Θεώρημα Ντροζ-Φάρνι

: τα μέσα των  .
Τότε, τα  είναι συνευθειακά (κόκκινη ευθεία).

Στην γεωμετρία, το θεώρημα Ντροζ-Φάρνι (ή θεώρημα ευθείας του Ντροζ-Φάρνι) αναφέρεται σε μια ιδιότητα δύο κάθετων ευθειών που διέρχονται από το ορθοκέντρο σε ένα τυχόν τρίγωνο.

Πιο συγκεκριμένα, έστω ένα τρίγωνο , και  το ορθοκέντρο του (το σημείο που διέρχονται τα τρία ύψη του).  Έστω  και  δύο κάθετες ευθείες που διέρχονται από το . Επιπλέον θεωρούμε τα σημεία ,  και  όπου η  τέμνει τους φορείς των πλευρών του ,  και . Αντίστοιχα, έστω , , και  τα σημεία όπου η  τέμνει τους φορείς των πλευρών.  Τότε, τα μέσα των  , , και  είναι συνευθειακά.

Το θεώρημα διατυπώθηκε από τον Άρνολντ Ντροζ-Φάρνι το 1899, αλλά δεν είναι ξεκάθαρο αν έδωσε κάποια απόδειξη. Νωρίτερα το θεώρημα είχε αποδειχθεί από τον Albert Noyer το 1893 και τον το .

 Γενικεύσεις 

Διάφορες γενικεύσεις του θεωρήματος έχουν μελετηθεί:

 (Γκορμάχτιγκ, 1930) Έστω ένα τρίγωνο , ένα σημείο  διαφορετικό από τις κορυφές του και  οποιαδήποτε ευθεία που διέρχεται από το . Έστω ,  και  τα σημεία των φορέων των ,  και  αντίστοιχα, τότε οι ευθείες , , και  είναι οι συμμετρικές ευθείες των , , και , αντίστοιχα, ως προς την ευθεία . Τότε, τα σημεία , , και  είναι συνευθειακά.
Σημείωση: Όταν το  είναι το ορθοκέντρο του τριγώνου λαμβάνουμε ως ειδική περίπτωση το θεώρημα Ντροζ-Φάρνι.


 (Ντάο, 2014) Έστω ένα τρίγωνο , ένα σημείο , και τρία παράλληλα ευθύγραμμα τμήματα , ,  τέτοια ώστε τα μέσα τους και το  να είναι συνευθειακά. Τότε τα σημεία τομής των , ,  με τους φορείς των πλευρών ,  και  αντίστοιχα, είναι συνευθειακά.

 (Ντάο, 2014) Έστω μια κωνική τομή  και ένα σημείο P στο επίπεδο. Κατασκευάστε τρεις ευθείες da, db, dc μέσω του P έτσι ώστε να συναντούν την κωνική στα σημεία , , , , ,  αντίστοιχα. Έστω  ένα σημείο στην πολική του σημείου  ως προς το  ή το  να βρίσκεται στην κωνική τομή . Έστω
, 
,
. 
Τότε τα , ,  είναι συνευθειακά. 

 Δείτε επίσης 
 Ορθόκεντρο τριγώνου
 Κάθετες ευθείες
 Συνευθειακά σημεία

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 Ευθεία Θεώρημα Ντροζ-Φάρνι στο cut-the-knot.
 Δισδραστική εφαρμογή για την ευθεία στο MacTutor.

 Παραπομπές 
Son Tran Hoang (2014), "A synthetic proof of Dao's generalization of Goormaghtigh's theorem ." Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, volume 3, pages 125–129, 
Floor van Lamoen and Eric W. Weisstein (), Droz-Farny Theorem  at Mathworld
A. Droz-Farny (1899), "Question 14111". The Educational Times, volume 71, pages 89-90



Κατηγορία:Ευκλείδεια Γεωμετρία 
Κατηγορία:Κλασική γεωμετρία 
Κατηγορία:Παραστατική γεωμετρία 
Κατηγορία:Μαθηματικά θεωρήματα 
Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία 
Κατηγορία:Κωνικές τομές 
Κατηγορία:Γεωμετρία του τριγώνου 
Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία