Δωδέκατο πρόβλημα του Χίλμπερτ

Το δωδέκατο πρόβλημα του Χίλμπερτ είναι η επέκταση του θεωρήματος Κρόνεκερ-Βέμπερ για τις αβελιανές προεκτάσεις των ρητών αριθμών σε οποιοδήποτε σώμα βασικών αριθμών. Είναι ένα από τα 23 μαθηματικά προβλήματα του Χίλμπερτ, τα οποία απαιτούν ανάλογα των ριζών της ενότητας που δημιουργούν μια ολόκληρη οικογένεια πρόσθετων αριθμητικών σωμάτων, κατ' αναλογία με τα κυκλοτομικά σώματα και τα υποσώματά τους.  Ο Λέοπολντ Κρόνεκερ περιέγραψε το πρόβλημα του μιγαδικού πολλαπλασιασμού ως το «αγαπημένο του νεανικό όνειρο», ή το «αγαπημένο όνειρο της νιότης του», γι' αυτό και το πρόβλημα είναι επίσης γνωστό ως το νεανικό όνειρο του Κρόνεκερ.

Η κλασική θεωρία του μιγαδικού πολλαπλασιασμού, που σήμερα είναι συχνά γνωστή ως Κρόνεκερ Jugendtraum, επιτυγχάνει αυτό για την περίπτωση οποιουδήποτε φανταστικού τετραγωνικό σώμα, χρησιμοποιώντας modular συναρτήσεις και ελλειπτικές συναρτήσεις που επιλέγονται με ένα συγκεκριμένο πλέγμα περιόδων που σχετίζεται με το εν λόγω σώμα. Ο Γκόρο Σιμούρα επέκτεινε τη μέθοδο αυτή σε σώματα CM. Στην ειδική περίπτωση των ολικώς πραγματικών σωμάτων, οι Σαμίτ Ντασγκούπτα και Μαχές Κακντέ παρείχαν μια κατασκευή της μέγιστης αβελιανής επέκτασης των ολικώς πραγματικών σωμάτων χρησιμοποιώντας την εικασία Μπρούμερ-Σταρκ.

Η γενική περίπτωση του δωδέκατου προβλήματος του Χίλμπερτ είναι ακόμη ανοικτή.

Περιγραφή του προβλήματος

Το θεμελιώδες πρόβλημα της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών είναι η περιγραφή των σωμάτων των αλγεβρικών αριθμών. Το έργο του Γκαλουά κατέστησε σαφές ότι οι επεκτάσεις των σωμάτων ελέγχονται από ορισμένες ομάδες, τις ομάδες Γκαλουά. Η απλούστερη κατάσταση, η οποία βρίσκεται ήδη στα όρια του καλά κατανοητού, είναι όταν η εν λόγω ομάδα είναι αβελιανή. Όλες οι τετραγωνικές επεκτάσεις, που προκύπτουν από την πρόσθεση των ριζών ενός τετραγωνικού πολυωνύμου, είναι αβελιανές και η μελέτη τους ξεκίνησε από τον Γκάους. Ένας άλλος τύπος αβελιανής επέκτασης του σώματος Q των ρητών αριθμών δίνεται από την πρόσθεση των n-th ριζών της μονάδας, με αποτέλεσμα τα κυκλοτομικά σώματα.  Ήδη ο Γκάους είχε δείξει ότι, στην πραγματικότητα, κάθε τετραγωνικό σώμα περιέχεται σε ένα μεγαλύτερο κυκλοτομικό σώμα. Το θεώρημα Κρόνεκερ-Βέμπερ δείχνει ότι κάθε πεπερασμένη αβελιανή επέκταση του Q περιέχεται σε ένα κυκλοτομικό σώμα. Το ερώτημα του Κρόνεκερ (και του Χίλμπερτ) αφορά την κατάσταση ενός γενικότερου σώματος αλγεβρικών αριθμών Κ: ποιοι είναι οι αλγεβρικοί αριθμοί που είναι απαραίτητοι για την κατασκευή όλων των αβελιανών επεκτάσεων του Κ; Η πλήρης απάντηση σε αυτό το ερώτημα έχει βρεθεί μόνο όταν το Κ είναι ένα φανταστικό τετραγωνικό σώμα ή η γενίκευσή του, ένα σώμα CM

