Αρμονική τετράδα

Στην γεωμετρία, δύο σημεία μιας ευθείας που διαιρούν εσωτερικά και εξωτερικά ένα ευθύγραμμο τμήμα της ίδιας ευθείας, με τον ίδιο λόγο, λέγονται αρμονικά συζυγή των άκρων του ευθυγράμμου τμήματος. Τα σημεία αυτά και τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος λέμε ότι αποτελούν μία αρμονική τετράδα.

Πιο συγκεκριμένα, έστω  τέσσερα σημεία της ίδιας ευθείας, τέτοια ώστε το  να βρίσκεται μεταξύ των  και  και το  να βρίσκεται εξωτερικά αυτών. Αν ισχύει ότι
,
τότε, τα  είναι αρμονικά συζυγή των  και τα σημεία  ορίζουν μία αρμονική τετράδα. Επίσης, το  είναι το αρμονικό συζυγές του  ως προς τα .

 Ιδιότητες 

 Αν  είναι αρμονικά συζυγή των , τότε τα  είναι αρμονικά συζυγή των . 

 Αν  είναι αρμονική τετράδα, τότε τα  βρίσκονται προς ίδιο μέρος του μέσου  του τμήματος . 

 (Θεώρημα Νεύτωνα) Αν  είναι αρμονική τετράδα και  το μέσο του , τότε
,
και αντιστρόφως.

 (Θεώρημα Ντεκάρτ) Αν  είναι αρμονική τετράδα, τότε ισχύει
 και ,
και αντιστρόφως.

 Παραδείγματα 
 Αν , τότε τα σημεία  είναι αρμονικά συζυγή των  καθώς 

και 
.

 Σε ένα τρίγωνο  με  όπου  είναι η εσωτερική  και  η εξωτερική διχοτόμος της  έχουμε ότι τα  είναι αρμονικά συζυγή των . 

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Σημείο (γεωμετρία)