Γουίλιαμ Βάλανς Ντάγκλας Χοτζ

Ο Σερ Γουίλιαμ Βάλανς Ντάγκλας Χοτζ FRS FRSE (W. V. D. Hodge ; 17 Ιουνίου 1903 - 7 Ιουλίου 1975) ήταν Βρετανός μαθηματικός, συγκεκριμένα γεωμέτρης.

Η ανακάλυψη των εκτεταμένων τοπολογικών σχέσεων μεταξύ της αλγεβρικής γεωμετρίας και της διαφορικής γεωμετρίας - ένας τομέας που σήμερα είναι γνωστός ως θεωρία Χοτζ και αφορά γενικότερα τις πολλαπλότητες Κέλερ - επηρέασε σημαντικά τις μεταγενέστερες εργασίες στη γεωμετρία.

Βίος και επαγγελματική σταδιοδρομία
μικρογραφία|265x265εσ|Η οικία του Χοτζ στο Church Hill Place 1
Ο Χοτζ γεννήθηκε στο Εδιμβούργο το 1903, ο μικρότερος γιος και δεύτερο από τα τρία παιδιά του Άρτσιμπαλντ Τζέιμς Χοτζ (1869-1938), ειδικού στην έρευνα ακινήτων και συνέταιρου στην Douglas and Company, και της συζύγου του Τζέιν (γεννημένη το 1875), κόρης του ιδιοκτήτη ζαχαροπλαστείου Γουίλιαμ Βάλανς. Ζούσαν στο Church Hill Place 1 στο ΜόρνινγκσαϊντEdinburgh and Leith Post Office Directory 1903-4.

Φοίτησε στο Κολλέγιο Τζορτζ Γουάτσον και σπούδασε στο Πανεπιστήμιο του Εδιμβούργου, από όπου αποφοίτησε με μεταπτυχιακό τίτλο το 1923. Με τη βοήθεια του E.T. Γουίτακερ, του οποίου ο γιος J.M. Γουίτακερ ήταν φίλος του κολεγίου, έλαβε στη συνέχεια το Μαθηματικό Tripos του Κέιμπριτζ. Στο Κέιμπριτζ βρέθηκε υπό την επιρροή του γεωμέτρου Χ. Φ. Μπέικερ. Του απονεμήθηκε το πτυχίο του Κέιμπριτζ το 1925, το μεταπτυχιακό του το 1930 και το διδακτορικό του το 1950.The Annual Register of the University of Cambridge for the year 1968-69

Το 1926 αποδέχθηκε μια θέση διδασκαλίας στο Πανεπιστήμιο του Μπρίστολ και άρχισε να εργάζεται στη διεπαφή μεταξύ της ιταλικής σχολής της αλγεβρικής γεωμετρίας, ιδίως των προβλημάτων που έθεσε ο Φραντσέσκο Σεβέρι και των τοπολογικών μεθόδων του Σόλομον Λέφτσετς. Το έργο αυτό έκανε τη φήμη του, αλλά προκάλεσε αρχικό σκεπτικισμό εκ μέρους του Λέφσετς. Σύμφωνα με τα απομνημονεύματα του Ατίγια, ο Λέφσετς και ο Χοτζ συναντήθηκαν το 1931 στο γραφείο του Μαξ Νιούμαν στο Κέιμπριτζ για να προσπαθήσουν να λύσουν τα προβλήματα. Τελικά ο Λέφσετς πείστηκε.
Το 1928 εξελέγη μέλος της Βασιλικής Εταιρείας του Εδιμβούργου. Υποψήφιοί του ήταν οι Σερ Έντμουντ Τέιλορ Γουίτακερ, Ραλφ Άλαν Σάμπσον, Τσαρλς Γκλόβερ Μπάρκλα και Σερ Τσαρλς Γκάλτον Ντάργουιν. Του απονεμήθηκε το βραβείο Γκάνινγκ Βικτώριας της Εταιρείας για το Ιωβηλαίο 1964-1968.

Το 1930, ο Χοτζ έλαβε ερευνητική υποτροφία στο Κολλέγιο του Σεν Τζον, στο Κέιμπριτζ. Πέρασε το 1931-2 στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον, όπου είχε την έδρα του ο Λέφσετς, και επισκέφθηκε τον Όσκαρ Ζαρίσκι στο Πανεπιστήμιο Τζονς Χόπκινς. Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου, αφομοίωσε επίσης το θεώρημα του de Ραμ και όρισε την αστρική πράξη του Χοτζ. Η πράξη αυτή του επέτρεψε να ορίσει τις αρμονικές μορφές και έτσι να βελτιώσει τη θεωρία του Ραμ.

Όταν επέστρεψε στο Κέιμπριτζ, του προσφέρθηκε πανεπιστημιακή έδρα το 1933. Έγινε καθηγητής Αστρονομίας και Γεωμετρίας στο Κέιμπριτζ, θέση την οποία κατείχε από το 1936 έως το 1970. Ήταν ο πρώτος διευθυντής του DPMMS.

Διετέλεσε καθηγητής του Κολλεγίου Πέμπροουκ στο Κέιμπριτζ από το 1958 έως το 1970 και αντιπρόεδρος της Βασιλικής Εταιρείας από το 1959 έως το 1965. Τιμήθηκε με τον τίτλο του ιππότη το 1959. Μεταξύ άλλων τιμητικών διακρίσεων, του απονεμήθηκε το Βραβείο Άνταμς το 1937 και το Μετάλλιο Κόπλεϊ της Βασιλικής Εταιρείας το 1974.

Πέθανε στο Κέιμπριτζ στις 7 Ιουλίου 1975.

Εργασία

Το θεώρημα του δείκτη Χοτζ είναι ένα αποτέλεσμα της θεωρίας των αριθμών τομής για καμπύλες σε μια αλγεβρική επιφάνεια: προσδιορίζει την υπογραφή της αντίστοιχης τετραγωνικής μορφής. Το αποτέλεσμα αυτό ερευνήθηκε από την ιταλική σχολή αλγεβρικής γεωμετρίας, αλλά αποδείχθηκε με τις τοπολογικές μεθόδους του Λέφσετς.

Το έργο Θεωρία και εφαρμογές των αρμονικών ολοκληρωμάτων συνοψίζει την ανάπτυξη της γενικής θεωρίας του Χοτζ τη δεκαετία του 1930. Ξεκινά με την ύπαρξη, για οποιαδήποτε μετρική Κέλερ, σύμφωνα με τη  θεωρία Λαπλάς- εφαρμόζεται σε μια αλγεβρική ποικιλία V (υποτίθεται ότι είναι σύνθετη, προβολική και μη-συνεκτική) επειδή ο ίδιος ο προβολικός χώρος φέρει μια τέτοια μετρική. Από την άποψη της συνομολογίας de Ραμ, μια κλάση συνομολογίας βαθμού k αναπαρίσταται από μια μορφή k α στην V(C). Δεν υπάρχει μοναδικός αντιπρόσωπος, αλλά εισάγοντας την ιδέα των αρμονικών μορφών (ο Χοτζ τις αποκαλούσε ακόμα "ολοκληρώματα"), οι οποίες είναι λύσεις της εξίσωσης Λαπλάς, μπορούμε να αποκτήσουμε ένα μοναδικό α. Αυτό έχει τη σημαντική, άμεση συνέπεια της διάσπασης

Hk(V(C), C)

σε υποχώρους

Hp,q

σύμφωνα με τον αριθμό p των ολομορφικών διαφορικών dzi που σφηνώνουν για να συνθέσουν το α (ο ομοαξονικός χώρος που καλύπτεται από τα dzi και τις μιγαδικές συζυγίες τους). Οι διαστάσεις των υποχώρων είναι οι αριθμοί Χοτζ.

Αυτή η αποσύνθεση Χοτζ αποτελεί θεμελιώδες εργαλείο. Οι διαστάσεις hp,q όχι μόνο βελτιώνουν τους αριθμούς Μπέτι, σπάζοντάς τους σε μέρη με αναγνωρίσιμη γεωμετρική σημασία, αλλά η ίδια η αποσύνθεση, ως μεταβαλλόμενη "σημαία" σε έναν μιγαδικό διανυσματικό χώρο, έχει νόημα σε σχέση με τα προβλήματα moduli. Σε γενικές γραμμές, η θεωρία Χοτζ συμβάλλει τόσο στη διακριτή όσο και στη συνεχή ταξινόμηση των αλγεβρικών ποικιλιών.

Άλλες εξελίξεις οδήγησαν ειδικότερα στην ιδέα μιας μικτής δομής Χοτζ σε μοναδικές ποικιλίες και σε βαθιές αναλογίες με την étale  συνομολογία.

Εικασία Χοτζ
Η εικασία του Χοτζ για τους "μέσους" χώρους Hp,p είναι ακόμη άλυτη, γενικά. Πρόκειται για ένα από τα επτά προβλήματα του Βραβείου της Χιλιετίας που θέσπισε το Ινστιτούτο Μαθηματικών Κλέι.

Έκθεση
Ο Χοτζ έγραψε επίσης, μαζί με τον Ντάνιελ Πεντόε, ένα τρίτομο έργο με τίτλο "Μέθοδοι της αλγεβρικής γεωμετρίας", για την κλασική αλγεβρική γεωμετρία, με πολύ συγκεκριμένο περιεχόμενο - απεικονίζοντας, ωστόσο, αυτό που ο Ελί Καρτάν αποκάλεσε "την ακολασία των δεικτών" στη σημειογραφία των συστατικών της. Σύμφωνα με τον Ατίγια, το έργο αυτό προοριζόταν να ανανεώσει και να αντικαταστήσει το βιβλίο Αρχές της γεωμετρίας του H. F. Baker.

Οικογένεια
Το 1929 νυμφεύθηκε την Κάθλιν Άν Κάμερον.

Δημοσιεύσεις

Βιβλιογραφία
  The Theory and Applications of Harmonic Integrals  W. V. D. Hodge, William Vallance
  Methods of Algebraic Geometry: Volume 2 W. V. D. Hodge, Daniel Pedoe
  Methods of Algebraic Geometry: Volume 1 W. V. D. Hodge, D. Pedoe
  Hodge Theory (MN-49) Eduardo Cattani, Fouad El Zein, Phillip A. Griffiths, Lê Dũng Tráng

Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 Integrals of the Second Kind on an Algebraic Variety jstor.org
 Reviews of W V D Hodge's books MacTutor
 W. V. D. Hodge's scientific contributions

Παραπομπές



Κατηγορία:Μαθηματικοί του 20ού αιώνα
Κατηγορία:Μαθηματικοί ανά κλάδο 
Κατηγορία:Εταίροι της Βασιλικής Εταιρείας
Κατηγορία:Άγγλοι μαθηματικοί
Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία