Συνάρτηση μάζας πιθανότητας

Στην στατιστική και στην θεωρία πιθανοτήτων, η συνάρτηση μάζας πιθανότητας μίας τυχαίας μεταβλητής είναι η συνάρτηση που προσδιορίζει την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να λάβει ακριβώς μια τιμή από το πεδίο ορισμού της.

Πιο συγκεκριμένα, θεωρούμε την διακριτή τυχαία μεταβλητή  και το αριθμήσιμο σύνολο τιμών της . Η συνάρτηση μάζας πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής  είναι η συνάρτηση  που ορίζεται ως:
,
όπου  είναι μια εκ των πιθανών τιμών που μπορεί να λάβει η τυχαία μεταβλητή  και  είναι μέτρο πιθανότητας.

Η γνώση της συνάρτησης μάζας πιθανότητας ορίζει πλήρως την τυχαία μεταβλητή την οποία περιγράφει και ορίζεται τόσο για βαθμωτές τυχαίες μεταβλητές όσο και για πολυδιάστατες (τυχαία διανύσματα).

Η συνάρτηση μάζας πιθανότητας ορίζεται μόνον για διακριτές τυχαίες μεταβλητές και αυτή είναι μια από τις διαφορές της με την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας που ορίζεται στις συνεχείς τυχαίες μεταβλητές.

Η συνάρτηση μάζας πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής λαμβάνει την μέγιστη τιμή της στην διάμεσο της κατανομής.

Ορισμός
Η συνάρτηση μάζας πιθανότητας είναι η κατανομή πιθανότητας μιας διακριτή τυχαίας μεταβλητής. Το πεδίο ορισμού της είναι όλες οι πιθανές τιμές που μπορεί να λάβει η τυχαία μεταβλητή ενώ η εικόνα του πεδίου ορισμού είναι οι πιθανότητες που  το πεδίο ορισμού της. 

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η συνάρτηση μάζας πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής  με σύνολο τιμών  είναι η συνάρτηση  που ορίζεται ως:
,
όπου  είναι μια εκ των πιθανών τιμών που μπορεί να λάβει η τυχαία μεταβλητή  και  είναι μέτρο πιθανότητας.

Με άλλα λόγια η συνάρτηση μάζας πιθανότητας  με όρισμα την πιθανή τιμή  που μπορεί να πάρει η τυχαία μεταβλητή  συμβολίζεται με  και δηλώνει την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή  δηλαδή να λάβει ακριβώς την τιμή . 

 Ιδιότητες 
Σύμφωνα με τα αξιώματα των πιθανοτήτων (Αξιώματα κατά Κολμογκόροφ) μια πιθανότητα είναι πάντα μη-μηδενική και ως εκ τούτου η συνάρτηση μάζας πιθανότητας μπορεί να πάρει μόνον μη μηδενικές τιμές. Επιπλέον το άθροισμα (εν δυνάμει αριθμήσιμα  απείρων όρων) όλων των τιμών της συνάρτησης μάζας πιθανότητας πρέπει να είναι 1 δηλαδή:


και 

 Παραδείγματα 

 Κατανομή Μπερνούλι 
Mία τυχαία μεταβλητή  που ακολουθεί την κατανομή Μπερνούλι  (για ) έχει συνάρτηση μάζας πιθανότητας 
.

 Διωνυμική κατανομή 
Mία τυχαία μεταβλητή  που ακολουθεί την διωνυμική κατανομή  (για ) έχει συνάρτηση μάζας πιθανότητας 
.

 Γεωμετρική κατανομή 
Mία τυχαία μεταβλητή  που ακολουθεί την γεωμετρική κατανομή  (για ) έχει συνάρτηση μάζας πιθανότητας 
.

 Δείτε επίσης 
 Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Θεωρία πιθανοτήτων