Πραγματική αλγεβρική γεωμετρία

Στα μαθηματικά, η πραγματική αλγεβρική γεωμετρία είναι ο υποκλάδος της αλγεβρικής γεωμετρίας που μελετά τα πραγματικά αλγεβρικά σύνολα, δηλαδή τις λύσεις σε πραγματικούς αριθμούς αλγεβρικών εξισώσεων με συντελεστές σε πραγματικούς αριθμούς, και τις αντιστοιχίες μεταξύ αυτών των συνόλων (ιδίως τις αντιστοιχίες πραγματικών πολυωνύμων).

Η ημι-αλγεβρική γεωμετρία είναι η μελέτη των ημι-αλγεβρικών συνόλων, δηλαδή των λύσεων σε πραγματικούς αριθμούς αλγεβρικών ανισοτήτων με συντελεστές σε πραγματικούς αριθμούς, και των αντιστοιχιών μεταξύ αυτών των συνόλων. Οι πιο φυσικές απεικονίσεις μεταξύ ημι-αλγεβρικών συνόλων είναι οι ημι-αλγεβρικές απεικονίσεις, δηλαδή απεικονίσεις των οποίων τα γραφήματα είναι ημι-αλγεβρικά σύνολα.

Ορολογία
Σήμερα, οι λέξεις "ημι-αλγεβρική γεωμετρία" και "πραγματική αλγεβρική γεωμετρία" χρησιμοποιούνται συνώνυμα, επειδή τα πραγματικά αλγεβρικά σύνολα δεν μπορούν να μελετηθούν σοβαρά δίχως τη χρήση των ημι-αλγεβρικών συνόλων. Παραδείγματος χάριν, η προβολή ενός πραγματικού αλγεβρικού συνόλου κατά μήκος ενός άξονα συντεταγμένων δεν είναι απαραίτητα ένα πραγματικό αλγεβρικό σύνολο, αλλά είναι πάντοτε ένα ημι-αλγεβρικό σύνολο: αυτό είναι το θεώρημα των Τάρσκι-Σέιντενμπεργκ. Συναφή πεδία είναι η θεωρία των ο-ελάχιστων και η πραγματική αναλυτική γεωμετρία.

Παραδείγματα: Οι πραγματικές επίπεδες καμπύλες αποτελούν παραδείγματα πραγματικών αλγεβρικών συνόλων και τα πολύεδρα αποτελούν παραδείγματα ημι-αλγεβρικών συνόλων. Οι πραγματικές αλγεβρικές συναρτήσεις και οι συναρτήσεις Νας είναι παραδείγματα ημιαλγεβρικών απεικονίσεων. Οι τμηματικά πολυωνυμικές απεικονίσεις (βλέπε την εικασία Πιρς-Μπίρκοφ) είναι επίσης ημι-αλγεβρικές απεικονίσεις.

Η υπολογιστική πραγματική αλγεβρική γεωμετρία ασχολείται με τις αλγοριθμικές πτυχές της πραγματικής αλγεβρικής (και ημιαλγεβρικής) γεωμετρίας. Ο κύριος αλγόριθμος είναι η κυλινδρική αλγεβρική αποσύνθεση. Χρησιμοποιείται για την κοπή ημιαλγεβρικών συνόλων σε ωραία κομμάτια και για τον υπολογισμό των προβολών τους.

Η πραγματική άλγεβρα είναι το μέρος της άλγεβρας που είναι σχετικό με την πραγματική αλγεβρική (και ημι-αλγεβρική) γεωμετρία. Ασχολείται κυρίως με τη μελέτη διατεταγμένων πεδίων και διατεταγμένων δακτυλίων (ιδίως πραγματικών κλειστών πεδίων) και τις εφαρμογές τους στη μελέτη θετικών πολυωνύμων και αθροισμάτων τετραγώνων πολυωνύμων. (Βλέπε το 17ο πρόβλημα του Χίλμπερτ και το Positivestellensatz του Κριβίν.) Η σχέση της πραγματικής άλγεβρας με την πραγματική αλγεβρική γεωμετρία είναι παρόμοια με τη σχέση της αντιμεταθετικής άλγεβρας με την μιγαδική αλγεβρική γεωμετρία. Συναφή πεδία είναι η θεωρία των προβλημάτων στιγμής, η κυρτή βελτιστοποίηση, η θεωρία των τετραγωνικών μορφών, η θεωρία αποτίμησης και η θεωρία μοντέλων.

Χρονοδιάγραμμα της πραγματικής άλγεβρας και της πραγματικής αλγεβρικής γεωμετρίας
1826 Αλγόριθμος του Φουριέ για συστήματα γραμμικών ανισοτήτωνJoseph B. J. Fourier, Solution d'une question particuliére du calcul des inégalités. Bull. sci. Soc. Philomn. Paris 99–100. OEuvres 2, 315–319. Ανακαλύφθηκε εκ νέου από τον Λόιντ Ντάινς το 1919 και τον Θεόδωρο Μότζκιν το 1936Theodore Motzkin, Beiträge zur Theorie der linearen Ungleichungen. IV+ 76 S. Diss., Basel (1936)..
1835 Θεώρημα του Στουρμ για την καταμέτρηση πραγματικών ριζώνJacques Charles François Sturm, Mémoires divers présentés par des savants étrangers 6, pp. 273–318 (1835).
1856 Θεώρημα του Ερμίτ για την καταμέτρηση πραγματικών ριζώνCharles Hermite, Sur le Nombre des Racines d’une Équation Algébrique Comprise Entre des Limites Données, Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 52, pp. 39–51 (1856)..
1876 Θεώρημα καμπυλών του ΧάρνακC. G. A. Harnack Über Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen Curven, Mathematische Annalen 10 (1876), 189–199 (Αυτό το όριο για τον αριθμό των συνιστωσών επεκτάθηκε αργότερα σε όλους τους αριθμούς Μπέτι όλων των πραγματικών αλγεβρικών συνόλωνI. G. Petrovski˘ı and O. A. Ole˘ınik, On the topology of real algebraic surfaces, Izvestiya Akad. Nauk SSSR. Ser.Mat. 13, (1949). 389–402John Milnor, On the Betti numbers of real varieties, Proceedings of the American Mathematical Society 15 (1964), 275–280.René Thom, Sur l’homologie des vari´et´es algebriques r´eelles, in: S. S. Cairns (ed.), Differential and Combinatorial Topology, pp. 255–265, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1965. και όλων των ημιαλγεβρικών συνόλων).
1888 Το θεώρημα του Χίλμπερτ για τα τριμερή τεταρτημόρια.
1900 Τα προβλήματα του Χίλμπερτ (ιδίως το 16ο και το 17ο πρόβλημα)
1902 Λήμμα του Φάρκας  (Μπορεί να επαναδιατυπωθεί ως γραμμική θετική πρόταση.)
1914 Ο Ανιμπάλ Κομεσάτι έδειξε ότι δεν είναι κάθε πραγματική αλγεβρική επιφάνεια διαιρετική με την RP2.
1916 Η εικασία του Φεγιέρ για τα μη αρνητικά τριγωνομετρικά πολυώνυμαLipót Fejér, ¨Uber trigonometrische Polynome, J. Reine Angew. Math. 146 (1916), 53–82. (Λύθηκε από τον Φρίγκιες ΡηςFrigyes Riesz and Béla Szőkefalvi-Nagy, Functional Analysis, Frederick Ungar Publ. Co., New York, 1955.)).
1927 Η λύση του 17ου προβλήματος του Χίλμπερτ από τον Εμίλ Άρτιν.
1927 Θεώρημα Κρουλ-Μπέερ (σύνδεση μεταξύ ταξινομήσεων και αποτιμήσεων)
1928 Θεώρημα του Πόλια για τα θετικά πολυώνυμα σε ένα απλόGeorge Pólya, Über positive Darstellung von Polynomen Vierteljschr, Naturforsch. Ges. Zürich 73 (1928) 141–145, in: R.P. Boas (Ed.), Collected Papers Vol. 2, MIT Press, Cambridge, MA, 1974, pp. 309–313
1929 Ο B.Λ. βαν ντερ Βέρντεν σκιαγραφεί μια απόδειξη ότι τα πραγματικά αλγεβρικά και ημιαλγεβρικά σύνολα είναι τριγωνοποιήσιμαB. L. van der Waerden, Topologische Begründung des Kalküls der abzählenden Geometrie. Math. Ann. 102, 337–362 (1929)., αλλά δεν αναπτύχθηκαν τα απαραίτητα εργαλεία για να γίνει το επιχείρημα αυστηρό.
