Συνάρτηση διάστασης

Στα μαθηματικά, η συνάρτηση διάστασης αποτελεί εργαλείο στη μελέτη των φράκταλ και άλλων υποσυνόλων των μετρικών χώρων. Οι συναρτήσεις διάστασης είναι μια γενίκευση του απλού νόμου δύναμης " διάμετρος προς διάσταση " που χρησιμοποιείται στην κατασκευή του s-διάστατου μέτρου Χάουσντορφ.

 Κίνητρο: s-διάστατο μέτρο Χάουστορφ 
Κύριο άρθρο: Διάσταση Χάουσντορφ

Ας υποθέσουμε έναν μετρικό χώρο (X, d) και ένα υποσύνολο E του X. Δεδομένου ενός αριθμού s ≥ 0, το s-διάστατο μέτρο Χάουστορφ του E, που συμβολίζεταιs ≥ 0 ορίζεται ως εξής

όπου

Το μδs(E) μπορεί να θεωρηθεί ως μια προσέγγιση του "πραγματικού" s-διάστατου εμβαδού/όγκου του E που δίνεται από τον υπολογισμό του ελάχιστου s-διάστατου εμβαδού/όγκου μιας κάλυψης του E από σύνολα με διάμετρο το πολύ δ.

Ως αύξουσα συνάρτηση του s, μs(E) είναι μη αύξουσα. Στην πραγματικότητα, για όλες τις τιμές του s εκτός ίσως από μία, Hs(E) είναι είτε 0 είτε +∞- αυτή η εξαιρετική τιμή ονομάζεται διάσταση Χάουσντορφ της E, που σημειώνεται εδώ dimH(E). Ενδεχομένως, μs(E) = +∞ για s < dimH(E) για τον ίδιο λόγο που το μονοδιάστατο γραμμικό μήκος ενός δισδιάστατου δίσκου στο ευκλείδειο επίπεδο είναι +∞- ομοίως, μs(E) = 0 για s > dimH(E) για τον ίδιο λόγο που ο τρισδιάστατος όγκος ενός δίσκου στο ευκλείδειο επίπεδο είναι μηδέν.

Η ιδέα μιας συνάρτησης διάστασης είναι να χρησιμοποιηθεί διαφορετική συνάρτηση της διαμέτρου από την απλή diam(C)s για κάποιο s, και να αναζητηθεί η ίδια ιδιότητα το μέτρο Χάουσντορφ να είναι πεπερασμένο και μη μηδενικό.

 Ορισμός 
Ας υποθέσουμε ότι (X, d) είναι ένας μετρικός χώρος και E ⊆ X. Έστω h : [0, +∞) → [0, +∞] μια συνάρτηση. Ορίζουμε την μh(E ως εξής

ὀπου

Τότε η h καλείται συνάρτηση (ακριβούς) διάστασης (ή συνάρτηση μετρητή) για την E αν μh(E) είναι πεπερασμένη και αυστηρά θετική. Υπάρχουν πολλές συμβάσεις ως προς τις ιδιότητες που πρέπει να έχει η h: Ο Rogers (1998), για παράδειγμα, προϋποθέτει ότι η h πρέπει να είναι μονότονα αυξανόμενη για t ≥ 0, απολύτως θετική για t > 0, και συνεχής προς τα δεξιά για όλα τα t ≥ 0.

 Διάσταση συσκευασίας 
Η διάσταση συσκευασίας κατασκευάζεται με έναν πολύ παρόμοιο τρόπο με τη διάσταση Χάουσντορφ, με τη διαφορά ότι "πακετάρουμε" την Ε από μέσα με διαχωρισμένες κατά ζεύγη σφαίρες διαμέτρου το πολύ δ. Όπως και πριν, μπορεί κανείς να θεωρήσει συναρτήσεις h :  [0, +∞) → [0, +∞] γενικότερα από το h(δ) = δs και ονομάζουμε την h ακριβή συνάρτηση διάστασης για την E αν το μέτρο συσκευασίας h της E είναι πεπερασμένο και αυστηρά θετικό.

 Παράδειγμα 
Είναι σχεδόν βέβαιο ότι μια δειγματική διαδρομή X της κίνησης Μπράουν στο ευκλείδειο επίπεδο έχει διάσταση Χάουσντορφ ίση με 2, αλλά το δισδιάστατο μέτρο Χάουσντορφ μ2(X) είναι μηδέν. Η ακριβής συνάρτηση διάστασης h δίνεται από τη λογαριθμική διόρθωση

Δηλαδή, με πιθανότητα ένα, 0 < μh(X) < +∞ για ένα μονοπάτι Μπράουν X στο R2. Για την κίνηση Μπράουν στον ευκλείδειο n-χώρο Rn με n ≥ 3, η ακριβής συνάρτηση διάστασης είναι

 Δημοσιεύσεις 




 Βιβλιογραφία 
 Dendrimers III: Design, Dimension, Function
 Geometric Function Theory in Higher Dimension
 Dimension and Extensions
 Geometric Function Theory in One and Higher Dimensions

 Δείτε επίσης 
 Αλγόριθμος διαμαντιού τετραγώνου
 Καμπύλη που γεμίζει το χώρο
 Νιφάδα του Κοχ
 Καμπύλη Χίλμπερτ
 Καμπύλη του δράκου
 Σπόγγος του Μένγκερ

 Σύνολο Μάντελμπροτ
 Σύνολο Julia
 Σύνολο Κάντορ
 Οικοδομήσιμο Σύμπαν
 Σύστημα-L

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Φράκταλ
Κατηγορία:Μετρική γεωμετρία