Ιαπωνικό θεώρημα

Στην γεωμετρία, το Ιαπωνικό θεώρημα για εγγεγραμμένα τετράπλευρα λέει ότι σε κάθε εγγεγραμμένο τετράπλευρο  για τις ακτίνες  των εγγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων , ,  και  ισχύει ότι
.

 Απόδειξη 

Έχουν δημοσιευθεί και άλλες αποδείξεις, συμπεριλαμβανομένων κάποιων που χρησιμοποιούν μεταφορά γωνιών και άλλων που χρησιμοποιούν το θεώρημα Thébault.

 Για εγγεγραμμένα πολύγωνα 

Το θεώρημα γενικεύεται για εγγεγραμμένα πολύγωνα, όπου οποιοσδήποτε τριγωνισμός του πολυγώνου δίνει το ίδιο άθροισμα ακτινών των εγγεγραμμένων τους κύκλων.

Αυτή η γενίκευση μπορεί να αποδειχτεί με μία τροποποίηση της παραπάνω απόδειξης. Πιο συγκεκριμένα, για κάθε τρίγωνο  εφαρμόζουμε το θεώρημα Καρνό  και προσθέτουμε τις εξισώσεις κατά μέλη. Κάθε όρος  όπου  το μέσο μίας διαγωνίου εμφανίζεται μία φορά με αρνητικό πρόσιμο και μία με θετικό, άρα απαλοίφεται από το άθροισμα. Εν αντιθέσει, κάθε όρος  όπου  το μέσο μίας πλευράς εμφανίζεται μία φορά στο άθροισμα και κάθε φορά με το ίδιο πρόσιμο . Επομένως, το άθροισμα είναι ίσο με
,
και ανεξάρτητο του τριγωνισμού.

 Δείτε επίσης 
 Εγγεγραμμένο τετράπλευρο
 Θεώρημα Καρνό (ακτίνες)

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Ευκλείδεια Γεωμετρία
Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία
Κατηγορία:Τετράπλευρα
Κατηγορία:Πολύγωνα