Κατανομή Μαρτσένκο-Παστούρ

Στη μαθηματική θεωρία των τυχαίων πινάκων, η κατανομή Μαρτσένκο-Παστούρ ή ο νόμος Μαρτσένκο-Παστούρ περιγράφει την ασυμπτωτική συμπεριφορά των μοναδιαίων τιμών μεγάλων ορθογώνιων τυχαίων πινάκων. Το θεώρημα πήρε το όνομά του από τους σοβιετικούς μαθηματικούς Βολοντίμιρ Μαρτσένκο και Λεονίντ Παστούρ, οι οποίοι απέδειξαν αυτό το αποτέλεσμα το 1967.

Αν  συμβολίζει έναν τυχαίο πίνακα  του οποίου οι καταχωρήσεις είναι ανεξάρτητες ταυτόσημα κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές με μέση τιμή 0 και διακύμανση , έστω



και έστω  είναι οι ιδιοτιμές του  (θεωρούμενες ως τυχαίες μεταβλητές). Τέλος, ας θεωρήσουμε το τυχαίο μέτρο



μετρώντας τον αριθμό των ιδιοτιμών στο υποσύνολο  που περιλαμβάνεται στο .

Θεώρημα.  Έστω ότι that  έτσι ώστε ο λόγος . Τότε (σε ασθενή* τοπολογία στην κατανομή), όπου


και

με


Ο νόμος Μαρτσένκο-Παστούρ εμφανίζεται επίσης ως ελεύθερος νόμος Πουασόν στην ελεύθερη θεωρία πιθανοτήτων, με ρυθμό  και μέγεθος άλματος .

Ροπές

Για κάθε , its -th ροπή του είναι

Ορισμένοι μετασχηματισμοί αυτού του νόμου

Ο μετασχηματισμός του Στίλτζες δίνεται από τη σχέση 



για μιγαδικούς αριθμούς  με θετικό φανταστικό μέρος, όπου η μιγαδική τετραγωνική ρίζα θεωρείται ότι έχει επίσης θετικό φανταστικό μέρος. Ο μετασχηματισμός Στίλτζες μπορεί να επαναδιατυπωθεί στη μορφή του μετασχηματισμού R, ο οποίος δίνεται από 



Ο μετασχηματισμός S δίνεται από τη σχέση 



Εφαρμογή σε πίνακες συσχέτισης
Για την ειδική περίπτωση των πινάκων συσχέτισης, γνωρίζουμε ότι

 and . Αυτό περιορίζει τη μάζα πιθανοτήτων στο διάστημα που ορίζεται από τη σχέση 



Δεδομένου ότι η κατανομή αυτή περιγράφει το φάσμα των τυχαίων πινάκων με μέσο όρο 0, οι ιδιοτιμές των πινάκων συσχέτισης που εμπίπτουν στο προαναφερθέν διάστημα θα μπορούσαν να θεωρηθούν ως ψευδείς ή θόρυβος. Παραδείγματος χάριν, η λήψη ενός πίνακα συσχέτισης 10 αποδόσεων μετοχών που υπολογίζονται για μια περίοδο 252 ημερών διαπραγμάτευσης θα απέδιδε . Έτσι, από τις 10 ιδιοτιμές του εν λόγω πίνακα συσχέτισης, μόνο οι τιμές μεγαλύτερες από 1,43 θα θεωρούνταν σημαντικά διαφορετικές από τις τυχαίες.

Δημοσιεύσεις 





 Diodorus Siculus, Bibliotheca Historica. Vol. 1–2. Immanel Bekker. Ludwig Dindorf. Friedrich Vogel. in aedibus B. G. Teubneri. Leipzig. 1888–1890. Greek text available at the Perseus Digital Library.
O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, J. Z. Zhu : The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals, Butterworth-Heinemann (2005).








Δείτε επίσης

 Field Arithmetic
 Πραγματικό προβολικό επίπεδο
 Πραγματικός αριθμός 
 Αντιερμιτιανός πίνακας
 Μέγιστος κοινός διαιρέτης
 Υπολογιστική βιολογία
 Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
 Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
 Συμμετρικός πίνακας
 Παραμετρικές εξισώσεις
 Πολλαπλασιασμός πινάκων
 Επαναλαμβανόμενη συνάρτηση
 Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα
 Κανονική κατανομή
 Θεωρία πιθανοτήτων
 High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι  

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
Matrix calculator
 Matrix Analysis
 Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
 Exercises of Matrices and Linear Algebra
 Eigenvalue Distribution of Large Random Matrices
 Quantum Probability and Spectral Analysis of Graphs.
 Physics and Combinatorics 2000: Proceedings of the Nagoya 2000 International ...
 Quantum Mesoscopic Phenomena and Mesoscopic Devices in Microelectronics
 Limit Theorems in Probability, Statistics and Number Theory: In Honor of  ...
 The Semicircle Law, Free Random Variables and Entropy....
 Lectures on the Combinatorics of Free Probability, Τόμος 13

Παραπομπές




  Link to free-access pdf of Russian version
  Link to free download Another free access site





Κατηγορία:Αριθμητική γραμμική άλγεβρα  
Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα 
Κατηγορία:Θεωρήματα της γραμμικής άλγεβρας 
Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά) 
Κατηγορία:Κατανομές 
Κατηγορία:Στατιστική 
Κατηγορία:Μαθηματική φυσική