Εφαπτομενική γωνία

Στη γεωμετρία, η εφαπτομενική γωνία μιας καμπύλης στο καρτεσιανό επίπεδο, σε ένα συγκεκριμένο σημείο, είναι η γωνία μεταξύ της εφαπτομένης της καμπύλης στο συγκεκριμένο σημείο και του άξονα x. (Ορισμένοι συγγραφείς ορίζουν τη γωνία ως την απόκλιση από τη κατεύθυνση της καμπύλης σε κάποιο σταθερό σημείο εκκίνησης. Αυτό είναι ισοδύναμο με τον ορισμό που δίνεται εδώ με την προσθήκη μιας σταθεράς στη γωνία ή με την περιστροφή της καμπύληςFor example:  This paper uses  to mean the angle between the tangent and tangent at the origin. This is the paper introducing the Whewell equation, an application of the tangential angle.).

 Εξισώσεις 
Αν μια καμπύλη δίνεται παραμετρικά από την   1}}, τότε ο ορισμός απλοποιείται ως εξής

Σε αυτή την περίπτωση, η καμπυλότητα  δίνεται από τη σχέση , όπου  λαμβάνεται θετική αν η καμπύλη κάμπτεται προς τα αριστερά και αρνητική αν η καμπύλη κάμπτεται προς τα δεξιά.
Αντίστροφα, η εφαπτομενική γωνία σε ένα δεδομένο σημείο ισούται με το ορισμένο ολοκλήρωμα της καμπυλότητας μέχρι το σημείο αυτό:

Αν η καμπύλη δίνεται από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης  ως παραμετροποίηση, και μπορούμε να υποθέσουμε ότι  είναι μεταξύ  και . Έτσι προκύπτει η ρητή έκφραση

 Πολική εφαπτομενική γωνία 
Στις πολικές συντεταγμένες, η πολική εφαπτομενική γωνία ορίζεται ως η γωνία μεταξύ της εφαπτομένης της καμπύλης στο συγκεκριμένο σημείο και της ακτίνας από την αρχή προς το σημείο.Logarithmic Spiral at PlanetMath. Αν  συμβολίζει την πολική εφαπτομενική γωνία, τότε }, όπου  είναι όπως παραπάνω και  είναι, ως συνήθως, η πολική γωνία.

Αν η καμπύλη ορίζεται σε πολικές συντεταγμένες από , τότε η πολική εφαπτομενική γωνία  στο  ορίζεται (μέχρι ένα πολλαπλάσιο του ) ως εξής

 .

Εάν η καμπύλη παραμετροποιείται από το μήκος τόξου  ως , , οπότε , τότε ο ορισμός γίνεται

.

Η λογαριθμική σπείρα μπορεί να οριστεί ως μια καμπύλη της οποίας η πολική εφαπτομενική γωνία είναι σταθερή.

Δείτε επίσης

 Field Arithmetic
 Πολικό σύστημα συντεταγμένων
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Μη ευκλείδειες γεωμετρίες
 Ορίζουσα
 Μήκος τόξου

Εξωτερικοί σύνδεσμοι  

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Matrix Analysis
 Mathematics for Physical Chemistry
 Applied Linear Algebra
 Discrete Subgroups of Semisimple Lie Groups, Τόμος 17
 Advanced Mathematical And Computational Tools In Metrology And Testing Ix
 Linear Algebra and Geometry
 Blackie's Dictionary of Mathematics 
 Geometrical Analysis, and Geometry of Curve Lines: Being Volume Second of a Curve Lines

Δημοσιεύσεις 






Famous Curves Index, School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland
Mathematical curves A collection of 874 two-dimensional mathematical curves

Παραπομπές



Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία
Κατηγορία:Διαφορική γεωμετρία
Κατηγορία:Καμπύλες