Εικασία Μπομπιέρι-Λανγκ

Στην αριθμητική γεωμετρία, η εικασία Μπομπιέρι-Λανγκ είναι ένα άλυτο πρόβλημα που εικάζεται από τους Ενρίκο Μπομπιέρι και Σερζ Λανγκ σχετικά με την πυκνότητα Ζαρίσκι του συνόλου των ρητών σημείων μιας αλγεβρικής ποικιλίας γενικού τύπου.

Δήλωση

Η αδύναμη εικασία Μπομπιέρι-Λανγκ για επιφάνειες δηλώνει ότι αν  είναι μια λεία επιφάνεια γενικού τύπου που ορίζεται πάνω από ένα αριθμητικό σώμα  τότε τα σημεία της  δεν σχηματίζουν ένα πυκνό σύνολο στην τοπολογία Ζαρίσκι στην .

Η γενική μορφή της εικασίας Μπομπιέρι-Λανγκ δηλώνει ότι αν η  είναι μια θετικά διαστατική αλγεβρική ποικιλία γενικού τύπου που ορίζεται πάνω σε ένα αριθμητικό σώμα , τότε τα  σημεία της  δεν σχηματίζουν πυκνό σύνολο στην τοπολογία Ζαρίσκι.

Η εκλεπτυσμένη μορφή της εικασίας Μπομπιέρι-Λανγκ δηλώνει ότι αν  είναι μια αλγεβρική ποικιλία γενικού τύπου που ορίζεται πάνω σε ένα αριθμητικό σώμα , τότε υπάρχει ένα πυκνό ανοικτό υποσύνολο  του  τέτοιο ώστε για όλες τις επεκτάσεις του αριθμητικού σώματος  πάνω στο , το σύνολο των  σημείων στο  να είναι πεπερασμένο.

Ιστορία
Η εικασία Μπομπιέρι-Λανγκ διατυπώθηκε ανεξάρτητα από τους Ενρίκο Μπομπιέρι και Σερζ Λανγκ. Σε μια διάλεξη του 1980 στο Πανεπιστήμιο του Σικάγο, ο Ενρίκο Μπομπιέρι έθεσε ένα πρόβλημα σχετικά με τον εκφυλισμό των ρητών σημείων για επιφάνειες γενικού τύπου. Ανεξάρτητα σε μια σειρά εργασιών που ξεκίνησαν το 1971, ο Σερζ Λανγκ υπέθεσε μια γενικότερη σχέση μεταξύ της κατανομής των ρητών σημείων και της αλγεβρικής υπερβολικότητας, που διατυπώθηκε στην «εκλεπτυσμένη μορφή» της εικασίας Μπομπιέρι-Λανγκ.

Γενικεύσεις και επιπτώσεις

Η εικασία Μπομπιέρι-Λανγκ είναι ένα ανάλογο για τις επιφάνειες του θεωρήματος του Φάλτινγκς, το οποίο δηλώνει ότι οι αλγεβρικές καμπύλες γένους μεγαλύτερου του ενός έχουν μόνο πεπερασμένα πολλά ρητά σημεία.

Αν αληθεύει, η εικασία Μπομπιέρι-Λανγκ θα έλυνε το πρόβλημα Έρντος-Ουλάμ, καθώς θα σήμαινε ότι δεν υπάρχουν πυκνά υποσύνολα του Ευκλείδειου επιπέδου των οποίων όλες οι αποστάσεις ανά ζεύγη είναι ρητές.

Το 1997, οι Λουτσία Καποράσο, Μπάρι Μαζούρ, Τζο Χάρις και Πατρίσια Πατσέλι έδειξαν ότι η εικασία των Μπομπιέρι-Λανγκ συνεπάγεται μια ομοιόμορφη εικασία οριοθετημένων σημείων για ρητά σημεία: υπάρχει μια σταθερά  που εξαρτάται μόνο από τα  και  έτσι ώστε ο αριθμός των ρητών σημείων οποιασδήποτε καμπύλης  γένους  πάνω σε οποιοδήποτε αριθμητικό σώμα βαθμού  να είναι το πολύ .

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών

 Δείτε επίσης 
 Θεωρία αριθμών
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Συζυγής μιγαδικός αριθμός
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Ελλειπτική καμπύλη
 e (μαθηματική σταθερά)
 Πυθαγόρεια τετράδα
 Άρτιοι και περιττοί αριθμοί
 Σώμα Αριθμών
 Ενρίκο Μπομπιέρι
 Κρυπτογραφία ελλειπτικών καμπυλών
 Προβλήματα του Λαντάου
 Εικασία του Κράμερ
 Εικασία του Γκόλντμπαχ
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Υπόθεση H του Σίνζελ
 Θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων
 Ευκλείδειος χώρος

 Βιβλιογραφία












 Παραπομπές 






.

 Πηγές 








Κατηγορία:Διοφαντικές εξισώσεις 
Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών 
Κατηγορία:Θεωρία αριθμών 
Κατηγορία:Εικασίες 
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά