Εικασία του Καταλάν

Η εικασία του Καταλάν (ή το θεώρημα του Μιχαϊλέσκου) είναι ένα θεώρημα στη θεωρία των αριθμών που εικάστηκε από τον μαθηματικό Εζέν Σαρλ Καταλάν το 1844 και αποδείχθηκε το 2002 από την Πρέντα Μιχαϊλέσκου στο Πανεπιστήμιο του Πάντερμπορν.  Οι ακέραιοι 23 και 32  είναι δύο τέλειες δυνάμεις (δηλαδή δυνάμεις εκθέτη μεγαλύτερου του ενός) φυσικών αριθμών των οποίων οι τιμές (8 και 9, αντίστοιχα) είναι διαδοχικές. Το θεώρημα δηλώνει ότι αυτή είναι η μοναδική περίπτωση δύο διαδοχικών τέλειων δυνάμεων. Δηλαδή, ότι 

 Η εικασία του Καταλάν - η μόνη λύση στους φυσικούς αριθμούς του 

 για ,  is , , , .

Ιστορία
Η ιστορία του προβλήματος χρονολογείται τουλάχιστον από τον Γκερσονίδη, ο οποίος απέδειξε μια ειδική περίπτωση της εικασίας το 1343, όπου (x, y) περιορίστηκε να είναι (2, 3) ή (3, 2).  Η πρώτη σημαντική πρόοδος μετά την εικασία του Καταλάν, ήρθε το 1850, όταν ο Βικτόρ-Αμεντί Λεμπεσγκ  ασχολήθηκε με την περίπτωση b = 2.

Το 1976, ο Ρόμπερτ Τίζντεμαν εφάρμοσε τη μέθοδο του Μπέικερ στη θεωρία της υπερβατικότητας για να καθορίσει ένα φράγμα για τα a, b και χρησιμοποίησε τα υπάρχοντα αποτελέσματα που οριοθετούσαν τα x, y ως προς τα a, b για να δώσει ένα αποτελεσματικό άνω φράγμα για τα x, y, a, b. Ο Μισέλ Λανγκεβέν υπολόγισε μια τιμή   για το όριο,  επιλύοντας την εικασία του Καταλάν για όλες τις περιπτώσεις εκτός από έναν πεπερασμένο αριθμό περιπτώσεων.

Η εικασία του Καταλάν αποδείχθηκε από τον Πρέντα Μιχαηλέσκου τον Απρίλιο του 2002. Η απόδειξη δημοσιεύθηκε στο Journal für die reine und angewandte Mathematik, 2004. Κάνει εκτεταμένη χρήση της θεωρίας των κυκλοτομικών σωμάτων και των modules Γαλουά. Μια έκθεση της απόδειξης δόθηκε από τον Γιούρι Μπίλου στο Σεμινάριο Μπουρμπακί. Το 2005, ο Μιχαϊλέσκου δημοσίευσε μια απλουστευμένη απόδειξη.

Εικασία του Πιλάι
Η εικασία του  Πιλάι αφορά μια γενική διαφορά των τέλειων δυνάμεων : πρόκειται για ένα ανοιχτό πρόβλημα που αρχικά προτάθηκε από τον Πιλάι (Pillai]), ο οποίος υπέθεσε ότι τα κενά στην ακολουθία των τέλειων δυνάμεων τείνουν στο άπειρο.  Αυτό είναι ισοδύναμο με το να πούμε ότι κάθε θετικός ακέραιος αριθμός εμφανίζεται μόνο πεπερασμένες φορές ως διαφορά τέλειων δυνάμεων: Γενικότερα, το 1931 ο Πιλάι υπέθεσε ότι για σταθερούς θετικούς ακέραιους A, B, C η εξίσωση  έχει μόνο πεπερασμένα πολλές λύσεις (x, y, m, n) με (m, n) ≠ (2, 2).  Ο Πιλάι απέδειξε ότι για σταθερά A, B, x, y, και για κάθε λ μικρότερο του 1, έχουμε  ομοιόμορφα στο m και n.

Η γενική εικασία προκύπτει από την εικασία ABC.

Η εικασία του Πιλάι υποδηλώνει ότι για κάθε φυσικό αριθμό n, υπάρχουν μόνο πεπερασμένα πολλά ζεύγη τέλειων δυνάμεων με διαφορά n. Ο παρακάτω κατάλογος δείχνει, για n ≤ 64, όλες τις λύσεις για τέλειες δυνάμεις μικρότερες από 1018, τέτοιες ώστε ο εκθέτης και των δύο δυνάμεων να είναι μεγαλύτερος από 1. Ο αριθμός τέτοιων λύσεων για κάθε n παρατίθεται στη διεύθυνση . Δείτε επίσης  για τη μικρότερη λύση (> 0).

 n λύσημέτρηση Αριθμοί k τέτοιοι ώστε k και k + nνα είναι και οι δύο τέλειες δυνάμεις n λύσημέτρηση Αριθμοί k τέτοιοι ώστε k και k + nνα είναι και οι δύο τέλειες δυνάμεις 1  1  8 33  2  16, 256 2  1  25 34  0  none 3  2  1, 125 35  3  1, 289, 1296 4  3  4, 32, 121 36  2  64, 1728 5  2  4, 27 37  3  27, 324,  6  0  none 38  1  1331 7  5  1, 9, 25, 121,  39  4  25, 361, 961,  8  3  1, 8,  40  4  9, 81, 216, 2704 9  4  16, 27, 216,  41  3  8, 128, 400 10  1  2187 42  0  none 11  4  16, 25, 3125, 3364 43  1  441 12  2  4, 2197 44  3  81, 100, 125 13  3  36, 243, 4900 45  4  4, 36, 484, 9216 14  0  none 46  1  243 15  3  1, 49,  47  6  81, 169, 196, 529, 1681,  16  3  9, 16, 128 48  4  1, 16, 121, 21904 17  7  8, 32, 64, 512, , ,  49  3  32, 576,  18  3  9, 225, 343 50  0  none 19  5  8, 81, 125, 324,  51  2  49, 625 20  2  16, 196 52  1  144 21  2  4, 100 53  2  676,  22  2  27, 2187 54  2  27, 289 23  4  4, 9, 121, 2025 55  3  9, 729,  24  5  1, 8, 25, 1000,  56  4  8, 25, 169, 5776 25  2  100, 144 57  3  64, 343, 784 26  3  1, ,  58  0  none 27  3  9, 169, 216 59  1  841 28  7  4, 8, 36, 100, 484, ,  60  4  4, 196, ,  29  1  196 61  2  64, 900 30  1  6859 62  0  none 31  2  1, 225 63  4  1, 81, 961,  32  4  4, 32, 49, 7744 64  4  36, 64, 225, 512

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών

 Δείτε επίσης 
 Θεωρία αριθμών
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Φυσικός λογάριθμος
 Δεύτερη Εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ
 Κυκλοτομικό σώμα
 e (μαθηματική σταθερά)
 Πυθαγόρεια τετράδα
 Άρτιοι και περιττοί αριθμοί
 Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
 Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν
 Προβλήματα του Λαντάου
 Αριθμοί των Ταξί
 Εικασία του Γκόλντμπαχ
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Υπόθεση H του Σίνζελ
 Συνάρτηση Όιλερ
 Ευκλείδειος χώρος

 Βιβλιογραφία












 Παραπομπές 







   Predates Mihăilescu's proof.



 Πηγές 








Κατηγορία:Διοφαντικές εξισώσεις
Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών
Κατηγορία:Θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Εικασίες
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά