Συνάρτηση του Βάιερστρας

Στα μαθηματικά, η συνάρτηση του Βάιερστρας είναι ένα παράδειγμα συνάρτησης πραγματικών τιμών που είναι συνεχής παντού αλλά δεν είναι διαφορίσιμη. Αποτελεί παράδειγμα μορφοκλασματικής καμπύλης. Πήρε το όνομά της από τον ανακάλυψή της Καρλ Βάιερστρας.

Η συνάρτηση Βάιερστρας διαδραμάτισε ιστορικά το ρόλο μιας παθολογικής συνάρτησης, καθώς είναι το πρώτο δημοσιευμένο παράδειγμα (1872) που επινοήθηκε ειδικά για να αμφισβητήσει την αντίληψη ότι κάθε συνεχής συνάρτηση είναι διαφορίσιμη εκτός από ένα σύνολο απομονωμένων σημείων.At least two researchers formulated continuous, nowhere differentiable functions before Weierstrass, but their findings were not published in their lifetimes.

Around 1831, Bernard Bolzano (1781–1848), a Czech mathematician, philosopher, and Catholic priest, constructed such a function; however, it was not published until 1922. See:

 Martin Jašek (1922) "Funkce Bolzanova" (Bolzano's function), Časopis pro Pěstování Matematiky a Fyziky (Journal for the Cultivation of Mathematics and Physics), vol. 51, no. 2, pages 69–76 (in Czech and German).
 Vojtěch Jarník (1922) "O funkci Bolzanově" (On Bolzano's function), Časopis pro Pěstování Matematiky a Fyziky (Journal for the Cultivation of Mathematics and Physics), vol. 51, no. 4, pages 248 - 264 (in Czech).  Available on-line in Czech at:  http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/109021/CasPestMatFys_051-1922-4_5.pdf  .  Available on-line in English at:  http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/400073/Bolzano_15-1981-1_6.pdf  .
 Karel Rychlík (1923) "Über eine Funktion aus Bolzanos handschriftlichem Nachlasse" (On a function from Bolzano's literary remains in manuscript), Sitzungsberichte der königlichen Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften (Prag) (Proceedings of the Royal Bohemian Society of Philosophy in Prague) (for the years 1921-1922), Class II, no. 4, pages 1-20.  (Sitzungsberichte was continued as:  Věstník Královské české společnosti nauk, třída matematicko-přírodovědecká (Journal of the Royal Czech Society of Science, Mathematics and Natural Sciences Class).)

Around 1860, Charles Cellérier (1818 - 1889), a professor of mathematics, mechanics, astronomy, and physical geography at the University of Geneva, Switzerland, independently formulated a continuous, nowhere differentiable function that closely resembles Weierstrass's function.  Cellérier's discovery was, however, published posthumously:

 Cellérier, C. (1890) "Note sur les principes fondamentaux de l'analyse" (Note on the fundamental principles of analysis), Bulletin des sciences mathématiques, second series, vol. 14, pages 142 - 160. Η απόδειξη του Βάιερστρας ότι η συνέχεια δεν συνεπάγεται διαφορισιμότητα σχεδόν παντού έφερε τα πάνω κάτω στα μαθηματικά, ανατρέποντας αρκετές αποδείξεις που βασίζονταν στη γεωμετρική διαίσθηση και σε ασαφείς ορισμούς της ομαλότητας. Αυτοί οι τύποι συναρτήσεων κατακρίθηκαν από τους συγχρόνους: Ο Ανρί Πουανκαρέ τις περιέγραψε ως "τέρατα" και αποκάλεσε το έργο του Βάιερστρας "προσβολή της κοινής λογικής", ενώ ο Σαρλ Ερμίτ έγραψε ότι ήταν μια "θλιβερή μάστιγα". Οι συναρτήσεις ήταν δύσκολο να απεικονιστούν μέχρι την άφιξη των υπολογιστών τον επόμενο αιώνα, και τα αποτελέσματα δεν κέρδισαν ευρεία αποδοχή μέχρι που πρακτικές εφαρμογές, όπως μοντέλα της κίνησης Μπράουν, απαιτούσαν απείρως οδοντωτές συναρτήσεις (σήμερα γνωστές ως φράκταλ καμπύλες). 

Κατασκευή

Στην αρχική εργασία του Βάιερστρας, η συνάρτηση ορίστηκε ως σειρά Φουριέ:

