Κανονική ακολουθία

Για την κανονική ακολουθία Κωσύ, δείτε Ακολουθία Κωσύ § Στα εποικοδομητικά μαθηματικά.

Στην αντιμεταθετική άλγεβρα, μια κανονική ακολουθία είναι μια ακολουθία στοιχείων ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου τα οποία είναι όσο το δυνατόν πιο ανεξάρτητα, με μια ακριβή έννοια. Πρόκειται για το αλγεβρικό ανάλογο της γεωμετρικής έννοιας της πλήρους τομής.

Ορισμοί
Για έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο R και ένα  R-module M,  ένα στοιχείο r στον R χαρακτηρίζεται ως μη μηδενικός διαιρέτης στον M  αν r m = 0 συνεπάγεται m = 0 για m στον M. Μία  M-κανονική ακολουθία είναι μια ακολουθία

r1, ..., rd in R

έτσι ώστε το ri  να μην είναι μηδενικός διαιρέτης στο M/(r1, ..., ri-1)M για i = 1, ..., d.[https://www.scirp.org/reference/referencespapers?referenceid=3114325 N. Bourbaki. Algèbre. Chapitre 10. Algèbre Homologique]. Springer-Verlag (2006). X.9.6. Ορισμένοι συγγραφείς απαιτούν επίσης το M/(r1, ..., rd)M να μην είναι μηδενικό. Διαισθητικά, το να λέμε ότι τα r1, ..., rd είναι μια M-κανονική ακολουθία σημαίνει ότι αυτά τα στοιχεία «κόβουν» το M όσο το δυνατόν περισσότερο, όταν περνάμε διαδοχικά από το M στο M/(r1)M, στο M/(r1, r2)M, και ούτω καθεξής.

Μια R-κανονική ακολουθία ονομάζεται απλά κανονική ακολουθία. Δηλαδή, r1, ..., rd  είναι μια κανονική ακολουθία αν r1 είναι ένας μη μηδενικός διαιρέτης στον R, r2 είναι ένας μη μηδενικός διαιρέτης στον δακτύλιο R/(r1), και ούτω καθεξής. Σε γεωμετρική γλώσσα, αν το X είναι ένα αφινικό σχήμα και τα r1, ..., rd είναι μια κανονική ακολουθία στον δακτύλιο των κανονικών συναρτήσεων στο X, τότε λέμε ότι το κλειστό υποσύστημα {r1=0, ..., rd=0} ⊂ X είναι ένα πλήρες υποσύστημα τομής του X.

Η ύπαρξη κανονικής ακολουθίας μπορεί να εξαρτάται από τη σειρά των στοιχείων. Παραδείγματος χάριν,x, y(1-x), z(1-x) είναι μια κανονική ακολουθία στον πολυωνυμικό δακτύλιο C[x, y, z], ενώ y(1-x), z(1-x), x δεν είναι μια κανονική ακολουθία. Αλλά αν ο R είναι ένας τοπικός Ναιτεριανός δακτύλιος  και τα στοιχεία ri βρίσκονται στο μέγιστο ιδεώδες, ή αν ο R είναι ένας βαθμωτός δακτύλιος και τα ri είναι ομογενή θετικού βαθμού, τότε κάθε μετάθεση μιας κανονικής ακολουθίας είναι μια κανονική ακολουθία.

Έστω R ένας Ναιτεριανός δακτύλιος, I ένα ιδεώδες στον R, και M ένα πεπερασμένο R-σύνολο. Το βάθος του I στο M, που γράφεται depthR(I, M) ή απλά depth(I, M), είναι το άθροισμα των μηκών όλων των M-κανονικών ακολουθιών των στοιχείων του I. Όταν ο R είναι ένας τοπικός Ναιτεριανός δακτύλιος και ο M είναι ένα πεπερασμένο R-module, το βάθος του M, που γράφεται depthR(M) ή απλά depth(M), σημαίνει depthR(m, M), δηλαδή είναι το υπέρτατο των μηκών όλων των M-κανονικών ακολουθιών στο μέγιστο ιδεώδες m του R. Ειδικότερα, το βάθος ενός Ναιτεριανού τοπικού δακτυλίου R σημαίνει το βάθος του R ως R-σύνολο. Δηλαδή, το βάθος του R είναι το μέγιστο μήκος μιας κανονικής ακολουθίας στο μέγιστο ιδεώδες.

Για ένα Ναιτεριανό τοπικό δακτύλιο R, το βάθος της μηδενικής ενότητας είναι ∞,A. Grothendieck. EGA IV, Part 1. Publications Mathématiques de l'IHÉS 20 (1964), 259 pp. 0.16.4.5. ενώ το βάθος μιας μη μηδενικής πεπερασμένης R-ενότητας M είναι το πολύ η διάσταση Κρουλ του M (που ονομάζεται επίσης διάσταση της υποστήριξης του M).

Παραδείγματα
Έχοντας ένα ολοκληρωτικό πεδίο  κάθε μη μηδενικό  δίνει μια κανονική ακολουθία.
Για έναν πρώτο αριθμό p, ο τοπικός δακτύλιος Z(p) είναι ο υποδακτύλιος των ρητών αριθμών που αποτελείται από κλάσματα των οποίων ο παρονομαστής δεν είναι πολλαπλάσιο του p. Το στοιχείο p είναι ένας μη μηδενικός διαιρέτης στον Z(p), και ο πηλίκο του Z(p) με το ιδανικό που παράγεται από το p είναι το σώμα Z/(p). Επομένως, το p δεν μπορεί να επεκταθεί σε μια μεγαλύτερη κανονική ακολουθία στο μέγιστο ιδεώδες (p), και στην πραγματικότητα ο τοπικός δακτύλιος Z(p) έχει βάθος 1.
Για οποιοδήποτε σώμα k, τα στοιχεία x1, ..., xn στον πολυωνυμικό δακτύλιο A = k[x1, ..., xn] σχηματίζουν μια κανονική ακολουθία. Προκύπτει ότι ο εντοπισμός R του A στο μέγιστο ιδεώδες m =  (x1, ..., xn) έχει βάθος τουλάχιστον n. Στην πραγματικότητα, το R έχει βάθος ίσο με n, δηλαδή δεν υπάρχει κανονική ακολουθία στο μέγιστο ιδεώδες με μήκος μεγαλύτερο από n.
Γενικότερα, έστω R ένας κανονικός τοπικός δακτύλιος με μέγιστο ιδεώδες m. Τότε όλα τα στοιχεία r1, ..., rd του m που αντιστοιχούν σε μια βάση για το m/m2 ως R/m-διανυσματικό χώρο σχηματίζουν μια κανονική ακολουθία.

Μια σημαντική περίπτωση είναι όταν το βάθος ενός τοπικού δακτυλίου R είναι ίσο με τη διάσταση  Κρουλ: Τότε ο R λέγεται ότι είναι Κοέν-Μακόλεϊ. Τα τρία παραδείγματα που παρουσιάζονται είναι όλοι δακτύλιοι Κοέν-Μακόλεϊ. Παρομοίως, ένα πεπερασμένα παραγόμενο R-module M λέγεται ότι είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν το βάθος του ισούται με τη διάστασή του.

 Μη παραδείγματα 
Ένα απλό μη-παράδειγμα κανονικής ακολουθίας δίνεται από την ακολουθία  των στοιχείων της  since

έχει έναν μη τετριμμένο πυρήνα που δίνεται από το ιδεώδες . Παρόμοια παραδείγματα μπορούν να βρεθούν εξετάζοντας τους ελάχιστους γεννήτορες για τα ιδεώδη που παράγονται από αναγώγιμα σχήματα με πολλαπλές συνιστώσες και παίρνοντας το υποσύστημα μιας συνιστώσας, αλλά παχυνόμενο.

Εφαρμογές

Αν r1, ..., rd είναι μια κανονική ακολουθία σε έναν δακτύλιο R, τότε το σύμπλοκο Κοσζύλ (Koszul) είναι μια ρητή ελεύθερη ανάλυση του R/(r1, ..., rd) ως R-module, της μορφής:

Στην ειδική περίπτωση όπου ο R είναι ο πολυωνυμικός δακτύλιος k[r1, ..., rd], αυτό δίνει μια ανάλυση του k ως R- module (Πρότυπο).

Αν το I είναι ένα ιδεώδες που παράγεται από μια κανονική ακολουθία σε έναν δακτύλιο R, τότε ο σχετικός βαθμωτός δακτύλιος

είναι ισόμορφος με τον πολυωνυμικό δακτύλιο (R/I)[x1, ..., xd]. Με γεωμετρικούς όρους, προκύπτει ότι ένας τοπικός δακτύλιος διατομής Y οποιουδήποτε σχήματος X έχει μια κανονική δέσμη που είναι διανυσματική δέσμη, ακόμη και αν το Y ενδέχεται να είναι ιδιάζον.

Δημοσιεύσεις 


 Winfried Bruns; Jürgen Herzog, Cohen-Macaulay rings. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii+403 pp. ISBN 0-521-41068-1
 David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer Graduate Texts in Mathematics, no. 150.  ISBN 0-387-94268-8

Δείτε επίσης

 Field Arithmetic
 Αλγεβρική ποικιλία
Τοπολογία
 Αντιμεταθετικός δακτύλιος

Εξωτερικοί σύνδεσμοι  

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 A. Bondal, D. Orlov, Semi-orthogonal decomposition for algebraic varieties_, PreprintMPI/95–15, alg-geom/9506006
 Regular Sequences and Resultants
 Commutative Algebra: With a View Toward Algebraic Geometry
 Gröbner Bases and the Computation of Group Cohomology, Τεύχος 1828
 Computer Algebra in Scientific Computing: 23rd International Workshop, CASC...

Παραπομπές



Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Αντιμεταθετική άλγεβρα
Κατηγορία:Διάσταση
Κατηγορία:Διοφαντικές εξισώσεις
Κατηγορία:Άλγεβρα
Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών