Γεωμετρική τοπολογία

Στα μαθηματικά, η γεωμετρική τοπολογία είναι η μελέτη των πολλαπλοτήτων  και των απεικονίσεων που τις συνδέουν, ιδίως η ενσωμάτωση μιας ποικιλίας σε μια άλλη.

Ιστορία
Η γεωμετρική τοπολογία ως τομέας διακριτός από την αλγεβρική τοπολογία μπορεί να θεωρηθεί ότι ξεκίνησε από την ταξινόμηση των χώρων φακού από τη στρέψη Reidemeister το 1935, η οποία απαιτούσε τη διάκριση χώρων που είναι ομοτοπικά ισοδύναμοι αλλά όχι ομοιομορφικοί. Αυτή ήταν η απαρχή της απλής θεωρίας ομοτοπίας. Η χρήση του όρου γεωμετρική τοπολογία για την περιγραφή τους φαίνεται να προήλθε μάλλον πρόσφατα
.

Διαφορές μεταξύ τοπολογίας χαμηλών και υψηλών διαστάσεων
Οι πολλαπλές διαφέρουν ριζικά ως προς τη συμπεριφορά τους σε υψηλή και χαμηλή διάσταση.

Η τοπολογία υψηλών διαστάσεων αναφέρεται σε πολλαπλότητες διάστασης 5 και άνω, ή σε σχετικούς όρους, σε ενσωματώσεις με συνδιάσταση 3 και άνω. Η τοπολογία χαμηλών διαστάσεων αφορά θέματα διαστάσεων μικρότερων ή ίσων με 4, ή με ενσωματώσεις συνδιαστάσεων μικρότερων ή ίσων με 2.

Η διάσταση 4 είναι ξεχωριστή στο ότι από ορισμένες απόψεις (τοπολογικά) η διάσταση 4 είναι υψηλής διάστασης, ενώ από άλλες απόψεις (διαφορικά) η διάσταση 4 είναι χαμηλής διάστασης- αυτή η επικάλυψη δημιουργεί φαινόμενα μοναδικά για τη διάσταση 4, όπως οι διαφορίσιμες εξωτικές δομές στον R4. Έτσι, η τοπολογική ταξινόμηση των 4-διαστάσεων είναι καταρχήν εφικτή, και τα βασικά ερωτήματα είναι: δέχεται μια τοπολογική πολλαπλότητα μια διαφορίσιμη δομή, και αν ναι, πόσες; Ειδικότερα, η ομαλή περίπτωση της διάστασης 4 είναι η τελευταία ανοικτή περίπτωση της γενικευμένης εικασίας Πουανκαρέ- βλέπε στροφές του Gluck.

Η διάκριση οφείλεται στο γεγονός ότι η θεωρία της χειρουργικής λειτουργεί στη διάσταση 5 και πάνω (στην πραγματικότητα, σε πολλές περιπτώσεις λειτουργεί τοπολογικά στη διάσταση 4, αν και αυτό είναι πολύ δύσκολο να αποδειχθεί), και έτσι η συμπεριφορά των πολλαπλών στη διάσταση 5 και πάνω μπορεί να μελετηθεί χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα της θεωρίας της χειρουργικής. Στη διάσταση 4 και κάτω (τοπολογικά, στη διάσταση 3 και κάτω), η θεωρία της χειρουργικής δεν λειτουργεί. Πράγματι, μια προσέγγιση για τη μελέτη των πολλαπλών χαμηλής διάστασης είναι να αναρωτηθούμε "τι θα προέβλεπε η θεωρία της χειρουργικής ως αλήθεια, αν λειτουργούσε;". - και να κατανοήσουμε τα χαμηλοδιάστατα φαινόμενα ως αποκλίσεις από αυτή τη θεωρία.

Ο ακριβής λόγος για τη διαφορά στη διάσταση 5 είναι ότι το θεώρημα ολοκλήρωσης του Γουίτνι, το βασικό τεχνικό τέχνασμα που διέπει τη θεωρία της χειρουργικής, απαιτεί 2+1 διαστάσεις. Χονδρικά μιλώντας, το τέχνασμα του Γουίτνι επιτρέπει σε σφαίρες με κόμπους να "ξεκόβονται" - ακριβέστερα, να αφαιρούνται οι αυτο-διασταυρώσεις των εμβυθίσεων- αυτό γίνεται μέσω μιας ομοτοπίας ενός δίσκου - ο δίσκος έχει 2 διαστάσεις, και η ομοτοπία προσθέτει 1 - και έτσι, σε συνδιάσταση μεγαλύτερη από 2, αυτό μπορεί να γίνει χωρίς διασταύρωση- έτσι οι ενσωματώσεις σε συνδιάσταση μεγαλύτερη από 2 μπορούν να γίνουν κατανοητές με χειρουργική. Στη θεωρία της χειρουργικής, το βασικό βήμα είναι στην ενδιάμεση διάσταση, και έτσι όταν η ενδιάμεση διάσταση έχει συνδιάσταση μεγαλύτερη από 2 (χονδρικά, 2½ είναι αρκετό, οπότε η συνολική διάσταση 5 είναι αρκετή), το τέχνασμα του Γουίτνι λειτουργεί. Η κύρια συνέπεια είναι το θεώρημα h-κομπορδισμού του Σμέιλ, το οποίο λειτουργεί στη διάσταση 5 και υψηλότερα και αποτελεί τη βάση της θεωρίας χειρουργικής.

Μια τροποποίηση του τεχνάσματος Γουίτνι μπορεί να λειτουργήσει σε 4 διαστάσεις, και ονομάζεται λαβές Κάσον - επειδή δεν υπάρχουν αρκετές διαστάσεις, ένας δίσκος Γουίτνι εισάγει νέες στροφές, οι οποίες μπορούν να επιλυθούν με έναν άλλο δίσκο Γουίτνι, οδηγώντας σε μια ακολουθία ("πύργο") δίσκων. Το όριο αυτού του πύργου δίνει έναν τοπολογικό αλλά όχι διαφορίσιμο χάρτη, επομένως η χειρουργική λειτουργεί τοπολογικά αλλά όχι διαφορίσιμα στη διάσταση 4.

Σημαντικά εργαλεία στη γεωμετρική τοπολογία
Θεμελιώδης ομάδα

Σε όλες τις διαστάσεις, η θεμελιώδης ομάδα μιας πολλαπλότητας είναι μια πολύ σημαντική αναλλοίωτη και καθορίζει ένα μεγάλο μέρος της δομής- στις διαστάσεις 1, 2 και 3, οι πιθανές θεμελιώδεις ομάδες είναι περιορισμένες, ενώ στη διάσταση 4 και πάνω κάθε πεπερασμένη ομάδα είναι η θεμελιώδης ομάδα μιας πολλαπλότητας (σημειώστε ότι αρκεί να το δείξετε αυτό για τις 4- και 5-διάστατες πολλαπλότητας, και στη συνέχεια να πάρετε γινόμενα με σφαίρες για να πάρετε υψηλότερες).

Δυνατότητα προσανατολισμού
Μια πολλαπλότητα είναι κατευθυνόμενη αν έχει μια συνεπή επιλογή προσανατολισμού, και μια συνδεδεμένη κατευθυνόμενη πολλαπλότητα έχει ακριβώς δύο διαφορετικούς δυνατούς προσανατολισμούς. Μέσα σε αυτό το πλαίσιο, μπορούν να δοθούν διάφορες ισοδύναμες διατυπώσεις του προσανατολισμού, ανάλογα με την επιθυμητή εφαρμογή και το επίπεδο γενικότητας. Οι διατυπώσεις που εφαρμόζονται σε γενικές τοπολογικές πολλαπλότητες χρησιμοποιούν συχνά μεθόδους από τη θεωρία της ομολογίας, ενώ για τις διαφορίσιμες πολλαπλότητες υπάρχει μια πιο σημαντική δομή, που επιτρέπει μια διατύπωση σε όρους διαφορικών μορφών. Μια σημαντική γενίκευση της έννοιας της προσανατολιστικότητας ενός χώρου είναι αυτή της προσανατολιστικότητας μιας οικογένειας χώρων με παραμέτρους έναν άλλο χώρο (μια δέσμη ινών), για την οποία πρέπει να επιλεγεί ένας προσανατολισμός σε κάθε έναν από τους χώρους που μεταβάλλεται συνεχώς συναρτήσει των μεταβολών στις τιμές των παραμέτρων.

 Λαβή αποσύνθεσης
Μια λαβή αποσύνθεσης μιας m-πολλαπλότητας M είναι μια ένωση

όπου κάθε  προκύπτει από το 
με την προσάρτηση -λαβών.   Μια αποσύνθεση λαβών είναι για μια πολλαπλότητα ό,τι είναι μια CW-σύνθεση για έναν τοπολογικό χώρο - από πολλές απόψεις ο σκοπός μιας αποσύνθεσης λαβών είναι να έχουμε μια γλώσσα ανάλογη με τα CW-σύμπλοκα, αλλά προσαρμοσμένη στον κόσμο των λείων πολλαπλών.  Έτσι μια i-χειρολαβή είναι το λείο ανάλογο ενός i-κυττάρου.  Οι αποσυνθέσεις χειρισμού των πολλαπλών προκύπτουν φυσικά μέσω της θεωρίας Μορς. Η τροποποίηση των δομών λαβών συνδέεται στενά με τη θεωρία Cerf.

Τοπικη επιπεδότητα
Η τοπική επιπεδότητα είναι μια ιδιότητα μιας υποπολλαπλότητας σε μια τοπολογική πολλαπλότητα μεγαλύτερης διάστασης. Στην κατηγορία των τοπολογικών πολλαπλών, οι τοπικά επίπεδες υποπολλαπλότητες παίζουν ρόλο παρόμοιο με αυτόν των ενσωματωμένων υποπολλαπλότητες στην κατηγορία των λείων πολλαπλών.

Ας υποθέσουμε ότι μια πολλαπλότητα d διαστάσεων N ενσωματώνεται σε μια πολλαπλότητα n διαστάσεων M (όπου d < n).  Αν  λέμε ότι η N είναι τοπικά επίπεδη' στο x αν υπάρχει μια γειτονιά  της x τέτοια ώστε το τοπολογικό ζεύγος  είναι ομοιομορφικό με το ζεύγος , με τυπική συμπερίληψη του  ως υποχώρου του . Δηλαδή, υπάρχει ένας ομοιομορφισμός  τέτοιος ώστε η εικόνα του  να συμπίπτει με το .

Θεωρήματα Σένφλις
Το γενικευμένο θεώρημα του Σένφλις δηλώνει ότι, αν μια  (n − 1)-διάστατη σφαίρα S ενσωματώνεται στην n-διάστατη σφαίρα Sn με τοπικά επίπεδο τρόπο (δηλαδή η ενσωμάτωση επεκτείνεται σε εκείνη μιας πυκνωμένης σφαίρας), τότε το ζεύγος (Sn, S) είναι ομοιομορφικό με το ζεύγος Sn, Sn−1), όπου Sn−1 είναι ο ισημερινός της n-σφαίρας. Οι Μπράουν και Μαζούρ έλαβαν το βραβείο Βέμπλεν για τις ανεξάρτητες αποδείξειςBrown, Morton (1960), A proof of the generalized Schoenflies theorem. Bull. Amer. Math. Soc., vol. 66, pp. 74–76. Mazur, Barry, On embeddings of spheres., Bull. Amer. Math. Soc. 65 1959 59–65.  αυτού του θεωρήματος.

Κλάδοι της γεωμετρικής τοπολογίας
Τοπολογία χαμηλών διαστάσεων
Η τοπολογία χαμηλών διαστάσεων περιλαμβάνει:
 Επιφάνειες (2-Πολλαπλότητες)
 3-Πολλαπλότητες
 4-Πολλαπλότητες
Κάθε μία έχει τη δική της θεωρία, όπου υπάρχουν κάποιες συνδέσεις.

Η τοπολογία χαμηλών διαστάσεων είναι έντονα γεωμετρική, όπως αντικατοπτρίζεται στο θεώρημα ομογενοποίησης στις 2 διαστάσεις - κάθε επιφάνεια δέχεται μια μετρική σταθερής καμπυλότητας- γεωμετρικά, έχει μία από 3 πιθανές γεωμετρίες: θετική καμπυλότητα/σφαιρική, μηδενική καμπυλότητα/επίπεδη, αρνητική καμπυλότητα/υπερβολική - και στην εικασία γεωμετρικοποίησης (τώρα θεώρημα) στις 3 διαστάσεις - κάθε 3-πολλαπλότητα μπορεί να κοπεί σε κομμάτια, καθένα από τα οποία έχει μία από 8 πιθανές γεωμετρίες.

Η δισδιάστατη τοπολογία μπορεί να μελετηθεί ως σύνθετη γεωμετρία σε μία μεταβλητή (οι επιφάνειες Ρίμαν είναι σύνθετες καμπύλες) - σύμφωνα με το θεώρημα ομογενοποίησης, κάθε συμμορφούμενη κλάση μετρικών είναι ισοδύναμη με μία μοναδική σύνθετη, και η τετραδιάστατη τοπολογία μπορεί να μελετηθεί από την άποψη της σύνθετης γεωμετρίας σε δύο μεταβλητές (σύνθετες επιφάνειες), αν και κάθε 4-πολλαπλότητα δεν δέχεται σύνθετη δομή.

