Αντιμεταθετικός πίνακας

Στα μαθηματικά, ιδίως στη γραμμική άλγεβρα και στη θεωρία πινάκων, ο αντιμεταθετικός πίνακας χρησιμοποιείται για τη μετατροπή της διανυσματικής μορφής ενός πίνακα στη διανυσματική μορφή της αναστροφής του. Συγκεκριμένα, ο αντιμεταθετικός πίνακας K(m,n) είναι ο πίνακας nm × mn ο οποίος, για οποιονδήποτε πίνακα m × n A, μετασχηματίζει τον vec(A) σε vec(AT):

K(m,n) vec(A) = vec(AT).

Εδώ vec('A) είναι το mn × 1 διάνυσμα στηλών που προκύπτει από τη στοίβαξη των στηλών του A' η μία πάνω στην άλλη:

όπου A = [Ai,j]. Με άλλα λόγια, το vec(A) είναι το διάνυσμα που προκύπτει από τη διανυσματοποίηση του A σε σειρά στήλης-μεγάλης κλίμακας. Ομοίως, vec(AT) είναι το διάνυσμα που προκύπτει από τη διανυσματοποίηση του A σε σειρά γραμμής-πλειοψηφίας.

Στο πλαίσιο της κβαντικής θεωρίας πληροφοριών, ο αντιμεταθετικός πίνακας αναφέρεται μερικές φορές ως πίνακας ανταλλαγής ή τελεστής ανταλλαγής.

 Ιδιότητες 

 Ο αντιμεταθετικός πίνακας είναι ένας ειδικός τύπος του αντιμεταθετικού πίνακα και επομένως είναι ορθογώνιος. Ειδικότερα, ο K(m,n) είναι ίσος με , όπου  είναι η αντιμετάθεση πάνω στο  για την οποία

 Η αντικατάσταση του A με το AT στον ορισμό του αντιμεταθετικού πίνακα δείχνει ότι  Επομένως, στην ειδική περίπτωση m = n ο αντιμεταθετικός πίνακας είναι μια ενέλιξη και είναι συμμετρικός.

 Η κύρια χρήση του αντιμεταθετικού πίνακα, και η πηγή του ονόματός του, είναι η αντιμετάθεση του γινομένου Κρόνεκερ: για κάθε m × n πίνακα A και κάθε r × q πίνακα B,

Αυτή η ιδιότητα χρησιμοποιείται συχνά στην ανάπτυξη των στατιστικών ανώτερης τάξης των πινάκων συνδιακύμανσης Wishart.

 Η περίπτωση n=q=1 για την παραπάνω εξίσωση δηλώνει ότι για οποιαδήποτε διανύσματα στήλης v,w μεγεθών m,r αντίστοιχα,

Αυτή η ιδιότητα είναι ο λόγος που ο πίνακας αυτός αναφέρεται ως «τελεστής ανταλλαγής» στο πλαίσιο της κβαντικής θεωρίας της πληροφορίας.

 Δύο ρητές μορφές για τον αντιμεταθετικό πίνακα είναι οι εξής: αν er,j δηλώνει το j-οστό κανονικό διάνυσμα διάστασης r (δηλαδή το διάνυσμα με 1 στην j-th συντεταγμένη και 0 αλλού) τότε

 Ο αντιμεταθετικός πίνακας μπορεί να εκφραστεί ως ο ακόλουθος σύνθετος πινάκας :

Όπου η εγγραφή p,q του n x m σύνθετος πινάκας Ki,j δίνεται από τη σχέση

Παραδείγματος χάριν,

 Κωδικός 

Τόσο για τετραγωνικούς όσο και για ορθογώνιους πίνακες m γραμμών και n στηλών, ο αντιμεταθετικός πίνακας μπορεί να παραχθεί με τον παρακάτω κώδικα.

 Python 
import numpy as np

def comm_mat(m, n):
    # determine permutation applied by K
    w = np.arange(m * n).reshape((m, n), order="F").T.ravel(order="F")

    # apply this permutation to the rows (i.e. to each column) of identity matrix and return result
    return np.eye(m * n)[w, :]

Εναλλακτικά, μια έκδοση χωρίς εισαγωγές:

# Kronecker delta
def delta(i, j):
    return int(i == j)

def comm_mat(m, n):
    # determine permutation applied by K
    v = [m * j + i for i in range(m) for j in range(n)]

    # apply this permutation to the rows (i.e. to each column) of identity matrix
    I = [[delta(i, j) for j in range(m * n)] for i in range(m * n)]
    return [I[i] for i in v]

 MATLAB 

function P = com_mat(m, n)

% determine permutation applied by K
A = reshape(1:m*n, m, n);
v = reshape(A', 1, []);

% apply this permutation to the rows (i.e. to each column) of identity matrix
P = eye(m*n);
P = P(v,:);

 R 
# Sparse matrix version
comm_mat = function(m, n){
  i = 1:(m * n)
  j = NULL
  for (k in 1:m) {
    j = c(j, m * 0:(n-1) + k)
  }
  Matrix::sparseMatrix(
    i = i, j = j, x = 1
  )
}

 Παράδειγμα 

Έστω  ο ακόλουθος πίνακας :

 έχει τις ακόλουθες διανυσματοδοτήσεις μείζονος στήλης και μείζονος γραμμής (αντίστοιχα):

Ο σχετικός σύνθετος πινάκας είναι

(όπου κάθε  δηλώνει ένα μηδέν). Όπως αναμενόταν, ισχύουν τα ακόλουθα:

 Δείτε επίσης 

 Field Arithmetic
 Πραγματικό προβολικό επίπεδο
 Εσωτερικό γινόμενο
 Φυσικός αριθμός
 Πίνακας (μαθηματικά)
 Τριγωνικός πίνακας
 Διάνυσμα
 Ισομορφισμός
 Ταυτοτικός πίνακας

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 

 English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Matrix calculator
 Matrix Analysis
 Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
 The Concise Oxford Dictionary of Mathematics
 The Statistics and Calculus with Python Workshop: A comprehensive ..
 Generalized Vectorization, Cross-Products, and Matrix Calculus
 Matrix Variate Distributions

 Δημοσιεύσεις 










 Παραπομπές 

 Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij (Ring of arithmetical functions), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, pp. 97–108)  (MSC (2000) 11A25) 
 Iwaniec and Kowalski, Analytic number theory, AMS (2004).

Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)
Κατηγορία:Θεωρία πινάκων
Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών