Εικασία του Χολ

Στα μαθηματικά, η εικασία του Χολ είναι ένα ανοιχτό ερώτημα σχετικά με τις διαφορές μεταξύ τέλειων τετραγώνων και τέλειων κύβων. Ισχυρίζεται ότι ένα τέλειο τετράγωνο y2 και ένας τέλειος κύβος x3 που δεν είναι ίσα πρέπει να απέχουν μεταξύ τους μια σημαντική απόσταση. Το ερώτημα αυτό προέκυψε από την εξέταση της εξίσωσης Μορντέλ στη θεωρία των ακέραιων σημείων σε ελλειπτικές καμπύλες.

Η αρχική εκδοχή της εικασίας του Χολ, που διατυπώθηκε από τον Μάρσαλ Χολ Τζούνιορ το 1970, λέει ότι υπάρχει μια θετική σταθερά C τέτοια ώστε για κάθε ακέραιο x και y για τον οποίο y2 ≠ x3,

Ο Χολ πρότεινε ότι ίσως το C θα μπορούσε να ληφθεί ως 1/5, το οποίο ήταν σύμφωνο με όλα τα δεδομένα που ήταν γνωστά κατά τη στιγμή που προτάθηκε η εικασία. Ο Ντανίλοφ έδειξε το 1982 ότι ο εκθέτης 1/2 στη δεξιά πλευρά (δηλαδή η χρήση του |x|1/2) δεν μπορεί να αντικατασταθεί από οποιαδήποτε μεγαλύτερη δύναμη: για κανένα δ > 0 δεν υπάρχει μια σταθερά C τέτοια ώστε |y2 − x3| > C|x|1/2 + δ όποτε y2 ≠ x3.

Το 1965, ο Ντέιβενπορτ απέδειξε ένα ανάλογο της παραπάνω εικασίας στην περίπτωση των πολυωνύμων: 
αν f(t) και g(t) είναι μη μηδενικά πολυώνυμα στους μιγαδικούς αριθμούς C' έτσι ώστε 
g(t)3 ≠ f(t)2 στο C[t], τότε

Η ασθενής μορφή της εικασίας του Χολ, που διατυπώθηκε από τους Σταρκ και Τρότερ γύρω στο 1980, αντικαθιστά την τετραγωνική ρίζα στη δεξιά πλευρά της ανισότητας με οποιονδήποτε εκθέτη μικρότερο από 1/2: για οποιοδήποτε ε > 0, υπάρχει κάποια σταθερά c(ε) που εξαρτάται από το ε, έτσι ώστε για οποιουσδήποτε ακέραιους x και y για τους οποίους y2 ≠ x3,

Η αρχική, ισχυρή, μορφή της εικασίας με εκθέτη 1/2 δεν διαψεύστηκε ποτέ, αν και δεν πιστεύεται πλέον ότι είναι αληθής και ο όρος εικασία του Χολ σημαίνει τώρα γενικά την εκδοχή με το ε.  Παραδείγματος χάριν, το 1998, ο Νόαμ Έλκις βρήκε το παράδειγμα

4478849284284020423079182 − 58538865167812233 = -1641843,

για την οποία η συμβατότητα με την εικασία του Χολ θα απαιτούσε το C να είναι μικρότερο από 0,0214 ≈ 1/50, δηλαδή περίπου 10 φορές μικρότερο από την αρχική επιλογή του 1/5 που πρότεινε ο Χολ.

Η ασθενής μορφή της εικασίας του Χολ μπορεί να προκύψει από την εικασία ABC. Μια γενίκευση σε άλλες τέλειες δυνάμεις είναι η εικασία του Πιλάι, αν και είναι επίσης γνωστό ότι η εικασία του Πιλάι θα ήταν αληθής αν η εικασία του Χολ ίσχυε για οποιοδήποτε συγκεκριμένο 0 < ε < 1/2.

Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει τις γνωστές περιπτώσεις με . Ας σημειωθεί ότι το y μπορεί να υπολογιστεί ως ο πλησιέστερος ακέραιος αριθμός στο x3/2. Αυτή η λίστα είναι γνωστό ότι περιέχει όλα τα παραδείγματα με  (οι πρώτες 44 καταχωρήσεις του πίνακα), αλλά μπορεί να είναι ελλιπής μετά από αυτό το σημείο.

 #  x  r  1  2  1.41  2  5234  4.26  a 3  8158  3.76  a 4  93844  1.03  a 5  367806  2.93  a 6  421351  1.05  a 7  720114  3.77  a 8  939787  3.16  a 9  28187351  4.87  a 10  110781386  1.23  a 11  154319269  1.08  a 12  384242766  1.34  a 13  390620082  1.33  a 14  3790689201  2.20  a 15  65589428378  2.19  b 16  952764389446  1.15  b 17  12438517260105  1.27  b 18  35495694227489  1.15  b 19  53197086958290  1.66  b 20  5853886516781223  46.60  b 21  12813608766102806  1.30  b 22  23415546067124892  1.46  b 23  38115991067861271  6.50  b 24  322001299796379844  1.04  b 25  471477085999389882  1.38  b 26  810574762403977064  4.66  b 27  9870884617163518770  1.90  c 28  42532374580189966073  3.47  c 29  44648329463517920535  1.79  c 30  51698891432429706382  1.75  c 31  231411667627225650649  3.71  c 32  601724682280310364065   1.88  c 33  4996798823245299750533  2.17  c 34  5592930378182848874404  1.38  c 35  14038790674256691230847  1.27  c 36  77148032713960680268604  10.18  d 37  180179004295105849668818  5.65  d 38  372193377967238474960883  1.33  c 39  664947779818324205678136  16.53  c 40  2028871373185892500636155  1.14  d 41  10747835083471081268825856  1.35  c 42  37223900078734215181946587  1.38  c 43  69586951610485633367491417  1.22  e 44  3690445383173227306376634720  1.51  c 45  133545763574262054617147641349  1.69  e 46  162921297743817207342396140787  10.65  e 47  374192690896219210878121645171  2.97  e 48  401844774500818781164623821177  1.29  e 49  500859224588646106403669009291  1.06  e 50  1114592308630995805123571151844  1.04  f 51  39739590925054773507790363346813  3.75  e 52  862611143810724763613366116643858  1.10  e 53  1062521751024771376590062279975859  1.006  e 54  6078673043126084065007902175846955  1.03  c

Σημειώσεις του Πίνακα  
 (a) GPZ.J. Gebel, A. Pethö and H.G. Zimmer.
 (b) Noam D. Elkies (συμπεριλαμβανομένης της καταχώρησης 16 που ο Έλκις βρήκε αλλά παρέλειψε από τον πίνακα που δημοσίευσε).
 (c) JHS I. Jiménez Calvo, J. Herranz and G. Sáez (με διόρθωση της σειράς των καταχωρίσεων 29 και 30)
 (d) JBJohan Bosman (με τη χρήση του λογισμικού της JHS).
 (e) AKR S. Aanderaa, L. Kristiansen and H.K. Ruud.
 (f) DL.V. Danilov. Το στοιχείο 50 ανήκει στην άπειρη ακολουθία που βρήκε ο Ντανίλοφ.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών

 Δείτε επίσης 
 Θεωρία αριθμών
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Φυσικός λογάριθμος
 Δεύτερη Εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ
 Ελλειπτική καμπύλη
 e (μαθηματική σταθερά)
 Πυθαγόρεια τετράδα
 Άρτιοι και περιττοί αριθμοί
 Τετραγωνικός αριθμός
 Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν
 Προβλήματα του Λαντάου
 Κύβος (άλγεβρα)
 Εικασία του Γκόλντμπαχ
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Υπόθεση H του Σίνζελ
 Συνάρτηση Όιλερ
 Ευκλείδειος χώρος

 Βιβλιογραφία












 Παραπομπές 



Elkies, N.D. "Rational points near curves and small nonzero | 'x3 - y2'| via lattice reduction", http://arxiv.org/abs/math/0005139
Danilov, L.V., "The Diophantine equation   'x3   -  y2 '  ' =  k  ' and Hall's conjecture", 'Math.  Notes Acad. Sci. USSR' 32(1982), 617-618.
Gebel, J., Pethö, A., and Zimmer, H.G.: "On Mordell's equation", 'Compositio Math.' 110(1998), 335-367.
I. Jiménez Calvo, J. Herranz and G. Sáez Moreno, "A new algorithm to search for small nonzero |'x3 - y2'| values", 'Math. Comp.' 78 (2009), pp. 2435-2444.
S. Aanderaa, L. Kristiansen and H. K. Ruud, "Search for good examples of Hall's conjecture", 'Math. Comp.' 87 (2018), 2903-2914.

 Πηγές 








Κατηγορία:Διοφαντικές εξισώσεις
Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών
Κατηγορία:Θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Εικασίες
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά