Σοσίτσι Κομπαγιάσι

Ο Σοσίτσι Κομπαγιάσι (ιαπωνικά:小林 昭七, Kobayashi Shōshichi, 4 Ιανουαρίου 1932 - 29 Αυγούστου 2012) ήταν Ιάπωνας μαθηματικός. Ήταν ο μεγαλύτερος αδελφός του ηλεκτρολόγου μηχανικού και επιστήμονα υπολογιστών Χισάσι Κομπαγιάσι. Τα ερευνητικά του ενδιαφέροντα αφορούσαν τις Ριμανιανές και μιγαδικές πολλαπλότητες, τις ομάδες μετασχηματισμού γεωμετρικών δομών και τις άλγεβρες Λι.

Βιογραφία
Ο Κομπαγιάσι αποφοίτησε από το Πανεπιστήμιο του Τόκιο το 1953. Το 1956 έλαβε διδακτορική διατριβή από το Πανεπιστήμιο της Ουάσινγκτον με καθηγητή τον Καρλ Μπ. Αλλεντόφερ. Η διατριβή του είχε τίτλο Theory of Connections[3]. Στη συνέχεια πέρασε δύο χρόνια στο Ινστιτούτο Προηγμένων Μελετών και δύο χρόνια στο ΜΙΤ. Το 1962 εντάχθηκε στη σχολή του Πανεπιστημίου της Καλιφόρνιας στο Μπέρκλεϋ ως βοηθός καθηγητή, του απονεμήθηκε η μονιμότητα το επόμενο έτος και προήχθη σε τακτικό καθηγητή το 1966.

Ο Κομπαγιάσι διετέλεσε πρόεδρος του Τμήματος Μαθηματικών του Μπέρκλεϋ για μια τριετή θητεία από το 1978 έως το 1981 και για το χειμερινό εξάμηνο του 1992. Επέλεξε την πρόωρη συνταξιοδότηση στο πλαίσιο του προγράμματος VERIP το 1994.

Το δίτομο βιβλίο Foundations of Differential Geometry (Θεμέλια της Διαφορικής Γεωμετρίας), το οποίο συνέγραψε με τον Κατσούμι Νομίζου, έγινε γνωστό για την μεγάλη επιρροή του. Το 1970 ήταν προσκεκλημένος ομιλητής για το τμήμα γεωμετρίας και τοπολογίας στο Διεθνές Συνέδριο Μαθηματικών στη Νίκαια.

Τεχνικές συνεισφορές

Η πρώτη εργασία του Κομπαγιάσι ασχολήθηκε με τη γεωμετρία των συνδέσεων σε κύριες δέσμες. Πολλά από αυτά τα αποτελέσματα, μαζί με άλλα, απορροφήθηκαν αργότερα στα Θεμέλια της Διαφορικής Γεωμετρίας.

Ως συνέπεια των εξισώσεων Γκάους-Κοντάτσι και των τύπων αντιμετάθεσης για τις συνδιαλλακτικές παραγώγους, ο Τζέιμς Σάιμονς ανακάλυψε έναν τύπο για τη λαπλασιανή της δεύτερης θεμελιώδους μορφής μιας υποπολλαπλότητας  σε μια πολλαπλότητας ΡίμανJames Simons. Minimal varieties in Riemannian manifolds. Ann. of Math. (2) 88 (1968), 62–105.. Αυτός ο «τύπος του Σίμονς» απλοποιείται σημαντικά όταν η μέση καμπυλότητα της υποπολλαπλότητας είναι μηδέν και όταν η πολλαπλότητα του Ρίμαν έχει σταθερή καμπυλότητα. Σε αυτό το περιβάλλον, οι Σίινγκ-Σεν Τσερν, Μανφρέντο ντο Κάρμο και Κομπαγιάσι μελέτησαν την αλγεβρική δομή των όρων μηδενικής τάξης, δείχνοντας ότι είναι μη αρνητικοί υπό την προϋπόθεση ότι η νόρμα της δεύτερης θεμελιώδους μορφής είναι αρκετά μικρή.

