Δέκατο πέμπτο πρόβλημα του Χίλμπερτ

Το δέκατο πέμπτο πρόβλημα Χίλμπερτ είναι ένα από τα 23 προβλήματα Χίλμπερτ που περιλαμβάνονται σε έναν κατάλογο που συνέταξε το 1900 ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ. Το πρόβλημα συνίσταται στην καθιέρωση μιας αυστηρής βάσης για τον απαριθμητικό λογισμό του Σούμπερτ.

Εισαγωγή
Ο λογισμός Σούμπερτ είναι η θεωρία των τομών του 19ου αιώνα, μαζί με εφαρμογές στην απαριθμητική γεωμετρία. Η αιτιολόγηση αυτού του λογισμού αποτέλεσε το περιεχόμενο του 15ου προβλήματος του Χίλμπερτ και ήταν επίσης το μείζον θέμα της αλγεβρικής γεωμετρίας του 20ού αιώναHilbert, David, "Mathematische Probleme" Göttinger Nachrichten, (1900), pp. 253-297, and in Archiv der Mathematik und Physik, (3) 1 (1901), 44-63 and 213-237. Published in English translation by Dr. Maby Winton Newson, Bulletin of the American Mathematical Society 8 (1902), 437-479 Web-viewable text PDF text .F. Sottile, Schubert calculus, Springer Encyclopedia of Mathematics.  Στο πλαίσιο της διασφάλισης των θεμελίων της θεωρίας της διατομής, οι Βαν ντερ Βάερντεν και Αντρέ Βέιλ  συσχέτισαν το πρόβλημα με τον προσδιορισμό του δακτυλίου συνομολογίας H*(G/P) μιας πολλαπλότητας σημαίας G/P, όπου G είναι μια ομάδα Λί και P μια παραβολική υποομάδα της G.

Η προσθετική δομή του δακτυλίου H*(G/P) δίνεται από το θεώρημα της βάσης του λογισμού Σούμπερτ που οφείλεται στους Έρεσμαν, Τσέβαλλεϊ και Μπερνστάιν-Γκελφάντ-Γκελφάντ, το οποίο δηλώνει ότι οι τυπικές κλάσεις Σούμπερτ στο G/P αποτελούν μια ελεύθερη βάση του δακτυλίου συνομολογίας H*(G/P). Το εναπομείναν πρόβλημα της επέκτασης των γινομένων των κλάσεων Σούμπερτ ως γραμμικών συνδυασμών των στοιχείων της βάσης ονομάστηκε από τον Σούμπερτ χαρακτηριστικό πρόβλημαH. Schubert, Kalkül der abzählenden Geometrie, 1879, Leipzig: B.G. TeubnerH. Schubert, Lösung des Charakteristiken-Problems für lineare Räume beliebiger Dimension, Mitteilungen der Mathematische Gesellschaft in Hamburg 1 (1886), 134-155. και θεωρήθηκε από τον ίδιο ως "το κύριο θεωρητικό πρόβλημα της απαριθμητικής γεωμετρίας"S. Kleiman, Book review on “Intersection Theory by W. Fulton”, Bull. AMS, Vol.12, no.1(1985), 137-143. https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183552346.

Ενώ η απαριθμητική γεωμετρία δεν είχε καμία σχέση με τη φυσική κατά τη διάρκεια του πρώτου αιώνα της ανάπτυξής της, έκτοτε έχει αναδειχθεί σε κεντρικό στοιχείο της θεωρίας χορδών.

Διατύπωση του προβλήματος

Η πλήρης αρχική διατύπωση του προβλήματος έχει ως εξής:

Το πρόβλημα έχει ως εξής: Να καθοριστούν με αυστηρότητα και με ακριβή προσδιορισμό των ορίων ισχύος τους οι γεωμετρικοί αριθμοί που προσδιόρισε ειδικά ο Σούμπερτ βασιζόμενος στην λεγόμενη αρχή της ειδικής θέσης ή της διατήρησης του αριθμού, μέσω του απαριθμητικού λογισμού που ανέπτυξε.