Η αρχική δήλωση του Χίλμπερτ για το 12ο πρόβλημά του είναι μάλλον παραπλανητική: φαίνεται να υπονοεί ότι οι αβελιανές επεκτάσεις των φανταστικών τετραγωνικών σωμάτων παράγονται από ειδικές τιμές των ελλειπτικών modular συναρτήσεων, πράγμα που δεν είναι σωστό. (Είναι δύσκολο να πούμε τι ακριβώς εννοούσε ο Χίλμπερτ, ένα πρόβλημα είναι ότι μπορεί να χρησιμοποιούσε τον όρο «ελλειπτική συνάρτηση» για να εννοήσει τόσο την ελλειπτική συνάρτηση ℘ όσο και την ελλειπτική modular συνάρτηση j). Κατ' αρχάς είναι επίσης απαραίτητη η χρήση των ριζών της μονάδας, αν και ο Χίλμπερτ μπορεί να ήθελε σιωπηρά να τις συμπεριλάβει. Πιο σοβαρά, ενώ οι τιμές των ελλειπτικών modular συναρτήσεων δημιουργούν το σώμα της κλάσης Χίλμπερτ, για πιο γενικές αβελιανές επεκτάσεις χρειάζεται επίσης να χρησιμοποιηθούν τιμές ελλειπτικών συναρτήσεων. Παραδείγματος χάριν, η αβελιανή προέκταση  δεν παράγεται από ιδιάζον moduli και ρίζες της μονάδας.

Ένας ιδιαίτερα ελκυστικός τρόπος για να διατυπώσουμε το θεώρημα Κρόνεκερ-Βέμπερ είναι να πούμε ότι η μέγιστη αβελιανή επέκταση του Q μπορεί να προκύψει από την πρόσθεση των ειδικών τιμών exp(2i/n) της εκθετικής συνάρτησης. Παρομοίως, η θεωρία του μιγαδικού πολλαπλασιασμού δείχνει ότι η μέγιστη αβελιανή επέκταση της Q(τ), όπου τ είναι ένας φανταστικός τετραγωνικός ανορθολογισμός, μπορεί να προκύψει από την πρόσθεση των ειδικών τιμών της ℘(τ, z) και  j(τ) των modular συναρτήσεων j και των ελλειπτικών συναρτήσεων ℘, καθώς και των ριζών της μονάδας, όπου το τ είναι στο φανταστικό τετραγωνικό σώμα και το z αντιπροσωπεύει ένα σημείο στρέψης στην αντίστοιχη ελλειπτική καμπύλη. Μια ερμηνεία του δωδέκατου προβλήματος του Χίλμπερτ ζητά να δοθεί ένα κατάλληλο ανάλογο εκθετικών, ελλειπτικών ή modular συναρτήσεων, των οποίων ειδικές τιμές θα δημιουργούσαν τη μέγιστη αβελιανή επέκταση Kab ενός γενικού αριθμητικού σώματος K. Με αυτή τη μορφή, το πρόβλημα δεν έχει επιλυθεί. Μια περιγραφή του σώματος Kab προέκυψε από τη Πεδιακή θεωρία, που αναπτύχθηκε από τον ίδιο τον Χίλμπερτ, τον Εμίλ Άρτιν και άλλους στο πρώτο μισό του 20ού αιώνα In particular, Teiji Takagi proved the existence of the absolute abelian extension as the well-known Takagi existence theorem.. Ωστόσο, η κατασκευή του Kab  στη Πεδιακή θεωρία περιλαμβάνει πρώτα την κατασκευή μεγαλύτερων μη αβελιανών επεκτάσεων χρησιμοποιώντας τη θεωρία του Κούμερ και στη συνέχεια την αναγωγή τους σε αβελιανές επεκτάσεις. Αυτό δεν λύνει πραγματικά το πρόβλημα του Χίλμπερτ, το οποίο απαιτεί μια πιο άμεση κατασκευή αβελιανών επεκτάσεων.

