Διάσταση συσκευασίας

Στα μαθηματικά, η διάσταση συσκευασίας είναι μία από τις έννοιες που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να οριστεί η διάσταση ενός υποσυνόλου σε έναν μετρικό χώρο. Η διάσταση συσκευασίας είναι κατά μία έννοια διπλή της διάστασης Χάουσντορφ, δεδομένου ότι η διάσταση συσκευασίας κατασκευάζεται με το "πακετάρισμα" μικρών ανοικτών σφαιρών στο εσωτερικό του δεδομένου υποσυνόλου, ενώ η διάσταση Χάουσντορφ κατασκευάζεται με την κάλυψη του δεδομένου υποσυνόλου από τέτοιες μικρές ανοικτές σφαίρες. Η διάσταση συσκευασίας εισήχθη από τον C. Tricot Jr. το 1982.

 Ορισμοί 
Έστω (X, d) μετρικός χώρος με υποσύνολο S ⊆ X και s ≥ 0 πραγματικός αριθμός. Το s-διάστατο προ-μέτρο συσκευασίας του S ορίζεται ως εξής

δηλαδή, το μέτρο συσκευασίας του S είναι το ελάχιστο των προμετρήσεων συσκευασίας των μετρήσιμων καλυμμάτων του S.

Αφού γίνει αυτό, η διάσταση συσκευασίας dimP(S) of S ορίζεται αναλογικά με τη διάσταση Χάουστορφ:

 Παράδειγμα 
Το ακόλουθο παράδειγμα είναι η απλούστερη κατάσταση όπου οι διαστάσεις Χάουσντορφ και συσκευασίας μπορεί να διαφέρουν.

Καθορίζουμε μια ακολουθία  τέτοια ώστε  και . Ορίζουμε επαγωγικά μια εμφωλευμένη ακολουθία  συμπαγών υποσυνόλων της πραγματικής γραμμής ως εξής: Έστω . Για κάθε συνδεδεμένη συνιστώσα του  (η οποία θα είναι αναγκαστικά ένα διάστημα μήκους ), διαγράφουμε το μεσαίο διάστημα μήκους , λαμβάνοντας δύο διαστήματα μήκους , τα οποία θα θεωρηθούν ως συνδεδεμένες συνιστώσες του . Στη συνέχεια, ορίζουμε . Τότε το  είναι τοπολογικά ένα σύνολο Κάντορ (δηλ. ένας συμπαγής εντελώς ασύνδετος τέλειος χώρος). Παραδείγματος χάριν, το  θα είναι το συνηθισμένο σύνολο Κάντορ μεσαίων-τρίτων αν .

Είναι δυνατόν να αποδειχθεί ότι οι διαστάσεις Χάουσντορφ και οι διαστάσεις συσκευασίας του συνόλου  δίνονται αντίστοιχα από:

Προκύπτει εύκολα ότι με δεδομένους αριθμούς , μπορεί κανείς να επιλέξει μια ακολουθία  όπως παραπάνω, έτσι ώστε το σχετικό (τοπολογικό) σύνολο του Κάντορ  να έχει διάσταση Χάουστορφ  και διάσταση συσκευασίας .

 Γενικεύσεις 
Μπορούμε να θεωρήσουμε συναρτήσεις διάστασης πιο γενικές από τη "διάμετρο στα s": για κάθε συνάρτηση h : [0, +∞) → [0, +∞], έστω ότι η προμέτρηση συσκευασίας του S με συνάρτηση διάστασης h ορίζεται ως εξής

και ορίζουμε το μέτρο συσκευασίας του S με συνάρτηση διάστασης h ως εξής

Η συνάρτηση h λέγεται ότι είναι μια ακριβής (packing) συνάρτηση διάστασης για το S αν Ph(S) είναι και πεπερασμένη και αυστηρά θετική.

 Ιδιότητες 
 Αν S είναι ένα υποσύνολο του n-διάστατου Ευκλείδειου χώρου Rn με τη συνήθη μετρική του, τότε η διάσταση συσκευασίας του S είναι ίση με την ανώτερη τροποποιημένη διάσταση κουτιού του S:

Το αποτέλεσμα αυτό είναι ενδιαφέρον διότι δείχνει πώς μια διάσταση που προκύπτει από ένα μέτρο (διάσταση συσκευασίας) συμπίπτει με μια διάσταση που προκύπτει χωρίς τη χρήση μέτρου (η τροποποιημένη διάσταση κουτιού).

Ας σημειωθεί, ωστόσο, ότι η διάσταση συσκευασίας δεν είναι ίση με τη διάσταση του κουτιού. Παραδείγματος χάριν, το σύνολο των ρητών Q έχει διάσταση κουτιού ένα και διάσταση συσκευασίας μηδέν.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 


 Βιβλιογραφία 
 Logical Approaches to Computational Barriers
 Fractals in Probability and Analysis
 Optical Polarization in Biomedical Applications

 Δείτε επίσης 
 Αλγόριθμος διαμαντιού τετραγώνου
 Καμπύλη που γεμίζει το χώρο
 Νιφάδα του Κοχ
 Καμπύλη Χίλμπερτ
 Καμπύλη του δράκου
 Σπόγγος του Μένγκερ
 Σύνολο Μάντελμπροτ
 Σύνολο Julia
 Σύνολο Κάντορ
 Οικοδομήσιμο Σύμπαν

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Φράκταλ
Κατηγορία:Μετρική γεωμετρία