Εξωτερική ακτίνα

Μια εξωτερική ακτίνα είναι μια καμπύλη που εκτείνεται από το άπειρο προς ένα σύνολο Julia ή ΜάντελμπροτJ. Kiwi : Rational rays and critical portraits of complex polynomials. Ph. D. Thesis SUNY at Stony Brook (1997);   IMS Preprint #1997/15. . Αν και αυτή η καμπύλη είναι μόνο σπάνια μια ημιευθεία (ακτίνα), ονομάζεται ακτίνα επειδή αποτελεί εικόνα μιας ακτίνας.

Οι εξωτερικές ακτίνες χρησιμοποιούνται στη μιγαδική ανάλυση, ιδιαίτερα στη μιγαδική δυναμική και στη θεωρία γεωμετρικών συναρτήσεων.

Ιστορία
Οι εξωτερικές ακτίνες εισήχθησαν στη μελέτη των Ντουαντί και Χάμπαρντ για το σύνολο Μάντελμπροτ.

Στις αρχές της δεκαετίας του 1980, ο Αντριέν Ντουαντί (1935- ) και ο Τζον Χάμπαρντ (1945- ) συνεργάστηκαν  για να μελετήσουν τη δομή του συνόλου Μάντελμπροτ. Για τον σκοπό αυτό χρησιμοποίησαν τότε εργαλεία από την πολύπλοκη ανάλυση και τα δυναμικά συστήματα, και κατάφεραν να αποδείξουν ότι, παρά τα φαινόμενα, το σύνολο αυτό είναι συνδεδεμένο. Επιπλέον, χρησιμοποιώντας την περίφημη τεχνική τους που περιλαμβάνει "εξωτερικές ακτίνες", κατάφεραν να περιγράψουν τη δυναμική σημασία των διακοσμήσεων που συνδέονται με το σύνολο Μάντελμπροτ, καθώς και τη δυναμική στα αντίστοιχα σύνολα Julia.

Τύποι
Κριτήρια ταξινόμησης :
 Επίπεδο : παράμετρος ή δυναμική
 Χάρτης
 Διακλάδωση δυναμικών ακτίνων
 Τέντωμα
 Προσγείωση 

Επίπεδο
Οι εξωτερικές ακτίνες των (συνδεδεμένων) συνόλων Julia στο δυναμικό επίπεδο συχνά ονομάζονται δυναμικές ακτίνες.

Οι εξωτερικές ακτίνες του συνόλου Μάντελμπροτ (και παρόμοιων μονοδιάστατων τόπων συνδεσιμότητας) στο επίπεδο παραμέτρων ονομάζονται ακτίνες παραμέτρων.

Διακλάδωση
Η δυναμική ακτίνα μπορεί να είναι:

διακλάδωση =διακλαδισμένη =σπασμένη   
ομαλή = μη διακλαδισμένη = αδιάσπαστη

Όταν το γεμάτο σύνολο Julia είναι συνδεδεμένο, δεν υπάρχουν διακλαδισμένες εξωτερικές ακτίνες. Όταν το σύνολο Julia δεν είναι συνδεδεμένο, τότε κάποιες εξωτερικές ακτίνες διακλαδίζονται.

Τέντωμα
Οι τεντωμένες ακτίνες εισήχθησαν από τους Μπράνερ και Χάμπαρντ:The iteration of cubic polynomials Part I : The global topology of parameter by BODIL BRANNER and JOHN H. HUBBARDStretching rays for cubic polynomials by Pascale Roesch

"Η έννοια των τεντωμένων ακτίνων είναι μια γενίκευση αυτής των εξωτερικών ακτίνων για το σύνολο Μάντελμπροτ σε πολυώνυμα υψηλότερου βαθμού".

Προσγείωση
Κάθε ακτίνα ορθολογικής παραμέτρου του συνόλου Μάντελμπροτ προσγειώνεται σε μία μόνο παράμετρο.A. Douady, J. Hubbard: Etude dynamique des polynˆomes complexes. Publications math´ematiques d’Orsay 84-02 (1984) (premi`ere partie) and 85-04 (1985) (deuxi`eme partie).

Χάρτες
Πολυνώνυμα

Δυναμικό επίπεδο = z-επίπεδο 
Οι εξωτερικές ακτίνες συνδέονται με ένα συμπαγές, πλήρες, συνδεδεμένο υποσύνολο   του μιγαδικού επιπέδου ως:
 οι εικόνες των ακτινικών ακτίνων υπό τον χάρτη Ρίμαν του συμπληρώματος του 
 οι γραμμές κλίσης της συνάρτησης Γκριν του ,
γραμμές πεδίου του δυναμικού Ντουαντί-ΧούμπαρντYunping Jing : Local connectivity of the Mandelbrot set at certain infinitely renormalizable points   Complex Dynamics and Related Topics, New Studies in Advanced Mathematics, 2004, The International Press, 236-264.

