Συμμετρική σχέση

Στην θεωρία συνόλων, μία συμμετρική σχέση είναι μία σχέση, στην οποία αν το  σχετίζεται με το  τότε και το  σχετίζεται με το . Ένα παράδειγμα τέτοιας σχέσης είναι αυτή των «συγχωριανών», αν ο Γιώργος είναι συγχωριανός της Άννας, τότε και η Άννα είναι συγχωριανή του Γιώργου.

Πιο αυστηρά, έστω μία σχέση  στο σύνολο , δηλαδή , τότε για κάθε  έχουμε ότι
.

 Παραδείγματα 
Οι παρακάτω σχέσεις είναι συμμετρικές:
 Οι σχέσεις "είναι συμφοιτητής/τρια", "είναι συναπόφοιτος/η", "είναι συνάδελφος", "είναι αδελφός/ή".
 Η σχέση "είναι παντρεμμένος/η".
 Η σχέση της ισότητας είναι συμμετρική, καθώς αν  τότε και .
 Η σχέση  στους ακεραίους, ώστε , δηλαδή η σχέση μεταξύ υσοϋπόλοιπων αριθμών (για κάθε ).
 Η σχέση 
,
της οποίας οι αναπαραστάσεις δίνονται και στην πρώτη εικόνα.

Οι παρακάτω σχέσεις δεν είναι συμμετρικές:
 Στο σύνολο  των μαθητών μίας τάξης, η σχέση "είναι ψηλότερος/η" δεν είναι συμμετρική, καθώς αν η Άννα είναι ψηλότερη από τον Γιώργο, τότε δεν μπορεί να είναι και ο Γιώργος ψηλότερος από την Άννα.
 Στο σύνολο  των αθρώπων της γης, η σχέση "είναι γονιός", δεν είναι συμμετρική, καθώς αν η Άννα είναι η μητέρα του Γιώργου, τότε δεν μπορεί και ο Γιώργος να είναι ο πατέρας της Άννας.
 Η σχέση
,
δεν είναι συμμετρική

 Ιδιότητες 
 Μία σχέση είναι συμμετρική αν και μόνο αν η σχέση είναι ίση με την αντίστροφή της.

 Έστω ο δυαδικός πίνακας  που αντιστοιχεί στην σχέση . Τότε, ο πίνακας είναι συμμετρικός αν και μόνο αν η συνάρτηση είναι συμμετρική.

 Έστω ο κατευθυνόμενος γράφος  που αντιστοιχεί στην σχέση . Τότε, αν ο κόμβος  είναι προσβάσιμος από τον , τότε και ο  είναι προσβάσιμος από τον .

 Πλήθος συμμετρικών σχέσεων 
Το πλήθος των συμμετρικών σχέσεων σε ένα πεπερασμένο σύνολο  αποτελούμενο από  στοιχεία είναι . Τα πλήθη δίνονται από την ακολουθια:

 Σχετικές έννοιες 
Μία σχέση ισοδυναμίας είναι μία συμμετρική σχέση που είναι επίσης ανακλαστική και μεταβατική.

Μία αντισυμμετρική σχέση είναι μία σχέση  για την οποία για κάθε  αν , τότε .

 Δείτε επίσης 
 Ανακλαστική σχέση
 Μεταβατική σχέση
 Αντισυμμετρική σχέση
 Σχέση ισοδυναμίας

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Θεωρία συνόλων
Κατηγορία:Δυαδικές σχέσεις