Κύκλος Όιλερ

Στην γεωμετρία, σε ένα τρίγωνο  ο κύκλος Όιλερ ή κύκλος των εννέα σημείων (αναφέρεται και ως κύκλος Euler) είναι ο κύκλος που διέρχεται από τα μέσα  των πλευρών του, τα ίχνη  των υψών του και τα μέσα των ευθυγράμμων τμημάτων που συνδέουν τις κορυφές του τριγώνου με το ορθόκεντρο . 

Το κέντρο του κύκλου συνήθως συμβολίζεται με  και η ακτίνα του με .

 Απόδειξη 

 Ιδιότητες 
 Το κέντρο του κύκλου Όιλερ είναι το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος που ενώνει το ορθόκεντρο  με το περίκεντρο  του τριγώνου.

 Η ακτίνα του κύκλου Όιλερ είναι ίση με το μισό της ακτίνας του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

 Τα τρίγωνα , ,  έχουν τον ίδιο κύκλο του Όιλερ με το . 
 Ο κύκλος του Όιλερ του τριγώνου  που σχηματίζουν τα παράκεντρα του τριγώνου , ταυτίζεται με τον περιγεγραμμένο κύκλο του . 

 Σε ένα τρίγωνο  με , ο κύκλος του Όιλερ τέμνει την  υπο γωνία ίση με τη διαφορά  . 

 Ο κύκλος του Όιλερ είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του μεσοτριγώνου  και του ορθικού τριγώνου  (άμεση συνέπεια).

O κύκλος του Όιλερ είναι ομοιόθετος του περιγεγραμμένου κύκλου του  με κέντρο ομοιοθεσίας το ορθόκεντρο  και λόγο ομοιοθεσίας 1/2.

 (Σημείο Φόιερμπαχ) Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται του κύκλου Όιλερ. Το σημείο επαφής λέγεται σημείο Φόιερμπαχ.
 (Τρίγωνο Φόιερμπαχ) Οι παρεγγεγραμμένοι κύκλοι εφάπτονται του κύκλου Όιλερ του τριγώνου. Τα τρία σημεία επαφής ορίζουν το τρίγωνο Φόιερμπαχ.
 Οι εφαπτόμενες στον κύκλο Όιλερ στα μέσα των πλευρών του τριγώνου είναι παράλληληλες στις εφαπτόμενες στον περιγεγραμμένο κύκλο στις αντίστοιχες κορυφές του τριγώνου (και στις αντίστοιχες πλευρές του ορθικού τριγώνου).
 Αν  το ορθόκεντρο του τριγώνου και  τα περίκεντρα των τριγώνων ,  και , τότε ο κύκλος Όιλερ του  ταυτίζεται με τον κύκλο Όιλερ του αρχικού τριγώνου.

 Δείτε επίσης 
 Ευθεία του Όιλερ
 Περιγεγραμμένος κύκλος

 Διαδραστικές εφαρμογές
 Κύκλος Euler, Κύκλος Euler - τό κέντρο I, Κύκλος Euler - τό κέντρο II, Κύκλος Euler - η ακτίνα, Ευθεία Simson - Κύκλος Euler, Ευθεία Simson - Κύκλος Euler στό Διαδραστική Γεωμετρία

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Τρίγωνα
Κατηγορία:Θεωρήματα στη Γεωμετρία