Μορφοκλασματική ανάλυση

Η μορφοκλασματική ανάλυση συνίσταται στην αξιολόγηση των μορφοκλασματικών χαρακτηριστικών των δεδομένων. Αποτελείται από διάφορες μεθόδους για την απόδοση μιας διάστασης φράκταλ και άλλων χαρακτηριστικών φράκταλ σε ένα σύνολο δεδομένων, το οποίο μπορεί να είναι ένα θεωρητικό σύνολο δεδομένων ή ένα μοτίβο ή σήμα που εξάγεται από φαινόμενα όπως η τοπογραφία, τα φυσικά γεωμετρικά αντικείμενα, η οικολογία και οι επιστήμες των υδάτων, ο ήχος, οι διακυμάνσεις της αγοράς, οι καρδιακοί παλμοί, το πεδίο συχνοτήτων σε σήματα ηλεκτροεγκεφαλογραφημάτων, οι ψηφιακές εικόνες,Fractal Analysis of Digital Images http://rsbweb.nih.gov/ij/plugins/fraclac/FLHelp/Fractals.htm  η μοριακή κίνηση και η επιστήμη των δεδομένων. Η μορφοκλασματική ανάλυση χρησιμοποιείται πλέον ευρέως σε όλους τους τομείς της επιστήμης. Ένας σημαντικός περιορισμός της μορφοκλασματικής ανάλυσης είναι ότι η κατάληξη σε μια εμπειρικά καθορισμένη μορφοκλασματική διάσταση δεν αποδεικνύει απαραίτητα ότι ένα πρότυπο είναι φράκταλ- πρέπει να ληφθούν υπόψιν και άλλα ουσιώδη χαρακτηριστικά. Η μορφοκλασματική ανάλυση είναι πολύτιμη για την διεύρυνση των γνώσεών μας σχετικά με τη δομή και τη λειτουργία διαφόρων συστημάτων και ως πιθανό εργαλείο για τη μαθηματική αξιολόγηση νέων τομέων μελέτης.  Ο μορφοκλασματικός λογισμός, ο οποίος αποτελεί γενίκευση του συνήθους λογισμού, είναι η διατύπωσή του.

 Βασικές αρχές 
Τα φράκταλ έχουν μορφοκλασματικές διαστάσεις, οι οποίες είναι ένα μέτρο πολυπλοκότητας που δείχνει το βαθμό στον οποίο τα αντικείμενα γεμίζουν το διαθέσιμο χώρο.. Η μορφοκλασματική διάσταση μετρά την αλλαγή στο "μέγεθος" ενός φράκταλ συνόλου με την αλλαγή της κλίμακας παρατήρησης και δεν περιορίζεται από ακέραιες τιμές.  Αυτό το χαρακτηριστικό ονομάζεται αναλλοίωτο κλίμακας και μπορεί να κατηγοριοποιηθεί ως αυτοομοιότητα ή αυτοσυγγένεια, με την τελευταία να κλιμακώνεται ανισοτροπικά (ανάλογα με την κατεύθυνση). Είτε η όψη του φράκταλ διαστέλλεται είτε συρρικνώνεται, η δομή παραμένει η ίδια και φαίνεται να έχει ισοδύναμη πολυπλοκότητα. Είτε η όψη του φράκταλ διαστέλλεται είτε συρρικνώνεται, η δομή παραμένει η ίδια και φαίνεται να έχει ισοδύναμη πολυπλοκότητα.  Η μορφοκλασματική ανάλυση χρησιμοποιεί αυτές τις υποκείμενες ιδιότητες για να βοηθήσει στην κατανόηση και τον χαρακτηρισμό πολύπλοκων συστημάτων. Είναι επίσης δυνατό να επεκταθεί η χρήση των φράκταλ κατά την απουσία μιας ενιαίας χαρακτηριστικής χρονικής κλίμακας ή ενός προτύπου.

Περαιτέρω πληροφορίες για το θέμα : Φράκταλ

Τύποι μορφοκλασματικής ανάλυσης
Υπάρχουν διάφοροι τύποι ανάλυσης φράκταλ, συμπεριλαμβανομένων της καταμέτρησης κουτιών, της ανάλυσης κενότητας (lacunarity), των μεθόδων μάζας και της πολυμορφοκλασματικής ανάλυσης. Κοινό χαρακτηριστικό όλων των τύπων μορφοκλασματικής ανάλυσης είναι η ανάγκη για πρότυπα αναφοράς με βάση τα οποία μπορούν να αξιολογηθούν οι εκροές. Αυτά μπορούν να αποκτηθούν με διάφορους τύπους λογισμικού δημιουργίας φράκταλ που είναι ικανά να παράγουν πρότυπα αναφοράς κατάλληλα για το σκοπό αυτό, τα οποία γενικά διαφέρουν από το λογισμικό που έχει σχεδιαστεί για την απόδοση κλασματικής τέχνης. Άλλοι τύποι περιλαμβάνουν την ανάλυση αποπροσανατολισμένων διακυμάνσεων και τη μέθοδο (Απόλυτη τιμή Χερστ) Hurst absolute value, οι οποίες εκτιμούν τον Εκθέτη Χερστ. Προτείνεται να χρησιμοποιούνται περισσότερες από μία προσεγγίσεις για τη σύγκριση των αποτελεσμάτων και την αύξηση της αξιοπιστίας των συμπερασμάτων.

 Εφαρμογές 

 Οικολογία και εξέλιξη 
Σε αντίθεση με τις θεωρητικές μορφοκλασματικές καμπύλες, οι οποίες μπορούν εύκολα να μετρηθούν και να υπολογιστούν οι υποκείμενες μαθηματικές ιδιότητες, τα φυσικά συστήματα είναι πηγές ετερογένειας και δημιουργούν πολύπλοκες χωροχρονικές δομές που μπορεί να παρουσιάζουν μόνο μερική αυτοομοιότητα. Με τη χρήση της μορφοκλασματικής ανάλυσης είναι δυνατή η ανάλυση και η αναγνώριση της μεταβολής των χαρακτηριστικών των πολύπλοκων οικολογικών συστημάτων, καθώς τα φράκταλ είναι ικανά να χαρακτηρίσουν τη φυσική πολυπλοκότητα των συστημάτων αυτών. Με τον τρόπο αυτό, η μορφοκλασματική ανάλυση μπορεί να βοηθήσει στην ποσοτικοποίηση των προτύπων στη φύση και στον εντοπισμό των αποκλίσεων από αυτές τις φυσικές ακολουθίες. Βοηθά στη βελτίωση της συνολικής κατανόησης των οικοσυστημάτων και στην αποκάλυψη ορισμένων από τους υποκείμενους δομικούς μηχανισμούς της φύσης. Παραδείγματος χάριν, διαπιστώθηκε ότι η δομή του ξυλώματος ενός μεμονωμένου δέντρου ακολουθεί την ίδια αρχιτεκτονική με τη χωρική κατανομή των δέντρων στο δάσος και ότι η κατανομή των δέντρων στο δάσος μοιράζεται την ίδια υποκείμενη μορφοκλασματική δομή με τα κλαδιά, κλιμακούμενη πανομοιότυπα σε σημείο όπου το μοτίβο των κλαδιών των δέντρων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον μαθηματικό προσδιορισμό της δομής της δασικής συστάδας. Η χρήση της μορφοκλασματικής ανάλυσης για την κατανόηση της δομής και της χωρικής και χρονικής πολυπλοκότητας των βιολογικών συστημάτων έχει ήδη μελετηθεί επαρκώς και η χρήση της συνεχίζει να αυξάνεται στην οικολογική έρευνα. Παρά την ευρεία χρήση της, εξακολουθεί να αποτελεί αντικείμενο ορισμένων επικρίσεων.

Συμπεριφορά των ζώων
Τα πρότυπα στη συμπεριφορά των ζώων παρουσιάζουν μορφοκλασματικές ιδιότητες σε χωρικές και χρονικές κλίμακες. Η μορφοκλασματική ανάλυση βοηθά στην κατανόηση της συμπεριφοράς των ζώων και του τρόπου με τον οποίο αλληλεπιδρούν με το περιβάλλον τους σε πολλαπλές κλίμακες στο χώρο και στο χρόνο. Διάφορες υπογραφές της κίνησης των ζώων στο αντίστοιχο περιβάλλον τους έχει βρεθεί ότι παρουσιάζουν χωρικά μη γραμμικά κλασματικά πρότυπα. Αυτό δημιούργησε οικολογικές ερμηνείες όπως η υπόθεση της αναζήτησης τροφής με πτήση Λεβί, η οποία έχει αποδειχθεί ότι είναι μια πιο ακριβής περιγραφή της κίνησης των ζώων για ορισμένα είδη.

Τα χωρικά μοτίβα και οι ακολουθίες συμπεριφοράς των ζώων στον μορφοκλασματικό χρόνο έχουν ένα βέλτιστο εύρος πολυπλοκότητας, το οποίο μπορεί να θεωρηθεί ως η ομοιοστατική κατάσταση στο φάσμα όπου η ακολουθία πολυπλοκότητας πρέπει να εμπίπτει τακτικά. Μια αύξηση ή απώλεια της πολυπλοκότητας, είτε γίνονται πιο στερεότυπα είτε αντίθετα πιο τυχαία τα πρότυπα συμπεριφοράς τους, υποδηλώνει ότι πρόκειται για μια μεταβολή στη λειτουργικότητα του ζώου. Με τη βοήθεια της μορφοκλασματικής ανάλυσης, είναι δυνατόν να εξεταστεί η διαδοχική πολυπλοκότητα της κίνησης της συμπεριφοράς των ζώων και να προσδιοριστεί αν τα ζώα παρουσιάζουν αποκλίσεις από το βέλτιστο εύρος τους, γεγονός που υποδηλώνει μια αλλαγή στην κατάσταση. Παραδείγματος χάριν, χρησιμοποιήθηκε για την αξιολόγηση της ευημερίας των οικόσιτων πτηνών , του στρες των ρινοδέλφινων ως απόκριση στην ανθρώπινη ενόχληση και των παρασιτικών λοιμώξεων σε ιαπωνικούς μακάκους και πρόβατα .  Η έρευνα προάγει τον τομέα της οικολογίας της συμπεριφοράς απλοποιώντας και ποσοτικοποιώντας εξαιρετικά πολύπλοκες σχέσεις.. Όσον αφορά την καλή διαβίωση και τη διατήρηση των ζώων, η μορφοκλασματική ανάλυση καθιστά δυνατό τον εντοπισμό πιθανών πηγών στρες στη συμπεριφορά των ζώων, παράγοντες στρες που δεν είναι πάντα διακριτοί στη συμβατική συμπεριφορική έρευνα.

