Πολυγραμμική άλγεβρα

Στα μαθηματικά, η πολυγραμμική άλγεβρα διευρύνει τις μεθόδους της γραμμικής άλγεβρας. Ακριβώς όπως η γραμμική άλγεβρα βασίζεται στην έννοια του διανύσματος και αναπτύσσει τη θεωρία των διανυσματικών χώρων, η πολυγραμμική άλγεβρα βασίζεται στην έννοια του τανυστή και αναπτύσσει τη θεωρία των τανυστικών χώρων. Στις εφαρμογές προκύπτουν πολλοί τύποι τανυστών. Η θεωρία έχει σκοπό να είναι εξαντλητική και περιλαμβάνει τη μελέτη πολλών χώρων και την εξήγηση των μεταξύ τους σχέσεων.

Ιστορία
Η πολυγραμμική άλγεβρα2 έχει τις ρίζες της σε αυτό που ήταν γνωστό τον 19ο αιώνα ως τανυστική ανάλυση ή "τανυστικός λογισμός των τανυστικών πεδίων". Αναπτύχθηκε από τη χρήση των τανυστών στη διαφορική γεωμετρία, τη γενική σχετικότητα και πολλούς κλάδους των εφαρμοσμένων μαθηματικών. Προς τα μέσα του 20ού αιώνα, η μελέτη των τανυστών επαναδιατυπώθηκε με πιο αφηρημένο τρόπο. Η πραγματεία της ομάδας Μπουρμπακίγια την πολυγραμμική άλγεβρα (Κεφάλαιο 3 του βιβλίου Άλγεβρα, με ακριβέστερο τίτλο Άλγεβρες τανυστών, εξωτερικές άλγεβρες, συμμετρικές άλγεβρες) άσκησε ιδιαίτερη επιρροή.

Ένας από τους λόγους αυτής της νέας διατύπωσης είναι μια νέα περιοχή εφαρμογής, η ομολογική άλγεβρα. Η ανάπτυξη της αλγεβρικής τοπολογίας στη δεκαετία του 1940 παρείχε ένα πρόσθετο κίνητρο για την ανάπτυξη μιας καθαρά αλγεβρικής αντιμετώπισης του τανυστικού γινομένου. Ο υπολογισμός των ομολογικών ομάδων του γινομένου δύο τοπολογικών χώρων χρησιμοποιεί το τανυστικό γινόμενο- αλλά μόνο στις απλούστερες περιπτώσεις, όπως αυτή του τόρου, οι ομολογικές ομάδες μπορούν να υπολογιστούν απευθείας με αυτόν τον τρόπο (βλέπε θεώρημα του Künneth). Τα τοπολογικά φαινόμενα, τα οποία είναι αρκετά λεπτά, αποτελούν την πηγή ενός νέου προβληματισμού σχετικά με τις θεμελιώδεις έννοιες του τανυστικού λογισμού.

Το υλικό προς ταξινόμηση ήταν πυκνό, περιλαμβάνοντας ιδέες που χρονολογούνται από τον Χέρμαν Γκύντερ Γκράσμαν και ιδέες από τη θεωρία των διαφορικών μορφών που είχαν οδηγήσει στη συνομολογία του Ντε Ραμ, καθώς και πιο στοιχειώδεις έννοιες όπως το εξωτερικό γινόμενο, το οποίο γενικεύει το διανυσματικό γινόμενο.

Η περιγραφή που προέκυψε από το έργο του Μπουρμπακί απέρριψε πλήρως τη διανυσματική προσέγγιση ( η οποία χρησιμοποιήθηκε, για παράδειγμα, στην κατασκευή των κουατερνίων), δηλαδή, στη γενική περίπτωση, τη σχέση μεταξύ των τανυστικών χώρων και των ομάδων Lie. Η ομάδα Μπουρμπακί, από την άλλη πλευρά, ακολούθησε μια νέα προσέγγιση βασισμένη στη θεωρία της κατηγορίας 1, στην οποία η ομάδα Lie παρέχει μόνο μια δευτερεύουσα περιγραφή. Δεδομένου ότι αυτό οδηγεί σε μια πολύ πιο αυστηρή αντιμετώπιση, μάλλον δεν θα υπάρξει επιστροφή στα μαθηματικά.

Η προσέγγιση αυτή ουσιαστικά ισοδυναμεί με τον ορισμό των τανυστών χώρων ως τις κατασκευές που απαιτούνται για την αναγωγή πολυγραμμικών προβλημάτων σε γραμμικά προβλήματα. Αυτή η καθαρά αλγεβρική επίθεση δεν μεταφέρει καμία γεωμετρική διαίσθηση.

Το πλεονέκτημα αυτής της τυποποίησης είναι ότι με την επανεκφραση των προβλημάτων σε όρους πολυγραμμικής άλγεβρας, υπάρχει μια σαφής και σαφώς καθορισμένη "βέλτιστη λύση": οι περιορισμοί που ασκεί η λύση είναι ακριβώς αυτοί που απαιτούνται στην πράξη. Σε γενικές γραμμές, δεν χρειάζεται να επικαλεστεί κανείς κάποια ειδική κατασκευή, γεωμετρική ιδέα ή άλλη για τα συστήματα συντεταγμένων. Στο λεξιλόγιο της θεωρίας κατηγοριών, τα πάντα είναι απολύτως φυσικά.

Συμπέρασμα ως προς την αφηρημένη προσέγγιση
Κατά κανόνα, η αφηρημένη προσέγγιση μπορεί να καλύψει όλα όσα γίνονται με την κλασική προσέγγιση. Στην πράξη μπορεί να μην φαίνεται τόσο απλό. Από την άλλη πλευρά, η έννοια του φυσικού μετασχηματισμού είναι συμβατή με τη γενική αρχή της συνδιακύμανσης της γενικής σχετικότητας. Η τελευταία ασχολείται με τανυστικά πεδία (τανυστές που μεταβάλλονται από σημείο σε σημείο μιας ποικιλίας), αλλά η συνδιακύμανση υποστηρίζει ότι η γλώσσα των τανυστών είναι απαραίτητη για τη σωστή διατύπωση της γενικής σχετικότητας.

Λίγες δεκαετίες αργότερα, η πιο αφηρημένη άποψη που προερχόταν από τη θεωρία κατηγοριών συνδέθηκε με την προσέγγιση που είχε αναπτύξει τη δεκαετία του 1930 ο Χέρμαν Βάιλ (στο περίφημο αλλά δύσκολο βιβλίο του με τίτλο Οι κλασικές ομάδες). Κατά μία έννοια, αυτό ολοκλήρωσε τη θεωρία, συνδέοντας παλιές και νέες απόψεις.

Θέματα πολυγραμμικής άλγεβρας
Το πεδίο της πολυγραμμικής άλγεβρας γνώρισε πολλές αλλαγές στην παρουσίασή του με την πάροδο των ετών. Οι ακόλουθες σελίδες παρέχουν περισσότερες πληροφορίες σχετικά με το θέμα:
Γεωμετρική άλγεβρα
Κανόνας του Κράμερ 
Εξωτερική άλγεβρα
Σύμβολο μετάθεσης
Δέλτα του Κρόνεκερ
Τανυστής
Διανύσματα με στοιχεία μιγαδικούς αριθμούς
Συμβολισμός Ντιράκ
Καμπυλότητα

Βιβλιογραφία 
 Greub, W. H. (1967) Multilinear Algebra, Springer
 Douglas Northcott (1984) Multilinear Algebra, Cambridge University Press ISBN 0-521-26269-0

Multilinear Algebra - Werner Greub
Multilinear Algebra -Russell Merris
Elements Of Linear And Multilinear Algebra -John M Erdman
Linear and Multilinear Algebra and Function Spaces
Tensor Spaces and Exterior Algebra
An Introduction to Algebraic Statistics with Tensors
Eléments d'histoire des mathématiques - N. Bourbaki

Παραπομπές




Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα 
Κατηγορία:Φυσικά μεγέθη