Ακολουθία Όιλερ

Στα μαθηματικά, η ακολουθία Όιλερ είναι μια συγκεκριμένη ακριβής ακολουθία δεμτιών στον n-διάστατο προβολικό χώρο πάνω σε έναν δακτύλιο. Δείχνει ότι η δέσμη των σχετικών διαφορικών είναι σταθερά ισόμορφη με ένα }-πολλαπλό άθροισμα του διπλού της δέσμης συστροφής Σερ.

Η ακολουθία Όιλερ γενικεύεται σε εκείνη μιας προβολικής δέσμης καθώς και μιας δέσμης Γκράσμαν (δείτε το τελευταίο άρθρο για αυτή τη γενίκευση).

Ιδιότητες
Έστω  είναι ο n-διάστατος προβολικός χώρος πάνω από έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο A. Έστω  είναι η δέσμη των 1-διαφορικών σε αυτόν τον χώρο, και ούτω καθεξής. Η ακολουθία του Όιλερ είναι η ακόλουθη ακριβής ακολουθία των δεσμών στον :

Η ακολουθία μπορεί να κατασκευαστεί ορίζοντας έναν ομομορφισμό  με  and  και  σε βαθμό 1, επιρριπτική σε βαθμούς , και ελέγχοντας ότι τοπικά στα  πρότυπα διαγράμματα, ο πυρήνας είναι ισομορφικός με σχετικό διαφορικό πρότυπο .Theorem II.8.13 in 

Γεωμετρική ερμηνεία
Υποθέτουμε ότι το A είναι ένα σώμα k.

Η παραπάνω ακριβής ακολουθία είναι διπλή της ακολουθίας

,

όπου  είναι η εφαπτομένη του .

Ας αναλύσουμε την ελεύθερη από συντεταγμένες εκδοχή αυτής της ακολουθίας, στο για έναν -διάστατο διανυσματικό χώρο V πάνω από k: 

Αυτή η ακολουθία γίνεται πιο εύκολα κατανοητή ερμηνεύοντας τμήματα του κεντρικού όρου ως 1-ομογενή διανυσματικά πεδία στο V.  Ένα τέτοιο τμήμα, το διανυσματικό πεδίο Όιλερ, συνδέει σε κάθε σημείο  της ποικιλίας εφαπτόμενου διανύσματος .  Αυτό το διανυσματικό σώμα είναι ακτινικό με την έννοια ότι εξαφανίζεται ομοιόμορφα σε 0-ομοιογενείς συναρτήσεις, δηλαδή στις συναρτήσεις που είναι αναλλοίωτες με ομοθετική αναδιαβάθμιση ή "ανεξάρτητες από την ακτινική συντεταγμένη".

Μια συνάρτηση (που ορίζεται σε κάποιο ανοικτό σύνολο) στο  οδηγεί μέσω επαναφοράς σε μια 0-ομογενή συνάρτηση στο V (και πάλι μερικώς καθορισμένη). Λαμβάνουμε 1-ομογενή διανυσματικά πεδία πολλαπλασιάζοντας το διανυσματικό πεδίο Όιλερ με τέτοιες συναρτήσεις. Αυτός είναι ο ορισμός του πρώτου χάρτη, και η εγχυσιμότητά του είναι άμεση.

Ο δεύτερος χάρτης σχετίζεται με την έννοια της παραγώγισης, ισοδύναμη με εκείνη του διανυσματικού πεδίου. Υπενθυμίζουμε ότι ένα διανυσματικό πεδίο σε ένα ανοικτό σύνολο U του προβολικού χώρου  μπορεί να οριστεί ως παραγώγιση των συναρτήσεων που ορίζονται σε αυτό το ανοικτό σύνολο. Ανασυρόμενο στο V, αυτό είναι ισοδύναμο με μια παραγώγιση στην προεικόνιση του U που διατηρεί τις 0-ομογενείς συναρτήσεις. Κάθε διανυσματικό πεδίο στο  μπορεί έτσι να προκύψει, και το ελάττωμα της injectivity αυτής της απεικόνισης αποτελείται ακριβώς από τα ακτινικά διανυσματικά πεδία.

Επομένως, ο πυρήνας του δεύτερου μορφισμού ισούται με την εικόνα του πρώτου.

Η κανονική δέσμη γραμμών των προβολικών χώρων
Παίρνοντας την υψηλότερη εξωτερική δύναμη, βλέπουμε ότι η κανονική δέσμη ενός προβολικού χώρου δίνεται από τη σχέση 

Ειδικότερα, οι προβολικοί χώροι είναι ποικιλίες Fano, επειδή η κανονική δέσμη είναι αντι-δειγματική και αυτή η δέσμη γραμμών δεν έχει μη μηδενικά παγκόσμια τμήματα, οπότε το γεωμετρικό γένος είναι 0. Αυτό μπορεί να διαπιστωθεί εξετάζοντας την ακολουθία Όιλερ και βάζοντάς την στον τύπο του προσδιοριστή 

για κάθε σύντομη ακριβή ακολουθία της μορφής 
.

Κλάσεις Τσερν
Η ακολουθία Όιλερ μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των κλάσεων Τσερν του προβολικού χώρου. Υπενθυμίζεται ότι δεδομένης μιας σύντομης ακριβούς ακολουθίας συνεκτικών δεσμών, 

μπορούμε να υπολογίσουμε την συνολική τάξη Τσερν του  με τον τύπο . Παραδείγματος χάριν, στο  βρίσκουμεNote that  in the Chow ring for dimension reasons. 

όπου  αντιπροσωπεύει την κλάση υπερεπιπέδου στον δακτύλιο Tσόου . 

Χρησιμοποιώντας την ακριβή ακολουθία  



και πάλι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο της συνολικής κλάσης Τσερν για να βρούμε 

Δεδομένου ότι πρέπει να αντιστρέψουμε το πολυώνυμο στον παρονομαστή, αυτό είναι ισοδύναμο με την εύρεση μιας δυναμοσειράς  such that .

Δημοσιεύσεις 

Euler Sequence and Koszul complex of a module
Euler sequences in joint angles & Gimbal lock 
On the Euler sequence spaces which include the spaces ℓp and ℓ∞ I
 Euler sequences, Quats, and DCMs #19600 


Δείτε επίσης
Commutative algebra

Εξωτερικοί σύνδεσμοι  
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Euler sequence for complete smooth k*-surfaces
Euler Sequence and Koszul complex of a module

Παραπομπές



Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Προβολική γεωμετρία
Κατηγορία:Κλασική γεωμετρία