Έκτο πρόβλημα του Χίλμπερτ

Το έκτο πρόβλημα του Χίλμπερτ είναι η αξιωματοποίηση των κλάδων της φυσικής στους οποίους τα μαθηματικά υπερισχύουν. Εμφανίζεται στον ευρέως αναφερόμενο κατάλογο των προβλημάτων του Χίλμπερτ στα μαθηματικά που παρουσίασε το έτος 1900 Earlier publications (in the original German) appeared in Göttinger Nachrichten, 1900, pp. 253–297, and Archiv der Mathematik und Physik, 3rd series, vol. 1 (1901), pp. 44-63, 213–237.: Η ρητή διατύπωσή του στα ελληνικά είναι η εξής: 
 «6. Μαθηματική επεξεργασία των αξιωμάτων της φυσικής. Η έρευνα για τα θεμέλια της γεωμετρίας υποδηλώνει το εξής πρόβλημα: να αντιμετωπιστούν με τον ίδιο τρόπο, μέσω αξιωμάτων, οι φυσικές επιστήμες στις οποίες τα μαθηματικά παίζουν ήδη σημαντικό ρόλο- πρώτες από αυτές είναι η θεωρία πιθανοτήτων και η μηχανική.»

Ο Χίλμπερτ έδωσε μια πιο λεπτομερή εξήγηση αυτού του προβλήματος και των πιθανών ειδικών μορφών του:

 «Όσον αφορά τα αξιώματα της θεωρίας των πιθανοτήτων, μου φαίνεται επιθυμητό η λογική διερεύνησή τους να συνοδεύεται από μια αυστηρή και ικανοποιητική ανάπτυξη της μεθόδου των μέσων τιμών στη μαθηματική φυσική, και ιδίως στην κινητική θεωρία των αερίων. ... Το έργο του Μπόλτζμαν για τις αρχές της μηχανικής υποδεικνύει το πρόβλημα της μαθηματικής ανάπτυξης των οριακών διαδικασιών, που εκεί απλώς υποδεικνύονται, οι οποίες οδηγούν από την ατομιστική θεώρηση στους νόμους της κίνησης των συνεχών».

Ιστορία 

Ο ίδιος ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ αφιέρωσε μεγάλο μέρος της έρευνάς του στο έκτο πρόβλημα. Ειδικότερα, εργάστηκε σε εκείνους τους τομείς της φυσικής που προέκυψαν μετά τη διατύπωση του προβλήματος.

Στη δεκαετία του 1910, η ουράνια μηχανική εξελίχθηκε στη γενική σχετικότητα. Ο Χίλμπερτ και η Έμι Νέτερ αλληλογραφούσαν εκτενώς με τον Άλμπερτ Αϊνστάιν για τη διατύπωση της θεωρίας.

Στη δεκαετία του 1920, η μηχανική των μικροσκοπικών συστημάτων εξελίχθηκε στην κβαντομηχανική. Ο Χίλμπερτ, με τη βοήθεια των Τζον φον Νόιμαν, Λ. Νόρντχαϊμ και Ε. Π. Βίνγκερ, εργάστηκε πάνω στην αξιωματική βάση της κβαντομηχανικής (βλ. χώρος Χίλμπερτ). Παράλληλα, αλλά ανεξάρτητα, ο Ντιράκ διατύπωσε την κβαντομηχανική με έναν τρόπο που είναι κοντά σε ένα αξιωματικό σύστημα, όπως και ο Χέρμαν Βάιλ με τη βοήθεια του Έρβιν Σρέντινγκερ.

Στη δεκαετία του 1930, η θεωρία πιθανοτήτων τέθηκε σε αξιωματική βάση από τον Αντρέι Κολμογκόροφ, χρησιμοποιώντας τη θεωρία μέτρου.

Από τη δεκαετία του 1960, μετά το έργο των Άρθουρ Γουάιτμαν και Ρούντολφ Χάαγκ, η σύγχρονη κβαντική θεωρία πεδίου μπορεί επίσης να θεωρηθεί κοντά σε μια αξιωματική περιγραφή.

Κατά την περίοδο 1990-2000 το πρόβλημα των «οριακών διαδικασιών, οι οποίες απλώς υποδεικνύονται, και οι οποίες οδηγούν από την ατομιστική θεώρηση στους νόμους της κίνησης των συνεχών» προσεγγίστηκε από πολλές ομάδες μαθηματικών. Τα κυριότερα πρόσφατα αποτελέσματα συνοψίζονται από τους Λορ Σαιν Ρεϊμόν, Μάρσαλ Σλέμροντ,  Αλεξάντερ Ν. Γκόρμπαν και Ίλια Κάρλιν.

Κατάσταση

Το έκτο πρόβλημα του Χίλμπερτ ήταν μια πρόταση για την επέκταση της αξιωματικής μεθόδου έξω από τους υπάρχοντες μαθηματικούς κλάδους, στη φυσική και πέραν αυτής. Αυτή η επέκταση απαιτεί την ανάπτυξη μιας σημασιολογίας της φυσικής με μια τυπική ανάλυση της έννοιας της φυσικής πραγματικότητας που πρέπει να γίνει. Δύο θεμελιώδεις θεωρίες συλλαμβάνουν την πλειονότητα των θεμελιωδών φαινομένων της φυσικής:

Θεωρία κβαντικών πεδίων, η οποία παρέχει το μαθηματικό πλαίσιο για το Καθιερωμένο Πρότυπο,
Γενική σχετικότητα, η οποία περιγράφει τον χωροχρόνο και τη βαρύτητα σε μακροσκοπική κλίμακα.

Ο Χίλμπερτ θεωρούσε ότι η γενική σχετικότητα αποτελεί ουσιαστικό μέρος των θεμελίων της φυσικής, Ωστόσο, η κβαντική θεωρία πεδίου δεν είναι λογικά συνεπής με τη γενική σχετικότητα, υποδεικνύοντας την ανάγκη για μια άγνωστη ακόμη θεωρία της κβαντικής βαρύτητας, όπου η σημασιολογία της φυσικής αναμένεται να διαδραματίσει κεντρικό ρόλο. Το έκτο πρόβλημα του Χίλμπερτ παραμένει επομένως ανοιχτόTheme issue . Παρ' όλα αυτά, τα τελευταία χρόνια ενθάρρυνε την έρευνα στα θεμέλια της φυσικής με ιδιαίτερη έμφαση στο ρόλο της λογικής και της ακρίβειας της γλώσσας, οδηγώντας σε ορισμένα ενδιαφέροντα αποτελέσματα, όπως π.χ. την άμεση υλοποίηση της αρχής της αβεβαιότητας από τον ορισμό της «παραγώγου» του Κωσύ και την αποκάλυψη ενός σημασιολογικού εμποδίου στην πορεία οποιασδήποτε θεωρίας της κβαντικής βαρύτητας από την αξιωματική οπτική γωνία, την αποκάλυψη μιας λογικής ταυτολογίας στις κβαντικές δοκιμές της αρχής της ισοδυναμίας και την τυπική μη αποδεικσιμότητα της πρώτης εξίσωσης του Μάξγουελ.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Proof of Dehn's Theorem at Everything2

Dehn Invariant at Everything2
 Ντέιβιντ Χίλμπερτ, Μαθηματικά προβλήματα, 6ο πρόβλημα, σε αγγλική μετάφραση.

 Δείτε επίσης 
 Θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ
 Κβαντική μηχανική
 Θεωρία πιθανοτήτων
 Χέρμαν Βάυλ
 Κβαντική θεωρία πεδίου
 Γενική θεωρία της σχετικότητας 
 Χώρος Χίλμπερτ
 Ντάβιντ Χίλμπερτ
 Ευκλείδειος χώρος
 Καθιερωμένο Πρότυπο
 Υπερβολική γεωμετρία

 Βιβλιογραφία








 Παραπομπές 




 Πηγές 

Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Μαθηματική λογική
Κατηγορία:Προβλήματα του Χίλμπερτ
Κατηγορία:Ιστορία των Μαθηματικών
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά
Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία