Τριχοτόμηση του τετραγώνου

Ιστορία

Η διαμέριση ενός τετραγώνου σε τρία όμοια τμήματα είναι ένα γεωμετρικό πρόβλημα που χρονολογείται από τη χρυσή εποχή του Ισλάμ. Οι τεχνίτες που κατείχαν την τέχνη του Zellij (αραβικό ψηφιδωτό) χρειάζονταν καινοτόμες τεχνικές για να επιτύχουν τα υπέροχα ψηφιδωτά τους με πολύπλοκα γεωμετρικά σχήματα. Η πρώτη λύση σε αυτό το πρόβλημα προτάθηκε τον 10ο αιώνα μ.Χ. από τον Πέρση μαθηματικό Αμπού αλ Ουάφα (940-998) στην πραγματεία του «Περί των γεωμετρικών κατασκευών που είναι απαραίτητες για τον τεχνίτη»Alpay Özdural (1995). Omar Khayyam, Mathematicians, and “conversazioni” with Artisans. Journal of the Society of Architectural Vol. 54, No. 1, Mar., 1995. Ο Αμπού αλ Ουάφα χρησιμοποίησε επίσης τη διαμέριση για να αποδείξει το Πυθαγόρειο θεώρημαReza Sarhangi, Slavik Jablan (2006). Elementary Constructions of Persian Mosaics. Towson University and The Mathematical Institute. online . Αυτή η γεωμετρική απόδειξη του θεωρήματος του Πυθαγόρα θα ανακαλυφθεί εκ νέου τα έτη 1835 - 1840See appendix of L. J. Rogers (1897). Biography of Henry Perigal: On certain Regular Polygons in Modular Network. Proceedings London Mathematical Society. Volume s1-29, Appendix pp. 732-735. από τον Χένρι Περιγκάλ και θα δημοσιευθεί το 1875Henry Perigal (1875). On Geometric Dissections and Transformations, Messenger of Mathematics, No 19, 1875..

 Αναζήτηση της βελτιστότητας

Η ομορφιά της διαμέρισης εξαρτάται από διάφορες παραμέτρους. Ωστόσο, είναι σύνηθες να αναζητούνται λύσεις με τον ελάχιστο αριθμό τμημάτων. Η τριχοτόμηση του τετραγώνου  που προτείνει ο Αμπού αλ Ουάφα απέχει πολύ από το να είναι ελάχιστη και χρησιμοποιεί 9 κτεμάχια. Τον 14ο αιώνα ο Αμπού Μπακρ αλ-Χαλίλ έδωσε δύο λύσεις, η μία εκ των οποίων χρησιμοποιεί 8 τεμάχια.Alpay Özdural (2000). Mathematics and Arts: Connections between Theory and Practice in the Medieval Islamic World, Historia Mathematica, Volume 27, Issue 2, May 2000, Pages 171-201. Στα τέλη του 17ου αιώνα ο Ζακ Οζανάμ επανήλθε σε αυτό το θέμα (fr) Jean-Etienne Montucla (1778), completed and re-edited by Jacques Ozanam (1640-1717) Récréations mathématiques, Tome 1 (1694), p. 297 Pl.15. και τον 19ο αιώνα βρέθηκαν λύσεις που χρησιμοποιούν 8 και 7 τεμάχια, συμπεριλαμβανομένης μιας που δόθηκε από τον μαθηματικό Εντουάρ Λούκας.(fr) Edouard Lucas (1883). Récréations Mathématiques, Volume 2. Paris, Gauthier-Villars. Second of four volumes. Second edition (1893) reprinted by Blanchard in 1960. See pp. 151 and 152 in Volume 2 of this edition. online (pp. 145-147).  Το 1891 ο Ανρί Περιγκάλ δημοσίευσε την πρώτη γνωστή λύση με μόνο 6 τεμάχια Henry Perigal (1891). Geometric Dissections and Transpositions, Association for the Improvement of Geometrical Teaching. wikisource (βλ. εικόνα παρακάτω). Στις μέρες μας, εξακολουθούν να ανακαλύπτονται νέες διαμερίσειςChristian Blanvillain, János Pach (2010). Square Trisection. Bulletin d'Informatique Approfondie et Applications N°86 - Juin 2010  also at EPFL: oai:infoscience.epfl.ch:161493.  (βλ. παραπάνω εικόνα) και η εικασία ότι 6 είναι ο ελάχιστος αριθμός απαραίτητων κομματιών παραμένει αναπόδεικτη.
κέντρο|μικρογραφία|760x760εσ|Μετασχηματισμός τριών μικρών τετραγώνων σε ένα μεγάλο τετράγωνο (Ανρί Περιγκάλ, 1891)

 Δημοσιεύσεις 


  On-line text at archive.org


  (PDF version)
 (PDF version)





 Δείτε επίσης 
 Πραγματικό προβολικό επίπεδο
 Στοιχεία του Ευκλείδη
 Ευκλείδειος χώρος
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Μιγαδικός αριθμός
 τοπολογικος ισομορφισμός
 Παραβολή (γεωμετρία)
 Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
 Πάππος ο Αλεξανδρεύς
 Αμπού αλ Ουάφα
 Τετραγωνισμός παραβολής
 Διαβήτης (όργανο)
 Διπλασιασμός του κύβου
 Προβολική γεωμετρία
 Υπερβολή (γεωμετρία)
 Εγγεγραμμένος και Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τριγώνου
 Κωνική τομή
 Παραλληλόγραμμο
 Πυθαγόρειο θεώρημα

 Παραπομπές 

 Greg N. Frederickson web site

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Euclid’s elements of geometry - The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν
  Τα οπτικά του Ευκλείδη Διδακτορική Διατριβή - ΕΑΔΔ
 “Αρχιμήδους Βιβλίο Λημμάτων” – Πραγματεία του Νικολάου Λ. Κεχρή   Ανοιχτή βιβλιοθήκη 
 Virtual book about Archimedes Chris Rorres - Drexel University
 A History of Greek Mathematics, Τόμος 1
 A History of Greek Mathematics: Τόμος 2
 Advanced Euclidean Geometry
 Methods for Euclidean Geometry.
 Lectures on Euclidean Geometry - Volume 1: Euclidean Geometry of ..., Τόμος 1....Square trisection...page100
 Origametry: Mathematical Methods in Paper Folding, Square trisection page 18 ...
 Invitation to Mathematics Square trisection..  page 15
 Answers to Exercises For Geometry (Solutions Manual) Square trisection..page 7 .
 Euclid's Elements of Geometry... Square trisection  page 393...
 Rough Sets: International Joint Conference, IJCRS 2016, Santiago de Chile ...Square trisection......page 273
 Unipotent and Nilpotent Classes in Simple Algebraic Groups and Lie Algebras..

 Πηγές 




Κατηγορία:Ευκλείδεια Γεωμετρία
Κατηγορία:Κλασική γεωμετρία
Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία
Κατηγορία:Μαθηματικά προβλήματα
Κατηγορία:Ιστορία των Μαθηματικών
Κατηγορία:Προβολική γεωμετρία
Κατηγορία:Βελτιστοποίηση
Κατηγορία:Εμβαδόν
Κατηγορία:Στοιχειώδης γεωμετρία