Πίνακας Γκραμ

Στη γραμμική άλγεβρα, ο πίνακας Γκραμ (ή Γκραμιανός πίνακας, Γκραμιανός) ενός συνόλου διανυσμάτων  σε ένα χώρο εσωτερικών γινομένων είναι ο ερμιτιανός πίνακας εσωτερικών γινομένων, του οποίου οι εγγραφές δίνονται από το εσωτερικό γινόμενο ., p.441, Theorem 7.2.10. Αν τα διανύσματα  είναι οι στήλες του πίνακα  τότε ο πίνακας Γκραμ είναι  στη γενική περίπτωση που οι διανυσματικές συντεταγμένες είναι μιγαδικοί αριθμοί, ο οποίος απλοποιείται σε  για την περίπτωση που οι διανυσματικές συντεταγμένες είναι πραγματικοί αριθμοί.

Μια σημαντική εφαρμογή είναι ο υπολογισμός της γραμμικής ανεξαρτησίας: ένα σύνολο διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητα εάν και μόνο εάν η ορίζουσα Γκραμ (η ορίζουσα του πίνακα Γκραμ) είναι είναι διάφορη του μηδενός.

 Παραδείγματα 
Για πεπερασμένων διαστάσεων πραγματικά διανύσματα στο  με το συνηθισμένο ευκλείδειο τετραγωνικό γινόμενο, ο πίνακας Γκραμ είναι , όπου  είναι ένας πίνακας του οποίου οι στήλες είναι τα διανύσματα  και  είναι η αντιστροφή του, της οποίας οι γραμμές είναι τα διανύσματα . Για μιγαδικά διανύσματα στο , , όπου  είναι η συζυγής μεταφορά του .

Με δεδομένες τετραγωνικά ολοκληρώσιμες συναρτήσεις  στο διάστημα , ο πίνακας Γκραμ  είναι:


όπου  είναι η μιγαδικός συζυγής του .

Για οποιαδήποτε διγραμμική μορφή  σε έναν πεπερασμένης διάστασης διανυσματικό χώρο πάνω από οποιοδήποτε σώμα μπορούμε να ορίσουμε έναν πίνακα Γκραμ  που συνδέεται με ένα σύνολο διανυσμάτων  με τη σχέση . Ο πίνακας θα είναι συμμετρικός αν η διγραμμική μορφή  είναι συμμετρική.

 Εφαρμογές 
 Στη γεωμετρία του Ρίμαν, δεδομένης μιας ενσωματωμένης -διάστατης πολλαπλότητας του Ρίμαν  και μιας παραμετροποίησης  για  η μορφή όγκου  στην  που επάγεται από την ενσωμάτωση μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας την Γκραμιανή των εφαπτομενικών διανυσμάτων των συντεταγμένων:



Αυτό γενικεύει το κλασικό επιφανειακό ολοκλήρωμα μιας παραμετροποιημένης επιφάνειας  for 

 Αν τα διανύσματα είναι κεντραρισμένες τυχαίες μεταβλητές, η Γκραμιανή είναι περίπου ανάλογη του πίνακα συνδιακύμανσης, με την κλιμάκωση να καθορίζεται από τον αριθμό των στοιχείων του διανύσματος.
 Στην κβαντική χημεία, ο πίνακας Γκραμ ενός συνόλου διανυσμάτων βάσης είναι ο πίνακας επικάλυψης.
 Στη θεωρία ελέγχου (ή γενικότερα στη θεωρία συστημάτων), η Γκράμιαν της δυνατότητας ελέγχου και η Γκράμιαν της δυνατότητας παρατήρησης καθορίζουν τις ιδιότητες ενός γραμμικού συστήματος.
 Οι πίνακες Γκραμ προκύπτουν στην προσαρμογή μοντέλων δομής συνδιακύμανσης (βλέπε π.χ. Τζαμσίντιαν και Μπέντλερ, 1993, Εφαρμοσμένη Ψυχολογική Μέτρηση, τόμος 18, σελ. 79-94).
 Στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων, ο πίνακας Γκραμ προκύπτει από την προσέγγιση μιας συνάρτησης από έναν πεπερασμένης διάστασης χώρο- οι καταχωρήσεις του πίνακα Γκραμ είναι τότε τα εσωτερικά γινόμενα των συναρτήσεων βάσης του πεπερασμένης διάστασης υποχώρου.
 Στη μηχανική μάθηση, οι συναρτήσεις πυρήνα συχνά αναπαρίστανται ως πίνακες Γκραμ (βλέπε επίσης Κερνέλ PCA).
 Επειδή ο πίνακας Γκραμ πάνω στους πραγματικούς είναι συμμετρικός πίνακας, είναι διαγωνοποιήσιμος και οι ιδιοτιμές του είναι μη αρνητικές. Η διαγωνοποίηση του πίνακα Γκραμ είναι η Ανάλυση πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές.

 Θετικός-θετικός ημιτελής 
Ο πίνακας Γκραμ είναι συμμετρικός στην περίπτωση που το πραγματικό γινόμενο είναι πραγματικής αξίας- είναι ερμιτιανός στη γενική, μιγαδική περίπτωση λόγω του ορισμού του εσωτερικού γινομένου.

Ο πίνακας Γκραμ είναι θετικός ημιτελής και κάθε θετικός ημιτελής πίνακας είναι ο πίνακας Γκραμ για κάποιο σύνολο διανυσμάτων. Το γεγονός ότι ο πίνακας Γκραμ είναι θετικός ημιτελής μπορεί να φανεί από την ακόλουθη απλή παραγώγιση:



Η πρώτη ισότητα προκύπτει από τον ορισμό του πολλαπλασιασμού πινάκων, η δεύτερη και η τρίτη από τη διγραμμικότητα του εσωτερικού γινομένου και η τελευταία από τη θετική οριστικότητα του εσωτερικού γινομένου.
Ας σημειωθεί ότι αυτό δείχνει επίσης ότι ο πίνακας Γκραμ είναι θετικά ορισμένος αν και μόνο αν τα διανύσματα  είναι γραμμικά ανεξάρτητα (δηλαδή,  για όλα τα ).

 Εύρεση μιας διανυσματικής υλοποίησης 
Δεδομένου οποιουδήποτε θετικού ημιπεριορισμένου πίνακα , μπορεί κανείς να τον αναλύσει ως εξής:
 ,

όπου  είναι η συζυγής μεταφορά του  (ή  στην πραγματική περίπτωση).

Εδώ ο  είναι ένας  πίνακας, όπου  είναι η τάξη του . Διάφοροι τρόποι για να ληφθεί μια τέτοια ανάλυση περιλαμβάνουν τον υπολογισμό της αποσύνθεσης Τσολέσκι ή τη λήψη της μη αρνητικής τετραγωνικής ρίζας του .

Οι στήλες  του  μπορούν να θεωρηθούν ως n διανύσματα στο  (ή στον k -διάστατο Ευκλείδειο χώρο , στην πραγματική περίπτωση). Τότε



όπου το εσωτερικό γινόμενο  είναι το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο στο .

Έτσι, ένας ερμιτιανός πίνακας  είναι θετικός ημιτελής αν και μόνο αν είναι ο πίνακας Γκραμ κάποιων διανυσμάτων . Τέτοια διανύσματα ονομάζονται διανυσματική υλοποίηση του  Το απειροδιάστατο ανάλογο αυτής της δήλωσης είναι το θεώρημα του Μερσέρ.

 Μοναδικότητα των διανυσματικών υλοποιήσεων 
Αν  είναι ο πίνακας Γκραμ των διανυσμάτων  στο  τότε η εφαρμογή οποιασδήποτε περιστροφής ή ανάκλασης του  (οποιοσδήποτε ορθογώνιος μετασχηματισμός, δηλαδή οποιαδήποτε ευκλείδεια ισομετρία που διατηρεί το 0) στην ακολουθία των διανυσμάτων οδηγεί στον ίδιο πίνακα Γκραμ. Δηλαδή, για κάθε  ορθογώνιο πίνακα , ο πίνακας Γκραμ του  είναι επίσης }

Αυτός είναι ο μόνος τρόπος με τον οποίο δύο πραγματικές διανυσματικές υλοποιήσεις του  μπορούν να διαφέρουν: τα διανύσματα  είναι μοναδικά μέχρι ορθογώνιους μετασχηματισμούς. Με άλλα λόγια, τα τετραγωνικά γινόμενα  και  είναι ίσα αν και μόνο αν κάποιος άκαμπτος μετασχηματισμός του  μετασχηματίζει τα διανύσματα  σε  και 0 σε 0.

Το ίδιο ισχύει και στην περίπτωση των μιγαδικών, με μοναδιαίους μετασχηματισμούς στη θέση των ορθογώνιων.
Δηλαδή, αν ο πίνακας Γκραμ των διανυσμάτων  είναι ίσος με τον πίνακα Γκραμ των διανυσμάτων  στο  τότε υπάρχει ένας μοναδιαίος  πίνακας  (δηλαδή ) τέτοιος ώστε  για ., p. 452, Theorem 7.3.11

