Επιφάνεια Πεάνο

Στα μαθηματικά, η επιφάνεια Πεάνο είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης με δύο μεταβλητές.

Προτάθηκε από τον Τζουζέπε Πεάνο το 1899 ως αντιπαράδειγμα σε ένα εικαζόμενο κριτήριο για την ύπαρξη μεγίστων και ελαχίστων συναρτήσεων δύο μεταβλητών.

Η επιφάνεια ονομάστηκε επιφάνεια Πεάνο (γερμανικά: Peanosche Fläche) από τον Γκέοργκ Σέφερς το 1920 στο βιβλίο του Lehrbuch der darstellenden Geometrie του 1920 (Εγχειρίδιο περιγραφικής γεωμετρίας του 1920). Αποκαλείται επίσης σέλλα του Πεάνο See especially section "Peano Saddle", pp. 562–563..

Ιδιότητες
Η συνάρτηση  της οποίας η γραφική παράσταση είναι η επιφάνεια παίρνει θετικές τιμές μεταξύ των δύο παραβολών  και , και αρνητικές τιμές αλλού (βλέπε διάγραμμα). Στην αρχή, το τρισδιάστατο σημείο  της επιφάνειας που αντιστοιχεί στο σημείο τομής των δύο παραβολών, η επιφάνεια έχει ένα σημείο σέλλας.  Η ίδια η επιφάνεια έχει θετική καμπυλότητα Γκάους σε ορισμένα σημεία και αρνητική καμπυλότητα σε άλλα, τα οποία χωρίζονται από μια άλλη παραβολή, που σημαίνει ότι ο Γκαουσιανός της χάρτης έχει μια κορυφή Γουίτνεϊ.

Αν και η επιφάνεια δεν έχει τοπικό μέγιστο στην αρχή, η τομή της με οποιοδήποτε κατακόρυφο επίπεδο που διέρχεται από την αρχή (ένα επίπεδο με εξίσωση  ή ) είναι μια καμπύλη που έχει τοπικό μέγιστο στην αρχή, μια ιδιότητα που περιγράφεται από τον Ερλ Ρέιμοντ Χέντρικ (Earle Raymond Hedrick) ως "παράδοξη". Με άλλα λόγια, αν ένα σημείο ξεκινά από την αρχή  του επιπέδου και απομακρύνεται από την αρχή κατά μήκος οποιασδήποτε ευθείας γραμμής, η τιμή του  θα μειωθεί στην αρχή της κίνησης. Παρ' όλα αυτά, το  δεν είναι τοπικό μέγιστο της συνάρτησης, διότι η κίνηση κατά μήκος μιας παραβολής όπως η  (στο διάγραμμα: κόκκινο) θα προκαλέσει αύξηση της τιμής της συνάρτησης.

Ως αντιπαράδειγμα
Το 1886 ο Ζοζέφ Άλφρεντ Σερρέ δημοσίευσε ένα εγχειρίδιο με προτεινόμενα κριτήρια για τα ακραία σημεία μιας επιφάνειας που δίνονται από τη σχέση 

 "το μέγιστο ή το ελάχιστο λαμβάνει χώρα όταν για τις τιμές των  και  για τις οποίες τα  και  (τρίτος και τέταρτος όρος) εξαφανίζονται, το  (πέμπτος όρος) έχει συνεχώς το πρόσημο - , ή το πρόσημο +".  
Εδώ, θεωρείται ότι οι γραμμικοί όροι εξαφανίζονται και η σειρά Τέιλορ του  έχει τη μορφή

όπου  είναι μια τετραγωνική μορφή όπως ,
 είναι μια κυβική μορφή με κυβικούς όρους στα  και ,
και  είναι μια τεταρτοβάθμια μορφή με ένα ομογενές τεταρτοβάθμιο πολυώνυμο στο  και . Ο Σερρέ προτείνει ότι αν το  έχει σταθερό πρόσημο για όλα τα σημεία όπου  τότε υπάρχει ένα τοπικό μέγιστο ή ελάχιστο της επιφάνειας στο .

Στις σημειώσεις του 1884 στο ιταλικό εγχειρίδιο του Άντζελο Τζενοτσί για τον λογισμό, Υπολογισμός διαφορών και αρχές του ολοκληρωτικού υπολογισμού, ο Πεάνο είχε ήδη παράσχει διάφορες σωστές συνθήκες για να φτάσει μια συνάρτηση σε τοπικό ελάχιστο ή τοπικό μέγιστο. Στη γερμανική μετάφραση του ίδιου εγχειριδίου το 1899, έδωσε αυτή την επιφάνεια ως αντιπαράδειγμα στη συνθήκη του . Στο σημείο  πληρούνται οι συνθήκες του Σερρέ, αλλά το σημείο αυτό είναι σημείο σέλας και όχι τοπικό μέγιστο. Μια συναφής συνθήκη με αυτή του Σερρέ επικρίθηκε επίσης από τον Λούντβιχ Σέφερ, ο οποίος χρησιμοποίησε την επιφάνεια του Πεάνο ως αντιπαράδειγμα σε μια δημοσίευση του 1890, η οποία πιστώνεται στον Πεάνο See in particular pp. 545–546..

Μοντέλα

Μοντέλα της επιφάνειας του Πεάνο περιλαμβάνονται στη Συλλογή Μαθηματικών Προτύπων και Οργάνων του Πανεπιστημίου του Γκέτινγκεν και στη συλλογή μαθηματικών μοντέλων του TU Δρέσδης (σε δύο διαφορετικά πρότυπα)Model 39, "Peanosche Fläche, geschichtet"  and model 40, "Peanosche Fläche" , Mathematische Modelle, TU Dresden, retrieved 2020-07-13. Το μοντέλο του Γκέτινγκεν ήταν το πρώτο νέο πρότυπο που προστέθηκε στη συλλογή μετά τον Πρώτο Παγκόσμιο Πόλεμο και ένα από τα τελευταία που προστέθηκαν στη συλλογή συνολικά See in particular the Foreword (p. xiii) for the history of the Göttingen model, Photo 122 "Penosche Fläsche / Peano Surface" (p. 119), and Chapter 7, Functions, Jürgen Leiterer (R. B. Burckel, trans.), section 1.2, "The Peano Surface (Photo 122)", pp. 202–203, for a review of its mathematics..

Δημοσιεύσεις 

 Peano on definition of surface area 
 A Model for the Peano Surface Jstor

Δείτε επίσης

 Peano Surface

Εξωτερικοί σύνδεσμοι  
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
 Surface Area. (AM-35), Volume 35
  Geometric Modeling of Fractal Forms for CAD 
Peano: Life and Works of Giuseppe Peano

Παραπομπές



Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Μαθηματική ανάλυση
Κατηγορία:Επιφάνειες
Κατηγορία:Λογισμός
Κατηγορία:Βελτιστοποίηση
Κατηγορία:Διαφορική γεωμετρία