Ιακωβιανή ποικιλία

Στα μαθηματικά, η Ιακωβιανή ποικιλία J(C) μιας μη-ιδιάζουσας αλγεβρικής καμπύλης C γένους g είναι ο χώρος modulus των δεσμών γραμμών βαθμού 0. Είναι η συνδεδεμένη συνιστώσα της ταυτότητας στην ομάδα Πικάρ της C, άρα μια αβελιανή ποικιλία.

Εισαγωγή

Η Ιακωβιανή ποικιλία πήρε το όνομά της από τον Καρλ Γκούσταβ Γιάκομπ Γιακόμπι, ο οποίος απέδειξε την πλήρη εκδοχή του θεωρήματος Άμπελ-Γιάκομπι, μετατρέποντας τη δήλωση του Νιλς Άμπελ για την εγχυσιμότητα σε ισομορφισμό. Είναι μια κύρια πολωμένη αβελιανή ποικιλία, διάστασης g, και επομένως, πάνω στους μιγαδικούς αριθμούς, είναι ένας μιγαδικός τόρος. Αν το p είναι ένα σημείο της C, τότε η καμπύλη C μπορεί να απεικονιστεί σε μια υποποικιλία της J με το δεδομένο σημείο p να απεικονίζεται στην ταυτότητα της J, και η C παράγει την J ως ομάδα.

Κατασκευή για μιγαδικές καμπύλες

Πάνω στους μιγαδικούς αριθμούς, η Ιακωβιανή ποικιλία μπορεί να υλοποιηθεί ως το πηλίκο του χώρου V/L, όπου V είναι ο δυϊκός του διανυσματικού χώρου όλων των συνολικών ολομορφικών διαφορικών στο C και L είναι το πλέγμα όλων των στοιχείων του V της μορφής

όπου γ είναι ένα κλειστό μονοπάτι στο C. Με άλλα λόγια,

με το  να ενσωματώνεται στο  μέσω του παραπάνω χάρτη. Αυτό μπορεί να γίνει άμεσα με τη χρήση των συναρτήσεων θήτα.

Η Ιακωβιανή μιας καμπύλης πάνω από ένα αυθαίρετο σώμα κατασκευάστηκε από τον Βέιλ  ως μέρος της απόδειξης της υπόθεσης Ρίμαν για καμπύλες πάνω από ένα πεπερασμένο σώμα.

Το θεώρημα Ἀμπελ-Γιακόμπι δηλώνει ότι ο δακτύλιος που κατασκευάζεται με αυτόν τον τρόπο είναι μια ποικιλία, η κλασική Ιακωβιανή μιας καμπύλης, η οποία πράγματι παραμετροποιεί τις δέσμες γραμμών βαθμού 0, δηλαδή μπορεί να ταυτιστεί με την ποικιλία Πικάρ των διαιρετών βαθμού 0 modulo της γραμμικής ισοδυναμίας.

Αλγεβρική δομή
Ως ομάδα, η Ιακωβιανή ποικιλία μιας καμπύλης είναι ισομορφική με το πηλίκο της ομάδας των διαιρετών μηδενικού βαθμού προς την υποομάδα των κύριων διαιρετών, δηλαδή των διαιρετών των ρητών συναρτήσεων. Αυτό ισχύει για σώματα που δεν είναι αλγεβρικά κλειστά, με την προϋπόθεση ότι εξετάζει κανείς διαιρέτες και συναρτήσεις που ορίζονται πάνω σε αυτό το σώμα.

Περαιτέρω έννοιες

Το θεώρημα του Τορέλι δηλώνει ότι μια μιγαδική καμπύλη καθορίζεται από τη Ιακωβιανή της (με την πόλωσή της).

Το πρόβλημα Σότκι θέτει το ερώτημα ποιες είναι οι κυρίως πολωμένες αβελιανές ποικιλίες που είναι οι Ιακωβιανές των καμπυλών.

Η ποικιλία Πικάρ, η ποικιλία Αλμπανέζ, η γενικευμένη Ιακωβιανή και οι ενδιάμεσες Ιακωβιανές είναι γενικεύσεις της Ιακωβιανής για ποικιλίες υψηλότερων διαστάσεων. Για ποικιλίες υψηλότερης διάστασης η κατασκευή της Ιακωβιανής ποικιλίας ως πηλίκο του χώρου των ολομορφικών 1-μορφών γενικεύεται για να δώσει την ποικιλία Αλμπανέζ, αλλά γενικά αυτή δεν χρειάζεται να είναι ισόμορφη με την ποικιλία Πικάρ.

Δείτε επίσης

 Field Arithmetic
 Θεώρημα δείκτη Ατίγια-Σίνγκερ
Τοπολογία
 Γένος (μαθηματικά)
 Ελλειπτική συνάρτηση Βάιερστρας

Εξωτερικοί σύνδεσμοι  

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Andreas Gathmann - Algebraic Geometry (SS 2014)
 Math 252: Modular Abelian Varieties
 Geometry at the Frontier: Symmetries and Moduli Spaces of Algebraic Varieties
 Complex Analysis. Joensuu 1978: Proceedings of the Colloquium on Complex ...
 Curves and Abelian Varieties: International Conference, March 30-April 2 ...
Algebraic Integrability, Painlevé Geometry and Lie Algebras
Abelian Varieties over the Complex Numbers: A Graduate Course

Δημοσιεύσεις

 Τεχνική υπολογισμού 

  – techniques for constructing Jacobians

 Τάξεις ισογένεσης 


 Abelian varieties isogenous to no Jacobian

 Κρυπτογραφία 
 Curves, Jacobians, and Cryptography

 Γενικά 

Shokurov, V.V. (2001) [1994], "Jacobi variety", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

Παραπομπές



Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα 
Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών