Εικοστό δεύτερο πρόβλημα του Χίλμπερτ

Το εικοστό δεύτερο πρόβλημα του Χίλμπερτ είναι η προτελευταία καταχώρηση στον περίφημο κατάλογο των 23 προβλημάτων Χίλμπερτ που συνέταξε το 1900 ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ. Περιλαμβάνει την ομογενοποίηση των αναλυτικών σχέσεων μέσω αυτόμορφων συναρτήσεων. Ήταν ένα από τα πιο διάσημα μαθηματικά προβλήματα της εποχής και αποτέλεσε αντικείμενο πολλών ερευνών στο δεύτερο μισό του 19ου αιώνα και στις αρχές του 20ού αιώνα.

Δήλωση του προβλήματος 

Το πλήρες κείμενο της αρχικής δήλωσης του προβλήματος έχει ως εξής:


-Όπως απέδειξε πρώτος ο Πουανκαρέ, είναι πάντα δυνατό να αναχθεί οποιαδήποτε αλγεβρική σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών σε ομοιόμορφη με τη χρήση αυτομορφικών συναρτήσεων μιας μεταβλητής. Δηλαδή, αν δοθεί οποιαδήποτε αλγεβρική εξίσωση σε δύο μεταβλητές, μπορούν πάντα να βρεθούν για τις μεταβλητές αυτές δύο τέτοιες αυτομορφικές συναρτήσεις μίας μεταβλητής που η αντικατάστασή τους καθιστά τη δεδομένη αλγεβρική εξίσωση ταυτότητα. Η γενίκευση αυτού του θεμελιώδους θεωρήματος σε οποιεσδήποτε αναλυτικές μη αλγεβρικές σχέσεις μεταξύ δύο μεταβλητών επιχειρήθηκε επίσης με επιτυχία από τον Πουανκαρέ, αν και με έναν τρόπο εντελώς διαφορετικό από αυτόν που τον βοήθησε στο ειδικό πρόβλημα που αναφέρθηκε αρχικά. Από την απόδειξη του Πουανκαρέ για τη δυνατότητα αναγωγής σε ομοιομορφία μιας αυθαίρετης αναλυτικής σχέσης μεταξύ δύο μεταβλητών, ωστόσο, δεν γίνεται φανερό αν οι συναρτήσεις επίλυσης μπορούν να προσδιοριστούν ώστε να πληρούν ορισμένες πρόσθετες συνθήκες.  Δηλαδή, δεν αποδεικνύεται αν οι δύο μονότιμες συναρτήσεις της μίας νέας μεταβλητής μπορούν να επιλεγούν έτσι ώστε, ενώ η μεταβλητή αυτή διασχίζει την κανονική περιοχή των συναρτήσεων αυτών, να προσεγγίζεται και να αναπαρίσταται το σύνολο όλων των κανονικών σημείων του συγκεκριμένου αναλυτικού σώματος. Αντίθετα, από τις έρευνες του Πουανκαρέ φαίνεται ότι εκτός από τα σημεία διακλάδωσης υπάρχουν και ορισμένα άλλα, γενικά άπειρα άλλα διακριτά έκτακτα σημεία του αναλυτικού σώματος, τα οποία μπορούν να προσεγγιστούν μόνο αν η νέα μεταβλητή πλησιάσει ορισμένα οριακά σημεία των συναρτήσεων. Λόγω της θεμελιώδους σημασίας της διατύπωσης του ερωτήματος από τον Πουανκαρέ, μου φαίνεται ότι η διευκρίνιση και η επίλυση αυτής της δυσκολίας είναι εξαιρετικά επιθυμητή. 

Σε συνδυασμό με το πρόβλημα αυτό προκύπτει το πρόβλημα της αναγωγής σε ομοιομορφία μιας αλγεβρικής ή οποιασδήποτε άλλης αναλυτικής σχέσης μεταξύ τριών ή περισσότερων σύνθετων μεταβλητών - ένα πρόβλημα που είναι γνωστό ότι είναι επιλύσιμο σε πολλές συγκεκριμένες περιπτώσεις. Προς την κατεύθυνση της επίλυσής του οι πρόσφατες έρευνες του Πικάρ για τις αλγεβρικές συναρτήσεις δύο μεταβλητών πρέπει να θεωρηθούν ευπρόσδεκτες και σημαντικές προκαταρκτικές μελέτεςHilbert, David, "Mathematische Probleme" Göttinger Nachrichten, (1900), pp. 253-297, and in Archiv der Mathematik und Physik, (3) 1 (1901), 44-63 and 213-237. Published in English translation by Dr. Maby Winton Newson, Bulletin of the American Mathematical Society 8 (1902), 437-479    . [A fuller title of the journal Göttinger Nachrichten is Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wiss. zu Göttingen.].

Μερική επίλυση
Βλ.. Θεώρημα ομογενοποίησης

Ο Κοέμπε (Koebe) απέδειξε το γενικό θεώρημα ομογενοποίησης ότι αν μια επιφάνεια Ρίμαν είναι ομοιομορφική με ένα ανοικτό υποσύνολο της μιγαδικής σφαίρας (ή ισοδύναμα αν κάθε καμπύλη Τζόρνταν τη διαχωρίζει), τότε είναι συμμορφικά ισοδύναμη με ένα ανοικτό υποσύνολο της μιγαδικής σφαίρας.

Τρέχουσα κατάσταση

Αυτό το πρόβλημα είναι επί του παρόντος ανοιχτόAdachi, Yukinobu. "On a High Dimensional Riemann's Mapping Theorem and Its Applications." Journal of Mathematics Research 6.3 (2014): p13.. Κάποια πρόοδος έχει σημειωθεί από τους Γκρίφιθ και Μπερς.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
 Proof of Dehn's Theorem at Everything2

 Dehn Invariant at Everything2
 Ντέιβιντ Χίλμπερτ, Μαθηματικά προβλήματα, 6ο πρόβλημα, σε αγγλική μετάφραση.

 Δείτε επίσης 
 Μερική διαφορική εξίσωση
 Ακέραιος αριθμός
 Θεωρία αριθμών
 Δυναμικός προγραμματισμός
 Σώμα Αριθμών
 Αλγεβρική γεωμετρία
 Μερική διαφορική εξίσωση
 Δωδέκατο πρόβλημα του Χίλμπερτ 
 Χώρος Χίλμπερτ
 Ντάβιντ Χίλμπερτ
 Ευκλείδειος χώρος
 Μοδιακή αριθμητική
 Καρλ Φρίντριχ Γκάους

 Βιβλιογραφία











 Παραπομπές 

 Shreeram Shankar Abhyankar, " Hilbert's Thirteenth Problem", Algèbre non commutative, groupes quantiques et invariants (Reims, 1995), 1–11, Sémin. Congr., 2, Soc. Math. France, Paris, 1997. 



 Πηγές 
.





Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Τοπολογικές ομάδες
Κατηγορία:Γεωμετρική θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Προβλήματα του Χίλμπερτ
Κατηγορία:Ιστορία των Μαθηματικών
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά
Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία