Πίνακας Χάνκελ

Στη γραμμική άλγεβρα, ένας πίνακας Χάνκελ (ή καταλυτικός πίνακας), που πήρε το όνομά του από τον Χέρμαν Χάνκελ, είναι ένας τετραγωνικός πίνακας στον οποίο κάθε ανιούσα λοξή διαγώνιος από αριστερά προς τα δεξιά είναι σταθερή. Παραδείγματος χάριν, 

Γενικότερα, ένας πίνακας Χάνκελ είναι κάθε  πίνακας  της μορφής

Όσον αφορά τις συνιστώσες, αν το  στοιχείο του  συμβολίζεται με , και υποθέτοντας , τότε έχουμε  για όλα τα 

Ιδιότητες
 Κάθε πίνακας Χάνκελ είναι συμμετρικός.
 Έστω  ο  πίνακας ανταλλαγής.  Αν  είναι ένας  πίνακας Χανκελ, τότε  όπου  είναι ένας  πίνακας Τόεπλιτς.
 Αν ο  είναι πραγματικός συμμετρικός, τότε ο  θα έχει τις ίδιες ιδιοτιμές με τον  μέχρι το πρόσημο.
 Ο πίνακας Χίλμπερτ είναι ένα παράδειγμα πίνακα Χάνκελ.
 Η ορίζουσα ενός πίνακα Χάνκελ ονομάζεται καταλεκτική.

 Τελεστής Χάνκελ
Δεδομένης μιας τυπικής σειράς Λοράν

ο αντίστοιχος τελεστής Χάνκελ ορίζεται ως 

Αυτό παίρνει ένα πολυώνυμο  και το στέλνει στο γινόμενο , αλλά απορρίπτει όλες τις δυνάμεις του  με μη αρνητικό εκθέτη, έτσι ώστε να δώσει ένα στοιχείο στο , την τυπική σειρά δυνάμεων με αυστηρά αρνητικούς εκθέτες. Ο χάρτης  είναι με φυσικό τρόπο -γραμμικός, και ο πίνακας του ως προς τα στοιχεία  και  είναι ο πίνακας Χάνκελ

Με αυτόν τον τρόπο προκύπτει οποιοσδήποτε πίνακας Χάνκελ. Ένα θεώρημα που οφείλεται στον Κρόνεκερ λέει ότι ο βαθμός αυτού του πίνακα είναι πεπερασμένος ακριβώς αν  είναι μια ρητή συνάρτηση, δηλαδή ένα κλάσμα δύο πολυωνύμων

Προσεγγίσεις
Συχνά ενδιαφερόμαστε για προσεγγίσεις των τελεστών Χάνκελ, ενδεχομένως με τελεστές χαμηλής τάξης. Προκειμένου να προσεγγίσουμε την έξοδο του τελεστή, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη φασματική νόρμα (operator 2-norm) για να μετρήσουμε το σφάλμα της προσέγγισής μας. Αυτό υποδηλώνει την αποσύνθεση ιδιάζουσας τιμής ως μια πιθανή τεχνική για την προσέγγιση της δράσης του τελεστή.

Ας σημειωθεί ότι ο πίνακας  δεν χρειάζεται να είναι πεπερασμένος. Αν είναι άπειρος, οι παραδοσιακές μέθοδοι υπολογισμού μεμονωμένων ιδιάζουσων διανυσμάτων δεν θα λειτουργήσουν άμεσα. Απαιτούμε επίσης ότι η προσέγγιση είναι ένας πίνακας Χάνκελ, κάτι που μπορεί να αποδειχθεί με τη θεωρία AAK.

Μετασχηματισμός πίνακα Χάνκελ

Ο Μετασχηματισμός πίνακα Χάνκελ, ή απλά μετασχηματισμός Χάνκελ, μιας ακολουθία  είναι η ακολουθία των προσδιοριστών των πινάκων Χάνκελ που σχηματίζονται από τον . Δεδομένου ενός ακέραιου αριθμού , ορίζουμε τον αντίστοιχο -διάστατο πίνακα Χάνκελ  ως έχοντα τα στοιχεία του πίνακα  Τότε η ακολουθία  που δίνεται από τη σχέση

 που δίνεται από

είναι ο μετασχηματισμός Χάνκελ της ακολουθίας  Ο μετασχηματισμός Χάνκελ είναι αναλλοίωτος υπό τον διωνυμικό μετασχηματισμό μιας ακολουθίας.

ως διωνυμικό μετασχηματισμό της ακολουθίας , τότε έχουμε 

Εφαρμογές των πινάκων Χάνκελ

Οι πίνακες Χάνκελ σχηματίζονται όταν, δεδομένης μιας ακολουθίας δεδομένων εξόδου, επιθυμείται η υλοποίηση ενός υποκείμενου μοντέλου χώρου καταστάσεων ή κρυμμένου μοντέλου Μαρκόφ    Η ιδιάζουσα της μοναδιαίας τιμής του πίνακα Χάνκελ παρέχει ένα μέσο για τον υπολογισμό των πινάκων Α, Β και C που καθορίζουν την υλοποίηση του χώρου καταστάσεων. Ο πίνακας Χάνκελ που σχηματίζεται από το σήμα έχει βρεθεί χρήσιμος για την αποσύνθεση μη στάσιμων σημάτων και την αναπαράσταση χρόνου-συχνότητας.

 Μέθοδος των ροπών για πολυωνυμικές κατανομές 
Η μέθοδος των ροπών που εφαρμόζεται σε πολυωνυμικές κατανομές οδηγεί σε έναν πίνακα Χάνκελ που πρέπει να αντιστραφεί προκειμένου να ληφθούν οι παράμετροι βάρους της προσέγγισης της πολυωνυμικής κατανομής.J. Munkhammar, L. Mattsson, J. Rydén (2017) "Polynomial probability distribution estimation using the method of moments". PLoS ONE 12(4): e0174573. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0174573

 Θετικοί πίνακες Χάνκελ και τα προβλήματα ροπής του Χάμπουργκερ 
Περαιτέρω πληροφορίες: Πρόβλημα ροπής Χάμπουργκερ

Δείτε επίσης

 Field Arithmetic
 Πραγματικό προβολικό επίπεδο
 Εσωτερικό γινόμενο 
 Αντιερμιτιανός πίνακας
 Πίνακας (μαθηματικά)
 Τριγωνικός πίνακας
 Πραγματικός αριθμός
 Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
 Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
 Ντάβιντ Χίλμπερτ
 Διωνυμικός συντελεστής
 High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form
 Algorithm overview

Εξωτερικοί σύνδεσμοι  

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
Matrix calculator
 Matrix Analysis
 Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
 Integral Matrices
 An Introduction to Computational Physics
 Elements of Hilbert Spaces and Operator Theory
 Matrix Computations
 A Hilbert Space Problem Book
 Iterated Function Systems, Moments, and Transformations of Infinite Matrices

Δημοσιεύσεις 







 Applications of Computational Algebraic Geometry
 A Hilbert Space Problem Book




Παραπομπές

Jean van Heijenoort, 1967. From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931. Harvard Univ. Press.
  - an accessible set of lectures originally for the citizens of Göttingen.



Κατηγορία:Αριθμητική γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)
Κατηγορία:Θεωρία πινάκων
Κατηγορία:Πολυώνυμα