Πίνακας Κωσύ

Στα μαθηματικά, ένας πίνακας Κωσύ, που πήρε το όνομά του από τον Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ, είναι ένας m×n πίνακας με στοιχεία aij της μορφής

όπου  και  είναι στοιχεία ενός σώματος , και  και  είναι ερριπτικές ακολουθίες (περιέχουν διακριτά στοιχεία).

Ο πίνακας Χίλμπερτ είναι μια ειδική περίπτωση του πίνακα Κωσύ, όπου

Κάθε Υποπίνακας ενός πίνακα Κωσύ είναι ο ίδιος ένας πίνακας Κωσύ.

 Ορίζουσα Κωσύ 
Ο ορίζουσα ενός πίνακα Κωσύ είναι σαφώς ένα ρητό κλάσμα στις παραμέτρους  και . Αν οι ακολουθίες δεν ήταν ερριπτικές, η ορίζουσα θα μηδενιζόταν και θα έτεινε στο άπειρο αν κάποιο  έτεινε στο . Ένα υποσύνολο των μηδενικών και των πόλων της είναι επομένως γνωστό. Γεγονός είναι ότι δεν υπάρχουν πλέον μηδενικά και πόλοι:

Η ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα Κωσύ Α' είναι γνωστή ως ορίζουσα Κωσύ και μπορεί να δοθεί ρητά ως εξής

     (Schechter 1959, eqn 4; Cauchy 1841, p. 154, eqn. 10).

Είναι πάντοτε μη μηδενικός, και επομένως όλοι οι τετραγωνικοί πίνακες Κωσύ είναι αντιστρέψιμοι. Ο αντίστροφος A−1 = B = [bij] δίνεται από τη σχέση 

     (Schechter 1959, Theorem 1)

όπου Ai(x) και Bi(x) είναι τα πολυώνυμα Λαγκράνζ για  και , αντίστοιχα. Δηλαδή,

με

Γενίκευση
Ένας πίνακας C ονομάζεται Κωσύ-Λαικ αν είναι της μορφής

Ορίζοντας X=diag(xi), Y=diag(yi), βλέπουμε ότι τόσο οι πίνακες Κωσύ όσο και οι πίνακες τύπου Κωσύ ικανοποιούν την εξίσωση μετατόπισης

(με  για το Κωσύ). Συνεπώς, οι πίνακες τύπου Κωσύ έχουν μια κοινή δομή μετατόπισης, η οποία μπορεί να αξιοποιηθεί κατά την εργασία με τον πίνακα. Παραδείγματος χάριν, υπάρχουν γνωστοί αλγόριθμοι στη βιβλιογραφία για
 προσεγγιστικός πολλαπλασιασμός πινάκων-διανυσμάτων του Κωσύ με  ops (π.χ. η μέθοδος γρήγορης πολυπολικής μέθοδος),
 (περιστρεφόμενη) παραγοντοποίηση LU με  ops (αλγόριθμος GKO), και συνεπώς επίλυση γραμμικών συστημάτων,
 προσεγγιστικοί ή ασταθείς αλγόριθμοι για την επίλυση γραμμικών συστημάτων σε .
Εδώ  δηλώνει το μέγεθος του πίνακα (συνήθως έχουμε να κάνουμε με τετραγωνικούς πίνακες, αν και όλοι οι αλγόριθμοι μπορούν εύκολα να γενικευτούν σε ορθογώνιους πίνακες).

Δείτε επίσης

 Field Arithmetic
 Πραγματικό προβολικό επίπεδο
 Εσωτερικό γινόμενο 
 Αντιερμιτιανός πίνακας
 Πίνακας (μαθηματικά)
 Τριγωνικός πίνακας
 Πραγματικός αριθμός
 Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
 Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
 Ντάβιντ Χίλμπερτ
 Διωνυμικός συντελεστής
 High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form
 Algorithm overview

Εξωτερικοί σύνδεσμοι  

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
Matrix calculator
 Matrix Analysis
 Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
 Integral Matrices
 An Introduction to Computational Physics
 Elements of Hilbert Spaces and Operator Theory
 Matrix Computations
 A Hilbert Space Problem Book
 Iterated Function Systems, Moments, and Transformations of Infinite Matrices

Δημοσιεύσεις 











 TiIo Finck, Georg Heinig, and Karla Rost: "An Inversion Formula and Fast Algorithms for Cauchy-Vandermonde Matrices", Linear Algebra and its Applications, vol.183 (1993), pp.179-191.
 Dario Fasino: "Orthogonal Cauchy-like matrices", Numerical Algorithms, vol.92 (2023), pp.619-637. url=https://doi.org/10.1007/s11075-022-01391-y .

Παραπομπές

Jean van Heijenoort, 1967. From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931. Harvard Univ. Press.
  - an accessible set of lectures originally for the citizens of Göttingen.



Κατηγορία:Αριθμητική γραμμική άλγεβρα 
Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα 
Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά) 
Κατηγορία:Θεωρία πινάκων 
Κατηγορία:Πολυώνυμα
Κατηγορία:Ορίζουσες