Οι εξωτερικές ακτίνες μαζί με τις ισοδυναμικές γραμμές του δυναμικού Ντουαντί-Χούμπαρντ ( σύνολα επιπέδων) σχηματίζουν ένα νέο πολικό σύστημα συντεταγμένων για το εξωτερικό ( συμπλήρωμα ) του .

Με άλλα λόγια, οι εξωτερικές ακτίνες ορίζουν την κατακόρυφη φολίωση η οποία είναι ορθογώνια προς την οριζόντια φολίωση που ορίζεται από τα σύνολα επιπέδων του δυναμικούPOLYNOMIAL BASINS OF INFINITY LAURA DEMARCO AND KEVIN M. PILGRIM.

Ομογενοποίηση
Έστω  ο σύμμορφος ισομορφισμός από το συμπλήρωμα (εξωτερικό) του κλειστού μοναδιαίου δίσκου  στο συμπλήρωμα του συμπληρωμένου συνόλου Julia .

όπου  συμβολίζει το εκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο.
Έστω  που συμβολίζει τον χάρτη Μπότσερ.How to draw external rays by Wolf Jung Ο , είναι ένας ομογενοποιητικός χάρτης της λεκάνης έλξης του απείρου, διότι συζεύγει την  στο συμπλήρωμα του γεμισμένου συνόλου Julia  με την  στο συμπλήρωμα του μοναδιαίου δίσκου:

και

Η τιμή  ονομάζεται συντεταγμένη Μπότσερ για ένα σημείο  .

Τυπικός ορισμός της δυναμικής ακτίνας
Η εξωτερική ακτίνα γωνίας   που σημειώνεται ως είναι:
 η εικόνα υπό   των ευθύγραμμων 

σύνολο σημείων της εξωτερικής πλευράς του συμπληρωμένου συνόλου Julia με την ίδια εξωτερική γωνία 

Ιδιότητες
Η εξωτερική ακτίνα για μια περιοδική γωνία  ικανοποιεί:

και το σημείο προσγείωσής τουTessellation and Lyubich-Minsky laminations associated with quadratic maps I: Pinching semiconjugacies Tomoki Kawahira   ικανοποιεί:

Επίπεδο παραμέτρων = επίπεδο c
"Οι ακτίνες παραμέτρων είναι απλώς οι καμπύλες που είναι κάθετες στις ισοδυναμικές καμπύλες του συνόλου Μ".Douady Hubbard Parameter Rays by Linas Vepstas

Ομογενοποίηση

Έστω  η απεικόνιση από το συμπλήρωμα (εξωτερικό) του κλειστού μοναδιαίου δίσκου  στο συμπλήρωμα του σύνολο Μάντελμπροτ  .John H. Ewing, Glenn Schober, The area of the Mandelbrot Set

και ο χάρτης (συνάρτηση) του Μπότσερ , ο οποίος είναι ομογενοποιητικός χάρτης Irwin Jungreis: The uniformization of the complement of the Mandelbrot set.  Duke Math. J. Volume 52, Number 4 (1985), 935-938. του συμπληρώματος του συνόλου Μάντελμπροτ, επειδή συζεύγει το συμπλήρωμα του συνόλου Μάντελμπροτ   και το συμπλήρωμα (εξωτερικό) του κλειστού μοναδιαίου δίσκου.

μπορεί να εξομαλυνθεί έτσι ώστε :

Adrien Douady, John Hubbard, Etudes dynamique des polynomes complexes I & II, Publ. Math. Orsay. (1984-85) (The Orsay notes)

όταν :
 συμβολίζει το εκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο

Η συνάρτηση Γιουνγκράις  είναι η αντίστροφη του ομοιόμορφου χάρτη :

Στην περίπτωση του μιγαδικού τετραγωνικού πολυωνύμου μπορεί κανείς να υπολογίσει αυτόν τον χάρτη χρησιμοποιώντας σειρές Λοράν γύρω από το άπειροWeisstein, Eric W. "Mandelbrot Set." From MathWorld--A Wolfram Web Resource

όταν

Επίσημος ορισμός της παραμέτρου ακτίνα

Η εξωτερική ακτίνα της γωνίας  είναι:
η εικόνα κάτω από  των ευθειών 

σύνολο σημείων του εξωτερικού του συνόλου Μάντελμπροτ με την ίδια εξωτερική γωνία 

Ορισμός του χάρτη Μπότσερ 

Ορισμός των Ντουαντί και Χάμπαρντ:

οπότε η εξωτερική γωνία του σημείου  του παραμετρικού επιπέδου είναι ίση με την εξωτερική γωνία του σημείου  του δυναμικού επιπέδου

Εξωτερική γωνία

Η γωνία  ονομάζεται εξωτερική γωνία. ( επιχείρημα ).http://www.mrob.com/pub/muency/externalangle.html External angle at Mu-ENCY (the Encyclopedia of the Mandelbrot Set) by Robert Munafo

Η κύρια τιμή των εξωτερικών γωνιών μετριέται σε στροφές modulo 1

1 στροφή = 360 μοίρες = 2 ×   ακτίνια

Συγκρίνετε διαφορετικούς τύπους γωνιών :
Σύγκριση διαφορετικών τύπων γωνιών :
 εξωτερικές ( σημείο της εξωτερικής πλευράς του συνόλου )
 εσωτερική ( σημείο του εσωτερικού του στοιχείου )
 απλή ( όρισμα μιγαδικού αριθμού )

 εξωτερική γωνία εσωτερική γωνία απλή γωνία επίπεδο παραμέτρων    δυναμικό επίπεδο   

Υπολογισμός του εξωτερικού επιχειρήματος
 επιχείρημα της συντεταγμένης Μπότσερ ως εξωτερικό επιχείρημα Computation of the external argument by Wolf Jung


 Ακολουθία ζύμωσης ως δυαδική επέκταση του εξωτερικού επιχειρήματος A. DOUADY,  Algorithms for computing angles in the Mandelbrot set (Chaotic Dynamics and Fractals, ed. Barnsley and Demko, Acad. Press, 1986, pp. 155-168).Adrien Douady, John H. Hubbard: Exploring the Mandelbrot set. The Orsay Notes. page 58 Exploding the Dark Heart of Chaos by Chris King from Mathematics Department of University of Auckland

Υπερβατικοί χάρτες
Για υπερβατικούς χάρτες ( παραδείγματος χάριν εκθετικούς ) το άπειρο δεν είναι σταθερό σημείο αλλά μια ουσιαστική ιδιομορφία και δεν υπάρχει ισομορφισμός BoettcherTopological Dynamics of Entire Functions by Helena Mihaljevic-BrandtDynamic rays of entire functions and their landing behaviour by Helena Mihaljevic-Brandt.

Εδώ η δυναμική ακτίνα ορίζεται ως μια καμπύλη :
 που συνδέει ένα σημείο σε ένα σύνολο διαφυγής και το άπειρο
 που βρίσκεται σε ένα σύνολο διαφυγής

Εικόνες
Δυναμικές ακτίνες

Παράμετροι ακτίνων

Σύνολο Μάντελμπροτ για σύνθετο τετραγωνικό πολυώνυμο με ακτίνες παραμέτρων των σημείων της ρίζας

Προγράμματα που μπορούν να σχεδιάσουν εξωτερικές ακτίνες
Mandel  - program by Wolf Jung written in C++  using Qt  with source code available under the GNU General Public License
Java applets by Evgeny Demidov ( code of mndlbrot::turn function by Wolf Jung has been ported to Java ) with free source code
 ezfract by Michael Sargent, uses the code by Wolf Jung
OTIS  by Tomoki KAWAHIRA  - Java applet  without source code
Spider XView program by Yuval Fisher 
YABMP by Prof. Eugene Zaustinsky  for DOS without source code
DH_Drawer  by Arnaud Chéritat written for Windows 95 without source code
Linas Vepstas C programs   for Linux console with source code
Program Julia by Curtis T. McMullen written in C and Linux commands for C shell console  with source codesource code
mjwinq program by Matjaz Erat   written in delphi/windows without source code ( For the external rays it uses the methods from quad.c in julia.tar by  Curtis T McMullen)
RatioField by Gert Buschmann, for windows with Pascal source code for Dev-Pascal 1.9.2 (with  Free Pascal compiler )
Mandelbrot program by Milan Va, written in Delphi with source code
 Power MANDELZOOM by Robert Munafo
 ruff by Claude Heiland-Allen

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
Intertwined Internal Rays in Julia Sets of Rational Maps by Robert L. Devaney
Extending External Rays Throughout the Julia Sets of Rational Maps by Robert L. Devaney With Figen Cilingir and Elizabeth D. Russell
John Hubbard's presentation, The Beauty and Complexity of the Mandelbrot Set, part 3.1  
videos by ImpoliteFruit

Δείτε επίσης
Αλγόριθμος διαμαντιού τετραγώνου
Καμπύλη που γεμίζει το χώρο
Νιφάδα του Κοχ 
Καμπύλη Χίλμπερτ
Καμπύλη του δράκου
Σπόγγος του Μένγκερ

Σύνολο Μάντελμπροτ 
Σύνολο Julia
Σύνολο Κάντορ
Οικοδομήσιμο Σύμπαν
Σύστημα-L

Παραπομπές



Κατηγορία:Φράκταλ
Κατηγορία:Μιγαδικοί αριθμοί
Κατηγορία:Πολυώνυμα