Τοπολογία Ζαρίσκι

Στην αλγεβρική γεωμετρία και την αντιμεταθετική άλγεβρα, η τοπολογία Ζαρίσκι είναι μια τοπολογία που ορίζεται σε γεωμετρικά αντικείμενα που ονομάζονται ποικιλίες. Είναι πολύ διαφορετική από τις τοπολογίες που χρησιμοποιούνται συνήθως στην πραγματική ή μιγαδική ανάλυση- ειδικότερα, δεν είναι Χάουσντορφ.   Αυτή η τοπολογία εισήχθη κυρίως από τον Όσκαρ Ζαρίσκι και αργότερα γενικεύτηκε για να καταστήσει το σύνολο των πρώτων ιδεωδών ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου (που ονομάζεται φάσμα του δακτυλίου) τοπολογικό χώρο.

Η τοπολογία Ζαρίσκι επιτρέπει τη χρήση εργαλείων από την τοπολογία για τη μελέτη αλγεβρικών ποικιλιών, ακόμη και όταν το υποκείμενο πεδίο δεν είναι τοπολογικό πεδίο. Αυτή είναι μία από τις βασικές ιδέες της θεωρίας σχημάτων, η οποία επιτρέπει τη δημιουργία γενικών αλγεβρικών ποικιλιών με τη συγκόλληση αφινικών ποικιλιών κατά τρόπο παρόμοιο με αυτόν της θεωρίας πολλαπλοτήτων, όπου οι πολλαπλότητες κατασκευάζονται με τη συγκόλληση διαγραμμάτων, τα οποία είναι ανοικτά υποσύνολα πραγματικών αφινικών χώρων.

Η τοπολογία Ζαρίσκι μιας αλγεβρικής ποικιλίας είναι η τοπολογία της οποίας τα κλειστά σύνολα είναι τα αλγεβρικά υποσύνολα της ποικιλίας. Στην περίπτωση μιας αλγεβρικής ποικιλίας πάνω στους μιγαδικούς αριθμούς, η τοπολογία Ζαρίσκι είναι επομένως πιο χονδροειδής από τη συνήθη τοπολογία, καθώς κάθε αλγεβρικό σύνολο είναι κλειστό για τη συνήθη τοπολογία.

Η γενίκευση της τοπολογίας Ζαρίσκι στο σύνολο των πρώτων ιδεωδών ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου προκύπτει από την Nullstellensatz (μηδενική διάταξη) του Χίλμπερτ, η οποία καθιερώνει μια διμερή αντιστοιχία μεταξύ των σημείων μιας αφινικής ποικιλίας που ορίζεται πάνω σε ένα αλγεβρικά κλειστό πεδίο και των μέγιστων ιδεωδών του δακτυλίου των κανονικών συναρτήσεων του. 
Αυτό υποδηλώνει τον ορισμό της τοπολογίας Ζαρίσκι στο σύνολο των μέγιστων ιδεωδών ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου ως την τοπολογία που ορίζει ότι ένα σύνολο μέγιστων ιδεωδών είναι κλειστό αν και μόνο αν είναι το σύνολο όλων των μέγιστων ιδεωδών που περιέχουν ένα δεδομένο ιδεώδες. Μια άλλη βασική ιδέα της θεωρίας σχημάτων του Γκρότεντικ είναι να θεωρούνται ως σημεία, όχι μόνο τα συνήθη σημεία που αντιστοιχούν σε μέγιστα ιδεώδη, αλλά και όλες οι (μη αναγώγιμες) αλγεβρικές ποικιλίες, οι οποίες αντιστοιχούν σε πρωταρχικά ιδεώδη. Έτσι, η τοπολογία Ζαρίσκι στο σύνολο των πρώτων ιδανικών (φάσμα) ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου είναι η τοπολογία τέτοια ώστε ένα σύνολο πρώτων ιδεωδών να είναι κλειστό αν και μόνο αν είναι το σύνολο όλων των πρώτων ιδεωδών που περιέχουν ένα σταθερό ιδεώδες.

Τοπολογία Ζαρίσκι των ποικιλιών
Στην κλασική αλγεβρική γεωμετρία (δηλαδή στο τμήμα της αλγεβρικής γεωμετρίας στο οποίο δεν χρησιμοποιούνται σχήματα, τα οποία εισήχθησαν από τον Γκρότεντικ γύρω στο 1960), η τοπολογία Ζαρίσκι ορίζεται στις αλγεβρικές ποικιλίες. Η τοπολογία Ζαρίσκι, η οποία ορίζεται στα σημεία της ποικιλίας, είναι η τοπολογία τέτοια ώστε τα κλειστά σύνολα να είναι τα αλγεβρικά υποσύνολα της ποικιλίας. Καθώς οι πιο στοιχειώδεις αλγεβρικές ποικιλίες είναι οι αφινικές και οι προβολικές ποικιλίες, είναι χρήσιμο να γίνει ο ορισμός αυτός πιο σαφής και στις δύο περιπτώσεις. Υποθέτουμε ότι εργαζόμαστε πάνω σε ένα σταθερό, αλγεβρικά κλειστό πεδίο k (στην κλασική αλγεβρική γεωμετρία, το k είναι συνήθως το πεδίο των μιγαδικών αριθμών).

Αφινικές ποικιλίες
Αρχικά, ορίζουμε την τοπολογία στον αφινικό χώρο  που σχηματίζεται από τα -tuples των στοιχείων του .  Η τοπολογία ορίζεται προσδιορίζοντας τα κλειστά σύνολα της, αντί για τα ανοικτά σύνολα, και αυτά θεωρούνται απλά όλα τα αλγεβρικά σύνολα του  Δηλαδή, τα κλειστά σύνολα είναι αυτά της μορφής

όπου S είναι οποιοδήποτε σύνολο πολυωνύμων σε n μεταβλητές πάνω από k.  Είναι μια απλή επαλήθευση για να δείξουμε ότι:

 V(S) = V((S)), όπου (S) είναι το ιδεώδες που παράγεται από τα στοιχεία του S,
 Για δύο οποιαδήποτε ιδεώδη πολυώνυμα I, J, έχουμε



Προκύπτει ότι οι πεπερασμένες ενώσεις και οι αυθαίρετες τομές των συνόλων V(S) είναι επίσης αυτής της μορφής, έτσι ώστε τα σύνολα αυτά να αποτελούν τα κλειστά σύνολα μιας τοπολογίας (ισοδύναμα, τα συμπληρώματά τους, που συμβολίζονται D(S) και ονομάζονται κύρια ανοικτά σύνολα, αποτελούν την ίδια την τοπολογία).  
Αυτή είναι η τοπολογία Ζαρίσκι στο 

Αν το X είναι ένα αφινικό αλγεβρικό σύνολο (μη αναγώγιμο ή μη) τότε η τοπολογία Ζαρίσκι σε αυτό ορίζεται απλά ως η τοπολογία του υποχώρου που επάγεται από την ένταξή του σε κάποιο  Ισοδύναμα, μπορεί να ελεγχθεί ότι:

 Τα στοιχεία του αφινικού δακτυλίου συντεταγμένων 


δρουν ως συναρτήσεις στο X όπως ακριβώς τα στοιχεία του  δρουν ως συναρτήσεις στο , εδώ, I(X) είναι το ιδανικό όλων των πολυωνύμων που εξαφανίζονται στο X. 
 Για κάθε σύνολο πολυωνύμων S, έστω T το σύνολο των εικόνων τους στο A'''(X).  Τότε το υποσύνολο τουX  

(αυτοί οι συμβολισμοί δεν είναι τυποποιημένοι) είναι ίσο με την τομή με το X του V(S).

Αυτό αποδεικνύει ότι η παραπάνω εξίσωση, η οποία είναι σαφώς μια γενίκευση του ορισμού των κλειστών συνόλων στο  παραπάνω, ορίζει την τοπολογία Ζαρίσκι σε οποιαδήποτε αφινική ποικιλία.

Προβολικές ποικιλίες
Υπενθυμίζουμε ότι ο n-διάστατος προβολικός χώρος  ορίζεται ως το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας των μη μηδενικών σημείων του  με τον προσδιορισμό δύο σημείων που διαφέρουν κατά ένα κλιμακωτό πολλαπλάσιο του k.  Τα στοιχεία του πολυωνυμικού δακτυλίου  δεν είναι γενικά συναρτήσεις στο  επειδή κάθε σημείο έχει πολλούς αντιπροσώπους που δίνουν διαφορετικές τιμές σε ένα πολυώνυμο- ωστόσο, για τα ομογενή πολυώνυμα η συνθήκη της ύπαρξης μηδενικής ή μη μηδενικής τιμής σε κάθε δεδομένο προβολικό σημείο είναι σαφώς καθορισμένη, αφού το κλιμακωτό πολλαπλάσιο βγαίνει από το πολυώνυμο.  Επομένως, αν S είναι οποιοδήποτε σύνολο ομογενών πολυωνύμων μπορούμε λογικά να μιλήσουμε για

Για τα σύνολα αυτά μπορούν να διαπιστωθούν τα ίδια γεγονότα με τα παραπάνω, με τη διαφορά ότι η λέξη "ιδεώδες" πρέπει να αντικατασταθεί από τη φράση "ομογενές ιδεώδες", έτσι ώστε το V(S), για σύνολα S ομογενών πολυωνύμων, να ορίζει μια τοπολογία στο  Όπως παραπάνω τα συμπληρώματα αυτών των συνόλων συμβολίζονται D(S), ή, αν είναι πιθανό να προκύψει σύγχυση, D′(S).

Η προβολική τοπολογία Ζαρίσκη ορίζεται για τα προβολικά αλγεβρικά σύνολα όπως ακριβώς ορίζεται η αφινική για τα αφινικά αλγεβρικά σύνολα, λαμβάνοντας την τοπολογία υποδιαστήματος.  
Ομοίως, μπορεί να αποδειχθεί ότι αυτή η τοπολογία ορίζεται εγγενώς από σύνολα στοιχείων του προβολικού δακτυλίου συντεταγμένων, με τον ίδιο τύπο όπως παραπάνω.

Ιδιότητες
Μια σημαντική ιδιότητα των τοπολογιών Ζαρίσκι είναι ότι έχουν μια βάση που αποτελείται από απλά στοιχεία, δηλαδή το  για μεμονωμένα πολυώνυμα (ή για προβολικές ποικιλίες, ομογενή πολυώνυμα) . Το ότι αυτά αποτελούν μια βάση προκύπτει από τον τύπο για την τομή δύο κλειστών συνόλων Ζαρίσκι που δόθηκε παραπάνω ( εφαρμόζεται επανειλημμένα στα κύρια ιδεώδη που παράγονται από τις γεννήτριες του ). Τα ανοικτά σύνολα αυτής της βάσης ονομάζονται διακεκριμένα ή βασικά ανοικτά σύνολα. Η σημασία αυτής της ιδιότητας προκύπτει ιδίως από τη χρήση της στον ορισμό ενός αφινικού σχήματος.

Σύμφωνα με το θεώρημα της βάσης του Χίλμπερτ και το γεγονός ότι οι Ναιτεριανοί δακτύλιοι είναι κλειστοί ως προς τα πηλίκα, κάθε αφινικός ή προβολικός δακτύλιος συντεταγμένων είναι Ναιτεριανός.  Κατά συνέπεια, οι αφινικοί ή προβολικοί χώροι με την τοπολογία Ζαρίσκι είναι τοπολογικοί χώροι Ναιτεριανοί, πράγμα που σημαίνει ότι κάθε κλειστό υποσύνολο αυτών των χώρων είναι συμπαγές.

Ωστόσο, εκτός από τα πεπερασμένα αλγεβρικά σύνολα, κανένα αλγεβρικό σύνολο δεν είναι ποτέ χώρος Χάουσντορφ. Στην παλαιά τοπολογική βιβλιογραφία η λέξη "συμπαγής" θεωρούνταν ότι περιλαμβάνει την ιδιότητα Χάουσντορφ, και αυτή η σύμβαση εξακολουθεί να τηρείται στην αλγεβρική γεωμετρία- επομένως, η συμπαγής με τη σύγχρονη έννοια ονομάζεται "οιονεί συμπαγής" στην αλγεβρική γεωμετρία. Ωστόσο, εφόσον κάθε σημείο  (a1, ..., an) είναι το μηδενικό σύνολο των πολυωνύμων x1 - a1, ..., xn - an, τα σημεία είναι κλειστά και έτσι κάθε ποικιλία ικανοποιεί το αξίωμα T1.

Κάθε κανονικός χάρτης ποικιλιών είναι συνεχής στην τοπολογία Ζαρίσκι. Στην πραγματικότητα, η τοπολογία Ζαρίσκι είναι η ασθενέστερη τοπολογία (με τα λιγότερα ανοικτά σύνολα) στην οποία αυτό ισχύει και στην οποία τα σημεία είναι κλειστά. Αυτό επαληθεύεται εύκολα παρατηρώντας ότι τα κλειστά σύνολα Ζαρίσκι είναι απλώς οι τομές των αντίστροφων εικόνων του 0 από τις πολυωνυμικές συναρτήσεις, θεωρούμενες ως κανονικοί χάρτες στο 

Φάσμα ενός δακτυλίου
Στη σύγχρονη αλγεβρική γεωμετρία, μια αλγεβρική ποικιλία αναπαρίσταται συχνά από το σχετικό της σχήμα, το οποίο είναι ένας τοπολογικός χώρος (εφοδιασμένος με πρόσθετες δομές) που είναι τοπικά ομοιομορφικός με το φάσμα ενός δακτυλίου. Το φάσμα ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου Α, που συμβολίζεται με , είναι το σύνολο των πρώτων ιδανικών του Α, εφοδιασμένο με την τοπολογία Ζαρίσκι, για την οποία τα κλειστά σύνολα είναι τα σύνολα

όπου I είναι ένα ιδεώδες.

Προκειμένου να δούμε τη σύνδεση με την κλασική εικόνα, ας σημειωθεί ότι για οποιοδήποτε σύνολο S πολυωνύμων (πάνω από ένα αλγεβρικά κλειστό πεδίο), προκύπτει από την Nullstellensatz του Χίλμπερτ ότι τα σημεία του V(S) (με την παλιά έννοια) είναι ακριβώς οι πλειάδες (a1, ..., an) τέτοιες ώστε το ιδεώδες που παράγεται από τα πολυώνυμα x1 − a1, ..., xn − an να περιέχει το S- επιπλέον, αυτά είναι μέγιστα ιδεώδη και σύμφωνα με την "ασθενή" Nullstellensatz (μηδενική διάταξη), ένα ιδεώδες οποιουδήποτε συναφούς δακτυλίου συντεταγμένων είναι μέγιστο αν και μόνο αν είναι αυτής της μορφής. Έτσι, το V(S) είναι "το ίδιο" με τα μέγιστα ιδανικά που περιέχουν το S. Η καινοτομία του Γκρότεντιεκ στον ορισμό του Spec ήταν να αντικαταστήσει τα μέγιστα ιδανικά με όλα τα πρωταρχικά ιδεώδη- σε αυτή τη διατύπωση είναι φυσικό να γενικεύσουμε απλώς αυτή την παρατήρηση στον ορισμό ενός κλειστού συνόλου στο φάσμα ενός δακτυλίου.

Ένας άλλος τρόπος, ίσως πιο κοντά στο πρωτότυπο, για να ερμηνεύσουμε τον σύγχρονο ορισμό είναι να γίνει αντιληπτό ότι τα στοιχεία του A μπορούν στην πραγματικότητα να θεωρηθούν ως συναρτήσεις επί των πρώτων ιδανικών του A, δηλαδή ως συναρτήσεις επί του Spec A. Απλά, κάθε πρωταρχικό ιδεώδες P έχει ένα αντίστοιχο πεδίο καταλοίπων, το οποίο είναι το πεδίο των κλασμάτων του πηλίκου A/P, και κάθε στοιχείο του A έχει μια αντανάκλαση σε αυτό το πεδίο καταλοίπων.  Επιπλέον, τα στοιχεία που βρίσκονται πραγματικά στο P είναι ακριβώς εκείνα των οποίων η αντανάκλαση εξαφανίζεται στο P.  Έτσι, αν σκεφτούμε τον χάρτη που σχετίζεται με οποιοδήποτε στοιχείο a στο A :

(" αξιολόγηση του a"), η οποία αποδίδει σε κάθε σημείο την αντανάκλασή του στο εκεί πεδίο υπολειμμάτων, ως συνάρτηση στο Spec A (οι τιμές του οποίου, ομολογουμένως, βρίσκονται σε διαφορετικά πεδία σε διαφορετικά σημεία), τότε έχουμε

Γενικότερα, V(I) για κάθε ιδανικό I είναι το κοινό σύνολο στο οποίο εξαφανίζονται όλες οι "συναρτήσεις" στο I, το οποίο είναι τυπικά παρόμοιο με τον κλασικό ορισμό.  
Στην πραγματικότητα, συμφωνούν με την έννοια ότι όταν το A είναι ο δακτύλιος των πολυωνύμων πάνω σε κάποιο αλγεβρικά κλειστό σώμα k, τα μέγιστα ιδανικά του A ταυτίζονται (όπως αναφέρθηκε στην προηγούμενη παράγραφο) με n-tuples (νιάδες)  ομάδες στοιχείων του k, τα πεδία υπολειμμάτων τους είναι ακριβώς το k, και οι χάρτες "αξιολόγησης" είναι στην πραγματικότητα η αξιολόγηση πολυωνύμων στις αντίστοιχες n-tuples (νιάδες)  ομάδες.  Εφόσον, όπως φάνηκε παραπάνω, ο κλασικός ορισμός είναι ουσιαστικά ο σύγχρονος ορισμός με την εξέταση μόνο των μέγιστων ιδανικών, αυτό δείχνει ότι η ερμηνεία του σύγχρονου ορισμού ως "μηδενικά σύνολα συναρτήσεων" συμφωνεί με τον κλασικό ορισμό όπου και οι δύο έχουν νόημα.

Ακριβώς όπως η Spec αντικαθιστά τις αφινικές ποικιλίες, η κατασκευή Proj αντικαθιστά τις προβολικές ποικιλίες στη σύγχρονη αλγεβρική γεωμετρία.  Ακριβώς όπως και στην κλασική περίπτωση, για να μεταβούμε από τον αφινικό στον προβολικό ορισμό χρειάζεται μόνο να αντικαταστήσουμε το " ιδεώδες " με το " ομογενές ιδεώδες ", αν και υπάρχει μια επιπλοκή που αφορά το " άσχετο μέγιστο ιδεώδες ", η οποία συζητείται στο αναφερόμενο άρθρο.

Παραδείγματα
 Spec k, το φάσμα ενός πεδίου k είναι ο τοπολογικός χώρος με ένα στοιχείο.
 Spec , το φάσμα των ακεραίων έχει ένα κλειστό σημείο για κάθε πρώτος αριθμός p που αντιστοιχεί στο μέγιστο ιδεώδες , και ένα μη κλειστό γενικό σημείο (δηλαδή, του οποίου το κλείσιμο είναι ολόκληρος ο χώρος) που αντιστοιχεί στο μηδενικό ιδεώδες (0). Έτσι, τα κλειστά υποσύνολα του Spec  είναι ακριβώς ολόκληρος ο χώρος και οι πεπερασμένες ενώσεις των κλειστών σημείων.
 Spec k[t], το φάσμα του πολυωνυμικού δακτυλίου πάνω από ένα πεδίο k: ένας τέτοιος πολυωνυμικός δακτύλιος είναι γνωστό ότι είναι μια κύρια ιδανική περιοχή και τα μη αναγώγιμα πολυώνυμα είναι τα πρώτα στοιχεία του k[t]. Αν το k είναι αλγεβρικά κλειστό, όπως για παράδειγμα το πεδίο των μιγαδικών αριθμών, ένα μη σταθερό πολυώνυμο είναι μη αναγώγιμο αν και μόνο αν είναι γραμμικό, της μορφής t − a, για κάποιο στοιχείο a του k. Έτσι, το φάσμα αποτελείται από ένα κλειστό σημείο για κάθε στοιχείο a του k και ένα γενικό σημείο, που αντιστοιχεί στο μηδενικό ιδεώδες, και το σύνολο των κλειστών σημείων είναι ομοιομορφικό με την αφινική γραμμή k εφοδιασμένη με την τοπολογία Ζαρίσκι. Λόγω αυτού του ομοιομορφισμού, ορισμένοι συγγραφείς χρησιμοποιούν τον όρο  γραμμή αφινική για το φάσμα του k[t]. Αν το k δεν είναι αλγεβρικά κλειστό, όπως π.χ. το πεδίο των πραγματικών αριθμών, η εικόνα γίνεται πιο περίπλοκη λόγω της ύπαρξης μη γραμμικών μη αναγώγιμων πολυωνύμων. Σε αυτή την περίπτωση, το φάσμα αποτελείται από ένα κλειστό σημείο για κάθε μονικό μη αναγώγιμο πολυώνυμο και ένα γενικό σημείο που αντιστοιχεί στο μηδενικό ιδεώδες.  Παραδείγματος χάριν, το φάσμα του } αποτελείται από τα κλειστά σημεία (x − a), για a στο , τα κλειστά σημεία (x2 + px + q) όπου p, q είναι στο και με αρνητική διακρίνουσα  p2 − 4q < 0, και τέλος ένα γενικό σημείο (0). Για οποιοδήποτε πεδίο, τα κλειστά υποσύνολα του Spec k[t] είναι πεπερασμένες ενώσεις κλειστών σημείων και ολόκληρου του χώρου. (Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι το k[t] είναι ένα κύριο ιδεώδες πεδίο, και, σε ένα κύριο  ιδεώδες πεδίο, τα πρώτα ιδεώδη που περιέχουν ένα ιδεώδες είναι οι πρώτοι παράγοντες της πρώτης παραγοντοποίησης ενός γεννήτορα του ιδεώδους).

Περαιτέρω ιδιότητες
Η πιο εντυπωσιακή αλλαγή στην τοπολογία από την κλασική εικόνα στη νέα είναι ότι τα σημεία δεν είναι πλέον απαραίτητα κλειστά- επεκτείνοντας τον ορισμό, ο Γκρότεντικ εισήγαγε τα γενικά σημεία, τα οποία είναι τα σημεία με μέγιστο κλείσιμο, δηλαδή τα ελάχιστα πρωταρχικά ιδεώδη. Τα κλειστά σημεία αντιστοιχούν στα μέγιστα ιδεώδη του Α. Ωστόσο, το φάσμα και το προβολικό φάσμα εξακολουθούν να είναι χώροι T0: με δεδομένα δύο σημεία P, Q που είναι πρωταρχικά ιδεώδη του Α, τουλάχιστον το ένα από αυτά, ας πούμε το P, δεν περιέχει το άλλο. Τότε το D(Q) περιέχει το P αλλά, φυσικά, όχι το Q''.

Ακριβώς όπως και στην κλασική αλγεβρική γεωμετρία, κάθε φάσμα ή προβολικό φάσμα είναι (οιονεί) συμπαγές, και αν ο εν λόγω δακτύλιος είναι Ναιτεριανός, τότε ο χώρος είναι ένας Ναιτεριανός τοπολογικός χώρος. Ωστόσο, αυτά τα γεγονότα είναι αντιφατικά: κανονικά δεν περιμένουμε ότι τα ανοικτά σύνολα, εκτός από τις συνδεδεμένες συνιστώσες, είναι συμπαγή, και για τις αφινικές ποικιλίες (παραδείγματος χάριν, ο Ευκλείδειος χώρος) δεν περιμένουμε καν ότι ο ίδιος ο χώρος είναι συμπαγής. Αυτό είναι ένα παράδειγμα της γεωμετρικής ακαταλληλότητας της τοπολογίας Ζαρίσκι. Ο Γκρότεντικ έλυσε αυτό το πρόβλημα ορίζοντας την έννοια της ιδιομορφίας ενός σχήματος (στην πραγματικότητα, ενός μορφισμού σχημάτων), η οποία ανακτά τη διαισθητική ιδέα της συμπαγούς: Το Proj είναι κατάλληλο, αλλά το Spec δεν είναι.

Δείτε επίσης

 History Algebraic Geometry

Εξωτερικοί σύνδεσμοι  
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 General Topology
  An Invitation to Algebraic Geometry 
Algebraic Geometry III: Complex Algebraic Varieties Algebraic Curves and..

Παραπομπές

Σημειώσεις





Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Γενική τοπολογία 
Κατηγορία:Αλγεβρική τοπολογία