Τετραγωνικός αριθμός

Στα μαθηματικά, τετραγωνικός αριθμός ή τέλειο τετράγωνο είναι ένας ακέραιος που είναι το τετράγωνο ενός άλλου ακέραιου αριθμού.Μερικοί αποκαλούν επίσης τα τετράγωνα ρητών αριθμών ως τέλεια τετράγωνα. Με άλλα λόγια, είναι το γινόμενο κάποιου ακέραιου με τον εαυτό του. Για παράδειγμα, το  είναι ένας τετραγωνικός αριθμός, αφού ισούται με , δηλαδή με .

Συνήθως το τετράγωνο ενός αριθμού  δεν συμβολίζεται ως το γινόμενο , αλλά ως η δύναμη , που προφέρεται ως " τετράγωνο". Το όνομα τετραγωνικός αριθμός προέρχεται από το όνομα του τετράγωνου σχήματος. Το μοναδιαίο εμβαδόν ορίζεται ως το εμβαδόν ενός μοναδιαίου τετραγώνου (). Επομένως, ένα τετράγωνο με μήκος πλευράς  έχει εμβαδόν . Οπτικά ένας αριθμός είναι τετραγωνικός αν μπορούμε να τον αναπαραστήσουμε με  σημεία, τα οποία είναι ταξινομημένα σε σειρές, ώστε κάθε πλευρά του τετραγώνου να έχει τον ίδιο αριθμό σημείων με την τετραγωνική ρίζα του .

Στους πραγματικούς αριθμούς, οι τετραγωνικοί αριθμοί είναι μη αρνητικοί. Ένας μη αρνητικός ακέραιος είναι τετραγωνικός αριθμός, όταν η τετραγωνική του ρίζα είναι επίσης ακέραιος. Για παράδειγμα, , οπότε το  είναι ένας τετραγωνικός αριθμός.

Για έναν μη αρνητικό ακέραιο , ο -οστός τετραγωνικός αριθμός είναι το , με το  να είναι ο μηδενικός τετραγωνικός αριθμός. Η έννοια του τετραγώνου μπορεί να επεκταθεί και σε άλλα σύνολα αριθμών. Για παράδειγμα, στους ρητούς αριθμούς, ένας τετραγωνικός αριθμός είναι ο λόγος δύο τετραγωνικών ακεραίων και, αντιστρόφως, ο λόγος δύο τετραγωνικών ακεραίων είναι ένας τετραγωνικός αριθμός, για παράδειγμα: .

Ξεκινώντας από το 1, υπάρχουν  τετραγωνικοί αριθμοί μικρότεροι ή ίσοι του , όπου το  στρογγυλλοποιεί τον πραγματικό αριθμό  προς τα κάτω (συνάρτηση δαπέδου).

 Παραδείγματα 
Οι τετραγωνικοί αριθμοί  που είναι μικρότεροι από το 602=3600 είναι: 02 = 0
 12 = 1
 22 = 4
 32 = 9
 42 = 16
 52 = 25
 62 = 36
 72 = 49
 82 = 64
 92 = 81 102 = 100
 112 = 121
 122 = 144
 132 = 169
 142 = 196
 152 = 225
 162 = 256
 172 = 289
 182 = 324
 192 = 361 202 = 400
 212 = 441
 222 = 484
 232 = 529
 242 = 576
 252 = 625
 262 = 676
 272 = 729
 282 = 784
 292 = 841 302 = 900
 312 = 961
 322 = 1024
 332 = 1089
 342 = 1156
 352 = 1225
 362 = 1296
 372 = 1369
 382 = 1444
 392 = 1521 402 = 1600
 412 = 1681
 422 = 1764
 432 = 1849
 442 = 1936
 452 = 2025
 462 = 2116
 472 = 2209
 482 = 2304
 492 = 2401 502 = 2500
 512 = 2601
 522 = 2704
 532 = 2809
 542 = 2916
 552 = 3025
 562 = 3136
 572 = 3249
 582 = 3364
 592 = 3481

Η διαφορά μεταξύ οποιουδήποτε τέλειου τετραγώνου από το προηγούμενό του είναι ίση με . Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να απαριθμήσουμε τους τετραγωνικούς αριθμούς προσθέτοντας στο τελευταίο τετράγωνο, τη ρίζα του τελευταίου τετραγώνου και την τρέχουσα ρίζα, δηλαδή
.

Υπάρχουν άπειροι τετραγωνικοί αριθμοί, όπως υπάρχουν και άπειροι φυσικοί αριθμοί.

 Ιδιότητες 

 Βασικές ιδιότητες 
 Ο αριθμός  είναι ένας τετραγωνικός αριθμός αν και μόνο αν μπορούμε να φτιάξουμε ένα τετράγωνο από  σημεία:
{| cellpadding="8"
|
|Αρχείο:Square_number_1.png
|-
|
|Αρχείο:Square_number_4.png
|-
|
|Αρχείο:Square_number_9.png
|-
|
|Αρχείο:Square_number_16.png
|-
|
|Αρχείο:Square_number_25.png
|}
 Ο -οστός τετραγωνικός αριθμός  δίνεται από τον τύπο 
.
 Οι τετραγωνικοί αριθμοί ικανοποιούν την αναδρομική σχέση
,
με .
200px|thumb|Το άθροισμα των πρώτων n περιττών ακεραίων είναι .
 Ο -οστός τετραγωνικός αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των πρώτων  περιττών αριθμών, δηλαδή
.
Για παράδειγμα, . Δείτε επίσης την παραπάνω εικόνα, όπου ένα τετράγωνο προκύπτει από το προηγούμενο με την προσθήκη ενός περιττού αριθμού σημείων (με χρώμα ροζ).Το άθροισμα των πρώτων περιττών ακεραίων, ξεκινώντας από το ένα, είναι ένα τέλειο τετράγωνο: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7, κ.λπ. Αυτό εξηγεί και τον νόμο του Γαλιλαίου για τους περιττούς αριθμούς: εάν ένα σώμα που πέφτει από ηρεμία καλύψει μία μονάδα απόστασης στο πρώτο αυθαίρετο χρονικό διάστημα, θα καλύψει 3, 5, 7, κ.λπ. μονάδες απόστασης στα επόμενα χρονικά διαστήματα του ίδιου μήκους. Αυτό βγαίνει από τον τύπο , για  και για μια σταθερά  (επιτάχυνση λόγω βαρύτητας χωρίς αντίσταση αέρα). Οπότε, το  είναι ανάλογο του  και η απόσταση από το σημείο εκκίνησης είναι διαδοχικά τετράγωνα για ακέραιες τιμές του χρόνου που έχουν περάσει.
 Το τετράγωνο ενός αριθμού  μείον ένα ίσο με το γινόμενο του  και του , δηλαδή
.
Για παράδειγμα, αφού , ισχύει ότι .Εφόσον ένας πρώτος αριθμός έχει διαιρέτες μόνο το  και τον εαυτό του, και αφού το  είναι η μόνη μη μηδενική τιμή του  η οποία μπορεί να δώσει ως παράγοντα το  στη δεξιά πλευρά της παραπάνω εξίσωσης, συμπεραίνουμε ότι το  είναι ο μόνος πρώτος αριθμός που είναι ένα λιγότερο από έναν τετραγωνικό αριθμό ().
 (Διαφορά τετραγώνων)  Γενικότερα, η διαφορά των τετραγώνων δύο αριθμών είναι το γινόμενο του αθροίσματος και της διαφοράς τους, δηλαδή
.
Αυτός ο τύπος χρησιμοποιείται καμιά φορά στη νοητική αριθμητική: για παράδειγμα, η πράξη  μπορεί γρήγορα να υπολογιστεί ως εξής .
 Όλες οι τέταρτες δυνάμεις, οι έκτες δυνάμεις, οι όγδοες δυνάμεις κ.ο.κ. είναι τέλεια τετράγωνα.

 Θεωρία αριθμών 

 Κάθε τετραγωνικός αριθμός (εκτός από το 0) έχει περιττό αριθμό θετικών διαιρετών, ενώ οι άλλοι φυσικοί αριθμοί έχουν άρτιο αριθμό θετικών διαιρετών. 

 (Θεώρημα τεσσάρων τετραγώνων του Λαγκράνζ) Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφτεί ως το άθροισμα τεσσάρων ή λιγότερων τέλειων τετραγώνων.Τρία τετράγωνα δεν επαρκούν για αριθμούς της μορφής . Ένας θετικός ακέραιος μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα ακριβώς δύο τετραγώνων, εάν η ανάλυσή του σε πρώτους παράγοντες, περιέχει περιττές δυνάμεις πρώτων αριθμών της μορφής .

 Ένας φυσικός αριθμός είναι τετραγωνικός αν και μόνο αν, στην κανονική του αναπαράσταση, όλοι οι εκθέτες είναι άρτιοι. Δηλαδή αν  (στην κανονική του μορφή), ο  είναι τετραγωνικός ανν οι  είναι άρτιοι.

 Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφεί ως το γινόμενο ενός τέλειου τετραγώνου και ενός αριθμού ελεύθερου τετραγώνων, δηλαδή ενός αριθμού που δεν διαιρείται τέλεια από κανένα τετράγωνο πέρα της μονάδας.
 Τα τετράγωνα άρτιων αριθμών είναι άρτια και διαιρούνται με το , καθώς .
 Τα τετράγωνα των περιττών αριθμών είναι περιττά, και έχουν υπόλοιπο 1 mod . Επίσης, η διαφορά μεταξύ δύο περιττών τέλειων τετραγώνων είναι πολλαπλάσιο του .

 Ψηφία τέλειων τετραγώνων 

 Δεκαδικό σύστημα 
Στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης:
 Ένας τετραγωνικός αριθμός μπορεί να τελειώνει μόνο με τα ψηφία , , , ,  ή .

 Αν ο αριθμός είναι της μορφής  όπου το  αντιπροσωπεύει τα προηγούμενα ψηφία, το τετράγωνό του είναι  με  και αντιπροσωπεύει τα ψηφία πριν από το . Για παράδειγμα, το τετράγωνο του  μπορεί να υπολογιστεί ως εξής: , οπότε το τετράγωνό του είναι ίσο με .
 Αν ο αριθμός είναι της μορφής  όπου το  αντιπροσωπεύει τα προηγούμενα ψηφία, το τετράγωνό του είναι  όπου . Για παράδειγμα, το τετράγωνο του  είναι το .
 Αν ο αριθμός έχει δύο ψηφία και είναι της μορφής  όπου το  αντιπροσωπεύει το ψηφίο των μονάδων, το τετράγωνό του είναι  όπου  και . Για παράδειγμα, για να υπολογίσουμε το τετράγωνο του  έχουμε: ,  και , οπότε .
 Αν ο αριθμός τελειώνει σε , το τετράγωνό του θα τελειώνει επίσης σε . Το ίδιο ισχύει όταν ο αριθμός τελειώνει και σε . 
 Αν ο αριθμός τελειώνει σε , το τετράγωνό του θα τελειώνει επίσης σε  και το ίδιο ισχύει όταν ο αριθμός τελειώνει σε . Για παράδειγμα, το τετράγωνο του  είναι το , οπότε και τα δύο τελειώνουν σε .
 Τα δύο τελευταία ψηφία των τετραγωνικών αριθμών ακολουθούν ένα επαναλαμβανόμενο μοτίβο που αντικατοπτρίζεται συμμετρικά γύρω από τα πολλαπλάσια του . Για παράδειγμα το  και το , που είναι ένα λιγότερο και ένα περισσότερο αντίστοιχα από το 25,  και , οπότε και τα δύο τελειώνουν σε . Γενικότερα, . Ένα ανάλογο μοτίβο ισχύει και για τα τελευταία τρία ψηφία γύρω από τα πολλαπλάσια του  και ούτω καθεξής. Κατά συνέπεια, από τα  πιθανά τελευταία διψήφια νούμερα, μόνο τα  από αυτά εμφανίζονται μεταξύ των τετραγωνικών αριθμών (καθώς το  και το  επαναλαμβάνονται).

 Δωδεκαδικό σύστημα 
Στο δωδεκαδικό σύστημα αρίθμησης:
 Ένας τετραγωνικός αριθμός μπορεί να τελειώνει μόνο με τετραγωνικά ψηφία, δηλαδή , ,  ή .

 Άλλα συστήματα αρίθμησης 
 Παρόμοιοι κανόνες μπορούν να δοθούν και για άλλες βάσεις ή και για προηγούμενα ψηφία (για παράδειγμα, για τις δεκάδες αντί για τις μονάδες). Όλοι αυτοί οι κανόνες μπορούν να αποδειχθούν ελέγχοντας έναν σταθερό αριθμό περιπτώσεων και χρησιμοποιώντας την αριθμητική υπολοίπων.

 Σχέσεις με άλλους αριθμούς 
 Το άθροισμα των πρώτων  τετραγωνικών αριθμών είναι ίσο με
.
Οι αριθμοί αυτοί είναι οι τετραγωνικοί πυραμιδικοί αριθμοί .
 Ένας τετραγωνικός αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα δύο διαδοχικών τριγωνικών αριθμών, δηλαδή
.
 (Θεώρημα Νικόμαχου) Το άθροισμα των πρώτων  κύβων ισούται με το τετράγωνο του αθροίσματος των πρώτων  θετικών ακεραίων, δηλαδή
.
 Η διαφορά μεταξύ του 1 και οποιουδήποτε υψηλότερου περιττού τέλειου τετραγώνου είναι οκτώ φορές ενός τριγωνικού αριθμού, δηλαδή
.
 Μια μοναδική σχέση με τους τριγωνικούς αριθμούς  είναι:
.

 Εφαρμογές 

 Αλγόριθμος παραγοντοποίησης Φερμά 
Ο έλεγχος ενός τέλειου τετραγώνου μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την παραγοντοποίηση μεγάλων αριθμών. Αντί να ελέγξουμε τη διαιρετότητα, μπορούμε να δοκιμάσουμε το τετράγωνο: για δεδομένο αριθμό  και κάποιον αριθμό , αν το  είναι το τετράγωνο ενός ακέραιου αριθμού , τότε το  διαιρεί το  (αυτή είναι μια εφαρμογή της διαφοράς τετραγώνων). Για παράδειγμα, το  είναι το τετράγωνο του , επομένως το  διαιρεί το . Αυτό το τεστ είναι ντετερμινιστικό για περιττούς διαιρέτες στο διάστημα από  έως , όπου το  καλύπτει κάποιο εύρος φυσικών αριθμών .

 Δείτε επίσης 

 Κύβος (άλγεβρα)
 Τρίγωνος αριθμός
 Πυθαγόρεια τριάδα

 Σημειώσεις 

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Τετράπλευρα
Κατηγορία:Θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Ακέραιοι αριθμοί
Κατηγορία:Ακολουθίες ακεραίων
Κατηγορία:Στοιχειώδης αριθμητική