Τοπολογία Étale

Στην αλγεβρική γεωμετρία, η τοπολογία Étale είναι μια τοπολογία Γκρότεντικ στην κατηγορία των σχημάτων, η οποία έχει ιδιότητες παρόμοιες με την ευκλείδεια τοπολογία, αλλά σε αντίθεση με την ευκλείδεια τοπολογία, ορίζεται επίσης σε θετική χαρακτηριστική. Η étaleη λέξη «étale» είναι επίθετο (στα γαλλικά) και αναφέρεται στη θάλασσα όταν αυτή είναι ήρεμη μεταξύ των δύο σταδίων του φαινομένου της παλίρροιας (πλημμυρίδας και άμπωτης). Η ελληνική λέξη γι' αυτό το φαινόμενο είναι παλιρροιοστάσιο, ωστόσο δεν υπάρχει κάποιο επίθετο στα ελληνικά που να χαρακτηρίζει κατά αντίστοιχο τρόπο τη θάλασσα, έτσι χρησιμοποιούμε τη γαλλική λέξη αυτούσια ως επιθετικό προσδιορισμό.  τοπολογία εισήχθη αρχικά από τον Αλεξάντερ Γκρότεντικ για να ορίσει την étale συνομολογία, και αυτή εξακολουθεί να είναι η πιο γνωστή χρήση της étale τοπολογίας.

 Ορισμός 
Για κάθε σχήμα X, έστω Ét(X) η κατηγορία όλων των étale μορφισμών από ένα σχήμα στο X.  Πρόκειται για το ανάλογο της κατηγορίας των ανοικτών υποσυνόλων του X (δηλαδή της κατηγορίας της οποίας τα αντικείμενα είναι ποικιλίες και οι μορφισμοί της είναι ανοικτές εμβαπτίσεις).  Τα αντικείμενά της μπορούν άτυπα να θεωρηθούν ως étale ανοικτά υποσύνολα της X.  Η τομή δύο αντικειμένων αντιστοιχεί στο γινόμενο των ινών τους επί της X.  Η Ét(X) είναι μια μεγάλη κατηγορία, που σημαίνει ότι τα αντικείμενά της δεν αποτελούν σύνολο.

Ένα étale presheaf στο X είναι ένας αντεστραμμένος συναρτησιακός συναρτητής από το Ét(X) στην κατηγορία των συνόλων. Ένα presheaf F καλείται étale δεμάτιο (sheaf) αν ικανοποιεί την ανάλογη της συνήθους συνθήκης συγκόλλησης για δεμάτια σε τοπολογικούς χώρους. Δηλαδή, η F είναι étale δεμάτιο αν και μόνο αν ισχύει η ακόλουθη συνθήκη. Ας υποθέσουμε ότι το  είναι ένα αντικείμενο του Ét(X) και ότι το  είναι μια από κοινού υποχωρητική οικογένεια étale μορφισμών πάνω στο X. Για κάθε i, επιλέξτε ένα τμήμα xi της F πάνω στο Ui. Ο χάρτης προβολής , ο οποίος είναι χαλαρά μιλώντας η συμπερίληψη της τομής των Ui και Uj στο Ui, επάγει έναν χάρτη περιορισμού . Αν για όλα τα i και j οι περιορισμοί των xi και xj στο  είναι ίσοι, τότε πρέπει να υπάρχει ένα μοναδικό τμήμα x της F πάνω στο U που να περιορίζεται στο xi  για όλα τα i.

Ας υποθέσουμε ότι το X είναι ένα Ναιτεριανό σχήμα.  Μια αβελιανή étale sheaf F στο X ονομάζεται πεπερασμένη τοπικά σταθερή αν είναι ένας αναπαραστάσιμος συναρτητής που μπορεί να αναπαρασταθεί από ένα étale κάλυμμα του X. Ονομάζεται κατασκευάσιμος αν το X μπορεί να καλυφθεί από μια πεπερασμένη οικογένεια υποσχημάτων σε καθένα από τα οποία ο περιορισμός του F είναι πεπερασμένα τοπικά σταθερός. Ονομάζεται στρεπτική αν η F(U) είναι ομάδα στρέψης για όλα τα étale καλύμματα U της X. Τα πεπερασμένα τοπικά σταθερά δεμάτια είναι κατασκευάσιμα και τα κατασκευάσιμα δεμάτια είναι στρέψη. Κάθε στρεπτικό δεμάτιο είναι ένα φιλτραρισμένο επαγωγικό όριο κατασκευάσιμων δεματίων.

Ο Γκρότεντικ εισήγαγε αρχικά τον μηχανισμό των τοπολογιών και των τόπων του Γκρότεντιεκ για να ορίσει την τοπολογία étale. Σε αυτή τη γλώσσα, ο ορισμός της étale τοπολογίας είναι συνοπτικός αλλά αφηρημένος: Είναι η τοπολογία που παράγεται από την προ-τοπολογία, της οποίας οι οικογένειες κάλυψης είναι από κοινού επιρριπτικές οικογένειες étale μορφισμών. Ο μικρός étale τόπος του X είναι η κατηγορία O(Xét) της οποίας τα αντικείμενα είναι σχήματα U με σταθερό étale μορφισμό U → X. Οι μορφισμοί είναι μορφισμοί σχημάτων συμβατών με τους σταθερούς χάρτες προς τον U. Ο μεγάλος étale τόπος του''' X είναι η κατηγορία Ét/X, δηλαδή η κατηγορία των σχημάτων με σταθερό χάρτη προς τον X, εξεταζόμενη με την étale τοπολογία.

Η τοπολογία étale μπορεί να οριστεί χρησιμοποιώντας ελαφρώς λιγότερα δεδομένα. Πρώτον, ας σημειωθεί ότι η τοπολογία étale είναι λεπτότερη από την τοπολογία Ζαρίσκι. Κατά συνέπεια, για να ορίσουμε ένα étale κάλυμμα ενός σχήματος X, αρκεί πρώτα να καλύψουμε το X με ανοικτά αφινικά υποσχήματα, δηλαδή να πάρουμε ένα κάλυμμα Ζαρίσκι, και στη συνέχεια να ορίσουμε ένα étale κάλυμμα ενός αφινικού σχήματος. Μια étale κάλυψη ενός αφινικού σχήματος X μπορεί να οριστεί ως μια από κοινού υποτακτική οικογένεια {uα : Xα → X} τέτοια ώστε το σύνολο όλων των α να είναι πεπερασμένο, κάθε Xα να είναι αφινικό και κάθε uα να είναι étale. Τότε ένα étale κάλυμμα του X είναι μια οικογένεια {uα : Xα → X} η οποία γίνεται ένα étale κάλυμμα μετά από αλλαγή βάσης σε οποιοδήποτε ανοικτό αφινικό υποσύστημα του X.

Τοπικοί δακτύλιοι
Έστω X ένα σχήμα με την étale τοπολογία του, και ορίζουμε ένα σημείο x του X. Στην τοπολογία Ζαρίσκι, ο στέλεχος του X στο x υπολογίζεται παίρνοντας ένα άμεσο όριο των τμημάτων της δομής sheaf πάνω σε όλες τις ανοικτές γειτονιές Ζαρίσκι του x. Στην étale τοπολογία, υπάρχουν αυστηρά περισσότερες ανοικτές γειτονιές του x, οπότε το σωστό ανάλογο του τοπικού δακτυλίου στο x σχηματίζεται παίρνοντας το όριο πάνω σε μια αυστηρά μεγαλύτερη οικογένεια. Το σωστό ανάλογο του τοπικού δακτυλίου στο x για την étale τοπολογία αποδεικνύεται ότι είναι η αυστηρή χενσελοποίηση του τοπικού δακτυλίου . Συνήθως συμβολίζεται ως .

Δείτε επίσης

 Field Arithmetic
 Θεώρημα δείκτη Ατίγια-Σίνγκερ
Τοπολογία
 Γένος (μαθηματικά)
 Ελλειπτική συνάρτηση Βάιερστρας
 Τοπολογία Ζαρίσκι
 Θεμελιώδης ομάδα Étale

Εξωτερικοί σύνδεσμοι  

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Andreas Gathmann - Algebraic Geometry (SS 2014)
 Algebraic Geometry II: Cohomology of Schemes: With Examples and Exercises
 An Introduction to Intersection Homology Theory, Second Edition
 Etale Cohomology (PMS-33)
  Real and Etale Cohomology
 p-Adic Automorphic Forms on Shimura Varieties

Δημοσιεύσεις 
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 20. doi:10.1007/bf02684747. MR 0173675.
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 32. doi:10.1007/bf02732123. MR 0238860.

J. S. Milne (2008). Lectures on Étale Cohomology''

Παραπομπές



Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Μαθηματικές συναρτήσεις
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα