Κανονικό σχήμα

Στην αλγεβρική γεωμετρία, μια αλγεβρική ποικιλία ή ένα σχήμα X μπορεί να θεωρηθεί κανονικό σχήμα αν είναι κανονικό σε οποιοδήποτε σημείο, πράγμα που σημαίνει ότι ο τοπικός δακτύλιος στο σημείο αυτό είναι μια πλήρως κλειστή περιοχή. Μια αφινική ποικιλία X (που νοείται ως μη αναγώγιμη) είναι κανονική εάν και μόνο εάν ο δακτύλιος O(X) των κανονικών συναρτήσεων στη X μια ολοκληρωτικά κλειστή περιοχή. Μια ποικιλία X πάνω σε ένα πεδίο είναι κανονική αν και μόνο αν κάθε πεπερασμένος αμφίρητος μορφισμός από μια ποικιλία Y στη X είναι ισομορφισμός.

Οι κανονικές ποικιλίες εισήχθησαν από τον Ζαρίσκι (.

Γεωμετρικές και αλγεβρικές ερμηνείες της κανονικότητας
Ένας μορφισμός ποικιλιών είναι πεπερασμένος αν η αντίστροφη εικόνα κάθε σημείου είναι πεπερασμένη και ο μορφισμός είναι γνήσιος.

Ένας μορφισμός ποικιλιών είναι αμφίρητος αν περιορίζεται σε ισομορφισμό μεταξύ πυκνών ανοικτών υποσυνόλων. Έτσι, λόγου χάριν, η κυβική καμπύλη X στο αφινικό επίπεδο A2 που ορίζεται από τη σχέση  x2 = y3 δεν είναι κανονική, επειδή υπάρχει ένας πεπερασμένος αμφίρητος μορφισμός A1 → X (δηλαδή το t απεικονίζει το (t3, t2)) που δεν είναι ισομορφισμός. Αντίθετα, η αφινική ευθεία A1 είναι κανονική: δεν μπορεί να απλοποιηθεί περαιτέρω με πεπερασμένους αμφίρητους μορφισμούς.

Μια κανονική μιγαδική ποικιλία X έχει την ιδιότητα, όταν θεωρείται ως στρωματοποιημένος χώρος με την κλασική τοπολογία, ότι κάθε σύνδεσμος είναι συνδεδεμένος. Ισοδύναμα, κάθε μιγαδικό σημείο x έχει αυθαίρετα μικρές γειτονιές U τέτοιες ώστε το U μείον το ιδιάζον σύνολο του X να είναι συνδεδεμένο. Παραδείγματος χάριν, προκύπτει ότι η κομβική κυβική καμπύλη X του σχήματος, που ορίζεται από τη σχέση  x2 = y2(y + 1), δεν είναι κανονική. Αυτό προκύπτει επίσης από τον ορισμό της κανονικότητας, αφού υπάρχει ένας πεπερασμένος αμφίρητος μορφισμός από το A1 στο X που δεν είναι ισομορφισμός- στέλνει δύο σημεία του A1 στο ίδιο σημείο του X.


Γενικότερα, ένα σχήμα X είναι κανονικό αν κάθε ένας από τους τοπικούς δακτυλίους του

OX,x

είναι μια ολοκληρωτικά κλειστή περιοχή. Δηλαδή, κάθε ένας από αυτούς τους δακτυλίους είναι ένα ολοκληρωτικό πεδίο R, και κάθε δακτύλιος S με R ⊆ S ⊆ Frac(R) έτσι ώστε ο S να παράγεται πεπερασμένα ως R-module είναι ίσος με τον R. (Εδώ Frac(R) συμβολίζει το πεδίο των κλασμάτων του R). Αυτό είναι μια άμεση μεταγραφή, ως προς τους τοπικούς δακτυλίους, της γεωμετρικής συνθήκης ότι κάθε πεπερασμένος αμφίρητος μορφισμός στο X είναι ισομορφισμός.

