Πίνακες Γκελ-Μαν

Οι Πίνακες Γκελ-Μαν, οι οποίοι αναπτύχθηκαν από τον Μάρεϊ Γκελ-Μαν, είναι ένα σύνολο από οκτώ γραμμικά ανεξάρτητους 3×3 ερμιτιανούς πίνακες χωρίς ίχνη που χρησιμοποιούνται στη μελέτη της ισχυρής αλληλεπίδρασης στη σωματιδιακή φυσική. Καλύπτουν την άλγεβρα Λι της ομάδας SU(3) στην καθοριστική αναπαράσταση.

Πίνακες

{| border="0" cellpadding="8" cellspacing="0"
| 
| 
| 
|-
| 
| 
|
|-
| 
| 
|
|}

Ιδιότητες

Αυτοί οι πίνακες είναι χωρίς ίχνη, ερμιτιανοί και υπακούουν στη σχέση ορθοκανονικότητας του επιπλέον ίχνους, έτσι ώστε να μπορούν να παράγουν μοναδιαία στοιχεία της ομάδας πινάκων του SU(3) μέσω του εκθετικοποίησης.  Αυτές οι ιδιότητες επιλέχθηκαν από τον Γκελ-Μαν επειδή στη συνέχεια γενικεύουν με φυσικό τρόπο τους πίνακες Πάουλι για το SU(2) στο SU(3), οι οποίοι αποτέλεσαν τη βάση για το μοντέλο κουάρκ του Γκελ-Μαν. Η γενίκευση του Γκελ-Μαν επεκτείνεται περαιτέρω στο γενικό SU(n). Για τη σύνδεσή τους με την τυπική βάση των αλγεβρών Λι, δείτε τη βάση Γουέιλ-Καρτάν.

Ορθοκανονικότητα ίχνους

Στα μαθηματικά, η ορθοκανονικότητα συνήθως συνεπάγεται μια νόρμα που έχει τιμή μονάδας (1).  Οι πίνακες Γκελ-Μαν, ωστόσο, κανονικοποιούνται σε μια τιμή 2. Έτσι, ο ίχνος του κατά ζεύγη γινομένου οδηγεί στη συνθήκη ορθοκανονικοποίησης

όπου  είναι το δέλτα Κρόνεκερ.

Έτσι οι ενσωματωμένοι πίνακες Πάουλι που αντιστοιχούν στις τρεις ενσωματωμένες υποάλγεβρες της SU(2) είναι συμβατικά κανονικοποιημένοι. Σε αυτή την τρισδιάστατη αναπαράσταση πινάκων, η υποάλγεβρα Καρτάν είναι το σύνολο των γραμμικών συνδυασμών (με πραγματικούς συντελεστές) των δύο πινάκων  και , οι οποίοι αντιμετατίθενται μεταξύ τους.

Υπάρχουν τρεις σημαντικές υποάλγεβρες SU(2):

 και

όπου τα  και  είναι γραμμικοί συνδυασμοί των  και . Τα SU(2) Καζιμίρ αυτών των υποαλγεβρών ανταλλάσσονται αμοιβαία.

Ωστόσο, οποιοσδήποτε μοναδιαίος μετασχηματισμός ομοιότητας αυτών των υποαλγεβρών θα δώσει υποάλγεβρες SU(2). Υπάρχει αμέτρητος αριθμός τέτοιων μετασχηματισμών.

Σχέσεις αντιμετάθεσης
Οι 8 γεννήτριες της SU(3) ικανοποιούν τις σχέσεις μετάθεσης και αντιμετάθεσης 



με τις σταθερές δομής



Οι σταθερές δομής  είναι πλήρως αντισυμμετρικές στους τρεις δείκτες, γενικεύοντας την αντισυμμετρία του συμβόλου Λεβί-Σιβιτά  του {{math|SU(2)}}.  Για την παρούσα τάξη των πινάκων Γκελ-Μαν παίρνουν τις τιμές

Γενικά, αποτιμώνται σε μηδέν, εκτός αν περιέχουν περιττό αριθμό δεικτών από το σύνολο {2,5,7}, που αντιστοιχεί στα αντισυμμετρικά (φανταστικά) s.

Χρησιμοποιώντας αυτές τις σχέσεις αντιμετάθεσης, το γινόμενο των πινάκων Γκελ-Μαν μπορεί να γραφεί ως εξής



όπου  είναι ο Ταυτοτικός πίνακας.

Σχέσεις πληρότητας του Φιερζ
Δεδομένου ότι οι οκτώ πίνακες και η ταυτότητα είναι ένα πλήρες ιχνο-ορθογώνιο σύνολο που καλύπτει όλους τους πίνακες 3×3, είναι εύκολο να βρεθούν δύο σχέσεις πληρότητας Φιερζ ''', (Li & Cheng, 4.134), ανάλογες με αυτές που ικανοποιούνται από τους πίνακες Πάουλι. Συγκεκριμένα, χρησιμοποιώντας την τελεία για το άθροισμα επί των οκτώ πινάκων και χρησιμοποιώντας ελληνικούς δείκτες για τους δείκτες γραμμής/στήλης τους, ισχύουν οι ακόλουθες ταυτότητες,

και

Μπορεί κανείς να προτιμήσει την αναδιατυπωμένη εκδοχή, που προκύπτει από γραμμικό συνδυασμό των παραπάνω,

Θεωρία αναπαραστάσεων

Μια συγκεκριμένη επιλογή πινάκων ονομάζεται αναπαράσταση ομάδας, επειδή κάθε στοιχείο της SU(3) μπορεί να γραφεί στη μορφή  χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό Αϊνστάιν, όπου οι οκτώ  είναι πραγματικοί αριθμοί και υπονοείται ένα άθροισμα επί του δείκτη . Με δεδομένη μια αναπαράσταση, μια ισοδύναμη μπορεί να προκύψει με έναν αυθαίρετο μοναδιαίο μετασχηματισμό ομοιότητας, αφού αυτός αφήνει τον αντιμεταθέτη αμετάβλητο.

Οι πίνακες μπορούν να πραγματοποιηθούν ως αναπαράσταση των απειροελάχιστων γεννητριών της ειδικής μοναδιαίας ομάδας που ονομάζεται The_group_SU(3)|SU(3). Η άλγεβρα Λι αυτής της ομάδας (μια πραγματική άλγεβρα Λι στην ουσία) έχει διάσταση οκτώ και επομένως έχει κάποιο σύνολο με οκτώ γραμμικά ανεξάρτητες γεννήτορες, οι οποίες μπορούν να γραφούν ως , με το i να παίρνει τιμές από το 1 έως το 8.

Οι τελεστές Καζιμίρ και οι αναλλοίωτες

Το τετραγωνικό άθροισμα των πινάκων Γκελ-Μαν δίνει τον τετραγωνικό τελεστή Καζιμίρ, μια αναλλοίωτη της ομάδας, 

όπου είναι ταυτοτικός πίνακας 3×3. Υπάρχει επίσης ένας άλλος, ανεξάρτητος, κυβικός τελεστής Καζιμίρ.

Εφαρμογή στην κβαντική χρωμοδυναμική
Δείτε το άρθρο:  Κβαντική χρωμοδυναμική

Οι πίνακες αυτοί χρησιμεύουν για τη μελέτη των εσωτερικών (χρωματικών) περιστροφών των σωμάτων γλουονίου που σχετίζονται με τα έγχρωμα κουάρκ της κβαντικής χρωμοδυναμικής (βλ. χρώματα του γλουονίου). Η περιστροφή χρώματος του μετρητή είναι ένα στοιχείο της ομάδας SU(3) που εξαρτάται από το χωροχρόνο 

 όπου υπονοείται το άθροισμα επί των οκτώ δεικτών .

Δημοσιεύσεις 





 Bressoud, David M., Proofs and Confirmations: The Story of the Alternating Sign Matrix Conjecture, MAA Spectrum, Mathematical Associations of America, Washington, D.C., 1999.
 Bressoud, David M. and Propp, James, How the alternating sign matrix conjecture was solved, Notices of the American Mathematical Society, 46 (1999), 637–646.
 Mills, William H., Robbins, David P., and Rumsey, Howard Jr., Proof of the Macdonald conjecture, Inventiones Mathematicae'', 66 (1982), 73–87.






Δείτε επίσης

 Field Arithmetic
 Πραγματικό προβολικό επίπεδο
 Πραγματικός αριθμός 
 Αντιερμιτιανός πίνακας
 Δέλτα του Κρόνεκερ
 Ταυτοτικός πίνακας
 Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
 Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
 Πεπερασμένο σώμα
 Αντιμεταθέσιμοι πίνακες
 Πολλαπλασιασμός πινάκων
 Κβαντική χρωμοδυναμική
 High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι  

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
Matrix calculator
 Matrix Analysis
 Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
 Mathematical Methods For Physicists
 Basic Matrix Algebra with Algorithms and Applications
 An Introduction to Optimization: With Applications to Machine Learning
 Physics and Combinatorics 2000: Proceedings of the Nagoya 2000 International ...
 Designs and Their Codes
 Quantum Geometry, Matrix Theory, and Gravity
 Symmetries, Lie Algebras and Representations: A Graduate Course for Physicists

Παραπομπές







Κατηγορία:Αριθμητική γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)
Κατηγορία:Θεωρία πινάκων
Κατηγορία:Συνδυαστική
Κατηγορία:Ομάδες Λι