Παραγωγικός πίνακας

Στη γραμμική άλγεβρα, ένας τετραγωνικός μη αρνητικός πίνακας  τάξης  λέγεται παραγωγικός, ή πίνακας Λεόντιεφ, αν υπάρχει ένας  μη αρνητικός πίνακας στήλης  τέτοιος ώστε  να είναι ένας θετικός πίνακας.

 Ιστορία 

Η έννοια της παραγωγικής μήτρας αναπτύχθηκε από τον οικονομολόγο Βασίλι Λεόντιεφ (βραβείο Νόμπελ Οικονομικών Επιστημών το 1973) προκειμένου να μοντελοποιήσει και να αναλύσει τις σχέσεις μεταξύ των διαφόρων τομέων μιας οικονομίαςKim Minju, Leontief Input-Output Model (Application of Linear Algebra to Economics)  Οι δεσμοί αλληλεξάρτησης μεταξύ των τελευταίων μπορούν να εξεταστούν από το υπόδειγμα εισροών-εκροών με εμπειρικά δεδομένα.

 Ορισμός 

Ο πίνακας  είναι παραγωγικός αν και μόνο αν  και  όπως .

Εδώ  δηλώνει το [[Πίνακας (μαθηματικά)#Συμβολισμός|σύνολο πινάκων r×c]] των πραγματικών αριθμών, ενώ  και  δηλώνουν έναν θετικό και έναν μη αρνητικό πίνακα, αντίστοιχα.

 Χαρακτηρισμός ΘεώρημαΈνας μη αρνητικός πίνακας  είναι παραγωγικός αν και μόνο αν  είναι αντιστρέψιμος με μη αρνητικό αντίστροφο, όπου  συμβολίζει τον ταυτοτικό πίνακα.Απόδειξη"Αν" :
Έστω  να είναι αντιστρέψιμος με μη αρνητικό αντίστροφο,
Let  ένας αυθαίρετος πίνακας στηλών με .
Then the matrix  είναι μη αρνητικός, δεδομένου ότι είναι το γινόμενο δύο μη αρνητικών πινάκων.
Επιπλέον, .
Επομένως  είναι παραγωγικό.
"Μόνο εάν" :
Έστω  παραγωγικός, έστω  έτσι ώστε .
Η απόδειξη προχωρά με reductio ad absurdum δηλαδή Εις άτοπον απαγωγή.
Πρώτον, ας υποθέσουμε για αντίφαση ότι  είναι Αντιστρέψιμος πίνακας.
Ο ενδομορφισμός που σχετίζεται κανονικά με το  δεν μπορεί να είναι ένας-προς-ένα λόγω ιδιομορφίας του πίνακα.
Συνεπώς, υπάρχει κάποιος μη μηδενικός πίνακας στηλών  τέτοιος ώστε .
Ο πίνακας  έχει τις ίδιες ιδιότητες με τον , επομένως μπορούμε να επιλέξουμε τον  ως στοιχείο του πυρήνα με τουλάχιστον μία θετική είσοδο.
Έτσι, κάποιος μη μηδενικός πίνακας στήλης  υπάρχει τέτοιος ώστε .
Ο πίνακας  έχει τις ίδιες ιδιότητες με τον , επομένως μπορούμε να επιλέξουμε τον  ως στοιχείο του πυρήνας με τουλάχιστον μία θετική είσοδο.
Ως εκ τούτου  είναι μη αρνητικό και επιτυγχάνεται με τουλάχιστον μία τιμή .
Από τον ορισμό του  και του , μπορούμε να συμπεράνουμε ότι:

, με τη χρήση ότι  από την κατασκευή.
Κατά συνέπεια , χρησιμοποιώντας αυτό  σύμφωνα με τον ορισμό του .
Αυτό έρχεται σε αντίθεση με τα  και , επομένως το  είναι αναγκαστικά αντιστρέψιμο.
Δεύτερον, ας υποθέσουμε για αντίφαση ότι η  είναι αντιστρέψιμος αλλά με τουλάχιστον μία αρνητική εγγραφή στο αντίστροφό του.
Επομένως  έτσι ώστε να υπάρχει τουλάχιστον μία αρνητική εγγραφή στο .
Τότε  είναι θετικός και επιτυγχάνεται με τουλάχιστον μία τιμή .
Από τον ορισμό του  και του , μπορούμε να συμπεράνουμε ότι:

, με τη χρήση ότι  από την κατασκευή
 χρησιμοποιώντας ότι  από τον ορισμό του .
Επομένως , γεγονός που αντιφάσκει με το .
Συνεπώς, το  είναι αναγκαστικά μη αρνητικός.

 Μετατόπιση ΠρότασηΗ μεταφορά ενός παραγωγικού πίνακα είναι παραγωγική.Απόδειξη'''
Έστω  ένας παραγωγικός πίνακας.
Τότε ο  υπάρχει και είναι μη αρνητικός.
Ωστόσο 
Επομένως, ο  είναι αντιστρέψιμος με μη αρνητικό αντίστροφο.
Συνεπώς, ο  είναι παραγωγικός.

 Εφαρμογή 

Με την προσέγγιση του υποδείγματος εισροών-εκροών με τη βοήθεια πινάκων, ο πίνακας κατανάλωσης είναι παραγωγικός εάν είναι οικονομικά βιώσιμος και εάν ο τελευταίος και το διάνυσμα της ζήτησης είναι μη αρνητικά.

 Δημοσιεύσεις 






 Diodorus Siculus, Bibliotheca Historica. Vol. 1–2''. Immanel Bekker. Ludwig Dindorf. Friedrich Vogel. in aedibus B. G. Teubneri. Leipzig. 1888–1890. Greek text available at the Perseus Digital Library.




 Δείτε επίσης 

 Field Arithmetic
 Πραγματικό προβολικό επίπεδο
 Πραγματικός αριθμός
 Αντιερμιτιανός πίνακας
 Μέγιστος κοινός διαιρέτης
 Υπολογιστική βιολογία
 Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
 Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
 Συμμετρικός πίνακας
 Παραμετρικές εξισώσεις
 Πολλαπλασιασμός πινάκων
 Επαναλαμβανόμενη συνάρτηση
 Ανάλυση πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές
 Μπεϋζιανή στατιστική
 Κυρτό πολύτοπο
 High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 

 English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Matrix calculator
 Matrix Analysis
 Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
 Exercises of Matrices and Linear Algebra
 Fourier Transforms: Approach to Scientific Principles
 Euclidean Distance Matrices and Their Applications in Rigidity Theory.
 Physics and Combinatorics 2000: Proceedings of the Nagoya 2000 International ...
 Applied General Equilibrium: An Introduction.
 Productivity Theory for Industrial Engineering.
 Sustainable Design and Manufacturing: Proceedings of the 8th International ....
 Lectures on the Combinatorics of Free Probability, Τόμος 13

 Παραπομπές 




Κατηγορία:Αριθμητική γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Θεωρήματα της γραμμικής άλγεβρας
Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)
Κατηγορία:Μαθηματική Οικονομική