Πίνακας Γουίλσον

Ο πίνακας Γουίλσον είναι ο ακόλουθος πίνακας  που έχει ως στοιχεία ακέραιους αριθμούς: (An eprint of the paper is available here)

Αυτός είναι ο πίνακας συντελεστών του ακόλουθου συστήματος γραμμικών εξισώσεων που εξετάστηκε σε μια εργασία του J. Μόρις που δημοσιεύθηκε το 1946:

Ο Μόρις αποδίδει την πηγή του συνόλου των εξισώσεων σε κάποιον Τ. Σ.  Γουίλσον, αλλά δεν παρέχονται λεπτομέρειες σχετικά με τον Γουίλσον. Το συγκεκριμένο σύστημα εξισώσεων χρησιμοποιήθηκε από τον Μόρις για να απεικονίσει την έννοια του κακώς εξαρτημένου συστήματος εξισώσεων. Ο πίνακας  έχει χρησιμοποιηθεί ως παράδειγμα και για δοκιμαστικούς σκοπούς σε πολλές ερευνητικές εργασίες και βιβλία με την πάροδο των ετών. Ο Τζον Τοντ έχει αναφερθεί στον  ως «ο περιβόητος πίνακας W του Τ. Σ. Γουίλσον».

Ιδιότητες
 είναι ένας συμμετρικός πίνακας.
 είναι θετικά ορισμένος.
Ο Αντιστρέψιμος πίνακας του  είναι 
Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του  είναι .
Οι ιδιοτιμές του  είναι .
Αφού το  είναι συμμετρικό, ο αριθμός συνθήκης 2-norm του  είναι .
Η λύση του συστήματος εξισώσεων  είναι .
Η παραγοντοποίηση Τσολέσκι του  είναι  όπου  .
Ο  έχει την παραγοντοποίηση  όπου .
Ο  έχει την παραγοντοποίηση  με  τον ακέραιο πίνακα  .

Ερευνητικά προβλήματα που δημιουργήθηκαν από τη μήτρα Γουίλσον

Η εξέταση του αριθμού κατάστασης του πίνακα Γουίλσον οδήγησε σε αρκετά ενδιαφέροντα ερευνητικά προβλήματα που αφορούν τους αριθμούς κατάστασης των πινάκων σε ορισμένες ειδικές κατηγορίες πινάκων που έχουν μερικά ή όλα τα ειδικά χαρακτηριστικά του πίνακα Γουίλσον. Συγκεκριμένα, έχουν μελετηθεί οι ακόλουθες ειδικές κατηγορίες πινάκων:

 το σύνολο των  μη συμμετρικών, συμμετρικών πινάκων με ακέραιες καταχωρήσεις μεταξύ 1 και 10.
 το σύνολο των  θετικά ορισμένων, συμμετρικών πινάκων με ακέραιες καταχωρήσεις μεταξύ 1 και 10.

Από τον αναλυτικό υπολογισμό των αριθμών κατάστασης των πινάκων στα παραπάνω σύνολα προέκυψαν τα ακόλουθα αποτελέσματα:

Μεταξύ των στοιχείων του , ο μέγιστος αριθμός συνθηκών είναι  και αυτό το μέγιστο επιτυγχάνεται από τον πίνακα .
Μεταξύ των στοιχείων του , ο μέγιστος αριθμός συνθηκών είναι  και αυτό το μέγιστο επιτυγχάνεται από τον πίνακα .

Δημοσιεύσεις 






 S. J. Julier and J. K. Uhlmann. "A General Method for Approximating Nonlinear Transformations of ProbabilityDistributions".
 S. J. Julier and J. K. Uhlmann, "A new extension of the Kalman filter to nonlinear systems ", in Proc. AeroSense: 11th Int. Symp. Aerospace/Defence Sensing, Simulation and Controls, 1997, pp. 182–193.


Δείτε επίσης

 Field Arithmetic
 Πραγματικό προβολικό επίπεδο
 Μιγαδικός αριθμός 
 Αντιερμιτιανός πίνακας
 Μέγιστος κοινός διαιρέτης
 Υπολογιστική βιολογία
 Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
 Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
 Συμμετρικός πίνακας
 Θεωρία σφαλμάτων
 Πολλαπλασιασμός πινάκων
 Επαναλαμβανόμενη συνάρτηση
 Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα
 Κανονική κατανομή
 Θεωρία πιθανοτήτων
 High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι  

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
Matrix calculator
 Matrix Analysis
 Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
 Exercises of Matrices and Linear Algebra
 Signal Processing for Intelligent Sensor Systems
 Quantum Probability and Spectral Analysis of Graphs.
 Symplectic Methods in Harmonic Analysis and in Mathematical Physics...
 Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups
 Vibrational Spectroscopy with Neutrons: With Applications in Chemistry ..
 Elementary Matrix Algebra..
 Linear Representations of Finite Groups

Παραπομπές







Κατηγορία:Αριθμητική γραμμική άλγεβρα 
Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα 
Κατηγορία:Θεωρήματα της γραμμικής άλγεβρας 
Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά) 
Κατηγορία:Αριθμητική ανάλυση