1931 Η απαλοιφή πραγματικών ποσοδεικτών του Άλφρεντ ΤάρσκAlfred Tarski, A decision method for elementary algebra and geometry, Rand. Corp.. 1948; UC Press, Berkeley, 1951, Announced in : Ann. Soc. Pol. Math. 9 (1930, published 1931) 206–7; and in Fund. Math. 17 (1931) 210–239. Βελτιωμένη και διαδεδομένη από τον Αβραάμ Σέιντενμπεργκ το *1954Abraham Seidenberg, A new decision method for elementary algebra, Annals of Mathematics 60 (1954), 365–374.(Και οι δύο χρησιμοποιούν το θεώρημα του Στουρμ).
Το 1936 ο Χέρμπερτ Σέιφερτ απέδειξε ότι κάθε κλειστή ομαλή υποπολλαπλότητα του  με τετριμμένη κανονική δέσμη, μπορεί να ισοτοπίζεται σε μια συνιστώσα ενός μη ιδιάζοντος πραγματικού αλγεβρικού υποσυνόλου του  που είναι μια πλήρης τομήHerbert Seifert, Algebraische approximation von Mannigfaltigkeiten, Mathematische Zeitschrift 41 (1936), 1–17 (από το συμπέρασμα αυτού του θεωρήματος δεν μπορεί να αφαιρεθεί η λέξη "συνιστώσα"Selman Akbulut and Henry C. King, Submanifolds and homology of nonsingular real algebraic varieties, American Journal of Mathematics,  vol. 107, no. 1   (Feb., 1985)  p.72).
1940 Θεώρημα αναπαράστασης του Μάρσαλ Στόουν για μερικώς διατεταγμένους δακτυλίους. Βελτιώθηκε από τον Ρίτσαρντ Κάντισον το 1951 και τον Ντόναλντ Ντιμπουά το 1967 (θεώρημα αναπαράστασης Κάντισον-Ντιμπουά). Περαιτέρω βελτίωση από τον Μιχάι Πουτινάρ το 1993Mihai Putinar, Positive polynomials on compact semi-algebraic sets. Indiana University Mathematics Journal 42  (1993),  no. 3, 969–984. και τον Ιακόμπι το 2001T. Jacobi, A representation theorem for certain partially ordered commutative rings. Mathematische Zeitschrift  237  (2001),  no. 2, 259–273. (θεώρημα αναπαράστασης Πουτινάρ-Τζακόμπι).
1964 Τριγωνικά ημι-αναλυτικά σύνολα του ΛογιάσεβιτςS.  Lojasiewicz, Triangulation of semi-analytic sets, Ann. Scu. Norm. di Pisa, 18 (1964), 449–474.
1964 Ο Χάισουκε Χιρονάκα απέδειξε το θεώρημα της επίλυσης της ιδιομορφίαςHeisuke Hironaka, Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero. I, Annals of Mathematics (2) 79 (1): (1964) 109–203, and part II, pp. 205–326.
1964 Η Χάσλερ Χουίτνεϋ απέδειξε ότι κάθε αναλυτική ποικιλία δέχεται μια διαστρωμάτωση που ικανοποιεί τις συνθήκες ΓουίτνεϊHassler Whitney, Local properties of analytic varieties, Differential and combinatorial topology (ed. S. Cairns), Princeton Univ. Press, Princeton N.J. (1965), 205–244..
1967 Ο Τεοντόρ Μότζκιν βρίσκει ένα θετικό πολυώνυμο που δεν είναι άθροισμα τετραγώνων πολυωνύμωνTheodore S. Motzkin,  The arithmetic-geometric inequality.  1967 Inequalities (Proc. Sympos. Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, 1965)  pp. 205–224 ..
1972 Ο Βλαντίμιρ Ρόχλιν απέδειξε την εικασία του Γκούντκοφ"Proof of Gudkov's hypothesis". V. A. Rokhlin. Functional Analysis and Its Applications, volume 6, pp. 136–138 (1972).
1972 Ο Βλαντίμιρ Ρόχλιν απέδειξε την εικασία του Γκούντκοφ.
1973 Ο Αλμπέρτο Τογκνόλι απέδειξε ότι κάθε κλειστή ομαλή πολλαπλότητα είναι διαφορικό προς ένα μη-συνιστώμενο πραγματικό αλγεβρικό σύνολοAlberto Tognoli, Su una congettura di Nash, Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa 27, 167–185 (1973)..
1975 Ο Τζορτζ Ε. Κόλινς ανακαλύπτει τον αλγόριθμο κυλινδρικής αλγεβρικής αποσύνθεσης, ο οποίος βελτιώνει την απαλοιφή πραγματικών ποσοδεικτών του Τάρσκι και επιτρέπει την εφαρμογή του σε υπολογιστήGeorge E. Collins,  "Quantifier elimination for real closed fields by cylindrical algebraic decomposition", Lect. Notes Comput. Sci. 33, 134–183, 1975 ..
1973 Ο Ζαν-Λουί Βερντιέ αποδεικνύει ότι κάθε υποαναλυτικό σύνολο δέχεται μια διαστρωμάτωση με τη συνθήκη (w)Jean-Louis Verdier, Stratifications de Whitney et théorème de Bertini-Sard, Inventiones Mathematicae 36, 295–312 (1976)..
1979 Ο Μισέλ Κοστ και η Μαρί-Φρανσουάζ Ρουά ανακαλύπτουν το πραγματικό φάσμα ενός αντιμεταθετικού δακτυλίουMarie-Françoise Coste-Roy, Michel Coste, Topologies for real algebraic geometry.  Topos theoretic methods in geometry,  pp. 37–100, Various Publ. Ser., 30, Aarhus Univ., Aarhus, 1979..
Το 1980 ο Όλεγκ Βάιρο εισήγαγε την τεχνική "patch working" και τη χρησιμοποίησε για να ταξινομήσει πραγματικές αλγεβρικές καμπύλες χαμηλού βαθμούOleg Ya. Viro, Gluing of plane real algebraic curves and constructions of curves of degrees 6 and 7. In Topology (Leningrad, 1982), volume 1060 of Lecture Notes in Mathematics, pages 187–200. Springer, Berlin, 1984. Αργότερα ο Ίλια Ίτενμπεργκ και ο Βάιρο τη χρησιμοποίησαν για να παράγουν αντιπαραδείγματα στην εικασία του Ράγκσντεϊλ Translated in  και ο Γκριγκόρι Μιχάλκιν την εφάρμοσε στην τροπική γεωμετρία για την καταμέτρηση καμπυλών.
1980 Ο Σέλμαν Ακμπουλούτ και ο Χένρι Κ. Κινγκ έδωσαν έναν τοπολογικό χαρακτηρισμό των πραγματικών αλγεβρικών συνόλων με απομονωμένες ιδιομορφίες και χαρακτήρισαν τοπολογικά μη-σημαδιακά πραγματικά αλγεβρικά σύνολα (όχι απαραίτητα συμπαγή)Selman Akbulut and Henry C. King, The topology of real algebraic sets with isolated singularities, Annals of Mathematics 113 (1981), 425–446..
1980 Οι Ακμπουλούτ και Κινγκ απέδειξαν ότι κάθε κόμβος στο  είναι ο σύνδεσμος ενός πραγματικού αλγεβρικού συνόλου με απομονωμένη ιδιομορφία στοSelman Akbulut and Henry C. King, All knots are algebraic, Commentarii Mathematici Helvetici 56, Fasc. 3 (1981), 339–351.
1981 Οι Ακμπουλούτ και Κινγκ απέδειξαν ότι κάθε συμπαγής PL πολλαπλότητα είναι PL ομοιομορφική με ένα πραγματικό αλγεβρικό σύνολοS. Akbulut and H.C. King, Real algebraic structures on topological spaces,
Publications Mathématiques de l'IHÉS 53 (1981), 79–162.S. Akbulut and L. Taylor, A topological resolution theorem, 
Publications Mathématiques de l'IHÉS 53 (1981), 163–196.S. Akbulut and H.C. King, The topology of real algebraic sets, 
L'Enseignement Mathématique 29 (1983), 221–261..
1983 Οι Ακμπουλούτ και Κινγκ εισήγαγαν τους "Πύργους Τοπολογικής Ανάλυσης" ως τοπολογικά μοντέλα πραγματικών αλγεβρικών συνόλων, από τα οποία προέκυψαν νέες τοπολογικές αναλλοίωτες των πραγματικών αλγεβρικών συνόλων, και χαρακτήρισαν τοπολογικά όλα τα τρισδιάστατα αλγεβρικά σύνολαSelman Akbulut and Henry C. King, Topology of real algebraic sets, MSRI Pub, 25. Springer-Verlag, New York (1992) . Αυτές οι αναλλοίωτες γενικεύτηκαν αργότερα από τους Μισέλ Κοστ και Κρζυστόφ Κουρντίκα καθώς και από τους Κλιντ ΜακΚρόρι και Άνταμ Παρουσινσκι.
1984 Το θεώρημα του Λούντβιχ Μπρέκερ για την ελάχιστη παραγωγή βασικών ανοικτών ημιαλγεβρικών συνόλων (βελτιώθηκε και επεκτάθηκε σε βασικά κλειστά ημιαλγεβρικά σύνολα από τον ΣέιντερερC. Scheiderer,  Stability index of real varieties.  Inventiones Mathematicae  97  (1989),  no. 3, 467–483.).
1984 Οι Μπενεντέτι και Ντέντο απέδειξαν ότι δεν είναι κάθε κλειστή ομαλή πολλαπλότητα διαφιομορφική προς ένα εντελώς αλγεβρικό μη-συγκεντρωτικό πραγματικό αλγεβρικό σύνολο (εντελώς αλγεβρικό σημαίνει ότι όλοι οι κύκλοι Z/2Z-ομολογίας της αντιπροσωπεύονται από πραγματικά αλγεβρικά υποσύνολα)R. Benedetti and M. Dedo,  Counterexamples to representing homology classes by real algebraic subvarieties up to homeomorphism, Compositio Mathematica, 53, (1984), 143–151..
1991 Οι Ακμπουλούτ και Κινγκ απέδειξαν ότι κάθε κλειστή ομαλή πολλαπλότητα είναι ομοιομορφική με ένα ολικά αλγεβρικό πραγματικό αλγεβρικό σύνολοS. Akbulut and H.C. King, All compact manifolds are homeomorphic to totally algebraic real algebraic sets, Comment. Math. Helv. 66 (1991) 139–149..
1991 Λύση του προβλήματος της πολυδιάστατης ροπής από τον Σμύντγκεν για συμπαγή ημιαλγεβρικά σύνολα και σχετική αυστηρή θετική πρότασηK. Schmüdgen,  The K-moment problem for compact semi-algebraic sets.  Math. Ann.  289  (1991),  no. 2, 203–206.  Αλγεβρική απόδειξη που βρέθηκε από τον ΒέρμανT. Wörmann Strikt Positive Polynome in der Semialgebraischen Geometrie, Univ. Dortmund 1998. Προϋποθέτει την εκδοχή του θεωρήματος του Άρτιν από τον Ρέζνικ με ομοιόμορφους παρονομαστέςB. Reznick, Uniform denominators in Hilbert's seventeenth problem.  Math. Z.  220  (1995),  no. 1, 75–97..
1992 Οι Ακμπουλούτ  και Κινγκ απέδειξαν περιβαλλοντικές εκδοχές του θεωρήματος Νας-Τογκνόλι: Κάθε κλειστή ομαλή υποπολλαπλότητα του Rn είναι ισοτοπική με τα μη-σιγμοειδή σημεία (συνιστώσα) ενός πραγματικού αλγεβρικού υποσυνόλου του Rn, και επέκτειναν αυτό το αποτέλεσμα σε βυθισμένες υποπολλαπλότητες του RnS. Akbulut and H.C. King On approximating submanifolds by algebraic sets and a solution to the Nash conjecture, Inventiones Mathematicae 107 (1992), 87–98S. Akbulut and H.C. King,  Algebraicity of Immersions, Topology, vol. 31, no. 4, (1992), 701–712..
1992 Οι Μπενεντέτι και Μαρίν απέδειξαν ότι κάθε συμπαγής κλειστή ομαλή 3-πολλαπλότητα Μ' μπορεί να προκύψει από την  με μια ακολουθία ανατινάξεων και κατεβάσεων κατά μήκος ομαλών κέντρων, και ότι η Μ' είναι ομοιομορφική σε μια πιθανώς ιδιόμορφη affine πραγματική αλγεβρική ορθολογική τριπλότητα.R. Benedetti and A. Marin, Déchirures de variétés de dimension trois ...., Comment. Math. Helv. 67 (1992), 514–545.
1997 Οι Μπιέρστοουν και Μίλμαν απέδειξαν ένα κανονικό θεώρημα επίλυσης ιδιομορφιώνE. Bierstone and P.D. Milman, Canonical desingularization in characteristic zero by blowing up the maximum strata of a local invariant, Inventiones Mathematicae 128 (2) (1997) 207–302..
