποδείξεις. Αν υπάρχουν δύο διαδρομές, δεν είναι απαραίτητο να ακολουθήσουμε τη μία ή την άλλη ή να αναζητήσουμε μια τρίτη- είναι απαραίτητο να μελετήσουμε την περιοχή μεταξύ των δύο διαδρομών. Προσπάθειες να κρίνουμε την απλότητα μιας απόδειξης μπορείτε να βρείτε στη συζήτησή μου για τις συζυγίες και τις συζυγίες [ο Χίλμπερτ έγραψε λάθος τη λέξη συζυγίες] μεταξύ των συζυγιών (βλ. Hilbert 42, διαλέξεις XXXII-XXXIX). Η χρήση ή η γνώση μιας συζυγίας απλοποιεί κατά τρόπο ουσιαστικό μια απόδειξη ότι μια ορισμένη ταυτότητα είναι αληθής. Επειδή κάθε διαδικασία πρόσθεσης [είναι] εφαρμογή του νόμου της αντιμεταθετικής ιδιότητας της  πρόσθεσης κ.λπ. [και επειδή] αυτή αντιστοιχεί πάντοτε σε γεωμετρικά θεωρήματα ή λογικά συμπεράσματα, μπορεί κανείς να μετρήσει αυτές τις [διαδικασίες], και, για παράδειγμα, κατά την απόδειξη ορισμένων θεωρημάτων της στοιχειώδους γεωμετρίας (το θεώρημα του Πυθαγόρα, [τα θεωρήματα] για τα αξιοσημείωτα σημεία των τριγώνων), μπορεί κανείς πολύ καλά να αποφασίσει ποια από τις αποδείξεις είναι η απλούστερη. [Σημείωση του συγγραφέα: Μέρος της τελευταίας πρότασης δεν είναι μόνο ελάχιστα ευανάγνωστο στο σημειωματάριο του Χίλμπερτ αλλά και γραμματικά λανθασμένο. Οι διορθώσεις και οι προσθήκες που έκανε ο Χίλμπερτ σε αυτή την καταχώρηση δείχνουν ότι κατέγραψε το πρόβλημα βιαστικά].

- Ντέιβιντ Χίλμπερτ, Μαθηματικά σημειωματάρια

Το 2002, ο Τίλε και ο Λάρι Γουός δημοσίευσαν ένα άρθρο για το εικοστό τέταρτο πρόβλημα του Χίλμπερτ με μια συζήτηση σχετικά με τη σχέση του με διάφορα θέματα στην αυτοματοποιημένη συλλογιστική, τη λογική και τα μαθηματικά.

Σημερινή προοπτική

Λόγω της ασαφούς διατύπωσης του προβλήματος, θα πρέπει να εκληφθεί λιγότερο ως ακριβής δήλωση του προβλήματος και περισσότερο ως ερευνητική ιδέα. Από το αρχικό κείμενο μπορούν να εντοπιστούν ορισμένα ερωτήματα που υπάρχουν και στη σημερινή έρευνα.

Πώς μπορεί να οριστεί η απλότητα των αποδείξεων;
Πώς μπορεί να βρεθεί η απλούστερη απόδειξη ενός θεωρήματος;
Πώς μπορεί να αναπτυχθεί μια θεωρία των μαθηματικών αποδείξεων και της πολυπλοκότητάς τους;
Ποιες διαφορετικές συνθήκες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την απόδειξη ενός θεωρήματος;
Μπορούν δύο αποδείξεις του ίδιου θεωρήματος να μετατραπούν η μία στην άλλη;

Σήμερα, τα ερωτήματα αυτά αντιμετωπίζονται στο ευρύτερο πλαίσιο της λογικής και της θεωρίας αποδείξεων. Το ζήτημα των αναγκαίων συνθηκών είναι το κεντρικό θέμα των αντίστροφων μαθηματικών. Πράγματι, στη θεωρία ομοτοπικών τύπων, μια εναλλακτική αξιωματοποίηση των μαθηματικών, μπορεί να οριστεί μια ακριβής έννοια της «ισότητας» των αποδείξεων. Υπάρχουν προτάσεις που έχουν τουλάχιστον δύο διαφορετικές αποδείξεις κατά την έννοια της θεωρίας ομοτοπικών τύπων.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Proof of Dehn's Theorem at Everything2

Dehn Invariant at Everything2
 Ντέιβιντ Χίλμπερτ, Μαθηματικά προβλήματα, 6ο πρόβλημα, σε αγγλική μετάφραση.

 Δείτε επίσης 
 Μερική διαφορική εξίσωση
 Χέρμαν Μινκόβσκι
 Αλγεβρικός αριθμός
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Πυθαγόρειο θεώρημα
 Δυναμικός προγραμματισμός
 Μιγαδικός αριθμός
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Μερική διαφορική εξίσωση
 Χώρος Χίλμπερτ
 Ντάβιντ Χίλμπερτ
 Ευκλείδειος χώρος
 Καρλ Φρίντριχ Γκάους

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 





 Πηγές 
<





Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Τοπολογικές ομάδες
Κατηγορία:Γεωμετρική θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Προβλήματα του Χίλμπερτ
Κατηγορία:Ιστορία των Μαθηματικών
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά
Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία