Ευθεία Σίμσον

Στην γεωμετρία, η ευθεία Σίμσον ή αλλιώς ευθεία Σίμσον-Γουάλας (αναφέρεται και ως ευθεία Simson ή ευθεία Simson-Wallace) ενός σημείου  του περιγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου  είναι η ευθεία που διέρχεται απο τις προβολές  του  στις πλευρές του τριγώνου.

Ισχύει και το αντίστροφο του θεωρήματος, δηλαδή αν οι προβολές ενός σημείου  στις πλευρές ενός τριγώνου είναι συνευθειακά σημεία, τότε το  είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

Η ευθεία παίρνει το όνομά της από τους μαθηματικούς Ρόμπερτ Σίμσον και Γουίλιαμ Γουάλας.

 Απόδειξη 

 Ιδιότητες 
 Η ευθεία Σίμσον ενός σημείου  είναι παράλληλη της ευθείας Στάινερ του σημείου (η οποία διέρχεται από συμμετρικά σημεία του  ως προς τις πλευρές του τριγώνου).
 Οι ευθείες Σίμσον που αντιστοιχούν σε αντιδιαμετρικά σημεία του περιγεγραμμένου κύκλου είναι κάθετες.
 Η γωνία μεταξύ των ευθειών Σίμσον δύο σημείων  του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου είναι ίση με το μισό του τόξου .
 Η ευθεία Σίμσον ενός σημείου  διχοτομεί το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει το  με το .
 Η ευθεία Σίμσον ενός σημείου  είναι κάθετη στην ισογώνιο της  ως προς τις πλευρές  και .

 Ειδικές περιπτώσεις 
 Οι ευθείες Σίμσον των κορυφών του τριγώνου είναι οι ευθείες των υψών του τριγώνου.
 Οι ευθείες Σίμσον των ανδιαμετρικών σημείων των κορυφών του τριγώνου ως προς τον περιγεγραμμένο κύκλο είναι οι πλευρές του τριγώνου.

 Εφαρμογές 
Η ευθεία Σίμσον χρησιμοποιείτε στην απόδειξη αρκετών θεωρημάτων στην γεωμετρία, συμπεριλαμβανομένου και του θεωρήματος Σάλμον.

 Γενικεύσεις 
 Έστω ένα τρίγωνο  και  ένα σημείο του περιγεγραμμένου του κύκλου. Αν  τρία σημεία στις πλευρές  του τριγώνου, για τα οποία τα ευθύγραμμα τμήματα  σχηματίζουν ίσες γωνίες με τις πλευρές του τριγώνου (θεωρώντας την ίδια φορά), τότε είναι συνευθειακά.Σε κάποια βιβλία, η ευθεία αυτή αναφέρεται ως ευθεία Γουάλας, αλλά αυτό το θεώρημα δεν αναφέρεται στην αρχική δημοσίευση του Γουάλας. Συνήθως αποδίδεται στον Poncelet και τον Στάινερ
Σημείωση: Το θεώρημα της ευθείας Σίμσον είναι η ειδική περίπτωση που οι γωνίες είναι ορθές.
 Έστω ένας κύκλος ομόκεντρος του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου και ένα σημείο  του κύκλου αυτού. Τότε, το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από τις προβολές του σημείου στις πλευρές του τριγώνου είναι σταθερό.
Σημείωση: Το θεώρημα της ευθείας Σίμσον είναι η ειδική περίπτωση όπου το εμβαδόν είναι ίσο με το μηδέν.
Για περαιτέρω γενικεύσεις δείτε την βιβλιογραφία.

 Γεωμετρικοί τόποι 
250px|thumb|right|Η περιβάλλουσα (με μπλε) των ευθειών Σίμσον (με κόκκινο) του τριγώνου.
 Η περιβάλλουσα των ευθειών Σίμσον των σημείων του περιγεγραμμένου κύκλου δίνει το δελτοειδές Στέινερ, μία καμπύλη που εφάπτεται του κύκλου Όιλερ και έχουν το ίδιο κέντρο. 

 Ιστορία 

Ο Γουάλας δημοσίευσε το θεώρημα στο Mathematical Repository του Leybourn το 1799. Ο Servois στην δημοσίευσή του στο Annales de Mathématiques pures et appliquées (1814), αποδίδει το θεώρημα στον Σίμσον. Μετέπειτα μελέτες θεωρούν αυτήν την απόδοση λανθασμένη (αλλά το θεώρημα ήταν ήδη διαδεδομένο με αυτή την ονομασία.

 Δείτε επίσης 
 Περιγεγραμμένος κύκλος
 Συνευθειακά σημεία (γεωμετρία)
 Ευθεία Στάινερ

 Σημειώσεις 

Περαιτέρω ανάγνωση
 Διαδραστικές εφαρμογές
 Διαδραστική εφαρμογή για την ευθεία Σίμσον στο Φωτόδεντρο
 Ευθεία Σίμσον στο Cut The Knot
 Ευθεία Σίμσον στο Geogebra
 Ευθεία Simson, Ευθείες Simson δύο αντιδιαμετρικών πόλων - Κύκλος Euler, Ευθεία Simson - Κύκλος Euler, Παράλληλες τής Ευθείας Simson στό Διαδραστική Γεωμετρία

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 Ευθείες Σίμσον ενός τριγώνου, Παράλληλος της ευθείας Σίμσον, Γενικευμένη ευθεία Σίμσον, Γεωμετρικός τόπος ευθειών Σίμσον, Σχετικά με την ευθεία Σίμσον στην Πινακοθήκη Γεωμετρικών Θεμάτων
 Ευθεία Σίμσον στο Art of Problem Solving

 Ελληνικά άρθρα 


 Ξενόγλωσσα άρθρα 





 Παραπομπές 

Κατηγορία:Τρίγωνα
Κατηγορία:Θεωρήματα στη Γεωμετρία
Κατηγορία:Ευθείες