Θεώρημα του Πικ

Στη γεωμετρία, το θεώρημα του Πικ παρέχει έναν τύπο για το εμβαδόν ενός απλού πολυγώνου με ακέραιες συντεταγμένες κορυφής, ως προς τον αριθμό των ακέραιων σημείων στο εσωτερικό του και στα σύνορά του. Το αποτέλεσμα περιγράφηκε για πρώτη φορά από τον Τζορτζ Αλεξάντερ Πικ το 1899. Διαδόθηκε στα αγγλικά από τον Ούγκο Στάινχαους στην έκδοση του 1950 του βιβλίου "Mathematical Snapshots" (Μαθηματικά στιγμιότυπα). Διαθέτει πολλαπλές αποδείξεις και μπορεί να γενικευτεί σε τύπους για ορισμένα είδη μη απλών πολυγώνων.

 Τύπος
Ας υποθέσουμε ότι ένα πολύγωνο έχει ακέραιες συντεταγμένες για όλες τις κορυφές του. Έστω  ο αριθμός των ακέραιων σημείων στο εσωτερικό του πολυγώνου και  ο αριθμός των ακέραιων σημείων στο σύνορό του (συμπεριλαμβανομένων τόσο των κορυφών όσο και των σημείων κατά μήκος των πλευρών). Τότε το εμβαδόν  αυτού του πολυγώνου είναι:

Το παράδειγμα που παρουσιάζεται έχει  εσωτερικά σημεία και  οριακά σημεία, οπότε το εμβαδόν του είναι  τετραγωνικές μονάδες.

Αποδείξεις
Μέσω του τύπου του Όιλερ
Μια απόδειξη αυτού του θεωρήματος περιλαμβάνει την υποδιαίρεση του πολυγώνου σε τρίγωνα με τρεις ακέραιες κορυφές και κανένα άλλο ακέραιο σημείο. Στη συνέχεια μπορεί κανείς να αποδείξει ότι κάθε υποδιαιρεμένο τρίγωνο έχει εμβαδόν ακριβώς . Επομένως, το εμβαδόν ολόκληρου του πολυγώνου ισούται με το μισό του αριθμού των τριγώνων της υποδιαίρεσης. Αφού συσχετίσουμε το εμβαδόν με τον αριθμό των τριγώνων με αυτόν τον τρόπο, η απόδειξη ολοκληρώνεται με τη χρήση του πολυεδρικού τύπου του Όιλερ για να συσχετίσουμε τον αριθμό των τριγώνων με τον αριθμό των σημείων του πλέγματος στο πολύγωνο.

Το πρώτο μέρος αυτής της απόδειξης δείχνει ότι ένα τρίγωνο με τρεις ακέραιες κορυφές και κανένα άλλο ακέραιο σημείο έχει εμβαδόν ακριβώς , όπως ορίζει ο τύπος του Πικ. Η απόδειξη χρησιμοποιεί το γεγονός ότι όλα τα τρίγωνα πλακιδώνουν το επίπεδο, με τα γειτονικά τρίγωνα να έχουν περιστραφεί κατά 180° μεταξύ τους γύρω από την κοινή τους ακμή. Για πλακοστρώσεις από ένα τρίγωνο με τρεις ακέραιες κορυφές και κανένα άλλο ακέραιο σημείο, κάθε σημείο του ακέραιου πλέγματος είναι μια κορυφή έξι πλακιδίων. Επειδή ο αριθμός των τριγώνων ανά σημείο του πλέγματος (έξι) είναι διπλάσιος από τον αριθμό των σημείων του πλέγματος ανά τρίγωνο (τρία), τα τρίγωνα είναι δύο φορές πιο πυκνά στο επίπεδο από τα σημεία του πλέγματος. Οποιαδήποτε περιοχή του επιπέδου με κλίμακα περιέχει διπλάσια τρίγωνα (στο όριο καθώς ο συντελεστής κλίμακας πηγαίνει στο άπειρο) από τον αριθμό των σημείων πλέγματος που περιέχει. Επομένως, κάθε τρίγωνο έχει εμβαδόν , όπως απαιτείται για την απόδειξη. Μια διαφορετική απόδειξη ότι αυτά τα τρίγωνα έχουν εμβαδόν  βασίζεται στη χρήση του θεωρήματος του Μινκόφσκι για τα σημεία πλέγματος σε συμμετρικά κυρτά σύνολα.

Αυτό αποδεικνύει ήδη τον τύπο του Πικ για ένα πολύγωνο που είναι ένα από αυτά τα ειδικά τρίγωνα. Οποιοδήποτε άλλο πολύγωνο μπορεί να υποδιαιρεθεί σε ειδικά τρίγωνα: προσθέτουμε μη διασταυρούμενα ευθύγραμμα τμήματα εντός του πολυγώνου μεταξύ ζευγών σημείων πλέγματος μέχρι να μην μπορούν να προστεθούν άλλα ευθύγραμμα τμήματα. Τα μόνα πολύγωνα που δεν μπορούν να υποδιαιρεθούν με αυτόν τον τρόπο είναι τα ειδικά τρίγωνα που εξετάστηκαν παραπάνω- επομένως, μόνο ειδικά τρίγωνα μπορούν να εμφανιστούν στην προκύπτουσα υποδιαίρεση. Επειδή κάθε ειδικό τρίγωνο έχει εμβαδόν , ένα πολύγωνο εμβαδού  θα υποδιαιρεθεί σε  ειδικά τρίγωνα.

Η υποδιαίρεση του πολυγώνου σε τρίγωνα σχηματίζει ένα επίπεδο γράφημα και ο τύπος του Όιλερ  δίνει μια εξίσωση που ισχύει για τον αριθμό των κορυφών, των ακμών και των όψεων οποιουδήποτε επίπεδου γραφήματος. Οι κορυφές είναι απλώς τα σημεία πλέγματος του πολυγώνου- υπάρχουν  από αυτές. Οι επιφάνειες είναι τα τρίγωνα της υποδιαίρεσης και η μοναδική περιοχή του επιπέδου εκτός του πολυγώνου. Ο αριθμός των τριγώνων είναι , οπότε συνολικά υπάρχουν  όψεις. Για να μετρήσουμε τις ακμές, παρατηρούμε ότι υπάρχουν  πλευρές τριγώνων στην υποδιαίρεση. Κάθε ακμή στο εσωτερικό του πολυγώνου είναι η πλευρά δύο τριγώνων. Ωστόσο, υπάρχουν  ακμές τριγώνων που βρίσκονται κατά μήκος του ορίου του πολυγώνου και αποτελούν μέρος ενός μόνο τριγώνου. Επομένως, ο αριθμός των πλευρών των τριγώνων υπακούει στην εξίσωση , από την οποία μπορούμε να λύσουμε τον αριθμό των ακμών, . Συνδέοντας αυτές τις τιμές για τα ,  και  στον τύπο του Όιλερ προκύπτει

Ο τύπος του Πικ προκύπτει από την επίλυση αυτής της γραμμικής εξίσωσης για . Ένας εναλλακτικός αλλά παρόμοιος υπολογισμός περιλαμβάνει την απόδειξη ότι ο αριθμός των ακμών της ίδιας υποδιαίρεσης είναι , οδηγώντας στο ίδιο αποτέλεσμα.

Είναι επίσης δυνατό να πάμε προς την αντίθετη κατεύθυνση, χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Πικ (που αποδεικνύεται με διαφορετικό τρόπο) ως βάση για την απόδειξη του τύπου του Όιλερ.

Άλλες αποδείξεις
Εναλλακτικές αποδείξεις του θεωρήματος του Πικ που δεν χρησιμοποιούν τον τύπο του Όιλερ είναι οι εξής.
Μπορεί κανείς να αναλύσει αναδρομικά το δεδομένο πολύγωνο σε τρίγωνα, επιτρέποντας σε ορισμένα τρίγωνα της υποδιαίρεσης να έχουν εμβαδόν μεγαλύτερο από 1/2. Τόσο το εμβαδόν όσο και οι αριθμοί των σημείων που χρησιμοποιούνται στον τύπο του Πικ αθροίζονται με τον ίδιο τρόπο που αθροίζονται μεταξύ τους, οπότε η αλήθεια του τύπου του Πικ για τα γενικά πολύγωνα προκύπτει από την αλήθεια του για τα τρίγωνα. Οποιοδήποτε τρίγωνο υποδιαιρεί το οριακό του πλαίσιο στο ίδιο το τρίγωνο και σε πρόσθετα ορθά τρίγωνα, και τα εμβαδά τόσο του οριακού πλαισίου όσο και των ορθών τριγώνων είναι εύκολο να υπολογιστούν. Ο συνδυασμός αυτών των υπολογισμών εμβαδών δίνει τον τύπο του Πικ για τα τρίγωνα, και ο συνδυασμός των τριγώνων δίνει τον τύπο του Πικ για τα αυθαίρετα πολύγωνα.
Εναλλακτικά, αντί να χρησιμοποιείτε τετράγωνα πλέγματος με κέντρο τα σημεία του πλέγματος, είναι δυνατόν να χρησιμοποιείτε τετράγωνα πλέγματος που έχουν τις κορυφές τους στα σημεία του πλέγματος. Αυτά τα τετράγωνα πλέγματος κόβουν το δεδομένο πολύγωνο σε κομμάτια, τα οποία μπορούν να αναδιαταχθούν (αντιστοιχίζοντας ζεύγη τετραγώνων κατά μήκος κάθε ακμής του πολυγώνου) σε ένα πολυόμινο με το ίδιο εμβαδόν.
Το θεώρημα του Πικ μπορεί επίσης να αποδειχθεί με βάση την μιγαδική ολοκλήρωση μιας διπλά περιοδικής συνάρτησης που σχετίζεται με τις ελλειπτικές συναρτήσεις Βάιερστρας.
Η εφαρμογή του αθροιστικού τύπου Πουασόν στη χαρακτηριστική συνάρτηση του πολυγώνου οδηγεί σε μια άλλη απόδειξη.

Το θεώρημα του Πικ συμπεριλήφθηκε σε μια διαδικτυακή λίστα του 1999 με τα "100 κορυφαία μαθηματικά θεωρήματα", η οποία αργότερα χρησιμοποιήθηκε από τον Φρίκ Γουίντιχ (Freek Wiedijk) ως σύνολο αναφοράς για να ελέγξει την ισχύ διαφορετικών βοηθημάτων απόδειξης. Μέχρι το 2024, το θεώρημα του Πικ ήταν επίσημο και αποδεδειγμένο μόνο σε δύο από τα δέκα βοηθήματα απόδειξης που κατέγραψε ο Βίντινκ.

Γενικεύσεις
Οι γενικεύσεις του θεωρήματος του Πικ σε μη απλά πολύγωνα είναι πιο περίπλοκες και απαιτούν περισσότερες πληροφορίες από τον αριθμό των εσωτερικών και των συνοριακών κορυφών. Παραδείγματος χάριν, ένα πολύγωνο με  οπές που οριοθετείται από απλά ακέραια πολύγωνα, ασύνδετα μεταξύ τους και από το σύνορο, έχει εμβαδόν 

Είναι επίσης δυνατό να γενικεύσουμε το θεώρημα του Πικ σε περιοχές που οριοθετούνται από πιο σύνθετα επίπεδα ευθύγραμμα γραφήματα με ακέραιες συντεταγμένες κορυφών, χρησιμοποιώντας πρόσθετους όρους που ορίζονται χρησιμοποιώντας τη χαρακτηριστική Ὀιλερ της περιοχής και του ορίου της, ή σε πολύγωνα με ένα μόνο οριακό πολύγωνο που μπορεί να διασχίζει τον εαυτό του, χρησιμοποιώντας έναν τύπο που περιλαμβάνει τον αριθμό περιτύλιξης του πολυγώνου γύρω από κάθε ακέραιο σημείο καθώς και τον συνολικό αριθμό περιτύλιξης του.

Τα τετράεδρα Ριβ σε τρεις διαστάσεις έχουν τέσσερα ακέραια σημεία ως κορυφές και δεν περιέχουν άλλα ακέραια σημεία, αλλά δεν έχουν όλα τον ίδιο όγκο. Επομένως, δεν υπάρχει ανάλογο του θεωρήματος του Πικ στις τρεις διαστάσεις που να εκφράζει τον όγκο ενός πολυέδρου ως συνάρτηση μόνο του αριθμού των εσωτερικών και των συνοριακών σημείων του. Ωστόσο, οι όγκοι αυτοί μπορούν αντ' αυτού να εκφραστούν χρησιμοποιώντας πολυώνυμα Έρχαρτ.

Σχετικά θέματα
Αρκετά άλλα μαθηματικά θέματα συσχετίζουν τα εμβαδά των περιοχών με τον αριθμό των σημείων του πλέγματος. Το θεώρημα του Μπλίχφελντ δηλώνει ότι κάθε σχήμα μπορεί να μεταφραστεί ώστε να περιέχει τουλάχιστον το εμβαδόν του σε σημεία πλέγματος. Το πρόβλημα του κύκλου Γκάους αφορά τον περιορισμό του σφάλματος μεταξύ των εμβαδών και των αριθμών των σημείων πλέγματος σε κύκλους. Το πρόβλημα της καταμέτρησης ακέραιων σημείων σε κυρτά πολύεδρα εμφανίζεται σε διάφορους τομείς των μαθηματικών και της επιστήμης των υπολογιστών.
Στους τομείς εφαρμογής, το σημειακό πλανόμετρο είναι μια συσκευή που βασίζεται στη διαφάνεια για την εκτίμηση του εμβαδού ενός σχήματος με την καταμέτρηση των σημείων πλέγματος που περιέχει. Η ακολουθία Φέρεϊ είναι μια διατεταγμένη ακολουθία λογικών αριθμών με περιορισμένους παρονομαστές, η ανάλυση της οποίας περιλαμβάνει το θεώρημα του Πικ.

Μια άλλη απλή μέθοδος για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός πολυγώνου είναι ο τύπος του κορδονιού. Δίνει το εμβαδόν οποιουδήποτε απλού πολυγώνου ως άθροισμα όρων που υπολογίζονται από τις συντεταγμένες διαδοχικών ζευγών κορυφών του. Σε αντίθεση με το θεώρημα του Πικ, ο τύπος του κορδονιού δεν απαιτεί οι κορυφές να έχουν ακέραιες συντεταγμένες.

Δείτε επίσης

 Field Arithmetic
 Πραγματικό προβολικό επίπεδο
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Μη ευκλείδειες γεωμετρίες
 Ορίζουσα
 Υπερβολική γεωμετρία

Εξωτερικοί σύνδεσμοι  

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Matrix Analysis
 Coordinate Geometry for JEE Advanced, 3E (Free Sample)
 Complex Geometry: An Introduction
 The Elements Of Co-ordinate Geometry By S.L. Loney | Cartesian and Polar ...
 Beautiful Geometry
 Vector Analysis
 Mathematical Discovery 
 The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the ...

Δημοσιεύσεις 








 Pick's Theorem by Ed Pegg, Jr., the Wolfram Demonstrations Project.
 Pi using Pick's Theorem by Mark Dabbs, GeoGebra

Παραπομπές



Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία 
Κατηγορία:Διακριτή γεωμετρία 
Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία 
Κατηγορία:Εμβαδόν