Θεωρία απαλοιφής

Στην αντιμεταθετική άλγεβρα και την αλγεβρική γεωμετρία, η θεωρία απαλοιφής είναι η κλασική ονομασία για αλγοριθμικές προσεγγίσεις για την απαλοιφή ορισμένων μεταβλητών μεταξύ πολυωνύμων πολλών μεταβλητών, προκειμένου να επιλυθούν συστήματα πολυωνυμικών εξισώσεων.

Η κλασική θεωρία απαλοιφής κορυφώθηκε με το έργο του Φράνσις Μακόλεϊ για τα πολυμεταβλητά αποτελέσματα, όπως περιγράφεται στο κεφάλαιο για τη θεωρία απαλοιφής στις πρώτες εκδόσεις (1930) του βιβλίου σύγχρονη άλγεβρα του Μπάρτελ βαν ντερ Βέρντεν (Bartel van der Waerden). Μετά από αυτό το γεγονός, η θεωρία απαλοιφής αγνοήθηκε από τους περισσότερους αλγεβρικούς γεωμέτρες για σχεδόν τριάντα χρόνια, μέχρι την εισαγωγή νέων μεθόδων για την επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων, όπως οι βάσεις Γκρέμπνερ, οι οποίες ήταν απαραίτητες για την Υπολογιστική άλγεβρα.

Ιστορία και σύνδεση με τις σύγχρονες θεωρίες
Ο τομέας της θεωρίας εξάλειψης παρακινήθηκε από την ανάγκη μεθόδων για την επίλυση συστημάτων πολυωνυμικών εξισώσεων.

Ένα από τα πρώτα αποτελέσματα ήταν το θεώρημα του Μπεζού, το οποίο περιορίζει τον αριθμό των λύσεων (στην περίπτωση δύο πολυωνύμων σε δύο μεταβλητές σε χρόνο Μπεζού).

Εκτός από το θεώρημα  Μπεζού, η γενική προσέγγιση ήταν η εξάλειψη των μεταβλητών για την αναγωγή του προβλήματος σε μία μόνο εξίσωση σε μία μεταβλητή.

Η περίπτωση των γραμμικών εξισώσεων επιλύθηκε εξ ολοκλήρου με την απαλοιφή του Γκάους, ενώ η παλαιότερη μέθοδος του κανόνα του Κράμερ δεν προχωρά με απαλοιφή και λειτουργεί μόνο όταν ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των μεταβλητών. Τον 19ο αιώνα, η μέθοδος αυτή επεκτάθηκε σε γραμμικές διοφαντικές εξισώσεις και αβελιανές ομάδες με την κανονική μορφή του Ερμίτ και την κανονική μορφή του Smith [Σμιθ].

Πριν από τον 20ό αιώνα, εισήχθησαν διάφοροι τύποι απαλοιφών, συμπεριλαμβανομένων των συνισταμένων και διαφόρων ειδών διακρινουσών. Γενικά, αυτές οι απαλοιφές είναι επίσης αναλλοίωτες κάτω από διάφορες αλλαγές των μεταβλητών και είναι επίσης θεμελιώδεις στη θεωρία των αναλλοίωτων.

Όλες αυτές οι έννοιες είναι αποτελεσματικές, με την έννοια ότι οι ορισμοί τους περιλαμβάνουν μια μέθοδο υπολογισμού. Γύρω στο 1890, ο Νταβίντ Χίλμπερτ εισήγαγε μη αποτελεσματικές μεθόδους, και αυτό θεωρήθηκε ως επανάσταση, η οποία οδήγησε τους περισσότερους αλγεβρικούς γεωμέτρες του πρώτου μισού του 20ού αιώνα να προσπαθήσουν να «εξαλείψουν την απαλοιφή». Παρ' όλα αυτά, το θεώρημα των μηδενικών του Χίλμπερτ, μπορεί να θεωρηθεί ότι ανήκει στη θεωρία εξάλειψης, καθώς υποστηρίζει ότι ένα σύστημα πολυωνυμικών εξισώσεων δεν έχει καμία λύση εάν και μόνο εάν μπορεί κανείς να εξαλείψει όλους τους αγνώστους για να λάβει τη σταθερή εξίσωση 1 = 0.

Η θεωρία της απαλοιφής κορυφώθηκε με το έργο του Λεοπόλντ Κρόνεκερ και, τέλος, του Μακόλεϊ, ο οποίος εισήγαγε τις πολυμεταβλητές συνισταμένες και τις U- συνισταμένες, παρέχοντας πλήρεις μεθόδους απαλοιφής για συστήματα πολυωνυμικών εξισώσεων, οι οποίες περιγράφονται στο κεφάλαιο για τη θεωρία της απαλοιφής στις πρώτες εκδόσεις (1930) του βιβλίου του βαν ντερ Βέρντεν « Σύγχρονη Άλγεβρα».

Αργότερα, η θεωρία απαλοιφής θεωρήθηκε παλιομοδίτικη και αφαιρέθηκε από τις επόμενες εκδόσεις της «Σύγχρονης Άλγεβρας». Γενικά αγνοήθηκε μέχρι την εισαγωγή των υπολογιστών, και πιο συγκεκριμένα της υπολογιστικής άλγεβρας, η οποία κατέστησε και πάλι σχετικό το σχεδιασμό αποτελεσματικών αλγορίθμων απαλοιφής, και όχι απλώς την ύπαρξη και τα δομικά αποτελέσματα. Οι κύριες μέθοδοι για αυτή την ανανέωση της θεωρίας απαλοιφής είναι οι βάσεις Γκρέμπνερ και η κυλινδρική αλγεβρική αποσύνθεση, που εισήχθησαν γύρω στο 1970.

Σύνδεση με τη λογική
Υπάρχει επίσης μια λογική πτυχή της θεωρίας απαλοιφής, όπως φαίνεται στο πρόβλημα ικανοποιησιμότητας Μπουλ. Στη χειρότερη περίπτωση, είναι κατά πάσα πιθανότητα δύσκολο να εξαλειφθούν μεταβλητές με υπολογισμούς. Η απαλοιφή των ποσοδεικτών είναι ένας όρος που χρησιμοποιείται στη μαθηματική λογική για να εξηγήσει ότι, σε ορισμένες θεωρίες, κάθε τύπος είναι ισοδύναμος με έναν τύπο χωρίς ποσοδείκτες. Αυτή είναι η περίπτωση της θεωρίας των πολυωνύμων πάνω σε ένα αλγεβρικά κλειστό πεδίο, όπου η θεωρία απαλοιφής μπορεί να θεωρηθεί ως η θεωρία των μεθόδων που καθιστούν αλγοριθμικά αποτελεσματική την απαλοιφή των ποσοδεικτών. Η απαλοιφή ποσοδείκτη πάνω από τους πραγματικούς είναι ένα άλλο παράδειγμα, το οποίο είναι θεμελιώδες στην υπολογιστική αλγεβρική γεωμετρία.

Δημοσιεύσεις 
 Israel Gelfand, Mikhail Kapranov, Andrey Zelevinsky, Discriminants, resultants, and multidimensional determinants. Mathematics: Theory & Applications. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1994. x+523 pp.  
 Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
 David Cox, John  Little, Donal O'Shea, Using Algebraic Geometry. Revised second edition. Graduate Texts in Mathematics, vol. 185. Springer-Verlag, 2005, xii+558 pp., 

Δείτε επίσης

 Field Arithmetic
 Αλγεβρική ποικιλία
Τοπολογία
 Αλγόριθμος Μπούχμπεργκερ

Εξωτερικοί σύνδεσμοι  

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Valued function field - Encyclopedia of Math
 Crystalline Cohomology of Superschemes
 Algebra, Arithmetic and Geometry with Applications: Papers from Shreeram 
Elimination Methods in Polynomial Computer Algebra
Elimination Methods

Παραπομπές



Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία 
Κατηγορία:Αντιμεταθετική άλγεβρα 
Κατηγορία:Αλγόριθμοι 
Κατηγορία:Εφαρμοσμένα μαθηματικά 
Κατηγορία:Εφαρμοσμένες επιστήμες