Διάσταση συσχέτισης

Στη θεωρία του χάους, η διάσταση συσχέτισης (συμβολίζεται με ν) είναι ένα μέτρο της διάστασης του χώρου που καταλαμβάνεται από ένα σύνολο τυχαίων σημείων και συχνά αναφέρεται ως ένας τύπος μορφοκλασματικής διάστασης.

Παραδείγματος χάριν, αν έχουμε ένα σύνολο τυχαίων σημείων στην ευθεία των πραγματικών αριθμών μεταξύ 0 και 1, η διάσταση συσχέτισης θα είναι ν = 1, ενώ αν αυτά είναι κατανεμημένα σε ένα τρίγωνο ενσωματωμένο στον τρισδιάστατο χώρο (ή στον m-διάστατο χώρο), η διάσταση συσχέτισης θα είναι ν = 2. Αυτό είναι κάτι που διαισθητικά θα περιμέναμε από ένα μέτρο διάστασης. Η πραγματική χρησιμότητα της διάστασης συσχέτισης έγκειται στον προσδιορισμό των (ενδεχομένως μορφοκλασματικών) διαστάσεων των φράκταλ αντικειμένων. Υπάρχουν και άλλες μέθοδοι μέτρησης της διάστασης (π.χ. η διάσταση Χάουσντορφ, η διάσταση καταμέτρησης κουτιών και η διάσταση πληροφορίας), αλλά η διάσταση συσχέτισης έχει το πλεονέκτημα ότι υπολογίζεται άμεσα και γρήγορα, ότι παρουσιάζει λιγότερο θόρυβο όταν είναι διαθέσιμος μόνο ένας μικρός αριθμός σημείων και ότι συχνά βρίσκεται σε συμφωνία με άλλους υπολογισμούς της διάστασης.

Για κάθε σύνολο Ν σημείων σε έναν m -διάστατο χώρο

τότε το ολοκλήρωμα συσχέτισης C(ε) υπολογίζεται ως εξής:

όπου g είναι ο συνολικός αριθμός των ζευγών σημείων που έχουν απόσταση μεταξύ τους μικρότερη από την απόσταση ε (μια γραφική αναπαράσταση τέτοιων κοντινών ζευγών είναι το διάγραμμα επανάληψης). Καθώς ο αριθμός των σημείων τείνει στο άπειρο και η απόσταση μεταξύ τους τείνει στο μηδέν, το ολοκλήρωμα συσχέτισης, για μικρές τιμές του ε, θα πάρει τη μορφή:

Εάν ο αριθμός των σημείων είναι αρκετά μεγάλος και ομοιόμορφα κατανεμημένος, ένα log-log γράφημα του ολοκληρώματος συσχέτισης ως συνάρτηση του ε θα δώσει μια εκτίμηση του  ν. Αυτή η ιδέα μπορεί να γίνει ποιοτικά κατανοητή συνειδητοποιώντας ότι για αντικείμενα υψηλότερων διαστάσεων, θα υπάρχουν περισσότεροι τρόποι για τα σημεία να βρίσκονται κοντά το ένα στο άλλο, και έτσι ο αριθμός των ζευγαριών που βρίσκονται μεταξύ τους κοντά θα αυξάνεται ταχύτερα για υψηλότερες διαστάσεις.

Ο Πίτερ Γκρασμπέργκερ και ο Ιταμάρ Προκάτσια εισήγαγαν την τεχνική το 1983; το άρθρο δίνει τα αποτελέσματα τέτοιων εκτιμήσεων για έναν αριθμό μορφοκλασματικών αντικειμένων, καθώς και σύγκριση των τιμών με άλλα μέτρα της διάστασης του φράκταλ. Η τεχνική μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη διάκριση μεταξύ ( προσδιοριστικής) χαοτικής και πραγματικά τυχαίας συμπεριφοράς, αν και μπορεί να μην είναι καλή στην ανίχνευση προσδιοριστικής συμπεριφοράς εάν ο προσδιοριστικός μηχανισμός δημιουργίας είναι πολύ πολύπλοκος.

Ενδεικτικά, στο άρθρο "'Ηλιος στο χρόνο", η μέθοδος χρησιμοποιήθηκε για να δείξει ότι ο αριθμός των ηλιακών κηλίδων στον ήλιο, αφού ληφθούν υπόψιν οι γνωστοί κύκλοι, όπως ο ημερήσιος και ο 11ετής κύκλος, είναι πολύ πιθανό να μην είναι τυχαίος θόρυβος, αλλά μάλλον χαοτικός θόρυβος, με έναν χαμηλής διάστασης φράκταλ ελκυστή.

Δημοσιεύσεις 
Chaos: A Statistical Perspective Από τον/την Kung-Sik Chan, Howell Tong
 Computational Science – ICCS 2008: 8th International Conference
 Systems Science: Methodological Approaches
 Handbook of Dynamical Systems επεξεργασία από H. Broer, F. Takens, B. Hasselblatt
 Nonlinear Dynamical Economics and Chaotic Motion

Δείτε επίσης
Αλγόριθμος διαμαντιού τετραγώνου
Καμπύλη που γεμίζει το χώρο
Νιφάδα του Κοχ 
Καμπύλη Χίλμπερτ
Καμπύλη του δράκου
Σπόγγος του Μένγκερ

Σύνολο Μάντελμπροτ 
Σύνολο Julia
Σύνολο Κάντορ
Οικοδομήσιμο Σύμπαν
Σύστημα-L

Παραπομπές



Κατηγορία:Φράκταλ 
Κατηγορία:Χάος