1997 Ο Μιχάλκιν απέδειξε ότι κάθε κλειστή ομαλή n-πολλαπλότητα μπορεί να προκύψει από την  με μια ακολουθία τοπολογικών ανατινάξεων και υποτινάξεων.G. Mikhalkin, Blow up equivalence of smooth closed manifolds, Topology, 36 (1997) 287–299
1998 Ο Ιανός Κολλάρ (János Kollár) έδειξε ότι δεν είναι κάθε κλειστή 3-πολλαπλότητα μια προβολική πραγματική 3-πολλαπλότητα που είναι διμερής με την RP'3János Kollár, The Nash conjecture for algebraic threefolds, ERA of AMS 4 (1998) 63–73
2000 Η αρχή local-global του Σέιντερερ και η σχετική μη αυστηρή επέκταση της θετικής πρότασης του Σμύντγκεν σε διαστάσεις ≤ 2.C. Scheiderer,  Sums of squares of regular functions on real algebraic varieties. Transactions of the American Mathematical Society  352  (2000),  no. 3, 1039–1069.C. Scheiderer,  Sums of squares on real algebraic curves, Mathematische Zeitschrift  245  (2003),  no. 4, 725–760.C. Scheiderer,  Sums of squares on real algebraic surfaces.  Manuscripta Mathematica 119  (2006),  no. 4, 395–410.
2000 Ο Ιανός Κολλάρ απέδειξε ότι κάθε κλειστή ομαλή 3-πολλαπλότητα είναι το πραγματικό μέρος μιας συμπαγούς μιγαδικής πολλαπλότητας η οποία μπορεί να προκύψει από την   με μια ακολουθία πραγματικών ανατινάξεων και ανατινάξεωνJános Kollár, The Nash conjecture for nonprojective threefolds, arXiv:math/0009108v1.
2003 Ο Ουέλσινγκερ εισάγει ένα αναλλοίωτο για την καταμέτρηση πραγματικών ορθολογικών καμπυλώνJ.-Y. Welschinger, Invariants of real rational symplectic 4-manifolds and lower bounds in real enumerative geometry, Inventiones Mathematicae 162 (2005), no. 1, 195–234.  .
Το 2005 οι Ακμπουλούτ και Κινγκ έδειξαν ότι δεν είναι κάθε μη συνημιτόνιο πραγματικό αλγεβρικό υποσύνολο του RPn ομαλά ισοτοπικό με το πραγματικό μέρος ενός μη συνημιτόνιου μιγαδικού αλγεβρικού υποσυνόλου του CPnS. Akbulut and H.C. King, Transcendental submanifolds of RPn Comment. Math. Helv., 80, (2005), 427–432S. Akbulut, Real algebraic structures, Proceedings of GGT, (2005) 49–58, arXiv:math/0601105v3.

Δημοσιεύσεις
S. Akbulut and H.C. King, Topology of real algebraic sets, MSRI Pub, 25. Springer-Verlag, New York (1992) 
Bochnak, Jacek; Coste, Michel; Roy, Marie-Françoise. Real Algebraic Geometry. Translated from the 1987 French original. Revised by the authors. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], 36. Springer-Verlag, Berlin, 1998. x+430 pp. 
Basu, Saugata; Pollack, Richard; Roy, Marie-Françoise Algorithms in real algebraic geometry. Second edition. Algorithms and Computation in Mathematics, 10. Springer-Verlag, Berlin, 2006. x+662 pp. ; 3-540-33098-4
Marshall, Murray Positive polynomials and sums of squares. Mathematical Surveys and Monographs, 146. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008. xii+187 pp. ; 0-8218-4402-4

Εξωτερικοί σύνδεσμοι
The Role of Hilbert Problems in Real Algebraic Geometry (PostScript)
Real Algebraic and Analytic Geometry Preprint Server

Παραπομπές



Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Άλγεβρα
Κατηγορία:Μαθηματικά