Πίνακας Συλβέστερ

Στα μαθηματικά, ένας πίνακας Συλβέστερ είναι ένας πίνακας που σχετίζεται με δύο μονομεταβλητά πολυώνυμα με συντελεστές σε ένα σώμα ή έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο. Οι καταχωρήσεις του πίνακα Συλβέστερ δύο πολυωνύμων είναι οι συντελεστές των πολυωνύμων. Η ορίζουσα του πίνακα Συλβέστερ δύο πολυωνύμων είναι η συνισταμένη τους, η οποία είναι μηδέν όταν τα δύο πολυώνυμα έχουν κοινή ρίζα (στην περίπτωση συντελεστών σε σώμα) ή μη σταθερό κοινό διαιρέτη (στην περίπτωση συντελεστών σε ένα σώμα).

Οι πίνακες Συλβέστερ πήραν το όνομά τους από τον Τζέιμς Τζόζεφ Συλβέστερ.

Ορισμός
Έστω p και q δύο μη μηδενικά πολυώνυμα, αντίστοιχα βαθμού m και n.  Συνεπώς:

Ο πίνακας Συλβέστερ που σχετίζεται με τα p και q είναι τότε ο  πίνακας που κατασκευάζεται ως εξής:
 αν n > 0, η πρώτη σειρά είναι:

 η δεύτερη σειρά είναι η πρώτη σειρά, μετατοπισμένη κατά μία στήλη προς τα δεξιά- το πρώτο στοιχείο της σειράς είναι μηδέν.
 οι επόμενες n − 2 σειρές προκύπτουν με τον ίδιο τρόπο, μετατοπίζοντας τους συντελεστές κατά μία στήλη προς τα δεξιά κάθε φορά και θέτοντας τα υπόλοιπα στοιχεία της σειράς ως 0.
 αν m > 0 η (n + 1)η γραμμή είναι:

 οι ακόλουθες σειρές προκύπτουν με τον ίδιο τρόπο όπως προηγουμένως.

Έτσι, αν m = 4 και n = 3, ο πίνακας είναι:

Αν ένας από τους βαθμούς είναι μηδέν (δηλαδή το αντίστοιχο πολυώνυμο είναι ένα μη μηδενικό σταθερό πολυώνυμο), τότε υπάρχουν μηδενικές γραμμές που αποτελούνται από συντελεστές του άλλου πολυωνύμου και ο πίνακας Συλβέστερ είναι ένας διαγώνιος πίνακας διάστασης του βαθμού του μη σταθερού πολυωνύμου, με όλους τους διαγώνιους συντελεστές ίσους με το σταθερό πολυώνυμο. Αν m = n = 0, τότε ο πίνακας Συλβέστερ είναι ο άδειος πίνακας με μηδέν γραμμές και μηδέν στήλες.

Μία παραλλαγή
Ο παραπάνω πίνακας Συλβέστερ εμφανίζεται σε ένα δημοσίευμα του Συλβέστερ του 1840. Σε μια εργασία του 1853, ο Συλβέστερ εισήγαγε τον ακόλουθο πίνακα, ο οποίος είναι, μέχρι μια μετάθεση των γραμμών, ο πίνακας Συλβέστερ των p και q, οι οποίοι θεωρούνται ότι έχουν και οι δύο βαθμό max(m, n).Akritas, A.G., Malaschonok, G.I., Vigklas, P.S.:Sturm Sequences and Modified Subresultant Polynomial Remainder Sequences. Serdica Journal of Computing, Vol. 8, No 1, 29--46, 2014
Πρόκειται επομένως για έναν -πίνακα που περιέχει  ζεύγη γραμμών. Υποθέτοντας  προκύπτει ως εξής:
 το πρώτο ζεύγος είναι:

 το δεύτερο ζεύγος είναι το πρώτο ζεύγος, μετατοπισμένο κατά μία στήλη προς τα δεξιά- τα πρώτα στοιχεία στις δύο σειρές είναι μηδενικά.
 τα υπόλοιπα  ζεύγη γραμμών προκύπτουν με τον ίδιο τρόπο όπως παραπάνω.

Έτσι, αν m = 4 και n = 3, ο πίνακας είναι:

Η ορίζουσα του πίνακα 1853 είναι, μέχρι το πρόσημο, το γινόμενο της ορίζουσας του πίνακα Συλβέστερ (η οποία ονομάζεται συνισταμένη των p και q) επί  (υποθέτοντας ότι ).

Εφαρμογές
Αυτοί οι πίνακες χρησιμοποιούνται στην αντιμεταθετική άλγεβρα, π.χ. για να ελεγχθεί αν δύο πολυώνυμα έχουν έναν (μη σταθερό) κοινό παράγοντα.  Σε μια τέτοια περίπτωση, η ορίζουσα του σχετικού πίνακα Συλβέστερ (ο οποίος ονομάζεται συνισταμένη των δύο πολυωνύμων) ισούται με μηδέν. Το αντίστροφο ισχύει επίσης.) ισούται με μηδέν. Το αντίστροφο ισχύει επίσης.

Οι λύσεις των ταυτόχρονων γραμμικών εξισώσεων

όπου  είναι ένα διάνυσμα μεγέθους  και  έχει μέγεθος , περιλαμβάνουν τα διανύσματα συντελεστών εκείνων και μόνο εκείνων των ζευγών  πολυωνύμων (βαθμού  και , αντίστοιχα) που ικανοποιούν

όπου χρησιμοποιείται πολυωνυμικός πολλαπλασιασμός και πρόσθεση.
Αυτό σημαίνει ότι ο πυρήνας του μετατοπισμένου πίνακα Συλβέστερ δίνει όλες τις λύσεις της εξίσωσης Μπεζού όπου  και .

Συνεπώς, ο βαθμός του πίνακα Συλβέστερ καθορίζει τον βαθμό του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη των p και q:


Επιπλέον, οι συντελεστές αυτού του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη μπορούν να εκφραστούν ως Ορίζουσες υποπινάκων του πίνακα Συλβέστερ.

Δημοσιεύσεις 





 Bressoud, David M., Proofs and Confirmations: The Story of the Alternating Sign Matrix Conjecture, MAA Spectrum, Mathematical Associations of America, Washington, D.C., 1999.
 Bressoud, David M. and Propp, James, How the alternating sign matrix conjecture was solved, Notices of the American Mathematical Society, 46 (1999), 637–646.
 Mills, William H., Robbins, David P., and Rumsey, Howard Jr., Proof of the Macdonald conjecture, Inventiones Mathematicae, 66 (1982), 73–87.






Δείτε επίσης

 Field Arithmetic
 Πραγματικό προβολικό επίπεδο
 Πραγματικός αριθμός 
 Αντιερμιτιανός πίνακας
 Δέλτα του Κρόνεκερ
 Ταυτοτικός πίνακας
 Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
 Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
 Πεπερασμένο σώμα
 Αντιμεταθέσιμοι πίνακες
 Πολλαπλασιασμός πινάκων
 Τζέιμς Τζόσεφ Συλβέστερ
 High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι  

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
Matrix calculator
 Matrix Analysis
 Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
 Mathematical Methods For Physicists
 Basic Matrix Algebra with Algorithms and Applications
 Information Security and Privacy: 13th Australasian Conference, ACISP 2008 ...
 Physics and Combinatorics 2000: Proceedings of the Nagoya 2000 International ...
 Representation of Rings Over Skew Fields
 James Joseph Sylvester: Life and Work in Letters
 Generalized Sylvester Equations: Unified Parametric Solutions

Παραπομπές







Κατηγορία:Αριθμητική γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)
Κατηγορία:Θεωρία πινάκων
Κατηγορία:Πολυώνυμα