Τύπος του Γιακόμπι

Στον υπολογισμό πινάκων, ο τύπος του Γιακόμπι εκφράζει την παράγωγο της ορίζουσας ενός πίνακα Α ως προς την συζυγή του Α και την παράγωγο του Α, Part Three, Section 8.3.

Εάν ο  είναι ένας διαφορίσιμος χάρτης από τους πραγματικούς αριθμούς σε πίνακες , τότε 

όπου  είναι το ίχνος του πίνακα . (Η τελευταία ισότητα ισχύει μόνο αν ο A(t) είναι αντιστρέψιμος).

Ως ειδική περίπτωση, 

Ισοδύναμα, αν  συμβολίζει το διαφορικό του , ο γενικός τύπος είναι

Ο τύπος πήρε το όνομά του από τον μαθηματικό Καρλ Γκούσταβ Γιάκομπ Γιάκομπι.

Παραγωγίση
Μέσω υπολογισμού πινάκων
Αποδεικνύουμε πρώτα ένα προκαταρκτικό λήμμα:Λήμμα.  Έστω Α και Β ένα ζεύγος τετραγωνικών πινάκων της ίδιας διάστασης n. Τότε

Απόδειξη. Το γινόμενο ΑΒ του ζεύγους πινάκων έχει συνιστώσες

Η αντικατάσταση του πίνακα A από την αντιμετάθεσή του AT είναι ισοδύναμη με την αντιμετάθεση των δεικτών των συνιστωσών του:

Το αποτέλεσμα προκύπτει λαμβάνοντας το ίχνος και των δύο πλευρών:Θεώρημα.''' (τύπος Γιακόμπι) Για κάθε διαφορίσιμο χάρτη A από τους πραγματικούς αριθμούς σε n × n πίνακες,

 Απόδειξη. Ο τύπος του Λαπλάς για την ορίζουσα ενός πίνακα Α μπορεί να διατυπωθεί ως εξής

Σημειώστε ότι το άθροισμα γίνεται σε κάποια αυθαίρετη γραμμή i του πίνακα.

Η ορίζουσα του A μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι μια συνάρτηση των στοιχείων του A:

έτσι ώστε, σύμφωνα με τον κανόνα της αλυσίδας, το διαφορικό του είναι

Αυτό το άθροισμα πραγματοποιείται σε όλα τα n×n στοιχεία του πίνακα.

Για να βρούμε το ∂F/∂Aij ας θεωρήσουμε ότι στη δεξιά πλευρά του τύπου Λαπλάς, ο δείκτης i μπορεί να επιλεγεί κατά βούληση. (Προκειμένου να βελτιστοποιηθούν οι υπολογισμοί: Οποιαδήποτε άλλη επιλογή θα έδινε τελικά το ίδιο αποτέλεσμα, αλλά θα μπορούσε να είναι πολύ πιο δύσκολη). Συγκεκριμένα, μπορεί να επιλεγεί ώστε να ταιριάζει με τον πρώτο δείκτη του ∂ / ∂Aij:

Έτσι, σύμφωνα με τον κανόνα του γινομένου,

Τώρα, αν ένα στοιχείο ενός πίνακα Aij  και ένας συντελεστής adjT(A)ik του στοιχείου Aik βρίσκονται στην ίδια γραμμή (ή στήλη), τότε ο συντελεστής δεν θα είναι συνάρτηση του Aij, επειδή ο συντελεστής του Aikεκφράζεται σε όρους στοιχείων που δεν βρίσκονται στη δική του γραμμή (ούτε στήλη). Συνεπώς, 

οπότε

Όλα τα στοιχεία του Α είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους, δηλ.

όπου δ'' είναι το δέλτα Κρόνεκερ, οπότε

Ως εκ τούτου,

και εφαρμόζοντας το Λήμμα προκύπτει

Διαγώνια διαγωνοποίηση

Και οι δύο πλευρές του τύπου Γιακόμπι  είναι πολυώνυμα του πίνακα
συντελεστές των  και .  Επομένως, είναι
αρκεί να επαληθεύσουμε την πολυωνυμική ταυτότητα στο πυκνό υποσύνολο
όπου οι ιδιοτιμές του  είναι διακριτές και μη μηδενικές.

Εάν η  είναι διαφοροποιήσιμη ως , τότε

Ειδικότερα, αν  είναι αντιστρέψιμη, τότε  και

Δεδομένου ότι η  έχει διακριτές ιδιοτιμές,
υπάρχει ένας διαφορίσιμος μιγαδικός αντιστρέψιμος πίνακας  τέτοιος ώστε
 και  είναι διαγώνιος.
Τότε

Έστω ,  
είναι οι ιδιοτιμές της .
Τότε

ο οποίος είναι ο τύπος Γιακόμπι για πίνακες  με ξεχωριστές μη μηδενικές
ιδιοτιμές.

Συμπεράσματα
Η ακόλουθη είναι μια χρήσιμη σχέση που συνδέει το ίχνος με τον προσδιοριστή του εκθετικού του σχετικού πίνακα:





Η δήλωση αυτή είναι σαφής για διαγώνιους πίνακες και ακολουθεί η απόδειξη του γενικού ισχυρισμού.

Για οποιονδήποτε αντιστρέψιμο πίνακα , στην προηγούμενη ενότητα "Μέσω του κανόνα της αλυσίδας", δείξαμε ότι

Θεωρώντας  σε αυτή την εξίσωση προκύπτει:



Το επιθυμητό αποτέλεσμα προκύπτει ως λύση αυτής της συνήθους διαφορικής εξίσωσης.

Εφαρμογές
Διάφορες μορφές του τύπου βρίσκονται πίσω από τον αλγόριθμο Φαντέεφ-Λεβεριέ για τον υπολογισμό του χαρακτηριστικού πολυωνύμου, καθώς και ρητές εφαρμογές του θεωρήματος Κέιλι-Χάμιλτον. Παραδείγματος χάριν, ξεκινώντας από την ακόλουθη εξίσωση, η οποία αποδείχθηκε παραπάνω:

και χρησιμοποιώντας , έχουμε:

όπου adj συμβολίζει τον προσαρτημένο  πίνακα.

Δείτε επίσης

 Field Arithmetic
 Πραγματικό προβολικό επίπεδο
 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
 Μιγαδικός αριθμός
 Θεωρία αναπαραστάσεων
 Ορίζουσα
 Αντιστρέψιμος πίνακας
 Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα

Εξωτερικοί σύνδεσμοι  

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
 Matrix Analysis
 The Concise Oxford Dictionary of Mathematics
 A Treatise on the Theory of Bessel Functions
 The Jacobi-Perron Algorithm: Its Theory and Application
 Jacobi's Lectures on Dynamics: Delivered at the University of Konigsberg in ...

Δημοσιεύσεις 





Παραπομπές



Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Ορίζουσες
Κατηγορία:Μετασχηματισμός (μαθηματικά)
Κατηγορία:Θεωρία πινάκων
Κατηγορία:Μηχανική συνεχούς μέσου
Κατηγορία:Μαθηματική ανάλυση
Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών