Στροφοειδές

Στη γεωμετρία, ένα στροφοειδές είναι μια καμπύλη που δημιουργείται από μια δεδομένη καμπύλη  και τα σημεία  (το σταθερό σημείο) και  (ο πόλος) ως εξής: Έστω  μια μεταβλητή ευθεία που διέρχεται από το  και τέμνει τη  στο . Έστω τώρα P1  και P2 τα δύο σημεία της  των οποίων η απόσταση από το  είναι ίδια με την απόσταση από το  στο  (δηλαδή  1 =  2 = ). Ο τόπος αυτών των σημείων P1 και P2 είναι τότε το στροφοειδές του  ως προς τον πόλο O και το σταθερό σημείο . Σημειώστε ότι τα  1 και  2  είναι σε ορθή γωνία σε αυτή την κατασκευή.

Στην ειδική περίπτωση όπου η  είναι ευθεία, το  βρίσκεται πάνω στη  και το  δεν βρίσκεται πάνω στη , τότε η καμπύλη ονομάζεται πλάγιο στροφοειδές. Εάν, επιπλέον, η   είναι κάθετη στη  , τότε η καμπύλη ονομάζεται ορθή στροφοειδής ή απλώς στροφοειδής από ορισμένους συγγραφείς. Το δεξιό στροφοειδές ονομάζεται επίσης λογοκυκλική καμπύλη ή φυλλόμορφη καμπύλη.

Εξισώσεις

Πολικές συντεταγμένες
Έστω ότι η καμπύλη  δίνεται από τη σχέση  όπου η αρχή λαμβάνεται ως . Έστω  το σημείο . Έστω  ένα σημείο της καμπύλης,  η γωνία μεταξύ OK και του άξονα  και   η γωνία μεταξύ AK και του άξονα }. Ας υποθέσουμε ότι  μπορεί να δοθεί ως συνάρτηση , ας πούμε  Έστω  η γωνία στο , οπότε  Μπορούμε να προσδιορίσουμε το  ως προς το  χρησιμοποιώντας το νόμο των ημιτόνων. Δεδομένου ότι

Έστω P1 και P2 τα σημεία του  που απέχουν απόσταση  από το , με αρίθμηση έτσι ώστε  και   είναι ισοσκελής με γωνία κορυφής , οπότε οι υπόλοιπες γωνίες,  και  είναι  Η γωνία μεταξύ 1 και του -άξονα είναι τότε

Με ένα παρόμοιο επιχείρημα, ή απλά χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι οι 1 και 2 βρίσκονται σε ορθή γωνία, η γωνία μεταξύ 2 και του άξονα  είναι τότε 

Η πολική εξίσωση για το στροφοειδές μπορεί τώρα να προκύψει από l1 και l2  από τον παραπάνω τύπο:

 είναι μια σέκτα Μακλάουριν με πόλους  και  όταν  είναι της μορφής  στην περίπτωση αυτή οι l1 και l2 θα έχουν την ίδια μορφή οπότε το στροφοειδές είναι είτε μια άλλη τομή του Μακλάουριν είτε ένα ζεύγος τέτοιων καμπυλών. Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει επίσης μια απλή πολική εξίσωση για την πολική εξίσωση αν η αρχή μετατοπιστεί προς τα δεξιά κατά .

Ειδικές περιπτώσεις

Πλάγια στροφοειδή
Έστω  μια ευθεία που διέρχεται από την . Τότε, στον συμβολισμό που χρησιμοποιήθηκε παραπάνω,  όπου  είναι μια σταθερά. Τότε  και  Οι πολικές εξισώσεις του προκύπτοντος στροφοειδούς, που ονομάζεται πλάγιο στροφοειδές, με αρχή στο  είναι τότε

και

Είναι εύκολο να ελέγξουμε ότι αυτές οι εξισώσεις περιγράφουν την ίδια καμπύλη. 

Μετακίνηση της αρχής στην  (και πάλι, βλέπε Τομή Μακλάουριν) και αντικαθιστώντας  με  προκύπτει

και η περιστροφή κατά  με τη σειρά της παράγει

Σε ορθογώνιες συντεταγμένες, με αλλαγή σταθερών παραμέτρων, αυτό είναι

Πρόκειται για κυβική καμπύλη και, από την έκφραση σε πολικές συντεταγμένες, είναι ρητή. Έχει κόμβο στο  και την ευθεία 
 είναι ασυμπτωτική.

Δεξί στροφοειδές
Θέτοντας  στο

δίνει

Αυτό ονομάζεται δεξί στροφοειδές και αντιστοιχεί στην περίπτωση όπου  είναι ο -άξονας,  είναι η αρχή και  είναι το σημείο .

Η καρτεσιανή εξίσωση είναι η εξής

Η καμπύλη μοιάζει με το Folium του Ντεκάρτ και η ευθεία x = -a είναι μια ασύμπτωτη σε δύο κλάδους. Η καμπύλη έχει δύο ακόμη ασύμπτωτες, στο επίπεδο με μιγαδικές συντεταγμένες, που δίνονται από 

Κύκλοι
Έστω  ένας κύκλος που διέρχεται από  και , όπου  είναι η αρχή και  είναι το σημείο . Τότε, στον συμβολισμό που χρησιμοποιήθηκε παραπάνω,  όπου  είναι μια σταθερά. Τότε  και  Οι πολικές εξισώσεις του προκύπτοντος στροφοειδούς, το οποίο ονομάζεται λοξό στροφοειδές, με αρχή στο  είναι τότε

και

Αυτές είναι οι εξισώσεις των δύο κύκλων που επίσης διέρχονται από  και  και σχηματίζουν γωνίες  με  στα σημεία αυτά.

Δείτε επίσης

 Field Arithmetic
 Θεώρημα δείκτη Ατίγια-Σίνγκερ
Τοπολογία
 Γένος (μαθηματικά)
 Ελλειπτική συνάρτηση Βάιερστρας

Εξωτερικοί σύνδεσμοι  

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Andreas Gathmann - Algebraic Geometry (SS 2014)
 Math 252: Modular Abelian Varieties
 Handbook of Conformal Mapping with Computer-Aided Visualization
 A Catalog of Special Plane Curves
 CRC Concise Encyclopedia of Mathematics
 A Book of Curves

Δημοσιεύσεις 







Hilbert Modular Forms
David Hilbert's Lectures on the Foundations of Arithmetic and Logic 1917-1933
Geometry and the Imagination

Παραπομπές



Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία 
Κατηγορία:Καμπύλες 
Κατηγορία:Γεωμετρικά σχήματα 
Κατηγορία:Διαφορική γεωμετρία