Ύψος τριγώνου

Στην γεωμετρία, ύψος ενός τριγώνου είναι το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα από μία κορυφή προς την απέναντι πλευρά (ή την προέκτασή της). 

Σε κάθε τρίγωνο τα τρία ύψη (ή οι προεκτάσεις τους) διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο ονομάζεται ορθόκεντρο.

Στο τρίγωνο , τα ύψη  συνήθως συμβολίζονται ως  ή  αντίστοιχα.

 Ορθόκεντρο τριγώνου 

 Ιδιότητες 
 (Ευθεία του Όιλερ) Το βαρύκεντρο , το ορθόκεντρο  και το περίκεντρο  είναι συγγραμμικά και .
 (Κύκλος του Όιλερ) Το σημεία , τα μέσα των  και τα μέσα των πλευρών ανήκουν στον ίδιο κύκλο.
 (Θεώρημα Νάγκελ) Αν  είναι το περίκεντρο του τριγώνου, τότε 
,  και .
 (Κύκλος Taylor) Τα έξη ίχνη των υψών στις πλευρές των τριγώνων ανήκουν στον ίδιο κύκλο.
 Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς κάθε μία από τις πλευρές είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.
 Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς το μέσο κάθε μίας από τις πλευρές του είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.
 Το ορθόκεντρο είναι το σημείο  που ελαχιστοποιεί την ακόλουθη συνάρτηση:
.
 Σε ένα τρίγωνο δύο ύψη είναι ίσα αν και μόνο αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές.Δείτε την απόδειξη εδώ.

 Μετρικές σχέσεις 
 Σε κάθε τρίγωνο  το γινόμενο δύο πλευρών του ισούται με το γινόμενο της διαμέτρου του περιγεγραμμένου του κύκλου επί το ύψος που αντιστοιχεί στην τρίτη πλευρά. Δηλαδή,
.

 Από τον τύπο του Ήρωνα προκύπτει ότι 
,
όπου  είναι η ημιπερίμετρος.
 Επίσης, ισχύουν οι παρακάτω τριγωνομετρικές σχέσεις:
,  και .
 Έστω  το εμβαδό του τριγώνου και , τότε
,
και αν , τότε
.
 Αν  η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, τότε

 Αν  το ορθόκεντρο,  το βαρύκεντρο,  ο περιγεγραμμένος,  o εγγεγραμμένος και  ο παρεγγεγραμμένος κύκλος, τότε
,
,
,
.
 Για τα ύψη , ισχύει ότι
,
.
.
 Αν  η διάμεσος τριγώνου  με , τότε 
.
 Αν  η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου και  οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων, τότε
,
,
.

 Ανισοτικές σχέσεις 
 Σε κάθε τρίγωνο  με  έχουμε ότι:

 Σε κάθε τρίγωνο, το ύψος που αντιστοιχεί σε μία πλευρά του είναι μικρότερο από το ημιάθροισμα των άλλων δύο πλευρών του τριγώνου. Δηλαδή, ισχύει
,
, και
.

 Ορθικό τρίγωνο 


Το τρίγωνο  λέγεται ορθικό (ή αλλιώς ποδικό) τρίγωνο του τριγώνου .

 Δείτε επίσης 
 Διάμεσος
 Διχοτόμος γωνίας
 Μεσοκάθετη ευθύγραμμου τμήματος
 Ορθικό τρίγωνο
 Ορθοκεντρική τετράδα

 Σημειώσεις 

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Τρίγωνα
Κατηγορία:Σεβιανές