Αν και η τρέχουσα άλγεβρα εγγυάται κατ' αρχήν τη δυνατότητα εκτέλεσης διαδικασιών απαλοιφής, η απόδειξη των θεωρημάτων της απαριθμητικής γεωμετρίας απαιτεί πολύ περισσότερα, δηλαδή την πραγματική εκτέλεση της διαδικασίας απαλοιφής στην περίπτωση εξισώσεων ειδικής μορφής, κατά τρόπο ώστε να είναι προβλέψιμος ο βαθμός των τελικών εξισώσεων και η πολλαπλότητα των λύσεών τους.

Λογισμός Σούμπερτ 
Ο λογισμός Σούμπερτ είναι ένας κλάδος της αλγεβρικής γεωμετρίας που εισήχθη τον δέκατο ένατο αιώνα από τον Χέρμαν Σούμπερτ για την επίλυση διαφόρων προβλημάτων καταμέτρησης της προβολικής γεωμετρίας (μέρος της απαριθμητικής γεωμετρίας). Υπήρξε πρόδρομος πολλών πιο σύγχρονων θεωριών, όπως για παράδειγμα των χαρακτηριστικών κλάσεων, και ιδίως οι αλγοριθμικές πτυχές του εξακολουθούν να παρουσιάζουν ενδιαφέρον.

Τα αντικείμενα που εισήγαγε ο Σούμπερτ είναι τα κελιά Σούμπερτ, τα οποία είναι τοπικά κλειστά σύνολα σε μια γκρασμανιανή που ορίζονται από τις συνθήκες πρόσπτωσης ενός γραμμικού υποχώρου στον προβολικό χώρο με μια δεδομένη σημαία. Για λεπτομέρειες βλέπε ποικιλία Σούμπερτ.

Σύμφωνα με τους Βαν ντερ Γουέρντεν και Αντρέ Βέιλ έχει λυθεί το πρόβλημα Χίλμπερτ δεκαπέντε. Συγκεκριμένα,

α) το χαρακτηριστικό πρόβλημα Σούμπερτ έχει λυθεί από τους Χάιμπαο Ντουάν και Ξουέζι Ζάο.

β) Ειδικές παρουσιάσεις των δακτυλίων Τσόου των πολλαπλών σημαιών έχουν εκπονηθεί από τους Μπορέλ, Μάρλιν, Μπίλεϊ-Χάιμαν και Ντουάν-Ζάο κ.ά..

γ) Σημαντικά απαριθμητικά παραδείγματα του Σούμπερτ έχουν επαληθευτεί από τους Αλούφι, Χάρις, Κλέιμαν, Ζάμπο, κ.ά.S. Kleiman, Intersection theory and enumerative geometry: A decade in review, Proc. Symp. Pure Math., 46:2, Amer. Math. Soc. (1987), 321-370. https://www.ams.org/books/pspum/046.2/ .

Δημοσιεύσεις 

Kleiman, Steven L. (1976), "Problem 15: rigorous foundation of Schubert's enumerative calculus", Mathematical developments arising from Hilbert problems (Proc. Sympos. Pure Math., Northern Illinois Univ., De Kalb, Ill., 1974), Proc. Sympos. Pure Math., vol. XXVIII, Providence, R. I.: American Mathematical Society, pp. 445–482, MR 0429938.
Manin, Ju. I. (1969), "On Hilbert's fifteenth problem", Hilbert's problems (Russian), Izdat. “Nauka”, Moscow, pp. 175–181, MR 0254047.
Pragacz, Piotr (1997), "The status of Hilbert's Fifteenth Problem in 1993", Hilbert's Problems (Polish) (Międzyzdroje, 1993), Warsaw: Polsk. Akad. Nauk, pp. 175–184, MR 1632447.

Δείτε επίσης

 David Hilbert's 24 Problems MacTutor

Εξωτερικοί σύνδεσμοι  
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 The Honors Class: Hilbert's Problems and Their Solvers
  Schubert Calculus and Its Applications in Combinatorics and Representation 
Hilbert’s Tenth Problem: An Introduction to Logic, Number Theory,

Παραπομπές



Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Προβλήματα του Χίλμπερτ
Κατηγορία:Ιστορία των Μαθηματικών
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά