Εικασία του Ιακωβιανού

Στα μαθηματικά, η εικασία του Ιακωβιανού είναι ένα διάσημο άλυτο πρόβλημα που αφορά πολυώνυμα με πολλές μεταβλητές. Δηλώνει ότι αν μια πολυωνυμική συνάρτηση από έναν n-διάστατο χώρο προς τον εαυτό της έχει Ιακωβιανή ορίζουσα που είναι μια μη μηδενική σταθερά, τότε η συνάρτηση έχει πολυωνυμικό αντίστροφο. Εικάστηκε για πρώτη φορά το 1939 από τον Οτ-Χάινριχ Κέλερ, και δημοσιοποιήθηκε ευρέως από τον Σρίραμ Αμπιάνκαρ, ως παράδειγμα ενός δύσκολου ερωτήματος της αλγεβρικής γεωμετρίας που απαιτεί για τη διατύπωσή του κάτι περισσότερο από γνώσεις λογισμού.

Η εικασία του Ιακωβιανού είναι πασίγνωστη για τον μεγάλο αριθμό των αποπειρών αποδείξεων που τελικά περιείχαν σφάλματα. Μέχρι το 2018, δεν υπάρχουν εύλογες αξιώσεις για την απόδειξή της. Ακόμη και η περίπτωση των δύο μεταβλητών έχει αντισταθεί σε όλες τις προσπάθειες. Προς το παρόν δεν υπάρχει κανένας πειστικός λόγος να πιστεύουμε ότι η εικασία είναι αληθής, και σύμφωνα με τον βαν ντεν Έσσεν,  υπάρχουν κάποιες υποψίες ότι η εικασία είναι στην πραγματικότητα λανθασμένη για μεγάλο αριθμό μεταβλητών (μάλιστα, δεν υπάρχουν ούτε πειστικά στοιχεία που να υποστηρίζουν αυτές τις υποψίες). Η εικασία του Ιακωβιανού είναι η υπ' αριθμόν 16 στον κατάλογο του Στίβεν Σμέιλ του 1998 με τα Μαθηματικά Προβλήματα για τον Επόμενο Αιώνα.

Ιακωβιανή ορίζουσα
Έστω N > 1 ένας σταθερός ακέραιος αριθμός και θεωρούμε πολυώνυμα f1, ..., fN σε μεταβλητές X1, ..., XN με συντελεστές σε ένα πεδίο k. Τότε ορίζουμε μια διανυσματική συνάρτηση F: kN → kN θέτοντας:

 F(X1, ..., XN) = (f1(X1, ...,XN),..., fN(X1,...,XN)).

Κάθε χάρτης F: kN → kN που προκύπτει με αυτόν τον τρόπο ονομάζεται πολυωνυμική απεικόνιση.

Η Ιακωβιανή ορίζουσα του F, που συμβολίζεται με JF, ορίζεται ως η ορίζουσα του N × N Ιακωβιανού πίνακα που αποτελείται από τις μερικές παραγώγους του fi ως προς Xj:

τότε η JF είναι η ίδια μια πολυωνυμική συνάρτηση των N μεταβλητών  X1, ..., XN.

Διατύπωση της εικασίας
Από τον κανόνα της πολυμεταβλητής αλυσίδας προκύπτει ότι αν η F έχει πολυωνυμική αντίστροφη συνάρτηση G: kN → kN, τότε η JF έχει πολυωνυμική αντίστροφη, άρα είναι μια μη μηδενική σταθερά. Η εικασία του Ιακωβιανού είναι η ακόλουθη μερική αντιστροφή:

Εικασία του Ιακωβιανού: Έστω ότι το k έχει χαρακτηριστικό 0. Αν JF είναι μια μη μηδενική σταθερά, τότε η F έχει μια αντίστροφη συνάρτηση G: kN → kN η οποία είναι κανονική, δηλαδή οι συνιστώσες της είναι πολυώνυμα.

Σύμφωνα με τον βαν ντεν Έσεν, το πρόβλημα εικάστηκε για πρώτη φορά από τον Κέλερ το 1939 για την περιορισμένη περίπτωση δύο μεταβλητών και ακέραιων συντελεστών.

Το προφανές ανάλογο της εικασίας του Ιακωβιανού αποτυγχάνει αν το k έχει χαρακτηριστική p > 0 ακόμη και για μία μεταβλητή. Η χαρακτηριστική ενός πεδίου, αν δεν είναι μηδέν, πρέπει να είναι πρώτος αριθμός, άρα τουλάχιστον 2. Το πολυώνυμο  έχει παράγωγο  που είναι 1 (επειδή το px είναι 0) αλλά δεν έχει αντίστροφη συνάρτηση. Ωστόσο, ο Κοσίβι Αντζαμάγκμπο [ht] πρότεινε την επέκταση της εικασίας του Ιακωβιανού σε χαρακτηριστική  προσθέτοντας την υπόθεση ότι το p δεν διαιρεί τον βαθμό της επέκτασης του πεδίου .

Η ύπαρξη ενός πολυωνυμικού αντίστροφου είναι προφανής αν F είναι απλά ένα σύνολο γραμμικών συναρτήσεων ως προς τις μεταβλητές, διότι τότε το αντίστροφο θα αποτελεί επίσης ένα σύνολο γραμμικών συναρτήσεων. Ένα απλό μη γραμμικό παράδειγμα δίνεται από τη σχέση

έτσι ώστε η Ιακωβιανή ορίζουσα να είναι

Στην περίπτωση αυτή το αντίστροφο υπάρχει ως τα πολυώνυμα

Αλλά αν τροποποιήσουμε ελαφρώς το F, σε

τότε η ορίζουσα είναι

η οποία δεν είναι σταθερή, και η εικασία του Ιακωβιανού δεν ισχύει.
Η συνάρτηση εξακολουθεί να έχει αντίστροφο:

αλλά η έκφραση για το x δεν είναι πολυώνυμο.

Η προϋπόθεση JF ≠ 0 σχετίζεται με το θεώρημα της αντίστροφης συνάρτησης στον πολυμεταβλητό λογισμό. Πράγματι για ομαλές συναρτήσεις (και έτσι ειδικότερα για πολυώνυμα) μια ομαλή τοπική αντίστροφη συνάρτηση προς την F υπάρχει σε κάθε σημείο όπου η JF είναι μη μηδενική. Για παράδειγμα, ο χάρτης x → x + x3 έχει μια ομαλή τοπική αντίστροφη συνάρτηση, αλλά η αντίστροφη συνάρτηση δεν είναι πολυώνυμο.

Αποτελέσματα
Ο Στούαρτ Σούι-Σενγκ Γουάνγκ απέδειξε την εικασία του Ιακωβιανού για πολυώνυμα βαθμού 2. Οι Χάιμαν Μπας, Έντουιν Κόνελ και Ντέιβιντ Ράιτ έδειξαν ότι η γενική περίπτωση προκύπτει από την ειδική περίπτωση όπου τα πολυώνυμα είναι βαθμού 3, ή ακόμα πιο συγκεκριμένα, κυβικού ομογενούς τύπου, δηλαδή της μορφής F = (X1 + H1, ..., Xn + Hn), όπου κάθε Hi είναι είτε μηδέν είτε ένα ομογενές κυβικό. Ο Λούντβικ Ντρουζκόφσκι έδειξε ότι μπορεί κανείς να υποθέσει περαιτέρω ότι ο χάρτης είναι κυβικού γραμμικού τύπου, που σημαίνει ότι τα μη μηδενικά Hi είναι κύβοι ομογενών γραμμικών πολυωνύμων Φαίνεται ότι η αναγωγή Ντρουζκόφσκι είναι ένας από τους πιο ελπιδοφόρους δρόμους. Αυτές οι αναγωγές εισάγουν πρόσθετες μεταβλητές και επομένως δεν είναι διαθέσιμες για σταθερό N.

Οι Έντουιν Κόνελ και Λου βαν ντεν Ντρις απέδειξαν ότι αν η εικασία του Ιακωβιανού είναι ψευδής, τότε υπάρχει αντιπαράδειγμα με ακέραιους συντελεστές και Ιακωβιανή ορίζουσα1. Κατά συνέπεια, η εικασία του Ιακωβιανού είναι αληθής είτε για όλα τα πεδία χαρακτηριστικής 0 είτε για κανένα. Για σταθερή διάσταση N, είναι αληθής αν ισχύει για τουλάχιστον ένα αλγεβρικά κλειστό πεδίο χαρακτηριστικής 0.

Έστω ότι k[X] συμβολίζει τον πολυωνυμικό δακτύλι  και k[F] συμβολίζει την k-υποάλγεβρα που παράγεται από τα f1, ..., fn.  Για ένα δεδομένο F, η εικασία του Ιακωβιανού είναι αληθής εάν, και μόνο εάν, . Ο Κέλερ (1939) απέδειξε την περίπτωση της διαιρετικής προσέγγισης, δηλαδή όταν τα δύο πεδία k(X) και k(F) είναι ίσα. Η περίπτωση όπου το k(X) είναι επέκταση Γαλουά του k(F) αποδείχθηκε από τον Άντριου Κάμπελ για μιγαδικούς χάρτες και γενικά από τον Μάικλ Ραζάρ και, ανεξάρτητα, από τον Ντέιβιντ Ράιτ. Ο Τζουόνγκ-Τσιένγκ Μοχ έλεγξε την εικασία για πολυώνυμα βαθμού το πολύ 100 σε δύο μεταβλητές.

Οι Μίτσιελ ντε Μποντ και Άρνο φαν ντεν Έσεν και ο Λούντβικ Ντρουζκόφσκι απέδειξαν ανεξάρτητα ότι αρκεί να αποδειχθεί η εικασία του Ιακωβιανού για μιγαδικούς χάρτες ομογενούς κυβικού τύπου με συμμετρικό Ιακωβιανό πίνακα, και επιπλέον έδειξαν ότι η εικασία ισχύει για χάρτες γραμμικού κυβικού τύπου με συμμετρικό Ιακωβιανό πίνακα, σε οποιοδήποτε πεδίο χαρακτηριστικής 0.

Η εικασία της ισχυρής πραγματικής Ιακωβιανής ήταν ότι ένας πραγματικός πολυωνυμικός χάρτης με μία πουθενά εξαφανιζόμενη Ιακωβιανή ορίζουσα έχει μια ομαλή συνολική αντιστροφή. Αυτό είναι ισοδύναμο με το ερώτημα αν ένας τέτοιος χάρτης είναι τοπολογικά ένας κατάλληλος χάρτης, οπότε είναι ένας χάρτης κάλυψης μιας απλά συνδεδεμένης πολλαπλότητας, άρα αντιστρέψιμος. Ο Σεργκέι Πίντσουκ κατασκεύασε δύο μεταβλητά αντιπαραδείγματα συνολικού βαθμού 35 και άνω.

Είναι γνωστό ότι η εικασία του Ντιξμιέρ συνεπάγεται την εικασία του Ιακωβιανού. Αντίστροφα, αποδεικνύεται από τον Γιοσιφούμι Τσουτσιμότο και ανεξάρτητα από τους Αλεξέι Μπελόφ-Κανέλ και Μαξίμ Κοντσέβιτς ότι η εικασία του Ιακωβιανού για 2Ν μεταβλητές συνεπάγεται την εικασία του Ντιξμιέρ σε Ν διαστάσεις. Μια αυτοτελής και καθαρά αλγεβρική απόδειξη του τελευταίου συμπεράσματος δίνεται επίσης από τους Κοσσιβί Αντζαμάγκμπο και Άρνο βαν ντεν Έσεν, οι οποίοι επίσης απέδειξαν στην ίδια εργασία ότι αυτές οι δύο εικασίες είναι ισοδύναμες με την εικασία Πουασόν.

Παραπομπές

Βιβλιογραφία 
Alexei Belov-Kanel et Maxim Kontsevich, « The Jacobian conjecture is stably equivalent to the Dixmier conjecture », Moscow Mathematical Journal, vol. 7, no 2, 2007, p. 209-218 (Bibcode 2005math.....12171B, MR 2337879, arXiv math/0512171).
A. van den Essen, Jacobian conjecture, Springer
Ott-Heinrich Keller, « Ganze Cremona-Transformationen », Monatshefte für Mathematik und Physik, vol. 47, no 1, 1939, p. 299-306 (ISSN 0026-9255, DOI 10.1007/BF01695502)
A. van den Essen, Polynomial automorphisms and the Jacobian conjecture [archive]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι  
Web page of Tzuong-Tsieng Moh on the conjecture



Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Πολυώνυμα
Κατηγορία:Εικασίες
Κατηγορία:Γεωμετρία