Προσθετική συνάρτηση

Στη θεωρία των αριθμών, μια προσθετική συνάρτηση είναι μια αριθμητική συνάρτηση f(n) της θετικής ακέραιης μεταβλητής n, τέτοια ώστε κάθε φορά που τα a και b είναι πρώτοι προς αλλήλους, η συνάρτηση που εφαρμόζεται στο γινόμενο ab είναι το άθροισμα των τιμών της συνάρτησης που εφαρμόζεται στα a και b:Erdös, P., and M. Kac. On the Gaussian Law of Errors in the Theory of Additive Functions. Proc Natl Acad Sci USA. 1939 April; 25(4): 206–207. online

 Πλήρως προσθετική 
Μια προσθετική συνάρτηση f(n) λέγεται πλήρως προσθετική αν  ισχύει για όλους τους θετικούς ακέραιους a και b, ακόμα και όταν δεν είναι σχετικά πρώτοι.  Η ολικά προσθετική χρησιμοποιείται επίσης με αυτή την έννοια κατ' αναλογία με τις ολικά πολλαπλασιαστικές συναρτήσεις. Αν η f είναι μια πλήρως προσθετική συνάρτηση τότε f(1) = 0.

Κάθε πλήρως προσθετική συνάρτηση είναι προσθετική, αλλά όχι το αντίστροφο.

 Παραδείγματα 

Παραδείγματα αριθμητικών συναρτήσεων που είναι πλήρως προσθετικές είναι:
 Ο περιορισμός της λογαριθμικής συνάρτησης στο 
 Η πολλαπλότητα ενός πρώτου παράγοντα p στο n, δηλαδή ο μεγαλύτερος εκθέτης m για τον οποίο pm διαιρεί το n.
 a0(n) - το άθροισμα των πρώτων αριθμών που διαιρούν το n μετρώντας την πολλαπλότητα, μερικές φορές ονομάζεται sopfr(n), η ισχύς του n ή ο ακέραιος λογάριθμος του n . Παραδείγματος χάριν:

a0(4) = 2 + 2 = 4
a0(20) =  a0(22 · 5) = 2 + 2 + 5 = 9
a0(27) = 3 + 3 + 3 = 9
a0(144) = a0(24 · 32) = a0(24) + a0(32) = 8 + 6 = 14
a0(2000) = a0(24 · 53) = a0(24) + a0(53) = 8 + 15 = 23
a0(2003) = 2003
a0(54,032,858,972,279) = 1240658
a0(54,032,858,972,302) = 1780417
a0(20,802,650,704,327,415) = 1240681

 Η συνάρτηση Ω(n), που ορίζεται ως ο συνολικός αριθμός των πρώτων παραγόντων του n, μετρώντας πολλαπλούς παράγοντες πολλές φορές, μερικές φορές ονομάζεται «συνάρτηση του Μεγάλου Ωμέγα» . Παραδείγματος χάριν,

Ω(1) = 0, δεδομένου ότι το 1 δεν έχει πρώτους παράγοντες
Ω(4) = 2
Ω(16) = Ω(2·2·2·2) = 4
Ω(20) = Ω(2·2·5) = 3
Ω(27) = Ω(3·3·3) = 3
Ω(144) = Ω(24 · 32) = Ω(24) + Ω(32) = 4 + 2 = 6
Ω(2000) = Ω(24 · 53) = Ω(24) + Ω(53) = 4 + 3 = 7
Ω(2001) = 3
Ω(2002) = 4
Ω(2003) = 1
Ω(54,032,858,972,279) = Ω(11 ⋅ 19932 ⋅ 1236661) = 4  ;
Ω(54,032,858,972,302) = Ω(2 ⋅ 72 ⋅ 149 ⋅ 2081 ⋅ 1778171) = 6 
Ω(20,802,650,704,327,415) = Ω(5 ⋅ 7 ⋅ 112 ⋅ 19932 ⋅ 1236661) = 7.

Παραδείγματα αριθμητικών συναρτήσεων που είναι προσθετικές αλλά όχι πλήρως προσθετικές είναι:

 ω(n'''), που ορίζεται ως ο συνολικός αριθμός των διακριτών πρώτων παραγόντων του n . Παραδείγματος χάριν:

ω(4) = 1
ω(16) = ω(24) = 1
ω(20) = ω(22 · 5) = 2
ω(27) = ω(33) = 1
ω(144) = ω(24 · 32) = ω(24) + ω(32) = 1 + 1 = 2
ω(2000) = ω(24 · 53) = ω(24) + ω(53) = 1 + 1 = 2
ω(2001) = 3
ω(2002) = 4
ω(2003) = 1
ω(54,032,858,972,279) = 3
ω(54,032,858,972,302) = 5
ω(20,802,650,704,327,415) = 5

 a1(n) - το άθροισμα των διακριτών πρώτων αριθμών που διαιρούν το n, μερικές φορές ονομάζεται sopf(n) . Παραδείγματος χάριν:a1(1) = 0a1(4) = 2a1(20) = 2 + 5 = 7a1(27) = 3a1(144) = a1(24 · 32) = a1(24) + a1(32) = 2 + 3 = 5a1(2000) = a1(24 · 53) = a1(24) + a1(53) = 2 + 5 = 7a1(2001) = 55a1(2002) = 33a1(2003) = 2003a1(54,032,858,972,279) = 1238665a1(54,032,858,972,302) = 1780410a1(20,802,650,704,327,415) = 1238677

 Πολλαπλασιαστικές συναρτήσεις 

Από οποιαδήποτε προσθετική συνάρτηση  είναι δυνατόν να δημιουργηθεί μια σχετική πολλαπλασιαστική συνάρτηση  η οποία είναι μια συνάρτηση με την ιδιότητα ότι όποτε  και  είναι συνομήλικοι τότε:

Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι 

 Αθροιστικές συναρτήσεις 

Δοθείσας μιας προσθετικής συνάρτησης , έστω ότι η αθροιστική της συνάρτηση ορίζεται από τη σχέση . Ο μέσος όρος της  δίνεται ακριβώς ως εξής

Οι αθροιστικές συναρτήσεις επί του  μπορούν να αναπτυχθούν ως  όπου

Ο μέσος όρος της συνάρτησης  εκφράζεται επίσης από αυτές τις συναρτήσεις ως εξής

Υπάρχει πάντα μια απόλυτη σταθερά  τέτοια ώστε για όλους τους φυσικούς αριθμούς ,

Έστω

Ας υποθέσουμε ότι  είναι μια προσθετική συνάρτηση με  
έτσι ώστε ως ,

Τότε  όπου  είναι η γκαουσιανή συνάρτηση κατανομής

Παραδείγματα αυτού του αποτελέσματος που σχετίζονται με τη συνάρτηση πρώτων ωμέγα και τους αριθμούς των πρώτων διαιρετών των μετατοπισμένων πρώτων αριθμών περιλαμβάνουν τα ακόλουθα για σταθερό  όπου οι σχέσεις ισχύουν για :



Δείτε επίσης

 Field Arithmetic
 Πραγματικό προβολικό επίπεδο
 Εσωτερικό γινόμενο 
 Φυσικός αριθμός
 Πίνακας (μαθηματικά)
 Τετραγωνικός πίνακας
 Ορίζουσα
 Αντιστρέψιμος πίνακας
 Σχετικά πρώτοι

Εξωτερικοί σύνδεσμοι  

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Matrix Analysis
 Functional Equations on Groups
 Number Theory Arising From Finite Fields: Analytic And Probabilistic Theory
 Additive Number Theory The Classical Bases
 Arithmetic Functions and Integer Products
 Stability of Functional Equations in Several Variables

Δημοσιεύσεις 










Παραπομπές

 Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij (Ring of arithmetical functions), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, pp. 97–108)  (MSC (2000) 11A25) 
 Iwaniec and Kowalski, Analytic number theory'', AMS (2004). 



Κατηγορία:Ανάλυση 
Κατηγορία:Αριθμητική γραμμική άλγεβρα 
Κατηγορία:Αριθμητικές συναρτήσεις 
Κατηγορία:Θεωρία αριθμών 
Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών