Κάθετες ευθείες

Στην γεωμετρία, δύο ευθείες που τέμνονται λέγονται κάθετες αν στο σημείο τομής σχηματίζουν τέσσερις ορθές γωνίες. 

Ισοδύναμα, οι ευθείες  και  με σημείο τομής  είναι κάθετες αν . Η  λέγεται κάθετος της  στο  και συμβολίζεται ως .

 Ιδιότητες 
 Αν , τότε  (συμμετρική ιδιότητα). 
 Από ένα σημείο  υπάρχει μοναδική κάθετος σε μία ευθεία .

 Αν  και  και επιπλέον είναι  τότε .

  Αν  και , τότε .

 Δύο γωνίες που έχουν τις πλευρές κάθετες είναι είτε ίσες είτε παραπληρωματικές.Δείτε εδώ για την απόδειξη.

 Κάθετος από σημείο προς ευθεία 

Έστω μία ευθεία  και ένα σημείο  εξωτερικό αυτής. Το σημείο τομής της καθέτου από το  στην  λέγεται ίχνος της καθέτου ή ορθή προβολή (ή απλώς προβολή) του  στην .

Ορθή προβολή (ή απλώς προβολή) ενός ευθυγράμμου τμήματος  στην ευθεία  λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα της  το οποίο ορίζεται από τις προβολές των άκρων του  πάνω στην .

 Ιδιότητα 
 Αν από ένα σημείο εκτός ευθείας, φέρουμε κάθετη και πλάγιες προς την ευθεία, τότε η κάθετη είναι μικρότερη από κάθε πλάγια.
Δηλαδή, έστω η ευθεία  και το σημείο  εκτός της . Από το  φέρνουμε την κάθετο προς την  η οποία την τέμνει στο σημείο . Τότε για οποιοδήποτε σημείο  της , ισχύει ότι .

 Κατασκευή 
Έστω μία ευθεία  και ένα σημείο  εκτός αυτής. Η κατασκευή με κανόνα και διαβήτη της ευθείας που διέρχεται από το σημείο  και είναι κάθετη στην  είναι η ακόλουθη:
 Χαράζουμε έναν κύκλο με κέντρο το  και ακτίνα μεγαλύτερη από την απόσταση του  από το .
 Έστω  τα σημεία τομής του  με την .
 Με την ίδια ακτίνα χαράζουμε δύο κύκλους με κέντρα τα  και . 
 Οι κύκλοι αυτοί τέμνονται στο  και σε ένα άλλο σημείο έστω .
 Η ευθεία που διέρχεται από το  και το  είναι η (μοναδική) κάθετος από το  στην .

Σημείωση: Το κοινό σημείο της  με την , έστω , είναι η προβολή του  στην .

 Αναλυτική γεωμετρία 

 Κλίσεις κάθετων ευθειών 
Δύο ευθείες με εξισώσεις 
,
και
,
είναι κάθετες ανν .

 Εξίσωση κάθετης διερχόμενης από σημείο 
Έστω ένα σημείο  και μία ευθεία  με εξίσωση
. 
Η κάθετη από το  στην  είναι η ευθεία  με εξίσωση
.

 Ειδικές περιπτώσεις 

 Μεσοκάθετος 
Η μεοσκάθετος ενός ευθυγράμμου τμήματος  είναι η κάθετη ευθεία που διέρχεται από το μέσο του . Έχει την ιδιότητα ότι όλα τα σημεία της ισαπέχουν από τα  και . 

 Σε ένα τρίγωνο 
 Σε ένα τρίγωνο, το τμήμα της κάθετης από μία κορυφή του τριγώνου προς την απέναντι πλευρά, ονομάζεται ύψος του τριγώνου.

 Το θεώρημα Καρνό δίνει μία αναγκαία και ικανή συνθήκη για να συντρέχουν τρεις ευθείες κάθετες στις πλευρές ενός τριγώνου.

 Γενικεύσεις 
Το εσωτερικό γινόμενο γενικεύει την έννοια της καθετότητας. Σε τρεις διαστάσεις χώρο, το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων , ορίζεται ως εξής 
, 
όπου  η γωνία μεταξύ των  και . Επομένως, δύο διανύσματα είναι κάθετα ανν  (καθώς ).

Πιο γενικά, σε έναν διανυσματικό χώρο  με εσωτερικό γινόμενο , δύο διανύσματα  είναι κάθετα αν .

 Δείτε επίσης 
 Ευθεία
 Παράλληλες ευθείες
 Ύψος τριγώνου

 Σημειώσεις 

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Ευθείες