Τετραγωνική ρίζα του 3

Η τετραγωνική ρίζα του 3 είναι ο θετικός πραγματικός αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, δίνει τον αριθμό 3. Συμβολίζεται με  ή . Ονομάζεται ακριβέστερα η κύρια τετραγωνική ρίζα του 3 για να διακρίνεται από τον αρνητικό αριθμό με την ίδια ιδιότητα. Η τετραγωνική ρίζα του 3 είναι ένας άρρητος αριθμός. Είναι επίσης γνωστή ως η σταθερά του Θεοδώρου, από τον Θεόδωρο τον Κυρηναίο που απέδειξε την αρρητότητά της.

, η αριθμητική της τιμή είχε υπολογιστεί σε τουλάχιστον 3 τρισεκατομμύρια ψηφία. Η δεκαδική της επέκταση, γραμμένη εδώ σε 60 δεκαδικά ψηφία, δίνεται από την ακολουθία:



Το κλάσμα  (...) μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως καλή προσέγγιση. Παρόλο που έχει παρονομαστή μόνο 56, διαφέρει από τη σωστή τιμή κατά λιγότερο από  (περίπου , με σχετικό σφάλμα ). Η στρογγυλοποιημένη τιμή του, , έχει σχετικό σφάλμα μόλις 0,01%.

Το κλάσμα  ( ...) έχει σχετικό σφάλμα .

Ο Αρχιμήδης ανέφερε ένα εύρος για την τιμή της: .

Το κατώτερο όριο  είναι μια ακριβής προσέγγιση για το  που διαφέρει από τη σωστή τιμή κατά λιγότερο από  (έξι δεκαδικά ψηφία, σχετικό σφάλμα ) και το ανώτατο όριο  διαφέρει από τη σωστή τιμή κατά λιγότερο από  (τέσσερα δεκαδικά ψηφία, σχετικό σφάλμα ).

 Σχέσεις 
Το  μπορεί να εκφραστεί ως το συνεχές κλάσμα  .

Επόμενως, για τον πίνακα
,
ισχύει ότι, καθώς 
.

Επίσης μπορεί να αναπαρασταθεί με το γενικευμένο συνεχές κλάσμα όπως το
,
που είναι το  όπου υπολογίζεται σε κάθε δεύτερο όρο.

 Γεωμετρία και τριγωνομετρία 
200px|right|thumb|Το ύψος ενός ισόπλευρου τριγώνου με μήκος πλευράς 2 είναι ίσο με . Επίσης, η πλευρά αυτή είναι η υποτείνουσα ενός τριγώνου 30-60-90 με μήκος 2.

200px|thumb|right|Το ύψος ενός κανονικού εξαγώνου με πλευρές μήκους 1 είναι ίσο με .

μικρογραφία| Η διαγώνιος του μοναδιαίου κύβου είναι .
Η τετραγωνική ρίζα του 3 μπορεί να βρεθεί ως το μήκος του ύψους ενός ισόπλευρου τριγώνου με πλευρά μήκους 2.

Σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρές μήκους 1 κοπεί σε δύο ίσα μισά, διχοτομώντας μια εσωτερική γωνία για να σχηματιστεί μια ορθή γωνία στη μία πλευρά, η υποτείνουσα του τριγώνου της ορθής γωνίας έχει μήκος ένα και οι πλευρές του έχουν μήκος  και . Από αυτό, προκύπτουν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί
,  και .

Η τετραγωνική ρίζα του 3 εμφανίζεται επίσης σε αλγεβρικές σχέσεις για διάφορες άλλες τριγωνομετρικές σταθερές, συμπεριλαμβανομένων των ημιτόνων των 3°, 12°, 15°, 21°, 24°, 33°, 39°, 48°, 51°, 57°, 66°, 69°, 75°, 78°, 84° και 87°.

Επίσης σε ένα κανονικό εξάγωνο με πλευρές μήκους 1, η απόσταση μεταξύ παράλληλων πλευρών είναι .

Στον μοναδιαίο κύβο το μήκος της διαγωνίου είναι ίσο με .

 Άλλες χρήσεις και εμφανίσεις 

 Δυναμική μηχανική 
Στην δυναμική μηχανική, η τάση μεταξύ δύο φάσεων σε ένα τριφασικό σύστημα είναι ίση με  φορές τη γραμμή προς την ουδέτερη τάση. Αυτό συμβαίνει επειδή οποιεσδήποτε δύο φάσεις απέχουν 120° μεταξύ τους και δύο σημεία σε έναν κύκλο με απόσταση 120 μοιρών χωρίζονται μεταξύ τους με  φορές την ακτίνα (δείτε παραδείγματα γεωμετρίας παραπάνω).

 Ειδικές συναρτήσεις 
Είναι γνωστό ότι οι περισσότερες ρίζες της ν-οστής παραγώγου της  (όπου  και  είναι η συνάρτηση Μπέσελ πρώτου τύπου τάξης ) είναι υπερβατικές. Οι μόνες εξαιρέσεις είναι οι αριθμοί , που είναι οι αλγεβρικές ρίζες της  και της .

 Δείτε επίσης 
 Τετραγωνική ρίζα του 2
 Τετραγωνική ρίζα του 5

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Μαθηματικές σταθερές
Κατηγορία:Άρρητοι_αριθμοί