Θεωρία κόμβων
Κύριο άρθρο:  Θεωρία κόμβων

Η θεωρία κόμβων αφορά τη μελέτη των μαθηματικών κόμβων. Αν και εμπνευσμένος από κόμπους που εμφανίζονται στην καθημερινή ζωή στα κορδόνια και τα σχοινιά, ο κόμπος του μαθηματικού διαφέρει στο ότι τα άκρα είναι ενωμένα μεταξύ τους, ώστε να μην μπορεί να λυθεί. Στη μαθηματική γλώσσα, ένας κόμπος είναι μια ενσωμάτωση ενός κύκλου στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο, R3 (εφόσον χρησιμοποιούμε τοπολογία, ο κύκλος δεν δεσμεύεται από την κλασική γεωμετρική έννοια, αλλά από όλους τους ομοιομορφισμούς του). Δύο μαθηματικοί κόμβοι είναι ισοδύναμοι εάν ο ένας μπορεί να μετασχηματιστεί στον άλλο μέσω μιας παραμόρφωσης του R3 πάνω στον εαυτό του (γνωστή ως ισοτοπία περιβάλλοντος)- οι μετασχηματισμοί αυτοί αντιστοιχούν σε χειρισμούς μιας χορδής κόμβου που δεν περιλαμβάνουν την κοπή της χορδής ή το πέρασμα της χορδής μέσα από τον εαυτό της.

Για να έχουν περαιτέρω γνώση, οι μαθηματικοί γενίκευσαν την έννοια του κόμβου με διάφορους τρόπους. Οι κόμβοι μπορούν να θεωρηθούν σε άλλους τρισδιάστατους χώρους και να χρησιμοποιηθούν αντικείμενα εκτός από κύκλους- βλέπε κόμβος (μαθηματικά).Οι κόμβοι υψηλότερων διαστάσεων είναι n διαστάσεων σφαίρες στον m διαστάσεων Ευκλείδειο χώρο.

Γεωμετρική τοπολογία υψηλών διαστάσεων
Στην τοπολογία υψηλών διαστάσεων, οι χαρακτηριστικές κλάσεις είναι μια βασική αναλλοίωτη και η θεωρία της χειρουργικής είναι μια βασική θεωρία.

Μια χαρακτηριστική τάξη είναι ένας τρόπος σύνδεσης με κάθε κύρια δέσμη σε έναν τοπολογικό χώρο X μιας κλάσης συνομολογίας του X. Η κλάση συνομολογίας μετρά τον βαθμό στον οποίο η δέσμη είναι "στριμμένη" - συγκεκριμένα, αν έχει τμήματα ή όχι. Με άλλα λόγια, οι χαρακτηριστικές κλάσεις είναι συνολικές αναλλοίωτες που μετρούν τη διαφορά μεταξύ μιας τοπικής παραγωγικής δομής και μιας συνολικής παραγωγικής δομής. Αποτελούν μία από τις ενοποιητικές γεωμετρικές έννοιες της αλγεβρικής τοπολογίας, της διαφορικής γεωμετρίας και της αλγεβρικής γεωμετρίας.

Η θεωρία της χειρουργικής επέμβασης είναι ένα σύνολο τεχνικών που χρησιμοποιούνται για την παραγωγή μιας πολλαπλότητας από μια άλλη με "ελεγχόμενο" τρόπο, που εισήχθη από τον Μίλνορ (1961). Η χειρουργική επέμβαση περιλαμβάνει την αποκοπή τμημάτων της πολλαπλότητας και την αντικατάστασή τους με τμήμα μιας άλλης πολλαπλότητας, ταυτίζοντάς τα κατά μήκος της τομής ή του ορίου. Η μέθοδος αυτή είναι στενά συνδεδεμένη, αλλά όχι ταυτόσημη με τις αποσυνθέσεις σωμάτων χειρισμού. Αποτελεί σημαντικό εργαλείο στη μελέτη και ταξινόμηση των πολλαπλών διαστάσεων μεγαλύτερων από 3.

Πιο αναλυτικά, η ιδέα είναι να αρχίσει κανείς με μια καλά κατανοητή πολλαπλότητα M και να εκτελέσει μια χειρουργική επέμβαση σε αυτήν για να παράγει μια πολλαπλότητα M ′ με ορισμένες επιθυμητές ιδιότητες, έτσι ώστε να είναι γνωστές οι επιδράσεις στην ομολογία, στις ομάδες ομοτοπίας ή σε άλλες ενδιαφέρουσες αναλλοίωτες πολλαπλότητας.

Η ταξινόμηση των εξωτικών σφαιρών από τους Κερβέιρ και Μίλνορ (1963) οδήγησε στην ανάδειξη της θεωρίας χειρουργικής επέμβασης ως ένα σημαντικό εργαλείο στην τοπολογία υψηλών διαστάσεων.

Βιβλιογραφία 
 Geometric and Topological Methods for Quantum Field Theory
 Basic Topology 2: Topological Groups, Topology of Manifolds and Lie Groups
 Geometry, Topology and Dynamics of Character Varieties
 Geometry from a Differentiable Viewpoint

Δείτε επίσης
Διακριτά μαθηματικά
Πολ Έρντος

Παραπομπές





Κατηγορία:Διαφορική γεωμετρία