Υπόθεση συσχέτισης ζεύγους του Μοντγκόμερι

Στα μαθηματικά, η υπόθεση συσχέτισης ζεύγους του Μοντγκόμερι είναι μια εικασία του Χιου Μοντγκόμερι (Hugh Montgomery, 1973) ότι η συσχέτιση ζεύγους μεταξύ ζευγών μηδενικών της συνάρτησης ζήτα του Ρίμαν (κανονικοποιημένη ώστε να έχει μοναδιαία μέση απόσταση) είναι 

η οποία, όπως του επισήμανε ο Φρίμαν Ντάισον, είναι η ίδια με τη συνάρτηση συσχέτισης ζεύγους τυχαίων ερμιτιανών πινάκων.

Υπόθεση

Με την προϋπόθεση ότι η υπόθεση Ρίμαν είναι αληθής.

Έστω  σταθερό, τότε η υπόθεση δηλώνει



και όπου κάθε  είναι το φανταστικό μέρος των μη τετριμμένων μηδενικών συνάρτησης ζήτα του Ρίμαν, δηλαδή .

Επεξήγηση

Άτυπα, αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα να βρεθεί ένα μηδέν σε ένα πολύ μικρό διάστημα μήκους 2πL/log(T) σε απόσταση 2πu/log(T) από ένα μηδέν 1/2+iT είναι περίπου L φορές η παραπάνω έκφραση. (Ο παράγοντας 2π/log(T) είναι ένας παράγοντας κανονικοποίησης που μπορεί να θεωρηθεί ανεπίσημα ως η μέση απόσταση μεταξύ των μηδενικών με φανταστικό μέρος περίπου T). Ο Άντριου Οντλίζκο (1987)  έδειξε ότι η εικασία υποστηρίζεται από υπολογισμούς των μηδενικών σε μεγάλη κλίμακα σε υπολογιστή. Η εικασία έχει επεκταθεί σε συσχετίσεις περισσότερων από δύο μηδενικών, καθώς και σε συναρτήσεις ζήτα αυτομορφικών παραστάσεων (Ρούντνικ & Σάρνακ ). Το 1982 ένας μαθητής του Μοντγκόμερι, ο Αλί Ερχάν Οζλούκ, απέδειξε την εικασία της συσχέτισης ζεύγους για ορισμένες από τις συναρτήσεις L του Ντίριχλετ.

Η σύνδεση με τους τυχαίους μοναδιαίους πίνακες θα μπορούσε να οδηγήσει σε μια απόδειξη της υπόθεσης Ρίμαν (RH). Η εικασία Χίλμπερτ-Πόλια ισχυρίζεται ότι τα μηδενικά της συνάρτησης Ζήτα του Ρίμαν αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές ενός γραμμικού τελεστή και συνεπάγεται την RH. Ορισμένοι πιστεύουν ότι αυτή είναι μια πολλά υποσχόμενη προσέγγιση (Άντριου Οντλίζκο ).

Ο Μοντγκόμερι μελετούσε τον μετασχηματισμό Φουριέ F(x) της συνάρτησης συσχέτισης ζεύγους και έδειξε (υποθέτοντας την υπόθεση Ρίμαν) ότι ήταν
ίση με |x| για |x| < 1. Οι μέθοδοί του δεν ήταν σε θέση να την προσδιορίσουν για |x| ≥ 1, αλλά υπέθεσε ότι ήταν ίση με 1 για αυτά τα x, γεγονός που συνεπάγεται ότι η συνάρτηση συσχέτισης ζεύγους είναι όπως παραπάνω. Παρακινήθηκε επίσης από την ιδέα ότι η υπόθεση Ρίμαν δεν είναι ένας τοίχος από τούβλα, και θα πρέπει να αισθάνεται κανείς ελεύθερος να κάνει ισχυρότερες εικασίες.

Υπόθεση F(α) ή υπόθεση ισχυρής συσχέτισης ζεύγους
Έστω και πάλι  και  για τα μη τετριμμένα μηδενικά της συνάρτησης ζήτα του Ρίμαν. Ο Μοντγκόμερι εισήγαγε τη συνάρτηση

για  και κάποια συνάρτηση βάρους .

Οι Μοντγκόμερι και Γκόλντστον απέδειξαν, σύμφωνα με την υπόθεση Ρίμαν, ότι για  η συνάρτηση αυτή συγκλίνει ομοιόμορφα 


Ο Montgomery υπέθεσε, η οποία είναι τώρα γνωστή ως η υπόθεση F(α) ή υπόθεση ισχυρής συσχέτισης ζεύγους, ότι για  έχουμε ομοιόμορφη σύγκλιση

για  σε ένα περιορισμένο διάστημα.
 Αριθμητικός υπολογισμός από τον Οντλίζκο 
Στη δεκαετία του 1980, παρακινούμενος από την εικασία του Μοντγκόμερι, ο Οντλίζκο ξεκίνησε μια εντατική αριθμητική μελέτη της στατιστικής των μηδενικών του ζ(s). Επιβεβαίωσε την κατανομή των αποστάσεων μεταξύ των μη τετριμμένων μηδενικών χρησιμοποιώντας λεπτομερείς αριθμητικούς υπολογισμούς και απέδειξε ότι η εικασία του Μοντγκόμερι θα ήταν αληθής και ότι η κατανομή θα συμφωνούσε με την κατανομή των αποστάσεων των ιδιοτιμών των τυχαίων πινάκων GUE χρησιμοποιώντας τον Cray X-MP. Το 1987 ανέφερε τους υπολογισμούς στην εργασία Άντριου Οντλίζκο .

Για μη τετριμμένα μηδενικά, 1/2 + iγn, οι κανονικοποιημένες αποστάσεις ας είναι

Τότε αναμένουμε τον ακόλουθο τύπο ως όριο για :

Με βάση έναν νέο αλγόριθμο που ανέπτυξαν οι Οντλίζκο και Άρνολντ Σένχαγκε, ο οποίος τους επέτρεψε να υπολογίσουν μια τιμή ζ(1/2 + it) σε μέσο χρόνο tε βημάτων, ο Οντλίζκο υπολόγισε εκατομμύρια μηδενικά σε ύψη γύρω στο 1020 και έδωσε κάποιες αποδείξεις για την εικασία GUEA. M. Odlyzko, "The 1020-th zero of the Riemann zeta function and 70 million of its neighbors," AT&T Bell Lab. preprint (1989)M. Mehta (1990), chap.1.

Το σχήμα περιέχει τα πρώτα 105 μη τετριμμένα μηδενικά της συνάρτησης ζήτα του Ρίμαν. Όσο περισσότερα μηδενικά δειγματοληπτούνται, τόσο περισσότερο η κατανομή τους προσεγγίζει το σχήμα του τυχαίου πίνακα GUE.

Δημοσιεύσεις 





 Diodorus Siculus, Bibliotheca Historica. Vol. 1–2. Immanel Bekker. Ludwig Dindorf. Friedrich Vogel. in aedibus B. G. Teubneri. Leipzig. 1888–1890. Greek text available at the Perseus Digital Library.
O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, J. Z. Zhu : The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals, Butterworth-Heinemann (2005).






Δείτε επίσης

 Field Arithmetic
 Πραγματικό προβολικό επίπεδο
 Πραγματικός αριθμός 
 Αντιερμιτιανός πίνακας
 Μέγιστος κοινός διαιρέτης
 Υπολογιστική βιολογία
 Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
 Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
 Συμμετρικός πίνακας
 Παραμετρικές εξισώσεις
 Πολλαπλασιασμός πινάκων
 Επαναλαμβανόμενη συνάρτηση
 Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα
 Κανονική κατανομή
 Θεωρία πιθανοτήτων
 High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι  

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
Matrix calculator
 Matrix Analysis
 Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
 Exercises of Matrices and Linear Algebra
 Eigenvalue Distribution of Large Random Matrices
 Quantum Probability and Spectral Analysis of Graphs.
 Physics and Combinatorics 2000: Proceedings of the Nagoya 2000 International ...
 Quantum Mesoscopic Phenomena and Mesoscopic Devices in Microelectronics
 Limit Theorems in Probability, Statistics and Number Theory: In Honor of  ...
 The Semicircle Law, Free Random Variables and Entropy....
 Lectures on the Combinatorics of Free Probability, Τόμος 13

Παραπομπές



Κατηγορία:Αριθμητική γραμμική άλγεβρα 
Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα 
Κατηγορία:Θεωρήματα της γραμμικής άλγεβρας 
Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά) 
Κατηγορία:Κατανομές 
Κατηγορία:Εικασίες 
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά