Σύνθετος πίνακας

Στα μαθηματικά, ένας Σύνθετος πίνακας  ή block matrix  στα αγγλικά είναι ένας πίνακας που ερμηνεύεται ως διασπασμένος σε τμήματα που ονομάζονται blocks (Σύνθετα)  ή υποπίνακες.

Διαισθητικά, ένας πίνακας που ερμηνεύεται ως σύνθετος πίνακας  μπορεί να απεικονιστεί ως ο αρχικός πίνακας με μια συλλογή οριζόντιων και κάθετων γραμμών, οι οποίες τον διασπούν ή τον χωρίζουν σε μια συλλογή μικρότερων πινάκων... Παραδείγματος χάριν, ο πίνακας 3x4 που παρουσιάζεται παρακάτω χωρίζεται με οριζόντιες και κάθετες γραμμές σε τέσσερα τμήματα : το επάνω αριστερό τμήμα 2x3, το επάνω δεξιό τμήμα 2x1, το κάτω αριστερό τμήμα 1x3 και το κάτω δεξιό τμήμα 1x1.

Οποιοσδήποτε πίνακας μπορεί να ερμηνευθεί ως Σύνθετος πίνακας  με έναν ή περισσότερους τρόπους, με κάθε ερμηνεία να καθορίζεται από τον τρόπο με τον οποίο οι γραμμές και οι στήλες του χωρίζονται.

Αυτή η έννοια μπορεί να διευκρινιστεί για έναν πίνακα  επί   με την κατάτμηση του  σε μια συλλογή , και στη συνέχεια με την κατάτμηση του  σε μια συλλογή . Ο αρχικός πίνακας θεωρείται στη συνέχεια ως το "σύνολο" αυτών των ομάδων, με την έννοια ότι η εγγραφή  του αρχικού πίνακα αντιστοιχεί με Διχοτόμηση 1-προς-1 τρόπο σε κάποια  αντισταθμισμένη εγγραφή κάποιου , όπου  και .

Η άλγεβρα συνθέτων πινάκων προκύπτει γενικά από διγινόμενα σε κατηγορίες πινάκων.

Παράδειγμα
Ο πίνακας

μπορεί να απεικονιστεί ότι χωρίζεται σε τέσσερα τμήματα, όπως 

.

Οι οριζόντιες και κάθετες γραμμές δεν έχουν ιδιαίτερη μαθηματική σημασία, αλλά είναι ένας συνηθισμένος τρόπος απεικόνισης ενός τμήματος. Με την κατάτμηση αυτή, το  χωρίζεται σε τέσσερα τμήματα 2×2, ως εξής 

Ο κατανεμημένος πίνακας μπορεί στη συνέχεια να γραφεί ως εξής

Τυπικός ορισμός
Έστω . Μια διαμέριση του  είναι μια αναπαράσταση του  της μορφής

,

όπου  είναι συνεχόμενοι υποπίνακες, , και . Τα στοιχεία  της διαμέρισης ονομάζονται blocks(τμήματα).

Σύμφωνα με αυτόν τον ορισμό, τα τμήματα σε κάθε στήλη πρέπει να έχουν όλα τον ίδιο αριθμό στηλών. Ομοίως, τα τμήματα σε κάθε σειρά πρέπει να έχουν τον ίδιο αριθμό γραμμών.

 Μέθοδοι κατάτμησης 
Ένας πίνακας μπορεί να διαμεριστεί με πολλούς τρόπους. Παραδείγματος χάριν, ένας πίνακας  λέγεται ότι είναι διαμερισμένος κατά στήλες αν γράφεται ως εξής

,

όπου  είναι η στή στήλη του . Ένας πίνακας μπορεί επίσης να διαμεριστεί κατά γραμμές:

,

όπου  είναι η οστή γραμμή του .

 Κοινά τμήματα 
Συχνά, συναντάμε την κατάτμηση 2x2

,

ιδίως στη μορφή όπου  είναι ένα κλιμάκιο:

.

Επεξεργασία συνθέτων πινάκων 

Μετάθεση
Έστω

όπου . (Αυτός ο πίνακας  θα ξαναχρησιμοποιηθεί στην πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό.) Τότε η αντιμετάθεσή του είναι

,

και η ίδια εξίσωση ισχύει με την αντικατάσταση της αντιμετάθεσης από τη συζυγή αντιμετάθεση.

Μεταφορά σύνθεση 
Μια ειδική μορφή μεταθέσεως πινάκων μπορεί επίσης να οριστεί για σύνθετούς πίνακες, όπου τα μεμονωμένα  τμήματα  αναδιατάσσονται αλλά δεν μετατίθενται. Έστω  ένας  .  σύνθετος πίνακας με  τμήμα , η μεταφορά σύνθεση του  είναι ο   με   τμήματα  Όπως και με τον συμβατικό τελεστή ίχνους, η μεταφορά σύνθεση είναι μια γραμμική απεικόνιση τέτοια ώστε .. Ωστόσο, γενικά η ιδιότητα   δεν ισχύει, εκτός αν τα τεμάχια των  και  αντιμετατίθενται.

Πρόσθεση

Έστω 

,

όπου , και έστω  ο πίνακας που ορίζεται στη Μεταφορά. (Αυτός ο πίνακας  θα επαναχρησιμοποιηθεί στον Πολλαπλασιασμό.) Τότε αν , , , και , τότε

.

Πολλαπλασιασμός

Είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθεί ένα γινόμενο πινάκων με κατάτμηση σύνθεση  που περιλαμβάνει μόνο άλγεβρα σε υποπίνακες των παραγόντων. Η διαμέριση των παραγόντων δεν είναι αυθαίρετη, ωστόσο, και απαιτεί "συμμορφούμενες διαμερίσεις" μεταξύ δύο πινάκων A {\displaystyle A} και B {\displaystyle B} έτσι ώστε να ορίζονται όλα τα υποπροϊόντα πινάκων που θα χρησιμοποιηθούν. 

Έστω  ο πίνακας που ορίζεται στο Μεταφορά, και έστω  ο πίνακας που ορίζεται στο σημείο #Πρόσθεση. Τότε το γινόμενο πινάκων

μπορεί να εκτελεστεί αριστερόστροφα, δίνοντας τον  ως έναν  πίνακα. Οι πίνακες στον προκύπτοντα πίνακα  υπολογίζονται με πολλαπλασιασμό:

Ή, χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό του Αϊνστάιν που αθροίζει σιωπηρά σε επαναλαμβανόμενους δείκτες:

Απεικονίζοντας το  ως πίνακα, έχουμε

.

Αναστροφή

Εάν ένας πίνακας διαιρεθεί σε τέσσερα τμήματα, μπορεί να αντιστραφεί με τη φορά των μπλοκ ως εξής: 

όπου τα A και D είναι τετραγωνικά τετράγωνα αυθαίρετου μεγέθους, και τα B' και C είναι συμμορφώσιμος μαζί τους για διαμερισμό. Επιπλέον, ο A και το συμπλήρωμα Schur του A' στο P':  πρέπει να είναι αντιστρέψιμη.

Ισοδύναμα, με αντιμετάθεση των τμημάτων:

Εδώ, το D και το συμπλήρωμα Σούρ του D στο P:  πρέπει να είναι αντιστρέψιμο.

Αν A και D είναι και τα δύο αντιστρέψιμα, τότε:



Σύμφωνα με την ταυτότητα Γουαϊνστάιν-Αρονσάζν, ο ένας από τους δύο πίνακες του διαγώνιου του τμήματος  είναι αντιστρέψιμος ακριβώς όταν ο άλλος είναι.

Ορίζουσα
Ο παραπάνω τύπος για την ορίζουσα ενός πίνακα  συνεχίζει να ισχύει, υπό κατάλληλες περαιτέρω υποθέσεις, για έναν πίνακα που αποτελείται από τέσσερις υποπίνακες  . Ο ευκολότερος τέτοιος τύπος, ο οποίος μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας είτε τον τύπο Λάιμπνιτζ είτε μια παραγοντοποίηση που περιλαμβάνει το συμπλήρωμα Σούρ, είναι 

Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι τα χαρακτηριστικά πολυώνυμα των  και  είναι ίδια και ίσα με το γινόμενο των χαρακτηριστικών πολυωνύμων των  και . Επιπλέον, αν  αν  είναι διαγωνοποιήσιμο, τότε τα   είναι διαγωνοποιήσιμα, τότε  και  είναι επίσης διαγωνοποιήσιμα. Το αντίστροφο είναι λάθος- απλά 

ελέγξτε .

Αν η  είναι αντιστρέψιμη, έχουμε

και αν  είναι αντιστρέψιμο, έχουμε

Taboga, Marco (2021). "Determinant of a block matrix", Lectures on matrix algebra.

Εάν τα τμήματα είναι τετραγωνικοί πίνακες του ίδιου μεγέθους, ισχύουν περαιτέρω τύποι. Παραδείγματος χάριν, εάν οι  και  αντιμετατίθενται (δηλαδή, ), τότε 

Ο τύπος αυτός έχει γενικευτεί σε πίνακες που αποτελούνται από περισσότερα από  τμήματα, και πάλι υπό κατάλληλες συνθήκες αντιμεταθετικότητας μεταξύ των επιμέρους τμημάτων.

Για  και , ισχύει ο ακόλουθος τύπος (ακόμη και αν  και  δεν αντιμετατίθενται)

Ειδικοί τύποι συνθέτων πινάκων 

Άμεσα αθροίσματα και διαγώνιοι πίνακες

Άμεσο άθροισμα

Για οποιουσδήποτε αυθαίρετους πίνακες A (μεγέθους m × n) και B' (μεγέθους p × q), έχουμε το άμεσο άθροισμα των A και B, που συμβολίζεται με A  B και ορίζεται ως εξής 

Παραδείγματος χάριν,

Η πράξη αυτή γενικεύεται φυσικά σε πίνακες αυθαίρετων διαστάσεων (υπό την προϋπόθεση ότι οι A και B έχουν τον ίδιο αριθμό διαστάσεων).

Ας σημειωθεί κάθε στοιχείο στο άμεσο άθροισμα δύο διανυσματικών χώρων πινάκων μπορεί να αναπαρασταθεί ως άμεσο άθροισμα δύο πινάκων.

Διαγώνιοι Σύνθετοι πίνακες

Ένας διαγώνιος Σύνθετος πίνακας είναι ένας σύνθετος πίνακας που είναι ένας τετραγωνικός πίνακας έτσι ώστε τα κύρια διαγώνια τμήματα να είναι τετραγωνικοί πίνακες και όλα τα εκτός διαγωνίου τμήματα να είναι μηδενικοί πίνακες. Δηλαδή, ένας διαγώνιος πίνακας A έχει τη μορφή 

όπου Ak είναι ένας τετραγωνικός πίνακας για όλα τα  k = 1, ..., n. Με άλλα λόγια, ο πίνακας A είναι το άμεσο άθροισμα των  A1, ..., An.. Μπορεί επίσης να δηλωθεί ως A1 ⊕ A2 ⊕ ... ⊕ An ή diag(A1, A2, ..., An)  (το τελευταίο είναι ο ίδιος φορμαλισμός που χρησιμοποιείται για έναν διαγώνιο πίνακα). Οποιοσδήποτε τετραγωνικός πίνακας μπορεί τετριμμένα να θεωρηθεί διαγώνιος πίνακας με ένα μόνο τμήμα.

Για την ορίζουσα και το ίχνος, ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
 και

Ένας διαγώνιος σύνθετος πίνακας είναι αντιστρέψιμος εάν και μόνο εάν καθένα από τα διαγώνια κύρια τμήματα του είναι αντιστρέψιμα, και στην περίπτωση αυτή ο αντίστροφος πίνακας είναι ένας άλλος διαγώνιος σύνθετος πίνακας που δίνεται από τη σχέση 

Οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του  είναι απλά εκείνες των  που συνδυάζονται.

Τριγωνικοί σύνθετοι πίνακες

Ένας τριδιαγώνιος σύνθετος πίνακας είναι ένας άλλος ειδικός σύνθετος πίνακας , ο οποίος είναι ακριβώς όπως ο διαγώνιος σύνθετος πίνακας ένας τετραγωνικός πίνακας, με τετραγωνικούς πίνακες ("τμήματα") στην κάτω διαγώνιο, την κύρια διαγώνιο και την άνω διαγώνιο, με όλα τα άλλα τμήματα να είναι μηδενικοί πίνακες. Είναι ουσιαστικά ένας τριδιαγώνιος πίνακας, αλλά έχει υποπίνακες στη θέση των βαθμωτών. Ένας τριδιαγώνιος σύνθετος πίνακας  έχει τη μορφή 

όπου ,  και  είναι τετραγωνικοί υποπίνακες της κάτω, της κύριας και της άνω διαγωνίου αντίστοιχα.

Οι τριδιαγώνιοι σύνθετοι πίνακες  συναντώνται συχνά σε αριθμητικές λύσεις τεχνικών προβλημάτων (π.χ. υπολογιστική ρευστοδυναμική). Διατίθενται βελτιστοποιημένες αριθμητικές μέθοδοι για την παραγοντοποίηση LU και, συνεπώς, αποτελεσματικοί αλγόριθμοι επίλυσης για συστήματα εξισώσεων με έναν σύνθετο τριανταγωνικό πίνακα ως πίνακα συντελεστών. Ο αλγόριθμος Τόμας, που χρησιμοποιείται για την αποτελεσματική επίλυση συστημάτων εξισώσεων που περιλαμβάνουν έναν τριδιαγωνικό πίνακα μπορεί επίσης να εφαρμοστεί χρησιμοποιώντας πράξεις πινάκων σε τριδιαγωνικούς συνθέτους πίνακες.

Τριγωνικοί σύνθετοι πίνακες

Ανώτερος τριγωνικός σύνθετος πίνακας 
Ένας πίνακας  είναι 'άνω τριγωνικός (ή 'πάνω τριγωνικός σύνθετος).) αν

,

όπου  για όλα τα .

 Κάτω σύνθετο τριγωνικό
Ένας πίνακας  είναι  Κάτω σύνθετο τριγωνικό αν

,

όπου  για όλα τα .

Σύνθετος πίνακας Τόεπλιτς

Ένας σύνθετος πίνακας Τόεπλιτς είναι ένας άλλος ειδικός σύνθετος πίνακας , ο οποίος περιέχει τμήματα που επαναλαμβάνονται κατά μήκος των διαγωνίων του πίνακα, καθώς ένας πίνακας Τόεπλιτζ έχει στοιχεία που επαναλαμβάνονται κατά μήκος της διαγωνίου. 

Ένας πίνακας  είναι Σύνθετος Τόεπλιτς αν  για όλα τα , δηλαδή,

,

όπου .

Σύνθετοι πίνακες Χάνκελ

Ένας πίνακας  είναι Σύνθετος Χάνκελ''' αν  για όλα τα , δηλαδή,

,

όπου .

Δείτε επίσης

 Field Arithmetic
 Πραγματικό προβολικό επίπεδο
 Μαθηματική επαγωγή 
 Μιγαδικός αριθμός
 Πίνακας (μαθηματικά)
 Τετραγωνικός πίνακας
 Αντιστρέψιμος πίνακας
 Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Matrix Analysis
 The Concise Oxford Dictionary of Mathematics
 An Introduction to Difference Equations
 Theory Of Difference Equations Numerical Methods And Applications
 Differential Equations, Difference Equations and Matrix Theory

Δημοσιεύσεις 






 Bartle; Sherbert; Introduction to real analysis (4th ed.), John Wiley & Sons, 2011 .
 Nahin, Paul J.; An Imaginary Tale''; Princeton University Press; (hardcover, 1998). .


Παραπομπές



Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Αριθμητική γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)
Κατηγορία:Θεωρία πινάκων
Κατηγορία:Αριθμητική ανάλυση