Περιδέραιο του Αντουάν

Στα μαθηματικά, και πιο συγκεκριμένα στην τοπολογία, το περιδέραιο του Αντουάν είναι ένα αντικείμενο που εισήγαγε ο Λουί Αντουάν στη διατριβή του το 1921. Πρόκειται για ένα εντελώς ασυνεχές συμπαγές τμήμα του περιβάλλοντος χώρου, δίχως απομονωμένα (και επομένως τέλεια) σημεία, και του οποίου το συμπλήρωμα δεν είναι απλά συνδεδεμένο. Είναι επίσης ένα φράκταλ, το οποίο κατασκευάζεται επαναληπτικά αντικαθιστώντας έναν τόρο σε κάθε στάδιο με μια αλυσίδα διαπλεκόμενων τοροειδών (βλ. διπλανό σχήμα).
μικρογραφία|298x298εσ|Το περιδέραιο του Αντουάν (τρίτη επανάληψη).
Οι εντελώς ασυνεχείς συμπαγείς μετρικοί χώροι χωρίς απομονωμένα σημεία είναι όλοι ομοιομορφικοί με το σύνολο Κάντορ. Επιπλέον, όταν δύο παρόμοια σύνολα Κάντορ Α και Β είναι βυθισμένα στο πεδίο, υπάρχει πάντα ένας ομοιομορφισμός αυτού του πεδίου που μετατρέπει το Α σε Β. Από την άλλη πλευρά, το αποτέλεσμα καθίσταται λανθασμένο στον συνήθη χώρο: είναι δυνατόν να βρεθούν δύο σύνολα Κάντορ ( απαραιτήτως ομοιομορφικά μεταξύ τους) έτσι ώστε κανένας ομοιομορφισμός που μετασχηματίζει το ένα στο άλλο να μην μπορεί να είναι ο περιορισμός ενός ομοιομορφισμού του χώρου πάνω στον εαυτό του. Το περιδέραιο του Αντουάν είναι ένα τέτοιο αντιπαράδειγμα, επειδή το συμπλήρωμα του στο χώρο δεν είναι απλά συνδεδεμένο, σε αντίθεση με το συμπλήρωμα του συνήθους συνόλου Κάντορ.

Κατασκευή
Το περιδέραιο του Αντουάν κατασκευάζεται επαναληπτικά ως εξής: Αρχίζουμε με έναν συμπαγή τόρο A0 (επανάληψη 0). Στη συνέχεια, κατασκευάστε ένα "περιδέραιο" από μικρότερους, συνδεδεμένους τόρους που βρίσκονται μέσα στον A0. Αυτή η αλυσίδα είναι η A1 (επανάληψη 1). Κάθε τόρος που συνθέτει τον Α1 μπορεί να αντικατασταθεί με ένα άλλο μικρότερο περιδέραιο, όπως έγινε για τον Α0. Με τον τρόπο αυτό προκύπτει το A2 (επανάληψη 2).

Αυτή η διαδικασία μπορεί να επαναληφθεί μετρημένα άπειρες φορές για να δημιουργηθεί ένα An για όλα τα n. Το περιδέραιο A του Αντουάν ορίζεται ως η τομή όλων των επαναλήψεων.

Ιδιότητες
Δεδομένου ότι οι στερεοί τόροι επιλέγονται να γίνονται αυθαίρετα μικροί καθώς αυξάνεται ο αριθμός των επαναλήψεων, οι συνδεδεμένες συνιστώσες του A πρέπει να είναι μεμονωμένα σημεία.  Τότε είναι εύκολο να επαληθεύσουμε ότι το A είναι κλειστό, πυκνό στον εαυτό του και εντελώς ασύνδετο, έχοντας την πληθικότητα του συνεχούς. Αυτό είναι αρκετό για να συμπεράνουμε ότι ως αφηρημένος μετρικός χώρος ο A είναι ομοιομορφικός με το σύνολο Κάντορ.

Ωστόσο, ως υποσύνολο του Ευκλείδειου χώρου το Α δεν είναι ομοιομορφικό με το τυπικό σύνολο Κάντορ C, ενσωματωμένο στον R3  σε ένα ευθύγραμμο τμήμα. Δηλαδή, δεν υπάρχει δι-συνεχής χάρτης από τον R3 → R3 που να μεταφέρει το C στο A. Για να το δείξουμε αυτό, ας υποθέσουμε ότι υπήρχε ένας τέτοιος χάρτης  h : R3 → R3, και ας λάβουμε υπόψιν έναν βρόχο k που είναι αλληλοσυνδεδεμένος με το περιδέραιο. ο k δεν μπορεί να συρρικνωθεί συνεχώς σε ένα σημείο χωρίς να αγγίξει το A, επειδή δύο βρόχοι δεν μπορούν να αποσυνδεθούν συνεχώς. Τώρα ας θεωρήσουμε οποιονδήποτε βρόχο j αποσυνδεδεμένο από τον C. Ο j μπορεί να συρρικνωθεί σε ένα σημείο χωρίς να αγγίξει τον C, επειδή μπορούμε απλά να τον μετακινήσουμε μέσω των διαστημάτων κενών. Ωστόσο, ο βρόχος g = h−1(k) είναι ένας βρόχος που δεν μπορεί να συρρικνωθεί σε ένα σημείο χωρίς να αγγίξει το C, γεγονός που έρχεται σε αντίθεση με την προηγούμενη δήλωση. Επομένως, το h δεν μπορεί να υπάρχει.

Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει ομοιομορφισμός του R'3 που να στέλνει το A σε ένα σύνολο με διάσταση Χάουσντορφ < 1, αφού το συμπλήρωμα ενός τέτοιου συνόλου πρέπει να είναι απλά συνδεδεμένο.

Το περιδέραιο του Αντουάν χρησιμοποιήθηκε από τον Τζέιμς Γουάντελ Αλεξάντερ (1924) για την κατασκευή της κερασφόρου σφαίρας του Αντουάν (παρόμοια αλλά όχι ίδια με την κερασφόρα σφαίρα του Αλεξάντερ).

Δημοσιεύσεις 

Δείτε επίσης
Αλγόριθμος διαμαντιού τετραγώνου
Καμπύλη που γεμίζει το χώρο
Νιφάδα του Κοχ 
Καμπύλη Χίλμπερτ
Καμπύλη του δράκου
Σπόγγος του Μένγκερ

Σύνολο Μάντελμπροτ 
Σύνολο Julia
Σύνολο Κάντορ
Οικοδομήσιμο Σύμπαν
Σύστημα-L

Παραπομπές



Κατηγορία:Φράκταλ
Κατηγορία:Τοπολογία