Σύγχρονες εξελίξεις

Οι εξελίξεις από το 1960 και μετά έχουν συμβάλει σίγουρα. Πριν από αυτό, ο Χέκε (1912) στη διατριβή του χρησιμοποίησε modular forms του Χίλμπερτ για να μελετήσει αβελιανές επεκτάσεις πραγματικών τετραγωνικών σωμάτων. Ο μιγαδικός πολλαπλασιασμός των αβελιανών ποικιλιών ήταν ένας τομέας που άνοιξε με το έργο των Σιμούρα και Τανιγιάμα. Αυτό οδηγεί σε αβελιανές επεκτάσεις των CM-σωμάτων γενικότερα. Το ερώτημα για το ποιες επεκτάσεις μπορούν να βρεθούν είναι αυτό των ενοτήτων Τέιτ τέτοιων ποικιλιών, ως παραστάσεις Γκαλουά. Καθώς αυτή είναι η πιο προσιτή περίπτωση της ℓ-adic συνομολογίας, οι παραστάσεις αυτές έχουν μελετηθεί σε βάθος.

Ο Ρόμπερτ Λάνγκλαντς υποστήριξε το 1973 ότι η σύγχρονη εκδοχή του Γιούντεντραουμ θα πρέπει να ασχολείται με τις συναρτήσεις ζήτα Χάσε-Βέιλ των ποικιλιών Σιμούρα. Ενώ ο ίδιος σχεδίαζε ένα εντυπωσιακό πρόγραμμα για να μελετήσει το θέμα σε βάθος, τριάντα και πλέον χρόνια αργότερα, παραμένουν σοβαρές αμφιβολίες ως προς τη σημασία του για το ερώτημα που έθεσε ο Χίλμπερτ.

Μια ξεχωριστή εξέλιξη ήταν η εικασία του Σταρκ (στην αβελιανή περίπτωση rank-one), η οποία, αντίθετα, ασχολήθηκε άμεσα με το ζήτημα της εύρεσης συγκεκριμένων μονάδων που δημιουργούν αβελιανές επεκτάσεις αριθμητικών σωμάτων και περιγράφουν κορυφαίους συντελεστές των συναρτήσεων L του Άρτιν. Το 2021, οι Ντασγκούπτα και Κάκντε ανακοίνωσαν μια p-adic λύση για την εύρεση της μέγιστης αβελιανής επέκτασης των ολικά πραγματικών πεδίων αποδεικνύοντας την ολοκληρωτική εικασία Γκρος-Σταρκ για τις μονάδες Μπρούμερ-Σταρκ.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Proof of Dehn's Theorem at Everything2

Dehn Invariant at Everything2
 Ντέιβιντ Χίλμπερτ, Μαθηματικά προβλήματα, 6ο πρόβλημα, σε αγγλική μετάφραση.

 Δείτε επίσης 
 Ελλειπτική συνάρτηση
 Ποικιλία Σιμούρα
 Κυκλοτομικό σώμα
 Τετραγωνικό σώμα
 Ελλειπτική συνάρτηση
 Πίνακας (μαθηματικά)
 Λέοπολντ Κρόνεκερ 
 Χώρος Χίλμπερτ
 Ντάβιντ Χίλμπερτ
 Ευκλείδειος χώρος
 Ρητός αριθμός
 Σώμα (άλγεβρα)

 Βιβλιογραφία









 Παραπομπές 

 Πηγές 

Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Εικασίες
Κατηγορία:Προβλήματα του Χίλμπερτ
Κατηγορία:Ιστορία των Μαθηματικών
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά
Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία