Εικασία του Πόλια

[[Image:Liouville-big.svg|thumb|right|Αθροιστική συνάρτηση Λιούβιλ L(n) μέχρι n = 107. Η (διαψευσμένη) εικασία δηλώνει ότι η συνάρτηση αυτή είναι πάντα αρνητική. Οι εύκολα ορατές ταλαντώσεις οφείλονται στο πρώτο μη τετριμμένο μηδέν της συνάρτησης Ζήτα του Ρίμαν]]
}}

Στη θεωρία των αριθμών, η εικασία του Πόλια''' δήλωνε ότι οι «περισσότεροι» (δηλαδή το 50% ή περισσότερο) των φυσικών αριθμών που είναι μικρότεροι από οποιονδήποτε δεδομένο αριθμό έχουν περιττό αριθμό πρώτων παραγόντων. Η εικασία διατυπώθηκε από τον Ούγγρο μαθηματικό Τζορτζ Πόλια το 1919 και αποδείχθηκε ψευδής το 1958 από τον Κ. Μπράιαν Χάσελγκροουβ. Αν και οι μαθηματικοί συνήθως αναφέρονται σε αυτή τη δήλωση ως εικασία του Πόλια, ο Πόλια ποτέ δεν υπέθεσε ότι η δήλωση ήταν αληθής- μάλλον, έδειξε ότι η ορθότητα της δήλωσης θα συνεπαγόταν την υπόθεση Ρίμαν. Για το λόγο αυτό, ονομάζεται ακριβέστερα «το πρόβλημα του Πόλια».

Το μέγεθος του μικρότερου αντιπαραδείγματος χρησιμοποιείται συχνά για να καταδείξει το γεγονός ότι μια εικασία μπορεί να είναι αληθής για πολλές περιπτώσεις και παρόλα αυτά να μην ισχύει γενικά,. παρέχοντας μια εικόνα του ισχυρού νόμου των μικρών αριθμών.

Δήλωση

Η εικασία του Πόλια δηλώνει ότι για κάθε n > 1, αν οι φυσικοί αριθμοί μικρότεροι ή ίσοι του n (εξαιρουμένου του 0) χωριστούν σε εκείνους με περιττό αριθμό πρώτων παραγόντων και σε εκείνους με άρτιο αριθμό πρώτων παραγόντων, τότε το πρώτο σύνολο έχει τουλάχιστον τόσα μέλη όσα και το δεύτερο σύνολο. Οι επαναλαμβανόμενοι πρώτοι παράγοντες μετριούνται επανειλημμένα- Παραδείγματος χάριν, λέμε ότι το 18 = 2 × 3 × 3 έχει περιττό αριθμό πρώτων παραγόντων, ενώ το 60 = 2 × 2  × 3 × 5 έχει άρτιο αριθμό πρώτων παραγόντων.

Εξ ίσου, μπορεί να διατυπωθεί με όρους της αθροιστικής συνάρτησης Λιούβιλ, με την εικασία να είναι  

για όλα τα n > 1. Εδώ, λ(k) = (-1)Ω(k) είναι θετικό αν ο αριθμός των πρώτων παραγόντων του ακέραιου k είναι άρτιος, και είναι αρνητικό αν είναι περιττός. Η συνάρτηση big Omega (Ω) καταμετρά το συνολικό αριθμό των πρώτων παραγόντων ενός ακέραιου αριθμού.

Διάψευση
Η εικασία Πόλια διαψεύστηκε από τον Κ. Μπράιαν Χάσελγκροουβ το 1958. Απέδειξε ότι η εικασία έχει ένα αντιπαράδειγμα, το οποίο εκτίμησε ότι είναι περίπου 1.845 × 10361.Haselgrove, C. B. (1958). "A disproof of a conjecture of Pólya". Mathematika. 5 (2): 141–145. doi:10.1112/S0025579300001480.  Zbl 0085.27102.

Ένα (πολύ μικρότερο) ρητό αντιπαράδειγμα, με n = 906.180.359 δόθηκε από τον Ρ. Σέρμαν Λέμαν το 1960, το μικρότερο αντιπαράδειγμα είναι n = 906.150.257, και ανακαλύφθηκε από τον Μινόρου Τανάκα το 1980.

Η εικασία δεν ισχύει για τις περισσότερες τιμές του n στην περιοχή 906.150.257 ≤ n ≤ 906.488.079. Στην περιοχή αυτή, η αθροιστική συνάρτηση Λιούβιλ φτάνει στη μέγιστη τιμή 829 σε n'' = 906,316,571.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

 Δείτε επίσης 
 Θεωρία αριθμών
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Φυσικός λογάριθμος
 Πρώτος αριθμός Μερσέν
 e (μαθηματική σταθερά)
 Πρώτος αριθμός
 Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν
 Φυσικός αριθμός
 Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Αριθμητική πρόοδος
 Συνάρτηση Όιλερ
 Ευκλείδειος χώρος

 Βιβλιογραφία










 Παραπομπές 


 Reprinted by Chelsea Publishing, New York, 1971, ISBN 0-8284-0086-5.



 Πηγές 







Κατηγορία:Αναλυτική θεωρία αριθμών 
Κατηγορία:Εικασίες για πρώτους αριθμούς 
Κατηγορία:Πρώτοι αριθμοί 
Κατηγορία:Ακέραιοι αριθμοί 
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά