Πίνακας Κάρλεμαν

Στα μαθηματικά, ο πίνακας Κάρλεμαν είναι ένας πίνακας που χρησιμοποιείται για τη μετατροπή της σύνθεσης συναρτήσεων σε πολλαπλασιασμό πινάκων. Χρησιμοποιείται συχνά στην Επαναλαμβανόμενη συνάρτηση για την εύρεση της συνεχούς επαναλαμβανόμενης συνάρτησης η οποία δεν μπορεί να επαναληφθεί μόνο με αναγνώριση προτύπων. Άλλες χρήσεις των πινάκων Κάρλεμαν εμφανίζονται στη θεωρία των συναρτήσεων παραγωγής πιθανοτήτων και των αλυσίδων Μάρκοφ.

Ορισμός
Ο πίνακας Κάρλεμαν μιας απείρως διαφορίσιμης συνάρτησης  ορίζεται ως:

ώστε να ικανοποιείται η εξίσωση (σειρά Τέιλορ):

Παραδείγματος χάριν, ο υπολογισμός του  από το

ισοδυναμεί απλώς με το τετραγωνικό γινόμενο της γραμμής 1 του  με ένα διάνυσμα στήλης .

Οι καταχωρήσεις του  στην επόμενη σειρά δίνουν τη 2η δύναμη του :

και επίσης, προκειμένου να έχουμε τη μηδενική δύναμη του  στο , υιοθετούμε τη σειρά 0 που περιέχει μηδενικά παντού εκτός από την πρώτη θέση, έτσι ώστε

Έτσι, το εσωτερικό γινόμενο του  με το διάνυσμα στήλης  δίνει το διάνυσμα στήλης , δηλαδή,

Γενίκευση
Μια γενίκευση του πίνακα Κάρλεμαν μιας συνάρτησης μπορεί να οριστεί γύρω από οποιοδήποτε σημείο, όπως:



ή  όπου . Αυτό επιτρέπει τη συσχέτιση της ισχύος του πίνακα ως εξής:

 Γενική σειρά 
Ένας άλλος τρόπος για να το γενικεύσουμε ακόμη περισσότερο είναι να σκεφτούμε μια γενική σειρά με τον ακόλουθο τρόπο:

Έστω  μια σειρά προσέγγισης της , όπου  είναι μια βάση του χώρου που περιέχει την .

 Υποθέτοντας ότι η  είναι επίσης μια βάση για την , μπορούμε να ορίσουμε , επομένως έχουμε , τώρα μπορούμε να αποδείξουμε ότι , αν υποθέσουμε ότι  είναι επίσης βάση για  και .

Έστω  τέτοια ώστε  όπου .
τώρα


Συγκρίνοντας τον πρώτο και τον τελευταίο όρο, και από το ότι  είναι μια βάση για ,  και  προκύπτει ότι 

 Παραδείγματα 
Παραγωγή («Τέιλορ») πίνακας Κάρλεμαν 

Αν θέσουμε  έχουμε τον πίνακα Κάρλεμαν'.  διότι

τότε γνωρίζουμε ότι ο n-th συντελεστής  πρέπει να είναι ο n-th συντελεστής της σειρά Τέιλορ του .

Επομένως   άρα 

Ο οποίος είναι ο πίνακας Κάρλεμαν που δόθηκε παραπάνω.  (Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι αυτή δεν είναι μια ορθοκανονική βάση)

Πίνακας Κάρλεμαν για ορθοκανονική βάση
Αν  είναι μια ορθοκανονική βάση για ένα χώρο Χίλμπερτ με καθορισμένο εσωτερικό γινόμενο , μπορούμε να ορίσουμε  και  θα είναι .  Τότε 

.

Πίνακας Κάρλεμαν για σειρές Φουριέ

Αν  έχουμε το ανάλογο για τις Σειρές Φουριέ.

Έστω  και  αντιπροσωπεύουν τον συντελεστή Κάρλεμαν και τον πίνακα στη βάση Φουριέ. Επειδή η βάση είναι ορθογώνια, έχουμε.

 .
 Τότε, λοιπόν,  που είναι


Ιδιότητες
Οι πίνακες Κάρλεμαν ικανοποιούν τη θεμελιώδη σχέση

γεγονός που καθιστά τον πίνακα Κάρλεμαν Μ μια (άμεση) αναπαράσταση του . Εδώ ο όρος  δηλώνει τη σύνθεση των συναρτήσεων .

Άλλες ιδιότητες περιλαμβάνουν:
, όπου  είναι μια επαναλαμβανόμενη συνάρτηση και

, όπου  είναι η αντίστροφη συνάρτηση (εάν ο πίνακας Κάρλεμαν είναι αντιστρέψιμος).

Παραδείγματα
Ο πίνακας Κάρλεμαν μιας σταθεράς είναι:

Ο πίνακας Κάρλεμαν της συνάρτησης ταυτότητας είναι:

Ο πίνακας Κάρλεμαν μιας σταθερής πρόσθεσης είναι:

Ο πίνακας Κάρλεμαν της συνάρτησης διαδόχου είναι ισοδύναμος με τον διωνυμικό συντελεστή:

Ο πίνακας Κάρλεμαν του λογαρίθμου σχετίζεται με τους (προσημασμένους) αριθμούς Στίρλινγκ του πρώτου είδους που κλιμακώνονται με παραγοντικά:

Ο πίνακας Κάρλεμαν του λογαρίθμου σχετίζεται με τους (μη προσημασμένους) αριθμούς Στίρλινγκ του πρώτου είδους που κλιμακώνονται με παραγοντικά:

Ο πίνακας Κάρλμαν της εκθετικής συνάρτησης σχετίζεται με τους αριθμούς Στίρλινγκ του δεύτερου είδους που κλιμακώνονται με παραγοντικά:

Ο πίνακας Κάρλεμαν των εκθετικών συναρτήσεων είναι:

Ο πίνακας Κάρλεμαν ενός σταθερού πολλαπλάσιου είναι:

Ο πίνακας Κάρλεμαν μιας γραμμικής συνάρτησης είναι:

Ο πίνακας Κάρλμαν μιας συνάρτησης  είναι:

Ο πίνακας Κάρλεμαν μιας συνάρτησης  είναι:

Σχετικοί πίνακες
Ο πίνακας Μπελ ή ο πίνακας Ζαμποτίνσκι μιας συνάρτησης  ορίζεται ως εξής 

ώστε να ικανοποιείται η εξίσωση

Αυτοί οι πίνακες αναπτύχθηκαν το 1947 από τον Έρι Ζαμποτίνσκι για να αναπαραστήσουν τις στροφές πολυωνύμων. Είναι ο ανάστροφος του πίνακα Κάρλεμαν και ικανοποιεί

 γεγονός που καθιστά τον πίνακα Μπελ Β μια αντι-αντιπροσώπευση του .

Δημοσιεύσεις 





 Diodorus Siculus, Bibliotheca Historica. Vol. 1–2. Immanel Bekker. Ludwig Dindorf. Friedrich Vogel. in aedibus B. G. Teubneri. Leipzig. 1888–1890. Greek text available at the Perseus Digital Library.
 Gaius Julius Hyginus, Fabulae from The Myths of Hyginus translated and edited by Mary Grant. University of Kansas Publications in Humanistic Studies. Online version at the Topos Text Project.
 Olav Kallenberg; Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. Springer -Verlag, New York (2005). 510 pp. ISBN 0-387-25115-4


Δείτε επίσης

 Field Arithmetic
 Πραγματικό προβολικό επίπεδο
 Πραγματικός αριθμός 
 Αντιερμιτιανός πίνακας
 Μέγιστος κοινός διαιρέτης
 Υπολογιστική βιολογία
 Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
 Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
 Διανυσματικός χώρος
 Παραμετρικές εξισώσεις
 Πολλαπλασιασμός πινάκων
 Επαναλαμβανόμενη συνάρτηση
 Ανάλυση πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές
 Αντιστρέψιμος πίνακας
 High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι  

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
Matrix calculator
 Matrix Analysis
 Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
 Exercises of Matrices and Linear Algebra
 Fourier Transforms: Approach to Scientific Principles
 Euclidean Distance Matrices and Their Applications in Rigidity Theory.
 Physics and Combinatorics 2000: Proceedings of the Nagoya 2000 International ...
 Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences.
 More Progresses in Analysis: Proceedings of the 5th International ISAAC ...
 Algebra, Complex Analysis, and Pluripotential Theory: 2 USUZCAMP, Urgench ...
 Lectures on the Combinatorics of Free Probability, Τόμος 13

Παραπομπές

  Online
 R Aldrovandi, Special Matrices of Mathematical Physics: Stochastic, Circulant and Bell Matrices, World Scientific, 2001. (preview)
 R. Aldrovandi, L. P. Freitas, Continuous Iteration of Dynamical Maps, online preprint, 1997.
 P. Gralewicz, K. Kowalski, Continuous time evolution from iterated maps and Carleman linearization, online preprint, 2000.
 K Kowalski and W-H Steeb, Nonlinear Dynamical Systems and Carleman Linearization, World Scientific, 1991. (preview)



Κατηγορία:Αριθμητική γραμμική άλγεβρα 
Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα 
Κατηγορία:Θεωρήματα της γραμμικής άλγεβρας 
Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά) 
Κατηγορία:Θεωρία πινάκων 
Κατηγορία:Μαθηματικές συναρτήσεις