Εικασία του Γκρίνμπεργκ

Η εικασία του Γκρίνμπεργκ είναι μία από τις δύο εικασίες στην αλγεβρική θεωρία αριθμών που προτάθηκαν από τον Ραλφ Γκρίνμπεργκ. Και οι δύο είναι ακόμη άλυτες.

Εικασία των αναλλοίωτων
Η πρώτη εικασία προτάθηκε το 1976 και αφορά τις αναλλοίωτες Ιβασάουα. Αυτή η εικασία σχετίζεται με την εικασία του Βαντίβερ, την εικασία του Λέοπολντ, την εικασία του Μπιρτς-Τέιτ, οι οποίες είναι επίσης άλυτες.

Η εικασία, που αναφέρεται επίσης ως εικασία των αναλλοίωτων του Γκρίνμπεργκ, εμφανίστηκε για πρώτη φορά στη διατριβή του Γκρίνμπεργκ στο Πανεπιστήμιο Πρίνστον το 1971 και αρχικά ανέφερε ότι, υποθέτοντας ότι το  είναι ένα ολικά πραγματικό σώμα αριθμών και ότι το  είναι η κυκλοτομική -επέκταση, , i. δηλ. η δύναμη του  που διαιρεί τον αριθμό τάξης του  περιορίζεται ως . Ας σημειωθεί ότι αν ισχύει η εικασία του Λεοπόλντ για την  και την , η μόνη -επέκταση της  είναι η κυκλωματική (αφού είναιολικά πραγματική).

Το 1976, ο Γκρίνμπεργκ επέκτεινε την εικασία παρέχοντας περισσότερα παραδείγματα για αυτήν και την αναδιατύπωσε ελαφρώς ως εξής: δεδομένου ότι  είναι μια πεπερασμένη επέκταση του  και ότι  είναι ένας σταθερός πρώτος, με την εξέταση των υποσωμάτων των κυκλωματικών επεκτάσεων του , μπορεί κανείς να ορίσει έναν πύργο αριθμητικών σωμάτων
 έτσι ώστε  να είναι κυκλική επέκταση του  βαθμού . Αν το  είναι ολικά πραγματικό, η δύναμη του  που διαιρεί τον αριθμό τάξης του  περιορίζεται ως ; Τώρα, αν το  είναι ένα αυθαίρετο αριθμητικό σώμα, τότε υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί ,  και  τέτοιοι ώστε η δύναμη του  που διαιρεί τον αριθμό τάξης του  να είναι , όπου  για όλα τα επαρκώς μεγάλα . Οι ακέραιοι , ,  εξαρτώνται μόνο από τα  και . Τότε, ρωτάμε: είναι  για  ολικά πραγματικό;

Με απλά λόγια, η εικασία ρωτάει αν έχουμε  για οποιοδήποτε σώμα απόλυτα πραγματικών αριθμών  και οποιοδήποτε πρώτο αριθμό , ή η εικασία μπορεί επίσης να αναδιατυπωθεί ως ερώτημα αν και οι δύο αναλλοίωτες λ και μ που συνδέονται με την κυκλωματική -επέκταση ενός σώματος ολικά πραγματικών αριθμών εκμηδενίζεται.

Το 2001, ο Γκρίνμπεργκ γενίκευσε την εικασία (κάνοντάς την έτσι γνωστή ως ψευδο-μηδενική εικασία του Γκρίνμπεργκ ή, μερικές φορές, ως γενικευμένη εικασία του Γκρίνμπεργκ):

Υποθέτοντας ότι το  είναι ένα σώμα ολικά πραγματικών αριθμών και ότι το  είναι ένας πρώτος αριθμός, έστω  που συμβολίζει το σύνολο όλων των -επεκτάσεων του . (Υπενθυμίζουμε ότι αν ισχύει η εικασία του Λεοπόλντ για  και , τότε ). Έστω  το σώμα κλάσης Χίλμπερτ pro- του  και έστω , θεωρούμενη ως ενότητα πάνω από τον δακτύλιο . Τότε το  είναι ένα ψευδο-μηδενικό -module.

Μια πιθανή αναδιατύπωση: Έστω  το σύνολο όλων των -επεκτάσεων του  και έστω , τότε το  είναι ένα ψευδο-μηδενικό -module.

Μια άλλη σχετική εικασία (επίσης άλυτη μέχρι στιγμής) υπάρχει:

Έχουμε  για κάθε αριθμητικό σώμα  και κάθε πρώτο αριθμό .

Αυτή η σχετική εικασία δικαιολογήθηκε από τους Μπρους Φερέρο και Λάρι Γουάσινγκτον, οι οποίοι απέδειξαν (βλ.: Θεώρημα Φερέρο-Γουάσινγκτον) ότι  για οποιαδήποτε αβελιανή επέκταση  του ρητού αριθμητικού σώματος  και οποιοδήποτε πρώτο αριθμό .

Εικασία της p-ρητότητας
Μια άλλη εικασία, η οποία μπορεί να αναφέρεται ως εικασία του Γκρίνμπεργκ, προτάθηκε από τον Γκρίνμπεργκ το 2016 και είναι γνωστή ως εικασία της -ορθολογικότητας του Γκρίνμπεργκ. Δηλώνει ότι για κάθε περιττό πρώτο  και για κάθε , υπάρχει ένα -ορθολογικό πεδίο  τέτοιο ώστε . Αυτή η εικασία σχετίζεται με το Αντίστροφο πρόβλημα Γκαλουά.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών

 Δείτε επίσης 
 Θεωρία αριθμών
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Συζυγής μιγαδικός αριθμός
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Ελλειπτική καμπύλη
 e (μαθηματική σταθερά)
 Πυθαγόρεια τετράδα
 Άρτιοι και περιττοί αριθμοί
 Τετραγωνικός αριθμός
 Κρυπτογραφία ελλειπτικών καμπυλών
 Προβλήματα του Λαντάου
 Εικασία του Κράμερ
 Εικασία του Γκόλντμπαχ
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Υπόθεση H του Σίνζελ
 Κλάση συζυγίας
 Ευκλείδειος χώρος

 Βιβλιογραφία










 <

 Παραπομπές 






I. Jiménez Calvo, J. Herranz and G. Sáez Moreno, "A new algorithm to search for small nonzero |'x3 - y2'| values", 'Math. Comp.' 78 (2009), pp. 2435-2444.
S. Aanderaa, L. Kristiansen and H. K. Ruud, "Search for good examples of Hall's conjecture", 'Math. Comp.' 87 (2018), 2903-2914.

 Πηγές 








Κατηγορία:Διοφαντικές εξισώσεις 
Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών 
Κατηγορία:Θεωρία αριθμών 
Κατηγορία:Εικασίες 
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά