Δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ

Στα μαθηματικά, ένας δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ είναι ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος με ορισμένες από τις αλγεβρο-γεωμετρικές ιδιότητες μιας ομαλής ποικιλίας, όπως η τοπική ισοδιάσταση. Κάτω από ήπιες υποθέσεις, ένας τοπικός δακτύλιος είναι Κοέν-Μακόλεϊ ακριβώς όταν είναι ένα πεπερασμένα παραγόμενο ελεύθερο module πάνω σε έναν κανονικό τοπικό υποδακτύλιο. Οι δακτύλιοι Κοέν-Μακόλεϊ παίζουν κεντρικό ρόλο στην αντιμεταθετική άλγεβρα: αποτελούν μια πολύ ευρεία κατηγορία, και παρόλα αυτά είναι καλά κατανοητοί με πολλούς τρόπους.

Πήραν το όνομά τους από τον Φράνσις Σάουερμπι Μακόλεϊ (1916), ο οποίος απέδειξε το θεώρημα της μη-συνδυαστικότητας για πολυωνυμικούς δακτυλίους, και από τον Ίρβιν Κοέν (1946), ο οποίος απέδειξε το θεώρημα της μη-συνδυαστικότητας για τυπικούς δακτυλίους δυναμοσειρών. Όλοι οι δακτύλιοι Κοέν-Μακόλεϊ έχουν την ιδιότητα της μη ανάμειξης.

Για τους Ναιτεριανούς τοπικούς δακτυλίους, υπάρχει η ακόλουθη αλυσίδα εγκλεισμάτων:

    Καθολικά Αλυσοειδής δακτύλιος ⊃ δακτύλιοι Κοέν-Μακολέι ⊃ δακτύλιοι Γκόρενσταϊν ⊃ πλήρεις δακτύλιοι διατομής ⊃ κανονικοί τοπικοί δακτύλιοι

Ορισμός
Για έναν αντιμεταθετικό Ναιτεριανό τοπικό δακτύλιο R, ένα πεπερασμένο (δηλ. πεπερασμένα παραγόμενο) R-module  είναι ένα Κοέν-Μακόλεϊ module αν  (γενικά έχουμε: , βλέπε τύπο Αουσλάντερ-Μπούχσμπαουμ για τη σχέση μεταξύ depth και dim ενός συγκεκριμένου είδους ενοτήτων). Από την άλλη πλευρά, ο  είναι ένα module στον εαυτό του, οπότε ονομάζουμε τον  δακτύλιο Κοέν-Μακόλεϊ αν είναι ένα module Κοέν-Μακόλεϊ ως -module. Ένα μέγιστο module  Κοέν-Μακόλεϊ είναι ένα module Κοέν-Μακόλεϊ M τέτοιο ώστε .

Ο παραπάνω ορισμός αφορούσε τους Ναιτεριανούς τοπικούς δακτυλίους. Μπορούμε όμως να επεκτείνουμε τον ορισμό για έναν πιο γενικό Ναιτεριανό δακτύλιο: Αν  είναι ένας αντιμεταθετικός Ναιτεριανός δακτύλιος, τότε ένα R-module M ονομάζεται Κοέν-Μακόλεϊ module αν  είναι ένα Κοέν-Μακόλεϊ module για όλα τα μέγιστα ιδεώδη . (Αυτό είναι ένα είδος κυκλικού ορισμού, εκτός αν ορίσουμε τις μηδενικές ενότητες ως Κοέν-Μακόλεϊ. Οπότε ορίζουμε τις μηδενικές ενότητες ως ενότητες Κοέν-Μακόλεϊ σε αυτόν τον ορισμό). Τώρα, για να ορίσουμε τις μέγιστες ενότητες Κοέν-Μακόλεϊ για αυτούς τους δακτυλίους, απαιτούμε ο  να είναι μια τέτοια -ενότητα για κάθε μέγιστο ιδεώδες  του R. Όπως και στην τοπική περίπτωση, το R είναι ένας δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ αν είναι ένα module Κοέν-Μακόλεϊ (ως ένα -module στον εαυτό του).Bruns & Herzog, from def. 2.1.1

Παραδείγματα

Οι Ναιτεριανοί δακτύλιοι των ακόλουθων τύπων είναι Κοέν-Μακόλεϊ.

Κάθε κανονικός τοπικός δακτύλιος. Αυτό οδηγεί σε διάφορα παραδείγματα δακτυλίων Κοέν-Μακόλεϊ, όπως οι ακέραιοι , ή ένας πολυωνυμικός δακτύλιος  πάνω από ένα πεδίο K, ή ένας δακτύλιος δυναμοσειρών . Με γεωμετρικούς όρους, κάθε κανονικό σχήμα, παραδείγματος χάριν μια ομαλή ποικιλία πάνω σε ένα πεδίο, είναι Κοέν-Μακόλεϊ.
Κάθε δακτύλιος 0 διαστάσεων (ή ισοδύναμα, κάθε δακτύλιος Artinian).
Κάθε 1-διάστατος μειωμένος δακτύλιος, παραδείγματος χάριν κάθε 1-διάστατη περιοχή.
Κάθε 2-διάστατος κανονικός δακτύλιος.
Κάθε δακτύλιος Γκορένσταϊν. Ειδικότερα, οποιοσδήποτε πλήρης δακτύλιος τομής.
Ο δακτύλιος των αναλλοίωτων  όταν R είναι μια άλγεβρα Κοέν-Μακόλεϊ πάνω σε ένα πεδίο χαρακτηριστικού μηδέν και G είναι μια πεπερασμένη ομάδα (ή γενικότερα, μια γραμμική αλγεβρική ομάδα της οποίας η συνιστώσα ταυτότητας είναι αναγωγική). Αυτό είναι το θεώρημα Χόχστερ - Ρόμπερτς.
Οποιοσδήποτε ντετερμινάνταλ δακτύλιος. Δηλαδή, έστω R το πηλίκο ενός κανονικού τοπικού δακτυλίου S προς το ιδεώδες I που παράγεται από τα r × r ελάσσονες κάποιου p × q πίνακα στοιχείων του S. Αν η κωδικομέτρηση (ή το ύψος) του I είναι ίση με την "αναμενόμενη" κωδικομέτρηση  (p−r+1)(q−r+1), R, ο R ονομάζεται προσδιοριστικός δακτύλιος. Σε αυτή την περίπτωση, ο R είναι Κοέν-Μακόλεϊ Eisenbud (1995), Theorem 18.18.. Ομοίως, οι δακτύλιοι συντεταγμένων των ντετερμινάντων ποικιλιών είναι Κοέν-Μακόλεϊ.

Μερικά επιπλέον παραδείγματα: 
Ο δακτύλιος K[x]/(x²) έχει διάσταση 0 και επομένως είναι Κοέν-Μακόλεϊ, αλλά δεν είναι αναγωγικός και επομένως δεν είναι κανονικός.
Ο υποδακτύλιος K[t2, t3]  του πολυωνυμικού δακτυλίου K[t], ή ο εντοπισμός του ή η συμπλήρωσή του στο t=0, είναι μια περιοχή 1 διάστασης η οποία είναι Γκόρενσταϊν και επομένως Κοέν-Μακόλεϊ, αλλά όχι κανονική. Ο δακτύλιος αυτός μπορεί επίσης να περιγραφεί ως ο δακτύλιος συντεταγμένων της κυβικής καμπύλης y2 = x3 πάνω από το K.
Ο υποδακτύλιος K[t3, t4, t5] του πολυωνυμικού δακτυλίου K[t], ή ο εντοπισμός ή η ολοκλήρωσή του στο t=0, είναι ένα μονοδιάστατο πεδίο που είναι Κοέν-Μακόλεϊ αλλά όχι Γκόρενσταϊν.

Οι ρητές ιδιομορφίες πάνω σε ένα πεδίο χαρακτηριστικού μηδέν είναι Κοέν-Μακόλεϊ. Οι τορικές ποικιλίες πάνω από οποιοδήποτε πεδίο είναι Κοέν-Μακόλεϊ.Fulton (1993), p. 89. Το πρόγραμμα του ελάχιστου μοντέλου κάνει εμφανή χρήση των ποικιλιών με klt (Kawamata log terminal) ιδιομορφίες- σε χαρακτηριστικό μηδέν, αυτές είναι ρητές ιδιομορφίες και επομένως είναι Κοέν-Μακόλεϊ,Kollár & Mori (1998), Theorems 5. 20 και 5.22. Ένα επιτυχημένο ανάλογο των ορθολογικών ιδιομορφιών σε θετική χαρακτηριστική είναι η έννοια των F-ρητών ιδιομορφιών, και πάλι, τέτοιες ιδιομορφίες είναι Κοέν-Μακόλεϊ.

Έστω X μια προβολική ποικιλία διάστασης n ≥ 1 πάνω από ένα πεδίο, και έστω L μια ευρεία δέσμη γραμμών πάνω στο X. Τότε ο δακτύλιος τομής της L

είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν η ομάδα συνομολογίας  Hi(X, Lj) είναι μηδέν για όλα τα  1 ≤ i ≤ n−1 και όλους τους ακέραιους j.Kollár (2013), (3.4). Επομένως, προκύπτει, ότι ο αφινικός κώνος Spec R πάνω από μια αβελιανή ποικιλία X' είναι Κοέν-Μακόλεϊ όταν η X έχει διάσταση 1, αλλά όχι όταν η X έχει διάσταση τουλάχιστον 2 (επειδή η H1(X, O) δεν είναι μηδέν). Βλέπε επίσης Γενικευμένος δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ.

Σχήματα Κοέν-Μακόλεϊ
Λέμε ότι ένα τοπικά Ναιτεριανό σχήμα  είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν σε κάθε σημείο  ο τοπικός δακτύλιος  είναι Κοέν-Μακόλεϊ.

Καμπύλες Κοέν-Μακόλεϊ
Οι καμπύλες Κοέν-Μακόλεϊ είναι μια ιδιαίτερη περίπτωση των σχημάτων Κοέν-Μακόλεϊ, είναι όμως χρήσιμες για τη συμπύκνωση των χώρων moduli των καμπυλών  όπου το όριο του ομαλού χώρου  αποτελείται από καμπύλες Κοέν-Μακόλεϊ. Υπάρχει ένα χρήσιμο κριτήριο για να αποφασίσουμε αν οι καμπύλες είναι Κοέν-Μακόλεϊ ή όχι. Τα σχήματα διάστασης  είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν  δεν έχουν ενσωματωμένους πρώτους αριθμούς.. Οι ιδιομορφίες που υπάρχουν στις καμπύλες Κοέν-Μακόλεϊ μπορούν να ταξινομηθούν πλήρως εξετάζοντας την περίπτωση ττων επίπεδων καμπυλών.

 Μη παραδείγματα 
Χρησιμοποιώντας το κριτήριο, υπάρχουν εύκολα παραδείγματα καμπυλών μη Κοέν-Μακόλεϊ από την κατασκευή καμπυλών με ενσωματωμένα σημεία. Παραδείγματος χάριν, το σχήμα

έχει τη διάσπαση σε πρωταρχικά ιδεώδη . Γεωμετρικά είναι ο άξονας  με ένα ενσωματωμένο σημείο στην αρχή, το οποίο μπορεί να θεωρηθεί ως παχύ σημείο. Δεδομένης μιας ομαλής προβολικής επίπεδης καμπύλης , μια καμπύλη με ενσωματωμένο σημείο μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας την ίδια τεχνική: βρείτε το ιδεώδες  ενός σημείου στο  και πολλαπλασιάστε το με το ιδεώδες  του . Τότε

είναι μια καμπύλη με ενσωματωμένο σημείο στο .

Θεωρία της διατομής

Τα σχήματα Κοέν-Μακόλεϊ έχουν μια ιδιαίτερη σχέση με τη θεωρία τομών. Έστω X μια ομαλή ποικιλίαsmoothness here is somehow extraneous and is used in part to make sense of a proper component. και V, W  κλειστά υποσχήματα καθαρής διάστασης. Έστω Z μια κατάλληλη συνιστώσα της θεωρίας σχημάτων της τομής , δηλαδή μια μη αναγώγιμη συνιστώσα αναμενόμενης διάστασης. Αν ο τοπικός δακτύλιος A του   στο γενικό σημείο του Z είναι Κοέν - Μακόλεϊ, τότε η πολλαπλότητα της τομής των V και W κατά μήκος του Z  δίνεται ως το μήκος του A:

.

Γενικά, η πολλαπλότητα αυτή δίνεται ως μήκος και ουσιαστικά χαρακτηρίζει τον δακτύλιο Κοέν-Μακόλεϊ, βλέπε #Ιδιότητες. Το κριτήριο πολλαπλότητας ένα, από την άλλη πλευρά, χαρακτηρίζει κατά προσέγγιση έναν κανονικό τοπικό δακτύλιο ως τοπικό δακτύλιο πολλαπλότητας ένα.

Παράδειγμα
Για ένα απλό παράδειγμα, αν πάρουμε την τομή μιας παραβολής με μια ευθεία που εφάπτεται σε αυτήν, ο τοπικός δακτύλιος στο σημείο τομής είναι ισομορφικός με

το οποίο είναι Κοέν-Μακόλεϊ μήκους δύο, άρα η πολλαπλότητα της τομής είναι δύο, όπως αναμενόταν.

Θαύμα επιπεδότητας ή το κριτήριο του Χιρονάκα

Υπάρχει ένας αξιοσημείωτος χαρακτηρισμός των δακτυλίων Κοέν-Μακόλεϊ, ο οποίος μερικές φορές ονομάζεται θαυματουργή επιπεδότητα ή κριτήριο Χιρονάκα. Έστω R ένας τοπικός δακτύλιος που παράγεται πεπερασμένα ως ενότητα πάνω σε κάποιον κανονικό τοπικό δακτύλιο A που περιέχεται στον R. Ένας τέτοιος υποδακτύλιος υπάρχει για κάθε τοπικοποίηση R σε ένα πρώτο ιδεώδες μιας πεπερασμένα παραγόμενης άλγεβρας πάνω σε ένα πεδίο, σύμφωνα με το λήμμα κανονικοποίησης της Νέτερ- υπάρχει επίσης όταν ο R είναι πλήρης και περιέχει ένα πεδίο, ή όταν ο R είναι ένας πλήρης τομέαςBruns & Herzog, Theorem A.22.. Τότε ο R είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν είναι επίπεδος ως module A- είναι επίσης ισοδύναμο να πούμε ότι ο R είναι ελεύθερος ως moduleAEisenbud (1995), Corollary 18.17..

Μια γεωμετρική αναδιατύπωση έχει ως εξής. Έστω X ένα συνδεδεμένο αφινικό σχήμα πεπερασμένου τύπου πάνω από ένα πεδίο K (παραδείγματος χάριν, μια αφινική ποικιλία). Έστω n η διάσταση του X. Με την κανονικοποίηση της Νέτερ, υπάρχει ένας πεπερασμένος μορφισμός f από το X στον αφινικό χώρο An πάνω από το K. Τότε το X είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν όλες οι ίνες του f έχουν τον ίδιο βαθμό Eisenbud (1995), Exercise 18.17.. Είναι αξιοσημείωτο ότι αυτή η ιδιότητα είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του f.

Τέλος, υπάρχει μια εκδοχή της Θαυματουργής Επιπεδότητας (Miracle Flatness) για βαθμωτούς δακτυλίους. Έστω R μια πεπερασμένης παραγωγής αντιμεταθετική βαθμωτή άλγεβρα πάνω από ένα πεδίο K,

Υπάρχει πάντα ένας βαθμωτός πολυωνυμικός υποδακτύλιος A ⊂ R (με γεννήτορες σε διάφορους βαθμούς), έτσι ώστε ο R να παράγεται πεπερασμένα ως A-module. Τότε το R είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν το R είναι ελεύθερο ως διαβαθμισμένο A-μόριο. Και πάλι, προκύπτει ότι αυτή η ελευθερία είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του πολυωνυμικού υποδακτυλίου A.

Ιδιότητες
Ένας Ναιτεριανός τοπικός δακτύλιος είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν η ολοκλήρωσή του είναι Κοέν-ΜακόλεϊMatsumura (1989), Theorem 17.5..
Αν ο R είναι δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ, τότε ο πολυωνυμικός δακτύλιος R[x] και ο δακτύλιος δυναμοσειρών R[[x]] είναι Κοέν-ΜακόλεϊMatsumura (1989), Theorem 17.7.Matsumura (1989), Theorem 23.5.; NB: although the reference is somehow vague on whether a ring there is assumed to be local or not, the proof there does not need the ring to be local.
Για έναν μη μηδενικό διαιρέτη u στο μέγιστο ιδεώδες ενός Ναιτεριανού τοπικού δακτυλίου R, ο R είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν ο R/(u) είναι Κοέν-ΜακόλεϊMatsumura (1989), Theorem 17.3.(ii)..
Το πηλίκο ενός δακτυλίου Κοέν-Μακόλεϊ με οποιοδήποτε ιδανικό είναι καθολικά κατιόνMatsumura (1989), Theorem 17.9..
Αν ο R είναι πηλίκο ενός δακτυλίου Κοέν-Μακόλεϊ, τότε ο τόπος { p ∈ Spec R | Rp είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του Spec R.Matsumura (1989), Exercise 24.2.
Έστω (R, m, k) ένας Ναιτεριανός τοπικός δακτύλιος με συνδιάσταση ενσωμάτωσης c, που σημαίνει ότι c = dimk(m/m2) − dim(R). Με γεωμετρικούς όρους, αυτό ισχύει για έναν τοπικό δακτύλιο ενός υποσχήματος συνδιαστάσεων c σε ένα κανονικό σχήμα. Για c=1, το R είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν είναι δακτύλιος υπερεπιφάνειας. Υπάρχει επίσης ένα θεώρημα δομής για τους δακτυλίους Κοέν-Μακόλεϊ συνδιάστασης 2, το θεώρημα Χίλμπερτ-Burch: είναι όλοι προσδιοριστικοί δακτύλιοι, που ορίζονται από τα  r × r ελάσσονες ενός (r+1) × rr πίνακα για κάποιο r.
Για έναν Ναιτεριανό τοπικό δακτύλιο (R, m), τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα:Matsumura (1989), Theorem 17.11.
Ο R είναι Κοέν-Μακόλεϊ.
Για κάθε παραμετρικό ιδεώδες Q (ένα ιδανικό που παράγεται από ένα σύστημα παραμέτρων),
 := η πολλαπλότητα Χίλμπερτ-Σαμουέλ του Q.
Για κάποιο παραμετρικό ιδεώδες Q, length Q, .

(Βλέπε Γενικευμένος δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ καθώς και δακτύλιος Μπούχσμπαουμ για δακτυλίους που γενικεύουν αυτόν τον χαρακτηρισμό).

Το θεώρημα της μη ανάμειξης

Ένα ιδεώδες I ενός Ναιτεριανού δακτυλίου A ονομάζεται άμικτος σε ύψος αν το ύψος του I είναι ίσο με το ύψος κάθε σχετιζόμενου πρώτου P του A/I. (Αυτό είναι ισχυρότερο από το να λέμε ότι ο A/Iείναι ισοδιάστατος- βλ. παρακάτω).

Το θεώρημα του άμικτου λέγεται ότι ισχύει για τον δακτύλιο A αν κάθε ιδανικό I που παράγεται από αριθμό στοιχείων ίσο με το ύψος του είναι αμιγές. Ένας Ναιτεριανός δακτύλιος είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν το θεώρημα μη ανάμειξης  ισχύει γι' αυτόνMatsumura (1989), Theorem 17.6..

Το θεώρημα της μη-αναμείξεως ισχύει ιδίως για το μηδενικό ιδεώδες (ένα ιδεώδες που παράγεται από μηδενικά στοιχεία) και επομένως καθιστά δυνατό να πούμε ότι ένας δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ είναι ένας ισοδιάστατος δακτύλιος- στην πραγματικότητα, με την ισχυρή έννοια: δεν υπάρχει ολοκληρωμένη συνιστώσα και κάθε συνιστώσα έχει την ίδια συνδιάσταση.

Βλέπε επίσης: οιονεί μικτός δακτύλιος (ένας δακτύλιος στον οποίο το θεώρημα της μη μικτότητας ισχύει για το ολοκληρωτικό κλείσιμο ενός ιδεώδους).

Αντιπαραδείγματα
Αν το K είναι πεδίο, τότε ο δακτύλιος R = K[x,y]/(x2,xy) (ο δακτύλιος συντεταγμένων μιας ευθείας με ενσωματωμένο σημείο) δεν είναι Κοέν-Μακόλεϊ. Αυτό προκύπτει, για παράδειγμα, από το (θαύμα επίπεδοτητα) Miracle Flatness: Ο R είναι πεπερασμένος πάνω στον πολυωνυμικό δακτύλιο A = K[y], με βαθμό 1 πάνω στα σημεία της αφινικής γραμμής Spec A με y ≠ 0, αλλά με βαθμό 2 πάνω στο σημείο y = 0 (επειδή ο K-διανυσματικός χώρος K[x]/(x2) έχει διάσταση 2).
 Αν το K είναι ένα πεδίο, τότε ο δακτύλιος K[x,y,z]/(xy,xz) (ο δακτύλιος συντεταγμένων της ένωσης μιας γραμμής και ενός επιπέδου) είναι μειωμένος, αλλά όχι ισοδιάστατος, και συνεπώς όχι Κοέν-Μακόλεϊ. Παίρνοντας το πηλίκο από τον μη μηδενικό διαιρέτη x-z δίνει το προηγούμενο παράδειγμα.
 Αν το K είναι πεδίο, τότε ο δακτύλιος R = K[w,x,y,z]/(wy,wz,xy,xz) (ο δακτύλιος συντεταγμένων της ένωσης δύο επιπέδων που συναντώνται σε ένα σημείο) είναι μειωμένος και ισοδιάστατος, αλλά όχι Κοέν-Μακόλεϊ. Για να το αποδείξουμε αυτό, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα συνδεσιμότητας του Χάρτσχορν: αν ο R είναι ένας τοπικός δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ με διάσταση τουλάχιστον 2, τότε ο Spec R μείον το κλειστό του σημείο είναι συνδεδεμένος.Eisenbud (1995), Theorem 18.12.

Δυαδικότητα Γκόρενσταϊν
Μια από τις έννοιες της συνθήκης Κοέν-Μακόλεϊ εμφανίζεται στη θεωρία της συνεκτικής δυαδικότητας. Μια ποικιλία ή ένα σχήμα X είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν το "σύμπλεγμα δυϊσμού", το οποίο βρίσκεται προφανώς στην παράγωγη κατηγορία των δεσμών πάνω στο X, αντιπροσωπεύεται από μια απλή στήλη. Η ισχυρότερη ιδιότητα του να είναι Γκόρενσταϊν σημαίνει ότι αυτή η δέσμη είναι μια δέσμη γραμμών. Ειδικότερα, κάθε κανονικό σχήμα είναι Γκόρενσταϊν. Έτσι, οι δηλώσεις των θεωρημάτων δυαδικότητας όπως η δυαδικότητα Σερ ή η τοπική δυαδικότητα Γκρόθεντιεκ για σχήματα Γκόρενσταϊν ή Κοέν-Μακόλεϊ διατηρούν κάποια από την απλότητα όσων συμβαίνουν για κανονικά σχήματα ή λείες ποικιλίες.

Δημοσιεύσεις 

 Cohen's paper was written when "local ring" meant what is now called a "Noetherian local ring". 





Δείτε επίσης

 Regular ring (in commutative algebra)

Εξωτερικοί σύνδεσμοι  
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Commutative Ring Theory
 Rings Close to Regular 
Modules over Commutative Regular Rings

Παραπομπές

Σημειώσεις

H. Matsumura, Commutative algebra 1980 .

; reprinted by R. E. Krieger Pub. Co (1975) 



Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αντιμεταθετική άλγεβρα