Αυτή η προσέγγιση είναι πιο αντικειμενική από τις κλασικές μετρήσεις συμπεριφοράς, όπως οι παρατηρήσεις με βάση τη συχνότητα που περιορίζονται από τον αριθμό των συμπεριφορών, αλλά είναι σε θέση να εμβαθύνει στην υποκείμενη αιτία της συμπεριφοράς. Ένα άλλο σημαντικό πλεονέκτημα της μορφοκλασματικής ανάλυσης είναι η δυνατότητα παρακολούθησης της υγείας των πληθυσμών άγριων και ελεύθερων ζώων στα φυσικά τους ενδιαιτήματα χωρίς επεμβατικές μετρήσεις.

 Οι εφαρμογές περιλαμβάνουν 
Οι εφαρμογές της μορφοκλασματικής ανάλυσης περιλαμβάνουν:

Ανάλυση καρδιακού ρυθμού
Ανθρώπινο βάδισμα, ισορροπία και δραστηριότητα
Διαγνωστική απεικόνιση
Έρευνα για τον καρκίνο
Μορφοκλασματική ανάλυση πολύπλοκων δικτύων
Κατηγοριοποίηση ιστοπαθολογικών διαφανειών στην ιατρική
Πολύπλοκο τοπίο ή πολυπλοκότητα ακτογραμμών
Ηλεκτρολόγος μηχανικός
Ένζυμο / ενζυμολογία (κινητική Michaelis-Menten)
Παραγωγή νέας μουσικής
Παραγωγή διαφόρων μορφών τέχνης
Ανίχνευση της "ζωής όπως δεν την ξέρουμε" με μορφοκλασματική ανάλυση
Έρευνα και διάσωση
Συμπίεση σήματος και εικόνας

Πολεοδομική ανάπτυξη
Νευροεπιστήμη
Διαγνωστική απεικόνιση
Παθολογία
Γεωλογία
Γεωγραφία
Αρχαιολογία
Σεισμολογία
Διάδοση κυμάτων σε αυτοομοιογενή (φράκταλ) μέσα
Εδαφολογικές μελέτες

Σχεδιασμός ηλεκτρονικών υπολογιστών και βιντεοπαιχνιδιών, ιδίως γραφικά υπολογιστών για οργανικά περιβάλλοντα και ως μέρος της διαδικαστικής δημιουργίας
Φρακτογραφία και μηχανική των θραυσμάτων
Φρακταλικές κεραίες - κεραίες μικρού μεγέθους με χρήση μορφοκλασματικών σχημάτων
Θεωρία σκέδασης μικρών γωνιών σε συστήματα με φράκταλ τραχύτητα
Μπλουζάκια και άλλα είδη μόδας
Παραγωγή μοτίβων για καμουφλάζ, όπως το MARPAT
Ψηφιακό ηλιακό ρολόι
Τεχνική ανάλυση σειρών τιμών (βλ. αρχή των κυμάτων Έλιοτ)
Μορφοκλασματική ανάλυση στη μουσική.

Μορφοκλασματικός λογισμός

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
Fractals and Fractal Analysis 
Fractal analysis
Benoit – Fractal Analysis Software 
Fractal Analysis Methods for Human Heartbeat and Gait Dynamics 

 Δημοσιεύσεις 
 Kenneth Falconer (mathematician)-Kenneth Falconer Fractal Geometry, 1990, ohn Wiley & Sons .
Benoît Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, 1982, W. H. Freeman & Co. ISBN 0716711869. Trad. : Les objets fractals. Forme, chance et dimension, Flammarion, 2e éd., 1984.
T. M. Michelitsch, G. A. Maugin, F. C. G. A. Nicolleau, A. F. Nowakowski et S. Derogar, « Dispersion relations and wave operators in self-similar quasicontinuous linear chains », Phys. Rev. E 80, 011135 (2009),  English et French.

Δείτε επίσης
Αλγόριθμος διαμαντιού τετραγώνου
Καμπύλη που γεμίζει το χώρο
Νιφάδα του Κοχ 
Καμπύλη Χίλμπερτ
Καμπύλη του δράκου
Σπόγγος του Μένγκερ

Σύνολο Μάντελμπροτ 
Σύνολο Julia
Σύνολο Κάντορ
Οικοδομήσιμο Σύμπαν

Παραπομπές



Κατηγορία:Φράκταλ
Κατηγορία:Χάος
Κατηγορία:Δυναμικά συστήματα
Κατηγορία:Ανάλυση δεδομένων