Εξίσωση Συλβέστερ

Στα μαθηματικά, στον τομέα της θεωρίας ελέγχου, η εξίσωση Συλβέστερ είναι μια εξίσωση πίνακα της μορφής:This equation is also commonly written in the equivalent form of AX − XB = C.

Πήρε το όνομά του από τον Άγγλο μαθηματικό Τζέιμς Τζόσεφ Συλβέστερ. Στη συνέχεια, δεδομένων των πινάκων A, B και C, το πρόβλημα είναι να βρεθούν οι πιθανοί πίνακες X που συμμορφώνονται με αυτή την εξίσωση. Υποθέτουμε ότι όλοι οι πίνακες έχουν συντελεστές στους μιγαδικούς αριθμούς. Για να έχει νόημα η εξίσωση, οι πίνακες πρέπει να έχουν κατάλληλα μεγέθη, για παράδειγμα θα μπορούσαν να είναι όλοι τετραγωνικοί πίνακες του ίδιου μεγέθους. Αλλά γενικότερα, οι A και B πρέπει να είναι τετραγωνικοί πίνακες μεγέθους n και m αντίστοιχα, και τότε οι X και C έχουν και οι δύο n γραμμές και m στήλες.

Μια εξίσωση Συλβέστερ έχει μοναδική λύση για το Χ ακριβώς όταν δεν υπάρχουν κοινές ιδιοτιμές των Α και Β.
Γενικότερα, η εξίσωση AX + XB = C έχει θεωρηθεί ως εξίσωση περιορισμένων τελεστών σε έναν (ενδεχομένως απειροδιάστατο) χώρο Μπάναχ. Στην περίπτωση αυτή, η συνθήκη για τη μοναδικότητα μιας λύσης X είναι σχεδόν η ίδια: Υπάρχει μια μοναδική λύση X ακριβώς όταν τα φάσματα των A και -B είναι  ξένα μεταξύ τους.Bhatia and Rosenthal, 1997

Ύπαρξη και μοναδικότητα των λύσεων

Χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό του γινομένου Κρόνεκερ και τον τελεστή διανυσματοποίησης , μπορούμε να ξαναγράψουμε την εξίσωση του Συλβέστερ στη μορφή 

όπου  είναι διάστασης ,  είναι διάστασης ,  διάστασης  και  είναι ο  Ταυτοτικός πίνακας. Σε αυτή τη μορφή, η εξίσωση μπορεί να θεωρηθεί ως ένα γραμμικό σύστημα διάστασης .However, rewriting the equation in this form is not advised for the numerical solution since this version is costly to solve and can be ill-conditioned.

Θεώρημα. 
Δίνονται οι πίνακες  και , η εξίσωση Συλβέστερ  έχει μοναδική λύση  για κάθε  αν και μόνο αν  και  δεν έχουν καμία κοινή ιδιοτιμή.

Απόδειξη. 
Η εξίσωση  είναι ένα γραμμικό σύστημα με  αγνώστους και τον ίδιο αριθμό εξισώσεων. Επομένως είναι μοναδικά επιλύσιμη για κάθε δεδομένο  αν και μόνο αν η ομογενής εξίσωση 

δέχεται μόνο την τετριμμένη λύση .

(i) Ας υποθέσουμε ότι οι  και  δεν έχουν καμία κοινή ιδιοτιμή. Έστω  μια λύση της προαναφερθείσας ομογενούς εξίσωσης. Τότε , η οποία μπορεί να ανυψωθεί σε 

f για κάθε 
με μαθηματική επαγωγή. Κατά συνέπεια,

για οποιοδήποτε πολυώνυμο . Ειδικότερα, έστω  το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του . Τότε 

λόγω του θεωρήματος Κέιλι-Χάμιλτον- εν τω μεταξύ, το θεώρημα φασματικής απεικόνισης μας λέει ότι

όπου  δηλώνει το φάσμα ενός πίνακα. Εφόσον οι  και  δεν έχουν καμία κοινή ιδιοτιμή, το  δεν περιέχει μηδέν, και επομένως το  είναι μη-ιδιάζον. Συνεπώς,  όπως είναι επιθυμητό. Αυτό αποδεικνύει το μέρος «αν» του θεωρήματος.

(ii) Υποθέστε τώρα ότι οι  και  έχουν κοινή ιδιοτιμή . Έστω  ένα αντίστοιχο δεξιό ιδιοδιάνυσμα για το ,  ένα αντίστοιχο αριστερό ιδιοδιάνυσμα για το , και . Τότε , και 

Επομένως, το  είναι μια μη τετριμμένη λύση της προαναφερθείσας ομογενούς εξίσωσης, δικαιολογώντας το μέρος «μόνο αν» του θεωρήματος. Q.E.D.

Ως εναλλακτική λύση στο θεώρημα φασματικής απεικόνισης, η μη ιδιάζουσα του  στο μέρος (i) της απόδειξης μπορεί επίσης να αποδειχθεί από την ταυτότητα του Μπεζού για τα συντριπτικά πολυώνυμα. 
Έστω  το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του . Εφόσον τα  και  δεν έχουν καμία κοινή ιδιοτιμή, τα  και  είναι συντριπτά. Επομένως υπάρχουν πολυώνυμα  και  τέτοια ώστε . Σύμφωνα με το θεώρημα Κέιλι-Χάμιλτον-, . Επομένως , που σημαίνει ότι  είναι μη-ιδιάζον.

Το θεώρημα παραμένει αληθές για πραγματικούς πίνακες με την επιφύλαξη ότι εξετάζονται οι μιγαδικές ιδιοτιμές τους. Η απόδειξη για το μέρος «αν» εξακολουθεί να ισχύει- για το μέρος «μόνο αν», σημειώστε ότι τόσο το  όσο και το  ικανοποιούν την ομογενή εξίσωση , και δεν μπορούν να είναι ταυτόχρονα μηδέν.

Ο κανόνας αφαίρεσης του Ροθ

Δίνονται δύο τετραγωνικοί σύνθετοι πίνακες A και B, μεγέθους n και m, και ένας πίνακας C μεγέθους n επί m, τότε μπορεί κανείς να ρωτήσει πότε οι ακόλουθοι δύο τετραγωνικοί πίνακες μεγέθους n + m είναι παρόμοιοι μεταξύ τους:  και . Η απάντηση είναι ότι αυτοί οι δύο πίνακες είναι παρόμοιοι ακριβώς όταν υπάρχει ένας πίνακας X τέτοιος ώστε AX - XB = C. Με άλλα λόγια, ο X είναι λύση μιας εξίσωσης του Συλβέστερ. Αυτό είναι γνωστό ως κανόνας αφαίρεσης του Ροθ.

Ελέγχεται εύκολα η μία κατεύθυνση: Εάν AX - XB = C τότε 

Ο κανόνας αφαίρεσης του Ροθ δεν γενικεύεται σε απειροδιάστατους δεσμευμένους τελεστές σε ένα χώρο Μπάναχ.Bhatia and Rosenthal, p.3 Παρόλα αυτά, ο κανόνας αφαίρεσης του Ροθ γενικεύεται στα συστήματα εξισώσεων Συλβέστερ.

 Αριθμητικές λύσεις

Ένας κλασικός αλγόριθμος για την αριθμητική επίλυση της εξίσωσης Συλβέστερ είναι ο αλγόριθμος Μπάρτελς-Στιούαρτ, ο οποίος συνίσταται στη μετατροπή των  και  σε μορφή Schur μέσω ενός αλγορίθμου QR και στη συνέχεια στην επίλυση του τριγωνικού συστήματος που προκύπτει μέσω αντίστροφης αντικατάστασης. Αυτός ο αλγόριθμος, του οποίου το υπολογιστικό κόστος είναι  αριθμητικές πράξεις, χρησιμοποιείται, μεταξύ άλλων, από το LAPACK και τη συνάρτηση lyap στο GNU Octave Δείτε επίσης τη συνάρτηση Συλβέστερ στην εν λόγω γλώσσα.The syl command is deprecated since GNU Octave Version 4.0. Σε ορισμένες συγκεκριμένες εφαρμογές επεξεργασίας εικόνας, η παραγόμενη εξίσωση Συλβέστερ έχει λύση κλειστής μορφής.

Δείτε επίσης

 Field Arithmetic
 Πραγματικό προβολικό επίπεδο
 Εσωτερικό γινόμενο 
 Φυσικός αριθμός
 Πίνακας (μαθηματικά)
 Τριγωνικός πίνακας
 Διάνυσμα
 Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
 Ταυτοτικός πίνακας

Εξωτερικοί σύνδεσμοι  

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Matrix Analysis
 Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
 Symmetries, Lie Algebras and Representations: A Graduate Course for Physicists
 Introduction to Numerical Analysis
 Lyapunov Matrix Equation in System Stability and Control
 Matrix and Operator Equations and Applications
 Solving Applied Mathematical Problems with MATLAB

Δημοσιεύσεις 












Παραπομπές

 Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij (Ring of arithmetical functions), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, pp. 97–108)  (MSC (2000) 11A25) 
 Iwaniec and Kowalski, Analytic number theory, AMS (2004). 



Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)
Κατηγορία:Θεωρία πινάκων
Κατηγορία:Αριθμητική γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Θεωρία ελέγχου