Κατάλογος τύπων που περιλαμβάνουν το π

Ακολουθεί ένας κατάλογος σημαντικών τύπων που περιλαμβάνουν τη μαθηματική σταθερά . Πολλοί από αυτούς τους τύπους μπορούν να βρεθούν εδώ → Π.

 Ευκλείδεια γεωμετρία 



όπου  είναι η περιφέρεια ενός κύκλου,  είναι η διάμετρος και  είναι η ακτίνα. Γενικότερα,



όπου  είναι το εμβαδόν ενός κύκλου. Γενικότερα,



όπου  είναι το εμβαδόν που περικλείεται από μια έλλειψη με μεγάλο άξονα τον  και μικρό άξονα τον .



όπου  είναι η περιφέρεια μιας έλλειψης με μεγάλο άξονα τον  και μικρό άξονα τον  και  είναι οι αριθμητικές και γεωμετρικές επαναλήψεις του , δηλαδή του αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου (όρου) των  και  με αρχικές τιμές  και .



όπου  είναι το εμβαδόν μεταξύ της μάγισσας της Ανιέσι και της ασυμπτωτικής γραμμής της. Το  είναι η ακτίνα του κύκλου που ορίζουμε.



όπου  είναι το εμβαδόν μιας επικυκλοειδούς καμπύλης με τον μικρότερο κύκλο να έχει ακτίνα  και τον μεγαλύτερο κύκλο να έχει ακτίνα  (), υποθέτοντας ότι το αρχικό σημείο βρίσκεται στον μεγαλύτερο κύκλο.



όπου  είναι ο όγκος μιας σφαίρας και  είναι η ακτίνα.



όπου  είναι το εμβαδόν της επιφάνειας μιας σφαίρας και  είναι η ακτίνα.



όπου  είναι ο υπερόγκος μιας 3-σφαίρας και  είναι η ακτίνα.



όπου  είναι ο όγκος της επιφάνειας μιας 3-σφαίρας και  είναι η ακτίνα.

 Κανονικά κυρτά πολύγωνα 
Άθροισμα  εσωτερικών γωνιών ενός κανονικού κυρτού πολυγώνου με  πλευρές:



Εμβαδόν  ενός κανονικού κυρτού πολυγώνου με  πλευρές και μήκος πλευράς :



 Φυσική 

 Η κοσμολογική σταθερά:


 Η αρχή της απροσδιοριστίας του Χάιζενμπεργκ:


 Ο νόμος του Κουλόμπ για την ηλεκτρική δύναμη στο κενό:


 Μαγνητική διαπερατότητα του ελεύθερου χώρου:The relation  was valid until the 2019 revision of the SI.


 Περίοδος απλού εκκρεμούς με μικρό πλάτος ταλάντωσης:


 Περίοδος απλού εκκρεμούς με πλάτος  ( είναι ο αριθμητικός-γεωμετρικός μέσος (όρος)):


 Περίοδος συστήματος ελατηρίου-μάζας με σταθερά ελατηρίου  και μάζα :


 Ο τρίτος νόμος του Κέπλερ για την κίνηση των πλανητών:


 Ο τύπος λυγισμού:


 Τύποι που υπολογίζουν το π 

 Ολοκληρώματα 

  (ολοκληρώνουμε δύο φορές την συνάρτηση  για να πάρουμε το εμβαδόν του μοναδιαίου κύκλου)







  p. 4 (κατανομή Κωσύ)

  (ολοκλήρωμα Ντίριχλετ)

  (ολοκλήρωμα Γκάους).

  (όταν η διαδρομή της ολοκλήρωσης "τυλίγεται" μια φορά αριστερόστροφα γύρω από το 0. Δείτε επίσης Ολοκληρωτικός τύπος του Κωσύ).

 A000796 – OEIS







  (όπου  είναι ο αριθμητικός-γεωμετρικός μέσος (όρος). Δείτε επίσης Ελλειπτικό ολοκλήρωμα)

Παρατηρήστε ότι στις άρτιες συναρτήσεις, , οι τύποι της μορφής  μπορούν επίσης να γραφτούν ως .

 Αποτελεσματικές άπειρες σειρές 

  (δείτε επίσης Διπλό παραγοντικό)





  (αλγόριθμος Chudnovsky)

  (βλέπε σειρά του Σρινιβάσα Ραμανούτζαν)

Τα ακόλουθα είναι αποτελεσματικά για τον υπολογισμό αυθαίρετων δυαδικών ψηφίων του :

  page 126

  (τύπος των Bailey–Borwein–Plouffe)





Σειρά Plouffe για τον υπολογισμό αυθαίρετων δεκαδικών ψηφίων του :



 Άλλες άπειρες σειρές 

  (δείτε επίσης Πρόβλημα της Βασιλείας και Συνάρτηση ζήτα Ρίμαν)



 , όπου B2n είναι ένας αριθμός Μπερνούλι.

 Weisstein, Eric W. "Pi Formulas", MathWorld







  (τύπος του Λάιμπνιτς)

  (Νεύτων, Second Letter to Oldenburg, 1676)

  (σειρά Madhava)















Γενικότερα,



όπου  είναι ο -οστός αριθμός Όιλερ. p. 112







  (σειρά Nilakantha)

  (όπου  είναι ο n-οστός αριθμός Φιμπονάτσι)

  (όπου  είναι η συνάρτηση αθροίσματος διαιρετών)

 (όπου  είναι ο αριθμός των πρώτων παραγόντων της μορφής  του ) p. 245Carl B. Boyer, A History of Mathematics, Chapter 21., pp. 488–489

 (όπου  είναι ο αριθμός των πρώτων παραγόντων της μορφής  του ) p. 244



  The paper gives the formula with a minus sign instead, but these results are equivalent.

Οι δύο τελευταίοι τύποι



είναι ειδικές περιπτώσεις που παράγουν άπειρους ανάλογους τύπους για το , όταν το 
 Τύποι του Τζον Μασίν 









  (ο αρχικός τύπος του Μασίν)









 Άπειρα γινόμενα 

  (Όιλερ)

όπου οι αριθμητές είναι οι περιττοί πρώτοι αριθμοί. Κάθε παρονομαστής είναι το πολλαπλάσιο του 4 που είναι πιο κοντά στον αριθμητή.



  (βλέπε επίσης γινόμενο Γουάλις)

  (άλλη μορφή του γινομένου του Γουάλις)

Ο τύπος του Viète:



Ένας τύπος διπλού άπειρου γινομένου που περιλαμβάνει την ακολουθία Θουέ-Μορς:



όπου  και  είναι η ακολουθία Θουέ-Μορς .

 Τύποι με τόξο εφαπτομένης 




όπου  τέτοιο ώστε .



όπου  είναι ο κ-οστός αριθμός Φιμπονάτσι.



όταν ισχύει ότι  και , ,  είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Μια ειδική περίπτωση είναι:



 Μιγαδικές συναρτήσεις 

  (ταυτότητα του Όιλερ)

Οι παρακάτω ισοδυναμίες ισχύουν για οποιονδήποτε μιγαδικό αριθμό :


  p. 3

Επίσης,



 Συνεχή κλάσματα 











 Επαναληπτικοί αλγόριθμοι 



  (Στενά συνδεδεμένο με τον τύπο του Viète)


  (τετραγωνική σύγκλιση)

  (κυβική σύγκλιση) page 49

  (αλγόριθμος του Αρχιμήδη, βλέπε επίσης αρμονικός μέσος και γεωμετρικός μέσος) p. 2

 Ασυμπτωτικοί τύποι 

  (ασυμπτωτικός ρυθμός αύξησης των κεντρικών διωνυμικών συντελεστών)

  (ασυμπτωτικός ρυθμός αύξησης των Καταλανικών αριθμών)

  (Τύπος Στίρλινγκ)



  (όπου  είναι η συνάρτηση Όιλερ)



Το σύμβολο  σημαίνει ότι η αναλογία της αριστερής πλευράς και της δεξιάς πλευράς τείνει στο 1 όσο το .

Το σύμβολο  σημαίνει ότι η διαφορά μεταξύ της αριστερής και της δεξιάς πλευράς τείνει στο 0 όσο το .

 Ανάμικτοι τύποι 

  (τύπος ανάκλασης του Όιλερ, βλέπε Συνάρτηση γάμμα)

  (η συναρτησιακή εξίσωση της συνάρτησης ζήτα του Ρίμαν)



  (όπου  είναι η συνάρτηση ζήτα του Hurwitz και η παράγωγος λαμβάνεται ως προς την πρώτη μεταβλητή)

  (δείτε επίσης Συνάρτηση βήτα)



  (όπου  είναι η κύρια τιμή του μιγαδικού λογάριθμου)The th root with the smallest positive principal argument is chosen.

  (όπου  είναι το υπόλοιπο κατά τη διαίρεση του n με το k)

  (αθροίζοντας το εμβαδόν ενός κύκλου)

  (άθροισμα Ρίμαν για τον υπολογισμό του εμβαδού του μοναδιαίου κύκλου)

  (συνδυάζοντας τον τύπο του Στίρλινγκ με το γινόμενο Γουάλις)

 Σημειώσεις 

 Παραπομπές 

 .

 Περαιτέρω ανάγνωση 

 Kazuya Kato, Nobushige Kurokawa, Saito Takeshi: Number Theory 1: Fermat's Dream. American Mathematical Society, Providence 1993, .

Κατηγορία:Πι
Κατηγορία:Σελίδες με μη επιθεωρημένες μεταφράσεις