Τυχαίος ευκλείδειος πίνακας

Ιστορία

Οι τυχαίοι ευκλείδειοι πίνακες παρουσιάστηκαν για πρώτη φορά το 1999Μελετήθηκε μια ειδική περίπτωση συναρτήσεων f που εξαρτώνται μόνο από τις αποστάσεις μεταξύ των ζευγών σημείων: f(r, r′) = f(r - r′) και επιβλήθηκε μια πρόσθετη συνθήκη για τα διαγώνια στοιχεία Aii,

Aij = f(ri - rj) - u δijΣkf(ri - rk),

με κίνητρο το φυσικό πλαίσιο στο οποίο μελετούσαν τον πίνακα. Ένας πίνακας ευκλείδειας απόστασης είναι ένα ιδιαίτερο παράδειγμα ευκλείδειου τυχαίου πίνακα με είτε f(ri - rj) = |ri - rj|2 or f(ri - rj) = |ri - rj|.

Παραδείγματος χάριν, σε πολλά βιολογικά δίκτυα, η ισχύς της αλληλεπίδρασης μεταξύ δύο κόμβων εξαρτάται από τη φυσική εγγύτητα αυτών των κόμβων. Οι χωρικές αλληλεπιδράσεις μεταξύ των κόμβων μπορούν να διαμορφωθούν ως ένας τυχαίος ευκλείδειος πίνακας, εάν οι κόμβοι τοποθετούνται τυχαία στο χώρο.thumb|340px|alt=Example 2 | Παράδειγμα της κατανομής πιθανότητας των ιδιοτιμών Λ του τυχαίου ευκλείδειου πίνακα που παράγεται από τη συνάρτηση f(r, r′) = exp(ik0ǀr-r′ǀ)/(k0ǀr-r′ǀ), με k0 = 2π/λ0 και f(r= r′) = 0.

Ιδιότητες

Επειδή οι θέσεις των σημείων {ri} είναι τυχαίες, τα στοιχεία του πίνακα Aij είναι επίσης τυχαία. Επιπλέον, επειδή τα N×Nστοιχεία καθορίζονται πλήρως από Ν μόνο σημεία και, συνήθως, κάποιος ενδιαφέρεται για N≫d, υπάρχουν ισχυρές συσχετίσεις μεταξύ διαφορετικών στοιχείων. 

 Ερμιτιανοί τυχαίοι ευκλείδειοι πίνακες 
Ερμιτιανοί τυχαίοι ευκλείδειοι  πίνακες εμφανίζονται σε διάφορα φυσικά πλαίσια, συμπεριλαμβανομένων των υπόψυκτων υγρών, των φωνονίων σε άτακτα συστήματα και των κυμάτων σε τυχαία μέσα.

Παράδειγμα 1: Ας θεωρήσουμε τον πίνακα Â που παράγεται από τη συνάρτηση f(r, r′) = sin(k0|r-r′|)/(k0|r-r′|), με k0 = 2π/λ0. Ο πίνακας αυτός είναι ερμιτιανός και οι ιδιοτιμές του Λ είναι πραγματικές. Για Ν σημεία τυχαία κατανεμημένα σε κύβο πλευράς L και όγκου V = L3, μπορεί κανείς να δείξει ότι η κατανομή πιθανότητας του Λ δίνεται κατά προσέγγιση από τον νόμο του Μαρτσένκο-Παστούρ, αν η πυκνότητα των σημείων ρ = N/V  υπακούει ρλ03 ≤ 1 και 2.8N/(k0 L)2 < 1 (βλέπε σχήμα).

Μη ερμιτιανοί τυχαίοι ευκλείδειοι πίνακες
Αναπτύχθηκε μια θεωρία για την πυκνότητα ιδιοτιμών μεγάλων (N≫1) μη-ερμιτιανών ευκλείδειων τυχαίων πινάκων και εφαρμόστηκε για τη μελέτη του προβλήματος των τυχαίων λέιζερ.

Παράδειγμα 2: Ας θεωρήσουμε τον πίνακα Â που παράγεται από τη συνάρτηση f(r, r′) = exp(ik0|r-r′|)/(k0|r-r′|), με k0 = 2π/λ0 και f(r= r′) = 0. Ο πίνακας αυτός δεν είναι ερμητικός και οι ιδιοτιμές του Λ είναι μιγαδικές. Η κατανομή πιθανότητας του Λ μπορεί να βρεθεί αναλυτικά αν η πυκνότητα του σημείου ρ = N/V υπακούει ρλ03 ≤ 1 και 9N/(8k0 R)2 < 1 (βλέπε σχήμα).

Δημοσιεύσεις 





Golub G. H., van Loan C. F. (1996), Matrix Computations (Johns Hopkins University Press) §4.7—Toeplitz and Related Systems
Gray R. M., Toeplitz and Circulant Matrices: A Review (Now Publishers) 

Δείτε επίσης

 Field Arithmetic
 Πραγματικό προβολικό επίπεδο
 Πραγματικός αριθμός 
 Αντιερμιτιανός πίνακας
 Μέγιστος κοινός διαιρέτης
 Ταυτοτικός πίνακας
 Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
 Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
 Διανυσματικός χώρος
 Αντιμεταθέσιμοι πίνακες
 Πολλαπλασιασμός πινάκων
 Τριγωνικός πίνακας
 Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ
 Αντιστρέψιμος πίνακας
 High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι  

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
Matrix calculator
 Matrix Analysis
 Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
 Exercises of Matrices and Linear Algebra
 Fourier Transforms: Approach to Scientific Principles
 Large Random Matrices: Lectures on Macroscopic Asymptotics: École d'Été de .....
 Physics and Combinatorics 2000: Proceedings of the Nagoya 2000 International ...
 Random Matrices, Random Processes and Integrable Systems
 Random Matrices
 Toeplitz and Circulant Matrices: A Review

Παραπομπές



Κατηγορία:Αριθμητική γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)
Κατηγορία:Θεωρία πινάκων
Κατηγορία:Μαθηματική φυσική