Όπου ,   είναι θετικός περιττός ακέραιος αριθμός και

Η ελάχιστη τιμή του  για την οποία υπάρχει  ώστε να ικανοποιούνται αυτοί οι περιορισμοί είναι. Αυτή η κατασκευή, μαζί με την απόδειξη ότι η συνάρτηση δεν είναι διαφορίσιμη σε οποιοδήποτε διάστημα, παραδόθηκε για πρώτη φορά από τον Βάιερστρας σε μια εργασία που παρουσιάστηκε στην Βασιλική Ακαδημία Επιστημών στις 18 Ιουλίου 1872.On page 560 of the 1872 Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (Monthly Reports of the Royal Prussian Academy of Science in Berlin), there is a brief mention that on 18 July, "Hr. Weierstrass las über stetige Funktionen ohne bestimmte Differentialquotienten" (Mr. Weierstrass read [a paper] about continuous functions without definite [i.e., well-defined] derivatives [to members of the Academy]).  However, Weierstrass's paper was not published in the Monatsberichte.Karl Weierstrass, "Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen," (On continuous functions of a real argument which possess a definite derivative for no value of the argument) in: Königlich Preussichen Akademie der Wissenschaften, Mathematische Werke von Karl Weierstrass (Berlin, Germany:  Mayer & Mueller, 1895), vol. 2, pages 71–74.;See also:  Karl Weierstrass, Abhandlungen aus der Functionenlehre [Treatises from the Theory of Functions] (Berlin, Germany:  Julius Springer, 1886), page 97.

Παρά το γεγονός ότι δεν είναι ποτέ διαφορίσιμη, η συνάρτηση είναι συνεχής: Δεδομένου ότι οι όροι της άπειρης σειράς που την ορίζει περιορίζονται από ±an και αυτή έχει πεπερασμένο άθροισμα για  0 < a < 1, η σύγκλιση του αθροίσματος των όρων είναι ομοιόμορφη με το Weierstrass M-test με Mn = an. Εφόσον κάθε μερικό άθροισμα είναι συνεχές, από το ομοιόμορφο οριακό θεώρημα προκύπτει ότι η f είναι συνεχής. Επιπλέον, αφού κάθε μερικό άθροισμα είναι ομοιόμορφα συνεχές, προκύπτει ότι η f είναι επίσης ομοιόμορφα συνεχής.

Θα περίμενε κανείς ότι μια συνεχής συνάρτηση πρέπει να έχει παράγωγο ή ότι το σύνολο των σημείων στα οποία δεν είναι διαφορίσιμη πρέπει να είναι μετρήσιμα άπειρο ή πεπερασμένο. Σύμφωνα με τον Βάιερστρας στην εργασία του, οι προηγούμενοι μαθηματικοί, συμπεριλαμβανομένου του Γκάους, είχαν συχνά υποθέσει ότι αυτό ίσχυε. Αυτό μπορεί να οφείλεται στο γεγονός ότι είναι δύσκολο να σχεδιάσει ή να απεικονίσει κανείς μια συνεχή συνάρτηση της οποίας το σύνολο των μη διαφορίσιμων σημείων είναι κάτι άλλο από ένα μετρήσιμο σύνολο σημείων. Ανάλογα αποτελέσματα για κατηγορίες συνεχών συναρτήσεων με καλύτερη συμπεριφορά υπάρχουν, για παράδειγμα οι συναρτήσεις Λίπσιτς, των οποίων το σύνολο των μη διαφορίσιμων σημείων πρέπει να είναι ένα μηδενικό σύνολο Λεμπεσγκ (θεώρημα Ραντεμάχερ). Όταν προσπαθούμε να σχεδιάσουμε μια γενική συνεχή συνάρτηση, συνήθως σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης που είναι Lipschitz ή συμπεριφέρεται ικανοποιητικά.

Η συνάρτηση Βάιερστρας ήταν ένα από τα πρώτα φράκταλ που μελετήθηκαν, αν και ο όρος αυτός δεν χρησιμοποιήθηκε παρά πολύ αργότερα. Η συνάρτηση έχει λεπτομέρεια σε κάθε επίπεδο, οπότε η μεγέθυνση σε ένα κομμάτι της καμπύλης δεν δείχνει ότι πλησιάζει προοδευτικά όλο και περισσότερο σε μια ευθεία γραμμή. Αντίθετα, μεταξύ δύο οποιωνδήποτε σημείων, όσο κοντά κι αν βρίσκονται, η συνάρτηση δεν θα είναι μονότονη.

Ο υπολογισμός της διάστασης Χάουσντορφ D του γραφήματος της κλασικής συνάρτησης Βάιερστρας ήταν ένα ανοιχτό πρόβλημα μέχρι το 2018, ενώ γενικά πιστεύεται ότι  D = .Kenneth Falconer, The Geometry of Fractal Sets (Cambridge, England:  Cambridge University Press, 1985), pages 114, 149.See also:  Brian R. Hunt (1998) "The Hausdorff dimension of graphs of Weierstrass functions," Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 126, no. 3, pages 791-800. Το ότι το D είναι αυστηρά μικρότερο από 2 προκύπτει από τις συνθήκες για τα  και  από παραπάνω. Μόνο μετά από περισσότερα από 30 χρόνια αυτό αποδείχθηκε αυστηρά

Ο όρος συνάρτηση Βάιερστρας χρησιμοποιείται συχνά στην πραγματική ανάλυση για να αναφερθεί σε οποιαδήποτε συνάρτηση με παρόμοιες ιδιότητες και κατασκευή με το αρχικό παράδειγμα του Βάιερστρας. Παραδείγματος χάριν, η συνάρτηση συνημιτόνου μπορεί να αντικατασταθεί στην άπειρη σειρά από μια κατά τμήματα γραμμική συνάρτηση "ζιγκ-ζαγκ". Ο G. H. Hardy έδειξε ότι η συνάρτηση της παραπάνω κατασκευής δεν είναι πουθενά διαφορίσιμη με τις παραδοχές  0 < a < 1, ab ≥ 1.Hardy G. H. (1916) "Weierstrass's nondifferentiable function," Transactions of the American Mathematical Society, vol. 17, pages 301–325.

Συνάρτηση Ρίμαν
Η συνάρτηση του Βάιερστρας βασίζεται στην παλαιότερη συνάρτηση Ρίμαν, η οποία ισχυρίστηκε ότι είναι διαφορίσιμη πουθενά. Περιστασιακά, η συνάρτηση αυτή έχει επίσης ονομαστεί συνάρτηση του Βάιερστρας.

Ενώ ο Μπέρνχαρντ Ρίμαν ισχυριζόταν σθεναρά ότι η συνάρτηση είναι διαφορίσιμη πουθενά, καμία απόδειξη γι' αυτό δεν δημοσιεύτηκε από τον Ρίμαν και ο Βάιερστρας σημείωσε ότι δεν βρήκε καμία απόδειξη που να επιβιώνει είτε στα έγγραφα του Ρίμαν είτε προφορικά από τους μαθητές του.

Το 1916, ο G. H. Χάρντι επιβεβαίωσε ότι η συνάρτηση δεν έχει πεπερασμένη παράγωγο σε οποιαδήποτε τιμή του  όπου το x είναι ανορθολογικό ή είναι ορθολογικό με τη μορφή είτε   είτε , όπου A και B είναι ακέραιοι αριθμοί. Το 1969, ο Τζόζεφ Γκέρβερ διαπίστωσε ότι η συνάρτηση Ρίμαν έχει ένα καθορισμένο διαφορικό για κάθε τιμή του x που μπορεί να εκφραστεί με τη μορφή   με ακέραιους A και B, ή ορθολογικούς πολλαπλασιαστές του pi με περιττό αριθμητή και παρονομαστή. Σε αυτά τα σημεία, η συνάρτηση έχει παράγωγο .. Το 1971, ο J. Gerver έδειξε ότι η συνάρτηση δεν έχει πεπερασμένο διαφορικό στις τιμές του x που μπορούν να εκφραστούν με τη μορφή , ολοκληρώνοντας το πρόβλημα της διαφοροποιησιμότητας της συνάρτησης Ρίμαν.

Καθώς η συνάρτηση Ρίμαν είναι διαφορίσιμη μόνο σε ένα μηδενικό σύνολο σημείων, είναι διαφορίσιμη σχεδόν πουθενά.

Συνέχεια Χόλντερ
Είναι βολικό να γράψουμε τη συνάρτηση Βάιερστρας ισοδύναμα ως εξής

για . Τότε η Wα(x) είναι συνεχής κατά Χόλντερ με εκθέτη α, δηλαδή υπάρχει μια σταθερά C τέτοια ώστε

για όλα τα x και y., p. 47.  Επιπλέον, η W1 είναι συνεχής κατά Hölder για όλες τις τάξεις , αλλά όχι συνεχής κατά Lipschitz.

Πυκνότητα συναρτήσεων που δεν διαφοροποιούνται πουθενά
Αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση Βάιερστρας απέχει πολύ από το να είναι ένα μεμονωμένο παράδειγμα: αν και είναι "παθολογική", είναι επίσης "τυπική" των συνεχών συναρτήσεων:
 Με την τοπολογική έννοια: το σύνολο των πουθενά-διαφοροποιήσιμων πραγματικών συναρτήσεων στο [0, 1] έρχεται στο διανυσματικό χώρο C([0, 1]; R) όλων των συνεχών πραγματικών συναρτήσεων στο [0, 1] με την τοπολογία της ομοιόμορφης σύγκλισης.
 Με τη θεωρητική έννοια του μέτρου: όταν ο χώρος C([0, 1]; R) είναι εφοδιασμένος με το κλασικό μέτρο Βίνερ γ, η συλλογή των συναρτήσεων που είναι διαφορίσιμες έστω και σε ένα σημείο του [0, 1] έχει γ-μέτρο μηδέν. Το ίδιο ισχύει ακόμη και αν πάρει κανείς πεπερασμένης διάστασης "φέτες" του C([0, 1]; R), με την έννοια ότι οι πουθενά-διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις σχηματίζουν ένα επικρατές υποσύνολο του C([0, 1]; R).

 Δημοσιεύσεις  

English translation: 

 Δείτε επίσης 
Αναδρομή
Σύνολο Μάντελμπροτ 
Σύνολο Julia
Οικοδομήσιμο Σύμπαν

Παραπομπές




Κατηγορία:Φράκταλ
Κατηγορία:Μαθηματική λογική