Μια παλαιότερη έννοια είναι ότι μια υποδιαίρεση X του προβολικού χώρου είναι γραμμικά κανονική αν το γραμμικό σύστημα που δίνει την ενσωμάτωση είναι πλήρες. Ισοδύναμα, το X ⊆ Pn δεν είναι η γραμμική προβολή μιας ενσωμάτωσης X ⊆  Pn+1 (εκτός αν το X περιέχεται σε ένα υπερεπίπεδο Pn). Αυτή είναι η έννοια του «κανονικού» στις εκφράσεις ρητή κανονική καμπύλη και ρητή κανονική κύλιση.

Κάθε κανονικό σχήμα είναι κανονικό. Αντίστροφα, ο Ζαρίσκι () έδειξε ότι κάθε κανονική ποικιλία είναι κανονική έξω από ένα υποσύνολο συνδιαστάσεων τουλάχιστον 2, και ένα παρόμοιο αποτέλεσμα ισχύει για τα σχήματαEisenbud, D. Commutative Algebra (1995). Springer, Berlin. Theorem 11.5. έτσι, παραδείγματος χάριν, κάθε κανονική καμπύλη είναι κανονική.

 Κανονικοποίηση
Κάθε μειωμένο σχήμα X έχει μια μοναδική κανονικοποίηση: ένα κανονικό σχήμα Y με έναν ολοκληρωτικό αμφίρητο μορφισμό Y → X. (Για X μια ποικιλία πάνω σε ένα πεδίο, ο μορφισμός Y → X είναι πεπερασμένος, πράγμα που είναι ισχυρότερο από το «ολοκληρωτικός»Eisenbud, D. Commutative Algebra (1995). Springer, Berlin. Corollary 13.13) Η κανονικοποίηση ενός σχήματος διάστασης 1 είναι κανονική, και η κανονικοποίηση ενός σχήματος διάστασης 2 έχει μόνο απομονωμένες ιδιομορφίες. Η κανονικοποίηση δεν χρησιμοποιείται συνήθως για την επίλυση ιδιομορφιών για σχήματα υψηλότερης διάστασης.

Για να ορίσουμε την κανονικοποίηση, υποθέτουμε πρώτα ότι το X είναι ένα μη αναγωγήσιμο μειωμένο σχήμα X. Κάθε αφινικό ανοικτό υποσύνολο του X έχει τη μορφή Spec R με το R ένα ολοκληρωτικό πεδίο. Γράφουμε το X ως ένωση των αφινικών ανοικτών υποσυνόλων Spec Ai. Έστω Bi  το ολοκληρωτικό κλείσιμο του Ai στο κλασματικό του πεδίο. Τότε η κανονικοποίηση του X ορίζεται με τη συγκόλληση των αφινικών συστημάτων Spec Bi. 

Εάν το αρχικό σχήμα δεν είναι μη αναγώγιμο, η κανονικοποίηση ορίζεται ως η διαζευκτική ένωση των κανονικοποιήσεων των μη αναγώγιμων συνιστωσών.

 Παραδείγματα 

 Κανονικοποίηση μιας κορυφής 
Ας θεωρήσουμε την αφινική καμπύλη με την ιδιομορφία της άκρης στην αρχή. Η κανονικοποίησή του μπορεί να δοθεί από τον χάρτηπου προκύπτει από τον αλγεβρικό χάρτη

 Κανονικοποίηση των αξόνων στο αφινικό επίπεδο 
Παραδείγματος χάριν,δεν είναι μη αναγώγιμο σχήμα, δεδομένου ότι έχει δύο συνιστώσες. Η κανονικοποίησή του δίνεται από τον μορφισμό σχήματοςπου επάγεται από τους δύο πηλίκο χάρτες

 Κανονικοποίηση της αναγώγιμης προβολικής ποικιλίας 
Ομοίως, για ομογενή μη αναγώγιμα πολυώνυμα  σε μια UFD, η κανονικοποίηση τηςδίνεται από τον μορφισμό

Δημοσιεύσεις 

Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157, p. 91, p. 91

Δείτε επίσης

 Algebraic Geometry
 Αλγεβρική ποικιλία
Τοπολογία

Εξωτερικοί σύνδεσμοι  

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Regular scheme - Encyclopedia of Math
 Crystalline Cohomology of Superschemes
 The Affine Class Group of a Normal Scheme 
Algebraic Geometry: A First Course
Mixed Motives

Παραπομπές



Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Άλγεβρα
Κατηγορία:Αντιμεταθετική άλγεβρα