Ομάδα Τέιτ-Σαφάρεβιτς

Στην αριθμητική γεωμετρία, η Ομάδα Τέιτ-Σαφάρεβιτς   μιας αβελιανής ποικιλίας  (ή γενικότερα ενός ομαδικού σχήματος) που ορίζεται πάνω σε ένα αριθμητικό σώμα  αποτελείται από τα στοιχεία της ομάδας Βέιλ-Σατελέ , όπου  είναι η απόλυτη ομάδα Γαλουά του , που γίνεται τετριμμένη σε όλες τις συμπληρώσεις του  (δηλ. e., στις πραγματικές και μιγαδικές συμπληρώσεις καθώς και στα -adic σώματα που προκύπτουν από το  συμπληρώνοντας ως προς όλες τις αρχιμήδειες και μη αρχιμήδειες αποτιμήσεις ). Έτσι, από την άποψη της συνομολογίας Γαλουά, η ) μπορεί να οριστεί ως εξής

Η ομάδα αυτή εισήχθη από τους Σερζ Λανγκ και Τζον Τέιτ( ) και τον Ιγκόρ Σαφάρεβιτς().Ο Κάσελς εισήγαγε τον συμβολισμό , όπου  αντιστοιχεί στο κυριλλικό γράμμα «Sha», για τον Σαφάρεβιτς, αντικαθιστώντας τον παλαιότερο συμβολισμό  ή .

Στοιχεία της ομάδας Τέιτ-Σαφάρεβιτς

Γεωμετρικά, τα μη τετριμμένα στοιχεία της ομάδας Τέιτ-Σαφάρεβιτς μπορούν να θεωρηθούν ως οι ομογενείς χώροι του  που έχουν -ρητά σημεία για κάθε θέση  του , αλλά κανένα -ρητό σημείο. Έτσι, η ομάδα μετρά το βαθμό στον οποίο η αρχή Χάσε δεν ισχύει για ρητές εξισώσεις με συντελεστές στο πεδίο K. Ο Καρλ-Ερικ Λιντ έδωσε ένα παράδειγμα ενός τέτοιου ομογενούς χώρου, δείχνοντας ότι η καμπύλη γένους  έχει λύσεις στους πραγματικούς και σε όλα τα -adic σώματα, αλλά δεν έχει ρητά σημεία. Ο Ερνστ Σ. Σέλμερ έδωσε πολλά ακόμη παραδείγματα, όπως .

Η ειδική περίπτωση της ομάδας Τέιτ-Σαφάρεβιτς για το πεπερασμένο ομαδικό σχήμα που αποτελείται από σημεία κάποιας δεδομένης πεπερασμένης τάξης  μιας αβελιανής ποικιλίας σχετίζεται στενά με την ομάδα Σέλμερ.

Η εικασία του Τέιτ-Σαφάρεβιτς
Η εικασία Τέιτ-Σαφάρεβιτς δηλώνει ότι η ομάδα Τέιτ-Σαφάρεβιτς είναι πεπερασμένη. Ο Καρλ Ρούμπιν το απέδειξε αυτό για κάποιες ελλειπτικές καμπύλες τάξης το πολύ 1 με μιγαδικό πολλαπλασιασμό. Ο Βίκτορ Α. Κολυβάγκιν το επέκτεινε σε σπονδυλωτές ελλειπτικές καμπύλες πάνω σε ρητούς αριθμούς αναλυτικού βαθμού το πολύ 1 (Το θεώρημα της δομοστοιχειωτής μορφής έδειξε αργότερα ότι η υπόθεση της σπονδυλωτότητας ισχύει πάντα).

Ζεύγος  Κάσελς-Τέιτ
Η αντιστοίχιση Κάσελς-Τέιτ είναι μια διγραμμική αντιστοίχιση , όπου  είναι μια αβελιανή ποικιλία και  είναι η διπλή της. Ο Κάσελς την εισήγαγε για ελλειπτικές καμπύλες, όταν η  μπορεί να ταυτιστεί με την  και η σύζευξη είναι μια εναλλασσόμενη μορφή. Ο πυρήνας αυτής της μορφής είναι η υποομάδα των διαιρετών στοιχείων, η οποία είναι τετριμμένη αν η εικασία Τέιτ-Σαφάρεβιτς είναι αληθής. Ο Τέιτ επέκτεινε την αντιστοίχιση σε γενικές αβελιανές ποικιλίες, ως παραλλαγή της δυϊκότητας Τέιτ. Μια επιλογή της πόλωσης στην A δίνει έναν χάρτη από την  στην , ο οποίος επάγει μια διγραμμική ζεύξη στην  με τιμές στην , αλλά σε αντίθεση με την περίπτωση των ελλειπτικών καμπυλών αυτή δεν χρειάζεται να είναι εναλλασσόμενη ή ακόμη και αντισυμμετρική.

Για μια ελλειπτική καμπύλη, ο Κάσελς έδειξε ότι η αντιστοίχιση  είναι εναλλασσόμενη και μια συνέπεια είναι ότι αν η τάξη του είναι πεπερασμένη τότε είναι τετράγωνο. Για πιο γενικές αβελιανές ποικιλίες, για πολλά χρόνια θεωρούνταν μερικές φορές λανθασμένα ότι η τάξη της  είναι τετράγωνο όποτε είναι πεπερασμένη- το λάθος αυτό προήλθε από μια εργασία του Σουίνερτον-Ντάιερ, ο οποίος παρέθεσε λανθασμένα ένα από τα αποτελέσματα του Τέιτ.] Οι Πούνεν και Στολ έδωσαν μερικά παραδείγματα όπου η τάξη είναι δύο φορές τετράγωνο, όπως η Ιακωβιανή μιας ορισμένης καμπύλης γένους 2 πάνω στους ρητούς, της οποίας η ομάδα Τέιτ-Σαφάρεβιτς έχει τάξη 2, και ο Στάιν έδωσε μερικά παραδείγματα όπου η δύναμη ενός περιττού πρώτου που διαιρεί την τάξη είναι περιττή. Αν η αβελιανή ποικιλία έχει μια κύρια πόλωση τότε η μορφή της  είναι αντιασυμμετρική, πράγμα που σημαίνει ότι η τάξη της  είναι ένα τετράγωνο ή δύο φορές ένα τετράγωνο (αν είναι πεπερασμένη), και αν επιπλέον η κύρια πόλωση προέρχεται από έναν ρητό διαιρέτη (όπως συμβαίνει στις ελλειπτικές καμπύλες) τότε η μορφή είναι εναλλασσόμενη και η τάξη της   είναι ένα τετράγωνο (αν είναι πεπερασμένη). Από την άλλη πλευρά, βασιζόμενος στα αποτελέσματα που μόλις παρουσιάστηκαν ο Κωνσταντίνους έδειξε ότι για κάθε αριθμό n χωρίς τετράγωνο υπάρχει μια αβελιανή ποικιλία  ορισμένη πάνω στο  και ένας ακέραιος  με . Ειδικότερα ο Ш είναι πεπερασμένος στα παραδείγματα του Κωνσταντίνους και τα παραδείγματα αυτά επιβεβαιώνουν μια εικασία του Στάιν. Συνεπώς modulo τετράγωνο οποιοσδήποτε ακέραιος μπορεί να είναι η τάξη του .

Δημοσιεύσεις 




  English translation in his collected mathematical papers 

Δείτε επίσης

 Field Arithmetic
 Αλγεβρική ποικιλία
Τοπολογία
 Αντιμεταθετικός δακτύλιος
Αριθμητική υπολοίπων

Εξωτερικοί σύνδεσμοι  

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 A. Bondal, D. Orlov, Semi-orthogonal decomposition for algebraic varieties_, PreprintMPI/95–15, alg-geom/9506006
 Ranks of Elliptic Curves and Random Matrix Theory
 Heegner Modules and Elliptic Curves
 Basic Structures of Function Field Arithmetic
 Perspectives In Mathematical Science Ii: Pure Mathematics
Smooth Four-Manifolds and Complex Surfaces

Παραπομπές



Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών
Κατηγορία:Διακριτά μαθηματικά