Αριθμητική γεωμετρία

Στα μαθηματικά, η αριθμητική γεωμετρία είναι κατά βάση η εφαρμογή των τεχνικών της αλγεβρικής γεωμετρίας σε προβλήματα της θεωρίας των αριθμών . Η αριθμητική γεωμετρία επικεντρώνεται στη διοφαντική γεωμετρία, τη μελέτη των ρητών σημείων των αλγεβρικών ποικιλιών.

Με πιο αφηρημένους όρους, η αριθμητική γεωμετρία μπορεί να οριστεί ως η μελέτη σχημάτων πεπερασμένου τύπου στο φάσμα του δακτυλίου των ακεραίων.

Επισκόπηση

Τα κλασικά αντικείμενα ενδιαφέροντος της αριθμητικής γεωμετρίας είναι τα ρητά σημεία: τα σύνολα των λύσεων ενός συστήματος πολυωνυμικών εξισώσεων πάνω σε αριθμητικά πεδία, πεπερασμένα πεδία, p-adic πεδία ή πεδία συναρτήσεων, δηλαδή πεδία που δεν είναι αλγεβρικά κλειστά εξαιρουμένων των πραγματικών αριθμών. Τα ρητά σημεία μπορούν να χαρακτηριστούν άμεσα από συναρτήσεις ύψους που μετρούν την αριθμητική τους πολυπλοκότητα.

Η δομή των αλγεβρικών ποικιλιών που ορίζονται πάνω σε μη αλγεβρικά κλειστά πεδία κατέστη μια κεντρική περιοχή ενδιαφέροντος που προέκυψε με τη σύγχρονη αφηρημένη ανάπτυξη της αλγεβρικής γεωμετρίας. Στα πεπερασμένα πεδία, η συνομολογία étale  παρέχει τοπολογικές αναλλοίωτες που σχετίζονται με τις αλγεβρικές ποικιλίες. Η p-adic θεωρία Χοτζ παρέχει εργαλεία για να εξεταστεί πότε οι συνομολογικές ιδιότητες των ποικιλιών πάνω από μιγαδικούς αριθμούς επεκτείνονται σε εκείνες πάνω από p-adic πεδία .

Ιστορία
19ος αιώνας: οι απαρχές της αριθμητικής γεωμετρίας

Στις αρχές του 19ου αιώνα, ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους παρατήρησε ότι μη μηδενικές ακέραιες λύσεις σε ομογενείς πολυωνυμικές εξισώσεις με ρητούς συντελεστές υπάρχουν αν υπάρχουν μη μηδενικές ακέραιες λύσεις .

Στη δεκαετία του 1850, ο Λεοπόλντ Κρόνεκερ διατύπωσε το θεώρημα Κρόνεκερ-Βέμπερ, εισήγαγε τη θεωρία των διαιρετών και δημιούργησε πολλούς άλλους δεσμούς μεταξύ της θεωρίας αριθμών και της άλγεβρας. Εν συνεχεία διατύπωσε την εικασία του "liebster Jugendtraum" ("αγαπημένο όνειρο της νεολαίας"), μια γενίκευση που αργότερα παρουσιάστηκε από τον Χίλμπερτ σε τροποποιημένη μορφή ως το δωδέκατο πρόβλημά του, το οποίο περιγράφει τον στόχο ότι η θεωρία αριθμών θα πρέπει να λειτουργεί μόνο με δακτυλίους που είναι πηλίκα πολυωνυμικών δακτυλίων πάνω σε ακέραιους αριθμούς.

Αρχές-μέσα του 20ού αιώνα: αλγεβρικές εξελίξεις και οι εικασίες Βάιλ

Στα τέλη της δεκαετίας του 1920, ο Αντρέ Βάιλ κατέδειξε βαθιές συνδέσεις μεταξύ της αλγεβρικής γεωμετρίας και της θεωρίας αριθμών με τη διδακτορική του εργασία που οδήγησε στο θεώρημα Μορντέλ-Βάιλ, το οποίο αποδεικνύει ότι το σύνολο των λογικών σημείων μιας αβελιανής ποικιλίας είναι μια πεπερασμένης παραγωγής αβελιανή ομάδαA. Weil, L'arithmétique sur les courbes algébriques, Acta Math 52, (1929) p. 281-315, reprinted in vol 1 of his collected papers ISBN 0-387-90330-5..

Τα σύγχρονα θεμέλια της αλγεβρικής γεωμετρίας αναπτύχθηκαν με βάση τη σύγχρονη αντιμεταθετική άλγεβρα, συμπεριλαμβανομένης της θεωρίας αποτίμησης και της θεωρίας των ιδανικών από τον Όσκαρ Ζαρίσκι και άλλους στις δεκαετίες του 1930 και 1940.

