Αριθμητική των άκρων του Χίλμπερτ

Στα μαθηματικά, και πιο συγκεκριμένα στον τομέα της υπερβολικής γεωμετρίας, η αριθμητική των άκρων του Χίλμπερτ είναι μια μέθοδος για να προσδώσουμε σε ένα γεωμετρικό σύνολο, το σύνολο των ιδεωδών σημείων ή "άκρων" ενός υπερβολικού επιπέδου, μια αλγεβρική δομή ως σώμα. Εισήχθη από τον Γερμανό μαθηματικό Ντέιβιντ Χίλμπερτ .

Ορισμοί
Άκρα
Σε ένα υπερβολικό επίπεδο, μπορούμε να ορίσουμε ένα ιδεώδες σημείο ή άκρο ως μια κλάση ισοδυναμίας οριακών παράλληλων ακτίνων. Το σύνολο των άκρων μπορεί στη συνέχεια να τοπολογηθεί με φυσικό τρόπο και σχηματίζει έναν κύκλο. Αυτή η χρήση του άκρου δεν είναι κανονική- ειδικότερα η έννοια που υποδηλώνει είναι διαφορετική από εκείνη του τοπολογικού άκρου (βλέπε Άκρο (τοπολογία) και Άκρο (θεωρία γραφημάτων)).

Στο πρότυπο δίσκου Πουανκαρέ ή στο πρότυπο Κλάιν της υπερβολικής γεωμετρίας, κάθε ακτίνα τέμνει τον οριακό κύκλο (που ονομάζεται επίσης κύκλος στο άπειρο ή γραμμή στο άπειρο) σε ένα μοναδικό σημείο και τα άκρα μπορούν να ταυτιστούν με αυτά τα σημεία. Ωστόσο, τα σημεία του οριακού κύκλου δεν θεωρούνται σημεία του ίδιου του υπερβολικού επιπέδου. Κάθε υπερβολική γραμμή έχει ακριβώς δύο διακριτά άκρα, και κάθε δύο διακριτά άκρα είναι τα άκρα μιας μοναδικής γραμμής. Για τους σκοπούς της αριθμητικής του Χίλμπερτ είναι σκόπιμο να συμβολίζουμε μια γραμμή με το διατεταγμένο ζεύγος (a, b) των άκρων της.

Η αριθμητική Χίλμπερτ καθορίζει αυθαίρετα τρία διαφορετικά άκρα και τα συμβολίζει με 0, 1 και ∞. Το σύνολο H πάνω στο οποίο ο Χίλμπερτ ορίζει μια δομή σώματος είναι το σύνολο όλων των ακραίων σημείων εκτός του ∞, ενώ το H δηλώνει το σύνολο όλων των ακραίων σημείων συμπεριλαμβανομένου του ∞.

Πρόσθεση
Ο Χίλμπερτ ορίζει την πρόσθεση των άκρων χρησιμοποιώντας υπερβολικές ανακλάσεις. Για κάθε άκρο x στο H, η άρνησή του -x ορίζεται κατασκευάζοντας την υπερβολική ανάκλαση της ευθείας (x,∞) στην ευθεία (0,∞) και επιλέγοντας το -x να είναι το άκρο της ανακλώμενης ευθείας.

Η σύνθεση οποιωνδήποτε τριών υπερβολικών ανακλάσεων των οποίων οι άξονες συμμετρίας έχουν κοινό άκρο είναι η ίδια μια άλλη ανάκλαση, σε μια άλλη ευθεία με το ίδιο άκρο. Με βάση αυτό το "θεώρημα των τριών ανακλάσεων", με δεδομένα δύο οποιαδήποτε άκρα x και y στο H, ο Χίλμπερτ ορίζει το άθροισμα x + y ως το μη-πεπερασμένο άκρο του άξονα συμμετρίας της σύνθεσης των τριών ανακλάσεων μέσω των ευθειών (x,∞), (0,∞), και (y,∞).

Από τις ιδιότητες των ανακλάσεων προκύπτει ότι οι πράξεις αυτές έχουν τις ιδιότητες που απαιτούνται από τις πράξεις άρνησης και πρόσθεσης στην άλγεβρα των σωμάτων: αποτελούν τις πράξεις αντιστροφής και πρόσθεσης μιας αβελιανής προσθετικής ομάδας.

Πολλαπλασιασμός
Η πράξη του πολλαπλασιασμού στην αριθμητική των άκρων ορίζεται (για μη μηδενικά στοιχεία x και y του H) θεωρώντας τις γραμμές (1,-1), (x,-x), και (y,-y). Λόγω του τρόπου με τον οποίο οι -1, -x, και -y ορίζονται με ανάκλαση στην ευθεία (0,∞), κάθε μία από τις τρεις ευθείες (1,-1), (x,-x), και (y,-y) είναι κάθετη στην (0,∞).

Από αυτές τις τρεις γραμμές μπορεί να προσδιοριστεί μια τέταρτη γραμμή, ο άξονας συμμετρίας της σύνθεσης των ανακλάσεων μέσω των (x,-x), (1,-1) και (y,-y). Η ευθεία αυτή είναι επίσης κάθετη στο (0,∞), και έτσι παίρνει τη μορφή (z,-z) για κάποιο άκρο z. Εναλλακτικά, η τομή αυτής της ευθείας με την ευθεία (0,∞) μπορεί να βρεθεί προσθέτοντας τα μήκη των τμημάτων της ευθείας από τη διασταύρωση με το (1,-1) μέχρι τις διασταυρώσεις των άλλων δύο σημείων. Για ακριβώς μία από τις δύο πιθανές επιλογές για το z, ένας ζυγός αριθμός των τεσσάρων στοιχείων 1, x, y και z βρίσκονται στην ίδια πλευρά της ευθείας (0,∞) μεταξύ τους. Το άθροισμα x + y ορίζεται ως αυτή η επιλογή του z.

Επειδή μπορεί να οριστεί με την πρόσθεση μηκών τμημάτων ευθείας, η πράξη αυτή ικανοποιεί την απαίτηση μιας πράξης πολλαπλασιασμού πάνω σε ένα σώμα, δηλαδή να σχηματίζει μια αβελιανή ομάδα πάνω στα μη μηδενικά στοιχεία του σώματος, με ταυτότητα ένα. Η αντίστροφη πράξη της ομάδας είναι η ανάκλαση ενός άκρου στην ευθεία (1,-1). Αυτή η πράξη πολλαπλασιασμού μπορεί επίσης να αποδειχθεί ότι υπακούει στην επιμεριστική ιδιότητα μαζί με την πράξη πρόσθεσης του σώματος.

Άκαμπτες κινήσεις
Έστω  ένα υπερβολικό επίπεδο και H το πεδίο των άκρων του, όπως εισήχθη παραπάνω. Στο επίπεδο , έχουμε άκαμπτες κινήσεις και τα αποτελέσματά τους στα άκρα ως εξής:

 Η ανάκλαση στο  στέλνει το  στο -x.

 Η αντανάκλαση στο (1, -1) δίνει,

 Η μετάφραση κατά μήκος του  που στέλνει 1 σε οποιοδήποτε , a > 0 παριστάνεται ως εξής

Για κάθε , υπάρχει μια άκαμπτη κίνηση σ(1/2)a σ0, η σύνθεση της ανάκλασης στην ευθεία  και της ανάκλασης στην ευθεία  , η οποία ονομάζεται περιστροφή γύρω από το   δίνεται από τη σχέση

 Η περιστροφή γύρω από το σημείο Ο, η οποία στέλνει το 0 σε οποιοδήποτε δεδομένο άκρο , επιδρά ως εξής

στα άκρα. Η περιστροφή γύρω από το Ο'' στέλνοντας 0 στο  δίνει

Για μια πιο λεπτομερή παρουσίαση από αυτή που παρουσιάζεται σε αυτό το άρθρο, μπορείτε να διαβάσετε.

Δείτε επίσης

 Field Arithmetic
 Θεώρημα δείκτη Ατίγια-Σίνγκερ
Τοπολογία
 Γένος (μαθηματικά)
 Ελλειπτική συνάρτηση Βάιερστρας

Εξωτερικοί σύνδεσμοι  

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Andreas Gathmann - Algebraic Geometry (SS 2014)
 Math 252: Modular Abelian Varieties
 Geometry at the Frontier: Symmetries and Moduli Spaces of Algebraic Varieties
 Complex Analysis. Joensuu 1978: Proceedings of the Colloquium on Complex ...
 CThe Hilbert Challenge
Hilbert Modular Forms
David Hilbert's Lectures on the Foundations of Arithmetic and Logic 1917-1933
Geometry and the Imagination

Παραπομπές



Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Κλασική γεωμετρία
Κατηγορία:Μη ευκλείδεια γεωμετρία