Θεώρηµα των μηδενικών του Χίλμπερτ

Στα μαθηματικά, το θεώρημα των μηδενικών του Χίλμπερτ (γερμανικά: Hilbertscher Nullstellensatz ") είναι ένα θεώρημα που εγκαθιδρύει μια θεμελιώδη σχέση μεταξύ γεωμετρίας και άλγεβρας. Η σχέση αυτή αποτελεί τη βάση της αλγεβρικής γεωμετρίας. Σχετίζει τα αλγεβρικά σύνολα με τα ιδεώδη σε πολυωνυμικούς δακτυλίους πάνω σε αλγεβρικά κλειστά σώματα. Η σχέση αυτή ανακαλύφθηκε από τον Ντάβιντ Χίλμπερτ, ο οποίος απέδειξε το "θεώρημα των μηδενικών" (Nullstellensatz) στη δεύτερη σημαντική εργασία του για τη θεωρία αναλλοίωτων το 1893 (μετά τη θεμελιώδη εργασία του 1890, στην οποία απέδειξε το θεώρημα της βάσης του Χίλμπερτ).

 Διατύπωση 
Έστω  ένα σώμα (όπως οι ρητοί αριθμοί) και  μια αλγεβρικά κλειστή επέκταση σώματος του  (όπως οι μιγαδικοί αριθμοί). Θεωρούμε τον πολυωνυμικό δακτύλιο  και έστω  ένα ιδεώδες σε αυτόν τον δακτύλιο. Το αλγεβρικό σύνολο  που ορίζεται από αυτό το ιδεώδες αποτελείται από όλα τα -δύο  στο  τέτοια ώστε  για όλα τα  στο . Το θεώρημα των μηδενικών του Χίλμπερτ δηλώνει ότι αν p είναι κάποιο πολυώνυμο στο  που εξαφανίζεται στο αλγεβρικό σύνολο , i. δηλαδή  για όλα τα  στο , τότε υπάρχει ένας φυσικός αριθμός  τέτοιος ώστε το  να βρίσκεται στο  .

Ένα άμεσο επακόλουθο είναι το ασθενές θεώρημα των μηδενικών: Το ιδεώδες περιέχει 1 αν και μόνο αν τα πολυώνυμα στο I δεν έχουν κοινά μηδενικά στο Kn. Το ασθενές θεώρημα των μηδενικών μπορεί επίσης να διατυπωθεί ως εξής: αν το I είναι ένα κατάλληλο ιδεώδες στο  τότε το V(I) δεν μπορεί να είναι κενό, δηλ. υπάρχει ένα κοινό μηδέν για όλα τα πολυώνυμα του ιδεώδους σε κάθε αλγεβρικά κλειστή επέκταση του k. Σε αυτό οφείλεται το όνομα του θεωρήματος, η πλήρης εκδοχή του οποίου μπορεί να αποδειχθεί εύκολα από την "ασθενή" μορφή χρησιμοποιώντας το τέχνασμα Ραμπίνοβιτς. Η υπόθεση της εξέτασης κοινών μηδενικών σε ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα είναι απαραίτητη εδώ - παραδείγματος χάριν, τα στοιχεία του ιδεώδους (X2 + 1) in  δεν έχουν κοινό μηδέν στο 

Με τον συμβολισμό που συνηθίζεται στην αλγεβρική γεωμετρία, το θεώρημα των μηδενικών μπορεί επίσης να διατυπωθεί ως εξής

για κάθε ιδεώδη J. Εδώ,  δηλώνει τη ρίζα του J και I(U) είναι το ιδεώδες όλων των πολυωνύμων που εξαφανίζονται στο σύνολο U.

Με αυτόν τον τρόπο, λαμβάνοντας  λαμβάνουμε μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ των αλγεβρικών συνόλων στο Kn και των ριζικών ιδεωδών του . Στην πραγματικότητα, γενικότερα, έχουμε μια σύνδεση Γαλουά μεταξύ των υποσυνόλων του χώρου και των υποσυνόλων της άλγεβρας, όπου "κλείσιμο Ζαρίσκι" και "ρίζα του παραγόμενου ιδανικού" είναι οι τελεστές κλεισίματος.

Ως συγκεκριμένο παράδειγμα, θεωρούμε ένα σημείο . Τότε . Γενικότερα,

Αντίστροφα, κάθε μέγιστο ιδεώδες του πολυωνυμικού δακτυλίου  (σημειώστε ότι ο  είναι αλγεβρικά κλειστός) είναι της μορφής  για κάποια .

Ως άλλο παράδειγμα, ένα αλγεβρικό υποσύνολο W στο Kn είναι μη αναγώγιμο (στην τοπολογία Ζαρίσκι) αν και μόνο αν  είναι ένα πρώτο ιδεώδες.

Αποδείξεις
Υπάρχουν πολλές γνωστές αποδείξεις του θεωρήματος. Ορισμένες είναι μη εποικοδομητικές, όπως η πρώτη. Άλλες είναι εποικοδομητικές, καθώς βασίζονται σε αλγορίθμους για την έκφραση του  ή του  ως γραμμικού συνδυασμού των γεννητόρων του ιδεώδους.

Χρησιμοποιώντας το λήμμα του Ζαρίσκι
Το λήμμα του Ζαρίσκι ισχυρίζεται ότι αν ένα σώμα παράγεται πεπερασμένα ως συσχετιστική άλγεβρα πάνω σε ένα σώμα , τότε είναι πεπερασμένη επέκταση σώματος του  (δηλαδή, παράγεται επίσης πεπερασμένα ως διανυσματικός χώρος).

Ακολουθεί ένα σχεδιάγραμμα μιας απόδειξης που χρησιμοποιεί αυτό το λήμμα..

Έστω  (k αλγεβρικά κλειστό σώμα), I ένα ιδεώδες του A, και V τα κοινά μηδενικά του I στο . Προφανώς, . Έστω . Τότε  για κάποιο πρώτο ιδεώδες  στο A. Έστω  και  ένα μέγιστο ιδεώδες στο . Σύμφωνα με το λήμμα του Ζαρίσκι, το  είναι πεπερασμένη επέκταση του k, άρα είναι k αφού το k είναι αλγεβρικά κλειστό. Έστω  οι εικόνες του  κάτω από τον φυσικό χάρτη  που διέρχεται από το . Προκύπτει ότι  και .

Χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα
Η ακόλουθη εποικοδομητική απόδειξη της ασθενούς μορφής είναι μία από τις παλαιότερες αποδείξεις (η ισχυρή μορφή προκύπτει από το τέχνασμα Ραμπίνοβιτς, το οποίο είναι επίσης εποικοδομητικό).

Το γινόμενο δύο πολυωνύμων που εξαρτώνται από μια μεταβλητή  και άλλες μεταβλητές είναι ένα πολυώνυμο στις άλλες μεταβλητές που βρίσκεται στο ιδεώδες που παράγεται από τα δύο πολυώνυμα και έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: αν ένα από τα πολυώνυμα είναι μονικό στο , κάθε μηδέν (στις άλλες μεταβλητές) του γινόμενου μπορεί να επεκταθεί σε ένα κοινό μηδέν των δύο πολυωνύμων.

Η απόδειξη έχει ως εξής.

Αν το κύριο ιδεώδες παράγεται από ένα μη σταθερό πολυώνυμο  που εξαρτάται από το , επιλέγουμε αυθαίρετες τιμές για τις άλλες μεταβλητές. Το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας υποστηρίζει ότι αυτή η επιλογή μπορεί να επεκταθεί σε ένα μηδενικό του .

Στην περίπτωση πολλών πολυωνύμων  μια γραμμική αλλαγή των μεταβλητών επιτρέπει να υποθέσουμε ότι το  είναι μονικό στην πρώτη μεταβλητή . Στη συνέχεια, εισάγουμε  νέες μεταβλητές  και θεωρούμε την προκύπτουσα

Καθώς το  βρίσκεται στο ιδεώδες που παράγεται από το  το ίδιο ισχύει και για τους συντελεστές στο  των μονωνύμων στο  Έτσι, αν το  βρίσκεται στο ιδεώδες που παράγεται από αυτούς τους συντελεστές, βρίσκεται επίσης στο ιδεώδες που παράγεται από το  Από την άλλη πλευρά, αν αυτοί οι συντελεστές έχουν ένα κοινό μηδέν, αυτό το μηδέν μπορεί να επεκταθεί σε ένα κοινό μηδέν του  από την παραπάνω ιδιότητα της προκύπτουσας.

Αυτό αποδεικνύει το ασθενές Θεώρηµα των μηδενικών του Χίλμπερτ με επαγωγή στον αριθμό των μεταβλητών.

 Χρήση βάσεων Γκρόμπνερ 
Η βάση Γκρέμπνερ είναι μια αλγοριθμική έννοια που εισήχθη το 1973 από τον Μπρούνο Μπούχμπεργκερ. Σήμερα είναι θεμελιώδης στην υπολογιστική γεωμετρία. Μια βάση Γκρέμπνερ είναι ένα ειδικό παραγωγικό σύνολο ενός ιδεώδους από το οποίο μπορούν εύκολα να εξαχθούν οι περισσότερες ιδιότητες του ιδεώδους. Αυτές που σχετίζονται με το Θεώρηµα των μηδενικών είναι οι ακόλουθες:

Ένα ιδεώδες περιέχει  αν και μόνο αν η μειωμένη βάση του Γκρέμπνερ (για οποιαδήποτε μονώνυμη διάταξη) είναι .
Ο αριθμός των κοινών μηδενικών των πολυωνύμων σε μια βάση Γκρέμπνερ σχετίζεται στενά με τον αριθμό των μονώνυμων που είναι μη αναγώγιμα από τη βάση. Συγκεκριμένα, ο αριθμός των κοινών μηδενικών είναι άπειρος αν και μόνο αν το ίδιο ισχύει και για τα μη αναγώγιμα μονώνυμα- αν οι δύο αριθμοί είναι πεπερασμένοι, ο αριθμός των μη αναγώγιμων μονωνύμων ισούται με τους αριθμούς των μηδενικών (σε ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα), μετρημένους με πολλαπλασιασμούς.
Με μια λεξικογραφική μονωνυμική σειρά, τα κοινά μηδενικά μπορούν να υπολογιστούν επιλύοντας επαναληπτικά μονομεταβλητά πολυώνυμα (αυτό δεν χρησιμοποιείται στην πράξη, δεδομένου ότι κάποιος γνωρίζει καλύτερους αλγορίθμους).
 Ισχυρό Θεώρηµα των μηδενικών: μια δύναμη του  ανήκει σε ένα ιδανικό  αν και μόνο ο κορεσμός του  από το  παράγει τη βάση Γκρέμπνερ . Έτσι, το ισχυρό Θεώρηµα των μηδενικών προκύπτει σχεδόν αμέσως από τον ορισμό του κορεσμού.

Γενικεύσεις
Το Θεώρηµα των μηδενικών εντάσσεται σε μια συστηματική ανάπτυξη της θεωρίας των δακτυλίων Τζάκομπσον, οι οποίοι είναι οι δακτύλιοι στους οποίους κάθε ριζικό ιδεώδες είναι τομή μέγιστων ιδεωδών. Με δεδομένο το λήμμα του Ζαρίσκι, η απόδειξη του του Θεωρήματος  των μηδενικών ισοδυναμεί με την απόδειξη ότι αν το k είναι ένα σώμα, τότε κάθε πεπερασμένα παραγόμενη k-άλγεβρα R (απαραιτήτως με τη μορφή ) είναι Τζάκομπσον. Γενικότερα, έχουμε το ακόλουθο θεώρημα:

 Έστω  ένας δακτύλιος Τζάκομπσον. Αν  είναι μια πεπερασμένα παραγόμενη R-άλγεβρα, τότε  είναι ένας δακτύλιος Τζάκομπσον. Επιπλέον, αν  είναι ένα μέγιστο ιδεώδες, τότε  είναι ένα μέγιστο ιδεώδες του , και το  είναι μια πεπερασμένη επέκταση του .

Άλλες γενικεύσεις προκύπτουν από το Θεώρηµα των μηδενικών σε σχήμα-θεωρητικούς όρους που λέει ότι για οποιοδήποτε σώμα k και μη μηδενική πεπερασμένα παραγόμενη k-άλγεβρα R, ο μορφισμός  δέχεται ένα τμήμα étale-τοπικά (ισοδύναμα, μετά από αλλαγή βάσης κατά μήκος του  για κάποια επέκταση πεπερασμένου σώματος ). Σε αυτή τη λογική, έχουμε το ακόλουθο θεώρημα:

Οποιοσδήποτε πιστά επίπεδος μορφισμός συστημάτων  τοπικά πεπερασμένης παρουσίασης δέχεται μια οιονεί τομή, με την έννοια ότι υπάρχει ένας πιστά επίπεδος και τοπικά οιονεί πεπερασμένος μορφισμός  τοπικά πεπερασμένης παρουσίασης τέτοιος ώστε η αλλαγή βάσης  της  κατά μήκος της  δέχεται μια τομή.EGA §IV.17.16.2. Επιπλέον, αν το  είναι οιονεί συμπαγές (ή οιονεί συμπαγές και οιονεί διαχωρισμένο), τότε μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το  είναι αφινικό (ή ότι το  είναι αφινικό (ή ότι το  είναι αφινικό).  αφινικό και  οιονεί-περιορισμένο), και αν  είναι λείο επιρριπτικό, τότε μπορούμε να θεωρήσουμε ότι  είναι étale.EGA §IV.17 .16.3(ii).

Ο Σερζ Λανγκ έδωσε μια επέκταση του Θεωρήματος των μηδενικών στην περίπτωση των απείρως πολλών γεννητόρων:

Έστω  υπερπεπερασμένος αριθμός και έστω  ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα του οποίου ο βαθμός υπερβατικότητας στο πρώτο υποσώμα του είναι αυστηρά μεγαλύτερος από . Τότε για κάθε σύνολο  με πληθικότητα , ο πολυωνυμικός δακτύλιος  ικανοποιεί το θεώρημα των μηδενικών, δηλ, για κάθε ιδεώδες  έχουμε ότι .

Αποτελεσματικό θεώρημα των μηδενικών
Σε όλες τις παραλλαγές του, το θεώρημα των μηδενικών του Χίλμπερτ ισχυρίζεται ότι κάποιο πολυώνυμο  ανήκει ή όχι σε ένα ιδεώδες που παράγεται, ας πούμε, από τα - έχουμε  στην ισχυρή εκδοχή,  στην ασθενή μορφή. Αυτό σημαίνει την ύπαρξη ή τη μη ύπαρξη πολυωνύμων   τέτοιων ώστε . Οι συνήθεις αποδείξεις του  Θεωρήματος  των μηδενικών δεν είναι εποικοδομητικές, μη αποτελεσματικές, με την έννοια ότι δεν δίνουν κανέναν τρόπο υπολογισμού του .

Είναι επομένως ένα μάλλον φυσικό ερώτημα να αναρωτηθούμε αν υπάρχει ένας αποτελεσματικός τρόπος να υπολογίσουμε το  (και τον εκθέτη  στην ισχυρή μορφή) ή να αποδείξουμε ότι δεν υπάρχουν. Για την επίλυση αυτού του προβλήματος, αρκεί να δοθεί ένα άνω όριο για το συνολικό βαθμό του : ένα τέτοιο όριο μετατρέπει το πρόβλημα σε ένα πεπερασμένο σύστημα γραμμικών εξισώσεων που μπορεί να επιλυθεί με τις συνήθεις τεχνικές γραμμικής άλγεβρας. Οποιοδήποτε τέτοιο ανώτερο όριο καλείται αποτελεσματικό θεώρημα των μηδενικών.

Ένα συναφές πρόβλημα είναι το πρόβλημα της συμμετοχής σε ένα ιδεώδες, το οποίο συνίσταται στον έλεγχο αν ένα πολυώνυμο ανήκει σε ένα ιδεώδες. Και γι' αυτό το πρόβλημα, η λύση παρέχεται από ένα ανώτερο όριο για τον βαθμό του . Μια γενική λύση του προβλήματος ιδανικής συμμετοχής παρέχει ένα αποτελεσματικό θεώρημα των μηδενικών, τουλάχιστον για την ασθενή μορφή.

Το 1925, η Γκρέτε Χέρμαν έδωσε ένα ανώτερο όριο για το πρόβλημα της	ιδεώδους συμμετοχής που είναι διπλά εκθετικό στον αριθμό των μεταβλητών. Το 1982 οι Μάγιρ και Μάγιερ έδωσαν ένα παράδειγμα όπου οι  έχουν βαθμό που είναι τουλάχιστον διπλά εκθετικός, δείχνοντας ότι κάθε γενικό ανώτερο όριο για το πρόβλημα της ιδεώδους συμμετοχής είναι διπλά εκθετικό ως προς τον αριθμό των μεταβλητών.

Δεδομένου ότι οι περισσότεροι μαθηματικοί εκείνη την εποχή υπέθεσαν ότι το αποτελεσματικό θεώρημα των μηδενικών ήταν τουλάχιστον εξίσου δύσκολο με την ιδεώδη ένταξη, λίγοι μαθηματικοί αναζήτησαν ένα όριο καλύτερο από το διπλά εκθετικό. Το 1987, ωστόσο, ο W. Ντέιλ Μπράουνγουελ έδωσε ένα ανώτερο όριο για τον αποτελεσματικό θεώρημα των μηδενικών που είναι απλά εκθετικό ως προς τον αριθμό των μεταβλητών. Η απόδειξη του Μπράουνγουελ βασίστηκε σε αναλυτικές τεχνικές που ισχύουν μόνο στη χαρακτηριστική 0, αλλά, ένα χρόνο αργότερα, ο Γιανός Κολάρ έδωσε μια καθαρά αλγεβρική απόδειξη, έγκυρη σε οποιαδήποτε χαρακτηριστική, ενός ελαφρώς καλύτερου ορίου.

Στην περίπτωση του αδύναμου Θεωρήματος των μηδενικών, το όριο του Κολάρ είναι το ακόλουθο:

Έστω  πολυώνυμα σε  μεταβλητές, συνολικού βαθμού . Εάν υπάρχουν πολυώνυμα  τέτοια ώστε , τότε μπορούν να επιλεγούν έτσι ώστε  

Αυτό το όριο είναι βέλτιστο αν όλοι οι βαθμοί είναι μεγαλύτεροι από 2.

Εάν  είναι το μέγιστο των βαθμών του , αυτό το όριο μπορεί να απλοποιηθεί ως εξής

Μια βελτίωση που οφείλεται στον Μ. Σόμπρα είναι 

Το όριό του βελτιώνεται σε σχέση με αυτό του Κόλαρ από τη στιγμή που τουλάχιστον δύο από τους εμπλεκόμενους βαθμούς είναι μικρότεροι από 3.

Προβολικό θεώρημα των μηδενικών
Μπορούμε να διατυπώσουμε μια ορισμένη αντιστοιχία μεταξύ ομογενών ιδεωδών πολυωνύμων και αλγεβρικών υποσυνόλων ενός προβολικού χώρου, που ονομάζεται Προβολικό θεώρημα των μηδενικών, το οποίο είναι ανάλογο του αφινικού. Για να το κάνουμε αυτό, εισάγουμε ορισμένους συμβολισμούς. Έστω  Το ομογενές ιδεώδες,

ονομάζεται μέγιστο ομογενές ιδεώδες (βλέπε επίσης άσχετο ιδεώδες). Όπως και στην περίπτωση των αφινικών, έχουμε: για ένα υποσύνολο  και ένα ομογενές ιδεώδες I του R,

Με  εννοούμε: για κάθε ομογενή συντεταγμένη  ενός σημείου του S έχουμε . Αυτό συνεπάγεται ότι οι ομογενείς συνιστώσες της f είναι επίσης μηδέν στο S και επομένως ότι  είναι ένα ομογενές ιδεώδες. Ισοδύναμα,  είναι το ομογενές ιδεώδες που παράγεται από ομογενή πολυώνυμα f που εξαφανίζονται στο S. Τώρα, για κάθε ομογενές ιδεώδες , με τη συνήθη του  Θεωρήματος των μηδενικών, έχουμε:

και έτσι, όπως και στην περίπτωση του αφινικού, έχουμε:This formulation comes from Milne, Algebraic geometry  and differs from 

Υπάρχει μια αντιστρεπτή αντιστοιχία τάξης ένα προς ένα μεταξύ κατάλληλων ομογενών ριζικών ιδεωδών του R και υποσυνόλων του  της μορφής  Η αντιστοιχία δίνεται από τα  και 

Αναλυτικό θεώρημα των μηδενικών (θεώρημα των μηδενικών του Ρυκερτ)

Το θεώρημα των μηδενικών ισχύει επίσης για τα σπέρματα (germs) των ολομορφικών συναρτήσεων σε ένα σημείο του μιγαδικού n-χώρου .  Ακριβώς, για κάθε ανοικτό υποσύνολο  έστω  συμβολίζει τον δακτύλιο των ολομορφικών συναρτήσεων στο U- τότε  είναι μια δέσμη στον  Το στέλεχος  στην, ας πούμε, αρχή μπορεί να αποδειχθεί ότι είναι ένας τοπικός Ναιτεριανός δακτύλιος που είναι ένα μοναδικό σώμα παραγοντοποίησης.

Αν  είναι ένα σπέρμα (germ) που αντιπροσωπεύεται από μια ολομορφική συνάρτηση , τότε έστω  η κλάση ισοδυναμίας του συνόλου

όπου δύο υποσύνολα  θεωρούνται ισοδύναμα αν  για κάποια γειτονιά U του 0. Να σημειωθεί ότι το  είναι ανεξάρτητο από την επιλογή του αντιπροσώπου  Για κάθε ιδεώδες  ας συμβολίσουμε  με  για κάποιους γεννήτορες  του I. Είναι καλά ορισμένη, δηλαδή είναι ανεξάρτητη από την επιλογή των γεννητόρων.

Για κάθε υποσύνολο , έστω

Είναι εύκολο να δούμε ότι το  είναι ένα ιδεώδες του  και ότι  αν  με την έννοια που συζητήθηκε παραπάνω.

Το αναλυτικό θεώρημα των μηδενικών δηλώνει τότε: για κάθε ιδεώδη  ,

όπου η αριστερή πλευρά είναι η ρίζα του I.

Δημοσιεύσεις 
Lectures on Complex Analytic Varieties (MN-14), Volume 14: Finite Analytic
Complex Analytic Geometry: From The Localization Viewpoint
Several Complex Variables and Complex Geometry, Part III

Δείτε επίσης

 Αλγεβρική γεωμετρία
 Αλγεβρική ποικιλία

Δημοσιεύσεις 



Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157



Εξωτερικοί σύνδεσμοι  

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Kiran Kedlaya. 18.726 Algebraic Geometry (LEC # 30 - 33 GAGA)Spring 2009. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare Creative Commons BY-NC-SA.
 Tasty Bits of Several Complex Variables (p. 137) open source book by Jiří Lebl BY-NC-SA.
Onishchik, A.L. (2001) [1994], "Analytic space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
El'kin, A.G. (2001) [1994], "Analytic set", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

Παραπομπές



Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Μιγαδική ανάλυση
Κατηγορία:Πολυώνυμα
Κατηγορία:Μαθηματικά θεωρήματα
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα