Ανάπτυγμα Λαπλάς

όπου  είναι η καταχώρηση της -th γραμμής και της -th στήλης του , και  είναι η ορίζουσα του υποπίνακα που προκύπτει με την αφαίρεση της -th γραμμής και της -th στήλης του . Ομοίως, το ανάπτυγμα Λαπλάς κατά μήκος της -th στήλης είναι η ισότητα

(Κάθε ταυτότητα συνεπάγεται την άλλη, αφού οι ορίζουσες ενός πίνακα και του Ανάστροφού του είναι οι ίδιες.)

Ο συντελεστής  του  στο παραπάνω άθροισμα ονομάζεται συμπαράγοντας του  στο .

Το ανάπτυγμα Λαπλάς είναι συχνά χρήσιμο σε αποδείξεις, όπως, παραδείγματος χάριν, για να επιτραπεί η αναδρομή στο μέγεθος των πινάκων. Έχει επίσης διδακτικό ενδιαφέρον για την απλότητά του και ως ένας από τους διάφορους τρόπους προβολής και υπολογισμού του προσδιοριστή. Για μεγάλους πίνακες, ο υπολογισμός του γίνεται γρήγορα αναποτελεσματικός σε σύγκριση με την απαλοιφή του Γκάους.

 Παραδείγματα 
Ας εξετάσουμε τον πίνακα

Η ορίζουσα αυτού του πίνακα μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα Λαπλάς κατά μήκος οποιασδήποτε από τις γραμμές ή τις στήλες του. Παραδείγματος χάριν, ένα ανάπτυγμα κατά μήκος της πρώτης γραμμής δίνει:

Το ανάπτυγμα Λσπλάς κατά μήκος της δεύτερης στήλης δίνει το ίδιο αποτέλεσμα:

Είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι το αποτέλεσμα είναι σωστό: ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος πίνακας επειδή το άθροισμα της πρώτης και της τρίτης στήλης του είναι διπλάσιο της δεύτερης στήλης, και επομένως ο προσδιοριστής του είναι μηδέν.

Απόδειξη
Έστω ότι ο  είναι ένας n × n πίνακας και  Για λόγους σαφήνειας ονομάζουμε επίσης τις καταχωρήσεις του  που συνθέτουν τον  ελάσσονα πίνακα  ως εξής

 for 

Ας εξετάσουμε τους όρους στο ανάπτυγμα του  που έχουν ως παράγοντα το .  Καθένας από αυτούς έχει τη μορφή



για κάποια μετάθεση , και μια μοναδική και προφανώς σχετική μετάθεση  η οποία επιλέγει τις ίδιες δευτερεύουσες καταχωρήσεις με την  Ομοίως κάθε επιλογή του σ καθορίζει ένα αντίστοιχο , δηλαδή η αντιστοιχία   είναι μια αμφίρριψη μεταξύ  και  Χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό δύο γραμμών του Κωσύ, η ρητή σχέση μεταξύ  και  μπορεί να γραφεί ως εξής

όπου  είναι μια προσωρινή συντομογραφία για έναν κύκλο .
Αυτή η πράξη μειώνει όλους τους δείκτες μεγαλύτερους από j έτσι ώστε κάθε δείκτης να χωράει στο σύνολο {1,2,...,n-1}

Η μετάθεση  μπορεί να προκύψει από την  ως εξής.
Ορίζουμε το  με  για  και . 
Τότε το  εκφράζεται ως εξής  

Τώρα, η πράξη που εφαρμόζει πρώτα το  και μετά το  είναι (Σημειώστε ότι η εφαρμογή του Α πριν από το Β είναι ισοδύναμη
με την εφαρμογή του αντίστροφου του Α στην πάνω σειρά του Β σε συμβολισμό δύο γραμμών)

όπου  είναι προσωρινή συντομογραφία για .

η πράξη που εφαρμόζει πρώτα το  και στη συνέχεια το  είναι 

τα δύο παραπάνω είναι ίσα, άρα,

όπου  είναι το αντίστροφο του  που είναι .

Συνεπώς



Δεδομένου ότι οι δύο κύκλοι μπορούν να καταγραφούν αντίστοιχα ως μεταθέσεις  και ,



Και αφού η απεικόνιση  είναι αμφιρριπτική,

από το οποίο προκύπτει το αποτέλεσμα.  Ομοίως, το αποτέλεσμα ισχύει αν ο δείκτης του εξωτερικού αθροίσματος αντικατασταθεί με . 

Ανάπτυγμα Λαπλάς μιας ορίζουσας με συμπληρωματικά ελάσσονες
Το ανάπτυγμα του Λαπλάς με συμπαράγοντες μπορεί να γενικευτεί ως εξής.

 Παράδειγμα 
Ας θεωρήσουμε τον πίνακα

Η ορίζουσα αυτού του πίνακα μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα του συντελεστή Λαπλάς κατά μήκος των δύο πρώτων γραμμών ως εξής. Αρχικά ας σημειωθεί ότι υπάρχουν 6 σύνολα δύο διαφορετικών αριθμών στο , δηλαδή έστω  το προαναφερθέν σύνολο.

Με τον ορισμό των συμπληρωματικών συμπαράγοντων να είναι




και το πρόσημο της αντιμετάθεσής τους να είναι


Η ορίζουσα του A μπορεί να γραφτεί ως εξής

όπου  είναι το συμπληρωματικό σύνολο του .

Στο ρητό παράδειγμά μας, αυτό δίνει

Όπως και παραπάνω, είναι εύκολο να επαληθεύσετε ότι το αποτέλεσμα είναι σωστό: ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος επειδή το άθροισμα της πρώτης και της τρίτης στήλης του είναι διπλάσιο της δεύτερης στήλης, και επομένως η ορίζουσα του είναι μηδέν.

 Γενική δήλωση 
Έστω  ένας {{math|n × n}} πίνακας και  το σύνολο των -στοιχείων υποσυνόλων του ,  ένα στοιχείο του. Τότε η ορίζουσα του  μπορεί να αναπτυχθεί κατά μήκος του  σειρές που προσδιορίζονται από το  ως εξής:

όπου  είναι το πρόσημο της αντιμετάθεσης που καθορίζεται από  και , ίσο με ,  το ελάσσονα τετράγωνο του  
που λαμβάνεται διαγράφοντας από το  γραμμές και στήλες με δείκτες στο  και  αντίστοιχα, και  (που ονομάζεται συμπλήρωμα του ) που ορίζονται ως  ,  και  είναι το συμπλήρωμα των  και  αντίστοιχα.

Αυτό συμπίπτει με το παραπάνω θεώρημα όταν . Το ίδιο πράγμα ισχύει για οποιεσδήποτε σταθερές  στήλες.

Υπολογιστική δαπάνη 

Το ανάπτυγμα Λαπλάς είναι υπολογιστικά αναποτελεσματικό για πίνακες μεγάλης διάστασης, με χρονική πολυπλοκότητα σε συμβολισμό μεγάλου O της τάξης του. Εναλλακτικά, η χρήση μιας ανάλυσης σε τριγωνικούς πίνακες, όπως στην LU παραγοντοποίηση, μπορεί να δώσει ορίζουσες με χρονοπλοκότητα .Stoer Bulirsch: Introduction to Numerical Mathematics Ο ακόλουθος κώδικας Python υλοποιεί το ανάπτυγμα Λαπλάς:

def determinant(M):
    # Base case of recursive function: 1x1 matrix
    if len(M) == 1: 
        return M[0][0]

    total = 0
    for column, element in enumerate(M[0]):
        # Exclude first row and current column.
        K = [x[:column] + x[column + 1 :] for x in M[1:]]
        s = 1 if column % 2 == 0 else -1 
        total += s * element * determinant(K)
    return total

Δημοσιεύσεις 









Δείτε επίσης

 Field Arithmetic
 Πραγματικό προβολικό επίπεδο
 Μιγαδικός αριθμός 
 Αντιερμιτιανός πίνακας
 Μέγιστος κοινός διαιρέτης
 Υπολογιστική βιολογία
 Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
 Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
 Συμμετρικός πίνακας
 Πίνακας γειτνίασης
 Πολλαπλασιασμός πινάκων
 Επαναλαμβανόμενη συνάρτηση
 Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα
 Θεωρία γράφων
 Θεωρία πιθανοτήτων
 High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι  

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
Matrix calculator
 Matrix Analysis
 Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
 Foundation Mathematics for Computer Science: A Visual Approach
 Multidimensional Statistical Analysis and Theory of Random Matrices ...
 Quantum Probability and Spectral Analysis of Graphs.
 Symplectic Methods in Harmonic Analysis and in Mathematical Physics...
 Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups
 Matrix Algebra: Theory, Computations, and Applications in Statistics ..
 Calculus: Theory and Applications, Τόμος 2
 Special Matrices Of Mathematical Physics: Stochastic, Circulant And Bell ...

Παραπομπές

 David Poole: Linear Algebra. A Modern Introduction. Cengage Learning 2005, , pp. 265–267 ()
 Harvey E. Rose: Linear Algebra. A Pure Mathematical Approach''. Springer 2002, , pp. 57–60 ()




Κατηγορία:Αριθμητική γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Θεωρήματα της γραμμικής άλγεβρας
Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)
Κατηγορία:Θεωρία πινάκων
Κατηγορία:Αριθμητική ανάλυση
Κατηγορία:Ορίζουσες