Κατά συνέπεια, η περίπτωση στην οποία η νόρμα της δεύτερης θεμελιώδους μορφής είναι διαρκώς ίση με την τιμή κατωφλίου μπορεί να αναλυθεί πλήρως, με το κλειδί να είναι ότι όλες οι ανισότητες πινάκων που χρησιμοποιούνται για τον έλεγχο των όρων μηδενικής τάξης γίνονται ισότητες. Ως εκ τούτου, σε αυτή τη ρύθμιση, η δεύτερη θεμελιώδης μορφή προσδιορίζεται μοναδικά. Καθώς οι υποπολλαπλότητες των μορφών του χώρου χαρακτηρίζονται τοπικά από την πρώτη και τη δεύτερη θεμελιώδη μορφή τους, αυτό οδηγεί σε έναν πλήρη χαρακτηρισμό των ελάχιστων υποπολλαπλότητες της στρογγυλής σφαίρας των οποίων η δεύτερη θεμελιώδης μορφή είναι σταθερή και ίση με την τιμή κατωφλίου. Το αποτέλεσμα των Τσερν, ντο Κάρμο και Κομπαγιάσι βελτιώθηκε αργότερα από τους Αν-Μιν Λι και Τζιμίν Λι, κάνοντας χρήση των ίδιων μεθόδωνLi An-Min and Li Jimin. An intrinsic rigidity theorem for minimal submanifolds in a sphere. Arch. Math. (Basel) 58 (1992), no. 6, 582–594..

Σε μια πολλαπλότητα Κέλερ, είναι φυσικό να εξετάσουμε τον περιορισμό της τομής της καμπυλότητας στα δισδιάστατα επίπεδα που είναι ολομορφικά, δηλαδή που είναι αναλλοίωτα κάτω από την σχεδόν σύνθετη δομή. Αυτή ονομάζεται ολομορφική τομή καμπυλότητας. Οι Σάμουελ Γκόλντμπεργκ και Κομπαγιάσι εισήγαγαν μια επέκταση αυτής της ποσότητας, που ονομάζεται ολόμορφη διχοτομική καμπυλότητα- η είσοδός της είναι ένα ζεύγος ολόμορφων δισδιάστατων επιπέδων. Οι Γκόλντμπεργκ και Κομπαγιάσι έθεσαν τα διαφορικο-γεωμετρικά θεμέλια αυτού του αντικειμένου, πραγματοποιώντας πολλές αναλογίες με την τομή καμπυλότητας. Ειδικότερα, διαπίστωσαν, με την τεχνική Μπόχνερ, ότι ο δεύτερος αριθμός Μπέτι μιας συνδεδεμένης κλειστής πολλαπλότητας πρέπει να είναι ίσος με ένα αν υπάρχει μια μετρική Κέλερ της οποίας η ολομορφική διχοτομική καμπυλότητα είναι θετική. Αργότερα, οι Κομπαγιάσι και Τακούσιρο Οτσάι απέδειξαν ορισμένα θεωρήματα ακαμψίας για τις πολλαπλότητες Κέλερ. Συγκεκριμένα, αν η  είναι μια κλειστή πολλαπλότητα Κέλερ και υπάρχει  στην  τέτοια ώστε 

τότε ο  πρέπει να είναι διχολομορφικός στον μιγαδικό προβολικό χώρο. Αυτό, σε συνδυασμό με το αποτέλεσμα Γκόλντμπεργκ - Κομπαγιάσι, αποτελεί το τελικό μέρος της απόδειξης των Γιουμ-Τονγκ Σιού και Σινγκ-Τουνγκ Γιάου για την εικασία του ΦράνκελYum Tong Siu and Shing Tung Yau. Compact Kähler manifolds of positive bisectional curvature. Invent. Math. 59 (1980), no. 2, 189–204.. Οι Κομπαγιάσι και Οτσάι χαρακτήρισαν επίσης την κατάσταση  ως το ότι το  είναι διχομορφικό σε μια τετραγωνική υπερεπιφάνεια του μιγαδικού προβολικού χώρου.

Επίσης, αξιοσημείωτο είναι το γεγονός ότι ο Κομπαγιάσι απέδειξε ότι μια μετρική Ερμιτιανού-Αϊνστάιν σε μια ολόμορφη διανυσματική δέσμη πάνω από μια συμπαγή πολλαπλότητα Κέλερ έχει βαθιές αλγεβρο-γεωμετρικές επιπτώσεις, καθώς συνεπάγεται ημιστοιχεία και αποσυνδεσιμότητα ως άμεσο άθροισμα σταθερών δεσμίδων. Αυτό καθορίζει μια κατεύθυνση της αντιστοιχίας Κομπαγιάσι-Χίτσιν. Οι Κάρεν Ούλενμπεκ και Γιάου απέδειξαν το αντίστροφο αποτέλεσμα, ακολουθώντας γνωστά επιμέρους αποτελέσματα του Σάιμον Ντόναλντσον.

Στη δεκαετία του 1960, ο Κομπαγιάσι εισήγαγε αυτό που σήμερα είναι γνωστό ως μετρική Κομπαγιάσι. Αυτή συνδέει μια ψευδομετρική με οποιαδήποτε μιγαδική πολλαπλότητα, με ολομορφικά αναλλοίωτο τρόπο. Αυτό θέτει τη σημαντική έννοια της υπερβολικότητας Κομπαγιάσι, η οποία ορίζεται από τη συνθήκη ότι η μετρική Κομπαγιάσι είναι μια γνήσια μετρική (και όχι μόνο μια ψευδομετρική). Με αυτές τις έννοιες, ο Κομπαγιάσι μπόρεσε να καθιερώσει μια υψηλότερης διάστασης εκδοχή του λήμματος Αλφφόρς-Σβάρτζ από τη μιγαδική ανάλυση.

Σημαντικές δημοσιεύσεις
Άρθρα
Kobayashi, Shoshichi (1959). "Geometry of bounded domains". Transactions of the American Mathematical Society. 92 (2): 267–290. doi:10.1090/S0002-9947-1959-0112162-5. MR 0112162. Zbl 0136.07102.
Goldberg, Samuel I.; Kobayashi, Shoshichi (1967). "Holomorphic bisectional curvature". Journal of Differential Geometry. 1 (3–4): 225–233. doi:10.4310/jdg/1214428090. MR 0227901. Zbl 0169.53202.
Chern, S. S.; do Carmo, M.; Kobayashi, S. (1970). "Functional Analysis and Related Fields". In Browder, Felix E. (ed.). Functional Analysis and Related Fields. Conference in honor of Professor Marshall Stone, held at the University of Chicago (May 1968). New York: Springer. pp. 59–75. doi:10.1007/978-3-642-48272-4_2. ISBN 978-3-642-48274-8. MR 0273546. Zbl 0216.44001.
Kobayashi, Shoshichi; Ochiai, Takushiro (1973). "Characterizations of complex projective spaces and hyperquadrics". Journal of Mathematics of Kyoto University. 13 (1): 31–47. doi:10.1215/kjm/1250523432. MR 0316745. Zbl 0261.32013.
Kobayashi, Shoshichi (1976). "Intrinsic distances, measures and geometric function theory" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 82 (3): 357–416. doi:10.1090/S0002-9904-1976-14018-9. MR 0414940. Zbl 0346.32031.

Βιβλία

Ο Κομπαγιάσι ήταν επίσης συγγραφέας πολλών εγχειριδίων, τα οποία (από το 2022) έχουν εκδοθεί μόνο στα ιαπωνικά.Βιβλία με συγγραφέα τον Σοσίτσι Κομπαγιάσι

 Δείτε επίσης 
 Σίινγκ-Σεν Τσερν
 Πολλαπλότητα
 Αλγεβρική δομή 
 Μιγαδική ανάλυση
 Πίνακας (μαθηματικά)
 Διαφορική γεωμετρία
 Τοπολογία

 Βιβλιογραφία






 Παραπομπές 



 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 Shoshichi Kobayashi – In Memoriam
 Publications of Shoshichi Kobayashi
 Shoshichi Kobayashi Department of Mathematics UC Berkeley


Κατηγορία:Απόφοιτοι του Πανεπιστημίου του Τόκιο
Κατηγορία:Ιάπωνες μαθηματικοί
Κατηγορία:Μαθηματικοί του 20ού αιώνα
Κατηγορία:Μαθηματικοί του 21ου αιώνα