Το 1949, ο Αντρέ Βάιλ διατύπωσε τις εικασίες του Βάιλ για τις τοπικές συναρτήσεις ζήτα των αλγεβρικών ποικιλιών πάνω από πεπερασμένα σώματα Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by André Weil ISBN 0-387-90330-5. Αυτές οι εικασίες προσέφεραν ένα πλαίσιο μεταξύ αλγεβρικής γεωμετρίας και θεωρίας αριθμών που ώθησε τον Αλεξάντερ Γκροτέντιεκ να επαναδιατυπώσει τα θεμέλια χρησιμοποιώντας τη θεωρία δεσμών (με τον Ζαν-Πιερ Σερ) και αργότερα τη θεωρία σχημάτων, στις δεκαετίες του 1950 και 1960. Το 1960, ο Μπερνάρ Ντουόρκ απέδειξε μία από τις τέσσερις εικασίες του Βάιλ (ορθολογικότητα της τοπικής συνάρτησης ζήτα). Το 1965, ο Γκρόθεντιεκ ανέπτυξε τη θεωρία της etale κοχομολογίας για να αποδείξει δύο από τις εικασίες του Βάιλ (μαζί με τους Μίκαελ Άρτιν και Ζαν-Λουί Βερντιέ) μέχρι το 1965 . Η τελευταία εικασία του Βάιλ (ένα ανάλογο της υπόθεσης του Ρίμαν) αποδείχθηκε τελικά το 1974 από τον Πιερ Ντελίν .

Μέσα και τέλη του 20ού αιώνα: εξελίξεις στη σπονδυλωτότητα, τις p-adic μεθόδους και πέραν αυτών

Μεταξύ 1956 και 1957, οι Γιούτακα Τανιγιάμα και Γκόρο Σιμούρα παρουσίασαν την εικασία Σιμούρα-Τανιγιάμα (σήμερα γνωστή ως Modularity theorem) που συνδέει τις ελλειπτικές καμπύλες με τις αρθρωτές μορφές. Αυτή η σύνδεση τελικά οδήγησε στην πρώτη απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά στη θεωρία αριθμών μέσω των τεχνικών αλγεβρικής γεωμετρίας της άρσης της αρθρωτότητας που ανέπτυξε ο Άντριου Γουάιλς το 1995.

Στη δεκαετία του 1960, ο Γκόρο Σιμούρα εισήγαγε τις ποικιλίες Σιμούρα ως γενικεύσεις των σπονδυλωτών καμπυλών Από το 1979, οι ποικιλίες Σιμούρα έπαιξαν καθοριστικό ρόλο στο πρόγραμμα Λάνγκλαντς ως ένα φυσικό πεδίο παραδειγμάτων για τον έλεγχο εικασιών.

Σε εργασίες που δημοσιεύθηκαν το 1977 και το 1978, ο Μπάρι Μαζούρ απέδειξε την εικασία της στρέψης δίνοντας έναν πλήρη κατάλογο των πιθανών υποομάδων στρέψης ελλειπτικών καμπυλών πάνω σε ρητούς αριθμούς. Η πρώτη απόδειξη αυτού του θεωρήματος από τον Μαζούρ εξαρτήθηκε από μια πλήρη ανάλυση των ρητών σημείων σε ορισμένες σπονδυλωτές καμπύλες. Το 1996, η απόδειξη της εικασίας της στρέψης επεκτάθηκε σε όλα τα πεδία αριθμών από τον Λόικ Μερέλ 

Το 1983, ο Γκερντ Φάλτινγκς απέδειξε την εικασία Μόρντελ, αποδεικνύοντας ότι μια καμπύλη γένους μεγαλύτερου του 1 έχει μόνο πεπερασμένο αριθμό ρητών σημείων (ενώ το θεώρημα Μόρντελ-Βάιλ αποδεικνύει μόνο την πεπερασμένη γένεση του συνόλου των ρητών σημείων, σε αντίθεση με την πεπερασμένη).

Το 2001, η απόδειξη των τοπικών εικασιών Λάνγκλαντς για το GLn βασίστηκε στη γεωμετρία ορισμένων ποικιλιών Σιμούρα.

Στη δεκαετία του 2010, ο Πέτερ Σόλζε ανέπτυξε τελειοειδείς χώρους και νέες θεωρίες κοχομολογίας στην αριθμητική γεωμετρία ως προς τα p-adic πεδία με εφαρμογή στις αναπαραστάσεις Γκαλουά και σε ορισμένες περιπτώσεις της εικασίας της μονοδρομίας βάρους
.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 Lectures on Local Systems in Algebraic-Arithmetic Geometry
  Introduction to Arithmetic Geometry
 Arithmetic Geometry- Clay Mathematics Institute

Βιβλιογραφία
'' Arithmetic Geometry and Number Theory"
Arithmetic Geometry: Conference on Arithmetic Geometry 
"Arithmetic Geometry, Number Theory, and Computation"
"Arithmetic Geometry"
"Number Theory and Geometry: An Introduction to Arithmetic Geometrys"
 "Geometric Methods in Algebra and Number Theory"

Παραπομπές



Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών
Κατηγορία:Θεωρία αριθμών