Πίνακας με εναλλασσόμενο πρόσημο

Στα μαθηματικά, ένας πίνακας με εναλλασσόμενο πρόσημο είναι ένας τετραγωνικός πίνακας με 0, 1 και -1, έτσι ώστε το άθροισμα κάθε γραμμής και στήλης να είναι 1 και οι μη μηδενικές καταχωρήσεις σε κάθε γραμμή και στήλη να εναλλάσσονται ως προς το πρόσημο. Αυτοί οι πίνακες γενικεύουν τους πίνακες μεταθέσεων και προκύπτουν φυσικά όταν χρησιμοποιείται η συμπύκνωση Ντόντγκσον για τον υπολογισμό ενός καθοριστικού παράγοντα. Είναι επίσης στενά συνδεδεμένοι με το πρότυπο των έξι κορυφών με οριακές συνθήκες τοιχώματος περιοχής από τη στατιστική μηχανική. Για πρώτη φορά ορίστηκαν από τους Γουίλιαμ Μιλς, Ντέιβιντ Ρόμπινς και Χάουαρντ Ράμσεϊ στο πρώτο πλαίσιο.

Παραδείγματα

Ένας πίνακας αντιμετάθεσης είναι ένας πίνακας με εναλλασσόμενο πρόσημο, και ένας πίνακας με εναλλασσόμενο πρόσημο είναι ένας πίνακας αντιμετάθεσης εάν και μόνο εάν καμία εγγραφή δεν ισούται με .

Παράδειγμα ενός πίνακα εναλλασσόμενων προσήμων που δεν είναι πίνακας μετάθεσης είναι ο

Θεώρημα του πίνακα με εναλλασσόμενο πρόσημο
Το θεώρημα του πίνακα με εναλλασσόμενο πρόσημο δηλώνει ότι ο αριθμός των  πινάκων με εναλλασσόμενο πρόσημο είναι

Οι πρώτοι όροι αυτής της ακολουθίας για n = 0, 1, 2, 3, … είναι
1, 1, 2, 7, 42, 429, 7436, 218348, … .

Αυτό το θεώρημα αποδείχθηκε για πρώτη φορά από τον Ντόρον Ζεϊλμπεργκερ το 1992Zeilberger, Doron, "Proof of the alternating sign matrix conjecture", Electronic Journal of Combinatorics 3 (1996), R13.. Το 1995, ο Γκρεγκ Κούπερμπεργκ έδωσε μια σύντομη απόδειξηKuperberg, Greg, "Another proof of the alternating sign matrix conjecture", International Mathematics Research Notes (1996), 139-150.  βασισμένη στην εξίσωση Γιανγκ-Μπάξτερ για το πρότυπο των έξι κορυφών με οριακές συνθήκες τομέα-τοίχου, που χρησιμοποιεί έναν υπολογισμό της ορίζουσας που οφείλεται στον Ανατόλι Ιζεργκίν"Determinant formula for the six-vertex model", A. G. Izergin et al. 1992 J. Phys. A: Math. Gen. 25 4315.. Το 2005, μια τρίτη απόδειξη δόθηκε από την Ίλσε Φίσερ χρησιμοποιώντας αυτό που ονομάζεται μέθοδος του τελεστή.

Πρόβλημα Ραζούμοφ-Στρογκάνοφ

Το 2001, οι Α. Ραζούμοφ και Γ. Στρογκάνοφ υπέθεσαν μια σύνδεση μεταξύ του μοντέλου βρόχων Ο(1), του μοντέλου πλήρως συσκευασμένων βρόχων (FPL) και των ASMs.Razumov, A.V., Stroganov Yu.G., Spin chains and combinatorics, Journal of Physics A, 34 (2001), 3185-3190.
Η εικασία αυτή αποδείχθηκε το 2010 από τους Καντίνι και Σπορτιέλο.L. Cantini and A. Sportiello, Proof of the Razumov-Stroganov conjectureJournal of Combinatorial Theory, Series A, 118 (5), (2011) 1549–1574,

Δημοσιεύσεις 





 Bressoud, David M., Proofs and Confirmations: The Story of the Alternating Sign Matrix Conjecture, MAA Spectrum, Mathematical Associations of America, Washington, D.C., 1999.
 Bressoud, David M. and Propp, James, How the alternating sign matrix conjecture was solved, Notices of the American Mathematical Society, 46 (1999), 637–646.
 Mills, William H., Robbins, David P., and Rumsey, Howard Jr., Proof of the Macdonald conjecture, Inventiones Mathematicae, 66 (1982), 73–87.
 Mills, William H., Robbins, David P., and Rumsey, Howard Jr., Alternating sign matrices and descending plane partitions, Journal of Combinatorial Theory, Series A, 34 (1983), 340–359.
 Propp, James, The many faces of alternating-sign matrices, Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, Special issue on Discrete Models: Combinatorics, Computation, and Geometry (July 2001).
 Razumov, A. V., Stroganov Yu. G., Combinatorial nature of ground state vector of O(1) loop model, Theor. Math. Phys., 138 (2004), 333–337.
 Razumov, A. V., Stroganov Yu. G., O(1) loop model with different boundary conditions and symmetry classes of alternating-sign matrices], Theor. Math. Phys., 142 (2005), 237–243, 
 Robbins, David P., The story of , The Mathematical Intelligencer, 13 (2), 12–19 (1991), .
 Zeilberger, Doron, Proof of the refined alternating sign matrix conjecture, New York Journal of Mathematics 2 (1996), 59–68.

Δείτε επίσης

 Field Arithmetic
 Πραγματικό προβολικό επίπεδο
 Πραγματικός αριθμός 
 Αντιερμιτιανός πίνακας
 Ενελικτικός πίνακας
 Τριγωνικός πίνακας
 Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
 Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
 Ταυτοτικός πίνακας
 Αντιμεταθέσιμοι πίνακες
 Πολλαπλασιασμός πινάκων
 High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form
 Algorithm overview

Εξωτερικοί σύνδεσμοι  

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
Matrix calculator
 Matrix Analysis
 Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
 Integral Matrices
 Basic Matrix Algebra with Algorithms and Applications
 An Introduction to Optimization: With Applications to Machine Learning
 Physics and Combinatorics 2000: Proceedings of the Nagoya 2000 International ...
 Surveys in Number Theory
 Random Matrices and the Six-Vertex Model
 Symmetry and Combinatorics

Παραπομπές







Κατηγορία:Αριθμητική γραμμική άλγεβρα 
Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά) 
Κατηγορία:Θεωρία πινάκων 
Κατηγορία:Συνδυαστική