Βαθμωτός πολλαπλασιασμός

250px|thumb|right|Οι βαθμωτοί πολλαπλασιασμοί -a και 2a ενός διανύσματος a'
Στα μαθηματικά, ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός είναι μια από τις βασικές πράξεις που ορίζουν έναν διανυσματικό χώρο στη γραμμική άλγεβρα (ή γενικότερα, μια ενότητα στην αφηρημένη άλγεβρα). Σε κοινά γεωμετρικά πλαίσια, ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός ενός πραγματικού ευκλείδειου διανύσματος με έναν θετικό πραγματικό αριθμό πολλαπλασιάζει το μέγεθος του διανύσματος χωρίς να αλλάζει η κατεύθυνσή του. Ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός είναι ο πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με ένα κλιμάκιο (όπου το γινόμενο είναι ένα διάνυσμα) και πρέπει να διακρίνεται από το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων (όπου το γινόμενο είναι ένας βαθμωτός).

Ορισμός
Γενικά, αν το K είναι ένα πεδίο και το V είναι ένας διανυσματικός χώρος πάνω από το K, τότε ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός είναι μια συνάρτηση από το K × V στο V.
Το αποτέλεσμα της εφαρμογής αυτής της συνάρτησης στο k στο K και στο v στο V συμβολίζεται kv.

Ιδιότητες
Ο πολλαπλασιασμός βαθμωτών υπακούει στους ακόλουθους κανόνες (διάνυσμα με έντονη γραφή):
 Προσθετικότητα στο  βαθμωτό: (c + d)v = cv + dv;
 Προσθετικότητα στο διάνυσμα: c(v + w) = cv + cw;
 Συμβατότητα του γινομένου βαθμωτών με τον πολλαπλασιασμό βαθμωτών: (cd)v = c(dv);
 Ο πολλαπλασιασμός με το 1 δεν αλλάζει ένα διάνυσμα: 1v = v;
 Ο πολλαπλασιασμός με το 0 δίνει το μηδενικό διάνυσμα: 0v = 0;
 Ο πολλαπλασιασμός με -1 δίνει το προσθετικό αντίστροφο: (−1)v = −v.

Εδώ, το + είναι η πρόσθεση είτε στο πεδίο είτε στο διανυσματικό χώρο, ανάλογα με την περίπτωση- και το 0 είναι η προσθετική ταυτότητα σε κάθε περίπτωση.
Η παράθεση δηλώνει είτε τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό είτε την πράξη πολλαπλασιασμού στο πεδίο.

Ερμηνεία

Ο χώρος των διανυσμάτων μπορεί να θεωρηθεί χώρος συντεταγμένων όπου τα στοιχεία συνδέονται με έναν κατάλογο στοιχείων από το Κ. Οι μονάδες του πεδίου σχηματίζουν μια ομάδα K ×  και ο πολλαπλασιασμός βαθμωτών διανυσμάτων είναι μια ομάδα δράσης στο χώρο συντεταγμένων από το Κ ×. Το μηδέν του πεδίου ενεργεί στο χώρο συντεταγμένων για να τον καταρρίψει στο μηδενικό διάνυσμα.

Όταν το Κ είναι το πεδίο των πραγματικών αριθμών, υπάρχει μια γεωμετρική ερμηνεία του πολλαπλασιασμού των βαθμωτών: τεντώνει ή συστέλλει τα διανύσματα κατά ένα σταθερό παράγοντα. Ως αποτέλεσμα, παράγει ένα διάνυσμα με την ίδια ή αντίθετη κατεύθυνση από το αρχικό διάνυσμα αλλά με διαφορετικό μήκος.

Ως ειδική περίπτωση, το V μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι το ίδιο το K και ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός μπορεί τότε να θεωρηθεί ότι είναι απλώς ο πολλαπλασιασμός στο πεδίο.

Όταν το V είναι Kn, ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός είναι ισοδύναμος με τον πολλαπλασιασμό κάθε συνιστώσας με το βαθμωτό και μπορεί να οριστεί ως τέτοιος.

Η ίδια ιδέα ισχύει αν το K είναι αντιμεταθετικός δακτύλιος και το V είναι ένα module πάνω στο K. Το K μπορεί ακόμη και να είναι rig, αλλά τότε δεν υπάρχει προσθετικό αντίστροφο. Αν ο K δεν είναι αντιμεταθετικός, μπορούν να οριστούν οι διακριτές πράξεις αριστερός βαθμωτός πολλαπλασιασμός  cv και δεξιός βαθμωτός πολλαπλασιασμός vc.

Bαθμωτός πολλαπλασιασμός πινάκων
Κύριο άρθρο: Πίνακας (μαθηματικά)

Ο αριστερός Bαθμωτός πολλαπλασιασμός ενός πίνακα  με ένα βαθμωτό  δίνει έναν άλλο πίνακα του ίδιου μεγέθους με τον . Συμβολίζεται με , του οποίου οι καταχωρήσεις του   ορίζονται ως εξής 

ρητά:

Ομοίως, παρόλο που δεν υπάρχει ένας ευρέως αποδεκτός ορισμός, ο δεξιός βαθμωτός πολλαπλασιασμός ενός πίνακα  με ένα βαθμωτό  θα μπορούσε να οριστεί ως εξής

ρητά:

Όταν οι καταχωρήσεις του πίνακα και τα βαθμωτά είναι από το ίδιο αντιμεταθετικό πεδίο, παραδείγματος χάριν, το πεδίο των πραγματικών αριθμών ή το πεδίο των μιγαδικών αριθμών, αυτοί οι δύο πολλαπλασιασμοί είναι οι ίδιοι και μπορούν απλά να ονομάζονται πολλαπλασιασμός βαθμωτών. Για πίνακες πάνω σε ένα γενικότερο πεδίο που δεν είναι μη'' αντιμεταθετικό, μπορεί να μην είναι ίσοι.

Για ένα πραγματικό βαθμωτό και πίνακα:

Για βαθμωτά τετραγωνικά και πίνακες:

όπου  είναι οι τετραγωνικές μονάδες. Η μη αντιμεταθετικότητα του πολλαπλασιασμού των τετραδίων εμποδίζει τη μετάβαση της αλλαγής  σε .

Δείτε επίσης

 Field Arithmetic
 Πραγματικό προβολικό επίπεδο
 Εσωτερικό γινόμενο 
 Μιγαδικός αριθμός
 Πίνακας (μαθηματικά)
 Τετραγωνικός πίνακας
 Αντιστρέψιμος πίνακας
 Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα

Εξωτερικοί σύνδεσμοι  

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Matrix Analysis
 The Concise Oxford Dictionary of Mathematics
 Mathematical Analysis: A Concise Introduction
 A Modern Introduction to Linear Algebra
 Solutions to Abstract Algebra

Δημοσιεύσεις 









Παραπομπές



Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα 
Κατηγορία:Αριθμητική γραμμική άλγεβρα 
Κατηγορία:Διανύσματα 
Κατηγορία:Θεωρία πινάκων 
Κατηγορία:Δυαδικές πράξεις