Αμοιβάδα (μαθηματικά)

Στην μιγαδική ανάλυση, έναν κλάδο των μαθηματικών, η αμοιβάδα είναι ένα σύνολο που σχετίζεται με ένα πολυώνυμο σε μία ή περισσότερες μιγαδικές μεταβλητές. Οι αμοιβάδες έχουν εφαρμογές στην αλγεβρική γεωμετρία, ιδίως στην τροπική γεωμετρία.

Ορισμός

Έστω η συνάρτηση



που ορίζεται στο σύνολο όλων των n-tuples   μη μηδενικών μιγαδικών αριθμών με τιμές στον Ευκλείδειο χώρο   που δίνεται από τον τύπο



Εδώ, το log δηλώνει τον φυσικό λογάριθμο. Αν p(z) είναι ένα πολυώνυμο σε  μιγαδικές μεταβλητές, η αμοιβάδα του  ορίζεται ως η εικόνα του συνόλου των μηδενικών του p υπό Log, οπότε



Οι αμοιβάδες παρουσιάστηκαν το 1994 σε ένα βιβλίο των Γκελφάντ, Καπράνοφ και Ζελεβίνσκι.

Ιδιότητες
Έστω  ο μηδενικός τόπος ενός πολυωνύμου



όπου  είναι πεπερασμένο,  και   αν  και . Έστω  το πολύεδρο του Νεύτων της , i.e., δηλ,



Τότε

 Κάθε αμοιβάδα είναι ένα κλειστό σύνολο.
 Κάθε συνδεδεμένη συνιστώσα του συμπληρώματος  είναι κυρτό.Itenberg et al (2007) p. 3.
 Το εμβαδόν μιας αμοιβάδας ενός μη πανομοιότυπα μηδενικού πολυωνύμου σε δύο μιγαδικές μεταβλητές είναι πεπερασμένο.
 Μια δισδιάστατη αμοιβάδα διαθέτει έναν αριθμό "πλοκαμιών", που είναι απείρως μακριά και εκθετικά στενότερα προς το άπειρο.
 Ο αριθμός των συνδεδεμένων συνιστωσών του συμπληρώματος  δεν είναι μεγαλύτερος από  και όχι μικρότερος από τον αριθμό των κορυφών του .
 Υπάρχει μια έγχυση από το σύνολο των συνδεδεμένων συνιστωσών του συμπληρώματος  στο . Οι κορυφές του  βρίσκονται στην εικόνα κάτω από αυτή την έγχυση. Μια συνδεδεμένη συνιστώσα του συμπληρώματος  είναι περιορισμένη αν και μόνο αν η εικόνα της βρίσκεται στο εσωτερικό του .

Συνάρτηση Ρόνκιν

Ένα χρήσιμο εργαλείο για τη μελέτη των αμοιβάδων είναι η συνάρτηση Ρόνκιν. Για p(z), ένα πολυώνυμο σε n μιγαδικές μεταβλητές, ορίζεται η συνάρτηση Ρόνκιν



σύμφωνα με τον τύπο



όπου  denotes  Ισοδύναμα, το  δίνεται από το ολοκλήρωμα



όπου



Η συνάρτηση Ronkin είναι κυρτή και συγγενής σε κάθε συνδεδεμένη συνιστώσα του συμπληρώματος της αμοιβάδας του .

Ενδεικτικά, η συνάρτηση Ρόνκιν ενός μονοωνύμου



με  είναι



Βιβλιογραφία 

 .
Thorsten Theobald, « Computing amoebas », Exp. Math., vol. 11, 2002, p. 513–526 (DOI 10.1080/10586458.2002.10504703, (on line).
Antoine Chambert-Loir, « Quand la géométrie devient tropicale », Pour la science, no 492, octobre 2018, p. 26-33

Δημοσιεύσεις 
''texts Approximating amoebas and coamoebas by sums of squares "
texts Amoebas, Nonnegative Polynomials and Sums of Squares Supported on Circuits 
" texts Amoebas and coamoebas of linear spaces "


Παραπομπές



Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Μιγαδική ανάλυση
Κατηγορία:Ολοκληρωτικός λογισμός