Σύνδεσμος Γκάους-Μάνιν

Στα μαθηματικά, ο σύνδεσμος Γκάους-Μάνιν είναι μια σύνδεση σε μια συγκεκριμένη διανυσματική δέσμη σε ένα χώρο βάσης S μιας οικογένειας αλγεβρικών ποικιλιών . Οι ίνες της διανυσματικής δέσμης είναι οι ομάδες συνομολογίας Ραμ  των ινών της οικογένειας . Παρουσιάστηκε από τον Γιούρι Μάνιν (1958) για καμπύλες S και από τον Αλεξάντερ Γκροτέντιεκ (1966) σε υψηλότερες διαστάσεις.

Τα επίπεδα τμήματα της δέσμης περιγράφονται από διαφορικές εξισώσεις- η πιο γνωστή από αυτές είναι η εξίσωση Πικάρ-Φουκς, η οποία εμφανίζεται όταν η οικογένεια ποικιλιών θεωρείται ως οικογένεια ελλειπτικών καμπυλών. Με διαισθητικούς όρους, όταν η οικογένεια είναι τοπικά τετριμμένη, οι κλάσεις συνομολογίας μπορούν να μετακινηθούν από μια ίνα της οικογένειας σε γειτονικές ίνες, δίνοντας την έννοια του "επίπεδου τμήματος" με καθαρά τοπολογικούς όρους. Η ύπαρξη της σύνδεσης πρέπει να συναχθεί από τα επίπεδα τμήματα.

Διαίσθηση
Έστω ένας ομαλός μορφισμός συστημάτων  με χαρακτηριστικό 0. Ως αναλυτικοί μιγαδικοί χώροι, το θεώρημα του Έρεσμαν υποδηλώνει ότι οι ίνες  είναι ομαλές πολλαπλότητες και είναι όλες διαφορικές. Οι ομάδες συνομολογίας ντε Ραμ  είναι επομένως όλες ισόμορφες. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτή την παρατήρηση για να αναρωτηθούμε τι συμβαίνει όταν προσπαθούμε να διαφοροποιήσουμε κλάσεις συνομολογίας χρησιμοποιώντας διανυσματικά πεδία από τον βασικό χώρο .

Ας θεωρήσουμε μια κλάση συνομολογίας  τέτοια ώστε  όπου  είναι το υποσύνολο. Τότε, αν θεωρήσουμε τις κλάσεις 



τελικά θα υπάρξει μια σχέση μεταξύ τους, που ονομάζεται εξίσωση Πικάρ-Φουκς. Η σύνδεση Γκάους-Μάνιν είναι ένα εργαλείο που κωδικοποιεί αυτή την πληροφορία σε μια σύνδεση στην επίπεδη διανυσματική δέσμη στο  που δομείται από την .

Παράδειγμα
Ένα συχνά αναφερόμενο παράδειγμα είναι η κατασκευή κατά Ντουόρκ της εξίσωσης Πικάρ-Φουκς. 

Έστω 
 είναι η ελλειπτική καμπύλη .

Εδώ,  είναι μια ελεύθερη παράμετρος που περιγράφει την καμπύλη- είναι ένα στοιχείο της μιγαδικής προβολικής γραμμής (η οικογένεια των υπερεπιφανειών σε  διαστάσεις βαθμού n, που ορίζεται αναλογικά, μελετήθηκε εκτενώς τα τελευταία χρόνια, σε σχέση με το θεώρημα της αρθρωτότητας και τις επεκτάσεις του) . Έτσι, ο βασικός χώρος της δέσμης θεωρείται ότι είναι η προβολική γραμμή.  Για ένα σταθερό  στο χώρο βάσης, θεωρήστε ένα στοιχείο  της σχετικής ομάδας συνομολογίας ντε Ραμ.

Κάθε τέτοιο στοιχείο αντιστοιχεί σε μια περίοδο της ελλειπτικής καμπύλης. Η συνομολογία είναι δισδιάστατη. Η σύνδεση Γκάους-Μάνιν αντιστοιχεί στη διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης.

Επεξήγηση D-Πρότυπο
Στο πιο αφηρημένο πλαίσιο της θεωρίας των D-Πρότυπων, η ύπαρξη τέτοιων εξισώσεων εντάσσεται σε μια γενική συζήτηση της άμεσης εικόνας.

Εξισώσεις "που προκύπτουν από τη γεωμετρία"
Ολόκληρη η κατηγορία των συνδέσμων Γκάους - Μάνιν χρησιμοποιήθηκε για την προσπάθεια διατύπωσης της έννοιας των διαφορικών εξισώσεων που "προκύπτουν από τη γεωμετρία". Σε σχέση με την εικασία της p-καμπυλότητας του Γκρόθεντιεκ, ο Νίκολας Κατζ απέδειξε ότι η κλάση των συνδέσεων Γκάους-Μάνιν με αλγεβρικούς αριθμητικούς συντελεστές ικανοποιεί την εικασία. Το αποτέλεσμα αυτό συνδέεται άμεσα με την έννοια της συνάρτησης Ζίγκελ G της θεωρίας υπερβατικών αριθμών, για λύσεις μερομορφικών συναρτήσεων. Η εικασία Μπομπιέρι - Ντουόρκ, που αποδίδεται επίσης στον Ιβ Αντρέ, η οποία δίνεται σε περισσότερες από μία εκδοχές, αξιώνει μια αντίστροφη κατεύθυνση: λύσεις ως συναρτήσεις G ή p-καμπυλότητα μηδενική mod p για σχεδόν όλους τους πρώτους p, σημαίνει ότι μια εξίσωση "προκύπτει από τη γεωμετρία".

Δημοσιεύσεις
  (Gives and excellent introduction to Gauss–Manin connections)
  (Gives example of Gauss–Manin connections and their relation to D-module theory and the Riemmann-Hilbert correspondence)
  (Gives a quick sketch of main structure theorem of Gauss–Manin connections)


 English translation in 

Βιβλιογραφία
'' Differential Algebraic Groups of Finite Dimension
Calabi-Yau Varieties and Mirror Symmetry
"Modular And Automorphic Forms & Beyond"
"Singularity Theory I"

Παραπομπές



Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Άλγεβρα
Κατηγορία:Μαθηματικά