Χωρίς βλάβη της γενικότητας

Χωρίς βλάβη της γενικότητας (συχνά συντομογραφείται σε Χβτγ · συχνά αναφέρεται και ως χωρίς απώλεια της γενικότητας) είναι μια έκφραση που χρησιμοποιείται συχνά στα μαθηματικά. Ο όρος χρησιμοποιείται για να υποδηλώσει την υπόθεση ότι αυτό που ακολουθεί επιλέγεται αυθαίρετα, περιορίζοντας έτσι την υπόθεση σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, αλλά αυτό δεν επηρεάζει την εγκυρότητα της απόδειξης γενικά. Οι υπόλοιπες περιπτώσεις είναι αρκετά παρόμοιες με αυτή που παρουσιάστηκε, ώστε η απόδειξή τους ακολουθεί ουσιαστικά την ίδια λογική. Ως αποτέλεσμα, από τη στιγμή που δίνεται μια απόδειξη για τη συγκεκριμένη περίπτωση, είναι τετριμμένη η προσαρμογή της για να αποδειχθεί το συμπέρασμα σε όλες τις άλλες περιπτώσεις.

Σε πολλά σενάρια, η χρήση του "χωρίς βλάβη της γενικότητας" καθίσταται δυνατή από την παρουσία συμμετρίας. Για παράδειγμα, εάν κάποια ιδιότητα P(x,y) των πραγματικών αριθμών είναι γνωστό ότι είναι συμμετρική στα x και y, δηλαδή ότι το P(x,y) είναι ισοδύναμο με το P(y,x), τότε αποδεικνύοντας ότι το P(x,y) ισχύει για κάθε x και y, μπορούμε να υποθέσουμε "χωρίς βλάβη της γενικότητας" ότι x ≤ y. Δεν υπάρχει βλάβη της γενικότητας σε αυτή την υπόθεση, αφού μόλις αποδειχθεί η περίπτωση x ≤ y ⇒ P(x,y), ακολουθεί η άλλη περίπτωση με την εναλλαγή των x και y : y ≤ x ⇒ P(y,x), και από τη συμμετρία του P, αυτό συνεπάγεται ότι P(x,y), δείχνοντας έτσι ότι το P(x,y) ισχύει για όλες τις περιπτώσεις.

Από την άλλη πλευρά, εάν δεν μπορεί να καθοριστεί ούτε μία τέτοια συμμετρία ούτε κάποια άλλη μορφή ισοδυναμίας, τότε η χρήση του "χωρίς βλάβη της γενικότητας" είναι εσφαλμένη και μπορεί να οδηγήσει σε μια ανακολουθία, το οποίο είναι ένα είδος εσφαλμένου επιχειρήματος κατά την λογική.

 Παράδειγμα 
Θεωρήστε το ακόλουθο θεώρημα (το οποίο είναι μια περίπτωση της αρχής του περιστερώνα):

Μία απόδειξη:

Το παραπάνω επιχείρημα λειτουργεί επειδή η ίδια ακριβώς συλλογιστική θα μπορούσε να εφαρμοστεί εάν γινόταν η εναλλακτική υπόθεση, δηλαδή ότι το πρώτο αντικείμενο είναι μπλε, ή, παρομοίως, ότι οι λέξεις "κόκκινο" και "μπλε" μπορούν να ανταλλάσσονται ελεύθερα στη διατύπωση της απόδειξης. Ως αποτέλεσμα, η χρήση του "χωρίς βλάβη της γενικότητας" ισχύει σε αυτή την περίπτωση.

 Βιβλιογραφικές αναφορές 

Κατηγορία:Μαθηματική ορολογία