Εγγεγραμμένος και παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τριγώνου

Στη γεωμετρία, σε ένα τρίγωνο ο εγγεγραμμένος κύκλος  είναι ο κύκλος που εφάπτεται εσωτερικά στις τρεις πλευρές του. Το κέντρο του είναι το σημείο τομής των εσωτερικών διχοτόμων του και ονομάζεται έγκεντρο του τριγώνου.

Κάθε τρίγωνο έχει επίσης τρεις παρεγγεγραμμένους κύκλους ,  και  που εφάπτονται στις τρεις πλευρές του τριγώνου εξωτερικά αυτού. Το κέντρο του  είναι το σημείο τομής της διχοτόμου της  και των εξωτερικών διχοτόμων των  και , και ονομάζεται παράκεντρο του τριγώνου. Το τρίγωνο  λέγεται παρεγγεγραμμένο τρίγωνο του . 

Τα παράκεντρα συμβολίζονται επίσης με  ή .

 Εγγεγραμμένος κύκλος 

 Αποδείξεις 

 Ιδιότητες 
 Το έγκεντρο  είναι σημείο εσωτερικό του τριγώνου.
 Η γωνία των διχοτόμων των  και  είναι ίση με .

 (Σημείο Φόιερμπαχ) Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται του κύκλου Όιλερ. Το σημείο επαφής λέγεται σημείο Φόιερμπαχ.
 Το τρίγωνο  που σχηματίζουν οι προβολές του  στις πλευρές του τριγώνου ονομάζεται το τρίγωνο Ζεργκόν.
 Οι γωνίες αυτού του τριγώνου είναι ίσες με
,  και .
 (Σημείο Ζεργκόν) Τα ευθύγραμμα τμήματα  διέρχονται από το ίδιο σημείο.
 Οι ευθείες  είναι μεσοκάθετοι των πλευρών του .

 Μετρικές σχέσεις 
 Έστω  οι προβολές του  στις πλευρές του τριγώνου, τότε 
 και ,
όπου  είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου.

 Το εμβαδόν του τριγώνου  δίνεται από τον τύπο 
.
 Από τον τύπο του Ήρωνα, προκύπτει ότι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου
.

 Επίσης, η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, δίνεται από τις εξής τριγωνομετρικές σχέσεις
,
και από 
.
 (Θεώρημα Όιλερ) Αν  είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου, τότε 
.
 (Θεώρημα Καρνό) Αν  είναι οι προσημασμένες αποστάσεις του περίκεντρου από τις πλευρές του τριγώνου  και  η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε 
.

 Συντεταγμένες 
 Οι τριγραμμικές συντεταγμένες του έγκεντρου είναι .
 Οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες του έγκεντρου είναι .
  Οι Καρτεσιανές συντεταγμένες του έγκεντρου είναι 
.

 Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι 

Κάθε τρίγωνο  έχει τρεις παρεγγεγραμμένους κύκλους ,  και . Ο παρεγγεγραμμένος κύκλος  έχει κέντρο το σημείο τομής των εξωτερικών διχοτόμων της γωνίας  και της  και της εσωτερικής διχοτόμου της . Τα σημεία που εφάπτεται ο κύκλος  με τις πλευρές  συμβολίζονται με  αντίστοιχα.


 Απόδειξη 

 Ιδιότητες 
 Τα παράκεντρα  είναι σημεία εξωτερικά του τριγώνου.
 Τα σημεία  είναι συνευθειακά, καθώς και τα  και .
 Η γωνία των εξωτερικών διχοτόμων των  και  είναι ίση με .

 Η γωνία της εσωτερικής διχοτόμου της  και της εξωτερικής διχοτόμου της  είναι .

 (Σημείο Ζεργκόν) Τα ευθύγραμμα τμήματα  διέρχονται από το ίδιο σημείο.
 (Τρίγωνο Φόιερμπαχ) Οι παρεγγεγραμμένοι κύκλοι εφάπτονται του κύκλου Όιλερ του τριγώνου. Τα τρία σημεία επαφής ορίζουν το τρίγωνο Φόιερμπαχ.
 Ισχύει ότι ,  και , όπου  η ημιπερίμετρος.

 Αν  το σημείο τομής της προέκτασης της  με τον περιγεγραμμένο κύκλο, τότε
.
 Τα  ανά δύο ορίζουν ευθύγραμμα τμήματα των οποίων τα μέσα ανήκουν στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου.
 (Σημείο Νάγκελ) Αν  τα σημεία επαφής των παρεγγεγραμμένων κύκλων με κέντρα  με τις πλευρές  του τριγώνου, τότε τα  συντρέχουν στο σημείο Νάγκελ.
 Παρεγγεγραμμένο τρίγωνο 
 Οι εσωτερικές διχοτόμοι του τριγώνου  είναι ύψη του τριγώνου .
 Το ορθόκεντρο του παρεγγεγραμμένου τριγώνου είναι το έγκεντρο , δηλαδή τα  σχηματίζουν μία ορθοκεντρική τετράδα.
 Μετρικές σχέσεις 
 Από τον τύπο του Ήρωνα, οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων δίνεται από τους τύπους
  και .

 Επίσης, οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων δίνονται από τις τριγωνομετρικές σχέσεις
,  και , 
και επίσης
,  και .
 (Θεώρημα Όιλερ) Αν  είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου, τότε 
 και .
 Το εμβαδόν του τριγώνου  δίνεται από τους τύπους:

και 
.
 Αν  η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε ισχύει ότι .
 Το έγκεντρο και το παράκεντρο  είναι τα δύο σημεία που δίνουν τις ακραίες τιμές της  από όλα τα σημεία  της διχοτόμου της γωνίας .

 Συντεταγμένες 
 Οι τριγραμμικές συντεταγμένες των παρακέντρων είναι ,  και  αντίστοιχα.
 Οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες των παρακέντρων είναι 
,

και
.
  Οι Καρτεσιανές συντεταγμένες των παρακέντρων είναι 
,
,
και
.

 Δείτε επίσης 
 Εσωτερική διχοτόμος τριγώνου
 Εξωτερική διχοτόμος τριγώνου
 Περιγεγραμμένος κύκλος
 Βαρύκεντρο τριγώνου
 Ορθόκεντρο τριγώνου

 Παραπομπές  

Κατηγορία:Τρίγωνα
Κατηγορία:Θεωρήματα στη Γεωμετρία
Κατηγορία:Ευκλείδεια Γεωμετρία