 Άλλες ιδιότητες 
 Επειδή , είναι απαραίτητο να ισχύει ότι  και  αντιμετατίθενται. Δηλαδή, ένας πραγματικός ή μιγαδικός πίνακας Γκραμ  είναι επίσης ένας κανονικός πίνακας.
 Ο πίνακας Γκραμ οποιασδήποτε ορθοκανονικής βάσης είναι ο πίνακας ταυτότητας. Ισοδύναμα, ο πίνακας Gram των γραμμών ή των στηλών ενός πραγματικού πίνακα περιστροφής είναι ο πίνακας ταυτότητας. Ομοίως, ο πίνακας Γκραμ των γραμμών ή των στηλών ενός μοναδιαίου πίνακα είναι ο πίνακας ταυτότητας.
 Ο βαθμός του πίνακα Γκραμ των διανυσμάτων στο  ή  ισούται με τη διάσταση του χώρου που καλύπτουν τα διανύσματα αυτά.

 Ορίζουσα Γκραμ 
H Ορίζουσα Γκραμ ή Γκραμιανή είναι η ορίζουσα του πίνακα Γκραμ:

Αν  είναι διανύσματα στο  τότε είναι το τετράγωνο του n-διάστατου όγκου του παραλληλότοπου που σχηματίζεται από τα διανύσματα. Ειδικότερα, τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα αν και μόνο αν ο παραλληλότοπος έχει μη μηδενικό n-διάστατο όγκο, αν και μόνο αν η ορίζουσα Γκραμ είναι μη μηδενική, αν και μόνο αν ο πίνακας Γκραμ είναι μη-σημαδιακός. Όταν {{nowrap|n''' > m}} η ορίζουσα και ο όγκος είναι μηδέν. Όταν , αυτό ανάγεται στο τυπικό θεώρημα ότι η απόλυτη τιμή της ορίζουσας n n διαστάσεων διανυσμάτων είναι ο n'' διαστάσεων όγκος. Η ορίζουσα Γκραμ είναι επίσης χρήσιμος για τον υπολογισμό του όγκου του simplex (απλού) σχήματος που σχηματίζεται από τα διανύσματα- ο όγκος του είναι }.

Η ορίζουσα Γκραμ μπορεί επίσης να εκφραστεί ως προς το εξωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων ως εξής

Όταν τα διανύσματα  ορίζονται από τις θέσεις των σημείων  σε σχέση με κάποιο σημείο αναφοράς ,

τότε η ορίζουσα Γκραμ μπορεί να γραφεί ως η διαφορά δύο ορίζουσες Γκραμ,

όπου κάθε  είναι το αντίστοιχο σημείο  συμπληρωμένο με την τιμή της συντεταγμένης 1 για μια διάσταση -st. Ας σημειωθεί ότι στην κοινή περίπτωση που , ο δεύτερος όρος στη δεξιά πλευρά θα είναι μηδέν.

 Κατασκευή ορθοκανονικής βάσης 

Δεδομένου ενός συνόλου γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων  με τον πίνακα Γκραμ  που ορίζεται από τη σχέση , μπορεί κανείς να κατασκευάσει μια ορθοκανονική βάση

Σε συμβολισμό πινάκων, , όπου το  έχει ορθοκανονικά διανύσματα βάσης  και ο πίνακας  αποτελείται από τα συγκεκριμένα διανύσματα στήλης .

Ο πίνακας  είναι εγγυημένα υπαρκτός. Πράγματι, ο  είναι Ερμιτιανός και έτσι μπορεί να αναλυθεί ως  με  έναν μοναδιαίο πίνακα και  έναν πραγματικό διαγώνιο πίνακα. Επιπλέον, οι  είναι γραμμικά ανεξάρτητοι αν και μόνο αν ο  είναι θετικά ορισμένος, πράγμα που σημαίνει ότι οι διαγώνιες εγγραφές του  είναι θετικές. Επομένως, η  ορίζεται μοναδικά από τη σχέση . Μπορεί κανείς να ελέγξει ότι αυτά τα νέα διανύσματα είναι ορθοκανονικά:

όπου χρησιμοποιείται .

 Δείτε επίσης 

 Field Arithmetic
 Θεώρημα δείκτη Ατίγια-Σίνγκερ
 Ερμιτιανός πίνακας
 Ακέραια περιοχή
 Ορίζουσα
 Αλεξάντερ Γκρότεντικ

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 

 English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Matrix Analysis
 Elementary Matrix Theory
 Applied Linear Algebra
 Discrete Subgroups of Semisimple Lie Groups, Τόμος 17
 Advanced Mathematical And Computational Tools In Metrology And Testing Ix
 Linear Algebra and Geometry
 Geophysical Inverse Theory
 Introduction to Applied Linear Algebra: Vectors, Matrices, and Least Squares

 Δημοσιεύσεις 






 Παραπομπές 

Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία
Κατηγορία:Συστημική θεωρία
Κατηγορία:Ορίζουσες