Βάθος (θεωρία δακτυλίων)

Στην αντιμεταθετική και ομολογική άλγεβρα, το βάθος είναι ένα σημαντικό αναλλοίωτο των δακτυλίων και των προτύπων. Αν και το βάθος μπορεί να οριστεί γενικότερα, η πιο συνηθισμένη περίπτωση που εξετάζεται είναι η περίπτωση των ενοτήτων πάνω από έναν αντιμεταθετικό Ναιτεριανό τοπικό δακτύλιο. Σε αυτή την περίπτωση, το βάθος μιας ενότητας σχετίζεται με την προβολική της διάσταση μέσω του τύπου Αουσλάντερ - Μπούξμπαουμ. Μια πιο στοιχειώδης ιδιότητα του βάθους είναι η ανισότητα.



όπου  δηλώνει τη διάσταση Κρουλ του προτύπου . Το βάθος χρησιμοποιείται για τον ορισμό κλάσεων δακτυλίων και ενοτήτων με καλές ιδιότητες, παραδείγματος χάριν, δακτυλίων και ενοτήτων Κοέν-Μακαουλέι, για τις οποίες ισχύει η ισότητα.

Ορισμός
Έστω  ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος,  ένα ιδεώδες του  και  ένα πεπερασμένης παραγωγής -σύνολο με την ιδιότητα ότι  περιέχεται σωστά στο . (Δηλαδή, κάποια στοιχεία του  δεν βρίσκονται στο .) Τότε το -βάθος του , που συνήθως ονομάζεται και βαθμός του , ορίζεται ως εξής



Σύμφωνα με τον ορισμό, το βάθος ενός τοπικού δακτυλίου  με ένα μέγιστο ιδανικό  είναι το βάθος του  ως ενότητα πάνω στον εαυτό του.  είναι ένας τοπικός δακτύλιος Κοέν-Μακαουλέι, τότε το βάθος του  είναι ίσο με τη διάσταση του . 

Με βάση ένα θεώρημα του Ντέιβιντ Ρις, το βάθος μπορεί επίσης να χαρακτηριστεί χρησιμοποιώντας την έννοια της κανονικής ακολουθίας.

 Θεώρημα (Ρις) 

Ας υποθέσουμε ότι ο  είναι ένας αντιμεταθετικός Ναιτεριανός τοπικός δακτύλιος με το μέγιστο ιδεώδες  και ο  είναι ένα πεπερασμένης παραγωγής -σύνολο. Τότε όλες οι μέγιστες κανονικές ακολουθίες  για το , όπου κάθε  ανήκει στο , έχουν το ίδιο μήκος  ίσο με το  βάθος του .

Βάθος και προβολική διάσταση
Η προβολική διάσταση και το βάθος μιας ενότητας πάνω σε έναν αντιμεταθετικό τοπικό δακτύλιο Ναιτεριανού είναι συμπληρωματικά μεταξύ τους. Αυτό είναι το περιεχόμενο του τύπου Αουσλάντερ - Μπούξμπαουμ, ο οποίος όχι μόνο έχει θεμελιώδη θεωρητική σημασία, αλλά παρέχει επίσης έναν αποτελεσματικό τρόπο υπολογισμού του βάθους μιας ενότητας. Ας υποθέσουμε ότι ο  είναι ένας αντιμεταθετικός τοπικός Ναιτεριανος δακτύλιος  με το μέγιστο ιδεώδες  και ο  είναι ένα πεπερασμένα παραγόμενο -πρότυπο. Αν η προβολική διάσταση του  είναι πεπερασμένη, τότε ο τύπος Αουσλάντερ - Μπούξμπαουμ δηλώνει 



Δακτύλιοι μηδενικού βάθους
Ένας αντιμεταθετικός Ναιτεριανός τοπικός δακτύλιος  έχει βάθος μηδέν αν και μόνο αν το μέγιστο ιδεώδες του  είναι ένας συσχετιζόμενος πρώτος, ή, ισοδύναμα, όταν υπάρχει ένα μη μηδενικό στοιχείο  του  τέτοιο ώστε  (δηλαδή, το   εκμηδενίζει το ). Αυτό σημαίνει, ουσιαστικά, ότι το κλειστό σημείο είναι ενα εμφυτευμένο στοιχείο.

Παραδείγματος χάριν, ο δακτύλιος  (όπου  είναι ένα πεδίο), ο οποίος αναπαριστά μια ευθεία () με ενσωματωμένο διπλό σημείο στην αρχή, έχει βάθος μηδέν στην αρχή, αλλά διάσταση ένα: αυτό δίνει ένα παράδειγμα δακτυλίου που δεν είναι Κοέν-Μακαλεϊ.

Δημοσιεύσεις 

 Michael F. Atiyah, Ian G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, Reading MA 1969, ISBN 0-201-00361-9.
 Rainer Brüske, Friedrich Ischebeck, Ferdinand Vogel: Kommutative Algebra. BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim u. a. 1989, ISBN 3-411-14041-0.
 Robin Hartshorne: Algebraic Geometry (= Graduate Texts in Mathematics. 52). Springer, New York u. a. 1977, ISBN 3-540-90244-9.
 Ernst Kunz: Introduction to commutative algebra and algebraic geometry (= Vieweg-Studium. 46 Aufbaukurs Mathematik.). Vieweg, Braunschweig u. a. 1980, ISBN 3-528-07246-6.
Winfried Bruns, Jürgen Herzog: Cohen-Macaulay rings (= Cambridge studies in advanced mathematics. Band 39). Cambridge University Press, 1993.

Δείτε επίσης

 Depth-graded motivic multiple zeta values

Εξωτερικοί σύνδεσμοι  
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Commutative Ring Theory
  commutative ring theory: Proceedings of the Ii International Conference 
Ring Theory - Proceedings Of The Biennial Ohio State-denison Conference 1992

Παραπομπές



Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αντιμεταθετική άλγεβρα